CONTROLE ESTATÍSTICO DA QUALIDADE

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Distribuição de Freqüência

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  • Distribuio de Freqncia

  • Representao do conjunto de dados

    Distribuies de freqncia

    Freqncia relativaFreqncia acumulada

    Representao Grfica

    Histogramas

  • Organizao dos dados

    Os mtodos utilizados para organizar dados compreendem o arranjo desses dados em subconjuntos que apresentem caractersticas similares.

    mesma idade (ou faixa etria), mesma finalidade, mesma escola, mesmo bairro, etc

    Os dados agrupados podem ser resumidos em tabelas ou grficos e, a partir desses, podemos obter as estatsticas descritivas j definidas: mdia, mediana, desvio, etc.

    Dados organizados em grupos ou categorias/classes so usualmente designados distribuio de freqncia.

  • Distribuio de frequncia

    Uma distribuio de freqncia um mtodo de se agrupar dados em classes de modo a fornecer a quantidade (e/ou a percentagem) de dados em cada classe

    Com isso, podemos resumir e visualizar um conjunto de dados sem precisar levar em conta os valores individuais.

    Uma distribuio de freqncia (absoluta ou relativa) pode ser apresentada em tabelas ou grficos

  • Distribuio de frequncia

    Uma distribuio de freqncia agrupa os

    dados por classes de ocorrncia, resumindo

    a anlise de conjunto de dados grandes.

  • Adotemos o conjunto de dados que represente a populaoOrdene em ordem crescente ou decrescente

    Eventos AlturaAluno 1 1,60Aluno 2 1,69Aluno 3 1,72Aluno 4 1,73Aluno 5 1,73Aluno 6 1,74Aluno 7 1,75Aluno 8 1,75Aluno 9 1,75Aluno 10 1,75Aluno 11 1,75Aluno 12 1,76Aluno 13 1,78Aluno 14 1,80Aluno 15 1,82Aluno 16 1,82Aluno 17 1,84Aluno 18 1,88

    Construindo uma distribuio de freqncia

  • Construindo uma distribuio de freqncia

    Determine a Quantidade de classes (k)Regra de Sturges (Regra do Logaritmo)

    k = 1 + 3,3log(n)

    Regra da Potncia de 2 k = menor valor interiro tal que 2k

    n

    Regra da Raiz Quadrada

    Bom senso !!! Decida a quantidade de classes que GARANTA observar

    como os valores se distribuem.

    nk =

  • Quantidade de dados (n)

    Quantidade de Classes (k)

    Quantidade de dados (n)

    Quantidade de Classes (k)

    Quantidade de dados (n)

    Quantidade M N IM A de C lasses (k)

    Quantidade M XIM A de C lasses (k)

    1 1 1 e 2 1 at 50 5 102 2 3 e 4 2 51 a 100 8 16

    3 a 5 3 5 a 8 3 101 a 200 10 20 6 a 11 4 9 a 16 4 201 a 300 12 2412 a 23 5 17 a 32 5 301 a 500 15 3024 a 46 6 33 a 64 6 mais de 500 20 4047 a 93 7 65 a 128 7

    94 a 187 8 129 a 256 8188 a 376 9 257 a 512 9377 a 756 10 513 a 1024 10

    Regra de Sturges (Logaritmo) Regra da Potncia de 2 Bom Senso

    Construindo uma distribuio de freqncia

  • Construindo uma distribuio de freqncia

    Calcule a amplitude das classes (h)Calcule a amplitude do conjunto de dados

    L = xmx xmnCalcule a amplitude (largura) da classe

    h = L / k Arredonde convenientemente

    Calcule os Limites das Classes1a classe: xmn at xmn + h2a classe: xmn + h at xmn + 2 . h........................ka classe: xmn + (k-1) . h at xmn + k . h

  • Limite das classesUtilize a notao:

    [x,y) intervalo de entre x (fechado) at y (aberto)Freqentemente temos que arredondar a amplitude das classes e, conseqentemente, arredondar tambm os limites das classes.Como sugesto, podemos tentar, se possvel, um ajuste simtrico nos limites das classes das pontas (i.e., primeira e ltima) nas quais, usualmente, a quantidade de dados menor.

    Ponto mdio das classesxk = Linferior + ( Lsuperior Linferior ) / 2

    Construindo uma distribuio de freqncia

  • Determinao da freqncia das classes

    Consiste em agrupar os dados em cada classe e contar os totais

    Traar o grfico

    Dividir o eixo horizontal em tantas partes quanto for o nmero de classes. Sugesto: deixe espao entre o eixo vertical e a primeira classe.

    Identifique a maior freqncia da classe na tabela e marque esse nmero (ou outro um pouco maior) na extremidade do eixo vertical; divida esse eixo em algumas partes e marque os valores correspondentes

    Desenhe um retngulo, para cada classe, com largura igual largura da classe e com altura igual freqncia da classe

    Construindo uma distribuio de freqncia

  • Do nosso exemplo:Ordenamos os dadosPor Sturges, temos:

    n=18 ; k=5 (nmero de classes)

    Amplitude de classes Amplitude do conjunto

    de dados: 1,88- 1,60=0,28m

    Amplitude de classes: 0,28/5=0,056

    Arredondado h = 0,06m

    Altura1,601,691,721,731,731,741,751,751,751,751,751,761,781,801,821,821,841,88

    Exemplo

  • Construindo uma tabela de freqncia

    Calcule os Limites de ClasseArredonde os Limites de Classe nos extremos

    1,9-1,88=0,02Distribua o excesso:

    1,60-0,01; 1,88+0,01Ajuste todas as classes

    Altura1,601,691,721,731,731,741,751,751,751,751,751,761,781,801,821,821,841,88

    Amplitude 0,06Limites

    inferioresLimite

    superior1,60 1,661,66 1,721,72 1,781,78 1,841,84 1,90

    Aqui sobra 0,02m!

  • Freqncias absolutasDistribua os eventos ou ocorrncia por suas respectivas classes

    Freqncias acumuladasSome as ocorrncias de dados cumulativamente s classes

    Observao importante: muito til representar as frequncias em termos percentuais ao total de amostras

    0,06

    Dados Classe FrequnciaFrequncia Acumulada

    1,60 1,59-1,65 1 11,69 1,65-1,71 1 21,72 1,71-1,77 10 121,73 1,77-1,83 4 161,73 1,83-1,89 2 181,74 Total 181,751,751,751,751,751,761,781,801,821,821,841,88

    Amplitude

    Construindo uma tabela de freqncia

  • Representao Grfica

    HistogramaNa abscissas, distribua as classesNa ordenada da esquerda, as freqncias absolutasConstrua um grfico de barras para as freqnciasConstrua um grfico de linha para a freqncia acumulada (utilize a escala da direita)

    0,06

    Classe Frequncia Frequncia Acumulada1,59-1,65 1 11,65-1,71 1 21,71-1,77 10 121,77-1,83 4 161,83-1,89 2 18

    Total 18

    Amplitude

    02468

    1012

    1,59-1,65

    1,65-1,71

    1,71-1,77

    1,77-1,83

    1,83-1,89

    0

    5

    10

    15

    20

  • Distribuio de Freqncia: Histogramas e Polgonos de

    FreqnciaUma distribuio de freqncia representada por um grfico de barras denominada histograma

    Outro grfico de interesse o chamado polgono de freqncia

    O polgono de freqncia obtido unindo-se os pontos mdios da parte superior de cada retngulo do histograma com segmentos de reta

    importante notar que tanto o histograma quanto o polgono de freqncia indicam a freqncia absoluta de cada classe

  • Distribuio de Freqncia: Histogramas e Polgonos de

    FreqnciaDigamos que temos histogramas para as alturas dos estudantes de duas turmas diferentes, traados de acordo com as regras descritas at agora

    Poderamos sobrepor os desenhos para fazer uma anlise comparativa das turmas?

    Que cuidados devemos tomar?

  • O problema com esta regra de construo que o histograma construdo especfico para o conjunto em anlise

    Para fazermos anlises comparativas de conjuntos de dados diferentes, as classes devem ser as mesmas!

    Devemos, ento, utilizar algum conhecimento prvio da rea em estudo para definir o intervalo aceitvel de variao dos dados e, a partir da, definir as classes

    Essas classes genricas serviro para o estudo de quaisquer conjunto de dados e permitiro anlises comparativas

    Distribuio de Freqncia: Histogramas e Polgonos de

    Freqncia

  • Distribuio de Freqncia: Histogramas e Polgonos de

    FreqnciaEm um histograma, as classes devem SEMPRE ter a mesma largura?

    No necessariamente!

    Existem casos em que mais adequado agrupar os dados em classes com larguras desiguais.

    O exemplo tpico a classificao de pessoas por faixas etrias (infantil, juvenil, adulto, snior, etc). Essas faixas no tm a mesma largura.

  • Distribuio de Freqncia: Histogramas com Classes de Larguras

    DesiguaisA representao grfica dos dados em um histograma com classes de larguras desiguais requer a transformao dos valores de freqncia absoluta em densidade de freqncia.

    Isso fundamental pois devemos manter a rea dos retngulos proporcionais freqncia da classe

    A densidade de freqncia dada por:

    classedalarguraclassedafreqnciafreqnciadedensidade =

  • Distribuio de Freqncia: Histogramas com Classes de Larguras

    Desiguais

    Isso significa que a altura das barras (i.e., os valores na escala do eixo vertical) NO representam a freqncia da classe, mas sim a densidade de freqncia.

    Para calcularmos a freqncia da classe devemos multiplicar a densidade (indicada no eixo vertical) pela largura respectiva

  • Outros Grficos0,05

    Classe Frequncia Frequncia Relativa (%)

    1,59-1,65 1 6%1,65-1,71 1 6%1,71-1,77 10 56%1,77-1,83 4 22%1,83-1,89 2 11%

    Total 18

    Amplitude

    Frequncia Relativa (%)

    22%

    11% 6% 6%

    55%

    1,59-1,651,65-1,711,71-1,771,77-1,831,83-1,89

    Grfico de Pizza

  • Grfico de Pareto

    Outros GrficosClasse Frequncia

    Frequncia Relativa(%)

    Frequncia Acumulada

    Frequncia Acumulada(%)

    1,71-1,77 10 56% 10 56%1,77-1,83 4 22% 14 78%1,83-1,89 2 11% 16 89%1,65-1,71 1 6% 17 94%1,59-1,65 1 6% 18 100%

    Total 18

    100%94%89%

    56% 78%

    0%20%40%60%80%

    100%120%

    1,71-1,77 1,77-1,83 1,83-1,89 1,65-1,71

  • Classe de Altura (m) Freqncia Freq. Acumulada

    1.55 [--- 1.63 2 21.63 [--- 1.71 12 141.71 [--- 1.79 22 361.79 [--- 1.87 13 491.87 [--- 1.96 2 51

    Distribuio Acumulada

    0102030405060

    1.55 [---1.63

    1.63 [---1.71

    1.71 [---1.79

    1.79 [---1.87

    1.87 [---1.96

    Classes de alturas (m)

    F

    r

    e

    q

    n

    c

    i

    a

    Seqncia1Seqncia2Seqncia3Seqncia4

    OGIVA DE GALTON

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    1.55 [---1.63

    1.63 [---1.71

    1.71 [---1.79

    1.79 [---1.87

    1.87 [---1.96

    Classes de alturas (m)

    F

    r

    e

    q

    :

    u

    n

    c

    i

    a

    a

    c

    u

    m

    u

    l

    a

    d

    a

    Series2Series1Series3

    Outros Grficos

  • Quando os dados esto resumidos em uma tabela de freqncias, podemos calcular aproximadamente a mdia aritmtica ponderando sobre:

    Pontos mdios de cada intervalo supe-se que todos os elementos das classes ocorrem no ponto mdio das respectivas classes;Exemplo: temos 7 ocorrncias na faixa entre 1,75 e 1,79. Consideramos que as sete ocorrncias equivalem a (1,79+1,75)/2=1,77 ponto mdio da classe.

    Mdia Ponderada: Mdia de uma tabela de freqncia

  • Mdia Ponderada: Mdia de uma tabela de freqncia

    =

    fxf

    x).(

    x = ponto mdio da classef = freqnciaf = n

  • Erros por pginas

    No de paginas

    0 251 20

    2 33 14 1

    nfx

    ffx

    x == ..

    66,05033

    )1132025()14()13()32()201()250( ==++++

    ++++=x

    Mdia PonderadaA mdia ponderada considerada ponderada quando os valores dos conjuntos tiverem pesos / freqncias diferentesNuma distribuio utilizando os valores discretos, calcula-se:

  • Mdia PonderadaQuando tivermos uma distribuio com dados agrupados por classes de valores, calculamos considerando o valor de cada classe como o ponto mdio respectivo da classe.

    Alturas de Pessoas

    Ponto Mdio (Xi)

    Frequncia (fi) xi.fi

    1,59-1,65 1,62 1 1,621,65-1,71 1,68 1 1,681,71-1,77 1,74 10 17,41,77-1,83 1,80 4 7,21,83-1,89 1,86 2 3,72

    Total 18 31,62

    nfx

    ffx

    x == ..

    1,761862,31 ==x

  • Clculo da Moda para dados Agrupados

    Caso 1: dados agrupados por valores discretos moda o valor com maior freqncia.Caso 2: dados agrupados por classes

    Moda BrutaMtodo de KingMtodo de CzuberMtodo de Pearson

  • Clculo da Moda para dados Agrupados: Moda Bruta

    Moda BrutaTome a classe que apresenta a maior freqncia classe modalA moda ser o ponto mdio da classe modal: (liminf + limsup )/2

  • Clculo da Moda para dados Agrupados: King

    Mtodo de King:

    OndeLiminf : limite inferior da classe modalfant : freqncia da classe anterior modalfpost : freqncia da classe posterior modalh: amplitude da classe modal

    hff

    fM

    postant

    posto ++= inflim

  • Clculo da Moda para dados Agrupados: Czuber

    Mtodo de Czuber (mais preciso):

    OndeLiminf : limite inferior da classe modalfMo : freqncia da classe modalfant : freqncia da classe anterior modalfpost : freqncia da classe posterior modalh: amplitude da classe modal

    ( )hfff ffM postantMo antMoo ++= inflim

  • Clculo da Moda para dados Agrupados: Pearson

    Mtodo de Pearson:

    OndeMd : Mediana

    : Mdia

    XMM do 23 =

    X

  • Clculo da Mediana para dados Agrupados

    Dados agrupados por classesMediana o valor localizado a Lx =n/2Aps clculo de Lx , determina-se o valor da mediana por:

    Onde: Lx Localizao (posio) da Mediana Fant freqncia acumulada at a classe anterior classe

    da mediana fi freqncia absoluta da classe da mediana h amplitude de classe Liminf Limite inferior da classe da mediana

    i

    ant

    fFhLimX )L.( xinf

    ~ +=

  • Clculo dos Percentis para dados Agrupados por Classes

    O percentil o valor localizado a LPx =(K/100)*n Onde K o percentil desejado (ex.: P45 K=45)

    Aps clculo de LPx , determina-se o valor do percentil por:

    Onde: LPx Localizao (posio) do Percentil Fant freqncia acumulada at a classe anterior classe

    do percentil fi freqncia absoluta da classe do percentil h amplitude de classe Liminf Limite inferior da classe do percentil

    i

    antx f

    FhLimP

    )L.( xPinf

    +=

  • Medidas de Posio Dados Agrupados: Mediana / Separatrizes (alternativo)

    Para definirmos um procedimento alternativo de clculo da mediana e quaisquer outras separatrizes, utilizaremos o exemplo abaixo:

  • Encontra-se a classe onde est a mediana. Faz-se, ento, a proporcionalidade entre a rea e a base do retngulo hachurado e o que define a classe onde est a mediana

    Md = 10,67

    %2200,8

    %3300,800,12 = dM

    Medidas de Posio Dados Agrupados: Mediana / Separatrizes (alternativo)

    16,00

  • Encontra-se a classe onde est Q3. Faz-se, ento, a proporcionalidade entre a rea e a base do retngulo hachurado e o que define a classe de Q3

    Q3 = 15,82

    3 12,0016,00 12,0022% 14%

    Q =

    Medidas de Posio Dados Agrupados: Mediana / Separatrizes (alternativo)

    16,00

  • Mtodo AlternativoA regra de trs gera precisamente o mesmo resultado na aplicao da equao para clculo dos percentis para dados agrupados. Seno vejamos:

    ( )

    ( )( ) ( )

    sup inf sup infinf inf

    sup inf inf

    inf sup inf inf

    x x

    ii px acm px acm

    x

    i px acm

    px acm px acmx

    i i

    L L L LP L P Lfp p p f fn n

    L L P Lf f f

    L L L f f L h f fP

    f f

    = =

    = + + = =

  • Mtodo AlternativoOnde:

    Lsup = limite superior classe do percentilLinf = limite inferior classe do percentilPx = valor do percentil procuradopi = percentual representativo da classe do percentilppx = percentil procuradopacm = percentual acumulado at a classe anterior classe do percentilfi = frequncia da classe do percentiln = tamanho da amostrafpx = posio do percentil procuradofacm = frequncia acumulada at a classe anterior classe do percentil

  • Medidas de Disperso (Dados Agrupados)

    O desvio-padro, nesse caso, faz uma ponderao da distncia dos pontos mdios de cada classe para a mdia, e a respectiva freqncia de valores:

    ( ) ( ))(populao(amostra)

    N

    xf

    n

    xxfs

    k

    jjj

    k

    jjj

    ==

    =

    = 12

    1

    2 ~

    1

    ~

  • Desvio padro de dados agrupados

    )1()].([)].([ 22

    =

    nnxfxfn

    s

    Desvio padro para uma tabela de freqnciasx = ponto mdio da classef = frequncia da classen = tamanho da amostra (ou f = soma das frequncias)

  • AssimetriaComparando a mdia, a moda e a mediana, podemos concluir pela assimetria da distribuio:

    Assimetria: no simetria distribuio tende mais para um ladoDados negativamente assimtricos (assimetria para a esquerda)

    Mdia e mediana esquerda da modaEm geral, mdia esquerda da mediana

    Dados positivamente assimtricos (assimetria para a direita)

    Mdia e mediana direita da modaEm geral, mdia direita da mediana

  • Assimetria

    mdiamediana

    modaMdia = moda = mediana

    mdiamoda

    mediana

    Assimtrica direita

    Assimtrica esquerda Simtrica

    Moxx >> ~Moxx

  • Interpretando Histogramas

    Histograma uma ferramenta estatstica que permite resumir informaes de um conjunto de dados, visualizando a forma da distribuio desses dados, a localizao do valor central e a disperso dos dados em torno do valor central

    Ou seja, em anlises de processos produtivos, freqentemente obtemos informaes teis sobre a populao/amostra de dados coletados pela anlise da forma do histograma

  • O valor mdio est localizado no centro do histogramaA freqncia mais alta no meio e diminui gradualmente na direo dos extremos

    Ocorre quando no existem restries aos valores que a varivel de controle pode assumir

    Processo geralmente sob controle, somente causas comuns esto presentesProcesso usualmente est estvel

    Simtrico ou em Forma de Sino

  • O valor mdio est localizado fora do centro do histogramaA freqncia diminui gradativamente em um dos lados e de modo um tanto abrupto do outro lado

    Ocorre quando no possvel que a varivel de controle assuma valores mais altos (ou mais baixos)

    Processo em que o limite inferior (superior) controlado (apenas um limite de especificao)

    Por exemplo, teoricamente impossvel valores inferiores 0% para a varivel impureza

    Assimtrico

  • O valor mdio est localizado fora do centro do histograma

    A freqncia diminui abruptamente de um dos lados e suavemente em direo ao outro

    Processo no atende s especificaes e uma inspeo 100% realizada para eliminar produtos defeituosos

    Despinhadeiro

  • Parte do grfico relativamente simtrica com o acrscimo de algumas classes mais afastadas de menores freqncias

    Ocorre quando dados de outra distribuio, diferente da distribuio da maior parte das medidas, so includos

    Processo com anormalidades, ou erro de medio e/ou registro de dados, ou incluso de dados de um processo diferente

    Ilhas Isoladas ou Pico Isolado

  • A freqncia mais baixa no centro do histograma e existe um pico em cada lado

    Ocorre quando dados de duas distribuies, com mdias muito diferentes, so misturados

    Os valores da varivel de controle devem estar associados a duas mquinas ou dois turnos distintos, por exemplo

    Bimodal ou com Dois Picos

  • Todas as classes possuem mais ou menos a mesma freqncia, exceto aquelas das extremidades

    Ocorre quando dados de duas distribuies, com mdias no muito diferentes, so misturados

    Os valores da varivel de controle devem estar associados a nveis distintos de algum (ou alguns) dos fatores que constituem o processo em anlise

    Achatado ou Plat

  • Atende, com folga, os limites de especificaoMdia no centro da faixa de especificaoVariabilidade aceitvelManter a situao atual

    Especificao atendida sem nenhuma margem extraMdia no centro da faixa de especificaoVariabilidade um pouco elevadaAdotar medidas para reduzir um pouco a variabilidade

    Histogramas e Limites de Especificao de Processos

  • No atende os limites de especificaoMdia deslocada para a esquerdaVariabilidade aceitvelAdotar medidas para deslocar a mdia para o centro (valor nominal)

    No atende os limites de especificaoMdia no centro da faixa de especificaoVariabilidade elevadaAdotar medidas para reduzir a variabilidade

    No atende os limites de especificaoMdia deslocada para a esquerdaVariabilidade elevadaAdotar medidas para deslocar a mdia para o centro e reduzir a variabilidade

    Histogramas e Limites de Especificao de Processos

  • Coeficiente de Assimetria

    Coeficiente de Assimetria de Pearson (As)

    sxxAs )~.(3 =

    Permite comparar duas ou mais distribuies diferentes e avaliar qual mais assimtrica.

    Quanto maior o Coeficiente de Assimetria de Pearson, mais assimtrica curva.

    Assimtrica moderada: 0,15

  • Curtose

    Grau de achatamento (ou afilamento) de uma distribuio em relao com a distribuio normal.

    Distribuio Normal

    Mesocrtica

    C=0,263

    Leptocrtica

    C0,263

    ).(2)(

    1090

    13

    PPQQC

    =

    Distribuio de FreqnciaRepresentao do conjunto de dadosOrganizao dos dadosDistribuio de frequnciaDistribuio de frequnciaConstruindo uma distribuio de freqnciaConstruindo uma distribuio de freqnciaConstruindo uma distribuio de freqnciaConstruindo uma distribuio de freqnciaConstruindo uma distribuio de freqnciaConstruindo uma distribuio de freqnciaExemploConstruindo uma tabela de freqnciaConstruindo uma tabela de freqnciaRepresentao GrficaDistribuio de Freqncia:Histogramas e Polgonos de FreqnciaDistribuio de Freqncia:Histogramas e Polgonos de FreqnciaDistribuio de Freqncia:Histogramas e Polgonos de FreqnciaDistribuio de Freqncia:Histogramas e Polgonos de FreqnciaDistribuio de Freqncia:Histogramas com Classes de Larguras DesiguaisDistribuio de Freqncia:Histogramas com Classes de Larguras DesiguaisOutros GrficosOutros GrficosOutros GrficosMdia Ponderada: Mdia de uma tabela de freqnciaMdia Ponderada: Mdia de uma tabela de freqnciaMdia PonderadaMdia PonderadaClculo da Moda para dados AgrupadosClculo da Moda para dados Agrupados: Moda BrutaClculo da Moda para dados Agrupados: KingClculo da Moda para dados Agrupados: CzuberClculo da Moda para dados Agrupados: PearsonClculo da Mediana para dados AgrupadosClculo dos Percentis para dados Agrupados por ClassesMedidas de Posio Dados Agrupados: Mediana / Separatrizes (alternativo)Medidas de Posio Dados Agrupados: Mediana / Separatrizes (alternativo)Medidas de Posio Dados Agrupados: Mediana / Separatrizes (alternativo)Mtodo AlternativoMtodo AlternativoMedidas de Disperso(Dados Agrupados)Desvio padro de dados agrupadosAssimetriaAssimetriaInterpretando HistogramasSimtrico ou em Forma de SinoAssimtricoDespinhadeiroIlhas Isoladas ou Pico IsoladoBimodal ou com Dois PicosAchatado ou PlatHistogramas e Limites de Especificao de ProcessosHistogramas e Limites de Especificao de ProcessosCoeficiente de AssimetriaCurtose