Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000181 Artigo disponibilizado on-line Revista Ilha Digital Endereo eletrnico: http://ilhadigital.florianopolis.ifsc.edu.br/ CONVOLUO DE SINAIS: DEFINIO, PROPRIEDADES E FERRAMENTAS Miguel Antonio Sovierzoski1 Resumo:Estetrabalhoapresentaaoperaodeconvoluoparadiferentesrepresentaesdesinaisou funes, bem como as suas propriedades e o relacionamento com as transformadas de Laplace, de Fourier e Z.Emcadasituaoabordadadaoperaodeconvoluosoapresentadosossinaiseodesenvolvimento detalhadodaoperao.Determinadassituaesdesinaispermitemdiferentessoluesparaaoperaode convoluo. Devido aos diferentes tipos de combinaes de sinais e ferramentas matemticas no possvel esgotar o assunto, mas foi apresentada a operao de convoluo com diversos tipos de sinais e ferramentas. AtravsdeexemplosfoidemonstradoqueousodastransformadasdeLaplaceoudeFourier,parasinais contnuos, ou da transformada Z, para sinais discretos, agiliza a resoluo da operao de convoluo. Palavras-chave: Convoluo. Convoluo contnua. Convoluo discreta. Abstract:Thispaperpresentstheoperationofconvolutionwithdifferentrepresentationsofsignalsor functionsandtheirpropertiesandrelationshipwithLaplace,FourierandZtransforms.Ineachsituation, theoperationofconvolutionsignalsispresented,followedbythedetaileddevelopmentofthesolution.In certainsituations,thesignalsallowdifferentsolutionstotheconvolutionoperation.Duetotheextentof combinations of signals and mathematical tools available, the subject cannot be exhaust, but it discussed in a vast majority of situations where the convolution operation is used. It was showed that the use of Laplace transformorFouriertransformforcontinuoussignalsortheZtransformfordiscretesignals,areaneasy and quick method to solve the convolution. Keywords: Convolution. Continuous convolution. Discrete convolution. 1 Professor da UTFPR . 1.INTRODUO A operao de convoluo aplicada em vrias situaesnamatemticaenaengenharia,fazendo uso de diferentes ferramentas para a sua soluo. Inicialmenteapresentadaadefinioda operaodeconvoluoeemseguidaso abordadasdiversassituaesdeconvoluode sinaisdetempocontnuoedetempodiscreto utilizandoadefinioeoutrasabordagens.So apresentadastambmastransformadasdeLaplace, deFouriereZeoprocedimentopararesolvera convoluo com o uso destas ferramentas. Soapresentadosvriosexemplosde representaesdesinaisoufunes:sinaisem tempo contnuo, sinais em tempo discreto, sinais de duraoinfinitaededuraofinita.Emtodasas situaes o objetivo executar e analisar a operao deconvoluoentreossinais.Cadasituao abordada atravs de um exemplo numrico para que oleitorpossaacompanhardetalhadamenteo desenvolvimentoerefazerasoluo.Ummesmo exemplo pode permitir vrios procedimentos para a soluocomaaplicaodediferentesferramentas matemticas.Nopossvelabordartodasas combinaesdesinaisedeferramentasparaa soluodaoperaodeconvoluo,masfoi apresentadaeexemplificadaagrandemaioriadas situaesdesinaisenvolvendoaoperaode convoluo. 2.OPERAO DE CONVOLUO A convoluo opera comduas funes ou com doissinais,x(t)eh(t),paragerarumaterceira funo ou sinal como resultado da operao,y(t). A interpretaoparaafunoh(t),naengenharia, Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000182 que esta a resposta impulsiva de um sistema linear e invariante no tempo, mas tambm no deixa de ser umafunomatemticaquedescreveas caractersticasintrnsecasdeumsistema.O princpiodasuperposiovlidoemsistemas lineares.Nossistemasinvariantesnotempo,um atraso no sinal de entrada, provoca o correspondente atraso no sinal de sada. A Figura 1(a) apresenta um sistemaemtempocontnuot,comumsinalde entradax(t)iteragindocomarespostaimpulsiva h(t),egerandoosinaldesaday(t).AFigura1(b) apresenta amesma ideiapara umsistema de tempo discreton,comumsinaldiscretodeentradax[n] iteragindo com a resposta impulsiva h[n], e gerando o sinal discreto de sada y[n]. FIGURA 1 Representao dos sinais em(a) um sistema de tempo contnuo e em (b) um sistema de tempo discreto. 2.1.Convoluo de sinais de tempo contnuo A operao de convoluo para sinais de tempo contnuodefinidapelaEquao1,naqualo smbolo*(asterisco)arepresentaogrficada operao de convoluo entre as funes x(t) e h(t), eaintegraldenominadadeintegralda convoluo.L-sequeosinaly(t)osinalx(t) convoludocomosinalh(t).Avarivelde integraoalteradaparat(letragregatal).Na integraldeconvoluo,umadasfunessofre apenasamudanadevarivelx(t),enquantoa outrafunosofreamudanadevarivelh(t), seguidapelaoperaodereflexoh(-t),eporum deslocamento pela varivel t, resultando em h(t - t). ( ) ( ) ( ) t h t x t y - =( ) ( ) ( )}+ = t t t d t h x t y [1] A operao de convoluo um operador linear possuindoaspropriedadesmatemticasde comutatividade,dedistributividadeede associatividade, conforme apresentam as Equaes 2,3e4,respectivamente.Estaspropriedadesno sero demonstradas, mas a prova destas e de outras propriedades so encontradas nas referncias. ( ) ( ) ( ) ( ) t x t h t h t x - = - [2] ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) t z t x t y t x t z t y t x - + - = + - [3] ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) t z t y t x t z t y t x - - = - - [4] Aconvoluodedoissinaiscontnuosfinitos, porexemplo,x(t)comduraoLxey(t)com duraoLy,resultarnumsinalconvoludocom duraoLx + Ly.Considerandoosinalx(t)contido nointervalo[Ix , Fx],eosinaly(t)contidono intervalo [Iy , Fy], e devido s operaes de reflexo edeslocamentooresultadodaconvoluodos sinaiscontnuosfinitosestarcontidanointervalo [Ix + Iy , Fx + Fy]. 2.2.Convoluo de sinais de tempo discreto Adefiniomatemticadaconvoluopara sinais de tempo discreto semelhante de sinais de tempocontnuo,sendoqueasvariveisenvolvidas agorasovariveisdiscretas,eaintegral transforma-seemumsomatrio,conforme apresenta a Equao 5. A convoluo denominado de soma da convoluo. | | | | | | n h n x n y - =| | | | | |+ = =kk n h n x n y [5] Aspropriedadesmatemticasdecomutativi-dade,distributividadeeassociatividadetambm seaplicamconvoluodefunesdiscretas, conforme apresentam as Equaes 6, 7 e 8. | | | | | | | | n x n h n h n x - = - [6] | | | | | | { } | | | | | | | | n z n x n y n x n z n y n x - + - = + - [7] | | | | | | { } | | | | { } | | n z n y n x n z n y n x - - = - - [8] Paraocasodaconvoluodesinaisdiscretos finitos,porexemplo,x[n]comLxamostrasey[n] comLyamostras,osinalconvoludopossuir Lx + Ly - 1 amostras. Com as amostras significativas dex[n]estandonointervalo[Ix , Fx],easamostras significativasdey[n]estandonointervalo[Iy , Fy], devidosoperaesdereflexoedeslocamento,o sinalconvoludoestarrestritoaointervalo [Ix + Iy , Fx + Fy]. 3.REALIZANDO A CONVOLUO DE SINAIS DE TEMPO CONTNUO Esteitemapresentaexemplosdaoperaode convoluodesinaisdetempocontnuocom duraoinfinitaefinita,utilizandoadefinio matemtica da operao. 3.1.Convoluo de sinais contnuos infinitos Naconvoluodesinaiscontnuosinfinitos, foramutilizadascomoexemploduasfunes exponenciaisdecrescentes:x(t),apresentadana Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000183 Equao9,eh(t),apresentadanaEquao10, definidasparat 0.Asfunestrabalhadaspara realizar a operao, atravs da troca de variveis de tparat,daoperaodereflexoeodeslocamento nosinalhsoapresentadasnasEquaes11e12. Asetapasdaoperaodeconvoluoparasinais contnuos infinitos so apresentadas na Figura 2. ( ) ( ) t u e t xt =2 [9] ( ) ( ) t u e t ht = 3[10] ( )tt = e x 2 [11] ( )( ) tt = 3e h( )( ) tt = te t h3[12] Pararealizaraoperaodeconvoluopela definio,normalmentenecessriooauxliode grficosapresentandoaiteraodossinaispara determinarascondiesdeintegrao.Na interpretao da convoluo, um sinal permanece na suaposio,nocasodaFigura2,osinalx(t),eo outrosinalh(t - t)posicionadoemt = -sendo deslocado at t = + realizando a convoluo. FIGURA 2 Exemplo da operao de convoluo com os sinais contnuos infinitos das Equaes 9 e 10, utilizando a definio de convoluo contnua. Paraassituaest < 0et = 0,representados pelas Figuras 2(a) e 2(b), resultam em valor 0 para a convoluo,poisossinaisnopossuem sobreposio. Paraasituaot > 0,apresentadapelaFigura 2(c),ossinaissosobrepostos,sendoquea convoluodossinaisresultaemvalordiferentede 0.Observa-se,nafigura,queointervalode integrao de 0 at t. A expresso matemtica y(t), calculadaapartirdadefiniodaconvoluo apresentada pela Equao 13. ( ) ( ) ( )}+ = t t t d t h x t y ( )( )} = ttd e e t y032 tt t ( ) } = + ttd e t y02 32 tt ( ) } = ttd e e t y02 32 tt ( )} = ttd e e t y02 32 tt ( )ttee t y02322t = ( )( )21223 = ttee t y ( )t t te e e t y =3 2 3 ( )t te e t y =3 ( ) ( ) ( ) t u e e t yt t = 3 [13] AFigura3apresentaocomportamentodos sinaisx(t)(Equao9),h(t)(Equao10)eda convoluo y(t), descrita pela Equao 13. Comestaanliseobserva-sequeaconvoluo de dois sinais contnuos infinitos resultou num sinal contnuo infinito. Neste caso, necessrio o auxlio de grficos (Figura 2), apresentando a iterao entre ossinaisedeterminandooslimitesdeintegrao para realizar a operao de convoluo. 3.2.Convoluo de sinais contnuos finitos Paraapresentaraconvoluodesinais contnuosfinitos,foramutilizadoscomofunes exemplodoispulsosretangularesx(t)eh(t), apresentadosnasFiguras 4(a)e4(b), respectivamente.Estessinaiselementarespossuem asuadefinioatravsdesentenasmatemticas, indicadas pelas Equaes 14 e 15. ( ) ( ) ( ) 2 = t u t u t x( ) < s=contrrio casott x02 0 1[14] Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000184 ( ) ( ) ( ) 4 2 2 = t u t u t h( ) < s=contrrio casott h04 0 2[15] 00,511,520 1 2 3 4 5x(t) 00,511,520 1 2 3 4 5h(t) 00,511,520 1 2 3 4 5y(t) FIGURA 3 Representao dos sinais das Equaes 9 e 10 e o resultado da convoluo (Equao 13). Comoregraprticaparaaexecuoda convoluo, a operao mais fcil de ser realizada seforutilizadoosinalmaissimplesparaser refletidoedeslocado.Comoaoperaotema propriedadedesercomutativa,optou-sepor deslocar e refletir o sinal x(t). FIGURA 4 Sinais contnuos finitos das Equaes 14 e 15, e suas transformaes para a operao de convoluo. AsFiguras4(c)e4(d)apresentamossinais preparados para realizar a operao, fazendo a troca devariveisdetparat,realizandoaoperaode reflexo e o deslocamento no sinal x(t), e a troca de varivel na funo h(t). Pararealizaraoperaodeconvoluopela definio,normalmentenecessriooauxliode grficosapresentandoaiteraodossinaispara determinarointervalodeintegrao.Na interpretaodaconvoluo,umsinalpermanece esttico na sua posio, no caso da Figura 5, o sinal h(t).O outrosinalx(t t)posicionadoemt = - sendodeslocadoatt = +pararealizaraintegral da convoluo. FIGURA 5 Operao de convoluo entre os sinais contnuos finitos das Equaes 14 e 15. Oinstantet = 0,apresentadopelaFigura5(a), resulta em valor 0 para a convoluo, pois os sinais estonolimiteparainiciarasobreposio.Para 0 < t < 6,ossinaissoparcialmenteou completamentesobrepostos,sendoqueoproduto dossinaiseconsequentementeareasobreeste produto resultam em valor diferente de 0, conforme Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000185 apresentamasFiguras5(b)5(f).Umasituao limiteocorreparat = 2,sendoqueosinalx(t t) estcompletamentesobrepostoaosinalh(t).Desta formaexecuta-seaanliseparaointervalo 0 t < 2.Paraesteintervalo,observa-sena Figura 5(b)queoprodutodasfunespossuio intervalodeintegraoentre0et.Aconvoluo paraointervalo0 t < 2resultanafuno y(t) = 2t,aumentandolinearmentearea determinadapeloprodutodasduasfunesem funo do tempo. Nointervalo2 t < 4,observa-seque,nas Figuras 5(c), 5(d) e 5(e), o resultado da integral no alterado,poisosinalx(t t)encontra-se completamentesobrepostopelosinalh(t),sendo deslocadosobeste.Observa-sequeointervalode integraovariade-2 + tatt.Odesenvolvimento da integral de convoluo para este intervalo resulta na Equao 16. ( )}+ =ttd t y21 2 t( )}+ =ttd t y22 t( )ttt y+ =22 t( ) ( ) t t t y + = 2 2 2( ) t t t y + = 2 4 2( ) 4 = t y [16] Fazendoaanliseparaesteintervalo,a convoluoresultanafunoconstantey(t) = 4, obtidadoprodutodasduasfunesmultiplicado pela largura do sinal x(t t). Apartirdoinstantet = 4,osinalx(t t)no est mais completamente sobreposto pelo sinal h(t), sendonecessriasnovascondiesdeanlise.A Figura5(f)apresentaestasituao,sendoqueo limiteocorreparat = 6.Paraaanlisenointervalo 4 t 6,ointervalodeintegraovariade-2 + t at4.Odesenvolvimentodaintegralresultana Equao 17. ( )}+ =421 2td t y t ( )}+ =422td t y t ( )422tt y+ = t ( ) ( ) t t y + = 2 2 4 2( ) t t y + = 2 4 8( ) t t y = 2 12 [17] Aconvoluoparaesteintervaloresultana funoy(t) = 12 - 2t.Parat > 6nohmais sobreposio dos sinais, resultando em valor 0 para a convoluo, conforme apresentado na Figura 5(g). Assentenasquedescrevemoresultadoda convoluo y(t) so apresentadas na Equao 18 e a representaogrficadaconvoluoapresentada na Figura 6. ( )s s < s < s =contrrio casot ttt tt y, 06 4 , 2 124 2 , 42 0 , 2[18] FIGURA 6 Resultado da convoluo da Figura 5, para os sinais contnuos finitos da Figura 4 (Equaes 14 e 15). Comoossinaisx(t)eh(t)socontnuose finitos,observa-sequeLx = 2eLh = 4,resultando em Ly = 6. Quanto aos intervalos, para o sinal x(t) o intervalo[0 , 2],eparaosinalh(t)ointervalo [0 , 4], resultando em y(t) no intervalo [0 , 6]. Observa-senestaanlisedesinaiscontnuos finitosquenecessriaarealizaodaconvoluo porintervalosdevidoaosinalpossuir descontinuidades,emudandoosintervalosde integraodaintegraldeconvoluo.Nestecaso, necessriooauxliodegrficos(Figura5), apresentandoaiteraoentreossinaise determinando os intervalos de integrao. 3.3.Convoluo de sinal contnuo finito com sinal contnuo infinito Paraapresentaraconvoluoentreumsinal contnuofinitoeumsinalcontnuoinfinitoforam utilizadosossinaisexemplosapresentadospelas Equaes19e20,cujocomportamento apresentado pelas Figuras 7(a) e 7(b). ( ) ( ) ( ) 3 2 2 = t u t u t x [19] ( ) ( ) t u e t ht = 2[20] Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000186 FIGURA 7 Representao do sinal contnuo finito x(t) e infinito h(t) das Equaes 19 e 20. Aplicando-seaintegraldaconvoluo, refletindo e deslocando a funo x(t), observa-se na Figura 8(a) que, para t < 0, no existe convoluo. FIGURA 8 Operao de convoluo de um sinal contnuo infinito com um sinal contnuo finito, utilizando a definio de integral de convoluo. A convoluo inicia para t = 0, como apresenta aFigura8(b),ocorrendoumasituaolimitepara t = 3,conformeapresentaaFigura8(d).Parao intervalo0 t < 3,observa-seointervalode integraode0att,cujodesenvolvimentoda integraldeconvoluoapresentadopela Equao 21. ( ) } =td e t y022 tt ( )te t y02t =( ) 3 0 , 12< s = t e t yt[21] Para o intervalo t > 3, situao apresentada pela Figura 8(e),osinalfinitox(t)continuadeslocando-seatoinfinito,ocorrendoaconvoluocomo sinalh(t) at o infinito. Neste intervalo de anlise, a integraldaconvoluopossuiointervalode integraode-3 + tatt,sendoapresentadapela Equao 22. ( )}+ =ttd e t y322 tt ( )tte t y+ =32t ( ) ( )t te e t y =2 6 2 ( )t te e e t y + =2 6 2 ( ) ( ) 3 , 16 2> = t e e t yt[22] A convoluo das funes x(t) e h(t) resulta na funo y(t) apresentada pelas sentenas da Equao 23,cujocomportamentoapresentadopela Figura 9. ( )( )> < s = 0 , 00 , 1k nk nk n u [28] | | | | s s= contrrio cason kk n u k u, 00 , 1[29] Comooprodutodasfunesdegrauunitrioe degrauunitriorefletidaedeslocadasignificativo nointervalo0 k n,oslimitesdosomatrioso alterados, sendo restritos ao intervalo k = 0 at n. A Equao 30 apresenta o desenvolvimento do somatrio, que a operao de convoluo discreta. | | =|.|

\||.|

\|=nkk n kn y03141 | |=|.|

\||.|

\|=nkk nn y04331 [30] A srie geomtrica apresentada pela Equao 31. ====101 ,1 ,11NnNna Naaaa [31] NaEquao30,aplica-seasriegeomtricae opera-sealgebricamenteatobteraexpressodo sinal convoludoy[n] na Equao 32. | | | | n u n ynn|.|

\||.|

\|=+431431311 | | | | n u n ynn(((

|.|

\||.|

\||.|

\|=414343131 | | | | n u n yn n n(((

|.|

\||.|

\||.|

\|=433143314| | | | | | n u n u n yn n|.|

\| |.|

\| =413314[32] Observa-senaanlisequeparasinaisdiscretos infinitosnofoinecessriooapoiodenenhum recursogrficoparaauxiliarnarealizaoda operao de convoluo. 4.2.Convoluo de sinais discretos finitos Aconvoluodesinaisdiscretosfinitospode serrealizadaatravsdealgumasabordagens interessantes,almdadefinioapresentadapela Equao 5. Um sinal discreto pode ser decomposto em uma sequnciaponderadadeimpulsosdeslocados. UsandocomorefernciaaFigura1,afunoh(t) parasinaiscontnuoseafunoh[n]parasinais discretossodenominadasderespostaimpulsiva dosistema.Emoutraspalavras,utilizandoum impulsounitriocomosendoosinaldeentradado sistema(x[n] = [n]),asadadosistemasera funo h[n], poisy[n] = x[n] * h[n]. Comoestamosutilizandosistemaslineares, estespossuemacaractersticadeapresentaruma resposta de sada em funo de um sinal de entrada. Sendo aplicado um impulso unitrio ao sistema, este vairespondercomarespostaimpulsivah[n].Se este impulso for deslocado no tempo, aresposta do sistemaemfunodosinaldeentradasofrero mesmodeslocamentonotempo.Fazendousoda Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000188 decomposiodosinaldiscretofinitoemuma sequnciaponderadadeimpulsosdeslocadoseda caractersticadarespostaimpulsiva,podemser realizadasduasabordagensparaaconvoluo discreta, apresentadas nos prximos itens. 4.2.1.Convoluo discreta com abordagem grfica da resposta impulsiva Aconvoluodiscretadesinaisfinitos realizadapelaabordagemgrficadaresposta impulsivaapresentadaatravsdeumexemplo.A Figura10(a)apresentaosinaldeentradadiscreto, enquantoaFigura10(b)reproduzaresposta impulsivadosistema,ambascomtrsamostras.O sinal x[n] pode ser decomposto pelas suas amostras (x[0] = 2;x[1] = 1;x[2] = -1)multiplicadaspor impulsos deslocados, apresentado na Equao 33. | | | | | | | | 2 1 1 1 2 + = n n n n x o o o [33] Aplicandoaamostrax[0]daFigura10(c)no sistemah[n],resultaarespostaimpulsiva apresentadapelaFigura10(d).Deforma semelhante,asFiguras10(e),10(f),10(g)e10(h) apresentam as respostas impulsivas para as amostras deslocadas x[1][n 1] e x[2][n 2]. Foianalisadoocomportamentodosistemade forma isolada para cada amostra que compe o sinal de entrada, e que o sinal de entrada corresponde ao somatriodestasamostras.Logo,osinaldesada tambmcorrespondeaosomatriodasrespectivas sadasnaEquao34,pelaaplicaodoprincpio da superposio em sistemas lineares. | | | | | | | | n y n y n y n y2 1 0+ + =| | | | | | | | | | 4 2 2 4 1 6 4 + + = n n n n n y o o o o [34] AsFiguras10(i)e10(j)apresentamosinalde entrada e a correspondente convoluo discreta. Noexemplo,cadasinalpossuitrsamostras, Lx = 3eLh = 3,resultandonumaconvoluocom cincoamostraspelaregraLx + Lh 1amostras.A primeira amostra da convoluo y[0+0] = y[0] = 4 e a ltima amostra y[2+2] = y[4] = -2. Casoossinaisdiscretospossuammuitas amostras,aanlisesealongar,devendoser realizada para todas as amostras do sinal de entrada. Nestaabordagem,deve-sedeterminara respostaimpulsivaparatodasasamostrasdosinal deentrada,efetuandoosomatriodestasrespostas impulsivas para obter o resultado da convoluo. FIGURA 10 Operao de convoluo com sinais discretos finitos,realizada com a abordagem grfica da resposta impulsiva. Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000189 4.2.2.Convoluo discreta com abordagem algbrica da resposta impulsiva Pode-sefazerusodasmesmaspropriedadesda abordagemanteriorpararealizaralgebricamentea convoluodesinaisdiscretosfinitos.Ossinais discretosfinitosrepresentadosporimpulsos ponderadosdeslocadossoapresentadosnas Equaes 35 e 36. | | | | | | | | 2 1 2 + = n n n n x o o o [35] | | | | | | | | 2 2 1 2 2 + + = n n n n h o o o [36] Usandoapropriedadedarespostaimpulsiva, apresentadanaEquao37aformageraldosinal desaday[n],deslocando-seeponderando-sea funo h[n] em funo de cada impulso componente do sinal de entrada x[n]. | | | | | | n h n x n y - =| | | | ( ) | | ( ) | | ( ) 2 1 2 + = n h n h n h n y [37] Substituindo-seafunoh[n]originalemcada parcelaponderadaedeslocadadafunodesada, obtm-seasEquaes 38,39e40.Aplicando-seo princpio da superposio nestes resultados parciais obtm-se o resultado da convoluo na Equao 41. | | | | | | | | n y n y n y n y2 1 0+ + =| | | | | | | | | | 2 4 1 4 4 20 + + = = n n n n h n y o o o [38] | | | | | | | | | | 3 2 2 2 1 2 11 + + + = = n n n n h n y o o o [39] | | | | | | | | | | 4 2 3 2 2 2 22 = = n n n n h n y o o o [40] | | | | | | | | | | | | 4 2 3 0 2 4 1 6 4 + + + = n n n n n n y o o o o o [41] Comoforamutilizadososmesmossinaisdo item4.2.1pararealizarestaabordagemde convoluodiscreta,chega-seaomesmoresultado, comarepresentaonaformaalgbricadossinais atravs de impulsos ponderados e deslocados. Nestaabordagem,foramutilizadasasmesmas propriedadesdaabordagemanterior,sendo realizada a convoluo de forma algbrica, ao invs da forma grfica. Namesmasituaodoitemanterior,casoos sinaisdiscretospossuammuitasamostras,aanlise sermaisdemorada,devendoserrealizadaa operao com todas as amostras do sinal de entrada para se obter o resultado da convoluo. 4.2.3.Convoluo discreta usando a definio A operao de convoluo com sinais discretos foidefinidanaEquao5.Noprocessode resoluo,seguem-seosmesmospassosda convoluodiscreta,diferindoapenasnaformade representao dos sinais. Nestaabordagemtambmforamutilizadosos mesmos sinais dos dois itens anteriores. Nas Figuras 11(a) e 11(b) so apresentados os sinais x[n] e h[n]. AFigura11(c)eaFigura11(d)mostramossinais preparadospararealizaraconvoluo,efetuandoa trocadevariveis,areflexoeodeslocamentodo sinal x[n] e do sinal h[n]. FIGURA 11 Sinais preparados para uso no exemplo de convoluo discreta com sinais finitos. Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000190 Noinstanten = -1,apresentadopela Figura 12(a),aindanoocorreuasobreposiodos sinais, resultando em valor 0 para a convoluo. AFigura12(b)apresentaasituaodossinais no instante n = 0, ocorrendo a convoluo com uma amostra.Efetuandoosomatriodosprodutos parciaisobtm-seaconvoluoparaesteinstante, sendoy[0] = 4.AsFiguras12(c),12(d),12(e)e 12(f)apresentamosdemaisinstantesondeocorrea convoluocomy[1] = 6,y[2] = 4,y[3] = 0e y[4] = -2.Noinstanten = 5,apresentadopela Figura12(g),aconvoluoterminou,nohavendo sobreposio de amostras dos sinais. Como era esperado, observa-se que o resultado daconvoluocomestaabordagemapresentao mesmo resultado que as duas abordagens anteriores. V-senestaabordagem,diferentedasduas anteriores, que o resultado da convoluo para cada instanteobtidorealizando-seaconvoluo naqueleinstante,independentedoclculoda convoluonosinstantesanterioreseposteriores. Essa uma caracterstica da abordagem que permite operarcomsinaiscommuitasamostrasoucom sinais infinitos e calcular a operao de convoluo para cada instante de tempo discreto n. FIGURA 12 Operao de convoluo com sinais discretos finitos,realizada utilizando a definio de convoluo discreta. Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000191 Lathi(2004)eHayes(1999)apresentamum artifciocriativo,atravsdeumatiradepapel,para agilizararealizaodaoperaoparasinais discretosfazendousodadefiniodeconvoluo. Fica a indicao para o leitor interessado. 4.3.Convoluo de sinal discreto finito com sinal discreto infinito Aconvoluodeumsinaldiscretofinitocom umsinaldiscretoinfinitopodeserresolvidapela definiodaconvoluodiscretaoupelaideiada resposta impulsiva. Asfunesexemploestoapresentadasnas Equaes 42 e 43 e os comportamentos das funes nas Figuras 13(a) e 13(b). | | | | | | 4 = n u n u n h [42] | | | | n u n xn = 9 , 0 [43] FIGURA 13 Sinais discretos finito h[n] e infinito x[n], das Equaes 42 e 43. Aplicandoadefiniodaconvoluodiscreta, observa-sequeafunoh[n]compostaporuma sequnciafinitadeimpulsosunitrios,definindo duasanlises.Nointervalo0n3tem-seuma anlise para a convoluo, e no intervalo n > 3, tem-se outra anlise, conforme apresenta a Equao 44. | | | | | | n h n x n y - =| | | | | |+ = =kk n h k x n y| | { } ] 4 [ ] [ . ] [ 9 , 0 = + =k n u k n u k u n ykk | | 3 0 , 9 , 00s s ==n n ynkk | | 3 0 ,9 , 0 19 , 0 11s s=+n n yn | | 3 , 9 , 03> = =n n ynn kk | | 3 , 9 , 0 .9 , 0 19 , 0 134>||.|

\|=n n yn[44] Oresultadodaconvoluo,daEquao44, apresentado pela Figura 14. FIGURA 14 Comportamento da convoluo y[n] entre o sinal discreto finito e o sinal discreto infinito, apresentados pela Figura 13. Comoosinalh[n]possuiumnmeropequeno deamostras,aconvoluodiscretapelaabordagem darespostaimpulsivatambmpodeseraplicada neste exemplo. 5.TRANSFORMADAS Apsapresentaradefinioeexemplosda operaodeconvoluoparasinaisdetempo contnuoedetempodiscreto,nopossveldizer que a convoluo seja uma operao simples de ser entendida e de ser executada, tambm no difcil, mas trabalhosa. Outraabordagemmatemticapararesolvera operao deconvoluo o uso das transformadas, queestorelacionadascomasoluodoproblema em outro domnio de representao. A aplicao das transformadas neste contexto paraobteroresultadodaoperaodeconvoluo, semresolv-ladiretamente.Atravsdastransfor-madas,transporta-seoproblemaparaumoutro domnioderepresentao,noqualaoperaode convoluotambmsertransformada,possuindo umasoluoalgbricamaissimples.Dependendo dotipodosinalqueestsendoutilizadoeda aplicao,determina-sequalatransformadaaser utilizada: transformada de Laplace, transformada de Fourier ou transformada Z. 5.1.Transformada de Laplace e a convoluo AtransformadadeLaplacerelacionadois domniosderepresentao:domniodotempo contnuotedomniodafrequnciacomplexas, Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000192 sendosumavarivelcomplexa(s = + j) (operador imaginrio:1 = = i j ). AtransformadadeLaplace,definidana Equao45,transformaafunododomniodo tempox(t),paraodomniodafrequncia, resultando na funo X(s). ( ) ( ) { } ( )} + = = dt e t x t x L s Xt s[45] A antitransformada de Laplace ou transformada inversadeLaplace,definidanaEquao46, transforma a funo X(s) do domnio da frequncia, para o domnio do tempo, resultando na funo x(t). ( ) ( ) { } s X L t x1 =( ) { } ( )} + =j cj ct sds e s Xjs X Lt 211[46] Dentreaspropriedadesdatransformadade Laplace,limitando-seaocontextodestetrabalho, destacam-seasduaspropriedadesenvolvendoa operao de convoluo. Apropriedadedaconvoluonodomniodo tempoapresentadapelaEquao47.Aoperao deconvoluodeduasfunesnodomniodo tempo transformada para o domnio da frequncia comosendoamultiplicaoentreastransformadas das funes. ( ) ( ) ( ) ( ) s W s X t w t xL - [47] Apropriedadedualapropriedadeda convoluonodomniodafrequncia,apresentada pelaEquao48.Aoperaodeconvoluoentre duasfunesnodomniodafrequncia transformada para o domnio do tempo como sendo amultiplicaodastransformadasinversasdestas funes. ( ) ( ) ( ) ( ) s W s Xjt w t xL- t 21[48] Nasduaspropriedades,observa-sequea operaodeconvoluorealizadanumdomnio transforma-senaoperaodemultiplicaono outrodomnio.Destaforma,paranoresolver diretamente a operao de convoluo, executa-se a transformadadossinaisparaooutrodomnio, resolve-se o problema e retorna-se a soluo para o domnio inicial executando a transformada inversa. 5.2.Transformada de Fourier e a convoluo A transformada de Fourier relaciona o domnio dotempocontnuotcomodomniodafrequncia j(operador imaginrio:1 = = i j ). AdefiniodatransformadadeFourier apresentadapelaEquao49,transformandoa funo do domnio do tempo x(t) para o domnio da frequncia, resultando na funo X(j). ( ) ( ) { } ( )} + = = dt e t x t x F j Xt j ee [49] AtransformadainversadeFourierouanti-transformada, definida na Equao 50, transforma a funoX(j)dodomniodafrequncia,parao domnio do tempo, obtendo a funo x(t). ( ) ( ) { } e j X F t x1 =( ) { } ( )} + = e eteed e j X j X Ft j211[50] Destacam-seapenasasduaspropriedadesda transformadadeFourierqueenvolvemaoperao de convoluo. Apropriedadedaconvoluonodomniodo tempoapresentadapelaEquao51.Aoperao deconvoluodeduasfunesnodomniodo tempo transformada para o domnio da frequncia comosendoaoperaodemultiplicaoentreas transformadas das funes. ( ) ( ) ( ) ( ) e e j W j X t w t xF - [51] Apropriedadedualapropriedadeda convoluonodomniodafrequncia,apresentada pelaEquao52.Aoperaodeconvoluoentre duasfunesnodomniodafrequncia transformada para o domnio do tempo como sendo amultiplicaodastransformadasinversasdestas funes. ( ) ( ) ( ) ( ) e etj W j X t w t xF- 21[52] Nasduaspropriedades,observa-sequea operaodeconvoluorealizadanumdomnio transforma-senaoperaodemultiplicaono outrodomnio.Destaforma,paranoresolver diretamente a operao de convoluo, executa-se a transformadadossinaisparaooutrodomnio, resolve-seoproblemaeretorna-secomasoluo paraodomnioinicialexecutandoatransformada inversa. 5.3.Transformada Z e a convoluo A transformada Z a transformada equivalente datransformadadeLaplaceoperandoemtempo discretosobrefunesevariveisdiscretas.A definiodatransformadaapresentadapela Equao 53,comz = re j,sendozumavarivel complexa(operador imaginrio:1 = = i j ). | | | | { } | | = = =nnz n x n x Z z X [53] Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000193 Semelhantesoutrastransformadas apresentadas,apropriedadedeinteresseenvolvea operaodeconvoluo.Apropriedadeda convoluomostraqueaoperaodeconvoluo deduasfunesnodomniodotempodiscreto transformada para o domnio Z como uma operao demultiplicaoentreastransformadasdas funes, conforme apresenta a Equao 54. | | | | | | | | z W z X n w n xZ - [54] 6.REALIZANDO A CONVOLUO COM TRANSFORMADAS Esteitemapresentaaoperaodeconvoluo resolvidaatravsdastransformadasdeLaplace,de Fourier e Z. A propriedade da convoluo dos sinais no tempo corresponde ao produto das transformadas dossinais.Parafazerusodestapropriedade, determinam-seastransformadasdossinais, representandooproblemanodomnioda transformada.Fazendousodaconvoluoexecuta-seoprodutodastransformadasedetermina-sea transformada inversa com a soluo da convoluo. 6.1.Convoluo com atransformada de Laplace Fazendousodosmesmosexemplosdesinais contnuos infinitos que foram utilizados na Figura 2, realiza-seaoperaodeconvoluoatravsda transformada de Laplace. NasEquaes55e56,apresentam-seas funes exemplo a serem convoludas. As Equaes 57,58e59apresentamumpardetransformadade Laplaceeduaspropriedades.Aspropriedadesde linearidade e de convoluo e o par de transformada de Laplace podem ser encontrados nas referncias. ( ) ( ) t u e t xt =2 [55] ( ) ( ) t u e t ht = 3[56] ( )a st u eL t a+ 1[57] ( ) ( ) ( ) ( ) s W b s X a t w b t x aL + + [58] ( ) ( ) ( ) ( ) s W s X t w t xL - [59] Aplicando-seaspropriedadeseatransformada nossinaisnodomniodotempo,obtm-sea transformada de Laplace dos sinais nas Equaes 60 e 61. ( )12+=ss X [60] ( )31+=ss H [61] Oresultadodaconvoluoutilizandoa transformadadeLaplacecaracterizadopelo produtodasEquaes60e61,apresentadona Equao62.Utilizandoaferramentadefraes parciais(verLathi,2004)naEquao62, decompe-seafraodopolinmiodesegundo grauemduasfraesdepolinmiosdeprimeiro grau(Equao 63),quepossuemcomo transformadainversaopardetransformadada Equao 57. ( ) ( ) ( ) s H s X s Y =( )( ) ( ) 3 12+ +=s ss Y [62] ( )3111+++=s ss Y [63] OresultadoobtidonaEquao63estno domniodatransformadadeLaplaceedeveser convertidoparaodomniodotempo,resultandona funoy(t),utilizando-seoprocedimentodo clculo da transformada inversa na Equao 64. ( ) ( ) { } s Y L t y1 =( ))`+++=31111s sL t y( ))`++)`+= 31111 1sLsL t y( ) ( ) ( ) t u e t u e t yt t = 3 ( ) ( ) ( ) t u e e t yt t = 3[64] Comoforamutilizadasasmesmasfunesda Figura 2, esperado obter o mesmo resultado para a convoluo.Osgrficosdossinaisx(t),h(t)edo resultadoy(t) podem ser visualizados na Figura 3. Observa-sequenofoinecessriooapoiode nenhumgrficopararesolveraconvoluo utilizando-seatransformadadeLaplace,eque devidoaousodaspropriedades,aconvoluono domniodotempocontnuofoitransformadaem uma multiplicao no domnio da frequncia. 6.2.Convoluo com a transformada de Fourier Utilizandoosmesmosexemplosdesinais contnuos infinitos que foram utilizados na Figura 2, realiza-seaoperaodeconvoluoatravsda transformada de Fourier. Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000194 NasEquaes65e66,apresentam-seas funes exemplo a serem convoludas. As Equaes 67,68e69apresentamumpardetransformadade Fouriereduaspropriedades.Aspropriedadesde linearidade e de convoluo e o par de transformada de Fourier podem ser encontrados nas referncias. ( ) ( ) t u e t xt =2 [65] ( ) ( ) t u e t ht = 3[66] ( )e + j at u eF t a1[67] ( ) ( ) ( ) ( ) e e j W b j X a t w b t x aF + + [68] ( ) ( ) ( ) ( ) e e j W j X t w t xL - [69] Aplicando-seaspropriedadeseatransformada nossinaisnodomniodotempo,obtm-sea transformada de Fourier dos sinais nas Equaes 70 e 71. ( )ee +=jj X12[70] ( )ee +=jj H31[71] Oresultadodaconvoluonodomnioda transformadadeFouriercaracterizadopelo produtodasEquaes70e71,apresentadona Equao72.Utilizando-seaferramentadefraes parciais(Lathi,2004)na Equao72, decompe-se afraodopolinmiodesegundograuemduas fraesdepolinmiosdeprimeirograu (Equao 73),quepossuemcomotransformada inversa o par de transformada da Equao 67. ( ) ( ) ( ) e e e j H j X j Y =( )( ) ( ) e ee + +=j jj Y3 12[72] ( )e ee ++ +=j jj Y3111[73] OresultadoobtidonaEquao73estno domniodatransformadadeFourieredeveser convertidoparaodomniodotempo,resultandona funoy(t),utilizando-seoprocedimentodo clculo da transformada inversa na Equao 74. ( ) ( ) { } e j Y F t y1 =( ))` ++ +=e e j jF t y31111 ( ))` ++)` += e e jFjF t y31111 1 ( ) ( ) ( ) t u e t u e t yt t = 3 ( ) ( ) ( ) t u e e t yt t = 3[74] Comoforamutilizadasasmesmasfunesda Figura 2, esperado obter o mesmo resultado para a convoluo.Osgrficosdossinaisx(t),h(t)edo resultadoy(t) podem ser visualizados na Figura 3. Observa-sequenofoinecessriooapoiode nenhumgrficopararesolveraconvoluoatravs dousodatransformadadeFourier.Devidoaouso da propriedade de convoluo no domnio do tempo aconvoluonotempocontnuofoitransformada emumamultiplicaonodomniodafrequncia. Maspararesolveraconvoluopelatransformada de Fourier necessrio utilizar a tabela de pares de transformadas de Fourier e a tabela de propriedades, que podem ser encontrados nas referncias. 6.3.Convoluo com a transformada Z Utilizandoosmesmossinaisdiscretosinfinitos dasEquaes24e25,realiza-seaoperaode convoluo atravs da transformada Z. As Equaes 75 e 76 apresentam as funes a serem convoludas. AsEquaes77,78e79apresentamumparde transformadaZeduaspropriedades(linearidadee convoluo).Aspropriedadeseoparde transformadaZpodemserencontradosnas referncias. | | | | n u n xn|.|

\|=41 [75] | | | | n u n hn|.|

\|=31 [76] | |a zzn u aZ n [77] | | | | ( ) ( ) z W b z X a n w b n x aZ + + [78] | | | | ( ) ( ) z W z X n w n xZ - [79] Aplicando-seaspropriedadeseatransformada nossinaisnodomniodotempo,obtm-sea transformada Z dos sinais nas Equaes 80 e 81. Revista Ilha Digital, ISSN 2177-2649, volume 2, pginas 81 95, 2010. AES000195 ( )41=zzz X[80] ( )31=zzz H[81] OresultadodaconvoluoemZ caracterizadopeloprodutodasEquaes80e81, apresentadonaEquao82.Utilizando-sea ferramentadefraesparciais(verLathi,2004)na Equao 82, decompe-se a frao do polinmio de segundograuemduasfraesdepolinmiosde primeirograu(Equao83),quepossuemcomo transformadainversaopardetransformadada Equao 77. ( ) ( ) ( ) z H z X z Y =( )|.|

\| |.|

\| =31412z zzz Y[82] ( )314413+ =zzzzz Y[83] OresultadoobtidonaEquao83estno domniodatransformadaZedeveserconvertido paraodomniodotempodiscreto,resultandona funoy[n],utilizando-seoprocedimentodo clculo da transformada inversa na Equao 84. | | ( ) { } z Y Z n y1 =| |)`+ =3144131zzzzZ n y| |)`+)` = 3144131 1zzZzzZ n y| | | | | | n u n u n yn n|.|

\| + |.|

\| =314413 | | | | n u n yn n(((

|.|

\| |.|

\| =413314 [84] Comoforamutilizadasasmesmasfunesdas Equaes24e25,esperadoobter-seomesmo resultadoparaaconvoluo.Oresultadoda convoluoobtidonaEquao32coincidecomo resultado obtido na Equao 84. Observa-sequenofoinecessriooapoiode nenhumgrficopararesolveraconvoluoatravs dousodatransformadaZ,edevidoaousoda propriedadedeconvoluonodomniodotempoa convoluonotempodiscretofoitransformadaem umamultiplicaonodomnioZ.Porm,para resolveraconvoluopelatransformadaZ, necessrioutilizaratabeladeparesde transformadasZeatabeladepropriedades, disponveis nas referncias. 7.CONSIDERAES FINAIS A operao de convoluo muito utilizada em processamentodesinaisnaengenhariaeltrica, sendoabordadaemumadisciplinaintrodutriade sinaisesistemaseamplamenteutilizadaem disciplinasdecontrole,teoriadecomunicaese processamento de sinais. Nestetrabalhofoiabordadaaconvoluoem tempocontnuoeaconvoluoemtempodiscreto, por serem as mais comumente utilizadas.Atravsdeexemplosnumricospode-se observarqueaoperaodeconvoluonouma operaofcildeserexecutada,mesmoutilizando-se sinais ou funes elementares ou simples. Foiobservadotambmque,paraostiposde sinaisapresentados,aconvoluopodeser resolvidapelasuadefiniomatemtica,pela integraldeconvoluoousomadeconvoluo, dependendodosinalserdetempocontnuooude tempo discreto. Atravsdeexemplosnumricosforam abordadosdiversosmtodospararesolvera operaodeconvoluo,procurandoapresentara diversidadedeferramentasmatemticas disponveis. Para determinados tipos de sinais, alm da soluo pela definio da operao, a convoluo podeserresolvidaporoutrasabordagens,comoa resposta impulsiva do sistema. OusodastransformadasdeLaplaceoude Fourier,parasinaisdetempocontnuo,ouda transformadaZ,parasinaisdetempodiscreto, permite,atravsdassuaspropriedades,transformar aoperaodeconvoluoemumaoperaode multiplicao,facilitandoeagilizandoaresoluo da convoluo. Comojcitado,aoperaodeconvoluoa operaomaisutilizadaemprocessamentode sinais.Porissoimportantecompreenderesaber resolverestaoperao,independentedaferramenta matemtica utilizada. REFERNCIAS HAYES, M.H. Schaums outline: digital signal processing. The McGraw-Hill Companies: New York, 1999. LATHI, B.P. Linear systems and signals. Oxford University Press, 2a ed., 2004.