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CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS

ENG – 009

Autor: Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

Revisora: Enga Grazziela Gomes

Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI

Departamento de Engenharia Química - DEQ

Escola Politécnica - EP

Universidade Federal da Bahia – UFBA

Salvador, junho de 2004.

de 1

C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r

Í N D I C E G E R A L

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS

CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE

CAPÍTULO 6. SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS

CAPÍTULO 7. ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES

CAPÍTULO 8. ESTRATÉGIAS DE CONTROLE

CAPÍTULO 9. CONTROLE AVANÇADO

CAPÍTULO 10. TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAÇO DE

ESTADOS

1 de 9


Í N D I C E

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1-2

1.1. MOTIVAÇÃO PARA IMPLANTAR UM SISTEMA DA CONTROLE 1-2 1.2. NORMAS UTILIZADAS EM INSTRUMENTAÇÃO 1-6

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 1-1: Estratégias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado. 1-5 Tabela 1-2: Sinais padrão de transmissão de informações. 1-7 Tabela 1-3: Exemplo de identificação de instrumento. 1-9

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 1-1: Exemplo de controle de processo. 1-3 Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitação. 1-4 Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback. 1-5 Figura 1-4: Símbolos gerais para instrumento ou função programada. 1-7 Figura 1-5: Letras de identificação de instrumento ou função programada. 1-8

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C A P Í T U L O 1 . I N T R O D U Ç Ã O

A finalidade do controle de processos é manter as variáveis de processo nas condições desejadas com um mínimo custo operacional.

Variáveis de processo são as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou substância.

Como exemplos de variáveis de processo temos:

• Temperatura;

• Pressão;

• Vazão;

• Composição;

• Viscosidade;

• Granulometria;

• Radioatividade;

• Condutividade;

• Dureza;

• Maleabilidade;

• Cor;

• Aroma;

• Sabor; etc.

1 . 1 . M o t i v a ç ã o p a r a i m p l a n t a r u m s i s t e m a d a c o n t r o l e

Mudança nas condições de alimentação do processo e no ambiente (perturbações) estão

sempre acontecendo e se nenhuma ação for tomada importantes variáveis do processo não

alcançarão as condições desejadas. Porém, esta ação deve ser estabelecida de modo que:

1. A segurança dos equipamentos e dos trabalhadores,

2. A qualidade do produto; e

3. A produção

sejam asseguradas com um mínimo custo de investimento e/ou operacional.

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√ Exemplo 01

F igura 1 -1 : Exemplo de cont ro le de p rocesso .

√ Exemplo 02 Seja um tanque agitado, aquecido pela condensação do vapor d’água, conforme mostra a

Figura 1-2. O objetivo deste processo é aquecer uma corrente de vazão w e temperatura T1 até

alcançar a temperatura T2.

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T2(t), w

T1(t), w

vapor condensado Figura 1 -2 : Tanque de aquec imento com ag i tação .

Vamos considerar duas perguntas:

Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao líquido no interior do tanque para

que atinja a temperatura desejada T2?

Considerando o tanque bem agitado não existem gradientes internos de temperatura e as

propriedades do fluido na saída do tanque são as mesmas do interior do tanque (tanque

perfeitamente agitado).

O balanço de energia em estado estacionário no tanque indica qual a quantidade de calor

que deve ser transferida é:

Equação 1 -1 ( )sssszpssss TTcwQ ,1,.. −=

Mas nas condições de projeto T2 é a temperatura de referência Tr ou temperatura desejada

(set point), então podemos escrever a equação de projeto para o aquecedor:

Equação 1 -2 ( )ssSPpssss TTcwQ ,1.. −=

Pergunta 2: Mas se as condições mudarem (a vazão de líquido aumentar ou diminuir, a

temperatura da alimentação oscilar ou se desejarmos uma temperatura na saída maior ou

menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a

temperatura na saída do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr = TSP) ?

Existem algumas possibilidades, uma delas é medir a temperatura no interior do tanque (T),

comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a válvula de controle para que

esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou não a

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transferência de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratégia denomina-se

controle por retroalimentação (Feedback Control).

T

T2(t), w2(t)

T1(t), w1(t)

vapor

condensado

TT

TC

F igura 1 -3 : Tanque de aquec imento ag i tado com contro le feedback .

Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratégias de controle para este processo.

Tabe la 1 -1 : Es t ra tég ias para o cont ro le de tempera tura de um tanque de aquec imento ag i tado .

Método Variável Medida

Variável manipulada

Classificação

01 T Q Feedback

02 T1 Q Feedforward

03 T w Feedback

04 T1 w Feedforward

05 T1 e T Q Feedback / feedforward

06 T1 e T w Feedback / feedforward

Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para

diminuir ou eliminar a oscilação na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior

de modo a diminuir a oscilação na temperatura de saída T.

Uma vez estabelecida a estratégia de controle é necessário determinar qual a lei ou

algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade é utilizar o controlador proporcional, no qual a mudança no fluxo de calor é proporcional à diferença entre a temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)):

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Equação 1 -3 [ ])()(.)( tTtTKQtQSPcss −+=

Onde Kc é denominado ganho do controlador, este parâmetro é ajustável e define a intensidade da correção a ser realizada sobre o processo.

Do discutido anteriormente deduz-se que para definir um sistema de controle é necessário:

(1) Conhecer o comportamento no estado estacionário do processo que desejamos

controlar;

(2) Conhecer o comportamento dinâmico do processo que desejamos controlar;

(3) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser mantidas o mais

próximo possível dos valores desejados (set point), denomina-se de variáveis controladas;

(4) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser monitoradas (variáveis

medidas) a fim de conhecer ou inferir os valores das variáveis controladas ou das

variáveis de processo que podem interferir no mesmo (perturbações).

(5) Estabelecer quais os fluxos de massa e energia que deverão ser modificados

(variáveis manipuladas) para manterem as variáveis controladas nos seus set point.

(6) Escolher e dimensionar os instrumentos necessários para o funcionamento do

sistema de controle:

(a) Sensores das variáveis de processo envolvidas ou elementos primários de

medição,

(b) Transmissores e / ou conversores de sinais,

(c) Indicadores e / ou registradores de sinais,

(d) Controladores,

(e) Elementos finais de controle (válvulas).

Para estabelecer com sucesso o sistema de controle de um processo temos que conhecer

seu comportamento dinâmico, realizando um estudo de processo em malha aberta, assunto

que é tratado de uma apostila deste autor, que deve ser consultada para maiores detalhes.

1 . 2 . N o r m a s U t i l i z a d a s e m I n s t r u m e n t a ç ã o

A ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society estabelece normas e procedimentos para especificação e instalação de instrumentos para controle de processos,

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bem como a simbologia a ser adotada nos fluxogramas e documentos (veja “Standards and

Recommended Pratices for Instrumentation and Control” editado pela ISA).

2 . 1 . 1 . S i n a i s d e T r a n s m i s s ã o

Existem alguns tipos e faixas padronizadas para transmissão de sinais em sistemas de

controle:

Tabe la 1 -2 : S ina is padrão de t ransmissão de in fo rmações .

Tipo de sinal Valores Representação

Sinal pneumático

psig 27 a 3psig 30 a 6psig 15 a 3

representado por

Sinal elétrico ou eletrônico

V 10 a 0V 5 a 1

mA 20 a 4

representado por

Sinal digital ou discreto ou binário

, binário elétrico

, binário pneumático

As próximas páginas têm um pequeno resumo da simbologia empregada na confecção de

fluxogramas para instrumentação e controle de processos.

F igura 1 -4 : S ímbo los gera is para ins t rumento ou função programada .

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F igura 1 -5 : Le t ras de iden t i f i cação de ins t rumento ou função programada .

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Tabe la 1 -3 : Exemplo de iden t i f i cação de ins t rumento .

T RC 210 02 A

Variável Função Área de atividades Nº seqüencial

da malha

Identificação funcional Identificação da malha Sufixo

Identificação do instrumento

Onde:

T Variável medida ou iniciadora: temperatura;

R Função passiva ou de informação: registrador;

C Função ativa ou de saída: controlador;

210 Área de atividades, onde o instrumento ou função programada atua;

02 Número seqüencial da malha;

A Sufixo.

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Í N D I C E

CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-2

2.1. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-3 2.2. NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA 2-5 2.3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA COM ENTRADAS E SAÍDAS MÚLTIPLAS 2-7

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 2-1: Raízes da Função de Transferência. 2-6

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 2-1: Diagrama de blocos 01. 2-3 Figura 2-2: Diagrama de blocos 02. 2-4 Figura 2-3: Diagrama de blocos 03. 2-4 Figura 2-4: Localização das raízes da equação característica. 2-6 Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b)

decrescente; (c) amplitude constante]. 2-7 Figura 2-6: Diagrama de blocos 04. 2-7 Figura 2-7: Diagrama de blocos 05. 2-8

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C A P Í T U L O 2 . F U N Ç Ã O D E T R A N S F E R Ê N C I A

“... proporciona uma relação direta entre as entradas (distúrbios, variáveis manipuladas) e as

saídas (variáveis controladas) do processo.”

George Stephanoupolos

Vamos trabalhar com modelos lineares ou linearizados e variáveis desvio:

Equação 2 -1

==

==

ss

ss

X - X(t) X(0) -X(t) (t)XY - Y(t) Y(0) -Y(t) (t)Y

Generalizando, as equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes são da

forma:

Equação 2 -2 ∑∑=

−

−

−=

=++++=m

jj

j

jn

n

nn

n

n

n

ii

i

i dtXdbYa

dtYda

dtYda

dtYda

dtYda

0011

1

10

.........

Equação 2 -3 XbdtXdb

dtXda

dtXdb

dtXdbonde m

m

mm

m

m

m

jj

j

j ........ 0111

10

++++= −

−

−=∑

Onde, an, an -1, ..., a1, a0 e bm, bm -1, ..., b1, b0 são constantes.

Em sistemas fisicamente exeqüíveis n ≥ m.

Assumindo que inicialmente o sistema está relaxado:

Equação 2 -4 1000 −=== nkdtYd

tk

k,...,,

e

Equação 2 -5 1000 −=== nldtXd

tl

l,...,,

Ou seja, o termo relativo às condições iniciais I é nulo: I = 0

Equação transformada:

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Equação 2 -6 ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑= = ==

=⇒=m

j

n

i

m

j

jj

ii

jj

n

i

ii sXsbsYsasXsbsYsa

0 0 00)(..)(..).(..).(..

Equação 2 -7 ( )0.

.

)()()(

0

0 =+==⇒

∑

∑

=

= Isa

sb

sXsYsG

ii

n

i

m

j

jj

G(s) é chamada de função de transferência e é obtida apenas se I = 0.

Equação 2 -8 desviodeformaementradadaLaplacededaTransformadesviodeformaemsaídadaLaplacededaTransformasG

,,)( =

Em diagrama de blocos:

G(s)X(s) Y(s)

F igura 2 -1 : D iagrama de b locos 01 .

Em geral a função de transferência pode ser representada por uma divisão entre dois

polinômios em s:

Equação 2 -9 P(s)Q(s)G(s)=

2 . 1 . P r o p r i e d a d e s d a F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a

P1. Descreve as características dinâmicas de um sistema. Se adotarmos uma função

perturbação X(t) na entrada, cuja transformada é X(s), a resposta do sistema é Y(s) dada por:

Equação 2 -10 )().()( sXsGsY =

P2. Se a função de transferência é a resposta do sistema a perturbação impulso unitário:

X(t) = δ(t), então X(s) = L{δ (t)} = 1, logo:

Equação 2 -11 )()().()( sGsXsGsY ==

P3. A equação diferencial do sistema pode ser obtida da função de transferência

substituindo s pelo operador diferencial D ≡ d/dt.

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Equação 2 -12 )(.1

1.2)(1

1.2)(:. 22 tXtYssssGex

+++

=⇒++

+=

DDD

Ou,

Equação 2 -13 XXYYY +=++ DDD .22

Equação 2 -14 )()(.)()()(""'" tXtXtYtYtY +=++⇒ 2

P4. O princípio da superposição é válido (operador linear) para:

Equação 2 -15 )()()( 21 sXsXsX +=

Equação 2 -16 )()()().()().()().()( 2121 sYsYsXsGsXsGsXsGsY +=+==

Em diagrama de blocos:

PROCESSO

X1(t)Y(t)

X2(t)


G(s)X1(s) Y1(s)

G(s)X2(s) Y2(s)

++

Y(s)


P5. O denominador de G(s) igualado a zero é denominado de equação característica. A estabilidade de um sistema linear invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as

raízes da equação característica: se todas as raízes têm partes reais negativas o sistema é

estável, caso alguma raiz tenha parte real positiva o sistema é instável. Exemplo:

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Equação 2 -17 ).21().21(5.2

1)( 2 jC

jB

−−+

+−=

+−+

=ssss

ssG

Equação característica:

Equação 2 -18 0522 =+− ss

Raízes da equação característica:

Equação 2 -19 ( )jr .211 ++=

Equação 2 -20 ( )jr .212 +−=

Portanto, o sistema é instável pois as raízes do denominador da função de transferência tem parte real positiva.

P6. As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os

zeros do sistema. Quando o número de zeros (nz) é menor que o número de pólos (np), diz-se

que existem (nz – np) zeros no infinito; a recíproca é válida. Para a Equação 2-17:

Equação 2 -21 2.j 1 P e 2.j 1 P :pólos 21 =+=

Equação 2 -22 ∞== z e 1- z :zeros z1

P7. Em sistemas físicos exeqüíveis: nz ≤ np.

2 . 2 . N a t u r e z a Q u a l i t a t i v a d a s R e s p o s t a s d e u m S i s t e m a

Freqüentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema,

uma forma simples e adequada para os propósitos de controle de processos é encontrar as

raízes do denominador da função de transferência (pólos do sistema) e verificar sua

localização no plano complexo. Seja G(s) uma função de transferência que pode ser escrita por

uma razão de dois polinômios Q(s) e P(s):

Equação 2 -23

( )in

ips

sQsPsQsGsXsGsY

n −==⇒=

=0

)()()()()().()(

Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuições da função transferência para

as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposição das

raízes da equação característica no plano complexo.

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Tabe la 2 -1 : Ra ízes da Função de T ransferênc ia .

Raízes Características Termos em ƒ (t) para t ≥ 0

p1 p2, p2* p3, p3* p4, p4*

p5

p6

Real, < 0 Complexa, Re < 0 Complexa, Re = 0 Complexa, Re > 0

Real, > 0 Real, = 0

C1. e-p1.t e-az.t [C1.cos(b2.t) + C2.sen(b2.t)]

C1.cos(b3.t) + C2.sen(b3.t) Ea4.t [C1.cos(b4.t) + C2.sen(b4.t)]

C1 ep5.t

C1

Observações:

1. Onde a1, a2, ..., b1, b2, ..., p1, p2, ..., são constantes positivas.

2. Se algumas dessas raízes são repetidas o termo referente a essa raiz é multiplicado por

uma série de potências de t:

K1 + K2.t + K3.t2 + ... + Kr.tr-1, onde r é o número de repetições.

3. C1 + C2 + K1 + K2, ... + KR são obtidas a partir das condições iniciais.

Na Figura 2-4 vemos a disposição dos pólos no plano complexo. Observe que as raízes

reais geram respostas não oscilatórias amortecidas (p1), não oscilatórias não amortecidas (p6)

e não oscilatórias com amplitude crescente (p5), portanto uma resposta instável; enquanto que

as raízes complexas originam respostas oscilatórias amortecidas (p2, p2*), não amortecidas (p3,

p3*) e com amplitudes crescentes (p4, p4*), isto é, a saída do sistema é instável. Em outras

palavras as raízes localizadas no semi-eixo direito geram respostas instáveis.

Eixoimaginário

Eixoreal

p4p3

p2

p1

p*2

p6 p5

p*3p*4

F igura 2 -4 : Loca l i zação das ra í zes da equação carac ter ís t ica .

À esquerda do eixo Im: f(t) decresce exponencialmente com t

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À direita do eixo Im: f(t) cresce exponencialmente com t

Sejam raízes múltiplas:

Na origem: f(t) = tn, cte. para n = 0, crescente para n > 0.

Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante].

2 . 3 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a c o m E n t r a d a s e S a í d a s M ú l t i p l a s

Considere a Figura 2-6:

PROCESSO

X1(t)Y1(t)

X2(t)Y2(t)


Equação 2 -24

( )( )

( )( )

tYt

tt

2

1

2

1 Y SAÍDAS XX

ENTRADAS

MODELO MATEMÁTICO (variáveis desvio ou sistema relaxado):

Equação 2 -25 2121112121111 XbXbYaYa

dtdY ... +++=

Equação 2 -26 2221212221122 XbXbYaYa

dtdY ... +++=

Condições iniciais:

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Equação 2 -27 0 (0)Y (0)Y 21 ==

Aplicando a Transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s):

Equação 2 -28 (s)XP(s)

]ba)ba[(s(s)X

P(s)]ba)ba[(s

(s)Y 222121222

121121122

1+−

++−

=

Equação 2 -29 (s)XP(s)

]ba)ba[(s(s)X

P(s)]ba)ba[(s

(s)Y 222212211

111212111

2+−

++−

=

Onde P(s) é a equação característica dada por:

Equação 2 -30 )().(P(s) 2211211222112 aaaasaas −−+−=

Equação 2 -31

+=+=

⇒)().()().()(

)().()().()(

2221212

2121111

sXsGsXsGsYsXsGsXsGsY

Ou em notação matricial:

Equação 2 -32

=

)()(

.)()()()(

)()(

2

1

2221

1211

2

1

sXsX

sGsGsGsG

sYsY

O sistema de Equação 2-32 é denominado Matriz das Funções de Transferência.

Em diagramas de blocos:

X1(s)

X2(s)

G11(s)

G12(s)

G21(s)

G22(s)

++

++

Y2(s)

Y1(s)


Os sistemas podem ser:

SISO – Single Input Single Output

SIMO – Single Input Multiple Output

MISO - Multiple Input Single Output

9 de 9


MIMO - Multiple Input Multiple Output

Obs.: Os processos químicos são, na sua maioria, MIMO-NL.

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Í N D I C E

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS 3-3

3.1. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 3-6 3.2. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS 3-22 3.3. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 3-25 3.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANÇO 3-45 3.5. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO 3-48 3.6. EXERCÍCIOS 3-55

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primários de medição. 3-6

Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-11

Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-15

Tabela 3-4: Classificação dos Sistemas de 2ª ordem. 3-27 Tabela 3-5: Tanques em série com e sem interação. 3-40

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 3-1: Desenho esquemático de um termopoço / termopar. 3-3 Figura 3-2: Diagrama de blocos 01. 3-6 Figura 3-3: Diagrama de blocos 02. 3-8 Figura 3-4: Diagrama de blocos 03. 3-8 Figura 3-5: Função degrau de amplitude A. 3-10 Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. 3-12 Figura 3-7: Comportamento dinâmico de termopares sem (τTs) e com poço (τTc). 3-13 Figura 3-8: Função impulso de amplitude A. 3-14 Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-15 Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-16 Figura 3-11: Função pulso de amplitude A. 3-17 Figura 3-12: Resposta de sistema de 1ª ordem a perturbação pulso de amplitude A. 3-19 Figura 3-13: Função seno de amplitude A, freqüência ω e período T. 3-20 Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação seno de amplitude A e freqüência w. 3-22 Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo. 3-23

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Figura 3-16: Tanque com vazão de descarga constante. 3-23 Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbação degrau de amplitude A. 3-25 Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2ª ordem. 3-26 Figura 3-19: Resposta do sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-28 Figura 3-20: Influência do fator de amortecimento ζ e do período natural de oscilação τ de um sistema de 2ª

ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-29 Figura 3-21: Influência do fator de amortecimento ζ na resposta do sistema de 2ª ordem subamortecido,

submetido a perturbação de amplitude A. 3-30 Figura 3-22: Características do sistema de 2ª ordem subamortecido submetido a perturbação degrau de

amplitude A. 3-32 Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-34 Figura 3-24: Dois tanques não-interativos em série. 3-35 Figura 3-25: Dois tanques interativos em série. 3-38 Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. 3-40 Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbação na composição e temperatura da alimentação. 3-41 Figura 3-28: Resposta do sistema (Equação 3-184). 3-47 Figura 3-29: Diagrama pólo-zero para o sistema (Equação 3-184) – X: localização do pólo, □ : localização do

zero. 3-47 Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero. 3-48 Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulação em escoamento pistão. 3-49 Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem de um tempo morto puro. (b)

Resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem com tempo morto (τm = 0.25τP) utilizando aproximações

de Padé de 1ª e 2ª ordem para sme τ− . 3-51

Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo. 3-52 Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbação degrau na composição da alimentação: (a) resposta

completa; (b) detalhe nos instantes iniciais. 3-55 Figura 3-35: Tanque para alivio de pressão. 3-55 Figura 3-36: Tanque não interativos em série. 3-57 Figura 3-37: Tanque de aquecimento. 3-60 Figura 3-38: Gráfico exercício (7). 3-60 Figura 3-39: Gráfico para exercício (9). 3-62 Figura 3-40: Gráfico do exercício (10). 3-63 Figura 3-41: Gráfico do exercício (11). 3-63 Figura 3-42: Gráfico do exercício (12). 3-64 Figura 3-43: Esquema do exercício (13). 3-64

3 de 65


C A P Í T U L O 3 . A N Á L I S E D A D I N Â M I C A D E P R O C E S S O S

No capítulo anterior, verificamos que a modelagem matemática de processos conduz a

sistemas de equações diferenciais. Estas equações podem ser resolvidas pelo método da

Transformada de Laplace que conduz às suas respectivas funções de transferência. Neste

capítulo, estudaremos com mais detalhes alguns tipos de funções de transferência (1ª ordem e

2ª ordem) e a resposta desses sistemas a diversos tipos de perturbações (degrau, rampa,

impulso, pulso, seno).

Prosseguindo com a metodologia adotada, sempre partiremos de um sistema físico de

interesse no controle de processos químicos.

Elementos de medição, linhas de transmissão e elementos finais de controle introduzem

atrasos (lag) dinâmicos no sistema de controle. Por exemplo, a Figura 3-1 mostra um termopar

(thermocouple) inserido em poço de termopar (termopoço, termowell) de massa m e calor

específico C.

Termopoço

Termopar

Fluido atemperatura T(t)

F igura 3 -1 : Desenho esquemát ico de um termopoço / t e rmopar .

O atraso dinâmico introduzido pela combinação termopar/termopoço pode ser estimado se

assumimos algumas hipóteses simplificadoras:

a. O termopar e o termopoço estão sempre na mesma temperatura Tm(t), que pode ser

diferente da temperatura do fluido T(t) que envolve o poço;

b. Não existe perda de calor pela extremidade do poço exposta ao meio ambiente;

c. A resistência à transferência de calor é determinada pelo inverso do coeficiente global

de troca térmica R = 1/(UG.A);

d. Toda capacidade térmica se concentra na massa de metal que compõe o poço.

4 de 65


Balanço de Energia no Poço1

Equação 3 -1 { } { } { }saientraacumula −=

Equação 3 -2 { } ( )[ ]tT

dtdCmacumula m..=

Equação 3 -3 { } { } { } { } { }radiaçãoconduçãoconvecçãosaientra ++=−

Equação 3 -4 { } { } ( ) ( )[ ]tTtTAUsaientra mG −=− .

Onde,

Equação 3 -5 [ ] ( )2..º/111 mSCJ

hU iG=+= ∑∑

iR

Substituindo a Equação 3-2 e a Equação 3-4 na Equação 3-1, obtemos

Equação 3 -6 ( )[ ] ( ) ( )[ ]tTtTAUtT

dtdCm mGm −= ...

ou

Equação 3 -7 ( )[ ] ( ) ( )tTtTtT

dtd

mmT =+τ

Onde τT é a constante de tempo do termopoço no estado estacionário.

Equação 3 -8 [ ] ( )[ ] 00

..

=→== mG

T Tdtds

AUCmτ

Equação 3 -9 ssm,ssTT =⇒

Subtraindo a Equação 3-7 da Equação 3-9:

Equação 3 -10 ( )[ ] ( ) ( ) ssm,ssmm,ssmT TtTTtTTtTdt

d−=−+−τ .

Definindo as variáveis desvio: 1 Devido às hipóteses adotadas este modelo denomina-se Modelo de Parâmetros

Concentrados, um modelo mais preciso conduziria a um Sistema de Equações Diferenciais

Parciais (SEDP).

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Equação 3 -11 ( ) ( ) m,ssmm TtTtT −=

e

Equação 3 -12 ( ) ( ) ssTtTtT −= Então:

Equação 3 -13 ( )[ ] ( ) ( )tTtTtT

dtd

mmT =+τ ..

Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-13:

Equação 3 -14 ( ) ( ) ( )sTsTTsTs mmmT =+− 0..τ

Mas,

Equação 3 -15 ( ) ( ) 000 =−=−= ssmssmssmmm TTTTT ,,,

Então:

Equação 3 -16

( )( ) 1.

1+

=ssT

sT

T

m

τ

Portanto, para que a temperatura indicada/transmitida pelo termopar esteja o mais próximo

possível da temperatura do fluido, ou seja, Tm(t) = T(t), a constante de tempo do conjunto

termopar/termopoço deve ser minimizada, para isto acontecer a capacitância térmica dos

sistema ( )Cm . deve ser mínima, enquanto a facilidade à transferência de calor (UG*A) deve ser máxima (resistência mínima).

A Equação 3-16 define a função transferência de primeira ordem de ganho unitário e

constante de tempo τT, entre a entrada do sistema – temperatura do fluido, perturbação T(t) –

e a saída do sistema – temperatura medida Tm(t).

Podemos representar a função de transferência (da Equação 3-16) através de um diagrama

de bloco:

6 de 65


1/ τTs + 1T(s) Tm(s)


Na Tabela 3-1 vemos valores típicos de constantes de tempo de alguns elementos primários

de medição.

Tabe la 3 -1 : Constan tes de tempo de e lementos pr imár ios de med ição .

Tipo Ordem de τm

Termômetro de vidro Minutos

Termômetro bimetálico < 1 minuto

Termômetro a expansão Minutos

Termopar em bainha Segundos

Termopar com poço Minutos

Termômetro a resistência Segundos a minutos

Transmissão pressão absoluta 0.2 - 1.7 segundos

Transmissão pressão diferencial 0.2 - 1.7 segundos

Turbina 0.03 segundos

Vortex 2.5 segundos

Em geral, as constantes de tempo dos elementos de medição e transmissão devem ser

menores que um décimo da constante de tempo do processo.

3 . 1 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e P r i m e i r a O r d e m

Genericamente, um sistema de 1ª ordem2 é definido pela seguinte situação diferencial:

Equação 3 -17 ( )[ ] ( ) ( )txbtyatydtda ...1 =+ ο

Se ao ≠ 0, então podemos dividir a Equação 3-17 por ao e obtemos:

2 A literatura também denomina o sistema de 1ª ordem de atraso de primeira ordem (first

order lag) ou atraso linear (linear lag).

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Equação 3 -18 ( )[ ] ( ) ( )txKtytydtd

PP Χ=+ ..τ

onde

Equação 3 -19 οτ

aa

P1=

Equação 3 -20 o

P abK =

Observe que aplicando a Equação 3-18 no estado estacionário:

Equação 3 -21 ss.Χ= Pss KY

E substituindo as variáveis desvio:

Equação 3 -22

( ) ( )( ) ( )

−=

−=

ss

ss

XtXtX

YtYtY

Obtemos:

Equação 3 -23 ( )[ ] ( ) ( )tKtYtYdtd

PP Χ=+ ..τ

O novo estado estacionário alcançado após o sistema sofrer a perturbação X(t) será:

Equação 3 -24 ∞Χ=∞ .pKY

logo

Equação 3 -25

( ) ( )( ) ( ) ss

ss

-00

Χ∞Χ−∞

=Χ−∞Χ

−∞=

∞Χ∞

=ΚYYYYY

p

ou

Equação 3 -26 entradaiosestacionárestadossaídaiosestacionárestados

p ∆∆

=Κ

Portanto, o ganho do processo determina o estado estacionário que o sistema irá atingir

após sofrer uma perturbação.

Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-23.

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Equação 3 -27 ( ) ( ) ( )ssYsYs pp ΧΚ=− ...τ

mas

Equação 3 -28 ( ) ( ) 000 =−=−= ssssss YYYYY

Então a função de transferência de um sistema de 1ª ordem é dada por:

Equação 3 -29

( ) ( )( ) 1. +

Κ=

Χ=

sssysG

p

p

τ

E a resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é

Equação 3 -30

( ) ( ) ( ) ( )ss

ssGsYp

p Χ+

Κ=Χ= .

1..

τ


G(s)( )sX ( )sY


ou

1. +Κ

spp

τ

( )sX ( )sY


√ Resistência e Capacitância Os sistemas de 1ª ordem são caracterizados pelo ganho KP, que estabelece o seu estado

estacionário, e pela sua constante de tempo τP, que determina o seu comportamento

transitório.

A constante de tempo pode ser obtida se identificamos a capacitância C e a resistência R do processo de 1ª ordem. Por definição estas propriedades são:

9 de 65


Equação 3 -31 processodomotrizforçadovariaçãoprocessodocapacidadedavariaçãoC =

Equação 3 -32 resultantefluxodovariaçãoprocessodomotrizforçadavariaçãoR =

Por definição, a constante de tempo de um processo de 1ª ordem é o produto da

capacitância do processo vezes sua resistência:

Equação 3 -33 R.Cp =τ

Nos exemplos estudados:

Nível de um tanque

( ) ( )

[ ]

[ ][ ] sRARC

mAdhhAd

dhdvC

msRdqdh

qRhRhqarlaescoamentopara

qghhqmasdqdhR

p ===

====

==

=⇒=

=⇒==

..

.

/

.min

f,

2

2

τ

Tanque de aquecimento

[ ]

( ) [ ]

[ ] sqV

CqCV

RC

sJC

CqdHdTRTTCq

CJCVCmdTCmH

dTd

dTdHC

p

pT

pp

pp

T

T p

====

===⇒−=∆Η

===

+== ∫

....

.

.º

..1

'º...'

º....º

º

ρρ

τ

ρρ

ρ

[ ]

[ ]

[ ] sAUCmRC

sJC

AUdQdRdAUQ

CJCm

ddCm

G

GG

===

==Τ

=⇒Τ=∆

==Τ

Τ=

Τ=

Τ ...

.º

.1

'..'

º...

ddQC

τ

10 de 65


3 . 1 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u

A função degrau pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equação 3 -34 ( ) ( )οο t-t.uA+=− ssXttX

Onde,

A Amplitude de perturbação

u(t – to) Função degrau unitário

Equação 3 -35 ( ) ( )tXtX ss οt.uA+= Onde, uto(t) ≡ u(t – to)

Equação 3 -36

≥=+=

∞ o,,

o,

t , t ,

)(tparaXAXtparaX

tXssoss

oss p

Graficamente a função degrau corresponde a Figura 3-5:

F igura 3 -5 : Função degrau de ampl i tude A.

Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-34 e em seguida a transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

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Equação 3 -37 ( ) ( ).stο.

s−= esX A

Substituindo a Equação 3-37 na Equação 3-30:

Equação 3 -38

( ) ( ) ( )s.tPPs.t οο .1s.s

.1.

.s

−−

+

Κ=

+Κ

= ees

sYP

P

τ

ττ

.AA

Expandindo em frações parciais:

Equação 3 -39

( ) ( )s.t

P

PP

P

P ο.1

. −

+

−

Κ= e

ss

sY

τ

τττ.A

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

Equação 3 -40

( ) ( )oP t-t.exp1 u

−−−Κ=

P

tttY

το.A

Ou

Equação 3 -41

( ) ( )oP t-t.exp1 u

−−−Κ+=

Pss

ttYtY

το.A

Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP construímos a Tabela 3-2:

Tabe la 3 -2 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema PKAtY .)( .

t – to 0.0 10Pτ

5Pτ

2Pτ

τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞

( )pΚ.AtY

0.000 0.095 0.181 0.394 0.632 0.865 0.950 0.982 1.000

A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-6, concluímos que todo

sistema de 1ª ordem é caracterizado por:

(a) O sistema alcança 63.2% do valor do estado estacionário após decorrer o espaço de

tempo de uma constante de tempo τP, isto é:

12 de 65


Equação 3 -42

( )632.0

p

=Κ.ApY τ

(b) No instante inicial a inclinação da curva é unitária, isto é:

Equação 3 -43

( ) 0.10p

=

Κ=t

tYdtd

.A

(c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no

estado estacionário acontece no ponto (1.0, τP).

(d) Para fins práticos, admite-se que o estado estacionário foi atingido quando um espaço

de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes a constante de tempo τP.

F igura 3 -6 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação degrau .

Observação: Curva vermelha (A) entrada X(t) e curva azul (B) resposta Y(t).

Comparando a resposta de um termopar sem e com poço, verificamos que o poço introduz

um atraso dinâmico que, a depender do sistema em estudo, não pode ser negligenciado. Veja

Figura 3-7.

13 de 65


F igura 3 -7 : Compor tamento d inâmico de te rmopares sem (τ T s ) e com poço (τ T c ) .

Observação: Curva A perturbação; Curva B termopar sem poço Tm’s(t); Curva C termopar com poço

Tm’c(t).

3 . 1 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o

A função impulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equação 3 -44 ( ) ( ) ( )οδδ t-t.t. AA +=+= sstoss XXtX

Onde A é a amplitude da perturbação e δ(t) é denominada Função Impulso Unitário ou

Função Delta de Dirac.

Equação 3 -45

>

≥=+

<

= ∞

o,

o,,

o,

t , t , t ,

)(tparaXtparaXAXtparaX

tX

oss

ssoss

oss

Graficamente a função impulso correspondente ao Figura 3-8:

14 de 65


F igura 3 -8 : Função impu lso de ampl i tude A.

Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-44 e em seguida a Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

Equação 3 -46 ( )( )stoeAsX −= .


Equação 3 -47 ( ) ( ) ( ).st

P

PP.st οο .1s.s

.1.

−−

+

Κ=

+Κ

= ees

sYP

P

τ

ττ

.A.A

Expandindo em frações parciais:

Equação 3 -48

( ) ( )s.t

p

pp

p

p ο.1

. −

+

−

Κ= e

ss

sY

τ

τττ.A


Equação 3 -49

( ) ( )opp

p t-tttexptY u..

τ−

−

τ

Κ= ο

.A

e

15 de 65


Equação 3 -50

( ) ( )opp

pss t-t

ttexpYtY u..

τ−

−

τ

Κ+= ο

.A

Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP, construímos a Tabela 3-3:

Tabe la 3 -3 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema PKAtY .)( .

t – to 0.0 10Pτ

5Pτ

2Pτ

τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞

( )pΚ.AtY

0.0 0.905 0.819 0.606 0.368 0.135 0.050 0.018 0.0

A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-9, concluímos que todo

sistema de 1ª ordem, quando submetido a uma perturbação tipo impulso tem uma resposta

inicial muito rápida, mas decorrido um espaço de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes, sua

constante de tempo retorna ao estado estacionário anterior à perturbação.

Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

Porém, um sistema físico real responderá a uma perturbação impulso conforme mostra a

Figura 3-10, pois é impossível que ele saia do seu estado de repouso Xss e alcance

instantaneamente o valor A.

16 de 65


Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

3 . 1 . 3 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o P u l s o

A função pulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equação 3 -51

>

≤≤=+

<

= ∞

1,

1,,

o,

t , t t ,

t , )(

tparaXtparaXAXtparaX

tX

oss

ossoss

oss

Equação 3 -52 ( ) ( ) ( )[ ]ttXtX

1o ttss uu −+= .A

Equação 3 -53 ( ) ( ) ( )[ ]ttXtX

1o ttss uu −+= .A

Graficamente a função impulso correspondente a Figura 3-11:

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F igura 3 -11 : Função pu lso de ampl i tude A.


Equação 3 -54 ( ) ( ) ( ){ }1t-tut-tu −= οL.AsX

ou

Equação 3 -55 ( ) ( ){ } ( ){ }[ ]1t-tut-tu −= οL.AsX

Equação 3 -56 ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( )[ ]stst eesX .. .. οο −− −= tutu LL.A

Equação 3 -57

( )( ) ( )

=

−−

se

sesX

stst .. 1-

ο

.A


Equação 3 -58

( )( ) ( )

+

Κ=

−−

se

se

ssX

stst ..

p

p1

-1.

ο

τ.A

Expedindo em frações parciais:

18 de 65


Equação 3 -59

( )( )

( )

+

−−

+

−

Κ=

−

−

st

p

ppst

p

pp

e

ss

e

sssY

.

.

p

p

1

.1

.1

τ

ττ

τ

ττ

τ

ο.A

Ou

Equação 3 -60

( )( )

( )

+

−−

+

−Κ=

−

−

st

p

st

p

e

ss

e

sssY

.

.

p

p

1

1

11.1

11

τττ

ο.A


Equação 3 -61

( ) ( ) ( )

−−−−

−−−

Κ= oot-tut-tu

pp

o tttttY ττ

1

p

exp1.exp1.A

ou

Equação 3 -62

( ) ( ) ( )

−−−−

−−−

Κ+= oot-tut-tu

pp

o

ss

ttttYtY ττ

1

p

exp1.exp1.A

Na Figura 3-12, Pt τ versus PKAtY .)( , observamos o comportamento dinâmico de um

sistema de 1ª ordem quando submetido a uma perturbação tipo pulso de amplitude A:

19 de 65


F igura 3 -12 : Resposta de s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação pu lso de ampl i tude A.

3 . 1 . 4 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o S e n o i d a l

A função seno pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:

Equação 3 -63 ( ) ( )( ) ( )οοω+= t-tt-t.XtX ss u.sen.A

Onde, ω = 2πƒ.

Graficamente a função seno correspondente a Figura 3-13:

20 de 65


F igura 3 -13 : Função seno de ampl i tude A, f reqüênc ia ω e per íodo T .


Equação 3 -64 ( ) 22s

.ωω

+=

AsX

Substituindo a Equação 3-64 na Equação 3-30, expandindo em frações parciais e aplicando

a Transformada Inversa de Laplace L-1:

Equação 3 -65

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )ooo22 p t-tt-tt-t.1.K

usencos ωωτωτωωτ

τ +−+

= −− ptt

pp

poetY.A

Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:

Equação 3 -66 ( ) ( ) ( )θ+ω=ω+ω t.rt.qt.p sen.cos.sen.

onde

21 de 65


Equação 3 -67 ( )qp22 arcig=+= θeqpr

Equação 3 -68

( )( )( )

( )( ) ( )oo22p

22 t-tt-t1..

1...

usen

+

+

Κ+

+=

−−

θωωτωτ

τω τ

pp

ttpp

poeKtY

AA

Equação 3 -69 ( )t.-ω=θ arcig

Ou

Equação 3 -70 ( ) ( ) ( )tYtYtY estdin +=

Onde,

Equação 3 -71

( )( )( )

( )op

ttp

p t-te.

tYpo

u..

...din 122 +ωτ

τωΚ=

τ−−A

E,

Equação 3 -72

( ) ( )( ) ( )oop

pest t-tt-t.

KtY u.sen.

.

.θ+ω

+ωτ=

122A.

Observe que a resposta à perturbação seno é composta de duas partes: uma diminui a

medida que o tempo aumenta Ydin(t) e a outra é uma função periódica Yest(t). Portanto, no

estado estacionário a resposta de um sistema de 1ª ordem a uma perturbação seno é uma

função periódica, veja Figura 3-14, dada por:

Perturbação:

Equação 3 -73 ( ) ( ) ( )tt..XtX ss u.sen ω+= A

Resposta ( t → ∞ )

Equação 3 -74

( ) ( )[ ]θ+ω+ωτ

+= t.K

YtYp

pss sen..

.

122A.

Comparando Equação 3-63 com Equação 3-74, veja Figura 3-14, concluímos que:

(a) A amplitude da resposta do sistema é menor que a amplitude da perturbação, ou seja, o

sistema amortece a entrada;

(b) A resposta do sistema é uma onda senoidal com a mesma freqüência de entrada;

22 de 65


(c) A resposta está defasada de um ângulo de fase θ em relação ao estímulo, neste caso

está atrasada pois θ é menor que zero.

F igura 3 -14 : Respost a de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação seno de ampl i tude A e f reqüênc ia w .

3 . 2 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s C a p a c i t i v o s P u r o s

Se a constante ao da Equação 3-17 for zero, então:

Equação 3 -75 ( )[ ] ( )txbtY

dtda .. =1

Dividindo por a1:

Equação 3 -76 ( )[ ] ( ) ( )tXKtX

abtY

dtd .. ′==

1

Onde

Processos definidos pela Equação 3-75 são denominados capacitivos ou integradores.

Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-76:

23 de 65


Equação 3 -77 ( ) ( )sXsYs .. Κ′=

Então a função de transferência de um sistema capacitivo é dada por:

Equação 3 -78 ( ) ( )

( ) ssXsYsG Κ

′==


s'Κ( )sX ( )sY

F igura 3 -15 : D iagrama de b locos de um s is tema capac i t i vo .

√ Exemplo de um processador integrador: Seja um tanque aberto no qual sua descarga é dada por uma bomba dosadora que mantém

a vazão constante, conforme a Figura 3-16:

q1(t)

h(t)q2 = cte.

Figura 3 -16 : Tanque com vaz ão de descarga constan te .

Realizando o balanço de massa no tanque, obtemos:

Equação 3 -79 ( )[ ] ( ) 21 qtqthdt

dA −=.

No estado estacionário:

Equação 3 -80 ( ) 2,2,121 00 qqqqq ssss ==⇒=−

Utilizando as variáveis desvio:

Equação 3 -81 ( )[ ] ( )tqth

dtdA 1=.

Aplicando a Transformada de Laplace e rearranjando:

24 de 65


Equação 3 -82

( ) ( )( ) ssAsqshsG Κ

′===

.1

1

3 . 2 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a C a p a c i t i v o a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u

Função de Transferência:

Equação 3 -83 ( ) ( )

( ) ssXsYsG Κ

′==

Função Perturbação:

Equação 3 -84 ( ) stesX ..

sο−=

A

Resposta:

Equação 3 -85 ( ) stesY ..

s.2

Ο−Κ′=A

Equação 3 -86 ( ) ( ) ( )ΟΟΚ′+= t-tt-t..YtY ss u.A

Analisando a Equação 3-86 observamos que o sistema tende para +∞ se a amplitude da

perturbação for positiva (A > 0), ou tende para -∞ se a amplitude da perturbação for negativa (A

< 0). Na Figura 3-17 está plotado o comportamento dinâmico do processo capacitivo a

perturbação degrau.

25 de 65


F igura 3 -17 : Processo capac i t i vo submet ido a per tu rbação degrau de ampl i tude A.

Podemos constatar que:

(a) Processos integradores são instáveis e de difícil controle e são não auto-regulados (enquanto que os sistemas de 1ª ordem são auto-regulados);

(b) No exemplo, pequenas diferenças entre vazões da alimentação q1(t) e da descarga

q2(t), levarão o tanque a transbordar ou secar.

3 . 3 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m

Genericamente, um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte equação diferencial:

Equação 3 -87 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXbtYatY

dtdatY

dtdaZ .... 12

2

=++ Ο

Se ao ≠ 0 então podemos dividir a Equação 3-87 por ao e obtemos:

Equação 3 -88 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXtYtY

dtdty

dtd

p ..... Κ=+ζτ+τ 222

2

Onde,

oaa 2=τ

Período natural de oscilação

26 de 65


ζ Fator de amortecimento (Damping Factor)

Ο

=Κab

P

Ganho do processo

e Ο=ζτ

aa12 .

Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-88,

obtemos a função de transferência do sistema de 2ª ordem:

Equação 3 -89 ( ) ( )

( ) 1...2. 22 ++Κ

==sssX

sYsG Pζττ

Sistemas de 2ª ordem podem surgir devido a:

(1) Processos multiplicativos (sistemas de 1ª ordem em série), por exemplo: 2 tanques em

série;

(2) Sistemas intrinsecamente de 2ª ordem (raros em processos químicos), por exemplo:

válvula de controle;

(3) Sistema de controle feedback (malha fechada), por exemplo: sistema de 1ª ordem com

controlador P + I.

A resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é:

Equação 3 -90 ( ) ( ) ( ) ( )sX

sssXsGsY P .

1...2.. 22 ++

Κ==

ζττ


1..222 ++Κ

ssP

ζττ

( )sX ( )sY

F igura 3 -18 : D iagrama de b loco para s is t ema de 2 ª o rdem.

Logo:

Equação 3 -91 ( ) ( ) ( ) ( )sXpsps

KsY P .. 21

2

−−=

τ

Onde p1 e p2 são as raízes da função de transferência, pólos do sistema:

27 de 65


Equação 3 -92 2

4.4.222

2

1ττ

ζτζ

−+−=p

e 2

4.4.222

2

2ττ

ζτζ

−−−=p

Os parâmetros KP e τ tem o mesmos significados dos sistemas de 1ª ordem: KP é o ganho

do processo, enquanto que τ determina a velocidade da resposta dos sistema.

A Tabela 3-4 mostra a classificação dos sistemas de 2ª ordem a depender dos valores do

fator de amortecimento ζ.

Tabe la 3 -4 : C lass i f i cação dos S is temas de 2 ª o rdem.

Fator de amortecimento Pólos p1 e p2

Classificação

ζ > 1 Reais e distintos parte real negativa

Superamortecido

ζ = 1 Reais iguais parte real negativa

Criticamente amortecido

0 < ζ > 1 Complexos conjugados parte real negativa

Subamortecido

ζ = 0 Complexas iguais parte real nula

Oscilatório com amplitude cte.

ζ < 0 Complexos conjugados parte real positiva

instável

3 . 3 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u

Função degrau de amplitude A

Equação 3 -93 ( ) ( )Ο+= t-t.tX uAssX

Transformada de Laplace da função perturbação utilizando variáveis desvio:

Equação 3 -94 ( ) stesX ..

sΟ−=

A


28 de 65


Equação 3 -95 ( ) ( ) ( )

stP epsps

KsY .21

2

.s

..

Ο−

−−=

Aτ

Expandindo em frações parciais a Equação 3-95 e aplicando a Transformada Inversa de

Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.

√ Perturbação Degrau de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1

Equação 3 -96

( ) ( )Ο−

−

−+

−−Κ= t-t

1.

1

11 *

2

2

*2.

P

*

usenhhcos ttetYt

τζ

ζ

ζτ

ζτ

ζ

A

onde,

Equação 3 -97 t * = t - t o

Na Figura 3-19, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem superamortecido a uma perturbação degrau é semelhante a resposta do sistema de 1ª

ordem, mas note que existe um ponto de inflexão em ti e que a resposta inicialmente é lenta

(derivada pequena), depois aumenta de velocidade derivada máxima no ponto de inflexão, ou

segunda derivada igual a zero) e então o sistema reage como se fosse de 1ª ordem.

F igura 3 -19 : Resposta do s is tema de 2 ª o rdem superamor tec ido a per tu rbação degrau .

No Figura 3-20, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a medida que o fator de amortecimento ζ aumenta, o sistema torna-se mais lento, isto é, o parâmetro ζ determina a

suavidade e rapidez da resposta do sistema a perturbação; percebemos também que, a

medida que o período natural de oscilação τ diminui, a resposta fica mais rápida.

29 de 65


F igura 3 -20 : In f luênc ia do fa to r de amor tec imento ζ e do per íodo natura l de osc i lação τ de um s is tema de 2 ª o rdem superamor tec i do a per tu rbação degrau .

Observação: Curva A – perturbação; Curva B - τ = 1.0 e ζ = 1.0; Curva C - τ = 1.5 e ζ = 1.0; Curva D - τ

= 1.0 e ζ = 1.5.

√ Perturbação Degrau e Sistema Criticamente Amortecido ζ = 1

Equação 3 -98

( ) ( )Οτ−

τ+−Κ= t-tet.tY tp u...

**11A

Veja na Figura 3-20 a resposta do sistema de 2ª ordem criticamente amortecido a

perturbação degrau de amplitude A.

√ Perturbação Degrau e Sistema Superamortecido 0 < ζ < 1

Equação 3 -99

( ) ( )Ο−

−+

−Κ= t-t

- 1

1

- 11 *

2

2

*2

p

*

usencos ttetY tτζ

ζ

ζτζτA

Uma amostra mais conveniente de escrever a Equação 3-99 é:

30 de 65


Equação 3 -100

( ) ( ) ( )Ο−

+

−−Κ= t-t.t...

111.. *

.

2P

*

usen θωζ

τζ t

etY A

Onde,

Equação 3 -101 τζ−

=ω21

e

Equação 3 -102

ζζ

=θ2-1

arcig

Portanto, observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem subamortecido a

perturbação degrau é uma senoide de amplitude decrescente (devido ao termo exponencial

eζ.t/τ), de freqüência ω e ângulo de fase θ.

Na Figura 3-21, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta desse sistema perturbação degrau é uma curva oscilatória que gradativamente tende a atingir A.KP,

diminuindo a amplitude da oscilação.

Através da Figura 3-21 percebemos que a medida que o amortecimento diminui, isto é, ζ

diminui, a oscilação aumenta, porém a rapidez da resposta também (maior derivada da curva

no ponto de inflexão, e este acontece em um menor intervalo de tempo).

F igura 3 -21 : In f luência do fa to r de amor tec imento ζ na resposta do s is tema de 2 ª o rdem subamor tec ido , submet ido a per tu rbação de ampl i tude A.

Algumas características importantes devem ser observadas nos sistemas subamortecidos

submetidos a perturbação degrau:

31 de 65


C1. Tempo de ascensão (Rise Time) tr: Tempo necessário para atingir pela primeira vez o

novo estado estacionário.

C2. Tempo do Primeiro Pico (Time to First Peak) tp: Tempo requerido para atingir o primeiro

máximo da curva.

C3. Tempo de resposta (Setting Time) ts: Tempo decorrido até que a saída oscilatória do

sistema esteja dentro da faixa de +/- 5% do estado estacionário. Também se utiliza o valor ±1%

para determinar o ts.

C4. Sobre-elevação (Overshoot) OS: Razão entre o valor da função no pico máximo e o

valor do novo estado estacionário:

Equação 3 -103

Π=

Κ==

2P -1

.-exp.

0ζ

ζAa

baS

C5. Razão de Decaimento (Decay Ratio) DR: razão entre o valor do segundo pico e do

primeiro pico:

Equação 3 -104

ζ

ζΠ===

2-1-exp

acSDR ..20 2

C6. Período de oscilação (Period of oscilation) T1: Período de tempo transcorrido entre dois

máximos:

Equação 3 -105 21 1

2

ζ−

τΠ=

..T

Lembre que em uma senoide a freqüência em ciclos por unidade de tempo ft é dada por:

Equação 3 -106 Πω

=.2t

f

E que o período de oscilação é o inverso da freqüência:

Equação 3 -107 ωΠ

==Τ.21

tt f

Onde a freqüência angular ω é dada pela Equação 3-101.

C7. Período Natural de Oscilação (Natural Period of oscilation) τ: período do sistema

quando o amortecimento é nulo, isto é, ζ = 0:

32 de 65


Equação 3 -108 nn

nf... Π

=ω

=Π

Τ=τ

211

2

Onde ωn é a freqüência natural de oscilação do sistema não amortecido ζ = 0.

Veja na Figura 3-22 a indicação das características discutidas anteriormente.

F igura 3 -22 : Carac t e r ís t icas do s is tema de 2 ª o rdem subamor tec ido submet ido a per tu rbação degrau de ampl i tude A.

Quando um sistema refere uma perturbação o desejável é ter uma resposta sem oscilações

que atinja rapidamente o novo estado estacionário. Porém, estes objetivos são excludentes

entre si, pois para garantir uma resposta não oscilatória ζ ≥ 1 temos que sacrificar a rapidez da

resposta; por outro lado, se desejarmos uma resposta muito rápida, não podemos escolher um

fator de amortecimento muito pequeno, pois a mesma seria muito oscilatória com uma sobre-

elevação grande.

Os projetistas de sistemas de controle, freqüentemente, trabalham com um fator de

amortecimento na faixa de 0.4 a 0.8, isto é, 0.4 ≥ ζ ≤ 0.8, desta forma, consegue-se um

compromisso entre velocidade de resposta, sobre-elevação, tempo de resposta e oscilação

adequado para a maioria dos casos.

3 . 3 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o

A função impulso pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:

Equação 3 -109 ( ) ( )Ο−δ+= tt.XtX ss A

Ou em variável no domínio de Laplace:

Equação 3 -110 ( )ssX .t-e. Ο= A


33 de 65


Equação 3 -111 ( ) ( ) ( )

sP

pspssX .t-

21

2

e..

Ο

−−Κ

= .Aτ

Expandindo em frações parciais a Equação 3-111 e aplicando a Transformada Inversa de

Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.

√ Perturbação Impulso de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1

Equação 3 -112

( ) ( )**2.

2Pt

1.

111..

*

uenh

−

−Κ=

−tsetY

t

τζ

ζττ

ζ

A

√ Perturbação Impulso e Sistema Criticamente amortecido ζ = 1:

Equação 3 -113 ( ) ( )*2

*

P t....*

uττ

t

ettY−

Κ=A

√ Perturbação Impulso e Sistema Subamortecido 0 < ζ < 1:

Equação 3 -114

( ) ( )*t

p tte.tY u..sen....*

. *

τζ−

ζ−τΚ= τ

ζ− 2

2

1

1

11A

Na Figura 3-23 vemos a resposta do sistema de 2ª ordem a perturbação impulso. Observe

que o sistema retorna ao antigo estado estacionário depois de decorrido algum tempo

(processo auto-regulado). As características observadas para a perturbação degrau também

são aplicáveis para perturbação impulso (tp, ts, OS, DR).

34 de 65


F igura 3 -23 : Respos tas dos s is temas de 2 ª o rdem a per t u rbação impu lso de ampl i tude A.

3 . 3 . 3 . P r o c e s s o s M u l t i c a p a c i t i v o s c o m o S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m

Processos de ordem superior podem ser o resultado da associação em série de processos

de primeira ordem. Por exemplo, dois tanques (cada tanque é um sistema de 1ª ordem) em

série constituem um sistema de 2ª ordem, que podem ser não-interativos ou interativos.

Outro exemplo de sistemas multiplicativos são:

Tanque de aquecimento com agitação no qual a vazão e temperatura da corrente de alimentação variam: o balanço de massa constitui um sistema de 1ª ordem, mas o balanço de energia é de 2ª ordem em relação a vazão e de 1ª ordem em relação a temperatura de alimentação; Torre de destilação, pois cada prato acumula massa e energia, constituindo,

segundo um modelo de parâmetros concentrados, cada um deles um tanque agitado; Reatores de mistura perfeita (CSTR) com variação na composição e temperatura

de alimentação: as duas equações diferenciais (balanço molar e de energia), constituem um sistema de equações diferenciais interativas.

Estudaremos neste item os tanques em série e o reator CSTR.

√ Tanques não interativos em série

35 de 65


Sejam dois tanques conforme a Figura 3-24, a descarga do primeiro tanque alimenta o

segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao escoamento uma resistência

R1 e R2.

q1(t)

Tanque 1 h1(t)

Tanque 2 h2(t)q3(t)

R2

q2(t)

R1

F igura 3 -24 : Do is tanques não- in te ra t i vos em sér ie .

Realizando o balanço de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar,

obtemos:

1º tanque

Equação 3 -115 ( )[ ] ( ) ( )tqthth

dtd

PP 11111 .. Κ=+τ

2º tanque

Equação 3 -116 ( )[ ] ( ) ( )tqthth

dtd

PP 21222 .. Κ=+τ

Onde

Equação 3 -117 11111 ,. RRA PP =Κ=τ

Equação 3 -118 22222 ,. RRA PP =Κ=τ

e

36 de 65


Equação 3 -119 ( ) ( )

1

12 R

thtq =

Substituindo a Equação 3-119 na Equação 3-116 e utilizando variáveis desvio, temos:

Equação 3 -120 ( )[ ] ( ) ( )tqthth

dtd

PP 11111 .. Κ=+τ

Equação 3 -121 ( )[ ] ( ) ( )

1

11222 .. R

thththdtd

PP Κ=+τ

Aplicando a Transformada de Laplace e escrevendo as funções de transferências:

Equação 3 -122

( ) ( )( ) 1.1

1

1

11 +

Κ==

ssqshsG

P

P

τ

Equação 3 -123

( ) ( )( ) 1.2

2

2

22 +

Κ==

ssqshsG

P

P

τ

Mas,

Equação 3 -124 ( ) ( )

1

12 R

shsq =

Então,

Equação 3 -125 ( ) ( )

( ) 1.1. 212

2

12

1

2*2 +

=+

==sKK

sRK

shshsG

P

PP

P

P

ττ

Podemos escrever a função da transferência global do sistema Gg(s), isto é, com a saída do

processo (h2(t)) varia com a perturbação inicial (q1(t)):

Equação 3 -126

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )sqsh

shsh

sqshsGsGsGg

1

2

1

2

1

1*21 .. ===

Equação 3 -127 ( )

)1.(.)1.()1.(.

)1.( 212

2

12

1

1

++Κ

=+ΚΚ

+Κ

=ssss

sGPP

P

P

PP

P

Pg ττττ

Ou

Equação 3 -128

( ) ( )( ) 1...2. 221

2

++Κ

==sssq

shsG Pg ζττ

Onde,

37 de 65


KP = KP2 = R2 21. PP τττ = e

( )21

21

.2 PPPP

ττττ

ζ+

=

Portanto, da Equação 3-126 concluímos que dois tanques em série formam um sistema de

2ª ordem.

Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série não-interativa:

(a) Os sistemas são sempre criticamente amortecidos ζ = 1 (quando τP1 = τP2) ou

superamortecidos ζ ≥ 0 (quando τP1 ≠ τP2) pois:

Equação 3 -129

( ) ( ) 212121

21 ..21..2 PPPPPPPP ττττττττ

ζ ≥+⇒≥+

=

Elevando ambos os membros da Equação 3-129 ao quadrado:

Equação 3 -130 212

2212

1 ..4..2 PPPPPP ττττττ ≥++

Equação 3 -131 0..22

2212

1 ≥+− PPPP ττττ

Equação 3 -132 ( ) 02

21 ≥− PP ττ

Conforme queríamos demonstrar:

(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série.

(c) Devido ao fato do sistema ser não-interativo, podemos resolver primeiro a Equação

3-120, conhecer o comportamento do nível do 1º tanque (h1(t)) a perturbação (q1(t)) e então

utilizar este resultado para resolver a Equação 3-121, obtendo a variação de h2(t) com h1(t),

√ Tanques interativos em série Seja dois tanques conforme a Figura 3-25, a descarga do primeiro tanque alimenta o

segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impões ao escoamento uma resistência

R1 e R2, porém ao contrário do sistema não interativo, o nível de segundo tanque influência no

nível do primeiro.

38 de 65


q1(t)

Tanque 1 h1(t) Tanque 2 h2(t)q2(t)

R1

q3(t)

R2 F igura 3 -25 : Do is tanques in te ra t i vos em sér ie .

Realizando os balanços de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar,

obtemos:

1º tanque

Equação 3 -133 ( )[ ] ( ) ( )tqtqth

dtdA 2111 .. =

2º tanque

Equação 3 -134 ( )[ ] ( ) ( )tqtqth

dtdA 2322 .. =

Mas,

Equação 3 -135 ( ) ( ) ( )

1

212 R

ththtq −=

E,

Equação 3 -136 ( ) ( )

2

23 R

thtq =

Substituindo a Equação 3-135 e Equação 3-136 na Equação 3-133 e Equação 3-134 e

rearranjando:

Equação 3 -137 ( )[ ] ( ) ( ) ( )thtqRthth

dtdRA 2111111 +=+ ...

Equação 3 -138

( )[ ] ( ) ( )thRRth

RRth

dtdRA 1

1

22

1

2222 1 .... =

++

Observe que a Equação 3-137 e a Equação 3-138 dependem ao mesmo tempo de h1(t) e

h2(t) portanto, temos que resolvê-las simultaneamente, utilizando variáveis desvio e aplicando a

Transformada de Laplace, obtemos:

39 de 65


Equação 3 -139 ( ) ( ) ( )tqRshshshsRA 1121111 .... =−+

Equação 3 -140

( ) ( ) ( )shRR

shRR

shsRA 11

22

1

2222 ..1... =

++

Definindo τ1 = A1R1 e τ2 = A2R2 e resolvendo para ( )sh1 e ( )sh2 :

Equação 3 -141 ( ) ( ) ( )sqsRAs

RRsRsh 1

21212

21

21121

1......

++++++

=ττττ

τ

Equação 3 -142 ( ) ( ) ( )sqsRAs

Rsh 1

21212

21

22

1.... ++++=

ττττ

Observe que τ1 e τ2 não são constantes de tempo, embora possuam unidade de tempo.

Escrevendo as funções de transferência:

Equação 3 -143

( ) ( )( ) 1...2.

..22

2112

1

11 ++

++==

ssRRsR

sqshsG

ζτττ

Equação 3 -144

( ) ( )( ) 1...2. 22

2

1

22 ++

==ss

RsqshsG

ζττ

Onde,

Equação 3 -145 21 ττ=τ .

E,

Equação 3 -146

( )21

2121

2 ττ+τ+τ

=ζ..

.RA

Portanto, da Equação 3-143 e da Equação 3-144 concluímos que dois tanques em série

formam um sistema de 2ª ordem e que os denominadores das funções de transferências são

os mesmos. Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série

interativa:

(a) Os sistemas são sempre superamortecidos ζ > 1, pois:

Equação 3 -147

( ) ( ) 12

12 21

2121

21

21 >ττ

+τ+τ⇒≥

τττ+τ

...

..RAse

(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série

40 de 65


(c) “Sistemas capacitivos interativos são sempre superamortecidos, exceto quando ocorre

produção de substâncias ou absorção/liberação de energia”.

Da Tabela 3-5, concluímos que o amortecimento nos sistemas interativos é maior do que

nos não interativos, pois o produto A1*R2 denominado fator de interação é sempre maior que 1, quanto maior A1*R2 mais intensa é a interação.

Tabe la 3 -5 : Tanques em sér ie co m e sem in te ração .

Não-interativo Interativo

τ 21 . PP ττ 21 ττ .

ζ ( )

21

21

.2 PPPP

ττττ +

( )21

21212 ττ

+τ+τ..

RA

( )( )sqsh

1

1

( )1.1 +

ΚsPP

τ ( ) 1..

21212

21

211.2

+++++

++

sRAsRRsR

τττττ

( )( )sqsh

1

2

( ) 1... 21221

2

+++Κ

ss PPPPP

ττττ ( ) 1... 21212

21

2

+++++ sRAsRτττττ

Da Figura 3-26, concluímos que a associação de capacitâncias torna a resposta do sistema

mais lenta e que os sistemas interativos são mais amortecidos que os não interativos.

Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A.

Observação: Curva A – tanque; Curva B – 2 tanques não interativos; Curva C – 2 tanques interativos;

Curva D – 4 tanques não interativos.

√ Reator de Mistura Perfeita Uma configuração de reator bastante utilizada em processos químicos é o reator de mistura

perfeita (Continuos Stirred Tank Reacion) ou CSTR. O estudo desse sistema é interessante

41 de 65


pois este reator submetido a uma perturbação na carga, isto é, na composição e temperatura

da alimentação constitui um sistema multiplicativo de 2ª ordem.

Seja um CSTR adiabático, conforme a Figura 3-27, no entanto acontece uma reação de

isomerização irreversível e exotérmica:

Equação 3 -148 B A →

Com equação da taxa:

Equação 3 -149 ( ) ( ) ( )tCtt A.ℜ=Γ

Onde,

Equação 3 -150 ( )( )( )tTRgEet .. −Οℜ=ℜ

CA(t)T(t)

h = cte.

q2T2(t)CA2(t)

q1T1(t)

CA1(t)

F igura 3 -27 : Reator CSTR submet ido a per tu rbação na composição e tempera tura da a l imentação .

Balanço molar no reator:

Equação 3 -151

( ) ( ) ( ) ( )tVtCqtCqdt

tdCV AAAA Γ+−= .... 2211

Onde,

Equação 3 -152 ( ) ( ) ( )tCtt AAA ..v ℜ−=Γ−=Γ=Γ

Balanço de energia no reator:

Equação 3 -153

( ) ( )( ) ( )( ) ( )tVTtTCpqTtTCpqdttdTCV rp Γ∆Η−−−−=

°° ........ 222111 ρρρ

Por hipótese:

42 de 65


Equação 3 -154 cteqqq === 21

E

Equação 3 -155 cteCCC ppp === 21

Substituindo a Equação 3-154 e a Equação 3-155 na Equação 3-153 e rearranjando:

Equação 3 -156

( ) ( ) ( )( ) ( )tVtTtTCqdttdTCV rpp Γ∆Η−−= ........ 21ρρ

Onde

Equação 3 -157 ( )( )( ) ( )tCet AtTRgE .. .−Οℜ=Γ

Lembrando que o reator está perfeitamente agitado [CA2(t) = CA(t) e T2(t) = T(t)], então:

Equação 3 -158

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtCqtCqdt

tdCV AtTRgE

AAA ...... .−Οℜ−−= 1

E

Equação 3 -159

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtTCqtTCqdttdTCV A

tTRgErppp .............

.1

−Οℜ∆Η−−= ρρρ

A Equação 3-158 e a Equação 3-159 constituem um sistema de equações diferenciais não-

lineares interativas. Portanto, antes de aplicar a Transformada de Laplace, devemos linearizar

os termos não-lineares:

Equação 3 -160 ( )( ) ( )tCe AtTRgE ..−

Expandindo a Equação 3-160 em série de Taylor e truncando no segundo termo:

Equação 3 -161

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )ssssATRgE

ss

ssAATRgE

ssATRgE

AtTRgE

TtTCeTRgE

CtCeCetCe

SS

SSSS

−

+−+≅

−

−−

.,.

2

,.

,..

...

...

Substituindo a Equação 3-161 na Equação 3-158 e na Equação 3-159 e rearranjando:

Equação 3 -162

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )ssssATRgEss

ssAATRgE

ssATRgE

AAA

TtTCeTRgEVCtCeV

CeVtCqtCqdttdC

V

SSss

SS

−ℜ−−ℜ−

+ℜ−−=

−−

−

,.

2,.

,.

1

.

.....

οο

ο

e

43 de 65


Equação 3 -163

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )ssssATRgEssAA

TRgErssA

TRgEr

ppp

TtTCeV

CtCeVCeV

tTCqtTCqdttdTCV

SS

SSSS

−ℜ−

+−ℜ∆Η−ℜ∆Η−

+−=

−Ο

−Ο

−Ο

,.

,.

,.

1

..

..

......... ρρρ

Utilizando as variáveis desvio:

Equação 3 -164

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )tTCe

TRgEV

tCqtCeVqdttCdV

ssATRgE

ss

AATRgEA

ss

ss

,.

2

1.

...

.

..

−Ο

−Ο

ℜ−

+=ℜ++

e

Equação 3 -165

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tCeTRgEVtTCq

tTCeTRgEVCq

dttTdCV

ATRgE

ssrp

ssATRgE

ssrpp

ss

ss

...

......

.......

.21

,.

2

−Ο

−Ο

ℜ∆Η−

=

ℜ∆Η++

ρ

ρρ

Definindo os seguintes ganhos e constantes de tempo:

Equação 3 -166 ( )ssTRgEc eVq

V... −Οℜ+

=τ

Equação 3 -167 ( )ssTRgECC eVq

q... −Οℜ+

=Κ

Equação 3 -168

( )

( )ss

ss

TRgE

TRgE

ssCT eVq

eTRgEV

.

.2

..

..

..

−Ο

−Ο

ℜ+

ℜ=Κ

e

44 de 65


Equação 3 -169

( )ssA

TRgE

ssrp

p

T

CeTRgEVCq

CV

ss,

.2 ...

.....

..

−Οℜ∆Η+

=ρ

ρτ

Equação 3 -170

( )ssA

TRgE

ssrp

p

TT

CeTRgEVCq

CV

SS,

.2 ..

....

..

−Οℜ∆Η+

=Κρ

ρ

Equação 3 -171

( ) ( )( )

ssATRgE

ssrp

TRgEr

TC

CeTRgEVCq

eV

SS

ss

,.

2

.

..

....

...−

Ο

−Ο

ℜ∆Η+

ℜ∆Η−=Κρ

Substituindo da Equação 3-166 a Equação 3-171 na Equação 3-164 e na Equação 3-165:

Equação 3 -172

( ) ( ) ( ) ( )tTtCtCdt

tCdCTACCA

Ac ... Κ−Κ=+τ 1

Equação 3 -173

( )

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