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Controlo de um Sistema de Aproveitamento da Energia

Térmica Contida nos Gases de Escape de Veículos

Automóveis

Tony Francisco Paulino

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Mecânica

Orientadores: Prof. Duarte Pedro Mata de Oliveira Valério

Prof. Mário Manuel Gonçalves da Costa

Júri

Presidente: Prof. João Rogério Caldas Pinto

Orientador: Prof. Duarte Pedro Mata de Oliveira Valério

Vogal: Prof. Hélder Manuel Ferreira Santos

Novembro 2016

Sabemos muito mais do que julgamos, podemos muito mais do que imaginamos.

José de Sousa Saramago

i

Agradecimentos

Quero agradecer a todos os que me acompanharam ao longo deste percurso e que contribuíram para

a conclusão desta etapa. Os meus sinceros agradecimentos:

Ao meu orientador Professor Doutor Duarte Pedro Mata de Oliveira Valério pelos conselhos e

orientações dados ao longo deste trabalho. Um agradecimento especial por confiar em mim dando-

me este trabalho e por estar disponível em todos os momentos.

Ao meu coorientador, o Professor Doutor Mário Manuel Gonçalves da Costa, por aceitar e apoiar o

trabalho realizado durante esta dissertação.

Ao Miguel Anselmo Fonseca Elias, por disponibilizar o modelo numérico que foi utilizado no presente

trabalho.

Aos meus amigos, Ricardo, Henrique, Pedro, Sérgio e Rita pelo apoio, amizade e espirito de

entreajuda.

Por último, mas não menos importante, a todos os meus familiares e parentes. Em especial aos meus

pais Lídia e Daniel, à minha irmã Cathy, à minha madrinha Rosália e à minha namorada Cristina pelo

apoio e compreensão inestimáveis, pelos diversos sacrifícios suportados e pelo constante

encorajamento a fim de prosseguir a elaboração deste trabalho.

ii

Resumo

Os veículos automóveis mais usados na atualidade operam com um motor de combustão interna,

responsável pela emissão de substâncias poluentes que influenciam diretamente a composição

química do ar que respiramos. O sistema de recuperação de energia contida nos gases de escape

por meio de um ciclo de Rankine orgânico é uma abordagem promissora na redução do consumo de

combustíveis, assim como as emissões de gases de escape dos motores de veículos automóveis.

Neste trabalho desenvolveram-se estratégias de controlo ℋ∞ e ℋ2 com o objetivo de rejeitar os

efeitos causados pela variação da energia térmica disponível na fonte de calor de um ciclo de

Rankine orgânico utilizado como sistema de recuperação de energia térmica em veículos automóveis.

As variações de energia referidas devem-se à variação do caudal e temperatura dos gases de

escape, de onde é recuperada a energia térmica. O controlo é essencial para garantir um

desempenho estável do sistema e evitar a deterioração do mesmo.

Os controladores desenvolvidos no presente trabalho apresentam uma boa rejeição dos efeitos

causados por perturbações de pequenas amplitudes. O controlo ℋ∞ mostra-se como mais adequado,

apresentando um desempenho superior ao controlo ℋ2.

Palavras-chave: Ciclo de Rankine orgânico; Controlo ℋ∞; Controlo ℋ2; Identificação do modelo

termodinâmico; Recuperação de energia desperdiçada

iii

Abstract

Most motor vehicles currently operate with an internal combustion engine (ICE), responsible for the

emission of polluting substances which directly influence the chemical composition of the air. The

waste heat recovery (WHR) system, for the thermal energy contained in the exhaust gases through an

Organic Rankine cycle (ORC), is a promising approach to reduce fuel consumption as well as exhaust

emissions from the engines of motor vehicles.

In this work, the ℋ∞ and ℋ2 control strategies were developed with the goal of rejecting any effects

triggered by disturbances in the thermal energy available for the ORC, commonly due to variations of

mass flow and exhaust gas temperature. Thus, control is essential to ensure a stable performance of

the system and to avoid the deterioration of the same.

The controllers developed in this work are able to reject some of the effects caused by small amplitude

disturbances. Moreover, due to a superior performance ℋ∞ control has proven to be more suitable

than ℋ2 control.

Keywords: ℋ∞ control, ℋ2 control, Organic Rankine Cycle, Thermodynamic Model Identification,

Waste Heat Recovery

iv

Índice

Agradecimentos .........................................................................................................................................i

Resumo .................................................................................................................................................... ii

Abstract.................................................................................................................................................... iii

Lista de Figuras ....................................................................................................................................... vi

Lista de Tabelas ..................................................................................................................................... vii

Lista de Símbolos .................................................................................................................................. viii

Introdução ........................................................................................................................................ 1 1

1.1 Contexto e motivação .............................................................................................................. 1

1.2 Objetivo .................................................................................................................................... 2

1.3 Estrutura da dissertação .......................................................................................................... 2

Revisão Bibliográfica ........................................................................................................................ 5 2

2.1 Recuperação da energia térmica contida nos gases de escape ............................................ 5

2.2 Controlo em sistemas de recuperação de energia térmica ..................................................... 8

2.3 Trabalhos anteriores .............................................................................................................. 10

Descrição do modelo...................................................................................................................... 11 3

3.1 Modelação dinâmica do evaporador ..................................................................................... 11

3.1.1 Representação matricial .................................................................................................... 15

3.2 Coeficientes de transferência global de calor ....................................................................... 17

3.3 Fluido de trabalho .................................................................................................................. 17

3.4 Propriedades dos gases de escape e dados de entrada ...................................................... 18

3.5 Parâmetros do ciclo de Rankine............................................................................................ 19

Identificação de aproximação linear do sistema ............................................................................ 20 4

4.1 Descrição do modelo linear ................................................................................................... 20

4.2 Identificação de um modelo linear ......................................................................................... 21

4.3 Modelo linear ......................................................................................................................... 29

4.4 Performance do modelo identificado ..................................................................................... 33

4.5 Redução do Modelo .............................................................................................................. 38

4.5.1 Procedimento para redução do modelo ............................................................................ 38

Controlo 𝓗∞ e 𝓗𝟐 ........................................................................................................................ 40 5

v

5.1 Sistema generalizado ............................................................................................................ 40

5.2 Definição das normas ............................................................................................................ 41

5.2.1 Norma ℋ∞ .......................................................................................................................... 41

5.2.2 Norma ℋ2 .......................................................................................................................... 41

5.3 Definição dos controladores .................................................................................................. 42

5.3.1 Controlador 𝑲∞ ................................................................................................................. 42

5.3.2 Controlador 𝑲𝟐 .................................................................................................................. 44

5.4 Estratégia de controlo ............................................................................................................ 44

5.5 Especificações de projeto do sistema em anel fechado ....................................................... 44

5.6 Funções de desempenho ...................................................................................................... 46

5.6.1 Particle Swarm Optimization ............................................................................................. 47

5.7 Representação no espaço discreto ....................................................................................... 47

5.8 Avaliação dos controladores desenvolvidos ......................................................................... 48

5.8.1 Modelo linear ..................................................................................................................... 48

5.8.2 Modelo não linear .............................................................................................................. 49

Conclusões ..................................................................................................................................... 52 6

6.1 Trabalhos futuros ................................................................................................................... 53

Bibliografia ............................................................................................................................................. 54

Anexo – Projeto dos controladores em MATLAB .................................................................................. 58

vi

Lista de Figuras

Figura 1.1: Consumo de energia final por região em milhões de toneladas equivalentes de petróleo [1]

................................................................................................................................................................. 1

Figura 1.2: Consumo de energia final petrolífera por sector [1] .............................................................. 2

Figura 2.1: Diagrama do sistema ORC aberto para um HICE [11] ......................................................... 7

Figura 2.2: Esquema da integração de um ORC num veículo híbrido proposto por [12] ....................... 8

Figura 2.3:Diagrama de blocos do sistema ORC e variáveis consideradas [18] .................................... 9

Figura 3.1: Ciclo de Rankine modelado [3] ........................................................................................... 11

Figura 3.2: Domínios e discretização do permutador ........................................................................... 13

Figura 4.1:Variação em degrau para os gases de escape partindo da condição de operação 3 e

aumentando em um grama por segundo .............................................................................................. 23

Figura 4.2: Comparação da temperatura de evaporação entre o modelo não linear e o modelo

identifcado (ver Tabela 4.4) quando sujeitos à variação apresentada na Figura 4.1 ........................... 24

Figura 4.3: Variação da temperatura de evaporação em torno da condição 3 para diversas variações

no caudal de gases de escape. Modelo linear (tracejado) em relação ao modelo não linear (linha

cheia). .................................................................................................................................................... 29

Figura 4.4: Comparação dos valores singulares entre o modelo de ordem total e o modelo de ordem

reduzida escolhido ................................................................................................................................. 39

Figura 5.1: Diagrama de blocos generalizado de um sistema na síntese de um controlador ℋ .......... 41

Figura 5.2: Diagrama de blocos do sistema em anel aberto com especificações de desempenho ..... 45

Figura 5.3: Perturbação nas condições dos gases de escape partindo da condição de operação 3 ... 48

Figura 5.4: Ação de controlo aplicada pelos controladores quando o modelo linear é submetido às

perturbações apresentadas na Figura 5.3 ............................................................................................ 48

Figura 5.5: Resposta do modelo linear quando submetido às perturbações apresentadas na Figura

5.3 .......................................................................................................................................................... 49

Figura 5.6: Ação de controlo aplicada pelos controladores no modelo não linear submetido às


Figura 5.7: Resposta do modelo não linear submetido às perturbações apresentadas na Figura 5.3 50

Figura 5.8: Perturbação sucessiva em degrau nas condições dos gases de escape .......................... 50

Figura 5.9: Ação de controlo aplicada pelos controladores no modelo não linear submetido às


Figura 5.10: Resposta do modelo não linear submetido às perturbações apresentadas na Figura 5.8

............................................................................................................................................................... 51

vii

Lista de Tabelas

Tabela 2.1: Variação das eficiências térmica e mecânica para diferentes ORC's [21] ........................ 10

Tabela 3.1: Correlações das propriedades termodinâmicas dos gases de escape ............................. 18

Tabela 3.2: Composição química dos gases de escape [28] ................................................................ 18

Tabela 3.3: Prestações dinâmicas do veículo para cada condição de operação (adaptado de [20]) .. 19

Tabela 3.4: Características gerais do ciclo de Rankine ([3]) ................................................................. 19

Tabela 4.1: Definição das variáveis de entrada e saída do modelo ..................................................... 21

Tabela 4.2: Valores iniciais das variáveis de entrada na condição de operação 3 e variações

aplicadas em degrau ............................................................................................................................. 22

Tabela 4.3: VAF médio de cada função identificada ............................................................................. 23

Tabela 4.4: Função com dois pólos e um zero (P2UZ) que identifica a resposta da temperatura de

evaporação apresentada na Figura 4.2 ................................................................................................ 24

Tabela 4.5: Avaliação dos modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de caudal

mássico dos gases de escape .............................................................................................................. 26

Tabela 4.6: Avaliação dos modelos lineares identificados quando aplicada uma variação da

temperatura dos gases de escape ........................................................................................................ 27

Tabela 4.7: Avaliação dos modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de caudal

mássico de fluido de trabalho ................................................................................................................ 28

Tabela 4.8: Modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de caudal mássico de

gases de escape e a variabilidade dos seus parâmetros ..................................................................... 30

Tabela 4.9: Modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de temperatura de gases

de escape e a variabilidade dos seus parâmetros ................................................................................ 31

Tabela 4.10: Modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de caudal mássico de

fluido de trabalho e a variabilidade dos seus parâmetros ..................................................................... 32

Tabela 4.11: Avaliação do modelo linear identificado em relação ao modelo não linear quando

aplicada uma variação em degrau no caudal mássico dos gases de escape, partindo da condição de

operação 3 ............................................................................................................................................. 34


aplicada uma variação em degrau na temperatura dos gases de escape, partindo da condição de

operação 3 ............................................................................................................................................. 35


aplicada uma variação em degrau no caudal mássico do fluido de trabalho, partindo da condição de

operação 3 ............................................................................................................................................. 36

Tabela 4.14:Avaliação do modelo linear identificado em relação ao modelo não linear quando

aplicada uma variação em degrau simultânea no caudal mássico e na temperatura dos gases de

escape, partindo da condição de operação 3 ....................................................................................... 37

Tabela 4.15: Desempenho de 𝐺red demonstrado para diversas ordens de redução .......................... 39

Tabela 5.1: Funções ℋ∞ a minimizar .................................................................................................... 46

viii

Lista de Símbolos

Em determinadas secções, a nomenclatura utilizada pode ser específica, pelo que será designada no

respetivo texto.

𝐴 Área m2

𝐵 Binário N m

𝐹 Força N

𝐺(𝑠) Modelo linear do sistema

𝐾 Ganho proporcional —

𝐿𝑐 Gramiano de controlabilidade —

𝐿𝑜 Gramiano de observabilidade —

𝑀 Massa kg

𝑁 Velocidade de rotação do motor rpm

𝑃 Pressão Pa

𝑃𝑟 Número de Prandtl —

�� Potência térmica W

𝑅𝑑 Resistência de sujamento m2 K/W

𝑇 Temperatura K

𝑇𝑝1 Constante de tempo do pólo real —

𝑇𝑤 Constante de tempo do par de pólos complexos conjugados —

𝑇𝑧 Constante de tempo do zero real —

𝑈 Coeficiente global de transmissão de calor W/m2 K

𝑉 Volume m3

𝑐𝑝 Calor específico J/kg K

�� Caudal mássico kg/s

ℎ Coeficiente de convecção W/m2 K

𝑘 Coeficiente de condução térmica W/m K

𝑡 Tempo s

𝑢 Energia interna específica J/kg

𝑣 Velocidade m/s

𝑧 Direção longitudinal m

Caracteres Gregos

𝜌 Densidade kg/m3

𝜇 Viscosidade dinâmica N s/m2

𝜎𝐻 Valores singulares de Hankel —

𝜉 Constante de amortecimento —

ix

Subscritos

𝑒 Efetivo

evap Evaporação

𝑓 Fluido de trabalho

𝑔 Gases de escape

in Entrada do sistema

𝑘 Índice do elemento discretizado

net Útil

out Saída do sistema

𝑝 Parede

sob Sobreaquecimento

Acrónimos

BMEP Break Mean Efective Pressure

EE Erro Estacionário

HICE Hydrogen Internal Combustion Engine

LQI Linear-Quadratic Integral

LQR Linear-Quadratic Regulator

MCI Motores de Combustão Interna

MD Maximum Deviation

MIMO Multiple-Input Multiple-Output

MSE Mean Squared Error

ORC Organic Rankine Cycle

P1 Função com 1 pólo real

P2 Função com 2 pólos complexos conjugados

P1Z Função com 1 pólo real e 1 zero

P2Z Função com 2 pólos complexos conjugados e 1 zero

PI Proportional-Integral

PID Proportional-Integral-Derivative

PSO Particle Swarm Optimization

RC Rankine Cycle

SIMO Single-Input Multiple-Output

SISO Single-Input Single-Output

VAF Variance Accounted For

WHR Waste Heat Recovery

ZOH Zero Order Hold

1

Introdução 1

1.1 Contexto e motivação

O presente trabalho procura contribuir para a implementação de um sistema que visa melhorar a

eficiência energética dos veículos que utilizam motores de combustão interna (MCI) como sistema de

propulsão, através da recuperação de energia térmica contida nos gases de escape.

Uma área importante no desenvolvimento da sociedade é a energia. Na Figura 1.1 verifica-se que,

entre 1973 e 2014, o consumo de energia final global duplicou o seu valor. Esta tendência de

crescimento de consumo é explicada pelo aumento da procura e utilização dos recursos energéticos

pelas economias emergentes, entre os quais os países asiáticos.

Figura 1.1: Consumo de energia final por região em milhões de toneladas equivalentes de petróleo [1]

Na Figura 1.2 observa-se que, em 2014 o sector dos transportes representava cerca de 65% do

consumo de energia final petrolífera, revelando um aumento em cerca de 1 403 milhões de toneladas

equivalente de petróleo em relação aos dados de 1973. Dos cerca de 32 381 milhões de toneladas de

CO2 emitidos, 34% têm origem em produtos petrolíferos [1].

2

Figura 1.2: Consumo de energia final petrolífera por sector [1]

Os veículos automóveis mais usados na atualidade operam com um motor de combustão interna,

responsável pela emissão de substâncias poluentes que influenciam diretamente a composição

química do ar.

O sistema de recuperação de energia contida nos gases de escape por meio de um ciclo de Rankine

(RC – Rankine Cycle na literatura inglesa) é uma abordagem promissora na redução do consumo de

combustíveis, assim como as emissões de gases de escape dos motores de veículos automóveis [2].

1.2 Objetivo

O presente trabalho pretende contribuir para o estudo do desempenho de sistemas de

aproveitamento da energia térmica contida nos gases de escape de veículos automóveis através do

estudo de um controlador para um ciclo de Rankine orgânico (ORC – Organic Rankine Cycle na

literatura inglesa). O principal objetivo é desenvolver estratégias de controlo que permitam melhorar o

rendimento do sistema sem colocar em causa a integridade do mesmo.

Este estudo contribui para a literatura com o desenvolvimento de controlo ℋ∞ e ℋ2 com o objetivo de

rejeitar os efeitos causados por perturbações na fonte de calor do sistema de recuperação de energia

térmica. Até à data de entrega do presente documento, não se encontra documentada na literatura a

aplicação desta estratégia de controlo em sistemas de recuperação de energia térmica.

1.3 Estrutura da dissertação

A dissertação encontra-se organizada nos seguintes 6 capítulos principais:

3

Capítulo 1

Primeiramente, o tema em estudo é introduzido e enquadrado, sendo mencionados os objetivos e a

motivação da qual nasce esta investigação. Finalmente, é listada a estrutura da dissertação.

Capítulo 2

Secção onde é apresentada a revisão bibliográfica, através de citações de artigos científicos e obras

consultadas. São aqui abordados os temas principais da dissertação, isto é, os sistemas de

recuperação da energia térmica para veículos com motores de combustão interna. Segue-se a

revisão das estratégias de controlo abordadas para esse tipo de sistemas. Finalmente, são

apresentados os trabalhos que antecederam este estudo que permite um enquadramento da

dissertação ao leitor.

Capítulo 3

Breve descrição do modelo numérico utilizado na presente dissertação. O modelo foi desenvolvido

por [3] em ambiente MATLAB e simula o comportamento dinâmico do ciclo de Rankine orgânico

utilizado como sistema de recuperação da energia térmica contida nos gases de escape de um

veículo automóvel. Posteriormente, descreve-se o fluido de trabalho utilizado e as propriedades dos

gases de escape consideradas, expondo-se os parâmetros adotados para o ciclo de Rankine

orgânico.

Capítulo 4

Descrição detalhada dos processos de identificação e linearização do modelo numérico que dão

origem ao modelo linear desenvolvido no presente trabalho. Inicialmente é apresentado o modelo

linear pretendido e as condições em torno das quais o modelo é linearizado, apresentando as curvas

identificadas que revelam o comportamento do sistema. É também descrito o modelo linear médio

que será utilizado no projeto dos controladores. De seguida, o modelo linear é comparado ao modelo

não linear através de diversos índices de desempenho, descritos no próprio capítulo. Finalmente,

procede-se à redução da ordem do modelo linear identificado, descrevendo-se a abordagem e o

método de redução utilizados.

Capítulo 5

Projeto dos controladores desenvolvidos neste documento para o modelo não linear descrito no

capítulo 3. São abordados e desenvolvidos os fundamentos teóricos dos métodos de controlo ℋ∞ e

ℋ2. De seguida, são descritas as especificações de projeto para o anel fechado e a estratégia de

controlo adotada, mostrando-se as funções de desempenho que satisfazem as condições pretendidas

e descreve-se o algoritmo de PSO (Particle Swarm Optimization na literatura inglesa) utilizado para

encontrar as funções de desempenho ótimas. No fim deste capítulo são apresentados, comparados e

comentados o desempenho dos controladores desenvolvidos e implementados no modelo não linear.

4

Capítulo 6

Capítulo onde é realizado um resumo de todo o trabalho realizado e as respetivas conclusões,

seguidos de algumas sugestões para trabalhos futuros.

5

Revisão Bibliográfica 2

2.1 Recuperação da energia térmica contida nos gases de escape

O aumento do preço dos combustíveis e os limites cada vez mais reduzidos nas emissões de dióxido

de carbono aumentam o interesse em tornar os motores de combustão mais eficientes. A

recuperação da energia térmica (WHR – Waste Heat Recovery na literatura inglesa) contida nos

gases de escape de veículos automóveis através de um ciclo de Rankine destaca-se como uma

abordagem promissora na redução do consumo de combustíveis, e consequentemente, na

diminuição da emissão de gases poluentes. Os sistemas de WHR estão presentes em diversas

indústrias, tais como em centrais termoelétricas ou em navios [4].

Os veículos automóveis convertem cerca de um terço da energia do combustível em energia

mecânica útil para propulsão, gerando uma quantidade significativa de energia térmica que é

desperdiçada para a atmosfera.

A eficiência térmica de um motor moderno de combustão interna varia entre 20 a 40%, sendo que,

para um veículo ligeiro de passageiros, cerca de 33% da energia do combustível é perdida como

calor através dos gases de escape e 29% através do sistema de arrefecimento do motor. Geralmente,

a temperatura dos gases de escape varia entre 500 a 900 °C e a temperatura do líquido de

arrefecimento do motor é cerca de 100 °C. Para um motor típico de combustão interna com quatro

cilindros, a energia desperdiçada nos gases de escape varia entre 4,6 a 120 kW e o líquido de

arrefecimento contém entre 9 a 48 kW de energia térmica [5]. Estas duas fontes de energia

desperdiçada são ideais para sistemas de recuperação de energia.

O ciclo de Rankine orgânico é o ciclo termodinâmico mais utilizado em problemas de WHR de

pequena escala, devido à sua simplicidade e capacidade de operar de forma eficiente em

temperaturas baixas a moderadas. Embora nenhum método de WHR seja o melhor para qualquer

aplicação, os ORC’s apresentam um bom compromisso entre eficiência e acessibilidade para

aplicação WHR em gases de escape.

O sistema de WHR em veículos automóveis é tipicamente instalado a jusante do catalisador para

evitar prolongar o tempo necessário para atingir a temperatura de operação do catalisador (light-off

temperature na literatura inglesa) no arranque a frio, o que poderia influenciar as emissões. Ao ser

colocado a jusante do catalisador é também aproveitada a energia produzida pela conversão dos

poluentes.

Em 1976 surge a primeira aplicação de um ORC em WHR num motor a diesel de um veículo pesado

da Mack Trucks [6].

Em 1993, Oomori e Ogino [7] em parceria com a Toyota Motor Corporation, aplicaram pela primeira

vez um sistema de WHR num veículo ligeiro de passageiros. O sistema adotado efetua a

recuperação energética num motor de combustão interna utilizando o sistema de arrefecimento do

6

motor como fonte de energia para um RC. Os autores optaram por não utilizar os gases de escape

como fonte energética, uma vez que a grande variabilidade de temperatura dos gases de escape

inviabilizou a implementação de controlo do processo.

Chammas e Clodic [5] propuseram um sistema WHR usando os gases de escape e o sistema de

arrefecimento do motor como fontes de energia. Esta tecnologia é aplicada a um veículo híbrido,

aplicando a energia produzida pelo ORC diretamente no sistema do veículo.

Arias et al. [8] consideraram três estruturas de WHR para o motor a gasolina de um veículo híbrido.

As três configurações consistem em utilizar como fonte energética: apenas os gases de escape; os

gases de escape e o sistema de arrefecimento; por fim, os gases de escape e o bloco do motor. É

calculado um balanço energético para quantificar a energia disponível para cada configuração e

comparado com os resultados experimentais de um Toyota Prius de 2004 como base para as suas

simulações computacionais. Os autores concluem que a melhor configuração é aquela que utiliza o

bloco do motor para pré-aquecimento do fluido de trabalho antes do evaporador, convertendo 7,5%

de toda a energia térmica em potência elétrica.

Wei et al. [9] investigaram o desempenho de um sistema de WHR em regime estacionário sujeito a

perturbações. Gases de escape de uma turbina a gás (610-650K) são utilizados como fonte

energética de um ORC, que tem R245fa como fluido de trabalho. São estudados os efeitos da

variação do caudal mássico dos gases de escape e temperatura, caudal mássico de ar e temperatura

ambiente. Estas simulações demonstram um aumento linear da potência recuperada e eficiência do

ciclo termodinâmico com o aumento do caudal mássico e temperatura dos gases de escape. Os

autores observaram um deterioramento do desempenho do sistema termodinâmico com o aumento

da temperatura ambiente, chegando a perdas na potência líquida de 30% em relação ao valor

nominal. Este resultado realça a importância da escolha das condições nominais do ciclo em função

das condições de temperatura locais.

Em 2010, Espinosa et al. [10] recorreram a dois modelos, um de dimensão-zero com eficiências

isentrópicas e o outro modelo de dimensão-um proveniente do software comercial de simulação de

motores GT-POWER, para avaliar a melhor configuração de um sistema WHR para veículos

pesados. São considerados como fontes energéticas os gases de escape, ar de arrefecimento

(charge air cooler na literatura inglesa), recirculação dos gases de escape e o sistema de

arrefecimento do motor. Os gases de escape são a fonte de calor selecionada pelos autores pois está

disponível em todos os veículos com motor de combustão interna, sendo a mais acessível e de

menor custo. São estudados água, etanol e R245fa como fluidos de trabalho. A escolha incide sobre

o R245fa porque permite a maior quantidade de calor recuperado para um dado volume.

Os sistemas de recuperação da energia térmica desperdiçada podem também ser aplicados em

motores de combustão interna a hidrogénio (HICE – Hydrogen Internal Combustion Engine na

literatura inglesa). Yamada e Mohamad [11] propõem uma configuração única de um ciclo de Rankine

para WHR de um HICE que descarrega o fluido de trabalho (água) para a atmosfera, após a

expansão. A temperatura dos gases de escape neste caso varia entre 615K e 775 K, para

7

velocidades de rotação do motor entre 1500 rpm e 4500rpm. Neste sistema é recuperada água do

tubo de escape e filtrada antes de chegar à bomba. O coletor de escape modificado atua como

evaporador, seguido por um expansor. Na Figura 2.1 está representado o sistema ORC integrado no

veículo híbrido. Os autores simularam o ciclo com e sem condensador, chegando à conclusão que o

condensador não é economicamente viável. É estimada que a inclusão do ORC aberto leve a uma

melhoria da eficiência térmica do HICE de 2,9 a 3,7%.

Figura 2.1: Diagrama do sistema ORC aberto para um HICE [11]

A aplicação de um RC em veículos híbridos sobrealimentados surge como uma solução promissora

na redução do consumo de combustível. O fato de o motor ser sobrealimentado permite lidar melhor

com a contrapressão nos gases de escape criada pelo sistema de recuperação. A Figura 2.2

esquematiza uma possível integração do sistema de WHR num veículo híbrido, permitindo aproveitar

a energia elétrica produzida pelo RC no sistema elétrico do veículo, seja para alimentar o motor ou

armazenar essa energia em baterias, utilizando os componentes já presentes no veículo [12]. O fluido

de trabalho é pré-aquecido no bloco do motor e no sistema de arrefecimento a duas fases (2𝜑) dos

componentes eletrónicos, melhorando a eficiência do ciclo e aumentando o tempo de vida dos

componentes eletrónicos.

8

Figura 2.2: Esquema da integração de um ORC num veículo híbrido proposto por [12]

A revisão dos estudos anteriores indica que a maioria dos investigadores prefere sistemas de

recuperação da energia térmica dos gases de escape através do ciclo de Rankine (orgânico ou não)

porque oferece o melhor compromisso entre simplicidade, custo dos componentes e eficiência. A

incorporação de sistemas de pré-aquecimento deve ter em conta cada aplicação, uma vez que é

necessário avaliar a melhoria de eficiência do ciclo em relação ao aumento de custo e complexidade

do sistema.

A escolha do fluido de trabalho incide principalmente entre fluidos orgânicos e água. Para

temperaturas comuns dos gases de escape, a eficiência térmica do ciclo é semelhante para os dois

tipos de fluido de trabalho. Os fluidos orgânicos têm vantagem caso a fonte de calor seja de baixa

temperatura e a água é preferível quando a temperatura dos gases de escape é superior.

A instalação de um permutador de calor no sistema de escape pode levar a um aumento de

contrapressão nos gases de escape e, consequentemente, uma diminuição do desempenho do

motor. Endo et al. [13] integraram o evaporador do RC no cilindro do motor, reduzindo as perdas de

calor e diminuindo a contrapressão nos gases de escape.

Os sistemas reais de WHR têm um desempenho inferior ao previsto nos modelos computacionais. Os

modelos de ORC são bastante complexos, sendo necessárias algumas simplificações. Em média,

simulações otimistas preveem eficiências para o ORC entre 20 a 30%, enquanto os testes reais

apontam para eficiências na ordem dos 7 a 10% [14].

2.2 Controlo em sistemas de recuperação de energia térmica

Embora os Sistema de ORC sejam fáceis de operar, o controlo do ciclo é fundamental para garantir a

integridade do sistema, ao evitar que sejam atingidas condições indesejadas. Durante o regime

9

transiente de uma variação na fonte de calor, é importante garantir que a proporção das fases líquida

e de vapor no condensador e evaporador são mantidas dentro dos limites aceitáveis.

A investigação na área do controlo de sistemas de recuperação de energia para veículos ainda é

relativamente recente. Assim, não estando definida a estratégia ótima de controlo para este tipo de

sistemas, diversas propostas podem ser encontradas na literatura. Para regular a temperatura de

evaporação de um ORC é possível encontrar na literatura propostas de métodos de controlo

antecipativo [15,16].

Zhang et al. [17] exploram um método de controlo que combina controlo linear quadrático (LQR –

Linear-Quadratic Regulator na literatura inglesa) com controlo proporcional e integral (PI –

Proportional-Integral na literatura inglesa).

Peralez et al. [18] apresentam uma estratégia de controlo proporcional, integral e derivativo (PID –

Proportional-Integral-Derivative na literatura inglesa) melhorado através de um modelo não linear de

um sistema de WHR de um veículo pesado. O modelo não linear é obtido por identificação do

sistema. Na Figura 2.3 encontram-se as entradas e saídas do ORC consideradas e o diagrama de

blocos do sistema. O controlo PID com adição do modelo inverso manteve a temperatura de

evaporação com um desvio máximo de 1,9K em relação à temperatura desejada, melhorando o

desempenho do controlador PID original (desvio máximo de 6,5K).

Figura 2.3:Diagrama de blocos do sistema ORC e variáveis consideradas [18]

Luong et al. [19] propõem uma estratégia de controlo linear quadrático integral (LQI – Linear-

Quadratic Integral na literatura inglesa) para um sistema de RC. O controlo desenvolvido tem como

objetivo manter as pressões de evaporação e condensação nos valores desejados, por forma a evitar

danos no expansor do ORC. Foram consideradas duas configurações para o controlador LQI. A

primeira contém dois atuadores: a bomba e uma válvula à entrada do evaporador. A segunda

configuração conta com os dois atuadores anteriores e com a adição de uma segunda válvula, à

saída do evaporador. Utilizando como referência um controlador PI, o controlo LQI com dois

atuadores não obteve melhor desempenho. O controlo LQI com três atuadores conseguiu regular a

pressão com erro próximo de zero, sendo o controlador com melhores resultados.

10

2.3 Trabalhos anteriores

O presente trabalho foi precedido pelos seguintes estudos: Marques [20] caracterizou os gases de

escape de um veículo Volkswagen Sharan VR6, equipado com um motor de explosão com

sobrealimentação, para treze condições de operação. As condições de operação diferem na carga

imposta e na velocidade de rotação do motor. Os dados experimentais obtidos são utilizados na

presente tese e encontram-se na Tabela 3.3.

Domingues et al. [21] avaliaram o potencial termodinâmico dos gases de escape para um sistema de

WHR de um veículo automóvel. Os autores fazem uma análise do comportamento estacionário de um

RC, modelado em ambiente MATLAB. São estudados três fluidos de trabalho: água, R123 e R125fa.

A análise tem em conta três condições de operação (3, 9 e 13) do motor com base nos dados

experimentais obtidos por Marques [20]. O desempenho é avaliado através da melhoria das

eficiências térmica e mecânica do RC. Os principais resultados encontram-se na Tabela 2.1. A

eficiência térmica é definida como sendo a razão entre o trabalho útil produzido pelo ciclo sobre a

energia disponibilizada pelo combustível utilizado, sendo a eficiência mecânica definida como a razão

entre o trabalho útil produzido pelo ciclo e a potência efetiva produzida pelo motor.

Tabela 2.1: Variação das eficiências térmica e mecânica para diferentes ORC's [21]

Ciclo de Rankine Fluido de trabalho

Aumento da eficiência térmica [%]

Aumento da eficiência mecânica [%]

(3) (9) (13) (3) (9) (13)

Permutador ideal (𝑃𝑒𝑣𝑎𝑝 = 2MPa)

Água 2,11 2,98 3,52 15,24 15,95 15,94 R123 1,77 2,51 2,97 12,83 13,43 13,43

R254fa 1,40 1,99 2,35 10,16 10,64 10,63

Permutador de calor de carcaça e tubo (𝑃𝑒𝑣𝑎𝑝 = 2MPa)

Água 0,36 0,96 1,20 2,64 5,14 5,41 R123 0,96 1,15 1,15 6,96 6,15 5,23

R245fa 0,85 1,03 1,06 6,18 5,53 4,79

Green TurbineTM

(𝑃𝑒𝑣𝑎𝑝 = 0,52MPa) Água 0,30 0,72 0,85 2,17 3,83 3,87

Elias [3] desenvolveu um modelo numérico de um RC, incluindo as características dinâmicas

relevantes do ciclo. Este estudo avalia as consequências das perturbações no ciclo provocadas pela

variação do caudal mássico e da temperatura dos gases de escape, ou seja, variações da energia

térmica disponível na fonte de calor. As perturbações estudadas são fundamentadas pelos dados

experimentais apresentados por Marques [20]. Foi também realizada uma análise ao ciclo perante a

variação do caudal mássico de fluido de trabalho. O autor aplicou um controlador PI para manter a

pressão e temperatura de evaporação nos valores adequados, garantindo a integridade do sistema.

Os resultados indicam que é possível contrariar as perturbações observadas nas condições da fonte

de calor, controlando o caudal mássico de fluido de trabalho.

11

Descrição do modelo 3

O modelo em análise pode ser visto como um sistema com uma variável de entrada controlada e

múltiplas variáveis de saída (SIMO – Single-Input Multiple-Output na literatura inglesa). Os gases de

escape constituem a fonte de calor sendo caracterizados pela sua composição, pelas variações do

seu caudal mássico e temperatura em função do tempo, formando as entradas do modelo.

A modelação dinâmica do RC é ainda um tema pouco explorado, no entanto, de entre os trabalhos

disponíveis [3,17,22,23], conclui-se que para obter os resultados desejáveis, não é necessário que

todos os componentes do RC sejam objeto de modelação dinâmica. Na Figura 3.1 está representado

o esquema de operação do RC modelado.

Neste contexto, o modelo dinâmico do RC utilizado considera apenas a modelação dinâmica do

Evaporador. Os restantes componentes são representados por modelos de estado estacionário. Esta

opção é justificada nos casos do expansor e da bomba pela constatação de que as variações do

momento angular destes são desprezáveis face à dinâmica que se verifica no evaporador, sendo esta

a dinâmica dominante. O modelo do condensador é também um modelo estacionário, uma vez que

se pretende focar na influência que a dinâmica da fonte de calor apresenta sobre o RC.

Figura 3.1: Ciclo de Rankine modelado [3]

3.1 Modelação dinâmica do evaporador

A modelação dinâmica de sistemas é uma ferramenta valiosa na predição do comportamento do

sistema durante o arranque, durante o controlo e, em alguns casos, durante o encerramento. Um

sistema bem modelado é fundamental para avaliar algoritmos de controlo e assim minimizar o tempo

e o custo necessários na implementação dos mesmos. Na revisão bibliográfica realizada por

Bendapudi et al. [24] o modelo de fronteira móvel e o modelo discretizado são as duas formulações

12

predominantes para a modelação dinâmica do evaporador. Estas formulações diferem,

principalmente, na forma como é considerado o fluido dentro do evaporador. O método de fronteira

móvel é constituído por equações diferenciais de conservação de massa e energia. Estas equações

são integradas no espaço correspondente a três zonas do permutador onde se encontra o fluido na

fase líquida, vapor e a mistura das duas fases anteriores. A fronteira, ou seja, a localização do início e

fim de cada uma dessas zonas varia no tempo. O método discretizado difere do método anterior uma

vez que o permutador é discretizado em N elementos, sendo que as características das equações

diferenciais de conservação de massa e energia variam no tempo.

No presente trabalho, é utilizado o modelo discretizado como base para a simulação computacional.

Elias [3] afirma que, apesar da formulação alternativa (modelo de fronteira móvel) permitir simulações

mais estáveis do ponto de vista computacional, a formulação escolhida apresenta uma resposta

transiente mais fiel à realidade. Esta é uma vantagem importante tendo em conta uma futura

implementação do sistema real.

Para desenvolver o modelo discretizado computacionalmente sem perder realidade física, foram

necessárias as seguintes considerações:

Escoamento a uma dimensão, na direção axial. Apesar de existirem variações locais de

direção do escoamento causadas pela turbulência, estas vão beneficiar a transferência de calor.

Assim, é uma boa aproximação considerar a direção axial como direção dominante.

Desprezar a perda de pressão dos gases de escape ao atravessar o permutador. As perdas

de pressão do lado dos gases de escape podem influenciar negativamente o rendimento do motor, no

entanto essa perda de pressão tem influência desprezável nos coeficientes de transmissão de calor

do ciclo modelado.

Desprezar, nos tubos, a condução de calor na direção axial. O escoamento de ambos os

fluidos no permutador é suficientemente rápido para desprezar a difusão de calor no sentido axial das

paredes dos tubos.

Desprezar a resistência térmica da parede. A condutividade térmica e a área de superfície

das paredes dos tubos do permutador são elevadas, o que se traduz numa baixa resistência radial à

transferência de calor entre os dois fluidos. É possível assumir uma temperatura da parede uniforme

para cada elemento. O efeito da inércia térmica, no entanto, é contabilizado.

Desprezar a perda de calor e inércia térmica na casca do permutador. O permutador é

considerado isolado no lado da casca, isto é, assume-se que não existem perdas de calor para o

exterior. Apesar de algum calor ser absorvido pela casca, devido à sua capacidade térmica, não é

verificada uma influência significativa na resposta dinâmica do permutador. De acordo com

Bendapudi et al. [24], esta transferência de calor apresenta valores na ordem de 1% da transferência

global. Este efeito não é considerado uma vez que as dimensões do permutador do presente trabalho

são suficientemente grandes.

13

As equações seguintes traduzem a base teórica da formulação do modelo discretizado composto por

três domínios: fluido de trabalho, gases de escape e parede do permutador (ver Figura 3.2). As trocas

de calor entre domínios adjacentes são representadas por equações de balanço de energia.

Balanço de massa:

𝜕𝜌𝑓

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑓𝑣𝑓)

𝜕𝑧= 0 (3.1)

Balanço de energia ao fluido de trabalho:

𝑑

𝑑𝑡∭(𝜌𝑢)

𝑉

𝑑𝑉 +∬𝑣(𝜌𝑢 + 𝑃)

𝐴𝑜

𝑑𝐴𝑜 +∬𝑈𝑓(𝑇𝑝 − 𝑇𝑓)

𝐴𝑓

𝑑𝐴𝑓 = 0 (3.2)

Balanço de energia à parede:

𝜕

𝜕𝑡∭(𝐶𝑝𝜌𝑇)𝑝𝑉𝑝

𝑑𝑉𝑝 −∬𝑈𝑔(𝑇𝑔 − 𝑇𝑝)

𝐴𝑔

𝑑𝐴𝑔 +∬𝑈𝑓(𝑇𝑝 − 𝑇𝑓)

𝐴𝑓

𝑑𝐴𝑓 = 0 (3.3)

Balanço de energia aos gases de escape:

𝜕

𝜕𝑡∭(𝐶𝑝𝜌𝑇)𝑔𝑉𝑔

𝑑𝑉𝑔 +∬(𝐶𝑝𝜌𝑣𝑇)𝑔𝐴𝑔

𝑑𝐴𝑟 +∬𝑈𝑔(𝑇𝑔 − 𝑇𝑝)

𝐴𝑟

𝑑𝐴𝑔 = 0 (3.4)

Figura 3.2: Domínios e discretização do permutador

Rossi e Braun [25], citado em [24], desenvolveram uma discretização das equações dos balanços de

massa e energia anteriormente apresentados recorrendo ao método dos volumes finitos. Elias [3]

adaptou estas equações tendo em conta o sentido da transmissão de calor e a convenção utilizada

(ver (3.5) e (3.6)).

Balanço de massa no fluido de trabalho

𝑎𝑘𝑑𝑃

𝑑𝑡+ 𝑏𝑘

𝑑ℎ𝑓,𝑘

𝑑𝑡= ��𝑓,𝑘−1 − ��𝑓,𝑘 (3.5)

Balanço de energia no fluido de trabalho

14

𝑐𝑘𝑑𝑃

𝑑𝑡+ 𝑑𝑘

𝑑ℎ𝑓,𝑘

𝑑𝑡= ��𝑓,𝑘−1ℎ𝑓,𝑘−1 − ��𝑓,𝑘ℎ𝑓,𝑘−1 + ��𝑓,𝑘 (3.6)

Onde os coeficientes 𝑎𝑘,𝑏𝑘,𝑐𝑘 e 𝑑𝑘 são definidos por:

𝑎𝑘 = 𝑉𝑘 (

𝜕𝜌𝑓,𝑘

𝜕𝑃)ℎ𝑘

(3.7)

𝑏𝑘 = 𝑉𝑘 (

𝜕𝜌𝑓,𝑘

𝜕ℎ𝑘)𝑃

(3.8)

𝑐𝑘 = 𝑉𝑘 [ℎ𝑘 (

𝜕𝜌𝑓,𝑘

𝜕𝑃)ℎ𝑘

− 1] (3.9)

𝑑𝑘 = 𝑉𝑘 [ℎ𝑘 (

𝜕𝜌𝑓,𝑘

𝜕ℎ𝑘)𝑃

− 𝜌𝑓,𝑘] (3.10)

Balanço de energia às paredes

(��𝐶𝑝)𝑝,𝑘

𝑑𝑇𝑝,𝑘

𝑑𝑡= ��𝑔,𝑘 − ��𝑓,𝑘 (3.11)

Considerou-se, para efeitos de cálculo, que os gases de escape são um fluido incompressível e

recorreu-se ao calor específico dos gases 𝑐𝑝,𝑔 para calcular a energia. Assumiu-se, portanto, que as

variações de temperatura e caudal mássico dos gases de escape são dominantes face às diferenças

de massa dos mesmos. O balanço de energia aos gases de escape é o seguinte:

(𝑀𝑐𝑝)𝑔,𝑘

𝑑𝑇𝑔,𝑘

𝑑𝑡= (��𝑐𝑝)𝑔,𝑘

(𝑇𝑘+1 − 𝑇𝑘) − ��𝑔,𝑘 (3.12)

Quando as relações para ambos os fluidos são introduzidas para cada volume de controlo, as

equações (3.5) e (3.6), aplicadas a N elementos do permutador, resultam num sistema com 2N

equações diferenciais de primeira ordem, linearizadas, com 2N incógnitas, nomeadamente, a

pressão, N entalpias e N-1 caudais intermédios. Os caudais intermédios, isto é, caudais entre

elementos, são de pouca utilidade uma vez que não são variáveis de estado e podem ser eliminadas

algebricamente substituindo sucessivamente a equação do balanço de massa (3.5) na equação do

balanço de energia (3.6) até se obter a expressão apenas em função do caudal de entrada do fluido

de trabalho.

[(𝑐𝑘 − 𝑎𝑘ℎ𝑘) − (ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1)∑𝑎𝑗

𝑘−1

𝑗=1

]𝑑𝑃

𝑑𝑡+ (𝑑𝑘 − 𝑏𝑘ℎ𝑘)

𝑑ℎ𝑘𝑑𝑡+ (ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1)∑(𝑏𝑗

𝑑ℎ𝑗

𝑑𝑡)

𝑘−1

𝑗=1

= ��𝑓,𝑖𝑛(ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1) − ��𝑓,𝑘

(3.13)

Para fechar o sistema são necessárias mais duas equações: um balanço de massa e um balanço de

energia globais ao lado do fluido de trabalho.

(∑𝑎𝑗

𝑁

𝑗=1

)𝑑𝑃

𝑑𝑡+∑(𝑏𝑗

𝑑ℎ𝑘𝑑𝑡)

𝑁

𝑗=1

= ��𝑓,𝑖𝑛 − ��𝑓,𝑜𝑢𝑡 (3.14)

15

(∑𝑐𝑗

𝑁

𝑗=1

)𝑑𝑃

𝑑𝑡+∑(𝑑𝑗

𝑑ℎ𝑘𝑑𝑡)

𝑁

𝑗=1

= ��𝑓,𝑖𝑛ℎ𝑓,𝑖𝑛 − ��𝑓,𝑜𝑢𝑡ℎ𝑓,𝑜𝑢𝑡 −∑��𝑓,𝑗

𝑁

𝑗=1

(3.15)

3.1.1 Representação matricial

É apresentado o sistema de equações sob a forma matricial que agrupa as equações de balanço de

massa e energia. O sistema de equações seguinte representa as equações no domínio do fluido de

trabalho.

𝐴𝑓→ ⋅ 𝑋��→ = 𝐵𝑓→

(3.16)

A matriz 𝐴𝑓 é composta pelos balanços de massa e energia globais, assim como as equações de

balanço de energia dos N-1 elementos individuais. A solução da mesma permite calcular pressão e

entalpias do fluido de trabalho.

𝐴𝑓→ =

[ ∑𝑎𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑏1 𝑏2 𝑏3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑏𝑁

∑𝑐𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑑1 𝑑2 𝑑3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑑𝑁

𝑒1 𝑔1 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0𝑠2 𝑏1𝑟2 𝑔2 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0𝑠3 𝑏1𝑟3 𝑏2𝑟3 𝑔3 0 0 0 ⋯ ⋯ 0𝑠4 𝑏1𝑟4 𝑏2𝑟4 𝑏3𝑟4 𝑔4 0 0 0 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑠𝑁−1 𝑏1𝑟𝑁−1 𝑏2𝑟𝑁−1 𝑏3𝑟𝑁−1 𝑏4𝑟𝑁−1 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑔𝑁−1 0 ]

onde

{

𝑒𝑗 = 𝑐𝑗 − 𝑎𝑗ℎ𝑗𝑔𝑗 = 𝑑𝑗 − 𝑏𝑗ℎ𝑗

𝑠𝑗 = 𝑒𝑗 − (ℎ𝑗 − ℎ𝑗−1)∑𝑎𝑙

𝑗−1

𝑙=1

𝑟𝑗 = ℎ𝑗−1 − ℎ𝑗

(3.17)

𝑋𝑓→ = [

𝑃ℎ1⋮ℎ𝑁

] (3.18)

𝐵𝑓→ =

[

��𝑓,𝑖𝑛 − ��𝑓,𝑜𝑢𝑡

��𝑓,𝑖𝑛ℎ𝑓,𝑖𝑛 − ��𝑓,𝑜𝑢𝑡ℎ𝑓,𝑜𝑢𝑡 −∑��𝑓,𝑗

𝑁

𝑗=1

��𝑓,𝑖𝑛(ℎ𝑓,𝑖𝑛 − ℎ𝑓,1) − ��𝑓,1

��𝑓,1(ℎ𝑓,1 − ℎ𝑓,2) − ��𝑓,2⋮

��𝑓,𝑖𝑛(ℎ𝑓,𝑁−2 − ℎ𝑓,𝑁−1) − ��𝑓,𝑁−1 ]

(3.19)

Elias [3] apresenta o agrupamento dos três domínios numa só matriz. Este processo tem em mente a

troca de calor ��𝑘 que conecta os três domínios.

16

��𝑓,𝑘 = 𝑈𝑓,𝑘𝐴𝑓,𝑘(𝑇𝑝,𝑘 − 𝑇𝑓,𝑘) (3.20)

��𝑔,𝑘 = 𝑈𝑔,𝑘𝐴𝑔,𝑘(𝑇𝑔,𝑘 − 𝑇𝑝,𝑘) (3.21)

Em que 𝑈𝑓,𝑘 e 𝑈𝑔,𝑘 são os coeficientes de transferência global de calor, descritos na secção 3.2. Para

calcular a temperatura dos gases de escape e o fluxo de calor para a parede são utilizadas as

seguintes matrizes correspondentes ao balanço energético aos gases de escape:

𝐴𝑔→ ⋅ ��𝑔→ = 𝐵𝑔→

(3.22)

𝐴𝑔→ =

[ (𝑀𝐶𝑝)𝑔,1 0 ⋯ 0

0 (𝑀𝐶𝑝)𝑔,2 ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ 00 ⋯ 0 (𝑀𝐶𝑝)𝑔,𝑘]

(3.23)

𝑋𝑔→ =

[ 𝑇𝑔,1𝑇𝑔,2⋮𝑇𝑔,𝑁]

(3.24)

𝐵𝑔→ =

[ (��𝐶𝑝)𝑔,1

(𝑇2 − 𝑇1) − ��𝑔,1

(��𝐶𝑝)𝑔,2(𝑇3 − 𝑇2) − ��𝑔,2

⋮(��𝐶𝑝)𝑔,𝑁

(𝑇𝑖𝑛 − 𝑇𝑁) − ��𝑔,𝑁]

(3.25)

Para o balanço energético à parede, temos a seguinte representação matricial:

𝐴𝑝→ ⋅ ��𝑝→ = 𝐵𝑝→

(3.26)

𝐴𝑝→ =

[ (𝑀𝐶𝑝)1,𝑘 0 ⋯ 0

0 (𝑀𝐶𝑝)2,𝑘 ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ 00 ⋯ 0 (𝑀𝐶𝑝)3,𝑁]

(3.27)

𝑋𝑝→ =

[ 𝑇𝑝,1𝑇𝑝,2⋮𝑇𝑝,𝑁]

(3.28)

𝐵𝑔→ =

[ ��𝑔,1 − ��𝑓,1

��𝑔,2 − ��𝑓,2⋮

��𝑔,𝑁 − ��𝑓,𝑁]

(3.29)

A representação matricial dos três domínios agrupados tem a seguinte forma:

𝐴→⋅ ��→= 𝐵→

(3.30)

17

[ 𝐴𝑓→

0 0

0 𝐴𝑔→

0

0 0 𝐴𝑝→ ]

⋅

[ 𝑋𝑓→

𝑋𝑔→

𝑋𝑝→ ]

=

[ 𝐵𝑓→

𝐵𝑔→

𝐵𝑝→ ]

(3.31)

A partir da resolução deste sistema global de equações, definindo as condições de fronteira e as

condições iniciais dentro de cada elemento, é possível calcular a pressão do fluido de trabalho no

evaporador e a temperatura e entalpia de saída.

3.2 Coeficientes de transferência global de calor

Nesta secção, são descritos os coeficiente de transferência global de calor presentes nas equações

(3.20) e (3.21).

Para o cálculo da taxa de transferência de calor entre os dois fluidos presentes no permutador são

considerados os coeficientes globais 𝑈𝑓,𝑘 e 𝑈𝑔,𝑘 para o fluido de trabalho e gases de escape,

respetivamente. No modelo numérico utilizado, a resistência térmica do material da parede é

desprezada, uma vez que o coeficiente de condução é relativamente alto e a espessura é pequena,

da ordem de um milímetro. No permutador são consideradas as seguintes resistências de sujamento:

para o fluido de trabalho é utilizado 𝑅𝑓 = 180,0 × 10−6 m

2 K/W; e para os gases de escape considera-

se 𝑅𝑔 = 88,0 × 10−6 m

2 K/W.

𝑈𝑓,𝑘 =

1

𝑅𝑓 +1ℎ𝑓,𝑘

𝑈𝑔,𝑘 =1

𝑅𝑔 +1ℎ𝑔,𝑘

(3.32)

3.3 Fluido de trabalho

O fluido de trabalho utilizado na modelação do ciclo de Rankine foi o fluido orgânico R245fa. Este

fluido é referenciado como uma opção viável para este tipo de ciclos na aplicação em questão [3,26].

O fluido implementado, no contexto dos ORC, é considerado um fluido seco. Um fluido seco tem a

vantagem de no processo de evaporação necessitar de um sobreaquecimento inferior ao necessário

para um fluido húmido, uma vez que estes necessitam que o sobreaquecimento seja grande o

suficiente para que não se verifique condensação no expansor.

O fluido R245fa apresenta uma menor inércia térmica em comparação com a água. Esta

característica ganha maior importância quando se considera a implementação do controlo do ciclo.

O fluido de trabalho foi modelado recorrendo ao programa REFPROP [27]. No modelo utilizado [3], as

propriedades do fluido são calculadas para cada instante tendo em conta a pressão, entalpia e

18

temperatura a que se encontra. Para o efeito é usada uma função que permite a interface entre

MATLAB e REFPROP.

3.4 Propriedades dos gases de escape e dados de entrada

As propriedades dos gases de escape foram calculadas com base nas correlações formuladas no

trabalho de Marques [20] e são apresentadas na Tabela 3.1. A variável que permite determinar estas

propriedades é a temperatura dos gases de escape que é calculada através da resolução das

equações diferenciais que constituem o modelo do evaporador. As propriedades dos gases de

escape são necessárias para obter os coeficientes de convecção do fluido.

Tabela 3.1: Correlações das propriedades termodinâmicas dos gases de escape

Propriedade Equação

Densidade (kg/m3) 𝜌𝑔 = 1,665 + 2,404 × 10

−3 ∗ 𝑇𝑔 − 1,121 × 10−6 ∗ 𝑇𝑔

2

Viscosidade (N s/m2) 𝜇𝑔 = 10

−6 × (3,807 + 4,731 × 10−2 ∙ 𝑇𝑔 − 9,945 × 10−6 ∙ 𝑇𝑔

2

Calor específico (J/kg K) 𝐶𝑝 = 956,0 + 0,3386 ∙ 𝑇𝑔 − 2,476 × 10−5 ∙ 𝑇𝑔

2

Coeficiente de condução térmica

(W/m K) 𝑘𝑔 = 101

−3 × (4,643 + 6,493 × 10−2 ∙ 𝑇𝑔)

Nº de Prandtl 𝑃𝑟 = 0,774 + 1,387 × 10−4 ∙ 𝑇𝑔 + 1,863 × 10

−7 ∙ 𝑇𝑔2 + 7,695

× 10−11 ∙ 𝑇𝑔3

Os gases de escape consistem numa mistura de várias substâncias, oriundas das reações químicas

ocorridas no MCI. A composição química considerada para os gases de escape é apresentada na

Tabela 3.2. Esta composição foi obtida através de medições realizadas por Santos [28]. Tratando-se

do estudo dos gases de exaustão de um veículo com motor a gasolina a trabalhar em condições

estequiométricas, os gases são maioritariamente compostos por CO2, H2O e N2. Sendo que os gases

com frações minoritária, como o CO,HC e NOx foram desprezados.

Tabela 3.2: Composição química dos gases de escape [28]

Espécie Química Fração volúmica Fração mássica

CO2 0,134 0,204

H2O 0,125 0,078

N2 0,741 0,718

Os valores de entrada do modelo no domínio dos gases de escape foram baseados nas medições de

Marques [20]. Estes representam a temperatura e o caudal mássico dos gases de escape para treze

condições de operação do motor. Cada condição tem também informação sobre os parâmetros do

motor para as diferentes velocidades de rotação do motor e de carga. Os resultados da medição são

apresentados na Tabela 3.3.

O caudal mássico e a temperatura dos gases de escape são parâmetros de entrada do modelo

numérico e caracterizam a fonte de calor do ORC. Nas simulações efetuadas, a variação desses

19

parâmetros é modelada através de transições em degrau entre as condições de operação

apresentadas.

Tabela 3.3: Prestações dinâmicas do veículo para cada condição de operação (adaptado de [20])

Condição

de

operação

𝑁 (rpm) 𝐹 (N) BMEP

(bar)

𝑉veículo

(km/h) 𝑃𝑒 (kW) 𝐵𝑒 (Nm) ��𝑔 (g/s)

𝑇g, in

(K)

1 2000 0 0 0 0 0 12,8 730,9

2 500 0,91 31,7 4,26 20,4 17,0 790,0

3 1000 1,75 30,1 8,18 39,1 21,0 829,7

4 1500 2,35 26,6 10,96 52,3 23,9 850,7

5 2000 2,78 23,5 12,96 61,9 25,9 868,2

6 3000 0 0 0 0 0 17,3 807,3

7 500 0,98 50,2 6,88 21,9 25,8 897,9

8 1000 1,95 49,7 13,67 43,5 31,5 939,6

9 1500 2,85 48,2 19,97 63,6 37,9 968,7

10 2000 3,77 47,2 26,39 84,0 43,0 989,8

11 4000 0 0 0 0 0 25,4 869,4

12 1000 1,98 67,0 18,45 44,0 43,0 1001,8

13 2000 3,98 67,0 37,17 88,7 59,7 1052,3

3.5 Parâmetros do ciclo de Rankine

Na seguinte tabela estão apresentadas as características gerais do RC realizado por Elias [3]. O

permutador tubular utilizado como evaporador foi projetado no trabalho realizado por Domingues [29].

Tabela 3.4: Características gerais do ciclo de Rankine ([3])

ORC Característica

Fluido de trabalho R245fa (CF3CH2CHF2) Peso molecular (g/mol) 134 Pressão crítica (kPa) 3640 Temperatura crítica (K) 427.2

Evaporador Comprimento do evaporador (m) 0,5

Número de tubos do evaporador 43

Diâmetro exterior dos tubos do evaporador (mm) 11

Diâmetro interior dos tubos do evaporador (mm) 10

Espaçamento entre tubos do evaporador (mm) 4

Espessura dos tubos do evaporador (mm) 1

Bomba Eficiência isentrópica da bomba 0,80

Turbina Eficiência da turbina 0,70

Condensador Pressão de condensação (kPa) 401,2

Caudal mássico de fluido de arrefecimento (kg/s) 0,85

Temperatura do fluido de arrefecimento (K) 313,15

20

Identificação de aproximação linear do sistema 4

Um sistema é um objeto em que diferentes variáveis interagem entre si e produzem sinais

observáveis. Estes sinais observáveis são, normalmente, chamados de sinais de saída. O sistema é

também afetado por estímulos externos. Os estímulos externos que podem ser manipulados, são

chamados de sinais de entrada. Os restantes são considerados perturbações e podem ser divididos

em dois grupos: aqueles que são diretamente mensuráveis e aqueles que apenas são observáveis

através da sua influência na saída. É evidente que a noção de sistema é um conceito amplo, com um

papel importante na ciência moderna, uma vez que diversos problemas são resolvidos utilizando este

conceito [30].

4.1 Descrição do modelo linear

Considerando um sistema com 𝑛 entradas e 𝑚 saídas, relacionadas por equações diferenciais

lineares e invariantes no tempo, a transformação de Laplace destas equações, quando todas as

condições iniciais são zero, permite-nos encontrar a matriz de funções transferências com [𝑛 × 𝑚]

funções de transferências SISO (Single-Input Single-Output na literatura inglesa), onde cada entrada

da matriz é a função de transferência que relaciona uma entrada com uma saída quando todas as

outras entradas são zero.

𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠) ⇔

[ 𝑃evap𝑇evapΔ𝑇sobEff1Eff2Wnet𝑇g, out]

=

[ 𝐺1,1(𝑠) ⋯ 𝐺1,3(𝑠)

⋮ ⋱ ⋮

𝐺7,1(𝑠) ⋯ 𝐺7,3(𝑠)]

[

��g𝑇𝑔, in��𝑓

] (4.1)

[

𝑦1⋮𝑦7] = [

𝐺1,1𝑢1 + 𝐺1,2𝑢2 + 𝐺1,3𝑢3⋮

𝐺7,1𝑢1 + 𝐺7,2𝑢2 + 𝐺7,3𝑢3

] (4.2)

O ORC descrito no capítulo 3 foi modelado por Elias [3] em ambiente MATLAB, tendo em conta as

características estacionárias e dinâmicas do ciclo. Este processo envolve um grande número de

variáveis. A Tabela 4.1 apresenta as variáveis consideradas no modelo do ORC. O modelo tem três

variáveis de entrada, das quais uma é manipulada e as restantes duas são consideradas

perturbações ao sistema. Para caraterizar o ciclo são tidas em consideração sete variáveis de saída.

21

Tabela 4.1: Definição das variáveis de entrada e saída do modelo

Tipo Variável Símbolo Unidade

Variável manipulada

Caudal mássico de fluido de trabalho ��𝑓 kg/s

Perturbação Caudal mássico dos gases de escape à entrada do evaporador

��g kg/s

Temperatura dos gases de escape à entrada do evaporador

𝑇𝑔, in K

Saída Pressão de evaporação 𝑃evap kPa

Temperatura de evaporação 𝑇evap K

Variação sobreaquecimento Δ𝑇sob K

Eficiência de primeira lei Eff1 — Eficiência de segunda lei Eff2 —

Potência líquida recuperada Wnet kW

Temperatura dos gases de escape à saída do evaporador

𝑇𝑔, out K

No trabalho realizado pelo Elias [3] são considerados o caudal mássico de fluido de trabalho à

entrada e saída do evaporador como variáveis manipuladas, permitindo uma estratégia de controlo de

um controlador PI para cada uma das variáveis. Na modelo linear realizado no presente trabalho, o

caudal de fluido de trabalho é mantido idêntico à entrada e saída do evaporador. Tal simplificação foi

necessária porque não foi possível identificar o comportamento isolado de cada uma das variáveis,

uma vez que tais tentativas resultaram em erros numéricos no modelo não linear.

4.2 Identificação de um modelo linear

Tendo em conta que o sistema em questão é não linear, por forma a desenvolver os controladores

ℋ∞ e ℋ2 é necessário identificar um modelo linear para o sistema. É escolhida a condição de

operação 3 (consultar Tabela 3.3) em torno da qual o modelo é linearizado. São aplicadas variações

em degrau a cada uma das variáveis de entrada, isoladamente, mantendo as restantes nos seus

valores iniciais correspondentes à condição de operação 3 (consultar Tabela 4.2.).

O modelo linear é uma aproximação linear ao sistema não linear, que é válido numa pequena região

em torno de um regime de operação. Estendendo o conceito de linearização ao nosso modelo, são

definidas novas variáveis centradas no ponto de operação.

𝛿𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑥0𝛿𝑢(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢0𝛿𝑤(𝑡) = 𝑤(𝑡) − 𝑤0𝛿𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑦0

(4.3)

O modelo linear em termos de 𝛿𝑥, 𝛿𝑢, 𝛿𝑤 e 𝛿𝑦 é válido para valores relativamente pequenos.

𝛿��(𝑡) = 𝐴𝛿𝑥(𝑡) + 𝐵1𝛿𝑤(𝑡) + 𝐵2𝛿𝑢(𝑡)

𝛿𝑧(𝑡) = 𝐶1𝛿𝑥(𝑡) + 𝐷1,1𝛿𝑤(𝑡) + 𝐷1,2𝛿𝑢(𝑡)

𝛿𝑦(𝑡) = 𝐶2𝛿𝑥(𝑡) + 𝐷2,1𝛿𝑤(𝑡) + 𝐷2,2𝛿𝑢(𝑡)

(4.4)

22

Obtemos um modelo linear que expressa a variação em torno do regime estacionário na condição de

operação 3.

Tabela 4.2: Valores iniciais das variáveis de entrada na condição

de operação 3 e variações aplicadas em degrau

Variável de

entrada

Valor inicial na

condição de operação 3 Variação

��g g/s 21 {-3, -2, -1, +1, +2, +3}

𝑇𝑔, in K 829,7 {-60, -40, -20, +20, +40, +60}

��𝑓 g/s 40 {-6, -4, -2, +2, +4, +6}

Como referido anteriormente, no decorrer da identificação do comportamento do sistema, este foi

submetido a uma variação numa entrada de cada vez, mantendo as restantes nos seus valores

nominais para a condição de operação correspondente. A variação é aplicada aos 50s de simulação

para que o modelo numérico tenha tempo de estabilizar antes de ser aplicado o degrau.

Linearizou-se cada uma dessas respostas, aproximando-a por um modelo linear, identificado a partir

dessa mesma resposta. As curvas foram aproximadas por um modelos de primeira ou segunda

ordem com ou sem zero (4.5).

'P1Z' =

𝐾(1 + 𝑇𝑧𝑠)

1 + 𝑇𝑝1𝑠 'P2Z' =

𝐾(1 + 𝑇𝑧𝑠)

(1 + 2𝜁𝑇𝑤𝑠 + (𝑇𝑤𝑠)2)

(4.5)

'P1' =𝐾

1 + 𝑇𝑝1𝑠 'P2' =

𝐾

(1 + 2𝜁𝑇𝑤𝑠 + (𝑇𝑤𝑠)2)

Onde 𝐾 é o ganho proporcional, 𝜉 representa a constante de amortecimento, e 𝑇𝑤 a constante de

tempo do par de pólos complexos conjugados. 𝑇𝑧 é a constante de tempo do zero e 𝑇𝑝1 é a constante

de tempo do pólo real. Na nomenclatura utilizada, depois de P vem o número de pólos adotados e o Z

representa a existência de um zero.

Os parâmetros estimados para os modelos (4.5), utilizados na linearização do modelo numérico, são

obtidos recorrendo à função procest() do MATLAB para uma aproximação grosseira, ajustando a

curva através da função fminsearch().

A tabela seguinte apresenta o estudo realizado para selecionar o modelo apropriado para cada curva,

tendo em conta qual a entrada sujeita a uma variação em degrau. Como índice de desempenho foi

escolhida a média do VAF (4.7) para os degraus considerados em cada uma das três variáveis de

entrada (ver Tabela 4.2). Estão representados em negrito os modelos com melhor resultado, que

serão posteriormente utilizados para o modelo linear final.

23

Tabela 4.3: VAF médio de cada função identificada

Variável de entrada sujeita à variação

Função (4.5)

Variáveis de saída

𝑃evap 𝑇evap Δ𝑇sob Eff1 Eff2 Wnet 𝑇𝑔, out

��g P1 0,9955 0,9964 0,9964 0,9939 0,8769 0,9961 0,9940

P1Z 0,9960 0,9964 0,9961 0,9940 0,9876 0,9965 0,9941 P2 0,1816 0,9983 0,9977 0,9950 0,9118 0,9984 0,9940 P2Z 0,9989 0,9987 0,9978 0,9951 0,9891 0,9995 0,9941

𝑇𝑔, in P1 0,9945 0,9983 0,9984 0,8562 0,8452 0,9962 0,9938

P1Z 0,9954 0,9982 0,9982 0,9607 0,9887 0,9967 0,9983 P2 0,9981 0,9988 0,9983 0,8913 0,8535 0,9986 0,9961 P2Z 0,9992 0,9993 0,9987 0,9607 0,9887 0,9996 0,9997

��𝑓 P1 0,9962 0,9876 0,9836 0,9883 0,9488 0,9681 0,9887

P1Z 0,9960 0,9981 0,9942 0,9883 0,9732 0,9952 0,9887 P2 0,9964 0,9900 0,9807 0,9881 0,9524 0,9842 0,9886 P2Z 0,9968 0,9990 0,9957 0,9884 0,9873 0,9957 0,9887

De seguida exemplifica-se como é identificada a influência do aumento do caudal mássico dos gases

de escape na temperatura de evaporação. A Figura 4.1 mostra a variação em degrau imposta no

caudal mássico e a Figura 4.2 apresenta a influência da variação imposta na temperatura de

evaporação, assim como a resposta do modelo linear identificado.

Figura 4.1:Variação em degrau para os gases de escape partindo da condição de operação 3 e aumentando em

um grama por segundo

24

Figura 4.2: Comparação da temperatura de evaporação entre o modelo não linear e o modelo identifcado (ver

Tabela 4.4) quando sujeitos à variação apresentada na Figura 4.1

Este procedimendo de identificação repetiu-se para todos os dados retirados do modelo não linear.

Tabela 4.4: Função com dois pólos e um zero (P2UZ) que identifica a resposta da temperatura de evaporação

apresentada na Figura 4.2

Função do tipo P2UZ Parâmetros

𝐺(𝑠) =1,13 × 104 𝑠 + 8236

51,1 𝑠2 + 21,7 𝑠 + 1

K = 8236 Tz = 7,15

ζ = 1,52

Tw = 1,37

Realizou-se este procedimento para todos os dados retirados. Após a definição de um modelo linear

para cada variação da entrada, tem-se um conhecimento de como o sistema responde para cada

situação.

Da Tabela 4.5 à Tabela 4.7 é possível observar o desempenho individual de cada modelo

identificado. Para quantificar o desempenho de cada identificação, são utilizados os seguintes indices

de desempenho:

MSE – Erro Médio Quadrático (Mean Squared Error)

MSE =

∑ (𝑦𝑖 − ��)𝑁𝑖=1

𝑁 (4.6)

VAF – Variance Accounted For

VAF = 1 −

𝜎2(𝑦 − ��)

𝜎2(𝑦) (4.7)

MD – Desvio Máximo (Maximum Deviation)

MD = max|𝑦𝑖 − ��𝑖| (4.8)

25

EE – Erro Estacionário (%)

EE = 100 ×

��𝑡→∞ − 𝑦𝑡→∞|𝑦𝑡→∞|

(4.9)

Onde 𝑦 é a resposta do modelo não linear, �� é a resposta do modelo avaliado e 𝜎2 é a variância.

Da Tabela 4.5 à Tabela 4.7 é apresentado o desempenho dos modelos avaliados. Os índices MSE e

MD não são valores normalizados e, para algumas variações, estes valores rondam a ordem de

grandeza da variável avaliada. Observa-se que as variáveis com maior interesse para o

desenvolvimento do método de controlo, a pressão e temperatura de evaporação, apresentam uma

identificação acima da média. Quanto às restantes variáveis de saída, estas são identificadas com um

desempenho satisfatório.

26

Tabela 4.5: Avaliação dos modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de caudal mássico dos

gases de escape

Variáveis de saída Variação

de ��𝑔 (g/s)

Índices de desempenho

MSE VAF MD EE (%)

Pressão de evaporação (Pa) -3 1,37 × 106 0,9981 6745,0 0,20

-2 6,62 × 105 0,9984 4495,8 0,19

-1 2,40 × 105 0,9983 2458,7 0,16

+1 1,19 × 105 0,9989 1918,6 -0,05

+2 1,60 × 105 0,9997 1920,0 -0,05

+3 2,72 × 105 0,9998 2576,7 -0,05

Temperatura de evaporação (K)

-3 0,0989 0,9978 2,14990 0,02 -2 0,0251 0,9986 0,74954 -0,21 -1 0,0017 0,9995 0,35145 0,04 +1 0,0002 1,0000 0,10985 -0,01 +2 0,0176 0,9989 0,85776 -0,17 +3 0,0765 0,9976 1,77690 -0,33

Variação sobreaquecimento (K) -3 0,0891 0,9967 1,95450 -0,01 -2 0,0150 0,9985 0,81029 -0,18 -1 0,0054 0,9966 0,53948 0,28 +1 0,0003 0,9999 0,12644 -0,04 +2 0,0152 0,9983 0,78749 -0,25 +3 0,0472 0,9968 1,57520 -0,36

Eficiência de primeira lei -3 4,45 × 10-8

0,9994 0,00124 -0,21

-2 1,43 × 10-8

0,9997 0,00083 0,10

-1 2,30 × 10-6

0,9730 0,00169 -11,27

+1 1,08 × 10-9

0,9999 0,00018 0,04

+2 2,17 × 10-8

0,9993 0,00081 0,16

+3 8,68 × 10-8

0,9990 0,00161 0,20

Eficiência de segunda lei -3 7,63 × 10-7

0,9825 0,02323 -0,01

-2 4,49 × 10-7

0,9789 0,01477 -0,43

-1 1,23 × 10-7

0,9781 0,00715 0,08

+1 3,41 × 10-9

0,9992 0,00600 0,07

+2 2,41 × 10-8

0,9984 0,01173 -0,19

+3 7,65 × 10-8

0,9977 0,01697 -0,26

Potência líquida recuperada (W)

-3 0,9973 0,9988 4,88080 0,17 -2 0,1831 0,9996 1,78890 0,09 -1 0,0901 0,9994 1,70550 0,06 +1 0,0745 0,9994 1,62670 -0,02 +2 0,0915 0,9998 1,62800 -0,01 +3 0,1743 0,9999 3,41180 0,00

Temperatura dos gases de escape à saída do evaporador (K)

-3 0,0114 0,9995 0,64377 0,20

-2 0,0087 0,9993 0,50796 0,06

-1 0,5851 0,9697 0,85223 11,18

+1 0,0003 0,9999 0,20410 -0,04

+2 0,0055 0,9993 0,41062 -0,16

+3 0,0735 0,9968 1,04370 -0,60

27

Tabela 4.6: Avaliação dos modelos lineares identificados quando aplicada uma variação da temperatura dos

gases de escape

Variáveis de saída Variação de 𝑇𝑔 (K)


MSE VAF MD EE (%)

Pressão de evaporação (Pa) -60 6,64 × 105 0,9989 4413,8 0,15

-40 2,88 × 105 0,9992 2783,9 0,11

-20 1,56 × 105 0,9987 1986,2 0,10

+20 1,11 × 105 0,9988 1917,3 -0,03

+40 1,24 × 105 0,9997 1917,3 -0,02

+60 1,71 × 105 0,9998 2247,5 -0,03

Temperatura de evaporação (K) -60 0,0424 0,9990 1,3455 0,02 -40 0,0096 0,9995 0,5187 -0,13 -20 0,0022 0,9994 0,3089 0,11 +20 0,0003 0,9999 0,1227 -0,01 +40 0,0110 0,9994 0,8694 -0,11 +60 0,0490 0,9988 1,4495 -0,25

Variação sobreaquecimento (K) -60 0,0457 0,9983 1,2827 -0,03 -40 0,0088 0,9991 0,7452 -0,02 -20 0,0054 0,9971 0,4478 0,34 +20 0,0002 0,9999 0,1226 -0,03 +40 0,0095 0,9992 0,6114 -0,16 +60 0,0335 0,9985 1,0527 -0,26


0,9989 0,0072 -1,88

-40 1,10 × 10-5

0,9329 0,0036 -23,48

-20 8,95 × 10-6

0,8412 0,0033 -36,01

+20 1,55 × 10-9

0,9993 0,0023 0,05

+40 1,34 × 10-8

0,9983 0,0054 0,23

+60 1,85 × 10-7

0,9934 0,0058 1,03


0,9825 0,0049 -0,31

-40 3,75 × 10-7

0,9806 0,0043 -0,29

-20 1,34 × 10-7

0,9729 0,0018 1,02

+20 3,25 × 10-9

0,9992 0,0006 0,10

+40 1,15 × 10-8

0,9992 0,0007 -0,18

+60 6,76 × 10-8

0,9979 0,0027 -0,34


-60 0,5503 0,9992 3,1822 0,13 -40 0,1083 0,9997 1,7923 0,07 -20 0,0786 0,9994 1,7099 0,05 +20 0,0732 0,9993 1,6255 -0,02 +40 0,0701 0,9998 1,6256 -0,01 +60 0,1092 0,9999 1,9467 -0,02


-60 0,0028 0,9999 1,2777 0,05

-40 0,0018 0,9999 0,8528 -0,06

-20 0,0075 0,9995 0,4677 1,11

+20 0,0002 0,9999 0,3462 -0,01

+40 0,0026 0,9998 0,7947 -0,09

+60 0,0229 0,9993 1,4254 -0,20

28

Tabela 4.7: Avaliação dos modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de caudal mássico de

fluido de trabalho


de ��𝑓 (g/s)


MSE VAF MD EE (%)

Pressão de evaporação (Pa) -6 1,03 × 108 0,9869 18887,0 -7,26

-4 9,32 × 105 0,9984 11882,0 0,07

-2 3,20 × 105 0,9971 6104,6 0,07

+2 9,81 × 104 0,9992 1916,9 0,03

+4 1,36 × 105 0,9996 3800,9 0,05

+6 2,23 × 105 0,9996 5508,8 0,07


-6 0,0314 0,9994 1,7153 -0,20 -4 0,0083 0,9997 2,2994 -0,05 -2 0,0011 0,9998 0,5452 0,03 +2 0,0004 0,9999 0,2165 -0,05 +4 0,0187 0,9989 0,6515 -0,20 +6 0,1454 0,9963 2,1533 -0,20

Variação sobreaquecimento (K) -6 0,0131 0,9995 2,0737 -0,08 -4 0,7458 0,9934 2,9611 -6,05 -2 0,2863 0,9887 1,1899 -7,18 +2 0,0001 0,9999 0,1411 -0,03 +4 0,0125 0,9987 0,4571 -0,22 +6 0,1482 0,9939 2,1242 -0,28


1,0000 0,0002 -0,02

-4 6,44 × 10-10

1,0000 0,0002 -0,01

-2 6,77 × 10-7

0,9503 0,0009 -12,63

+2 8,13 × 10-10

0,9999 0,0002 -0,01

+4 1,74 × 10-9

0,9999 0,0003 -0,03

+6 2,87 × 10-6

0,9804 0,0019 8,24


0,9850 0,0199 -0,26

-4 5,75 × 10-7

0,9696 0,0132 -0,22

-2 1,06 × 10-7

0,9764 0,0064 -0,02

+2 4,70 × 10-9

0,9989 0,0070 -0,11

+4 3,61 × 10-8

0,9975 0,0136 -0,28

+6 9,39 × 10-8

0,9963 0,0203 -0,09


-6 1,5600 0,9977 47,2400 -0,09 -4 1,5051 0,9937 30,9060 -0,10 -2 0,6212 0,9886 14,6180 0,05 +2 0,1061 0,9985 17,8230 -0,15 +4 0,4762 0,9977 33,9760 -0,27 +6 0,7636 0,9978 50,0830 -0,11


-6 0,0003 1,0000 0,0902 0,02 -4 0,0002 1,0000 0,0895 0,01 -2 0,1692 0,9521 0,4710 12,41 +2 0,0002 0,9999 0,1130 0,01 +4 0,0005 0,9999 0,1494 0,03 +6 0,7339 0,9805 0,9693 -8,20

29

4.3 Modelo linear

O modelo linear que aproxima o modelo não linear em torno da condição de operação 3 é obtido

através de uma média dos parâmetros dos modelos lineares identificados, tal como descrito no

subcapítulo 4.2.

Da Tabela 4.8 à Tabela 4.10 encontram-se os parâmetros dos modelos identificados. É possível

observar que os parâmetros são semelhantes, permitindo obter um modelo médio que consiga

apróximar o modelo não linear dentro de um espectro de valores para as variáveis de entrada

semelhante aos valores apresentados na Tabela 4.2. O modelo médio é obtido através da média dos

parâmetros das diversas curvas identificadas.

A Figura 4.3 apresenta, como exemplo, a comparação da variação da temperatura de evaporação do

modelo linear (tracejado) em relação ao modelo não linear (linha cheia), para os degraus ao caudal

de gases de escape considerados.

Figura 4.3: Variação da temperatura de evaporação em torno da condição 3 para diversas variações no caudal

de gases de escape. Modelo linear (tracejado) em relação ao modelo não linear (linha cheia).

30

Tabela 4.8: Modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de caudal mássico de gases de escape

e a variabilidade dos seus parâmetros

Variação de ��𝑔 (g/s) Média

Desvio Padrão

Mínimo Máximo -3 -2 -1 +1 +2 +3

Pressão de Evaporação (Pa)

K × 10−6 31,83 35,31 40,42 39,76 39,56 43,37

38,38 4,12 31,83 43,37

Tz 20,14 20,14 20,14 20,14 20,14 20,14

20,14 0,00 20,14 20,14

ζ 0,87 0,82 0,88 0,91 0,95 0,97

0,90 0,05 0,82 0,97

Tw 29,01 31,46 34,27 24,50 25,73 27,78

28,79 3,63 24,50 34,27

Temperatura de Evaporação (K)

K 8343 7860 7080 8236 7911 7314

7791 501 7080 8343

Tz 0,99 0,99 1,84 1,37 1,84 1,84

1,48 0,42 0,99 1,84

ζ 1,40 1,73 1,96 1,52 1,96 1,96

1,75 0,25 1,40 1,96

Tw 9,40 9,40 9,15 7,15 5,08 5,15

7,55 2,07 5,08 9,40

Variação do Sobreaquecimento (K)

K 6480 5815 4776 6076 5805 5067

5670 636 4776 6480

Tz 0,18 0,33 0,33 0,23 0,33 0,33

0,29 0,07 0,18 0,33

ζ 1,63 2,18 2,18 1,69 1,86 1,63

1,86 0,26 1,63 2,18

Tw 7,30 6,96 6,69 5,58 3,93 3,93

5,73 1,51 3,93 7,30

Eficiência de primeira lei (–)

K -11,34 -12,86 -13,33 -10,25 -10,42 -11,89

-11,68 1,26 -13,33 -10,25

Tz -0,80 -0,80 -0,80 -0,61 -0,43 -0,43

-0,64 0,18 -0,80 -0,43

ζ 10,15 11,29 11,90 10,96 13,75 13,75

11,97 1,49 10,15 13,75

Tw 1,06 1,06 0,99 0,79 0,77 0,96

0,94 0,13 0,77 1,06

Eficiência de segunda lei (–)

K 5,68 5,89 5,96 6,45 6,19 6,10

6,05 0,27 5,68 6,45

Tz -28,05 -28,05 -28,05 -21,54 -20,18 -21,15

-24,50 3,91 -28,05 -20,18

ζ 18,04 22,47 27,45 21,10 27,45 27,45

23,99 4,05 18,04 27,45

Tw 0,64 0,64 0,64 0,49 0,40 0,48

0,55 0,10 0,40 0,64


K 35270 37726 40986 41362 40638 42292

39712 2666 35270 42292

Tz 11,30 11,30 11,30 14,52 20,98 11,30

13,45 3,91 11,30 20,98

ζ 0,90 0,86 0,97 0,94 1,00 1,15

0,97 0,10 0,86 1,15

Tw 22,50 25,30 26,51 20,23 23,73 18,09

22,73 3,15 18,09 26,51


K 5756 6517 6771 5209 5296 6017

5928 634 5209 6771

Tz -0,83 -0,83 -0,83 -0,64 -0,45 -0,83

-0,74 0,16 -0,83 -0,45

Tp1 21,42 22,38 22,38 17,21 21,24 22,38

21,17 2,01 17,21 22,38

31

Tabela 4.9: Modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de temperatura de gases de escape e

a variabilidade dos seus parâmetros

Variação de 𝑇𝑔 (K) Média

Desvio Padrão

Mínimo Máximo -60 -40 -20 +20 +40 +60


K 1412 1610 1807 1776 1722 1899

1704 172 1412 1899

Tz 8,57 8,57 8,57 12,35 10,50 8,83

9,56 1,56 8,57 12,35

ζ 0,86 0,85 0,93 0,92 0,98 1,08

0,94 0,09 0,85 1,08

Tw 23,22 25,79 27,71 21,05 20,41 20,60

23,13 3,04 20,41 27,71


𝐾 0,41 0,39 0,36 0,43 0,43 0,41

0,41 0,03 0,36 0,43

Tz 2,22 3,82 3,82 2,84 3,82 3,82

3,39 0,70 2,22 3,82

ζ 1,09 1,45 1,60 1,25 1,40 1,60

1,40 0,20 1,09 1,60

Tw 12,35 11,59 10,84 9,37 7,92 7,01

9,85 2,11 7,01 12,35


𝐾 0,33 0,30 0,26 0,34 0,34 0,31

0,31 0,03 0,26 0,34

Tz 1,57 2,02 2,02 1,50 1,41 2,02

1,76 0,29 1,41 2,02

ζ 1,22 1,72 1,72 1,33 1,55 1,48

1,50 0,20 1,22 1,72

Tw 9,97 8,36 7,73 7,62 5,37 5,37

7,40 1,79 5,37 9,97


𝐾 × 103 -0,29 -0,29 -0,29 -0,23 -0,21 -0,27

-0,26 0,04 -0,29 -0,21

Tz -23,49 -21,82 -21,69 -22,34 -25,56 -23,96

-23,14 1,49 -25,56 -21,69

Tp1 19,23 16,35 16,34 17,91 21,57 23,29

19,11 2,84 16,34 23,29


𝐾 × 103 0,25 0,26 0,26 0,30 0,29 0,29

0,28 0,02 0,25 0,30

𝑇𝑧 -33,65 -33,65 -33,65 -25,84 -24,06 -24,71

-29,26 4,84 -33,65 -24,06

Tp1 22,24 27,64 27,64 21,25 21,53 25,67

24,33 3,01 21,25 27,64


𝐾 1,61 1,75 1,88 1,93 1,89 1,99

1,84 0,14 1,61 1,99

𝑇𝑧 9,29 9,29 9,29 12,18 14,64 9,62

10,72 2,23 9,29 14,64

𝜁 0,87 0,88 0,99 0,94 1,00 1,19

0,98 0,12 0,87 1,19

𝑇𝑤 22,04 24,49 25,43 19,55 20,54 17,19

21,54 3,10 17,19 25,43


𝐾 0,35 0,39 0,43 0,33 0,33 0,37

0,37 0,04 0,33 0,43

𝑇𝑧 3,36 3,65 4,38 3,73 4,85 4,85

4,14 0,65 3,36 4,85

5,94 6,54 7,09 5,47 5,58 7,09 6,29 0,73 5,47 7,09

𝑇𝑝1 1,70 1,90 2,18 1,67 1,92 1,87

1,87 0,18 1,67 2,18

32

Tabela 4.10: Modelos lineares identificados quando aplicada uma variação de caudal mássico de fluido de

trabalho e a variabilidade dos seus parâmetros

Variação de ��𝑓 (g/s) Média

Desvio Padrão

Mínimo Máximo -6 -4 -2 +2 +4 +6


K × 10−6 -25,38 -22,73 -20,66 -19,52 -16,50 -14,04

-19,80 4,11 -25,38 -14,04

Tz 36,78 21,11 25,20 19,80 19,80 19,80

23,75 6,72 19,80 36,78

ζ 0,83 1,12 1,05 0,97 0,91 0,93

0,97 0,10 0,83 1,12

Tw 37,84 22,41 22,41 28,29 25,45 22,50

26,48 6,04 22,41 37,84


𝐾 -4951 -5075 -5044 -3907 -4038 -4082

-4516 560 -5075 -3907

Tz 13,21 12,95 7,12 10,12 7,12 7,12

9,60 2,93 7,12 13,21

ζ 3,58 3,58 3,58 5,11 4,86 3,58

4,05 0,73 3,58 5,11

Tw 4,00 3,72 2,93 3,41 3,00 3,46

3,42 0,41 2,93 4,00


𝐾 -3560 -3642 -3642 -2801 -3088 -3266

-3333 343 -3642 -2801

Tz 17,50 10,25 10,05 14,40 10,05 10,05

12,05 3,18 10,05 17,50

ζ 3,25 3,25 3,25 4,65 4,63 3,25

3,71 0,72 3,25 4,65

Tw 4,14 2,62 2,94 3,73 3,28 4,10

3,47 0,62 2,62 4,14


𝐾 5,65 4,34 4,20 6,00 4,85 4,20

4,87 0,78 4,20 6,00

Tz 12,94 13,71 24,03 12,94 12,94 24,03

16,76 5,63 12,94 24,03

ζ 1,25 1,19 1,30 1,05 0,93 1,30

1,17 0,15 0,93 1,30

Tw 19,73 17,88 21,96 21,94 19,36 20,23

20,18 1,58 17,88 21,96


𝐾 -3,97 -3,78 -3,67 -3,06 -2,87 -2,62

-3,33 0,55 -3,97 -2,62

𝑇𝑧 -18,09 -18,09 -18,09 -25,99 -23,55 -20,68

-20,75 3,36 -25,99 -18,09

𝜁 134,67 107,99 86,57 100,48 102,28 76,10

101,35 20,06 76,10 134,67

𝑇𝑤 0,12 0,11 0,11 0,17 0,13 0,13

0,13 0,02 0,11 0,17


𝐾 -14728 -13362 -13081 -13067 -11546 -10087

-12645 1611 -14728 -10087

𝑇𝑧 -13,56 -13,56 -13,56 -19,69 -18,11 -16,81

-15,88 2,70 -19,69 -13,56

𝜁 258,08 270,90 209,95 232,87 189,52 205,35

227,78 31,90 189,52 270,90

𝑇𝑤 0,069 0,051 0,051 0,075 0,071 0,053

0,062 0,011 0,051 0,075


𝐾 -2872 -2207 -2133 -3047 -2463 -2133

-2476 398 -3047 -2133

𝑇𝑧 13,04 13,81 24,22 13,04 13,04 24,22

16,90 5,68 13,04 24,22

𝑇𝑝1 1,25 1,19 1,30 1,05 0,92 1,30

1,17 0,15 0,92 1,30

33

4.4 Performance do modelo identificado

Nesta secção é avaliado o modelo linear obtido na secção 4.3. para os vários degraus aplicados nas

variáveis de entrada. As tabelas presentes nesta secção apresentam o desempenho do modelo linear

segundo os índices de desempenho apresentados anteriormente (ver (4.6) a (4.9)). Na Tabela 4.14

apresentam-se os índices de desempenho do modelo linear realizado no presente trabalho, quando

sujeito a variações do caudal e temperatura dos gases de escape simultaneamente.

Analisando as tabelas presentes nesta secção é possível afirmar que o modelo linear desenvolvido

tem um desempenho suficiente para a aplicação desejada. O EE não é em nenhum dos casos

avaliados superior a 10% e apresenta um valor absoluto médio igual a 1,7 garantindo uma boa

aproximação do modelo em regime estacionário.

Com os restantes índices é possível avaliar também se o comportamento dinâmico do sistema foi

bem identificado. Os valores de MSE e MD não são valores normalizados e, para algumas variações,

estes valores rondam a ordem de grandeza da variável avaliada. O VAF tem um valor médio igual

0,9789 garantindo uma boa aproximação do regime dinâmico e estacionário do modelo. Observa-se

ainda que os resultados menos satisfatórios se encontram nas extremidades do intervalo de

linearização, isto é, para as maiores variações estudadas.

Conclui-se que o modelo linear reproduz o modelo não linear com o grau desejado, validando

também o intervalo de linearização selecionado.

34

Tabela 4.11: Avaliação do modelo linear identificado em relação ao modelo não linear quando aplicada uma

variação em degrau no caudal mássico dos gases de escape, partindo da condição de operação 3


de ��𝑔 (g/s)


MSE VAF MD EE (%)

Pressão de evaporação (Pa) -3 1,06 × 108 0,9710 18175 -2,83 -2 7,97 × 106 0,9963 6221 -0,58 -1 6,37 × 106 0,9861 4469 0,68

+1 9,6 × 105 0,9968 3101 0,13 +2 1,41 × 106 0,9990 4199 -0,01 +3 5,13 × 107 0,9908 12691 -1,53


-3 1,4844 0,9911 2,7612 0,49 -2 0,2586 0,9951 1,8902 0,06 -1 0,2660 0,9853 1,2821 -0,15 +1 0,1023 0,9957 0,8306 -0,08 +2 0,6701 0,9896 2,7653 -0,03 +3 1,8590 0,9814 3,6912 0,36

Variação sobreaquecimento (K) -3 2,2664 0,9799 2,7553 9,96 -2 0,2432 0,9912 1,8507 0,86 -1 0,4274 0,9464 1,3903 -2,23 +1 0,0918 0,9942 0,6307 -0,80 +2 0,5664 0,9855 2,5666 -0,52 +3 2,0234 0,9605 3,4972 2,98

Eficiência de primeira lei -3 4,44 × 10−7 0,9991 0,0014 0,08 -2 2,53 × 10−6 0,9875 0,0027 -0,32 -1 4,27 × 10−6 0,9415 0,0036 -0,45 +1 1,02 × 10−6 0,9738 0,0017 -0,22 +2 2,91 × 10−6 0,9830 0,0029 -0,36 +3 3,72 × 10−7 0,9987 0,0019 0,06

Eficiência de segunda lei -3 2,07 × 10−5 0,9578 0,0126 -0,61 -2 6,93 × 10−6 0,9644 0,0075 0,00 -1 1,32 × 10−6 0,9682 0,0034 0,21 +1 5,0 × 10−7 0,9824 0,0028 -0,03 +2 1,52 × 10−6 0,9841 0,0051 0,03 +3 2,48 × 10−6 0,9878 0,0071 0,10


-3 47,3320 0,9897 11,5610 -4,94 -2 4,8930 0,9976 6,4069 -0,73 -1 3,8363 0,9908 3,3284 1,15 +1 1,0444 0,9971 3,3714 0,10 +2 3,8653 0,9975 5,5236 0,04 +3 15,9850 0,9973 7,5975 -1,25


-3 0,1213 0,9989 0,7295 -0,08

-2 0,6324 0,9880 1,3301 0,32

-1 1,0935 0,9420 1,8355 0,43

+1 0,2647 0,9734 0,8567 0,20

+2 0,7764 0,9818 1,5279 0,31

+3 0,1369 0,9981 1,2308 -0,05

35


variação em degrau na temperatura dos gases de escape, partindo da condição de operação 3


de 𝑇𝑔 (g/s)


MSE VAF MD EE (%)

Pressão de evaporação (Pa) -60 6,98 × 107 0,9722 15242 -2,45 -40 2,21 × 106 0,9984 4437 -0,21 -20 5,25 × 106 0,9853 4450 0,67 +20 6,73 × 105 0,9970 2558 0,12 +40 1,55 × 106 0,9983 3051 0,21 +60 2,47 × 107 0,9937 9346 -1,15


-60 0,3042 0,9976 1,8712 0,13 -40 0,3381 0,9954 1,9384 -0,13 -20 0,2698 0,9848 1,2645 -0,18 +20 0,1041 0,9956 0,8203 -0,10 +40 0,7898 0,9910 2,7169 -0,19 +60 1,1260 0,9919 3,8385 -0,02

Variação sobreaquecimento (K) -60 0,5126 0,9944 1,6218 4,51 -40 0,3420 0,9917 1,9020 -1,76 -20 0,4139 0,9534 1,3553 -2,52 +20 0,1030 0,9935 0,6524 -0,95 +40 0,8097 0,9867 2,5601 -1,71 +60 1,0141 0,9873 3,7077 0,18

Eficiência de primeira lei -60 1,21 × 10−5 0,9544 0,0094 -0,29 -40 1,09 × 10−5 0,9245 0,0054 -0,63 -20 5,49 × 10−6 0,8851 0,0042 -0,52 +20 7,05 × 10−7 0,9727 0,0017 -0,13 +40 3,27 × 10−6 0,9636 0,0028 -0,31 +60 3,05 × 10−6 0,9823 0,0033 0,01

Eficiência de segunda lei -60 1,33 × 10−5 0,9738 0,0069 -1,01 -40 4,02 × 10−6 0,9793 0,0036 -0,14 -20 6,85 × 10−7 0,9829 0,0017 0,14 +20 8,54 × 10−8 0,9966 0,0006 -0,07 +40 2,56 × 10−7 0,9973 0,0017 -0,13 +60 6,09 × 10−7 0,9978 0,0028 -0,33


-60 45,3430 0,9863 12,0120 -5,10 -40 3,2039 0,9980 5,4721 -0,58 -20 2,4374 0,9927 2,8892 0,98 +20 0,7549 0,9976 3,0882 0,05 +40 3,1468 0,9974 5,4132 0,05 +60 18,1960 0,9961 7,3259 -1,51


-60 0,3991 0,9969 1,4840 -0,25

-40 0,4804 0,9921 1,1970 0,28

-20 0,6788 0,9660 1,5471 0,37

+20 0,2073 0,9837 0,8191 0,19

+40 0,8902 0,9830 1,6353 0,37

+60 0,1822 0,9984 1,4800 0,03

36


variação em degrau no caudal mássico do fluido de trabalho, partindo da condição de operação 3

Variáveis de saída Variação de ��𝑓 (g/s)


MSE VAF MD EE (%)

Pressão de evaporação (Pa) -6 5,93 × 108 0,9386 42999 -4,98 -4 4,55 × 107 0,9881 11498 -1,17 -2 4,42 × 106 0,9884 5154 0,09 +2 2,04 × 106 0,9952 3226 0,27 +4 4,28 × 107 0,9668 10831 -1,71 +6 3,43 × 108 0,8469 32181 -5,22


-6 4,9540 0,9854 4,4698 -0,60 -4 3,3606 0,9793 3,4825 -0,51 -2 0,4820 0,9856 1,3956 -0,23 +2 0,7047 0,9713 1,5137 -0,28 +4 2,1099 0,9809 2,8287 -0,48 +6 3,7310 0,9842 3,9460 -0,68

Variação sobreaquecimento (K)

-6 2,6395 0,9836 3,7903 -2,10 -4 3,0085 0,9688 3,1495 -3,64 -2 0,6199 0,9673 1,3390 -2,27 +2 0,6693 0,9475 1,3794 -2,76 +4 1,3045 0,9770 2,5426 -3,16 +6 1,8377 0,9813 3,8996 -1,84

Eficiência de primeira lei -6 5,6 × 10−6 0,9823 0,0044 0,58 -4 2,0 × 10−6 0,9818 0,0024 -0,31 -2 1,97 × 10−6 0,8872 0,0026 -0,33 +2 2,11 × 10−6 0,9534 0,0025 -0,32 +4 3,18 × 10−7 0,9965 0,0020 -0,02 +6 9,45 × 10−6 0,9467 0,0057 0,70

Eficiência de segunda lei -6 1,34 × 10−5 0,9533 0,0079 -2,21 -4 6,23 × 10−6 0,9475 0,0061 -0,98 -2 9,97 × 10−7 0,9640 0,0019 -0,22 +2 4,6 × 10−7 0,9830 0,0015 -0,14 +4 1,92 × 10−6 0,9824 0,0030 -1,21 +6 7,1 × 10−6 0,9694 0,0045 -3,20


-6 65,9540 0,9816 16,8290 -2,51 -4 20,6980 0,9811 12,8040 -0,23 -2 4,7937 0,9803 4,8868 0,33 +2 3,6007 0,9889 3,1170 0,93 +4 5,5591 0,9945 5,3468 -0,87 +6 59,8000 0,9745 13,3860 -4,94


-6 1,4618 0,9822 2,2351 -0,50

-4 0,5079 0,9821 1,2136 0,28

-2 0,5050 0,8882 1,2969 0,30

+2 0,5413 0,9536 1,2909 0,30

+4 0,0807 0,9966 1,0328 0,02

+6 2,4429 0,9467 2,8881 -0,69

37

Tabela 4.14:Avaliação do modelo linear identificado em relação ao modelo não linear quando aplicada uma

variação em degrau simultânea no caudal mássico e na temperatura dos gases de escape, partindo da condição

de operação 3


de ��𝑔 (g/s) Variação

de 𝑇𝑔 (g/s)


MSE VAF MD EE (%)

Pressão de evaporação (Pa) -6 -60 1,05 × 109 0,8725 59183 -10,76 -4 -40 2,1 × 108 0,9562 26991 -4,26 -2 -20 6,54 × 106 0,9962 5680 -0,54 +2 +20 2,15 × 106 0,9987 4695 -0,15 +4 +40 4,04 × 108 0,9591 38044 -4,30 +6 +60 9,86 × 108 0,9572 55971 -5,74


-6 -60 0,5499 0,9988 2,3744 0,15 -4 -40 0,3491 0,9985 2,2694 -0,05 -2 -20 0,4274 0,9939 2,1534 -0,15 +2 +20 0,9544 0,9889 2,9590 -0,20 +4 +40 2,3657 0,9873 4,7646 0,31 +6 +60 2,5721 0,9942 5,6536 0,19

Variação sobreaquecimento -6 -60 2,7823 0,9932 3,1850 54,87 -4 -40 0,3503 0,9973 2,3284 3,67 -2 -20 0,3845 0,9893 2,0873 -1,60 +2 +20 0,8559 0,9843 2,7605 -1,57 +4 +40 3,6153 0,9630 4,5483 3,91 +6 +60 3,7149 0,9839 5,4554 2,73

Eficiência de primeira lei -6 -60 1,4 × 10−5 0,9905 0,0100 0,20 -4 -40 6,39 × 10−6 0,9853 0,0058 -0,35 -2 -20 4,98 × 10−6 0,9666 0,0037 -0,46 +2 +20 2,22 × 10−6 0,9829 0,0026 -0,29 +4 +40 1,02 × 10−5 0,9813 0,0059 0,79 +6 +60 5,27 × 10−6 0,9952 0,0035 0,44

Eficiência de segunda lei -6 -60 1,15 × 10−4 0,9546 0,0233 -5,95 -4 -40 3,1 × 10−5 0,9682 0,0131 -1,90 -2 -20 4,56 × 10−6 0,9769 0,0052 -0,25 +2 +20 8,75 × 10−7 0,9903 0,0031 -0,24 +4 +40 1,79 × 10−6 0,9947 0,0045 -0,71 +6 +60 3,52 × 10−6 0,9961 0,0046 -0,76

Potência líquida recuperada -6 -60 736,2700 0,9320 48,9540 -32,06 -4 -40 141,0600 0,9766 21,9670 -10,02 -2 -20 6,4504 0,9966 6,5620 -1,14 +2 +20 5,7398 0,9969 6,3108 -0,43 +4 +40 158,4200 0,9841 23,0190 -4,52 +6 +60 379,1100 0,9834 35,1670 -5,56

Temperatura dos gases de escape à saída do evaporador

-6 -60 8,2817 0,9811 5,0171 -1,25

-4 -40 0,5479 0,9978 2,0792 -0,19

-2 -20 0,3941 0,9923 1,1140 0,27

+2 +20 0,5264 0,9890 1,2996 0,28

+4 +40 4,0008 0,9832 3,8711 -0,84

+6 +60 4,8846 0,9911 3,8025 -0,80

38

4.5 Redução do Modelo

A descrição da dinâmica de um sistema através de equações diferenciais é uma ferramenta

fundamental no projeto de sistemas de controlo. Estas equações, que dão origem a um modelo

matemático, podem ser obtidas a partir de princípios físicos ou através de dados experimentais. A

complexidade do modelo está relacionada com o número de equações diferenciais de primeira ordem

utilizadas para o descrever, geralmente referenciado como a ordem do modelo. Modelos de ordem

superior são capazes de descrever fenómenos complexos com um bom grau de precisão. Tal

complexidade torna esses modelos mais propícios a ocultar comportamentos mais simples que

podem ser destacados por modelos de menor ordem [31,32].

Os sistemas de controlo e de filtragem são computacionalmente exigentes, e, tendo em conta as

limitações computacionais surge a necessidade de utilizar modelos de ordem inferior que necessitem

de menores recursos. Nesse sentido, esta limitação sugere o uso de algoritmos que levem à redução

da ordem dos modelos. Assim, sacrificando-se algum grau de detalhe, é possível obter-se modelos

suficientemente flexíveis por forma a determinarem-se quais os comportamentos dinâmicos

fundamentais em cada aplicação.

4.5.1 Procedimento para redução do modelo

Em teoria de controlo, os valores próprios são utilizados para definir a estabilidade de um sistema,

enquanto os valores singulares de Hankel (𝜎𝐻) definem a energia de cada estado do sistema, e são

dados pela seguinte equação:

𝜎𝐻 = √𝜆𝑖(𝐿𝑐𝐿𝑜) (4.10)

Onde 𝜆𝑖(∙) é uma abreviação para o “enésimo valor próprio diferente de zero de …” e dado um

espaço de estados (A,B,C,D), estável, onde 𝐿𝑐 e 𝐿𝑜 são os gramianos de controlabilidade e

observabilidade, respetivamente, que satisfazem a seguinte equação de Lyapunov.

𝐴𝐿𝑐 + 𝐿𝑐𝐴𝑇 + 𝐵𝐵𝑇 = 0

𝐴𝑇𝐿𝑜 + 𝐿𝑜𝐴 + 𝐶𝑇𝐶 = 0

(4.11)

Para reduzir a ordem do modelo é necessário avaliar a energia de cada estado desse mesmo

modelo. Pretende-se guardar os estados com maior energia para preservar as características do

sistema, tais como estabilidade, resposta no domínio da frequência e do tempo, e resposta no

domínio do tempo.

Os métodos considerados têm como objetivo encontrar o modelo reduzido 𝐺red do qual a norma

infinita do erro entre os modelos seja a menor possível, ou seja, procuram minimizar (4.12) e são

apresentados em seguida:

‖𝐺 − 𝐺red‖∞ (4.12)

39

Os métodos de redução considerados:

Hankel: são considerados valores singulares de Hankel, onde os estados com menor energia

são eliminados. É utilizada a função balancmr() do MATLAB com base no algoritmo

desenvolvido por Glover [33].

Ganho estacionário: os estados de menor energia são eliminados utilizando um algoritmo que

conserva o ganho estacionário (ganho estacionário é o ganho para f = 0Hz). É utilizada a

função balred() do MATLAB com base no algoritmo desenvolvido por Varga [34].

O modelo linear obtido é de ordem 39. Na Tabela 4.15 são apresentados diversos modelos reduzidos

e classificados através de (4.12). O modelo reduzido selecionado é o modelo de ordem 24 obtido

através do método de Hankel. Este modelo foi escolhido porque preserva as qualidades do modelo

de ordem completa, sendo, no entanto, uma redução razoável do mesmo. Na Figura 4.4 é possível

comparar os valores singulares dos dois modelos em função da frequência.

Tabela 4.15: Desempenho de 𝐺red

demonstrado para diversas ordens

de redução

Ordem de 𝐺red

(‖𝐺 − 𝐺red‖∞) × 103

Hankel Ganho

Estacionário

27 0,05 0,71 26 0,10 1,73 25 0,18 0,92 24 0,89 0,88 23 1,62 1,75 22 9,84 9,97 21 59,45 59,33

Figura 4.4: Comparação dos valores singulares entre o modelo de ordem

total e o modelo de ordem reduzida escolhido

40

Controlo 𝓗∞ e 𝓗𝟐 5

O controlo robusto é uma das estratégias de controlo utilizadas atualmente e parte do princípio que o

modelo utilizado no desenvolvimento do controlador é suscetível a erros de modelação. Falhas nos

sensores e atuadores são outras incertezas que devem ser consideradas. A robustez tem maior

importância em aplicações reais de engenharia, pois estes sistemas estão vulneráveis a ruído e

perturbações exógenas que podem não ter sido considerados nas simulações teóricas [35,36].

No desenvolvimento de sistemas de controlo é de grande importância ter em conta a robustez do

controlador projetado. Na teoria clássica de controlo, para sistemas SISO, a robustez é alcançada

através de boas margens de ganho e fase. Os primeiros desenvolvimentos de controladores para

sistemas MIMO (Multiple-Input Multiple-Output na literatura inglesa) datam da década de sessenta e

focam-se em obter uma boa performance sem se preocuparem com a robustez dos mesmos, com

destaque para o controlo LQG (do inglês Linear Quadratic Gaussian) que considera perturbações

com uma distribuição Gaussiana. Motivados pelas limitações do controlo LQG, Zames [37] e Francis

et al. [38] foram pioneiros no desenvolvimento da teoria do controlo ótimo ℋ∞. O controlo ℋ∞ é uma

das principais ferramentas disponíveis para controlar sistemas lineares e invariantes no tempo. Este

tipo de controlo procura responder a especificações de performance e robustez, garantindo

estabilidade interna [39,40].

O presente capítulo introduz alguns conceitos teóricos fundamentais nos quais se baseia o

desenvolvimento de controladores ℋ∞ e ℋ2.

5.1 Sistema generalizado

O desenvolvimento de controlo ℋ permite incorporar as especificações de desempenho e robustez

pretendidas para o sistema.

Na Figura 5.1 é apresentado o diagrama de blocos de uma configuração típica de um sistema com

controlo ℋ. Assume-se que o processo é linear e invariante no tempo. As variáveis utilizadas na

realimentação do controlador são representadas por 𝑦; 𝑢 são as entradas geradas pelo controlador.

As perturbações são variáveis de entradas exógenas e são representadas por 𝑤; 𝑧 são as variáveis

de saída que se pretende controlar e incluem os pesos de performance e robustez.

41

Figura 5.1: Diagrama de blocos generalizado de um sistema na síntese de um controlador ℋ

Num problema clássico de rejeição dos efeitos das perturbações, 𝑧 contém as variáveis que se

pretendem manter pequenas na presença das perturbações 𝑤, que desviam as variáveis 𝑧 do zero.

Assim, o desempenho do sistema na rejeição de perturbações depende da energia da função de

transferência em anel fechado que relaciona 𝑤 a 𝑧, que será designada como 𝑇𝑧𝑤. Isto também é

válido caso 𝑧 represente o erro de seguimento, onde as perturbações desviam o mesmo do zero.

Para estes dois casos, pretende-se desenvolver um controlador 𝐾 que minimize as saídas 𝑧, em

termos de energia, na presença de perturbações 𝑤, ou seja, que diminua a energia da função de

transferência em anel fechado 𝑇𝑧𝑤. As duas normas consideradas neste trabalho para quantificar a

energia de 𝑇𝑧𝑤 são a norma ℋ∞ e ℋ2. O problema pode ser definido pela seguinte condição.

min𝐾 estabilizador

‖𝑇𝑧𝑤‖ (5.1)

5.2 Definição das normas

5.2.1 Norma ℋ∞

A norma ℋ∞ de 𝐺(𝑠), representada por ‖𝐺‖∞, é definida por:

‖𝐺‖∞ = sup𝜎max[𝐺(𝑗𝜔)] (5.2)

em que 𝜎[𝐺(𝑗𝜔)] são os valores singulares de 𝐺(𝑗𝜔) em função da frequência 𝜔. A norma ℋ∞ de

𝐺(𝑠) representa o valor máximo de 𝜎max[𝐺(𝑗𝜔)] em todas as frequências ω. O supremo é utilizado na

definição uma vez que o valor máximo de 𝜎max[𝐺(𝑗𝜔)] pode não existir. Fisicamente, a norma ℋ∞

corresponde à maior amplificação possível para todas as frequências de um sinal sinusoidal de

entrada, ou seja, classifica o maior aumento de energia possível entre a entrada e a saída de um

dado sistema [41].

5.2.2 Norma ℋ2

A norma ℋ2 de 𝐺(𝑠), representada por ‖𝐺‖2, é definida por:

𝐾

Controlador

𝐺

Processo

𝑢 𝑦

𝑧 𝑤

42

‖𝐺‖2 = (1

2𝜋∫ trace[𝐺(𝑗𝜔)𝐺∗(𝑗𝜔)]dω ∞

−∞

)

12

= (1

2𝜋∫ ∑𝜎𝑖

2[𝐺(𝑗𝜔)]

𝑟

𝑖=1

𝑑𝜔∞

−∞

)

12

(5.3)

onde 𝜎𝑖 designa o enésimo valor singular, 𝐺∗(𝑗𝜔) é o complexo conjugado transposto de 𝐺(𝑗𝜔), e 𝑟 é

a característica de 𝐺(𝑗𝜔).

Se 𝐺(𝑠) for considerado como uma função de transferência submetida por uma entrada

independente, média zero e intensidade de ruído branco, temos que a soma das variâncias das

saídas 𝑦(𝑡) é exatamente o quadrado da norma ℋ2 de 𝐺(𝑠).

𝐸[𝑦𝑇(𝑡)𝑦(𝑡)] = ‖𝐺(𝑠)‖22 (5.4)

A norma ℋ2 de 𝐺(𝑠) é uma medida precisa da potência do sinal de saída do sistema quando as

entradas são excitadas por ruídos brancos independentes. É importante referir que no caso escalar,

√𝐸[𝑦𝑇(𝑡)𝑦(𝑡)] é a raiz quadrada do valor médio quadrático do sinal de saída 𝑦(𝑡) [41].

5.3 Definição dos controladores

5.3.1 Controlador 𝑲∞

O processo 𝐺 apresentado na Figura 5.1 pode ser representado pelo seguinte espaço de estados:

Esta representação matricial é definida pelas seguintes equações:

��(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵1𝑤(𝑡) + 𝐵2𝑢(𝑡) (5.6)

𝑧(𝑡) = 𝐶1𝑥(𝑡) + 𝐷11𝑤(𝑡) + 𝐷12𝑢(𝑡) (5.7)

𝑦(𝑡) = 𝐶2𝑥(𝑡) + 𝐷21𝑤(𝑡) + 𝐷22𝑢(𝑡) (5.8)

Glover e Doyle [42] apresentam as condições necessárias e suficientes para a existência de uma

solução subótima ℋ∞ e, consequentemente, da parametrização de controladores desse género. Os

resultados obtidos apresentam-se nas seguintes considerações:

1. 𝐷11 = 0

2. [𝐴 𝐵2] é estabilizável

3. [𝐴 𝐶2] é detetável

4. 𝑉 = [𝐵1𝐷21] [𝐵1

𝑇 𝐷21𝑇 ] ≔ [

𝑉𝑥𝑥 𝑉𝑥𝑦

𝑉𝑥𝑦𝑇 𝑉𝑦𝑦

] ≥ 0 com 𝑉𝑦𝑦 > 0

5. 𝑅 = [𝐶1𝑇

𝐷12𝑇 ] [𝐶1 𝐷12] ≔ [

𝑅𝑥𝑥 𝑅𝑥𝑢𝑅𝑥𝑢𝑇 𝑅𝑢𝑢

] ≥ 0 com 𝑅𝑥𝑥 > 0

𝐺 = [

𝐴 𝐵1 𝐵2𝐶1 𝐷11 𝐷12𝐶2 𝐷21 𝐷22

] (5.5)

43

Considerando 𝑤(t) um sinal limitado ℒ2, ∫ 𝑤𝑇(𝑡)𝑤(𝑡)𝑑𝑡∞

−∞< ∞, pretende-se definir um controlador

estabilizador que satisfaça a condição (5.9). A solução para o problema de otimização definido em

(5.1) não é única, com exceção para o caso escalar [43]. É, na generalidade, suficiente encontrar um

controlador 𝐾∞ que estabilize o sistema, tal que a condição (5.9) seja satisfeita para 𝛾 > 𝛾0, onde 𝛾0

define a solução ótima para o problema (5.1).

‖𝑇𝑧𝑤(𝑗𝜔)‖∞ < 𝛾 (5.9)

O Controlador 𝐾∞ é definido por:

𝐾∞ ≔ [

𝐴∞ −𝑍∞𝐿∞𝐹∞ 0

] (5.10)

onde

𝐴∞ = 𝐴 + (𝐵1 + 𝐿∞𝐷12)𝑊∞ + 𝐵2𝐹∞ + 𝑍∞𝐿∞𝐶2 + 𝑍∞𝐿∞𝐷22𝐹∞

𝐹∞ = −𝑅𝑢𝑢−1(𝑅𝑥𝑢

𝑇 + 𝐵2𝑇𝑋∞) 𝑊∞ =

1

𝛾2𝐵1𝑇𝑋∞

𝐿∞ = −(𝑌∞𝐶2𝑇 + 𝑉𝑥𝑦)𝑉𝑦𝑦

−1 𝑍∞ = (𝐼 −1

𝛾2𝑌∞𝑋∞)−1

e 𝑋2 e 𝑌2 são soluções da seguinte equação de Riccati

0 = 𝑋∞𝐴𝑟 + 𝐴𝑟

𝑇𝑋∞ + 𝑅𝑥𝑥 − 𝑅𝑥𝑢𝑅𝑢𝑢−1𝑅𝑥𝑢

𝑇 − 𝑋∞ (𝐵2𝑅𝑢𝑢−1𝐵2

𝑇 −1

𝛾2𝐵1𝐵1

𝑇)𝑋∞ (5.11)

0 = 𝐴𝑒𝑌∞ + 𝑌∞𝐴𝑒

𝑇 + 𝑉𝑥𝑥 − 𝑉𝑥𝑦𝑉𝑦𝑦−1𝑉𝑥𝑦

𝑇 − 𝑌∞ (𝐶2𝑇𝑉𝑦𝑦

−1𝐶2 −1

𝛾2𝐶1𝑇𝐶1) 𝑌∞ (5.12)

que satisfazem as seguintes condições:

1. 𝑋∞ ≥ 0

2. A matriz Hamiltoniana de (5.11)

[𝐴 − 𝐵2𝑅𝑢𝑢

−1𝑅𝑥𝑢𝑇 −𝐵2𝑅𝑢𝑢

−1𝐵2𝑇 +

1

𝛾2𝐵1𝐵1

𝑇

−𝑅𝑥𝑥 + 𝑅𝑥𝑢𝑅𝑢𝑢−1𝑅𝑥𝑢

𝑇 −(𝐴 − 𝐵2𝑅𝑢𝑢−1𝑅𝑥𝑢

𝑇 )𝑇]

não tem valores próprios no eixo 𝑗𝜔, ou por equivalência, 𝐴 + 𝐵1𝑊∞ + 𝐵2𝐹∞ é estável

3. 𝑌∞ ≥ 0

4. A matriz Hamiltoniana de (5.12)

[(𝐴 − 𝑉𝑥𝑦𝑉𝑦𝑦

−1𝐶2)𝑇

−𝐶2𝑇𝑉𝑦𝑦

−1𝐶2 +1

𝛾2𝐶1𝑇𝐶1

−𝑉𝑥𝑥 + 𝑉𝑥𝑦𝑉𝑦𝑦−1𝑉𝑥𝑦

𝑇 −𝐴 + 𝑉𝑥𝑦𝑉𝑦𝑦−1𝐶2

]

não tem valores próprios no eixo 𝑗𝜔, ou por equivalência, 𝐴 + 𝐿∞𝐶2 +1

𝛾2𝑌∞𝐶1

𝑇𝐶1 é estável

5. 𝜌(Y∞𝑋∞) < 𝛾2, onde 𝜌(∙) = maxi|𝜆(∙)| é o raio espectral

44

O controlador subótimo ℋ∞ que minimiza ‖𝑇𝑧𝑤‖∞ com a tolerância desejada é 𝐾∞ com 𝛾 igual ao

menor valor superior a zero que satisfaça as condições 1 a 5 [44].

5.3.2 Controlador 𝑲𝟐

O controlador estabilizador 𝐾2 que minimiza ‖𝑇𝑧𝑤(𝑠)‖2 é definido através de

𝐾2 ≔ [

𝐴 + 𝐵2𝐹2 + 𝐿2𝐶2 + 𝐿2𝐷22𝐹2 −𝐿2𝐹2 0

] (5.13)

onde

𝐹2 = −𝑅𝑢𝑢−1(𝑅𝑥𝑢

𝑇 + 𝐵2𝑇𝑋2)

𝐿2 = −(𝑌2𝐶2𝑇 + 𝑉𝑥𝑦)𝑉𝑦𝑦

−1

𝑋2 e 𝑌2 são soluções únicas e semidefinidas positivas das seguintes equações de Riccati

0 = 𝑋2𝐴𝑟 + 𝐴𝑟𝑇𝑋2 + 𝑅𝑥𝑥 − 𝑅𝑥𝑢𝑅𝑢𝑢

−1𝑅𝑥𝑢𝑇 − 𝑋2𝐵2𝑅𝑢𝑢

−1𝐵2𝑇𝑋2 (5.14)

0 = 𝐴𝑒𝑌2 + 𝑌2𝐴𝑒𝑇 + 𝑉𝑥𝑥 − 𝑉𝑥𝑦𝑉𝑦𝑦

−1𝑉𝑥𝑦𝑇 − 𝑌2𝐶2

𝑇𝑉𝑦𝑦−1𝐶2𝑌2 (5.15)

onde

𝐴𝑟 = (𝐴 − 𝐵2𝑅𝑢𝑢−1𝑅𝑥𝑢

𝑇 ) e 𝐴𝑒 = (𝐴 − 𝑉𝑥𝑦𝑉𝑦𝑦−1𝐶2)

Contrariamente ao controlador ℋ∞ definido na subsecção anterior, o controlador ℋ2 é único e ótimo

[44].

5.4 Estratégia de controlo

Nesta secção é apresentada a estratégia de controlo para um ORC de pequena escala em que a

fonte de calor varia em temperatura e caudal mássico.

O objetivo principal do controlador é minimizar a influência das perturbações induzidas pela fonte de

calor, de modo a garantir um rendimento elevado do ORC e prevenir a deterioração dos componentes

mecânicos. Para rejeitar os efeitos das perturbações, são definidos valores de referência para a

temperatura e pressão de evaporação com base nas condições estacionárias do ORC.

É definido um valor de referência para a temperatura de evaporação para garantir que o

sobreaquecimento seja mantido baixo o suficiente para assegurar um bom rendimento do ciclo. No

entanto, o sobreaquecimento tem de ser sempre positivo para prevenir a formação de gotículas que

podem danificar a turbina.

5.5 Especificações de projeto do sistema em anel fechado

O controlador para o ORC é desenvolvido para o caso contínuo no tempo. Em geral, é possível obter-

se melhores resultados de performance no caso contínuo. Os resultados apresentados para o caso

contínuo podem ser considerados como limites para o caso discreto. Outra vantagem da definição do

45

controlo para o caso contínuo é facilidade em definir as funções de ponderação de performance

apropriadas, sendo posteriormente convertido o controlador para o domínio discreto.

O projeto do controlador é realizado tendo em conta o sistema linearizado descrito no capítulo

anterior, onde são consideradas as seguintes variáveis do mesmo para o desenvolvimento do

controlo.

𝑦 = [

𝑃𝑒𝑣𝑎𝑝𝑇𝑒𝑣𝑎𝑝

], 𝑢 = [��𝑓] (5.16)

O processo pode então ser representado por:

𝐺 = [𝐺𝑤 𝐺𝑢] (5.17)

de modo a que

𝑦 = 𝐺𝑤𝑤 + 𝐺𝑢𝑢 (5.18)

em que 𝐺𝑤(𝑠) é a matriz de funções de transferência do sistema em relação às perturbações e 𝐺𝑢(𝑠)

é a matriz de funções de transferência correspondentes aos sinais de controlo. O diagrama de blocos

do sistema em anel aberto é apresentado na Figura 5.2 onde estão representadas as interligações

entre o sistema 𝐺(𝑠) e as funções de desempenho 𝑊𝑝(𝑠) e 𝑊𝑢(𝑠) que irão moldar a função de

transferência do anel fechado 𝑇𝑧𝑤(𝑠) representada em (5.19).

Figura 5.2: Diagrama de blocos do sistema em anel aberto com especificações de desempenho

O sistema tem dois tipos de entradas: referências (𝑟) e perturbações (𝑤), e dois sinais de saída

(𝑒𝑢 e 𝑒𝑦). A função de transferência 𝐺(𝑠) representa o ORC linearizado. As funções de desempenho

𝑊𝑢 e 𝑊𝑝 são utilizadas para definir a importância relativa desse sinal para as gamas de frequência

necessárias no desempenho do sistema. Assim, o objetivo de performance do sistema pode ser

reformulado com a possibilidade de uma aproximação mais conservadora.

𝑇𝑧𝑤(𝑠) = [

𝑊𝑝𝑆𝑜𝐺𝑢𝐾 𝑊𝑝𝑆𝑜𝐺𝑤𝑊𝑢𝑆𝑖𝐾 −𝑊𝑢𝐾𝑆𝑜𝐺𝑤

] (5.19)

𝑤

𝑢

+ -

𝑊𝑝 𝐺�

𝑊𝑢

Referências 𝑦𝑐

𝑒𝑦

𝑒𝑢

𝑦

46

Onde 𝑆𝑖 = (𝐼 + 𝐾𝐺)−1, 𝑆𝑜 = (𝐼 + 𝐺𝐾)

−1 são as sensibilidades de entrada e saída, respetivamente. Em

(5.19) é explorado o facto de 𝑆𝑖𝐾 = 𝐾𝑆𝑜. O objetivo desta formulação é semelhante à de um problema

típico de sensibilidade mista (mixed S/KS sensitivity optimization na literatura inglesa) e tem em conta

os critérios de estabilidade e performance. O critério de desempenho traduz-se na minimização das

quatro funções descritas na Tabela 5.1.

Tabela 5.1: Funções ℋ∞ a minimizar

Função Descrição

𝑊𝑝𝑆𝑜𝐺𝑢𝐾 Ponderação da sensibilidade do sistema em anel fechado

𝑊𝑝𝑆𝑜𝐺𝑤 Ponderação da sensibilidade às perturbações

𝑊𝑢𝑆𝑖𝐾 Ponderação das ações de controlo que se devem às referências

−𝑊𝑢𝐾𝑆𝑜𝐺𝑤 Ponderação das ações de controlo que se devem às perturbações

O sistema em anel fechado atinge o desempenho pretendido se for satisfeita a condição (5.20) onde

norma considerada depende do controlo pretendido, isto é, ‖∙‖∞ para o controlo ℋ∞ e ‖∙‖2 para o

controlo ℋ2.

‖ [𝑊𝑝𝑆𝑜𝐺𝑢𝐾 𝑊𝑝𝑆𝑜𝐺𝑤𝑊𝑢𝑆𝑖𝐾 −𝑊𝑢𝐾𝑆𝑜𝐺𝑤

] ‖ < 1 (5.20)

5.6 Funções de desempenho

Existem diversas funções de performance e controlo, para a extensão do sistema, que garantem

estabilidade do mesmo. A performance pode ser ajustada, por tentativa e erro, através da afinação

dos pesos. Para simplificar este processo e encontrar as funções que garantem o melhor

desempenho, é utilizada a meta-heurística PSO desenvolvida por Biswas [45]. O algoritmo de PSO é

explicado subcapítulo 5.6.1.

São escolhidas as mesmas funções de desempenho para os controladores ℋ2 e ℋ∞ como termo de

comparação entre os dois métodos. Na equação (5.21) encontram-se as funções de desempenho

utilizadas no projeto dos controladores. Estas funções foram definidas recorrendo à meta-heurística

PSO.

𝑊𝑝 =

[ 1 × 10−16(𝑠 + 1 × 105)

𝑠 + 10

07.455 × 10−7(𝑠 + 10)

𝑠 + 1 × 10−5

]

𝑊𝑢 =10(𝑠 + 1 × 10−5)

𝑠 + 1 (5.21)

Os controladores ℋ∞ e ℋ2 foram desenvolvidos em MATLAB com as definições especificadas.

Encontra-se em Anexo parte do programa desenvolvido para definir os controladores.

47

5.6.1 Particle Swarm Optimization

O PSO é um método de otimização estocástica baseada no conhecimento de grupo, que foi

desenvolvido por Kennedy e Eberhart [46]. PSO simula o comportamento social de organismos, como

um bando de aves ou um cardume de peixes. Este comportamento pode ser descrito como uma

forma automática e iterativamente atualizada do sistema. Em PSO, cada solução de um candidato é

considerada uma partícula na região de soluções. Cada partícula faz uso da sua própria memória e

dos conhecimentos adquiridos pelo grupo para encontrar a melhor solução. A performance de cada

partícula é avaliada de acordo com uma função objetivo a ser otimizada. A movimentação de

partículas no espaço de soluções é realizada através de uma simples formulação da posição e

velocidade de cada partícula. O movimento de cada partícula é influenciado pela posição da melhor

solução local e também pela posição da melhor solução global conhecida. Em cada iteração, a

posição 𝑝 e a velocidade 𝑣 de cada partícula 𝑖 é atualizada usando (5.22) e (5.23).

𝑣𝑖(𝑘 + 1) = 𝑔𝑣𝑖(𝑘) + 𝑐1𝑟1(𝑝𝑖𝑏𝑒𝑠𝑡 − 𝑝𝑖(𝑘)) + 𝑐2𝑟2(𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡 − 𝑝𝑖(𝑘)) (5.22)

𝑝𝑖(𝑘 + 1) = 𝑝𝑖(𝑘) + 𝑣𝑖(𝑘 + 1) (5.23)

Onde 𝑣𝑖 e 𝑝𝑖 são a velocidade e a posição da partícula 𝑖, 𝑔 é a inércia, 𝑐1 e 𝑐2 são os fatores cognitivo

e social, respetivamente, 𝑟1 e 𝑟2 são dois números aleatórios no intervalo [0 1], 𝑝𝑖𝑏𝑒𝑠𝑡 é a melhor

posição encontrada desta partícula (memorizada por cada partícula). Finalmente, 𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡 é a melhor

posição encontrada entre todas a partículas. O processo é então iterado um determinado número de

vezes ou até que um erro mínimo pré-determinado seja alcançado.

Bonyadi e Michalewicz [47] publicaram, recentemente, uma revisão abrangente dos trabalhos teóricos

e experimentais sobre PSO. Existem diversos trabalhos na literatura que utilizam métodos de PSO

para definir parâmetros de controlo ℋ∞ (veja-se [48–50]).

5.7 Representação no espaço discreto

Para aplicação, no modelo numérico [3], do controlador definido no capítulo antecedente, é

necessário converter o mesmo para uma representação discreta.

As equações de estado do controlador projetado no domínio do tempo contínuo podem ser

representadas no domínio discreto através da seguinte equação

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐹𝑥(𝑘) + 𝐺𝑢(𝑘),

𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘) + 𝐷𝑢(𝑘),

𝑘 = 0,1,2, … (5.24)

onde 𝐹 = 𝐴(𝑇), 𝐺 = 𝐵(𝑇) e 𝑇 é o tempo de amostragem [51].

As matrizes 𝐹 e 𝐺 são obtidas com recurso à função c2d() do MATLAB, onde foi escolhido o método

de retentor de amostras de ordem zero (ZOH – Zero Order Hold na literatura inglesa) porque as

entradas consideradas são variações em degrau. O tempo de amostragem do modelo é de 25

milissegundos e corresponde ao tempo de amostragem do modelo não linear [3].

48

5.8 Avaliação dos controladores desenvolvidos

Esta secção é dedicada à apresentação e discussão dos resultados relevantes para avaliação do

desempenho dos controladores desenvolvidos nas secções anteriores. Os controladores foram

desenvolvidos a partir do modelo linear apresentado no capítulo 4 e são avaliados segundo o seu

desempenho em ambos os modelos, isto é no modelo linear definido no capítulo 4, e no modelo não

linear descrito no capítulo 3.

5.8.1 Modelo linear

A Figura 5.3 mostra a variação de caudal mássico e temperatura dos gases de escape que

correspondem à perturbação estudada, a qual parte da condição de operação 3. Aos 50 s de

simulação, o caudal mássico é aumentado em 3 g/s e a temperatura em 60 K. Esta variação

corresponde à maior variação aplicada na linearização do modelo. Na Figura 5.4 encontra-se a ação

de controlo para ambos os controladores.

Figura 5.3: Perturbação nas condições dos gases de escape partindo da condição de operação 3

Figura 5.4: Ação de controlo aplicada pelos controladores quando o modelo linear é submetido às perturbações

apresentadas na Figura 5.3

Na Figura 5.5 observa-se a resposta do modelo linear à perturbação definida na Figura 5.3. Tendo

como objetivos manter a pressão e temperatura de evaporação constantes, os controladores ℋ∞ e

ℋ2 apresentam uma boa rejeição dos efeitos da perturbação e um comportamento satisfatório. A

pressão de evaporação estabiliza em cerca de 150 s e com 25 kPa acima da referência. A

temperatura demora o mesmo tempo a estabilizar, tendo um erro de 6 K. O controlo ℋ2 apresenta um

máximo de sobreimpulso superior ao controlo ℋ∞.

49

Figura 5.5: Resposta do modelo linear quando submetido às perturbações apresentadas na Figura 5.3

5.8.2 Modelo não linear

Nesta subsecção é avaliado o desempenho dos controladores no modelo não linear. Primeiramente,

é aplicada a perturbação apresentada na subsecção anterior (ver Figura 5.3) para comparar a

performance dos controladores nos dois modelos, uma vez que são esperados alguns erros de

modelação. Para finalizar esta secção, é aplicada uma perturbação que ultrapassa as variações

utilizadas na linearização do modelo. Uma vez que este método de controlo é robusto, espera-se que

consiga controlar o modelo não linear para variações nas condições da fonte de calor superiores às

estudadas anteriormente.

É também apresentada a performance do controlador PI desenvolvido por Elias [3] como termo de

comparação com os controladores desenvolvidos no presente trabalho. Na Figura 5.6 encontra-se a

ação de controlo para os três controladores referidos.

Figura 5.6: Ação de controlo aplicada pelos controladores no modelo não linear submetido às perturbações


Na Figura 5.7 é possível observar a resposta do modelo não linear para os três controladores. O

comportamento dos controladores ℋ∞ e ℋ2 diferem daquele apresentado no modelo linear. O

50

controlo ℋ∞ rejeita por completo o efeito que a perturbação tem na pressão de evaporação. A

temperatura de evaporação tem um erro de 3 K. Estas variações na temperatura de evaporação

estão dentro dos limites aceitáveis e não representam risco para o sistema físico.


De seguida é avaliada a performance dos controladores no modelo não linear sujeito a variações nas

condições dos gases de escape superiores às utilizadas na linearização do modelo. O controlador ℋ2

apresentou um comportamento muito oscilatório que levou o modelo não linear a instabilizar. Este

controlador foi excluído das seguintes figuras por não ser válido. A Figura 5.8 mostra a perturbação

imposta ao sistema que representa uma variação sucessiva em degrau para as condições de

operação {3, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 7, 8, 9, 12, 13}.

Figura 5.8: Perturbação sucessiva em degrau nas condições dos gases de escape

51

Figura 5.9: Ação de controlo aplicada pelos controladores no modelo não linear submetido às perturbações


A Figura 5.10 apresenta a resposta do modelo não linear para o controlador ℋ∞ e PI, faltando o

controlador ℋ2 pelas razões mencionadas. Tal como para as perturbações mais ligeiras, a pressão de

evaporação mantém-se praticamente constante. A temperatura de evaporação diminui com o

aumento do caudal mássico e da temperatura dos gases de escape, sofrendo um desvio superior a

20 K. Seria de esperar que este desempenho fosse inferior uma vez que a amplitude destas

perturbações é muito superior àquelas permitidas na linearização, esperando-se um comportamento

não linear. No entanto, este comportamento é aceitável dado que a temperatura de evaporação

mantém-se superior à temperatura de orvalho (348,5 K).


52

Conclusões 6

Neste trabalho desenvolveram-se estratégias de controlo ℋ∞ e ℋ2 com o objetivo de rejeitar os

efeitos causados pela variação da energia térmica disponível na fonte de calor de um ORC utilizado

como sistema de WHR em veículos automóveis. As variações de energia referidas devem-se à

variação do caudal e temperatura dos gases de escape, de onde é recuperada a energia térmica.

O estudo foi realizado recorrendo ao modelo numérico de um ORC desenvolvido por [3]. Para o

desenvolvimento dos controladores foi necessário linearizar o modelo numérico referido. Procedeu-se

à identificação e linearização do modelo, selecionando o melhor modelo através dos índices de

desempenho MSE, MD, VAF e EE, comparando o modelo linear com o modelo não linear. O modelo

linear foi validado para vários cenários de variação das condições dos gases de escape. Estas

variações foram aplicadas em degrau de diferentes amplitudes de caudal e temperatura dos gases de

escape. Quando comparado o modelo linear e o modelo não linear, o VAF apresenta um valor médio

igual a 0,9789 e o EE apresenta um valor absoluto médio igual a 1,7 garantido uma boa aproximação

da dinâmica do modelos e do valor estacionário. Conclui-se que o modelo linear apresenta uma

performance aceitável para o estudo pretendido, validando também o intervalo de linearização

escolhido.

Os controladores foram desenvolvidos a partir do modelo linear apresentado no capítulo 4 e são

avaliados segundo o seu desempenho em ambos os modelos, isto é, no modelo linear e no modelo

não linear descrito no capítulo 3.

A resposta do modelo linear com o controlador ℋ2 apresenta um máximo de sobreimpulso superior

ao do controlador ℋ∞em todas variáveis de saída analisadas. Este comportamento mais

subamortecido por parte do controlador ℋ2 é realçado no modelo não linear, apresentando um

comportamento mais oscilatório que o do controlador ℋ∞.

No modelo não linear são avaliados dois conjuntos de perturbações: o primeiro, idêntico ao estudado

para o modelo linear, comparando assim a performance nos dois modelos, e, no segundo conjunto,

são aplicadas sucessivas variações às condições dos gases de escape, ultrapassando as variações

utilizadas na linearização do modelo. Na avaliação do desempenho dos controladores no modelo

linear é também apresentado o controlador PI desenvolvido por Elias [3] como base de comparação.

Os controladores desenvolvidos no presente trabalho apresentam uma boa rejeição dos efeitos

causados por perturbações de pequenas amplitudes, isto é, dentro do limite do modelo linear.

Quando submetidos a perturbações de amplitudes superiores, no caso do modelo não linear, o

desempenho é inferior chegando mesmo no caso do controlador ℋ2 a instabilizar o sistema. No

entanto, para o controlo ℋ∞ as variações na pressão e na temperatura de evaporação estão dentro

dos limites aceitáveis e não representam risco para o sistema físico.

53

6.1 Trabalhos futuros

Todos os resultados apresentados neste trabalho foram obtidos em ambiente de simulação, pelo que,

como trabalho futuro é sugerida a implementação de um sistema físico real do ORC para validação

dos controladores desenvolvidos, através de resultados experimentais.

Tendo em conta as características do modelo não linear observadas, sugere-se também o

desenvolvimento de controlo não linear como por exemplo sliding mode control.

Este trabalho procurou desenvolver um controlado que rejeite os efeitos de perturbações na fonte de

calor. Como próximo passo, sugere-se que seja melhorada a referência para a temperatura de

evaporação, com o objetivo de maximizar a extração de energia.

54

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58

Anexo – Projeto dos controladores em MATLAB

% Controlo H-infinity e H-2

s = tf('s');

% Função de peso de performance Wp1 = 1e-16*(s+1e5)/(s+1); % Para a Pressão de Evaporação Wp2 = 7.4552e-7*(s+10)/(s+1e-5); % Para a Temperatura de Evaporação Wp = blkdiag(Wp1,Wp2);

% Função de peso da ação de controlo Wu = 10*(s+1e-5)/(s+1);

load modeloRed G

% Definição do modelo G(s) expandido com as funções de peso systemnames = ' G Wp Wu '; inputvar = '[ ref{2}; dist{2}; control ]'; outputvar = '[ Wp; Wu; ref-G(1:2) ]'; input_to_G = '[ dist; control ]'; input_to_Wp = '[ G(1); G(2) ]'; input_to_Wu = '[ control ]'; sys_ic = sysic; nmeas = 2; % Numero de variáveis de saída a minimizar ncon = 1; % Numero de variáveis controladas

% Projeto do controlador H-infinity [K,CL,GAM] = hinfsyn(sys_ic,nmeas,ncon); Kd = c2d(K,0.025,'zoh');

% Projeto do controlador H-2 [K2,CL2,GAM2] = h2syn(sys_ic,nmeas,ncon); Kd2 = c2d(K2,0.025,'zoh');

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