Cosmologia B asica - USPlaerte/aga5751/aula-cosmologia.pdfO modelo de trabalho atual: CDM I o...

Cosmologia Basica

Laerte Sodre Jr.

April 15, 2009

Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

objetivos:

I abordagem rapida da cosmologia, focando no modelocosmologico padrao

I uma abordagem mais completa requeriria aulas sobre a Teoriada Relatividade Geral

I veremos como interpretar e calcular algumas quantidadesimportantes


Figure: A composicao do universo no modelo ΛCDM.


O modelo de trabalho atual: ΛCDM

I o universo e plano e dominado por energia escura e materiaescura fria (Cold Dark Matter)

I a materia barionica constribui com apenas ∼4% do conteudode materia e energia do universo

I a constante cosmologica Λ e a forma mais simples de energiaescura

I a energia escura e necessaria para explicar a aceleracao douniverso, descoberta a partir da observacao de supernovasdistantes


O modelo de trabalho atual: ΛCDM

I a materia escura fria (CDM) explica as galaxias e asestruturas em grandes escalas

I CDM- principais propriedades:I ela e escura, nao interage com os fotonsI ela so interage gravitacionalmenteI ela e nao-barionicaI ela e friaI ela e estavel

(algumas dessas propriedades podem ser relaxadas...)


A Teoria da Gravitacao

I Teoria da Relatividade Geral (TRG) (Einstein, 1915)I Porque a gravitacao ?

I em grandes escalas e a gravitacao que determina a dinamicados objetos no universo

I apenas as interacoes gravitacionais e eletromagneticas sao delongo alcance

I como a materia e em media eletricamente neutra, em grandesdistancias apenas a gravitacao e cosmologicamente relevante



I TRG: materia+energia determinam a geometria do ET

I equacoes de Einstein:

Gµν =8πG

c4Tµν

I Gµν : tensor de Einstein- depende da geometria doespaco-tempo atraves de gµν , o tensor metrico

I Tµν : o tensor de energia-momentum- depende da distribuicaode materia+energia

I lado esquerdo: depende apenas da geometriaI lado direito: distribuicao de materia+energiaI a distribuicao de materia e energia pode distorcer a geometria



Figure: A materia distorce o espaco-tempo, como neste exemplo de lente gravitacional.



I testes da TRG:I sistema solar; pulsar binario; lentes gravitacionaisI mal testada no limite de campos fortes (como buracos negros)

ou muito fracos (halo das galaxias)

I limitacao da TRG: nao incorpora efeitos quanticosI incompleta em escalas menores que a escala de Planck:

rPl =

(Gh

c3

)1/2

= 4.0× 10−33 cm.

I ou antes do tempo de Planck:

tPl =

(Gh

c5

)1/2

= 1.3× 10−43 s.

I precisamos de uma teoria quantica da gravitacao


O Princıpio Cosmologico

I em escalas suficientemente grandes o universo e homogeneo eisotropico

I homogeneo: todos os lugares sao equivalentes

I isotropico: todas as direcoes sao equivalentesI evidencias:

I em escalas muito grandes (centenas de Mpc), a distribuicao degalaxias e bastante uniforme(a uniformidade aumenta com a escala)

I homogeneidade da radiacao cosmica de fundo:as flutuacoes de temperatura tem uma amplitude muitopequena


O Princıpio Cosmologico

Figure: Mapa com as flutuacoes de temperatura da radiacao cosmica de fundo medida pelo satelite WMAP.

Este mapa e notavelmente uniforme; a amplitude media das flutuacoes e ∼ 10−5.


A cosmologia newtoniana

I modelo cosmologico baseado na gravitacao newtoniana

I as equacoes que descrevem a dinamica do universo sao muitoparecidas com as da Cosmologia Relativıstica

I modelo proposto por Milne e McCrea em 1934

I problema: aparecem algumas dificuldades conceituais que naosao comportadas pela fısica newtoniana



I vamos supor que o universo e ocupado por um fluido:o fluido cosmologico

I as partıculas deste fluido seriam, por exemplo, as galaxias

I esse fluido obedece ao Princıpio Cosmologico: deve estar emrepouso ou em expansao ou contracao isotropica - observamosa expansao

I os observadores que estao localmente em repouso com ofluido, que o acompanham em sua expansao, sao chamados deobservadores comoveis



I para que as leis de Newton sejam validas, os referenciaisusados devem ser inerciais

I suponha que nossa galaxia seja um referencial inercial

I PC: todos os observadores que participam da expansao (osobservadores comoveis) tem a mesma visao do universo

I Logo, todos os observadores comoveis sao inerciais, emborapossam apresentar aceleracoes entre si!



I Cosmologia Newtoniana: o universo deve ser infinito, casocontrario o PC nao seria valido (nos bordos, por exemplo)

I mas em um universo infinito e isotropico, qual e a direcao daaceleracao gravitacional g?

I lei de Gauss:a aceleracao da gravidade produzida por uma regiao esfericahomogenea de massa M centrada num ponto O e

g =G

r 2

∫ρdV =

GM

r 2

I se g = 0 em todos os lugares, entao ρ = 0: o unico universoque satisfaz o PC e um universo completamente vazio!



I Regra de Birkhoff:a velocidade (radial) v de qualquer galaxia vista por umobservador em O a uma distancia r depende apenas daatracao gravitacional das galaxias dentro da esfera de raio rcentrada em O

I nao tem justificativa na teoria newtoniana, mas permite odesenvolvimento de uma cosmologia newtoniana...



I O fator de escalaI galaxias A e B: num certo instante t1 elas estao separadas por

uma distancia r1 e, num outro instante t, a separacao entreelas e r

I fator de escala R(t):

r =R(t)

R(t1)r1

mede as variacoes nas escalas produzidas pela expansao(ou contracao) do universo.



I lei de Hubble:

v =dr

dt=

r1

R(t1)

dR(t)

dt=

R(t)

R(t1)r1

1

R(t)

dR(t)

dt

Sendo

H(t) =1

R(t)

dR(t)

dt=

R

Rtemos

v = H(t)r

I nesta formulacao, H nao e constante, mas uma funcao dotempo: o parametro de Hubble

I H mede a taxa de expansao no instante tI t0: idade do universo; H0 = H(t0)I fator de escala normalizado em relacao ao valor atual:

a(t) =R(t)

R(t0)a(t0) = 1



A densidade da materia

I o fluido cosmologico e nao-viscoso:caracterizado pelo campo de velocidades v(r, t) e pelasdistribuicoes de densidade, ρ(r, t), e pressao, p(r, t)

I homogeneidade em grande escala (PC): ρ(r, t) e p(r, t) devemser os mesmos para todos os observadores comoveis em umtempo t- ρ(r, t) = ρ(t)- p(r, t) = p(t)

I na cosmologia newtoniana assumimos p(t) = 0:os efeitos dinamicos da pressao da materia sao muitopequenos hoje



I evolucao da densidade de materia com o tempo:devido a expansao comovel, uma certa quantidade de materia,M, que num instante t0 ocupava uma esfera de raio r0, numinstante t ocuparia uma esfera de raio r

ρ(t0) = 3M/4πr 30

ρ(t) = 3M/4πr 3

ou ρ(t) = ρ0[r0/r(t)]3

ou, em termos do fator de escala:

ρ(t) = ρ0

(R0

R

)3

= ρ0 a(t)−3



A equacao de evolucao do universo

I regra de Birkhoff: a dinamica de uma galaxia de massa m,observada a uma distancia r de um observador comovel numponto O, depende apenas da massa dentro da esfera de raio rcentrada em O:

M(r) =4

3πr 3ρ

I forca de atracao gravitacional que essa massa exerce sobre agalaxia:

F = mr = −GmM(r)

r 2= −4π

3Gmρr

ou,

r = −4πGρr

3



I Introduzindo o fator de escala

r =R(t)

R0r0 = a(t)r0

vemr = a(t)r0

e temos que

a = −4πG

3ρa

I nessa equacao nao aparece r : a dinamica da expansao,descrita pelo fator de escala a(t), e determinada apenas peladensidade de materia ρ(t)(na cosmologia relativıstica depende tambem da pressao)



Conservacao de energia e o futuro da expansao

I a gravitacao tende a desacelerar a expansao. Mas sera agravitacao suficientemente forte para interromper a expansaoe reverte-la?

I newtonianamente, o universo e gravitacionalmente ligado?



I galaxia de massa m a uma distancia r de Oenergia total dessa galaxia (que deve se conservar durante aexpansao):

E =1

2mv 2 − GMm

r= constante

I E < 0: o universo e ligado, e a expansao deve se suceder umafase de contracao

I E > 0: o universo nao e gravitacionalmente ligado e aexpansao sera perpetua

I E = 0: caso crıtico, onde a expansao diminuira sempre massem entrar numa fase de contracao



I E = 0:v 2

2=

GM

rou

H2r 2

2=

G

rρ0

4

3πr 3

ou

ρ =3H2

8πGI densidade crıtica ρc : a densidade que o universo deveria ter

para que E = 0

ρc =3H2

0

8πG= 1.88× 10−29h2g cm−3

onde h ≡ H0/(100 km/s/Mpc)

I ρ0 > ρc , entao E < 0; ρ0 < ρc , entao E > 0



I equacao de conservacao de energia:

E =1

2mv 2 − GMm

r= constante

como v = (a/a)r , M = 4πr 3ρ/3 e r = r0 a,

a2 =8πG

3ρ(t)a2 − K

onde K e uma constante



I resumo: equacoes basicas da cosmologia newtoniana:

a = −4πG

3ρa

a2 =8πG

3ρ(t)a2 − K


Cosmologia Relativıstica

I equacoes de Einstein: estabelecem uma relacao entre ageometria do espaco-tempo e a distribuicao de materia eenergia

Gµν =8πG

c4Tµν

I a geometria e caracterizada pelo tensor de Einstein, Gµν , quedepende dos coeficientes da metrica e de suas derivadas atesegunda ordem


Metrica e curvatura de superfıcies

I metrica de superfıcies bi-dimensionais

I metrica: distancia entre dois pontos vizinhos, num dadosistema de coordenadas

I por exemplo, numa superfıcie plana

ds2 = dx2 + dy 2 = dr 2 + r 2dφ2 = ...

(em coordenadas cartesianas, polares, ...)

I coordenadas (x1, x2):

ds2 =∑ij

gij(x1, x2)dxidxj

I ds2 nao depende do sistema de coordenadas: e um invariante



I coordenadas (x1, x2):

ds2 =∑ij

gij(x1, x2)dxidxj

I gij : sao as componentes do chamado “tensor metrico”, quecaracteriza a geometria e depende da curvatura

I superfıcie esferica de raio R: superfıcie de curvatura constantee positiva

I coordenadas esfericas:

ds2 = R2dθ2 + R2 sin2 θdφ2



I superfıcie esferica de raio R: superfıcie de curvatura constantee positiva

I coordenadas esfericas:

ds2 = R2dθ2 + R2 sin2 θdφ2

I sistema de coordenadas onde A = R sin θ:

ds2 =dA2

1− A2

R2

+ A2dφ2



I reescrevendo como

ds2 = R2

[dσ2

1− kσ2+ σ2dφ2

]vale para qualquer superfıcie de curvatura constante!

I k = 0: plano;I k = +1: superfıcie esfericaI k = −1 superfıcie de curvatura constante negativa

nao ”cabe” num espaco tri-dimensional, mas podemosprojeta-la sobre um plano



Figure: Superfıcies de curvatura nula, positiva e negativa.



Figure: Obra de Escher, representando a projecao de uma superfıcie de curvatura negativa constante sobre umplano.


A metrica de Robertson-Walker (MRW)

I Teoria da Relatividade Restrita: metrica de Minkowski,

ds2 = c2dt2 − (dx2 + dy 2 + dz2)

separacao entre dois eventos (pontos no espaco-tempo, ET)proximos

I TRG: distribuicao arbitraria de materia pode levar a umespaco de curvatura arbitraria

I PC: espacos de curvatura constante

I metrica de Robertson-Walker:

ds2 = c2dt2 − R(t)2

[dσ2

1− kσ2+ σ2(dθ2 + sin2 θdφ2)

]


A metrica de Robertson-Walker

I MRW:

ds2 = c2dt2 − R(t)2

[dσ2

1− kσ2+ σ2(dθ2 + sin2 θdφ2)

]I t: tempoI R(t): fator de escalaI σ, θ, φ: coordenadas comoveisI k: “sinal da curvatura” (-1, 0, +1)

I R(t) determina como a distancia entre 2 observadorescomoveis varia com o tempo

I observadores comoveis: em repouso em um sistema decoordenadas comoveis



Figure: Coordenadas comoveis.



I tempo proprio τ : ds ≡ cdτ

I observador comovel:dσ = dθ = dφ = 0 −→ ds = cdt −→ dt = dτo tempo t e o tempo proprio dos observadores comoveis

I TRG: as trajetorias das partıculas livres sao geodesicas no ET

I Geodesicas: linhas de comprimento mınimo (ou maximo)entre 2 eventos no ET

I a luz segue “geodesicas nulas”, ds2 = 0, enquanto quepartıculas com massa seguem trajetorias time-like: ds2 > 0


O desvio espectral

I desvio espectral observado no espectro das galaxias:uma medida direta da expansao do universo

I coordenadas comoveis:I observador O: na origem - (σG , θG , φG ) = (0, 0, 0)I galaxia G : (σG , θG , φG ) = (σG , 0, 0)

I t0: o observador recebe um foton que foi emitido por G notempo t

I t0 + ∆t0: o observador recebe um outro foton que foi emitidopor G no tempo t + ∆t


O desvio espectral

Figure: Linhas de mundo de fotons emitidos por uma galaxia G.


O desvio espectral

I como a luz viaja por geodesicas nulas (ds2 = 0):

cdt

R(t)=

dσ√1− kσ2

e, portanto, ∫ σG

0

dσ√1− kσ2

= c

∫ t0

t

dt

R(t)

I para o segundo foton emitido em t + ∆t e recebido emt0 + ∆t0: ∫ σG

0

dσ√1− kσ2

= c

∫ t0+∆t0

t+∆t

dt

R(t).

I logo, ∫ t0

t

dt

R(t)=

∫ t0+∆t0

t+∆t

dt

R(t)


O desvio espectral

I vamos supor que ∆t e ∆t0 sao muito menores que t e t0:

∆t

R(t)' ∆t0

R(t0)

I vamos associar a ∆t e ∆t0 o perıodo da radiacao emitida erecebida

I os comprimentos de onda correspondentes saoλe = c∆t e λ0 = c∆t0

I Entao,λ0

λe=

R(t0)

R(t)=

R0

R=

1

a(t)


O desvio espectral

I temosλ0

λe=

R(t0)

R(t)=

R0

R=

1

a(t)

I desvio espectral:

z ≡ λ0 − λe

λe

I portanto,

a(z) =R

R0=

1

1 + z


O desvio espectral

I relacao entre desvio espectral e fator de escala:

1 + z =1

a

I z depende apenas da razao entre os fatores de escala quandoa luz foi emitida e quando foi recebida e, portanto, e umamedida de quanto o universo se expandiu desde que a luz foiemitidaEx.: z = 1 −→ a = 1/2 - as escalas no universo eram metadedo que sao hoje

I universo em expansao: R(t0) > R(t) (ou a < 1) −→ z > 0 eλ0 > λe −→ a radiacao sofre redshiftHoje (a = 1): z = 0Big-Bang (a = 0): z =∞


Equacoes de Friedmann - Lemaıtre (EFL)

I as equacoes de evolucao do fator de escala que derivamos nacosmologia newtoniana sao, na forma, parecidas com a que seobtem das equacoes de campo da TRG, com a MRW

I tensor de energia-momentum: depende da distribuicao demateria e energia (ρ(t) e p(t))(note que na TRG p contribui para a energia!)

I Equacoes de Friedmann - Lemaıtre:(a

a

)2

=8πG

3ρ− Kc2

a2

a

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)


Equacoes de Friedmann - Lemaıtre

I Equacoes de Friedmann - Lemaıtre (EFL):(a

a

)2

=8πG

3ρ− Kc2

a2

a

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)K = k/R2

0

I dessas equacoes vem que:

d

dt(ρa3) = − p

c2

d

dt(a3)

EXERCICIO: MOSTRAR ISSO


A equacao de estado

I relacao entre a pressao e a densidade: p = p(ρ)

I com a relacaod

dt(ρa3) = − p

c2

d

dt(a3)

temos, por exemplo:I materia (“poeira”, p = 0): ρm ∝ a−3

I radiacao (p = ρr c2/3): ρr ∝ a−4

I vacuo: p = −ρv c2, ρv = Λ/(4πG ) (pressao negativa)I modelo simples para energia escura:

p = wρc2, com w constante

I diferentes equacoes de estado −→ diferentes modelos ecomportamentos para a(t)


A constante cosmologica

I universo onde, alem de materia e radiacao (com densidade epressao ρ e p), tem tambem a energia do vacuo (w = −1)

I ρ→ ρ+ ρv e p → p + pv

I com pv = −ρv c2,(a

a

)2

=8πG

3ρ− Kc2

a2+

Λ

3

ea

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)+

Λ

3

ondeΛ ≡ 4πGρv

e a chamada constante cosmologica

I note que, se p e ρ sao positivos, nao existe solucao estaticadas EFL sem constante cosmologica



I proposta por Einstein (1919) para se obter uma solucaoestatica (isto e, independente do tempo)

I a lei de Hubble so seria descoberta em 1929

I Einstein: “o maior erro de sua vida”

I hoje e associada a “energia do vacuo” (equacao de estadocom pressao negativa)

I vacuo: o estado de menor energia de um certo campo fısico

I e a “explicacao ” mais simples para a “energia escura”



I mas w pode depender do desvio espectral z!

I modelo simples:

w == w0 + wa[1− a(z)] = w0 + waz

1 + z,

com w0 e wa constantes

I este tipo de modelo devera ser testado nos surveys dosproximos anos


Parametros cosmologicos

I parametro de Hubble:

H(t) =a

a

I parametro de densidade:

Ω =ρ(t)

ρc(t)

onde

ρc(t) =3H2

8πG

e a densidade crıtica



I Quando se tem varias especies simultaneamente, pode-sedefinir um parametro de densidade para cada especie,Ωi = ρi (t)/ρc(t)Por exemplo, para os barions:

Ωb =ρb(t)

ρc(t)



I parametro de densidade do vacuo (ou constante cosmologica):

Ωλ =Λ

3H2

I parametro de curvatura:

Ωk ≡ −kc2

H2R2

I parametro de desaceleracao:

q = − aa

a2= − a

aH2

I todos esses parametros dependem do tempo



I valores atuais desses parametros, de acordo com a equipe doWMAP (Hinshaw et al. 2008; assumindo Ωk = 0):

I H0 =70.1 km s−1 Mpc−1

I ρc,0 = 1.88× 10−29h2g cm−3 = 9.2× 10−30g cm−3

I Ωm,0 = 0.28I Ωλ = 0.72I Ωb,0 = 0.0462


Dinamica dos universos de Friedmann

I modelos de Friedmann: dominados pela materia (ρ = ρm),com constante cosmologica e pressao nulas

I nesse caso, q = Ω/2 (EXERCICIO: MOSTRAR ISSO)I 3 solucoes possıveis:

I se q > 12 ou Ω > 1, entao k = +1

universo fechado e oscilanteI se q = 1

2 ou Ω = 1, entao k = 0universo aberto em expansao perpetua

I se q < 12 ou Ω < 1, entao k = −1

universo aberto em expansao perpetua


Dinamica dos universos de Friedmann

Figure: Evolucao do fator de escala nos modelos de Friedmann: (i) k=-1; (ii) k=0; (iii) k=+1.


O modelo de Einstein-de Sitter

I modelo cosmologico muito simples: universo “plano”, apenascom materia: k = 0, Λ = 0, p = 0 ρ = ρm = ρ0a−3

I a primeira das EFL fica:(a

a

)2

=8πG

3ρ =

8πG

3ρ0a−3

I esta equacao e facil de resolver e da

a(t) = (6πGρ0)1/3 t2/3

I logo,

ρ(t) =1

6πGt2

H(t) =2

3t

ρc(t) =3H2

8πG=

1

6πGt2= ρ(t) −→ Ω = 1

I EXERCICIO: verifique essas equacoesLaerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

As 4 eras do Universo

I O paradigma cosmologico atual sugere que o universo passoupor 4 etapas distintas:

I o Big-Bang e a inflacaoI a era da radiacaoI a era da materiaI a era da energia escura


A inflacao

I Big-Bang: t = 0 e a = 0I singularidade nas equacoesI possivelmente vai requerer uma nova fısica (do tipo gravitacao

quantica)

I inflacao :I fase muito curta, de expansao muito rapida (exponencial)I teria ocorrido logo apos o Big-Bang, talvez logo apos a quebra

espontanea de simetria da grande unificacaoI t ∼ 10−34 s (num certo cenario)


A inflacao

I dinamica do universo inflacionario:I durante um breve intervalo de tempo o universo pode

ser considerado dominado pela energia do vacuo de um campoescalar (o inflaton), agindo como uma constante cosmologica

ρ ' ρI = cte ρr

I entao,

a2 ≈ 8πG

3ρI a

2

e, portanto,a ∝ exp(HI t)

onde HI = (8πGρI/3)1/2 (parametro de Hubble) e constanteEXERCICIO: MOSTRAR ISSO


A inflacao

I o problema da ”planura” (flatness):I WMAP: o universo tem curvatura nula, Ω = 1I para se ter Ω entre 0.95 e 1.05 hoje, na epoca da

recombinacao (z ∼ 103) se deveria ter Ω entre 0.99995e 1.000005, a menos que a curvatura seja estritamente nula(k = 0)


A inflacao

I a inflacao produz um universo localmente plano

Figure: Esfera inflada por um fator 3 entre 2 imagens sucessivas


A inflacao

I o problema do horizonteI a informacao viaja no maximo a velocidade da luz:

ha uma distancia limite a que se tem acesso causal:raio do horizonte (∼ ct)

I radiacao cosmica de fundo: notavelmente uniformeI na epoca em que ela foi emitida (z ∼ 1000), o

tamanho do horizonte era muito menor que o universoobservavel hoje

I nem todo o universo observavel estava dentro de uma regiaocausalmente conexa e, portanto, nao seesperaria que os fotons da radiacao de fundo vindo de regioesdiferentes do ceu tivessem essencialmente amesma temperatura!


A inflacao

I ”solucao ”: com a inflacao o horizonte tambem cresceexponencialmente e todo o universo observavel hoje estariadentro de uma regiao causalmente conexa antes da inflacao


A inflacao

I flutuacoes primordiais de densidade:I a inflacao produz flutuacoes quanticas que sao amplificadas:

as amplitudes dessas flutuacoes sao aproximadamenteindependente da escala

I a gravidade amplifica estas flutuacoes , produzindo galaxias,aglomerados, etc.

I este cenario ajusta bem as observacoes


A era da radiacao

I logo apos o Big-Bang (e a inflacao ) o universo eextremamente quente

I sua dinamica e regida pela radiacao: p = ρc2/3

I nesse caso,ρ ∝ a−4

No expoente, 3 e devido a variacao na densidade de fotons e 1e devido a variacao da energia de cada foton

I considera-se que a radiacao esta em equilıbrio termodinamico:o espectro da radiacao e planckiano e depende apenas datemperatura T


A era da radiacao

I densidade de radiacao, em erg cm−3:

u = aT 4 = 7.566× 10−15T 4 erg cm−3 K−4

I em g cm−3:

ρ =4σSB

c3T 4 = 8.4× 10−36T 4 g cm−3 K−4

I logo, a temperatura varia com o fator de escala como:

T ∝ a−1

I fator de escala:

a2 ' 8πG

3ρa2

pois no comeco do universo, a densidade e muito grande. Daı,

a ∝ t1/2


A origem da materia

I supoe-se que a materia seja formada a partir do campo deradiacao :interconversao de partıculas

I pares de partıcula e antipartıcula de massa m estao emequilıbrio termodinamico se kT >> mc2:

p + p 2γ

I quando a temperatura cai abaixo de kT ∼ 2mc2, o par se“desacopla” do campo de radiacao : p e p se aniquilam e aspartıculas que sobrevivem constituem as relıquias


A nucleosıntese primordial e a abundancia dos barions

I abundancias tıpicas (em massa) observadas no universo hoje:H: ∼75%; He ∼25%; o resto: ∼1%

I abundancia do helio: ∼25%I estrelas: a nucleosıntese estelar so pode converter ∼5% da

massa em HeI Gamow (anos 40)- nucleosıntese primordial: nucleosıntese do

He no comeco do universo


A nucleosıntese primordial



I depois da aniquilacao sobra mais materia que anti-materia(porque?)

I p e n que sobram ficam em equilıbrio, via interacoes fracas:

p + e− n + ν

n + e+ p + ν

I a densidade relativa de p e n e dada pelo fator de Boltzmannbaseado na diferenca de massa ∆m = mn −mp:

r = nn/np = exp(−∆mc2/kT ) ' exp(−1.5× 1010K/T )



I os n livres sao instaveis (tempo de decaimento = 890 s):a razao pela qual os n existem e que estas interacoes fracasdesacoplam logo e a nucleosıntese primordial ocorre poucosminutos depois disso, de modo que a maior parte delestermina no nucleo de He e de outros elementos leves

I serie de reacoes nucleares: p e n se combinam para formarnucleos atomicos mais pesados que o do 1H

I tem o deuterio D como intermediario:

p + n D + γ

D + D 3He + n 3H + p

3H + D 4He + n



I deuterio:I pode ser formado via n + p −→ DI e fragil: facilmente destruıdo acima de ∼ 109K por

fotodissociacao : D + γ −→ n + pI mas abaixo de ∼ 109K o D pode sobreviver

I abundancia em massa do He prevista: Y ' 0.24

I alem do 4He e do D, na nucleosıntese primordial forma-se umpouco de 3He, 7Li, 7Be

I elementos mais pesados nao se formam porque nao ha nucleosestaveis com massa atomica 5 e 8

I quando t ∼ 3 min a nucleosıntese primordial termina



Figure: Sıntese dos elementos leves no universo primordial.



I parametro η: numero de barions sobre o numero de fotons

η ≡ np + nn

nγ

I densidade numerica de fotons para um corpo negro:

nγ =2ζ(3)

π2

(kB

~c

)3

T 3 ' 20.2× T 3 cm−3

ζ(x): funcao zeta de Riemann

I daı,η ' 2.74× 10−8(T/2.73K)−3Ωbh2

Ωb: parametro de densidade dos barions



I a abundancia dos elementos leves depende fundamentalmentede η:conhecendo-se η, a temperatura da radiacao cosmica de fundoe H0, pode-se determinar Ωb

η ' 2.74× 10−8(T/2.73K)−3Ωbh2

I EXERCICIO: MOSTRE ISSO.



Figure: Abundancia dos elementos leves produzidos na nucleosıntese primordial em funcao da abundancia debarions (e de η).



I dos elementos leves formados na nucleosıntese primordial,qual e o melhor bariometro?

I que isotopo e melhor para se determinar η?I a abundancia do 4He e pouco sensıvel a ηI 3He: sua formacao e destruicao em estrelas e pouco conhecidaI a abundancia do D parece ser a melhor opcao pois apresenta

forte dependencia com η, alem dele nao ser produzido emestrelas

I 7Li: apresenta um comportamento com η nao-monotonico



I Estimativas de abundancias primordiaisI deuterio

I observacoes no UV (Ly-α); espectroscopia de alta resolucaoI isotopo fragil: so e destruıdo: sua abundancia deve decrescer

com o tempoI meio interestelar local: D/H = (1.32± 0.08)× 10−5

I nuvem protosolar (4.6 Ganos atras):D/H = (2.1± 0.5)× 10−5

I linhas de absorcao em quasares (produzidos em ”nuvensLy-α”)D/H = (2.6± 0.4)× 10−5 (Kirkman et al. 2003)



Figure: Observacao de uma linha do D no espectro do quasar 1937-1009.



I lıtioI estimativas a partir do ”plateau de Spite”

(Li/H vs metalicidade): 7Li/H = (2.6± 0.4)× 10−5

(em numero; Ryan et al. 2000)

Figure: Abundancia do Li (em massa) em funcao da metalicidade (abundancia do Fe).



Figure: Observacoes de uma linha do Li em 5 estrelas do aglomerado globular NGC6397, com modelossobrepostos.



I 4HeI observacoes de regioes HIII extrapolacao de Y em funcao da metalicidadeI Yp = 0.2429± 0.0009 (Izotov & Thuan 2004)

Figure: Relacao entre a abundancia do 4He com a metalicidade de regioes HII. A abundancia do He foi

determinada a partir da intensidade das linhas λλ4471, 5876 e 6678 A do He I.



I abundancia dos barions, obtida pela determinacaodas abundancias dos elementos leves(Kneller & Steigman, 2004):

I 4He: Ωbh2 = 0.0103± 0.0025I D: Ωbh2 = 0.0221± 0.0025I 7Li : Ωbh2 = 0.0118± 0.0016

I se Ωbh2 ' 0.022 e h = 0.7, temos que Ωb ' 0.045

I note que Ωm ' 0.3, ou seja, a maior parte da materia e naobarionica!E a materia escura.


A era da materia

I depois da era radiativa segue-se a era dominada pela materiaI num universo dominado pela materia:

I p ∼ ρv 2

I v e a velocidade tıpica das galaxiasI v c −→ p ρc2 e pode ser desprezado nas EFL

I entao,ρm ∝ a−3


A epoca da recombinacao

I voltemos a era radiativa

I o universo se expande e a densidade de radiacao varia como

ρr ∝ a−4

enquanto que a de materia varia como

ρm ∝ a−3

I assim, embora a radiacao domine o comeco da evolucaodo universo, depois de um certo tempo a materia vai dominar

I “epoca da igualdade”: quando ρr = ρm

zeq ' 4.02× 104Ωm0h2T−42.73



Figure: Definicao da epoca da igualdade.



I durante a era radiativa, como o universo era muito quente, amateria era ionizada

I apos o comeco da era da materia a temperatura cai abaixo dopotencial de ionizacao do hidrogenio e torna possıvel aformacao de atomos:e a epoca da recombinacao: zrec ' 1100

I o universo, que era opaco aos fotons, fica transparente e amateria barionica fica praticamente neutra

I para z ∼ 10− 30 a “reionizacao ” ocorrera, quando asprimeiras estrelas comecarem a se formar


A era da energia escura

I observacoes de SNs tipo Ia distantes levaram a descoberta deque o universo esta se acelerando (a < 0)

I EFLa

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)para isso acontecer, e necessario ter-se pressao negativa

I essa aceleracao seria produzida por uma energia escuraI modelo simples para a equacao de estado da energia escura:

p = wρc2

onde w pode depender do tempo (e talvez da posicao)I modelo mais simples: constante cosmologica, w = −1I outras opcoes :

I energia fantasma (w < −1)I paredes de domınio (w = −2/3)I cordas cosmicas (w = −1/3)I ...


O modelo padrao: ΛCDM

I modelo “canonico”: ΛCDMum universo dominado por materia escura fria com umaconstante cosmologica

I com a equacao de Friedmann(a

a

)2

=8πG

3ρ− Kc2

a2

e facil verificar que num universo com materia, radiacao econstante cosmologica temos

Ωm + Ωr + Ωλ + Ωk = 1

EXERCICIO: MOSTRE ISSO



I seja H(z) = H0E (z)E (z) caracteriza a dependencia em redshift do parametro deHubble

I vamos reescrever o parametro de densidade de cada especie:

Ωm =ρm

ρc=

8πGρm

3H2

Como ρm = ρm0(R0/R)3 = ρm0(1 + z)3 e H = H0E (z),temos:

Ωm =8πGρm0(1 + z)3

3H20 E 2

=Ωm0(1 + z)3

E (z)2



I Analogamente,

Ωr =Ωr0(1 + z)4

E (z)2,

Ωλ =Ωλ0

E (z)2,

Ωk =Ωk0(1 + z)2

E (z)2,

de modo que fica facil ver que

E (z) = [Ωm0(1 + z)3 + Ωr0(1 + z)4 + Ωλ0 + Ωk0(1 + z)2]1/2

I observacoes do WMAP e SNIa mais as consideracoes teoricasda inflacao sugerem que o universo tem curvatura nula(k = 0, Ωk = 0) e e dominado por materia escura, Ωm0 ' 0.3,e energia escura, Ωλ0 ' 0.7

I Ωr0 e muito pequeno e a radiacao pode ser desprezada(exceto na era radiativa, claro!)



I modelo para o universo atual:k = 0, materia e constante cosmologica

a =

(Ωm0

Ωλ0

)1/3

sinh2/3

(3H0Ω

1/2λ0

2t

)

Figure: Expansao para diferentes valores de Ωm e Ωλ. De cima para baixo as curvas descrevem(Ωm,Ωλ) = (0.3, 0.7), (0.3, 0), (1, 0), (4, 0).



I o universo passou a maior parte de sua vida em expansaodesacelerada mas, mais recentemente, a constantecosmologica sobrepujou a densidade de materia, produzindouma fase de expansao acelerada

I inflexao desaceleracao - aceleracao : a = 0

aI =

(Ωm0

2Ωλ0

)1/3

I isso acontece em

tI =2

3H0Ω1/2λ0

arcsinh

[√1

2

]

I t0/tI ' 1.84; zI ' 0.7



I num universo com k = 0, a densidade da energia escura (Ωλ)domina a da materia (Ωm) para z < zc , onde

zc = (Ωλ0/Ωm0)1/3 − 1 ' 0.3


A idade do universo

I relacao entre tempo e redshift

H = H0E (z)

E (z) =[Ωm0(1 + z)3 + Ωk0(1 + z)2 + Ωλ0

]1/2

(onde desprezamos a radiacao)

I como H = a/a e a = (1 + z)−1, temos

H = − z

1 + z

ou,

dt = − dz

(1 + z)H


A idade do universo

I a idade do universo (t0) e entao dada por∫ t0

0dt =

∫ ∞0

dz

(1 + z)H

ou

t0 =1

H0

∫ ∞0

dz

(1 + z)E (z)= τH

∫ ∞0

dz

(1 + z)E (z)

onde τH e o tempo de Hubble:

τH = H−10 = 9.78 h−1 Ganos

I Einstein-de Sitter (Ωλ0 = 0, Ωm0 = 1):

t0 =2

3τH


A idade do universo

I idade do universo no redshift z :

t(z) = τH

∫ ∞z

dz ′

(1 + z ′)E (z ′)

I look-back time de um objeto no redshift z :

tl(z) = t0 − t(z) = τH

∫ z

0

dz ′

(1 + z ′)E (z ′)


A idade do universo

I universo de curvatura nula:

t(z) =2

3τHΩ

−1/2λ0 arcsinh

[(Ωλ0

Ωm0(1 + z)3

)1/2]

I no intervalo de interesse (0.1 <∼ Ωm0<∼ 1, Ωλ0

<∼ 1), a solucaoexata pode ser aproximada dentro de alguns % por(Peacock, 1999):

t0 '2

3τH (0.7Ωm0 − 0.3Ωλ0 + 0.3)−0.3

I note que o universo nao pode ser mais jovem que os objetosque contem: isso permite por limites nos valores dosparametros cosmologicos.


A idade do universo

I Turn-off da Sequencia Principal de Aglomerados Globularesrevisao: Demarque, 1997, The ages of globular star clusters-tem no Level 5

I turn-off (TO): a estrela termina de queimar H no nucleo e vaipara o ramo das gigantes no diagrama HRlimite de Schemberg-Chandrasekhar (1942): a queima do Htermina quando ∼ 10% da massa da estrela e convertida emHe

I tTO : depende principalmente da massa da estrela, mastambem de Y , Z , conveccao , rotacao ...

tTO ∝ M−2

I Maeder (XEAA): modelos com rotacao aumentam asestimativas de idade dos AG ate 25%!


A idade do universo

I Chaboyer et al. (1998): tAG = 11.5± 1.3 GanosI t0: depende da epoca de formacao dos AGs

Peacock: t0 esta entre 12 e 16 Ganos

Figure: Isocronas superpostas ao diagrama cor-magnitude do aglomerado globular M15.


A idade do universo

Figure: Estimativas de idade do universo e dos objetos mais velhos da galaxia (Lineweaver, 1999, Sci. 284,1503; tem no Level 5).


A idade do universo

Figure: Idade do universo e lookback time (em unidades do tempo de Hubble) em funcao do redshift paravarios modelos cosmologicos (Ωm0,Ωλ0). Linha solida: (1,0); pontilhada: (0.05,0); tracejada: (0.2,0.8).


Distancias

I Hogg (1999): Distance Measures in Cosmology,astro-ph/9905116

I o conceito de distancia nao e unico em um espaco-tempodinamico

I medidas de distancia relacionam 2 eventos em geodesicasseparadas que estao em um mesmo cone de luz; podem sercaracterizados pelos tempos te e t0 de emissao e observacao,ou pelo fator de escala nesses tempos, R(te) e R(t0), ou pelosredshifts correspondentes, ze e z0


Distancia propria e comovel

I distancia propria entre dois eventos ao longo de umageodesica, Dp

I note que nao se mede Dp!

I elemento de distancia propria: dDp = cdt

I como dt = −dz/[(1 + z)H], e facil verificar quedDp = DHdz/[(1 + z)E (z)], onde

DH =c

H0' 3000 h−1 Mpc

e a distancia de Hubble



I distancia propria entre dois eventos em z1 e z2:

Dp = DH

∫ z2

z1

dz ′

(1 + z ′)E (z ′)

toda a cosmologia esta embutida em E (z)

I distancia comovel Dc

dDp = (R/R0) dDc

I distancia comovel entre z1 e z2:

Dc = DH

∫ z2

z1

dz ′

E (z ′)



I como a luz viaja por geodesicas nulas (ds2 = 0),

cdt

R=

dDc

R0=

dσ√1− kσ2

.

I entao, distancia comovel entre um observador na origem eoutro na coordenada radial σ:

Dc = R0

∫ σ

0

dσ√1− kσ2

= R0S(σ)

I assim, para os varios sinais da curvatura temos:I k = +1: Dc = R0 arcsin σI k = 0: Dc = R0 σI k = −1: Dc = R0 arcsinh σ



I note que nao se pode medir diretamente nem as distanciasproprias nem as distancias comoveis

I entre as distancias que se medem, as mais importantes sao asde luminosidade e de diametro



Figure: Distancia comovel entre O e G, Dc , sobre um cırculo.


Distancia de luminosidade

I Dl : medida por metodos baseados na luminosidade aparente

I classicamente, fluxo, luminosidade e distancia estaorelacionados como

f =L

4πD2

I elemento de area (hoje) na metrica de RW:

dA = R20σ

2 sin θdθdφ = R20σ

2dΩ

I area de uma esfera de “raio” σ hoje e

A = 4πR20σ

2



I L(ν, t)dν: energia emitida por uma galaxia G por segundocom frequencia ν entre ν e ν + dν no instante t

I esses fotons sao recebidos com energia menor, devido aoredshift:

hν0 =hν

1 + z

I alem disso, essa energia e recebida em um intervalo de tempomaior:

∆t0 = (1 + z)∆t

I energia recebida por cm2 por s (fluxo) no intervalo[ν0, ν0 + dν0]:

f (ν0, t0)dν0 =L(ν, t)dν

4πR20σ

2(1 + z)2=

L(ν, t)dν

4πD2l



f (ν0, t0)dν0 =L(ν, t)dν

4πR20σ

2(1 + z)2=

L(ν, t)dν

4πD2l

ondeDl = R0σ(1 + z)

Dl e denominada distancia de luminosidade



Figure: Distancia de luminosidade normalizada em funcao do redshift para tres modelos de mundo:(Ωm,Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.


Distancia de diametro

I distancia de diametro (DA; “A” de aperture): obtida pelosmetodos baseados no tamanho aparente

I sendo ∆θ o tamanho aparente de um corpo de diametro D, adistancia de diametro DA e tal que

∆θ =D

DA

I diametro proprio:D = Rσ∆θ

I como 1 + z = R0/R, temos

DA =R0σ

1 + z=

Dl

(1 + z)2



I em estudos de lentes aparece a distancia de diametro entre oredshift z1 e z2 (z1 < z2), que e dada por:

DA(z1, z2) = R2σ12 =R0σ12

1 + z2

onde σ12 e a distancia de coordenadas entre z1 e z2



I em um universo dominado apenas por materia, vale a relacaode Mattig (1959):

DA(z) =2c

H0Ω2m0(1 + z)2

[Ωm0z + (Ωm0− 2)(√

1 + Ωm0z − 1)]



Figure: Distancia de diametro normalizada em funcao do redshift para tres modelos de mundo:(Ωm,Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.


Calculo das distancias

I ”distancia comovel transversal”: DM ≡ R0σentao, Dl = (1 + z)DM e DA = DM/(1 + z)

I logo, se conhecermos DM(z) podemos calcular Dl(z) e DA(z)

I distancia comovel de um objeto no redshift z :

Dc = DH

∫ z

0

dz ′

E (z ′)= R0S(σ)

entao, seI k = +1: DM = R0 sin(Dc/R0)I k = 0: DM = Dc

I k = −1: DM = R0 sinh(Dc/R0)


Calculo das distancias

I Ωk0 = −kc2/(H20 R2

0 ), de modo que, se k for diferente de zero,

R0 = DH/√|Ωk0|

I juntando tudo, temos:

I k = +1: DM = DH/√|Ωk0| sin

(√|Ωk0|Dc/DH

)I k = 0: DM = Dc

I k = −1: DM = DH/√|Ωk0| sinh

(√|Ωk0|Dc/DH

)onde Dc/DH =

∫ z0 dz ′/E (z ′)


Volumes

I espaco euclidiano: o elemento de volume e dV = r 2dΩdr

I espacos curvos, com a MRW,

dV =R2σ2dΩRdσ√

1− kσ2

I substituindo Rdσ/√

1− kσ2 por cdt = −cdz/[(1 + z)H], oelemento de volume fica:

dV =DHD2

AdΩdz

(1 + z)E (z)

I elemento de volume comovel:

dVc = (1 + z)3dV


Volumes

I contagem de objetos: qual e o numero de objetos dentro dedΩ e dz?

dN = n(z)dV

onde n(z) e a densidade de objetos no redshift z


Volumes

Figure: Elemento de volume comovel normalizado,(1/dH )3(dVc/dz), em funcao do redshift para tres modelosde mundo: (Ωm,Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.


Exercıcios

1. Mostre que, com a constante cosmologica, e possıvel obter-se umasolucao estatica para o universo: o “universo de Einstein”. ComoΛ se relaciona com ρ? Em termos de curvatura, que tipo deuniverso e esse? Qual e seu “raio”?

2. Um quasar em z = 1 varia com uma escala de tempo observada de1 ano. Qual e a escala de tempo de variabilidade no referencial doquasar? Esse resultado depende do modelo cosmologico?

3. Suponha que k = 0 e Λ = 0. Calcule H(t) para um universodominado apenas por radiacao e apenas por materia.

4. Suponha que a densidade de energia e a pressao estao relacionadascomo p = wρc2, com w constante. Mostre que ρ ∝ R−3(1+w).


Exercıcios

5. Mostre que, se k = 0 e p = wρc2, com w constante, entao

R ∝ t2

3(1+w) .

6. Mostre que η ' 2.74× 10−8(T/2.73K)−3Ωbh2.

7. Suponha que o modelo de Einstein-de Sitter esteja correto e que osaglomerados globulares tenham pelo menos 12 Ganos. O que vocediria sobre H0?

8. Calcule tl e t(z) para o modelo de Einstein-de Sitter. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessas quantidades emz = 1 e z = 15.


Exercıcios

9. Mostre que

t(z) =2

3τHΩ

−1/2λ0 arcsinh

[(Ωλ0

Ωm0(1 + z)3

)1/2]

e a idade do universo num redshift z para um universo decurvatura nula com materia e constante cosmologica. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessa quantidade emz = 1 e z = 15. Compare com Einstein-de Sitter.

10. Friaca, Alcaniz & Lima (2005) estudaram o quasarAPM08279+5255, em z = 3.91. A razao de abundancia Fe/Oobservada e 3.3 em unidades solares. Usando um modelo deevolucao quımio-dinamico do quasar, concluem que sua idade etq =2.1 Ganos. Discuta as implicacoes disso para a constante deHubble, supondo um universo plano com Ωm0 = 0.3 e Ωλ0 = 0.7.

11. Mostre que num universo de Einstein-de Sitter, o diametroaparente em funcao do redshift tem um mınimo. Determine oredshift onde isso ocorre.


Exercıcios

12. Use Einstein-de Sitter para estimar a quanto corresponde, emminutos de arco, um diametro de 1Mpc em z igual a 0.5, 1., 1.5 e2.

13. Faca um programa para reproduzir as figuras que mostram asidades, e as distancias de luminosidade e diametro em funcao doredshift.

14. Use o site icosmo (www.icosmo.org) para estudar um modelo ondea energia escura pode ser descrita como

w = w0 + wa(1− a)

Suponha que w0 = −1 e wa = ±0.1. Que variacao isso produz nasdistancias de diametro e luminosidade em z = 0.8 em relacao aomodelo ΛCDM convencional ( w0 = −1 e wa = 0)?


Referencias

Hinshaw, G. et al., 2008, arXiv:0803.0732Hogg, D.W., 1999, astro-ph/9905116Kneller, J.P., Steigman, G., 2004, astro-ph/0406320Peacock, J.A., 1999, Cosmological Physics, CUPSteigman, G., 2007, arXiv:0712.1100

um site muito util e o Level 5:A Knowledgebase for Extragalactic Astronomy and Cosmologyhttp://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/


Cosmologia B asica - USPlaerte/aga5751/aula-cosmologia.pdfO modelo de trabalho atual: CDM I o...

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