Correlação

Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo

Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600

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Professor Mauricio Lutz

1

CORRELAO

Em muitas situaes, torna-se interessante e til estabelecer uma

relao entre duas ou mais variveis. A matemtica estabelece vrios tipos de

relaes entre variveis, por exemplo, as relaes funcionais e as correlaes.

Relaes Funcionais

So relaes matemticas expressas por sentenas matemticas, como

por exemplo:

rea do retngulo (A=a.b) a relao entre os lados do retngulo;

Densidade de massa (dm= m/v) a relao entre a massa e o volume de um

corpo;

Permetro de uma circunferncia (C=2R) a relao entre o comprimento da circunferncia e o valor do raio.

Relaes Estatsticas e Correlaes

So relaes estabelecidas aps uma pesquisa. Com base nos

resultados da pesquisa, so feitas comparaes que eventualmente podem

conduzir (ou no) ligao entre as variveis.

Exemplo: relao entre a idade e a estatura de uma criana, ou a relao entre a

classe social de uma pessoa e o nmero de viagens por ela realizado.

No estudo estatstico, a relao entre duas ou mais variveis denomina-

se correlao. A utilidade e importncia das correlaes entre duas variveis

podem conduzir descoberta de novos mtodos, cujas estimativas so vitais em

tomadas de decises.

Em outras palavras quando duas variveis esto ligadas por uma

relao estatstica, dizemos que existe correlao entre elas.

1) Diagrama de disperso

O diagrama de disperso um grfico cartesiano em que cada um dos

eixos corresponde s variveis correlacionadas. A varivel dependente (Y) situa-se

no eixo vertical e o eixo das abscissas reservado para a varivel independente

(X). Os pares ordenados formam uma nuvem de pontos.

A configurao geomtrica do diagrama de disperso pode estar associada a uma

linha reta (correlao linear), uma linha curva (correlao curvilnea) ou, ainda, ter





2

os pontos dispersos de maneira que no definam nenhuma configurao linear;

nesta ltima situao, no h correlao.

Correlao Linear Correlao Curvilnea

2) Correlao Linear

Correlao linear uma correlao entre duas variveis, cujo grfico

aproxima-se de uma linha. uma linha de tendncia, porque procura acompanhar

a tendncia da distribuio de pontos, que pode corresponder a uma reta ou a uma

curva. Por outro lado, , tambm, uma linha mdia, porque procura deixar a mesma

quantidade de pontos abaixo e acima da linha.

Correlao linear positiva Correlao linear negativa

No h correlao

Para definir se a correlao entre as variveis corresponde a uma linha

reta ou a uma curva, pode-se utilizar modos qualitativos ou quantitativos.

No modo qualitativo, vai imperar o bom senso do pesquisador para

verificar qual o grau de intensidade na correlao entre as variveis; isso significa o

estabelecimento de uma relao numrica que medir o nvel da correlao.

0

50

100

0 5 10

0

50

100

0 5 10





3

3) Coeficiente de Correlao Linear

O instrumento empregado para a medida da correlao linear o

coeficiente de correlao. Este coeficiente deve indicar o grau de intensidade de

correlao entre duas variveis e, ainda, o sentido dessa correlao (positiva ou

negativa). Uma das formas de medir o coeficiente de correlao linear foi

desenvolvido por Pearson e recebe o nome de coeficiente de correlao de

Pearson. O coeficiente de correlao de Pearson mede o grau de ajustamento dos

valores em torno de uma reta.

Coeficiente de Correlao de Pearson (r):

( )( )( )[ ] ( )[ ]2222 .

.

--

-=

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

onde temos:

r o coeficiente de Pearson;

n o nmero de observaes;

ix a varivel independente;

iy a varivel dependente.

O valor do coeficiente de correlao r tem a variao entre +1 e 1, ou

seja, est limitado entre os valores do Intervalo[1,+1].

r = +1 (correlao positiva entre as variveis);

r = 1 (correlao perfeita negativa entre as variveis);

r = 0 (no h correlao entre as variveis ou, ainda, a correlao no linear,

caso exista).

Quanto mais prximo o valor de r estiver do valor 1, mais forte a

correlao linear.

Quanto mais prximo o valor de r estiver do valor 0, mais fraca a

correlao linear.

Em geral, multiplica-se o valor de r por 100; dessa forma, o resultado

passa a ser expresso em porcentagem. Na prtica, estabelecem-se critrios para

verificar os diversos nveis do fraco ao forte, chegando at o perfeito:

0 < |r| < 0,3 : a correlao fraca e fica difcil estabelecer relao entre as

variveis. Em porcentagem: 0% < |r| < 30%;





4

0,3 |r| < 0,6 : a correlao fraca, porm, podemos considerar a existncia de relativa correlao entre as variveis. Em porcentagem: 30% |r| < 60%; 0,6 |r| < 1 : a correlao de mdia para forte; a relao entre as variveis significativa, o que permite coerncia com poucos conflitos na obteno das

concluses. Em porcentagem: 60% |r| 100%.

4) Teste de hiptese para a existncia de correlao

Para aplicar o teste de hiptese para existncia de correlao linear,

necessrio que as variveis populacionais (X, Y) tenham distribuio normal

bivariada. Quando as amostras forem superiores a 30, a hiptese de normalidade

das duas variveis razoavelmente atendida.

O coeficiente de correlao linear da populao (X, Y) designado (ler R). Se o teste indicar a rejeio da hiptese 0=r , poderemos concluir que existe

correlao entre as variveis ao nvel de significncia admitido. Eis o procedimento

para realizar o teste:

(1) H0: 0=r

H1: 0r

(2) Fixar e escolher uma distribuio t de Student com 2-= nj graus de liberdade.

(3) Determinar as regies de rejeio e aceitao para H0, com auxilio

da tabela t de Student.

(4) Calculo do valor da varivel: 21

2

r

nrtcal

-

-=

(5) Concluso:





5

Se 2

attcal > ou 2

attcal -> , rejeita-se H0, concluindo, com risco , que h correlao entre as variveis.

Se 22

aa ttt cal - , no se pode rejeita-se H0, concluindo que h

correlao entre as variveis.

Exemplos: a) Uma pesquisa pretende verificar se h correlao significativa entre o

peso total do lixo descartado, por dia, numa empresa com o peso do papel contido

nesse lixo.

Hotel H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10

Peso total 10,47 19,85 21,25 24,36 27,38 28,09 33,61 35,73 38,33 49,14

Peso do papel 2,43 5,12 6,88 6,22 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43

De acordo com os dados, fazemos a representao grfica. Os pares

ordenados formam o diagrama de disperso.

Correlao entre o peso total do lixo descartado e o peso do papel contido nesse

lixo

Para se verificar o grau de correlao entre as variveis, calcula-se o

coeficiente de correlao linear pela frmula do coeficiente de correlao de

Pearson:

( )( )( )[ ] ( )[ ]2222 .

.

--

-=

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr





6

Para facilitar o clculo construmos a seguinte tabela:

Peso total ( ix ) Peso do papel ( iy ) ii yx . 2ix

2iy

H1 10,47 2,43 25,44 109,62 5,90

H2 19,85 5,12 101,63 394,02 26,21

H3 21,25 6,88 146,20 451,56 47,33

H4 24,36 6,22 151,52 593,41 38,69

H5 27,38 8,84 242,04 749,66 78,15

H6 28,09 8,76 246,07 789,05 76,74

H7 33,61 7,54 253,42 1129,63 56,85

H8 35,73 8,47 302,63 1276,63 71,74

H9 38,33 9,55 366,05 1469,19 91,20

H10 49,14 11,43 561,67 2414,74 130,64

288,21 75,24 2396,68 9377,52 623,47 ( )( )

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]9206,0

57,247883,2281

06,56617,6234830652,93775

)9,21684()8,23966(

24,7547,6231021,28852,937710

)24,7521,288()68,239610(

.

.

22

2222

==--

-=

--

-=

--

-=

xr

xxx

xxr

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

9206,0=r ou %06,92=r

Observamos, assim: 0,6 r 1 . Esse resultado indica que h uma forte correlao entre as variveis ou, ainda, que a correlao entre as duas variveis

bastante

significativa. Nesse caso, podemos concluir haver coerncia na afirmao de que

existe correlao entre o peso total do lixo descartado e o peso do papel contido

nesse lixo.

Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: 0=r

H1: 0r

(2) %5=a e Graus de liberdade: 82102 =-=-= nj





7

(3) Regies de rejeio e aceitao para H0.

(4) Clculo do valor da varivel: 6679,63905,06039,2

)9206,0(1

2109206,0

1

222

==-

-=

-

-=

r

nrtcal

(5) Concluso: Como 3060,2>calt , rejeita-se H0, concluindo, com riso de 5%, que

h correlao entre o peso total de lixo descartada com o peso total de papel

contido neste lixo, ou ainda, existe uma correlao positiva entre X e Y, significa

que as variveis so diretamente proporcionais, portando quanto maior o lixo

produzido maior ser a quantidade de papel contida neste lixo.

b) Consideremos uma amostra aleatria, formada por dez dos 98 alunos de uma

classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em matemtica e estatstica:

Nmeros Notas

Matemtica ( ix ) Estatstica ( iy )

01 5,0 6,0

08 8,0 9,0

24 7,0 8,0

38 10,0 10,0

44 6,0 5,0

58 7,0 7,0

59 9,0 8,0

72 3,0 4,0

80 8,0 6,0

92 2,0 2,0

Vamos verificar a correlao primeiro fazendo um diagrama de

disperso:





8

Correlao entre as notas de matemtica e estatstica

Nmeros Notas

ii yx . 2ix

2iy Matemtica ( ix ) Estatstica ( iy )

01 5,0 6,0 30 25 36

08 8,0 9,0 72 64 81

24 7,0 8,0 56 49 64

38 10,0 10,0 100 100 100

44 6,0 5,0 30 36 25

58 7,0 7,0 49 49 49

59 9,0 8,0 72 81 64

72 3,0 4,0 12 9 16

80 8,0 6,0 48 64 36

92 2,0 2,0 4 4 4

65 65 473 481 475 ( )( )

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]9112,0

18,554505

525585

505

4225475042254810

)4225()4730(

65475106548110

)6565()47310(

.

.

22

2222

===--

-=

--

-=

--

-=

xxr

xxx

xxr

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

Portanto 9112,0=r ou %12,92=r , o que resulta uma correlao positiva

altamente significativa entre as duas variveis.


H1: 0r





9




)9112,0(1

2109112,0

1

222

==-

-=

-

-=

r

nrtcal


h correlao entre as notas de matemtica e estatstica, ou ainda, existe uma

correlao positiva entre X e Y, significa que as variveis so diretamente

proporcionais, portando quanto maior a nota de matemtica maior ser a nota de

estatstica.

Exerccios

1)Complete o esquema de clculo do coeficiente de correlao para os valores das

variveis ix e iy :

ix 4 6 8 10 12

iy 12 10 8 12 14

Temos:

ix iy ii yx . 2ix

2iy

4 12 48 16 144

........ ........ ........ ........ ........

........ ........ ........ ........ ........

........ ........ ........ ........ ........

12 14 168 144 196

........= ........= ........= ........= ........=





10

Logo:

[ ] [ ]

[ ] [ ]........

........

........

................

........

................................

................

................................................

........)(................)(........

===--

-=

---

=

xxr

xxx

xxr

Donde 42,0=r . A correlao linear entre as variveis x e y positiva,

porm fraca.

2) Correlacionar os valores de produo leiteira e o teor de gordura de animais bovinos da fazenda Pica Pau Amarelo.

Produo (kg) Teor de Gordura (%)

10 6,0

12 5,7

14 5,3

17 5,2

19 5,0

22 4,7

25 4,5

3) Para os dados abaixo:

a) Desenhe o diagrama de disperso; b) Calcule o coeficiente de correlao de Pearson e interprete.

c) Teste o coeficiente encontrado na letra b).

Concentrao Protombina no Plasma (x) Tempo de coagulao em segundos (y)

5 70

10 40

20 27

30 22

40 18

50 16

60 15

70 14

80 13

90 12





11

4) Uma amostra revelou o coeficiente de correlao entre o salrio e o nmero de

anos de escolaridade para um grupo de 60 pessoas de 0,78. Teste a hiptese de

existncia de correlao entre essas variveis, ao nvel de 5%.

5) Sessenta e quatro estudantes foram submetidos a dois testes: raciocnio lgico e

quantitativo e conhecimentos gerais. Dos escores obtidos, foram calculadas as

somas:

=169X ; = 327Y ; =14502X ; = 23042Y ; = 837XY . a)Determine o coeficiente de correlao.

b) Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao.

6) A tabela a seguir expressa os pesos e as alturas de 30 crianas:

Peso (kg) 30 32 24 30 26 35 25 23 35 31 29 28 25 29 30

Altura (cm) 145 150 125 157 127 140 132 107 155 145 140 142 130 135 138

Peso (kg) 31 32 33 25 26 28 29 30 31 35 34 33 32 28 30

Altura (cm) 140 150 157 144 145 147 150 152 150 160 149 150 129 130 140

Ao nvel de 5%, podemos afirmar que h correlao entre os pesos e as alturas?

7) Um grupo de pessoas fez uma avaliao do peso aparente de alguns objetos.

Com o peso real e a mdia dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela:

Peso Real 18 30 42 62 73 97 120

Peso Aparente 10 23 33 60 91 98 159

Calcule o ndice de correlao. 8) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos da escola A:

ix 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37

iy 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25

a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlao retilnea. b) Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlao. c) Escreva em poucas linhas, as concluses a que chegou sobre a relao entre essas variveis. d) Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao.





12

Gabarito

1)Complete o esquema de clculo do coeficiente de correlao para os valores das

variveis ix e iy :

ix 4 6 8 10 12

iy 12 10 8 12 14

Temos:

ix iy ii yx . 2ix

2iy

4 12 48 16 144

6 10 60 36 100

8 8 64 64 64

10 12 120 100 144

12 14 168 144 196

40= 56= 460= 360= 648= Logo:

( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]42,0

22,14460

104200

60

3136324016001800

22402300

566485403605

)5640()4605(22

===--

-=

--

-=

xxr

xxx

xxr

Donde 42,0=r . A correlao linear entre as variveis x e y positiva,

porm fraca.

2) Correlacionar os valores de produo leiteira e o teor de gordura de animais

bovinos da fazenda Pica Pau Amarelo.

Produo (kg) Teor de Gordura (%) ii yx .

2ix

2iy

10 6,0 60 100 36

12 5,7 68,4 144 32,49

14 5,3 74,2 196 28,09

17 5,2 88,4 289 27,04

19 5,0 95 361 25

22 4,7 103,4 484 22,09

25 4,5 112,5 625 20,25

119= 4,36= 9,601= 2199= 96,190=





13

( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]9828,0

37,1203,118

76,111232

3,118

96,132472,13361416115393

6,43313,4213

4,3696,190711921997

)4,36119()9,6017(22

-=-

=-

=--

-=

--

-=

xxr

xxx

xxr

Existe uma forte correlao negativa entre x e y, significa que as

variveis so inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais leite produz a vaca

menor o teor de gordura do leite.

3) Para os dados abaixo:

a) Desenhe o diagrama de disperso;

b) Calcule o coeficiente de correlao de Pearson e interprete.

c) Teste o coeficiente encontrado na letra b).

Concentrao Protombina no

Plasma (x)

Tempo de coagulao

em segundos (y) ii yx .

2ix

2iy

5 70 350 25 4900

10 40 400 100 1600

20 27 540 400 729

30 22 660 900 484

40 18 720 1600 324

50 16 800 2500 256

60 15 900 3600 225

70 14 980 4900 196

80 13 1040 6400 169

90 12 1080 8100 144

455= 247= 7470= 28525= 9027= a)





14

b)

( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]7877,0

89,4784237685

2926178225

37685

6100090270207025285250

11238574700

2479027104552852510

)247455()747010(22

-=-

=-

=--

-=

--

-=

xxr

xxx

xxr

Existe uma correlao negativa entre x e y, significa que as variveis so

inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior a concentrao de protombina

menor o tempo de coagulao.

c) Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: 0=r

H1: 0r




)7877,0(1

2107877,0

1

222

-=-

=--

--=

-

-=

r

nrtcal


h correlao entre a concentrao protombina no plasma e tempo de coagulao.

4) Uma amostra revelou o coeficiente de correlao entre o salrio e o nmero de

anos de escolaridade para um grupo de 60 pessoas de 0,78. Teste a hiptese de

existncia de correlao entre essas variveis, ao nvel de 5%.


H1: 0r






15



)78,0(1

26078,0

1

222

==-

-=

-

-=

r

nrtcal


h correlao entre o salrio e o nmero de anos de escolaridade.

5) Sessenta e quatro estudantes foram submetidos a dois testes: raciocnio lgico e

quantitativo e conhecimentos gerais. Dos escores obtidos, foram calculadas as somas:

=169X ; = 327Y ; =14502X ; = 23042Y ; = 837XY . a)Determine o coeficiente de correlao.

b) Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao. a)

( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]%322,3

03322,06607,51023

1695

4052764239

1695

1069291474562856192800

5526353568

327230464169145064

)327169()83764(22

-=

-=-

=-

=--

-=

--

-=

r

xxr

xxx

xxr


H1: 0r

(2) %5=a e Graus de liberdade: 622642 =-=-= nj (3) Regies de rejeio e aceitao para H0.





16

(4) Clculo do valor da varivel:

2617,099945,026157,0

)03322,0(1

26403322,0

1

222

-=-

=--

--=

-

-=

r

nrtcal

(5) Concluso: Como 0017,2





17

Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao.

a)

( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]667,0

08811,3392922630

115499980

22630

1815612118271470792100802080

37922903814920

4261609049308902673630

)4261890()12716430(22

===

---

=--

-=

xr

xxxx

xxr


H1: 0r




)667,0(1

230667,0

1

222

==-

-=

-

-=

r

nrtcal


h correlao linear entre os pesos e as alturas das 30 crianas avaliadas.

7) Um grupo de pessoas fez uma avaliao do peso aparente de alguns objetos.

Com o peso real e a mdia dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a

tabela:

Peso Real 18 30 42 62 73 97 120

Peso Aparente 10 23 33 60 91 98 159

Calcule o ndice de correlao.





18

Peso real (x) Peso aparente (y) ii yx .

2ix

2iy

18 10 180 324 100

30 23 690 900 529

42 33 1386 1764 1089

62 60 3720 3844 3600

73 91 6643 5329 8281

97 98 9506 9409 9604

120 159 19080 14400 25281

442= 474= 41205= 35970= 48484=

( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]9810,0

336,804578927

11471256426

78927

224676339288195364251790

209508288435

474484847442359707

)474442()412057(22

===

---

=--

-=

xr

xxxx

xxr

8) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos da escola A:

ix 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37

iy 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25

a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlao retilnea. b) Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlao.

c) Escreva em poucas linhas, as concluses a que chegou sobre a relao entre

essas variveis.

d) Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao.

ix iy ii yx .

2ix

2iy

11 13 143 121 169

14 14 196 196 196

19 18 342 361 324

19 15 285 361 225

22 22 484 484 484

28 17 476 784 289

30 24 720 900 576

31 22 682 961 484

34 24 816 1156 576

37 25 925 1369 625

245= 194= 5069= 6693= 3948=





19

a)

b)

( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]8856,0

308,35683160

18446905

3160

3763694806002566930

4753050690

194394810245669310

)194245()506910(22

===

---

=--

-=

xr

xxxx

xxr

c) Existe uma correlao positiva entre os testes x e y, significa que as variveis

so diretamente proporcionais.

d) Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: 0=r

H1: 0r




)8856,0(1

2108856,0

1

222

==-

-=

-

-=

r

nrtcal


h correlao entre os teste x e y.

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