Controle+II+-+P04+-+Projeto+pelo+Método+do+Lugar+da+Raízes+-+final

CENTRO UNIVERSITRIO DO SUL DE MINAS UNIS-MG

GEAT - Unidade de Gesto de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia

Curso de Engenharia Eltrica

Prof. Dr. Vinicius Miranda Pacheco

2015

Controle IIProjeto de Sistema de Controle pelo

Mtodo do Lugar das Razes

Sumrio

Introduo; Compensao por avano de fase; Compensao por atraso de fase; Compensao por avano e atraso de fase.

2Projeto de Sistema de Controle pelo Mtodo do Lugar da Razes

Referncia Bibliogrfica

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. Editora Prentice Hall do Brasil. 5.ed. 2011.

Captulo 6

Introduo


Especificaes de Desempenho

Sistemas de controle so projetados para desempenhar determinada tarefa.

Os requisitos impostos aos sistemas de controle so chamados de especificao de desempenho, e podem ser dadas como requisito:

da resposta transitria (como mximo sobre-sinal, tempo de acomodao na resposta em degrau)

em regime permanente (como erro estacionrio no acompanhamento de uma entrada em rampa)

As especificaes de desempenho no devem ser mais rigorosas do que o necessrio para executar uma determinada tarefa.

O mais importante no projeto de um sistema de controle definir com preciso as especificaes de desempenho para proporcionar

um sistema de controle timo para a finalidade desejada.

Introduo Compensao por Avano de FaseCompensao por Atraso

de FaseCompensao por

Avano e Atraso de Fase

Introduo


Projeto pelo mtodo do lugar da razes: baseia-se em redesenhar o lugar das razes do sistema pela adio de polos e de zeros na funo

de transferncia de malha aberta do sistema, forando o novo lugar

das razes a passar pelos polos de malha fechada desejados no plano

complexo. A caracterstica desse projeto est baseada na suposio

de que o sistema de malha fechada tem um par de polos dominantes.

A primeira etapa de ajuste para que o desempenho do sistema seja satisfatrio determinar o ganho. Caso apenas o ajuste de ganho no

seja suficiente para que o comportamento do sistema atenda s

especificaes, necessrio reprojetar o sistema.

A incorporao de dispositivos ou componentes adicionais chamada de compensao.

O dispositivo inserido no sistema com a finalidade de satisfazer essas especificaes, chamado de compensador. Esse dispositivo

compensa a deficincia do sistema original




Introduo


Compensao srie. Um compensador Gc colocado em srie com a planta.

Compensao em paralelo ou por realimentao. Um compensador Gc colocado em um ramo de realimentao interna.




Introduo


A escolha entre o compensador em srie e o compensador em paralelo depende da natureza dos sinais no sistema, do nvel de

potncia nos vrios pontos, da disponibilidade de componentes, da

experincia do projetista, de consideraes econmicas, etc.

Em geral, a compensao em srie pode ser mais simples do que a compensao em paralelo.

A compensao em srie requer, frequentemente, amplificadores adicionais para aumentar o ganho e/ou promover isolamento.

Em geral o nmero de componentes requeridos na compensao em paralelo ser menor do que o nmero de componentes na

compensao em srie.




Introduo


Modificao da dinmica da planta apesar de ser simples, as vezes no possvel em situaes prticas (a planta pode ser fixa e no

permitir modificaes).

O problema de projeto passa a ser o de melhorar o desempenho do sistema pela insero de um compensador.

A compensao fica reduzida ao projeto de um filtro, cujas caractersticas tendem a compensar os efeitos indesejveis e

inalterveis da planta.

A introduo de um compensador modifica o lugar das razes original, uma vez que h uma adio de polos e/ou zeros no sistema.

A compreenso dos efeitos da adio de polos e zeros no grfico do lugar das razes possibilita determinar a localizao de polos e zeros

do compensador que iro remodelar o lugar das razes conforme o

desejado.




Introduo


Efeitos da adio de polos: desloca o lugar das razes para a direita tende a diminuir a estabilidade relativa do sistema faz com que a acomodao da resposta seja mais lenta




Introduo


Efeitos da adio de zeros: desloca o lugar das razes para a esquerda tende a tornar o sistema mais estvel faz com que a acomodao da resposta seja mais rpida




Exerccio 1


Para o sistema abaixo, considerar: Um controlador proporcional de ganho Kp Uma vlvula pneumtica com funo de transferncia Ga(s) = 1 Uma boia com funo de transferncia H(s) = 0,01 Um tanque de gua com C = 5 m2 e R = 0,2 s/m2

Desenhar o diagrama de bloco do sistema Determinar a sada c(t) para uma entrada em degrau Determinar o erro em regime permanente Analisar a alterao no desempenho do sistema com a substituio do

controlador proporcional por um integral de ganho KI/s




Compensao por Avano de Fase


Compensador por avano de fase construdo com amplificadores operacionais:




Compensao por Avano de Fase


Observa-se que:

A rede tem ganho:

Quando R1C1 > R2C2 ou < 1, a rede de avano de fase. Para R1C1 < R2C2, a rede de atraso de fase.




Tcnica de Compensao por Avano de Fase


O mtodo do lugar das razes muito eficiente quando as especificaes so dadas em termos de grandezas no domnio do

tempo: coeficiente de amortecimento, frequncia natural no

amortecida, mximo sobre sinal, tempo de subida e tempo de

acomodao.

Um compensador por avano de fase pode ser inserido no sistema de modo que os polos dominantes de malha fechada tenham

localizao desejada no plano complexo.






Procedimento para o projeto de um compensador por avano de fase:

1. Com base nas especificaes de desempenho, determinar a

localizao dos polos de malha fechada dominantes.

2. Desenhar o grfico do lugar das razes do sistema no

compensado (sistema original) e verificar se possvel, apenas

o ajuste do ganho, obter os polos de malha fechada desejados.

Caso no seja possvel, calcular a deficincia de ngulo . Esse ngulo deve ser completado pelo compensador, desde que o

novo lugar das razes passe pela localizao desejada dos

polos dominantes de malha fechada.






3. Supor que o compensador seja:

Onde e T so determinados com base na deficincia angular.Kc determinado a partir do requisito de ganho de malha aberta.

4. Se no forem especificadas as constantes de erro esttico, determinar a posio do polo e do zero do compensador, de modo que esse compensador complete o ngulo necessrio. Se no for imposto nenhum outro requisito ao sistema, tentar fazer com que o valor seja o maior possvel. Um valor elevado de geralmente resulta em um valor elevado de constante de erro esttico de velocidade Kv.

5. Determinar o ganho de malha aberta do sistema compensado a partir da condio de mdulo.






Como exemplo, seja o sistema mostrado na figura abaixo.

A funo de transferncia do ramo direto :

A funo de transferncia em malha fechada :






Os polos em malha fechada esto situados em:

Como um sistema de segunda ordem representado por:

Ento: Frequncia natural no amortecida dos polos em malha fechada n = 2 rad/s

Coeficiente de amortecimento = 0,5

A constante de erro esttico de velocidade Kv :

= 2 segundo-1






O grfico do lugar das razes desse sistema :






Deseja-se modificar os polos de malha fechada, de modo que a frequncia natural no amortecida obtida seja n = 4 rad/s, sem que haja alterao no valor do coeficiente de amortecimento = 0,5.

O coeficiente de amortecimento determina a localizao angular dos polos complexos conjugados de malha fechada.

A frequncia natural no amortecida determina a distncia do polo origem.

Graficamente:

Assim, a localizao desejada dos polos em malha fechada :






Como no possvel mover os polos para a posio desejada, ser inserido um compensador por avano de fase no ramo direto.

Para determinar o compensador, primeiramente se determina a soma dos ngulos junto a um dos polos de malha fechada dominantes na

posio desejada, com os polos e zeros de malha aberta do sistema

original.

Em seguida, determina-se o ngulo necessrio a ser acrescentado para que a soma total dos ngulos seja igual a 180(2k + 1). O

compensador por avano de fase deve contribuir com esse ngulo . No sistema considerado, o ngulo de G(s) em um dos polos de

malha fechada desejado :

O compensador deve contribuir com = 30 nesse ponto.






O prximo passo determinar o polo e o zero do compensador.1. Traar uma reta horizontal passando por P (Reta PA)

2. Trace uma reta conectando o ponto P a origem

3. Trace a bissetriz PB do ngulo entre as retas PA e PO

4. Desenhe duas retas PC e PD que formem ngulos /2 com a reta PB

5. As intersees de PC e PD com o eixo real negativo fornecem

as localizaes necessrias para o polo e o zero da rede de

avano de fase.






Para o exemplo dado, o compensador ter um zero em s = 2,9 e um polo em s = 5,4, conforme a figura abaixo.






J foi visto que:

Ento:

A funo de transferncia de malha aberta do sistema compensado ser:






O ganho K calculado a partir da condio de mdulo:

Tendo ento:

A constante Kc do compensador dor avano de fase :

Ento, Kc = 2,51. O compensador tem a funo de transferncia:






Se um circuito com amplificadores operacionais, apresentado anteriormente, for utilizado como compensador, os valores dos

parmetros ficam determinados a partir de :

Escolhendo arbitrariamente C1 = C2 = 10F e R3 = 10k, tem-se:




Compensao por Atraso de Fase


A configurao do compensador por atraso de fase construdo com amplificadores operacionais a mesma que a do compensador por

atraso de fase, escolhendo R2C2 > R1C1.




Compensao por Atraso de Fase


A funo de transferncia do compensador por atraso de fase dada por:




Tcnica de Compensao por Atraso de Fase


Considerando um sistema que apresenta resposta transitria com caracterstica satisfatria, mas regime permanente com

caractersticas insatisfatrias.

Neste caso, a compensao consiste em aumentar o ganho de malha aberta, sem alterar relevantemente as caractersticas da resposta

transitria.

O lugar das razes nas proximidades dos polos dominantes de malha fechada no deve ser modificado significativamente, mas o ganho

de malha aberta deve ser aumentado o quanto necessrio.

Para evitar uma modificao considervel no lugar das razes, a contribuio angular da rede de atraso de fase deve ser limitada a

um valor pequeno (geralmente, em torno de 5%).






Para assegurar que isso ocorra, polo e zero da rede de atraso prximos um do outro e prximos a origem do plano s.

Com isto, os polos de malha fechada do sistema compensado sero apenas um pouco deslocados das posies originais.

As caractersticas transitrias sero apenas um pouco alteradas. Se o polo e zero do compensador estiverem muito prximos e

considerando que um dos polos dominantes seja s = s1, tem-se:






Para fazer com que a contribuio angular da poro de atraso de fase do compensador seja pequena, ser necessrio que:

A constante de erro esttico de velocidade do sistema compensado :






Procedimento para o projeto de um compensador por atraso de fase:1. Desenhar o lugar das razes do sistema no compensado e

localize os polos dominantes de malha fechada.

2. Supor que a funo de transferncia do compensador de atraso

de fase seja:

3. Calcular a particular constante de erro esttico especificada no

problema.

4. Determinar o acrscimo no coeficiente de erro esttico

necessrio.






5. Determinar o polo e zero do compensador que produzam o

aumento necessrio no valor de erro esttico, sem modificar o

lugar das razes.

6. Desenhar o novo lugar das razes e posicionar os polos

dominantes de malha fechada.

7. Ajustar o ganho Kc do compensador.








A funo de transferncia em malha fechada :






O grfico do lugar das razes :






Os polos dominantes de malha fechada so: s = 0,3307 j0,5864 O coeficientes de amortecimento : = 0,491 A frequncia natural no amortecida : n = 0,673 rad/s A constante de erro esttico de velocidade : Kv = 0,53 segundo

-1

desejvel aumentar a constante de erro esttico de velocidade para aproximadamente 5 segundo-1, sem que haja modificao

significativa na posio dos polos dominantes de malha fechada.

Para aumentar a constante de erro esttico de velocidade por um fator em torno de 10, escolhemos = 10 e posicionamos o zero e o polo do compensador por atraso de fase em s = 0,05 e s = 0,005,

respectivamente.






A funo de transferncia do compensador por atraso de fase fica:

A contribuio angular de aproximadamente 4. Como a contribuio no pequena, existe uma ligeira alterao no novo

lugar das razes, prximo dos polos dominantes.

A funo de transferncia em malha aberta do sistema compensado :






Se o coeficiente de amortecimento dos novos polos dominantes de malha fechada permanecer o mesmo, ento os polos sero obtidos a

partir do novo grfico do lugar das razes. Assim: s = 0,31 j0,55.

O ganho de malha aberta K :

O ganho do compensador :

A funo de transferncia do compensador por atraso de fase :






A funo de transferncia de malha aberto do sistema compensado :





Compensao por Avano e Atraso de Fase


Compensao por Avano de Fase: Aumenta a velocidade de resposta bem como a estabilidade do sistema.

Compensao por Atraso de Fase: Melhora a preciso do sistema em regime permanente mas diminui a velocidade de resposta.

Se for desejado melhorar tanto a resposta transitria quanto a resposta em regime permanente, pode-se utilizar simultaneamente

um compensador por avano de fase e um compensador por atraso

de fase.

No entanto, em vez de inserir os compensadores como elementos separados, mais econmico utilizar um nico compensar por

atraso e avano de fase.

O compensador por atraso e avano de fase combina as vantagens das compensao por atraso de fase e por avano de fase.






A funo de transferncia do compensador :




Tcnica de Compensao por Avano e Atraso


CASO 1:

a combinao de um projeto de avano e um projeto de atraso vistos anteriormente.


localizao desejada dos polos dominantes.

2. Utilizando a funo de transferncia de malha aberta,

determinar a deficincia angular .3. Determinar T1 e a partir do requisito:





Em seguida, determine Kc para atender a condio de mdulo.

Supor que num passo posterior, ser escolhido um T2 de forma

que o mdulo da parte de atraso de fase seja igual a unidade.







4. Se a constante de erro Kv tiver sido especificada, determinar o

valor de que a satisfaa. Com o valor de assim calculado, determinar o valor de T2 de tal forma que a variao angular

seja pequena e o mdulo da etapa de avano seja 1.








Os polos dominantes de malha fechada so: s = 0,25 j1,9843 O coeficientes de amortecimento : = 0,125 A frequncia natural no amortecida : n = 2 rad/s A constante de erro esttico de velocidade : Kv = 8 segundo

-1






desejvel que o sistema compensado tenha as seguintes caractersticas:

Coeficientes de amortecimento: = 0,5 Frequncia natural no amortecida: n = 5 rad/s A constante de erro esttico de velocidade : Kv = 80 segundo

-1

A partir das especificaes de desempenho, os polos dominantes de malha fechada devem situar-se em s = 2,5 j4,33.

Utilizando a condio de ngulo:

Assim, a parte de avano de fase do compensador deve contribuir com 55.






Existem diversas possibilidades de escolha para o polo e o zero da parte de avano do compensador. Neste exemplo ser escolhido o

ponto s = 0,5 para posicionar-se o zero (pois desta forma, ele

coincide com um polo do sistema original).

Por clculo ou anlise grfica, verifica-se que o polo deve situar-se em s = 5,021.

A parte relativa ao avano de fase do compensador ser:






Clculo de Kc com base na condio de mdulo:

Determinao do valor de para satisfazer a constante de erro esttico de velocidade:






Clculo de T2 de tal modo que:

escolhido T2 = 5.






A funo de transferncia do compensador por avano e atraso de fase projetado :

A funo de transferncia do sistema compensado :






CASO 2: =


localizao desejada dos polos dominantes.

2. Equao modificada para:

Se a constante de erro esttico de velocidade Kv for

especificada, determinar o valor do coeficiente Kc.






3. Determinar a contribuio angular para a parte de avano de fase do controlador.

4. Determinar os valores de T1 e de acordo com:

5. Utilizando o valor de determinado, escolher um valor de T2de modo que:






Considerando o exemplo anterior, ser considerado = para o projeto do compensador.


Os polos dominantes de malha fechada so: s = 0,25 j1,9843 O coeficientes de amortecimento : = 0,125 A frequncia natural no amortecida : n = 2 rad/s A constante de erro esttico de velocidade : Kv = 8 segundo

-1






Seja as especificaes as mesmas do exemplo anterior. As localizaes desejadas dos polos dominantes de malha fechada

so: s = 2,5 j4,33.

A funo de transferncia de malha aberta do sistema compensado :

Para uma constante de erro esttico de velocidade Kv = 80 s-1:






A constante de tempo T1 e o valor de so determinados a partir de:






Com base na figura abaixo, os pontos A e B podem ser localizados, tais que:






A parte relativa ao avano de fase da rede de atraso e avano de fase torna-se:

Para a parte relativa ao atraso de fase, pode-se escolher:

O compensador por atraso e avano de fase torna-se:

A funo de transferncia de malha aberta do sistema compensado :




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