i ASSOCIAO DE ENSINO E CULTURA PIODCIMOFACULDADE PIO DCIMO, CAMPUS III ARACAJU, SERGIPE TEORIA DE CONTROLE ENGENHARIA ELTRICA Prof. Dsc. Elenilton Teodoro Domingues 2007 Aracaju, Setembro i SUMRIO 1.APRESENTAO6 1.1.DEFINIES6 1.2.EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE8 1.3.APRESENTAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE9 1.4.CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE10 1.5.SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF)11 1.6.COMPARAO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA12 1.7.EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA13 1.8.CONTROLE POR REALIMENTAO (RETROALIMENTAO) FEEDBACK CONTROL13 1.9.CONTROLE POR PR-ALIMENTAO - FEEDFOWARD CONTROL14 1.10.COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ?16 1.11.EXERCCIOS RESOLVIDOS17 1.12.EXERCCIOS PROPOSTOS19 2.TRANSFORMADA DE LAPLACE21 2.1.INTRODUO21 2.2.OBJETIVO22 2.3.O QUE UMA TRANSFORMADA ?22 2.4.REVISO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNOES COMPLEXAS23 2.5.TRANSFORMADA DE LAPACE23 2.6.TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNES24 2.7.FUNO EXPONENCIAL24 2.8.FUNO DEGRAU26 2.9.FUNO RAMPA28 2.10.FUNO SENO30 2.11.FUNO COSENO32 2.12.TEOREMA DA TRANSLACO34 2.13.FUNO PULSO OU GATE37 2.14.FUNO IMPULSO38 2.15.ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE40 2.16.LINEARIDADE40 2.17.MULTIPLICAO DE UMA F(T) POR ote 41 2.18.MULTIPLICAO DE UMA F(T) POR tn42 2.19.TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS43 2.20.TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS44 2.21.TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE45 2.22.MTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE45 2.23.MTODO DE EXPANSO EM FRAES PARCIAIS45 2.24.F(S) ENVOLVE SOMENTE RAZES REAIS E DISTINTAS48 2.25.F(S) ENVOLVE PLOS COMPLEXOS CONJUGADOS51 ii 2.26.F(S) ENVOLVE PLOS MLTIPLOS56 2.27.EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO60 2.28.TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI)63 2.29.TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF)63 3.MODELAGEM MATEMTICA65 3.1.CONSIDERAOES GERAIS65 3.2.TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS65 3.3.MODELAGEM MATEMTICA68 3.4.CONTROLE CLSSICO68 3.5.FUNO DE TRANSFERNCIA68 3.6.PROPRIEDADES DA FUNO DE TRANSFERNCIA69 3.7.REPRESENTAO DA FUNO DE TRANSFERNCIA70 3.8.FUNODETRANSFERNCIARACIONALPRPRIA,TOTALMENTEPRPRIA,BIPRPRIAE IMPRPRIA70 3.9.SISTEMAS ELTRICOS71 3.10.COMPONETES DOS CIRCUITOS ELTRICOS71 3.11.EXEMPLOS: SISTEMAS ELTRICOS72 3.12.CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS76 3.13.CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS79 3.14.MOTOR DE CORRENTE CONTNUA80 3.15.SISTEMAS MECNICOS81 3.16.SISTEMAS MECNICOS TRANSLACIONAL81 3.17.COMPONETES DOS SISTEMAS MECNICOS81 3.18.MASSA81 3.19.MOLA82 3.20.AMORTECEDOR82 3.21.2 LEI DE NEWTON83 3.22.SISTEMAS MECNICOS TRANSLACIONAL88 3.23.SISTEMAS HIDRULICOS90 4.DIGRAMA DE BLOCOS94 4.1.INTRODUO: DIGRAMA DE BLOCOS94 4.2.COMPONENTES DOS DIGRAMA DE BLOCOS94 4.3.BLOCO FUNCIONAL94 4.4.PONTO DE SOMA OU DETECTOR DE ERRO95 4.5.PONTO DE JUNO OU DERIVAO96 4.6.DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE MALHA FECHADA96 4.7.FUNO TRANSFERNCIA DE MALHA ABERTA97 4.8.FUNO TRANSFERNCIA DE ALIMENTAO DIRETA98 4.9.FUNO TRANSFERNCIA DE MALHA FECHADA (FORMA CANNICA)98 iii 4.10.FUNO TRANSFERNCIA DE MALHA FECHADA COM REALIMENTAO UNITRIA100 4.11.FUNOTRANSFERNCIADEMALHAFECHADASUJEITAAPERTURBAO(DISTRBIO)101 4.12.REDUO DE DIGRAMAS DE BLOCOS103 4.13.COMBINAO DE BLOCOS EM SRIE103 4.14.COMBINAO DE BLOCOS EM PARALELO104 4.15.ELEMINAO DE UMA MALHA DE REALIMENTAO105 4.16.REMOVENDO UM BLOCO DE UM RAMO DIRETO106 4.17.REMOVENDO UM BLOCO DE UMA MALHA DE REALIMENTAO107 4.18.DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAO FRENTE DE UM BLOCO108 4.19.DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAO ATRS DE UM BLOCO108 4.20.DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA FRENTE DE UM BLOCO108 4.21.DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA ATRS DE UM BLOCO109 4.22.REDISPONDO PONTO DE SOMA (1)110 4.23.REDISPONDO PONTO DE SOMA (2)111 4.24.DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAO FRENTE DE UM PONTO DE SOMA112 4.25.DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAO ATRS DE UM PONTO DE SOMA112 4.26.REAGRUPAMENTO DE PONTOS DE SOMA113 4.27.RESUMO DA SIMPLIFICAO DOS DIAGRMAS DE BLOCOS114 4.28.REDUO DE DIGRAMAS DE BLOCOS COM O MATLAB116 4.29.BLOCOS EM SRIE COM MATLAB116 4.30.BLOCOS EM PARALELO COM MATLAB117 4.31.REALIMENTAO (FEEDBACK)118 5.RESPOSTA TRANSITRIA128 5.1.INTRODUO128 5.2.SINAIS DE TESTE TIPCOS128 5.3.RESPOSTA TRANSITRIA E RESPOSTA ESTACIONRIA129 5.4.PLOS, ZEROS E RESPOSTA DO SISTEMA129 5.4.1.PLOS DE UMA FUNO DE TRANSFERNCIA129 5.4.2.ZEROS DE UMA FUNO DE TRANSFERNCIA130 5.4.3.EXEMPLO DE PLOS E ZEROS DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM130 5.5.SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM135 5.5.1.EQUAO PADRO PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM135 5.5.2.FUNAO DE TRANSFERNCIA DE PRIMEIRA ORDEM OBTIDA EXPERIMENTALMENTE138 5.5.3.EXEMPLO DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM140 5.5.4.RESPOSTAS DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM141 5.5.4.1.RESPOSTA AO DEGRAU UNITRIO141 5.5.4.1.1. MANEIRASDEIDENTIFICAREXPERIMENTALMENTEUMSISTEMADEPRIMEIRAORDEM144 5.5.4.2.RESPOSTA RAMPA UNITRIA145 5.5.4.3.RESPOSTA AO IMPULSO UNITRIO148 iv 5.6.SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM150 5.7.INTRODUO150 5.8.DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM152 5.9.ANALISEDAFUNODETRANSFERNCIAPARADIFERENTESVALORESDO AMORTECIMENTO, 154 5.10.RESPOSTAS DE SISTEMAS DE 2 ORDEM155 5.11.RESPOSTAS AO DEGRAU UNITARIO155 5.12.DEFINIES E ESPECIFICAES DE REGIME TRANSITRIO162 5.13.ALGUNS COMENTRIOS SOBRE ESPECIFICAES DE RESPOSTAS TRANSITRIAS164 5.14.SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM E ESPECIFICAES DE RESPOSTA TRANSITRIA164 6.ERRO EM REGIME PERMANENTE173 6.1.INTRODUO173 6.2.ERRO EM REGIME PERMANENTE173 6.3.ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA ABERTA173 6.4.ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA FECHADA174 6.5.CLASSIFICAO176 6.6.ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA DEGRAU177 6.7.ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA RAMPA178 6.8.ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA PARABLICA180 6.9.ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADAS DIFERENTES182 6.10.ERRO EM REGIME PERMANETE DEVIDO AO DISTURBIO184 7.ESTABILIDADE188 7.1.DEFINIES DE ESTABILIDADE188 7.2.TEOREMA DA ESTABILIDADE188 7.3.CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWTIZ189 7.4.ESTABILIDADE RELATIVA191 8.LUGAR DAS RAZES192 8.1.INTRODUO192 8.2.GRFICO DO LUGAR DAS RAZES PARA SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM193 8.3.GRFICO DO LUGAR DAS RAZES194 8.4.RESUMO DAS REGRAS GERAIS PARA CONSTRUO DO LUGAR DAS RAZES196 8.5.REGRAS GERAIS PARA CONSTRUO DO LUGAR DAS RAZES197 8.6.COMENTRIOS SOBRE OS GRFICOS DO LUGAR DAS RAZES201 8.7.CANCELAMENTO DOS PLOS DE G(S) COM ZEROS DE H(S)202 8.8.CONFIGURAESTPICASDEPLOSEZEROSEOLUGARDASRAZES CORRESPONDENTES203 v 9.CONTROLADORES214 9.1.INTRODUO214 9.2.AES DE CONTROLE BSICAS214 9.3.AES DE CONTROLE ON-OFF (LIGA-DESLIGA)215 9.4.AO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P)216 9.5.AO DE CONTROLE INTEGRAL218 9.6.AO DE CONTROLE DERIVATIVA220 9.7.AO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS INTEGRAL222 9.8.AO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS DERIVATIVA224 9.9.AO DE CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO226 9.10.REGRAS DE SINTONIA PARA CONTROLADORES PID235 9.11.REGRAS DE ZIGLER-NICHOLS PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID235 10.BIBLIOGRAFIA245 10.1.INTRODUO245 11.ANEXO 1246 11.1.SISTEMAS ELTRICOS246 11.2.COMPONETES DOS CIRCUITOS ELTRICOS246 11.3.RELAO DE TENSO E CORRENTE NO CAPACITOR246 11.4.RELAO DE TENSO E CORRENTE NO INDUTOR248 11.5.RELAO DE TENSO E CORRENTE NA RESISTNCIA ELTRICA249 11.6.LEIS DE KIRCHHOFF249 6 CAPTULO 1 1. APRESENTAO 1.1.DEFINIES Sistema:umconjuntodecomponentesqueatuamconjuntamenteerealizamumcerto objetivo. Assim um sistema um arranjo de partes ou componentes, sem limitaes de quantidade ouqualidade.Umsistemapodeterqualquertamanhooudequaisquerproporesdimensionais. Por exemplo: o sistema eltrico de uma casa tem dimenses completamente diferentes das de um sistema eltrico de um pas. Alm disso, um sistema no est limitado a algo fsico. O conceito de sistema tambm pode ser aplicado para fenmenos dinmicos abstratos como aqueles encontrados em economia. Dinmica:refere-seaumasituaoouestadoquedependentedotempo.Mesmouma varivel que no sofre mudanas em funo do tempo considerada dentro do estudo da dinmica uma vez que uma constante tambm uma funo do tempo. Oestudodeumsistemadinmicopodeserentendidocomosendooestudodo comportamento, em funo do tempo, de grandezas relacionadas com uma parte do universo que foi imaginariamente separada para esse fim. Controle: o ato de comandar, dirigir, ordenar, manipular alguma coisa ou algum. Assim,umSistemadecontrole:umadisposiodecomponentes,conectadosou relacionados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas. A Figura 1.1 mostra um sistema de controle elementar onde um espelho controla o feixe de luz. Figura 1.1 - Espelho controlando feixe de luz Grandezasquecruzamafronteiraimaginriadeumsistemapodemserchamadasde entradas ou sadas. Entrada:oestimuloouexcitaoaplicadosaumsistemadecontrolepormeiodeuma fonte de energia externa, geralmente a produzir uma resposta especifica do sistema de controle. 7 ENTRADAS = SINAIS ATUANTES = EXCITAES Sada: a resposta, obtida de um sistema de controle. Ela pode ser ou no igual resposta especfica inferida da entrada. SADAS = VARIAVEIS CONTROLADAS Varivelcontrolada:umagrandezaoucondioquemedidaecontrolada. Normalmente a sada ou resposta do sistema. Varivelmanipulada:umagrandezaoucondioquevariadapelocontroladorpara que modifique o valor da varivel controlada. No controle pode-se medir o valor da varivel controlada do sistema e aplicar uma ao ao sistemaatravsdavarivelmanipuladaparacorrigiroulimitarodesviodovalormedidoem relao a um valor desejado. Perturbaes(oudistrbios):Sinaisindesejados(internosouexternos).Sosinaisque tendem a afetar adversamente o valor da sada do sistema. Se a perturbao for gerada dentro do sistema, ela denominada perturbao interna, enquanto que uma perturbao (distrbio) externa gerada fora do sistema e constitui uma entrada. Planta:umapartedeumequipamento,eventualmenteumconjuntodeitensdeuma mquina que funcionam juntos, cuja finalidade desempenhar uma certa operao. No nosso caso qualquer objeto fsico a ser controlado. Exemplo: um forno, uma aeronave, etc. Processo:umaoperaooudesenvolvimentonatural,queevoluiprogressivamente, caracterizadopormudanasgraduaisquesesucedem,umemrelaosoutras,deummodo relativamentefixo(ordenado)econduzindoaumresultadooufinalidadeparticular;-uma operaoartificialouvoluntria,queevoluiprogressivamenteequeconsisteemumasriede aescontroladasoumovimentossistematicamentedirigidosobjetivandoumresultadoou finalidadeparticular.Processoqualqueroperaoasercontrolada.Ex:processosqumicos, econmicos biolgicos. Controlerealimentado:refere-seaumaoperaoque,mesmonapresenade perturbaes ou distrbios, tende a reduzir a diferena entre a sada do sistema e alguma entrada de referncia e que opera com base nessa diferena. Sistema de controle realimentado: um sistema que mantm uma determinada relao entreasadaealgumaentradaderefernciacomparando-aseutilizandoadiferenacomoum meio de controle. 8 Sistemareguladorautomtico:umsistemadecontrolerealimentadoemquea entrada de referncia ou a sada desejada ou constante ou varia lentamente com o tempo e que tem como tarefa principal manter a sada real no valor desejado na presena de perturbaes 1.2.EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE 1) Controle da temperatura de um ambiente Umaquecedorouestufa,termostaticamentecontrolado,regulandoautomaticamentea temperatura de uma sala ou caixa, um sistema de controle. A entrada para este sistema uma temperaturadereferncia,geralmenteespecificadapeloajusteapropriadodeumtermostato.A sada a temperatura desejada da caixa. Quando o termostato detecta que a sada menor que a entrada,aestufaproporcionacaloratqueatemperaturadacaixasetorneigualentradade referncia. Ento a estufa automaticamente desligada. AFigura 1.2 mostra o sistema de controle de temperatura de uma sala. Figura 1.2 - Sistema de controle de temperatura de uma sala 2) Controle da temperatura do corpo humano Umapartedosistemadecontrolehumanodetemperaturaosistemadeperspirao. Quandoatemperaturadoarexteriorpeletorna-semuitoelevada,asglndulassudorparas segregamfortemente,induzindoaoresfriamentodapeleporevaporao.Assecreesso reduzidasquandooefeitoderesfriamentodesejadoobtidoouquandoatemperaturado arcai suficientemente. Aentradaparaestesistemaatemperaturanormalouconfortveldapele.Asadaa temperatura presente da pele. 9 3) Comutador eltrico Umcomutadoreltricoumsistemadecontroleartificial,controlandoofluxoda eletricidade.Pordefinio,oaparelhoouapessoaqueacionaocomutadornopartedesse sistema de controle. Oacionamentodocomutadorparaligadooudesligadopodeserconsideradocomoa entrada. A entrada pode ser um dos dois estados ligado ou desligado. A sada o fluxo ou no fluxo (dois estados) da eletricidade. O comutador eltrico provavelmente um dos sistemas de controle mais rudimentares. 4) Ato de apontar um objeto com o dedo Oatodeaparentementedeapontarparaumobjetocomodedorequerumsistemade controle biolgico, consistindo principalmente dos olhos, do brao, da mo, do dedo e do crebro deumhomem.Aentradaadireoprecisadoobjeto(deslocando-seouno)comrespeitoa algumarefernciaeasadaadireoapontadapresentementecomrespeitoaalguma referncia. 5) Homem dirigindo um automvel O sistema de controle, consistindo num homem dirigindo umautomvel, tem componentes quesoclaramenteartificiaisebiolgicos.Omotoristadesejamanteroautomvelnafaixa apropriadadarodovia.Eleconsegueistoobservandoconstantementeorumodoautomvelcom respeito direo da estrada. Neste caso, a direo da estrada, representada pela guias ou linhas de cada lado de sua faixa, pode ser considerada a entrada. A orientao do automvel sada do sistema.Omotoristacontrolaestasadamedindoconstantementecomosolhosecrebro, corrigindo-acomasmossobreovolante.Oscomponentesprincipaisdessesistemadecontrole so: as mos, os olhos e o crebro do motorista, e o veculo. 1.3.APRESENTAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE Servosistema(servomecanismo):umsistemadecontrolerealimentadoemquea sada alguma posio, velocidade ou acelerao mecnicas. O termo servosistema e sistema de controledeposio(ouvelocidadeouacelerao)sosinnimos.Sosistemasextensivamente usados na indstria moderna. Sistema de controle de processos: um sistema regulador automtico no qual a sada uma varivel tal como temperatura, presso, fluxo, nvel de lquido ou pH. exaustivamente usado na indstria. Sistemade controle robusto: um sistema de controle que insensvel a Variaes de parmetros. 10 Sistemadecontroleadaptativo:aquelesistemaquetemahabilidadedeseauto-ajustar ou automodificar de acordo com variaes imprevisveis nas condies de ambiente ou de estrutura.Oprpriosistemadecontroledetectavariaesnosparmetrosdaplantaefazos ajustes necessrios no nos parmetros do controlador a fim de manter um desempenho timo. Sistema de controle com aprendizado: aquele sistema de controle que tem habilidade de aprender. 1.4.CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE Sistema de controle no-linearSistema de controle linear em vrios pontos; efeitos; -lineares,tipoon-off,so introduzidosintencionalmentenosistemapara otimizarodesempenho.Exemplo:controlede msseis. Seafaixadevariaesdasvariveisdo sistemanoforampla,entoosistemapode serlinearizadodentrodeumafaixade variao relativamente pequena das variveis; cpiodasuperposiodos efeitos. Sistema de controle invariante no tempoSistema de controle variante no tempo variamcomotempo(sistemadecontrolede coeficientes constantes); independentedoinstante em que a entrada aplicada; parmetrosvariamcomotempo(sistemade controle de coeficientes variveis); em que a entrada aplicada;Exemplo:sistemadecontroledeumveculo espacial.(amassavariacomotempo conforme o combustvel vai sendo consumido). Sistema de controle de tempo contnuoSistema de controle de tempo discreto de um tempo contnuo t. conhecidassomenteeminstantesdetempo discreto. Sistemadecontroledeentradasimples sada simples (SISO) Sistema de controle de mltiplas entradas mltiplas sadas (MIMO) controledeposio, ondehumaentradadecomando(posio desejada)eumasadacontrolada(posio final). Exemplo:sistemadecontroledeprocesso, ondeasentradassopressoetemperaturae duas sada, tambm presso e temperatura. 11 Sistema de controle centralizadoSistema de controle distribudo centralconectadoavariasunidadesI/O(de entrada e sada); processador e as unidades I/O consiste somente emmensagensdedados.Outrostiposde mensagensnotmnenhumsignificadopara um sistema centralizado; unidadesI/Ofeitasomenteatravsde pedidos de dados e respostas pr-definidas. processamentodistribuda atravsdepontosouns.Osvrios controladoresdesistemasointerconectados por um vinculo de comunicao; consisteentodemensagensdedados (medidas,etc.),mensagensdeconfigurao, pedidoserespostas,estado,mensagensde erro,atmensagensdecontroledediferentes tipos; SistemadeControleDistribudopodeserbem maisaltadoqueaquelaparaoSistemade Controle Centralizado. Sistemadecontroledeparmetros Concentrados Sistemadecontroledeparmetros distribudos diferenciais ordinrias. diferenciais parciais. Sistema de controle determinsticoSistema de controle estocstico prognosticvel e repetvel. prognosticvel e repetvel. Sistema de controle de malha aberta Sistema de controle de malha fechada controle no realimentado. 1.5.SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF) Sistema de controle a malha aberta (SCMA): aquele sistema em que a sada no tem nenhum efeito sobre a ao de controle. Em outras palavras, em um SCMA a sada no medida nemrealimentadaparacomparaocomaentrada.Exemplo:mquinadelavarroupas.AFigura 1.3 mostra um sistema de controle de malha aberta. 12 Figura 1.3 - Sistema de controle de malha aberta Sistemadecontroleamalhafechada(SCMF):nomedadoaosistemadecontrole realimentado. Num SCMF a diferena entre a referncia (sinal de entrada) e a medida da varivel controlada(sinalrealimentado),tambmchamadadesinaldeerroatuante,introduzidono controladordemodoareduziroerroetrazerasadadosistemaaumvalordesejado.Otermo controle a malha fechada sempre implica o uso de ao de controle realimentado a fim de reduzir o erro do sistema. A Figura 1.4 mostra um sistema de controle de malha fechada. Figura 1.4 - Sistema de controle de malha fechada 1.6.COMPARAO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA Sistema de controle a malha fechadaSistema de controle a malha aberta Usodarealimentaotornaarespostado sistemarelativamenteinsensveladistrbios externosevariaesinternasnosparmetros do sistema; distrbiose/ouvariaesimprevisveisnos componentes esto presentes; Aestabilidadesempreumproblema fundamentalnoSCMF,oqualpodetendera corrigirerrosquepodemcausaroscilaesde amplitude constante ou varivel; muita preciso para obter o controle preciso de uma planta (processo); em relao ao SCMA; custo e potncia so mais altos; desempenhar a tarefa desejada; conhecidas antecipadamente e nas quais no h distrbio; maisfcilconstruirporqueaestabilidade no constitui um problema significativo; calibrao; (mais caros); diminuir a potncia requerida de um sistema; 13 1.7.EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA OsistemamostradonaFigura1.5normalmenteclassificadocomomalhaaberta. Sistemasdecontroledemalhaabertasoaquelesnosquaisainformaosobreavarivel controlada (nesse caso, a temperatura de sada do lquido) no usada para ajustar nenhuma das entradas do sistema para compensar as variaes nas variveis do processo. Figura 1.5 - Processo simples de troca de calor Um sistema de controle malha fechada implica que a varivel controlada medida e o resultado dessa medida usado para manipular uma das variveis do processo, como o calor. 1.8.CONTROLE POR REALIMENTAO (RETROALIMENTAO) FEEDBACK CONTROL Arealimentaooufeedbackpodeserfeitaatravsdeumoperadorhumano(controle manual) ou pelo uso de instrumentos (controle automtico). Controlemanual:umoperadorperiodicamentemedeatemperatura;seatemperatura, porexemplo,estiverabaixodovalordesejado,eleaumentaavazodevapor,pelaaberturada vlvula de vapor. Controleautomtico:Umdispositivosensordetemperaturausadoparaproduzirum sinal(eltrico,pneumtico,mecnico,....)proporcionaltemperaturamedida.Essesinalalimenta umcontroladorqueacomparacomumvalordesejadopr-estabelecido,oupontodeajuste.Se existiralgumadiferena,ocontroladormudaaaberturadavlvulacontroladoradevaporpara corrigir a temperatura. Ver Figura 1.6. Anotaes 14 Figura 1.6 - Controle automtico de um processo de troca de calor por realimentao 1.9.CONTROLE POR PR-ALIMENTAO - FEEDFOWARD CONTROL O controle por pr-alimentao est se empregando largamente. Distrbios do processo so medidos e compensados sem se esperar que uma mudana na varivel controlada indique que umdistrbioocorreu.Ocontrolepr-alimentadotambmtilondeavariveldecontrolefinal no pode ser medida. Figura 1.7 - Controle automtico de um processo de troca de calor por pr-alimentao NoexemplomostradonaFigura1.7,ocontroladorFeedfowardpossuihabilidade computacional: usa a taxa de vazo e temperatura medidas na entrada do lquido para calcular a taxa de vapor necessria para manter a temperatura desejada do lquido de sada. A equao resolvida pelo controlador relaciona: a) o calor contido no lquido de entrada 15 b) vazo de vapor c) temperatura do lquido de sada geralmente denominado modelo do processo. Rarossoosmodelosecontroladoresperfeitos;assim,prefervelumacombinaode controle pr e realimentado. Ver Figura 1.8. Figura 1.8 - Controle automtico de um processo de troca de calor por pr e realimentao combinadas Oarranjodeumcontroladorfornecendoopontodeajusteparaoutrocontrolador conhecido como controle em cascata e comumente usado no controle por realimentao. Anotaes: 16 1.10. COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ? Aseguirmostradoumdiagramadeblocosdecomoresolverproblemasemsistemasde controle: 17 Figura 1.9 - Diagrama de blocos de como resolver problemas de controle 1.11. EXERCCIOS RESOLVIDOS 01)Identifiqueasquantidadesquesoentradasesadasparaoespelho ajustvel pivotante da Figura 1.10. Figura 1.10 - Espelho controlando feixe de luz A entrada o ngulo de inclinao do espelho u, regulado pela rotao do parafuso. A sada a posio angular do feixe refletido u+o da superfcie de referncia. 02)Identifiqueumaentradapossveleumasadapossvelparaumgeradorde eletricidade rotacional. Aentradapodeseravelocidaderotacionaldeummotorprimrio(e.g.umaturbinaa vapor),emrevoluesporminuto.Supondoqueogeradornotenhacargaaplicadaaseus terminais de sada, a sada pode ser a tenso induzida, nos terminais de sada. Alternativamente, a entrada pode ser expressa como momento angular do eixo do motor primrio e a sada em unidades de potncia eltrica (watts) com uma carga ligada ao gerador. 03) Identifique a entrada e a sada para uma mquina automtica de lavar. Muitas mquinas de lavar (mas nem todas) so operadas da seguinte maneira: Depois que as roupas forem colocadas na mquina, o sabo ou detergente, o alvejante, e a gua do entrada nas quantidades apropriadas. A programao para lavar e torcer ento fixada pelo regulador de tempo e a lavadeira ligada. Quando o ciclo completado a mquina se desliga porsiprpria.Seasquantidadesapropriadasdedetergente,alvejanteeguaeatemperatura destasopredeterminadaspelofabricantedamquina,ouentram,automaticamente,entoa entrada o tempo em minutos para o cicio da lavagem e espremedura. O regulador de tempo geralmente ajustado por um operador humano. Asadadeumamquinadelavarmaisdifcildeidentificar.Definamoslimpocomoa ausncia de todas as substancias estranhas dos itens a serem lavados. Ento podemos identificar a sadacomo,aporcentagemdelimpeza.Portanto,noiniciodeumciclo,asadamenosdoque 100%,e,nofimdeumciclo,asadaidealiguala100%(roupaslimpasnososempre obtidas). Paramuitasmquinas,operadascommoedas,ociclofixadoeamquinacomeaa funcionarquandoamoedaentra.Nestecaso,aporcentagemdelimpezapodesercontrolada, 18 ajustando-seaquantidadededetergente,alvejante,gua,eatemperaturadesta.Podemos considerar todas as quantidades como entrada. Outras combinaes de entradas e sadas so tambm possveis. 04)Identifiqueoscomponentesentradaesada,edescrevaaoperaodeum sistemadecontrolebiolgico,consistindonumserhumanoquetentaapanharum objeto. Oscomponentesbsicosdessesistemadecontroleso:ocrebro,obrao,amoeos olhos. Ocrebroenviapelosistemanervosoosinaldesejadoparaobraoeamo,afimde apanharoobjeto.Estesinalamplificadonosmsculosdobraoedamo,queservemcomo atuadoresdepotnciaparaosistema.Osolhossoempregadoscomoumdispositivosensvel, continuamente retroagindo" posio das mos para o crebro. A posio da mo a sada para o sistema. A entrada a posio do objeto. Oobjetivodosistemadecontrolereduzirazeroa distnciaentreaposiodamoea posio do objeto. 05)Expliquecomoumamquinaautomticadelavardemalhafechadapode operar. Suponhaquetodasasquantidadesdescritascomoentradaspossveisnoproblema03),a saber: ciclo, tempo, volume de gua, temperatura da gua, quantidade de detergente, quantidade debranqueador,podemserajustadospordispositivostaiscomovlvulaseaquecedores.Uma mquinadelavardeciclofechadomediriacontinuamenteouperiodicamenteaporcentagemde limpeza (sada) dos itens que esto sendo lavados, ajustaria as quantidades de entrada e desligar-se-ia quando 100% de limpeza fossem atingidos. 06)Comosocalibradososseguintessistemasdecicloaberto:(a)mquina automtica de lavar (b) Torradeira automtica (c) voltmetro? (a) As mquinas automticas de lavar so calibradas considerando-se qualquer combinao das seguintes quantidades de entrada: (1) quantidade de detergente, (2) quantidade de alvejante, (3) quantidade de gua, (4) temperatura da gua, (5) ciclo de tempo. Emalgumasmquinasdelavarumaoumaisdessasentradassopredeterminadaspelo fabricante. As restantes quantidades devem ser fixadas pelo usurio c dependem de fatores tais como, grau de dureza da gua, tipo de detergente e tipo ou eficcia do alvejante. Uma vez determinada 19 estacalibraoparaumtipoespecificodelavagem(e.g. sroupasbrancas,roupasmuitosujas) em geral no ter que ser alterada durante a vida da mquina. Seamquinaapresentadefeitoesoinstaladaspelasdereposio,provavelmenteser necessria uma recalibrao. (b) Conquanto o mostrador do regulador de tempo em muitas torradeiras automticas seja calibrado pelo fabricante (e.g. clara-mdia-escura), a quantidade de calor produzido pelo elemento aquecedor pode variar dentro de uma ampla faixa. Alm disso, a eficincia do elemento aquecedor normalmentesereduzcomotempo.Emconseqncia,oprazoexigidoparaumaboatorrada" deveserfixadoeperiodicamentereajustadopelousurio.Primeiramente,atorradaemgeral muitoclaraouescura.Depoisdevriastentativasdiferentes,sucessivas,otempodetorrao necessrio para uma qualidade desejada de torrada obtido. (c) Em geral, um voltmetro, calibrado pela comparao com uma fonte padro de tenso conhecida, e apropriadamente marcada a escala de leitura a intervalos especificados. 07) Identifique a ao de controle nos sistemas dos problemas 01, 02 e 04. Paraosistemadeespelhodoproblema01,aaodecontroleigualentrada,isto,o ngulodeinclinaodoespelhou.Paraogeradordoproblema02aaodecontroleigual entrada,avelocidadederotaooumomentoangulardoeixodomotorprimrio.Aaode controle,nosistemahumanodoproblema04,igualdistnciaentreamoeaposio,do objeto. 08)Quaisdossistemasdecontroledosproblemas01,02e04sodemalha aberta? De malha fechada? Visto que ao de controle igual entrada para o sistema do problema 01 e 02, no existe realimentao e os sistemas so de malha aberta. O sistema humano do problema04 de malha fechada porque ao de controle dependente da sada, posio da mo. 1.12. EXERCCIOS PROPOSTOS 01)(a)Expliqueaoperaodossinaisordinriosdetrfego,quecontrolamofluxo automobilstico nas intersees das rodovias. (b) Por que so eles sistemas de controle em malha aberta? (c) Como podeo trfego ser controlado mais eficientemente? (d) Porque o sistema (c) de malha fechada? 20 02)(a)Indiqueoscomponenteseasvariveisdoaparelhodecontrolebiolgicoenvolvido na marcha em uma direo determinada (b) Porque a marcha uma operao de malha fechada ? (c) Sob quais condies o aparelho marcha humana se torna um sistema de malha aberta? 03)Desenvolvaumsistemadecontrolesimplesqueligueautomaticamentealmpadada sala ao anoitecer e desligue-a a luz do dia. Mostre um esboo do seu sistema. 04)Desenvolvaumsistemadecontroleparalevantarouabaixarautomaticamenteuma pontelevadiaafimdepermitirapassagemdenavios.Nopermissvelumoperadorhumano contnuo. O sistema deve funcionar inteiramente automtico. 21 CAPTULO 2 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 2.1.INTRODUO ATransformadadeLaplaceummtodopararesolverequaesdiferenciaislinearesque surgem na matemtica aplicada Engenharia. Essa transformao reduz o problema de resolver a equao diferencial a um problema puramente algbrica. Outra vantagem consiste no fato de que o mtodo leva em conta as condies iniciais sem a necessidadededeterminaremprimeirolugarasoluogeralparadelaentoobterasoluo particular. Particularmente, em Engenharia Eltrica esse mtodo aplicado em: -Circuitos Eltricos; -Converso de Energia; -Sistemas de Controle e Servomecanismos. Algumas vantagens da aplicao da Transformada de Lapace em controle so: a) Permite o uso de tcnicas grficas para prever o desempenho do sistema de controle sem a necessidade de resolver as equaes diferenciais que o descrevem. b)Resolvendoaequaodiferencial,obtm-setantoarespostatransitriacomoade regime permanente. ATransformadadeLaplacetransformaumafunodavariveltempo,digamosf(t),numa outra funo F(s) onde s=o+je uma varivel complexa. Em de terminadas condies, as funes f(t) e sua transformada F(s) esto relacionadas de forma biunvoca. Figura 2.1 - Relao das Transformadas diretas e inversas Transformada Inversa Transformada Direta F(S)F(t) 22 OusodeTransformadasdeLaplacenospermitiragoraaprofundaraanlisedas propriedadesdossistemasdecontrole.EncareaabordagemdesteCaptulocomoumanova perspectiva, e no perca de vista um aspecto fundamental: muda a abordagem, mas o objeto de estudo se mantm! 2.2.OBJETIVO Este no um curso de Clculo. Este Captulo no tem a inteno de ensinar Transformadas deLaplace.Noslimitaremosareuniraquialgumasdefiniesepropriedadesjconhecidas(e esquecidas?) necessrias ao curso de controle. 2.3.O QUE UMA TRANSFORMADA ? Exemplo: A multiplicao de dois nmeros romanos, VI XIV, com a resposta em nmero romano. Procedimento: Transformar estes nmeros romanos em nmeros arbicos: VI 6; XIV 14; Problema transformado: multiplicar 6 por 14 = 84; Converterasoluodoproblematransformadoparaasoluodoproblemaoriginal:84 LXXXIV : Transformao Inversa. Procedimento adotado: Figura 2.2 Procedimento adotado para se realizar uma transformada Resoluo Transformada Inversa Transformada Aplicao daPROBLEMA ORIGINAL VI x XIV PROBLEMA TRANSFORMADO 6 x 14 SOLUO DO PROBLEMA ORIGINAL LXXXIV SOLUO DO PROBLEMA TRANSFORMADO 6 x 14 23 2.4.REVISO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNOES COMPLEXAS Variveis complexas: Um nmero complexo tem uma parte real e uma parte imaginria, sendo ambas constantes. Se a parte real e/ou a parte imaginria forem variveis, teremos ento o quesedenominavarivelcomplexa.NaTransformadadeLaplace,utiliza-seanotaoscomo varivel complexa. Ou seja: s j = o + e Onde o a parte real e e a parte imaginria. Funescomplexas:umafunocomplexaG(s)umafunodesquesetemuma parte real e uma parte imaginria ou X YG(s) G jG = + Onde Gx e Gy so quantidades reais. O mdulo de G(s) 2 2x yG G + , e o argumento angular udeG(s) 1X Ytg (G / G ) = .Ongulomedidonosentidoanti-horrioapartirdosentido positivo do eixo real. O complexo conjugado de G(s) x yG(s) G jG = . 2.5.TRANSFORMADA DE LAPACE Inicialmente,apresentaremosadefiniodeTransformadadeLaplaceeemseguida, daremosalgunsexemplosparailustraradeduodaTransformadadeLaplacedevriasfunes comumente utilizadas. Vamos definir: f(t) uma funo do tempo tal que f(t) = 0 para t < 0; S uma varivel complexa; L um smbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa para ser transformada pela integral de Laplace st0e dt} F(s) Transformada de Laplace de f(t) Ento a Transformada de Laplace de f(t) definida por: st st0 0L[f(t)] F(s) e dt f(t) f(t) e dt = = =( } } Anotaes 24 2.6.TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNES 2.7.FUNO EXPONENCIAL A funo exponencial uma das funes mais importante porque as exponenciais aparecem sempre na soluo das equaes diferenciais. A funo exponencial definida como: t0 f(t)A eo= p / t 0p / t 0 Onde A e so constantes. Por definio: st0F(s) L[f(t)] f(t) e dt= = }onde:tf(t) Aeo= Temos:

t t st ( s)t0 0F(s) L[Ae ] Aee dtA e dt o o o+= = =} } Artifcio: u-( s) t = o +du -( s) dt = o +1dt -du( s)=o + Ento: u u u0 0 0du A AF(s) A e e due( s) ( s) ( s) = = =o + o + o +} } Mas: u -( s) t = o + Logo: ( )( s)t 00A A AF(s) e e e( s) ( s) ( s) o+ = = =o + o + o + AF(s)(s )=+ o Portanto: tf(t) A eo=AF(s)(s )=+ o 25 Exerccios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funes: a) 6tf(t) 3 e= F(s) = b) 3tf(t) 2 e = F(s) = c) 3tf(t) 2 e= F(s) = d) 8tf(t) e= F(s) = e) tf(t) 9 e = F(s) = f) tf(t)e= F(s) = 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funes: a) 3F(s)(s 2)=+ f(t) = b) 4F(s)(s 3)=+ f(t) = c) 7F(s)(s 5)= f(t) = d) 3F(s)(s 5)= f(t) = e) 1F(s)(s 1)= f(t) = f) 1F(s)(s 1)=+ f(t) = Anotaes 26 2.8.FUNO DEGRAU A funo degrau corresponde a uma ao que modifica instantaneamente uma determinada condio,ouvarivel,deumsistema,comoaposio,ouavelocidade,ouacargaeltricanum capacitor,ouavazoemumatubulao,aativaoeltricadeumcircuito,ouaindaoincioda ao de uma fora por exemplo. A funo degrau definida como: 0f(t)A= p / t 0p / t 0 Onde A constante. Por definio: st0F(s) L[f(t)] f(t) e dt= = }onde: f(t) A = Temos: st st0 0F(s) L[A] A e dtA e dt = = =} } Artifcio: u -s t =du -s dt =1dt -dus= Ento: u u u0 0 0du A AF(s) A e e du e s s s = = =} }mas:u -s t = Logo: ( )s t 00A A AF(s) e e e s s s = = = AF(s) s= Portanto: f(t) A=AF(s) s= 27 Exerccios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funes: a)f(t) 3= F(s) = b)f(t) 2 = F(s) = c)f(t) 4= F(s) = d)f(t) 1= F(s) = e)f(t) 9 = F(s) = f)f(t) 1= F(s) = 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funes a) 3F(s)s= f(t) = b) 4F(s)s= f(t) = c) 7F(s)s= f(t) = d) 3F(s)s= f(t) = e) 1F(s)s= f(t) = f) 1F(s)s= f(t) = Anotaes 28 2.9.FUNO RAMPA A funo rampa corresponde a uma ao que cresce linearmente no tempo, a partir de uma aonula.Elacontnuanotempo,pormsuaderivadadescontnuanaorigem.Quandoo tempo tende a infinito, o valor da ao na funo rampa tambmtende a infinito. Na prtica isto no ocorre, umavez queno se consegue gerar aes de intensidade infinita.A funo rampa definida por: 0 f(t)A t= p /t 0 p / t 0 Onde A constante. Por definio: st0F(s) L[f(t)] f(t) e dt= = }onde: f(t) A t = Temos:

st st0 0F(s) L[At] A t e dtA t e dt A u v v du (= = = = = ( } } } Artifcio:u t =-stdv e =du dt = dt du=-st1v - es= Ento: st st0v vu du01 1F(s) Ate e dtss ( ( ( | | | |= = (||\ . \ . ( ( } s( ) s(0) st01 1 1F(s)A e 0 e edts s s ( | | | | | |= + = (|||\ . \ . \ . } ( ) ( ) s s 0 st2 2 2 2 201 1 1 1 AF(s)A e A e e As s s s s (( | | | |(= = = = (||(( \ . \ . 2AF(s)s= Portanto: f(t) A t = 2AF(s) s=29 Exerccios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funes: a)f(t) 3 t= F(s) = b)f(t) 2 t = F(s) = b)f(t) 4 t = F(s) = d)f(t)1 t = F(s) = e)f(t) 9 t= F(s) = f)f(t) t = F(s) = 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funes a) 23F(s)s= f(t) = b) 24F(s)s= f(t) = c) 27F(s)s= f(t) = d) 23F(s)s= f(t) = e) 21F(s)s= f(t) = f) 21F(s)s= f(t) = Anotaes 30 2.10. FUNO SENO Tambmmuitoimportante,essafunodetestepodesimularumsinaldenatureza harmnica. Um exemplo bastante familiar a tenso eltrica que existe em nossa residncia. Ela definida como: 0 p /t 0f(t)A sen( t)p / t 0 < = e > Onde: A e so constantes. A Amplitude da forma da onda. Freqncia da forma da onda. Por definio: st0F(s) L[f(t)] f(t) e dt= = }onde:f(t) A sen( t) = eTemos:

st st0 0F(s) L[A sen( t)] A sen( t) e dtA sen( t) e dt = e = e = e =} } Frmula Euler: je cosjsenu = u + uj je esen2ju uu = je cos-jsen u = u uj je ecos 2u u+u = Ento:

j t j tst (s j )t (s j )t0 0e e AF(s) A e dt e e dt2j 2je e e + e| |= = =| |\ .} } (s j )t (s j )t (s j )t (s j )t0 0 0 0A A 1 1F(s) e dt e dt e e2j 2j (s j ) (s j ) e + e e + e ( (= = + = (( e + e } } ( ) ( )0 0A 1 1F(s) e e e e2j (s j ) (s j ) ( = + = ( e + e 2 2A 1 1 A (s j ) (s j ) A (s j s j )F(s)2j (s j ) (s j ) 2j (s j )(s j ) 2js (( + e e + e + e(= = = = ((( e + e e + e+ e 2 2A j j AF(s)2j 2j se+ e(= = (+ e 2j2 2 2 2As s (ee=(+ e + e ( 2 2AF(s)se=+ e Portanto: f(t) A sen( t) = e 2 2AF(s)se=+ e 31 Exerccios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funes: a)f(t) 3 sen(t)= F(s) = b)f(t) 2 sen(3t) = F(s) = b)f(t) 4 sen(7t) = F(s) = d)f(t) sen(t) = F(s) = e)f(t) 4 sen(8t) = F(s) = f)f(t) 3 4sen(2t) = F(s) = 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funes a) 23F(s)s 5=+ f(t) = b) 24F(s)s 6=+ f(t) = c) 27F(s)s 9=+ f(t) = d) 23F(s)s 25=+ f(t) = e) 21F(s)s 1=+ f(t) = f) 223F(s)s 6=+ f(t) = Anotaes 32 2.11. FUNO COSENO Essa funo de teste tambm pode simular um sinal de natureza harmnica. Ela definida como: 0 p /t 0f(t)Acos( t)p / t 0 < = e > Onde: A e so constantes. A Amplitude da forma da onda. Freqncia da forma da onda. Por definio: st0F(s) L[f(t)] f(t) e dt= = }onde:f(t) A cos( t) = e Temos:

st st0 0F(s) L[A cos( t)] A cos( t) e dtA cos( t) e dt = e = e = e =} } Frmula Euler: je cos j senu = u + uj je esen2ju uu = je cos -j sen u = u uj je ecos 2u u+u = Ento:

j t j tst (s j )t (s j )t0 0e e AF(s) A e dt e e dt2 2e e e + e| |+= = + =| |\ .} } (s j )t (s j )t (s j )t (s j )t0 0 0 0A A 1 1F(s) e dt e dt e e2 2 (s j ) (s j ) e + e e + e ( (= + = + = (( e + e } } ( ) ( )0 0A 1 1F(s) e e e e2 (s j ) (s j ) ( = + = ( e + e (s jA 1 1 A (s j ) (s j ) AF(s)2 (s j ) (s j ) 2 (s j )(s j ) 2+ e (( + e + e= + = = (( e + e e + e s j + e2 2)s (=(+ e ( 2 2A 2s AF(s)2 2 s (= = (+ e 22 2 2 2s Ass s (= (+ e + e 2 2AsF(s)s=+ e Portanto: f(t) A cos( t) = e 2 2AsF(s)s=+ e 33 Exerccios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funes: a)f(t) 3 cos(t)= F(s) = b)f(t) 2 cos(3t) = F(s) = b)f(t) 4 cos(7t) = F(s) = d)f(t) cos(t) = F(s) = e)f(t) 4 cos(8t) = F(s) = f)f(t) 3 4cos(2t) = F(s) = 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funes a) 23sF(s)s 5=+ f(t) = b) 24sF(s)s 6=+ f(t) = c) 27sF(s)s 9=+ f(t) = c) 23sF(s)s 25=+ f(t) = d) 2sF(s)s 1=+ f(t) = e) 22s3F(s)s 6=+ f(t) = Anotaes 34 2.12. TEOREMA DA TRANSLACO VamosobteraTransformadadeLaplacedafunotransladadaf(t ) u(t ) o o ,onde 0 o > .Essafunozeroparat < o.Asfunesf(t) u(t) ef(t ) u(t ) o o somostradasa seguir: Por definio, a Transformada de Laplace def(t ) u(t ) o o dada por:

st0L[f(t - )u(t - )] f(t - )u(t - ) e dto o = o o} Substituindo a varivel independentetport(letra grega Tal), em quet t = o, obtemos:

st s( )0L[f(t - )u(t - )] f(t - )u(t - ) e dt f( )u( ) e d t+ooo o = o o = t t t} } Comoestamosconsiderandof(t) 0 = parat 0 < ,paraf( )u( ) 0 t t = para0 t < .Como conseqncia, podemos mudar o limite inferior da integrao deopara 0. Assim: s( ) s( )0L[f(t - )u(t - )] f( )u( ) e d ( ) u( ) e d t+o t+ooo o = t t t = | t t t} } s s s s s0 0L[f(t - )u(t - )] f( ) e e d e f( ) e d e F(s) t o o t oo o = t t = t t =} } Onde:st0F(s) L[f(t)] f(t) e dt= = } Ento:sL[f(t - )u(t - )] e F(s) oo o = para0 o > Esta ultima equao estabelece que a translao de uma funo no tempof(t) u(t)deo(onde0 o > ) corresponde multiplicao da transformadaF(s)por se o. Portanto: - sF(s) L[f(t - )u(t - )]e F(s)o= o o =35 Exemplo 01: Obter a Transformada de Laplace das funes f(t) mostradas abaixo: a) Deste modo, a funao dente de serra pode ser expressa por: ( ) f(t) A u(t - ) - Au t - = o | Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se: s s s sA A AF(s) e e e es s so | o | (= = b) Deste modo, a funao dente de serra pode ser expressa por: ( )A A Af(t) tu(t) tu t t u(t) t u(t ) = o = o =( o o o Para utilizar diretamente a propriedade do deslocamento no tempo necessrio escrever a funo no tempo, na forma: sF(s) L[f(t - )u(t - )]e F(s)o= o o = , logo: A Af(t) t u(t) (t ) u(t ) t u(t) (t ) u(t ) u(t ) = + o o o = o o o o =(( o o A A Af(t) t u(t) (t ) u(t ) u(t ) = o o o o =o o o Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se: s s s s2 2 2 2A A A A 1 1F(s) e e e es ss s s so o o oo o(= = = (o oo o ( )( )s s s2 2A 1 AF(s) 1 e se 1 e 1 ss so o o ( (= o = o ( oo 36 Exerccios: 01) Obter a Transformada de Laplace das funes f(t) mostradas abaixo: a) b) 37 2.13. FUNO PULSO OU GATE 0 p /t 0u(t) A p / 0 t0 p / t< = s < o> o Onde: A uma constante. Do teorema da translao temos: f(t) A u(t) A u(t ) = o (funo pulso no domnio do tempo) Aplicando a Transformada de Laplace temos: F(s) L[f(t)] L[A u(t)] L[A u(t ) ] = = o

- sA AF(s) - es so=( ) - sAF(s) 1- eso= Portanto: f(t) A A u(t ) = o( ) - sAF(s) 1- eso= Anotaes 38 2.14. FUNO IMPULSO Considerando a seguinte funo pulso com a rea do pulso igual a 1: Logo a funo dada por: 1 1f(t) (t) u(t - A)A A (= + ( Se a largura do pulso for diminuda e a altura for aumentada, mantendo sempre unitria a reasobreopulso,nolimite,A0resultanumpulsodelargurazero,amplitudeinfinitaerea unitria. Neste limite, o pulso chamado de Impulso Unitrio. Veja afigura a seguir: t 00 p /t 01(t) lim p / 0 t tt0 p / t t A < o s < AA > A Afunoimpulsounitriocorrespondeaumaaoqueagesobreumsistemaduranteum intervaloinfinitesimaldetempo,ouseja,elaatuaporumpequenointervalodetempoedepois cessa a atuao. Esta funo tambm conhecida como funo delta de Dirac. Na funo impulso unitrio a potncia e a energia despendidas na ao so limitados, porm a ao no . Isto se deve ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento muito pequeno,etendeazero,fazendocomqueaforanesteintervalotendaainfinito.Umbom exemplo da aplicao de um impulso unitrio no choque entre duas partes mecnicas. A funo impulso unitrio definida como: A 0(t) lim f(t)o =( A 01 1(t) lim - u(t - A)A A (o = ( 39 ( )( )

-As-As-AsA 0 A 0 A 0d1- e1 e 1dAL[ (t)] lim lim 1- e limd As As As(As)dA ( (( (o = = = (( ( ( ( (

-AsA 0seL[ (t)] lim 1s o = = Portanto: L[ (t)] 1 o = A entrada impulsiva fornece energia ao sistema em um tempo infinitesimal. Anotaes 40 2.15. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ATransformadadeLaplace(T.L.)possuivriaspropriedadesgerais.Estaspropriedades facilitam a obteno da Transformada de muitas funes. 2.16. LINEARIDADE A Transformada de Laplace (T.L.) uma operao linear, isto , para quaisquer funes f(t) e g(t) cujas T.L existam e quaisquer constantes C1 e C2 temos: 1 2 1 2 1 2L[C f(t) C g(t)] L[C f(t)] L[C g(t)] C L[f(t)] C L[g(t)] + = + = + Exemplo 01: a)L[2 sen(3t)-4 cos(2t)] L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] L[2 sen(3t) ] L[-4 cos(2t)] 2 L[sen(3t) ] - 4 L[cos(2t)] = + = 2 2 2 2 2 23 s 6 4sL[2 sen(3t)- 4 cos(2t)] 2 - 4 -s 3 s 2 s 9 s 4 = =+ + + + 2 26 4sL[2 sen(3t)- 4 cos(2t)] -s 9 s 4 =+ + Exerccios 01) Obter a T.L. das seguintes funes aplicando a propriedade de linearidade: a) -3tL[2e5sen(t)- 7t] + b) -t 3 2L[8cos(5t) 3(t)-6e3sen(4t) 4t2t3t 9] + + + + + + 41 2.17. MULTIPLICAO DE UMA F(T) POR ote Se f(t) transformvel por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, ento a T.L. de f(t) ser obtida como: - t - t0L[ef(t)] ef(t)dt F(s )o o= = + o} Isto , a substituio de s por (s-o) na Transformada correspondente a multiplicao da funo original por ose . Exemplo 01: a) tL[e cos( t)]oe ( )t22sL[e cos( t)]so+ oe =+ o + e b) tL[esen( t)]oe ( )t22L[esen( t)]soee =+ o + e Exerccios 01) Obter a T. L. das seguintes funes: a) 2tL[esen(3t)] b) 2tL[e cos(7t)] 42 2.18. MULTIPLICAO DE UMA F(T) POR tn Se f(t) transformvel por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, ento a T.L. de f(t) ser obtida como: nn nnd F(s)L[t f(t)] ( 1)ds= Dica: 2f f ' g - g' fgg= Se tf(t) eo= , ento: n - tn 1n!L[t e ](s )o+=+ oOnde : (n=1,2,3,......) Exemplo 01: 2 5tL[t e ] = Logo:n=2 e 5 o = , ento: 2 5t2 1 3 32! 2 1 2L[t e ](s 5) (s 5) (s 5)+= = = Exerccios 01) Obter a T. L. das seguintes funes: a) 2L[tsen(t)] b) 3 -7tL[te ] 43 2.19. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS Se existe a Transformada de f(t) e de f(t), ento a T.L. de f(t) ser obtida como: -st0L[f '(t)] f '(t) e dt=} 0L[f '(t)] uv v du= } Artifcio: -stu e =-stdu -se dt = dv f '(t) dt= v f(t) = Ento: ( )st st00L[f '(t)] e f(t) f(t) se dt = } 0 st0L[f '(t)] [e f( ) e f(0)] s f(t)e dt = + } L[f '(t)] f(0) sF(s)sF(s) f(0) = + = L[f '(t)]sF(s) f(0) = Similarmente para a derivada n-sima de f(t): nn n-1 n-2 n-2 n-1nd [f(t)]L s F(s) - s f(0) - s f '(0) sf (0) - f (0)dt (= + .+ ( ( Se as condies iniciais forem iguais a zero teremos: nnnd [f(t)]L s F(s)dt (= ( ( Anotaes 44 2.20. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS Se existe a Transformada de f(t), ento a T.L. da integral de f(t) ser obtida como: t t-st0 0 0L f(t)dt f(t)dt e dt ((= (( } }} t0L f(t)dt uv v du ( = ( } } Artifcio: t0u f(t)dt=}du f(t)dt =stdv e dt = st1v es= Ento: t tst st0 0 001 1L f(t)dt f(t)dt e e f(t)dts s (((= ( ((( } } } t tst0 0 0t 01 1L f(t)dt f(t)dt f(t)e dts s= ((= + (( } } } Fazendo: t10t 0f (0) f(t)dt= (=( } Teremos: 1t0f (0) F(s)L f(t)dts s ( = + ( } Se as condies iniciais forem iguais a zero teremos: t0F(s)L f(t)dts ( = ( } Anotaes 45 2.21. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Oprocessoinversodedeterminaodafunodetempof(t)apartirdaTransformadade Laplace F(s) chamado de Transformada Inversa de Laplace e a notao utilizada para design-la 1L .ATransformadaInversadeLaplacepodeserobtidaapartirdeF(s),comoauxilioda seguinte integral de inverso: c j1 stc j1L [F(s)] f(t) F(s)e ds2j+ + = =},para t > 0 onde c, abscissa de convergncia, uma constante real e escolhida com valor superior parte real de todos os pontos singulares de F(s). Assim o caminho de integrao paralelo ao eixo je e deslocado do eixo de um valor de c. Esse caminho de integrao fica direita de todos os pontos singulares. Oclculodaintegraldeinverso,aparentemente,complicado.Naprtica,raramente utilizaremosessaintegralparaaobtenodef(t).Existemmtodosmaissimplesparaencontrar f(t). Esses mtodos so apresentados a seguir. 2.22. MTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Conhecendo-seaTransformadadeLaplacedeumafuno,pode-seobterafunono tempo que a originou aplicando-se as tcnicas de transformao inversa. Em muitos casos, pode-se usar diretamente as tabelas de Transformadas de Laplace. Quando no possvel, deve-se aplicar as tcnicas de decomposio, como: -Integral de convolao; -Expanso em Fraes Parciais. NocursodeTeoriadeControle,vamosutilizaroMtododeExpansoemFraes Parciais que ser apresentado a seguir. 2.23. MTODO DE EXPANSO EM FRAES PARCIAIS Em problemas de analise de sistemas de controle, F(s), a Transformada de Laplace de f(t), apresenta-se freqentemente do seguinte modo: B(s)F(s)A(s)= ondeA(s)eB(s)sopolinmiosems.NaexpansodeF(s)=B(s)/A(s)emfraesparciais, importantequeamaiorpotnciadesemA(s)sejamaiordoqueamaiorpotnciade s em B(s). 46 Se no foresseo caso,o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s) para resultar um polinmio em s mais um resto (uma relao de polinmio em s cujo numerador de menor grau que o denominador). Ou seja: B(s) A(s)R(s)Q(s) Podemos escrever da seguinte forma: Q(s) A(s) R(s) B(s) + = Dividindo a expresso anterior por A(s), temos: Q(s) A(s) R(s) B(s)A(s) + = Q(s)A(s)A(s)R(s) B(s) A(s) A(s)+ = Logo: +R(s) B(s)Q(s) = A(s) A(s) = = +B(s) R(s)F(s) Q(s)A(s) A(s) Exemplo 01: Obter a Transformada Inversa de Laplace de: a) 2B(s) s 3s 3F(s)A(s) s 1+ += =+ 2s23s 3 s 1 s+ + + ss 2 2s +3-2s +- 2 1Logo: 1F(s) s 2s 1= + ++

Aplicando a T.I.L. temos: 1 1 1 11L [F(s)] L [s] L [2] Ls 1 (= + + (+ td(t)f(t) 2(t) edt= + + 47 Exerccios 01) Obter a Transformada Inversa de Laplace de: a) ( ) ( )3 2B(s) s 5s 9s 7F(s)A(s) s 1 s 2+ + += =+ + SeapotnciadesemA(s)maiordoqueamaiorpotnciadesemB(s) ento, F(s), Transformada de Laplace de f(t), pode ser separada em componentes: 1 2 nF(s) F (s) F (s) F (s) = + + + e se as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s) so conhecidas de imediato, ento: 1 1 1 11 2 nL [F(s)] L [F (s)] L [F (s)] L [F (s)] = + + + Logo: 1 2 nf(t) f (t) f (t) f (t) = + + + onde f1(t), f2(t),....., fn(t) so as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s), respectivamente. Ao aplicar a tcnica de expanso em fraes parciais para achar a Transformada Inversa de LaplacedeF(s)=B(s)/A(s),devem-seconhecerdeantemoasrazesdopolinmiodo denominadorA(s).[Emoutraspalavras,estemtodonoaplicvelenquantoo polinmio do denominador no for fatorado.] AvantagemdomtododaexpansoemfraesparciaisquetermosindividuaisdeF(s), resultando da expanso na forma de fraes parciais, so funes muito simples de s; portanto nonecessitamosconsultarumatabeladeTransformadasdeLaplacesememorizarmosvrios pares de Transformadas de Lapalce simples. 48 2.24. F(S) ENVOLVE SOMENTE PLOS REAIS E DISTINTOS Consideremos a F(s) escrito na forma: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 k m1 2 k nK s z s z s z s zB(s)F(s)A(s) s p s p s p s p+ + + += =+ + + +, para m < n Onde 1p , 2p , ..., npe 1z , 2z , ..., nzso quantidades reais. Se F(s) possuir somente plos (razes) distintos, ela ento poder ser expandida em uma soma de fraes parciais simples, como est indicado a seguir: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 k n1 2 k nb b b b B(s)F(s)A(s) s p s p s p s p= = + + + + ++ + + + (2.1) Onde kb(k= 1, 2, ..., n) so constantes. O coeficiente kb chamado de resduo do plo em ks p = .Ovalorde kb podeserencontradoaomultiplicarambososladosdaeq.(2.1)pelo coeficiente genrico ( )ks p + e ao fazer ks p = , que resulta em: ( )( )( )( )( ) k1 2k k k1 2 s -pb b B(s)s p s p s pA(s) s p s p=

(+ = + + +

(+ + ( )( )( )( )kk nk k kk ns pb bs p s p bs p s p=(+ + + + + + =(+ +( Vemosquetodosostermosexpandidossoeliminados,comexceode kb .Assimo resduo determinado por: ( )kk ks pB(s)b s pA(s)= (= + ( Note que, como f(t) uma funo real de tempo. Como: kp t -1 kkkbL b es p (= (+ A funo f(t) obtido como: 1 2 np t p t p t1 2 nf(t) b e b e b e = + + + ,para t> 0. Anotaes 49 RESUMO: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 k n1 2 k nb b b b B(s)F(s)A(s) s p s p s p s p= = + + + + ++ + + + Onde: 1 2 k np ,p , ,p , ,p . .so reais Determinao do coeficiente bk qualquer: Multiplica-se todos os numeradores pelo denominador ao coeficiente genrico (s+pk) e faz se s=-pk, obtendo-se: ( )kk ks pB(s)b s pA(s)= (= + ( Exemplo: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) ( ) ( )s 3F(s)s 1 s 2+=+ + A expanso em fraes parciais de F(s) ( ) ( )1 2b b s 3F(s)s 1 s 2 s 1 s 2+= = ++ + + + Onde b1 e b2 so determinados por meio de: ( ) ( )( )1S 1 S 1S 1s 3 s 3 (-1) 3 2b s 1 2s 1 s 2 s 2 (-1) 2 1= == ( ( + + +(= + = = = = ( ((+ + + + ( ( ) ( )( )2S 2 S 2S 2s 3 s 3 (-2) 3 1b s 2 1s 1 s 2 s 1 (-2) 1 -1= == ( ( + + +(= + = = = = ( ((+ + + + ( Assim: -1f(t) L F(s) =( -1-1-12 -1 2 -1f(t) L L Ls 1 s 2 s 1 s 2 (((= + = + = (((+ + + + -t 2tf(t) 2e e= para t> 0 50 Exerccios 01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funes: a) 2s 7F(s)s 8s 15+=+ + b) 2s 3F(s)s 9s 20+=+ + 51 2.25. F(S) ENVOLVE PLOS COMPLEXOS CONJUGADOS A metodologia, neste caso, semelhante situao com razes reais e distintas. Se p1 e p2 so plos complexos conjugados, ento a seguinte expresso pode ser usada: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 k n1 2 3 k nb s b b B(s)F(s)A(s) s p s p s p s p s p| + |= = + + + + ++ + + + + (2.2) Osvaloresde1e2determinadosmultiplicando-seambososladosdaeq.(2.2)por ( ) ( )1 2s p s p + +e fazendo s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se: ( ) ( )( )( ) ( ) 131 2 1 2 1 23 s -pb B(s)s p s p [ s ] s p s pA(s) s p=

(+ + = | + | + + +

(+ ( )( ) ( )k1 2kbs p s ps p+ + + ++ ( )( ) ( )1n1 2ns pbs p s ps p=(+ + + +(+( Vemosquetodosostermosexpandidossoeliminados,comexceodedotermo 1 2( s ) | + | . Portanto: ( ) ( )111 2 1 2s -ps -pB(s)s s p s pA(s)== (| + | = + +( ( (2.3) Como 1p uma grandeza complexa, ambos os lados da eq.(2.3) so grandezas complexas. Igualandoaspartesreaisdeambososladosdaeq.(2.3),obtemosumaequao.Damesma forma,igualandoaspartesimaginariasdeambososladosdaeq.(2.3),obtemosumaoutra equao.Dessasduasequaespossveldeterminar1e2.Osoutroscoeficientes b3,....,bk,....,bn sero obtidos como no primeiro caso. RESUMO: 3 1 2 k n1 2 3 k nb s b b B(s)F(s)A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) (s p )| + |= = + + + + ++ + + + + Onde: 1 1 1p R jI = +e 2 2 2p R jI = +so plos conjugados complexos Determinao dos coeficientes 1 e 2: Multiplica-se todos os numeradores por (s+p1) (s+p2) e faz s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se: 111 2 1 2s ps pB(s)s (s p )(s p )A(s)== (| + | = + +( ( Iguala-se as partes reais e imaginarias de ambos lados da equao. Resolvendo-as obtm os coeficientes 1 e 2. Os outros coeficientes b3, bk e bn so obtidos como no primeiro caso. 52 Para obter 1 e 2: Exemplo 01: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) ( )2s 1F(s)s s s 1+=+ + A F(s) pode ser expandida da seguinte forma: ( )3 1 22b s s 1 s 1F(s)s 0s s s 1 1 3j 1 3j 1 3j 1 3js s s - s s -2 2 2 2 2 2 2 2| + | + += = = ++ | | | | | | | |+ ++ + + + + + |||| ||||\ . \ . \ . \ . ( )3 1 22b s s 1F(s)s 0s s s 1 1 3j 1 3js s -2 2 2 2| + | += = ++ | | | |+ ++ + + || ||\ . \ . (2.4) Multiplica-seambososladosdaeq.(2.4)por 1 3j 1 3js s -2 2 2 2| | | |+ + +|| ||\ . \ .eimpe 1 3js - -2 2=obtendo: 111 2 1 2s ps pB(s)s (s p )(s p )A(s)== (| + | = + +( ( 1 3j1 2s -2 2s 1s1 3js s2 2=+| + | =( | |+ + | |\ .1 3js -2 2| |+ | |\ .1 3js2 2| |+ +| |\ .1 3js -2 2| |+| |\ .1 3js -2 2= ( ( ( ( ( ( ( 1 3j1 2s -1 3j2 2 s -2 2s 1ss==+(| + | =( ( 1 21 3j 1 3j- 1 -2 2 2 21 3j-2 21 3j 1 3j- -2 2 2 2| | | | + || ||| |\ . \ . | + | = =| || | | |\ . || ||\ . \ .(multiplica-se pelo conjugado) 1 1 21 3j 1 3j1 3j 3j 3-2 2 2 21 3j4 4 4 4x2 21 3j 1 3j 1 3j- -2 2 2 2 4 4| | | | + || + + +||\ . \ . | | + | = =| | | | + +|| ||\ . \ .3j4+1 3j2 234= ++ 53 Para obter b3: Logo: 1 2 11 3j 1 3j2 2 2 2 | + | | = + Igualando as partes reais e imaginarias de ambos os lados desta equao, respectivamente obtemos: 1 211 12 23j 3j2 2 | + | = | = + Resolvendo o sistema de equaes, resulta: 11 | = 20 | = Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) porse fazs = 0, obtm: 3s 1bs+=2s(s s 1) + +2 2S 0S 0s 1 (0) 1 111s s 1 (0) (0) 1== ((+ +(= = = = (( (+ + + + 3b 1 = Portanto: ( )2 2s 1 s 1F(s)ss s 1 s s s 1+ = = ++ + + + Aequao: 2s s 1 + + podeserreescritadaseguinteforma:(s+R)2+I2,ondeRaparte real e I a parte imaginaria das razes complexas. Ou seja: 2221 3s s 1 s2 2| || |+ + = + +| | |\ .\ . Logo: ( )2 2 22s 1 s 1 s 1F(s)s ss s 1 s s s 11 3s2 2+ = = + = ++ + + +| || |+ +| | |\ .\ . 2 2 22 2 211 1 1ss1 1 22 2 2F(s)s s1 3 1 3 1 3s s s2 2 2 2 2 2| | + + |\ .= + = + +| | | | | || | | | | |+ + + + + + ||| ||| |||\ . \ . \ .\ . \ . \ . 54 A Transformada Inversa de Laplace F(s) ento dada por: -1f(t) L F(s) =( -1-12 22 213 1s 1 22 2f(t) L F(s) Ls1 3 3 1 3s s2 2 2 2 2 (| | ( + | (\ .= = + +(( ( | | | || | | |+ + + +(|| || ||\ . \ . ( \ . \ . 1 1t t2 23 3 3f(t) e cos t e sen t 12 3 2 | | | |= + +|| ||\ . \ . parat 0 > DICA: A ocorrncia de razes complexas gera a presena de termos oscilatrios na resposta dinmica e a possibilidadedeumaformataogenricaparaasoluofinal,usandofunestrigonomtricas. Portanto,omodomaisusualfazeraexpansonasomadeumafunosenoidalamortecidae uma funo cossenoidal amortecida. ( )t22L e sen tsoe (e = + o + e ( )t22sL e cos tso+ o (e = + o + e Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) 22s 12F(s)s 2s 5+=+ + AfunoF(s)podeserexpandidaemumafunosenoidalamortecidaeumafuno cossenoidal amortecida: ( ) ( )( ) ( )2 2 22s 12 2s 12 2(s 1) 10F(s)s 1 2j s 1 - 2js 2s 5s 1 2+ + + += = =+ + ++ ++ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22s 12 2(s 1) 10 (s 1) 2F(s) 2 5s 2s 5s 1 2 s 1 2 s 1 2 s 1 2+ + += = + = ++ ++ + + + + + + + -1f(t) L F(s) =( ( ) ( ) ( ) ( )-1-12 2 2 2(s 1) 2f(t) 2L 5Ls 1 2 s 1 2 ((+ ((= + ((+ + + + ( ) ( )t tf(t) 2 e cos 2t 5 e sen 2t = +parat 0 >55 Exerccios 01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funes: a) 2s 7F(s)(s 2s 5)(s 3)+=+ + + b) 2s 2F(s)s 3s 4=+ + 56 2.26. F(S) ENVOLVE PLOS MLTIPLOS ConsidereaF(s)=B(s)/A(s),ondeA(s)=0temrazesP1demultiplicidader.[Asoutras razes so supostas distintas]. A(s) pode ser escrita como: ( ) ( ) ( ) ( )r1 r 12 r 2 nA(s) s p s p s p s p+ += + + + + A expanso em fraes parciais de F(s) : r jr r 1 1r r 1 r j11 1 1bb b b B(s)F(s)A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) = = + + + + + +++ + + r 1 r 2 nr 1 r 2 na a as p s p s p+ ++ ++ + + ++ + +(2.5) Onde br, br-1,...., b1 so dados por: 1rr 1s pB(s)b (s p )A(s)= (= + ( 1rr 1 1s pd B(s)b (s p )ds A(s)= (= + ` ( )

1jrr j 1js p1 d B(s)b (s p )j! A(s)ds= ( = + ` ( )

1r 1r1 1r 1s p1 d B(s)b (s p )(r 1)! A(s)ds= ( = + ` ( ) Estas relaes para os valores de bpodem ser obtidas: Multiplicando ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e fazer s tender a p1, temos: 1rr 1s pB(s)b (s p )A(s)= (= + ( Se multiplicarmos ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e ento derivarmos com relao a s,r rr 1 11 r r 1r r 11 1(s p ) (s p ) d B(s) d d(s p ) b bds A(s) ds ds(s p ) (s p )+ ((+ +(+ = + (( (+ + (( r r1 11 r 1rr 11(s p ) (s p ) d db ads ds (s p )(s p )++ ((+ ++ + + ((++ (( r1nn(s p ) dads (s p ) (++ + (+ ( 57 Oprimeirotermodoladodireitodestaultimaequaoigualazero.Osegundotermo igual a br-1. Cada um dos outros termos contm alguma potncia de (s+p1) como fator, resultando que quando s tende ao valor p1, estes termos se anulam. Portanto, 11r rr 1 1 1s ps pd B(s) d B(s)b lim (s p ) (s p )ds A(s) ds A(s)= ((= + = + ` (( ) Da mesma forma, fazendosucessivas diferenciaes com relao a s e fazendo stender a p1,obtemos equaes para os br-j.Note que a Transformada Inversa de Laplace de 1/(s+p1)n dada por: ( )1n 1p t -1n11 tL e(n 1)!s p+ ( ( =+(+ As constantes ar+1, ar+2, ...., na,na eq. (2.5) so determinadas a partir de: kk ks pB(s)a (s p )A(s)= (= + ( ( ) k r 1,r 2, ,n = + + A Transformada Inverda de Laplace de F(s) ento obtida como visto a seguir: ( ) ( )1p t -1 r 1 r 2 r r-12 1b bf(t) L [F(s)] t t b t b er 1 ! r 2 ! + + (= = + + + (+ + (

r 1 r 2 np t p t p tr 1 r 2 na e a e a e+ + + ++ + + + (t 0) RESUMO: r jr r 1 1r r 1 r j11 1 1bb b b B(s)F(s)A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) = = + + + + +++ + + Onde: r1(s p ) +so os plos mltiplos Determinao do coeficiente br ,.., br-1 ,.., br-j ,.., b1: 1rr 1s pB(s)b (s p )A(s)= (= + ( 1rr 1 1s pd B(s)b (s p )ds A(s)= (= + ` ( )

1jrr j 1js p1 d B(s)b (s p )j! A(s)ds= ( = + ` ( ) 1r 1r1 1r 1s p1 d B(s)b (s p )(r 1)! A(s)ds= ( = + ` ( )Dica:n 1 atn1 1t e(n 1)!(s a) =+ 58 Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) 23s 2s 3F(s)(s 1)+ +=+ A expanso em fraes parciais dessa F(s) envolve trs termos: 3 2 13 2 1b b b B(s)F(s)A(s)(s 1) (s 1) (s 1)= = + ++ + + Onde b3, b2 e b1 so determinados como vistos a seguir: 23 3 233s 1s 1B(s) s 2s 3b (s 1) (s 1) ( 1) 2( 1) 3 2A(s)(s 1)== ( ( + += + = + = + + = ( (+( 23 323s 1s 1d B(s) d s 2s 3b (s 1) (s 1)ds A(s) ds(s 1)== ( ( + + = + = + = ( ` ` (+( ) ) 22s 1s 1db s 2s 3 2s 2 2(-1) 2 0ds== (= + + = + = + =( ` ) 3 1 2 23 313 1 2 3s 1 s 11 d B(s) 1 d s 2s 3b (s 1) (s 1)(3 1)! A(s) (2)!ds ds (s 1)= = ( ( + + = + = + = ( ` ` (+( ) ) 1s 1s 11 d 1 2b 2s 2 2 12 ds 2 2== = + = = =(( ` ) Portanto obtemos: 1f(t) L F(s)=( 1 1 13 2 12 0 1f(t) L L L(s 1) (s 1) (s 1) (((= + + = (((+ + + 2 t tf(t) t e e = + = 2 tf(t) (t 1)e= + parat 0 > 59 Exerccios 01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funes: a) 34(s 2s 5)F(s)(s 3)+ +=+ b) 24(s 3s 2)F(s)(s 7) (s 1)+ +=+ + 60 2.27. EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO NestaseovamosabordarousodomtododaTransformadadeLaplacenasoluode equaes diferenciais lineares e invariantes no tempo. O mtodo da transformada de Laplace conduz soluo completa (soluo complementar e soluo especfica) de equaes diferenciais lineares e invariantes no tempo. Os mtodos clssicos paraadeterminaodasoluocompletadeequaesdiferenciaisrequeremoclculode constantesdeintegraoapartirdascondiesiniciais.NocasodomtododaTransformadade Laplace,entretanto,esserequisitononecessrioporqueascondiesiniciaisestoincludas automaticamente na transformada de Laplace da equao diferencial. Setodasascondiesiniciaisforemnulas,entoatransformadadeLaplacedaequao diferencial ser obtida simplesmente substituindo d/dt por s, d2/dt2 por s2 e assim por diante. Nasoluodeequaesdiferenciaislineareseinvariantesnotempopelomtododa Transformada Laplace, esto envolvidas duas etapas. 1.AplicaratransformadadeLaplaceacadatermodeumadadaequaodiferencial, converteraequaodiferencialemumaequaoalgbricaemseobteraexpressoda Transformada de Laplace da varivel dependente, reorganizando a equao algbrica assim obtida. 2. A soluo da equao diferencial em funo do tempo obtida pela Transformada Inversa de Laplace da varivel dependente. Nadiscussoaseguir,utilizaremosdoisexemplosparailustrarasoluodeequaes diferenciais lineares invariantes no tempo, por meio do mtodo da Transformada de Laplace. Exemplo 01: Encontre a soluo x(t) da equao diferencial: x 3x 2x 0 + + = , x(0) a = ,x(0) b = Onde a e b so constantes. Escrevendo a Transformada de Laplace de x(t) como X(s) ou L[x(t)] X(s) = Obtemos: L[x(t)] sX(s) x(0) = 2L[x(t)] s X(s) sx(0) x(0) = E, assim, a equao diferencial dada torna-se: 2s X(s) sx(0) x(0) 3 sX(s) x(0) 2X(s) 0 ( + + =( Substituindo as condies iniciais dadas nessa ltima equao, obtemos: 2s X(s) as b 3 sX(s) a 2X(s) 0 ( + + =( 61 Ou 2s 3s 2 X(s) as b 3a (+ + = + + + Resolvendo em relao a X(s), temos: 2as b 3a as b 3a 2a b a bX(s)(s 1)(s 2) (s 1) (s 2)s 3s 2+ + + + + += = = + + + ++ + A Transformada Inversa de Laplace de X(s) resulta em: 1 1 12a b a bx(t) L X(s) L L(s 1) (s 2) (( + += = ( ((+ + t 2tx(t) (2a b)e (a b)e = + + ,para t 0 Que a soluo da equao diferencial dada. Note que as condies iniciais a e b aparecem na soluo. Assim, x(t) no tem constantes indeterminadas. Exemplo 01: Encontre a soluo da equao diferencial: x 2x 5x 3 + + = , x(0) 0 = ,x(0) 0 = Observando-se queL[3] 3/ s = ,x(0) 0 = ,x(0) 0 = , a transformada de Laplace da equao diferencial torna-se: 23s X(s) 2sX(s) 5X(s)s+ + = Resolvendo para X(s), encontramos: 2 23 3 1 3 s 2X(s)5 s 5s(s 2s 5) s 2s 5+= = + + + + 2 2 2 23 1 3 2 3 s 1X(s)5 s 10 5(s 1) 2 (s 1) 2+= + + + + Conseqentemente, a Transformada Inversa de Laplace torna-se: 1x(t) L X(s)=( 1 1 12 2 2 23 1 3 2 3 s 1x(t) L L L5 s 10 5(s 1) 2 (s 1) 2 ((+(= (( (+ + + + t t3 3 3x(t) esen(2t) e cos(2t)5 10 5 = ,para t 0 Que a soluo da equao diferencial. 62 Exerccios 01) Qual a soluo das seguintes equaes diferenciais ? a)2x 7x 3x 0 + + = , x(0) 3 = ,x(0) 0 = b) 2n nx 2 x x 0 +,e + e = , x(0) a = ,x(0) b = 63 2.28. TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI) O teorema do valor inicial(TVI) permite que se descubra o valor inicialf(0 ) +do sinal f(t) cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor inicial estabelece que: t 0 sf(0 ) lim f(t) lims F(s) + + = = 2.29. TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF) O teorema do valor final (TVF) permite que se descubra o valor finalf( ) do sinal f(t) cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor final estabelece que: t s 0f( ) limf(t) lims F(s) = = Restries de aplicao : Os plos deF(s) B(s) / A(s) = , aps cancelamento dos termos comuns, tm que estar no semi-plano esquerdo (SPE); S permitido um nico plo em s=0 ( de esperarf( ) = cte como na funo degrau); O valor def( ) indefinido se existirem pares de plos conjugados no eixoje, pois a f(t) conter funes de tempo oscilante. Ovalordef( ) indefinidoseexistiremparesdeplosconjugadosnoeixonosemi-plano esquerdo (SPD), pois a f(t) conter funes de tempo crescentes exponencialmente. Este teorema no se aplica quando f(t) for uma funo senoidal sen(et), pois s F(s) tem plos em s= je e o tlimf(t) no existe. Exemplos: Encontre valor inicialf(0 ) +o valor finalf( ) dos sinais abaixo: a) 212(s 1)F(s)s(s 1)+=+ Valor inicial: 2s12(s 1)f(0 ) lim s0s(s 1)++ = =+ Valor final: Indefinido, pois F(s) tem plos conjugados s = j2 no eixo je 64 b) 4s 5F(s)2s 1+=+ Valor inicial:Como a ordem dos dois polinmios numerador e denominador so iguais efetua-se a diviso polinomial: 4s 5 3F(s) 2 2 Y(s)2s 1 2s 1+= = + = ++ + e aplica-se o teorema do valor inicial a Y(s): s s3f(0 ) lim sY(s) lims1.52s 1 + = = =( + Valor final: Podemos aplicar o teorema do valor final diretamente a F(s): 2s 0 s 04s 5sf( ) lim s F(s) lim s02s 1 (+ = = =( ( + ( 65 CAPTULO 3 3. MODELAGEM MATEMTICA 3.1.CONSIDERAOES GERAIS Modelosdesistemassorepresentaesquepermitemestabelecerrelaesentrecausae efeitodesistemasdinmicos.Osmodelospodemserfsicosoumatemticos.Modelosfsicos assemelham-seasistemasreais,pormmaissimples,emborarepresentativosdascaractersticas mais importantes. Os modelos matemticos procuram representar o comportamento dinmico dos sistemas por meio de equaes matemticas (equaes de derivadas, equaes de diferenas). Pode-se prever o comportamento dinmico de uma planta pela anlise do seu modelo fsico ou matemtico. Por exemplo, seja o sistema dinmico mostrado na Figura 3.1, composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este sistema, que se deslocanavertical,poderepresentarumsistemadesuspensodeumveculo.Aequao matemtica que descreve o movimento do conjunto em funo do deslocamento xo da massa e da extremidade do amortecedor e mola, xi, tambm mostrada na figura. 0 0 i 0 imx b(x x ) k(x x ) 0 + + = Figura 3.1 - Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a suspenso de um veculo. 3.2.TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS OdiagramamostradoFigura3.2ilustraosdiferentestiposdesistemaseosmodelos matemticosutilizadosnasuarepresentao.Sistemasdinmicosestocsticospossuemum comportamentoimprevisvel,eportantonopodemsermodelados.Umrudoumexemplode umadinmicaestocstica.Sistemasdeterminsticos,aocontrrio,possuemumadinmica previsvel que pode ser modelada matematicamente. Se o sistema for determinstico, ele pode ser modeladoporparmetrosconcentradosoudistribudos.Sistemaaparmetrosconcentrados significaque,dadoascondiesdosistemanuminstante,possvelpreverasuacondioem qualquer instante. J com parmetros distribudos, o estado uma funo de outros parmetros. Umexemplodeumsistemacomparmetrosconcentradososistemamassa-mola-amortecedor mostradonaFigura3.1.Estetipodesistemadescritoporumaequaodiferencialnotempo 66 (df/dt).Adistribuiodetemperaturanumaplacaaquecida,porsuavez,umsistemacom parmetros distribudos, uma vez que a temperatura em cada ponto depende da posio do ponto e do tempo. Sistemas a parmetros distribudos so governados por equaes diferenciais parciais (f/x). Quando o sistema possuir parmetros concentrados, ele poder ser modelado por funes contnuas ou discretas no tempo. Sistemas discretos so aqueles que assumem valores apenas em determinadosinstantesdetempo.Elespodem,eventualmente,sermodeladosporfunes contnuas.Apropriedadediscretapodetantoestarnoprpriosistemaquantonaformadese medirosistema.Seamediofordiscreta,aintervalosregularesnotempo,estesistema considerado discreto. Exemplos de sistema discretos so: o nmero de habitantes contaminados a cada ano pelo vrus da gripe, a temperatura mxima do dia observada durante um ano num dado local,etc.Seumsistemadinmicocontnuoforsimuladonumcomputador,elepassaaser discreto,umavezqueimpossvelobterovalordoestadoacadainstantedetempo,mas somentenospontoscalculadospelocomputador.Naprtica,porm,considera-sequeoclculo efetuadopelocomputadorprecisoosuficienteparaqueosistemapossaseradmitidocomo contnuo. Figura 3.2 - Sistemas dinmicos e sua representao por modelos matemticos 67 Dentrodesistemascontnuos,ocomportamentodinmicopodeserlinearounolinear. Sistemas lineares so descritos por equaes lineares (definidas logo a seguir) que se assemelham equao de uma reta, ao passo que sistemas no lineares possuem termos com o quadrado, ou o cubo, ou o seno ou ainda a funo exponencial das variveis de estado. Se o sistema for linear, os coeficientes da equao linear podem ser constantes ou ento variar lentamente no tempo. Se os coeficientes variam rapidamente no tempo, muito provvel que este sistema no seja linear. Exemplosdesistemascomparmetrosvariantesnotemposoaeronavesefoguetes.Neles,a massa do veculo varia conforme o combustvel consumido, e as caractersticas dinmicas sofrem influnciadestavariao.Finalmente,ossistemaspodemaindadependerdeapenasumaoude mais de uma varivel de estado. No primeiro caso tem-se os sistemas monovariveis e no segundo tem-se sistemas multivariveis. A Figura 3.1 mostra um exemplo de sistema monovarivel. Porm, oconjuntocompletodesuspensodeumveculoseriaumsistemamultivarivel,jque dependeria do nmero de rodas presentes no veculo. Para cada roda, acrescenta-se uma equao a mais no modelo matemtico e, portanto, mais uma varivel de estado. Seroutilizadosaquiapenasmodelosmatemticos,umavezqueelespermitemefetuara anlisedocomportamentodinmicodossistemas,bemcomosuacontrolabilidade,isto,a verificao se estes sistemas podem ou no ser controlados e como deve ser este controle. Alm disso, sero abordados sistemas lineares na quase totalidade do curso, principalmente em virtude de que a teoria de controle moderna deriva exclusivamente de sistemas lineares. Um sistema y = H(x) linear se obedece relao: 1 2 1 2 1 2H( x x ) H(x ) H(x ) y y o + | = o + | = o + | Seja, por exemplo, a equao diferencial ordinria de 2a ordemy mx bx kx = + + y. Esta equao linear, pois se x = x1 + x2, ento: 1 2 1 2 1 21 1 1 2 2 2y mx bx kx m(x x ) b(x x ) k(x x ) mx bx kx mx bx kx= + + = + + + + + =+ + + + + De onde se conclui que: y = y1 + y2 Nem todos os sistemas fsicos reais so lineares. Na verdade, a grande maioria deles no linear at um certo grau. Isto no significa que a teoria de controle de sistemas lineares no possa seraplicadaasistemasnolineares,massimquesedeveprocederaumalinearizao(quando possvel) do sistema a fim de tornar o controle menos suscetvel sno linearidades. Infelizmente nem sempre esta prtica resulta num sistema controlvel. 68 3.3.MODELAGEM MATEMTICA A maioria dos sistemas dinmicos, independente de serem biolgicos, eltricos, hidrulicos, etc, podem ser caracterizados por equaes diferenciais utilizando as leis fsicas.Modelosmatemticosadescriomatemticadascaractersticasdinmicasdeum sistema. Na obteno de um modelo, devemos estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e preciso dos resultados da analise. Por exemplo: O exemplo acima mostra um motor de induo com seu respectivo modelo matemtico. 3.4.CONTROLE CLSSICO 3.5.FUNO DE TRANSFERNCIA Em teoria de controle, funes chamadasFunes de Transferncia so comumente usadas paracaracterizarasrelaesdeentrada-sadadecomponentesousistemasquepodemser descritos por equaes diferencias lineares invariantes no tempo. AFunodeTransfernciadeumsistemadeequaesdiferenciaislinearesinvariantesno tempodefinidacomoarelaodaTransformadadeLaplacedasada(funoresposta)paraa TransformadadeLaplacedaentrada(funodeexcitao)sobahiptesedequetodasas condies iniciais so nulas. Considerandoosistemalinearinvariantenotempodefinidopelaseguinteequao diferencial: (n) (n 1) (m) (m 1)0 1 n 1 n 0 1 m 1 ma y a y a y a y b u b u b u b u + +.+ + = + + + + (n>m)(3.1) Onde y chamada de varivel de sada e u a varivel de entrada.A Funo de Transferncia deste sistema obtida tomando-se as Transformadas de Laplace de ambos os membros da eq.(3.1) e sob hiptese de que todas as condies iniciais so nulas, ou: n n 10 1 n 1 nm m 10 1 m 1 ma s Y(s) a s Y(s) a sY(s) a Y(s) b s U(s) b s Y(s) b sU(s) b U(s)+ + .+ + =+ + + + 69 n n 1 m m 10 1 n 1 n 0 1 m 1 mY(s) a s a s a s a U(s) b s b s b s b ((+ + .+ + = + + + + m m 10 1 m 1 mn n 10 1 n 1 nb s b s b s b Y(s)F(s)U(s)a s b s a s a+ + + += =+ + + + (3.2) CondiesiniciaisnulasL [sada]Funode transfernciaF(s)L [entrada]= =(3.3) Usando o conceito de Funo de Transferncia, possvel representar a dinmica do sistema pelas equaes algbricas em s. 3.6.PROPRIEDADES DA FUNO DE TRANSFERNCIA A Funo de Transferncia de um sistema tem vrias propriedades teis: 1) A Funo de Transferncia de um sistema a Transformada de Laplace da sua resposta aoimpulso.Isto,seaentradaparaumsistemacomFunodeTransfernciaF(s)oimpulso em todos os valores iniciais zero, a transformada da sada F(s). 2)AFunodeTransfernciadeumsistemapodeserdeterminadaapartirdaequao diferencialdosistematomando-seaTransformadadeLaplaceeignorandotodosostermosque resultam dos valores iniciais. A Funo de Transferncia F(s) ento dada pela eq.(3.3). 3)AequaodiferencialdosistemapodeserobtidadaFunodeTransferncia substituindo-se a varivel s pelo operador diferenciald dt . 4)Aestabilidadedeumsistemalinear,invariantecomotempo,podeserdeterminadaa partirdaequaocaracterstica.OdenominadordaFunodeTransfernciadeumsistema igualado a zero a equao caracterstica. Conseqentemente, se todas as razes do denominador tiverem partes reais negativas, o sistema estvel. 5)Asrazesdodenominadorsoosplosdosistemaeasrazesdonumeradorsoos zeros do sistema. A Funo de Transferncia do sistema pode ento ser especificada, a menos de umaconstante,especificando-seosplosezerosdosistema.Estaconstante,geralmente representadaporK,ofator-ganhodosistema.Osplosezerosdosistemapodemser representados esquematicamente por um mapa plo-zero no plano-s. 70 3.7.REPRESENTAO DA FUNO DE TRANSFERNCIA Considerando novamente a Funo de Transferncia dada pela equao a seguir: m m 10 1 m 1 mn n 10 1 n 1 nb s b s b s b Y(s)F(s)U(s)a s b s a s a+ + + += =+ + + + (3.4) FatorandoopolinmiodonumeradoredodenominadorestamesmaFunode Transferncia pode ser expressa em termos do produto dos fatores como: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 m 1 m1 2 n 1 nK s z s z s z s zY(s)F(s)U(s) s p s p s p s p = = (3.5) Quando is z = , s referido para ser um zero da funo transferncia e quando is p = , s referido para ser um plo da Funo de Transferncia. Assumindo agora que os plos{ }ipso reais ou complexos mas distintos, podemos escrever a eq.(3.4) como uma frao parcial: 1 2 n 1 n1 2 n 1 nC C C C Y(s)F(s)U(s) s p s p s p s p= = + + + + (3.6) Onde 1 2 n 1 nC , C , , C , Csochamadosderesduosepodemsercalculadopelomtodo fraes parciais visto no capitulo 2. 3.8.FUNODETRANSFERNCIARACIONALPRPRIA,TOTALMENTEPRPRIA, BIPRPRIA E IMPRPRIA Dada uma Funo de Transferncia F(s), diz-se que uma Funo de Transferncia racional porque ambos (numerador e denominador) so polinmios. m m 10 1 m 1 mn n 10 1 n 1 nb s b s b s b Y(s)F(s)U(s)a s b s a s a+ + + += =+ + + + As razes do numerador so chamadas de zeros da Funo de Transferncia. As razes do denominador so conhecidas como os plos da Funo de Transferncia. Se m > n, F(s) chamada uma Funo de Transferncia imprpria. Se m s n, F(s) chamada uma Funo de Transferncia prpria. Se m < n, F(s) chamada uma Funo de Transferncia estritamente prpria. Sem=n,F(s)chamadaumaFunodeTransfernciabiprpria,porquesuainversa tambm prpria. 71 3.9.SISTEMAS ELTRICOS 3.10. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELTRICOS Oscomponentesdoscircuitoseltricosso:ocapacitor,oindutorearesistncia.Estes componentes, bem como a relao de tenso e corrente entre eles so descritos no anexo 1. RESUMO: Quando uma corrente eltrica flui atravs de cada um dos trs componentes bsicas de um sistemaeltrico,nominalmenteresistncia,indutorecapacitor,elafluideformaproporcional diferena de potencial no caso da resistncia, como uma integral no tempo para o indutor e como uma derivada no tempo para o capacitor. Porm, a funo de transferncia a ser considerada em cada um destes casos, depende de qual a fonte considerada, isto , a diferena de potencial ou a corrente eltrica. Ou seja, qual das duas suposta a varivel de entrada e qual delas ser a varivel de sada. sada. Assim, Ri e======sada ientrada eseReisada eentrada ise i R e RR1 eeiiCi e======}sada ientrada eset de dC isada eentrada ise dt iCe1 s C1 s Cieei======}sada ientrada ese dt eLisada eentrada iset di dL e1 Li es Ls L1 eiei72 3.11. EXEMPLOS: SISTEMAS ELTRICOS Exemplo01:ObteraFunodeTransfernciadosistemaeltricomostradonaFiguraAbaixo, considerando que a entrada a tenso de alimentao vE(t) e a sada a carga vS(t) nos terminais do capacitor. Soluo: Como todos os elementos esto em srie, a corrente i(t) que passa pelo circuito nica. A tensove(t)entodivididaentreosdiversoselementos,ouseja,asomadastensesnos terminaisdos3elementosigualtensodealimentao. AplicandoasegundaleideKirchhoff (Lei da tenso na malha) temos: Malha 01 E R L CV (t) V (t) V (t) V (t) = + + E1 di(t)V (t) R i(t) i(t)dt Lc dt= + +}(I) Malha 02 S CV (t) V (t) = S1V (t) i(t)dtc= } (II) Aplicando Laplace na eqs.(I e II) temos: EI(s)V (s) R I(s) LsI(s)Cs= + +(III) SI(s)V (t)Cs=(IV) FunodeTransfernciaarelaodatransformadadeLaplacedasadapelaentrada quando as condies iniciais so nula, logo dividindo a eq.(IV) pela eq.(III) temos: SEI(s) CsI(s)V (s)Cs CsI(s) Cs I(s) V (s)R I(s) LsI(s) CRs I(s) CLsI(s)Cs Cs= =+ + + + 73 S2 22E1V (s) 1 1CLR 1 V (s)CRs1 CLs CLs CRs1s sL CL= = =+ + + ++ + S2E1V (s)CLR 1 V (s)s sL CL=+ +(Funo de Transferncia) Exemplo02:ObteraFunodeTransfernciadosistemaeltricomostradonaFiguraabaixo, considerando que a entrada a tenso de alimentao VE(t) e a sada a carga VS(t) nos terminais do capacitor C2. Soluo: Malha 01 1 1E R CV (t) V (t) V (t) = + E 1 1 1 211V (t) Ri (t) [i (t) i (t)]dtC= + } (I) Malha 02 1 2 2C R C0 V (t) V (t) V (t) = + + 2 1 2 2 21 21 10 [i (t) i (t)]dt Ri (t) i (t)dtC C= + +} } (II) Malha 03 2S CV (t) V (t) = S 221V (t) i (t)dtC=}(III) Aplicando Laplace na eqs.(I e II e III) temos: 74 E 1 1 1 211V (s) RI (s) I (s) I (s)C s= + ( (IV) 2 1 2 2 21 21 10 I (s) I (s) RI (s) I (s)C s C s= + +( (V) S 221V (s) I (s)C s= (VI) Da equao (V), obtemos I1(s): 2 1 22 21 1 2I (s) I (s) I (s)RI (s) 0C s C s C s + + = 1 2 22 21 1 2I (s) I (s) I (s)RI (s)C s C s C s= + + 2 11I (s)C sI (s) =1C s2 11 2 2I (s) C sC s RI (s) + +2C s 11 2 1 2 2 22CI (s) I (s) C R s I (s) I (s)C= + + Substituindo I1(s) na equao (IV) E 1 1 1 211V (s) RI (s) I (s) I (s)C s= + ( 1 1E 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 22 1 2C C 1V (s) R I (s) C R s I (s) I (s) I (s) C R s I (s) I (s) I (s)C C s C (( | |= + + + + + (|( ( \ . 1 1 2 2E 1 2 1 1 2 22 1C R I (s) I (s)V (s) R I (s) C R R s I (s)C C s= + + +1 2 2 1 2 21 2 1 1C R s I (s) C I (s) I (s)C s C C s C s+ + 1 1 1 2 1E 2 1 1 1 22 1 2 1C R C R sCV (s) I (s) R C R R s C C s C C s (= + + + + ( 2 2 22 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1E 22 1C C R s C C R R s C R s C C R s CV (s) I (s)C C s (+ + + += = ( ( 2 2 22 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1E 22 1C C R R s (C C R C R C C R )s CV (s) I (s)C C s (+ + + += ( ( (VII) Dividindo a equao (VI) pela (VII) temos: 75 2SEI (s)V (s)V (s) =2C s2 2 22 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 122C C R R s (C C R C R C C R )s CI (s)C+ + + +1C s= ( ( ( S2E2 1V (s) 1V (s)C C=21 2 2 1R R s (C C +21 1R C +1 2 1R C C +2 1R )s C +1C= ( ( ( S2E2 1 2 1 2 1 1 1 2 2V (s) 1V (s)C C R R s (C R C R C R )s 1=+ + + + (Funo de Transferncia) Exerccios 01) Obter a Funo de Transferncia VS(s)/VE(s) 76 3.12. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS Para resolver circuitos eltricos complexos (os de mltiplas malhas e ns) usando o mtodo das malhas, podemos executar os seguintes passos: 1.Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedncias. 2.Substituirtodasasfontesetodasasvariveisnodomniodotempopelasrespectivas Transformadas de Laplace. 3.Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha. 4.Resolver a lei de Kirchhoff das tenses ao longo de cada malha. 5.Resolver o sistema de equaes em termos da sada. 6.Elaborar a funo de Transferncia. Exemplo 01: Dado o circuito abaixo, obter a Funo de Transferncia I2(s)/V(s) OprimeiropassonasoluoconsisteemconverterocircuitoemTransformadadeLaplace dasimpednciasedasvariveisdecircuito,supondocondiesiniciaisnulas.Oresultadoest mostrado abaixo. Ocircuitocomqualestamoslidandorequerduasequaessimultneasparaseobtera FunodeTransferncia.Estasequaespodemserdeterminadassomandoastensesaolongo decadamalhaatravsdaquaissesupequecirculemascorrentesI1(s)eI2(s).Aolongoda Malha 1, onde circula I1(s), 1 1 1 2R I (s) Ls I (s) I (s) V(s) + =( ou 1 1 2[R Ls] I (s) LsI (s) V(s) + =77 Ao longo da Malha 2, onde circula I2(s), 2 1 2 2 21Ls[I (s) I (s)] R I (s) I (s) 0Cs + + =ou 1 2 21LsI (s) [Ls R ] I (s) 0Cs + + + = Combinando os termos, as equaes anteriores se tornam equaes simultneas em I1(s) e I2(s): 1 1 2[R Ls] I (s) LsI (s) V(s) + =1 2 21 LsI (s) [Ls R ] I (s) 0Cs + + + = PodemosusararegradeCramer(ouqualqueroutromtodopararesolversistemasde equaes) para resolver a equao anterior em termos de I2(s). Assim: 1212R Ls V(s)Ls 0I (s)R Ls Ls1Ls Ls RCs+=+ + + Elaborando a Funo de Transferncia, Resulta 121 2[(R Ls) (0)] [( Ls) V(s)]I (s)1(R Ls) Ls R [( Ls) ( Ls)]Cs+ = = ( | |+ + + |(\ . 22 2 11 1 2LsV(s)I (s)RR Ls R R L sCs=+ + +2 22LsR Ls L sCs+ + = 22 21 1 2 1 2LsV(s)I (s)R LCs R R Cs R R CLs LsCs= =+ + + + 2221 2 1 2 1LCs V(s)I (s)R LC R CL s R R C L s R= =+ + + +(( 2221 2 1 2 1I (s) LCsV(s)R LC R CL s R R C L s R=+ + + +(( 78 A seguir mostrada uma forma geral para escrever rapidamente as equaes das malhas do circuito eltrico. 1 2 Soma dasSoma das impe-Soma das tensesimpedncias ao I (s) dncias comuns s I (s)applicadas ao longo da Malha 1 duas malhas longo da Malha 1 ((( ((( = ((( ((( 1 2 Soma das impe-Soma dasSoma das tensesdncias comuns s I (s) impedncias ao I (s)applicadas ao duas malhaslongo da Malha 2longo da Malha 2 ((( ((( + = ((( ((( Exerccios 01) Obter a Funo de Transferncia I3(s)/V(s) Resp: 3 234 3 2I (s) 8s 13s sV(s)24s 30s 17s 16s 1+ +=+ + + + 79 3.13. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS 80 3.14. MOTOR DE CORRENTE CONTNUA Omotor CC um dispositivo atuador de potncia que entrega energia a uma carga, como estmostradonaFig.2.15(a);umesboodeummotorCCestmostradonaFig.2.15(b).Uma vista em corte de um motor CC do tipo panqueca fornecida na Fig. 2.16. OmotorCCconverteenergiaeltricadecorrentecontnua(CC)emenergiamecnica rotativa.Umagrandepartedotorquegeradonorotor(armadura)domotorestdisponvelpara acionar uma carga externa. Devido a recursos tais como torque elevado, possibilidade de controle develocidadesobreumaamplafaixadevalores,portabilidade,caractersticavelocidade-torque bem comportada e adaptabilidade a vrios tipos de mtodos de controle, os motores CC ainda so usadoslargamenteemnumerosasaplicaesdecontrole,incluindomanipuladoresrobticos, mecanismosdetransportedefitas,acionadoresdedisco,mquinas-ferramentaseatuadoresde servovlvulas. A funo de transferncia do motor CC ser deduzida por meio de uma aproximao linear domotorreal,eosefeitosdesegundaordem,comohistereseequedadetensonasescovas, serodesprezados.Atensodeentradapodeseraplicadaaosterminaisdecampooude armadura. O fluxo no entreferro do motor proporcional corrente de campo, desde que o campo no esteja saturado, ou seja: f fK i | = 81 3.15. SISTEMAS MECNICOS 3.16. SISTEMAS MECNICOS TRANSLACIONAL Sistemasmecnicostranslacionaissoaquelesnosquaisosdeslocamentosseguemlinhas retas. 3.17. COMPONETES DOS SISTEMAS MECNICOS Existem 3 componentes lineares nos sistemas mecnicos translacionais: a massa, a mola e o amortecedor. Cada um deles possui uma equao que define seu comportamento dinmico e sero vistos a seguir. 3.18. MASSA Massacorrespondeidiaintuitivade"quantidadedematriaexistenteemumcorpo". Aplicando-se a lei de Newton numa massa m, por exemplo, tem-se que f ma mv my = = = Que pode ser interpretada na forma: a fora aplicada massa igual ao produto da massa pelaacelerao.Nota-sequeaaceleraopodeserexpressapormeiodaderivadatemporalda velocidade v ou ento pela segunda derivada do deslocamento y. A massa pode estar submetida a mais de uma fora, e neste caso a equao pode ser generalizada na forma: if ma mv my = = = Aplicando-se a Transformada de Laplace nesta relao, tem-se o resultado: 2iF(s) mA(s) msV(s) ms y(s) = = = Onde A(s), V(s) e Y(s) representam a Transformada de Laplace da acelerao, velocidade e deslocamento,respectivamente.Afiguraaseguirmostraarepresentaoesquemticadeuma massa sujeito ao de foras. 82 Figura 3.3 - Representao de uma massa m submetida a ao de foras 3.19. MOLA Umamolaumobjetoelsticoflexvelusadoparaarmazenara energiamecnica.Asmolassofeitasgeralmentedeaoendurecido.A equao da mola dada pela lei de Hook: f K y = Onde k a constante da mola. Nota-se que a fora gerada pela mola sempre contrria ao deslocamento,isto,seodeslocamentoforpositivoaforanegativaevice-versa.As extremidadesdamolapodemestarsubmetidasadeslocamentosdistintos,comomostraa representao da mola na Figura 3.5, e portanto a equao fica: 1 2f K (y y ) = Nota-sequeamolaadmitidacomoideal,oquesignificaquesuamassanulaequea fora nas suas extremidades so iguais e contrrias. A fora na mola pode ser posta tambm em funo da velocidade das suas extremidades: ( ) k 1 2 1 2f K (y y ) k V dt V dt = = } } Aplicando agora a transformada de Laplace a esta equao, tem-se K 1 2 1 2KF (s) KY (s) Y (s) V (s) V (s)s= = (( A figura a seguir mostra a representao esquemtica de uma mola de coeficiente K sujeita ao de foras. Figura 3.4 - Representao de uma mola de coeficiente k submetida a ao de foras 3.20. AMORTECEDOR Umamortecedorumcomponentecapazderesistirao movimentodeseusterminais.Umamortecedorautomotivoumbom 83 exemplo deste componente, e sua funo dissipar a energia de oscilao do veculo causada pela mola.Aforanoamortecedorproporcionalvelocidadecomqueassuaextremidadesse aproximam ou se afastam, como mostra o esquema da Figura 3.6, ou seja: b 1 2 1 2f Kv v b y y = = (( A transformada de Laplace da equao acima resulta em: b 1 2 1 2F (s) KV (s) v (s) bs Y (s) Y (s) = = (( claroqueamortecedoresmecnicossotambmidealizados,isto,admite-seque possuem massa nula. A figura a seguir mostra a representao esquemtica de uma amortecedor sujeito ao de foras. Figura 3.5 - Representao de um amortecedor b submetido a ao de foras 3.21. 2 LEI DE NEWTON A Lei fundamental que governa os sistemas mecnicos a 2 Lei de Newton. Para sistemas de translao a lei estabelece que: F ma = Onde: m = massa, kg; a = acelerao m2/s; F = fora, N. Um quilograma uma unidade de massa. Quando acionado por uma fora de 1N, a massa de 1 kg acerela com 1 m/s2. Na2leideNewton,amassaigualrazoentreaforaaplicadanumcorpoea respectiva acelerao. 84 Exemplo 01: Obter a Funo de Transferncia do sistema mecnico mostrado naFigura abaixo, considerando que o termo forante f(t) a entrada e a posio da massa, x(t) a sada. Soluo: Asforasqueatuamnamassamsootermoforantef(t),aforadamolaeaforado amortecedor. Aplicando a lei de Newton nesta massa tem-se: f(t) kx(t) bx(t) mx(t) = Nota-seque,paradeslocamentospositivos,isto,deslocamentosdamassanosentido positivo de x, as foras tanto da mola quanto do amortecedor so negativas (direo contrria de x).Emvirtudedisso,deve-seacrescentarosinalnegativonestasforasquandosecalculaa resultante. Aplicando a transformada de Laplace na equao acima tem-se 2F(s) ms X(s) bsX(s) kX(s) = + + A Funo de Transferncia ento dada por: 2X(s) 1G(s)F(s)ms bs k= =+ + Dividindo a equao anterior por m, temos: 21X(s)mG(s)b k F(s)s sm m= =+ + 85 Exemplo02:Sismgrafo.AFiguraaseguirmostraumdiagramaesquemticodeum sismgrafo.Umsismgrafoindicaodeslocamentodesuacarcaaemrelaoespaoinercial. utilizada para medir deslocamentos de terra durante terremoto (abalos ssmicos). Vamos definir: xi = deslocamento da carcaa relativo ao espao inercial xo = deslocamento da massa m relativa ao espao inercial y = xo - xi = deslocamento da massa m relativamente a carcaa (Noteque,desdequehaproduoeumadeflexoestacionrianamoladevidogravidade, medimos, o deslocamento Xo da massa m em relao posio de equilbrio esttico.) A equao para este sistema e dada por: 0 0 i 0 imx b(x x ) k(x x ) 0 + + = Substituindo 0 ix y x = + nestaltimaequao,obtemos;umaequaodiferencialemy. (note que y um sinal que podemos realmente medir.) imy by ky mx + + = Tomando a Transformada de Laplace da equao anterior, supondo condies iniciais nulas, obtemos: 2 2ims Y(s) bsY(s) kY(s) ms X (s) + + = 2 2iY(s) ms bs k ms X (s) (+ + = 86 Considerando xi como entrada e y como sada, a Funo de Transferncia: 22iY(s) msX (s)ms bs k=+ + 22iY(s) sb k X (s)s sm m=+ + Exemplo03:AFiguraaseguirmostraumdiagramaesquemticodeumsistemade suspenso do automvel. Quando o carro se move ao longo da estrada, os deslocamentos verticais em pneus a agir como o movimento de excitao do automvel sistema de suspenso. A resoluo deste sistema consiste em um movimento de translao da centro de massa e de um movimento rotacionalsobreocentrodemassa.Modelagemmatemticadocompletarosistemabastante complicada. Pela 2 lei de Newton temos: f ma = amor molaf f ma + = 0 i 0 i 0b(y y ) k(y y ) my + = 0 i 0 i 0by by ky ky my + = Aplicando a Transformada de Laplace temos: 87 20 0 0 i ibsY (s) kY (s) ms Y (s) bsY(s) kY(s) + + = + 20 ims bs k Y (s) bs k Y(s) (+ + = +( 022ib ksY (s) bs km mb k Y(s)ms bs ks sm m++= =+ ++ + Exemplo 03: O sistema de suspenso de uma das rodas de uma camionete clssica est ilustrado na Figura abaixo. A massa doveculo m1, e a massa da roda, m2. A mola dasuspenso possui uma constante de mola k1, e o pneu, uma constante de mola k2. A constante de amortecimento do amortecedorb.ObterafunodetransfernciaY1(s)/X(s),aqualrepresentaarespostado veculo aos solavancos devidos a irregularidades da estrada. Suspenso de uma camionete Pela 2 lei de Newton temos: 1 1