XX Congresso da Associao Nacional de Pesquisa e Ps-Graduao em Msica - Florianpolis - 2010

Converso Diatnica entre Sistemas

Riemannianos No-Redundantes

Liduino Jos Pitombeira de Oliveira Universidade Federal de Campina Grande/ PPGM-UFPB pitombeira@yahoo.com

Francisco Erivelton Fernandes de Arago Universidade Federal do Cear aragao@ufc.br

Resumo: Apresentamos uma ferramenta para anlise dos aspectos verticais e horizontais de uma

obra diatnica. Trata-se de um mapeamento entre sistemas sonoros, baseado na funo tonal

generalizada de David Lewin. Propomos, ento, um esquema de converso entre sistemas sonoros

diatnicos, o conversor riemanniano, e observamos que a converso riemanniana de uma obra

diatnica reala suas caractersticas construtivas com respeito ao princpio que teria norteado o

compositor no aspecto horizontalidade versus verticalidade. Observamos que a propriedade de

isomorfismo legitima o conversor riemaniano como uma ferramenta analtica.

Palavras-chave: Sistema Riemanniano, Lewin, Diatonicismo, Converso, Isomorfismo.

A dicotomia horizontal versus vertical tem suscitado importantes debates na

modelagem de obras tonais, a partir do sculo XX. Veja-se, por exemplo, a famosa rplica de

Schenker (1994, p.9-18) s afirmativas de Schoenberg (1979, p.371-411) com relao

existncia de notas estranhas harmonia. A prpria estrutura pedaggica, que divide o ensino

da teoria musical em duas instncias distintas harmonia e contraponto , contribui para

ratificar tal separao. Introduzimos, neste artigo, uma ferramenta analtica que permite

observar os comportamentos de estruturas diatnicas quando submetidas a certos

procedimentos de converso, numa tentativa de averiguar o princpio norteador da

composio com relao dicotomia horizontalidade versus verticalidade.

Figura 1. Seo A do Coral Aus Meines Herzens Grunde de J. S. Bach

A primeira seo do Coral Aus meines Herzens Grunde (Meu Corao Interior

se Eleva), do compositor barroco alemo Johann Sebastian Bach (1685-1750), mostrada na

Figura 1. A pergunta que se coloca : com exceo da melodia do soprano, que parece ser

uma cano secular do sculo XVI, teria Bach usado critrios preponderantemente verticais

ou horizontais na elaborao das demais vozes do coral?1 O mito que existe em torno da

inquestionvel genialidade de Bach pode conduzir afirmaosem uma verificao mais

cautelosade que a arquitetura dos corais perfeita tanto do ponto de vista meldico quanto

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harmnico, ou seja, Bach teria pensado simultaneamente na melhor conduo meldica e na

melhor progresso harmnica, e que nenhum dos critrios preponderante.

Observemos, no entanto, o que ocorre quando se converte este trecho para outros

sistemas isomrficos2 com relao ao sistema tonal diatnico, tomando como ponto de

partida, primeiramente, o critrio horizontal e, em seguida, o critrio vertical. Sugerimos que

o critrio que garantir a sustentao da integridade sistmica pode ter sido o referencial

composicional utilizado por Bach. Para isto, definir-se- um universo organizacional onde o

sistema tonal apenas um subconjunto assemelhado por relaes de isomorfismo a outros

tantos quantos sejam possveis definir. Este universo foi denominado por David Lewin de

Sistema Riemanniano (LEWIN, 1982, p.23-60), o qual passamos a definir de forma resumida

a seguir. Lewin elabora uma generalizao do sistema tonal definindo o conceito de Sistema

Riemanniano, cuja fundamentao terica explicitada nas seguintes definies, e sintetizada

na Figura 2.

DEFINIO 1. Chamamos de Sistema Riemanniano (SR) a uma tripla ordenada

(T,d,m), onde T uma classe de nota e d e m so intervalos sujeitos s restries:

d 0, m 0 e m d.

DEFINIO 2. A trade tnica do Sistema Riemanniano (T,d,m) um conjunto no

ordenado (T, T+m, T+d). A trade dominante do sistema (T+d, T+d+m, T+2d).

A trade subdominante (T-d, T-d+m, T). Estas so as trades primrias do

sistema.

DEFINIO 3. O conjunto diatnico do sistema (T,d,m) a unio desordenada

das trades primrias, compreendendo as vrias notaspc T-d, T-d+m, T, T+m,

T+d, T+d+m e T+2d.

DEFINIO 4. A lista cannica do sistema (T,d,m) a srie ordenada (T-d, T-

d+m, T, T+m, T+d, T+d+m, T+2d).

DEFINIO 5. A trade mediante do SR (T,d,m) um conjunto no ordenado

(T+m, T+d, T+d+m). A trade submediante um conjunto no ordenado (T-d+m,

T, T+m). Estas so as trades secundrias do sistema.

DEFINIO 6. Um SR ser denominado redundante se o seu conjunto diatnico

tiver menos do que sete membros e no-redundante se este conjunto tiver

exatamente sete membros.

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Figura 2. Definies de Sistema Riemanniano

Definimos uma ferramenta, denominada Conversor Riemanniano, cujo objetivo

mapear os elementos e as operaes de dois Sistemas Riemannianos no-redundantes.

DEFINIO 7. Um Conversor Riemanniano um mapeamento isomrfico entre

dois sistemas riemannianos. Seja o mapa :SR1 SR2 como segue:

1. (j(x)) = k((x)).

2. (Rj(x,y,z)) = Rk((x,y,z)).

3. (Tj) = Tk.

Onde x,y,z so classes de notas, [j, Rj, T

j ] so os componentes do sistema SR1 e

[Rk, T

k, k] so os componentes do sistema SR2.

O procedimento de converso consiste em quatro fases: (1) Identificao do

vocabulrio diatnico (escala e conjunto tridico) 3

do sistema original em que foi escrita a

obra a ser convertida, (2) Anlise sinttica desta obra com graus e funes riemannianas e

classificao das notas estranhas s trades, (3) Definio de outro Sistema Riemanniano para

o qual ser convertida a obra, incluindo a identificao do vocabulrio diatnico (escala e

conjunto tridico) deste novo sistema e (4) Converso entre os sistemas, isto , aplicao da

mesma estrutura ao novo sistema, tanto do ponto de vista horizontal quanto vertical.

Fase 1. Identificao do Vocabulrio Diatnico do Sistema Original

A Figura 3 mostra o sistema original utilizado por Bach. Nesta figura, dividida

em trs partes, temos do lado esquerdo a lista cannica com as trades diatnicas, na parte

central, o conjunto diatnico em sua ordenao tradicional e, do lado direito, os graus

tridicos relacionados s trades riemannianas e a classificao de suas formas primrias, de

acordo a teoria dos conjuntos de classes de notas de Allen Forte (1973). Esta classificao

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ser til na identificao dos possveis desvios de contedo intervalar no conjunto tridico,

ocasionados pelo acrscimo de dois outros membros s trades secundrias definidas por

Lewin: supertnica (st), formada pelas duas primeiras classes de notas da subdominante e pela

ltima nota da dominante, e a sensvel (sn), formada pela duas ltimas classes de notas da

dominante e pela primeira classe de nota da subdominante, fechando assim um ciclo com o

conjunto diatnico. Observa-se tambm que as trades primrias so escritas com letras

maisculas e as trades secundrias com letras minsculas, independentemente da qualidade

do acorde.

Figura 3. Vocabulrio diatnico para o sistema tonal em sol maior

Fase 2. Anlise Sinttica da Obra no Sistema Diatnico Original

A Figura 4 mostra a anlise dos graus, a identificao de notas estranhas, e as

funes do sistema em dois nveis de observao: (1) uma viso schenkeriana (sem uma

preocupao ainda com aspectos redutivos e nveis estruturais), isto , considerando as notas

estranhas como ornamentos s trades estruturais e (2) uma viso schoenbergiana, isto ,

considerando cada formao vertical como tendo existncia independente e, portanto,

classificvel do ponto de vista funcional.4 Veja-se que, abaixo da anlise, foi colocada a

progresso das fundamentais para corroborar algumas escolhas analticas.

Figura 4. Anlise harmnica da seo A de Aus meines Herzens Grunde

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Fase 3. Definio de Outros Sistemas Riemannianos

Definamos trs Sistemas Riemannianos no-redundantes, para os quais sero

traduzidos este coral de Bach. O primeiro sistema o j conhecido modo menor natural, o

qual tem as seguintes caractersticas: d=7 e m=3 (Os nmeros referem-se quantidade de

semitons cromticos, ou seja, 3 equivale a 3 semitons, por exemplo). O segundo ter d=3 e

m=2 e o terceiro d=7 e m=1. Identifica-se inicialmente o vocabulrio disponvel para os

sistemas na Figura 5. Graus no tridicos, no sentido tradicional de trades maiores, menores,

aumentadas ou diminutas, recebem uma classificao especial, isto , o grau escrito entre

parnteses com letra maiscula. Abaixo das funes, fornece-se tambm a classificao

primria, de acordo com a teoria dos conjuntos de classes de notas de Allen Forte. Observa-

se que as nicas trades que se desviam do padro primrio, e portanto do contedo intervalar,

estabelecido pela tnica, so aquelas que no foram definidas inicialmente por Lewin (sn, st).

importante tambm salientar que, embora se utilizem termos j comprometidos do ponto de

vista analtico, o conceito tradicional de progresso funcional perde o sentido, na

generalizao proposta por Lewin. Segundo o prprio Lewin, um novo protocolo de

resolues teria que ser proposto para cada novo sistema que se construsse (LEWIN, 1982,

p.57). Assim sendo, as dominantes (D) dos sistemas 2 e 3 no tm a mnima obrigao

acstica, filosfica, sinttica ou histrica de caminhar em direo tnica (T).

Figura 5. Estrutura dos sistemas

Fase 4. Converso

O procedimento de converso realizado em duas fases. Na primeira fase, a

nfase dada ao aspecto horizontal, ou seja, no conjunto diatnico desordenado, o qual, como

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se comentou anteriormente, ser ordenado livremente seguindo o modelo de arrumao de

nosso tradicional sistema diatnico. Desta forma, toma-se cada nota (mencionamos nota em

vez de classe de nota para que a converso contemple, na partitura, o parmetro registro) da

obra original e, aps verificar-se a que nota esta corresponde (do ponto de vista posicional) no

novo sistema, realiza-se a converso, que consiste simplesmente em alterar esta nota para sua

correspondente no novo sistema.

Na segunda fase, tomam-se as funes Riemannianas do Sistema Original e, aps

verificar-se a que funes correspondem no Sistema 1, realizam-se as tradues uma a uma.

A converso do Sistema Original para o Sistema 1 no ocasionar nenhuma distoro, ou seja,

o procedimento horizontal e o vertical produziro resultados idnticos. De fato, um dos

fatores que poderiam ocasionar alguma distoro seria a no correspondncia posicional das

funes tridicas entre os dois sistemas. O sistema 1 bastante prximo do original, como se

pode observar na Figura 5, tanto que Lewin o denomina de conjugado, de acordo com a

definiao 8.

DEFINIO 8. Um sistema conjugado do SR (T,d,m) o Sistema Riemanniano

(T,d, d-m). A operao que transforma um dado Sistema Riemanniano em seu conjugado ser

denominada CONJ. Escreve-se simbolicamente CONJ (T,d,m) = (T,d,d-m).

A Figura 6 mostra o resultado da converso vertical entre os dois sistemas. Como

se observa, trata-se apenas de uma mudana do modo jnio (maior) para modo elio (menor

natural).

Figura 6. Converso vertical entre o Sistema Original e o Sistema 1

Convertamos agora o Sistema Original para o Sistema 2. V-se que ambos

diferem em apenas duas classes de notas (diferentemente do que ocorre com relao ao

Sistema 1, onde a diferena de trs classes de notas). Ao convertermos as alturas, uma a

uma, sob uma perspectiva horizontal, produziremos gestos verticais que no existem no

Sistema 2. Verificando cuidadosamente a Figura 7, que contm a converso horizontal do

coral para o Sistema 2, observa-se que nenhuma dessas trades pertencem ao universo

estrutural deste sistema, o qual foi claramente delineado na Figura 5. No entanto, a converso

sob uma perspectiva vertical, ou seja, considerando-se as entidades verticais produz coerncia

tanto do ponto de vista do conjunto diatnico como da lista cannica. Evidentemente, como

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esta converso vertical foi feita a partir das trades, estas esto presentes no resultado final e,

como os componentes das trades so as classes de notas, estas tambm estaro

correspondentemente convertidas.

Figura 7. Converso horizontal entre o Sistema Original e o Sistema 2

Observa-se o mesmo fenmeno na converso entre o Sistema Original e o Sistema

3, ou seja, a converso sob o ponto de vista horizontal (conjunto diatnico desordenado)

produz paradoxo, o qual aqui se exprime como incoerncia entre as linhas meldicas

convertidas e o material tridico, enquanto a converso sob o ponto de vista vertical produz

um resultado coerente, ou seja, as linhas meldicas produzem contrapontisticamente trades

que pertencem lista cannica. A figura 8 mostra o resultado da converso horizontal entre

os Sistema Original e o Sistema 3.

Figura 8. Converso horizontal entre o Sistema Original e o Sistema 3

Considerando-se que a reordenao do conjunto diatnico um procedimento

correto, conforme nos autoriza a Definio 3, ento a converso entre Sistemas Riemannianos

no-redundantes, excetuando-se os conjugados, revela que o aspecto vertical tem primazia

sobre o horizontal. Como consequncia imediata deste resultado, pode-se estabelecer que a

harmonia um procedimento apriorstico com relao construo meldica. Isto pode

significar que Bach pensou primeiro na estrutura harmnica e tambm que Schoenberg tem

razo em pensar nas estruturas verticais formadas pelo embelezamento contrapontstico como,

pelo menos, promessas de futuros acordes independentes.

No entanto, se a Definio 3 for eliminada dos fundamentos lgicos do Sistema

Riemanniano, passando a lista cannica a ser a ordenao obrigatria, o conjunto diatnico,

ordenado na forma escalar como se conhece tradicionalmente, no pode ser considerado na

converso, j que as correspondncias entre as classes de notas passam a depender

intimamente da lista cannica e consequentemente das trades. Assim, elimina-se a condio

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paradoxal. O prprio Lewin no claro a este respeito, uma vez que, ao mesmo tempo em

que libera a ordenao do conjunto diatnico, quando o considera desordenado na Definio

3, esclarece, na nota 1 (pgina 59), que a escolha da lista cannica como ordenao do

Sistema, em vez da forma escalar, se origina nos trabalhos de Hauptmann e tem profundas e

importantes implicaes.

Referncias :

BURNHAM, Scott. Method and Motivation in Riemann History Harmonic Theory. Music

Theory Spectrum. Vol.14, N.1. (Spring, 1992): pp. 1-14.

DAHLHAUS, Carl. Schoenberg and Schenker. Proceedings of Royal Musical Association,

Vol. 100. (1973 - 1974), 209-215.

EBBINGHAUS, Hans-Dieter, Jrg Flum e Wolfgang Thomas. Mathematical Logic. New

York: Springer-Verlag, 1984.

FORTE, Allen. The Structure of Atonal Music. New Haven: Yale University Press, 1973.

LEWIN, David. A Formal Theory of Generalized Tonal Functions. Journal of Music

Theory. Vol.26, N.1 (Spring, 1982): 23-60.

SCHENKER, Heinrich. Counterpoint: A Translation of Kontrapunkt. Vol.1. New York:

Schirmer Books, 1987.

___________________. The Masterwork in Music: a Yearbook. Vol.2. New York:

Cambridge University Press, 1994.

SCHOENBERG, Arnold. Armonia. Madrid: Real Musical Editores, 1979.

STRAUS, Joseph. Introduction to Post-Tonal Theory. 2.ed. Uppler Saddle River, New Jersey:

Prentice Hall, 2000.

1 O texto desta cano secular, inspirada no Salmo 118, foi adaptada para uso congregacional por

George Nigidius (1525-1588), e publicada em 1598, em Hamburgo, no Neu Catechismus-Gesangbuechlein.

Estas informaes provm de: http://www.bachcentral.com/BachCentral/chorales.html e

http://www.ctsfw.edu/etext/hymnal, ambos consultados em 17 de maio de 2008.

2 Isomorfismo a correspondncia biunvoca entre os elementos de dois grupos, que preserva as

operaes de ambos. Para uma definio formal veja-se Ebbinghaus (1984, p.38).

3 Para a construo da escala, arrumar-se-o os membros do conjunto diatnico da forma mais compacta

possvel para a esquerda, ou no sentido anti-horrio, considerando-se a distribuio circular dos conjuntos de

classes de notas (STRAUS, 2000, p.4), iniciando a partir da classe de nota tnica (ou 0), a exemplo do que se

faz tradicionalmente com os modos utilizados na msica tonal ocidental. Esta possibilidade de ordenao livre

sustentada pela Definio 3.

4 Schoenberg afirma, no captulo XVII de seu Tratado de Harmonia, que no existem notas estranhas

harmonia, pois a harmonia a simultaneidade sonora (SCHOENBERG, 1947, p.381). Schenker, por outro lado,

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considerava j na segunda edio de seu Kontrapunkt um acorde de stima, por exemplo, como resultado de uma

nota de passagem sobre uma trade consonante (SCHENKER, 1987,p.366). Alm disso, Schenker (1994,p.9-18)

dedica um trecho de seu livro The Masterwork in Music para rebater diretamente o captulo XVII de Schoenberg.

Este assunto amplamente discutido por Carl Dahlhaus (1973,p.209-215).