Controle de Processos Quimicos

8/3/2019 Controle de Processos Quimicos

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CONTROLE DE PROCESSOS QUMICOS

ENG 009

Autor: Prof. Dr. Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

Revisora: Enga Grazziela Gomes

Laboratrio de Controle e Otimizao de Processos Industriais - LACOI

Departamento de Engenharia Qumica - DEQ

Escola Politcnica - EP

Universidade Federal da Bahia UFBA

Salvador, junho de 2004.


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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s- R i c a r d o d e A r a j o K a l i d k a l i d @ u f b a . b r

N D I C E G E R A L

CAPTULO 1. INTRODUO

CAPTULO 2. FUNO DE TRANSFERNCIA

CAPTULO 3. ANLISE DA DINMICA DE PROCESSOS

CAPTULO 4. IDENTIFICAO DA DINMICA DE PROCESSOS

CAPTULO 5. INSTRUMENTAO E VLVULAS DE CONTROLE

CAPTULO 6. SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS

CAPTULO 7. ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES

CAPTULO 8. ESTRATGIAS DE CONTROLE

CAPTULO 9. CONTROLE AVANADO

CAPTULO 10. TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAO DE

ESTADOS


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N D I C E

CAPTULO 1. INTRODUO 1-2

1.1. MOTIVAO PARA IMPLANTAR UM SISTEMA DA CONTROLE 1-2

1.2. NORMAS UTILIZADAS EM INSTRUMENTAO 1-6

N D I C E D E T A B E L A S

Tabela 1-1: Estratgias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado. 1-5

Tabela 1-2: Sinais padro de transmisso de informaes. 1-7

Tabela 1-3: Exemplo de identificao de instrumento. 1-9

N D I C E D E F I G U R A SFigura 1-1: Exemplo de controle de processo. 1-3

Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitao. 1-4

Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback. 1-5

Figura 1-4: Smbolos gerais para instrumento ou funo programada. 1-7

Figura 1-5: Letras de identificao de instrumento ou funo programada. 1-8


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C A P T U L O 1 . I N T R O D U O

A finalidade do controle de processos manter as variveis de processo nas condies

desejadas com um mnimo custo operacional.

Variveis de processo so as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou

substncia.

Como exemplos de variveis de processo temos:

Temperatura;

Presso;

Vazo;

Composio; Viscosidade;

Granulometria;

Radioatividade;

Condutividade;

Dureza;

Maleabilidade;

Cor;

Aroma; Sabor; etc.

1 . 1 . M o t i v a o p a r a i m p l a n t a r u m s i s t e m a d a c o n t r o l e

Mudana nas condies de alimentao do processo e no ambiente (perturbaes) esto

sempre acontecendo e se nenhuma ao for tomada importantes variveis do processo no

alcanaro as condies desejadas. Porm, esta ao deve ser estabelecida de modo que:

1. A segurana dos equipamentos e dos trabalhadores,

2. A qualidade do produto; e

3. A produo

sejam asseguradas com um mnimo custo de investimento e/ou operacional.


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Exemplo 01

F igura 1 -1 : Exemplo de cont ro le de processo .

Exemplo 02

Seja um tanque agitado, aquecido pela condensao do vapor dgua, conforme mostra a

Figura 1-2. O objetivo deste processo aquecer uma corrente de vazo w e temperatura T 1 at

alcanar a temperatura T2.


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T2(t), w

T1(t), w

vapor condensado

F igura 1 -2 : Tanque de aquec imento com ag i tao .

Vamos considerar duas perguntas:

Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao lquido no interior do tanque para

que atinja a temperatura desejada T2?

Considerando o tanque bem agitado no existem gradientes internos de temperatura e as

propriedades do fluido na sada do tanque so as mesmas do interior do tanque (tanque

perfeitamente agitado).

O balano de energia em estado estacionrio no tanque indica qual a quantidade de calor

que deve ser transferida :

Equao 1 -1 )sssszpssss TTcwQ ,1,.. =

Mas nas condies de projeto T2 a temperatura de referncia Tr ou temperatura desejada

(set point), ento podemos escrever a equao de projeto para o aquecedor:

Equao 1 -2 )ssSPpssss TTcwQ ,1.. =

Pergunta 2: Mas se as condies mudarem (a vazo de lquido aumentar ou diminuir, a

temperatura da alimentao oscilar ou se desejarmos uma temperatura na sada maior ou

menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a

temperatura na sada do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr= TSP) ?

Existem algumas possibilidades, uma delas medir a temperatura no interior do tanque (T),

comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a vlvula de controle para que

esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou no a


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transferncia de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratgia denomina-se

controle por retroalimentao (FeedbackControl).

T

T2(t), w

2(t)

T1(t), w1(t)

vapor

condensado

TT

TC

F igura 1 -3 : Tanque de aquec imento ag i tado com cont ro le feedback .

Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratgias de controle para este processo.

Tabe la 1 -1 : Es t ra tg ias para o cont ro le de tempera tura de um tanque de aquec imentoag i tado .

MtodoVarivel

Medida

Varivel

manipuladaClassificao

01 T Q Feedback

02 T1 Q Feedforward

03 T w Feedback

04 T1 w Feedforward

05 T1 e T Q Feedback / feedforward

06 T1 e T w Feedback / feedforward

Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para

diminuir ou eliminar a oscilao na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior

de modo a diminuir a oscilao na temperatura de sada T.

Uma vez estabelecida a estratgia de controle necessrio determinar qual a lei ou

algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade utilizar o controladorproporcional, no qual a mudana no fluxo de calor proporcional diferena entre a

temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)):


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Equao 1 -3 )()(.)( tTtTKQtQSP

css +=

Onde Kc denominado ganho do controlador, este parmetro ajustvel e define a

intensidade da correo a ser realizada sobre o processo.

Do discutido anteriormente deduz-se que para definir um sistema de controle necessrio:

(1) Conhecer o comportamento no estado estacionrio do processo que desejamos

controlar;

(2) Conhecer o comportamento dinmico do processo que desejamos controlar;

(3) Estabelecer quais as variveis de processo que devem ser mantidas o mais

prximo possvel dos valores desejados (set point), denomina-se de variveis

controladas;

(4) Estabelecer quais as variveis de processo que devem ser monitoradas (variveis

medidas) a fim de conhecer ou inferir os valores das variveis controladas ou das

variveis de processo que podem interferir no mesmo (perturbaes).

(5) Estabelecer quais os fluxos de massa e energia que devero ser modificados

(variveis manipuladas) para manterem as variveis controladas nos seus set point.

(6) Escolher e dimensionar os instrumentos necessrios para o funcionamento do

sistema de controle:(a) Sensores das variveis de processo envolvidas ou elementos primrios de

medio,

(b) Transmissores e / ou conversores de sinais,

(c) Indicadores e / ou registradores de sinais,

(d) Controladores,

(e) Elementos finais de controle (vlvulas).

Para estabelecer com sucesso o sistema de controle de um processo temos que conhecer

seu comportamento dinmico, realizando um estudo de processo em malha aberta, assunto

que tratado de uma apostila deste autor, que deve ser consultada para maiores detalhes.

1 . 2 . N o r m a s U t i l i z a d a s e m I n s t r u m e n t a o

A ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society estabelece normas eprocedimentos para especificao e instalao de instrumentos para controle de processos,


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bem como a simbologia a ser adotada nos fluxogramas e documentos (veja Standards and

Recommended Pratices for Instrumentation and Control editado pela ISA).

2 . 1 . 1 . S i n a i s d e T r a n s m i s s o

Existem alguns tipos e faixas padronizadas para transmisso de sinais em sistemas de

controle:

Tabe la 1 -2 : S ina is padro de t ransmisso de in formaes .

Tipo de sinal Valores Representao

Sinal pneumtico

psig27a3

psig30a6

psig15a3

representado por

Sinal eltrico ou eletrnico

V10a0

V5a1

mA20a4

representado por

Sinal digital ou discreto oubinrio

, binrio eltrico

, binrio pneumtico

As prximas pginas tm um pequeno resumo da simbologia empregada na confeco de

fluxogramas para instrumentao e controle de processos.

F igura 1 -4 : S mbolos gera is para ins t rumento ou funo programada .


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F igura 1 -5 : Le t ras de ident i f i cao de ins t rumento ou funo programada .


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Tabe la 1 -3 : Exemplo de ident i f i cao de ins t rumento .

T RC 210 02 A

Varivel Funorea de

atividadesN seqencial

da malha

Identificao funcional Identificao da malha

Sufixo

Identificao do instrumento

Onde:

T Varivel medida ou iniciadora: temperatura;

R Funo passiva ou de informao: registrador;

C Funo ativa ou de sada: controlador;

210 rea de atividades, onde o instrumento ou funo programada atua;

02 Nmero seqencial da malha;

A Sufixo.


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N D I C E

CAPTULO 2. FUNO DE TRANSFERNCIA 2-2

2.1. PROPRIEDADES DA FUNO DE TRANSFERNCIA 2-3

2.2. NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA 2-5

2.3. FUNO DE TRANSFERNCIA COM ENTRADAS E SADAS MLTIPLAS 2-7


Tabela 2-1: Razes da Funo de Transferncia. 2-6

N D I C E D E F I G U R A S

Figura 2-1: Diagrama de blocos 01. 2-3Figura 2-2: Diagrama de blocos 02. 2-4

Figura 2-3: Diagrama de blocos 03. 2-4

Figura 2-4: Localizao das razes da equao caracterstica. 2-6

Figura 2-5: Funo exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e grfico de oscilao [(a) crescente; (b)

decrescente; (c) amplitude constante]. 2-7




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C A P T U L O 2 . F U N O D E T R A N S F E R N C I A

... proporciona uma relao direta entre as entradas (distrbios, variveis manipuladas) e as

sadas (variveis controladas) do processo.

George Stephanoupolos

Vamos trabalhar com modelos lineares ou linearizados e variveis desvio:

Equao 2 -1

==

==

ss

ss

X-X(t)X(0)-X(t)(t)X

Y-Y(t)Y(0)-Y(t)(t)Y

Generalizando, as equaes diferenciais ordinrias com coeficientes constantes so da

forma:

Equao 2 -2 =

=

=++++=m

jj

j

jn

n

nn

n

n

n

ii

i

idt

XdbYa

dt

Yda

dt

Yda

dt

Yda

dt

Yda

0011

1

10

.........

Equao 2 -3 Xbdt

Xdb

dt

Xda

dt

Xdb

dt

Xdbonde

m

m

mm

m

m

m

jj

j

j ........ 011

1

10

++++=

=

Onde, an, an -1, ..., a1, a0 e bm, bm -1, ..., b1, b0 so constantes.

Em sistemas fisicamente exeqveis n m.

Assumindo que inicialmente o sistema est relaxado:

Equao 2 -4 1000 === nkdt

Ydtk

k

,...,,

e

Equao 2 -5 1000 === nldt

Xdtl

l,...,,

Ou seja, o termo relativo s condies iniciais I nulo: I = 0

Equao transformada:


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Equao 2 -6 ( ) ( ) ( ) ( ) = = ==

==m

j

n

i

m

j

j

j

i

i

j

j

n

i

i

i sXsbsYsasXsbsYsa0 0 00

)(..)(..).(..).(..

Equao 2 -7 ( )0.

.

)(

)()(

0

0 =+==

=

=I

sa

sb

sX

sYsG

i

i

n

i

m

j

j

j

G(s) chamada de funo de transferncia e obtida apenas se I = 0.

Equao 2 -8desviodeformaementradadaLaplacededaTransforma

desviodeformaemsadadaLaplacededaTransformasG

,

,)( =

Em diagrama de blocos:

G(s)

X(s) Y(s)

F igura 2 -1 : D iagrama de b locos 01 .

Em geral a funo de transferncia pode ser representada por uma diviso entre dois

polinmios em s:

Equao 2 -9P(s)

Q(s)G(s)=

2 . 1 . P r o p r i e d a d e s d a F u n o d e T r a n s f e r n c i a

P1. Descreve as caractersticas dinmicas de um sistema. Se adotarmos uma funo

perturbao X(t) na entrada, cuja transformada X(s), a resposta do sistema Y(s) dada por:

Equao 2 -10 )().()( sXsGsY =

P2. Se a funo de transferncia a resposta do sistema a perturbao impulso unitrio:

X(t) = (t), ento X(s) = L{ (t)} = 1, logo:

Equao 2 -11 )()().()( sGsXsGsY ==

P3. A equao diferencial do sistema pode ser obtida da funo de transferncia

substituindo s pelo operador diferencial D d/dt.


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Equao 2 -12 )(.1

1.2)(

1

1.2)(:.

22tXtY

ss

ssGex

++

+=

+++

=DD

D

Ou,

Equao 2 -13 XXYYY +=++ DDD .22

Equao 2 -14 )()(.)()()(""'" tXtXtYtYtY +=++ 2

P4. O princpio da superposio vlido (operador linear) para:

Equao 2 -15 )()()( 21 sXsXsX +=

Equao 2 -16 )()()().()().()().()( 2121 sYsYsXsGsXsGsXsGsY +=+==

Em diagrama de blocos:

PROCESSO

X1(t)

Y(t)

X2(t)


G(s)

X1(s) Y

1(s)

G(s)

X2(s)

Y2(s)

+

+

Y(s)


P5. O denominador de G(s) igualado a zero denominado de equao caracterstica. A

estabilidade de um sistema linear invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as

razes da equao caracterstica: se todas as razes tm partes reais negativas o sistema

estvel, caso alguma raiz tenha parte real positiva o sistema instvel. Exemplo:


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Equao 2 -17).21().21(5.2

1)(

2 j

C

j

B

+

+=

++

=ssss

ssG

Equao caracterstica:

Equao 2 -18 0522 =+ ss

Razes da equao caracterstica:

Equao 2 -19 ( )jr .211 ++=

Equao 2 -20 ( )jr .212 +=

Portanto, o sistema instvel pois as razes do denominador da funo de transferncia

tem parte real positiva.

P6. As razes do denominador so os plos do sistema e as razes do numerador so os

zeros do sistema. Quando o nmero de zeros (nz) menor que o nmero de plos (np), diz-se

que existem (nz np) zeros no infinito; a recproca vlida. Para a Equao 2-17:

Equao 2 -21 2.j1Pe2.j1P:plos 21 =+=

Equao 2 -22 == ze1-z:zeros z1

P7. Em sistemas fsicos exeqveis: nz np.

2 . 2 . N a t u r e z a Q u a l i t a t i v a d a s R e s p o s t a s d e u mS i s t e m a

Freqentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema,

uma forma simples e adequada para os propsitos de controle de processos encontrar as

razes do denominador da funo de transferncia (plos do sistema) e verificar sua

localizao no plano complexo. Seja G(s) uma funo de transferncia que pode ser escrita poruma razo de dois polinmios Q(s) e P(s):

Equao 2 -23

( )in

i

ps

sQ

sP

sQsGsXsGsY

n ===

=0

)(

)(

)()()().()(

Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuies da funo transferncia para

as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposio das

razes da equao caracterstica no plano complexo.


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Tabe la 2 -1 : Ra zes da Funo de Transfernc ia .

Razes Caractersticas Termos em (t) para t 0

p1

p2, p2*

p3, p3*

p4, p4*

p5

p6

Real, < 0

Complexa, Re < 0

Complexa, Re = 0

Complexa, Re > 0

Real, > 0

Real, = 0

C1. e-p1.t

e-az.t [C1.cos(b2.t) + C2.sen(b2.t)]

C1.cos(b3.t) + C2.sen(b3.t)

Ea4.t [C1.cos(b4.t) + C2.sen(b4.t)]

C1 ep5.t

C1

Observaes:

1. Onde a1, a2, ..., b1, b2, ..., p1, p2, ..., so constantes positivas.2. Se algumas dessas razes so repetidas o termo referente a essa raiz multiplicado por

uma srie de potncias de t:

K1 + K2.t + K3.t2 + ... + Kr.t

r-1, onde r o nmero de repeties.

3. C1 + C2 + K1 + K2, ... + KR so obtidas a partir das condies iniciais.

Na Figura 2-4 vemos a disposio dos plos no plano complexo. Observe que as razes

reais geram respostas no oscilatrias amortecidas (p1), no oscilatrias no amortecidas (p6)

e no oscilatrias com amplitude crescente (p5), portanto uma resposta instvel; enquanto queas razes complexas originam respostas oscilatrias amortecidas (p2, p2*), no amortecidas (p3,

p3*) e com amplitudes crescentes (p4, p4*), isto , a sada do sistema instvel. Em outras

palavras as razes localizadas no semi-eixo direito geram respostas instveis.

Eixo

imaginrio

Eixo

real

p4

p3

p2

p1

p*2

p6

p5

p*3

p*4

F igura 2 -4 : Loca l i zao das ra zes da equao carac ter s t ica .

esquerda do eixo Im: f(t) decresce exponencialmente com t


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direita do eixo Im: f(t) cresce exponencialmente com t

Sejam razes mltiplas:

Na origem: f(t) = tn, cte. para n = 0, crescente para n > 0.

Figura 2-5: Funo exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e grfico de oscilao [(a)

crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante].

2 . 3 . F u n o d e T r a n s f e r n c i a c o m E n t r a d a s e S a d a sM l t i p l a s

Considere a Figura 2-6:

PROCESSO

X1(t) Y1(t)

X2(t) Y2(t)


Equao 2 -24

( )

( )

( )

( )

tY

t

t

t

2

1

2

1 Y

SADASX

X

ENTRADAS

MODELO MATEMTICO (variveis desvio ou sistema relaxado):

Equao 2 -25 2121112121111 XbXbYaYa

dt

dY... +++=

Equao 2 -26 2221212221122 XbXbYaYa

dt

dY... +++=

Condies iniciais:


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Equao 2 -27 0(0)Y(0)Y 21 ==

Aplicando a Transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s):

Equao 2 -28 (s)XP(s)

]ba)ba[(s(s)X

P(s)

]ba)ba[(s(s)Y 2

221212221

211211221

++

+=

Equao 2 -29 (s)XP(s)

]ba)ba[(s(s)X

P(s)

]ba)ba[(s(s)Y 2

222122111

112121112

++

+=

Onde P(s) a equao caracterstica dada por:

Equao 2 -30 )().(P(s) 2211211222112 aaaasaas +=

Equao 2 -31

+=

+=

)().()().()(

)().()().()(

2221212

2121111

sXsGsXsGsY

sXsGsXsGsY

Ou em notao matricial:

Equao 2 -32

=

)(

)(.

)()(

)()(

)(

)(

2

1

2221

1211

2

1

sX

sX

sGsG

sGsG

sY

sY

O sistema de Equao 2-32 denominado Matriz das Funes de Transferncia.

Em diagramas de blocos:

X1(s)

X2(s)

G11(s)

G12(s)

G21(s)

G22(s)

+

+

+

+

Y2(s)

Y1(s)


Os sistemas podem ser:

SISO Single Input Single Output

SIMO Single Input Multiple Output

MISO - Multiple Input Single Output


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MIMO - Multiple Input Multiple Output

Obs.: Os processos qumicos so, na sua maioria, MIMO-NL.


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N D I C E

CAPTULO 3. ANLISE DA DINMICA DE PROCESSOS 3-3

3.1. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 3-6

3.2. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS 3-22

3.3. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 3-25

3.4. COMPORTAMENTO DINMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANO 3-45

3.5. COMPORTAMENTO DINMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO 3-48

3.6. EXERCCIOS 3-55


Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primrios de medio. 3-6

Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcanado pelo sistema PKAtY .)( . 3-11

Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcanado pelo sistema PKAtY .)( . 3-15

Tabela 3-4: Classificao dos Sistemas de 2 ordem. 3-27

Tabela 3-5: Tanques em srie com e sem interao. 3-40

N D I C E D E F I G U R A S

Figura 3-1: Desenho esquemtico de um termopoo / termopar. 3-3




Figura 3-5: Funo degrau de amplitude A. 3-10

Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao degrau. 3-12

Figura 3-7: Comportamento dinmico de termopares sem (Ts) e com poo (Tc). 3-13Figura 3-8: Funo impulso de amplitude A. 3-14

Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao impulso de amplitude A. 3-15

Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1 ordem a perturbao impulso de amplitude A. 3-16

Figura 3-11: Funo pulso de amplitude A. 3-17

Figura 3-12: Resposta de sistema de 1 ordem a perturbao pulso de amplitude A. 3-19

Figura 3-13: Funo seno de amplitude A, freqncia e perodo T. 3-20Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao seno de amplitude A e freqncia w. 3-22

Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo. 3-23


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Figura 3-16: Tanque com vazo de descarga constante. 3-23

Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbao degrau de amplitude A. 3-25

Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2 ordem. 3-26

Figura 3-19: Resposta do sistema de 2 ordem superamortecido a perturbao degrau. 3-28

Figura 3-20: Influncia do fator de amortecimento e do perodo natural de oscilao de um sistema de 2ordem superamortecido a perturbao degrau. 3-29

Figura 3-21: Influncia do fator de amortecimento na resposta do sistema de 2 ordem subamortecido,submetido a perturbao de amplitude A. 3-30

Figura 3-22: Caractersticas do sistema de 2 ordem subamortecido submetido a perturbao degrau de

amplitude A. 3-32

Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2 ordem a perturbao impulso de amplitude A. 3-34

Figura 3-24: Dois tanques no-interativos em srie. 3-35

Figura 3-25: Dois tanques interativos em srie. 3-38

Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbao degrau de amplitude A. 3-40

Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbao na composio e temperatura da alimentao. 3-41

Figura 3-28: Resposta do sistema (Equao 3-184). 3-47

Figura 3-29: Diagrama plo-zero para o sistema (Equao 3-184) X: localizao do plo, : localizao do

zero. 3-47

Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero. 3-48

Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulao em escoamento pisto. 3-49

Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximaes de Pad de 1 e 2 ordem de um tempo morto puro. (b)

Resposta ao degrau de um sistema de 1 ordem com tempo morto (m = 0.25P) utilizando aproximaesde Pad de 1 e 2 ordem para

sme

. 3-51

Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo. 3-52

Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbao degrau na composio da alimentao: (a) resposta

completa; (b) detalhe nos instantes iniciais. 3-55

Figura 3-35: Tanque para alivio de presso. 3-55

Figura 3-36: Tanque no interativos em srie. 3-57

Figura 3-37: Tanque de aquecimento. 3-60

Figura 3-38: Grfico exerccio (7). 3-60

Figura 3-39: Grfico para exerccio (9). 3-62

Figura 3-40: Grfico do exerccio (10). 3-63



Figura 3-43: Esquema do exerccio (13). 3-64


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C A P T U L O 3 . A N L I S E D A D I N M I C A D EP R O C E S S O S

No captulo anterior, verificamos que a modelagem matemtica de processos conduz a

sistemas de equaes diferenciais. Estas equaes podem ser resolvidas pelo mtodo da

Transformada de Laplace que conduz s suas respectivas funes de transferncia. Neste

captulo, estudaremos com mais detalhes alguns tipos de funes de transferncia (1 ordem e

2 ordem) e a resposta desses sistemas a diversos tipos de perturbaes (degrau, rampa,

impulso, pulso, seno).

Prosseguindo com a metodologia adotada, sempre partiremos de um sistema fsico de

interesse no controle de processos qumicos.Elementos de medio, linhas de transmisso e elementos finais de controle introduzem

atrasos (lag) dinmicos no sistema de controle. Por exemplo, a Figura 3-1 mostra um termopar

(thermocouple) inserido em poo de termopar (termopoo, termowell) de massa m e calor

especfico C.

Termopoo

Termopar

Fluido atemperatura T(t)

F igura 3 -1 : Desenho esquemt ico de um termopoo / t e rmopar .

O atraso dinmico introduzido pela combinao termopar/termopoo pode ser estimado seassumimos algumas hipteses simplificadoras:

a. O termopar e o termopoo esto sempre na mesma temperatura Tm(t), que pode ser

diferente da temperatura do fluido T(t) que envolve o poo;

b. No existe perda de calor pela extremidade do poo exposta ao meio ambiente;

c. A resistncia transferncia de calor determinada pelo inverso do coeficiente global

de troca trmica R = 1/(UG.A);

d. Toda capacidade trmica se concentra na massa de metal que compe o poo.


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Balano de Energia no Poo1

Equao 3 -1 { } { } { }saientraacumula =

Equao 3 -2{ } ( )[ ]tT

dt

dCmacumula m..=

Equao 3 -3 { } { } { } { } { }radiaoconduoconvecosaientra ++=

Equao 3 -4{ } { } ( ) ( )[ ]tTtTAUsaientra mG = .

Onde,

Equao 3 -5

[ ] ( )2../111 mSCJhU iG

=+= iR

Substituindo a Equao 3-2 e a Equao 3-4 na Equao 3-1, obtemos

Equao 3 -6( )[ ] ( ) ( )[ ]tTtTAUtT

dt

dCm mGm = ...

ou

Equao 3 -7( )[ ] ( ) ( )tTtTtT

dt

dmmT =+

Onde T a constante de tempo do termopoo no estado estacionrio.

Equao 3 -8

[ ] ( )[ ] 00.

.=== m

G

T Tdt

ds

AU

Cm

Equao 3 -9 ssm,ss TT =

Subtraindo a Equao 3-7 da Equao 3-9:

Equao 3 -10( )[ ] ( ) ( ) ssm,ssmm,ssmT TtTTtTTtTdt

d=+ .

Definindo as variveis desvio:

1 Devido s hipteses adotadas este modelo denomina-se Modelo de Parmetros

Concentrados, um modelo mais preciso conduziria a um Sistema de Equaes Diferenciais

Parciais (SEDP).


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Equao 3 -11( ) ( ) m,ssmm TtTtT =

e

Equao 3 -12( ) ( ) ssTtTtT =

Ento:

Equao 3 -13( )[ ] ( ) ( )tTtTtT

dt

dmmT =+ ..

Aplicando a Transformada de Laplace na Equao 3-13:

Equao 3 -14 ( ) ( ) ( )sTsTTsTs mmmT =+ 0..

Mas,

Equao 3 -15( ) ( ) 000 === ssmssmssmmm TTTTT ,,,

Ento:

Equao 3 -16

( )

( ) 1.1

+=

ssT

sT

T

m

Portanto, para que a temperatura indicada/transmitida pelo termopar esteja o mais prximo

possvel da temperatura do fluido, ou seja, Tm(t) = T(t), a constante de tempo do conjunto

termopar/termopoo deve ser minimizada, para isto acontecer a capacitncia trmica dos

sistema ( )Cm . deve ser mnima, enquanto a facilidade transferncia de calor (UG*A) deve

ser mxima (resistncia mnima).

A Equao 3-16 define a funo transferncia de primeira ordem deganho unitrio e

constante de tempoT, entre a entrada do sistema temperatura do fluido, perturbao T(t) e a sada do sistema temperatura medida Tm(t).

Podemos representar a funo de transferncia (da Equao 3-16) atravs de um diagrama

de bloco:


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1/ Ts + 1

T(s) Tm(s)


Na Tabela 3-1 vemos valores tpicos de constantes de tempo de alguns elementos primrios

de medio.

Tabe la 3 -1 : Constan tes de tempo de e lementos pr imr ios de med io .

Tipo Ordem de m

Termmetro de vidro Minutos

Termmetro bimetlico < 1 minuto

Termmetro a expanso Minutos

Termopar em bainha Segundos

Termopar com poo Minutos

Termmetro a resistncia Segundos a minutos

Transmisso presso absoluta 0.2 - 1.7 segundos

Transmisso presso diferencial 0.2 - 1.7 segundosTurbina 0.03 segundos

Vortex 2.5 segundos

Em geral, as constantes de tempo dos elementos de medio e transmisso devem ser

menores que um dcimo da constante de tempo do processo.

3 . 1 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n m i c o d e S i s t e m a s

d e P r i m e i r a O r d e m

Genericamente, um sistema de 1 ordem2 definido pela seguinte situao diferencial:

Equao 3 -17 ( )[ ] ( ) ( )txbtyatydt

da ...1 =+

Se ao 0, ento podemos dividir a Equao 3-17 por ao e obtemos:

2A literatura tambm denomina o sistema de 1 ordem de atraso de primeira ordem (first

order lag) ou atraso linear (linear lag).


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Equao 3 -18 ( )[ ] ( ) ( )txKtytydt

dPP =+ ..

onde

Equao 3 -19

a

aP

1=

Equao 3 -20o

Pa

bK =

Observe que aplicando a Equao 3-18 no estado estacionrio:

Equao 3 -21 ss.= Pss KY

E substituindo as variveis desvio:

Equao 3 -22

( ) ( )

( ) ( )

=

=

ss

ss

XtXtX

YtYtY

Obtemos:

Equao 3 -23

( )[ ] ( ) ( )tKtYtYdtd

PP =+..

O novo estado estacionrio alcanado aps o sistema sofrer a perturbao X(t) ser:

Equao 3 -24= .pKY

logo

Equao 3 -25

( ) ( )( ) ( ) ss

ss

-0

0

=

=

=

YYYYYp

ou

Equao 3 -26entradaiosestacionrestados

sadaiosestacionrestadosp

=

Portanto, o ganho do processo determina o estado estacionrio que o sistema ir atingir

aps sofrer uma perturbao.

Aplicando a Transformada de Laplace na Equao 3-23.


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Equao 3 -27( ) ( ) ( )ssYsYs pp = ...

mas

Equao 3 -28( ) ( ) 000 === ssssss YYYYY

Ento a funo de transferncia de um sistema de 1 ordem dada por:

Equao 3 -29

( )( )( ) 1. +

=

=

ss

sysG

p

p

E a resposta do sistema ( )sY a uma perturbao ( )sX

Equao 3 -30

( ) ( ) ( ) ( )ss

ssGsYp

p +

== .

1..

Em diagramas de blocos:

G(s)

( )sX ( )sY


ou

1. +

sp

p

( )sX ( )sY


Resistncia e Capacitncia

Os sistemas de 1 ordem so caracterizados pelo ganho KP, que estabelece o seu estado

estacionrio, e pela sua constante de tempo P, que determina o seu comportamento

transitrio.

A constante de tempo pode ser obtida se identificamos a capacitncia C e a resistncia R

do processo de 1 ordem. Por definio estas propriedades so:


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Equao 3 -31processodomotrizforadovariao

processodocapacidadedavariaoC =

Equao 3 -32resultantefluxodovariao

processodomotrizforadavariaoR =

Por definio, a constante de tempo de um processo de 1 ordem o produto da

capacitncia do processo vezes sua resistncia:

Equao 3 -33R.Cp =

Nos exemplos estudados: Nvel de um tanque

( ) ( )

[ ]

[ ][ ] sRARC

mAdh

hAd

dh

dv

C

msRdq

dh

qRhR

hqarlaescoamentopara

qghhqmasdq

dhR

p =======

==

==

===

..

.

/

.min

f,

2

2

Tanque de aquecimento

[ ]

( ) [ ]

[ ] sqV

Cq

CVRC

sJ

C

CqdH

dTRTTCq

C

JCVCmdTCmH

dT

d

dT

dHC

p

p

T

p

p

pp

T

Tp

====

====

===

+==

..

...

.

..

1

'...'

....

[ ]

[ ]

[ ] sAU

CmRC

sJ

C

AUdQ

dRdAUQ

C

JCm

d

dCm

G

G

G

===

==

==

==

=

=

.

..

.

.

1

'..'

.

..

d

dQC


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3 . 1 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a Or d e m aP e r t u r b a o D e g r a u

A funo degrau pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equao 3 -34( ) ( ) t-t.uA+= ssXttX

Onde,

A Amplitude de perturbao

u(t to) Funo degrau unitrio

Equao 3 -35( ) ( )tXtX ss t.uA+=

Onde, uto(t) u(t to)

Equao 3 -36

=+=

o,,

o,

t,

t,)(

tparaXAX

tparaXtX

ssoss

oss p

Graficamente a funo degrau corresponde a Figura 3-5:

F igura 3 -5 : Funo degrau de ampl i tude A.

Aplicando a varivel desvio ( ) ( ) ssXtXtX = na Equao 3-34 e em seguida a

transformada de Laplace, obtemos a funo perturbao no domnio de Laplace:


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Equao 3 -37( ) ( ).st.

s

= esXA

Substituindo a Equao 3-37 na Equao 3-30:

Equao 3 -38

( ) ( ) ( )s.tPPs.t .1

s.s

.1.

.s

+

=

+

= ees

sYP

P

.AA

Expandindo em fraes parciais:

Equao 3 -39

( ) ( )s.t

P

PP

P

P.

1.

+

= e

ss

sY

.A

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

Equao 3 -40

( ) ( )oP t-t.exp1 u

=

P

tttY

.A

Ou

Equao 3 -41

( ) ( )oP t-t.exp1 u

+=

Pss

ttYtY

.A

Calculando a razo PKAtY .)( para alguns valores de P construmos a Tabela 3-2:

Tabe la 3 -2 : Tempo ( t ) e va lo r a lcanado pe lo s is tema PKAtY .)( .

t to 0.010

P

5

P

2

P

P 2*P 3*P 4*P

( )

p.AtY

0.000 0.095 0.181 0.394 0.632 0.865 0.950 0.982 1.000

A partir da curva Pt versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-6, conclumos que todo

sistema de 1 ordem caracterizado por:

(a) O sistema alcana 63.2% do valor do estado estacionrio aps decorrer o espao de

tempo de uma constante de tempo P, isto :


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Equao 3 -42

( )632.0

p

=.ApY

(b) No instante inicial a inclinao da curva unitria, isto :

Equao 3 -43

( )0.1

0p

=

=t

tY

dt

d

.A

(c) A interseo da tangente da curva no instante inicial com a assntota da funo no

estado estacionrio acontece no ponto (1.0, P).

(d) Para fins prticos, admite-se que o estado estacionrio foi atingido quando um espao

de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes a constante de tempo P.

F igura 3 -6 : Resposta de um s is tema de 1 o rdem a per tu rbao degrau .

Observao: Curva vermelha (A) entrada X(t) e curva azul (B) resposta Y(t).

Comparando a resposta de um termopar sem e com poo, verificamos que o poo introduz

um atraso dinmico que, a depender do sistema em estudo, no pode ser negligenciado. Veja

Figura 3-7.


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F igura 3 -7 : Compor tamento d inmico de te rmopares sem ( T s ) e com poo ( T c ) .Observao: Curva A perturbao; Curva B termopar sem poo Tms(t); Curva C termopar com poo

Tmc(t).

3 . 1 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m aP e r t u r b a o I m p u l s o

A funo impulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equao 3 -44( ) ( ) ( ) t-t.t. AA +=+= sstoss XXtX

Onde A a amplitude da perturbao e (t) denominada Funo Impulso Unitrio ou

Funo Delta de Dirac.

Equao 3 -45

>

=+

=+

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