Cosmologia Básica: 5 - idades e distâncias
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Cosmologia Basica:5 - idades e distancias
Laerte Sodre Jr.
August 30, 2011
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O modelo padrao: ΛCDM
I modelo “canonico”: ΛCDM
I uma das equacoes de Friedmann(a
a
)2
=8πG
3ρ− Kc2
a2
I universo com materia, radiacao e constante cosmologica:
ρ = ρm + ρr + ρλ
com ρm = ρb + ρDM
I nesse caso,Ωm + Ωr + Ωλ + Ωk = 1
(estamos desprezando, por exemplo, os neutrinos)
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O modelo padrao: ΛCDM
I vamos escrever H(z) como
H(z) = H0E (z)
E (z) caracteriza a dependencia em redshift do parametro deHubble
I e facil verificar que
E (z) =8πG
3H20
ρ− Kc2
a2H20
I vamos supor queρ = ρm + ρr + ρλ
I vamos reescrever o parametro de densidade de cada especie:
Ωx =ρx
ρc=
8πGρx
3H(z)2
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O modelo padrao: ΛCDM
I parametro de densidade de cada especie:
Ωm(z) =ρm(z)
ρc=
8πGρm
3H(z)2
Como ρm = ρm0(R0/R)3 = ρm0(1 + z)3 e H = H0E (z)(onde 0 indica valores hoje, em t = t0), temos:
Ωm(z) =8πGρm0(1 + z)3
3H20 E 2
=Ωm0(1 + z)3
E (z)2
I Analogamente,
Ωr (z) =Ωr0(1 + z)4
E (z)2,
Ωλ(z) =Ωλ0
E (z)2,
Ωk(z) =Ωk0(1 + z)2
E (z)2,
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O modelo padrao: ΛCDM
I parametros de densidade:
Ωm(z) =Ωm0(1 + z)3
E (z)2
Ωr (z) =Ωr0(1 + z)4
E (z)2
Ωλ(z) =Ωλ0
E (z)2
Ωk(z) =Ωk0(1 + z)2
E (z)2
I como Ωm + Ωr + Ωλ + Ωk = 1, fica facil ver que
E (z) = [Ωm0(1 + z)3 + Ωr0(1 + z)4 + Ωλ0 + Ωk0(1 + z)2]1/2
(Ωr0 e muito pequeno e a radiacao pode ser desprezada,exceto na era radiativa, claro!)
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O modelo padrao: ΛCDM
I universo atual: k = 0, ρ ' ρm + ρλesse modelo tem solucao analıtica:
a(t) =
(Ωm0
Ωλ0
)1/3
sinh2/3
(3H0Ω
1/2λ0
2t
)
Figure: Expansao para diferentes valores de Ωm e Ωλ. De cima para baixo as curvas descrevem(Ωm, Ωλ) = (0.3, 0.7), (0.3, 0), (1, 0), (4, 0).
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O modelo padrao: ΛCDM
nesse modelo:
I inflexao desaceleracao - aceleracao : a = 0
aI =
(Ωm0
2Ωλ0
)1/3
I isso acontece em
tI =2
3H0Ω1/2λ0
arcsinh
[√1
2
]
I t0/tI ' 1.84; zI ' 0.7
I a densidade da energia escura domina a da materia paraz < zc , onde
zc = (Ωλ0/Ωm0)1/3 − 1 ' 0.3
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A idade do universo
I vamos determinar a relacao entre tempo e redshiftI como H = H0E (z) = a/a e a = (1 + z)−1, temos
H(z) = − z
1 + zou,
dt = − dz
(1 + z)H(z)∫ t0
0dt =
∫ ∞0
dz
(1 + z)H(z)ou
t0 =1
H0
∫ ∞0
dz
(1 + z)E (z)= τH
∫ ∞0
dz
(1 + z)E (z)
onde τH e o tempo de Hubble:
τH = H−10 = 9.78 h−1 Ganos
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A idade do universo
I idade do universo (t0):
t0 = τH
∫ ∞0
dz
(1 + z)E (z)
onde
E (z) =[Ωm0(1 + z)3 + Ωk0(1 + z)2 + Ωλ0 + ...
]1/2
I modelo de Einstein-de Sitter (Ωλ0 = 0, Ωm0 = 1):
t0 =2
3τH
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A idade do universo
I idade do universo no redshift z :
t(z) = τH
∫ ∞z
dz ′
(1 + z ′)E (z ′)
I look-back time de um objeto no redshift z :
tl(z) = t0 − t(z) = τH
∫ z
0
dz ′
(1 + z ′)E (z ′)
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A idade do universo
I universo de curvatura nula com materia e constantecosmologica:
t(z) =2
3τHΩ
−1/2λ0 arcsinh
[(Ωλ0
Ωm0(1 + z)3
)1/2]
I no intervalo de interesse (0.1 <∼ Ωm0<∼ 1, Ωλ0
<∼ 1), a solucaoexata pode ser aproximada dentro de alguns % por(Peacock, 1999):
t0 '2
3τH (0.7Ωm0 − 0.3Ωλ0 + 0.3)−0.3
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A idade do universo
I idade de aglomerados globulares:
Figure: Aglomerado globular M15.
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A idade do universo
I idade de aglomerados globulares:I Demarque, 1997, The ages of globular star clustersI turn-off (TO) da Sequencia Principal
Figure: Isocronas superpostas ao diagrama cor-magnitude do aglomerado globular M15.
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A idade do universo
I idade de aglomerados globulares:I Demarque, 1997, The ages of globular star clustersI turn-off (TO): a estrela termina de queimar H no nucleo e vai
para o ramo das gigantes no diagrama HRlimite de Schemberg-Chandrasekhar (1942): a queima do Htermina quando ∼ 10% da massa da estrela e convertida emHe
I tTO : depende principalmente da massa da estrela:
tTO ∝ M−2
I mas tambem de Y , Z , conveccao , rotacao ...Maeder (XEAA): modelos com rotacao aumentam asestimativas de idade dos AG ate 25%!
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A idade do universo
I Chaboyer et al. (1998): tAG = 11.5± 1.3 GanosI t0: depende da epoca de formacao dos AGs
Peacock: t0 esta entre 12 e 16 Ganos
Figure: Isocronas superpostas ao diagrama cor-magnitude do aglomerado globular M15.
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A idade do universo
note que o universo nao pode ser mais jovem que os objetos quecontem: isso permite por limites nos valores dos parametroscosmologicos.
Figure: Estimativas de idade do universo e dos objetos mais velhos da galaxia (Lineweaver, 1999, Sci. 284,1503; tem no Level 5).
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A idade do universo
Figure: Idade do universo e lookback time (em unidades do tempo de Hubble) em funcao do redshift paravarios modelos cosmologicos (Ωm0, Ωλ0). Linha solida: (1,0); pontilhada: (0.05,0); tracejada: (0.2,0.8).
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Distancias
I Hogg (1999): Distance Measures in Cosmology,astro-ph/9905116
I o conceito de distancia nao e unico em um espaco-tempodinamico
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Distancias
I medidas de distancia relacionam 2 eventos em geodesicasseparadas que estao em um mesmo cone de luz
I os eventos podem ser caracterizados pelos tempos te e t0 deemissao e observacao, ou pelo fator de escala nesses tempos,R(te) e R(t0), ou pelos redshifts correspondentes, ze e z0
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Distancia propria e comovel
I distancia propria entre dois eventos ao longo de umageodesica, Dp
I metrica de Robertson-Walker:
ds2 = c2dt2 − R(t)2
[dσ2
1− kσ2+ σ2(dθ2 + sin2 θdφ2)
]I como a luz viaja por geodesicas nulas (ds2 = 0) e
considerando apenas deslocamentos radiais (dθ = dφ = 0),para a luz
cdt = R(t)dσ√
1− kσ2
I elemento de distancia propria: dDp = cdt
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Distancia propria e comovel
I distancia propria entre dois eventos ao longo de umageodesica, Dp
I elemento de distancia propria: dDp = cdt
I como dt = −dz/[(1 + z)H], e facil verificar que
dDp =DHdz
[(1 + z)E (z)],
ondeDH =
c
H0' 3000 h−1 Mpc
e a distancia de Hubble
I note que nao se mede Dp!
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Distancia propria e comovel
I distancia propria entre dois eventos em z1 e z2:
Dp = DH
∫ z2
z1
dz ′
(1 + z ′)E (z ′)
I distancia comovel Dc
dDc = (R0/R) dDp = (1 + z) dDp
I distancia comovel entre z1 e z2:
Dc = DH
∫ z2
z1
dz ′
E (z ′)
I note que toda a cosmologia esta embutida em E (z)
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Distancia propria e comovel
I metrica de Robertson-Walker:
ds2 = c2dt2 − R(t)2
[dσ2
1− kσ2+ σ2(dθ2 + sin2 θdφ2)
]I como a luz viaja por geodesicas nulas (ds2 = 0 e fazendo
dθ = dφ = 0),
cdt
R=
dDc
R0=
dσ√1− kσ2
.
I entao, distancia comovel entre um observador na origem eoutro na coordenada radial σ:
Dc = R0
∫ σ
0
dσ√1− kσ2
= R0S(σ)
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Distancia propria e comovel
I distancia comovel entre um observador na origem e outro nacoordenada radial σ:
Dc = R0
∫ σ
0
dσ√1− kσ2
= R0S(σ)
I para os varios sinais da curvatura temos:I k = +1: Dc = R0 arcsin σI k = 0: Dc = R0 σI k = −1: Dc = R0 arcsinh σ
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Distancia propria e comovel
I note que nao se pode medir diretamente nem as distanciasproprias nem as distancias comoveis
I entre as distancias que se medem, as mais importantes sao asde luminosidade e de diametro
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Distancia propria e comovel
Figure: Distancia comovel entre O e G, Dc , sobre um cırculo.
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Distancia de luminosidade
I Dl : medida por metodos baseados na luminosidade aparente
I classicamente, fluxo, luminosidade e distancia estaorelacionados como
f =L
4πD2
I elemento de area (hoje) na metrica de RW:
dA = R20σ
2 sin θdθdφ = R20σ
2dΩ
I area de uma esfera de “raio” comovel σ hoje e
A = 4πR20σ
2
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Distancia de luminosidade
I L(ν, t)dν: energia emitida por uma galaxia G por segundocom frequencia ν entre ν e ν + dν no instante t
I esses fotons sao recebidos com energia menor, devido aoredshift:
hν0 =hν
1 + z
I alem disso, essa energia e recebida em um intervalo de tempomaior:
∆t0 = (1 + z)∆t
I fluxo observado: energia recebida por cm2 por s no intervalo[ν0, ν0 + dν0]:
f (ν0, t0)dν0 =L(ν, t)dν
4πR20σ
2(1 + z)2=
L(ν, t)dν
4πD2l
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Distancia de luminosidade
f (ν0, t0)dν0 =L(ν, t)dν
4πR20σ
2(1 + z)2=
L(ν, t)dν
4πD2l
ondeDl = R0σ(1 + z)
Dl e denominada distancia de luminosidade
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Distancia de luminosidade
Figure: Distancia de luminosidade normalizada em funcao do redshift para tres modelos de mundo:(Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.
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Distancia de diametro
I distancia de diametro (DA; “A” de aperture): obtida pelosmetodos baseados no tamanho aparente
I sendo ∆θ o tamanho aparente de um corpo de diametro D, adistancia de diametro DA e tal que
∆θ =D
DA
I diametro proprio:D = Rσ∆θ
I como 1 + z = R0/R, temos
DA =R0σ
1 + z
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Distancias de diametro e de luminosidade
I distancia de diametro:
DA =R0σ
1 + z
I distancia de luminosidade:
Dl = R0σ(1 + z)
I entao,
DA =Dl
(1 + z)2
note que essa relacao nao depende do modelo cosmologico
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Distancia de diametro
I em estudos de lentes aparece a distancia de diametro entre oredshift z1 e z2 (z1 < z2), que e dada por:
DA(z1, z2) = R2σ12 =R0σ12
1 + z2
onde σ12 e a distancia de coordenadas entre z1 e z2
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Distancia de diametro
Figure: Distancia de diametro normalizada em funcao do redshift para tres modelos de mundo:(Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.
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Calculo das distancias
I vamos definir a ”distancia comovel transversal” como:
DM ≡ R0σ
I entao, Dl = (1 + z)DM e DA = DM/(1 + z)
I logo, se conhecermos DM(z) podemos calcular Dl(z) e DA(z)
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Calculo das distancias
I ”distancia comovel transversal”: DM ≡ R0σ
I comoI k = +1: Dc = R0 arcsin σI k = 0: Dc = R0 σI k = −1: Dc = R0 arcsinh σ
entao,I k = +1: DM = R0 sin(Dc/R0)I k = 0: DM = Dc
I k = −1: DM = R0 sinh(Dc/R0)
onde
Dc = DH
∫ z
0
dz ′
E (z ′)
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Calculo das distancias
explicitando a curvatura:
I Ωk0 = −kc2/(H20 R2
0 ), de modo que, se k for diferente de zero,
R0 = DH/√|Ωk0|
I juntando tudo, temos:
I k = +1: DM = DH/√|Ωk0| sin
(√|Ωk0|Dc/DH
)I k = 0: DM = Dc
I k = −1: DM = DH/√|Ωk0| sinh
(√|Ωk0|Dc/DH
)onde Dc/DH =
∫ z0 dz ′/E (z ′)
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Volumes
I espaco euclidiano: o elemento de volume e dV = r 2dΩdr
I espacos curvos, com a MRW,
dV =R2σ2dΩRdσ√
1− kσ2
I substituindo Rdσ/√
1− kσ2 por cdt = −cdz/[(1 + z)H], oelemento de volume fica:
dV =DHD2
AdΩdz
(1 + z)E (z)
I elemento de volume comovel:
dVc = (1 + z)3dV
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Volumes
I contagem de objetos: numero de objetos dentro de dΩ e dz :
dN = n(z)dV =n(z)DHD2
AdΩdz
(1 + z)E (z)
onde n(z) e a densidade de objetos no redshift z
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Volumes
Figure: Elemento de volume comovel normalizado,(1/dH )3(dVc/dz), em funcao do redshift para tres modelosde mundo: (Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.
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Exercıcios
1. Suponha que o modelo de Einstein-de Sitter esteja correto e que osaglomerados globulares tenham pelo menos 12 Ganos. O que vocediria sobre H0?
2. Calcule tl e t(z) para o modelo de Einstein-de Sitter. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessas quantidades emz = 1 e z = 15.
3. Mostre que
t(z) =2
3τHΩ
−1/2λ0 arcsinh
[(Ωλ0
Ωm0(1 + z)3
)1/2]
e a idade do universo num redshift z para um universo decurvatura nula com materia e constante cosmologica. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessa quantidade emz = 1 e z = 15. Compare com Einstein-de Sitter.
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Exercıcios
4. Friaca, Alcaniz & Lima (2005) estudaram o quasarAPM08279+5255, em z = 3.91. A razao de abundancia Fe/Oobservada e 3.3 em unidades solares. Usando um modelo deevolucao quımio-dinamico do quasar, concluem que sua idade etq =2.1 Ganos. Discuta as implicacoes disso para a constante deHubble, supondo um universo plano com Ωm0 = 0.3 e Ωλ0 = 0.7.
5. Mostre que num universo de Einstein-de Sitter, o diametroaparente em funcao do redshift tem um mınimo. Determine oredshift onde isso ocorre.
6. Use Einstein-de Sitter para estimar a quanto corresponde, emminutos de arco, um diametro de 1Mpc em z igual a 0.5, 1., 1.5 e2.
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Exercıcios
7. Use o site icosmo (www.icosmo.org) para estudar um modelo ondea energia escura pode ser descrita como
w = w0 + wa(1− a)
Suponha que w0 = −1 e wa = ±0.1. Que variacao isso produz nasdistancias de diametro e luminosidade em z = 0.8 em relacao aomodelo ΛCDM convencional ( w0 = −1 e wa = 0)?
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