6. Coordenadas CartesianasPara comear, vamos rever a reta numrica.Eis aqui a reta numrica, com alguns nmeros representados nela. Observe as distncias iguais entre nmeros inteiros consecutivos, como:- 2, - 1, 0, 1, 2, 3 etc.

-6-5,1-2,5-1/20 2 1,41 3,14 4 428/5 = 5,6 4 (-) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (+)

A reta numrica completa: cada um dos seus infinitos pontos representa exatamente um nmero real, e todos os infinitos nmeros reais tm lugar nela. Ela se estende indefinidamente (ou ilimitadamente) nos dois sentidos da horizontal. E um eixo orientado: quanto mais direita, maior o nmero (ex: 10, 100, 1.000, 10.000 etc.); quanto mais esquerda, menor (ex: - 10, - 100, - 1000, - 10.000 etc.). Assim, por exemplo: -100 menor do que -10. Escrevemos:- 100 < - 10Ento, - 100 fica esquerda de - 10. Pode-se dizer tambm que - 10 maior do que - 100 e escrever:

- 10 - 100

6. Coordenadas Cartesianas6.1 Reta Numrica,Um exemplo de reta numrica: a linha do tempo As linhas do tempo, utilizadas em histria, uma reta interessante do ponto de vista de nossa prpria vida, de nossa histria pessoal. Aqui est um trecho dela, dividido em milnios e subdividido em sculos, com exemplos do ano em que nasceram alguns homens e mulheres que ficaram conhecidos, como lderes, cientistas e artistas, entre outros. A linha do tempo nos ajuda a compreender melhor h quanto tempo cada um deles nasceu. Veja:

? - Hiptia569? - Maom

563a.C.? - Buda 558a.C.? - Pitgoras 470a.C.? - Scrates1412 - Joana d'Arc1416 - S. Francisco de Assis 1515 - S. Tereza d'Avila 1642 - Isaac Newton 1748 Tiradentes 1803 Alan Kardek 1819 - Anita Garibaldi 1839 - Machado de Assis 1877 - G.I. Gurdjieff 1887 -1887 Villa-Lobos 1903 - Portinari

700A.C. 600a.C. 500a.C. 400a.C. 300a.C. 200a.C. 100a.C 00. 100d.C 200d.C 300d.C 400d.C 500d.C 600d.C 7C.0d.C 800d.C 900d.C 1000d.C 1100d.C 1200d.C 1 300d.C 1400d.C 1500d.C 1600d.C. 1700d.C. 1800d.C. 1900d.C 2000d.C. 2100d.C. 300d 700700

Nossos bisavs nasceram no sculo XIX Nascemos no sculo XX Nossos bisnetos nasceram no sculo XXIsculo I a.C.sculo II a.C.

6. Coordenadas Cartesianas6.1 Reta NumricaVamos agora fazer um zoom, na reta numrica. Assim podemos visualizar mais de perto o nosso prprio sculo XX subdividido em dcadas e anos (e seus sculos vizinhos), com alguns acontecimentos:

1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Em ano estamos?1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020Em que ano estamos?

6. Coordenadas Cartesianas6.2 Relembrando os grficos de barrasVamos relembrar, com o problema que ser proposto, o que um grfico de barras.Jlio um profissional autnomo. Para controlar de perto as finanas familiares, Jlio anota todo ms quanto ganhou e quanto gastou (em reais). Agora ele est analisando a tabela que montou com as anotaes de ganhos.Responda:a) Em que ms Jlio ganhou mais?b) Em que ms seu ganho deu maior salto para cima?c) E para baixo?

MS/1994GANHO (R$)

jan 300

fev410

mar540

abr380

mai320

jun 500

jul 490

ago570

set380

out430

nov420

dez400

MS/1994GANHO (R$) DIFERENA R$ R$

jan 3000

fev410110

mar540130

abr380(160)

mai320(60)

jun 500180

jul 490(10)

ago57080

set380(190)

out43050

nov420(10)

dez400(20)

A pergunta do item a) fcil de responder: basta procurar pelo nmero maior da tabela. (O ms foi agosto: R$ 570,00).J os itens b) e c) no esto com as respostas to claras. Uma boa sugesto seria ampliar a tabela para incluir tambm uma coluna com Diferena em relao ao ms anterior.Ela comearia com os seguintes dados: fev, 10; mar, 130; abr, - 160 etc.Continue, e responda b) e c).b) o ms foi junho: R$ 180,00c) o ms foi setembro: R$ 190,00 A idia fazer um grfico de barras para que, nele, voc visualize as respostas: ganho (R$) maior salto p/ cima: maior salto p/ baixo: 600 junho setembro 500 400 300 200 100 jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez ms/1994

6. Coordenadas Cartesianas6.3 Plano CartesianoNo plano cartesiano a idia igual de um grfico de barras, com pequenas mas importantes diferenas: nele, os dois eixos cartesianos orientados perpendiculares so duas retas numricas com os dois pontos 0 (zero) superpostos, formando a origem(ponto zero) do plano.

eixo das ordenadasy2 quadrante1 quadranteeixo das abscissasx3 quadrante4 quadranteDois eixos cartesianos, perpendiculares e com a mesma origem, constituem um sistema de eixos.A este sistema de eixos designamos porreferencial cartesiano.Um ponto num sistema de dois eixos tem duas coordenadas x e y, e simbolizada por (x,y); dizemos que x a abscissa do ponto, e y a ordenada Por exemplo:

Para se representar, no sistema de eixos, o ponto A (6,4)procura-se:06no eixo das abscissas;04no eixo das ordenadas.E traam-se paralelas aos eixos, que se intersectam em A.

6. Coordenadas Cartesianas6.3 Plano CartesianoO plano cartesiano um jeito de visualizar nmeros e relaes entre nmeros.Aqui est um exemplo de plano cartesiano, com alguns pontos assinalados.Cada ponto tem duas coordenadas - x e y - e simbolizado por (x, y); dizemos que x a abscissa do ponto, e y a ordenada. Se um dos nmeros representados por x ou y tiver vrgula, podemos separar as duas letras com ponto em vrgula. Exemplo: (2; 1,5).

y(-12, 8)(-3, 2)(-9,5; 0)87654321(51/10; 6,2)(0, 5)(10,5; 4)(-6, 13/5)(3, 2)(11, 0)-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -21 2(-3, -2)-1-2-3-4-53 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x (3, -2)(7, -)(-7; 4,21)(0, -5)O plano cartesiano fcil e lgico, no acha? E o melhor est por vir. Quando x e y no so dois nmeros quaisquer, mas esto relacionados por alguma frmula, ou alguma regra, ento acontece uma coisa espantosa! Vejamos logo alguns exemplos. E voc tambm concordar conosco que esse invento mesmo um auxlio e tanto para entender relaes entre nmeros.

6. Coordenadas Cartesianas6.3 Plano CartesianoDois exemplos de grficos de relaes entre nmerosVamos marcar alguns pontos (x, y) no plano cartesiano, de maneira que x e y satisfaam uma relao dada. Para isso, primeiro faremos uma tabela de valores de x e y, a partir de alguns exemplos. A primeira relao esta:

a) y = 2x + 1.

x y = 2x + 11230- 1- 2,53571- 1- 4 7 (3,7) 6 (2,5) 5 4 3 (1,3) 2 -3 -2 -1 1 (0,1) -1 1 2 3 -2 -3

(-2.5;-4) -4

Quanto mais pontos assinalarmos, maior ser nossa certeza: se marcssemos todos os pontos (x, y) = (x, 2x + 1) para todos os valores de x, ento teramos desenhado uma reta. Ela o grfico da relao y = 2x + 1, e formada por todos os pontos (x, y) do plano, tais que y = 2x + 1.Por exemplo: o ponto (2, 5) est nesta reta, pois 5 = 2 (2) + 1; j (2, 6) no est, pois 6 1 (2) + 1. Verifique.

6. Coordenadas Cartesianas6.3 Plano CartesianoOutro exemplo: como ser o grfico dos pontos (x, y), tais que y seja o nmero que mede a rea de um terreno quadrado de lado x, ou seja, tais que y = x2?b) y = x2 Y Grfico de y = x2 (parbola)x 2 1 0- 1- 2 3- 3 4 2,5 Y = x2 4 1 0 1 4 9 9166,25

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X -3 -2 -1 1 2 3 4 5 (0,0) Lembrete: em matemtica,quando queremos escrever uma igualdade usamos o sinal de igual (=); quando queremos mostrar uma diferena, usamos o sinal de diferente ().O grfico da relao y = x2 uma curva importante na geometria e na fsica: uma parbola. A parbola , por exemplo, a curva descrita no ar por uma bola chutada, ou qualquer objeto arremessado. Voc tambm j deve ter ouvido falar em antena parablica: sua forma derivada da parbola.Observaes:Coordenadas: cada uma das grandezas que servem para determinar a posio de um ponto.Perpendicular: linha ou superfcie que incide sobre outra em ngulo reto. Interseco: ponto em que h cruzamento entre duas linha. ngulo reto: possui medida igual a 90 (noventa Graus)