COORDENADAS NUM EIXOCOORDENADAS NUM EIXO

Num eixo a posição de um ponto fica Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número.definida por um só número.

AA

0 3 x

A 3A 3

•

O Referencial Cartesiano no O Referencial Cartesiano no PlanoPlano

Eixo das Eixo das AbcissasAbcissas

Eixo das Eixo das OrdenadasOrdenadas

OrigemOrigem

x

y

0

As Coordenadas no PlanoAs Coordenadas no Plano

x

y

0

b

a

P

P (P (aa , b) , b)

O Ponto P tem abcissa O Ponto P tem abcissa aa e ordenada e ordenada bb..

aa e b são as coordenadas do ponto P.e b são as coordenadas do ponto P.

No plano a posição de um ponto fica definida por um par ordenado de números.

SínteseSíntese

A uma dimensãoA uma dimensão A duas dimensõesA duas dimensões

EixoEixo PlanoPlano

A A xx A (a,b)A (a,b)

2A A

z

y

x

0

Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço

OrigemOrigem

Eixo das Eixo das AbcissasAbcissas

Eixo das Eixo das OrdenadasOrdenadas

Eixo das Eixo das CotasCotas

Os três eixos são perpendiculares dois a dois (referencial ortogonal) e considera-se a mesma unidade de comprimento nos três eixos (referencial monométrico).

Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço

z

y

x

0

No espaço a posição de um ponto fica definida por um terno ordenado de números.

Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço

z

y

x

0

AA

AA ( 2,3,0 )( 2,3,0 )

3

2

AA tem:tem:

• Abcissa 2Abcissa 2

• Ordenada 3Ordenada 3

• Cota 0Cota 0

Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço

z

y

x

0

De um modo geral P (a,b,c)De um modo geral P (a,b,c)

abcissaabcissa

OrdenadaOrdenada

CotaCota

Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço

Conclusão:Conclusão:

Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto dos ternos reais ( ).3

3{ }pontos do espaço R

3 {( , , ) : , , }x y z x y z

z

y

x

0•A3

•-4

B

• 4C A ( 3, 0, 0 )

B ( 0, -4, 0)

CC ( 0, 0, 4 )

Coordenadas de Pontos nos Coordenadas de Pontos nos EixosEixos

AA ( 3, 0, 0 )

BB ( 0, -4, 0)

PLANOS COORDENADOSPLANOS COORDENADOS Os três eixos coordenados OOs três eixos coordenados Ox, x, OOy e y e OOzz definem três planos, perpendiculares entre si:definem três planos, perpendiculares entre si:

- plano plano xxOOyy

- - plano plano yyOOzz

- - plano plano xxOOz z

0

z

x

y

Os planos dividem o espaço em oito Os planos dividem o espaço em oito octantesoctantes..

Os octantesOs octantes

0

z

x

y

1º

2º

3º

4º

5º

6º

7º

8º

PLANO xOyPLANO xOy

x

z

yP

Conclusão:

• Todo o ponto deste plano tem cota 0, logo o plano pode ser definido por z = 0.

• O plano xOy (z = 0) é perpendicular a Oz.

Plano z = 55

Condição do Tipo zCondição do Tipo z = k = k

Plano z = 0•

-3 Plano z = -3

z

y

x

0

•

•

Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz e Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz e paralelos ao plano xOy.paralelos ao plano xOy.

PLANO xOzPLANO xOz

Conclusão:

• Todo o ponto deste plano tem ordenada 0, logo o plano pode ser definido por y = 0.

• O plano xOz (y = 0) é perpendicular a Oy.

z

0

x

P

Plano y = 0

Plano y = -3

Plano y = 4

4

Condição do Tipo yCondição do Tipo y = k = k

-3•

z

y

x

• 0•

Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy e Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy e paralelos ao plano xOz.paralelos ao plano xOz.

PLANO yOzPLANO yOz

0

z

x

y

P

Conclusão:

• Todo o ponto deste plano tem abcissa 0, logo o plano pode ser definido por x = 0.

• O plano yOz (x = 0) é perpendicular a Ox.

Plano x = 0•

Condição do Tipo Condição do Tipo x = kx = k

Plano x = -3-3•

Plano x = 2

z

y

x

0

•2

Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox e Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox e paralelos ao plano yOz.paralelos ao plano yOz.

Simetrias em relação a uma rectaSimetrias em relação a uma recta

r

P

P’

P’ é simétrico P em relação a r se:

• PP’ e r são concorrentes;

• PP’ r;

• r é a mediatriz de [ PP’ ]

Simetrias em relação a um planoSimetrias em relação a um plano

P P’

P’ é simétrico do ponto P seP’ é simétrico do ponto P se

• PP’ PP’

• P e P’ são equidistantes deP e P’ são equidistantes de

Simetrias em relação ao plano xOySimetrias em relação ao plano xOyz

x

y

P

P’

P’ é simétrico de P em relação ao plano xOyP’ é simétrico de P em relação ao plano xOy

P (x,y,z) P’ (x,y,-z)

0

z

x

y

Simetrias em relação ao plano xOzSimetrias em relação ao plano xOz

P P’

P’ é simétrico de P em relação ao plano xOzP’ é simétrico de P em relação ao plano xOz

P (x,y,z) P’ (x,-y,z)

P

P’

Simetrias em relação ao plano yOzSimetrias em relação ao plano yOz

0

z

x

y

P’ é simétrico de P em relação ao plano yOzP’ é simétrico de P em relação ao plano yOz

P (x,y,z) P’ (-x,y,z)

Condição do Tipo xCondição do Tipo x = k e y = c = k e y = c

z

y

x

0

•-3

A condição x = k e y = c define uma recta paralela a Oz, ou seja, uma recta perpendicular ao plano xOy.

x = kx = k

y = cy = c

Condição do Tipo yCondição do Tipo y = k e z = c = k e z = c

z

y

x

0

A condição y = k e z = c define uma recta paralela a Ox, ou seja, uma recta perpendicular ao plano yOz.y = ky = k

z = cz = c

Condição do Tipo xCondição do Tipo x = k e z = c = k e z = c

z

y

x

0

A condição x = k e z = c define uma recta paralela a Oy, ou seja, uma recta perpendicular ao plano xOz.

x = kx = k

z = cz = c

Distância entre 2 pontos na rectaDistância entre 2 pontos na recta

a b x

ddPQPQ= |a-b|= |a-b|P P aaQ Q bb

A distância entre P e Q é dada por A distância entre P e Q é dada por ddPQPQ = |a - b| = |a - b|

Distância entre 2 pontos no planoDistância entre 2 pontos no plano

x

y

00

P(P(aa11,,bb11))

Q(Q(aa22,,bb22))

bb11

aa22

PP

QQ

R

aa11

bb22

212

21 bbaad PQ 2

Distância entre 2 pontos no espaçoDistância entre 2 pontos no espaço

z

y

x

0

P

Q

P(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)

R

2212

212

21 ccbbaadPQ

A circunferênciaA circunferência

Circunferência de centro C (a,b) e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a C é igual a r e tem por equação:

2 2 2( ) ( )x a y b r

Superfície esféricaSuperfície esférica

De centro C(xDe centro C(x00,y,y00,z,z00) ) raio Rraio R

P(x,y,z) um ponto da superfície esféricaP(x,y,z) um ponto da superfície esférica

2 2 20 0 0( ) ( ) ( )CP R x x y y z z R

O que é equivalente a

2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R

O círculoO círculo

Círculo de centro C (a,b) e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a C é menor ou igual a r e tem por equação:

2 2 2( ) ( )x a y b r

A esferaA esfera

2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R

De centro C(xDe centro C(x00,y,y00,z,z00) ) R o raio R o raio

P(x,y,z) um ponto da superfície esférica P(x,y,z) um ponto da superfície esférica ou interior a ela ou interior a ela

Plano MediadorPlano Mediador

A BM

O Plano mediador de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos equidistantes de A e de B.