CORPOS REDONDOS

CORPOS REDONDOSCORPOS REDONDOS

O que você deve saber sobre

Presentes em muitos objetos do nosso cotidiano, como na bola de futebol, na latinha de refrigerante ou na casquinha de sorvete, alguns corpos redondos têm estreita ligação com a circunferência e o círculo.

I. Cilindro circular

Elementos

• Bases: os círculos C e C’, contidos, respectivamente, nos planos e ;

• Eixo: paralelo à reta r, passa pelos centros dos círculos;• Geratrizes: segmentos paralelos ao eixo, com extremidades nas circunferências C e C‘;

• Altura (h): distância entre os planos e .

CORPOS REDONDOS

Sólido delimitado por 3 superfícies distintas: bases e superfície lateral.

Classificação

Reto: o eixo do cilindro é perpendicular aos planos das bases;também é chamado cilindro de revolução, pois pode ser obtidopela rotação de uma superfície retangular em torno de um eixo sobreum de seus lados. Oblíquo: o eixo do cilindro não é perpendicular aos planos das bases.


CORPOS REDONDOS

• área da base:

• área lateral:

• área total: Atotal = Alateral + 2 Abase

VolumeÉ dado pela expressão:

Área da superfície


CORPOS REDONDOS

Elementos Base: círculo C, contido no plano ;

Vértice: Ponto V, externo a ;

Eixo: reta VO;Matrizes: segmentos de reta com extremidades em V e em um ponto da circunferência C;

Altura (h): distância entre V e o plano .

II. Cone

CORPOS REDONDOS

Sólido delimitado por duas superfícies: base e superfície lateral.

Classificação

II. Cone

CORPOS REDONDOS

Reto: o eixo do cone é perpendicular ao plano .

Também é chamado cone de revolução, pois pode ser obtido

pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo

sobre um de seus catetos.

Oblíquo: o eixo do cone não é perpendicular ao plano .

• área lateral:

• área da base:

• área total: Atotal = Abase + Alateral

Volume:


II. Cone

CORPOS REDONDOS

base2

CônicasClique na imagem para ver a animação.

CORPOS REDONDOS

Sólido obtido mediante a secção de um cone reto por um plano paralelo à sua base. O tronco é a porção do cone original que resta

entre o plano e plano que contém a base.

III. Tronco de cone reto

CORPOS REDONDOS

, em que ht é a altura do tronco.

• área lateral:

• área total: Atotal = Alateral + Abase maior + Abase menor


III. Tronco de cone reto

, em que gt é a geratriz do tronco, R é o raio da base maior e r é o raio da base menor.

CORPOS REDONDOS

Volume:

Corpo redondo formado por todos os pontos que estão a uma distância de C (centro) menor ou igual a r (raio, representado por um número real positivo).

Área da superfície esférica

IV. Esfera

É formada por todos os pontos que distam r de seu centro C.

CORPOS REDONDOS

Volume:

Cunha esférica

Sólido obtido quando uma esfera é seccionada por dois planos secantes que passam pelo centro dela. Ele se assemelha a um gomo de tangerina, e seu volume é proporcional ao ângulo entre tais planos.

IV. Esfera

CORPOS REDONDOS

EsferasClique na imagem para ver a animação.

CORPOS REDONDOS

(UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 mL.

Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância entre duas dessas marcas consecutivas?

1

CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

(UFRJ) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura a seguir.

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos. Justifique.

3EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(UFABC-SP) As figuras mostram um cone circular reto de raio da base r e a planificação da sua área lateral.

Relembrando que o volume de um cone é igual a

do produto entre a área da base e a altura do cone, calcule o raio da base e o volume desse cone.

5EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS


31

RESPOSTA:

3

a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico),ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia?

7EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

(Unesp) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura.

Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4R2 cm2, determine, em função de e de R:


(Mackenzie-SP) Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS11

Supondo = 3, o volume máximo de líquido que ela pode conter é:a) 168 cm3. b) 172 cm3. c) 166 cm3.d) 176 cm3.e) 164 cm3.


RESPOSTA: A

Se a área da base deste novo sólido é

da área de B, determine seu volume.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS15

RESPOSTA:

(Fuvest-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da figura 2.


32

Sejam T o custo com parafina transparente e V o custo com parafina vermelhapara fabricar uma dessas velas.Assim, é correto afirmar que:

a) d)

b) e)

c)

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS16

(UFTM-MG) Um designer projetou uma vela decorativa com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra, com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como indicado na figura, feita fora de escala.


.65

VT

.25

VT

.29

VT

.38

VT

.3

10

VT

Sabe-se que o preço de 1 cm3 de parafina transparenteé o dobro do preço de 1 cm3 de parafina vermelha. RESPOSTA: E

(UFPR) Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Porexemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo.Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r1: y = x, r2: x = 0, r3: x = 1 e pela

circunferência : x2 + (y - 4)2 = 1.

a) Faça um esboço da região Re do sólido de revolução obtidopela rotação dessa região em torno do eixo y.b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item anterior.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS17

RESPOSTA:


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