CONTROLO · O argF(s) tem uma variação de (1-2)*360º voltas em torno da origem no sentido dos...

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 1/Cap.10Novembro 2004

CRITÉRIO DE NYQUIST

©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

CONTROLO3º ano – 1º semestre – 2004/2005

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

Transparências de apoio às aulas teóricas

Critério de Nyquist

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Novembro de 2001Revistas em Maio de 2002

e Novembro de 2004

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores



©M

. Isa

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ibei

ro, A

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asco

al

Introdução

• O que é o Critério de Critério de NyquistNyquist ?– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de um

sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a.

• Que tipo de análise ?– Da resposta em frequência da f.t.c.a.

Resposta em frequência da f.t.c.a.

Estabilidade do sistema em cadeia fechada

Localização dos pólos da f.t.c.f. relativa/ eixo imaginário


Localização dos pólos da f.t.c.a.

Localização dos pólos da f.t.c.f.

Root-Locus

Resposta transitória

Erro em regime estacionário

Analogia com Root-Locus



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Introdução

• O que é o Critério de Critério de NyquistNyquist ?– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de um

sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a.

• Método gráfico

• Calcula a estabilidade do sistema em cadeia fechada sem avaliar explicitamente os pólos da f.t.c.f.

• Dá indicações sobre estabilidade relativa

¤ Margem de ganho

¤ Margem de fase

• Parte do conhecimento da f.t.c.a.

• Usa resultados da teoria das funções complexas (Teorema de Cauchy) para estudar a existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no semi-plano complexo direito ou sobre o eixo imaginário.



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Nomenclatura

)s(KGc )s(G

)s(H

+

_

)s(R )s(C

sistema de controlo em cadeia fechada

K )s(G

)s(H

+

_

)s(R )s(C

rcompensado do ciatransferên de função)s(Gc −

situação que irá ser tratada

por redefinição de G(s) é sempre possível passar de um diagrama para outro

f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = )s(H)s(KG

f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) =)s(H)s(KG1

)s(KG+

f.t.cadeia acção = )s(KG

f.t.cadeia retroacção = )s(H

Nomenclatura

equação característica 0)s(H)s(KG1 =+



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Teorema de Cauchy

plano splano F(s)

F(s)

1s

2s

3s

)s(F 1

)s(F 2

)s(F 3

Contorno A Contorno B

vv

• F(s) - função racional, analítica numa dada região do plano s, excepto num número finito de pontos.

• A é um contorno qualquer definido no plano s, tal que F(s) é analítica sobre o contorno.

• O contorno B é a imagem do contorno A por meio de F(s).

)....ps)(ps()...zs)(zs()s(F

21

21

−−−−

=

descrito num determinado sentido

descrito no mesmo sentido ou em

sentido contrário ao contorno A



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Teorema de Cauchyexemplos

clockwise

clockwise

counterclockwise

clockwise

counterclockwise

counterclockwise

1 zero

1 zero

1 pólo

1 pólo

1 pólo e 1 zero

no exterior do contorno A

no exterior do contorno A

no interior do contorno A



Contorno B não contém a origem


Contorno B contém a origem

Contorno B contém a origem




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Teorema de Cauchyenunciado

• Contorno A descrito no sentido dos ponteiros do relógio.

• P = número de pólos de F(s) no interior do contorno A

• Z = número de zeros de F(s) no interior do contorno A

• N = número de voltas, no sentido dos ponteiros do relógio, que o contorno B dá em torno da origem.

PZN −=



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Teorema de Cauchyinterpretação

)ps)(ps)(ps()zs)(zs()s(F

321

21

−−−−−

=

plano s plano F(s)

F(s)

)s(F 1Contorno A Contorno B

v

vx

x

oo x

s

Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio

• o argumento dos vectores associados aos pólos e zeros no exterior de A têm uma variação líquida de 0º

• o argumento dos vectores associados aos zeros no interior de A têm uma variação de 360º.

• o argumento dos vectores associados aos pólos no interior de A têm uma variação de 360º.

1z 2z1p

2p

3p

)psarg()psarg()psarg( )zsarg()zsarg()s(F arg

321

21

−−−−−−−−+−=

O argF(s) tem uma variação de (1-2)*360º voltas em torno da origem nosentido dos ponteiros do relógio

s a percorrer o contorno A



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Teorema de Cauchyinterpretação

)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs()s(F

n21

m21

−−−−−−

=

Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A,

no sentido dos ponteiros do relógio

O argF(s) tem uma variação de (Z-P)*360º em torno da

origem no sentido dos ponteiros do relógio

Z = zeros de F(s) no interior do contorno A

P = pólos de F(s) no interior do contorno A

PZN −=

N = nº de voltas de F(s) em torno da origem, no sentido dos ponteiros do relógio



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Critério de Nyquist• Como aplicar o Teorema de Cauchy no estudo da

estabilidade da f.t.c.f. ?

avaliar da existência de pólos da f.t.c.f. no s.p.c.d.

avaliar da existência de raízes de 1+KG(s)H(s)=0 no s.p.c.d.

)s(H)s(KG1)s(KG

+

avaliar da existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no s.p.c.d.

v v

v

plano s

)s(H)s(KG1)s(F +=

plano F(s)

P N

inspecçãoinspecção

N = Z - PZ = P + NTeorema de Cauchy

estabilidade em c.f.

∞j

∞− j

raio ∞

contorno de Nyquist

nº de voltas em torno da origem(contadas como positivas no sentido dos ponteiros do relógio)



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• Contorno de Nyquist – abarca todo o s.p.c.d.)s(H)s(KG1)s(F +=

N = Z - P

nº de voltas de 1+KG(s)H(s)

em torno da origem

nº de voltas de KG(s)H(s)

em torno de -1

nº de zeros de 1+KG(s)H(s)no interior do

contorno de Nyquist

nº de pólos de Y(s)/R(s) (f.t.c.f.)

no interior do contorno de Nyquist

nº de pólos de 1+KG(s)H(s)no interior do

contorno de Nyquist

nº de pólos de KG(s)H(s)

no interior do contorno de Nyquist

= ==

v v

v

)s(H)s(KG

P N

inspecçãoinspecção

∞j

∞− j

raio ∞

contorno de Nyquist diagrama de Nyquist

-1

nº de voltas em torno de -1

Z = N + P



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Critério de Nyquistenunciado

• Estabilidade em cadeia fechada– Z=0– - N = P

Enunciado do critério de Nyquist

Um sistema causal com f.t.c.a. KG(s)H(s) é estável em cadeia

fechada sse, quando o afixo de s percorre o contorno de Nyquist

num determinado sentido, o número de voltas que o afixo de

KG(s)H(s) percorre em torno do ponto –1 em sentido contrário é

igual ao número de pólos da KG(s)H(s) no interior do contorno de

Nyquist.



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al

Diagrama de Nyquist

• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?

v v

v

∞j

∞− j

raio ∞

contorno de Nyquist

v

)s(H)s(KG

O contorno de Nyquist deve ser tal que:

• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica

sobre o contorno

[,0[w ,jws +∞∈=

)jw(H)jw(KG• função resposta em frequência da

f.t.c.a. com representação polar• pode obter-se por análise do diagrama

de Bode e sua representação na forma polar

]0,]w ,jws ∞−∈= )jw(H)jw(KG

[,0[w ,jws +∞∈−= )jw(H)jw(KG −−

par função |)jw(H)jw(KG|

ímpar função ))jw(H)jw(KGarg(

Simétrico, relativamente ao eixo real, da componente do diagrama de Nyquist que é imagem do eixo imaginário positivo



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Diagrama de Nyquist

• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?

v v

v

∞j

∞− j

raio ∞

contorno de Nyquist

v

)s(H)s(KG

O contorno de Nyquist deve ser tal que:

• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica

sobre o contorno

∞→ππ−∈θ

= θ

r ]2 ,2[

res j ?)s(H)s(KG =

)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs(K)s(H)s(KG

n21

m21

−−−−−−

=

0KG(s)H(s) mn →>•

A imagem da semi-circunferência de raio infinito é a origem

finito alorvKG(s)H(s) mn →=•



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Diagrama de NyquistExemplo 1

K asa+

+

_

)s(R )s(C

asKa.a.c.t.f+

=

v v

v

∞j

∞− j

contorno de Nyquist

x

0a >

a−

P=0A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist

K>0

K

KdB

v

v

-1

N=0

Z=N+P=0

0are

Kalim jr=

+θ∞→

O sistema em c.f. é estável para qualquer valor de K>0



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K asa+

+

_

)s(R )s(C

asKa.a.c.t.f+

=

v v

v

∞j

∞− j

contorno de Nyquist

x

0a >

a−

P=0A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist

K<0

Se K>-1 ⇒ N=0 ⇒ Z=0 ⇒ sistema em c.f. estável

Se K<-1 ⇒ N=1 ⇒ Z=P+N=1 ⇒ sistema em c.f. instável

0are

Kalim jr=

+θ∞→

v

-1K

v



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x xx

)cs)(bs)(as(K)s(H)s(KG

+++=

0c ,0b ,0a >>>

0w ,jws →=

∞→w

0jeabcK)s(H)s(KG →

0|)s(H)s(KG| →

23))s(H)s(KGarg( π

−→

∞→= θ r ,res j 0)s(H)s(KG →

+= 0w

+∞=w−∞=w

−= 0wabcK

v+∞→w

zoom



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x xx


+++=

0c ,0b ,0a >>>

+= 0w

+∞=w−∞=w

−= 0wabcK1

P=0

abcK2

12 KK >

-1

N=0Z=P+N=0Para K=K1 sistema em c.f. é estável

N=2

Z=P+N=2

Para K=K2 o sistema em c.f. tem dois pólos no s.p.c.d. É instável



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x xx


+++=

0c ,0b ,0a >>>

P=0

-1

• Qual o valor de K para o qual este ponto se torna igual a –1?

• Que ponto é este ?• É o ponto com fase de –180º

• Desempenha um papel fundamental no estudo da estabilidade



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K 1s1−

+

_

)s(R )s(CK>0

x1

P=1

K=3

N=-1

Z=P+N=0 Sistema em cadeia fechada estável para este valor de K

-1



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Critério de NyquistExemplo 4

K 2)1s(s1+

+

_

)s(R )s(C

K>0

2)1s(sK)s(H)s(KG+

=O contorno de Nyquist deve ser tal que:• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica

sobre o contorno

ε raio0→ε

semi-circunferência

Contorno de Nyquist – duas hipóteses

x0→ε

∞→r

A

B

C+= 0w

−= 0w

xx0→ε

∞→r

x

A

B

C+= 0w

−= 0w

<<

<<

P=0 P=1

sistema tipo 1sistema tipo 1

xx



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x0→ε

∞→r

A

B

C+= 0w

−= 0w

<<

x0→ε

∞→r

A

B

C+= 0w

−= 0w

<<

diagrama de Nyquist não desenhados à escala

contorno de Nyquist contorno de Nyquist

v v

2)1s(sK)s(H)s(KG+

=

xx xx



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x0→ε

∞→r

A

B

C+= 0w

−= 0w

<<

x0→ε

∞→r

A

B

C+= 0w

−= 0w

<<

contorno de Nyquist contorno de Nyquist2)1s(s

K)s(H)s(KG+

=

xx xx

0 →ε

2 0, ,

2ππ

−→θ2

, ,2

ππ

π−→θ

A B C A B C

θ−θθθε= ε=

ε→

+εε=θ

jj2jjes

eKeK

)1e(eK)s(H)s(KG j

semi-circunferência de raio infinitesimal

Uma semi-circunferência de raio a tender para infinito

argumento -θ

2- 0, ,

2ππ

→θ−2

- , ,2

ππ

π→θ

contorno de Nyquist contorno de Nyquist

diagrama de Nyquistdiagrama de Nyquist



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K 2)1s(s1+

+

_

)s(R )s(C

2)1s(sK)s(H)s(KG+

=

sistema tipo 1sistema tipo 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

K=1

K=3

diagrama de Nyquist desenhados à escala



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Critério de NyquistExemplo 4 – análise de estabilidade

v v

2)1s(sK)s(H)s(KG+

=

ponto de intersecção com o eixo real ?

2)1jw(jwK)jw(H)jw(KG+

=

º180))jw(H)jw(KGarg( =

º180)1jwarg()jwarg()Karg())jw(H)jw(KGarg( 2 =+−−=

º180)w(arctg2º90 =−−

º45)w(arctg = s/rad1)º45(tgw ==

2|K|)jw(H)jw(KG

1w=

=



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Critério de NyquistExemplo 4 – análise de estabilidade

diagrama de Nyquist não desenhados à escala

v v

2)1s(sK)s(H)s(KG+

=

x

<<

xx x<

<xx

-K/2 -K/2

P=0 P=1

2K1 −<− N=0 N=-1Z=P+N=0 Z=P+N=1-1=0

sistema estável

12K

−<− N=2 Z=P+N=2 N=1 Z=P+N=1+1=2

sistema instável



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)1s(sK)s(H)s(KG 2 +

=

x

<<

x x

P=0

qual é a imagem desta semi-circunferência ?

A

BC

θε je

0→ε

θ−θθ

ε→εε j2

2jj eK)e(H)e(KG

duas semi-circunferências com raio a tender para infinito

Dois pólos excluídos pela semi-circunferência de raio a tender para zero

ππ⇒θ−

ππ⇒θ

0 - 22

0 2

- C B A

Só esta análise não chega para desambiguar

Qual é o correcto?



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al


)1s(sK)s(H)s(KG 2 +

=

x

<<

x x

P=0

qual é a imagem desta semi-circunferência ?

A

BC

θε je

0→ε

θ−θθ

ε→εε j2

2jj eK)e(H)e(KG

ππ

π⇒θ−

πππ⇒θ

0 2

- 22

0 4

- 2

- C B D A

D

<

v

v

N=2

Z=P+N=2

-1

O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K

O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K

Confirme com o Root-Locus

A’

D’

B’C’

A’ = imagem de A



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al

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)


K 1)1s()2s)(1s(

2 ++−−+

_

)s(R )s(C

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

Imag

Axi

s

P=0

N=?

Diagrama de Nyquist tal como obidopelo Matlab

• Chegou a Z=1?

• Veja pelo Root-Locus que não pode ser e conclua sobre o

diagrama de Nyquist

• Trace o diagrama de Bode da f.t.c.a.



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Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)


K 1)1s()2s)(1s(

2 ++−−+

_

)s(R )s(C

P=0

N=?

Diagrama de Nyquist tal como obidopelo Matlab

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

0

1

2

3

4From: U(1)

10-1 100 101-360

-270

-180

-90

0

To: Y

(1)

K=1

K=1

P = 0N = 2Z = 2

Use o critério de Routh-Hurwitz para mostrar que o sistema é instável para K>2/3

>

<



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al

Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase

K )4s)(2s)(1s(16

+++

+

_

)s(R )s(C

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

K=1

P=0, N=0, Z=0 Para K=1 o sistema em cadeia fechada é estável

Pergunta:De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ?

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Real Axis

Imag

Axi

s

Roo

t-loc

u s Pergunta:O sistema torna-se instável com o aumento do ganhoRespostaSim – ver Root-Locus ou Diagrama de Nyquist



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K )4s)(2s)(1s(16

+++

+

_

)s(R )s(C

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25From: U(1)

To: Y

(1)

K=15

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

K=1 P=0, N=0, Z=0c.f. estável

P=0, N=2, Z=2c.f. instável



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al10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

K=1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

K=1



qual é o ganho quando a frequência=180º ?

qual é a fase do ponto em que o ganho é unitário ?

-15dB 0.177

O ganho pode aumentar de

até que o sistema em c.f. se torne instável

63.5177.01

=



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al



Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

From: U(1)

To: Y

(1)

K=1

K=5.63

10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

K=5.63

K=1

)jw(H)jw(KG

-1



©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Margem de Ganho Margem de Fase

• Até aqui o diagrama de Nyquist foi usado para avaliar a estabilidade absoluta

• Diagrama de Nyquist permite também avaliar estabilidade relativa• proximidade do sistema relativamente à situação de instabilidade• quão próximos do eixo imaginário estão os pólos do sistema em cadeia

fechada• Proximidade do diagrama de Nyquist do ponto -1

• Margem de ganho – (MG) - é a variação, expressa em dB, do ganho da f.t.c.a., para a fase de –180º, para que o sistema em cadeia fechada se torne instável

• Margem de fase – (ΦM) – é a variação de fase do sistema em cadeia aberta, para ganho unitário, necessária para que o sistema em cadeia fechada se torne instável.

O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para P=0, i.e., parasistemas em cadeia aberta estáveis.

MG1



©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Margem de GanhoMargem de Fase

• Margem de Ganho – é o inverso do módulo da f.t.c.a., KG(s)H(s), para a frequência w para a qual a f.t.c.a. Introduz uma rotação de 180º

• Margem de Fase – é a diferença entre a fase de G(jw)H(jw) e –180º quando |KG(jw)H(jw)|=1

π=

=ww

)jw(H)jw(KG1MG

α+=Φ º180M

( )1)jw(H)jw(KG

)jw(H)jw(KGarg=

=α

• Determinação das margens de estabilidade• Diagrama de Nyquist

• Diagrama de Bode



©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

K=1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

K=1


K )4s)(2s)(1s(16

++++

_

)s(R )s(C

MGdB

ΦM

α



©M

. Isa

bel R

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ro, A

ntón

io P

asco

al


Valores convenientes para uma boa estabilidade relativa

• 30º<FM<60º

• MG>6dB



©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


)2s)(1s(K2)s(H)s(KG++

=

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25From: U(1)

To: Y

(1)

P=0

1/MG

<

α

1/MG

Condições de estabilidade:• Se MG>1 – sistema em c.f. estável• Se MG<1 – sistema em c.f. instável• Se MG=1 – sistema em c.f.

marginalmente estável

• Se ΦM>0º – sistema em c.f. estável• Se ΦM<0º – sistema em c.f. instável• Se ΦM=0º – sistema em c.f.

marginalmente estável



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. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


Exemplo– Sistema com retroacção unitária.– Qual é o valor de K para o qual a margem de

fase é de 45º?

10-1

100

101

102

-60

-40

-20

0

20

40

|G(j

w)|

dB

w(rad/s)

10-1

100

101

102

-225

-180

-135

-90

arg

(G(j

w))

(g

rau

s)

w(rad/s)

• Desenhe o diagrama de Nyquist• Calcule o valor da margem de ganho para esse valor de K• Identifique o sistema em cadeia aberta



©M

. Isa

bel R

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ro, A

ntón

io P

asco

al


• Nem sempre a estabilidade de um sistema em cadeia fechada é sinónimo de MG>1 e ΦM>0º

– É preciso tomar atenção ao diagrama de Nyquist e avaliar a estabilidade com base no envolvimento do ponto –1+j0.

• Caso1 – Para sistemas de 1ª e 2ª ordem, em que não existe cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo, a MG é sempre infinita.

• Caso 2 – Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo.

• Caso 3 – Sistemas em c.a. de fase não mínima

1w π

2w π

3w π

Há 3 valores de frequência para os quais a fase da

f.t.c.a. é de 180º



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. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento

• Para sistema de 2ª ordem, sem zeros, que valor deve ter a margem de fase

(especificação no domínio da frequência) para que o sistema em cadeia

fechada apresente uma certa sobreelevação (especificação no domínio do

tempo) na resposta ao escalão?

)w2s(sw

n

2n

ζ+

+

_

)s(R )s(CG(s)

2nn

2

2n

wsw2sw

)s(R)s(C

+ζ+=

f.t.cadeia fechada

Margem de fase

1)jw(G =

142ww 42n1 +ζ+ζ−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ

−−=n

11 w2

warctgº90)jw(G arg

ζ+ζ+ζ−

−=+=Φ2

142arctgº90)jw(Gargº180

42

1M



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. Isa

bel R

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ro, A

ntón

io P

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al

Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento

Retirado deG.Franklin, J. Powell, A. NaeiniFeedback Control of Dynamic Systems



©M

. Isa

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ro, A

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io P

asco

al

Sistemas com um atraso

• Em qualquer dos casos surge um atraso– Condução do carro – atraso = tempo de reacção do

condutor– Produção fibra óptica – atraso de transporte – a acção de

controlo e a operação de medida efectuam-se em pontos diferentes da fibra óptica

• Atraso τ traduzido por

Retirado deE. Morgado

Controlo – Texto de apoio

d

produção de fibra óptica Ajuste do diâmetro do orifício da fieira

τ−seDe que modo um atraso na cadeia de acção afecta a estabilidade (absoluta ou relativa) na cadeia fechada ?



©M

. Isa

bel R

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ro, A

ntón

io P

asco

al

Sistemas com um atrasoExemplo

)s(Ge sτ−+

_

)s(R )s(C

)10s)(1s(sK5)s(G++

=

)s(Ge)s(G sτ−τ =

)jw(Ge)jw(G jwτ−τ = função resposta em frequência

)jw(G)jw(G =τ O atraso não modifica a amplitude da função resposta em frequência

))jw(Garg(w))jw(Garg( +τ−=τ O atraso introduz na fase uma componente que

varia linearmente com w

• A margem de fase diminui

• A margem ganho diminui



©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


)s(Ge sτ−+

_

)s(R )s(C

)10s)(1s(sK5)s(G++

=

K=1τ=1

• Para o mesmo valor de K, a margem de ganho é menor para o sistema com atraso

• O sistema com atraso apresenta uma menor estabilidade relativa, para o mesmo valor de K

CONTROLO · O argF(s) tem uma variação de (1-2)*360º voltas em torno da origem no sentido dos...

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