Correlação

{Correlação linear

Paulo Novis Rocha

[email protected]

Créditos: Bioestatística: Princípios e Aplicações. Sidia M. Callegari-Jacques

mailto:[email protected]

Avaliar se existe associação entre duas características quantitativas.

Quando se constata que duas variáveis quantitativas variam juntas, diz-se que elas estão correlacionadas.

Correlação linear simples

ALUNO X (horas) Y (nota)

A 8 10

B 7 8

C 6 4

D 3 8

E 3 6

F 6 9

G 5 7

H 2 4

Número de horas de estudo e nota obtida por 8 alunos em uma prova

Diagrama de dispersão correspondente ao número de horas de estudo e nota obtida por 8 alunos em uma prova

Outra maneira de se avaliar a correlação é usar um coeficiente

Número puro, independente da unidade de medida das variáveis

Mede a intensidade da associação existente entre duas variáveis quantitativas

Coeficiente de correlação produto-momento (r)

Proposto por Karl Pearson em 1896

Coeficiente de correlação produto-momento ou coeficiente de correlação de Pearson (r)

r pode variar entre -1 e +1

Valores negativos = correlação inversa

Valores positiva = correlação direta

Variação no coeficiente de correlação

Valores máximos: reta inclinada

Nula: nuvens circulares ou nuvem elíptica paralela a um dos eixos do gráfico

Valores intermediários: nuvens elípticas inclinadas (quanto mais estreitas, maior a correlação)

Situações especiais: pontos formam uma nuvem cujo eixo principal é uma curva Solução: transformação de dados, técnica não

paramétrica

Intensidade da correlação nos diagramas de dispersão

Exemplos de diagramas de dispersão, com os valores de r correspondentes

Fórmula para obtenção de r

58,0

)()(

))((

1

))((cov onde ,

cov

22

r

SQxSQ

SP

yyxxx

yyxxr

n

yyxx

SxSr

yx

xy

y

xy

xy

x

r da amostra é uma estimativa da verdadeira correlação entre x e y existente na população.

(1) Elaboração das hipóteses

H0 : ρ = 0

HA : ρ ≠ 0

(2) Escolha do nível de significância

α = 0,05

(3) Determinação do valor crítico do teste

t α;gl = t 0,05;6 = 2,447 (gl = n – 2, onde n = no pares x,y)

(4) Determinação do valor calculado de t

Teste de hipóteses sobre a correlação

06;05,0

22

rejeita se não ,45,2 1,74

74,1333,0

58,0

28

58,01

58,0

2

1

0

EP

Httcomo

n

r

rrt

calc

r

calc

r2 é o quadrado do coeficiente de correlação

Informa que fração da variabilidade de uma característica é explicada estatisticamente pela outra variável.

Coeficiente de determinação

Não há necessidade de satisfazer pressuposição alguma para calcular o r entre duas variáveis quantitativas

Os pressupostos se aplicam apenas à realização do teste estatístico

(1) x e y têm distribuição normal

(2) Homocedasticidade A variância de x é a mesma para os vários níveis de y

A variância de y é a mesma para os vários níveis de x

Pressupostos

Situações onde o r deve ser usado com cautela

r = 0,84 (todos os pontos)r = 0,46 (excluindo outliers) Heterocedasticidade

rmede uma associação e não uma relação de causa e efeito.

Pode haver outros fatores determinando os níveis tanto de uma quanto da outra variável.

Pode haver correlação fraca e estatisticamente significante (n = 900, r = 0,15, p < 0,001)

Lembrar que:

Exemplo no SPSS

Coeficiente de correlação para postos de Spearman

Mais antiga estatística baseada em postos (1904)

Utilizado para avaliar o grau de correlação entre variáveis quantitativas quando as exigências para o teste de Pearson não são satisfeitas

Distribuição bivariada normal

Homocedasticidade

Coeficiente de correlação de Spearman

rs = 0, ausência de correlação

rs = -1, correlação negativa perfeita

rs = +1, correlação positiva perfeita

O cálculo de rs baseia-se nas diferenças entre os postos de x e y

Exemplo

Um pesquisador procurou correlacionar os níveis de nitrato na água com a profundidade de uma lagoa.

Variaçao temporal do nitrato (μg/L) e da profunidade (m) da lagoa

Mês/ano Nitrato(x)

Profundidade(y)

Posto dex

Posto dey

d d2

03/1988 30,6 4,2 8 11 3 9

05/1988 17,2 3,2 5 9 4 16

06/1988 36,2 2,2 10 6 -4 16

10/1988 < 1,9 2 2 0 0

11/1988 < 2,0 2 4 2 4

12/1988 13,7 2,0 4 4 0 0

01/1989 98,1 5,1 12 13 1 1

02/1989 111,4 4,3 13 12 -1 1

05/1989 19,4 2,3 6 7 1 1

06/1989 23,2 2,4 7 8 1 1

08/1989 37,2 2,0 11 4 -7 49

12/1989 < 1,7 2 1 -1 1

01/1990 34,5 3,4 9 10 1 1

Σ 0 100

<: abaixo do limite de detecção, que é 10 μg/L

Cálculo do rs

725,0275,012184

6001

1313

)100(61

valoresde pares de número onde ,6

1

3

3

2

s

s

r

nnn

dr

Fórmula com correção para empates

722,0180*1802

100180180

posto cada em empates de número o é onde,12

)()(

para como para anto onde ,2

33

2

s

yx

yx

s

r

tttnn

A

yxtAA

dAAr

O valor tabelado de rs para um teste bilateral, α = 0,01 e n = 13 é 0,703.Portanto, o coeficiente de correlação obtido é estatisticamente significativo.

Exemplo no SPSS

Correlação

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