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Coordenadas Curvil´ ıneas Guillermo A Silva Departamento de F´ ısica, UNLP X Y Z O x y z ( x , y , z ) Figure 1: Coordenadas cartesianas Existen distintos sistemas de coordenadas para expresar la posici´ on de un punto P en R 3 . Usualmente fijamos un origen y foliamos el espacio con tres conjuntos de planos paralelos y mutuamente ortogonales (x = cte, y = cte y z = cte). Las coordenadas de un punto dado corresponden a los valores de los planos que pasan por dicho punto. 1

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Coordenadas Curvilıneas

Guillermo A Silva

Departamento de Fısica, UNLP

X

Y

Z

O

x y

z

( x , y , z )

Figure 1: Coordenadas cartesianas

Existen distintos sistemas de coordenadas para expresar la posicion de un punto

P en R3. Usualmente fijamos un origen y foliamos el espacio con tres conjuntos

de planos paralelos y mutuamente ortogonales (x = cte, y = cte y z = cte).

Las coordenadas de un punto dado corresponden a los valores de los planos que

pasan por dicho punto.

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Podemos pensar en superficies mas generales ξ(x, y, z) = cte., no necesaria-

mente planas. De esta manera obtenemos los sistemas de coordenadas polares,

esfericas, etc.

Figure 2: R3 foliado con superficies curvas

Ejemplo 1: las coordenadas esfericas (r, θ, ϕ) de un punto P de coordenadas

cartesianas (x, y, z) se corresponden con: r(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 el ra-

dio de la esfera que pasa por P, ϕ(x, y, z) = arctan(y/x) el angulo respecto

del eje x del semiplano que pivotea sobre eje z y pasa por P, y θ(x, y, z) =

arcos(z/√x2 + y2 + z2) la apertura angular del cono de eje z que pasa por P.

Las relaciones inversas x(r, θ, ϕ), y(r, θ, ϕ) y z(r, θ, ϕ) se encuentran en (24) (ver

fig.3).

Figure 3: R3 foliado en coordenadas esfericas

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Figure 4: Conjunto de superficies ξi que se cortan ortogonalmente.

. ξi sistema ortogonal de coordenadas curvilıneas: aquel para el cual las superfi-

cies de nivel

ξi(x, y, z) = cte (1)

son ortogonales. Esto significa que los vectores normales a las mismas son

ortogonales.

Ejemplo 2: las coordenadas cartesianas (x, y, z), cilındricas (ρ, φ, z) y esfericas

(r, θ, ϕ) son ejemplos de coordenadas curvilıneas ortogonales.

. ei (i = 1, 2, 3) vectores unitarios: son ortogonales a las superficies de nivel

ξi(x, y, z) = cte y estan dirigidos en el sentido creciente de la coordenada ξi.

Explıcitamente

ei(x) =∇ξi(x)

|∇ξi|(2)

Los sistemas de coordenadas ortogonales satisfacen

ei · ej = δij (3)

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Figure 5: Conjunto de superficies ρ = cte., φ = cte. y z = cte. que determinan

las coordenadas cilındricas de un punto P.

Ejemplo 3: las coordenadas cilındricas de un punto P = (x, y, z) se corresponden

con las superficies dadas por: cilindros de eje z y radio ρ, semiplanos que pivotan

en el eje z de angulo φ respecto del eje x, planos z = cte.. En terminos de

coordenadas cartesianas las relaciones entre coordenadas son

ρ(x, y, z) =√x2 + y2 x(ρ, φ, z) = ρ cosφ

φ(x, y, z) = arctany

x↔ y(ρ, φ, z) = ρ sinφ

z(x, y, z) = z z(ρ, φ, z) = z (4)

Los versores eρ, eφ, ez, a partir de (2), para las superficies (4) resultan

eρ = ∇ρ(xi)|∇ρ(xi)| = (x,y,0)√

x2+y2

eφ = ∇φ(xi)|∇φ(xi)| = (−y,x,0)√

x2+y2

ez = ∇z|∇z| = (0, 0, 1)

(5)

Es inmediato verificar que este conjunto de vectores satisface1

eρ · eρ = 1, eφ · eφ = 1, ez · ez = 1 (6)

eρ · eφ = 0, eρ · ez = 0, eφ · ez = 0 ∀ xi

donde denotamos xi = (x, y, z). Asimismo

eρ × eφ = ez

1Es importante senalar que los versores ei dependen de la posicion en la cual me encuentro

en el espacio. De cualquier manera, son una trıada ortonormal en todo punto P.

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y rotaciones cıclicas: eφ × ez = eρ, etc. En la figura 9 derecha se aprecia la

ortogonalidad de los vectores ei respecto de las superficies que los definen.

hi funciones de escala: se definen a partir de la variacion de r frente a incremen-

tos de las coordenadas ξi. Invirtiendo las relaciones (1), esto es ξi(x, y, z) →x(ξ1, ξ2, ξ3), y(ξ1, ξ2, ξ3), z(ξ1, ξ2, ξ3) el vector posicion de un punto P en coor-

denadas cartesianas toma la forma

rP

= x(ξi) x + y(ξi) y + z(ξi) z

A partir del cual podemos evaluar

∂r

∂ξi= hiei (sin suma en i) ⇒ δr = h1 e1 δξ

1︸ ︷︷ ︸δ1r

+h2 e2 δξ2︸ ︷︷ ︸

δ2r

+h3 e3 δξ3︸ ︷︷ ︸

δ3r

(7)

Para un sistema ortogonal, en virtud de (3), los factores hi se pueden obtener

a partir del elemento de lınea (que sera diagonal)

ds2 ≡ dr2 = dr · dr

= gij(ξ) dξidξj

= (h1)2(dξ1)2 + (h2)2(dξ2)2 + (h3)2(dξ3)2 (8)

La metrica gij(ξ) para sistemas de coordenadas ortogonales resulta diagonal

gij(ξ) =

(h1(ξ))2 0 0

0 (h2(ξ))2 0

0 0 (h3(ξ))2

esta expresion solo vale para sistemas curvilıneos ortogonales. Los factores de

escala hi se obtienen de las componentes diagonales de la metrica hi =√gii (sin

suma).

Ejemplo 4: de las relaciones (4) resulta

dx = cosφ dρ− ρ sinφ dφ

dy = sinφ dρ+ ρ cosφ dφ

dz = dz (9)

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que insertadas en el elemento de lınea

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

= dρ2 + ρ2dφ2 + dz2 ⇒ hρ = hz = 1, hφ = ρ (10)

Figure 6: Conjunto de superficies ξi para coordenadas cilındricas en R3.

Podemos escribir las relaciones (5) comoeρ

ez

=

x/ρ y/ρ 0

−y/ρ x/ρ 0

0 0 1

x

y

z

;

eρ = cosφ x + sinφ y

eφ = − sinφ x + cosφ y

ez = z

(11)

lo cual nos permite invertirlas rapidamente2x

y

z

=

x/ρ −y/ρ 0

y/ρ x/ρ 0

0 0 1

ez

(12)

=

cosφ − sinφ 0

sinφ cosφ 0

0 0 1

ez

;

x = cosφ eρ − sinφ eφ

y = sinφ eρ + cosφ eφ

z = ez

Reemplazando las expresiones de los versores cartesianos en terminos de los

2La matriz R que conecta los versores ei y los versores cartesianos xi en ortogonal. Su

inversa es entonces RT , cf. (11) y (12).

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versores cilındricos en el vector posicion obtenemos

r = x x + y y + z z

= ρ eρ + z ez (13)

De (11) podemos obtenemos el cambio en los versores frente a pequenas varia-

ciones de las coordenadas δξi

δeρ = − sinφ x δφ+ cosφ y δφ

= eφ δφ (14)

δeφ = − cosφ x δφ− sinφ y δφ

= eρ δφ (15)

Podemos entonces ahora evaluar la variacion del vector posicion (13). La misma

obtiene contribuciones tanto de la variacion de las coordenadas como de los

versores ei

δr = δρ eρ + ρ δeρ + δz ez + z δez

= eρ δρ+ ρ eφ δφ+ ez δz (16)

donde usamos (14) para pasar a la segunda lınea. Confrontando con (7) verifi-

camos la validez de la relacion.

dV elemento de volumen: se define como proporcional al paralelepıpedo con-

struido a partir de las tres variaciones independientes (7)

dV = dxdydz

= |δ1r · δ2r× δ3r| = |(h1e1δξ1) · (h2e2δξ

2)× (h3e3δξ3)|

= h1h2h3 dξ1dξ2dξ3

=√g dξ1dξ2dξ3 (17)

donde usamos que por ser una trıada ortonormal |e1 · e2 × e3| = 1. Las figuras

8 y 9 derecha muestran el paralelepıpedo para el caso de coordendas esfericas y

cilındricas

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Ejemplo 5: de las relaciones (24) tenemos

dx = sin θ cosϕ dr + r cos θ cosϕ dθ − r sin θ sinϕ dϕ

dy = sin θ sinϕ dr + r cos θ sinϕ dθ + r sin θ cosϕ dϕ

dz = cos θ dr − r sin θ dθ (18)

Insertando en la metrica euclıdea resulta

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

= dr2 + r2(dθ2 + sin2 θ dϕ2)

de donde obtenemos los factores de escala y elemento de volumen

hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ ⇒ dV = r2 sin θ︸ ︷︷ ︸Jacobiano(∂(x,y,z)/∂(r,θ,ϕ))

drdθdϕ

—Para sistemas de coordenadas ortogonales podemos encontrar relaciones entre las derivadas

de los versores ei. La ortogonalidad del sistema {ei} implica

∂r

∂ξi·∂r

∂ξj= 0 (i 6= j)

Derivando esta identidad resultan

0 =∂

∂ξ3

(∂r

∂ξ1·∂r

∂ξ2

)=

∂2r

∂ξ3∂ξ1·∂r

∂ξ2+

∂r

∂ξ1·∂2r

∂ξ3∂ξ2

0 =∂

∂ξ1

(∂r

∂ξ3·∂r

∂ξ2

)=

∂2r

∂ξ1∂ξ3·∂r

∂ξ2+

∂r

∂ξ3·∂2r

∂ξ1∂ξ2

0 =∂

∂ξ2

(∂r

∂ξ3·∂r

∂ξ1

)=

∂2r

∂ξ2∂ξ3·∂r

∂ξ1+

∂r

∂ξ3·∂2r

∂ξ1∂ξ2

Sumando las dos primeras y restando la tercera lınea obtenemos que

0 =∂r

∂ξ2·∂2r

∂ξ1∂ξ3

Luego, las derivadas cruzadas son ortogonales a la direccion restante

∂2r

∂ξ1∂ξ3=∂(h3e3)

∂ξ1=∂(h1e1)

∂ξ3⊥ e2 (19)

Derivando ei · ei = 1 tenemos∂ei

∂ξj⊥ ei

De los ultimos dos terminos de (19) tenemos

∂h1

∂ξ3e1 + h1

∂e1

∂ξ3= ae1 + be3 ⇒ a =

∂h1

∂ξ3y

∂e1

∂ξ3=

b

h1e3

∂h3

∂ξ1e3 + h3

∂e3

∂ξ1= ae1 + be3 ⇒ b =

∂h3

∂ξ1y

∂e3

∂ξ1=

a

h3e3

Luego,∂e1

∂ξ3=

1

h1

∂h3

∂ξ1e3,

∂e3

∂ξ1=

1

h3

∂h1

∂ξ3e1 (20)

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y cuatro relaciones analogas, intercambiando ındices. Finalmente, para obtener la derivada

del versor ei respecto de ξi observamos que

∂e1

∂ξ1=∂(e2 × e3)

∂ξ1= −

1

h2

∂h1

∂ξ2e2 −

1

h3

∂h1

∂ξ3e3 (21)

y dos relaciones similares.

Ejemplo 6: de las expresiones (11) tenemos

∂ρeρ = 0, ∂φeφ = −eρ ∂zez = 0

que verifican (21) teniendo en cuenta hρ = hz = 1, hφ = ρ halladas en (10).

Mientras que las derivadas no diagonales resultan

∂φeρ = eφ, ∂zeρ = 0, ∂ρeφ = 0, ∂zeφ = 0, ∂ρez = 0, ∂φez = 0

verificando (20). Naturalmente este resultado coincide con (14)-(15).

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Operador Nabla ∇ = (∂x, ∂y, ∂z)

En coordenadas curvilıneas ortogonales toma la forma

∇ = e1

h1

∂∂ξ1 +

e2

h2

∂∂ξ2 +

e3

h3

∂∂ξ3

Figure 7: Representacion de una funcion de dos variables f(x, y) en R3. Izq: en

rojo tenemos las curvas de nivel y en azul la direccion en la que apunta −∇f .

La direccion de grad f es ortogonal a las lıneas de nivel y apunta en la direccion

de crecimiento de la funcion. Derecha: misma idea, ahora sobre el plano (x, y)

representamos con flechas la direccion de grad f . Notemos que los vectores se

alejan del mınimo de la funcion, apuntan en la direccion de maximo crecimiento

de la funcion.

. Gradiente: se define en terminos de operador ∇ como: grad f = ∇f

grad f.=∂f

∂xx +

∂f

∂yy +

∂f

∂zz

En coordenadas ortogonales arbitrarias toma la forma

grad f =e1

h1

∂f

∂ξ1+

e2

h2

∂f

∂ξ2+

e3

h3

∂f

∂ξ3

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. Rotor: su definicion es rotV = ∇×V. Llamando xi = (x, y, z) escribimos en

coordenadas cartesianas V = Vi xi

rotV.= det

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z

∂x ∂y ∂z

Vx Vy Vz

∣∣∣∣∣∣∣∣= εijk(∂jVk)xi donde ∂i = (∂x, ∂y, ∂z)

= (∂yVz − ∂zVy) x− (∂xVz − ∂zVx) y + (∂xVy − ∂yVx) z

En coordenadas ortogonales arbitrarias

rotV =e1

h1× ∂V

∂ξ1+

e2

h2× ∂V

∂ξ2+

e3

h3× ∂V

∂ξ3

Tengamos en cuenta, en esta ultima expresion, que al expresar un campo

vectorial V como

V = V 1e1 + V 2e2 + V 3e3

en coordenadas ortogonales arbitrarias, debemos tener en cuenta las

contribuciones de las derivadas de los versores ei dadas por (20) y (21).

Usandolas se obtiene

rotV =e1

h2h3

(∂(h3V

3)

∂ξ2− ∂(h2V

2)

∂ξ3

)+

e2

h3h1

(∂(h1V

1)

∂ξ3− ∂(h3V

3)

∂ξ1

)+

e3

h1h2

(∂(h2V

2)

∂ξ1− ∂(h1V

1)

∂ξ2

)que podemos reescribir como

rotV = det

∣∣∣∣∣∣∣∣e1

h2h3

e2

h1h3

e3

h1h2

∂/∂ξ1 ∂/∂ξ2 ∂/∂ξ3

h1V1 h2V

2 h3V3

∣∣∣∣∣∣∣∣—

. Divergencia: definida como divV = ∇ ·V

divV.= ∂xVx + ∂yVy + ∂zVz

En coordenadas ortogonales arbitrarias

divV =e1

h1· ∂V∂ξ1

+e2

h2· ∂V∂ξ2

+e3

h3· ∂V∂ξ3

(22)

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En terminos de componentes

∇ ·V =1

h1h2h3

(∂(h2h3V

1)

∂ξ1+∂(h3h1V

2)

∂ξ2+∂(h1h2V

3)

∂ξ3

)—

. Laplaciano:

. Campo escalar:

∇2f = ∇ · ∇f

= ∂2xxf + ∂2

yyf + ∂2zzf

Explıcitamente en coordenandas ortogonales arbitrarias

∇2f =1

h1h2h3

(∂

∂ξ1

(h2h3

h1

∂f

∂ξ1

)+

∂ξ2

(h3h1

h2

∂f

∂ξ2

)+

∂ξ3

(h1h2

h3

∂f

∂ξ3

))(23)

. Campo vectorial: Las componentes de ∇2V pueden ser calculadas

reemplazando f → V = V 1e1 + V 2e2 + V 3e3 en (23) , y usando las

expresiones (20)-(21) para las derivadas de los versores unitarios ei, pero el

resultado es muy complicado para ser util. Para encontrar las componentes

de ∇2V resulta mas conveniente usar la identidad

∇2V = ∇(∇ ·V)−∇× (∇×V)

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• Coordenadas esfericas - (r, θ, ϕ)

Este sistema de coordenadas se define a partir de ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ donde

r(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 x(r, θ, ϕ) = r sin θ cosϕ

θ(x, y, z) = arccos

(z√

x2 + y2 + z2

)↔ y(r, θ, ϕ) = r sin θ sinϕ

ϕ(x, y, z) = arctan(yx

)z(r, θ, ϕ) = r cos θ (24)

que resulta un conjunto de superficies que se corta ortogonalmente en todo

punto.

Figure 8: Coordenadas esfericas. En la figura de la izquierda se aprecia que los

versores unitarios er, eφ, eθ son ortogonales a las superficies (esferas, plano y

cono) que definen las coordenadas ρ, φ, θ. En la figura de la derecha observamos

el paralelepıpiedo que define el elemento de volumen (17).

Los versores unitarios resultan

er =∇r

|∇r|=

(x, y, z)√x2 + y2 + z2

= (sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ)

eθ =∇θ

|∇θ|=

(xz, yz,−(x2 + y2))√x2 + y2 + z2

√x2 + y2

= (cos θ cosϕ, cos θ sinϕ,− sin θ)

eϕ =∇ϕ

|∇ϕ|=

1√x2 + y2

(−y, x, 0) = (− sin θ sinϕ, sin θ cosϕ, 0)

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En analogıa con (11) tenemoser

=

x/r y/r z/r

xz/(r2 sin θ) yz/(r2 sin θ) −(x2 + y2)/(r2 sin θ)

−y/(r sin θ) x/(r sin θ) 0

x

y

z

= R ·

x

y

z

Podemos verificar que R es ortogonal, luego R−1 = RT de manera que

x

y

z

= RT ·

er

Procediendo como en (13) llegamos a

r = r er

Asimismo

∂er∂r

= 0,∂er∂θ

= eθ,∂er∂ϕ

= sin θ eϕ

∂eθ∂r

= 0,∂eθ∂θ

= −er,∂eθ∂ϕ

= cos θ eϕ

∂eϕ∂r

= 0,∂eϕ∂θ

= 0,∂eϕ∂ϕ

= − sin θ er − cos θ eθ

La terna ordenada satisface

er × eθ = eϕ, y rotaciones ciclicas

• Coordenadas cilındricas - (ρ, ϕ, z)

Definidas en (4)

ρ(x, y, z) =√x2 + y2 x(ρ, φ, z) = ρ cosφ

φ(x, y, z) = arctany

x↔ y(ρ, φ, z) = ρ sinφ

z(x, y, z) = z z(ρ, φ, z) = z

Los factores de escala se calcularon en (10) resultando

ds2 = dρ2 + ρ2dϕ2 + dz2 ⇒ hρ = 1, hϕ = ρ, hz = 1

El vector posicion se reescribe como (13)

r = ρ eρ + z ez

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Figure 9: Coordenadas cilındricas. Es evidente de la figura de la izquierda

que la orientacion de los versores eρ, eφ depende del punto. En otras palabras,

las componentes cartesianas de los mismos dependen del punto P donde nos

ubiquemos.

Las derivadas de versores no nulas resultan

∂eρ∂ϕ

= eϕ,∂eϕ∂ϕ

= −eρ

La terna satisface

eρ × eφ = ez y rotaciones cıclicas

Formulæ Vectorialis Utilis

Gradiente - ∇f :

. Cartesianas-(x, y, z): ∇f = ∂xf ex + ∂yf ey + ∂zf ez

. Esfericas-(r, θ, ϕ): ∇f = ∂rf er + 1r∂θf eθ + 1

r sin θ∂ϕf eϕ

. Polares-(ρ, ϕ, z): ∇f = ∂ρf eρ + 1ρ∂ϕf eϕ + ∂zf ez

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Rotor - ∇×A:

. Cartesianas-(x, y, z):

∇×A = (∂yAz − ∂zAy) ex + (∂zAx − ∂xAz) ey + (∂xAy − ∂yAx) ez

. Esfericas (r, θ, ϕ) :

∇×A =1

r sin θ

(∂θ(Aϕ sin θ)− ∂ϕAθ

)er +

1

r

(1

sin θ∂ϕAr − ∂r(rAϕ)

)eθ

+1

r

(∂r(rAθ)− ∂θAr

)eϕ

. Polares (ρ, ϕ, z) :

∇×A =

(1

ρ∂ϕAz − ∂zAϕ

)eρ +

(∂zAρ− ∂ρAz

)eϕ +

1

ρ

(∂ρ(ρAϕ)− ∂ϕAρ

)ez

Laplaciano

Campo escalar: ∇2V = ∇ · ∇V

. Cartesianas-(x, y, z): ∇2V = ∂2xxV + ∂2

yyV + ∂2zzV

. Esfericas-(r, θ, ϕ): ∇2V = 1r2 ∂r(r

2∂rV )+ 1r2 sin θ∂θ(sin θ ∂θV )+ 1

r2 sin2 θ∂2ϕϕV

. Polares-(ρ, ϕ, z): ∇2V = 1ρ∂ρ(ρ ∂ρV ) + 1

ρ2 ∂2ϕϕV + ∂2

zzV

Campo vectorial: ∇2A = ∇ · ∇A

. Cartesianas -(x, y, z) : ∇2A =(∇2Ax

)ex +

(∇2Ay

)ey +

(∇2Az

)ez

. Esfericas -(r, θ, ϕ) : ∇2A =

(∇2Ar −

2Arr2− 2

r2 sin θ∂θ(Aθ sin θ)− 2

r2 sin θ∂ϕAϕ

)er

+

(∇2Aθ +

2

r2∂θAr −

r2 sin2 θ− 2 cos θ

r2 sin2 θ∂ϕAϕ

)eθ

+

(∇2Aϕ +

2

r2 sin θ∂ϕAr +

2 cos θ

r2 sin2 θ∂ϕAϕ −

r2 sin2 θ

)eϕ

. Polares -(ρ, ϕ, z) : ∇2A =

(∇2Aρ −

Aρρ2− 2

ρ2∂ϕAϕ

)eρ +

(∇2Aϕ +

2

ρ2∂ϕAρ −

Aϕρ2

)eϕ

+

(∇2Az

)ez

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