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Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 1
Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de
Coimbra
Disciplina de Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem
Controlo do Volume Celular
Trabalho realizado por:
[email protected] Armanda Santos
Inês Aleixo
Joana Góis
Rosemeyre Cordeiro
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 2
- Índice -
Introdução.................................................................................................3
Desenvolvimento.......................................................................................7
- Parte I - Modelo simples do controlo do volume celular
1.1 - Pressão osmótica e trabalho da concentração..............7
1.2 - Modelo simples de controlo de volume celular............10
- Parte II - Modelo de controlo do volume celular com Parte
eléctrica
2.1 – Movimento de iões através da membrana..................13
2.2 - A interacção do efeitos eléctricos e osmóticos...........15
2.3 - As equações de Hodkin-Huxley para o potencial ........20
de acção do nervo
- Análise das equações obtidas e resultados em Simulink .....................31
-Conclusões.............................................................................................34
- AnexoI....................................................................................................35
- AnexoII...................................................................................................37
- AnexoIII..................................................................................................38
- Bibliografia.............................................................................................39
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- Introdução -
As células representam a unidade estrutural e funcional de todos os
seres vivos. Por outras palavras, cada célula possui uma organização
molecular que lhe permite desempenhar as funções que desempenham a vida:
crescer, reproduzir-se e adaptar-se ao meio.
As células vivas classificam-se em procarióticas e eucarióticas. As
células eucarióticas possuem o núcleo delimitado por membrana (em grego
núcleo é caryon) e presume-se que existam na Terra há cerca de 1,5 biliões de
anos. As células anucleadas denominam-se por procarióticas e são
essencialmente representadas pelas bactérias, e admite-se que correspondam
aos descendentes mais directos das primeiras formas de vida presentes na
Terra desde há mais de 3 biliões de anos.
Em termos evolutivos, um acontecimento crucial para o aparecimento da
primeira célula deverá ter sido a formação de uma membrana capaz de isolar
proteínas e ácidos nucleicos do meio exterior. Esta necessidade de contenção
e isolamento é assegurada, em todas as células pela membrana celular.
As membranas biológicas são constituídas por uma bicamada de
fosfolípidos (fig.A). Os fosfolípidos são moléculas anfipáticas, isto é, possuem
simultaneamente ‘cabeças’ fosfatadas solúveis em água (hidrofílicas) e
‘caudas’ de ácidos gordos insolúveis em água (hidrofóbicas). Existem quatro
tipos de fosfolípidos: fosfatidilcolina, esfingomielina, fosfatidilserina e
fosfatidiletanolamina). Para além dos fosfolípidos, as membranas são também
constituídas por proteínas (essencialmente glicoproteínas e também alguns
canais e bombas) e outros tipos de lípidos (colesterol e glicolípidos). As
membranas são termodinamicamente estáveis, cuja manutenção não requer
hidrólise de ATP.
Figura A – Bicamada fosfolipídica (membrana biológica)
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As membranas para além de isolarem a célula do meio exterior e
delimitarem compartimentos intracelulares desempenham outras importantes
funções, como por exemplo, criam uma barreira impermeável a iões, as
membranas permitem estabelecer gradientes electroquímicos no interior da
célula e, assim, armazenar energia tal como uma bateria.
Existem três tipos de transportes através da membrana: difusão
facilitada, transporte activo primário e transporte activo secundário. Neste
trabalho apenas será abordado o transporte activo primário, que é o transporte
activo mediado por bombas. A maioria das bombas são complexos proteicos,
em geral com mais do que uma subunidade, cujas características corresponde
às das proteínas de tipo IV, e usam como fonte primária e directa de energia a
hidrólise de ATP, mas o mecanismo de ligação entre a hidrólise-síntese de ATP
e transporte iónico, não é o mesmo para todas
Os fluxos activos (contra gradiente) de sódio e potássio através da
membrana celular têm duas características importantes, estão ligados entre si
e estão ligados à síntese hidrólise de ATP. Quando os fluxos se processam
contra gradiente há uma hidrólise de ATP intracelular havendo a translocação
de três iões sódio e dois potássio por cada molécula de ATP hidrolisada. Se se
aumentar muito os gradientes de concentração de K+ e Na+ e, além disso se se
aumentar a concentração intracelular de ADP e fosfato e se se diminuir a
concentração intracelular de ATP, haverá uma inversão dos fluxos de sódio e
potássio através do translocador e, simultaneamente, uma síntese de ATP.
Para além das bombas, existem também os canais dependentes de
voltagem. Estes canais assumem particular importância na despolarização de
células neuronais, isto porque, os canais de sódio dependentes de voltagem
são responsáveis pelas correntes de membrana que medeiam a fase
ascendente do potencial de acção na maioria das células excitáveis.
O neurónio-padrão (fig. B) consiste numa célula nucleada com um corpo
da qual saem muitos prolongamentos. Estes prolongamentos podem incluir
dendrites e um axónio. Não são ambos necessários; basta um deles. Ou seja:
um neurónio pode ter um axónio e nenhuma dendrite, dendrites e nenhum
axónio, ou dendrites e um axónio (ou mesmo axónios). As dedrites distinguem-
se morfologicamente dos axónios pelo conteúdo de organelos e pela
diminuição contínua de diâmetro à medida que se afasta do corpo do axónio.
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Figura B – Representação esquemática de um neurónio-padrão
O axónio é uma fibra que se projecta para fora do corpo celular de um
neurónio e transmite sinais gerados por esse neurónio a outros. O axónio
funciona, portanto como um cabo condutor que transmite impulsos.
A base dos fenómenos electroquímicos no neurónios ( e em todas as
outras células) é a geração de gradientes iónicos através da acção combinada
de membranas semi-permeáveis e bombas iónicas consumidoras de energia.
O potencial de acção pode ser descrito como um potencial de repouso
activado por um rápido aumento, uma fase descendente que se estende abaixo
do potencial de repouso (hiperpolarização).e o regresso ao seu estado inicial
(repolarização), como se pode verificar na figura (fig.C) abaixo.
Figura C - Gráfico que representa o potencial de acção
O modelo do movimento iónico numa célula nervosa durante o potencial
de acção foi desenvolvido, em 1952, por Hodgkin e Huxley com base em
experiências em lulas gigantes, pois possuem axónios bastante grandes e
fáceis de se manipular.
Numa primeira fase, analisaram a função da membrana de um neurónio
sujeita a condições fisiológicas normais; a seguir estudaram os efeitos de
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alterações na concentração do sódio no potencial de acção, assim como a
influência da corrente de iónica no fluxo membranar de sódio e potássio; numa
terceira parte, examinaram o efeito de mudanças súbitas no potencial de acção
e na condutância iónica; depois analisaram de que modo o processo de
inactivação reduzia a permeabilidade ao sódio; e por último com toda esta
informação criaram um modelo matemático que descreve este sistema
biológico.
De acordo com os estudos destes cientistas, estamos aptos a perceber
como se propara o potencial de acção ao longo do neurónio e as respectivas
funções dos canais iónicos associados.
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- Desenvolvimento -
-Parte I- Modelo simples do controlo do volume celular
1.1 - Pressão osmótica e trabalho da concentração-
Considera-se um reservatório de água, dividido por uma membrana
porosa em dois compartimentos iguais (1 e 2).
Fig 1.1.1
Cada compartimento tem um pistão (P1 e P2) que é usado para criar
diferenças de pressão, de modo a que a água passe através dos poros.
O fluxo através da membrana é directamente proporcional à diferença de
pressão aplicada.
P1-P2=RQ (grafico) (1.1.1)
Q representa o fluxo e R a resistência ao caudal através da membrana.
Supondo que se adiciona açúcar ao compartimento da esquerda (1), (ver
figura 1.1.1 c ) e que as moléculas são demasiado grandes para atravessar a
membrana porosa. Neste caso a equação anterior é dada por:
P1-P2-kTc=RQ (1.1.2)
Com c a concentração do açúcar, k a constante de Boltzman e T a
temperatura absoluta da água. O sinal negativo está relacionado com o sentido
de fluxo de água (quando o fluxo de água é de 2 para 1 este é negativo). A
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diferença de pressão dada por P1-P2= kTc, assegura o movimento de água do
compartimento 2 para o compartimento 1. Quando P1=P2 , -kTc=RQ
Q= - kTc/R; em que a pressão KTc é chamada de Pressão osmótica.
Considerando c= n/v1 , em que n é o número de moléculas de açúcar e V1 é o
volume do compartimento 1, tem-se que 1V
nKTKTcPosmótica (1.1.3), que é
idêntica à lei dos gases ideais.
Nos gases ideais, as interações intermoleculares são desprezáveis, e,
por isso, a energia interna é apenas cinética. Do mesmo modo, numa solução
muito diluida, as moléculas de soluto movem-se independentemente umas das
outras.
Assumem-se estes resultados para deduzir:
P1-P2-kTc = RQ.
1.O trabalho realizado pelo pistão é dado por:
QPPpistãoW )( 21 (1.1.4)
2.O trabalho necessário para conduzir a água através dos poros na
membrana é dado por:
2RQmembranaW (1.1.5)
3.O trabalho necessário para concentrar a solução de açúcar é:
11 VKTcVPãoconcentraçW (1.1.6)
estando em consenso com a lei dos gases. Se o caudal através da membrana
diminui, o volume de solução no compartimento 1 à taxa QV 1 , tem-se:
KTcQãoconcentraçW (1.1.7)
4.Finalmente, por conservação de energia tem-se:
ãoconcentraçWmembranaWWpistão (1.1.8)
Substituindo os termos respectivos e dividindo-os por Q obtém-se a equação:
KTcRQPP )( 21 (1.1.9)
Equação esta que é exactamente igual à (1.1.2). De notar que a equação (1.1)
surge da equação anterior quando c=0.
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O movimentro de água quando se tem açúcar dos dois lados da membrana, é
dado por:
RQccKTPP )()( 2121 , (1.1.10)
com c1 e c2 as concentrações nos respectivos compartimentos.
Assim, a sua pressão osmótica relativa é determinada pela diferença de
concentração entre as duas soluções.
Finalmente, quando se está perante uma mistura de solutos (o que
determina a pressão osmótica é o número de partículas independentes do
soluto, por unidade de volume, consideram-se as pressões osmóticas parciais
de cada um, do mesmo modo que se consideram as pressões parciais de cada
gás no caso dos gases ideais).
Um exemplo disto mesmo, é o caso de uma solução iónica (por exemplo, NaCl
dissolvido em água). Neste caso, os iões Na+ e Cl- movem-se
independentemente e a pressão osmótica desta solução é dada por:
ClkTNakT
Em que [ ] denota a concentração individual dos respectivos iões.
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1.2 - Modelo simples de controlo de volume celular:
Neste modelo simples, não serão considerado os efeitos eléctricos.
Fig 1.2.1 Modelo simplificado para o controlo do volume celular, ignorando os efeitos
eléctricos; deslocamento de iões e água através da membrana celular
No interior da célula representada na figura (1.2.1) existem algumas
moléculas que não conseguem atravessar a parede (membrana) celular. O
número destas moléculas é dado por X, e portanto, a sua concentração no
interior da célula é dada por X/V, sendo V o volume da célula em causa. Para
além destas moléculas a célula também possui iões de Na+ e K+. Estes iões
podem atravessar por difusão passiva a membrana da célula, membrana esta
que também é permeável à passagem de água. Verifica-se igualmente a
existência na membrana, de uma bomba de sódio/potássio, responsável não só
pelo processo de difusão activa dos iões de Na+ e K+, como também é a
responsável por manter o volume celular constante.
Assumindo-se que a pressão no interior da célula é igual à pressão no
exterior, pois a membrana celular não resiste a grandes diferenças de pressão.
As equações para o fluxo de Na+, K+ e água para o exterior da célula,
são:
pNaNaf eiNaNa )( (1.2.1)
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pKKf eiKK )( (1.2.2)
)()( 2 eeiiOH KNaVXKNaKTQR (1.2.3)
Com fNa e fK o fluxo dos iões respectivos por unidade de tempo, [Na+]i a
concentração do ião dentro da célula e [Na+]e a concentração do ião no exterior
da célula e p a taxa de movimento de iões da bomba (por unidade de tempo).
As quantidades Na e K são as permeabilidades (passivas) da célula
relativamente ao Na+ e K+, e )( 2OHR é a resistência da membrana celular à
passagem da água. A última equação, (1.2.3) representa a lei da pressão
osmótica que deriva da secção anterior, mas neste caso, tem-se que a pressão
no interior da célula é igual à pressão no exterior.
Supondo agora que a célula está num estado de equilíbrio, ou seja fluxo
de iões e de água é nulo.
Assim as equações (1.2.1),(1.2.2)e (1.2.3) tomam a forma:
Naei
pNaNa (1.2.4)
Kei
pKK (1.2.5)
eeii KNaVXKNa (1.2.6)
As duas primeiras equações remetem para as diferenças de
concentração induzidas pela bomba, enquanto que a última remete para o facto
de a concentração de soluto dentro e fora da célula ser igual; de outra forma a
água iria circular através da membrana.
Substituindo as equações (1.2.4) e (1.2.5) na (1.2.6) obtém-se:
NaK
NaK
KNa
ppVX
)11
( (1.2.7)
Ou seja,
NaK
NaK
pXV (1.2.8)
Ao analisar o resultado conclui-se que:
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Quando NaK tem-se um valor positivo e finito para o volume celular, V. O
que significa que a membrana terá de ser mais permeável a K+ do que ao Na+.
Esta assimetria é necessária pois a bomba “puxa” o Na+ para fora e K+ para
dentro da célula. A difusão através da membrana afecta parcialmente o
trabalho da bomba. Assim quando NaK a bomba actua de modo a reduzir
as concentrações de iões na célula, conseguindo depois atingir um equilíbrio
osmótico.
Outro ponto de interesse é a dependência de V com p. A equação (1.2.8)
mostra que o volume V é inversamente proporcional à taxa p da bomba.
Quando p 0, V , ou seja, é necessário que a bomba mantenha o volume
celular reduzido, caso contrário há turgescência da célula, o que pode levar
posteriormente à lise celular.
É também de notar que o V é proporcional a X. Assim, o volume da célula
modelo está automaticamente ajustado ao número de proteínas e outras
macromoléculas que se encontram no interior da célula; deste modo com a
produção de macromoléculas, a célula cresce e o seu volume aumenta
proporcionalmente. Nesta situação nunca ocorre lise celular.
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-Parte II- Modelo de controlo do volume celular com Parte
eléctrica
2.1 – Movimento de iões através da membrana
Fig 2.1.1
A bateria ilustrada na figura (2.1.1.a) mostra a condução de corrente
iónica através da membrana. A diferença de voltagem através da membrana é
conhecida por potencial de membrana. O potencial é trabalho por unidade de
carga. A corrente (carga por unidade de tempo) na fig 2.1.1 é composta por
espécies iónicas designadas por AZ+. Esta notação significa que cada ião é
carregado por uma carga elementar (positiva). Isto significa que a carga é zq,
com q a carga do protão. Nos nosso caso, para Na+ e K+ temos z = +1 e para
Cl- temos z= -1.
A diferença de potencial estabelecida pela bateria é: 21 vvv
A corrente originada pelo ião AZ+ é denotada como IA, e a relação entre a
diferença de potencial e essa corrente é dada pelo gráfico (fig 2.1.1 b). Essa
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relação é fundamentada através de argumentos energéticos similares aos
usados na secção 1.1 as suposições são:
1) O trabalho da bateria por unidade de tempo é
vIvvIW AAbateria )( 21 (2.1.1)
O que está de acordo com as definições de corrente (carga por unidade
de tempo) e potencial (ou voltagem) (trabalho por unidade de carga).
2) O trabalho necessário para a corrente fluir através da membrana é
2
AAmembrana IRW (2.1.2)
Esta suposição só é válida para situações simples, que são observadas
nas mais importantes membranas, como por exemplo, no neurónio de lula.
3) O trabalho requerido para mudar a concentração para iões de [Az+]1
para [Az+]2 é idêntico ao trabalho efectuado pelas moléculas de gás ideal. O
trabalho é 1
2
][
][log z
z
AAkT por ião transportado através da membrana. O
número de iões transportados através da membrana por unidade de tempo é
IA/zq, assim o trabalho da concentração é dado por:
1
2
][
][log z
z
Aãoconcentraç AA
zqKTIW (2.1..3)
Pela lei da conservação da energia, vem que
ãoconcentraçmembranabateria WWW (2.1.4)
Substituindo isto e dividindo por AI , obtemos
1
2
][
][log z
z
AA AA
zqKTIRv (2.1.5)
Dividindo por AR e rearranjando os termos temos
1
2
][
][log z
z
AA AA
zqKTvgI (2.1.6)
Onde AA Rg /1 é a condutância da membrana. Isto é a relação corrente -
voltagem ilustrada na figura (2.1.1.b). Quantativamente
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1
2
][
][log z
z
A AA
zqKTE (2.1.7)
é denominado por potencial de equilíbrio do ião em questão. Quando AEv , a
corrente é zero. É de notar que esta expressão para o equilíbrio potencial é
muito mais geral do que a relação corrente - voltagem analisada anteriormente.
Se o pressuposto em (2) se alterar, a relação corrente – voltagem tornar-
se-á não linear, mas continuando ainda com o mesmo potencial de equilíbrio.
Finalmente, aplicaremos os resultados desta secção numa situação em
que vários iões estão presentes simultaneamente. Neste caso, assumimos que
diferentes iões atravessam a membrana por diferentes canais. Cada ião tem o
seu próprio estado de equilíbrio potencial determinado pela razão entre as
concentrações no exterior e no interior da célula, mas todos os iões sentem o
mesmo potencial de membrana v . A corrente total é simplesmente a soma
das correntes iónicas individuais para cada ião e cada corrente iónica é dada
pela expressão semelhante à (2.1.6)
2.2 - A interacção dos efeitos eléctricos e osmóticos
Consideremos agora o modelo da figura 1.1.1, na qual incluímos o efeito
eléctrico (figura 2.2.1).
Fig 2.2.1
Tem de se considerar o efeito dos iões de cloro, mesmo que eles não sejam
transportados activamente através da membrana. Assumimos também que
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cada uma das moléculas x que se encontram dentro da célula tem carga
negativa z, representando-se quimicamente pelo símbolo Xz-.
O efeito eléctrico destas cargas produz um efeito osmótico indirecto,
porque são necessárias cargas positivas para anular as cargas negativas da
molécula. Este efeito é muito mais importante do que o efeito osmótico directo
produzido por Xz- quando z é grande.
Comecemos por analisar as equações deste modelo celular. Primeiro,
temos as equações para a corrente iónica (sentido positivo para fora):
pqNaNaqkTvgI ieNaNa ))/log()/(( (2.2.1)
pqKKqkTvgI ieKK ))/log()/(( (2.2.2)
))/log()/(( ieClCl ClClqkTvgI (2.2.3)
Estas equações (2.2.1,2.2.2 e 2.2.3) são as relações corrente-voltagem
da secção anterior, com os termos da corrente produzidos pela bomba
adicionados. Se p for a taxa de movimento de iões pela bomba (por unidade de
tempo), então pq é a corrente de Na+ produzida pela bomba e –pq a corrente
correspondente a K+, assumindo uma relação de 1:1. Na realidade, esta
relação é de 3:2, sendo por isso 3pq para o Na+ e -2pq para o K+. O sinal
negativo do K+ é devido à sua entrada para a célula.
Devido à carga negativa do Cl-, a corrente ICl tem sentido oposto do fluxo
do Cl-.
O efeito qualitativo do potencial de membrana na corrente iónica é igual
para cargas positivas e negativas.
Depois, temos a equação para o potencial de membrana v = vi – v0 em
termos de excesso de carga na célula:
)( xzClVKVNaVqCv iii (2.2.4)
onde C é capacidade da membrana da célula (q/V), ou seja a membrana actua
como um condensador, por isso é que o potencial de membrana é proporcional
ao excesso de carga.
É de notar que o excesso de carga é muito pequeno comparado com o
total de cargas positivas ou negativas, aproximando-se por isso a 0, sendo esta
a condição de electroneutralidade.
Por último, tem-se a equação para o fluxo osmótico da água (sentido
positivo para fora, de novo)
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)(2 eeeiiiOH ClKNa
VxClKNakTQR (2.2.5)
Foi suposto anteriormente que a pressão interna e externa são iguais.
Supos-se que no estado de equilíbrio, INa, Ik, ICl e o fluxo de água Q são
nulos. Adicionalmente fez-se as seguintes simplificações:
1 – C=0 (condição de neutralidade)
2 – xz = N , em que N é o número total de cargas negativas no interior
da célula. Se se considerar z e x 0 , com N fixo, expressa-se o facto de
a célula conter um número relativamente pequeno de grandes moléculas com
um grande número de cargas negativas por molécula.
A partir destas duas simplificações obtém-se as seguintes equações:
pqNaNaqkTvg ieNa ))/log()/((0 (2.2.6)
pqKKqkTvg ieK ))/log()/((0 (2.2.7)
))/log()/((0 ieCl ClClqkTvg (2.2.8)
VNClKNa iii /0 (2.2.9)
eeeiii ClKNaClKNa0 (2.2.10)
Daqui obtêm-se 5 incógnitas: [Na+]i,[K+]i,[Cl-]i, v e V. As concentrações
externas são conhecidas, e obedecem a esta equação:
eee ClKNa (2.2.11)
uma vez que a solução externa é electricamente neutra.
Para resolver as equações anteriores, procede-se da maneira seguinte:
))/()/(exp(/ 2 kTgpqkTqvNaNa Naei (2.2.12)
))/()/(exp(/ 2 kTgpqkTqvKK Kei (2.2.13)
)/exp(/ kTqvClCl ei (2.2.14)
Para simplificar,
)/exp( kTqv (2.2.15)
)/exp( 2 kTgpq NaNa (2.2.16)
)/exp( 2 KTgpq KK (2.2.17)
ficando assim,
eNai NaNa 1 (2.2.18)
eKi KK 1 (2.2.19)
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ei ClCl (2.2.20)
Estas expressões podem ser substituídas nas 2.2.9 e 2.2.10 para obter
um par de equações para e V. Notar que determina v. Depois de dividir
estas equações por 2[Cl-]o e usando 2.2.11. obtem-se
b2/)2/(0 (2.2.21)
equação de electroneutralidade
12/)2/(0 (2.2.22)
onde
VClNb
e2 (2.2.23)
e
)/()( eeeKeNa KNaKNa (2.2.24)
Usa-se 2.2.21, para expressar em termos de b. Isto significa que estamos a
encontrar o potencial em termos do volume celular.
A equação 2.2.21 pode ser reescrita como:
02/2/2 b (2.2.25)
Donde a solução positiva é,
2bb (2.2.26)
Usa-se a solução positiva porque )exp( kTqv é positiva para todos os v.
Notar que:
2
/1bb
(2.2.27)
Finalmente, podemos determinar b, deduzindo o V, substituindo 2.2.26 e
2.2.27 na equação do balanço osmótico(2.2.22). O resultado é
12b (2.2.28)
1b (2.2.29)
12 eClNV (2.2.30)
assim, apenas têm volumes finitos reais quando < 1; quando 1, o volume
aumenta até ocorrer lise celular.
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Agora investigamos a dependência de com a taxa da bomba p.
Tem-se
ee
KeNae
KNakTgpqKkTgpqNa
p)/exp()/exp(
)(22
(2.2.31)
Claramente, 1)0( e )( p quando p .
Diferenciando esta expressão, encontra-se:
KKeNaNae gKgNaadpd
//( (2.2.32)
então,
)//()0( KeNae gKgNaadpd
(2.2.33)
onde a é independente de p.
Agora impomos a condição,
KeNae gKgNa // (2.2.34)
então dpd / < 0 e p = 0. Se 2.2.34 não for satisfeita, é fácil de ver que 1
para todos p > 0, e não existe solução.
Em 2.2.33 é interessante notar que tem um valor mínimo para o valor de p
encontrado ao fazer dpd / = 0. O resultado é a equação de poptimo:
)/log())/)(/( 2
eNaKeKNaKNaopt KggNaggggqkTp (2.2.35)
A partir da equação 2.2.30, pode-se inferir que este valor de p é também
o que minimiza o volume da célula V. Na realidade, pode-se especular que nas
células reais, as bombas funcionam a um ritmo próximo de popt.
Para uma taxa fixa de bombeamento, pode-se ver a partir de 2.2.30 e
2.2.31, que o volume da célula depende do número de cargas negativas no
interior desta e também das concentrações iónicas médias externas. A
dependência do volume celular com a concentração dos iões externos pode ser
descrita do seguinte modo:
- pode ser reescrito em termos da razão [Na+]e/[K+]e. Quando esta
razão é fixa, o volume celular é inversamente proporcional à concentração total
de iões exteriores à célula 2[Cl-]e = [Cl-]e + [Na+]e + [K+]e. Assim, quanto mais
diluído é o ambiente extra-celular, mais a célula aumenta o seu volume.
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Quanto mais baixo for a razão [Na+]e/[K+]e, aumenta , originando
aumento do volume celular. Se a razão tender para 0, pode ocorrer lise celular.
Por último, com o conhecimento do volume celular, pode determinar-se o
estado de equilíbrio ou de repouso, o potencial de membrana v. Para isso,
substituímos 2.2.29 em 2.2.26. O resultado é
11 (2.2.36)
então,
)11log()/(log)/( kkTqkTv (2.2.37)
Como .0,1 v É a partir do potencial negativo da célula que se
processam os mecanismos de controlo do volume celular.
2.3 - As equações de Hodkin-Huxley para o potencial de acção do
neurónio
As alterações nas condutâncias da membrana gk e gNa levam a
discrepâncias no estado de equilíbrio celular, por isso INa, IK e ICl não são iguais
a zero. Como a reacção dos neurónios é rápida, da ordem dos milisegundos, a
capacitância da membrana celular não pode ser negligenciada, do mesmo
modo que era quando considerávamos mudanças lentas na regulação do
volume celular. Nestas circunstâncias de mudança rápida de condutância, a
equação fundamental que rege a diferença de potencial v através da
membrana celular pode ser deduzida do seguinte modo:
1º Diferenciando a equação 2.2.4 em ordem ao tempo, obtemos
))(()()( iii ClqVdtdKVq
dtdNaVq
dtdvC (2.3.1)
De notar que (Vq[Na+]i) é a quantidade de carga dentro da célula
contribuída pelos iões Na+. No entanto a taxa de mudança desta quantidade é -
INa. Em paralelo, a taxa de mudança de (Vq[K+]i) é –Ik e de (V(-q)[Cl-]i) é -ICl
Então, tendo em conta as equações para INa, IK e ICl (2.2.1,2,3), tem-se,
0)()()( ClClKKNaNa EvgEvgEvgvC (2.3.2)
onde,
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 21
i
eNa Na
NaqkTE log (2.3.3)
i
eK K
KqkTE log (2.3.4)
i
eCl Cl
ClqkTE log (2.3.5)
Uma vez que se considerou a simplificação de 1:1 Na+-K+, as correntes
anulam-se.
Com a proporção correcta (3:2 ou 2:3 Na+-K+) a bomba iria dar uma
contribuição para a equação (2.3.1).
Considerando agora que a célula é tão grande e que o fluxo de iões é
tão pequeno que a concentração interna dos vários iões muda lentamente
durante o potencial de acção.
De facto, as mudanças na concentração são tão pequenas, que mesmo
numa célula em que o mecanismo de bomba de sódio-potássio seja alterado,
pode gerar milhões de potenciais de antes de se verificar uma variação relativa
nas concentrações.
Matematicamente, expressa-se isto tratando as quantidades ENa, EK e
ECl como sendo constantes.
Para já, a sua relação é:
NaClK EEE 0 (2.3.6)
A equação (2.3.2) pode-se escrever da seguinte forma:
0)( EvgvC (2.3.7)
onde
ClKNa gggg (2.3.8)
é a condutância total da membrana, e onde:
ClKNa
ClClKKNaNa
gggEgEgEg
E (2.3.9)
é uma média dos potenciais de equilíbrio ENa, EK e Ecl.
Agora, verifica-se que as equações (2.3.7) e (2.3.2) são equivalentes.
De acordo com a equação (2.3.7), o potencial de membrana, v,
aproxima-se sempre do valor instantâneo de E.
Quando, 0vEv
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 22
0vEv
A célula ajusta-se a E, alterando simplesmente as condutâncias da
membrana.
Em repouso, v e E aproximam-se de ECl.
No início dos potenciais de acção, os canais de sódio abrem
dramaticamente aumentando gNa. Isto torna E próximo de ENa. Mais tarde, os
canais de sódio fecham e os canais de potássio abrem. Isto torna E próximo de
EK e v (pot. de membrana) aproxima-se de E, assim, torna-se mais negativo
que o resto do potencial da célula.
Finalmente todas as condutâncias tomam os valores normais, E e v
voltam aos valores de repouso, próximos de Ecl.
Hodgkin e Huxley através de experiências realizadas no axónio gigante
da lula descobriram como se alteram as condutâncias de Na+ e K+.
Esquema da membrana celular do modelo Hodgkin-Huxley.
Estes cientistas implementaram um circuito electrónico, para forçar o
potencial de membrana a seguir o sinal de entrada introduzido pelo cientista.
Hodgkin e Huxley usaram sinais em forma de degraus de modo a que, a
voltagem seja constante. Se v é constante, então 0vC . Assim, toda a
corrente gerada por este circuito vai fluir pelos canais da membrana. As
propriedades dos canais da membrana conduzem a uma dependência na
voltagem. Uma parte importante do trabalho de Hodgkin e Huxley foi concluir
que a voltagem era a variável certa a manipular/controlar.
Outro procedimento experimental feito por estes cientistas foi colocar um
fio de prata a todo o comprimento do axónio, que só é possível por este ser
gigante. Este fio, bom condutor de electricidade devido à sua composição de
prata, tem o efeito de eliminar quaisquer diferenças de voltagem que se
possam desenvolver entre algumas zonas do axónio. Matematicamente, fica
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 23
assegurado que o potencial de membrana v é apenas função do tempo t, e não
só da posição ao longo do axónio.
O ponto mais alto da teoria introduzida por Hodgkin e Huxley foi o facto
de conseguirem prever o comportamento do potencial de acção do nervo num
axónio sem espaços onde não há propagação; mais especificamente, eles
conseguiram prever a velocidade com que o potencial de acção se propaga ao
longo de um axónio deste tipo. Esta propagação necessita da introdução da
variável espacial x; que será desprezada. A versão de equações de Hodgkin-
Huxley que a seguir se consideram são um sistema de equações diferenciais
ordinárias, considerando o tempo a única variável independente. Esta versão é
adequada para o modelo de quase todos os fenómenos associados com
potenciais de acção para o neurónio, excepto para a propagação do potencial
de acção como uma onda.
Na sua investigação, Hodgkin e Huxley avançaram também para o
estudo da intervenção farmacológica no sentido de descobrirem o
funcionamento dos diferentes canais (sódio e potássio), principalmente para a
obtenção das correntes iónicas dos respectivos canais. Estudando a variação
destas correntes com o tempo, em resposta a entradas em degrau, eles
obtiveram o modelo matemático para cada corrente. Esta teoria relativa aos
canais membranares é consistente com estudos/medidas feitas no axónio
gigante da lula, a qual não deve ser considerada universal, uma vez que
existem inúmeros tipos de canais membranares diferentes em diferentes tipos
de neurónios com algumas propriedades distintas.
A verdadeira descoberta de Hodgkin e Huxley foi conseguir caracterizar
o comportamento dos canais de sódio (Na+) e potássio (K+) do axónio gigante
da lula.
Começando pelo estudo e citação dos postulados dos dois cientistas
para o comportamento do canal de potássio (caso mais simples):
1. Cada canal de K+ possui quatro portas. Cada porta pode estar aberta
ou fechada. O canal de K+ (como um todo) está aberto se e só se
todas as suas quatro portas estiverem abertas.
2. Todas as quatro portas no interior do referido canal são idênticas.
(Como se assume que existe apenas um tipo de canal de K+,
também todos os diferentes canais de K+ são idênticos entre si).
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 24
3. As diferentes portas no interior de um canal de K+ funcionam
independentemente umas das outras. (Do mesmo modo, também as
diferentes portas em diferentes canais de K+ funcionam
independentemente uns dos outros.)
4. A taxa (probabilidade por unidade de tempo) de abertura e
encerramento de uma porta de um canal de K+ é uma função
especificada da voltagem para a taxa de abertura e também uma
função especificada da voltagem para a taxa de encerramento.
É de salientar que o conceito de ‘aberto’ se refere ao estado de
condução de uma porta ou canal, isto é, estes estão ‘abertos’ quando permitem
a passagem de corrente iónica.
Passaremos, agora, à formulação matemática dos postulados anteriores.
Considere-se uma população (à partida grande) de canais de K+, e a
população de portas que existem no interior desses canais, os quais
denominamos por portas de K+. Seja n(t) a fracção de portas de K+ que estão
abertas num determinado tempo t (ou então, pode-se dizer que n(t) é a
probabilidade de que uma porta K+ esteja aberta no intervalo de tempo t).
Portanto, a dinâmica de n(t) é dada por:
nvnvdtdn
nn )()1)(( (2.3.10)
Aqui )(vn é a taxa de abertura para as portas de K+, que é dependente
da voltagem v; do mesmo modo, )(vn é a taxa de encerramento para as
mesmas, sendo função também da voltagem v. É importante referir que )(vn é
uma função crescente e que )(vn é uma função decrescente, donde se pode
inferir que, aumentando o potencial de membrana (no interior da célula
relativamente ao exterior) se aumenta a tendência para a abertura das portas
de K+ e diminui a tendência destas de fecharem o que, por consequência,
aumenta a condutância de K+. Como o potencial de repouso é negativo, um
aumento no potencial partindo do repouso causa uma diminuição da magnitude
do potencial e a este aumento chama-se “despolarização”.
Analisando a equação anterior, vê-se que a constante de abertura
)(vn está multiplicada pelo termo (1-n), pois esta é a fracção de portas de K+
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 25
fechadas. Por exemplo, se n=1 num instante particular, então todas as portas
estão já abertas, logo a taxa de abertura nesse instante é zero. Tomando o
mesmo raciocínio, constata-se que a constante )(vn está multiplicada por n,
pois as portas têm de estar abertas (daí o termo n – fracção de portas abertas)
para poderem fechar.
Para a teoria de Hodgkin-Huxley sobre os canais de potássio ficar
completa, é necessário especificar a condutância de K+ em termos da fracção n
de portas abertas. Como existem quatro portas independentes em cada canal e
cada uma tem a probabilidade n de estar aberta, então a probabilidade de que
todas as quatro portas estejam abertas é igual a n4. Assim, a referida
condutância gk deve ser proporcional a n4. Os referidos cientistas usaram a
notação kg para exprimir a constante de proporcionalidade. Tem-se, portanto:
4ngg kk (2.3.11)
De notar que quando n=1 (situação hipotética de que todas as portas em
todos os canais de K+ estejam abertas), então kg é a condutância de K+.
Outra importante descoberta feita por Hodgkin-Huxley foi a sua teoria
sobre os canais de Na+.
O comportamento destes é qualitativamente diferente do observado nos
canais de K+, no que diz respeito ao seguinte: quando é aplicada uma entrada
em degrau nestes canais, a condutância de potássio aumenta até estabilizar
num nível elevado, nível este que se prolonga durante o tempo em que é
mantida a elevada voltagem na entrada. Em contraste, com o mesmo tipo de
entrada, a condutância de Na+ aumenta apenas durante um curto intervalo e
logo a seguir decai até um nível mais baixo, mesmo se a elevada voltagem for
mantida. Este fenómeno é conhecido por ‘inactivação de Na+’. Para o
descrever, Hodgkin e Huxley assumiram que existem dois tipos de portas
dentro de cada canal de Na+ e que reagem de maneira diferente ao aumento
do potencial de membrana: as “rápidas portas-m”, que são facilmente abertas
com este, e as “lentas portas-h”, que têm a resposta oposta. Assim o aumento
na condutância de Na+ acontece quando as portas-m estão abertas e as
portas-h não estão ainda fechadas. A ‘inactivação de Na+’ é uma consequência
do eventual encerramento das portas-h.
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 26
Concluindo o estudo do comportamento dos canais de sódio, a teoria de
Hodgkin e Huxley para estes deriva das seguintes afirmações:
1. Cada canal de Na+ tem quatro portas. Cada porta pode estar aberta
ou fechada. O canal de Na+ como um todo está aberto se e só se
todas as suas quatro portas estiverem abertas.
2. No entanto, as quatro portas não são idênticas. Três delas são de um
tipo: “portas-m”, e a outra é a chamada “porta-h”. Todas as portas-m
são idênticas entre si (quer estejam no mesmo canal de Na+ ou não),
e as portas-h são também idênticas entre si; porém, as propriedades
de ambas as portas são diferentes.
3. As diferentes portas no interior de um canal de Na+ funcionam
independentemente umas das outras, qualquer que seja o seu tipo.
(Também as diferentes portas em diferentes canais de Na+
funcionam independentemente umas das outras.)
4. A taxa (probabilidade por unidade de tempo) de abertura ou
encerramento para uma porta de um canal é uma função da
voltagem v para a abertura e da mesma forma também o é para o
encerramento. Estas taxas para as portas-m são qualitativamente
diferentes das taxas das portas-h: as primeiras são estimuladas a
abrir com o aumento de voltagem, e as portas-h fecham com este
aumento.
Como foi feito no caso dos canais de potássio, podem ser transferidos os
postulados da teoria da matemática. Considerando uma grande quantidade de
canais de sódio. Seja m(t) a fracção de abertura das portas m em ordem ao
tempo e seja h(t) a fracção de abertura das portas h em ordem ao tempo. m(t)
e h(t) satisfazem as equações diferenciais do mesmo modo que a equação
(2.3.10):
mvmvm mm )()1)(( (2.5.12)
hvhvh hh )()1)(( (2.5.13)
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 27
Estas funções, )(vm , )(vm , )(vh e )(vh as constantes de abertura e
de encerramento das portas m e h, respectivamente. De notar que )(vm e
)(vh são funções crescentes de v e )(vm e )(vh são funções decrescentes
de v. (ver anexo I )
Assim, um aumento de voltagem é favorável à abertura e desfavorável
ao encerramento das portas m, mas tem efeito contrário nas portas h.
Outro ponto de interesse, é que as diferentes portas tem uma resposta
diferente à voltagem aplicada, sendo as portas m 10 vezes mais rápidas que as
portas h. As portas para os canais de potássio (portas n) são mais lentas que
as portas dos canais de sódio (portas h).
Para completar a teoria dos canais de sódio, tem de ser especificado
que a condutância de Na+ (gNa), como uma função de m e h , que são fracções
de abertura das portas m e h respectivamente. Em cada canal de sódio existem
3 portas m e uma h; com probabilidade m de que qualquer porta deste tipo
esteja aberta e probabilidade h de que esta porta esteja aberta. E, como as
portas abrem e fecham independentemente (acontecimentos independentes) a
probabilidade de todas as portas estarem abertas (funcionando o canal como
um todo) é de m3h. A condutância de Na+ é proporcional à probabilidade de os
quatro canais estarem abertos em simultaneo, e é dada por:
hmgg NaNa3 (2.3.14)
sendo Nag a condutância hipotética de Na+ quando todos os canais de sódio
estão abertos simultaneamente.
Então as equações de Hodgkin-Huxley para o potencial de acção para o
neurónio no caso onde não há propagação, podem ser resumidas:
)()( 0 tiEvgdtdvC (2.2.16)
onde )(0 ti é a corrente aplicada (por unidade de área de membrana) em função
do tempo e E é o potencial reverso. Isto pode representar corrente directa
aplicada (eléctrodo) ou corrente sináptica que flui naturalmente neurónio a
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 28
neurónio, uma vez que os canais estão abertos para o neurotransmissor. Em
cada caso, )(0 ti representa sempre uma função do tempo.
De lembrar que a condutância total da membrana (por unidade de área)
é dada por:
LKNa gggg (2.2.17)
e que
LKNa
LLKKNaNa
gggEgEgEg
E (2.2.18)
é a média ponderada dos potenciais reversos, pesadas pelas condutâncias.
Os potenciais reversos ENa EK e EL são constantes.
As condutâncias gNa gK e gL são dadas por:
hmgg NaNa3 (2.2.19)
4ngg KK (2.2.20)
LL gg (2.2.21)
onde Nag , Kg e Lg são constantes.
As variáveis características dos canais, m,h e n obedecem às seguintes
equações diferenciais:
mvmvm mm )()1)(( (2.2.22)
hvhvh hh )()1)(( (2.2.23)
nvmvn nn )()1)(( (2.2.24)
Estas seis funções de variável v que aparecem como coeficientes nestas
equações representam as constantes de abertura ou encerramento dos
diferentes tipos de portas descritas anteriormente. Estas constantes foram
medidas por Hodgkin e Huxley e posteriormente inseridas nas fórmulas
anteriores.
Estas fórmulas são escritas num sistema específico de unidades, em que o v é
em milivolts (10-3 V) e as constantes e o inverso de milisegundo (1/(10-3
segundos).
)10/)45(exp(1
10/)45(0.1)(
vvvm (2.3.25)
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 29
)18/)70(exp(0.4)( vvm (2.3.26)
)20/)70(exp(07.0)( vvh (2.3.27)
)10/)40(exp(1
10.1)(
vvh (2.3.28)
)10/)60(exp(1
10/)60(1.0)(
vvvn (2.3.29)
80
70exp125.0)(
vvn (2.3.30)
Diagrama que representa a complexidade da membrana celular, com as portas n, h e
m, os canais e as correntes.
Finalmente as constantes que aparecem nas equações de Hodgkin-Huxley têm
os seguintes valores:
20.1
scentímetroosmilisegundesmicroamperC (2.3.31)
2
/120
scentímetromilivoltesmicroampergNa (2.3.32)
2
/36
scentímetromilivoltesmicroampergK (2.3.33)
milivoltsENa 45 (2.3.34)
milivoltsEK 82 (2.3.35)
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 30
Diagrama de um circuito eléctrico que descreve o fluxo de corrente através da
membrana do modelo de Hodgkin-Huxley.
(ver anexos II e III)
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 31
- Análise das equações obtidas e resultados em Simulink -
Partindo das seguintes equações (resultantes da teoria de Hodkin-Huxley):
mvmvm mm )()1)(( (2.2.22)
hvhvh hh )()1)(( (2.2.23)
nvmvn nn )()1)(( (2.2.24)
Ou escritas de outra forma tem-se:
)()()( vmvvm mmm (2.2.25)
)()()( vhvvh hhh (2.2.26)
)()()( vnvvn nnn (2.2.27)
Implementando-as no Simulink obtém-se o diagrama de blocos:
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 32
Gráficos 1, 2 e 3
Os gráficos referem-se respectivamente ao fluxo iónico através das
portas m, h e n, sendo as duas primeiras constituintes dos canais de sódio e a
última constituinte dos canais de potássio.
Comparando os gráficos (gráf. 1, 2 e 3) temos que:
- no gráfico 1, referente às portas m (canais de sódio), verifica-se que
com o aumento da voltagem, tais portas abrem, facilitando o fluxo iónico
através da membrana, atingindo um valor final 1 que corresponde ao facto de
todas as portas m estarem abertas;
- no gráfico 2, referente às portas h (canais de sódio), verifica-se que
com o aumento de voltagem, tais portas tendem a fechar, não havendo,
consequentemente, passagem de iões;
- no gráfico 3, referente às portas n (canais de potássio), verifica-se que
com o aumento da voltagem, tais portas abrem, facilitando o fluxo iónico na
membrana, atingindo um valor final de 1, que corresponde ao facto de todas
essas portas estarem abertas;
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 33
Comparando o primeiro e o último gráfico, verifica-se, tal como seria de
esperar, uma maior rapidez das portas m em relação às portas n, sendo por
isso o fluxo iónico do primeiro caso mais acentuado nos primeiros instantes que
no terceiro caso, acabando depois, como já foi referido anteriormente, tender
ambos para o mesmo plateau de 1.
O transporte activo de iões para o interior da célula cria um gradiente
osmótico que faz com que a água tenda a passar por osmose para o interior da
célula. Neste caso, a bomba sódio-potássio é um excelente regulador do
volume celular, pois controla a concentração iónica total no interior da célula,
visto que quando saem 3 iões Na+ entram 2 K+, ou no caso inverso, quando
entram 3 iões Na+ e saem 2K+, não variando por isso significativamente a
concentração iónica total da célula, mantendo assim o seu volume constante.
Controlo do Volume Celular
Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 34
- Conclusão -
Durante o crescimento celular, o volume aumenta proporcionalmente
com o número de macromoléculas carregadas negativamente produzidas pela
célula. Porém as células têm nas suas membranas bombas sódio-potássio que
são responsáveis não só pelo processo de difusão activa de iões de Na+ e K+,
como também é responsável por manter o volume celular constante, como
verificaram Hodgkin e Huxley na sua teoria sobre a regulação do volume
celular.