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Área departamental de Engenharia Química

Controlo de Temperatura num Permutador de

Calor de Tubos Concêntricos: Uma abordagem

clássica vs uma abordagem preditiva

Ricardo Jorge Felizardo Ferreira

(licenciado)

Trabalho final de Mestrado para obtenção do grau de mestre em Engenharia

Química e Biológica

Orientador:

Doutor Sérgio J. Costa

Coorientador:

Doutor José M. Igreja

Júri:

Presidente: Doutor Teodoro Trindade

Vogais: Doutor Filipe Barata

Doutor Sérgio J. Costa

Dezembro 2018

i

Resumo

O avanço tecnológico realizado na indústria química tem levado a processos

cada vez mais complexos, com múltiplas variáveis a controlar e restrições processuais

a impor em cada processo. Outra necessidade que a indústria tem passa pelo aumento

da eficiência dos processos, reduzindo os custos associados a mesma. Dada a grande

competitividade no meio, a comunidade científica e industrial começou a explorar

profundamente o controlo de processos, de maneira a criar sistemas de controlo mais

avançados, capaz de lidar com as exigências processuais.

Nisto surge então o controlo preditivo baseado em modelos matemáticos,

denominado por MPC, em que este tipo de controlo engloba diversas classes de

controladores que utilizam algoritmos de predição e modelos matemáticos próprios de

cada sistema, o que permite que o processo opere perto dos valores máximos das

restrições processuais, de maneira eficiente e segura.

Como descrito na literatura, o MPC apresenta grande sucesso em sistemas

lineares com restrições dada a capacidade do mesmo de reduzir o problema de

otimização a um problema de programação quadrática. Com esta capacidade, torna-se

mais fácil a sua resolução e implementação, como será apresentado neste trabalho.

Como consegue lidar com sistemas multivariáveis, fica igualmente mais flexível e mais

robusto que o controlo clássico, algo que também será abordado neste trabalho.

No presente trabalho, aplicou-se uma das técnicas de controlo preditivo a um

equipamento que é comum a indústria química, um permutador de calor de tubos

concêntricos. Além da aplicação destas técnicas, aplicaram-se também técnicas de

controlo clássico e compararam-se os dois tipos de controlo. A aplicação dos dois tipos

de controlo foi feita através de simulação e implementação num sistema real.

A necessidade do modelo matemático do permutador de calor levou a

necessidade de um estudo aprofundado aos problemas de transferência de calor, bem

como os modelos gerais dos vários permutadores de calor.

Uma outra técnica desenvolvida neste trabalho é a capacidade de ligar um

computador de uso pessoal a uma instalação de escala laboratorial, com resultados

positivos após a implementação.

Palavras chave: Controlo preditivo; Modelo Espaço-Estado; Permutador de calor;

Sistemas multivariáveis; controlo clássico.

iii

Abstract

The technological advances made in the chemical industry has led to increasingly

complex processes, with multiple variables to be controlled and procedural restrictions

to impose in each process. Another need that the industry has is to increase the

efficiency of processes, reducing the costs associated with it. Given the great

competitiveness, the scientific and industrial community began to deeply explore process

control to create more advanced control systems capable of dealing with procedural

requirements.

In this, the predictive control based on mathematical models, called MPC, arises,

in which this control encompasses several classes of controllers that use prediction

algorithms and mathematical models of each system that allow the process to operate

close to the maximum values of the procedural restrictions, efficiently and safely.

As described in the literature, the MPC shows great success in linear systems

with constraints given its ability to reduce the optimization problem to a quadratic

programming problem. With this capability, it becomes easy to implement and easy to

resolve, as it will be presented in this paper. Because it can handle multivariate systems,

it becomes more flexible and more robust than classical control, something that will also

be addressed in this paper.

In the present work, these predictive control techniques were applied to

equipment that is common to the chemical industry, a double pipe heat exchanger. In

addition to the application of these techniques, classical control techniques were also

applied, and the two types of control were compared. The application of the two types of

control was done through simulation and implementation in a real system.

The need for the mathematical model of the heat exchanger has led to the need

for an in-depth study of the heat transfer problems as well as the general models of the

various heat exchangers.

Another technique developed in this work is the ability to connect a personal

computer to a laboratory scale installation, with positive results after implementation.

Keywords: Predictive control; Space-State Model; Heat exchanger; Multivariate

systems; classic control.

v

Agradecimentos

Inicialmente quero começar por agradecer ao professor Sérgio Jorge Costa que

orientou este trabalho e esta dissertação, para além de ter estado sempre presente para

levar a bom porto este trabalho. Agradeço-lhe toda a sua ajuda, todo o seu apoio e a

todas as suas conversas que possibilitaram chegar aqui. Além destes agradecimentos,

estou-lhe grato por todos os materiais e todas as explicações que me levaram a evoluir

nesta área da engenharia. Agradeço ao professor José Manuel Igreja que também

orientou este trabalho, que sem a sua ajuda e a sua sabedoria, grande parte deste

trabalho não teria sido realizado.

Queria deixar um agradecimento aos meus amigos e colegas do ISEL,

nomeadamente, ao Diogo Alves, Sérgio Costa, Ruben Cunha, Diogo Dias, André

Shimura, Jaime Rego, Manuel Verganista, Gonçalo Araújo, António Vieira e o Sérgio

Marques por todo o apoio e força que me deram ao longo do tempo de forma a chegar

onde estou agora. Gostava de agradecer a mais três pessoas do ISEL sendo elas a

Daniela Silva, a Ana Lopes e a Rafaela Cabral. A Daniela por ter sido a pessoa que mais

me fez rir e mais fez para desanuviar, a Ana Lopes por me ter ajudado a chegar a este

ponto com toda a força que ela me deu e ainda a Rafaela Cabral que me ouviu e me

deu sabedoria para passar obstáculos que se puseram na minha caminhada.

Um agradecimento muito especial a uma grande amiga que tive o prazer de

conhecer no ISEL, que foi preponderante na minha caminhada, sendo ela a Joana

Martinho. Agradecer lhe por aturar-me, por me dar força, e por ter sido a pessoa mais

presente ao longo destes duros meses que estive a realizar a dissertação.

Agradeço ao ISEL, instituto em que desenvolvi esta dissertação e onde tirei o

grau de licenciado, pelo equipamento prestado necessário de forma a desenvolver este

trabalho.

Agradeço aos meus amigos do secundário e as pessoas que conheci ao longo

da faculdade, nomeadamente o Duarte Moreira, Ana Cardoso, Artur Esteves, Bruno

Baixinho, Guilherme Borges Diana Carvalho pelo carinho e pelo apoio que prestaram.

Um agradecimento muito grande por parte do meu amigo de longa data Gerson Catabo

pela paciência que teve em ouvir me, pela companhia, pelo apoio e pela ajuda que me

prestou.

E por fim, um agradecimento do fundo do meu coração aos meus pais, a minha

irmã, aos meus tios e aos meus avos que sem eles nada disto teria sido possível e, que

sem eles, eu não conseguiria ter chegado ao fim desta etapa.

vii

Conteúdo

Resumo ........................................................................................................................................ i

Abstract...................................................................................................................................... iii

Agradecimentos ....................................................................................................................... v

Acrónimos ................................................................................................................................ xiv

1. Introdução .......................................................................................................................... 1

1.1. Motivação ................................................................................................................... 1

1.2. Estrutura do trabalho .............................................................................................. 2

1.3. Contribuições do trabalho ..................................................................................... 2

2. Sistemas de controlo ...................................................................................................... 4

2.1. Introdução .................................................................................................................. 4

2.2. Ideia geral ................................................................................................................... 6

2.3. Modelos matemáticos do MPC ............................................................................. 7

2.4. Pré-DMC ...................................................................................................................... 9

2.5. Algoritmos iniciais ................................................................................................. 10

2.6. Controlador preditivo generalizado................................................................... 11

2.7. Algoritmo exemplar ............................................................................................... 11

2.8. Estabilidade ............................................................................................................. 12

2.9. MPC Robusto ........................................................................................................... 15

2.10. MPC não linear .................................................................................................... 16

2.11. MPC adaptativo ................................................................................................... 16

2.12. MPC para sistemas híbridos e sistemas com restrições lógicas .......... 17

2.13. MPC Explícito ...................................................................................................... 17

2.14. MPC económico .................................................................................................. 18

2.15. Otimização rápida .............................................................................................. 19

2.16. Aplicações industriais ...................................................................................... 20

2.17. Abordagem clássica .......................................................................................... 22

2.18. Controlo por PID ................................................................................................. 23

2.19. PID com 2 Graus de Liberdade ....................................................................... 31

3. Modelação do sistema .................................................................................................. 33

3.1. Introdução ................................................................................................................ 33

3.2. Introdução ao estudo do modelo matemático e aos permutadores de

calor 34

3.2. Permutadores de placas ....................................................................................... 36

3.3.1. Permutadores de vácuo revestidos ........................................................... 36

viii

3.3.2. Permutadores de porção revestida e soldado........................................ 37

3.3.3. Permutadores de titânio/ferro revestidos ................................................ 37

3.3.4. Permutadores de placas e cascos ............................................................. 37

3.3.5. Permutadores de placas espiral ................................................................. 37

3.3.6. Modelo dinâmico dos permutadores de placas ..................................... 38

3.4. Permutadores de tubos concêntricos .............................................................. 39

3.4.1. Modelo dinâmico dos permutadores de calor de tubos concêntricos

40

3.5. Permutador de casco e tubos ............................................................................. 41

3.5.1. Modelo dinâmico do permutador de casco e tubos.............................. 42

3.6. Descrição do sistema ............................................................................................ 43

3.7. Modelo matemático................................................................................................ 45

3.8. Linearização e Modelo de Espaço Estado ....................................................... 46

4. Resultados e Discussão ............................................................................................... 49

4.1. Introdução ................................................................................................................ 49

4.2. Malha aberta ............................................................................................................ 50

4.3. Controlo PID ............................................................................................................ 52

4.3.1. PID Hardware ................................................................................................... 52

4.3.2. PID Software .................................................................................................... 72

4.4. Controlo Preditivo .................................................................................................. 83

5. Conclusões e Trabalho futuro .................................................................................... 99

5.1. Conclusão ................................................................................................................ 99

5.2. Desafios Futuros .................................................................................................. 101

Referências Bibliográficas ................................................................................................. 102

Anexos .................................................................................................................................... 109

Apêndice A- Rotinas MATLAB ...................................................................................... 109

A.1.- permutadorxxx.m ................................................................................................ 109

A.2.- permodxx.m ......................................................................................................... 111

Apêndice B- Calibração dos sensores ....................................................................... 112

B.1. Sensor C1, subsystem 1 ................................................................................. 112




B.5. Sensor F1, subsystem 5 ................................................................................. 114



ix

B. Sensor F4, subsystem 8 ................................................................................. 115

Apêndice C- Esquema geral ......................................................................................... 116

x

Lista de tabelas

Tabela 2.1-Método de Ziegler-Nichols, em resposta de passo, para obtenção dos

parâmetros de um PID [85]. ........................................................................................ 27

Tabela 2.2- Método de frequência de Ziegler-Nichols para obtenção dos parâmetros de

um PID [85]. ................................................................................................................ 27

Tabela 4.1- Valores obtidos para o ensaio em malha aberta. ..................................... 51

Tabela 4.2- Tabela que relaciona os valores experimentais com os valores obtidos

através do método dos mínimos quadrados. .............................................................. 51

Tabela 4.3- Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 1. .......................... 54







Tabela 4.10- Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 8. ........................ 68

Tabela 4.11 Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 9. .......................... 69

Tabela 4.12- Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 9, numa toma de

temperatura intermédia, C3. ....................................................................................... 71

Tabela 4.13- Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 1 do PID software.

................................................................................................................................... 74


................................................................................................................................... 75


................................................................................................................................... 77


................................................................................................................................... 78


................................................................................................................................... 80

Tabela 4.18 Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 6 do PID software. 81


................................................................................................................................... 82

Tabela 4.20- Tabela com os parâmetros dos vários controladores utilizados. ............ 85

xi

Lista de Figuras

Figura 2.1- Ideia geral do MPC [7]. .............................................................................. 6

Figura 2.2- Caracterização de uma resposta em passo [85]. ..................................... 26

Figura 2.3-Figura representativa de um controlo em cascata [85]. ............................. 28

Figura 2.4- Princípio do controlo por feedfoward [85]. ................................................ 29

Figura 2.5- Princípio do controlo em split range, num sistema de aquecimento e

arrefecimento [85]. ...................................................................................................... 29

Figura 2.6- Princípio do controlo seletivo [85]............................................................. 30

Figura 2.7- Esquema genérico de um controlador PID 2DoF em tempo discreto [88]. 32

Figura 3.1- Figura de um permutador de calor de placas [90]. ................................... 36

Figura 3.2- Esquematização do comportamento de um permutador de calor de placas

para o modelo matemático [91]. .................................................................................. 38

Figura 3.3- Ideia geral dos permutadores de tubos concêntricos. .............................. 39

Figura 3.4- Funcionamento de um permutador de calor de tubos concêntricos, em

regime contracorrente, utilizado para o modelo matemático [92]. ............................... 40

Figura 3.5- Permutador de calor de casco e tubos [89]. ............................................. 41

Figura 3.6- Imagem de computador de um permutador de casco e tubos [94]. .......... 42

Figura 3.7-Sistema físico do problema de controlo..................................................... 43

Figura 3.8- Armário de instrumentação e sistema de aquisição. ................................ 45

Figura 3.9- Imagem representativa do sistema de tubos concêntricos deste trabalho.

................................................................................................................................... 48

Figura 4.1- Método dos mínimos quadrados aplicado. ............................................... 52

Figura 4.2-Simulink criado de forma a adquirir dados, utilizando como placa de

aquisição a PCL-813 da Advantech. ........................................................................... 53

Figura 4.3- O hardware utilizado para os ensaios. ..................................................... 54

Figura 4.4- Perfis de temperatura no ensaio 1 em contracorrente. ............................. 55

Figura 4.5- Perfis de temperatura no ensaio 1 em cocorrente. ................................... 55

Figura 4.6- Perfis de temperatura de saída do fluido frio. ........................................... 57

Figura 4.7- Esquema geral de problemas de controlo. ............................................... 58

Figura 4.8- Perfis de temperatura do ensaio 2, tanto em contracorrente como

cocorrente. .................................................................................................................. 59

Figura 4.9- Perfis de temperatura de saída do fluido frio. ........................................... 59

Figura 4.10- Perfis de temperatura do ensaio 3, tanto em contracorrente como

cocorrente. .................................................................................................................. 60

Figura 4.11- Perfis de temperatura de saída do fluido frio. ......................................... 61

Figura 4.12- Perfis de temperatura para o aumento do tempo integral. ...................... 62

xii

Figura 4.13- Perfil de temperatura de saída do fluido frio quando existe mudança do

tempo integral. ............................................................................................................ 62

Figura 4.14- Perfis de temperatura para a diminuição do tempo integral. ................... 64

Figura 4.15- Perfil de temperatura de saída do fluido frio quando existe uma diminuição

do tempo integral. ....................................................................................................... 64

Figura 4.16- Perfis de temperatura para o tempo integral a 10 segundos. ................. 65

Figura 4.17- Perfil de temperatura de saída do fluido frio quando existe uma diminuição

do tempo integral. ....................................................................................................... 66

Figura 4.18- Perfis de temperatura para um PI. ......................................................... 67

Figura 4.19- Perfil de temperatura de saída do fluido frio quando se utiliza um PI no

sistema. ...................................................................................................................... 67

Figura 4.20- Perfis de temperatura para tempo derivativo de 2 minutos. .................... 68

Figura 4.21- Perfil de temperatura de saída do fluido frio para o aumento do tempo

derivativo. ................................................................................................................... 69

Figura 4.22- Perfis de temperatura para a diminuição da banda proporcional para 2. 70

Figura 4.23- Perfil de temperatura de saída do fluido frio para a diminuição da banda

proporcional. ............................................................................................................... 70

Figura 4.24- Perfis de temperatura para o controlo a C3. ........................................... 71

Figura 4.25- Perfil de temperatura de C3. .................................................................. 71

Figura 4.26- Simulink criado para a simulação de um PID. ........................................ 72

Figura 4.27- Perfis de temperatura do primeiro ensaio com PID software, tanto em

contracorrente como cocorrente. ................................................................................ 74

Figura 4.28- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o primeiro ensaio. ..... 74

Figura 4.29- Perfis de temperatura do segundo ensaio com PID software, tanto em


Figura 4.30- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o segundo ensaio. .... 76

Figura 4.31- Perfis de temperatura do terceiro ensaio com PID software, tanto em


Figura 4.32- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o terceiro ensaio. ...... 78

Figura 4.33- Perfis de temperatura do quarto ensaio com PID software, tanto em


Figura 4.34- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o quarto ensaio. ........ 79

Figura 4.35- Perfis de temperatura do quinto ensaio com PID software, tanto em


Figura 4.36- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o quinto ensaio. ........ 80

Figura 4.37- Perfis de temperatura do sexto ensaio com PID software, tanto em


xiii

Figura 4.38- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o sexto ensaio. ......... 82

Figura 4.39- Perfis de temperatura do sétimo ensaio com PID software, tanto em


Figura 4.40- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o sétimo ensaio. ....... 83

Figura 4.41- Relação do modelo matemático com as variáveis do processo. ............ 84

Figura 4.42- Perfis de temperatura em malha aberta, neste ensaio. .......................... 85

Figura 4.43- Variação da entrada e da perturbação, no primeiro ensaio. ................... 86

Figura 4.44-Variação da saída, no primeiro ensaio. ................................................... 86

Figura 4.45- Variação da entrada e da perturbação, com predição de valores. .......... 88

Figura 4.46- Variação da saída, com predição de valores. ......................................... 88

Figura 4.47- Variação da entrada e da perturbação, no segundo ensaio. .................. 89

Figura 4.48- Variação da saída, no segundo ensaio .................................................. 90

Figura 4.49- Variação da entrada e da perturbação, com predição. ........................... 90

Figura 4.50-Variação da saída, com predição. ........................................................... 91


Figura 4.52- Variação da entrada e da perturbação, neste ensaio. ............................ 92

Figura 4.53-Variação da saída, neste ensaio. ............................................................ 93


Figura 4.55- Variação da entrada e da perturbação, no terceiro ensaio. .................... 94

Figura 4.56-Variação da saída, no terceiro ensaio. .................................................... 95


Figura 4.58- Variação da saída, neste ensaio. ........................................................... 96


Figura 4.60- Variação da saída, neste ensaio. ........................................................... 97

Figura B.1- Reta de calibração para o sensor C1. ................................................... 112

Figura B.2 Reta de calibração para o sensor C2. ..................................................... 112



Figura B.5- Reta de calibração para o sensor F1. .................................................... 114




Figura C.1- Esquema geral do sistema de controlo mais a instalação. .................... 116

xiv

Acrónimos

DMC Dynamic Matrix Control

IMC Internal Model Controller

GPC Generalized Predictive Control

MIMO Multiple Input Multiple Output

MPC Model Predictive Control

NMPC Nonlinear Model Predictive Control

RMPC Robust Model Predictive Control

DMPC Distributed Model Predictive Control

MHPC Model Heuristic Predictive Control

ODE Ordinary Differential Equation

PID Proportional-Integral-Derivative

PID-2DOF PID with two Degrees-Of-Freedom

RHC Receding Horizon Control

SIORHC Stable Input/Output RHC

SISO Single Input Single Output

TSR Truncated Step Response

FIR Finite Impulse Response

LQR Linear Quadratic Regulator

ODE Ordinary differential equation

PWM Pulse-Width Modulator

1

Capítulo 1

1. Introdução

1.1. Motivação

O controlo nas indústrias químicas tem sofrido bastantes alterações ao longo do

tempo. Uma das alterações realizadas é a passagem do controlo clássico, usando

controladores proporcionais-integrais-derivativos (PID), para estruturas de controlo mais

complexas. Para sistemas com múltiplas variáveis, utiliza-se o denominado controlo

preditivo baseado em modelos. Este tipo de controlo estima o efeito das perturbações

ou das entradas destes sistemas e usa esta predição para escolher como atuar, de

forma ótima, para um determinado valor de setpoint.

A maioria dos sistemas de controlo de controlo preditivo trabalham com modelos

lineares e com funcionais de custo quadráticas, sujeitas a restrições nos estados e nas

saídas. Com isto em mente, as questões ambientais e de segurança são também

restrições de enorme importância e que podem ser colocadas nos modelos, sendo esta

a principal vantagem deste tipo de controlo, ou seja, consegue garantir a estabilidade

local ou global do sistema, em malha fechada, com as restrições implementadas no

modelo.

Este tipo de controlo, devido ao uso dos modelos matemáticos, consegue lidar

com sistemas multivariáveis sem necessitar de grandes alterações estruturais, a sua

fácil sintonização e possibilidade do sistema funcionar perto dos valores de restrição

tornam o controlo preditivo um utensílio bastante poderoso e versátil para o controlo de

processos.

Existe a necessidade de abordar o desenvolvimento de controladores para

permutadores de calor, nomeadamente permutadores de tubos concêntricos, podendo-

se abordar de várias maneiras, sendo estas classificadas pelos mais variados critérios.

No que se refere a variáveis a controlar, destaca-se o uso dos caudais de entrada,

tanto do fluido frio como do fluido quente. As variáveis medidas do processo deveram

ser as temperaturas de entrada de ambos os fluidos e as temperaturas de saída dos

fluidos e como variável a atuar deve de ser o calor que o fluido quente recebe, como

uma resistência ou utilização de outro fluido de aquecimento.

Quanto ao tipo de estrutura de controlo utilizada, esta estrutura pode ser por

feedback ou feedfoward, centralizado ou descentralizado.

Controlo de Temperatura num Permutador de Calor de Tubos Concêntricos: Uma

abordagem clássica vs uma abordagem preditiva

2

Em termos do tipo de controlo, destaca-se o controlo clássico (como por exemplo,

controladores PID) [1], controlo adaptativo [2], preditivo [2,3], não linear [2] ou repetitivo

[4]. O foco desta pequena introdução é apresentar de forma resumida a literatura

existente em controlo de permutadores de tubos concêntricos. Nos capítulos 2 e 3, entra

em foco um resumo da literatura de controlo preditivo e um resumo da literatura de

permutadores de calor.

1.2. Estrutura do trabalho

O seguinte trabalho está repartido por 5 capítulos e os respetivos anexos. Neste

primeiro capítulo faz-se a apresentação dos restantes capítulos, bem como a motivação

para este trabalho, descrevendo ainda a estrutura do mesmo e as respetivas

contribuições na área de controlo de sistemas, mais concretamente na área de

aplicação de técnicas preditivas.

O capítulo 2 descreve os avanços das técnicas preditivas e os avanços das

técnicas clássicas de controlo, bem como todas as contribuições que a área de controlo

de sistemas teve no avanço tecnológico da indústria química, servindo de base ao

estado de arte deste trabalho.

O capítulo 3 procede-se a descrição detalhada do sistema, bem como uma

apresentação do que são permutadores de calor, a sua importância na indústria e os

respetivos modelos matemáticos.

O capítulo 4 apresentam-se os resultados obtidos quer por simulação, quer em

resultados reais, bem como as várias decisões tomadas ao longo do trabalho.

Por fim, o capítulo 5 tiram-se as conclusões deste trabalho bem como os trabalhos

futuros possíveis a partir desta dissertação.

1.3. Contribuições do trabalho

O objetivo deste trabalho académico é comparar duas abordagens de controlo,

uma clássica, utilizando um controlador PID, e a abordagem preditiva, utilizando um

MPC, isto num permutador de calor de tubos concêntricos. De forma a comparar as

duas abordagens, manipula-se a velocidade do fluido frio, traduzindo-se na troca de

calor com o fluido quente. Este estudo revela-se importante para a engenharia química,

dado que, os permutadores de calor são bastante utilizados na indústria, sendo

necessário estes estarem nos parâmetros pretendidos.

Com isto em mente, consegue-se mostrar a possibilidade de conjugar conceitos

de controlo linear, a partir de modelos não lineares, com conceitos de predição, de forma

Ferreira, R.

3

a desenvolver controladores eficientes, aplicáveis a um permutador de tubos

concêntricos.

As contribuições do segundo capítulo são fundamentais a perceber a história e a

contextualizar estruturas de controlo MPC, que evoluiu ao longo dos anos, de forma a

desenvolver estes conceitos de técnicas de controlo preditivas e técnicas de controlo

clássico, apresentado as suas diferenças e as suas vantagens e desvantagens.

Com o terceiro capítulo pretende-se contribuir com o modelo matemático do

equipamento em estudo, bem como modelos gerais para equipamentos do mesmo

género, com base nos princípios de conservação e da linearização de sistemas não

lineares, sendo estas descritas matematicamente por um conjunto de ODE’s (equações

diferenciais ordinárias, em português).

No quarto capítulo apresentam-se os resultados obtidos experimentalmente por

via de simulação e por via de dados obtidos de um sistema real, bem como a utilização

de ferramentas de forma a ligar um sistema físico a um computador.

4

Capítulo 2

2. Sistemas de controlo

2.1. Introdução

Na indústria química existe sempre a preocupação com a segurança, a

sustentabilidade energética e o lucro dos processos. Assim sendo, a engenharia

química está fortemente dependente de sistemas de controlo automatizados.

Como a indústria tem se apercebido disto, existem cada vez mais estudos de

forma a desenvolver operações e estratégias de controlo cada vez mais avançadas, de

maneira a que o processo seja mais seguro, que cumpra as especificações ambientais

e que seja o mais rentável possível, ou seja, que esteja mais perto dos valores ótimos.

Os sistemas de controlo clássicos, como o controlo por PID, utiliza as medições

de apenas uma saída do processo (como por exemplo, temperatura, pressão, nível ou

concentração de um determinado produto) para computar a ação de controlo, a fim de

regular a variável de saída em torno de uma referência ou set-point escolhido [1]. Este

tipo de controladores tem um longo historial de sucesso no contexto dos processos

químicos e com certeza, que em anos futuros, continuará a ter um papel importante na

indústria química, dado a facilidade de implementação, a fácil manutenção e, ainda a

organização dos sistemas de controlo com múltiplos controladores de loops individuais.

Ao utilizar-se esta estratégia de controlo, com vários controladores de loop individual,

possui-se a vantagem adicional de “uma tolerância a falha iminente” proveniente de uma

arquitetura de controlo descentralizada. Uma má sintonização de um dos controladores

PID ou de um loop controlo não implica uma falha total do sistema de controlo do

processo.

Da necessidade de simplificação dos sistemas anteriormente descritos, surge

então o controlo preditivo baseado em modelos (MPC), que permite com que os

processos químicos estejam a trabalhar perto das restrições operacionais e

processuais. Isto é possível dado que o MPC irá otimizar constantemente uma função

objetivo até um determinado horizonte, em que esta função está sujeita a um processo

que pode ser linear ou não linear e restrições que também são não lineares ou lineares.

Este método possui vantagens em relação aos métodos clássicos, sendo a principal a

que foi dita anteriormente, a capacidade de trabalhar perto das restrições do processo.

As outras vantagens são a facilidade de lidar com problemas de multivariáveis, pode ter

em conta as limitações do atuador e ainda as atualizações de controlo são mais lentas

relativamente as aplicadas, permitindo assim que haja mais tempo para computação on-

Ferreira, R.

5

line. Além de tudo isto, o MPC tem uma intuição de fácil sintonização o que coloca

menos ênfase nas restrições e na otimização, mas sim mais ênfase na simplicidade e

na velocidade de computação. Como o MPC possui esta característica, este é bastante

adequado para os problemas com uma entrada e uma saída (“SISO”), sendo por isso,

um natural substituto aos controladores clássicos, os PID [1].

Contudo existem vários tipos de controlo com base no MPC, sendo os principais

o MPC económico, MPC explícito, o MPC robusto (RMPC), o MPC não linear (NMPC),

o MPC adaptativo, o MPC centralizado, MPC descentralizado, MPC distribuído (DMPC)

e, por fim, o MPC hierárquico. No entanto, além das já apresentadas, existem as formas

mais simples de MPC, que são as mais antigas, o controlador por matrizes dinâmicas

(DMC) e o controlador preditivo geral (GPC), em que estes dois irão ser abordados com

mais detalhe no ponto seguinte. O MPC económico é a junção entre dois tipos de

otimização, a otimização do modelo preditivo linear e a otimização em tempo real (RTO),

sendo que o RTO se apresenta como um problema não-linear. Este MPC tem como

vantagem a utilização de uma restrição que faz reduzir os custos de uma determinada

variável (como por exemplo, a utilização de gás natural numa fornalha) procurando à

mesma o máximo de produção da fábrica [2]. O MPC explícito é então um controlador

que utiliza computação off-line para determinar todos os cenários de controlo, avaliando

uma função linear [3]. O NMPC possui então uma função objetivo que é não linear e as

restrições podem ou não ser não lineares [4]. O MPC centralizado é então a utilização

de um controlador preditivo que regula todo o sistema, aproveitando assim a sua

capacidade de lidar com processos multivariáveis [1]. O descentralizado, por sua vez, é

uma variação do MPC centralizado, em que se utiliza dois ou mais controladores

preditivos, de forma a controlar secções do processo, sem que os controladores

comuniquem entre eles [1]. O DMPC é uma evolução do MPC descentralizado, em que

existem vários MPC a controlar o processo, no entanto, estes comunicam entre si [1]. O

MPC hierárquico tem no seu conceito o DMPC, no entanto cada MPC vizinho está

interligado a outro MPC, em que este está interligado com outro MPC vizinho através

de um controlador central do processo [5].

O MPC tornou-se um método de controlo bastante utilizado e bastante estudado.

Tendo este tido como primeira versão o DMC, o MPC começou nos anos 60, do século

passado, com a ideia do horizonte móvel (receding horizon). Os anos 80 trouxeram uma

melhor otimização do algoritmo, tendo sido possível colocar as restrições neste

algoritmo. Esta introdução apenas foi possível através do aparecimento de

microprocessadores baratos, permitindo assim que as empresas adquirissem tais

microprocessadores. Após a implementação das restrições no algoritmo, houve então a



6

passagem para a denominação de MPC, dado que, tornou a lei de controlo implícita e

não linear, afastando-se dos algoritmos do DMC. Este facto tornou o MPC um desafio,

que apenas foi ultrapassado através de estudos de vários investigadores, estudos esses

que permitiram a passagem para as várias formas de MPC, que foram enunciadas em

cima. O MPC, nos tempos que decorrem, possui um fundamento teórico firme, com

condições de estabilidade em malha fechada rigorosas e garantias de um desempenho

elevado, como outras técnicas clássicas de controlo, como por exemplo, o regulador

linear quadrático (Linear Quadratic Regulator-LQR) [6].

2.2. Ideia geral

Figura 2.1- Ideia geral do MPC [7].

A figura 2.1 demonstra a ideia geral do controlo preditivo, isto para um problema

SISO. Assumindo-se um ajuste com uma variável de tempo discreto, obtida através da

discretização do sistema contínuo por via autorregressiva (modelos ARX, ARMAX, etc.)

que saem do âmbito deste trabalho, em que cada passo se denomina por k. No tempo

delineado, a variável de saída é y(k), e a figura 2.1 mostra todo o caminho desta variável

(ainda antes do tempo delineado). Além disso, a figura 2.1 mostra a trajetória do

setpoint, em que este é a trajetória ideal para as saídas. A notação para este setpoint é

de s(t). Distinto da trajetória do setpoint está a trajetória de referência. Esta começa na

saída controlada, em y(k), e define uma trajetória ideal de resposta, ou seja, a resposta

que se pretende obter através do modelo [7].

A ideia geral do MPC é prever o futuro, utilizando o modelo do processo. Para tal,

este prevê a resposta e prevê qual a entrada ótima, de maneira a que o valor de y(k)

coincida com o valor de r(k). De forma a realizar tal feito, este possui dois horizontes, o

Ferreira, R.

7

horizonte de predição, o horizonte em que este prediz o que vai acontecer, e o horizonte

de controlo, em que este ele controla as entradas do processo, tendo em conta o

horizonte de predição. Este é o conceito geral do MPC.

2.3. Modelos matemáticos do MPC

Ao longo deste trabalho, usou-se vários tipos de modelos matemáticos, tanto

modelos lineares como não lineares, de forma a apresentar os vários esquemas de

MPC. A nível do esquema mais simples do MPC, existe a funcional de custo, que

penaliza as deviações das saídas através de um vetor de referência. Em termos

matemáticos traduz-se por

𝑉(𝑘) = ∑ ‖ŷ(k + i) − 𝑟(𝑘 + 𝑖)‖𝑄(𝑖)2 + ∑ ‖𝛥û(𝑘 + 𝑖)‖𝑅(𝑖)

2

𝐻𝑢−1

𝑖=0

𝐻𝑝

𝑖=𝐻𝑤

(2.1)

De notar que o horizonte de predição tem longevidade Hp, mas não existem,

necessariamente, penalizações, logo no início, dos desvios que y tem em relação a r,

sendo y a predição das saídas controladas, r um vetor da trajetória de referência, u as

entradas e k o passo. A possibilidade da inexistência de penalizações é devido aos

atrasos que podem existir entre a aplicação da entrada e a visualização do efeito da

mesma. Hu é o horizonte de controlo. Assume-se sempre que Hu ≤ Hp e que Δû(k+i) =

0 se o i ≥ Hu, para que û(k+i) = û(k+Hu-1) para todo o i ≥ Hu [7].

Isto é a formulação mais básica do MPC. No entanto, o MPC depende do modelo

matemático do processo. Assim, é possível introduzir as restrições do processo nos

modelos. Esta funcional de custo aparece apenas alguns anos depois do conceito do

MPC aparecer. Esta, provém da utilização das condições de estabilidade (SIORHC-

Stabilizing Input/Output Receeding Horizon Control) no GPC, dado que o GPC não tinha

garantias de estabilidade no processo. O GPC traduz-se então

𝐽𝐺𝑃𝐶 = 𝜀 [ ∑ 𝑦(𝑡 + 𝑘)2 + 𝜌 ∑ 𝑢(𝑡 + 𝑘 − 1)2

𝑁2

𝑘=1

𝑁2

𝑘=𝑁1

] (2.2)

O GPC é uma das formas mais simples de MPC, sendo uma versão generalizada.

A fórmula do GPC aqui apresentada apresenta um ε que se traduz na penalização das

saídas preditas e o ρ traduz-se no esforço de controlo que o MPC necessita de ter, se é

preciso ser robusto ou agressivo [8].

No entanto este possuía um grande problema, sendo este a falta de estabilidade.

Assim em 1990 Mosca, Lemos e Zhang [8] criaram o SIORHC, em que este é uma

condição em que as entradas estão dependentes das saídas e de uma matriz M, em



8

que esta matriz possui todas as restrições do processo e ainda as incertezas do modelo

matemático do processo. Esta é então expressa por

u(k) = 𝑒1′𝑀−1[ŷ(𝑘) + ��(𝑘)] (2.3)

Como é possível ver na equação (2.3), a equação de estabilidade imposta pelo

SIORHC, as entradas dependem das saídas preditas e das saídas estimadas, de uma

função e, delineada de forma a ser positiva, e a matriz M. Assim, a funcional de custo

associada ao GPC, a equação (2.2), passa a ter uma forma mais parecida a equação

do MPC, equação (2.1).

No entanto, a utilização do SIORHC não garante que o MPC volte para uma zona

estável, com parâmetros nominais estáveis. Para contornar isto, foi então implementado

uma condição matemática de

𝜕𝑉(𝑥)

𝜕𝑥(𝑓(𝑥) + 𝑔𝑖(𝑥)ℎ𝑖(𝑥)) ≤ − α3(|x| (2.4)

Nesta condição, a variação da funcional de custo é multiplicada por uma ou mais

funções Lyapunov candidatas [9]. Este quociente tem de ser menor que uma função de

alfa, negativa. Isto implica que quando existe uma variação, a função aumenta, mas, ao

longo do horizonte, esta irá tender para zero ao longo do tempo, garantido assim a

estabilidade. Esta condição, no entanto, recalcula os parâmetros nominais, podendo

estes não serem os mesmos de partida.

Para acabar, apresenta-se aqui uma outra forma mais simples de MPC, o DMC.

O DMC consiste numa matriz dinâmica, ou seja, os valores da matriz estão sempre a

recalcular-se. Porém, como o GPC, o DMC apresenta problemas de estabilidade, ou

seja, não existe garantias de estabilidade ao utilizar-se este tipo de controlo, sendo que

este apenas era utilizado em fábricas que fossem estáveis [10]. Assim o DMC pode ser

traduzido pelas seguintes equações

𝑆𝑖 = [

𝑠1.1 𝑠1.2 ⋯ 𝑠1.𝑛

𝑠2.1 𝑠2.2 ⋯ 𝑠2.𝑛

⋮𝑠𝑝.1

⋮𝑠𝑝.2

⋱⋯

⋮𝑠𝑝.𝑛

] 𝑝 × 𝑛 (2.5)

𝑌(𝑘 + 1) = 𝑀𝑌(𝑘) + 𝑆𝛥𝑢(𝑘) (2.6)

Ferreira, R.

9

𝑀 =

[ 0 𝐼𝑛𝑦 0 ⋯ 0 0

0 0 𝐼𝑛𝑦 ⋱ 0 0

⋮000

⋮000

⋱000

⋱⋱⋱⋯

⋱𝐼𝑛𝑦

00

⋮0

𝐼𝑛𝑦

𝐼𝑛𝑦]

𝑛 × 𝑛𝑦 (2.7)

𝑆 =

[

𝑆1

𝑆2

⋮𝑆𝑛−2

𝑆𝑛−1

𝑆𝑛 ]

(2.8)

𝑦(𝑘 + 1) = 𝑀𝑝(𝑘)�� + 𝜑[�� − ��] (2.9)

Em que, de forma a otimizar, este usava uma equação parecida a funcional de

custo do MPC, equação (2.1). M e S eram as matrizes que relacionavam as saídas com

os estados e as saídas com as entradas, respetivamente.

2.4. Pré-DMC

A versão anterior ao MPC é a DMC. No entanto ainda antes do aparecimento do

DMC existem instalações, que possuíam supervisão de controlo baseada em

computadores, com características essenciais do MPC. Estes incluem projetos de várias

indústrias de petroquímica como a Texaco, Monsanto, B.F. Goodrich, Riverside Cement,

Union Carbide, entre outras [11]. Entre todos está o projeto entre a Standard Oil Co. da

Califórnia e a IBM em que os dados de uma unidade de cracking catalítico, com leito

fluidizado, foram enviando-os via telétipo até um computador do mainframe da IBM,

entre as cidades de El Segundo e São Francisco. O ótimo do processo foi então obtido

e enviando de volta para El Segundo a cada 15-20 minutos, em que estes foram

implementados manualmente pelos operadores. Dado o sucesso desta abordagem,

foram instalados computadores, de forma a remover a necessidade de

telecomunicações, possibilitando a realização das mudanças muito mais depressa.

Apesar das vantagens demonstradas por estes projetos, usando a computação, o

controlo por computação não viu um uso generalizado nas indústrias de processo,

devido aos custos associados a estas ideias. Nos anos 60 e 70, a ideia de um MPC

continuo começou a aparecer esporadicamente na literatura. Nestes anos, Propoi [12]

propôs o uso de programação linear de forma a controlar sistemas lineares, com

restrições duras. Lee e Markus [13] fizeram a seguinte declaração, que resume a

essência do MPC: “One technique for obtaining a feedback controller synthesis from



10

knowledge of open-loop controllers is to measure the current control process state and

then compute very rapidly for the open-loop control function. The first portion of this

function is then used during a short time interval, after which a new measurement of the

process state is made, and a new open-loop control function is computed for this

measurement. The procedure is then repeated.”.

2.5. Algoritmos iniciais

A meio dos anos 70s é que o controlo por computadores se tornou real, devido ao

aparecimento de microprocessadores mais poderosos e ainda o aparecimento de

sistemas de controlo distribuídos. Sem coincidências, vários utilizadores começaram a

relatar o sucesso fenomenal que eles tiveram com o uso de controlo por base de

computação em várias operações unitárias de refinarias. O aparecimento do MPC é

difícil de atribuir a alguém, dado que todos os artigos sobre o tema saíram mais ou

menos na mesma altura. Richalet [14] introduziu uma técnica denominada por controlo

preditivo baseado em modelos heurísticos (MHPC) e reportou as várias aplicações

numa dúzia de processos industriais de grande escala, incluindo uma coluna de cracking

catalítico, um regenerador de vapor e ainda uma fábrica de PVC. Ao mesmo tempo,

Charlie Cutler começou a gerar muito interesse depois de reportar o uso de um modelo

com multivariáveis denominado controlo por matrizes dinâmicas (DMC) na gala anual

de AIChE e na conferencia de controlo automático em 1980 [15]. MHPC e DMC eram

diferenciados em que, o primeiro, utilizava um modelo com respostas finitas aos

impulsos (FIR) e uma trajetória de referência (isto é, um caminho que especifica como

cada variável de controlo deve de responder a uma alteração, de forma a ir para o

setpoint pretendido) e com “pontos de coincidência” (isto é, os pontos da visão de

predição em que a saída deve estar numa trajetória de referência específica), onde o

DMC emprega um modelo com resposta de passo truncada (TSR) e o método dos

mínimos quadrados em relação a um setpoint constante.

Com estes artigos todos disponíveis e a redução significativa dos obstáculos da

implementação, o uso do controlo computacional baseado nos modelos matemáticos

começou a ser implementado, rapidamente, em todas as refinarias e todas as fábricas

de petroquímica a parte do ocidental do mundo. As técnicas utilizadas por cada empresa

apresentavam variações bastante pequenas e existiam vários acrónimos como DMC,

MAC, ID-COM, etc. Estes, mais tarde, tornaram-se nomes comerciais de produtos de

software e continuam a ser utilizados hoje em dia, mas geralmente eles concordam

coletivamente é que a técnica utilizada é o MPC.

Muitos destes algoritmos são heurísticos na sua natureza. Eles empregam

modelos baseados em modelos de resposta no domínio do tempo, isto é, FIR e o TSR

Ferreira, R.

11

são completamente determinísticos e sem nenhum modelo explícito contendo

perturbações, sem garantias de estabilidade e ainda com diretrizes de ajuste

automático. Assim, foi proclamado, de forma errada, pelos utilizadores do MPC, que o

uso de modelos com o uso de domínio no tempo era o que conferia ao MPC a robustez

necessária para a utilização deste em problemas de controlo nas refinarias. Inicialmente,

os investigadores de controlo de processos tiveram dificuldades em entender a essência

destes “estranhos” algoritmos, que pareciam longe de ser convencionais. Apesar de

várias tentativas, a lei de controlo implícito não-linear parecia desafiar a convencional

análise matemática. No entanto, estas dificuldades levaram a um desenvolvimento de

modelos de controlo internos, em que estes falharam na construção de controlo com

restrições, mas levaram a novas descobertas no âmbito do controlo robusto [16,17].

2.6. Controlador preditivo generalizado

Independente do desenvolvimento nos processos industriais, a comunidade de

controlo adaptativo viu o aparecimento da sua própria versão de MPC denominada de

controlo preditivo generalizado, como aqui já referido como GPC. As motivações que

levaram ao desenvolvimento do GPC e do DMC foram bastante diferentes. Enquanto

que o DMC foi desenvolvido para lidar com problemas de controlo de multivariáveis com

restrições, problemas típicos das refinarias e da indústria petroquímica, o

desenvolvimento do GPC teve como intenção a de oferecer uma nova alternativa para

um regulador, com sintonização própria, com o objetivo principal de ultrapassar o

problema de robustez. A primeira exposição de GPC apareceu num trabalho da

Automatica [18,19]. O GPC aplica, naturalmente, um modelo com funções transferência,

como muitos dos trabalhos com controlo adaptativo, em que os aspetos estocásticos

foram uma parte importante, desde o início. Com isto em mente, foi estranho a aplicação

de problemas com multivariáveis, em que existia a falta de inclusão de restrições, uma

característica muito importante que era necessária para a utilização do GPC em vários

problemas de controlo de processos. Sendo o GPC muito mais teórico que o DMC e os

seus contemporâneos, este passou ao lado dos utilizadores de MPC na indústria.

2.7. Algoritmo exemplar

Durante o final dos anos 80, os investigadores começaram a perceber que, ao

contrário do que era a crença das pessoas ligadas a indústria, nem o modelo FIR nem

o modelo TSR acrescentavam robustez ao controlo do processo, sendo que estes não

eram, assim, características imprescindíveis do mesmo. De facto, a utilização de um

modelo de espaço-estado poderia ser benéfica em vários pontos [20,21]. Assim, os

investigadores começaram a adotar esta forma como a forma regular do MPC.



12

Considerando o seguinte sistema de espaço-estado

x(i+1)=Ax(i)+Bu(i) (2.10)

Pode-se então chegar a equação (2.1), a funcional de custo do MPC, sendo que

as restrições estão implementadas no modelo de espaço-estado. Por fim, de forma a

garantir alguma estabilidade utilizou-se a equação (2.3), ou seja, o SIORHC.

Quando visto desta maneira, é possível de reparar que o MPC não é muito

diferente dos problemas de otimização de controlo estudados nos anos 50s e 60s. No

entanto, na abordagem clássica, o objetivo seria de derivar uma forma explícita de uma

lei ideal de feedback off-line. Isto requeria a solução da equação de Hamilton-Jacobi-

Bellman, HJB [22], que não é normalmente resolvida, tirando alguns casos especiais,

como por exemplo, o problema de LQR. Devido a isto, os problemas de otimização mais

interessantes continuavam por resolver. A abordagem do MPC elimina a necessidade

de resolver a equação HJB, realizando cálculos de otimização em malha aberta on-line,

baseados no feedback dos estados.

Na maioria dos problemas práticos, não se consegue medir os valores das

variáveis de estado. Assim é empregue um estimador, de forma a estimar os valores

das mesmas, que é denotado de x(k|k), em vez do valor real do variável x(k).

2.8. Estabilidade

A estabilidade em horizonte infinito é bastante fácil de provar, em que a lei de

controlo resultante de um horizonte de predição a tender para infinito é estável em malha

fechada, desde que a variável de estado inicial seja estável. De forma a provar isso,

pode-se apenas afirmar que a funcional de custo do MPC, equação (2.1), qualifica-se

como uma função de Lyapunov [9]. No entanto, tal lei de controlo, que em teoria é

desejada, não pode ser implementada na prática, isto porque seria necessário resolver

problemas infinitos de otimização dimensional a cada passo de tempo. A principal

questão transformou-se em como aproximar esta ideia de lei de feedback com horizonte

infinito num problema com um horizonte finito, sem perder a propriedade de estabilidade

e sem danificar a sua performance. E, além disto tudo, é necessário garantir que a

otimização com restrições permaneça realizável durante o processo.

De forma a ter resultados estáveis com uma boa performance a escolha do peso

final de Qi e a restrição final do horizonte de controlo são importantíssimos. A forma mais

convencional de lidar com este problema era utilizar o valor final da variável de estado

igual a zero, ou seja, x(Hp)=0. Alguns dos resultados iniciais de estabilidade foi

utilizando esta restrição [23,24]. Embora esta restrição seja fácil de implementar a nível

matemático, a abordagem utilizando x(Hp)=0 tem como grande desvantagem a

Ferreira, R.

13

dificuldade de esta ser uma restrição bastante severa, que é bastante difícil de satisfazer

e impor artificialmente, em que a restrição reduz substancialmente a performance. Por

exemplo, para tal abordagem de trabalho, o sistema adjacente precisa de ser acessível

em vez de ser apenas estável.

Outra abordagem interessante para se conseguir estabilidade foi sugerida por

Rawlings e Muske [25], que mostraram que escolhendo um determinado peso terminal

Qi como uma solução de uma equação de Lyapunov [9] e o conjunto de terminais em ℤ

como um conjunto de saídas admissíveis para o sistema, em malha aberta,

x(i+1)=Ax(i) faz com que a lei de controlo com horizonte finito seja equivalente a lei de

controlo com horizonte infinito (mas com os movimentos do controlo restrito serem zero

após o horizonte de predição, isto é, as entradas serão zero após o horizonte de

predição). O conceito de conjunto de saídas admissíveis foi introduzido por Gilbert e

Taun [26] e é imposto aqui que tem de ser assegurado que as restrições, em relação

aos estados, têm de ser satisfeitas após o fim do horizonte de predição. Tal conjunto

tem que ℤ ⊂ 𝕏 e tem de ser invariavelmente positivo (isto é, se 𝑥 ∈ ℤ → 𝐴𝑥 ∈ ℤ). De

maneira a colocar a restrição menos restritiva, é desejável procurar o máximo de valores

para o conjunto, isto é, o máximo de valores que tenham as propriedades necessárias.

No entanto, o máximo não possui, nem uma forma simples, nem é fácil de encontrar,

sendo por isso aplicado um subconjunto com uma complexidade manejável. Com as

escolhas de Qi e ℤ, estes provam a estabilidade em malha fechada para tal lei de

controlo, mostrando que a funcional de custo é na realidade uma função de Lyapunov.

De notar que, dado que é assumido que não existe controlo após o horizonte de

predição, para um sistema instável em malha aberta, todos os modos instáveis têm de

ser reduzidos a zero no fim do horizonte. Este requerimento traduz-se em restrições de

igualdade.

Uma abordagem mais geral é assumir que algumas leis de controlo estabilizadas

localmente (usualmente um feedback linear na forma de u(i)=Fx(i)) é forçada para lá

do horizonte de predição. Neste caso o conjunto terminal ℤ tem que ser escolhido como

um conjunto de saídas admissíveis para o sistema em malha fechada de

x(k+1)=(A+BF)x(k). Tal conjunto ℤ ⊂ 𝕏 tem de ser invariavelmente positivo para o

sistema descrito (isto é, se 𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵𝐹)𝑥 ∈ ℤ), e 𝐹𝑥(𝑘) ∈ 𝕌,∀𝑥 ∈ ℤ. Como no

primeiro caso, de forma a tornar a restrição menos restrita, é desejado encontrar um

conjunto máximo. No entanto uma forma mais prática de procurar um equilíbrio seria

entre a otimização e a complexidade. Além disto, o peso terminal tem de ser escolhido

de forma a que as saídas preditas, no tempo do horizonte de predição, representem as

saídas com o horizonte de predição infinito sobre a lei de controlo do SIORHC, equação



14

(2.3), com o estado inicial em x(Hp). Para o sistema linear, este envolve resolver a

equação de Lyapunov para o sistema x(i+1)=(A+BF)x(i). Keerthi e Gilbert [27] foram

os primeiros que propuseram esta abordagem.

Uma escolha potencial de um controlador local é o LQR sem restrições, que é

ótimo para o problema de horizonte infinito sem restrições. O LQR pode ser facilmente

derivado resolvendo uma equação de Riccati [28]. A resultante lei de controlo MPC, com

o correspondente peso terminal e restrição final, é, de facto, um controlador ótimo de

feedback para o prolema de horizonte infinito, se a restrição terminal continuar inativa

[29-31]. Se a restrição terminal acabar por se ativar, este controlador perde a otimização,

o que implica que os movimentos computados possam ser diferentes dos valores ótimos

sem restrições. Consequentemente, para a lei de controlo estar otimizada para o

problema quadrático linear (LQ) com restrições, um horizonte suficientemente grande

tem de ser utilizado para que a restrição terminal seja satisfeita automaticamente. Tal

horizonte dependerá de x e, consequentemente, necessitará de ser calculada on-line.

Para além das abordagens utilizando restrições terminais, outras abordagens

foram propostas. Uma alternativa notável foi a aplicação de restrições de contração, que

requerem que o tamanho da variável de estado diminua ao longo do horizonte de

predição [32]. Mais genericamente, este escolhe a função positiva e definida do estado

e requer que esta função seja decrescente ao logo do tempo de otimização. De forma a

garantir viabilidade, o tamanho do horizonte de predição não é escolhido antes, mas sim

é um parâmetro a ser otimizado. Todas as sequências de entradas computadas

conseguem ser implementadas em malha aberta até ao fim do horizonte, como

originalmente sugerido, ou a otimização pode ser repetida após o tempo sugerido [33].

Os resultados de estabilidade em malha fechada para o caso acima estudado

eram provados pelo caso de feedback pela variável de estado. Na prática, a maioria dos

sistemas não permitem medir diretamente as variáveis de estado, portanto um

observador da variável de estado tem de ser empregue. Visto que o controlador MPC,

mesmo para um sistema linear, é não linear com a inclusão das restrições na otimização,

o resultado comum da separação de resultados entre um observador e um regulador de

variáveis de estado não se mantém. No entanto, acontece que a não linearidade do

controlador não é muito severa (isto é, é contínua Lipschitz) e a combinação da lei de

controlo por feedback com o estado e a relação com o observador garante estabilidade

[34].

Em retrospetiva, muitos dos resultados relacionados existiam antes dos anos 90,

que poderiam ter sido usados para estabelecer estabilidade do MPC. Estes resultados,

no entanto, eram de alguma forma fragmentos faltando componentes chaves do MPC,

Ferreira, R.

15

em que estes foram desenvolvidos com outras premissas em contextos de diferentes

tipos de sistemas (com restrição e sem restrição, linear e não-linear, invariável no tempo

ou variável no tempo). É durante os anos 90 que estes resultados foram redescobertos

e reuniram-se de forma a contextualizar um algoritmo de MPC bem definido.

2.9. MPC Robusto

O MPC, sendo um método de controlo por feedback¸, tem em si alguma robustez,

que foi analisada por vários investigadores [35-38]. No entanto, quando é possível de

quantificar as incertezas do modelo, pode ser benéfico considerar todas as possíveis

trajetórias futuras sobre a descrição das incertezas nos cálculos de otimização. O

controlador baseado num modelo matemático com descrição das incertezas, como por

exemplo, perturbações e limites de parâmetros, foram estudados nos anos 90. Antes

disto, houve estudos formulando um MPC robusto como um problema de minimização-

maximização, em que este tentava encontrar a trajetória dos valores de entrada de

forma a minimizar o erro em vez de ver a trajetória da saída possível, através do modelo

[39,40]. No entanto, vários exemplos demostraram que a lei de controlo que advém

desta situação não era robusta de todo. Assim, os investigadores perceberam que a

falta de robustez era dada pela limitação da formulação do controlo otimizado em malha

aberta, sendo que este falhava na contabilização do facto que o cálculo de controlo seria

repetido ao longo do horizonte, com uma atualização dada por feedback. Lee e Yu [41]

apresentaram o argumento que havia a indicação de uma deficiência na formulação em

malha aberta e apresentaram uma alternativa, uma formulação baseada em

programação dinâmica. Com algumas modificações, eles foram capazes de formular o

algoritmo do MPC que resolvia um programa convexo a cada tempo, garantindo assim

a estabilidade robusta.

Foi argumentado que uma abordagem mais lógica era de executar uma

minimização das leis de controlo de feedback em vez das entradas controladas [42].

Porém, tal abordagem não poderia ser implementada diretamente, visto que as leis de

controlo possível não produzem uma parametrização de dimensões finitas. Kothare,

Balakrishnan e Morari [43] apresentavam uma formulação bastante interessante, onde

a minimização de cada amostra de tempo procurava todas as leis de feedback lineares

para minimizar o erro. O problema estava na formulação de uma matriz linear de

inequações (LMI), em que esta é convexa e pode ser resolvida através de programação

semi definitiva. Extensões mais gerais para estas abordagens apareceram mais tarde

[44], mas em todos estes métodos, apesar de apresentarem informações uteis, eram

difíceis de ser implementadas na prática, devido a necessidade de resolver o problema

de minimização-maximização on-line.



16

2.10. MPC não linear

Uma extensão lógica do que foi descrito anteriormente é o uso de modelos não

lineares, dada a particularidade dos problemas de controlo não lineares e a falta de

aceitação universal para a solução. A expansão da formalização do MPC de sistemas

com restrições lineares para sistemas não lineares é, conceptualmente, bastante direta.

No entanto este encontra dificuldades de implementação na prática. A maioria dos

resultados de estabilidade para as restrições de sistemas lineares conseguem ser

aplicados a não lineares sem modificações. De facto, a maioria dos resultados de

estabilidade de controlo otimizado com restrição [27,45] foram desenvolvidos no

contexto geral de um sistema não linear. Contudo, a implementação é bastante

problemática devido a complexidade computacional em encontrar uma solução com o

ótimo global para um problema de otimização não convexo. Apesar disso, o progresso

realizado na área da programação não linear não era suficiente para lidar com a

complexidade computacional, sendo que esta continuava um grande obstáculo para

projetar um algoritmo MPC não linear que pudesse ser implementado na prática, com

garantias de estabilidade. Naturalmente os investigadores focaram-se em descobrir a

formulação que não necessitasse de encontrar um ótimo global, apenas uma solução

executável. Esta ideia foi explorada por Mayne e Michalsaka [45]. Na abordagem destes

investigadores, assim que se encontrava uma solução executável, os cálculos

subjacentes preservavam a viabilidade da solução, apenas aumentado o seu “custo”.

Chen e Allgower [46], apresentaram uma abordagem chamada quasi-infinite-horizon

MPC, onde a penalização quadrática terminal correspondia ao seu custo no horizonte

infinito do sistema linearizado imposto, pois a restrição terminal é usada para forçar o

valor da variável de estado a ficar na região terminal prescrita, onde o sistema é

estabilizado por feedback linear, em que a viabilidade implica estabilidade assintótica.

2.11. MPC adaptativo

Durante os mais recentes anos, um número de investigadores tem-se preocupado

com o tópico de desenhar sistemas não lineares com atraso das entradas [47-50],

devido a baixa transmissão da energia nas fábricas e o atraso natural que existe

normalmente em sistemas reais. A existência destes atrasos é uma das causas mais

frequentes de instabilidade.

O modelo base dos controladores adaptativos tem sido, recentemente, bastante

usado em vários problemas de controlo dadas as suas capacidades de modelação não

linear e a sua adaptabilidade. No entanto, o típico controlo adaptativo indireto [51,52]

tem estruturas complexas. Inspirado diretamente por casos de controlo adaptativos [53-

Ferreira, R.

17

56], estendeu-se o controlador preditivo e controlo supervisionado para um sistema

prático com atraso nas entradas e incertezas do modelo.

Mais recentemente, o design do MPC [57-59] tem sido amplamente usado em

sistemas não lineares sem nenhum atraso das entradas. Contudo, os sistemas de

controlo prático possuem um atraso em relação as entradas e são geralmente sistemas

não lineares. Tal facto inviabiliza a sua utilização, visto que, os esquemas de MPC para

sistemas não lineares e sem atraso já são bastante complicados e não são aplicáveis

em sistemas práticos com estes atrasos. Assim sendo, é necessário utilizar um esquema

de controlo adaptativo e com o NMPC de forma a evitar as respostas instáveis de

sistemas não lineares com atraso nas entradas.

2.12. MPC para sistemas híbridos e sistemas com restrições

lógicas

No final do século passado até ao início deste, houve a emergência de MPC

híbrido, em que este apontava para sistemas lógicos e com dinâmica continua.

Bemporad e Morari [60] propuseram uma descrição matemática para tais sistemas e

inventaram o termo sistemas mixed lógical dynamical (MLD). Devido a presença de

regras lógicas, ambas as descrições dos sistemas e das restrições continham variáveis

binarias e formulação comum de MPC baseado estas num problema de programação

linear mista inteira (MILP) ou num problema de programação quadrática mista inteira

(MIQP). Este problema era resolvido on-line. Embora a MILP e MIQP serem problemas

de otimização bem estudados devido a sua prevalência em aplicações agendadas, e a

sua confiança em solvers comerciais gerais existentes (como por exemplo, CPLEX pela

ILOG), é um assunto diferente quando se quer aplicar MILP e MIQP on-line. Isto é

especialmente verdade dado que muito dos sistemas híbridos de interesse são sistemas

mecânicos que requerem uma amostragem muito mais rápida do que as aplicações

processuais precisam. Esta falha, no entanto, teve um efeito benéfico de motivar o

desenvolvimento do MPC explícito.

2.13. MPC Explícito

Bemporad et al [61] apresentou uma técnica para determinar a LQR para um

sistema com restrições, através de programação linear de múltiplos parâmetros, off-line

(mp-LP) e também de programação quadrática de múltiplos parâmetros (mp-QP). A lei

de controlo mostrou ser linear e contínua por partes, e podia ser implementada como

uma tabela de pesquisa, isto é, diferentes leis de estado por feedback aplicam-se a

diferentes regiões poliédricas. Consequentemente o controlo computacional on-line é

reduzido a determinar a região associado com o estado atual e depois aplicar a lei de

controlo armazenada que é característica dessa região. A abordagem por programação



18

de múltiplos parâmetros foi, mais tarde, usada para derivar, de forma explícita, leis de

controlo MPC para sistemas híbridos e sistemas indeterminados [62].

Um problema com esta abordagem era que com o aumento do tamanho do

horizonte, o aumento do número de variáveis de estado e o aumento do número de

restrições, o número de regiões poliédricas aumenta rapidamente, fazendo com que a

abordagem pela tabela de pesquisa difícil de implementar na prática. Assim sendo,

vários designs de MPC explícitos e algoritmos, com alguns sacrifícios na otimização,

foram propostos. Johasen e Grancharova [63] apresentam um método para determinar

um retorno aproximado ao estado linear explícito impondo uma pesquisa em estrutura

de arvore na partição. Eles mostraram que isto levava a uma complexidade

computacional, em tempo real, que é logarítmica no número de regiões na partição,

mantendo a sua estabilidade assintótica e cumprindo as restrições implementadas.

Tondel et al [64,65] estendeu este resultado para desenvolver uma nova estratégia de

exploração que evita partições desnecessárias através da análise da geometria de

partição do poliedro e a sua relação com o ótimo da programação quadrática. Bemporad

e Filippi [66] apresentaram um método para resolver, aproximadamente, a mp-QP,

permitindo uma troca entre o ótimo com um número mais pequeno de partições, ou seja,

menos partições com um ótimo local. Estes providenciam margens de erro analíticos e

ainda mostraram que a propriedade chave para estabilidade em malha fechada, e

cumprimento das restrições, era preservado. Johansen, Petersen e Slupphaug [67]

desenvolveram um método similar para obter soluções sub ótimas explícitas, com baixo

número de regiões. Mais recentemente, Canale, Fagiano e Milanese [68] propuseram o

uso de metodologias de associação para aproximar a lei de MPC, com um limite explícito

para erros de aproximação, preservando as propriedades chave de estabilidade e de

viabilidade. Finalmente, Jones e Morari [69] introduziram um método para computar leis

de controlo explícitas aproximadas que diminuíam a complexidade, aumentado o erro,

baseadas na aproximação do poliedro e da função de custo ótimo e da interpolação

barycentric. O controlador mostrou-se ser viável e estável.

2.14. MPC económico

A criação de métodos de controlo com otimização direta de determinados objetivos

como economia de processo tem recebido muita atenção recentemente. Assim, o

desenvolvimento e extensão do MPC a este conceito tornou-se atrativo por causa da

sua aceitação, a nível industrial, e capacidade, demonstrada, de lidar com restrições

não lineares e restrições de sistemas de múltiplas variáveis [70]. Tanto as restrições com

múltiplas variáveis e a não linearidade são características importantes nos processos

industriais para um lucro máximo.

Ferreira, R.

19

Dentro da comunidade científica da especialidade, é reconhecido que, em

contraste aos problemas servo, que o ótimo operacional, a nível económico, pode não

corresponder a estabilidade do processo em malha fechada no estado estacionário.

Operações periódicas ótimas, por exemplo, podem ter um rendimento, num

determinado espaço de tempo, uma melhor operação no estado estacionário. Rawlings,

Bonné, Jorgensen, Venkat e Jorgensen [71] mostraram que o MPC com restrições de

sistemas lineares com funcional de custo em zonas convexas são sempre

assintaticamente estáveis. Diehl, Amrit e Rawlings [72] descobriram que as funções

Lyapunov para MPC económicos de sistemas não lineares satisfaziam a inequação de

dissipação com uma função de armazenamento específico. Demonstraram também que

esta forma de MPC tinha uma performance melhor que os métodos inicias de controlo

periódico otimizado [73]. Com o conhecimento desta nova ferramenta de análise de

estabilidade, foram desenvolvidos métodos para ajustar o custo da etapa económica

que se pretende ajustar, de forma a garantir a estabilidade assintótica do melhor estado

estacionário para sistemas não lineares.

Para uma melhor análise, estes MPC económicos iniciais incluíam restrição

terminal. Foi reconhecido que esta restrição terminal deveria ser retirada e substituída

por uma penalização terminal e uma região de restrições terminais. Ambas são

consideradas superiores a restrição final porque elas aumentam o conjunto de

condições iniciais viáveis, diminuem a diferença entre as trajetórias em malha aberta e

em malha fechada, permitindo assim uma sintonização do controlador mais

transparente e, possivelmente, aumentam a performance em malha fechada.

2.15. Otimização rápida

Além do esforço de calcular a lei de controlo de um MPC explícito off-line, um

número de investigadores visou acelerar a otimização on-line através do

desenvolvimento de algoritmos de otimização personalizados.

Estes algoritmos personalizados foram projetados de forma a explorarem a

estrutura particular de um problema de MPC e mostraram velocidades de otimização

mais rápidas que os solvers convencionais. Rao, Wright e Rawlings [74] propuseram um

método de ponto interior, em que a funcional de custo cresce linearmente no tamanho

do horizonte, comparado com o crescimento cúbico tradicional. Mais tarde, o mesmo

grupo, maioritariamente para problemas de grande escala, implementou uma

enumeração parcial (PE) que combina o armazenamento de tabelas e a otimização on-

line [75]. Ferrau, Bock e Diehl [76] explorou informação das soluções de antigos QP sob

o pressuposto que o conjunto ativo não muda muito de um QP para o próximo. Eles

aplicaram um método a um problema de teste complicado composto por 240 variáveis



20

e 1191 restrições de igualdade e mostraram que o tempo de CPU estava bastante

abaixo dos 100 ms por QP, uma ordem de magnitude acima do solver convencional de

QP. Mais recentemente, Wang e Boyd [77] mostraram que a computação das ações de

controlo para um problema com 12 estados, 3 controladores, um horizonte de predição

de 30 passos (resultando num QP com 450 variáveis e 1284 restrições) poderia ser

resolvido em apenas 5 milissegundos. Outros exemplos foram apresentados mostrando

valores bastante impressionantes de velocidade. A velocidade de cálculo foi conseguida

maioritariamente utilizando um método de ponto interior contido numa barreira primitiva

recheado de várias características personalizadas, como a computação rápida do passo

por Newton, início quente e uma barreira de parâmetros fixa.

Comparada com o método explícito, esta linha de abordagem vem com uma

vantagem adicional do peso dos parâmetros, o tamanho do horizonte e os parâmetros

do modelo poderem ser mudados durante os cálculos. Para o método explícito, era

necessário construir uma nova tabela de pesquisa, resolvendo novos problemas de

programação de múltiplos parâmetros.

2.16. Aplicações industriais

Durante os anos 90, o MPC continuo a encontrar o seu caminho para as salas de

controlo industrial. Muitas das primeiras gerações de vendedoras de MPC, que

começaram como pequenas empresas, fundiram-se entre si para gerar grandes

vendedores como a Aspen Tech e a Honeeywell. Em adição, alguns vendedores,

notavelmente a Shell Global Solutions, partiram dos tradicionais modelos de resposta

de tempo e introduziram software adotando modelos mais comuns de espaço-estado e

todas as ferramentas associadas (como por exemplo, Filtros de Kalman). Esta nova

geração de algoritmos MPC pareciam muito mais com algoritmos de controlo clássicos

como o LQG (linear-quadratic-gaussian), mas com o benefício de conseguirem lidar com

as restrições.

Na CPC 5, houve investigadores, Qin e Badgwell, que apresentaram um inquérito

envolvendo os 5 maiores vendedores de MPC da altura (DMC, Setpoint, Adersa,

Honeywell Profimatics, e Treiber Controls) [78]. Os resultados mostram 2233 aplicações,

a maioria concentrada nas indústrias de refinação e petroquímica, mas uns números

significativos de aplicações eram também reportados em setores de produção de

químicos, pasta de papel e papel, comida e mineração. Aproximadamente 5 anos após

este inquérito, realizou-se outro idêntico, conduzido pelas mesmas pessoas, envolvendo

em suma os mesmos 5 vendedores [79], em que o número total de aplicações duplicou,

indicando uma taxa de crescimento de 15%. Este inquérito mostrou um uso mais

generalizado de MPC não linear, em que o total de aplicações rondava as 100. Ao

Ferreira, R.

21

contrário do MPC linear, a maioria das aplicações do MPC não linear encontrava-se em

produção de químicos, ar/gás e indústria de polímeros.

Na década dos anos 2000 houve uma grande mudança nos tipos de sistemas em

que o MPC era aplicado. Um número significativo de aplicações envolvendo sistemas

mecânicos e sistemas eletrónicos estão agora a ser reportados na literatura. Isto só foi

possível devido aos desenvolvimentos referidos nos pontos anteriores, em que estes

permitiram a implementação do MPC em ritmos e ordens de magnitude bem mais

rápidos que nos processos industriais convencionais (como por exemplo a refinação do

petróleo). As aplicações reportadas são o controlo da tração dos automóveis [80],

suspensão [81], conversores de energia [82,83], entre outros.

Desde a introdução do DMC e do IDCOM na comunidade de controlo, há mais de

três décadas, que o MPC é então o centro da investigação de controlo, em várias formas

de aplicá-lo. Após estes anos de estudo, testemunhou-se a transformação do MPC, de

heurísticas industriais para uma das técnicas de controlo com mais influentes, tanto em

termos de pesquisa como de prática. O MPC, agora, faz parte de todas as refinarias e

operações fabris químicas. Além disso, as suas aplicações continuam a crescer, como

já foi dito, para sistemas mecânicos e sistemas mecatrónicos que requerem taxas de

amostragem com ordem de magnitude mais rápida. De forma teórica, depois da década

inicial de muita confusão, a comunidade de investigação conseguiu trabalhar em teorias,

bem-sucedidas, que permitiram desenhar as leis do MPC, garantido estabilidade e

otimização. Muitos dos artigos que contribuíram para estas descobertas não eram

novos, eram apenas redescobertas e aperfeiçoamentos para formar uma teoria comum.

Agora o MPC é aceite como a técnica mais eficiente e completa para problemas de

controlo com restrições. Ao longo do tempo, a teoria e a prática começaram a suportar-

se entre si bastante bem de forma a gerar o progresso que este teve.

Após várias décadas de descobrimento, apenas se consegue especular qual será

a próxima grande descoberta da área de controlo preditivo. Tanto pode ser na área do

MPC robusto, como pode ser uma teoria que não consegue ser implementada na

prática. De momento os investigadores estão focados na grande descoberta nesta área,

o MPC económico. Este ainda está em desenvolvimento. Além deste, ainda existe

grande investigação no MPC adaptativo e explícito.

O MPC que se conhece realiza otimização on-line em malha aberta

repetidamente, baseando-se em trajetórias preditas com medidas calculadas on-line.

Visto que, nesta formulação falta a contabilização de feedback futuro, parece que este

está confinado a sistemas incertos que necessitem de otimização. Programação

dinâmica providencia soluções rigorosas para o problema de otimização, mas tem a sua



22

própria limitação, em que esta se denomina de “maldição da dimensão”. Programação

de aproximação dinâmica desenvolvida pela comunidade de inteligência artificial é uma

premissa que tem bastante interesse [84]. Esta foi a premissa do MPC económico, em

que este ainda esta em grande desenvolvimento. No futuro espera-se cada vez mais

aplicações para o MPC económico, MPC adaptativo e o MPC explícito.

Por último, de forma a enquadrar o trabalho aqui desenvolvido com o que foi dito

anteriormente, esta tese vai de encontro a substituição de controlo clássico por controlo

preditivo. Utilizando então um MPC linear é possível de comparar as duas vias.

2.17. Abordagem clássica

A abordagem clássica de controlo na engenharia química passa pela utilização de

controladores PID. Estes controladores são bastante antigos, sendo que estes apenas

se aplicam a problemas SISO.

Um PID é de extrema utilidade para processos cuja dinâmica é benigna e as

performances necessárias do equipamento sejam modestas, ou seja, um PID, dada a

sua fácil sintonização e o seu custo, é ideal para sistemas pequenos, sendo por isso

ainda utilizado na indústria. Na indústria química, a maioria das malhas fechadas dos

processos possuem controladores do tipo PID, sendo que a maioria desses processos

utiliza controladores PI.

Os controladores PID são combinados com lógica, máquinas sequenciais,

seletores, funções de bloco simples, de forma a construir sistemas de automação mais

complicados para produção e transporte de energia. Muitas das estratégias de controlo

mais sofisticadas, como o controlo preditivo, são também organizadas

hierarquicamente. Assim sendo, utiliza-se controladores PID nas camadas mais baixas

de controlo, em que os controladores preditivos dão os vários setpoints aos

controladores PID. Assim sendo, pode-se afirmar que o controlador PID é uma

ferramenta bastante importante em toda a engenharia de controlo.

Uma larga proporção de instrumentos e processos de engenharia são bem

familiares ao controlo PID. Existe prática na implementação e uma sintonização bem

conhecida, na utilização destes controladores.

No próximo ponto abordou-se os princípios do PID, realizar uma abordagem aos

métodos de design, dos controladores PID, regras para a sintonização de PID’s,

algumas técnicas para a sintonização dos mesmos e, por fim, vários problemas

complexos que podem ser reformulados usando controladores PID [85].

Ferreira, R.

23

2.18. Controlo por PID

O controlador PID é de longe o algoritmo de controlo mais comum, em particular

para sistemas cujo acoplamento entre variáveis é bastante reduzido. A maioria das

malhas de controlo por feedback são controladas por este algoritmo. Assim sendo, a

maioria dos controladores PID apresentam-se numa estrutura de feedback. O princípio

de feedback pode ser expresso como a mudança do valor da variável manipulada,

quando a variável de saída está fora do setpoint. Este feedback chama-se de negative

feedback porque sempre que a variável manipulada sai do setpoint é necessário que o

valor da variável manipulada mude de forma inversa, por exemplo, se o valor de saída

for menor que o de setpoint é necessário aumentar o valor da variável manipulada [86].

Após esta breve explicação de controlo em feedback, em que os controladores

PID são prediletos, é necessário recorrer-se a sintonização dos parâmetros do PID. No

entanto, de forma a poder-se realizar esta sintonização dos parâmetros de um PID é

necessário conhecer o processo em que se quer incorporar. Assim sendo, é necessário

obter a dinâmica do mesmo.

Existem várias formas de se obter a dinâmica de processos, sendo a dinâmica o

comportamento matemático de uma saída em função da entrada, ao longo do tempo.

No entanto, é normal trabalhar-se no domínio de Laplace, aplicando as transformadas

de Laplace, do que no domínio do tempo, devido a complexidade das funções no

domínio do tempo. As mais simples são baseadas em medições diretas do processo em

função de mudanças em passo, ou criação de gráficos. Outros são baseados em

respostas de frequência.

Os métodos mais simples são os que são usados normalmente, devido a

necessidade de sintonizar um controlador com poucas ferramentas disponíveis. Estes

métodos também são úteis de forma a obter-se informações para a aplicação de

métodos mais complexos.

Após a obtenção do modelo do processo pode-se então realizar a sintonização do

controlador PID. No entanto, de forma a perceber o que é a sintonização de PID, é

necessário compreender os parâmetros do PID, o parâmetro proporcional (a letra P), o

parâmetro de tempo integral (a letra I), e, por fim, o parâmetro do tempo derivativo (a

letra D).

O controlador PID então pode ser traduzido, matematicamente, por



24

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑐 (𝑒(𝑡) +1

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

0

+ 𝑇𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡) (2.11)

Em que u(t) é a variável manipulada e e(t) é a função de erro de controlo

(e = 𝑦sp − 𝑦). A variável manipulada é então uma soma de três termos, o termo P (em

que este é proporcional ao erro), o termo I (em que este termo é proporcional ao integral

do erro) e o termo D (em que este é proporcional a derivada do erro). Os parâmetros do

controlador são proporcionais ao ganho proporcional (K), ao temor integra (Ti) e ao

tempo derivativo (Td). [85]

A função do controlo proporcional apresenta-se como

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑒(𝑡) + 𝑢𝑏 (2.12)

Em que 𝑢𝑏 é uma variável bias, isto é, uma variável que incorpora variáveis que

possam estar a ser omitidas. Ao desenvolver-se esta equação ao estado estático é

possível de se chegar a seguinte equação

𝑥 =𝐾𝑐𝐾𝑝

1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝(𝑦𝑠𝑝 − 𝑛) +

𝐾𝑝

1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝

(𝑙 + 𝑢𝑏) (2.13)

Sendo x a variável do processo, l uma perturbação do sistema, Kp o ganho do

processo e Kc o ganho do controlador. Como é possível de ver através da equação, o

controlo proporcional não retira o erro, apenas em casos em que o Kc tende para infinito,

ou com a escolha ideal de 𝑢𝑏 [85].

Uma outra maneira de falar em controlo proporcional é falar sobre a banda

proporcional. A banda proporcional (referida também como throttling range, TR) é

definida como a quantidade de mudança que é necessária a variável controlada mudar

para que a saída passe de 0 a 100 %. Sistemas que estão subjugados a grandes

alterações nos setpoints, ou nas cargas, tipicamente precisam de possuir bandas

proporcionais grandes para chegar a estabilidade. Nos sistemas que possuem tempos

de respostas bastante rápidos, como os que envolvem o controlo estático de pressão,

precisam de ter bandas proporcionais ainda maiores de forma a prevenir as oscilações.

A relação entre o ganho proporcional e a banda proporcional são inversamente

proporcionais, sendo que, no geral, diminuir a banda proporcional cria oscilações

maiores. Inversamente, quanto maior a banda proporcional, mais lenta se torna a

resposta da malha fechada. A relação é então dada pela seguinte equação.

𝐾𝑐 =100%

𝑃𝐵 % (2.14)

Ferreira, R.

25

Sendo PB o valor da banda proporcional [86].

O tempo integral tem como principal função a de eliminar o erro que existe,

chamado o erro de offset criado pelo controlo proporcional. No entanto, a ação integral

cria oscilações as respostas referentes a mudanças de setpoint. Estas oscilações

aumentam consoante o tamanho do tempo integral. Caso o tempo integral seja

pequeno, existirá oscilações bastante acentuadas, enquanto que quanto maior o tempo

menor serão as oscilações. Assim seria de expectar que seriam usados tempos

integrativos bastante elevados. Apesar disto, existe o problema que, quanto maior o

valor do tempo integral, mais lenta é a resposta. Assim sendo é necessário ajustar o

valor do tempo integral, consoante o processo. A equação referente ao tempo integral

é apresentada de seguida.

𝑢(𝑡) = 𝐾 (𝑒(𝑡) +1

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

0

) (2.15)

A equação descrita apresenta um comportamento de PI, dado que, o controlo

integral tem de estar acompanhado pelo controlo proporcional. Intuitivamente, chega-se

a conclusão que no início, em 𝑢0, o erro terá de ser zero de forma a manter 𝑢0 constante

[85].

Por último, a ação derivativa tem como objetivo o aumento da estabilidade da

malha fechada. Assim sendo, o que ocorre é uma tentativa de predição do valor de

entrada com o tempo derivativo, estabilizando a resposta do processo. A equação que

retrata isto é a seguinte

𝑢(𝑡) = 𝐾 (𝑒(𝑡) + 𝑇𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡) (2.16)

O sinal de controlo é então proporcional a uma estimativa do erro de controlo ao

tempo 𝑇𝑑 à frente, onde a estimação é obtida por extrapolação linear. De notar, como

ocorre com o tempo integrativo, a ação derivativa vem associada ao controlo

proporcional. No entanto, a ação derivativa não retira os erros de offset [85].

Os sistemas de controlo apresentam vários fatores a ter em conta na escolha do

tipo de controlador, como a resposta aos sinais, a insensibilidade ao ruído medido e

variações processuais, como a rejeição a perturbações. Devido a estes fatores, existe

um sentimento de surpresa como um controlador tão simples como um o controlador

PID consegue trabalhar tão bem. A observação geral é que a maioria dos sistemas

industriais conseguem ser controlados relativamente bem com este tipo de controlador,

caso sejam sistemas que não precisem de grandes performances a nível de controlo.



26

Na maioria dos casos, a ação derivativa não é utilizada. Isto é uma observação

bastante interessante que a maioria dos controladores industriais possuem esta ação

desligada, dado que, a maioria dos sistemas são de primeira ordem, e um PI é suficiente

para controlar o sistema. O PID é utilizado nomeadamente para sistemas com dinâmicas

de segunda ordem. Em casos em que a dinâmica é maior, ou em casos em que existam

tempos de atraso grandes, existe a necessidade de tipos de controlo mais sofisticados,

que serão abordados mais a frente.

De forma a obter os parâmetros de um PID é necessário saber a que sistema se

pretende aplicar controlo. Após a caracterização da malha de controlo que se quer

utilizar, passa-se então para a sintonização do controlador. Existem vários métodos de

sintonização. O mais clássico é o método de Ziegler-Nichols. Neste método a dinâmica

é caracterizada por dois parâmetros. Um dos parâmetros é relacionado com o ganho do

processo, o quociente entre a variação da saída do processo com a variação da entrada,

e o outro descreve a velocidade do processo. Os métodos de Ziegler-Nichols foram

então estudados e modificados, surgindo então dois métodos principais, o método de

resposta em passo e o método de resposta em frequência.

No método de resposta em passo, os parâmetros são simplesmente

características obtidas através da resposta em passo. Este método é baseado na

resposta em malha aberta do sistema, em que este é caracterizada por dois parâmetros,

sendo este o a e L apresentados na seguinte figura.

Figura 2.2- Caracterização de uma resposta em passo [85].

Determina-se então o ponto onde o declive da resposta tem o seu máximo, e é

então desenhada uma reta tangente em relação a esse mesmo ponto. De seguida

utiliza-se uma tabela que relaciona os valores de a e L de forma a sintetizar o

controlador.

Ferreira, R.

27

Tabela 2.1-Método de Ziegler-Nichols, em resposta de passo, para obtenção dos parâmetros de um

PID [85].

Controlador K tI tD

P 1/a

PI 0.9/a 3L

PID 1.2/a 2L L/2

O método de resposta em frequência é baseado numa simples caracterização da

dinâmica do processo. O design consiste na introdução de um controlador proporcional

no sistema, em que se descobre o Kc crítico, em que este Kc é o ganho do controlador

que permite que o sistema esteja no limiar da estabilidade. Após a obtenção do Kc

crítico, através da resposta se encontra o Tc crítico, o tempo entre cada máximo das

oscilações. A tabela 2.2 mostra o método do Ziegler-Nichols.

Tabela 2.2- Método de frequência de Ziegler-Nichols para obtenção dos parâmetros de um PID [85].

Controlador K tI tD

P 0.5 Kcu

PI 0.4 Kcu 0.8 Tcu

PID 0.6 Kcu 0.5 Tcu 0.125 Tcu

Os métodos de Ziegler-Nichols recorrem aos sistemas que não se possuem

informações sobre a dinâmica do processo. No entanto, se houver informações sobre a

dinâmica do processo, existem outros métodos de forma a sintonizar um controlador

PID, como o λ-Tuning, e que consiste na utilização de um λ na função do controlador,

de forma a retirar os parâmetros, sendo de notar que este método é apenas utilizado

para sistemas com grandes atrasos, o método de Haalman, que consiste numa

sintonização inversa, isto é, é escolhida a resposta pretendida ao sistema, sintoniza-se

o controlador de maneira a igualar esta resposta, e, por último, o método IMC (Internal

Model Controller), em que consiste na separação da função transferência do processo,

em zeros positivos de um lado e zeros negativos e pólos no outro, sendo que este

método é utilizado maioritariamente para sistemas com zeros positivos, ou seja, funções

com Lead Lag (com inversão de resposta inicial).

Os métodos e problemas de controlo aqui apresentados tem sido para problemas

SISO (single input single output). No entanto, os sistemas de controlo típicos são muito

mais complexos, com várias variáveis manipuladas e vários sinais medidos. A

abordagem neste tipo de problemas é a abordagem bottom-up, ou seja, utilizando



28

componentes simples, consegue-se construir sistemas de controlo avançados. Estes

tipos de sistemas podem ser implementados de várias formas. Originalmente, os

sistemas implementados, eram interligações de caixas, construídas com componentes

eletrónicos e pneumáticos. No entanto, evoluiu-se para sistemas distribuídos,

constituídos por vários computadores conectados hierarquicamente. Os softwares dos

sistemas distribuídos são construídos de forma a que a programação seja feita através

da seleção das interligações entre os componentes. Neste contexto, o equipamento

chave será o controlador PID.

Um tipo de controlo complexo é o controlo em cascata. Este pode ser utilizado

quando existem vários sinais de medição e apenas uma variável de controlo. Este tipo

de controlo é particularmente útil quando existem dinâmicas significativas, isto é,

grandes constantes de tempo e atrasos significativos entre a variável do processo e a

variável de controlo. De forma a conseguir um controlo mais apertado, é necessário

utilizar um sinal de medida intermédio que responde de forma mais rápida ao sinal de

controlo. Assim sendo, o sistema irá possuir duas malhas fechadas. A malha fechada

interna é denominada pela malha secundária e a malha fechada externa denomina-se

por malha principal. A razão para esta nomenclatura é que a malha fechada externa lida

com o primeiro sinal medido. Este tipo de controlo pode ser feito com mais do que duas

malhas de controlo. O desempenho deste tipo de controlo pode ser melhorado com o

aumento do número de sinais medidos, até todas as variáveis de estado possuírem uma

medição. Este tipo de controlo é bastante útil para o posicionamento de válvulas,

permutadores de calor e motores.

Figura 2.3-Figura representativa de um controlo em cascata [85].

O controlo por feedfoward é outro exemplo, largamente utilizado na indústria, de

controlo complexo. Este controlo serve para retirar o erro que a perturbação cria no

sistema, sendo que as perturbações são desvios da variável de controlo ao setpoint. Em

algumas situações, é possível medir as perturbações antes delas influenciarem o

processo. Nestas perturbações medidas é efetuado o controlo por feedfoward. Este tipo

Ferreira, R.

29

de controlo pode ser utilizado tanto para sistemas lineares como para sistemas não

lineares, requerendo assim o modelo matemático do processo. Normalmente, este tipo

de controlo é utilizado junto ao controlo por feedback, de forma a colmatar as

necessidades do controlo por feedback de lidar com as perturbações.

Figura 2.4- Princípio do controlo por feedfoward [85].

O controlo em cascata é usado quando existe uma variável de controlo e vários

sinais de medição. A situação inversa do controlo em cascata é quando existem várias

variáveis de controlo e apenas um sinal. Sistemas deste tipo são bastante comuns na

indústria, isto é, sistemas interligados com aquecimento e arrefecimento, existindo um

controlador para cada sistema. O sistema de arrefecimento e de aquecimento,

usualmente, possuem dinâmicas diferentes e estados estacionários diferentes. Assim

sendo, é necessário utilizar o controlo em split range, sendo que o princípio deste

controlo está exposto na figura 2.5.

Figura 2.5- Princípio do controlo em split range, num sistema de aquecimento e arrefecimento [85].

Na figura, está representada a relação entre a variável medida e as variáveis de

controlo. Quando a temperatura é demasiado baixa, é necessário aquecer. Assim

sendo, o sistema de aquecimento tem o seu máximo valor quando a variável medida for

zero. Após isto, o aquecimento diminui de forma linear aquando o aumento da variável

medida, até o valor médio da variável medida. Após este valor, o sistema de

arrefecimento começa a trabalhar, aumentado até a variável medida ser um. Assim,

consegue-se evitar que os dois trabalhem simultaneamente.



30

A zona crítica de mudança de temperatura é quando a variável medida está no

seu valor médio. De forma a evitar que os sistemas trabalhem simultaneamente, existe

uma zona que é considerada como a zona morta, em que nenhum dos sistemas

trabalha. Aqui reside alguns problemas, visto que, a mudança entre os dois diferentes

sistemas cria dificuldades e oscilações no sistema de controlo.

O controlo seletivo pode ser visto como o inverso do controlo split range. No

controlo por split range possui se vários atuadores e um sinal medido, enquanto que no

controlo seletivo, possui-se um atuador e vários sinais de medição. O seletor acaba por

ser um aparelho estático com várias entradas e apenas uma saída. Existe apenas dois

tipos de seletores, o de máximo e o de mínimo.

Existem situações onde as várias variáveis de controlo do processo têm de ser

levadas em conta. Uma das variáveis de controlo é a principal, mas onde é necessário

que as outras variáveis estejam numa gama de valores, sendo esta a diferença entre o

controlo em cascata e o controlo seletivo.

A ideia do controlo seletivo é de usar vários controladores e ter um seletor que

escolhe qual o controlador mais apropriado. Um exemplo disto é o quando a variável de

controlo é a temperatura, mas é preciso que a pressão não exceda um determinado

valor, por motivos de segurança.

Figura 2.6- Princípio do controlo seletivo [85].

Outros tipos de controlo avançado são as redes neurais e o controlo fuzzy. Estes

controlos lidam com funções não lineares e com utilização de PID’s. O controlo por rede

neural é uma tentativa de tornar simples modelos como a rede de neurónios do cérebro

humano. Assim, o sistema tem várias entradas e apenas uma saída, em que a saída

depende das entradas e do peso de cada entrada (denominado por wi, sendo o índice i

Ferreira, R.

31

referente a cada entrada). As saídas são denominadas neurónios, sendo a equação do

neurónio a seguinte

𝑦 = 𝑓(𝑤1𝑢1 + 𝑤2𝑢2+. . . +𝑤𝑛𝑢𝑛) = 𝑓 (∑ 𝑤𝑖𝑢𝑖

𝑛

𝑘=1

) (2.17)

O controlo fuzzy é uma tentativa de desenvolver um método de lógica racional,

menos complexa, isto é, quantificar algo como verdadeiro ou falso. Isto é possível

introduzindo variáveis linguísticas e associá-las a funções membros, que retiram valores

entre 0 e 1. Neste tipo de controlo, as operações lógicas e, ou, e não são operações em

variáveis linguísticas. Estas operações podem ser expressas em termos de operação

nas funções membro das variáveis linguísticas. Considerado fA (x) e fB (x) como funções

membro com duas variáveis linguistas, é possível defini-las como

𝑓𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑚𝑖𝑛(𝑓𝐴(𝑥). 𝑓𝐵(𝑥)) (2.18)

𝑓𝐴 𝑜𝑢 𝐵 = 𝑚𝑎𝑥(𝑓𝐴(𝑥). 𝑓𝐵(𝑥)) (2.19)

𝑓𝑛ã𝑜 𝐴 = 1 − 𝑓𝐴(𝑥) (2.20)

O último tipo de controlo complexo que será apresentada é o controlo de malhas

com interação. Este tipo de controlo utiliza a decomposição em malhas simples, sendo

assim mais fácil de extrapolar informação de um sistema complexo de forma a sintonizar

a malha de controlo. No entanto, este tipo de abordagem tem os seus problemas, como,

não é possível determinar as limitações da decomposição, as interações entre malhas

ser demasiado grande e não se conseguir decompô-las. Este método é bastante difícil

de implementação prática devido as interações entre variáveis, sendo nomeadamente

um método académico.

2.19. PID com 2 Graus de Liberdade

O grau de liberdade de um sistema de controlo é definido pelo número de

funções de transferência na malha fechada que podem ser ajustadas

independentemente [87]. O design dos sistemas de controlo é um problema de múltiplos

objetivos, assim um sistema de controlo com dois graus de liberdade (abreviado como

2DoF), naturalmente, tem as vantagens em relação ao sistema com apenas um grau de

liberdade (abreviado como 1DOF) [88].

O parâmetro extra que oferece os controladores 2DoF é usado para aumentar o

comportamento do controlo do setpoint considerando o desempenho do controlo

regulatório do setpoint (isto é, as variações que o setpoint sofre ao longo do tempo), e,

ainda, considerando a robustez do sistema e o controlo da malha fechada [87]. Esta



32

característica dos sistemas de controlo 2DoF pode ser implementado tanto em

controladores PI como PID.

Os algoritmos do PID 2DoF são dados por

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 {𝑒𝑝(𝑡) +1

𝑇𝑖∫ 𝑒𝑖(𝜉)𝑑𝜉 + 𝑇𝑑

𝑑𝑒𝑑(𝑡)

𝑑𝑡

1

0

} (2.21)

𝑢(𝑠) = 𝐾𝑝 {𝑒𝑝(𝑠) +1

𝑇𝑖𝑠𝑒𝑖(𝑠) +

𝑇𝑑𝑠

𝛼𝑇𝑑𝑠 + 1𝑒𝑑(𝑠)} (2.22)

Figura 2.7- Esquema genérico de um controlador PID 2DoF em tempo discreto [88].

33

Capítulo 3

3. Modelação do sistema

3.1. Introdução

Neste capítulo pretende-se expor o tipo de equipamento onde o trabalho foi

realizado e o seu modelo matemático. A obtenção do modelo matemático é obtida

através da aplicação de princípios de conservação de massa e a leis físicas referentes

a transferência de calor. No final é apresentado o modelo do equipamento em estudo

linearizado e não linearizado, assim como os modelos gerais de vários tipos de

equipamento com a mesma funcionalidade do equipamento em estudo.



34

3.2. Introdução ao estudo do modelo matemático e aos

permutadores de calor

A permuta de calor é o termo aplicado ao estudo dos detalhes ou mecanismos de

transferência de energia, em que a forma de calor é a principal preocupação deste

estudo. Existem vários exemplos deste conceito, alguns de natureza familiar e

doméstica, como por exemplo tudo o que envolva cozinhar, pôr água a ferver, conservar

alimentos no frigorífico, entre outros. Falando em exemplos industriais existe os

tratamentos de metais, dissipação de calor perdido na fábrica, entre outros. A análise de

exemplos industriais será o foco deste artigo.

A permuta de calor é energia em movimento, que ocorre como resultado de um

gradiente de temperatura. Este gradiente de temperatura é a driving force que causa o

movimento do calor. A permuta possui três mecanismos básicos, que são a condução,

convecção e radiação [89].

A condução é o mecanismo de transmissão de calor através de uma substância

para a outra, sem que seja necessário movimento das mesmas. O calor pode ser

conduzido por gases, líquidos e sólidos. No caso de fluidos, no geral, a condução é o

principal modo em que ocorre a permuta de calor, quando não possui velocidade. Nos

sólidos opacos, a condução é o único modo em que existe permuta de calor. A energia

cinética das moléculas de um gás associa-se a uma propriedade que é a temperatura.

Numa região, onde as temperaturas são elevadas, as moléculas do gás têm maior

velocidade que numa zona onde a temperatura é menor. A excitação destas resultam

na colisão e a mudança de momento e de energia. Quando este movimento aleatório

ocorre e existe um gradiente de energia no gás, as moléculas na região de maior

temperatura começam a transferir energia para as moléculas na zona de menor energia,

através de colisões. É possível identificar este transporte de energia via difusividade ou

condutividade.

A condução de calor em líquidos é parecida ao dos gases, sendo a condução um

fenómeno de colisões aleatórias de moléculas com energias elevadas com moléculas

de energias baixas, causando transferência de calor. No entanto, a situação de líquidos

é mais complexa, porque as moléculas estão confinadas num espaço menor. Assim

sendo, os campos de força molecular podem ter um efeito na energia trocada entre

moléculas, isto é, o campo de forças molecular pode ter influência no movimento

aleatório das moléculas.

A condução de calor em sólidos ocorre devido ao movimento de eletrões livres,

ondas da rede metálica, excitações magnéticas e radiação eletromagnética. O

movimento de eletrões livres ocorre apenas quando as substâncias são consideradas

Ferreira, R.

35

bons condutores elétricos. A teoria é que o calor pode ser conduzido pelos eletrões

(conhecido também por gás de eletrões), que são livres para mover-se pela estrutura

em rede do condutor, na mesma maneira que a eletricidade é conduzida. Este é o caso

comum dos metais.

A energia molecular da vibração da molécula na substância é transmitida entre

moléculas adjacentes, ou átomos, da região de maior calor para a de menor. Este

fenómeno ocorre na estrutura de rede que pode ser considerado como energia a ser

transmitida pelo gás composto de um número total de quantum, conhecido por fotões.

O movimento de fotões é teorizado ser a difusão entre a estrutura de rede na mesma

forma que os eletrões. A estrutura em rede normalmente não é um fator para a condução

de calor através de metal.

A convecção é o termo aplicado quando a transferência de calor é efetuada

através do movimento dos fluidos. A mecânica dos fluidos é, então, uma parte

importante na análise dos problemas de convecção. Isto é bastante importante, porque

na indústria este é o meio mais utilizado de forma a realizar permutas de calor.

Por último, a radiação, em que esta consiste na transferência de energia por

radiação eletromagnética com ondas de comprimento delimitado. O calor é então,

usualmente uma mistura entre os três meios aqui explicados.

A nível industrial, a permuta de calor é, usualmente, efetuada através de

permutadores de calor. Estes são desenhados de forma a permutar calor de um fluido

mais quente, para um fluido mais frio, dado que, realizar aquecimentos com energia tem

custos demasiado elevados. Assim sendo, na indústria química existe a necessidade de

diminuir ou aumentar a temperatura de determinados fluidos, seja pela reação, seja para

armazenamento. As indústrias com necessidades semelhantes de troca de calor

utilizam também os permutadores de calor, como a farmacêutica e a alimentar [89].

Este ponto foca-se nos vários tipos de permutadores de calor utilizados na

indústria. Estes sãos os permutadores de placas, casco e tubos, tubos concêntricos, e

as suas variações. Além de se apresentar uma pequena revisão de conceitos, ainda

será apresentado modelos hiperbólicos e parabólicos dos permutadores de calor. Nos

modelos, demonstrou-se quais são considerados problemas hiperbólicos e quais são os

considerados problemas parabólicos, distinguindo-os entre si. A característica para os

problemas hiperbólicos e parabólicos é que estes são problemas que se propagam na

mesma direção da velocidade. Sendo assim, a diferença entre estes, nos permutadores

de calor, é o termo de difusão, em que este é uma derivada de segunda ordem, em que

a existência deste cria uma parábola (problema parabólico).



36

3.2. Permutadores de placas

Figura 3.1- Figura de um permutador de calor de placas [90].

Este grupo de permutadores é caracterizado por ter superfícies secundárias, ou

estruturas de plano vertical fixo, entre cada partição plana, ou separação de corrente,

de uma placa. Os fins têm duas funções, uma de agir como uma superfície de

transferência de calor secundarias, obtendo assim um diâmetro hidráulico menor, e a

segunda função de conter a diferença de pressão entre as correntes. As variações são

apresentadas de seguida.

3.3.1. Permutadores de vácuo revestidos

Originalmente desenvolvido para a indústria de das aeronaves nos anos 40, para

o uso de controlo ambiental e de trabalho de troca de calor entre óleo e o combustível,

o alumínio PFHE é extensivamente usado na indústria com temperaturas criogénicas,

ou em separação de gás e liquefação, onde as boas propriedades do alumínio a

temperaturas baixas são soberanas. O uso generalizado é também feito numa fábrica

de produção de etileno. A técnica de construção em vácuo, sendo que ao serem

revestidos permite múltiplas correntes, até 12 correntes, serem incorporadas em apenas

num único núcleo, poupando muito peso e custo ao sistema. A alta densidade por área

(o diâmetro hidráulico na ordem de 1 até 2 mm) também permite as baixas diferenças

de temperatura necessárias para uma operação eficiente, especialmente a

temperaturas criogénicas, em que as necessidades de energia são fortemente

Entrada

Saída

Distribuidor

Área de Permuta de calor

Placa do tubo

Placa lateral

tanque

Espaço

Placa de

suporte

Placa de fricção

Stub pipe

Ferreira, R.

37

influências pelas restrições da segunda lei de termodinâmica. Em relação a este tipo de

permutador, existem 4 tipos. O tipo plano, em que as placas são direitas, herringbone

em que as placas são onduladas, as perfuradas, em que estas são muito parecidas com

as do tipo plano, mas mais largas, e, por último, offset striped fin, em que este tipo é um

misto entre placas onduladas e direitas. [90]

O permutador de vácuo revestido que é utilizado na indústria de etileno é

usualmente construído consoante a fábrica.

3.3.2. Permutadores de porção revestida e soldado

Um segundo grupo de permutadores de placas, os permutadores revestidos e

soldados, muito similar em termos de construção aos permutadores de placas

apresentados anteriormente, mas que são desenvolvidos para uma área de mercado

diferente. As aplicações deste tipo de permutador são o arrefecimento dos automóveis

(os radiadores) e o aquecimento do ar ou arrefecimento do óleo para os compressores.

As unidades deste tipo de permutador de calor são maioritariamente para trocas entre

ar-água e óleo-água, devido a sua configuração, em que este cruza os fluxos. [90]

3.3.3. Permutadores de titânio/ferro revestidos

Estes permutadores de placas são para temperaturas acima de 200ºC, dado que

estes conseguem chegar a temperaturas até 800ºC. Além da sua estrutura em

ferro/titânio, estes são ainda revestidos com um outro metal, como níquel ou prata [90].

3.3.4. Permutadores de placas e cascos

Este tipo de permutador é a melhor alternativa ao permutador de casco e tubos,

tendo sinto introduzido no ano 1923 na pasteurização do leite. Este é amplamente usado

na indústria de processamento de comida e bebida, e também é utilizado em

determinados processos químicos.

Este permutador é bastante parecido ao permutador de placas de plano fixo, em

que este consiste em várias placas pressionadas num determinado espaço, incluindo

placas terminais, de forma a conter a pressão de vapor [90].

3.3.5. Permutadores de placas espiral

O permutador de placas espiral é bastante utilizado para troca de fluidos contendo

materiais suspensos, como as lamas. A aplicação mais comum para este é o

aquecimento das águas do esgoto para a digestão da mesma [90].

Existem vários outros tipos de permutadores de placas, no entanto, estes são

todos variações dos permutadores aqui apresentados, sendo que estas variações são

pequenas.



38

3.3.6. Modelo dinâmico dos permutadores de placas

Figura 3.2- Esquematização do comportamento de um permutador de calor de placas para o modelo matemático [91].

De forma a realizar este modelo, é necessário dizer que em termos de

transferência de massa, esta apenas ocorre na direção da velocidade, fazendo com que

as derivadas sejam zero [91].

Além dessa, temos as equações de momento e as equações de energia [91]. As

equações estão descritas de acordo a figura 3.2. De seguida apresenta-se as de

momento

Canal 1

𝜌𝜕𝑣𝑧1

𝜕𝑡= 𝜇

𝜕2𝑣𝑧1

𝜕2𝑡−

𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜌𝑔 (3.1)

Canal i

𝜌𝜕𝑣𝑧𝑖

𝜕𝑡= 𝜇

𝜕2𝑣𝑧𝑖

𝜕2𝑡−

𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜌𝑔 (3.2)

Canal n

𝜌𝜕𝑣𝑧𝑛

𝜕𝑡= 𝜇

𝜕2𝑣𝑧𝑛

𝜕2𝑡−

𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜌𝑔 (3.3)

Em que, 𝜌 traduz-se pela massa volúmica, v a velocidade do fluido, e g a

aceleração gravítica.

Ferreira, R.

39

As equações de energia são então

Canal 1

𝜕𝑇1

𝜕𝑡= ±𝑣𝑧1

𝜕𝑇1

𝜕𝑧+ 𝛼1(𝑇2 − 𝑇1) (3.4)

Canal i

𝜕𝑇𝑖

𝜕𝑡= ±𝑣𝑧𝑖

𝜕𝑇𝑖

𝜕𝑧+ 𝛼1(𝑇𝑖+1 − 𝑇𝑖−1 − 2𝑇𝑖) (3.5)

Canal n

𝜕𝑇𝑛

𝜕𝑡= ±𝑣𝑧𝑛

𝜕𝑇𝑛

𝜕𝑧+ 𝛼1(𝑇𝑛−1 − 𝑇𝑛) (3.6)

Onde 𝛼𝑖 =𝑈𝑣𝑧𝑖𝑤

𝑚𝑖𝐶𝑖, e T traduz-se pela temperatura dos fluidos.

Como é possível de ver, trata-se de um problema parabólico, devido as

características das equações de momento, em que este possui uma derivada de

segunda ordem, ou seja, o termo da difusão.

3.4. Permutadores de tubos concêntricos

Figura 3.3- Ideia geral dos permutadores de tubos concêntricos.

Este tipo de permutador consiste em dois tubos concêntricos, um dentro do outro,

em que o fluido mais quente flui pelo tubo do interior, enquanto que o mais frio flui no

tubo externo. Os fluidos podem estar a fluir em paralelo, em que os fluidos fluem na

mesma direção, ou em contracorrente, em que estes fluem em direções opostos. O facto

de o fluido quente fluir no tubo interior prende-se pelo facto de minimizar as perdas de

calor com o exterior, dado que se este tivesse no tubo exterior, o fluido quente iria trocar

de calor com o exterior e com o fluido frio, perdendo assim eficiência térmica.



40

Usualmente utiliza-se cobre na construção do permutador, de forma a facilitar a

permuta de calor.

Os permutadores de tubos concêntricos apresentam uma desvantagem, em que,

caso seja necessária uma área de transferência elevada, é necessário colocar mais

tubos. No entanto, acima de 50 tubos, a transferência de calor começa a tornar-se

bastante mais fraca, sendo necessário utilizar outro permutador, o de casco e tubos

(apresentando no ponto seguinte) [90].

3.4.1. Modelo dinâmico dos permutadores de calor de tubos

concêntricos

Figura 3.4- Funcionamento de um permutador de calor de tubos concêntricos, em regime contracorrente, utilizado para o modelo matemático [92].

De forma a construir o modelo, é necessário olhar para a figura 3.4, sendo que

nesta figura está representado um permutador que funciona em contracorrente. O

primeiro passo desta fase está apenas restrito ao tubo interior, onde o fluido que passa

flui a uma velocidade v(t), assumindo que este fluido se encontra todo na mesma fase.

De seguida, adiciona-se um novo tubo, o tubo concêntrico exterior, que permite a troca

de calor entre fluidos, como discutido anteriormente.

Assim sendo, apresenta-se o modelo para o permutador de tubos concêntricos [5]

𝜕𝑣(𝑧, 𝑡)

𝜕𝑡−

𝑢

𝐿

𝜕𝑣(𝑧, 𝑡)

𝜕𝑧= 𝑝(𝑤, 𝑥, 𝑑(𝑧, 𝑡); 𝜃1) (3.7)

𝜕𝑥𝑘(𝑧, 𝑡)

𝜕𝑡+

𝑣𝑘

𝐿

𝜕𝑥𝑘(𝑧, 𝑡)

𝜕𝑧= 𝑓𝑘(𝑤, 𝑥; 𝜃2) (3.8)

No qual, o 𝑥𝑘(𝑧, 𝑡) (𝑘 = 1,… , 𝑛) são as variáveis de estado representa as espécies

da mistura química e a temperatura da mistura ao longo do espaço (𝑧 ∈ [0,1]) e ao longo

do tempo (𝑡 ∈ [0, +∞]) isto no tubo interior, em que a velocidade é 𝑣𝑘[4]. A equação

referente ao tubo interior é a equação (3.8).

Quanto ao tubo exterior, equação (3.7), possui-se u, que é a velocidade do fluido

(𝑣0 na figura 3.2), L como o comprimento do tubo, 𝑤(𝑧, 𝑡) é as temperaturas do tubo

concêntrico exterior e θ corresponde ao vetor com as incertezas do modelo [93]. A

influência do modo de funcionamento prende-se com o sinal da equação (3.7), sendo

que para contracorrente é menos e para cocorrente é mais.

Ferreira, R.

41

Como é possível de ver, este modelo não possui o parâmetro da difusão, ou seja,

a segunda derivada em relação a velocidade. Assim sendo, este modelo apresenta um

problema hiperbólico.

3.5. Permutador de casco e tubos

Figura 3.5- Permutador de calor de casco e tubos [89].

Os permutadores de calor de tubos concêntricos são bastante úteis como

permutadores de calor para caudais relativamente baixos e diferenças de temperatura

moderadas. Quando existe uma necessidade de permutar calor entre fluidos com

caudais mais elevados, o número de tubos necessário para ocorrer a troca de calor é

bastante alta, chegando a ser proibitivo de se utilizar, tanto em termos de área requerida,

tanto em termos de custos. Quando grandes áreas de calor são necessárias, a

alternativa torna-se os permutadores de casco e tubos, como foi referido no ponto

anterior.

Um permutador de casco e tubos consiste num tubo com um diâmetro grande

(entre os 12 nominais e os 24 nominais ou maiores), em que este é colocado um número

determinado de tubos (entre 20 até 1000 tubos). Um fluido passa diretamente dentro

dos tubos, enquanto que o outro passa na casca, ou seja, no tubo grande [89].

Normalmente o casco é feito de aço, no entanto, pode ser feito com um metal

especial devido a problemas de corrosão. Os tubos estão disponíveis numa variedade

de metais, como de cobre.



42

3.5.1. Modelo dinâmico do permutador de casco e tubos

Figura 3.6- Imagem de computador de um permutador de casco e tubos [94].

De seguida apresenta-se o modelo matemático do permutador de casco e tubos,

sendo que este possui equações de momento, energia, energia cinética da turbulência

e dissipação da energia de turbulência [94].

De forma análoga ao que aconteceu no permutador de placas, o fluido flui na

mesma direção da velocidade. Assim sendo a derivada, em relação ao coeficiente de

transferência de massa, é zero.

Equações de momento

𝜕

𝜕𝑥𝑖

(𝜌𝑢𝑖𝑢𝑘) =𝜕

𝜕𝑥𝑖(𝜇

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑥𝑖) −

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑘 (3.9)

Equações de energia

𝜕

𝜕𝑥𝑖

(𝜌𝑢𝑖𝑡) =𝜕

𝜕𝑥𝑖(

𝑘

𝐶𝑝

𝜕𝑡

𝜕𝑥𝑖) (3.10)

Equações de energia cinética da turbulência

𝜕

𝜕𝑥𝑖

(𝜌𝑘) +𝜕

𝜕𝑥𝑖

(𝜌𝑘𝑖) =𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝛼𝑘𝜇𝑒𝑓𝑓

𝜕𝑘

𝜕𝑥𝑗) + 𝐺𝑘 + 𝜌𝜀 (3.11)

Equações da dissipação da energia da turbulência

𝜕

𝜕𝑥𝑖

(𝜌𝜀) +𝜕

𝜕𝑥𝑖

(𝜌𝜀𝑢𝑖) =𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝛼𝜀𝜇𝑒𝑓𝑓

𝜕𝜀

𝜕𝑥𝑗) + 𝐶1𝜀

𝜀

𝑘𝐺𝑘 − 𝐶2𝜀𝜌

𝜀2

𝑘 (3.12)

Este é o modelo RNG k-𝜀, em que este possui determinadas constantes, referente

as viscosidades (µ), sendo estas a 𝐶1𝜀, 𝐶2𝜀, 𝛼𝑘, e 𝛼𝜀.

Ferreira, R.

43

Através da análise do modelo pode-se ver que se trata de um problema

hiperbólico, dado a falta do termo de difusão, ou seja o termo que possui a segunda

derivada. Assim, este assemelha-se aos tubos concêntricos, em que este tipo de

permutador também apresenta um modelo como hiperbólico.

3.6. Descrição do sistema

O sistema utilizado neste trabalho foi um permutador de calor de tubos

concêntricos, da produtora Isi Impianti, com data de 1986. O sistema é constituído por

um circuito para o fluido frio e outro circuito para o fluido quente, encontrando-se na

figura 3.7.

Figura 3.7-Sistema físico do problema de controlo.

O permutador de calor possui 4 tomas de temperatura para cada circuito,

exemplificados na figura 3.7 por Ci e Fi (com i=1,…,4), em que as tomas intituladas por

Ci referem-se ao fluido quente, e as Fi referem-se ao fluido frio. Em cada uma das tomas

foi colocado um termopar, de forma a retirar as temperaturas.

O circuito do fluido frio possui uma entrada de forma a ser abastecida por uma

fonte externa. Assim sendo, no caso de estudo, este foi ligado a uma fonte de água

diretamente. Neste circuito é onde existem duas válvulas de forma a escolher o

funcionamento do permutador de calor, se está a trabalhar em coocorrente ou em

contracorrente. No presente trabalho existiram estudos em ambos modos de

funcionamento.

Bomba

hidráulica

Resistência

C1

F1

C2

F2

F3

C3

F4

C4



44

O circuito do fluido quente é um circuito fechado, em que este contem uma

resistência de 2000 W, que serve para aquecer o fluido. Além desta resistência este

circuito, dado a ser um circuito fechado, possui uma bomba hidráulica da Wilo de modelo

rs25/60r classe f, sendo que esta tem 4 velocidades, 1300 rpm, 1600 rpm, 1800 rpm e

2000 rpm. Estas velocidades estão relacionadas com o caudal de fluido quente, sendo

que a resistência (incluída no depósito) e a bomba estão presentes na figura 3.7. A única

forma de controlo que existe no permutador de calor é em relação a resistência, em que,

ao se manter a resistência ligada ou desligada irá influenciar a temperatura do fluido

quente. A tubagem interna apresenta um diâmetro interno de 10 mm e externo de 12

mm, enquanto que o tubo exterior apresenta um diâmetro interno de 16 mm e um

diâmetro externo de 18 mm. O comprimento do permutador de calor é de 3 metros, 3

troços de 1 metro.

No entanto, existiu a necessidade de implementar um sistema de controlo no

sistema físico apresentado. Assim sendo, houve a necessidade de montar um armário

de instrumentação, que possuísse um transmissor para cada termopar utilizado, tendo

sido utilizado dois tipos de transmissores diferentes, sendo estes da Industrial Interface

e da FEMA eletrónica.

Além destes transmissores, são necessárias placas de aquisição de dados, de

forma a conseguir-se obter os dados que chegam dos transmissores. Numa primeira

fase foi necessária uma placa de entradas analógicas, configurada para entradas entre

0 e 10 V. Nas fases mais avançadas do trabalho além de uma placa de entradas

analógicas foi necessário utilizar uma placa de saídas digitais, cuja função era transmitir

os dados provenientes do computador, sob a forma de on/off.

Ao longo do trabalho foram utilizadas duas placas de entradas analógicas, a ISA

PCL-813 da Advantech, e a National Instruments modelo 9481. A placa de saídas

digitais foi uma National Instruments NI 9205. De notar que tanto a placa de entradas

analógicas como a de saídas digitais da National Instruments estavam contidas numa

rack NI cDaq 9172. Este sistema de controlo necessita de ligar a instalação com o

controlador ou com as placas. Para tal é utilizado um relay de estado sólido.

A figura 3.8 mostra o armário de instrumentação utilizado no trabalho

experimental, e o esquema do sistema de controlo mais a instalação encontra-se no

anexo C.

Ferreira, R.

45

Figura 3.8- Armário de instrumentação e sistema de aquisição.

3.7. Modelo matemático

Após revisão deste capítulo e aplicando o que foi descrito no caso de estudo, o

modelo matemático do permutador de calor deste trabalho traduz-se pelas seguintes

equações.

Em contracorrente

𝜕𝑤

𝜕𝑡− 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥= 𝑎(𝑧 − 𝑤) (3.13)

𝜕𝑧

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑎(𝑤 − 𝑧) (3.14)

𝜏��(0, 𝑡) + 𝑤(0, 𝑡) = 𝐾𝑘𝑄(𝑡) + 𝑤(𝐿, 𝑡) (3.15)

Em cocorrente

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥= 𝑎(𝑧 − 𝑤) (3.16)

𝜕𝑧

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑎(𝑤 − 𝑧) (3.17)

𝜏��(0, 𝑡) + 𝑤(0, 𝑡) = 𝐾𝑘𝑄(𝑡) + 𝑤(𝐿, 𝑡) (3.18)



46

Desenvolvendo-se as seguintes equações

𝑤�� + 𝑢𝑤𝑘+1 − 𝑤𝑘−1

2𝛥𝑥= 𝑎(𝑧𝑘 − 𝑤𝑘) (3.19)

𝑧�� + 𝑣𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘−1

2𝛥𝑥= 𝑎(𝑤𝑘 − 𝑧𝑘) (3.20)

𝜏𝑤0 + 𝑤0 = 𝐾𝑘𝑄𝑘 + 𝑤𝐿 (3.21)

Sendo que a única diferença do desenvolvimento em cocorrente e contracorrente

é o sinal da primeira equação, como é possível de reparar entre as equações (3.13) e

(3.16). Estas equações, como dito anteriormente, são equações sem o termo da difusão,

tornando-se assim um problema hiperbólico, sendo que as equações referentes a w são

as equações que descrevem o comportamento do fluido quente e as equações em z

são as que descrevem o comportamento do fluido frio.

3.8. Linearização e Modelo de Espaço Estado

Geralmente, os modelos de balanços de massa e de energia, que estão

envolvidos na descrição do comportamento dos vários processos químicos são não

lineares, enquanto que a maioria das estratégias de controlo baseiam-se na teoria de

sistemas lineares. A linearização [95] é o processo matemático utilizado para fazer a

aproximação de sistemas não lineares a sistemas lineares. A linearização aqui descrita

é amplamente utilizada no estudo da dinâmica de processos e na construção de

sistemas de controlo, dado que é assim possível alcançarem se resoluções analíticas

fechadas a partir de sistemas lineares, além de tornar acessível a perceção dos

comportamentos do processo em causa, independentemente dos valores dos seus

parâmetros [96]. Em sistemas não lineares, a simulação computacional apenas concebe

o comportamento de um dado processo se possuir os valores das entradas e dos

parâmetros. O método mais utilizado de forma a linearizar um sistema não linear é o de

aproximar o valor de sistema em estado estacionário à Serie de Taylor

𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) +𝜕𝑓(𝑥)

𝜕𝑥|𝑥0

(𝑥 − 𝑥0)

1!+

𝜕2𝑓(𝑥)

𝜕𝑥2|𝑥0

(𝑥 − 𝑥0)2

2!+ ⋯

+𝜕𝑛𝑓(𝑥)

𝜕𝑥𝑛|𝑥0

(𝑥 − 𝑥0)𝑛

𝑛!+ ⋯

(3.22)

Considerando

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥) (3.23)

Ferreira, R.

47

E desprezando os termos de 2º ordem e superiores em (3.22), fica-se com

𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) +𝜕𝑓(𝑥)

𝜕𝑥|𝑥0

(𝑥 − 𝑥0)

1! (3.24)

Em que o erro é de

𝜀 =𝜕2𝑓(𝑥)

𝜕𝑥2|𝑥0

(𝑥 − 𝑥0)2

2! (3.25)

Substituindo (3.24) em (3.23) obtém-se

𝑑𝑥

𝑑𝑡≈ 𝑓(𝑥0) +

𝜕𝑓(𝑥)

𝜕𝑥|𝑥0

(𝑥 − 𝑥0) (3.26)

Como o ponto escolhido para aplicar este conceito é o ponto operatório no estado

estacionário (em que, por definição de estado estacionário, 𝑓(𝑥0) = 0), consegue-se

𝑑𝑥

𝑑𝑡≈

𝜕𝑓(𝑥)

𝜕𝑥|𝑥0

(𝑥 − 𝑥0) (3.27)

Após a utilização da linearização, procedeu-se então a utilização do matriz espaço

estados. Esta matriz é a representação matemática do sistema físico e da relação entre

as variáveis de entrada, de saída e dos estados, relacionando as mesmas através de

equações diferencias.

De forma a que o número de variáveis de entrada, de saída e de estado não se

tornem um problema, estas são então expressas em vetores. Adicionalmente, se a

dinâmica do Sistema for linear, não dependente do tempo e de dimensão finita, então

as equações diferenciais e algébricas podem ser escritas na forma de matriz, daí a

necessidade de linearizar o modelo inicialmente. Esta representação fornece uma forma

compacta e bastante simples de analisar sistemas com múltiplas entradas e saídas. Em

termos matemáticos, o modelo traduz-se através das seguintes equações.

�� = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (3.28)

𝑦 = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) (3.29)

Sendo que as matrizes A, B, C e D correspondem a relação entre os estados com

os estados, os estados com as entradas, as saídas com os estados e as saídas com as

entradas, respetivamente. Esta relação provém das equações diferenciais do modelo

matemático, as equações descritas em (3.13), (3.14) e (3.15). O �� representa a variação



48

das variáveis de estado ao ponto operatório escolhido, neste caso o estado estacionário

[95]. Assim sendo chegou-se então as matrizes do modelo espaço-estados.

[wvq] =

[ A1

u1

dz− Ib A2b B2

u1

dz

A4 + a1 −A3

v

dz− Ia1 B3a1

A5 0 −1

τ ]

[

wxq] +

[

B1b 0

−B4

v

dz0

0Kk

τ ]

[x0

q ] (3.30)

[

wvTf

] = [1 0 00 1 00 0 1

] [wxq] + [

0 00 00 0

] [x0

q ] (3.31)

De notar que no modelo espaço-estado estão contidas matrizes Ai, Bi, ai e bi com

i=1,...,5, em que estas possuem as restrições operacionais. Este modelo encontra-se

descrito em melhor pormenor em anexo. Com o intuito de correlacionar o modelo com

uma figura que resumisse o sistema, foi então realizada um esquema do sistema,

utilizando o programa Autocad. Na figura 3.9, apresenta-se a bomba e a resistência

pertencentes ao fluído quente, enquanto que o fluído frio possui uma representação

bastante simplificada, apresentado apenas um tubo exterior.

Figura 3.9- Imagem representativa do sistema de tubos concêntricos deste trabalho.

O modelo torna-se linear devido à recirculação do fluido quente, permitindo que

exista uma terceira equação, a equação do calor. Com o modelo aqui descrito, pode-se

prever o comportamento típico de um permutador de calor de tubos concêntricos que

receba calor de uma fonte externa.

xo(z,t)

xo(z,t) xi(z,t)

z=0 z=1

vi(t) vo(t)

49

Capítulo 4

4. Resultados e Discussão

4.1. Introdução

O presente capítulo tem como objetivo mostrar os resultados obtidos para este

problema de controlo. Numa fase inicial, procurou obter-se uma função transferência em

malha aberta, de forma a verificar-se a função transferência do permutador de calor era

de primeira ordem.

Neste problema foram implementados três tipos de controlo, em que dois deles

foram implementados no sistema físico e outro foi simulado. Dois deles foram a base

dos algoritmos de PID, sendo que um deles foi um PID de hardware, isto é, um aparelho

físico que possuía o algoritmo, e o outro um PID de software, isto é, um PID

implementado no programa MATLAB. Por fim, o último tipo de controlo estudado foi o

controlo preditivo linear, MPC linear, que por motivos de falha no equipamento não foi

possível implementar, optando-se apenas pela simulação. No final, existe a comparação

entre todos os resultados obtidos, analisando-se as suas respostas face às variações

impostas no sistema.



50

4.2. Malha aberta

A dinâmica de um processo é a tradução matemática das relações entre vários

componentes, ou unidades, de um processo [95]. Tendo isto em conta, existe a

necessidade de traduzir a relação entre o caudal de fluido frio e uma temperatura de

forma a obter-se uma função transferência do permutador de calor em estudo. As

funções transferência podem ou não apresentar atraso, o que se descobrirá através de

um ensaio. Sendo assim, a função transferência pode apresentar os seguintes aspetos.

𝐺𝑝 =𝐾𝑝

𝜏𝑝𝑠 + 1 (4.1)

𝐺𝑝 =𝐾𝑝

𝜏𝑝𝑠 + 1𝑒−𝜃𝑠 (4.2)

Sendo θ o tempo que o sistema demora a responder a uma variação imposta ao

sistema. Existem funções transferência de ordem maior, como de segunda ou terceira,

mas a obtenção de modelos destas é mais complexo para um sistema tão simples como

o permutador de calor.

Os dados deste ensaio foram recolhidos de 3 em 3 minutos, em que o caudal de

fluido quente seria de 4,6 L/min e o caudal de fluido frio foi de 2,5 L/min. Este caudal foi

escolhido de forma a não danificar o permutador de calor. O caudal de fluido frio foi a

entrada escolhida, escolhendo-se a temperatura de entrada do fluido quente como a

saída. Note-se que a escolha desta temperatura como saída prende-se com esta

temperatura se correlacionar diretamente com a resistência. Aplicou-se então o método

dos mínimos quadrados nos dados recolhidos, permitindo assim a obtenção dos

parâmetros da função transferência.

Ferreira, R.

51

Tabela 4.1- Valores obtidos para o ensaio em malha aberta.

t (min) C1 (ºC) C2 (ºC) C3 (ºC) C4 (ºC) F1 (ºC) F2 (ºC) F3 (ºC) F4 (ºC)

0,0 15,2 15,2 15,1 15,1 15,0 14,9 14,7 14,6

3,0 26,7 24,4 23,9 21,9 18,0 16,5 15,6 13,9

6,0 31,0 30,5 28,6 26,6 12,0 19,5 16,7 13,9

9,0 32,0 31,0 29,6 27,6 22,0 19,9 17,0 13,9

12,0 34,3 32,8 30,3 28,1 23,0 20,5 17,4 14,0

15,0 34,9 33,2 31,7 29,5 23,0 20,6 17,5 14,0

18,0 35,2 32,6 32,0 29,8 24,0 20,8 17,6 14,0

21,0 35,3 32,7 32,2 29,8 24,0 20,9 17,6 14,0

24,0 35,5 33,8 32,3 30,0 24,0 21,0 17,6 14,0

27,0 35,6 34,0 32,5 30,0 24,0 21,0 17,7 14,0

30,0 35,7 34,1 32,5 30,1 24,0 21,1 17,8 14,0

33,0 35,7 34,1 32,7 30,1 24,0 21,1 17,8 14,0

36,0 36,0 34,3 32,8 30,3 24,0 21,1 17,8 14,0

39,0 36,0 34,4 32,8 30,4 24,0 21,2 17,9 14,0

42,0 36,0 34,4 32,8 30,4 24,0 21,3 17,9 14,0

Aplicando então o método dos mínimos quadrados e traçando os pontos

resultantes obteve-se então os resultados apresentados na tabela 4.2 e na figura 4.1.

Tabela 4.2- Tabela que relaciona os valores experimentais com os valores obtidos através do método dos mínimos quadrados.

t (min) C1 (ºC) ŷ erro2

0,0 15,2 15,2 0,0

3,0 26,7 25,7 0,9

6,0 31,0 30,8 0,0

9,0 32,0 33,3 1,7

12,0 34,3 34,5 0,0

15,0 34,9 35,1 0,0

18,0 35,2 35,4 0,0

21,0 35,3 35,5 0,0

24,0 35,5 35,6 0,0

27,0 35,6 35,6 0,0

30,0 35,7 35,6 0,0

33,0 35,7 35,6 0,0

36,0 36,0 35,6 0,1

39,0 36,0 35,6 0,1

42,0 36,0 35,6 0,1 Soma 3,2



52

Figura 4.1- Método dos mínimos quadrados aplicado.

O primeiro parâmetro que pode se obter através da observação destes dados é o

atraso, sendo que este é impercetível, sendo por isso desprezável. A obtenção dos

restantes parâmetros, utilizou-se o solver do programa Excel, de forma a aplicar o

método nos mínimos quadrados, alterando o valor de Kp (ganho do processo) e de τp

(constante de tempo do processo), diminuindo assim o erro quadrático, tendo-se obtido

valores de 8,2 ºC para o Kp e 4,1 minutos para o τp.

𝐺𝑝 =8,2

4,1𝑠 + 1 (4.3)

O propósito deste ensaio é o de minimizar o erro quadrático de forma a ser

possível afirmar que a dinâmica do permutador de calor é de primeira ordem e que se

podem realizar aproximações desta ordem de grandeza para os ensaios seguintes,

levando a uma compreensão melhor do processo.

4.3. Controlo PID

4.3.1. PID Hardware

Numa primeira fase do trabalho, foi testado o controlo através de um PID de

Hardware. Neste controlo foram implementadas mudanças aos setpoints da

temperatura de saída do fluido frio e, houve alguns ensaios, que as mudanças foram

impostas aos setpoints de temperaturas intermédias do fluido quente.

Nesta primeira fase tinha-se como intuito de verificar como o sistema se

comportava com parâmetros de PID escolhidos, quando existia uma mudança de

setpoint, de forma a obter-se os parâmetros ideais do controlador PID para este

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0

T (º

C)

t (min)

MMQ

C1 (ºC)

MMQ

Ferreira, R.

53

equipamento. Com a assistência do programa MATLAB, versão 2010b, numa primeira

fase, e posteriormente a versão 2017a, foi possível de montar o seguinte modelo

simulink.

Figura 4.2-Simulink criado de forma a adquirir dados, utilizando como placa de aquisição a PCL-813 da

Advantech.

No modelo simulink representado pela figura 4.2 encontram-se a placa de

aquisição de dados, vários subsistemas, vários scopes e ainda uma caixa que permite

enviar os dados para a janela de comandos. Nos subsistemas estão então a calibração

dos termopares, e a sua conversão de diferença de potencial para temperatura, sendo

que os valores de cada subsistema se encontram em anexo, sendo estes valores o

declive da reta de calibração e a ordenada na origem. A utilização de um PID hardware

descarta a necessidade de ser necessária a utilização de uma placa de saídas, deixando

o simulink bastante mais simples. Este modelo foi realizado no MATLAB 2010b. O PID

utilizado nos ensaios de hardware foi o West 3500.

No capítulo 3 apresentou-se a descrição do sistema, sendo que o fluido frio advém

de uma fonte externa, diretamente ligada a rede de abastecimento de água. Assim

sendo, é bastante difícil conseguir a mesma temperatura inicial. Com isto em mente, a

exposição de resultados deste capítulo tenta-se comparar as evoluções da dinâmica

para as mesmas variações de setpoint.



54

Figura 4.3- O hardware utilizado para os ensaios.

4.3.1.1 Ensaio 1

As primeiras mudanças impostas ao sistema foram variações de setpoint à

temperatura de saída do fluido frio, utilizando um PID com um tempo integral (τI) de 2

minutos, um tempo derivativo (τD) de 45 segundos e uma banda proporcional (PB) de 4

(sendo que a banda proporcional é um termo abordado no subcapítulo 2.18). A primeira

mudança imposta foi um aumento no setpoint em 4 ºC, apresentado de seguida os

resultados obtidos em contracorrente e cocorrente.

Tabela 4.3- Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 1.

PB 4%

τI 2 minutos

τD 45 segundos

Variação de setpoint 4 ºC

De notar que todos os ensaios realizados, a bomba do fluido quente se encontrava

no mínimo, isto é, 1300 rpm e um caudal de 4,6 L/min. A utilização do caudal da bomba

no mínimo advém da necessidade de maximizar a transferência de calor.

Em cada ensaio tentou-se apresentar os dois modos de funcionamento,

cocorrente e contracorrente, com os mesmos parâmetros de PID e a mesma variação

de setpoint. Os resultados deste primeiro ensaio encontram-se na figura 4.4 e 4.5.

Ferreira, R.

55

Figura 4.4- Perfis de temperatura no ensaio 1 em contracorrente.

Figura 4.5- Perfis de temperatura no ensaio 1 em cocorrente.

Antes de analisar as figuras 4.4 e 4.5 é necessário falar nas extremidades do

problema. Assim sendo, atendendo aos princípios termodinâmicos aplicados nos

permutadores de calor, num permutador a funcionar em contracorrente, a temperatura

de saída do fluido frio é, no máximo, igual a temperatura de entrada do fluido quente,

enquanto que num permutador em funcionamento em cocorrente a temperatura de

saída do frio é, no máximo, igual a temperatura de saída do quente.



56

Os resultados obtidos vão de encontro ao que foi dito anteriormente, visto que,

ao analisar as duas figuras anteriores é possível de se notar que, em que ambos os

ensaios tinham um setpoint de 22 ºC, o ensaio em contracorrente consegue estar mais

perto desse valor.

Uma observação que se pode fazer em relação aos dados experimentais, no

ensaio em cocorrente, é que a temperatura de saída do fluido frio está abaixo das

temperaturas anteriores. O motivo prende-se com a forma de como se obtém os valores

de temperatura na instalação. De forma a retirar os valores é necessário esperar que a

tubagem aqueça, dado que, os sensores estão diretamente a retirar a temperatura da

tubagem. O ensaio em cocorrente aqui exposto na figura 4.5 ocorreu quando existiu

uma troca de funcionamento do permutador de calor, isto é, acabou-se um ensaio em

contracorrente, deixando-se arrefecer o sistema, e passando para um sistema em

cocorrente, sendo que a entrada da água passa a ser a saída da água. Assim é

necessário esperar que a tubagem, que está a uma temperatura abaixo que as outras,

aqueça ao valor da temperatura da água. Isto também explica a súbita diminuição da

temperatura de entrada de água, que deveria ser constante.

De notar que, como é possível de reparar nas figuras 4.4 e 4.5, as duas imagens

contêm bastante ruído. A explicação encontrada para este fenómeno prende-se pela

utilização de placas de obtenção de dados em diferença de potencial (ddp). Além de a

captação dos dados ser em ddp, existe outra razão para o ruído existente nos dados,

sendo esta a utilização de captação de 50 dados por cada segundo de experiência.

Utilizou-se então uma média dos valores captados, em que poderá ocorrer oscilações

em relação aos valores obtidos. A seguir apresenta-se a figura 4.6 em que esta retrata

o comportamento do fluido em que se incidiu controlo.

Ferreira, R.

57

Figura 4.6- Perfis de temperatura de saída do fluido frio.

Nomeadamente ao controlo aplicado ao sistema, como se pode ver, nenhum dos

dois acaba por ficar no setpoint pretendido. Isto acontece devido as limitações do

hardware, em que este apenas trabalhava na gama das unidades, arredondando os

valores nas casas decimais. Como é possível de ver, o controlador assume que valores

na ordem dos 21,5 ºC são 22 ºC. Assim sendo, o controlo não é tão preciso quanto era

expectável. Além destes arredondamentos, o outro facto que contribui para este

arredondamento é o facto de se trabalhar em banda proporcional e não com ganho

proporcional. Isto será uma premissa para o resto dos resultados deste capítulo. Além

destes valores, o mesmo se pode observar no início do ensaio, em que a diferença de

setpoint acaba por ser maior que o desejado.

Relativamente aos parâmetros do controlador, estes criam oscilação ao sistema

de controlo. Dado que se está a realizar controlo a um sistema próximo de primeira

ordem é necessário olhar para a função de transferência geral do sistema.

Considerando que não existe atrasos, a função transferência do processo resume-se a

equação (4.1).

Considerando então o esquema geral de um sistema deste tipo, expresso na

figura 4.7.



58

Figura 4.7- Esquema geral de problemas de controlo.

Dado que apenas se está a considerar um problema servo (não se está a contar

com perturbações, ou seja, apenas existe a mudança de setpoint) o Gd é igual a zero.

Além esta simplificação, outras simplificações para o sistema foram realizadas. O Km, a

constante do valor medido, e o Gm, a função transferência do sinal medido, têm valor de

1, e não se possui uma válvula, no entanto, possuiu-se uma resistência, que funciona

como atuador. O Gv é proveniente da resistência, mas, de forma a simplificar o modelo,

não se considerou a função transferência do atuador. O Gp e o Gc são, respetivamente,

a função transferência do processo e do controlador. Assim sendo, a função

transferência simplificada do problema servo, já com as simplificações descritas

anteriormente, encontra-se descrito na equação (4.4).

𝑌

𝑌𝑠𝑝=

𝐺𝑐𝐺𝑝

1 + 𝐺𝑐𝐺𝑝 (4.4)

Desenvolvendo isto, com a função transferência geral do PID proveniente da

equação (2.11), em que esta equação é transformada para a variável s através das

transformadas de Laplace, fica-se então com

𝑌

𝑌𝑠𝑝=

𝐾𝑐𝐾𝑝(𝜏𝐷𝜏𝐼𝑠2 + 𝜏𝐼𝑠 + 1)

(𝜏𝑝 + 𝐾𝑐𝐾𝑝𝜏𝑝)𝜏𝐼𝑠2 + (1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝)𝜏𝐼𝑠 + 𝐾𝑐𝐾𝑝

(4.5)

Observando a função transferência do sistema e, sabendo que as oscilações são

provocadas pelo termo em s, o termo de primeira ordem, (isto para sistemas de segunda

ordem, como é o caso), é possível de se verificar que os parâmetros do controlador que

estão diretamente ligados a esta oscilação são o ganho proporcional e a constante

integral. Nos ensaios seguintes, nomeadamente quando existe variações dos valores

destes parâmetros, é possível de confirmar quais os parâmetros que criam estas

oscilações.

Ferreira, R.

59

No mesmo âmbito, foi feito mais 2 ensaios com mudanças de setpoint de 3 e 2 ºC.

Não foi realizado as mudanças de setpoint para 1 ºC visto que não houve tempo para

realizar este tipo de ensaio.

4.3.1.2. Ensaio 2


PB 4%

τI 2 minutos

τD 45 segundos


Figura 4.8- Perfis de temperatura do ensaio 2, tanto em contracorrente como cocorrente.




60

Quando se olha para as figuras do primeiro ensaio, figuras 4.4 e 4.5, e se compara

com as figuras do ensaio dois, figura 4.8 e 4.9, é possível de notar uma diferença no

sistema. Essa diferença é relativa a oscilação presente nos dois modos de

funcionamento do permutador de calor.

No primeiro ensaio, o sistema que funciona em cocorrente apresenta menor

oscilação, enquanto que neste ensaio o funcionamento em contracorrente apresenta a

menor oscilação. Quando existir a mudança do tempo integral para um valor mais abaixo

consegue-se perceber que o natural é haver uma maior oscilação quando o

funcionamento é feito em cocorrente. No entanto, de forma de explicar o que ocorreu é

através do caudal de fluido frio. No primeiro ensaio o caudal de fluido frio em cocorrente

era de 1,15 L/min enquanto que em contracorrente era de 1,40 L/min. Olhando mais

uma vez a equação (4.5), e sabendo que o caudal do fluido frio influência o ganho do

processo, consegue-se concluir que com um Kp mais baixo, a oscilação diminui. Neste

ensaio os caudais já foram iguais, cerca de 1,40 L/min, fazendo com que o

funcionamento em cocorrente apresente uma maior oscilação.

4.3.1.3. Ensaio 3


PB 4%

τI 2 minutos

τD 45 segundos


Figura 4.10- Perfis de temperatura do ensaio 3, tanto em contracorrente como cocorrente.

Ferreira, R.

61


Como seria de esperar, as diferenças entre os ensaios são bastante pequenas.

Existe uma oscilação característica entre eles, devido aos tempos integrais e dos

ganhos dos processos. Como foi dito anteriormente, estes ensaios realizaram-se com

um caudal de fluido frio de 1,40 L/min. O ensaio em cocorrente apresenta um

comportamento diferente do expectável, no entanto, isto pode-se dever a escala da

figura, o que faz sobressair o ruído da mesma. Ao analisar as oscilações dos ensaios

em cocorrente e em contracorrente, é possível de se reparar que a oscilação em

cocorrente é maior.

4.3.1.4. Ensaio 4

Após a obtenção destes dados, procedeu-se a alteração dos parâmetros do PID

e comparou-se os resultados obtidos. Os estudos realizados foram feitos com caudais

de 1,40 L/min de caudal frio e no modo de funcionamento em contracorrente. Nestes

ensaios apresenta-se apenas os resultados obtidos de um modo de funcionamento e

compara-se com os ensaios acima descritos, devido a falta de tempo para realizar em

cocorrente.

Nesta primeira alteração de parâmetros aumentou-se o tempo integral de 2

minutos para 5 minutos, com o intuito de se poder tirar conclusões em relação a

influência que este parâmetro tem no processo. Esta alteração foi feita para uma

mudança de setpoint em 3 ºC.



62


PB 4%

τI 5 minutos

τD 45 segundos


Figura 4.12- Perfis de temperatura para o aumento do tempo integral.

Figura 4.13- Perfil de temperatura de saída do fluido frio quando existe mudança do tempo integral.

Ferreira, R.

63

A alteração realizada no tempo de integração trouxe benefícios ao comportamento

do sistema. Assim, as oscilações que eram características do sistema com o PID que

possuía um tempo integral mais baixo diminuíram bastante, sendo quase impercetíveis.

Assim sendo, pode-se afirmar que, com o aumento do tempo integral, as oscilações

serão cada vez menores, ou nulas. Atendendo então a equação (4.5) é possível de

afirmar que com o aumento do tempo integral o termo de primeira ordem da equação,

(1 + 𝐾𝑐𝐾𝑝)𝜏𝐼, aumenta, o que aumenta o ξ, em que o ξ representa o fator de

amortecimento, sendo este o fator diretamente ligado as oscilações, o que permite com

que as oscilações presentes sejam bastante baixas. Dado a resposta do sistema, este

ξ apresenta um valor abaixo de 1, mas bastante próximo de 1, visto que, quando este

parâmetro da dinâmica é 1, não existem oscilações, estando o sistema criticamente

amortecido.

A desvantagem do aumento do tempo integral reside no aumento do tempo de

resposta do sistema em relação a alteração realizada. Na figura 4.10, na zona do

sistema em contracorrente, é possível de reparar que o sistema chega a valores mais

altos muito mais cedo, cerca dos 500 segundos, enquanto que, na figura 4.12, pode-se

observar que, com um tempo integral maior, demora mais tempo a chegar aos mesmos

valores. Em suma, este aumento traz o benefício de retirar as oscilações presentes no

sistema, mas cria problemas de velocidade no mesmo. Esta alteração é benéfica em

sistemas que as oscilações são prejudiciais ao funcionamento e segurança do sistema.

Dado o aumento do tempo integral, é possível de se notar uma inversão de

resposta, isto é, uma variação dos valores das temperaturas inversa ao pretendido, no

início do ensaio. Atendendo mais uma vez a equação (4.5), é possível de afirmar que o

aumento do tempo integral cria um zero positivo na equação, dado que a origem desta

inversão de resposta esta relacionada com os zeros da equação (os zeros estão

diretamente ligados ao numerador, enquanto que os polos estão diretamente ligados ao

denominador)

De forma a poder-se ter um sistema criticamente amortecido seria necessário

aumentar mais um pouco o valor do tempo integral do PID. Nos primeiros ensaios, a

oscilação é bastante acentuada, sendo mesmo de prever a necessidade de um aumento

do tempo integral de forma a retirar parte desta oscilação.

4.3.1.5. Ensaio 5

A alteração feita de seguida foi a diminuição do tempo integral para valores abaixo

dos 2 minutos. Como no caso anterior, e como foi explicado no início deste ponto,

apenas se pode realizar ensaios para o modo de funcionamento em contracorrente.



64


PB 4%

τI 50 segundos

τD 45 segundos


Figura 4.14- Perfis de temperatura para a diminuição do tempo integral.

Figura 4.15- Perfil de temperatura de saída do fluido frio quando existe uma diminuição do tempo integral.

Ferreira, R.

65

Com a diminuição do tempo integral, neste caso para 50 segundos, o sistema

começa a ter um comportamento bastante oscilatório. Assim sendo, devido a este

comportamento, o sistema não consegue estabilizar no valor de setpoint ao fim de uma

hora. Isto é particularmente mau para indústrias que não podem possuir oscilações de

temperatura tão grandes num permutador, quer por questões de segurança, quer por

questões de qualidade do produto. Além deste ensaio, ainda se realizou um em que se

tentou colocar um PD, um controlador sem tempo integral, no sistema físico. No entanto,

devido a limitações do hardware, o mais baixo possível que nos foi permitido chegar foi

aos 10 segundos de tempo integral.

4.3.1.6. Ensaio 6


PB 4%

τI 10 segundos

τD 45 segundos


Figura 4.16- Perfis de temperatura para o tempo integral a 10 segundos.



66

Figura 4.17- Perfil de temperatura de saída do fluido frio quando existe uma diminuição do tempo integral.

Este ensaio é um ensaio difícil de perceber. Ao analisar a figura 4.16, é possível

de reparar que, quando se trata do fluido quente, o sistema possuiu uma oscilação que

quase mantém a sua amplitude. Este tipo de resposta é característica quando um

sistema está no limiar da estabilidade, isto é, quando existe uma oscilação que não

aumenta, nem diminui, de amplitude. Isto é característico de sistemas em que se

pretende sintonizar o controlador.

No entanto, no fluido frio, o sistema aparenta não ser estável, aumentado a

amplitude da oscilação. A explicação plausível para isto era o fornecimento de calor

proveniente de outra fonte, neste caso, a luz solar a incidir na tubagem. Esta hipótese

torna-se mais plausível quando se analisa a figura 4.16 e consegue-se perceber que

começa a não haver uma diferença de temperatura entre C1, C2 e C3. Assim sendo,

não existe então passagem de calor entre o fluido quente e o fluido frio em dois pontos

de tomada de valores. O comportamento que o sistema deveria de funcionar seria igual

ao comportamento descrito em C1, dado que, C1 está diretamente ligado a resistência.

Os resultados obtidos nos ensaios 5 e 6 encontram-se dentro do expectável, visto

que o tempo integral é algo fundamental para o controlo de equipamentos. Estes

ensaios foram apenas uma forma de demonstrar parâmetros que não funcionariam

numa instalação industrial

4.3.1.7. Ensaio 7

Uma vez testado a diminuição do tempo integral, procedeu-se a retirar o tempo

derivativo. Neste ensaio, deixou-se o tempo integral em 2 minutos.

Ferreira, R.

67


PB 4%

τI 2 minutos

τD 0 segundos


Figura 4.18- Perfis de temperatura para um PI.

Figura 4.19- Perfil de temperatura de saída do fluido frio quando se utiliza um PI no sistema.



68

Quando se observa este ensaio, consegue-se perceber que sem o tempo

derivativo, existe um aumento no tempo de estabilização do sistema, sendo que este

não estabiliza ao fim de 1 hora. Assim sendo, comparando este ensaio com o primeiro

ensaio, conclui-se que, sem a parte derivativa, o sistema torna-se mais lento a

estabilizar, com tempos integrais na ordem dos 2 minutos. Portanto, para este sistema

é preferível a utilização de um PID de forma a diminuir o tempo de estabilização.

4.3.1.8. Ensaio 8

O seguinte ensaio foi um aumento do tempo derivativo. Para tal, utilizou-se o

tempo integral nos 2 minutos e aumentou-se o tempo derivativo para 2 minutos. Os

resultados são apresentados nas figuras 4.20 e 4.21.


PB 4%

τI 2 minutos

τD 2 minutos


Figura 4.20- Perfis de temperatura para tempo derivativo de 2 minutos.

Ferreira, R.

69

Figura 4.21- Perfil de temperatura de saída do fluido frio para o aumento do tempo derivativo.

Como é possível de se observar, existe uma inversão de resposta no sistema

proposto. Assim sendo, e olhando uma vez mais a equação (4.5), o aumento do tempo

derivativo cria então um zero positivo, se o tempo integral for igual ao que foi utilizado

nos primeiros ensaios. Além desta inversão de resposta, também é possível de se

verificar que existe uma oscilação maior que nos ensaios anteriores, dado que, até a

passagem de uma hora, o sistema ainda não tinha estabilizado. Concluindo então os

ensaios em relação ao tempo derivativo, é bastante mais propício, possuir tempos

derivativos pequenos associados a tempos integrais com valor na ordem dos 2 minutos.

4.3.1.9. Ensaio 9

Os últimos ensaios realizados com o PID de hardware foi a uma diminuição da

banda proporcional e o controlo a um ponto intermédio do sistema, mais concretamente

o C3. Atendendo a equação característica da banda proporcional, diminuir esta resulta

num aumento da constante de proporcionalidade. A diminuição realizada foi a passagem

de 4 para o valor de 2, mantendo o tempo integral em 2 minutos e o tempo derivativo

em 45 segundos, valores idênticos aos utilizados nos primeiros ensaios.

Tabela 4.11 Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 9.

PB 2%

τI 2 minutos

τD 45 segundos




70

Figura 4.22- Perfis de temperatura para a diminuição da banda proporcional para 2.

Figura 4.23- Perfil de temperatura de saída do fluido frio para a diminuição da banda proporcional.

O aumento do setpoint foi de 2 ºC. Quando se analisa as figuras, nota-se logo que

existe uma oscilação maior. Este fenómeno relaciona-se com o aumento do ganho

proporcional no sistema, tornando assim o ξ mais pequeno.

4.3.1.10. Ensaio 10

O controlo realizado em C3 teve como parâmetros uma banda proporcional de 2,

um tempo integral de 2 minutos e um tempo derivativo de 45 segundos.

Ferreira, R.

71

Tabela 4.12- Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 9, numa toma de temperatura intermédia,

C3.

PB 2%

τI 2 minutos

τD 45 segundos


Figura 4.24- Perfis de temperatura para o controlo a C3.

Figura 4.25- Perfil de temperatura de C3.



72

Como se pode ver, não existe nenhuma diferença entre este e o ensaio de

diminuição da banda proporcional, ensaio 9. Assim, o que foi dito no ensaio anterior é

perfeitamente válido para este ensaio, concluindo-se assim os ensaios com o PID

hardware. De notar que C2, em determinados pontos, possui valores maiores que C1.

A explicação deste facto prende-se, uma vez mais, por se estar a trabalhar com

voltagem, em que, como explicado anteriormente, este método de trabalho possui a

desvantagem de existir ruído nos dados recebidos. Com estas informações, acredita-se

que, estes valores de C2 que estão maiores que C1 tem origem no ruído dos valores e

não em nenhum fenómeno fora do sistema.

4.3.2. PID Software

Seguiu-se então os ensaios com um PID criado num software, software esse com

o nome de MATLAB. Utilizou-se a versão de MATLAB 2017a para esta tarefa, em que

se criou um simulink, ferramenta do MATLAB, de forma a poder-se receber os dados e

controlar o sistema físico. O simulink criado apresenta-se na figura a seguir.

Figura 4.26- Simulink criado para a simulação de um PID.

Explicando a figura atrás, a figura 4.26, foi necessário simular um modelador de

sinal, um PWM (Pulse-Width Modulator), de forma a conseguir-se ligar diretamente o

computador, com o software, à resistência. Para tal, utilizou-se um sinal em forma

triangular para ser possível realizar o que pretendía. Como se pode ver pela figura, na

zona do controlador, colocou-se um interruptor ligado ao PID e a uma constante. Este

interruptor serve para elevar a temperatura até valores próximos do setpoint, caso o

valor deste seja elevado, para de seguida passar para o controlo pelo PID, e o mesmo

está manual porque a sua utilização foi pequena, mas, caso o sistema dependesse

desta mecânica, como sistemas industriais, seria recomendável passá-lo para

automático, em que a troca de sinal seria controlada através da diferença do setpoint

Ferreira, R.

73

com o valor medido (caso a diferença fosse grande, o sinal que atuaria seria a constante

e se a diferença fosse pequena passaria para o PID).

O sinal utilizado foi um sinal sintetizado por ondas quadradas de 0 e 1. O PID

apenas dá um valor, em que este corresponde a percentagem de tempo em que a

resistência esta ligada. O tempo posto para cada ciclo de ondas quadradas é de 128

segundos. Após esta modulação do sinal, este passa para um sinal boolean, isto é, uma

transformação da onda para um sinal de verdadeiro ou falso. Assim sendo, quando o

sinal é 1, este considera como verdadeiro e faz com que a resistência esteja ligada.

Consequentemente, quando o sinal é 0, o boolean considera falso e desliga a

resistência. Utilizaram-se as placas de saídas digitais e a de entradas analógicas, para

os mesmos subsistemas, em que estes permitem a conversão de sinais para

temperatura descritos em anexo. Os setpoints são colocados através do signal builder

e os restantes elementos expressos na figura 4.26 apenas servem para observação, em

tempo real, do comportamento do sistema.

Retomando o que foi dito em pontos anteriores, o intuito destes ensaios foi de

comprovar os parâmetros sintonizados do PID hardware e de se conseguir implementar

um PID neste sistema físico através do MATLAB. De forma a conseguir-se prosseguir

com o trabalho foi necessário trocar de placas de aquisição de dados e utilizar uma

placa de saídas digitais, tendo sido trocado para as placas da National Instruments

referidas no capítulo 3, no ponto da descrição do sistema.

4.3.2.1. Ensaio 1

No início, tentou-se utilizar os parâmetros utilizados no PID de hardware. No

entanto, existiram várias dificuldades na implementação destes parâmetros. Ao longo

de ensaios de uma hora, uma hora e meia e duas horas, o sistema não estabilizava,

apresentado subidas de temperatura que estragavam o funcionamento da instalação.

Quando se colocou os parâmetros do PID neste sistema não se entrou em conta com

os ganhos proporcionais que viriam da modelação do sinal que chegaria a resistência.

Além disso, o PID hardware não utiliza ganho proporcional, mas sim banda proporcional,

o que não consta neste PID. Assim sendo, o ganho proporcional que se sintetizou foi de

0,01. Como o sistema aparenta ser bastante simples, procedeu-se a utilização de um

PI, com tempo integral de 2 minutos. Os primeiros ensaios foram iguais aos realizados

no PID hardware, ou seja, mudança de setpoint em 4,3 e 2 ºC. Neste tipo de ensaio, foi

possível colocar duas mudanças de setpoint em cada ensaio. Tendo isto em conta, o

ensaio que existe a mudança de 2 ºC também possui uma variação de 1 ºC. Uma vez



74

mais, o que se avalia aqui é a evolução da dinâmica do sistema, devido aos problemas

da instalação referidos no subcapítulo do PID hardware (4.3.1.).


Kc 0,01 ºC

τI 2 minutos

τD 0 segundos

Variação de setpoint 4 e 3 ºC

Figura 4.27- Perfis de temperatura do primeiro ensaio com PID software, tanto em contracorrente como

cocorrente.

Figura 4.28- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o primeiro ensaio.

Ao olhar para a figura 4.27, é possível de ver que os dados acabam por possuir

muito mais ruído do que quando existia apenas a captura de dados. Isto deve-se a

mudança da placa de aquisição de dados. A nova placa, a NI 9481, é uma placa de

Ferreira, R.

75

encaixe, isto é, não se consegue enroscar os fios a placa, criando mais ruído ao sistema.

No entanto se observar os dados da saída do fluido frio, onde incidiu o controlo é

possível de concluir que os dados recebidos não são tão lineares quanto os recebidos

pelo PID hardware. Com isto em mente, a análise feita é que no ensaio em cocorrente,

existe oscilação na segunda mudança de setpoint mas não na primeira. Isto pode-se

dever ao aumento do calor externo que chegava na tubagem, explicando o súbito

aumento na segunda mudança de setpoint. Além desta explicação, ainda existe a

possibilidade de ser dos dados recebidos pelo computador, sendo que estes traziam

bastante ruído, o que realizava as súbitas mudanças existentes neste ensaio. Por último,

o sistema pode ser instável apresentado este comportamento.

Quando se analisa o ensaio em contracorrente é possível de se ver que existe

uma oscilação que vai sendo atenuada pelo controlo aplicado pelo PID. Isto é curioso,

porque o que pode estar a acontecer é que o sistema possui mais do que uma função

transferência de segunda ordem, ou seja, a modulação do sinal apresenta mais funções

de transferência do que o de PID hardware, o que a aproximação da função (4.5) não é

possível. Outra explicação pode-se prender pelo que foi dito no paragrafo anterior, o

sistema estar mal sintonizado e estar instável, não sendo possível de afirmar isto com

um ensaio de uma hora. De forma a poder-se corroborar esta teoria teria sido necessário

realizar ensaios maiores e com apenas uma variação de setpoint. Devido a problemas

do equipamento não foi possível de realizar tais ensaios.

A diferença tão acentuada entre as duas respostas pode se dever a diferença da

constante de tempo e do ganho da função de transferência do processo, ou seja, a

função transferência própria do permutador de calor. Neste ensaio o caudal de saída do

frio era de 1,3 L/min para os dois.

4.3.2.2. Ensaio 2


Kc 0,01 ºC

τI 2 minutos

τD 0 segundos




76

Figura 4.29- Perfis de temperatura do segundo ensaio com PID software, tanto em contracorrente como

cocorrente.

Figura 4.30- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o segundo ensaio.

Ao analisar-se as duas figuras, figura 4.29 e 4.30, é possível de ver que no início

de cada arranque existe inversão de resposta por parte das duas instalações. Além da

inversão que existe, o sistema apresenta diminuições de temperatura bastante

acentuadas até a resistência começar a disparar. Esta resposta vai ao encontro da

explicação anterior, em que existem várias funções transferência juntas, ou da

explicação de que o sistema é instável com estes parâmetros. O ruído destes ensaios

é bastante grande, notando-se principalmente no ensaio em cocorrente, sendo que os

valores de temperatura de entrada de água recebidos possuem uma quantidade

bastante grande de ruído, como se pode ver na figura 4.29. As oscilações destes

ensaios são maiores porque existiu um problema na instalação que diminuiu o caudal

do fluido frio até aos 0,95 L/min.

Ferreira, R.

77

4.3.2.3. Ensaio 3

Como foi feito para o PID hardware, procedeu-se a mudança de vários parâmetros

do PID de forma a analisar-se o comportamento do sistema. Além disso, de forma a ver

a estabilidade do sinal, procedeu-se a mudanças bruscas de setpoint, de 5 ºC para cima.

Aqui, já foi possível obter-se ensaios para os dois tipos de funcionamento do permutador

de calor. A primeira análise realizada após os dados apresentados foi a mudança brusca

do setpoint. O caudal de fluido frio foi de 1,4 L/min.


Kc 0,01 ºC

τI 2 minutos

τD 0 segundos


Figura 4.31- Perfis de temperatura do terceiro ensaio com PID software, tanto em contracorrente como

cocorrente.



78

Figura 4.32- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o terceiro ensaio.

Como é visível nas figuras 4.31 e 4.32, estas mudanças súbitas no setpoint criam

bastantes dificuldades para o sistema ficar no setpoint. No entanto, a malha de controlo

criada consegue, com mais ou menos dificuldade, agarrar este setpoint em

contracorrente, enquanto que em cocorrente não consegue. No primeiro ensaio é

possível de teorizar que o sistema com mais tempo chegaria ao valor de setpoint, no

entanto é também possível de se afirmar que este sistema não é estável. Como nos

ensaios anteriores, existe bastante ruído, que já foi falado anteriormente do problema.

As alterações de setpoint realizadas foram então uma mudança de 5 ºC

inicialmente, sendo que no ensaio em cocorrente é bastante visível essa mudança. No

caso do funcionamento em contracorrente, inicialmente os valores lidos eram de 26 ºC,

por isso o setpoint em 31 ºC, mas o sistema estava em arrefecimento. Quando se ligou

o sistema para realizar o ensaio, a temperatura inicial era de 24 ºC, realizando assim

uma mudança de setpoint inicial de 7 ºC, o que é bastante. A última alteração realizada

foi uma mudança em 6 ºC.

4.3.2.4. Ensaio 4

A alteração efetuada de seguida foi o aumento do ganho proporcional para o

dobro, ou seja, para 0,02.


Kc 0,02 ºC

τI 2 minutos

τD 0 segundos


Ferreira, R.

79

Figura 4.33- Perfis de temperatura do quarto ensaio com PID software, tanto em contracorrente como

cocorrente.

Figura 4.34- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o quarto ensaio.

Dada a complexidade da função transferência, ou instabilidade do sistema, não é

claro as alterações provocadas por este aumento do ganho proporcional. No entanto,

no ensaio em cocorrente, este apresenta um comportamento mais parecido com o

comportamento do sistema com o PID hardware, em que existe uma oscilação e de

seguida, estabiliza por volta do setpoint. No ensaio em contracorrente, mesmo sendo

um ensaio com duas mudanças em setpoint, apenas na última mudança é que o sistema

estabiliza a volta do setpoint. Isto tem ocorrido em todos os ensaios apresentados,

apenas no último setpoint é que existe a estabilização do sistema. Isto pode ocorrer

devido a modulação do sinal.

4.3.2.5. Ensaio 5

A alteração realizada no ensaio a seguir foi a colocação de um tempo derivativo

no PID. A colocação deste não pode ser feito da mesma maneira que o tempo integral,



80

ou seja, colocar o valor utlizado no PID hardware. Assim sendo, o valor escolhido de

forma a tentar igualar o valor de 45 segundos foi de 0,05 segundos. O caudal de fluido

frio foi de 1,3 L/min.


Kc 0,02 ºC

τI 2 minutos

τD 0,05 segundos


Figura 4.35- Perfis de temperatura do quinto ensaio com PID software, tanto em contracorrente como

cocorrente.

Figura 4.36- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o quinto ensaio.

Com a adição do tempo derivativo começa se a notar padrões mais comuns da

resposta. Existe oscilação em relação as mudanças de setpoint. Com o tempo

Ferreira, R.

81

derivativo, e esquecendo o ruído presente nos dados recebidos, nota-se que o sistema

se torna mais estável e com uma dinâmica mais acessível de analisar. Assim sendo,

existe benefício em utilizar um sistema com um PID em vez de um PI, de forma a

estabilizar o sistema, podendo-se até afirmar que neste sistema, a estabilidade prende-

se com a utilização do termo derivativo.

4.3.2.6. Ensaio 6

Os últimos ensaios realizados foram a uma diminuição do tempo integral, num

PID, e um ensaio a controlar um ponto intermédio. O ponto intermédio escolhido foi o

mesmo que no ensaio com o PID hardware, sendo este o C3. O caudal utilizado foi de

1,4 L/min nos dois ensaios e em ambos os modos de funcionamento.

Tabela 4.18 Parâmetros do PID e variação de setpoint do ensaio 6 do PID software.

Kc 0,02 ºC

τI 100 segundos

τD 0,05 segundos


Figura 4.37- Perfis de temperatura do sexto ensaio com PID software, tanto em contracorrente como cocorrente.



82

Figura 4.38- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o sexto ensaio.

A diminuição do tempo integral permite com que o sistema tenha uma oscilação

maior em relação ao ensaio anterior. Assim sendo, este apresenta uma resposta

oscilatória, mas que no fim consegue chegar aos valores de setpoint. Estes ensaios

previram que os ensaios deveriam ter sido realizados sobre um PID e não num PI, na

sua maioria.

4.3.2.7. Ensaio 7


Kc 0,02 ºC

τI 100 segundos

τD 0,05 segundos


Figura 4.39- Perfis de temperatura do sétimo ensaio com PID software, tanto em contracorrente como cocorrente.

Ferreira, R.

83

Figura 4.40- Perfis de temperatura de saída do fluido frio para o sétimo ensaio.

Com a utilização dos parâmetros iguais aos do sexto ensaio, foi possível ter este

ensaio, que veio corroborar a hipótese proposta anteriormente, sendo esta, a utilização

de um controlador com termo derivativo a partida, de forma a estabilizar o sistema. Com

um aumento de 3 ºC no setpoint foi então possível ter um ensaio com oscilações

pequenas e que estabilizou no valor pretendido. Neste caso ainda seria benéfico

aumentar um pouco o tempo integral de forma a retirar todas as oscilações do sistema.

Idealmente, estes parâmetros deveriam ter sido os usados neste tipo de controlo.

4.4. Controlo Preditivo

Finalizando os ensaios que utilizam controladores clássicos, seguiu-se então os

ensaios com o MPC. Devido a problemas na instalação, os ensaios levados a cabo

foram apenas simulações do sistema. Assim sendo, e aplicando os conceitos do capítulo

3, colocou-se o modelo matemático no MATLAB. Como já foi referido, na última parte

da realização deste trabalho, existiram problemas com a instalação. Assim sendo não

foi possível de realizar a identificação de parâmetros do modelo, tendo sido utilizados

rotinas de um modelo geral, considerando um sistema de troca de água com água. Na

colocação do modelo no MATLAB, dada a particularidade de o MPC possuir valores

discretos, foi utilizado uma ferramenta do programa de forma a realizar a passagem do

tempo continuo para tempo discreto. Para tal utilizou-se a ferramenta c2d (em português

continuo para discreto) com um tempo de amostragem de 10. No entanto, ainda existia

a necessidade de utilizar outra ferramenta que permite com que consiga manter o valor

do tempo de amostragem para cada intervalo de amostragem, sendo este denominado

por retentor de ordem zero (ZOH). A seguir a introdução do modelo no MATLAB, abriu-

se então a ferramenta mpcDesigner do programa, de forma a sintonizar controladores

MPC para este problema de controlo. Numa segunda fase, procedeu-se a uma



84

simulação da instalação, mas com melhorias a mesma, isto é, caso existisse maneira

de controlar o valor da temperatura de entrada do fluido frio.

O modelo do sistema passou a ser descrito por uma perturbação não medida- a

temperatura de entrada do fluido frio- uma variável de entrada- o calor fornecido ao fluido

quente- e uma saída- a temperatura final do fluido frio. Nos ensaios com as melhorias,

a temperatura do fluido frio será então, uma perturbação medida. De salientar que o

calor expresso no modelo é a quantidade de calor em excesso que é necessário

fornecer ao sistema de forma a elevar a temperatura. Assim, o zero desta variável é

quando a resistência é constante, ou seja, quando esta apenas fornece calor de forma

a manter a temperatura constante.

As restrições impostas ao processo foram em relação ao calor, sendo que este

não poderia passar os 2000 W, face a limitação da resistência, e a temperatura de saída

da água fria seria no máximo a temperatura de entrada do fluido quente.

Figura 4.41- Relação do modelo matemático com as variáveis do processo.

Como explicado no capítulo 2, o controlador MPC possui dois parâmetros, o

horizonte de predição e o horizonte de controlo. Neste trabalho foram testados 6

controladores, todos eles com características próprias. O sample time de todos foi

constante (com valor de 10 segundos), sendo que os horizontes de predição e de

controlo se encontram na seguinte tabela.

Ferreira, R.

85

Tabela 4.20- Tabela com os parâmetros dos vários controladores utilizados.

Controlador Horizonte de Predição Horizonte de Controlo

MPC1 5 2

MPC2 10 2

MPC3 20 5

MPC4 2 1

MPC5 5 1

MPC6 7 2

4.4.1. Ensaio 1

Neste ensaio inicial utilizou-se como condições fronteiras a temperatura de 17

ºC para a temperatura do fluido frio e 40 ºC para temperatura do fluido quente. A

velocidade do fluido frio foi de 0,3 m/s e o do fluido quente de 0,9 m/s (utilizou-se

velocidades em vez de caudais devido a simplificação do modelo utilizado).

Figura 4.42- Perfis de temperatura em malha aberta, neste ensaio.

Com estes parâmetros, o perfil de temperatura, em malha aberta, apresenta-se

na figura 4.42. O primeiro ensaio foi feito então para um setpoint de 18 ºC.



86

Figura 4.43- Variação da entrada e da perturbação, no primeiro ensaio.

Figura 4.44-Variação da saída, no primeiro ensaio.

Neste primeiro ensaio, consegue-se perceber que, com o MPC, a estabilização

do sistema após a mudança de setpoint é substancialmente mais rápida que no controlo

convencional. Com esta alteração, e sem o acontecimento de nenhuma perturbação, foi

possível de perceber que a maioria dos MPC’s que estão em estudo atingem a

estabilidade ao mesmo tempo. Os únicos em que isso não acontece é no MPC1 e no

MPC4. A explicação para isto envolve a pouca diferença entre o horizonte de controlo e

Ferreira, R.

87

o horizonte de predição. Quanto menor esta diferença maior o tempo de estabilização,

como se pode ver na figura 4.44 (dado que a diferença do MPC4 é menor que a

diferença do MPC1). Quanto aos restantes controladores, o MPC3 e o MPC5

apresentam uma sobrelevação, no entanto mais baixa comparadas ao do MPC1 e

MPC4. No caso do MPC5, isto deve-se ao baixo horizonte de controlo, que aumenta o

esforço de controlo. Quanto ao controlador 3, este apresenta um horizonte de predição

grande. No entanto, quando se compara o horizonte de predição ao horizonte de

controlo, 4 vezes maior, é mais baixo levando a um maior esforço de controlo e

consequentemente a esta pequena sobrelevação. Por fim, os controladores 2 e 6 são

os que apresentam respostas com menor, ou nenhuma, sobrelevação. Estes

controladores seriam os mais indicados para este problema. Contudo, os MPC’s

retratados nesta figura não apresentam predição de valores, isto é, são MPC’s reativos.

Aplicando então a predição de valores neste problema, e alterando o tempo em que

ocorre a perturbação, se for ao início não é possível de se ver alterações.

A perturbação expressa na figura 4.43, neste caso a temperatura do fluido frio,

está normalizada em zero, isto é, como esta conta como uma perturbação não medida,

não é possível de atribuir valores a mesma. Assim sendo, o que está exposto na figura

4.43, e que porventura estará nas figuras das entradas do MPC, é as diferenças de

temperatura do fluido frio ao longo do ensaio.



88

Figura 4.45- Variação da entrada e da perturbação, com predição de valores.

Figura 4.46- Variação da saída, com predição de valores.

Com a predição de valores, os resultados são muito parecidos ao MPC reativo,

sendo que, as únicas diferenças residem na resposta a mudança de setpoint, sendo que

a ação de controlo se realiza antes da mudança de setpoint se realizar, e na quantidade

de calor utilizada. Com isto, a estabilização ocorre muito mais cedo que no com os

controladores reativos. Utilizando então os controladores com predição será melhor de

forma a evitar tempos altos de estabilização, sendo benéfico em vários processos deste

Ferreira, R.

89

tipo. Outro fator para o favorecimento do MPC com predição é a diminuição da

quantidade de calor necessária de forma a chegar ao setpoint. A explicação para este

facto prende-se na atuação do controlador antes da mudança de setpoint, permitindo

assim que o controlador, quando chega ao valor pretendido, deixe de atuar na

resistência.

4.4.2. Ensaio 2

No segundo ensaio procedeu-se então a um aumento de setpoint, com um

aumento da perturbação não medida, neste caso, um aumento em passo de uma

unidade. Como no ensaio anterior apresentou-se os resultados com o MPC reativo e de

seguida o MPC com a predição de valores. Os resultados apresentam-se nas figuras

4.47 e 4.48.

Figura 4.47- Variação da entrada e da perturbação, no segundo ensaio.



90

Figura 4.48- Variação da saída, no segundo ensaio

Realizando uma análise as figuras 4.47 e 4.48, concluiu-se que, com a

perturbação, não existe uma necessidade tão grande da resistência doar calor. No

entanto, devido a esta perturbação, a estabilização do mesmo ocorre muito mais tarde.

Quanto ao comportamento dos controladores, estes são bastante idênticos ao descrito

anteriormente.

Figura 4.49- Variação da entrada e da perturbação, com predição.

Ferreira, R.

91

Figura 4.50-Variação da saída, com predição.

O ensaio 2 segue a mesma lógica que o primeiro ensaio. Com a predição de

valores torna-se mais pequena a energia que a resistência necessita de dar ao sistema,

e a resposta começa a tentar chegar ao valor de setpoint antes da própria mudança.

Quanto a este ensaio, os tempos de estabilização continuam maiores devido a presença

da perturbação.

4.4.3. Ensaio 3

No próximo ensaio aumentou-se o caudal de fluido quente para o mesmo caudal

de fluido frio. Devido ao modelo, existe então a necessidade de passar para velocidade.

Assim sendo a velocidade do fluido quente possui o valor de 1,2 m/s. A velocidade do

fluido frio mantém-se em 0,3 m/s. Além desta alteração, realizou-se outra alteração as

condições fronteiras, passando a entrada do frio para o mínimo de 21 ºC e a do calor

para 50 ºC, de forma a simular a água num dia mais quente. O perfil geral deste ensaio

apresenta-se de seguida, na figura 4.51.



92


Figura 4.52- Variação da entrada e da perturbação, neste ensaio.

Ferreira, R.

93

Figura 4.53-Variação da saída, neste ensaio.

Utilizando os mesmos parâmetros MPC da tabela 4.20, é então possível de se

ver que embora exista um aumento do caudal do fluido quente, as respostas continuam

idênticas. Ao analisar estes resultados, achou-se que não seria necessário mostrar os

resultados com a predição de valores, visto que estes seriam idênticos aos

apresentados anteriormente.

4.4.4. Ensaio 4

Procedeu-se então ao seguinte ensaio, em que se aumentou o caudal de fluido

frio e colocou-se o caudal de fluido quente igual ao do primeiro ensaio. Decidiu-se

colocar uma velocidade de 0,32 m/s no fluido frio, o que equivale a um caudal de 1,5

L/min. Neste ensaio, manteve-se as condições iniciais iguais, sendo estas de 21 ºC do

fluido frio e o fluido quente de 50 ºC.



94


Figura 4.55- Variação da entrada e da perturbação, no terceiro ensaio.

Ferreira, R.

95

Figura 4.56-Variação da saída, no terceiro ensaio.

Após a análise das figuras 4.55 e 4.56, é percetível que o comportamento dos

controladores não muda, independente das mudanças que se realizam aos caudais. De

forma análoga ao ensaio anterior, não se viu a necessidade de mostrar os resultados

com predição, dado que eram idênticos aos resultados obtidos no primeiro ensaio.

4.4.5. Ensaio 5

Numa fase mais avançada do trabalho, caso fosse possível medir o valor da

água a entrada e controlá-lo, procedeu-se então a um ensaio em que o valor inicial da

água era de 26 ºC, mantendo a condição fronteira de 21 ºC, em que a resistência já teria

fornecido energia, cerca de 100 W. Além da mudança de setpoint, considera-se que

existe uma perturbação. Como tal, manteve-se as velocidades utilizadas anteriormente,

bem como a temperatura inicial da água como uma perturbação não medida, ocorrendo

uma perturbação.



96


Figura 4.58- Variação da saída, neste ensaio.

Com este conjunto de dados e de condições, torna-se bastante percetível que a

escolha do horizonte de controlo e o horizonte de predição são bastante importantes.

Caso os dois sejam demasiados baixos, existirá oscilações bastante acentuadas, o que

não será benéfico para o sistema. Por outro lado, horizontes de predição elevados criam

respostas mais lentas. O ideal seria o MPC6 que consegue ter dois termos médios com

uma resposta rápida e com pouca oscilação.

Ferreira, R.

97

4.4.6. Ensaio 6

Por fim, colocou-se então a temperatura inicial como perturbação medida. Neste

ensaio manteve-se as velocidades utilizadas no ensaio anterior, sendo os resultados

apresentados de seguida, tendo sido utilizado a predição de valores neste ensaio.


Figura 4.60- Variação da saída, neste ensaio.



98

A utilização da temperatura de entrada do fluido frio como perturbação medida

causa bastantes problemas ao sistema. Assim, pela observação das figuras 4.59 e 4.60,

é possível de reter que a ocorrência da perturbação cria problemas tão grandes ao

sistema que não é possível o sistema estabilizar ao longo dos 1000 segundos de ensaio.

O único que aparenta ter valores bastante pertos do valor de setpoint é o MPC2, visto

que este é o controlador com respostas mais lentas.

Com isto em mente, a utilização da temperatura de entrada deverá manter-se

como uma perturbação não medida de forma a melhorar o processo, tornando este

estável, com o modelo utilizado. Caso houvesse mudança do modelo, esta perturbação

poderia passar a ser uma perturbação medida.

99

Capítulo 5

5. Conclusões e Trabalho futuro

5.1. Conclusão

No presente trabalho estudou-se um problema de controlo, em que este incidia

num permutador de tubos concêntricos. No problema de controlo em questão, trabalhou-

se com três tipos de controlo. Dois deles muito parecidos, sendo a base os algoritmos

PID, enquanto que o outro bem diferente e mais complexo que os restantes, utilizando

o algoritmo de controlo preditivo baseado em modelos. Os ensaios realizados foram

ensaios físicos, tendo sido utilizado um permutador de calor da empresa Isi Impianti, de

1986.

Numa fase inicial, de forma a ter-se uma noção da dinâmica do permutador de

calor, realizou-se um ensaio sem controlo. Após a realização foi possível de concluir

que o sistema se aproximava de uma dinâmica de primeira ordem.

Os estudos que tiveram como base o algoritmo PID, sendo uma parte feita com

um equipamento físico e outro à base de um programa de computador ligado ao

sistema, mostraram diferenças entre os dois. As análises realizadas aos ensaios com o

PID hardware, equipamento físico, mostraram-se bem mais coerentes e com resultados

melhores que o PID software.

Os resultados obtidos através do PID hardware possuíam dinâmicas muito

parecidas com o previsto, enquanto que, quando se utilizou o PID software, grande parte

dos ensaios possuíam uma dinâmica diferente do expectável. No entanto, todos os

ensaios que apresentavam esta dinâmica diferente estabilizaram em torno do valor de

setpoint. Os últimos ensaios com esta modulação do algoritmo do PID já apresentavam

respostas e dinâmicas muito próximas do que seria previsto nestes ensaios. O desafio

da utilização de um software de computador para controlar um sistema físico foi

concluído com sucesso, sendo ainda necessário algumas alterações aos parâmetros do

PID de forma a obter resultados próximos do previsto. Com estes resultados, torna-se

então possível a realização futura deste tipo de resolução para problemas de controlo.

Com todos os ensaios realizados com o controlo por PID, torna-se evidente que

os melhores parâmetros para este tipo de controlo são ganhos proporcionais pequenos,

tempos integrais superiores a 2 minutos, mas menores que 5 minutos, de forma a retirar

grande parte das oscilações e que as respostas não se tornem demasiado lentas, e um

tempo derivativo perto do valor de 45 segundos.



100

Quanto aos resultados obtidos por via do MPC, foi possível de se observar que o

consumo de energia por parte da resistência diminui bastante, dada a disponibilidade

do modelo matemático. Para além disso, os controladores com valores de horizonte de

predição intermédios e de horizonte de controlo intermédios possuem respostas rápidas

e sem oscilações, o ideal para este tipo de sistemas. No entanto, existem parâmetros

deste controlador que tornam a resposta pior que a resposta do sistema com PID. Com

isto em mente, é necessária uma sintonização dos parâmetros de controlo do MPC de

forma a obter-se respostas melhores que os do controlo clássico.

Com estas simulações foi possível de perceber como um controlo por MPC

responderia para este tipo de processo. Com isto em mente, a simulação realizada só

é possível se for possível obter-se o modelo matemático do sistema. Caso não seja

possível obter-se o modelo matemático, este sistema deverá ser controlado por um PID.

De notar que o modelo usado para este MPC foi um modelo ideal. Uma maneira de

complementar estes resultados seria a identificação de parâmetros do sistema em si de

forma a conseguir-se uma simulação muito mais real ao que é aqui apresentada.

Por fim, o sistema aqui presente é um sistema muito simples, como se pode ver

pelo modelo (duas entradas, uma saída), sendo que o controlo preditivo é um tipo de

controlo muito mais complexo que pode não se adequar a este tipo de equipamento

simples. No entanto, a sua utilização melhora a resposta do sistema e melhora a

eficiência energética do mesmo. Assim sendo, o MPC deverá ser considerado para uma

fábrica com este tipo de equipamento, de forma a aumentar os lucros e as eficiências

térmicas.

Ferreira, R.

101

5.2. Desafios Futuros

Numa perspetiva futura, utilizando a instalação do permutador de calor de tubos

concêntricos aqui utilizada, possui-se como trabalhos possíveis:

• Simulação num programa dos valores obtidos dos PID de forma a comparar os

valores obtidos no sistema físico e dos valores obtidos no simulador;

• Implementação de um algoritmo de controlo preditivo no sistema físico de forma

a corroborar os valores obtidos por parte de simulação, motivando uma

comparação de valores obtidos;

• Implementação de um sistema de recirculação de água em vez da utilização

de água fornecida pela rede, motivando assim uma poupança de água e

apelando a introdução de novas variáveis do processo, restrições ou

perturbações, sendo uma simulação mais precisa de um ambiente industrial;

• Utilização de outros tipos de controlos preditivos mais avançados, como por

exemplo, controlo preditivo adaptativo ou controlo preditivo explícito, de forma

a saber se este tipo de controlo é viável para este tipo de instalação.



102

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109

B. Anexos

Apêndice A- Rotinas MATLAB

A.1.- permutadorxxx.m

% Permutador em contracorrente

% Ricardo J. Ferreira Setembro 2018

L=3; % comprimento da tubagem [m]

u=1.2; % velocidade do fluido quente [m/s]

v=0.32; % velocidade do fluido frio [m/s]

a=0.2; % coeficiente exterior de permutação [1/s]

b=0.2; % coeficiente interior de permutação [1/s]

W1=50; % condição fronteira fluido quente [ºC]

X0=21; % condição fronteira fluido frio [ºC]

nl=10; % nº de troços

dz=L/nl;

alfa=-L*a/v;

beta=-L*b/u;

A=(alfa*W1-beta*X0*exp(alfa-beta))/(alfa-beta*exp(alfa-beta));

B=beta/alfa*(X0-A);

% Curvas de estado estacionário para o valor de referência

z=0:dz:nl*dz;

wref=A+B*exp((alfa-beta)*z);

xref=A+alfa/beta*B*exp((alfa-beta)*z);

figure(1)

plot(z,xref,z,wref)



110

% Matrizes auxiliares

A1=-eye(nl)+[zeros(nl-1,1) eye(nl-1,nl-1); zeros(1,nl)];

A2=[[zeros(1,nl-1) ; eye(nl-1,nl-1)] zeros(nl,1)];

A3=eye(nl)-[zeros(1,nl); eye(nl-1,nl)];

A4=[zeros(nl-1,1) eye(nl-1,nl-1) ; zeros(1,nl)];

B1=[1 zeros(1,nl-1)]';

B2=[zeros(1,nl-1) 1]';

B3=B2;

B4=-B1;

I=eye(nl);

x0=21*ones(1,nl);

w0=50*ones(1,nl);

[t,x]=ode23s(@permodxxx,[0 200],[wref(1:nl) xref(1:nl)

W1]',[],A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,I,dz,a,b,v,u,nl,X0);

tau=100;

kh=0.2;

Ap=[(u/dz*A1-I*b) A2*b; A4*a -v/dz*A3-I*a];

Bp=[b*B1 u/dz*B2; -v/dz*B4 B3*a];

Apr=[Ap [u/dz*B2;B3*a]; [zeros(1,nl-1) 1]/tau zeros(1,nl) -1/tau];

Bpr=[b*B1 zeros(nl,1); -v/dz*B4 zeros(nl,1); 0 kh/tau];

Cpr=[zeros(1,nl) zeros(1,nl-1) 1 0];

sistper=ss(Apr,Bpr,Cpr,0);

spdisc=c2d(sistper,10,'zoh');

Ferreira, R.

111

A.2.- permodxx.m

%Permutador em contracorrente

% Ricardo J. Ferreira Setembro 2018

function yp=permodxxx(t,y,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,I,dz,a1,b,v,u1,nl,X0)

w=y(1:nl);

x=y(nl+1:2*nl);

q=y(2*nl+1);

wp=(u1/dz*A1-I*b)*w+A2*b*x+b*B1*X0+u1/dz*B2*q;

xp=(-v/dz*A3-I*a1)*x+A4*a1*w+B3*a1*q-v/dz*B4*X0;

qp=(w(nl)+200/100-q)/100;

yp=[wp ; xp ; qp];



112

Apêndice B- Calibração dos sensores

B.1. Sensor C1, subsystem 1

Figura B.1- Reta de calibração para o sensor C1.


Figura B.2 Reta de calibração para o sensor C2.

Ferreira, R.

113







114

B.5. Sensor F1, subsystem 5

Figura B.5- Reta de calibração para o sensor F1.



Ferreira, R.

115



B. Sensor F4, subsystem 8


116

C. A Apêndice C- Esquema geral

Figura C.1- Esquema geral do sistema de controlo mais a instalação.

0-10V

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