Coordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade média

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COORDENADAS CARTESIANAS DESLOCAMENTO DISTÂNCIA PERCORRIDA

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COORDENADAS CARTESIANASDESLOCAMENTODISTÂNCIA PERCORRIDA

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Movimentos à superfície da Terra -

COORDENADAS CARTESIANAS

“Quando se estudam movimentos à superfície da

Terra e quando sua curvatura se pode aproximar

de uma superfície plana, é conveniente o uso de

coordenadas cartesianas” (René Descartes,

século XVII).

Referencial cartesiano a três dimensões, criado por

René Descartes, que serve para localizar pontos no

espaço.

A localização de um ponto é dada pelas coordenadas

cartesianas x, y e z.

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Quando é que uma partícula está em movimento?

Uma partícula está em movimento quando, em relação a um

referencial, a sua posição varia no tempo.

O movimento tal comoo repouso é relativo!

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Tipos de trajetórias

Trajetória é a linha que une as sucessivas posições ocupadas por um corpo

em movimento à medida que o tempo passa.

Pode ser curvilínea (linha curva), circular (círculos) ou retilínea (linha reta).

Trajetória curvilínea

Trajetória retilínea

Trajetória circular e curvilínea

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Descrição da posição de um corpo ou do seu centro demassa (CM) com COORDENADAS CARTESIANAS

• Se uma partícula sedeslocar num plano, ésuficiente o uso de doiseixos (uma coordenadahorizontal e umacoordenada vertical).

P (x,y)•

• Se uma partícula apenas sedeslocar em linha reta, umeixo coincidente com atrajetória é suficiente para alocalizar (uma coordenada).

P (x)•xA

• Se uma partícula sedeslocar com trajetóriacurvilínea irregular, énecessário o uso de trêseixos (duas coordenadashorizontais e umacoordenada vertical).

•P (x,y,z)

x

y

z

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Deslocamento

O deslocamento é:

• a grandeza física que indica a variação da posição de uma partícula;

• independente da trajetória;

• representado por um vetor.

O vetor deslocamento é definido pela diferença entre os vetores que definem a posição final e a posição inicial e representa-se por: r

if rrr

O deslocamento nada diz sobre a trajétória efetuada!

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Deslocamento no Movimento Rectilíneo

Δx = xf - xiSentido do movimento

> 0 positivo

< 0 negativo

Num movimento retilíneo, para um eixo coincidente com a trajetória,chama-se componente escalar do vetor ao valor da diferença entre ascoordenadas da posição final e da posição inicial, Δx:

r

O sinal desta diferença é o sentido do movimento.

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∆t = 20 min

∆x = 0 m

d = Δs = 200 m

Simbolizada pelaletra s, mede ocomprimento dopercurso efetuadoe, por isso, ésempre umagrandeza positiva.

O deslocamento global , mede a variação de posição e é igual ao somatório dos deslocamentos parciais:

A distância percorrida é igual ao somatório dos módulos dos deslocamentos parciais:

Deslocamento global

A distância percorrida

Distância Percorrida sobre a trajetória

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Distância percorrida em função do tempo

Um bom modo de representar o movimento de um corpo é utilizar gráficos e tabelas.

Consideremos o movimento de queda de uma pequena esfera.

t (s)

y (m)

y (m)

t (s)

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Posição ocupada em função do tempo (origem no ponto de partida)

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Posição ocupada em função do tempo(origem no solo)

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Gráficos de posição ocupada em função do tempo e do referencial

Referencial 0y com origem no ponto de partida.

Referencial 0y com origem no solo.

X(t) é crescente

A partícula desloca-se no sentido positivo da trajetória.

X(t) é decrescente

A partícula desloca-se no sentido negativo da trajetória.

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Resumo da função x(t)

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Como calcular a velocidade média, quando ela é constante?

A fotografia ao lado mostra um percurso a pé,aproximadamente retilíneo, feito com GPS num pontãonuma praia.

O movimento iniciou-se na praia, foi-se até ao final dopontão e regressou-se. Mas, como se pode ver nográfico, nem sempre se esteve em movimento…

D

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Como calcular a velocidade média para movimentos retilíneos sem inversão de sentido?

No percurso de ida, a velocidade foi aproximadamente constante porque, por

exemplo, em cada 10 s percorreu-se sempre a mesma distância.

Sendo

a componente escalar davelocidade média, nopercurso de ida, vale:

t

d

t

xvm

14,175

105 mss

mvm

Num movimento retilíneo sem inversão de sentido, quando a velocidade média é constante, basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto

para obter o seu valor.

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Calculemos do valor da velocidade média no percurso de volta, onde primeirose andou mais devagar e depois um pouco mais depressa (entre 125 s e 160 s odeclive é menor que entre 160 s e 190 s):

t

d

t

xvm

t

d

t

xvm

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Gráfico de posição-tempo do movimento de ida e volta

No movimento de ida e de volta à praia:• a distância percorrida aumentou ao longo do tempo

(exceto quando se esteve parado, claro!)

mas… a coordenada de posição x no eixo 0x, que coincide

com a trajetória, primeiro aumentou (sentido positivo) edepois diminuiu (sentido negativo).

Em representaçãográfica:

Sentido negativo da trajetória

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Rapidez média e Velocidade média

Rapidez média Velocidade média

• Grandeza escalar. • Valor Positivo.• Indica se um corpo percorreu uma

maior ou menor distância num dado intervalo de tempo.

• Grandeza vetorial.• Valor positivo, negativo ou nulo.• Indica se um corpo se desloca mais

ou menos num dado intervalo de tempo.

• Indica a direção e o sentido dodeslocamento.

Rapidez média = 𝑠

∆𝑡 𝑣𝑚 =∆ 𝑟

∆𝑡

Se o movimento for retilíneo s/

inversão de marcha: 𝑣𝑚 = ∆𝑥

∆𝑡

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Velocidade: • define-se num dado instante;• é uma grandeza vetorial tangente à trajetória;• aponta no sentido do movimento;• o seu módulo indica a rapidez do movimento.

Movimento curvilíneo

Nestes casos: a direção da velocidade 𝑣 varia; a direção da velocidade 𝑣 varia;o módulo da velocidade não varia. o módulo da velocidade varia.

Movimento retilíneo

Neste caso: a direção da velocidade 𝑣 não varia;o módulo da velocidade varia.

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Velocidade e gráficos posição - tempo

Para determinar a projeção escalar da velocidade num certo instante, t, basta traçar a reta tangente à curva x(t) nesse instante e achar o seu declive.

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Gráfico posição - tempo e velocidade média – tempoExemplo 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 250

v (m/s)

t (s)

Gráfico velocidade - tempo Gráfico posição - tempoX (m)

t (s)

• Nos primeiros 10 s e [85, 125]s o declive das retas tangente ao gráfico x(t) é nulo e a velocidade

anula-se nesses intervalos.

• A componente escalar da velocidade é positiva até 85 s porque os declives das tangentes são

positivos, movendo-se por isso o corpo no sentido positivo.

• No intervalo [125, 190]s as duas componente escalares da velocidade média são negativas,

movendo-se o corpo no sentido negativo.

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Gráfico posição - tempo e velocidade média – tempo

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Gráfico v(t) e o módulo do deslocamento

deslocamento positivo

deslocamento negativo

A área do gráfico compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos dá ovalor do deslocamento, Δx.