Coordenadas Polares -...

Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares

Outras representacoes de Equacoes Polares

Coordenadas Polares

Prof. Marcio [email protected]

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Matematica Basica II - 2014.2

30 de marco de 2015

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Sumario

1 Coordenadas Polares

2 Graficos de Equacoes Polares

3 Outras representacoes de Equacoes Polares

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A origem do sistema de coordenadas polares e chamada polo.

Neste sistema, representa-se um ponto do plano atraves deum raio (segmento cujo ponto inicial e o polo, e cujo pontofinal e o ponto em questao) e o angulo que este segmento fazcom o eixo polar, medido a partir do eixo polar.

Assim, nesse sistema, um ponto do plano tambem erepresentado por dois numeros reais: (r , θ).

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No sistema cartesiano, representamos o ponto por suascoordenadas retangulares ou cartesianas (x , y).

No sistema polar, representamos o ponto por suascoordenadas polares (r , θ)

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Para marcar um ponto no sistema decoordenadas polares, iniciamos a partirdo eixo polar, fazendo a rotacao deum angulo θ.

Se r > 0, entao o ponto esta a runidades do polo e na mesmadirecao do lado final do angulo θ.

Se r < 0, entao o ponto esta a |r |unidades do polo e na direcao opostado lado final do angulo θ.

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Exemplo 01

Marque os seguintes pontos no plano polar: A

B(−2, 600

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Exemplo 01

Marque os seguintes pontos no plano polar: A

B(−2, 600

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Exemplo 02

Idem para os pontos: C

(−4,

), D(3, 3300

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Exemplo 02

Idem para os pontos: C

(−4,

), D(3, 3300

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Relacao entre os sistemas de coordenadas

Seja um ponto (r , θ) no sistema decoordenadas polares.

No sistema de coordenadascartesianas, teremos:

x = r . cos θ, y = rsenθ

Se (x , y) sao as coordenadas de umponto no sistema cartesiano, entao,

r =√x2 + y2, θ = arctg

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Exemplo 03

Converta (−1,√

3) de coordenadas retangulares para coordenadaspolares.

Resposta...(2,

(2,−4π

(−2,

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Exemplo 03

Converta (−1,√

Resposta...

(2,−4π

(−2,

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Exemplo 03

Converta (−1,√

Resposta...(2,

(2,−4π

(−2,

16 / 48

Exemplo 03

Converta (−1,√

Resposta...(2,

(2,−4π

(−2,

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Exemplo 04

Converta (6√

2, 1350) de coordenadas polares para coordenadasretangulares.

Resposta...

(−6, 6)

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Exemplo 04

Converta (6√

Resposta...

(−6, 6)

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Exemplo 04

Converta (6√

Resposta...

(−6, 6)

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Sumario

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Estamos familiarizados com equacoes na forma cartesiana:

y = 3x + 5: reta.

y = x2 + 1: parabola.

x2 + y2 = 9: circunferencia.

x: hiperbole.

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y = 3x + 5: reta.

x: hiperbole.

19 / 48

y = 3x + 5: reta.

x: hiperbole.

19 / 48

y = 3x + 5: reta.

x: hiperbole.

19 / 48

y = 3x + 5: reta.

x: hiperbole.

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Agora discutiremos equacoes na forma polar.

r = 5θ: ?

r = 2 cos θ: ?

r = sen(5θ): ?

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r = 5θ: ?

r = 2 cos θ: ?

r = sen(5θ): ?

20 / 48

r = 5θ: ?

r = 2 cos θ: ?

r = sen(5θ): ?

20 / 48

r = 5θ: ?

r = 2 cos θ: ?

r = sen(5θ): ?

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Caso r =constante, θ =constante

Exemplo 05

Interpretacao geometrica para r = 3

Observe que r e sempreigual a 3 e que o valor deθ nao e mencionado, istoe, θ pode assumirqualquer valor.

Ou ainda:r =

√x2 + y2 ⇐⇒

x2 + y2 = 9

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Exemplo 05

Ou ainda:r =

√x2 + y2 ⇐⇒

x2 + y2 = 9

21 / 48

Exemplo 05

Ou ainda:r =

√x2 + y2 ⇐⇒

x2 + y2 = 9

21 / 48

Exemplo 05

Ou ainda:r =

√x2 + y2 ⇐⇒

x2 + y2 = 9

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Exemplo 06

Interpretacao geometrica para θ =π

Observe que θ e sempre

igual aπ

4e que r pode

assumir qualquer valorreal.

Ou ainda,y

isto e,

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Exemplo 06

igual aπ

4e que r pode

Ou ainda,y

isto e,

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Exemplo 06

igual aπ

4e que r pode

Ou ainda,y

isto e,

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Exemplo 06

igual aπ

4e que r pode

Ou ainda,y

isto e,

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Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante

Exemplo 07

Interpretacao geometrica para r = 4 cos θ

Calculemos alguns valoresde r a partir de valoresdados para θ

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Exemplo 07

23 / 48

Exemplo 07

23 / 48

Exemplo 07

Marcando os pontosencontrados no sistemade coordenadas polares,teremos:

24 / 48

Exemplo 07

Marcando os pontosencontrados no sistemade coordenadas polares,teremos:

24 / 48

Exemplo 07

Ligando os pontos comuma curva suave:

25 / 48

Exemplo 07

Ligando os pontos comuma curva suave:

25 / 48

Exemplo 08

Interpretacao geometrica para r = 4senθ

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Exemplo 08

Interpretacao geometrica para r = 4senθ

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Generalizando o caso r = c . cos θ

A equacao polar r = c . cos θ representa uma circunferencia de raioc

2e centro

(c2, 0)

Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

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2e centro

(c2, 0)

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

27 / 48

2e centro

(c2, 0)

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

Assim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

27 / 48

2e centro

(c2, 0)

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

27 / 48

2e centro

(c2, 0)

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0

(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

27 / 48

2e centro

(c2, 0)

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

(x − c

)2+ (y − 0)2 =

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2e centro

(c2, 0)

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

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Generalizando o caso r = c . sin θ

A equacao polar r = c . sin θ representa uma circunferencia de raioc

2e centro

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

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2e centro

)Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

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2e centro

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

Assim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

28 / 48

2e centro

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

28 / 48

2e centro

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0

(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

28 / 48

2e centro

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

(x − c

)2+ (y − 0)2 =

28 / 48

2e centro

senθ =y

re cos θ =

r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.

(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.

)+ y2 =

4(x − c

)2+ (y − 0)2 =

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Exercıcio

O que representa a equacao polar r = c. sin θ (e r = c . cos θ)quando c < 0?

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Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante

Exemplo 09

Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)

Note que o argumento dafuncao seno esta dobrado,portanto o perıodo ficadividido ao meio.

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Exemplo 09

30 / 48

Exemplo 09

30 / 48

Exemplo 09

30 / 48

Exemplo 09

Marcando os pontos, e osligando os pontos com umacurva suave, teremos

Veja que os valoresdeterminados na tabela,representam o que acontece noprimeiro quadrante.

Um comportamento semelhanteocorre nos demais quadrantes.

Esta e a Rosa de QuatroPetalas.

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Exemplo 09

31 / 48

Exemplo 09

31 / 48

Exemplo 09

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Exemplo 09

Esta e a Rosa de QuatroPetalas. 31 / 48

Exemplo 10

Interpretacao geometrica para r = 5 cos(2θ)

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Exemplo 10

Interpretacao geometrica para r = 5 cos(2θ)

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Generalizacao - Rosaceas

Em geral, para r = c .sen(nθ) e r = c . cos(nθ), temos uma Rosa den petalas se n e ımpar e uma Rosa de 2n petalas se n e par.Quanto maior o valor de r , maior o tamanho da petala.

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Casos r = c . cos(nθ), r = c .sen(nθ) onde c e constante

r = 5.sen(7θ)

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r = 8.sen(12θ)

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r = 8.sen(12θ) e r = 8. cos(12θ)

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Sumario

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Limacon

Limacon ou Caracol de Pascal

Representacao geometrica de equacoes polares do tipo

r = a± b cos θ ou r = a± bsenθ

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Limacon

r = 2 + 3senθ

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Limacon

r = 3− 7 cos θ

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Limacon

Cardioide

r = 3− 3senθ

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Limacon

(1) r = 3− 3senθ

(2) r = 3− 15senθ

(3) r = 3− 2senθ

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Lemniscata

Lemniscata de Bernoulli

r = a√

cos 2θ ou r = a√sen2θ

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Lemniscata

r = 4√sen2θ

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Lemniscata

r = 8√

cos 2θ

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Espiral

r = c.θ

r = 3θ r = −2θ

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Convertendo equacoes polares em cartesianas

Exemplo 11

Converta a equacao polar r =2

cos θ + senθem uma equacao

cartesiana.

Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos:

r(cos θ + senθ) = 2

(r cos θ) + (rsenθ) = 2

x + y = 2

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Exemplo 11

cartesiana.

x + y = 2

47 / 48

Exemplo 11

cartesiana.

x + y = 2

47 / 48

Exemplo 11

cartesiana.

x + y = 2

47 / 48

Exemplo 11

cartesiana.

x + y = 2

47 / 48

Exemplo 12

Converta a equacao polar r2 = 9.sen2θ em uma equacaocartesiana.

r2 = 9sen2θ

r2 = 9(2.senθ. cos θ)

r2 = 18.y

rr4 = 18xy

(x2 + y2)2 = 18xy

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Exemplo 12

r2 = 9sen2θ

r2 = 18.y

rr4 = 18xy

(x2 + y2)2 = 18xy

48 / 48

Exemplo 12

r2 = 9sen2θ

r2 = 18.y

rr4 = 18xy

(x2 + y2)2 = 18xy

48 / 48

Exemplo 12

r2 = 9sen2θ

r2 = 18.y

r4 = 18xy

(x2 + y2)2 = 18xy

48 / 48

Exemplo 12

r2 = 9sen2θ

r2 = 18.y

rr4 = 18xy

(x2 + y2)2 = 18xy

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