Convolução com um impulso:se a função de excitação é um Dirac a resposta do sistema é simplesmente

(2-3.26)

devido à propriedade (3-2.5). Assim, como aliás o seu nome indica, a resposta de um sistema a um impulso é a resposta impulsiva.A equação (2-3.26) permite-nos escrever uma relação simples mas suficientemente importante que é 

(2-3.27)

ou seja, por palavras: qualquer função pode ser representada por uma soma contínua de impulsos de Dirac ponderados.

PROPRIEDADE DE F ILTRAGEM

Seja f(x) uma função defnida em   , suave (i.e., sempre diferenciável sucessivamente) e de suporte compacto (i.e., por simplicidade, que se anula em   e   

). O delta de Dirac   apresenta a seguinte propriedade, denominada propriedade de filtragem:

A questão se a integral acima está definida terá de ser examinada com cuidado mais

adiante. Além disso, nenhuma “função”   é capaz de satisfazer à expressão acima para uma f(x) arbitrária. O delta de Dirac deve possuir uma estrutura peculiar, distinta da de função, conforme veremos mais adiante, para que a propriedade acima seja válida.

Supondo-se que exista uma tal “função”   e levando-se em conta o fato de que ela só não

seria nula em uma vizinhança “infinitesimal”   , poderíamos, através de mais um exercício de heurística, escrever:

mostrando ser razoável esperar-se algo como a propriedade de filtragem.

INTEGRAL INDEFINIDA DO DELTA DE DIRAC

O Delta de Dirac surgiu como consequência da derivação do degrau de Heaviside, conforme ilustrado na figura 1d. Portanto, é razoável dizer que a integral indefinida ou a “primitiva” do delta de Dirac seja o degrau de Heaviside, escrevendo-se:

Entretanto, isto trará consequências para a interpretação de H(x) que, conforme veremos adiante, será interpretada como um objeto matemático da mesma natureza do delta de Dirac.Representaremos graficamente o impulso usando-se uma seta vertical apontando para cima, colocada no ponto   para indicar sua localização. Quando o impulso for multiplicado por uma constante negativa, indicaremos a seta vertical apontando para baixo. A figura 2 ilustra essa notação e a propriedade de filtragem.

Figura 2 – a) notação para o delta de Dirac ; b) propriedade de filtragem do delta de DiracDERIVADA DO DELTA DE DIRAC

Construimos o conceito do delta de Dirac como sendo a função para a qual o pulso de área unitária tende quando sua largura é feita tender a zero, levando sua altura ao infinito. Podemos construir heuristicamente o conceito da derivada do delta de Dirac derivando-se o pulso de área unitária e examinando-se o efeito sobre a derivada quando a largura o pulso tende a zero. A figura 3 ilustra esse processo.

Figura 3 – Construção da derivada do delta de Dirac usando-se a derivada do pulso: a) o pulso retangular como sendo a diferença de dois degraus:   ; b) a derivada do pulso como sendo a derivada da diferença dos dois

degraus   ; c) a derivada do pulso para o   , que corresponde à derivada do delta de Dirac .O pulso pode ser entendido como a diferença de dois degraus de Heaviside, o primeiro localizado em   e o segundo em   . Portanto, a derivada do pulso pode ser indicada como dois deltas de Dirac, um positivo em   e um negativo em  , pois esses deltas são as respectivas derivadas dos degraus.

The Dirac Delta FunctionFor any real numbers a,b with a < b, let Sa,b(x) denote a selection function, defined as

Using this function we can express the integral of a function f(x) over the range from x = a to b as follows

Thus, instead of specifying the range of interest by imposing explicit limits on the integration, we can formally integrate over all real values of x, using the multiplier Sa,b(x) to select the desired range. The total integrand equals 0 outside the specified range, and f(x) inside the specified range. The average value of the function f(x) from x = a to b is given by dividing the above integral by the length of the interval, i.e.,

If the values of a and b are extremely close together, the length of the interval approaches zero, and the average value of the function over that interval approaches f(a). Putting b = a + ,  notice that we can always set a = 0 by simply shifting the argument of the selection function by a, so we have

It’s often convenient to consider this scaled selection function in the limit as  goes to zero. In this limit we have

This leads us to define the so-called Dirac delta “function” as follows

Strictly speaking this isn’t an actual function, because it is zero everywhere except at x = 0, where it is infinite. However, the symbol (x) may be regarded as useful shorthand for writing certain limiting cases of integrals. By definition, the integral of (x) over any range containing x = 0 is equal to 1, and the integral of (x) over any range not containing x = 0 is equal to 0. Also, the delta “function” has a well-defined effect when it appears in the integrand of any integral. For example, we can write equation (1) without explicitly referring to the limiting operation as

It’s often useful to be able to form the composition of the delta function with some other function. In general, consider (g(x)) where g(x) is an ordinary function with n distinct roots x1, x2, …, xn. This means that g(x) = 0 for each of these n values of x, so these are the places where S(g(x))/ contains a spike, as depicted below for a function with n = 4 roots.