Controle i apostila

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENG. DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO SISTEMAS DE CONTROLE I Professor: Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo Natal-RN, março de 2003
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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

    DEPARTAMENTO DE ENG. DE COMPUTAO E AUTOMAO

    SISTEMAS DE CONTROLE I

    Professor: Fbio Meneghetti Ugulino de Arajo

    Natal-RN, maro de 2003

  • 2

    NDICE

    1 INTRODUO ........................................................................................................4 1.1 DEFINIES .........................................................................................................4 1.2 EXEMPLOS ...........................................................................................................5 1.3 CONTROLE DE PROCESSOS INDUSTRIAIS..............................................................5 1.4 PROBLEMAS DE CONTROLE EM ENGENHARIA......................................................7 1.5 RESUMO DA HISTRIA DO CONTROLE AUTOMTICO...........................................8 1.6 TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................................8

    2 CLASSIFICAO DE SISTEMAS .....................................................................12 2.1 MONOVARIVEIS E MULTIVARIVEIS ...............................................................12 2.2 CONTNUOS E DISCRETOS ..................................................................................12 2.3 VARIANTES E INVARIANTES NO TEMPO .............................................................12 2.4 SISTEMA A PARMETROS CONCENTRADOS E DISTRIBUDOS .............................13 2.5 DETERMINSTICOS E ESTOCSTICOS ..................................................................13 2.6 COM MEMRIA E SEM MEMRIA.............................................................13 2.7 SISTEMAS LINEARES E NO-LINEARES .................................................13

    2.7.1 Sistemas Lineares .....................................................................................13 2.7.2 Sistemas No-Lineares .............................................................................15 2.7.3 Linearizao de Sistemas No-Lineares ..................................................16

    3 MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS..................................................18 3.1 FUNO DE TRANSFERNCIA (F.T.) ..................................................................18 3.2 REPRESENTAO EM VARIVEIS DE ESTADO (V.E.) .........................................20 3.3 RELAO ENTRE VARIVEIS DE ESTADO E FUNO DE TRANSFERNCIA.........21 3.4 MODELAGEM DE SISTEMAS FSICOS ..................................................................22

    3.4.1 Variveis Generalizadas ..........................................................................22 3.4.2 Elementos de Sistemas Fsicos .................................................................23 3.4.3 Interconexo de Elementos de Sistemas...................................................24 3.4.4 Sistemas Mecnicos Translacionais.........................................................26 3.4.5 Sistemas Mecnicos Rotacionais..............................................................29 3.4.6 Sistemas Eletromecnicos ........................................................................31 3.4.7 Sistemas Fludicos ....................................................................................33 3.4.8 Sistemas Trmicos ....................................................................................35

    3.5 DIAGRAMAS DE BLOCOS....................................................................................37 3.5.1 Definio ..................................................................................................37 3.5.2 Componentes ............................................................................................37 3.5.3 Diagrama de Blocos de um Sistema em Malha Fechada.........................37 3.5.4 Procedimento para a Construo ............................................................38 3.5.5 Reduo de um Diagrama de Blocos .......................................................38

    3.6 GRFICOS DE FLUXO DE SINAL..........................................................................40 3.6.1 Introduo ................................................................................................40 3.6.2 Definies .................................................................................................41 3.6.3 Diagrama de Fluxo de Sinal a Partir do Diagrama de Blocos................41 3.6.4 Frmula de Ganho de Mason...................................................................42

  • 3

    4 ESTABILIDADE....................................................................................................43 4.1 DEFINIO (BIBO - BOUNDED INPUT, BOUNDED OUTPUT) ..............................43 4.2 CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH.............................................................43

    5 CARACTERSTICAS EM MALHA FECHADA ...............................................46 5.1 SENSIBILIDADE VARIAO DE PARMETROS .................................................47 5.2 EFEITO DE PERTURBAES................................................................................48 5.3 O CUSTO DA REALIMENTAO..........................................................................49

    6 ANLISE DE DESEMPENHO TRANSITRIO E EM REGIME ESTACIONRIO DE SISTEMAS .......................................................................................49

    6.1 ANLISE DE RESPOSTA TRANSITRIA ...............................................................50 6.1.1 Sistemas de Primeira Ordem....................................................................50 6.1.2 Sistemas de Segunda Ordem ....................................................................51 6.1.3 Sistemas de Ordem Superior ....................................................................56

    6.2 DESEMPENHO EM REGIME PERMANENTE...........................................................59 6.2.1 Introduo ................................................................................................59 6.2.2 Entrada Degrau........................................................................................60 6.2.3 Entrada Rampa.........................................................................................60 6.2.4 Entrada Parbola.....................................................................................61

    7 CONTROLADORES PID .....................................................................................62 7.1 INTRODUO .....................................................................................................62 7.2 AES DE CONTROLE PID.................................................................................62 7.3 IMPLEMENTAO ELETRNICA ANALGICA DE CONTROLADORES PID............67 7.4 MODIFICAES DAS AES DE CONTROLE........................................................68

    8 ANLISE DE SISTEMAS POR VARIVEIS DE ESTADO............................69 8.1 DESCRIO POR VARIVEIS DE ESTADO ...........................................................69 8.2 SOLUO DA EQUAO DE ESTADO..................................................................70 8.3 ESTABILIDADE...................................................................................................71 8.4 CONTROLABILIDADE .........................................................................................72 8.5 OBSERVABILIDADE............................................................................................73 8.6 REALIZAES DE FUNES DE TRANSFERNCIA ...............................................74

    8.6.1 Realizao na Forma Cannica Observvel............................................75 8.6.2 Realizao na Forma Cannica Controlvel...........................................75

    8.7 REALIMENTAO DE ESTADO ...........................................................................76 8.8 OBSERVADORES DE ESTADO..............................................................................78 8.9 SEGUIDOR DE REFERNCIA................................................................................83

  • 4

    1 INTRODUO

    1.1 Definies

    SISTEMA

    uma disposio, conjunto ou coleo de partes conectadas ou relacionadas de tal

    maneira a formarem um todo. Pode ser fsico, biolgico, econmico, etc.

    SistemaEntrada Sada

    CONTROLE

    Estuda como agir sobre um dado sistema de modo a obter um resultado arbitrariamente

    especificado.

    CONTROLADOR

    Dispositivo utilizado para a obteno do controle de um sistema.

    SISTEMA DE CONTROLE

    Conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador.

    SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA

    aquele em que a sada ou resposta no possui nenhuma influncia sobre a entrada.

    SistemaSadaDispositivo

    de atuao

    Resposta desejada

    SISTEMA DE CONTROLE A MALHA FECHADA

    aquele em que a sada ou resposta influencia a entrada do sistema.

    Sistema

    Sada

    Comparao Controlador

    Dispositivode medida

    Respostadesejada

    (Set Point)SP

    (Varivel de Processo)PV

    Sinal de controle(Varivel manipulada)

    MV

    Sensor + Transmissor

  • 5

    1.2 Exemplos

    Ser humano tentando pegar um objeto

    SistemaControlador

    Crebro Brao e mo

    Posiodo objeto

    Posioda mo

    -

    +olhos

    Controle de temperatura de uma sala

    SistemaControlador

    Sala-

    + ArCondicionado

    TermostatoTemperaturadesejada

    Temperaturapresente

    Controle do nvel de um reservatrio

    SistemaControlador

    -

    +Reservatrio

    Bia

    Nveldesejado

    Nvelde gua

    Bomba

    1.3 Controle de Processos Industriais

    Nas ltimas dcadas houve uma verdadeira revoluo nos equipamentos de

    instrumentao. Quarenta anos atrs, muitos equipamentos eram mecnicos e pneumticos.

    Existiam tubos entre ligando os equipamentos do processo e a sala de controle. Atualmente,

    os sistemas de controle so distribudos com microprocessadores controlando muitas malhas

    simultaneamente.

    A despeito destas mudanas, os conceitos bsicos de sistemas de controle e algoritmos

    de controle permanecem essencialmente os mesmos. Agora mais fcil implementar

    estruturas de controle, pois basta reprogramar um computador. A tarefa dos engenheiros de

    controle a mesma: projetar um sistema de controle que atenda s especificaes, seja

    estvel, robusto.

    A figura abaixo mostra os principais elementos de um sistema de controle tpico de um

    processo industrial:

  • 6

    ProcessoControlador

    SensorTransmissor

    Elemento finalde controle

    SetPoint

    Varivel deProcesso

    SP

    PVMV

    VarivelManipulada

    temperaturapressonvelvazo

    tenso mecnicadeslocamentotenso eltricaimpedncia

    eltricapneumticahidrulica

    O sistema de malha fechada composto por um sensor que detecta a varivel de

    processo (PV), um transmissor que converte o sinal do sensor em um sinal adequado (um

    sinal do tipo ar pressurizado em sistemas pneumticos ou um sinal eltrico em sistemas

    eletrnicos) e o transmite para um controlador que compara o valor da varivel de processo

    (PV) com o valor do Set Point (SP) desejado e produz um sinal de controle apropriado e um

    elemento final de controle que muda a varivel manipulada (MV). Usualmente o elemento

    final de controle uma vlvula de controle operada por ar que abre e fecha modificando uma

    razo de fluxo.

    O sensor, transmissor e vlvula de controle esto localizados fisicamente no campo,

    onde est o processo. O controlador usualmente localizado em um painel ou computador em

    uma sala de comando distante do processo. A ligao entre o painel e o campo feita atravs

    de sinais eltricos que so enviados do transmissor para o controlador e do controlador para o

    elemento final de controle.

    Os equipamentos de controle utilizados em plantas qumicas ou em plantas tpicas da

    rea de petrleo so analgicos (de presso ou eletrnicos) ou digitais. Os sistemas analgicos

    utilizam sinais de ar pressurizado (3 a 15 psi) ou sinais de corrente/tenso (4-20 mA, 10-50

    mA, 0-10 VDC). Sistemas pneumticos transmitem sinais atravs de pequenos tubos, enquanto

    sistemas eletrnicos usam fios.

    Visto que muitas vlvulas so ainda acionadas por ar pressurizado, sinais de corrente

    so usualmente convertidos para ar pressurizado. Um conversor I/P (corrente para presso)

    usado para converter sinais de 4-20 mA em sinais de 3-15 psi.

    Um controlador industrial possui um modo de operao manual (malha aberta) ou

    automtico (malha fechada). Durante a partida ou em condies anormais, o operador do

  • 7

    processo pode utilizar o modo de operao manual, determinando a abertura da vlvula de

    controle, independentemente do controlador. O chaveamento usualmente feito no painel de

    controle ou no computador.

    Alm disso, o ganho do controlador pode ser feito negativo ou positivo selecionando-se

    entre ao direta e reversa do controlador. Um ganho positivo resulta em uma sada do

    controlador decrescendo a medida que a varivel do processo cresce (ao reversa). J um

    ganho negativo resulta em uma sada do controlador crescendo a medida que a varivel do

    processo cresce (ao direta). A escolha correta entre ao direta e reversa depende da ao

    do transmissor (que usualmente direta), da ao da vlvula (ar para abrir, AO, ou ar para

    fechar, AC) e do efeito da varivel manipulada (MV) na varivel de processo (PV). A idia

    fundamental a ser seguida para a escolha correta da ao do controlador, que a ao tomada

    pelo controlador deve levar a varivel de processo (PV) a se aproximar do Set Point (SP).

    Em resumo, um controlador industrial deve possuir as seguintes caractersticas:

    1. Indicar o valor da Varivel de Processo (PV): o sinal que chega do transmissor

    2. Indicar o valor do sinal enviado para a vlvula: a sada do controlador (usualmente

    nominada MV)

    3. Indicar o Set Point (SP)

    4. Ter um chave para selecionar entre modo manual ou automtico

    5. Ter uma forma de alterar o valor do SetPoint quando o controlador est em automtico

    6. Ter uma forma de alterar o sinal para a vlvula quando o controlador est em manual

    7. Ter um modo de seleo entre aes direta e reversa do controlador

    1.4 Problemas de Controle em Engenharia

    Sistema

    ModeloMatemtico

    Anlise

    Projeto

    Implementao

    Baseado nas especificaesde desempenho

  • 8

    1.5 Resumo da Histria do Controle Automtico

    1769 Mquina a vapor de James Watt

    1868 J. C. Maxwell desenvolve o modelo matemtico para o controle de uma

    mquina a vapor

    1913 Henry Ford desenvolve uma mquina de montagem utilizada na produo de

    automveis

    1927 H. W. Bode analisa amplificadores realimentados

    1932 H. Nyquist desenvolve um mtodo para analisar a estabilidade de sistemas

    1952 Controle numrico desenvolvido pelo MIT

    1954 George Devol desenvolve o primeiro projeto industrial robotizado

    1970 Teoria de variveis de estado e controle timo desenvolvida

    1980 Projeto de sistemas de controle robusto desenvolvido

    1990 Automao da manufatura difundida

    1994 Controle automtico largamente utilizado em automveis. Sistemas robustos

    so utilizados na manufatura

    1.6 Transformada de Laplace

    Definio

    Seja

    f(t) Funo do tempo t com f(t)= 0 p/ t < 0

    s Varivel complexa

    L Operador de Laplace

    F(s) Transformada de Laplace de f(t)

    L [f(t)] = F(s) = e dtf t st( )

    0

    Transformada de Algumas Funes Particulares

    - Degrau unitrio

    f t( ) =

    0 t < 01 t 0

    F ss

    ( ) = 1

  • 9

    - Rampa unitria

    f t( ) =

    0 t < 0t t 0

    F ss

    ( ) = 12

    - Parbola unitria

    f t( ) =

    0 t < 0

    t2 t 0 F s

    s( ) = 23

    - Funo exponencial

    f t e at( ) = t 0 F ss a

    ( ) =+1

    - Senide

    f t t t( ) sen= 0 F ss

    ( ) =+

    2 2

    - Funo pulso unitrio f (t)p

    1

    t

    - Funo impulso unitrio f (t)i

    t

    (t)

    ( ) lim ( )t fp t= 0

    Fp sst

    se s( ) = =

    1

    0

    1 1

    e dt

  • 10

    Fi s Fp s

    dd

    e s

    dd

    s

    s e s

    s( ) lim ( ) lim

    ( )lim=

    =

    =

    =

    0 0

    1

    01

    Propriedades da Transformada de Laplace

    a) Homogeneidade

    L L[ ( )] [ ( )] ( )af t a f t aF s= =

    b) Aditividade

    L L L[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )f t f t f t f t F s F s1 2 1 2 1 2 = =

    c) Translao no tempo

    L [ ( )] ( )f t a s = e-as F

    d) Mudana de escala de tempo

    L [ ( )f F s1

    =

    e) Translao no domnio s

    L eatf t F s a( ) ( )

    =

    f) Diferenciao

    L dn

    dtnf t snF s sn f sn f t f

    n( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    =

    1 0 2 01

    ...

    g) Valor final

    lim ( ) lim ( )t

    f ts

    sF s

    =0

    Se sF(s) no tiver plos no eixo imaginrio ou semi-plano direito aberto (plo valor

    para o qual sF s( )

  • 11

    h) Valor inicial

    lim ( ) lim ( )t

    f ts

    sF s

    =0

    j) Integral da convoluo

    L f t f dt

    F s F s1 20

    1 2( ) ( ) ( ) ( )

    =

    k) Integrao

    [ ]L f t dt F ssf

    s( ) ( ) ( ) = +

    1 0 onde f f t dtt

    ==

    1 00

    ( ) ( )

    Transformao Inversa de Laplace (Expanso em Fraes Parciais)

    F s F s F s Fn s( ) ( ) ( ) ( )= + + +1 2 ...

    L = + + +1 1 2[ ( )] ( ) ( ) ( )F s f t f t fn t ...

    Em controle:

    F s N sD s

    N ss p s p s pn

    ( ) ( )( )

    ( )( )( ) ( )

    = = 1 2 ...

    onde p s s pn s1( ), ( ), , ( ) p2 ... polos de F(s)

    Casos:

    a) Plos reais simples

    F s Cs p

    Cs p

    Cks pk

    Cns pn

    ( ) =

    +

    + +

    + +

    11

    22

    ... ...

    [ ]Ck s pk F s s pk= =( ) ( ) L

    =

    1 Cks pk

    Ckp tk e

    b) Para um plo de multiplicidade r

  • 12

    ( ) ( ) ( ) ( )

    Ckrs pk

    rCk r

    s pkr

    Ck r i

    s pkr i

    Cks pk

    +

    +

    +

    ( ) ( )1

    11 ... +

    ( )Ck r i idi

    dsis pk

    r F ss pk

    ( ) !( ) , , , =

    =

    =1 0 1 i ... r -1

    ( )

    L

    =

    1

    1Ck r i

    s pkr i

    Ck r ir i

    p tk( ) ( )( )!

    tr-i-1 e

    c) Para um par de plos complexos conjugados

    pk j dpk j d

    = +

    + = 1

    Cks pk

    Cks pk

    + + +

    11

    [ ]Ck s pk F s s p Ckk= = =( ) ( ) Ck

    L

    + + +

    = + +

    1 11

    2 90Cks pk

    Cks pk

    Ckt

    dt Cko e sen( )

    2 CLASSIFICAO DE SISTEMAS

    2.1 Monovariveis e Multivariveis

    su ymonovarivel

    su

    y1

    u2

    up

    y1

    2y

    rmultivarivel

    2.2 Contnuos e Discretos

    Contnuos Todas as variveis so funes de um tempo contnuo

    Discretos Envolve uma ou mais variveis que so conhecidas somente em

    determinados instantes de tempo.

    2.3 Variantes e Invariantes no Tempo

    Se:

  • 13

    su(t+d) y(t+d)

    sistema invariante no tempo

    su(t+d) y (t+d)1

    sistema variante no tempo

    Ou seja, em um sistema invariante no tempo, a sada no depende do instante em que a

    entrada aplicada.

    2.4 Sistema a Parmetros Concentrados e Distribudos

    Parmetros Concentrados Equaes diferenciais ordinrias

    Parmetros Distribudos Equaes diferenciais parciais

    2.5 Determinsticos e Estocsticos

    Um sistema de controle determinstico se sua sada prognosticvel e repetvel. Caso

    contrrio, ele estocstico.

    2.6 COM MEMRIA E SEM MEMRIA

    Um sistema sem memria se a resposta atual uma funo somente da entrada atual,

    sendo independente de entradas passadas. Caso contrrio, o sistema dito com memria.

    2.7 SISTEMAS LINEARES E NO-LINEARES

    2.7.1 Sistemas Lineares

    Um sistema inicialmente em repouso dito linear se e somente se apresenta as seguintes

    propriedades:

    a) Aditividade: (Princpio da superposio)

    su y1 1

    su y1 1+ u2 + y2

    su y2 2

  • 14

    b) Homogeneidade

    su y

    su y

    Combinando a) e b) :

    su + 1 2 u y + 1 2 y

    ,

    Exemplos

    1) y au=

    111 auyu =

    222 auyu =

    ( ) ( ) ( ) 21212121 yyauauuuay uuu +=+=+=+=

    Ou, seja, o sistema LINEAR

    2) y y u+ =

    1111 uyy u =+

    2222 uyy u =+

    ( )2121221121 yyyyyyyyuuyy ++

    +=

    ++

    +=+=+

    Logo,

    21 yyy += e o sistema LINEAR

  • 15

    2.7.2 Sistemas No-Lineares

    su + 1 2 u y + 1 2 yy

    EXEMPLOS

    1) y u= cos

    111 ucosy u =

    222 ucosy u =

    ( ) 21212121 yyucosucosuucosy uuu +=++=+=

    Assim,

    21 yyy + e o sistema NO-LINEAR

    2)

    +=+ uuyyy

    +=+ 111111 uuyyy u

    +=+ 222222 uuyyy u

    +++=

    +++=+ 2221112121 yyyyyyuuuuyyy

    ++

    += 221121 yyyyyy

    Logo,

    21 yyy + e o sistema NO-LINEAR

    3) Linear com Saturao

  • 16

    entrada

    sada

    4) Liga-Desliga

    entrada

    sada

    2.7.3 Linearizao de Sistemas No-Lineares

    x

    y

    x0

    y0

    Ponto de operao (x0,y0)

    ( )y f x=

    A funo f(x) pode ser expandida em srie de Taylor em torno do ponto (x0 , y0)

    ( ) ( ) ( ) ... xxdx

    fd!2

    1xxdxdfxf)x(fy 202

    2

    00 +++==

  • 17

    onde as derivadas dfdx

    , 22

    dxfd , ... so calculadas em x x= 0

    Se ( )0xx pequeno, ento a equao anterior pode ser escrita como:

    ( ) ( )00 xxdxdfxfy +=

    Definindo

    0xx

    dxdfk

    =

    = , temos

    ( )00 xxkyy +=

    Um sistema cuja sada depende de n variveis

    ( )n21 x, ... ,x,xfy =

    pode ser linearizado em torno do ponto de operao ( )[ ]0n20100 x, ... ,x,x,y , resultando em

    ( ) ( )0jjn

    1j x, ... ,x,xj0n2010 xxx

    fx, ... ,x,xfy0n2010

    += =

    Denominando

    0n2010 x, ... ,x,xj

    j xfk

    =

    temos,

    ( ) ( ) ( )0nnn202210110 xxk ... xxkxxkyy ++++=

    EXEMPLOS

    1) Pndulo Simples

  • 18

    m = senmgl)(T

    Ponto de operao 0=0; T(0) = 0

    Linearizando,

    ( ) ( ) ( )0000

    0

    cosmgl0d

    )(dTT)(T +=

    +==

    =

    T mgl( ) =

    2) uysenyyy 2 =++

    Ponto de operao

    ==

    =

    0

    0

    0

    uu0y

    0y

    uysenyyy 2 +=

    Linearizando, temos:

    ( ) ( )0PO

    0

    PO

    0

    POPO

    uuuyyy

    yyyy

    y

    yyy

    +

    +

    +=

    Calculando as derivadas,

    00 uuy0uy ++=

    uyy =+

    3 MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS

    Existem, basicamente, dois tipos de modelos matemticos de sistemas: descrio

    externa ou por funo de transferncia e descrio interna ou por variveis de estado.

    3.1 Funo de Transferncia (F.T.)

    Considere um sistema linear, invariante no tempo, a parmetros concentrados descrito

    pela seguinte equao diferencial:

  • 19

    ubub ... ububyaya ... yay n1n)2n(

    2

    )1n(

    1n1n

    )1n(

    1

    )n(

    ++++=++++

    &&

    Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equao acima, com

    condies iniciais nulas:

    ( ) ( ) )s(Ubsb ... sbsb)s(Yasa ... sas n1n2n21n1n1n1n1n ++++=++++

    ( )( ) )s(Gasa ... sas

    bsb ... sbsb)s(U)s(Y

    n1n1n

    1n

    n1n2n

    21n

    1 =++++++++

    =

    OBS:

    - A F.T. uma propriedade do sistema, independe da magnitude e da natureza da

    entrada ou funo de excitao.

    - A F.T. inclui as unidades necessrias para relacionar a entrada com a sada, no

    fornecendo qualquer informao relativa estrutura fsica do sistema.

    - Se a F.T. for conhecida, a sada pode ser estudada para vrias formas de entrada.

    - A F.T. pode ser obtida experimentalmente.

    - Matematicamente, G(s) pode ser definida como a transformada de Laplace da resposta

    ao impulso do sistema.

    A Funo de Transferncia pode ser escrita como:

    ( )( ) ( )( )( ) ( ) )s(D

    )s(NKps ... pspszs ... zszsK)s(G

    n21

    1n21 =

    =

    onde

    z z zn1 2 1, , , ... so chamados de zeros do sistema ; G s( ) = 0

    p p pn1 2, , , ... so chamados de plos do sistema ; G s( )

    Re

    Im

    plos zero

    Plano complexo s

    EXEMPLO:

  • 20

    i(t) C

    L

    RiL

    vC

    1RCsLCs

    1)s(I)s(I)s(G 2

    L

    ++==

    3.2 Representao em Variveis de Estado (V.E.)

    Idia: representar uma equao diferencial de n-sima por um conjunto de n equaes

    diferenciais de 1 ordem.

    Considerando a seguinte equao diferencial (no envolve derivadas da entrada):

    uyaya ... yay n1n)1n(

    1

    )n(

    =++++

    &

    com condies iniciais )1n(

    )0(y, ... ),0(y),0(y

    & .

    Definindo:

    =

    ==

    )1n(

    n

    2

    1

    yx

    :yxyx&

    +=

    ==

    uxa ... xaxax:

    xxxx

    n121n1n1n

    32

    21

    &

    &

    &

    Definindo

    =

    n

    1n

    2

    1

    xx:xx

    x

    =

    12n1nn a...aaa1...000:::::0...1000...010

    A

    =

    10:00

    B

    [ ]00...01=C

    Temos:

    uBAxx +=& EQUAO DE ESTADO

  • 21

    y = Cx EQUAO DA SADA

    Se a equao diferencial envolve derivadas da entrada:

    ubub ... ububyaya ... yay n1n)2n(

    2

    )1n(

    1n1n

    )1n(

    1

    )n(

    ++++=++++

    &&

    podemos ter a seguinte representao em V.E.:

    [ ]10... 00 ;

    bb:

    bb

    ;

    a1...00a0...00:::::

    a0...01a0...00

    1

    2

    1n

    n

    1

    2

    1n

    n

    =

    =

    =

    CBA

    OBS:

    - A representao em V.E. d a informao sobre a estrutura interna do sistema

    - A escolha das variveis de estado no nica. Assim, existem infinitas formas de

    representar um mesmo sistema em variveis de estado.

    EXEMPLO:

    i(t) C

    L

    RiL

    vC

    ==

    L2

    C1

    ixvx

    u= i

    i 0C1

    iv

    LR

    L1

    C10

    iv

    L

    c

    L

    c

    +

    =

    &&

    3.3 Relao Entre Variveis de Estado e Funo de Transferncia

    =+=

    CxBAxx

    yu&

    )s()s(Y

    )s(U)s()0()s(sCX

    BAXxX=

    +=

  • 22

    ( ) ( ) )s(Us)s( )s()s(s 1BAIXBXXAI ==

    Logo,

    ( ) BAIC 1s)s(U)s(Y)s(G ==

    Mas,

    ( ) ( )( )AIAIAI

    = sdetsadjs 1

    e

    )s(D)s(NK)s(G =

    Comparando estas trs ltimas equaes:

    ( )BAI sadj C)s(KN = e ( )AI = sdet)s(D

    Assim, os valores de s que satisfazem

    ( ) 0sdet = AI Autovalores da matriz A

    Tambm satisfazem

    D(s)= 0 Razes de D(s) Plos de G(s)

    3.4 Modelagem de Sistemas Fsicos

    Para entender e controlar sistemas complexos, devemos obter modelos matemticos

    quantitativos destes sistemas. Como os sistemas em considerao so dinmicos, as suas

    equaes descritivas so equaes diferenciais.

    Tais equaes que descrevem o comportamento dinmico de um sistema fsicos so

    obtidas atravs das leis fsicas do processo. Este procedimento se aplica igualmente a sistemas

    mecnicos, eltricos, fludos e termodinmicos.

    3.4.1 Variveis Generalizadas

  • 23

    Visando generalizar o problema de modelagem, ou seja, apresentar uma metodologia

    que independa do sistema fsico a ser tratado, iremos definir um par de variveis (e,f), aos

    quais damos o nome de variveis generalizadas.

    A grosso modo, podemos dizer que as variveis generalizadas de um dado sistema so

    aquelas cujo produto igual (ou proporcional) a potncia (energia no tempo) entrando ou

    saindo do sistema.

    Neste par de variveis generalizadas, identificamos dois tipos de variveis, que

    dependem da forma com que elas agem nos elementos dos sistemas. Assim, temos as

    variveis ATRAVS (corrente, fora) e as variveis ENTRE (tenso, velocidade). Notar que

    a designao tambm est relacionada ao tipo de instrumento requerido para medir cada

    varivel em um sistema fsico: medidores de fora e corrente so usados em srie para medir

    o que atravessa o elemento, e medidores de velocidade e tenso so conectados em paralelo

    para medir a diferena entre o elemento.

    A tabela a seguir mostra as variveis generalizadas para diferentes sistemas fsicos.

    Sistema Varivel Atravs Varivel Entre

    Eltrico Corrente, i Tenso, v

    Mecnico Fora, F Velocidade, v

    Rotacional Torque, Velocidade angular,

    Fluido Vazo, Q Presso, P

    Trmico Fluxo de Calor, q Temperatura, T

    Este par de variveis generalizadas so chamados tambm de variveis ESFORO

    (entre) e FLUXO (atravs). Esta denominao ser utilizada a partir de agora: esforo (e),

    fluxo (f).

    3.4.2 Elementos de Sistemas Fsicos

    Sob o enfoque energtico e usando a definio de variveis generalizadas , podemos

    classificar os elementos de sistemas em trs tipos:

  • 24

    Fontes de energia - fontes de variveis entre (ESFORO)

    - fontes de variveis atravs (FLUXO)

    Armazenadores de energia - armazenadores de variveis entre (ESFORO)

    - armazenadores de variveis atravs (FLUXO)

    Dissipadores de energia

    A tabela a seguir mostra os elementos de diferentes sistemas fsicos, separando-os em

    armazenador de fluxo, armazenador de esforo e dissipadores.

    Sistema Armazenador de

    Fluxo

    Armazenador de

    Esforo

    Dissipador

    Eltrico Capacitor

    i Cdvdt

    = 21

    Indutor

    v L didt21

    =

    Resistor

    ivR

    = 21

    Mecnico Massa

    F Mdvdt

    = 2

    Mola

    vK

    dFdt21

    1=

    Atrito Viscoso F Bv= 21

    Rotacional Inrcia

    = Jddt

    2

    Mola Torcional

    211

    =K

    ddtr

    Atrito Viscoso Rot.

    = Br 21

    Fluido Reservatrio

    Q CdPdtf

    = 21

    Inrcia fluida

    P I dQdtf21

    =

    Resistncia fluida

    QR

    Pf

    =1

    21

    Trmico Corpo

    q CdTdtt

    = 2 - - - - -

    Resistncia Trmica

    qR

    Tf

    =1

    21

    3.4.3 Interconexo de Elementos de Sistemas

    A forma com que os elementos de um sistema so conectados gera um novo conjunto de

    relaes, que independem das caractersticas dos elementos e das suas relaes dinmicas.

    Existem duas maneiras diferentes de conectar elementos de sistemas:

    Conexo Srie

  • 25

    e = e1 + e2; f = f1 = f2

    Conexo Paralelo

    e = e1 = e2; f = f1 + f2

    As relaes em um sistema composto podem ser colocadas como restries de

    compatibilidade de esforo e de continuidade de fluxo.

    RESTRIO DE COMPATIBILIDADE DE ESFORO

    ekk

    n

    == 0

    1

    RESTRIO DE CONTINUIDADE DE FLUXO

    fkk

    n

    == 0

    1

    Estas restries podem ser aplicadas aos mais diversos tipos de sistemas fsicos, para

    obter ao seus modelos matemticos (equaes diferenciais que os descrevem).

  • 26

    Em resumo, modelagem matemtica pode ser interpretada como abaixo:

    ==

    =++

    matematico modelo F.T estado de riveisav combinao

    dtdx vdinmicas relaes Ri vvasconstituti relaes

    0vv vtivasinterconec Restries

    bsicas relaes

    321

    3.4.4 Sistemas Mecnicos Translacionais

    Analogia: fora corrente e velocidade f fora

    Ex1:

    Restrio Interconectiva (RI):

    Relaes Constitutivas (RC):

    bvf dtdf

    k1 v

    dtdv Mf bkm ===

    Relaes Dinmicas (RD)

    dtdx b kx

    dtxd M f

    bv vdt k dtdv M f Logo ;

    dtdx v

    2

    2

    ++=

    ++==

    ( ) F(s) )s(XK Bs Ms 2 =++ K Bs Ms

    1 )s(F)s(X

    2 ++=

  • 27

    x(t) )t(x

    fM1 x

    Mb - x

    Mk- x

    x x (t)x v(t) )t(x

    1

    21 2

    21

    2

    =

    +=

    ===

    &

    &

    &

    [ ]x0 1 y f10

    x Mb-

    Mk-

    1 0 x =

    +

    =&

    Ex2:

    RI:

    RC:

    );dtv - dtvk( f ; ) v- vb( f ;dt

    ydM f uykuyb22

    m ===

    RD:

    dtdu v

    dtdy v uy ==

    0 u) -k(y )u - yb( ym =++ &&&& ku ub ky yb ym +=++ &&&& umk u

    mb y

    mk y

    mb y +=++ &&&&

  • 28

    =

    +

    =

    +=

    +=+=

    =

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    21

    21 2221

    2

    xx

    1] [0y u

    mbmk

    xx

    mb - 1

    mk - 0

    xx

    umk x

    mk - x

    umb x

    mb - xx u

    mb - x

    mb x x

    y x

    &

    &

    &

    &&

    Ex3:

    RI:

    RCRD:

    0 zk )z - z (b zb zmf zk )z - z (b zb zm

    zm f zm fz f zb f

    )z - z (b f )z - z (b fzk f zk f

    221232221

    112131111

    22m2111m

    2b211b1

    123b32133b

    22k2111k

    =+++=+++

    ========

    &&&&&

    &&&&&

    &&&&

    &&

    &&

    &

  • 29

    Estado: 24231211 z x; z x; z x; z x && ====

    =

    ++

    =

    +++

    =

    =

    43

    32

    22

    2

    34

    2

    324

    11

    1

    14

    1

    32

    1

    312

    21

    x x

    xmk - x

    mb

    xm

    )b b ( - x

    mf x

    mk - x

    mb

    xm

    )b b ( - x

    x x

    &

    &

    &

    &

    Ex4: Transformador mecnico

    RI:

    RC:

    Bv fb dt

    dfk1 v

    dtdvM F km ===

    RD:

    2

    11

    2

    11 F ky yB yM l

    lF Bv vdt k dtdvM Logo,

    dtdy v

    ll

    =++=++

    =

    &&&

    3.4.5 Sistemas Mecnicos Rotacionais

    Ex1:

  • 30

    RI:

    RC:

    22B22

    2

    213B311B11

    1

    B T dt

    d T

    ) - (B T B T dt

    d T

    2

    1

    =

    =

    ==

    =

    RD:

    222

    2213

    2 13111

    1

    22

    11

    B dt

    d ) - (B

    ) (B B dt

    d T

    dtd

    dtd

    +

    =

    ++

    =

    =

    =

    3231212311322

    21

    3221

    23

    23323121231132

    221

    3221

    322

    23322311

    1

    1322

    331311

    1322

    32

    22222313

    231311

    BBBBBBs]I)B B(I)B B[(sII)B (B sI

    )s(T)s(

    B-B BBBBBBsI)B B( sI)B B[(sII)B (B sI

    )s(T)s(

    )B (B sI B- )B B sI )(B B sI (

    )s()s(T

    )s() B B (sI

    BB - )s() B B sI ( )s(T

    )s() B B (sI

    B )s(

    )s(B )s(sI )s(B - )s(B)s(B - )s()B B sI ( )s(T

    +++++++++

    =

    //++++++++++

    =

    ++++++

    =

    ++

    ++=

    ++

    =

    +=++=

    Ex2: Modelo de uma hlice

  • 31

    =

    ++=

    222 1

    2 111

    c ) - k(

    ) - k( B dt

    dI

    3.4.6 Sistemas Eletromecnicos

    Princpios:

    Maquinas Eltricas Rotativas

    Maquinas de C.C: So bastante utilizadas e controle, pois podem

    ser representadas por modelos simples e

    lineares em uma vasta operao.

    Geradores C.C.

  • 32

    aaa

    f21f21ff

    e R R

    ikk )linear ( ik ; k ; L R

    ++=

    ===+=

    dtdiie

    eedtdi

    ie

    aag

    ggf

    ff

    Aplicando Laplace:

    ff

    g

    f

    g

    fggffff

    sL Rk

    )(E

    (s)E

    (s);Ik (s)E (s);)IsL R ( )(E

    +=

    =+=

    s

    s

    Motores C.C

    =+=== bb22

    aff2a2 k e ; dtdB

    dtdJ iikk ; ik

    Motor C.C Controlado Pela Armadura

    ])(Js[)()(

    )(])BsJs)([()()()BsJs()()(

    )()()()()()BsJs()(

    ;

    2

    22

    22

    btaaaa

    t

    a

    btaaatbt

    aaa

    baaaa

    at

    bbbaaaaa

    afaff

    ff

    kkBRsBLJRLsk

    sEs

    sskksLREkssksk

    sLRsE

    ssksIsLRsEssIk

    keeiLiReBJ

    ikiikkik

    ++++=

    +++=++

    +=

    ++=+=

    =++=+=

    ==

    =

    &

    se:

  • 33

    )1()(

    )( +

    =ss

    ksEsL

    m

    m

    aa

    onde:

    motor do tempode constante )(

    motor do ganho )(

    bta

    am

    bta

    tm

    kkBRJR

    kkBRkk

    +=

    +=

    Ex1: Gerador + motor C.C

    [ ]

    [ ]

    k))(( )(k

    )()(

    )(k))((k

    )()(

    k)(]k))([()(

    )(k)()()(

    )()()(k

    k ;e

    e ;

    b

    t

    bt

    t

    b

    b

    t

    bg

    g

    taaff

    g

    f

    taag

    fff

    g

    taaf

    taag

    at

    a

    bba

    aaa

    fgf

    ffff

    kBJssLRsLRsk

    sEs

    sskBJssLRksLR

    sE

    ksskBJssLRsI

    sk

    BJssLRsE

    sBJssIkBJi

    eedtdiLiR

    ikdtdi

    LiRe

    ++++=

    ++++

    =

    +++=

    +

    ++=

    +=+==

    =++=

    =+=

    &

    3.4.7 Sistemas Fludicos

    (Q) Vazo ) f ( Fluxo(P) Presso ) e ( Esforo

  • 34

    Ex1:

    1ARs

    R)s(Q

    )s(H ; )s(HR1As)s(Q

    inin +

    =

    +=

    Ex2:

    Ex3: Tanque pressurizado com fluido compressvel

    Conservao de massa:

    dtdQQ

    dtVd

    dtdmassa

    VQ

    dtdV )( ====

    Para lquidos:

    constante = dPd

    Para gases:

    comprido) fluido o erapidament quao de depende ( 1.4-1.0 n .

    = dPPn

    d

  • 35

    Ex4: Acumulador com mola ( fluido incompresvel)

    kAc ;

    dtpd c

    dtpd

    kAQ

    dtpd.Ak.A

    dtdxAQ

    dtdx

    Ak

    dtpd

    dtdxk

    dtpdA ; kxAp

    2

    f21

    f21

    2

    21

    212121

    ===

    ==

    === Q

    Ex4: Inertncia fluida

    dtd

    P seDefine

    dtdiL V a anlogo

    dtdQ

    ALP

    VAQ ;

    dtdx.A

    dtl.dvQ

    dtdi.L.A.a.mPA)PP(AF

    2121

    21

    2112

    =

    =

    =

    ===

    /==/==

    3.4.8 Sistemas Trmicos

    dtdQq

    tm.c.tCQ

    (q) fluxo f)( ratura tempe e

    =

    ==

  • 36

    Ex1: Termmetro simples

    )( 10

    =

    mmv

    m

    dtdC

    R

    ;1

    1)(

    )(

    )(

    10

    11

    )(

    110

    1

    +==

    ===

    =+

    vmrefm

    v

    ref

    ref

    mmm

    v

    m

    RsCss

    dtdC

    R

    dtdC

    R

    m

    876

    ; ; ; )1((t) 1

    R ==

    mv

    tRCR

    ref CResSe vm

    Ex2: Sistema de transferncia de calor

    Consideraes: - No h armazenamento de calor no isolamento

    - Toda a agua no recipiente t a mesma temperatura

    - i constante e do meio ambiente

    fluido do escoamento ao devidocalor de perdaespecificocalor c

    vazon

    nc1R

    RRdtdCq

    2

    2

    i

    1

    i

    =

    +

    +

    =

  • 37

    3.5 Diagramas de Blocos

    3.5.1 Definio

    Diagrama de Blocos de um sistema uma representao ilustrada das funes

    desempenhadas por cada um dos componentes do sistema e do fluxo de sinais existente.

    3.5.2 Componentes

    BLOCO

    Funo de Transferncia

    G(s)

    Entrada Sada

    U(s) Y(s) Y(s)= G(s).U(s) .

    PONTO DE JUNO

    a

    a

    PONTO DE SOMA

    +-+a

    b

    c

    d= a+b-c

    3.5.3 Diagrama de Blocos de um Sistema em Malha Fechada

    R(s) +

    -G(s)

    H(s)

    E(s)

    B(s)

    Y(s)

    Funo de Transferncia de malha aberta = =B sE s

    G s H s( )( )

    ( ) ( )

    Funo de Transferncia de alimentao direta = =Y sE s

    G s( )( )

    ( )

  • 38

    Funo de Transferncia do canal de realimentao B sY s

    H s( )( )

    ( )=

    Funo de Transferncia de Malha Fechada )s(H)s(G1

    )s(G)s(R)s(Y

    +==

    Y(s)= G(s)E(s)

    E(s)= R(s) - B(s) = R(s) - H(s)Y(s)

    Y(s)= R(s)G(s) - G(s)H(s)Y(s)

    Y sR s

    G sG s H s

    ( )( )

    ( )( ) ( )

    =+1

    3.5.4 Procedimento para a Construo

    i. Escrever as equaes que descrevem o comportamento dinmico de cada

    componente;

    ii. Obter a transformada de Laplace destas equaes, admitindo condies iniciais

    nulas;

    iii. Representar cada equao em transformada de Lapace na forma de um bloco;

    iv. Montar os elementos em um diagrama de blocos completo.

    3.5.5 Reduo de um Diagrama de Blocos

    Um diagrama de blocos pode ser simplificado ou reduzido por um rearranjo passo a

    passo, usando as regras da lgebra do diagrama de blocos:

  • 39

  • 40

    EXEMPLO:

    Rf

    Lf

    Ra La

    egeb

    Vel. cte

    Campo cte

    J , B1 1

    J , B2 2

    N1

    N2

    qi

    qo

    R

    Ah

    +

    -

    r h

    Amplif.

    Kif

    iaef Tm 1

    2

    gK Km

    Ki

    Kp

    VLVULA

    RESERVATRIO

    e

    BiaTANQUE

    ENG.

    Kb

    GERADOR

    MOTOR

    As relaes dadas so as seguintes:

    e K r h e Ke q Ks f i i= = =( ); ; 2

    Kg = constante de fora eletromotriz do gerador (V/A)

    Kb = constante de fora contra-eletromotriz do motor (V.s/rad)

    Km = constante de torque do motor (N/A)

    Calcular a funo de transferncia H sR s

    ( )( )

    pela reduo do diagrama de blocos.

    Considerar todos os parmetros iguais a 1, exceto N 2 2=

    H sR s

    Ks s s s s K

    ( )( )

    =+ + + + +

    25 20 34 28 9 25 4 3 2

    3.6 Grficos de Fluxo de Sinal

    3.6.1 Introduo

    Um grfico de fluxo de sinal diagrama que representa um sistema de equaes

    lineares simultneas.

  • 41

    Consiste de uma rede em que ns so conectados por ramos orientados. Cada n

    representa uma varivel do sistema, e cada ramo conectado entre dois ns atua como um

    multiplicador de sinais.

    x1

    x2

    x3

    y= a x + a x + a x

    a 1

    a2

    a 3

    1 1 2 2 3 3

    OBS: Cada n soma os sinais que chegam a ele, e transmite esta soma.

    3.6.2 Definies

    x1 ax2 b

    c

    x3

    de

    x4

    x5N deentrada

    N desada

    N deentrada

    N de entrada

    N de sada

    Caminho

    Lao

    Ganho de um caminho

    Laos que no se tocam

    Caminho direto

    3.6.3 Diagrama de Fluxo de Sinal a Partir do Diagrama de Blocos

    Bloco

    G(s)U(s) Y(s) G(s)U(s) Y(s)

    Ponto de Tomada

    a

    a

    a

    1

  • 42

    Ponto de Soma

    +-+a

    b

    c

    d= a+b-c a 1

    b

    1

    -1c

    d

    Sistema de Controle de Malha Fechada

    R(s) +

    -G(s)

    H(s)

    E(s)

    B(s)

    Y(s) Y(s)R(s) E(s)1 G(s)

    -H(s)

    3.6.4 Frmula de Ganho de Mason

    Qualquer funo de transferncia entre um n de entrada e um n de sada pode ser

    calculada utilizando a frmula de ganho de Mason:

    P Pk kk

    = 1

    onde:

    P Ganho total entre um n de entrada e um n de sada

    Pk Ganho do k-simo caminho direto

    Determinante do grfico = 1 - (soma de todos os ganhos dos laos

    individuais) - (soma dos produtos dos ganhos de todas as combinaes

    possveis de dois laos que no se tocam) + (soma dos produtos dos ganhos de

    todas as combinaes possveis de trs laos que no se tocam) - ...

    k Cofator do k-simo determinante de caminho direto do grfico com os

    laos que tocam o k-simo caminho direto removidos, isto , o cofator k

    obtido de removendo os laos que tocam o caminho Pk.

  • 43

    4 ESTABILIDADE

    4.1 Definio (BIBO - Bounded Input, Bounded Output)

    Um sistema qualquer estvel se e somente se para toda e qualquer entrada limitada, a

    sada correspondente tambm for limitada.

    Teorema

    Um sistema linear, invariante no tempo e com parmetros concentrados estvel se e

    somente se o mdulo de sua resposta ao impulso unitrio for integrvel em um intervalo

    infinito, isto ,

    0

    )( dttg para um valor finito.

    Um sistema linear a malha fechada, invariante no tempo, a parmetros concentrados

    estvel se e somente se todos os plos de sua funo de transferncia de malha fechada esto

    no semiplano esquerdo aberto do plano complexo s.

    1 + G(s)H(s) = 0 chamada de equao caracterstica do sistema de controle de malha

    fechada

    As razes desta equao so os plos de malha fechada deste sistema.

    4.2 Critrio de Estabilidade de Routh

    Considere a seguinte funo de transferncia de malha fechada:

    )()(

    ... ...

    )()(

    11

    10

    11

    10

    sDsN

    asasasabsbsbsb

    sRsY

    nnnn

    mmmm

    =++++++++

    =

    Montar a seguinte tabela:

    1

    1

    21

    4321

    4321

    4321

    7531

    6420

    0

    1

    2

    4

    3

    2

    1

    n

    gf

    ee::

    dd...cc...bbb...a...

    :

    s

    ddcc

    baaaaaaa

    sss

    ssss

    n

    n

    n

    n

    onde: 1

    30211 a

    aaaab

    = ;

    1

    50412a

    aaaab = ; 1

    70613 a

    aaaab

    = ; ......

  • 44

    O clculo dos bs continua at que os restantes sejam nulos. Para os cs, ds e es,

    temos:

    1

    21311 b

    baabc

    = ;

    1

    31512 b

    baabc

    = ;

    1

    41711 b

    baabc

    = ; ......

    M

    1

    21211 c

    cbbcd

    = ;

    1

    31312 c

    cbbcd

    = ; .....

    O processo continua at que a n-sima linha tenha sido completada.

    CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH

    O nmero de razes da equao caracterstica com partes reais positivas igual ao

    nmero de mudanas de sinal dos coeficientes da 1a coluna da tabela.

    EXEMPLO:

    5432)( 234 ++++= sssssD

    50651

    042531

    0

    1

    2

    3

    4

    sssss

    Duas razes instveis

    Casos Especiais

    a) Primeiro termo de uma linha nulo:

    - Substituir o termo nulo por um nmero positivo muito pequeno e continuar a

    completar a tabela ou

    - Multiplicar o polinmio por (s+1) e construir a tabela

  • 45

    EXEMPLO:

    1011422)( 2345 +++++= ssssssD

    100

    1006

    10421121

    01

    11

    2

    3

    4

    5

    sdscs

    sss

    12124

    1

    =c ; 6106

    1

    11

    =

    ccd

    Duas razes instveis

    b) Todos os coeficientes em uma linha so nulos:

    - O resto da tabela pode ser continuado formando um polinmio auxiliar com os

    coeficientes da ltima linha e usando os coeficientes da derivada deste polinmio na linha

    seguinte.

    EXEMPLO:

    502548242)( 2345 +++= ssssssD

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0005048225241

    ssssss

    50482)( 24 += sssp

    5007.1125024

    9685048225241

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    ssssss

    Um plo instvel

  • 46

    EXERCCIO

    Determinar os valores de K para os quais o sistema de controle de malha fechada abaixo

    seja estvel

    R(s) +

    -

    Y(s)

    s(s +s+1)(s+2)2K

    Ks

    Ks

    Kss

    Ks

    KsssK

    sRsY

    0

    1

    2

    3

    4

    34

    079237

    02331

    23)()(

    +++=

    914 0

    792 KK

    0>K

    5 CARACTERSTICAS EM MALHA FECHADA

    Existem basicamente duas grandes vantagens em utilizarmos um sistema de controle a

    malha fechada ao invs de malha aberta: reduo da sensibilidade do sistema variaes de

    parmetros e maior rejeio distrbios

    Por outro lado, existem tambm desvantagens em se utilizar realimentao, tais como:

    maior nmero de componentes e perda de ganho.

    Estas vantagens e desvantagens sero analisadas neste item.

  • 47

    5.1 Sensibilidade Variao de Parmetros

    G(s)R(s) Y(s)

    Malha Aberta

    R(s) +

    -G(s)

    H(s)

    E (s)

    B(s)

    C(s)a

    Para ilustrar o efeito da variao de parmetros, consideraremos uma mudana de G(s)

    na funo de transferncia da planta G(s).

    Para o caso de um sistema em malha aberta a mudana correspondente na sada ser

    )()()( sRsGsY =

    No caso de um sistema de malha fechada, temos:

    )()())()((1

    )()()()( sRsHsGsG

    sGsGsYsY+++

    =+

    Ento, a mudana na sada ser

    ( )( ) )()(1)()(1)()( sR

    sGHsGHsGHsGsY

    +++

    =

    Quando GH s GH s( ) ( )>> , temos

    ( ))(

    )(1)()( 2 sRsGH

    sGsY+

    =

    Ou seja, a mudana na sada reduzida por um fator ( )2)s(GH1+ que usualmente muito maior que 1 na faixa de freqncias de interesse.

    A sensibilidade de um sistema definida como a razo entre a mudana percentual na

    funo de transferncia de malha fechada Gmf s( ) e a mudana percentual na funo de

    transferncia da planta G(s)

  • 48

    )(/)()(/)(

    sGsGsGsG

    S mfmf

    =

    No limite, para pequenas variaes incrementais, temos: GGGG

    S mfmf//

    =

    Assim, a sensibilidade da funo de transferncia de malha fechada a variao em G :

    GHGG

    GG

    Smf

    mfG +

    ==1

    1

    e a sensibilidade variao em H : GH

    GHGH

    HG

    Smf

    mfH +

    ==

    1

    Quando GH elevado, a sensibilidade aproxima-se da unidade e as mudanas em H(s)

    afetam diretamente a resposta do sistema. Assim, necessrio utilizar componentes precisos

    na malha de realimentao.

    5.2 Efeito de Perturbaes

    G(s)R(s) Y(s)

    Malha Aberta

    P(s)

    ++

    perturbao

    G(s)R(s) Y(s)1

    1

    P(s)

    1)()(=

    sPsY

    R(s) +

    -G(s)

    H(s)

    E(s)

    B(s)

    Y(s) Y(s)R(s) E(s)1 G(s)

    -H(s)

    P(s)

    ++

    1

    P(s)

    )(11

    )()(

    sGHsPsY

    +=

  • 49

    Ocorre uma reduo no efeito de perturbaes na sada do sistema quando o mesmo est

    em malha fechada em relao a malha aberta.

    Existem algumas vantagens adicionais em se utilizar realimentao, as quais sero

    discutidas futuramente: possibilidade de estabilizao, de melhoria no desempenho transitrio

    e de melhoria no desempenho em regime permanente de um sistema.

    5.3 O Custo da Realimentao

    As vantagens introduzidas com o uso da realimentao tm um custo, o qual deve ser

    analisado.

    Basicamente, as principais desvantagens da realimentao em relao a malha aberta

    so:

    Aumento da Complexidade

    Em malha fechada tem-se a necessidade do uso de um maior nmero de componentes

    no sistema. Como exemplo, citamos o sensor, geralmente o componente mais caro em um

    sistema de controle.

    Perda de Ganho

    O ganho de um sistema de malha fechada reduzido por um fator 1/1+GH em relao a

    um sistema de malha aberta.

    Possibilidade de Instabilidade

    Um sistema que em malha aberta estvel, pode no ser sempre estvel em malha

    fechada. Como exemplo, citamos o exemplo do controle de nvel visto anteriormente, onde a

    estabilidade do sistema em malha fechada dependia do ganho do amplificador K.

    6 ANLISE DE DESEMPENHO TRANSITRIO E EM REGIME ESTACIONRIO DE SISTEMAS

    A resposta temporal de um sistema consiste de duas partes: a resposta transitria e a

    resposta em regime permanente (estacionria).

    Resposta Transitria parte da resposta que vai do estado inicial at o estado final.

    Resposta Estacionria maneira com a sada se comporta quando t tente a infinito.

  • 50

    6.1 Anlise de Resposta Transitria

    6.1.1 Sistemas de Primeira Ordem

    Considere a seguinte equao diferencial de 1a ordem:

    )()()( tdrtbctca =+

    0a

    onde c(t) a sada do sistema e r(t) a entrada do sistema.

    Definindo

    sistema) do tempode (constante Tba= ; e sistema) do (ganho K

    bd=

    temos

    )()()( tKrtctTc =+

    Assim a funo de transferncia : 1

    )()()(

    +==

    TsKsG

    sRsC

    K 1sT

    R(s) C(s)+

    -

    E(s)

    Considerando K=1, temos: 1

    1)(+

    =Ts

    sG

    Resposta ao Degrau Unitrio

    TssssTsC

    /1111

    11)(

    +=

    +=

    Ttetc /1)( =

  • 51

    Resposta a Rampa Unitria

    11

    111)(

    2

    22 ++=

    +=

    TsT

    sT

    sTsssC

    TtTeTttc /)( +=

    ( )TteTtctrte /1)()()( ==

    Logo: Te =)(

    Exemplos de sistemas de 1a ordem: circuito RC, reservatrio com vlvula, sistema de

    temperatura, etc.

    6.1.2 Sistemas de Segunda Ordem

    Considere a seguinte equao diferencial de segunda ordem::

    )()()()( tertdctcbtca =++

    Definindo: Kae

    ad

    ab

    nn === ; ; 22

  • 52

    onde o fator de amortecimento, n a freqncia natural e K o ganho do sistema, temos:

    )()()(2)( 2 tKrtctctc nn =++

    Aplicando Laplace com C.I. nulas: 22 2)()(

    nnssK

    sRsC

    ++=

    KR(s) C(s)+

    -

    E(s) 1s(s+2 )n

    Considerando 2nK = : 222

    2)()(

    nn

    n

    sssRsC

    ++=

    Plos do sistema: 1 02 222 ==++ nnnn sss

    Exemplos de sistemas de 2a ordem: circuito RLC, sistema massa-mola-atrito,

    servomecanismo de posio...

    Temos trs casos:

    a) 10

  • 53

    c) > 1: Caso SOBREAMORTECIDO. Dois plos reais e distintos.

    A medida que aumenta, o comportamento do sistema se aproxima do

    comportamento de um sistema de 1a ordem.

    Resposta ao Degrau Unitrio

    a) Caso Subamortecido:

    +

    =

    21

    2

    1

    11)( tgtsenetc d

    tn

    onde: 21 =d a freqncia natural amortecida.

    Se 0= , ento: tcos1)t(c n=

    b) Caso criticamente amortecido: ( )t1e1)t(c ntn +=

    c) Caso sobreamortecido:

    +=

    2

    ts

    1

    ts

    2

    n

    se

    se

    121)t(c

    21

    onde ( ) ( ) 1 e 1 2221 nn ss =+=

    A figura abaixo mostra as curvas de resposta ao degrau unitrio de um sistema de 2a

    ordem em funo do fator de amortecimento .

  • 54

    ESPECIFICAES DE RESPOSTA TRANSITRIA

    Definies

    a) Tempo de Subida, tr: o tempo necessrio para que a sada atinja pela primeira vez o

    seu valor final

  • 55

    drt

    = onde

    2

    1 1= tg

    b) Tempo de Pico, tp: o instante de tempo em que a resposta atinge o primeiro pico

    do sobre-sinal.

    dpt

    =

    c) Sobre-Sinal Mximo (Overshoot), Mp: o valor mximo de pico da curva de

    resposta medido a partir do valor final.

    %100)(

    )()((%) x

    cctc

    M pp

    =

    +=21/

    1)(

    etc p

    Logo:

    =21/

    100(%)

    eM p

    OBS: O sobre-sinal mximo depende somente do valor do coeficiente de amortecimento .

    d) Tempo de Acomodao (estabilizao), ts: o tempo necessrio para que a resposta

    alcance e permanea dentro de uma faixa em torno do valor final. Esta faixa especificada

    por uma porcentagem absoluta do valor final (2% ou 5%).

    nst

    4= (critrio de 2%)

    nst

    3= (critrio de 5%)

    OBS: As curvas e especificaes calculadas so vlidas somente para sistemas de 2a ordem,

    cuja funo de transferncia apresenta dois plos e nenhum zero.

  • 56

    6.1.3 Sistemas de Ordem Superior

    Considere a resposta ao degrau unitrio de um sistema de ordem superior:

    ( )

    ( ) ( )

    = =

    =

    +++

    += q

    j

    r

    kkkkj

    m

    ii

    sspss

    zsKsC

    1 1

    22

    1

    2)(

    onde q + 2r = n.

    Expandindo a equao acima em fraes parciais, temos:

    ( ) = = ++

    +++

    ++=

    q

    j

    r

    k kkk

    kkkkkk

    j

    j

    sscsb

    psa

    sasC

    1 122

    2

    21

    )(

    Logo,

    ( ) ( )=

    =

    =

    +++=r

    kkk

    tk

    r

    kkk

    tk

    q

    j

    tpj tsenectebeaatc kkkkj

    1

    2

    1

    2

    111cos)(

    - A curva de resposta de um sistema estvel de ordem superior a soma de um certo

    nmero de curvas exponenciais e curvas senoidais amortecidas

    - O tipo de resposta transitria determinado pelos plos de malha fechada, ao passo

    que a forma de resposta transitria determinada principalmente pelos zeros de malha

    fechada.

    EXEMPLO:

    csccbcaK

    bsbbcbaK

    sbcKa

    csbssasKsC

    +

    +

    =++

    += )(

    )()(

    )(

    ))(()()(

    PLOS DOMINADOS E DOMINANTES

    Se um sistema estvel, ento os plos que esto longe do eixo j tem partes reais

    negativas de valor grande, e os termos exponenciais correspondentes a estes plos decaem

    rapidamente a zero.

  • 57

    A dominncia relativa de plos de malha fechada determinada pela relao das partes

    reais dos plos de malha fechada, bem como pelos valores relativos dos resduos calculados

    nos plos de malha fechada. O valor dos resduos depende tanto dos plos quanto dos zeros

    de malha fechada.

    Se as relaes entre as partes reais dos plos excedem cinco e no existem zeros na

    vizinhana, ento os plos de malha fechada mais prximos do eixo j dominaro a resposta

    transitria. Estes plos so chamados de DOMINANTES e os mais distantes do eixo j so

    chamados de DOMINADOS.

    EXEMPLO:

    )10)(2)(1(20)(

    +++=

    ssssG

    Resposta ao degrau unitrio:

    1072/2

    28/10

    19/201

    )10)(2)(1(20)(

    +

    ++

    +=

    +++=

    sssssssssC

    ttt eeetc 102722

    810

    9201)( +=

    Este sistema dominante de segunda ordem, pois o plo s= - 10 est muito distante do

    eixo j. Assim, podemos fazer uma aproximao para um sistema de segunda ordem.

    Para desprezar o efeito de um plo em uma funo de transferncia, devemos fazer s=0

    na parte correspondente a este plo.

    No exemplo, temos:

    )2)(1(2

    )100)(2)(1(20)(

    ++=

    +++

    sssssG

    Assim, a resposta ao degrau unitrio :

    21

    121

    )2)(1(2)(

    ++

    +=

    ++

    sssssssC

    tt eetc 221)( +

    A figura abaixo mostra as curvas exata e aproximada:

  • 58

    curva exata

    curva aproximada

  • 59

    6.2 Desempenho em Regime Permanente

    A anlise do desempenho em regime permanente de um sistema consiste no estudo do

    comportamento da resposta do sistema quando o tempo tende a infinito.

    6.2.1 Introduo

    CLASSIFICAO DE SISTEMAS

    Podemos classificar um sistema de controle acordo com a sua habilidade para seguir

    entradas em degrau, rampa, parbola, etc...

    Considerando um sistema em malha fechada da forma:

    R(s) +

    -G(s)

    H(s)

    E (s)

    B(s)

    C(s)a

    onde

    ( )

    ( )

    =

    =

    +

    += Nn

    1ii

    N

    m

    1ii

    pss

    zsK)s(H)s(G

    O desempenho do sistema quando s tende a zero depende do nmero de integradores N.

    O nmero de integradores freqentemente chamado de TIPO do sistema (N).

    ERRO ESTACIONRIO

    Considerando o sistema de controle em malha fechada, temos que o erro atuante Ea(s)

    dado por:

    )()()()()()()()( sHsGsEsRsHsCsRsE aa ==

    logo:

    )()()(1

    1)( sRsHsG

    sEa +=

    Aplicando o teorema do valor final, temos que o erro atuante estacionrio ou de regime

    dado por:

  • 60

    )(lim)(lim0

    ssEtee asatss ==

    )()(1)(lim

    0 sHsGssRe

    sss +=

    OBS: O erro atuante Ea(s) s coincide com o erro E(s) = R(s) - C(s) quando H(s)= 1.

    O erro E(s) dado por: [ ] )(

    )()(1)()()(1)()()( sR

    sHsGsGsHsGsCsRsE

    ++

    ==

    6.2.2 Entrada Degrau

    O erro de regime para uma entrada degrau de magnitude A :

    ( ))0()(0(1)()(1

    /lim0 HG

    AsHsG

    sAsesss +

    =+

    =

    Definindo a constante de erro de posio esttico (Kp) como:

    )0()0()()(lim0

    HGsHsGKsP

    ==

    o erro de regime dado por: p

    ss KAe

    +=

    1

    Para um sistema tipo 0 K

    Aess +=

    1 finito

    Para um sistema de tipo 1 ou maior 1N 01

    1=

    +=sse nulo

    6.2.3 Entrada Rampa

    O erro de regime para uma entrada rampa de inclinao A :

    ( ))()(

    lim)()(

    lim)()(1

    /lim00

    2

    0 sHssGA

    sHssGsA

    sHsGsAse

    sssss =

    +=

    +=

    Definindo a constante de erro de velocidade esttico (Kv) como:

    )()(lim0

    sHssGKsv

    =

    o erro de regime para uma entrada rampa dado por: v

    ss KAe =

  • 61

    Para um sistema tipo 0 =0Aess infinito

    Para um sistema tipo 1 K

    ess1

    = finito

    Para um sistema de tipo 2 ou maior N 2 01 =

    =sse nulo

    6.2.4 Entrada Parbola

    O erro de regime para uma entrada parbola r t At( ) /= 2 2 :

    ( ))()(

    lim)()(

    lim)()(1

    /lim 20220

    3

    0 sHsGsA

    sHsGssA

    sHsGsAse

    sssss =

    +=

    +=

    Definindo a constante de erro de acelerao esttico (Ka) como:

    )()(lim 20

    sHsGsKsa

    =

    o erro de regime para uma entrada parbola dado por: a

    ss KAe =

    Para um sistema tipo 0 ou 1 N 1 =0Aess infinito

    Para um sistema tipo 2 K

    ess1

    = finito

    Para um sistema de tipo 3 ou maior N 3 01 =

    =sse nulo

    RESUMO DE ERROS ESTACIONRIOS

    Entrada Degrau

    r(t)= A

    Entrada Rampa

    r(t)= At

    Entrada Parbola

    r(t)= At2/2

    Tipo 0 pK

    A+1

    Tipo 1 0 vK

    A

    Tipo 2 0 0 aK

    A

    Tipo 3 0 0 0

  • 62

    7 CONTROLADORES PID

    7.1 Introduo

    ControladorSrie Planta

    Controladorde Realimentao

    Elementosde Medida

    +

    -

    r(t) c(t)u(t)e(t)

    Controladores Srie

    Em geral, o projeto de controladores srie mais simples que o de controladores

    (compensadores) por realimentao. Entretanto, normalmente exige amplificadores adicionais

    para aumentar o ganho do sistema.

    Exemplos:

    - controladores no-lineares: rel, rel com histerese, etc.

    - controladores lineares: combinao das aes PID (Proporcional, Integral, Derivativa),

    atraso de fase, avano de fase.

    Controladores por Realimentao

    Em geral, o nmero de componentes necessrios na compensao por realimentao

    ser menor que o nmero de componentes na compensao srie.

    Exemplos:

    - Realimentao tacomtrica, realimentao dos estados.

    7.2 Aes de Controle PID

    a) Controle Proporcional (P)

    )()( tKetu = ; )()( sKEsU =

    onde: e(t)= r(t) - y(t) = SP - PV

    - O controlador proporcional um amplificador, com ganho ajustvel (K);

    - O aumento do ganho K, diminui o erro de regime;

  • 63

    - Em geral, o aumento de K torna o sistema mais oscilatrio, podendo instabiliz-lo;

    - Melhora o regime e piora o transitrio, sendo bastante limitado.

    Ex: r(t) +

    -

    c(t)1Ts+1

    K

    Para entrada degrau unitrio K

    ess +=

    11

    O erro ser nulo somente para K 0, o que nem sempre possvel.

    Muitos instrumentos usam um termo alternativo, Banda Proporcional (PB), ao invs

    do ganho: K

    100PB =

    O termo Banda Proporcional se refere faixa sobre a qual o erro deve variar para que a

    sada do controlador (MV) excurcione em toda a sua faixa.

    O ganho do controlador pode ser feito positivo ou negativo. Um ganho positivo resulta

    em uma sada do controlador (MV) diminuindo quando a varivel de processo (PV) est

    crescendo (ao REVERSA). Para um ganho negativo a sada do controlador (MV) diminui

    quando a varivel de processo (PV) cresce (ao DIRETA). O sinal correto depende da ao

    do transmissor (usualmente direta), da ao do vlvula (ar-para-abrir (AO) ou ar-para-fechar

    (AC)) e do efeito do sinal de controle (CS) na varivel de processo (PV).

    Como exemplo suponha o processo de temperatura da sada de um trocador de calor

    mostrado na figura abaixo:

  • 64

    Neste caso, a ao correta do controlador a ao REVERSA (ganho positivo), pois

    todas as outras aes envolvidas so positivas.

    b) Controlador Proporcional + Integral (PI)

    A ao integral do controlador move a varivel de controle (CS) baseada na integral no

    tempo do erro

    +=t

    ip deteKtu

    0

    )(1)()(

    ; ( )

    )()( sEs

    KsKsU ip

    +=

    onde i

    iK 1

    = e i o tempo integrativo ou tempo de reset com unidade da ordem de minutos.

    - Zera o erro de regime, pois aumenta o tipo do sistema em 1 unidade;

    - utilizado quando temos resposta transitria aceitvel e resposta em regime

    insatisfatria;

    - Adiciona um plo em p = 0 e um zero em z = - Ki/Kp;

    - Como aumenta a ordem do sistema, temos possibilidade de instabilidade diferente do

    sistema original. Pode degradar o desempenho do controlador em malha fechada.

    Ex:

  • 65

    r(t) +

    -

    c(t)1Ts+1

    Kp +Kis

    PIe(t)

    Para entrada degrau unitrio 01

    1=

    +=sse

    Muitos controladores so calibrados em minutos (ou minutos/repetio, um termo que

    se origina do teste de colocar o controlador em um erro fixo e verificar quanto tempo a ao

    integral leva para produzir a mesma mudana na sada do controlador que o controlador

    proporcional tem com ganho 1; a integral repete a ao do controlador proporcional).

    c) Controlador Proporcional + Derivativo (PD)

    )()()( tedtdteKtu dp += ; ( ) )()( sEsKKsU dp +=

    onde Kd= d a constante derivativa em minutos.

    - Leva em conta a taxa de variao do erro;

    - utilizado quando temos resposta em regime aceitvel e resposta transitria

    insatisfatria;

    - Adiciona um zero em z = - Kp/Kd;

    - Introduz um efeito de antecipao no sistema, fazendo com que o mesmo reaja no

    somente magnitude do sinal de erro, como tambm sua tendncia para o instante futuro,

    iniciando, assim, uma ao corretiva mais cedo;

    - A ao derivativa tem a desvantagem de amplificar os sinais de rudo, o que pode

    causar um efeito de saturao nos atuadores do sistema.

    Ex:

    r(t) +

    -

    c(t)1Js

    Kp + Kd

    PDe(t)

    s 2

    ( )

    pd

    dp

    KsKJssKK

    sRsC

    ++

    += 2)(

    )(

  • 66

    d) Controlador Proporcional + Integral + Derivativo (PID)

    sKsKsK

    sEsKs

    KKsU ipdd

    ip

    ++=

    ++=

    2

    E(s)U(s) )()(

    - utilizado quando temos resposta transitria e em regime insatisfatrias;

    - Adiciona um plo em p=0 e 2 zeros, que dependem dos parmetros do controlador;

    A ao derivativa pode ser usada sobre o sinal de erro (SP-PV) ou sobre a varivel de

    processo (PV). Usualmente usada sobre esta ltima. Alm disso, geralmente a ao

    derivativa separada da ao PI (veja figura abaixo).

  • 67

    7.3 Implementao Eletrnica Analgica de Controladores PID

    Amplificador Operacional

    65

    12 1010 k )( = eekeo

    Caractersticas: Zin = e Zout = 0

    Inversor

    1

    '

    1 Ree

    i i

    = ; 2

    '

    1 Ree

    i o

    = ; 21 ii = ; oeek = )0(' ; 0' e

    Logo: 21 R

    eRe oi = ou io eR

    Re1

    2=

    De uma maneira geral: )()(

    )()(

    1

    2

    sZsZ

    sEsE

    i

    o =

    Tabela de Aes de Controle:

  • 68

    7.4 Modificaes das Aes de Controle

    PID Original

    Parte Derivativa -Filtro

    sTsT

    d

    d

    +1 ; com 1.0

    PI-D

  • 69

    Objetivo: No derivar variaes bruscas no sinal de referncia.

    I-PD

    Objetivo: No derivar, nem amplificar variaes bruscas no sinal de referncia.

    8 ANLISE DE SISTEMAS POR VARIVEIS DE ESTADO

    8.1 Descrio Por Variveis de Estado

    aplicvel a sistemas de mltiplas entradas e mltiplas sadas, que podem ser lineares

    ou no-lineares, invariantes ou variantes no tempo e com condies iniciais no-nulas.

    O estado de um sistema no instante t0 a quantidade de informao em t0 que, junto

    com a entrada u(t) em t t 0 , determina univocamente o comportamento do sistema para todo

    t t 0 .

    =estado de Varivel )(

    estado deVetor )( ;

    )(:

    )()(

    )(i

    2

    1

    txt

    tx

    txtx

    t

    n

    xx

  • 70

    =entrada ssima-i )(entradas deVetor )(

    ;

    )(:

    )()(

    )(i

    2

    1

    tut

    tu

    tutu

    t

    p

    UU

    =sada ssima-i )(sadas deVetor )(

    ;

    )(:

    )()(

    )(i

    2

    1

    tyt

    ty

    tyty

    t

    q

    YY

    Anxn ; Bnxp ; Cqxn ; Dqxp

    Na representao por variveis de estado:

    )()()( ttt BUAxx +=& Equao de Estado (dinmica do sistema)

    )()()( ttt DUCxY += Equao de Sada (observao do sistema)

    Aplicando Transformada de Laplace temos:

    ( ) ( ) )0()()()0()()()(

    11 XAIBUAIX

    XBUXAI +=

    +=

    ssss

    sss

    Para condies iniciais nulas ( X(0) = 0 )

    ( )[ ] )()( 1 sss UDBAICY += Y(s) = G(s) U(s)

    onde:

    ( ) DBAICG += 1)( ss Matriz Funo de Transferncia

    8.2 Soluo da Equao de Estado

    Caso Escalar

    [ ] ( ) ( ) +=+= )()0()()()()( 11 sbUasxassXtbutaxtx L&

    { } ( ){ } { }+== )(*)0()()( 1111 sULasbLxesXLtx at

    += t

    0

    )t(aat d)(bue)0(xe)t(x

  • 71

    Caso Vetorial

    )t()t()t( BUAxx +=&

    += t

    0

    )t(t d)(e)0(e)t( BUxx AA

    onde: ( ){ }11 = AIA sLe t

    A matriz exponencial teA pode ser calculada atravs da srie:

    . . . !

    . . . !2

    22

    +++++=k

    tttekk

    t AAAIA

    que converge para todo t finito e para todo A.

    8.3 Estabilidade

    Considere uma representao em variveis de estado de um sistema SISO:

    )()()()()()(

    tduttytutt

    +=+=

    CxBAxx&

    - Teorema

    Um sistema estvel se quando u(t) = 0, para todo x(0), temos que lim ( )t

    t

    =x 0

    OBS: se u(t) = 0 )0()( xx Atet =

    - Corolrio

    Um sistema estvel se todos os autovalores da matriz A apresentam parte real

    negativa.

    OBS: Os autovalores de uma matriz A so as razes de sua equao caracterstica:

    ( ) 0det)( == AIss

  • 72

    EXEMPLO:

    u 100

    200430311

    +

    = xx&

    ( ) )2)(2)(1(200

    430311

    det ++=

    ++

    = ssss

    ss

    s AI

    Logo, o sistema instvel.

    8.4 Controlabilidade

    - Definio

    O sistema (A,B,C,d) controlvel se, quaisquer que sejam x(0) e x(T), existe u(t)

    0 t T que transfere o estado x(0) para o estado x(T) em um tempo finito.

    - Teorema

    O sistema (A,B,C,d) controlvel se e somente se o posto da matriz de controlabilidade

    U (n x np) associada igual a n.

    [ ]BABAABBU 12 ... = n

    OBS: Uma matriz R dita possuir posto (rank), (R), igual a m, se existir uma

    submatriz M (m x m) de modo que o determinante de M no nulo e o determinante de todas

    as submatrizes r x r (onde r > m) de R zero.

    Exemplo:

    1)( 1111

    11 =

    = RR 2)(

    000000231221

    22 =

    = RR

  • 73

    EXEMPLO:

    u 11

    1001

    2

    1

    2

    1

    22

    11

    +

    =

    +=+=

    xx

    xx

    xxuxxu

    &

    &

    &

    &

    [ ] 21)( 1111

  • 74

    EXEMPLO:

    u011

    xxx

    110100001

    xxx

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    +

    =

    &

    &

    &

    [ ]

    =

    3

    2

    1

    xxx

    010y

    32)( 110100010

  • 75

    8.6.1 Realizao na Forma Cannica Observvel

    [ ]10... 00 ; ;

    -1... 00-0... 00-0... 01

    0... 00

    1

    2

    1

    1

    2

    1-n =

    =

    = CBA

    n

    nn

    8.6.2 Realizao na Forma Cannica Controlvel

    [ ]121

    121

    ... ;

    1000

    ;

    ... 10... 0000... 0000... 10

    =

    =

    = nn

    nn

    CBA

  • 76

    8.7 Realimentao De Estado

    Idia: Alocar os plos de malha fechada (autovalores da matriz dinmica) usando

    realimentao dos estados, modificando, assim, a dinmica do sistema.

    Dada uma representao em variveis de estado de um sistema:

    )()()()()()(

    tduttytutt

    +=+=

    CxBAxx&

    Usando realimentao de estado, cada varivel de estado multiplicada por uma ganho

    e realimentada para o terminal de entrada, ou seja:

    ru += Kx

    onde:

    [ ]nkkk ...21=K o vetor de ganhos de realimentao

    Assim, temos:

    +=++=++=

    duyrr

    CxBxBKAxKxBAxx )()( &&

    OBS: Devemos ter acesso a todos os estados do sistema.

  • 77

    - Teorema

    Se (A,B,C,d) for controlvel, usando u r= +Kx podemos escolher arbitrariamente os

    autovalores de (A+BK).

    Mtodo para determinar K (Frmula de Ackermann)

    1- Formar n1n1n

    1n asa...sas)s( ++++=

    com os plos desejados.

    2- Calcular K da seguinte forma

    [ ] )( 1...00 1 AUK cq= onde:

    [ ]

    +++=

    =

    IAAABABAABBU

    nnn

    c

    n

    aaq ...)( ...

    11

    12

    EXEMPLO:

    Dado:

    [ ]x

    x

    11=y

    u 11

    2001

    2

    1

    +

    =xx

    &

    Usando ru += Kx , determine K para que os autovalores do sistema sejam -1 e -2.

    Soluo:

    [ ] [ ] [ ]020006

    1112

    1031

    0006

    23)(

    1112

    31

    2111

    23)2)(1()(

    2

    1

    2

    =

    =

    =++=

    =

    ==

    ++=++=

    K

    IAAA

    UABBU

    cq

    sssss

  • 78

    Simulao no Matlab

    Script Curvas

    % Programa para Realimentao de Estado

    whitebg;

    A=[1 0;0 -2];

    B=[1 1]';

    C=[1 1];

    d=0;

    K=[-2 0];

    Aa=[A+B*K]

    Ba=[B];

    Ca=[1 1];

    t=0:0.01:5;

    u=0*t;

    x0=[1 1]'

    [Y1,X1]= LSIM(A,B,C,d,u,t,x0);

    [Y,X] = LSIM(Aa,Ba,Ca,d,u,t,x0);

    plot(t,Y1)

    title('Sada sem realimentao de estado')

    input(' ')

    plot(t,Y)

    title('Sada com realimentao de estado')

    8.8 Observadores de Estado

    Para a realimentao de estado necessrio que o estado seja mensurvel. Quando isto

    no ocorre, h a necessidade de construir um dispositivo denominado de observador ou

    estimador de estado.

    Se $x uma estimativa de x, ento, na realimentao de estado utiliza-se ru += xK .

    Seja

    )()()()()(

    ttytutt

    CxBAxx

    =+=&

  • 79

    conhecendo-se A, B e C, e a medio de y e u, constri-se o estimador. Estudaremos o

    estimador assinttico:

    )()()())()(()()(

    ttytutytytt

    xCBLxAx

    =++=&

    onde: [ ]Tnlll ...21=L

    Erro entre xx e :

    xxx ~ =

    +== uyyu BLxABAxxxx )(~ &&&

    = )()(~ xxLCxxAx&

    xLCAx ~)(~ =&

    Para que 0x =

    )(~lim tt

    (erro entre valor real e estimado do estado nulo) necessrio que

    os autovalores de (A-LC) tenham parte real negativa.

    - Teorema

    Se (A,B,C,d) for observvel, ento um estimador de estado assinttico com quaisquer

    autovalores pode ser construdo.

  • 80

    Mtodo para determinar L (Frmula de Ackermann)

    1- Formar n1n1n

    1n asa...sas)s( ++++=

    com os plos desejados para o observador.

    2- Calcular K da seguinte forma

    [ ]T1L 1...00)(q = VAL onde:

    +++=

    =

    IAAA

    CA

    CACAC

    V 2

    nnn

    L

    n

    aaq ...)(

    :

    11

    1

    EXEMPLO:

    Dado

    [ ]x

    x

    11=y

    u 11

    xx

    2001

    2

    1

    +

    =&

    Projetar um observador de estado com autovalores -3 , -3

    Soluo:

    =

    =

    =++=

    =

    =

    =

    ++=++=

    116

    31

    10

    1112

    10016

    31

    10016

    96)(

    1112

    31

    2111

    96)3)(3()(

    2

    1

    2

    L

    IAAA

    VCAC

    V

    Lq

    sssss

  • 81

    Simulao:

    [ ]

    =

    +

    =

    xx

    0C

    BB

    xx

    LCALC0A

    xx

    y

    u&

    &

    Simulao no Matlab

    Script Curvas

    % Programa para Observadores de Estado

    whitebg;

    A=[1 0;0 -2];

    B=[1 1]';

    C=[1 1];

    d=0;

    L=1/3*[16 -1]';

    I=eye(2);

    Aa=[A 0*I;L*C (A-L*C)]

    Ba=[B;B];

    Ca=[1 1 0 0];

    t=0:0.01:5;

    u=0*t;

    x0=[1 1 0 0]'

    [Y,X] = LSIM(Aa,Ba,Ca,d,u,t,x0);

    plot(t,X(:,2))

    hold on;

    plot(t,X(:,4))

    title('Erro entre x2 e x2 estimado')

    hold off;

  • 82

    Simulao (Realimentao de estado + Observador de estado)

    [ ]

    =

    +

    +

    =

    xx

    0C

    BB

    xx

    BKLCALCBKA

    xx

    y

    r&

    &

    Simulao no Matlab

    Script Curvas

    % Programa para Observadores de Estado

    + Realimentao de Estado

    whitebg;

    A=[1 0;0 -2];

    B=[1 1]';

    C=[1 1];

    d=0;

    K=[-2 0];

    L=1/3*[16 -1]';

    I=eye(2);

    Aa=[A B*K;L*C (A-L*C+B*K)]

    Ba=[B;B];

    Ca=[1 1 0 0];

    t=0:0.01:5;

    u=0*t;

    x0=[1 1 0 0]'

    [Y,X] = LSIM(Aa,Ba,Ca,d,u,t,x0);

    plot(t,X(:,1))

    hold on;

    plot(t,X(:,3))

    title('Erro entre x1 e x1 estimado')

    hold off;

    input(' ');

    plot(t,Y)

    title('Sada')

  • 83

    8.9 Seguidor de Referncia

    Para que um sistema descrito por variveis de estado possa, alm de possuir a dinmica

    desejada (garantida pela alocao de plos por realimentao de estado) seguir uma

    determinada entrada com erro zero, usamos o princpio do modelo interno.

    Considere entradas de referncia descritas por equaes do tipo:

    r

    rr

    xCxAx

    r

    r

    r ==&

    com condies iniciais desconhecidas. Um modelo equivalente para entradas de referncia :

    0.... 01)1(

    1)( =++++ rrrr

    nn

    n &

    onde )n(r a n-sima derivada de r(t).

    Exemplos:

    a) Degrau unitrio: r(t) = 1 , t 0

    0=r&

    Escolhendo xr = r, temos:

    r

    rr

    xrxx

    10

    ==&

    b) Rampa unitria: r(t) = t , t 0

    ==

    01

    rr&&

    &

    Escolhendo rxr =1 e rxr &=2

    =

    2

    1

    2

    1

    0010

    r

    r

    r

    r

    xx

    xx&

    &

    [ ]

    =

    2

    101r

    r

    xx

    r

  • 84

    Princpio do modelo interno aplicado a sistemas excitados por entradas de

    referncia do tipo degrau unitrio

    Considere o sistema

    CxBAxx

    =+=

    yu&

    Definimos o erro de rastreamento como:

    )()()( trtyte =

    Das caractersticas do sinal de referncia, temos:

    xC&&&&& === yrye

    Definimos novas variveis de estado como

    ==

    uw &&xz

    ento temos,

    we

    BAzzCz

    +==&

    & w

    ee

    +

    =

    BzAC

    z0

    00

    &

    &

    Se o sistema for controlvel, ento, existe uma lei de controle por realimentao de

    estado da forma; zk 2+= ekw 1 ; tal que os plos do sistema aumentado podem ser

    posicionados arbitrariamente. Desde que escolhido na regio de estabilidade, ento o ERRO

    DE RASTREAMENTO ser ESTVEL. Assim, o objetivo de rastreamento assinttico com

    erro em regime nulo SER ALCANADO. Ou seja, a resposta do sistema abaixo

    assintticamente estvel.

    +

    =

    zBkAB

    Cz 2

    ek

    e

    1

    0&

    &

    A entrada de controle u(t) obtida da expresso:

    +==t t

    tdekdwtu0 01

    )()()()( xk 2

  • 85

    k1 1 s

    A,B,C

    k

    x+

    - +

    +

    r y

    EXEMPLO:

    Considere o sistema descrito por:

    [ ]x

    xx

    0110

    2210

    =

    +

    =

    y

    u&

    Projetar um controlador para que o sistema tenha erro zero para entrada degrau.

    Sistema aumentado:

    wzze

    zze

    +

    =

    100

    220100010

    2

    1

    2

    1

    &

    &

    &

    Matriz de controlabilidade:

    [ ] 3)( 221210100

    =

    == UBAABBU 2 (Controlvel)

    Escolheremos os plos desejados em 10 e -1j1

    Logo 202212)11)(11)(10()( 23 +++=++++= sssjsjsss

    Aplicao da frmula de Ackermann

    [ ] )( 1...00 1 AUK cq=

    =+++=

    =

    000000

    1020202212)(

    001012122

    23

    1

    IAAAA

    U

    cq

  • 86

    Logo,

    [ ]102020 =K

    Lei de controle

    [ ] +=+==tt t

    tdetdekdwtu00 01

    )(1020)(20)()()()( xxk 2

    Sistema de malha fechada

    ++=+=

    tdeku

    01)( xkBAxxBAxx 2&&

    Definindo ==t

    n detx 01 )()( , temos:

    )()()()()()(1 trttrtytetxn ==== Cx&

    Assim,

    +

    +=

    ++ 10 11

    1

    0xC

    BBkAx 2nn x

    kx&&

    Logo, para o exemplo, o sistema aumentado torna-se:

    rxxx

    xxx

    +

    =

    100

    001201222

    010

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    &

    &

    &

    Simulao no Matlab

    Script Curvas

    whitebg;

    A=[0 1 0;-22 -12 -20;1 0 0];

    B=[0 0 -1]';

    C=[1 0 0];

    t=0:0.01:10;

    [Y,X]=step(A,B,C,0,1,t);

    plot(t,Y)

    title('Sada da planta')

  • 87

    Princpio do modelo interno aplicado a sistemas excitados por entradas de

    referncia do tipo rampa unitria

    Considere o sistema

    CxBAxx

    =+=

    yu&

    Definimos o erro de rastreamento como:

    )()()( trtyte =

    com

    xC &&&&&& == ye

    Definindo novas variveis de estado como:

    ==

    uw &&&&xz

    temos:

    wee

    ee

    +

    =

    BzAC

    z00

    0000

    010&

    &

    &&

    &

    Se o sistema acima for controlvel, ento existe; zk 3++= ekekw &21 , tal que o sistema

    aumentado assintticamente estvel e e(t) 0 quando t .

    A lei de controle ser dada por:

    ( )

    ++=

    ++==t s t

    t st s

    tdekddektu

    ddtxkekekddwtu

    0 0 021

    0 0 3210 0

    )()()()(

    )()()()()(

    xk 3

    &&&

    A,B,C

    k

    x

    y+

    +

    1 s

    1 s k1

    r -

    +

    k2

    +

    +

    e u