COURANT, Richard - Calculo Diferencial e Integral, Volume 1 - 1ª Edição - Pt-Br

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Vol. I

R. COURANT Professor cie Matemática da Universidade de New Y o r k

C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

I V O L U M E

• Tradução de

A L B E R T O N U N E S SERRÃO

Engenheiro C i v i l

Docente íivre da cadeira de Cálculo Infinitesimal, Geometria A n a lítica e Noções de Nomografia da Escola Nacional de Engenharia

Professor de Matemática do Colégio Pedro I I

E

R U Y HONÓRIO B A C E L A R

Engenheiro C i v i l

l . a EDIÇÃO

3.a impressão

E D I T O R A G L O B O

Rio de Janeiro - Porto Alegre - São Paulo

Título da original alemão; Vorlesoungen über Differential - und Integralrechnung

Título da edição ena língua inglesa que serviu de base à tradução brasileira:

Differencial and Integral Calculus

!•* EDIÇJLO

1. * impressão — a b r i l de 1 9 5 1

2. a " — a b r i l de 195S 8 0 0 2 5

>| í - 0001804 1963

DIREITOS EXCLUSIVOS DE EDIÇÃO, BM IilNGUA PORTUGUESA, DA EDITORA GVOBõ S- A. PÔBTO AL TC G RE BIO GBAKDE DO SUIi

DST ADOS UNIDOS Do

PREFÁCIO D A EDIÇÃO I N G L E S A

Quando colegas americanos insistiram comigo para que publicasse u m aedição inglesa das minhas lições de cálculo diferencial e integral, hesitei a princípio. Veri f iquei que, devido às diferenças entre os métodos de ensino do Cálculo n a Alemanha, Inglaterra e América, uma simples tradução estava fora de cogitação, e que seriam precisas alterações fundamentais a f i m de atender às necessidades dos estudantes de idioma inglês.

M i n h a s dúvidas, contudo, foram resolvidas quando encontrei o competente colega, professor E . J . McShane , da Universidade da Virgínia, que estava à altura não só de fazer a tradução, mas também — após entendimento pessoal que com ele mantive — de efetuar as alterações e melhoramentos necessários para a edição inglesa.

A fora muitas questões de minúcias, as principais alterações foram as seguintes: (1) a edição inglesa contêm u m grande número de exemplos classificados; (2) a divisão da matéria dos dois volumes difere algo da que se encontra no original alemão. Além da exposição detalhada da teoria das funções de u m a variável, o presente volume apresenta (no capítulo X ) u m bosquejo da diferenciação c integração das funções de diversas variáveis. 0 segundo volume t rata inteiramente das funções de diversas variáveis independentes e inc lui elementos de cálculo vectorial . Há, também, discussão mais sistemática das equações diferenciais e um apêndice sobre os fundamentos d a teoria dos números reais.

O primeiro volume contêm a matéria para u m curso de cálculo elementar, enquanto o segundo ê mais avançado. N o primeiro volume, entretanto, há muitos assuntos que podem ser omitidos n u m curso in ic ia l . Estas seções, destinadas, aos estudantes que desejam penetrar mais profundamente' na teoria, foram reunidas nos apêndices dos d i versos capítulos, de modo que o principiante poderá estudar a matér i a , omitindo ou deixando para mais tarde, sem inconveniente algum, a leitura destes apêndices.

ix

X PREFÁCIO D A EDIÇÃO I N G L E S A

A publicação deste livro em inglês somente foi possível graças à generosidade do editor alemão Julius Springer, de Ber l im, a quem desejo exprimir os meus mais cordiais agradecimentos. Igualmente agradeço a Blackie and Son, L t d . , que, a despeito das dificuldades atuais, empreenderam a publicação desta edição. Aos componentes da sua administração técnica, pelo excelente trabalho seu, e aos editores de matemática, especialmente a Miss W . M . Deans, que l ivrou o Prof. McShane e a mim mesmo de grande parte da responsabilidade da preparação dos manuscritos para impressão e que fez a revisão das provas, a minha gratidão. Sou, igualmente, grato a muitos amigos e colegas, principalmente ao Professor McClenon , do Grinnel College, de Iowa, a cujo encorajamento se deve esta edição; a M i s s Margaret Kennedy, do Newnham College de Cambridge, e ao D r . Fr i tz J o h n , que cooperaram com os editores n a revisão das provas.

R . C O X J E A N T . CAMBRIDGE, INGLATERRA.

Junho de 1934.

P R E F Á C I O D A S E G U N D A E D I Ç Ã O I N G L E S A

Esta segunda edição difere da primeira, principalmente, pela melhor escolha e disposição dos exemplos, pelo acréscimo de muitos exercícios novos no f im do l ivro, e pela inclusão de matéria suplementar sobre equações diferenciais.

R . C O U R A N T . N E W R O C H E L L E , N . Y .

Junho de 1937.

Í N D I C E

Página OBSERVAÇÕES INICIAIS 1

CAPÍTULO I

I N T R O D U Ç Ã O

1. A c o n t i n u i d a d e dos números 5 2. Conce i t o de função 14 3. E s t u d o mais pormenorizado das funções elementares 22 4. Funções de variáveis inteiras . Seqüências de números 27 5. Conce i t o de l i m i t e de u m a seqüência 29 6. Discussão u l ter ior do conceito de l i m i t e 38 7. Conce i to de l i m i t e quando a variável é contínua 46 8. Conce i t o de cont inuidade 0 49

A P Ê N D I C E I

Observações pre l iminares 56 1. Princípio do ponto de acumulação e suas aplicações 58 2. Teoremas sobre as funções contínuas 63 3. Observações sobre as funções elementares 68

A P Ê N D I C E I I

1. Coordenadas polares 71 2. Observações sobre os números complexos 73

C A P Í T U L O I I

I D É I A S F U N D A M E N T A I S S O B R E 0 C Á L C U L O I N T E G R A L E D I F E R E N C I A L

1. In tegra l def inida 76 2. E x e m p l o s . 82 3. D e r i v a d a 88

AÜ Í N D I C E Página

4. Integral indefinida, função pr imi t i va e teoremas fundamentais do cálculo diferencial e integral 109

5. Métodos simples de integração gráfica 119 6. Observações sobre as relações existentes entre integral e derivada . . . 121 7. Avaliação de integrais e teorema do valor médio do cálculo integral . . 126

A P Ê N D I C E

1. Existência da integral definida de uma função contínua . . . 7 . 131 2. Relação entre os teoremas do valor médio do cálculo diferencial e do

cálculo integral 134

C A P Í T U L O IIJ

DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO D A S FUNÇÕES E L E M E N T A R E S

1. Regras simples para derivação e suas aplicações 136 2. Fórmulas correspondentes de integração . . . . . . . . . . 141 -3. Funções inversas e suas derivadas 114 4. Derivação de uma função de função 153 5. Máximos e mínimos 158 -6. Funções exponencial e logarítmica 167 7. Aplicações da função exponencial 178 8. Funções hiperbólicas 183 9. Ordem de grandeza das funções 189

APÊNDICE

1. Algumas funções especiais 196 2. Observações sobre a derivabilidade das funções 199 3. Algumas fórmulas especiais 201

C A P Í T U L O I V

D E S E N V O L V I M E N T O C O M P L E M E N T A R D O CÁLCULO I N T E G R A L

1. Integrais elementares 205 2. Método de substituição 207 3. Exemplos do método de substituição 214 4. Integração por partes 218 5. Integração de funções racionais . 226 6. Integração de outras classes de funções 234 7. Observações sobre as funções não integráveis pelas funções elementares 242 8. Extensão do conceito de integral. Integrais imprópria? . . . . . . 245

Í N D I C E j£iii-

APÊNDICE Página

Segundo teorema do valor médio do cálculo integral . . . . . . 256

C A P Í T U L O V

APLICAÇÕES

1. Representação das curvas 258 2. Aplicações à teoria das curvas planas 267 3. Exemplos 287 4. Problemas simples sobre a mecânica das partículas . . . . . . 292 5. Outras aplicações. Partículas deslizando ao longo de uma curva . . . 299 6. Trabalho 304

APÊNDICE

1. Propriedades da evoluía 307 2. Areas limitadas por curvas fechadas 311

C A P Í T U L O V I

T E O R E M A D E T A Y L O R E REPRESENTAÇÃO A P R O X I M A D A D A S FUNÇÕES P O R M E I O D E POLINÓMIOS

1. Logaritmo e função inversa da tangente 315 2. Teorema de Taylor 320 3. Aplicações. Desenvolvimento das funções elementares . . . . . . . 326 4. Aplicações geométricas 331

APÊNDICE

1. Exemplo de funções que não admitem desenvolvimento segundo a série de Taylor 336

2. Demonstração de que o número e é irracional 336 3. Demonstração da convergência da série binomial . . . . . . . . 337 4. Zeros e infinitos das funções. Símbolos indeterminados 338

C A P Í T U L O V I I

MÉTODOS NUMÉRICOS

Observações preliminares 342 1. Integração numérica 342 2. Aplicações dos teoremas do valor médio e de Taylor . Cálculo dos erros 349 3. Resolução numérica de equações 355

xiv Í N D I C E

A P Ê N D I C E Página

Fórmula de S t i r l ing 361

C A P Í T U L O V I I I

SÉRIES I N F I N I T A S E O U T R O S P R O C E S S O S - L I M I T E S

Observações p r e l i m i n a r e s . . . . . . . 365 1. Conceitos de convergência e de divergência 366 2. Critérios de convergência e de divergência 377 3. Seqüências e séries de funções 383 4. Convergência uniforme e convergência não uniformo . . . . . . . 386 5. Séries de potências . . 398 6. Desenvolvimento de certas funções em séries de potências. Método dos

coeficientes indeterminados. Exemplos 404 7. Séries de potências com termos complexos 410

A P Ê N D I C E

1. Multiplicação e divisão de séries 415 2. Séries infinitas e integrais impróprias 417 3. Produtos infinitos 419 4. Séries implicando os números de Bernou i l l ' 422

C A P Í T U L O [ X

S É R I E S D E F O U R I E R

1. Funções periódicas 425 2. Emprego d a notação complexa 433 3. Séries de Four ier 437 4. Exemplos sobre séries de F o u r i e r 440 5. Convergência das séries de F o u r i e r 447

A P Ê N D I C E

Integração de séries de F o u r i e r 455

C A P Í T U L O X

ESBOÇO D A T E O R I A D A S F U N Ç Õ E S D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S

1. Conceito de função no caso de diversas variáveis . . . . . . . . 458 2- Cont inuidade 463

Í N D I C E X V

Página 3. Derivadas de uma função de diversas variáveis 466 4. Regra da cadeia e derivação das funções inversas 742 5. Funções implícitas 480 6. Integrais múltiplas e repetidas 486

CAPÍTULO X I

EQUAÇÕES D I F E R E N C I A I S PARA OS TIPOS MAIS SIMPLES D E VIBRAÇÕES

1. Problemas sobre vibrações em Mecânica e em Física 5 0 2 2. Solução das equações homogêneas. Oscilaçãos livres 5 0 4 3. Equações não homogêneas. Oscilações forçadas 5 0 9 4. Observações adicionais sobre as equações diferenciais . . . . . . 5 1 9

SUMÁRIO OE TEOREMAS E FÓRMULAS IMPORTANTES 5 2 9 EXEMPLOS DIVERSOS 519 RESPOSTAS E SUGESTÕES 5 7 1 ÍNDICE ALFABÉTICO . . . , , . 6 1 1

O B S E R V A Ç Õ E S I N I C I A I S

Quando o estudante entra, pela primeira vez, em contato com a matemática chamada superior, pode imaginar que existe certa descontinuidade entre a matemática secundária e a universitária. Este sentimento repousa, em última instância, sobre algo mais do que as circunstâncias históricas que fizeram com que o ensino universitário diferisse tão profundamente do ensino ginasial. A verdadeira natureza da matemática superior, ou melhor, da matemática moderna, que se desenvolveu durante os últimos três séculos, distingue-a da matemática elementar, cuja matéria de ensino, tomada quase diretamente da matemática dos antigos gregos, dominava inteiramente, até há pouco, os programas escolares.

A característica mais notável da matemática elementar é a sua íntima associação com a geometria. Mesmo quando a matéria transpõe as fronteiras da geometria e entra no reino da aritmética, as ideias fundamentais ainda permanecem geométricas. Outro aspecto da m a temática dos antigos é, talvez, a sua tendência para concentrar-se nos casos particulares. Fatos que hoje em dia consideramos como casos especiais de fenômenos gerais, são expostos, confusamente, sem qua l quer relação visível entre si . A associação íntima com as idéias geométricas e a importância que empresta a sutilezas particulares confere, à matemática dos antigos, um encanto todo part icular . N o início da idade moderna, tendências diversas imprimiram u m progresso definit ivo . à matemática, atuando como estímulo para uma grande expansão da matéria, a qual, a despeito dos progressos feitos nos detalhes, marcara passo, em outro sentido, durante séculos.

2 OBSERVAÇÕES I N I C I A I S

A tendência fundamental de toda a matemática moderna consiste na substituição das discussões isoladas dos casos particulares por métodos gerais cada vez mais sistemáticos. É possível que ta l processo nem sempre considere com inteira justiça os aspectos individuais dos casos particulares, mas, graças à sua extensão e generalidade, sugere grande abundância de novos resultados. A l e m disso, o conceito de número e os métodos analíticos ocupam posições cada vez mais independentes, sobrepujando inteiramente as, idéias geométricas. Es ta nova orientação para o desenvolvimento da matemática, sob diversos aspectos, é mostrada de maneira mais clara no surgimento da geometr ia analítica, cujo progresso se deve, principalmente, a Fermat e a Descartes, e do cálculo diferencial e integral, que geralmente se considera como criado por N e w t o n e Le ibn i tz .

Os três séculos de existência da matemática moderna viram progressos tão importantes, não só na matemática pura, mas, também, na imensa variedade de suas aplicações à ciência e à engenharia, que as suas idéias fundamentais e, sobretudo, o conceito de função, se tornaram gradualmente conhecidos e, eventualmente, foram incluídos nos próprios programas • secundários.

O meu objetivo, ao escrever este l i v ro , foi apresentar e desenvolver os pontos mais importantes do cálculo diferencial e integral de ta l maneira, que, ao concluí-lo, o leitor , embora não tenha tido antes qualquer conhecimento de matemática superior, esteja bem preparado, por um lado, para o estudo dos fundamentos da matéria e dos seus mais adiantados ramos, e, por outro, para a manipulação do cálculo nos vários domínios onde o mesmo tem aplicação.

Gostaria de prevenir o leitor, especialmente, contra o perigo que se origina da descontinuidade mencionada no parágrafo inic ial . O ponto de vista da matemática secundária pode tentar alguém a deter-se nos detalhes, perdendo, assim, a visão das relações gerais e dos métodos sistemáticos. Por outro lado, do ponto de vista "superior", há o perigo oposto, que consiste em pôr de lado as minúcias concretas

O B S E R V A Ç Õ E S I N I C I A I S 3

ficando-se completamente desamparado quando se de f rontam os casos mais simples de d i f i culdade i n d i v i d u a l , porque no m u n d o subjet ivo das idéias gerais esquecemo-nos de como ajustar-nos f i rmemente à realidade ob jet iva . 0 l e i t o r deve encontrar o caminho por si mesmo para sair deste d i lema. E somente será bem sucedido excogitando, repetidamente, casos part iculares , e adquir indo segurança na ap l i ca ção dos princípios gerais às ocorrências ind iv idua is que surgirem. N i s t o consiste a tarefa p r i n c i p a l de quem deseja progredir no estudo da Ciência.

C A P Í T U L O í

INTRODUÇÃO

Além da idéia de número, o cálculo diferencial e integral é baseado em dois conceitos fundamentais de importância decisiva. São eles os conceitos de função e de limite. N a verdade, tais conceitos podem ser reconhecidos aqui e ali , na matemática dos antigos, mas foi somente a matemática moderna que expôs completamente o seu significado e o teu caráter essencial. Neste capítulo inic ial procuraremos expor estes conceitos da maneira mais simples e clara possível.

1. A C O N T I N U I D A D E DOS NÚMEROS

A questão referente à natureza real dos números é das que interessam mais aos filósofos do que aos matemáticos, e aqueles já se ocuparam muito com ela. Felizmente, os estudantes de matemática podem di pensar os estudos preliminares sobre a natureza essencial do conceito de número, do ponto de vista da teoria do conhecimento, e isto concorre para que a matemática seja conservada cuidadosamente afastada dos conflitos entre as opiniões filosóficas. Admitiremos, pois, como dados, os números e, em primeiro lugar, os números naturais 1, 2, 3, . . . , assim como consideraremos conhecidas as regras com as quais operamos sobre estes números Lembraremos apenas, em breves linhas, a teoria que permitiu o desenvolvimento do conceito de número inteiro e positivo (números naturais).

(!) Estas regras sSo: Primeira: (a + 6) 4- c =* a + ( i + c). Isto é, se adicionarmos à soma d* dois números a e 6, um terceiro número c, obteremos o mesmo resultado que se somarmos a à soma de L e c. (Esta é a denominada lei associativa da adição.) Segunda: a + b = b + a (lei comutativa da adição). Terceita: (ab)c =• a(6c) (lei associativa da multiplicação). Quarta: ah = ba (lei comutativa da multiplicação). Quinta: a(b + c) = ab •+• ac (lei distributiva da multiplicação).

5

6 INTRODUÇÃO [CAP.

1. O conjunto dos números racionais e a necessidade de sua ampliação.

No domínio dos números naturais, as operações fundamentais de adição e de multiplicação podem sempre ser efetuadas, sem restrição; isto ê, a soma ou o produto de dois números naturais é sempre um número natural. Às operações inversas das precedentes, subtração e divisão, porém, nem sempre podem ser efetuadas no domínio dos números naturais. Devido a isto, os matemáticos, há muito tempo já, foram obrigados a inventar o número 0, os números negativos e as frações positivas e negativas. A totalidade de todos estes números é usualmente denominada a classe dos números racionais, visto todos eles serem obtidos da mesma unidade, pelo emprego das "operações racionais de cálculo", adição, multiplicação, subtração e divisão.

E m geral, os números são repre-rí| T| 1/ o J 2 ] K sentados, graficamente, pelos pontos

F i s . i.—o eixo dos números ° e uma linha reta, denominada "eixo dos números", tomando-se um ponto

arbitrário da linha como origem ou ponto zero, e um outro ponto, igualmente arbitrário, como ponto um. A distância entre estes dois pontos (comprimento do intervalo unitário) serve, então, como escala, com a qual • determinaremos um ponto para cada número racional, positivo ou negativo, sobre o eixo referido. E costume marcar os números positivos para a direita e os negativos para a esquerda da origem (fig. 1). Se, como é usual, definirmos o valor absoluto (também chamado valor numérico ou módulo) | a | de um número a, como sendo o próprio a quando a ^ 0 e sendo - a quando a < 0, | a | indica a distância, sobre o eixo dos números, do ponto considerado à origem.

A representação geométrica dos números racionais por meio de pontos sobre o eixo dos números, sugere uma importante propriedade que, em geral, ê enunciada da seguinte forma: o conjunto dos números racionais ê denso. Isto significa que em qualquer intervalo do eixo •numérico, tão pequeno quanto se queira, há sempre números racionais. Geometricamente, quer dizer que no segmento do eixo numérico limitado por dois pontos racionais quaisquer, tão próximos quanto se desejar, há sempre pontos' correspondentes a números racionais. A

(*) O siaal S indica que deve ser usado o sinal > ou o sinal =*. O mesmo fica estabelecido para os sinais =±= e =t= que serão empregados posteriormente.

A C O N T I N U I D A D E D O S N Ú M E R O S 7

noção de densidade dos números racionais torna-se c lara se part i rmos 1 1 1 1

do fato de que os números - , r j , . . . , —, . . . f i cam cada vez me-

nores e aproximam-se de zero à medida que n cresce. Se d i v i d i r m o s o eixo dos números em partes iguais de comprimento 1/2", começando n a

1 2 3 J A . origem, os pontos extremos —, —, —, . . . destes intervalos repre sentam números racionais d a forma m/2n; neste caso, a inda , temos o número n à nossa disposição. Se agora f ixarmos u m intervalo tão pequeno quanto quisermos, sobre o eixo dos números, somente prec i samos escollier n tão grande que 1/2" seja menor que o compr imento do intervalo . D e s t a m a n e i r a os intervalos da subdivisão efetuada são bastante pequenos p a r a que possamos af irmar que, no mínimo, u m dos pontos da subdivisão m!2n está contido nele. .

T o d a v i a , a despeito dessa propriedade de densidade, os números racionais não são suficientes p a r a representar iodos os pontos do eixo dos números. Os matemáticos gregos já h a v i a m reconhecido que há intervalos cujos compr imentos não podem ser representados por números racionais, em comparação com u m segmento linear de c o m p r i mento unitário; são os chamados segmentos incomensuráveis com a unidade. Ass im, por exemplo a hipotenusa de u m triângulo retângulo isósceles, com catetos iguais à unidade de comprimento, é in comensurável com a mesma un idade . Pe lo teorema de Pitágoras, o quadrado deste comprimento dever ia ser igual a 2. M a s , se l fosse u m número racional, por conseqüência i g u a l a plq, onde p e q são inteiros e d i fe rentes de 0, teríamos p2 = 2q2. Admi t imos que p e q não têm fatores comuns, pois, se os t ivessem, eles poderiam ser reduzidos de início. De acordo com a equação a c i m a , p 2 é u m número par e o próprio p o deve ser, isto é, p = 2 p ' . Subs t i tu indo este valor teremos 4 p ' 2 = 2q2, pu q2 = 2 p ' 2 ; conseqüentemente q2 é par , e q também o deve ser. Os números p e q sendo ambos pares, devem ter o fator c o m u m 2, o que contraria a hipótese de serem primos entre s i . A s s i m , a hipótese de que a hipotenusa pudesse ser representada pe la fração pjq l e v a a contradição, sendo, po r tanto , falsa.

O raciocínio a c i m a , que ê u m exemplo característico de " p r o v a i n d i r e t a " , mostra que o símbolo V2 não pode corresponder a n e n h u m número rac ional . Vemos , pois , que se insistirmos em que cada ponto do eixo dos números t e n h a u m número correspondente, u m a vez f ixado

8 INTRODUÇÃO [ C A P .

o intervalo unitário, seremos forçados a expandir o domínio dos números racionais pela introdução de novos números "irracionais". O conjunto de números racionais e irracionais, no qual a cada ponto do eixo corresponde um só número e a cada número corresponde um só ponto sobre o eixo, ê denominado conjunto dos números reais

2. Números reais e decimais infinitas.

A exigência da correspondência de um ponto do eixo a cada número real nada indica, a priori, sobre a possibilidade de calcular com estes números, do mesmo modo que com os números racionais. Estabeleceremos o direito de proceder assim, demonstrando que o que foi exigido é equivalente ao seguinte fato: a totalidade de todos os números reais ê representada pela totalidade de todos os números decimais finitos e infinitos.

Inicialmente recordaremos, o que ê conhecido da matemática elementar, que qualquer número racional pode ser representado por uma decimal finita ou por uma dízima periódica; inversamente, toda a decimal desse tipo representa um número racional. Mostraremos que a cada ponto do eixo dos números podemos atribuir uma única decimal determinada (geralmente infinita), de modo a podermos representar tanto os pontos como os números irracionais por decimais infinitas. (De acordo com esta observação, os números irracionais serão representados por decimais infinitas, não periódicas, por exemplo, 0,101101110...).

Suponhamos que os pontos correspondentes aos inteiros estejam indicados sobre o eixo dos números. Tais pontos subdividem o eixo em intervalos ou segmentos de comprimento 1. N a exposição que segue, diremos que um ponto do eixo pertence a um intervalo, quando estiver no seu interior ou for um dos seus pontos extremos. Seja P um ponto arbitrário do eixo dos números. De acordo com o que dissemos acima, este ponto pertencerá a. um ou a dois intervalos, se fôr um ponto de divisão. Se convencionarmos que no segundo caso escolheremos o intervalo que se encontra à direita, teremos, em qualquer hipótese, um intervalo com os pontos extremos g e g 1, ao qual o ponto P pertence, sendo g um número inteiro. Dividiremos, agora, este intervalo em 10 subintervalos iguais, por meio dos pontos cor-

(i) Assim chamac-'S para se distinguirem do conjunto dos números complexos, obtidos por meio de uma outra extensão.

í] A C O N T I N U I D A D E D O S NÚMEROS 9

1 2 9 respondentes aos números 9 + 9 + JQ»- • • •» 3 + J ^ . e numeraremos tais subintervalos 0 , 1 , 2 , . . . , 9, na ordem natural , d a esquerda para a direita. O subintervalo a terá. então, os pontos extremos g -f- : j~ e g + ^ + O ponto P deverá estar contido num desses subintervalos. (Se P fôr u m dos novos pontos de divisão, pertencerá a dois intervalos consecutivos; como no caso anterior, escolheremos o d a direita.) Denominaremos o intervalo assim determinado, por a\. Os

seus pontos extremos corresponderão aos números g + g-{-

Podemos, novamente, d iv idir este subintervalo em deis partes iguais, determinando aquela que contém P. Como já fizemos antes, se P pertencer a dois intervalos, adotaremos o da direita. Obteremos, assim,

um intervalo com os pontos extremos g + ^ + ^ e 9 + ^ + Jq2 + ^

onde ao é um dos dígitos 0 , 1 , . . ., 9. Subdividiremos este subintervalo e continuaremos repetindo o processo. Após n operações, chegaremos a u m subintervalo contendo P , com o comprimento 1/10", cujos pontos extremos correspondem aos números

_ i _ í * i i J ? 2 , i .-gg- o n i -gí í. a'2 I. a " i — 9 1 0 ^ 10 2 10 r a 10 IO 2 g ' t 1 0 " 1 0 n *

Nesta expressão cada a representa algum dos números 0, 1, . . . , 9. Mas

10 10 2 •' ' io«

é a fração decimal 0,aLa2. .. an. Os pontos extremos do intervalo podem, portanto, também ser escritos sob a forma

9 + 0,(2^2. . . an e g + 0 , a i a 2 . . . a„ + ~ .

Se imaginarmos o processo acima repetido indefinidamente, obteremos uma decimal infinita 0,aia2..., que tem o seguinte significado. Interrompendo a decimal em uma ordem qualquer, digamos na ene-

gésima, o ponto P estará no intervalo de comprimento ~ , cujos

pontos extremos (pontos de aproximação) são

g + O.ctiCfc. . .an e g + 0 , 0 ^ . . . a n + ~ .


Em particular, o ponto correspondente ao número racional ff+0,aia2...an

encontrar-se-á arbitrariamente próximo de P, desde que n seja suficientemente grande. Por esta razão os pontos g-\-0,aiü2-. .an, são de-noniinados pontos de aproximação. Podemos, pois, afirmar que a decimal infinita g-{-0,aia2. .. ê o número real correspondente ao ponto P.

Queremos salientar a hipótese fundamental de que podemos calcular, na forma habitual, tanto com os números reais, como com as frações decimais. E possível demonstrá-lo empregando, somente, as propriedades dos números inteiros como ponto de partida. Esta prova, porém, não é tarefa fácil; e antes de permitir que nosso progresso sofra embaraços logo de início, preferimos admitir que as regras comuns de cálculo se aplicam aos números reais como um axioma, sobre o qual basearemos todo o cálculo diferencial e integral.

Inserimos aqui uma observação sobre a possibilidade de, em certos casos, podermos escolher o intervalo do esquema do desenvolvimento acima, de duas maneiras. D a construção deduz-se que os pontos de divisão obtidos no processo repetido de subdivisão, e somente estes pontos, podem ser representados pelas frações decimais finitas g -f- 0,aia2.. .aa. Suponhamos que o ponto P apareça, pr i meiramente, como ponto de divisão na n subdivisão. De acordo com o que estabelecemos, escolhemos, na fase de ordem n da subdivisão, o intervalo à direita de P. Nas subdivisões seguintes devemos escolher u m subintervalo deste intervalo. U m intervalo de tal espécie, porém, deve conter P como ponto extremo da esquerda. Nestas condições, em todas as fases subseqüentes da subdivisão, devemos escolher o primeiro subintervalo, isto é, aquele qu*i começa por 0. Então, a decimal infinita que corresponde a P ê g + 0,aiO2. . .ctaOC/O. . . . Se, por outro lado, tivéssemos escolhido na fase de ordem n o intervalo da esquerda que contém P, então em todos os outros estágios posteriores da subdivisão, deveríamos escolher os subin-tervalos mais afastados para a direita, os quais têm 9 como ponto extremo da direita. Obteríamos, assim, um desenvolvimento decimal para P em que todos os dígitos, a partir de (n. + 1), são noves. A dupla possibilidade de escolha na construção que imaginamos corresponde, portanto, ao fato de que, por exemplo, o número M pode ser escrito 0,250 000 . . . e 0,249 999

3, Expressão dos números em sistemas de base diferente da decimal.

Na representação dos números reais atribuímos um papel especial ao número 10, visto termos subdividido cada intervalo em dez partes iguais. A única razão para tal se encontra no uso generalizado do sistema decimal. Poderíamos, de modo análogo, ter considerado p subintervalos iguais, onde p é um número inteiro arbitrário, superior à unidade. Teríamos, neste caso, obtido uma expressão da forma

I] A C O N T I N U I D A D E DOS NÚMEROS 11

0 + ~ + ~2 + ..., onde ò é um dos números 0, 1, . . . , p - 1. Neste

caso, novamente, os números racionais, e somente eles, têm desenvolvimentos periódicos ou finitos dessa espécie. Com finalidades teóricas, convém, muitas vezes, escolher p = 2. Obtém-se assim o desenvolvimento binário dos números reais,

9 + ^ + • •

onde cada b representa 0 ou 1 Nos cálculos numéricos é costume exprimir-se o inteiro g que. por

simplicidade, admitimos ser positivo, no sistema decimal, isto é, sob forma

amlQm + a ^ l O - 1 + . . . + a i10 + a0,

onde cada av representa um dos dígitos 0, 1, 9. E m lugar de g -p O.aiüo..., podemos, então, escrever simplesmente

Analogamente, o número inteiro positivo g pode ser escrito de uma e somente de uma maneira, na forma

0kpk + fo-ipfe-i + . . . + i8ip -f- j80,

onde cada um dos números /3 representa alguns dos números 0, 1, . . . , p - l . isto, com a expressão que determinamos, dá o seguinte resultado; todo o número real e positivo pode ser representado sob a forma

(3kpk + 0k-lPk-i + . . . + 0ip + 0o + ^ + ^ + - •

onde 0, e bt são números inteiros compreendidos entre 0 e p - 1. Assim, por exemplo, o desenvolvimento binário da fração 21/4 é

^ = 1 x 22 + 0 X 2 + 1 + £ +

(i) Mesmo para os cálculos numéricos, o sistema decimal aão ê o melhor. O sistema sexagesimal (p » 60). com o qual os babilônios calculavam, apresenta a vantagem de que nele. uma proporção relativamente grande de números racionais, cujas expressões decimais 3ão infinitas, possuem desen-rolvimentos finitos,

4. Desigualdades.

O cálculo com as desigualdades desempenha papel muito mais importante na matemática superior do que na matemática elementar. Recapitularemos, por isso, brevemente, algumas das regras mais simples referentes às mesmas.

Se a > b e c > d, segue-se que a + c >b + d, mas não que a - c >b ~ d. Além disso, se a > b segue-se que ac >bc, desde que c seja positivo. Multiplicando-se uma desigualdade por um número negativo, o seu sentido ê invertido. Se a > ò > 0 e c > c ? > 0 , segue-se que ac > bd.

As seguintes desigualdades são verificadas para os valores absolutos dos números:

\a±b\ £\a\+\b\, \a±b\£\a\-\b\.

0 quadrado de qualquer número real é maior que ou igual a zero. Se ar e y forem números reais arbitrários, teremos, portanto,

(x - y)2 = a;2 4. y2 - 2xy è 0, ou 2xy S #2 -f* y2.

5. Desigualdade de Schwarz.

Sejam ai, a2, .. ., an e bi, b2, .. -, bn, números reais quaisquer. Façamos as seguintes substituições na última desigualdade ( 1 )

K l ! h 1 Vais + a22.+ .. . 4- aJ V^a + h2 -f . • - Hr K2

para i ~ 1, i — 2, . .., i — n sucessivamente e somemos as desigualdades resultantes. A direita obteremos a soma 2, porque

( i t I V + + ( Y = i

í y + 4 / ' ò - i - V . . 1

V . ^ b Ja + . . . + Ò „ V " V V ò i 2 + . . . + 5 „ V

Se dividirmos ambos os membros da desigualdade por 2, virá i ai&i I + I a2 2 I 4- - • • + 1 anbn I <

V f l l 2 + . . . -f 0„2 V V . . . + bn2 = '

(') O símbolo V x, onde x > 0, representa o número positivo cujo quadrado 6 *.

I] A CONTINUIDADE DOS NÚMEROS 13

ou finalmente I aiòi I + I a2h \+ ... +\anbn\ + ... + an

2 ^b,2+ ... + òr t2.

Como os dois membros desta desigualdade são positivos, podemos elevá-los ao quadrado e omitir os sinais dos módulos:

(aiÔ! + a2ò2 + . . . + anbn)2 ú (fli2 + . . . + a2) (6 , 2 + . . . + b2). Esta é a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

E X E M P L O S (0

1. Demonstrar que os números seguintes são irracionais: (a) V3. (è) Vn, desde que n não seja quadrado perfeito, (c) $ 3 . (d)* x = V2 - f \ 2. (e)* x = V3 + V2~.

2. * Os pontos que, num sistema usual de coordenadas retangulares, têm ambas as coordenadas representadas por números inteiros, são denominados pontos reticulares. Provar que um triângulo cujos vértices são pontos reticulares, nao pode ser equilátero.

3. Verificar as desigualdades: 1 1 (a) x + - è 2, x > 0. (6) x + - á - 2, x < 0. X X

(c) 1

x+~ X

è 2, x 4= 0.

4. Demonstrar que se a > 0, az 2 + 203 -f- c ã 0 para qualquer valor de x, desde que, unicamente, ò 2 - ac á 0.

5. Verificar as desigualdades seguintes: (a) 2 2 + xy + y2 è 0. (6)* x°" + x2a~ly + z ? n ~ 2 y 2 4- . . . + y 2 n è 0. (c)* x* - 3x 3 - f 4a;2 - Sx + 1 è 0.

6. Verificar a desigualdade de Schwarz, considerando a expressão (flxx + bj2 - f (a2x + b2)2 + ... + (aax + ba)2,

reunindo os termos e aplicando o E x . 4. 7. Demonstrar que o sinal de igualdade na desigualdade de Schwarz se veri

fica, e somente neste caso, se os a e os ò forem proporcionais, isto é, se cai- -{-dbv = 0 para v qualquer, desde que c e d sejam independentes de v e não simultaneamente, nulos.

8. Para n = 2, 3, achar a interpretação geométrica da desigualdade de Schwarz. 9. Os números 71 e 72 são os co-senos diretores de uma linha, isto é, 7 + T22 = 1-

D a mesma forma, r^2 4- 77a2 = 1. Demonstrar que a equação 7 1 -f 73T?2 = 1 implica as equações 71 = 171 e 72 == »72.

10.* Verificar a desigualdade

e estabelecer sua interpteração geométrica.

Os exemplos mais difíceis são indicados por um asterisco.

11 I N T R O D U Ç Ã O [ C A P .

2. C O N C E I T O D E P U N Ç Ã O

1. E x e m p l o s .

(a) Se um gás ideal fôr comprimido em u m recipiente por meio de um pistão, conservando-se a temperatura constante, a pressão p e o volume v são ligados pela relação

pv = C ,

onde C é uma constante. E s t a fórmula, denominada lei de Boyle, nada estatui relativamente às quantidades p e v em si mesmas, mas tem o seguinte significado: se p t iver u m valor definido, arbitrariamente escolhido em u m a determinada seqüência (seqüência esta determinada física, mas não matematicamente), v pode ser determinado, e, inversamente:

G C

Dizemos, então, que v ê função de p ou, no caso inverso, que p ê função de v.

(ò) Se aquecermos uma barra de metal, de comprimento / 0 à temperatura 0 o , até à temperatura S°, o seu comprimento l será fornecido pela seguinte lei , em face das hipóteses mais simples da física

l = lo (1 - f (58).

Nesta fórmula, /?, o "coeficiente de dilatação" do metal, ê constante. Diremos, novamente, que l é função de 8.

(c) Suponhamos dados os comprimentos de dois lados, a e 6, de um triângulo. Se atribuirmos ao ângulo y, compreendido entre estes dois lados, um valor arbitrário, inferior a 180°, o triângulo fica completamente determinado; particularmente, o terceiro lado c pode ser calculado. Neste caso diremos que, se a e b forem dados, c é uma função do ângulo y. Como sabemos da trigonometria, esta função é representada pela fórmula

c = V a 2 -4- b2 - 2ab cos 7.

2. E s t a b e l e c i m e n t o do conce i to de função .

Com o fito de dar uma definição geral do conceito matemático de função, fixaremos idéias sobre u m intervalo definido do eixo dos números, digamos o intervalo compreendido entre os números a e ò, e

I] C O N C E I T O D E FUNÇÃO 15

consideremos a totalidade dos números x pertencentes a este inter valo , isto é, que satisfazem a relação

a Sx Sb.

Se considerarmos o número x como designando, à vontade, q u a l quer dos números deste intervalo , chamá-lo-emos u m a variável (contínua) no intervalo.

Se, a cada valor de x neste intervalo, corresponder u m único va lor definido para y, e se x e y forem ligados por u m a le i qualquer, d i re mos que y ê uma função de x e escreveremos, simbolicamente,

y = / O ) , y = F(x), y = g(x),

ou outra expressão semelhante. Chamaremos, então, x de variável independente e atribuiremos a y a denominação de variável dependente, ou diremos que x é o argumento da função y.

D e v e ser observado que, em certos casos, não é indiferente inc lu i r -se os pontos extremos do intervalo entre a e 6, como fizemos ac ima , ou excluí-los; na última hipótese, a variável x ê condicionada pelas desigualdades

a < x <b.

P a r a evitar qualquer engano, chamaremos o primeiro t ipo de i n tervalos (incluindo os pontos extremos), de intervalo fechado, e o segundo t ipo, de intervalo aberto. Se unicamente u m dos extremos for incluído (por exemplo, a < x ^ ò), dizemos que se t rata de u m intervalo aberto num extremo (neste caso o extremo a). F ina lmente , podemos considerar intervalos abertos que se estendem sem l imite , em u m a ou ambas as direções. Diremos, então, que a variável x percorre u m intervalo infinito (aberto) e escrevemos, simbolicamente,

a < X < « OU - oo < x < Ò OU - co < £ < co.

Ao estabelecer o conceito geral de uma função definida num intervalo, nada foi esclarecido sobre a natureza da relação que permite que a variável dependente seja determinada, uma vez conhecida a variável independente. Tal relação pode ser tão complicada quanto quisermos e, nas investigações teóricas, esta generalidade constitui uma vantagem. Nas aplicações, porém, e em particular no cálculo diferencial e integral, as funções com as quais lidarmos, não são as de maior generalidade; ao contrário, as leis de correspondência pelas quais um valor de y é determinado para cada valor de x, são sujeitas a certas restrições simplificadoras.

16 I N T R O D U Ç Ã O [ G A P .

3. Representação gráfica. C o n t i n u i d a d e . F u n ç õ e s m o n ó t o n a s .

Quando consideramos a relação existente entre o conceito geral de função e a geometria, ocorrem restrições naturais sobre o mesmo. A idéia fundamental da geometria analítica é, efetivamente, dar u m a representação analítica característica das curvas definidas por alguma propriedade geométrica, referida a u m a das coordenadas retangulares, digamos y, como u m a função y = j(x) de outra coordenada x; por exemplo, a parábola é representada pela função y = x%, o círculo de raio 1, com centro n a origem, pelas duas funções y = V i - x% e y = - V l - a?2. N o primeiro exemplo a função é definida no intervalo - & < x < co; no segundo podemos nos restringir ao intervalo

- 1 á £ á 1, por isso que, fora do mesmo, a função não tem significado (quando x e y

y forem reais). y ' \ Inversamente, se em lugar de partirmos

\ de uma curva geometricamente determinada, Q x Yx considerarmos u m a função dada, y = f(x),

Fig. 2—Eixos retangulares podemos representar graficamente a dependência de y em relação a x, empregando u m

sistema de coordenadas retangulares da maneira usual (fig. 2). Se, para cada abscissa x, determinarmos a ordenada correspondente y =f(x), obteremos a representação geométrica da função. A restrição que imporemos agora, ao conceito de função, é: a representação geométrica da função deve assumir a forma de u m a c u r v a geométrica " p l a u sível". E verdade que isto impl i ca mais em u m a vaga idéia geral do que, propriamente, em uma estrita condição matemática. Cedo, po rém, formularemos tais condições, como a continuidade, a derivabi-lidade e outras, que farão com que o gráfico da função possua o caráter de curva plausível, visualmente, de representação geométrica. D e qualquer forma, excluiremos funções como a seguinte: para cada valor racional de x, a função tem o valor 1; para cada valor irracional de x, o valor de y ê 0. E s t a definição atr ibui a y u m va lor definido para cada valor de x, mas, em cada intervalo de cc, por menor que seja, o valor de y salta de 0 a 1 e vice-versa, u m número inf inito de vezes.

A não ser que o contrário seja expressamente enunciado, suporemos, sempre, que a le i que atr ibui u m valor da função p a r a cada valor de x, atribui , também, somente u m valor de y para cada valor de xt como,

13 C O N C E I T O D E FUNÇÃO n

por exemplo, y = ou y = sen x. Se iniciarmos com uma curva geométrica, pode acontecer, como no caso do círculo, x% - j - y 2 = 1, que o desenvolvimento completo da curva não seja dado por uma única função (de um só valor), porém requeira diversas funções — no caso do círculo, as duas funções y — Vi-2:2 e y = — 1 V l - a;2. O mesmo se verifica para a hipérbole y2 - #2 = i ? que é representada pelas duas funções y = V l + #2 e y = - V 1 + 2:2. Tais curvas, pois, não determinam as funções correspondentes de forma única. Conseqüentemente, diz-se, algumas vezes, que a função correspondente à curva ê plurívoca. As funções distintas que representam a curva são denominadas ramos unívocos relativos à mesma. Por uma

Fig. 3 Fig .4 Funções plurívocas

questão de clareza, usaremos, doravante, a palavra função para significar uma curva unívoca. Assim, pois, o símbolo V;r (para x è 0) indicará, sempre, o número não-negativo, cujo quadrado é x.

Se a curva for a representação geométrica de uma função, ela poderá ser cortada, por uma paralela ao eixo dos y, no máximo em um ponto, visto que, a cada ponto x, contido no intervalo da definição, corresponde um valor de y. De outro modo, tal como acontece no cálculo, que é representado pelas duas funções

y = V l - £2 e y - V l - x'-

tãis paralelas ao eixo dos y poderão cortar a curva em mais de um ponto. Os segmentos da curva correspondentes a diferentes ramos unívocos, estão, algumas vezes, ligados de tal modo, que a curva completa é uma figura simples que pode ser descrita de uma só vez, como,

18 INTRODUÇÃO ( G A P .

por exemplo, o círculo (fig. 3), ou podem resultar completamente separados, como na hipérbole (fig. 4).

A p r e s e n t a m o s aqu i alguns exemplos sobre a representação gráfica das curvas.

(a) y — ax. y ê p r o p o r c i o n a l a x. O gráfico (fig. 5) é

u m a l i n h a reta passando pela origem do s istema 3" de coordenadas .

(6) y = ax + b. Fig-. 5.—Funções lineares

y é u m a função l inear de x, O gráfico é uma l inha reta que passa pelo p o n t o x = 0, y = b, a q u a l , se a 0, passa t a m bém pelo ponto x = - bja e, se a = 0, é h o r i z o n t a l .

00 y =

Fig. 6.—Descontinuidades infinitas

y ê inversamente proporc ional a x. Se , em p a r t i c u l a r , a «• 1, de modo que

X achamos, p o r exemplo, que

y = 1 p a r a » = 1; y = 2 p a r a x - lA; y - lA para 2 = 2.

I ] CONCEITO DE FUNÇÃO 19 O gráfico (fig. 6) é uma curva, uma hipérbole equilátera, simétrica em relação

às bissetrizes dos ângulos formados pelos eixos coordenados. Esta última função, evidentemente, não é definida para o valor x — 0, visto

que a divisão por zero não tem significado. 0 ponto excepcional x = 0, em cuja vizinhança ocorrem valores arbitrariamente grandes da função, tanto positivos como negativos, é o exemplo mais simples de uma descontinuidade infinita, assunto do qual trataremos mais tarde (pág. 51).

(d) y = x*. yn

Fig. 7.—Parábola Fig. 8.—Parábola cúbica

As curvas que acabamos de ver e seus respectivos gráficos, revelam uma propriedade da maior importância na discussão das funções, a saber, a propriedade da continuidade. Mais tarde ( § 8 , pág. 49) analisaremos este conceito com mais detalhes; intuitivamente, porém, êle significa que uma pequena mudança em x somente acarreta uma pequena alteração em y e não um salto brusco em seu valor; quer dizer, a curva não é quebrada. Mais exatamente, pode-se dizer que a alteração de y se manterá inferior a qualquer número positivo, arbitrariamente escolhido, desde que a mudança de x seja correspondentemente pequena.

Uma função que, para todos os valores de x em um certo intervalo, tem o mesmo valor de y = a denomina-se constante. A sua representação gráfica é uma linha horizontal. Uma função y = f(x) tal q ' ie , no intervalo para o qual é definida, um acréscimo no valor de x sempre ocasione um acréscimo no valor de y, é denomi-


nada função monótona crescente. Se, por outro lado , u m acréscimo no va lor de x causar sempre u m decréscimo no va lor de y , então a função se d iz monótona decrescente. T a i s funções são representadas, graficamente, por curvas que , no interva lo correspondente, sempre sobem (da esquerda p a r a a direita) ou sempre descem (fig. 9).

Se a curva representada por y = f(x) fôr simétrica em relação ao eixo dos y, isto ê, se £ = — a e x = a derem o mesmo valor absoluto à função, o u

dizemos que a função é par. P o r exemplo, a função y = cc2 é par (fig. 7).

Se, por outro lado, a c u r v a for simétrica em relação à origem, isto ê. se

denominaremos a função de ímpar. P o r exemplo, as funções y = x e y = (fig. 8) e y = I/x, são ímpares.

4. Funções i n v e r s a s .

N o primeiro exemplo d a pág. 14 j á f i cou evidenciado que a relação existente entre duas quant idades pode ser encarada sob dois aspectos diferentes, conforme se considere a pr ime i ra variável como função da segunda ou a segunda como função da pr imeira . Se, por exemplo, y = ax - f ò, onde admit imos que a =j= 0, x será representado como u m a função de y, pela equação x — (y - b)Ja. Também, a relação func ional indicada pela equação y = xz pode ser representada por x = ± Vy . de modo que a função y = x% s imbol iza a mesma coisa que as duas funções x = V y e y = - V y .

I] CONCEITO D E FUNÇÃO 21

Assim, quando for dada uma função arbitrária y — f(x), podemos procurar determinar x como função de y, ou, como diremos, substituir a função y = /(as) pela função inversa x = <f>(y).

O significado geométrico do que acabamos de expor é o seguinte: a curva é obtida construindo-se os pontos simétricos do gráfico de y~Ãx) e m relação à bissetriz do ângulo formado pelos eixos dos xe dos y positivos ( 1 ) (fig. 10) . A construção nos dá a representação gráfica de x como função de y, ou seja, a função inversa x = 4>(y).

Estas considerações geométricas, entretanto, mostram imediatamente que a função y = f(x), definida em um intervalo, não possui

3 /

í/3 í/3 , 4

y, - ~~

0 0 y, y2 y3 y

Fig. 10.—Inversão de uma função

função inversa monótona, salvo se forem preenchidas certas condições. Se o gráfico da função for cortado pela linha y = c, paralela ao eixo dos x, em mais de um ponto, o valor x = c corresponderá a mais de um valor de x, de sorte que a função não pode admitir função inversa unívoca. Este caso não ocorrerá se y = f(x) for contínua e monótona. A figura 10 mostra que para cada valor de y no intervalo yiyy3 há somente um valor correspondente a x no intervalo Xixxd, e da figura deduzimos que uma função contínua e monótona num intervalo admite sempre função inversa unívoca, a qual e, também, contínua e monótona» (Para uma demonstração rigorosa, ver pág. 67.)

(i) Em lugar de rejlelir os pontos do gráfico deste modo, poderíamos girar, primeiramente, oa eixos coordenados e a curva y = J(.x), de um ângulo reto e, depois, refletir o gráfico em relação ao eixo dos x.


3. E S T U D O M A I S P O R M E N O R I Z A D O DAS P U N Ç Õ E S E L E M E N T A B E S

1 . F u n ç õ e s r a c i o n a i s .

Passemos agora breve revista nas funções elementares que o leitor já encontrou nos seus estudos anteriores. Os tipos mais simples de funções serão obtidos pela aplicação repetida das operações elementares: adição, multiplicação e subtração. Se aplicarmos estas opera-

Fig. 11.—Potências de * Fig . 12

çÕes a uma variável independente x e a números reais quaisquer, obteremos as funções racionais inteiras ou polinómios:

y = a0 + aix + • • • + anxn.

Os polinómios são às funções mais simples e, de certo modo, básicas da análise.

Se formarmos o quociente destas funções, isto é, expressões da forma

_ ao + a& + . • . + a « 3 N

y ~ bQ + hx + • • • + bmxm'

obteremos as funções racionais gerais ou funções racionais fracionárias, definidas em todos os pontos em que o denominador for diferente de zero.

A função racional inteira mais simples é a função linear y =s ax -f- 6.

I] FUNÇÕES E L E M E N T A R E S 2 3

E l a é representada, graficamente, por uma linha reta. Toda Junção quadrática da forma

y = ax~ -f- bx + c ê representada por uma parábola. A s curvas representativas das funções racionais inteiras do terceiro grau

y = axz - f bx- + cx + d são, ocasionalmente, denominadas parábolas de terceira ordem, e assim sucessivamente.

Como exemplos, damos os gráficos da função y = x° para os expoentes n — 1, 2, 3, 4 (fig. 11). Vemos que, para os valores pares de n, a função y — xn

satisfaz a equação f(-x) — f(x), sendo, portanto, uma função par. P a r a os valores ímpares de n a função proposta satisfaz a / ( - x) — —f(x), sendo, então, uma-função írnpar.

O exemplo mais simples de u m a função racional não polinômica é x = l/ar, já mencionada na pág. 13. O seu gráfico é uma hipérbole retangular. Outro exemplo é a função y = l/x2 (fig. 12).

2. Funções algébricas. A consideração do problema da formação das funções inversas das

funções racionais leva-nos, de imediato, para fora do domínio destas. O exemplo mais frisante deste fato ê a introdução da função ^ x. Partimos da função y — xn, que, para x è 0 ê monótona. Nestas condições ela possui inversa monótona, a qual representamos pelo símbolo x ="'y, ou, trocando as letras usadas para as variáveis'dependente e independente,

y s %lx = xv,n.

De acordo com a definição, esta raiz 6 negativa. No caso de valores ímpares de n, a função xn é monótona para todos os valores de xf

inclusive os negativos. Conseqüentemente, para valores ímpares de n podemos definir v s de forma única para todos os valores de x; neste caso V] x é negativa para os valores negativos de x.

De um modo mais geral, podemos considerar

onde R(x) é uma função racional. Chegaremos a outras funções de tipo semelhante, aplicando as operações racionais a uma ou mais destas funções. Por exemplo, podemos formar as funções

m _ m- . y — yx + Vccs -j- 1, y = X-.+ V:r2 + 1,

Estas são casos especiais de funções algébricas. (0 conceito geral, de função algébrica não pode ser definido aqui; ver cap. X ) .

3. Funções trigonométricas.

Enquanto as funções racionais e algébricas que acabamos de considerar foram definidas e deduzidas diretamente das operações elementares de cálculo, a geometria ê a fonte d a qual obtemos os primeiros conhecimentos sobre outra espécie de funções, as denominadas funções transcendentes elementares Consideraremos as funções transcendentes elementares, especialmente as funções trigonométricas, as funções exponenciais e logarítmicas.

E m todas as investigações analíticas de ordem superior em que ocorrem ângulos, é usual medi- los , não em graus, minutos e segundos,

mas em radianos. Situaremos o ângulo a medir c o m o vértice no centro de u m círculo de raio 1, e mediremos o ângulo pelo comprimento do arco d a circunferência interceptado pelos seus lados. A s s i m , o ângulo de 180° equivale a u m ângulo de ir radianos (isto é, em radianos vale ir), u m ângulo de 90° mede ir/2 radianos, u m ângulo de 45° va le -r/4 radianos, u m

F i g . i3 .~Funções trigonométricas ângulo de 360° equivale a 2ir rad ia nos. Inversamente, u m ângulo de 1 radiano, expresso em graus, vale

180< , ou aproximadamente, 57° 17' 45" .

D a q u i por diante, sempre que nos referirmos a u m ângulo x, i m a ginaremos u m ângulo cuja m e d i d a é x radianos.

Depois destas considerações prel iminares, relembraremos sucintamente ao leitor o significado das funções trigonométricas sen x, cos x, tg x, cotg 5 3 ( 2 ) . A f igura 13 representa estas funções, nas quais o ângulo x ê medido a part i r do raio OC (de comprimento 1), considerando-se positivos os ângulos descritos no sentido oposto ao do movimento dos ponteiros de u m relógio. As coordenadas retangulares do ponto A dão

C1) A palavra "transcendente" não significa algo particularmente profundo ou misterioso. S u gere, apenas, que a definição dessas funções por meio das operaçSes elementares de cálculo é impossível. " Q u o d algebrae vires transcendit."

(2) As vezes 6 conveniente a introdução das funções sec x =» l /cos x, co-sec i = l/sen x.

I ] F U N Ç Õ E S E L E M E N T A R E S 25

imediatamente as funções sen x e cos x. Os gráficos das funções sen x, cos x, t g x e cotg x estão representados nas figuras 14 e 15.

i

F i g . 15

4. Funções e x p o n e n c i a l e l ogar í tmica .

Juntamente com as funções trigonométricas, a função exponencial de base pos i t iva a,

y = ax,

assim como a sua inversa, o logaritmo de base a,

x = log a y,

são também considerados como funções transcendentes elementares. N a matemática elementar é costume pôr de lado certas dif iculdades inerentes à definição destas funções, e nós também adiaremos a sua discussão precisa, até que disponhamos de métodos mais apropriados (cap. I I I , § 6, págs. 166-177, e também pág. 191). Podemos, entretanto, estabelecer, desde já , a base da sua definição. Se x = p(q for

um número racional (onde p t q são inteiros e positivos), admitindo que o número a seja positivo — definimos ax como %] ap = ap,q, onde a raiz, de acordo com a convenção estabelecida, deve ser considerada como positiva. Visto que os valores racionais de xx são densos em qualquer ponto, ê natural estender esta função ax de modo que ela seja contínua também para os valores irracionais de x, atribuindo a ax valores contínuos, quando x for irracional, como os já definidos para x racional. Esta consideração origina a função contínua y = a*, a função exponencial, que, para todos os valores racionais de a; dá o valor de aT acima determinado. Admitimos, por enquanto, que esta extensão é de fato possível e que pode ser efetivada de uma só maneira; entretanto, não esqueçamos que devemos prová-lo ainda. A função

x = logay pode ser definida para y > 0, como o inverso da função exponencial.

E X E M P L O S

1. Construir o gráfico de y = a;3. Deste, sem qualquer outro cálculo, deduzir o grafico de y = Jíx.

2. Desenhar os gráficos seguintes, verificando quais as funções pares e quais as ímpares:

(a) y = sen 2x. (ò) y = 5 cos x. (c) y = sen x + cos x. (d) y = 2 sen x -f- sen 2x. (e) y = sen (x -f- ir).

(f) y = 2 c o s ( ^ x + 0 . (g) y = t g x - x.

3. Desenhar os gráficos das funções seguintes, verificando quando as funções são (1) monótonas ou não, (2) pares ou ímpares:

(a) y — x- (- » < x < co).

(i)y = r ( 0 á í á 1). (c) y = x ( ~ l S x ú 1). (d) y = \xj_(-l á i á l ) . («) y V ^ í - l á í l l ) . U)y » | a s ~ l | ( - co <X< »). (?) y = I + 4x•+ 2 I ( - 4 á x á 3). (fr) y = [x] ( - <» < x < co), onde [x] representa o maior inteiro que não

excede x; isto é, [x] á t I [x] - f 1. (ij Ver pâgs. 70 e 173.

I] FUNÇÕES E L E M E N T A R E S 27

(ö y

f) y

(k)y

X- \x\ ( - °o < X < co).

Vx - [x\ ( - co < X < co).

X + Vx - [x] ( - co < x < co).

(0 y = | x - l | + |a; + l | - 2 ( - 5 £ z £ 5). (i7í)y = | x - l | - 2 j x | + | x - r - l | ( - c o <x< co).

Quais destas duas funções são idênticas? 4. U m corpo cai com velocidade aproximada de 4,90 fr- metros em l segundos.

Se u m a bola cair de uma janela de 7,70 m de altura acima do solo, traçar u m gráfico da altura em função de t para os primeiros 4 segundos após o início da queda.

4. F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E I S UNTEIRAS. S E Q Ü Ê N C I A S D E N Ú M E R O S

Até agora consideramos a variável independente como contínua, isto é, variando num intervalo completo. Entretanto, ocorrem inúmeros casos em matemática onde uma quantidade depende só de u m inteiro, um número n, o qual pode assumir os valores 1, 2, 3, T a l função é denominada função de uma variável inteira. Esta concepção será mais facilmente apreendida por meio de exemplos.

1. A soma dos primeiros n inteiros,

é uma função de n. D a mesma forma, a soma dos primeiros n quadrados

é, também, uma função (*) do inteiro n.

C1) Esta última soma pode ser facilmente representada como uma expressão racional simplea i m 7i, do seguinte modo. Partimos da fórmula

S x(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . +n= Mn(n + 1),

S2(n) = l 2 + 2" + 3 2 + . . . + n\

(i> + l ) 3 — tfi = 3 P 2 + 3 P + 1,

(screvendo esta equação para v = 0, 1, 2, . . . , n, e somando, obtemos

(n + l ) 3 = 3S 2 + 3Si + n + 1; substituindo a expressão determinada por Si, teremos

Por um processo análogo, as funções

Ss(n) = l 3 + 23 + . . . + n?, S*(n) = 1* + 2* + ... + »»*,

podem ser representadas como funções racionais de n.

2. Outras funções simples de inteiros são as expressões

n\ = 1 . 2 . 3 . . . n

e os coeficientes binomiais

n(n - 1 ) . . . (n - fe + 1) _ fe!(n - fe)!

para valores fixos de fe.

3. Todo número inteiro n > 1 que não fôr pr imo é divisível por mais de dois inteiros positivos, ao passo que os números primos são apenas divisíveis por si mesmos e pela unidade. Ev identemente , podemos considerar o número T(n) de divisores de n, como u m a função do próprio n. P a r a os primeiros números, esta função é dada pela seguinte t a b e l a :

4. U m a função deste t ipo , de grande importância n a teor ia dos números, é ir(n), i s to é. o número de pr imos menor que n. A. sua investigação detalhada const i tui u m dos problemas mais interessantes e atraentes da teoria dos números. Mencionaremos, aqui , apenas o resultado p r i n c i p a l destas investigações: o número x(n) é dado aproximadamente, p a r a grandes valores de n, pela função (*) n/log n, na qual por log n indicamos o l ogar i tmo d a "base n a t u r a l " e, a ser definido mais adiante (págs. 168, 174).

As funções de variáveis inteiras ocorrem, normalmente, sob a forma das cbamadas seqüências de números. Por seqüência de números entendemos um conjunto infinito de números a.\, a2, a%, . .., a^, .. ., (não necessariamente iodos diferentes), ordenados segundo uma lei qualquer. E m outras palavras, trata-se simplesmente de uma função a da variável inteira n; a única diferença está no fato de usarmos a notação por meio de índice an em lugar de a(n).

1. Demonstrar que I a - f 2 3 + . . . -f- TI3 = (1 + 2 + . . . + n)\

2. Deduz i r a fórmula l 2 + 2 2 + 5 2 + . . . + (2n + l ) 2 de l 2 + 2 a + - • - + n*.

3. Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes b inomiais :

w G O - G - » ) ( « * ( 6 > G - 0 + C O - 0 D < * « * > °

« i + ( 0 + ( 0 + - + G - i ) + C ) - * -

rz = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 T(n) = 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

E X E M P L O S

(*) lato ê, o quociente do número ir(«) por n/log n difere arbitrariamente pouco de I, desde que n geja suficientemente gTande.

í] FUNÇÕES D E VARIÁVEIS I N T E I R A S 29

4. Ca l cu lar as somas seguintes:

(a) 1 . 2 + 2 . 3 + . . . - f n(n + 1). 1 1 1

(b) — + — + ... + 1.2 2.3 ' " n{n + 1)

3 5 2 n + 1 (C) p i 2 , + 2 2 3 1 + . . . + • n 2 ( n +

5. U m a seqüência é denominada progressão aritmética de p r i m e i r a o r d e m se a diferença entre os termos sucessivos fôr constante. É denominada progressão aritmética de segunda ordem se a diferença entre os termos sucessivos f o rmar u m a progressão aritmética de pr imeira ordem; e, em geral , é chamada progressão a r i t mética de ordem k se a diferença entre os seus termos sucessivos f o rmar u m a pro gressão aritmética de ordem (fe - I ) .

Os números 4, 6, 13, 27, 50, 84 são os primeiros seis termos de u m a progressão aritmética. Q u a l é a sua ordem ? Q u a l é o o i tavo termo ?

6. D e m o n s t r a r que o termo n de u m a progressão aritmética de segunda ordem pode ser escrito sob a forma an2 + bn + c, onde a, b e c são independentes de n.

7* Demonstrar que o termo n de u m a progressão aritmética de o r d e m k pode ser escrito sob a forma arck + bnk~l + ... + pn -f- q, pode a, b, ..., p, q .«ão i n d e pendentes de n.

D e t e r m i n a r o termo n da progressão do exemplo 5.

5. C O N C E I T O DE LIMITE D E U M A SEQUÊNCIA

O conceito fundamentai sobre o qual se baseia toda a Análise é, em última instância, o de limite de uma seqüência. Esclareceremos esta afirmativa, considerando, inicialmente, alguns exemplos.

1 „ - I 1. an — —. n

Consideremos a seqüência _ 1 _ 1 1

2 3 n

N e n h u m número desta seqüência é nulo ; vemos, porém, que quanto m a i o r fôr n tanto mais perto de zero estará o número a„. Se, portanto , f ixarmos, em tôruo de 0, um intervalo , tão pequeno quanto desejarmos, a par t i r de um índice determinado em diante , todos os números aa cairão neste intervalo . E x p r i m i r e m o s t a l estado de coisas dizendo que, à medida que n cresce, os números a„ t endem p a r a 0, ou que tais números possuem o limite 0, ou que a seqüência au a2, a3,... converge para 0.

Se representarmos os números pelos pontos de u m a l i n h a , isto s ign i f i ca que os pontos l / n se a c u m u l a m cada vez mais perto de 0, à med ida que n cresce.

30 I N T R O D U Ç Ã O [ G A P .

O mesmo se ver i f i ca c o m a seqüência

fll == 1, fla — ~ 0> ffl3 — „) di — — , . . ., ãa — ( _ l ) n - l

2 ' ° 3' 4 4* ' n

A q u i , também, os números a a t e n d e m p a r a zero à m e d i d a que n cresce; a única, diferença é que os números a„ são, às vezes, maiores e, outras , menores do que o l imite 0; eles oscilam, como d izemos , e m to rno do l i m i t e .

A convergência das seqüências para 0 é usualmente expressa de forma simbólica, pela equação

l im an = 0, n —»«o

ou, às vezes, pela abreviação an - 0.

1 1 2. a-lm — ; 0 2 m - l = n •

N o s exemplos precedentes o v a l o r abso luto d a diferença entre aa e o l i m i t e torna-se cada vez menor, à m e d i d a que n cresce. I s to , entre tanto , não é abso lutamente necessário, como m o s t r a a seqüência

1 1 _ 1 1 1 al — 1 Q 2 — lj «3 — ^, 0,4 — 9 i Cs — gj ^6 = g) • •

sto é, p a r a valores pares, n = 2m, aa = a 2 n i = l / m , e p a r a va lores ímpares, n = 2 m - l a n = O j m - i = l / 2 m . E s t a seqüência t a m b é m t e m o l i m i t e zero, pois cada interva lo em torno da origem, tão pequeno q u a n t o se q u e i r a , conterá todos os números aa a part i r de u m determinado va l o r de n e m d iante . N ã o é, porém, verdade que cada número esteja s ituado mais perto do l i m i t e zero do que o precedente

Consideremos a seqüência

onde o índice inteiro n assume todos os va lores 1, 2, 3, . . . . Se escrevermos 1

U a _ x -—- constatamos que, à m e d i d a que n cresce, o número aa se aprox ima ri - j - J-

cada vez mais de 1, de t a l m a n e i r a que, se m a r c a r m o s q u a l q u e r intervalo em torno do ponto 1, todos os números a* que seguem u m certo aa, cairão no seu inter ior . Escreveremos então,

l i m an = 1. Jí —» CO

I] L I M I T E D E U M A SEQÜÊNCIA 3 1

A seqüência

n2 + n + 1 comporta-se de maneira semelhante. E s t a seqüência tende, também, para u m l imite , desde que n cresça, n a realidade, para o l imite 1, ou, em símbolos, l im a t = 1. Vemos isto mais simplesmente se escrevermos n ~* c o

n + 2 aa = i _ —- = 1 - r a ;

TV + n + 1 tornando-se preciso, apenas, mostrar que os números r a tendem para 0, desde que n cresça. Efetivamente, para todos os valores de n maiores do que 2, temos n + 2 < 2n e n 2 + n + 1 > n2. A expressão do resto será, pois,

2n 2 0 < ra < - = - (n > 2),

n- n

no qual constatamos imediatamente que ra tende para 0, desde que n cresça. A discussão permite, ao mesmo tempo, estabelecer uma avaliação de quanto o número aa (para n > 2) pode, no máximo, diferir do l imite 1. E s t a diferença, com efeito, não pode exceder 2jn.

O exemplo considerado i lustra o fato que, aliás, deveríamos esperar n a t u r a l mente, dos termos com os expoentes mais elevados predominarem, tanto no numerador como no denominador da fração correspondente a aa, para os grandes valores de n, determinando, ao mesmo tempo, o l imite.

4. an = lp.

Seja p u m determinado número positivo. Consideremos a seqüência au a2, a3, ..., aa, . .., onde

ni— a, = -V p.

tv — Afirmamos que l i m aa = l i m "V p = 1.

n —* c° n —> co

Podemos demonstrar muito facilmente a asserção, uti l izando u m lema que servirá, a inda, para outras finalidades.

Se 1 + h jôr um número positivo (isto ê, se h > — 1), e njur um inteiro maior do que 1, teremos

(1 + h)B > 1 + nh . (1) Suponhamos que a desigualdade (1) já tenha sido demonstrada para u m certo

valor de m > 1. Mul t ip l i cando ambos os membros por (1 + h), obteremos (1 + A ) m + 1 > (1 + mh) (1 + h) = 1 + (m + 1)A + mhr.

Se omitirmos o termo positivo mh2 à direita, a desigualdade continua válida. Obte mos então

(1 + h)m+1 > 1 + (m + l)k. E s t a , entretanto, é a desigualdade para o expoente m + 1. Segue-se, pois, que se a desigualdade se verificar para o expoente m, também se verificará para o expoente /ri + 1. Como ela se verifica para m = 2, valerá, também, para m = 3

3 2 I N T R O D U Ç Ã O [CAP.

e, portanto, para m = 4, e assim sucessivamente, verificando-se para qualquer expoente. 0 exemplo i lustra uma demonstração por indução matemática, t ipo de prova que é empregado muitas vezes.

Voltando à nossa seqüência, distinguiremos os casos p > 1 e p < 1 (se p = 1, teríamos ^ p também igual a 1 p a r a qualquer valor de n, e o nosso enunciado tor -nar-se-ia tr ivial ) . _ _

Se p > 1, teremos ^ p também maior do que 1. Façamos v' p = 1 -f- h*, onde hn é u m a quantidade posit iva dependente de n, A desigualdade (1) nos dá

p = (1-+- ha)« > 1 + nh„

donde decorre imediatamente p - l

0 < K < . n

Vemos, pois, que, à medida que o número n cresce, ha tende para 0, provando que os números aa tendem para o l imite 1, como asseveramos. A o mesmo tempo, dispomos de u m meio para avaliar a proximidade de qualquer aa, do l imite 1. A diferença entre aa e 1 não poderá ser maior do que (p -

Se p < 1, V p será menor do que 1 e, portanto, podemos igualar a 1/(1 + h J . onde ha é um número positivo. Daí se conclui, empregando-se a desigualdade (1), que

_ 1 1

P " (1 + hay < 1 + n / i . "

(Tornando o denominador cada vez menor, fazemos crescer a fração). Temos então

1 1 + nha < -,

P l / p - 1

e, portanto na < . n

Verificamos, assim, que, desde que n cresça, h* converge para 0. Como recíproca de uma quantidade que tende para 1, a própria Vp converge para 1.

5. an = a n .

Consideremos a seqüência a* = a" , onde a é determinado e n assume os valo res da seqüência dos números inteiros positivos.

Primeiramente, seja a u m número posit ivo menor do que 1. Podemos escrever o; = 1/(A + 1), onde h é positivo, e a desigualdade (1) dá

1 1 1 aa = • < < —.

(1 + h)a 1 + nJi nh

Visto que os números h e, conseqüentemente, l /A , dependem, unicamente, de a e não se alteram quando n cresce, vemos que, à medida que n aumenta, a= eon-verge para 0:

l im a 1 1 = 0 (0 < a < 1). Tl-* »

I] L I M I T E D E U M A SEQÜÊNCIA 33

A mesma relação se veri f ica quando a é nulo ou negativo, porém, maior do que - 1. Isto é claro porque, em qualquer caso, l i m | a |° = 0.

n —* <= Se a = 1, será a" sempre i gua l a 1, e teremos considerado o número 1 como

limite de a n . Se a > 1, faremos a = 1 + h, onde h é posit ivo, e vemos imediatamente ,

partindo da desigualdade (1), que, quando n cresce, an não converge para l imi te definido, mas cresce além de qualquer l imite . Dizemos , então, que aa tende para o infinito à medida que n cresce, ou que a.n torna-se infinito. E m símbolos,

l i m a n =• a> (a > 1). n —> co

Não obstante, como devemos salientar, o símbolo °° não indica um número com o qual possamos calcular, como qualquer outro. Equações ou enunciados que expr imam que u m a quantidade é ou se t orna in f in i ta , nunca têm o mesmo sentido que u m a relação entre valores definidos. Apesar disso, tais maneiras de expressão e o e m prego do símbolo °° são extremamente convenientes, como veremos mui tas vezes nas páginas seguintes.

Se a — — 1, os valores de a n não convergirão para qualquer l imi te , mas, à medida que n for percorrendo a seqüência dos inteiros positivos, eles assumirão as formas + 1 e - 1 alternativamente. D a mesma maneira , se « < — 1, o valor de a " crescerá, numericamente, além de qualquer l imi te , mas o .sinal respectivo será, V' alternadamente, posit ivo e negativo.

6. Representação geométrica dos limites de a " e ^ p.

Se considerarmos as curvas y = x* e y = x 1 = V x, e nos restringirmos, por u m a questão de conveniência, aos valores não negativos de x, os l imites precedentes estão i lustrados nas figuras 16 e 17, respectivamente. N o caso das curvas y = xa

observamos que no intervalo entre 0 e 1 elas se aprox imam cada vez mais do eixo dos x, à medida que n cresce, ao passo que, fora do intervalo citado, se elevam cont i nuamente e seus gráficos tendem a confundir-se n u m a l inha paralela ao eixo dos y. Todas as Curvas passam pelo ponto de Fig. 16.—x° à medida que n cresce coordenadas x = 1, y = 1, e pe la origem.

Til N o caso das funções y = xlla = "> x, as curvas aproximam-se cada vez mais

de u m a l inha paralela ao eixo dos x, à distância 1 ac ima dele. Por outro lado, todas as curvas devem passar pela origem. N o l imite , portanto, as curvas se a p r o x i m a m d a l inha quebrada formada pela parte do eixo dos y compreendida entre os pontos

y = 0 e y = l e a paralela ao eixo dos x, y = 1. Ademais , é c laro que as duas f i guras estão int imamente relacionadas, como se poder ia esperar do fato de que as funções y = V x são, efetivamente, as funções inversas das potências n de x. D e duzimos, daí, que u m a figura se t rans forma n a outra , m e d i a n t e reflexão segundo a l inha y — z.

7. Séries geométricas.

U m exemplo de l imite , mais o u menos fami l iar na matemática elementar, é a série geométrica

o número q ê chamado razão comam da série. 0 v a l o i des ta soma, como sabemos, pode ser expresso sob f o r m a

desde que q 1; podemos obter esta expressão m u l t i p l i c a n d o a soma 5 n por q e subtraindo a equação assim o b t i d a da equação or ig inal , o u podemos verif icar a fórmula por meio d a divisão.

Agora , surge a pergunta: que acontece à soma, q u a n d o n cresce indef inidamente ? A resposta é a seguinte: a s o m a Sa t e m u m l imi te de f in ido S, se q se m a n t iver entre - 1 e + 1, excluindo-se estes valores extremos. Então , é verdade que

A f i m de verificar t a l a f i rmat iva , escrevemos os números S Q sob a forma

Fig. 17.—z" n à medida que n cresce

1 -f- q -J- ç2 + . . . -f" q'

1 - Q" 1 qa

. J á mostramos que, sendo | q j < 1 a quantidade ç n , 1 - 2 1 - 2 1-q

I] L I M I T E D E U M A SEQÜÊNCIA 35

qa

e, com ela , convergem p a r a 0, à medida que n cresce; logo, de acordo c o m 1 - q

a hipótese ac ima, o número <Sa tende, como fora enunciado, p a r a o l imite

1 - q —-—, à medida que n cresce.

A. passagem ao l imite l i m (1 + q + q% + . . . -f- çn _ 1) = é usualmente ri —• co 1 — q

expressa dizendo-se que, quando | q | < 1, a série geométrica pode ser estendida

ao inf inito e que a soma da série geomélrca injinila é . 1 - q

A s somas S n das séries geométricas finitas são também denominadas somas parciais das séries geométricas inf initas 1 -+- q + q2 + . . . (devemos d is t inguir com clareza as seqüências de números Sv S2, S n , das séries geométricas).

O fato das somas parciais S n das séries geométricas convergirem p a r a o l imi te 1-q

S = à med ida que n cresce, pode também ser expresso, dizendo-se que a 1 1

série geométrica in f in i ta 1 + q -f- qi + ... converge para a soma S = quando k l < i . 1 - 2

8. an = v' n.

Demonstraremos que a seqüência de números

Qi = 1, a2 = V2, a3 = ^ 3 , aa = \ n, . . .

tende para 1 desde que n cresça, isto é,

l i m \ n = 1.

Empregaremos, para esta demonstração, u m pequeno artifício. E m lugar d a seqüência aa = ^1 n, consideraremos a série ba = V aa — V-Ç/n = \1 V n. Quando n > 1, o termo ba é, também, maior do que 1. Podemos, portanto, escrever ò n = l-\-ha, sendo / i n positivo e dependente de n . A desigualdade (1), pág. 31, permite escrever

V7T= (ba)« = (i + è i +nha,

j j , . V n - 1 . V n 1

de modo que nn S s = -7=. n n "V n

Temos, agora,

1 S an = bf = 1 + 2/i„ + /i„î g 1 + 4 = 4-Í V n n

O segundo membro desta desigualdade, evidentemente, converge para 1, o mesmo devendo acontecer com aa.


9. a„ = V n - l - l - V n .

Afirmamos que l i m (V n + 1 - Vn) = 0 . n —» to

Para demonstrá-lo. basta escrever a expressão sob a forma

V n - f l - V n = - (V n 4-1 - V n) (V n -f- 1 4. V n)

V n + 1 + V /i V n + l + Vn vendo-se, em seguida, que a expressão tende p a r a 0, à medida que n cresce-

10. an = ~n.

Seja a u m número maior do que 1. A f i r m a m o s que, à medida que n cresce, n

a sequencia de números a = — converge p a r a o l imite 0. a*

Como no caso anterior de ^1 n, consideramos a seqüência

(Va)» Faremos "V a = 1 + /1. Neste caso /1 > 0, v isto que « e, portanto, V a é maior do que 1. \ desigualdade (1), pág. 31, nos dá

• v V = (1 + / i ) n > 1 4- nA,

V n V ri V n 1

de modo que v a B = ———— g -—• r g —— = - r=. (1 + A" 1 4- n/i n/i ftVn

1 Logo a n g ——.

Como a„ é positivo e o segundo membro desta equação tende para 0, concluímos que aa deve também convergir para 0.

E X E M P L O S

n 2 4- n - 1 1 1. Demonstrar que l i m = - . Determinar u m N t a l , que para

n —» 03 3 n 2 4" 1 3 n 2 4- n — 1 1 1

n > N, a diferença entre e - seja (a) menor do que rr (6) menor do 3 n 2 4 - 1 3 l ü «

que ~ r (c) menor do que 1

1000. ' " ' ^ " ^ — 1000000.

2. Determinar os limites das seguintes expressões, quando n -* =°:

I] D I S C U S S Ã O U L T E R I O R D E L I M I T E 41

cada termo ê menor que o anterior (seqüência monótona decrescente), é particularmente fácil responder se elas convergem p a r a u m l i m i t e . Temos o seguinte teorema:

Toda seqüência monótona crescente cujos termos tenham limite superior (isto ê, inferiores a um número fixo), possui limite; da mesma forma, toda seqüência monótona decrescente cujos termos jamais ficam abaixo de uma cota fixa, ê limitada. Consideremos estes resultados como óbvios, por enquanto, recomendando simplesmente ao le itor a demonstração rigorosa do apêndice (pág. 61). U m a seqüência monótona crescente deve, portanto , convergir para u m l imi te que ê maior do que qualquer dos termos d a seqüência, ao passo que nas seqüências monótonas decrescentes os números tendem p a r a u m l i m i t e que é menor que qualquer dos termos considerados. A s s i m , por exemplo, os números l / n formam u m a seqüência monótona decrescente com o l imi te 0, enquanto que os números 1 - l / n constituem u m a seqüência monóto na crescente com l imi te 1.

E m muitos casos é conveniente substituir a condição do cresci mento monótono das seqüências pela condição mais geral de que os seus termos nunca decresçam; em outras palavras, pe rmi t i r que os números sucessivos sejam iguais uns aos outros. Neste caso, teremos as seqüências monótonas não decrescentes ou seqüências monótonas crescentes num sentido mais amplo.

4. Operações c o m l i m i t e s .

Concluiremos com u m a observação re lat iva ao cálculo com os l i mites. D a definição de l i m i t e decorre, quase imediatamente, que p o demos realizar as operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão, de acordo com as regras seguintes:

Se a i , a2, . . . for u m a seqüência com o l imi te a, e bi, ò 2 , . . . ou t ra com o l imite ò, a seqüência dos números cn = an -f- ba também t e m l imite , e

l i m cn — a + b. ri —> co

A seqüência dos números cn = anba converge da mesma mane ira , e l i m cn = ab.

n-> ca

Semelhantemente, verifica-se a convergência de cn = an - bn e l i m cn — a - b.

Desde que o l i m i t e 6 seja diferente de 0, os números cn — ~ também convergem, tendo por Kmite n

a l i m cn = -,

Tl-* co O E m palavras : podemos permutar as operações racionais de cálculo, com o processo de formação dos l i m i t e s ; isto é, obtemos o mesmo resultado executando, pr imeiramente , a passagem ao Kmite e, depois, u m a operação racional , ou procedendo de m a n e i r a inversa .

P a r a demonstração destas regras simples é suf ic iente dar u m exemplo ; usando-o como modelo, o le i tor poderá estabelecer os outros casos por s i mesmo. Consideremos, pois , a multiplicação dos l imites. A s relações an~* a e bn - »õ s igni f i cam o seguinte: se escolhermos u m número posit ivo qualquer e, necessitaremos apenas tomar n maior do que N, onde N = N(è) é u m número sufic ientemente grande que depende de e, a f i m de termos, s imul taneamente ,

I cl - an [ < € e \b - bn\ < e.

S e escrevermos ah - anbn = b(a - an) -4- an(]b — bn)> lembrando-nos que existe u m l imite posit ivo M , independente de n, t a l que \an\ < M> obteremos

I ab - o A i S I b I I a-an | + | an \ \ b - bn \ < (| 6 | + M)e.

Já que a quantidade (| b | + M) e pode ser tão pequena quanto desejarmos, pela escolha de e sufic ientemente pequeno, vemos que a di ferença entre ab e anbn torna-se, e fet ivamente , tão pequena quanto quisermos para todos os valores suf i c ientemente grandes de n, o que ê, precisamente, a afirmação c o n t i d a n a equação

ab = h m arLbn. 71—» co

Por meio destas regras podem-se avaliar inúmeros limites com facilidade; por exemplo

1 1

v? — 1 n" lim = lira = 1,

71—» co X 1 1 -f- 1 n n2

visto que, na segunda expressão, a passagem ao limite, tanto no numerador como no denominador, pode ser feita diretamente.

E x i s t e outra regra simples e óbvia , d i g n a de menção. Se l i m a„ = a e l i m bn — b , e se, além disso, a f i > b n para cada n , teremos a ^ b,

1] DISCUSSÃO U L T E R I O R D E L I M I T E 43

Entretanto , de modo a lgum podemos esperar que, em geral , a seja maior do que b, como se mostrou no caso das seqüências an — 1/TI, 6 n = l/27i, para as quais a — 0 = b. 5. O n ú m e r o e.

Como primeiro exemplo da geração de u m número, cujo va lor não pode ser estabelecido a priori como l imi te de u m a seqüência de números conhecidos, consideremos as somas

s„ = i + i + i + . . . + i .

Afirmamos que, à medida que n cresce, esses números Sn convergem para u m l imite definido.

A f i m de demonstrar a existência do l imi te , observemos que as somas Sn crescem monotonamente, à medida que n cresce. P a r a todos os valores de n temos também

1 1 1 2n

5 „ á l + l + 2 + 2 Í + - - - + 2 ^ i s a 1 + f < 3 -

^ 2 Os números Sn têm, portanto , p a r a l imite superior 3 e, sendo a seqüência monótona crescente, possuem l imite , que designaremos por e:

e — l i m Sn. 71-» «>

Além disso, afirmamos que o número e, definido como o l imi te ac i ma, é, também, o l imi te d a seqüência

Tn = 1 + Z - 2

A demonstração é simples e, ao mesmo tempo, constitui u m exemplo instrutivo de operações com limites. D e acordo com o teorema do binômio, que consideramos conhecido,

• - ( • • D " ! , » ( " - 1 ) 1 , , n ( n - l ) Q - 2 ) . . . l 1


Vemos imediatamente que Ta S Sn, e que os Tn f o rmam também u m a seqüência monótona crescente C1), donde se deduz a existência do l imite l i m Tn = T . P a r a provar que T = e, observemos que

' - > ^ ^ K i - i ) + - + s ( i - í ) - 0 - ^ >

desde que m > n. Se fixarmos n, deixando m crescer além de qualquer l imite , obteremos, à esquerda, o número T e, à d i re i ta , a expressão Sn, de modo que T è Sn. Estabelecemos, assim, a relação Tn è Sn ^ Tn, para todos os valores de n. Podemos, agora, deixar n crescer, de ta l sorte que Tn tenda p a r a T. D a d u p l a desigualdade segue-se T = h m S n = e, 0 que representa o enunciado que queríamos provar . "~4°°

M a i s adiante (cap. I I I , § 6, pág. 172) trataremos novamente do número e, porém, sob outro ponto de v i s ta .

6. O n ú m e r o r c o m o l i m i t e .

U m processo de l imite que, n a sua essência, r emonta à antiguidade clássica (Arquimedes) é o que permite a definição do número r . Geometricamente, 7T representa a área do círculo de raio 1. Aceitaremos, pois, a existência deste número como i n t u i t i v a e admitiremos como evidente que t a l área possa ser representada por u m número (racional ou irracional), o qua l será designado, simplesmente, por ir. E s t a defi nição, contudo, não será de grande auxílio, se desejarmos calcular o número com re lat iva precisão. N ã o temos, portanto , que escolher o número, mas s im representá-lo, como l i m i t e de u m a seqüência de números conhecidos e facilmente calculáveis, isto é, por meio de u m processo de l imite . O próprio A r q u i m e d e s empregou este processo no seu método de exaustão, pelo q u a l chegava cada vez mais perto do circulo, partindo de polígonos regulares com número crescente de lados, que se i a m adaptando mais e mais à circunferência. Se designarmos a área de u m polígono regular de m lados, inscr i to no círculo,

(J) Podemos obliX Tk+i de Ta, substituindo os fatores 1 - lfn, 1 - 2/ra, . . . pelos fatores maiorea 1 2

1 —r~í» l TT' • • • e, finalmente, somando u m termo positivo.

I] DISCUSSÃO ULTERIOR D E L I M I T E 45

por/ m , a área do polígono inscrito com 2m lados será dada pela fórmula (demonstrada na geometria elementar)

Façamos, agora, m variar, não segundo a sucessão de todos os inteiros positivos, mas, sim, conforme a seqüência das potências de 2, isto ê,m = 2n; em outras palavras, formemos polígonos regulares cujos vértices são obtidos pela bisseção repetida da circunferência. A área do círculo será, então, dada pelo limite

ir = l im/ 2r a .

»-+ CO A representação de ir como l imite serve, efetivamente, de base para os cál

culos numéricos. Partindo, por exemplo, de um valor J4 = 2, podemos calcular os termos da seqüência que converge para 7r. A avaliação da precisão com que qualquer termo / 2

n representa x , pode ser constatada pela construção das linhas que tocam o círculo, paralelas aos lados do polígono inscrito de 2o lados. Tais linhas formam um polígono circunscrito, semelhante ao inscrito de 2a lados, tendo suas

ir dimensões majoradas na proporção 1 : cos ——. A área F2

a do polígono circunscrito 2n ^ é, portanto, dada por

— = ( cos )• Fa* V 2 " - V

Como a área do polígono circunscrito é, evidentemente, maior do que a do círculo, temos

U U < 7T < F2° = I cos } V 2 » - V

Consideramos o leitor mais ou menos familiarizado com estes assuntos. 0 que, porém, desejamos salientar é que o cálculo de áreas por meio de exaustão de áreas de figuras retilíneas facilmente calculáveis, constitui o conceito básico da integral, o qual será introduzido no próximo capítulo (pág. 76).

E X E M P L O S

1.* (a) Substituir o enunciado a "seqüência aa não é, em absoluto, l i m i tada" , por outro equivalente, sem empregar as palavras " n m i t a d a " ou " i l i mi tada" .

(b) Substituir o enunciado " a seqüência aB é divergente" por outro equivalente, não envolvendo as palavras "convergente" ou "divergente".

2* Se jam a,, e dois números posit ivos e at < bi. Def inamos a3 e b2 por meio das equações

t— Í 0.1 + bt a2 = V a A , b2 = —-—.

/ «2 "f &3

D a mesma forma, sejam a 3 = V a 2 ò 2 , bs = —-—,

e, em geral. a„ « v a^ií),,.!, o n = — .

Demonstrar (a) que a seqüência au a 2 , . . . , converge, (b) que a seqüência 6j, 6 2 , . . . , converge, (c) que as duas seqüência têm o mesmo l imi te . (Este l imi te é denominado a média arilmclico-geomêirica de a 4 e è j ) .

3. * P r o v a r que, se lira a D = £, l i m o-„ = £, sendo <rQ a média aritmética an—> ca n —* ca

(a, 4- a2 4- • • - 4- a„)/n. 4. Se l i m a„ = £, mostrar que a média aritmética das médias aritméticas oa

Tl —• » tende para £. 1 1

5. Calcular o erro cometido quando se emprega S„ = 1 4 b . • • 4 . como 2t n l

aproximação de e. Determinar e c o m c inco decimais exalas .

7. CONCEITO DE LIMITE QUANDO A VARIÁVEL É CONTÍNUA

Até aqui consideramos os limites de seqüências, isto ê, das funções de uma variável inteira n. A noção de limite, entretanto, ocorre freqüentemente relacionada com os conceitos de variável contínua x e de função f(x).

Estabelecemos que o valor da função f(x) tende para um limite l, à medida que x tende para £, ou,, em símbolos,

lim f(x) = l, x-*(

se todos os valores da função f(x), para os quais a; está situado bastante perto de £, diferirem arbitrariamente pouco de /. Esta condição é expressa mais precisamente da forma seguinte:

Dada uma quantidade positiva e, arbitrariamente pequena, podemos determinar, em torno de §, um intervalo | x - £ | < 5 tão pequeno que, para cada ponto x deste intervalo, diferente do próprio £, verifica-se a desigualdade | f(x) - 11 < e.

Excluímos, expressamente, a igualdade entre x e §, assim procedendo para maior simplicidade e para obtermos' a definição sob o aspecto mais conveniente para as aplicações, por exemplo, no caso em

I] L I M I T E D E U M A F U N Ç Ã O 47

que f(x) não estiver de f in ida no ponto £, embora o esteja p a r a todos os outros pontos v i z inhos de £ (pág. 159).

Se a função for de f in ida , ou considerada apenas em u m determi nado intervalo , por exemplo, V i - x* para - 1 úx SI, devemos restringir os valores de a; a este intervalo. A s s i m , se £ designar u m extremo do intervalo , x aproxima-se de £ por meio de valores situados somente de um lado de £ ( l imite a p a r t i r do interior do in terva lo ou l imi te uni lateral ) .

Como decorrência i m e d i a t a desta definição, temos o seguinte: se l im/(aO = l, e x\, cc2, xs, ..., xn, . . . for u m a seqüência de números,

todos diferentes de £, mas aproximando-se dele como l i m i t e , então l i m / ^ ) = i. n—> co

Seja e u m número pos i t i vo qualquer. Mostraremos que, para todos os valores de n maiores do que u m determinado n 0 , tem-se a desigualdade

l / M -l\ <«•

P o r definição, existe u m 8 > 0 t a l que, sempre que | x - £ | < 5, a desigualdade

\m-i\<«

é verdadeira. V i s t o que xn -* £, a relação | xn - £ | < 5 é satisfeita para todos os valores de n suficientemente grandes. P a r a tais v a l o res, I f(xn) - 11 < e, como queríamos provar .

Procuremos, agora, esclarecer esta definição abstrata por meio de exemplos simples. Consideremos, primeiramente, a função

sen x

m = —, X

definida para x d£ 0. Afirmamos que

sen x lim = 1. a-»o x

Não podemos provar o enunciado proposto pela simples passagem ao limite do numerador e denominador separadamente, porque eles se anulam para i = 0 e o símbolo 0/0 nada significa. Efetuaremos a demonstração da maneira seguinte.

A comparação das áreas dos triângulos OAB e O AC e do setor OAB da figura 18, mostra que, se 0 < x < ir/2,

Daí decorre que, se 0 < | x

sen x < x < t g x.

< w/2,

x 1 1 < < sen x cos x

sen x Logo, o quociente f ica situado entre os números

x 1 e cos x. Sabemos que cos x converge para 1 à medida

que x -* 0, e isto quer dizer que o quociente sen i pode

Tig. 18

„ diferir arbitrariamente pouco de 1, desde que x esteja bastante próximo de 0. E s t e é o significado exato da equação que dev ia ser demonstrada.

D o resulí.:.do obtido deduz-se que

. tg x sen x 1 l im = l im l i m x->0 X z->0 X I - - . 0 C O S I

= 1,

e, também, lim • z-*0

cos x = 0.

E s t a relação decorre da fórmula, válida p a r a 0 < j a; [ < x/2,

1 - cos x (1 - cos x) (1 - f cos x) 1 — cos 2 x

x(l + COS X)

sen x 1 ar(l 4- cos x)

x 1 4- cos x -. sen x.

A medida que x -> 0, o primeiro fator da d i re i ta tende p a r a 1, o segundo para J ^ , e o terceiro, para 0, convergindo, pois, o produto p a r a 0, como foi enunciado.

Dividindo-se a mesma fórmula por x, obtemos

X- cos X

donde l im -x — Ü

cos X

Finalmente, consideremos a função "V x*, de f in ida por todos os valores de x E s t a função nunca é_negativa, sendo igual a x p a r a x è; 0 e a -x para x < 0. E m outras palavras, V a;3 = J a; [. Conseqüentemente, a função ^x^/x, definida para todos os valores de x, diferentes de zero, t e m o va lor 4- 1 quando x > 0 e - 1 quando x < 0. E , portanto, impossível a existência do l imi te l i m V x^Jx, v isto que podemos

I] L I M I T E D E U M A FUNÇÃO 49

encontrar valores de x arbitrariamente perto de 0 para os quais o quociente ê + 1 e outros para os quais êle vale — 1.

Concluindo a discussão sobre limites relativos às variáveis contínuas, observemos que é, efetivamente, possível considerarmos processos limites nos quais a

"variável contínua x cresce além de qualquer limitação. Por exemplo, o significado da equação

1 1 + -

x2 + 1 X2 l i m = hm = 1

X—> 00 X2 — 1 X—* 03 1 « X2

torna-se claro, sem necessidade de discussão. E le indica que a função d a esquerda difere arbitrariamente pouco de 1, desde que x seja suficientemente grande.

Nestes exemplos, procedemos como se as operações com limites, no caso de variáveis contínuas, obedecessem às mesmas leis que as seqüências. O leitor poderá fazer a verificação por si mesmo, visto que as demonstrações são essencialmente as mesmas que para os limites das seqüências.

EXEMPLOS

1. Determinar os l imites seguintes, dando, em cada caso, o teorema que o justi f ica:

xá + 2x - 1 (a) l i m 3x. (c) l i m

x- >2 x-+l 2x + 2

(6). l i m 4x + 3. (d) l i m V5 + 2x J . x—»3 x—>2

2. Demonstrar que

xa — 1 sen x . sen (x-) (a) l i m = n; (b) l i m = 1; (c) l i m = 0.

x-+0 X — 1 I-+7TX — x x->0 x

3. Verif icar se os l imites seguintes existem ou não, e, no caso af irmativo, determinar os seus valores:

, x V l - x ,. V l + x f \ v m V l + x - V l (a) l i m ; (6) h m •—; (c) h m X-+0 X 2-+0 X E-íO x

8. C O N C E I T O DE CONTINUIDADE

1. Definições. Já ilustramos a noção de continuidade no § 2 (pág. 19) por meio

de exemplos. Agora, com o auxílio da idéia de limite, estamos em condições de precisar tal definição.

5 0 I N T R O D U Ç Ã O [ C A P .

fftjte

Consideramos o gráfico de u m a função contínua em u m intervalo como sendo uma curva constituída de u m segmento inteiro; estabelecemos ainda que a mudança n a função y deve permanecer arbi trariamente pequena, contanto que a variação da variável independente x f que restringida a u m intervalo suficientemente pequeno. Estas hipóteses são usualmente formuladas como segue, com maior pro l ix i dade, porém, com maior precisão DLz-se que u m a função f(x) é contínua no ponto £, se o valor de / (£ ) for se aproximando, com um grau

de precisão e, preestabelecido, de todos os valores de f{x), para os quais x estiver suficientemente próximo de £. E m outras pa lavras, j(x) ê contínua em £, se para qualquer numero positivo e, arbitrariamente pequeno, p u der ser determinado outro número posit ivo 6 = 5(e), ta l que \Ãx)-M I < « (fíg. 19) para todos os pontos x para os quais I x - £ I < S. Ou ainda: a

condição de continuidade requer que a equação entre limites

l i m / & > = / ( £ )

seja verificada para o ponto £. O valor d a função no ponto £ é o mesmo que o l imite dos valores de f(xn) p a r a u m a seqüência arbitrária qual quer, Xn, de números que convergem para £.

É importante observar que a condição acima encerra duas af irmações diferentes: (1) a existência do l imite l im/(a:) , e, (2), a coincidência

deste limite-com/(£), isto é, o va lor da função no ponto £. Definida a continuidade de u m a função f(x) n u m ponto £, estabe

leçamos o que entendemos por continuidade de uma função f(x) num intervalo. Es ta definição pode ser obt ida, facilmente, do modo seguinte: a função f(x) é contínua n u m intervalo se for contínua em cada ponto deste intervalo. De uma maneira precisa, t a l afirmação requer que, se fôr dado um número positivo e, exista, para cada ponto x do inter-

I] A C O N T I N U I D A D E D O S N Ú M E R O S 51

valo, u m número positivo 5, dependente, em geral, de e e de x, t a l que

|/(x) -f(x) I < € se I x-x I < 5,

estando x situado no intervalo a Sx Sb. int imamente ligado com este, há o conceito de continuidade uni

forme. A função f(x) é uniformemente contínua no intervalo a Sx Sb se, para cada número positivo e, houver u m número posit ivo correspondente 8, t a l que, para cada par de pontos xu x2 do intervalo cuja distância | Xi - x2 | é menor do que 8, se verifique a desigualdade I f(xi) - / f e ) I < e. T a l conceito difere do estabelecido acima, porque 8, na definição da continuidade uniforme, não dep n le de x, sendo igual mente válido em relação a todos os valores de x. Daí o nome de continuidade uniforme.

É claro que uma função uniformemente contínua ê, necessariamente, contínua. Inversamente, pode ser demonstrado que toda função f(x), contínua no intervalo fechado a Sx Sb, é também uniformemente contínua. Deixamos esta exposição para o apêndice (pág. 64) e, embora o leitor não queira estudá-la no momento, ser-lhe-á útil examinar os exemplos apresentados no início do apêndice I , § 2, n.° 2 (pág. 65). Contudo, mesmo antes de estudar a demonstração, admitiremos que, sempre que mencionarmos uma função contínua n u m intervalo fechado, nos referimos à continuidade uniforme.

2. P o n t o s de d e s c o n t i n u i d a d e .

O conceito de continuidade é mais facilmente apreendido, quando estudamos o seu oposto, o conceito de descontinuidade. Os tipos mais simples de descontinuidade ocorrem nos pontos onde a função dá um salio, isto é, nos quais apresenta limites definidos e diferentes, conforme x se aproxime do ponto, pela direita ou pela esquerda. A forma ou a inexistência de definição da função no ponto de descontinuidade não altera o problema.

Por exemplo, a função /(x) definida pelas equações j(x) = 0 para x* > 1, /(x) = 1 para x < 1, j(x) = M P^a x* = 1

tem descontinuidades nos pontos £ = l e £ = - l . Os limites, quando nos aproximamos destes pontos, tanto pela direita como pela esquarda, diferem de 1. Os valores da função coincidem não com qualquer limite, nestes pontos, porém são iguais à média aritmética dos dois limites.

Notemos, de passagem, que a função pode ser representada, utilizando-se a idéia de limite, pela expressão

i j{x) = l im

n - 0 1 + X 2 n .

Se £2 < 1, isto é, se x ficar compreendido no intervalo - 1 < x < 1, os números x 2 0 terão o limite 0, e a função assumirá o valor 1. Se, entretanto, x 2 > 1, à medida que n cresce, x 2" crescerá além de qualquer l imite e a função terá o valor 0. F i n a l -

• o

0 X

Fig. 20

mente, se x s = 1, isto é, para i = + l e s = - l , a função admite simplesmente o valor y2 (Kg 20).

Outras curvas descontínuas (com saltos), estão representadas nas figuras 21a e 21b. Elas traduzem funções com descontinuidades evidentes.

Nos casos de descontinuidades desta natureza existem limites tanto à direita como à esquerda. Passaremos, agora, à consideração de descontinuidades em que não se verificam tais limites. As mais importantes são as descontinuidades infinitas. São descontinuidades como as apresentadas pelas funções l/x ou l / x 2 no ponto £ =

0 0

Fig 21a Fig . 215

À medida que x-* £ o valor absoluto |/(x) | da função cresce além de qualquer limite. No caso de l /x , a função cresce, numericamente além de toda a limitação através de valores positivos e negativos, respectivamente, à medida que x se aproxima da origem pela direita ou pela esquerda. Por outro lado, a função l / x 2 tem, para x — 0, uma descontuinidade infinita, na qual o valor da função se torna positivamente infinito a partir de ambos os lados (fig. 6, pág. 18, e fig. 12, pág. 22). A fun-

I] A C O N T I N U I D A D E DOS NÚMEROS 53

ção y = —- desenhada na f igura 22, t e m descontinuidades inf initas tanto em x 2 - 1,

z = l como em x — - I. Finalmente , i lustraremos por meio de u m exemplo, outro t ipo de desconti

nuidade, no qual não existem l imites , n e m à dire i ta , nem à esquerda. Se ja a função

1 y = sen - ,

x

definida para todos os valores diferentes de zero. E s t a função admite qualquer

F i g . 22/—Função com des- Fig . 23.—Função oscilante comimiidades infinitas com descontinuidade

valor entre - 1 e + 1, quando l /x v a r i a entre (2n - M) 7 1" e (2n + }i)ir, qualquer 2

que sei a o valor do inteiro n. Nos pontos x = — —• a função valerá - 1 e, (4n - 1 ) T

2 nos pontos x = terá o valor + 1. Vemos, portanto, que a função oscila

(4n + 1)TT

para a frente e para trás, cada vez mais rapidamente, entre os valores + 1 e - 1, à medida que x se aproxima mais e mais do ponto x = 0, e que, n a vizinhança imediata de x — 0, ocorre u m número inf inito de oscilações (fig. 23).

É interessante observar que, em contraste com o exemplo acima, a função y — x sen l / x (fig. 24) permanece contínua no ponto x = 0, se lhe atr ibuirmos o valor 0 em t a l ponto. E s t a continuidade é devida ao fato de que, à medida que nos

54 INTRODUÇÃO [CA*.

aproximamos da origem, o fator x amortece as oscilações do seao. Contado, na proximidade da origem, a função y = x sen l/x não passa do crescimento para o decrescimento monótono um número jiniio de vezes. Pelo contrário, ela oscila para a frente e para trás um número infinito de vezes, tornando-se a amplitude destas oscilações tão pequena quanto quisermos, à medida que nos aproximamos da origem. Este exemplo mostra que, mesmo a idéia simples de continuidade, per

mite toda a sorte de possibilidades notáveis, estranhas à intuição comum.

Há um fato importante que deve ser considerado quando quisermos dar maior precisão às nossas idéias. Pode acontecer que, num certo ponto, a função não seja definida pela lei primitiva, como, por exemplo, no ponto x = 0, nos dois últimos exemplos apresentados. Podemos, então, estender a definição da função, dando-lhe o valor que quisermos em tal ponto. No último exemplo, entretanto, podemos estender a definição de tal modo que a

função se mantenha contínua no ponto considerado, fazendo y = 0, quando x = 0. Isto pode ser feito sempre que existirem ambos os limites à esquerda e à direita e quando forem iguais entre si. Rasta, então, fazermos o valor da função igual a estes limites, de modo a torná-la contínua, no ponto considerado. Com a função y — sen l/x, tal não é possível.

F i g . 24.—Função contínua oscilante

CD

3. Teoremas sobre funções contínuas.

Concluindo, enunciaremos os seguintes importantes teoremas gerais, cujas demonstrações decorrem imediatamente das observações sobre as operações com limites (pág. 41):

4 soma, a diferença e o produto de duas funções contínuas são, elas próprias, funções contínuas. O quociente de duas funções contínuas é uma função contínua em todos os pontos em que o denominador não se anular.

Em particular todas as funções polinomiais e todas as funções racionais não contínuas, exceto nos pontos onde o denominador se

I] A C O N T I N U I D A D E DOS NÜMEROS 55

anula. O fato de outras funções elementares, tais como as trigonométricas, serem contínuas, decorrerá naturalmente de considerações ulteriores (págs. 69, 97).

E X E M P L O S

1. Demonstrar que x- sen -x l im = 0. a;-»0 sen a;

2. Provar que

sen (x - a) 1 x + cos x (a) l im = —; (o) l im = 1;

x—>a X 3 — a 2 2a x-> co X 4- 1

(c) l im cos l / x = 1. 2-t ca

3. (a) Seja /(x) definida pela equação y = 6x. Determinar u m 5, dependendo de £, tão pequeno que |/(x) - / ( £ ) 1 < e sempre que | x - £ J < ô, onde (1) « = L/10; (2) e = 1/100; (3) e = 1/1 000.

Fazer o mesmo para (&) ./(x) = x 2 - 2x; (c) /(x) = 3 x M - x= - 7; (d) /(x) = V x, x è 0; (e) /(x) = V x 2

4 (a) Seja /(x) = 6x no intervalo á x ã 10. Calcular 3 ião pequeno que | / (X[ ) - / (x 2 ) I < É sempre que J xx - xz | < 5, onde (1) e = 1/100; (2) e ê arbitrário, > 0.

Fazer o mesmo para (6) j{x) = x- - 2x, - 1 g x g 1; (c) i (x ) = 3 x M - X2 - 7, 2 = x á 4; (d) j(x) = V 0 ^ x â 4; (e) /(x) = V x 2 , - 2 á j g 2 .

5. Determinar, entre as funções seguintes, quais as contínuas. Estabelecer os pontos de descontinuidade para as descontínuas.

(a) x 2 sen x. x» 4- 3x 4- 7 1 (e) — . ( t) x 2 — 6x 4- 8 • sen x

x3 + 3x 4- 7 (y) cot x. (ò) x sen2(x2).

(c) - sen x. a;3 - 6x 4- 9 1 x (fe)

X3 + 3x 4- 7 cos X <<7) senx xá - 6x 4- 10 (0 £ cotg

V x ' (h) tg x. (m) (TT - a;) tg z*

5 6 I N T R O D U Ç Ã O [ C A P .

A P Ê N D I C E I A O C A P Í T U L O I

O B S E R V A Ç Õ E S P R E L I M I N A R E S

N a matemática dos gregos encontramos u m a extensa aplicação do princípio de que todos os teoremas devem ser demonstrados de forma logicamente coerente, mediante sua redução a u m conjunto de axiomas, em número tão pequeno quanto possível, os quais não são provados. Este método axiomático de apresentação, que serviu como critério para o rigor da investigação, f o i considerado, no início d a era moderna, como modelo para outros ramos do conhecimento. Por exemplo, n a filosofia, homens como Descartes e Espinosa acreditav a m ter tornado suas investigações mais convincentes apresentando-as axiomàticameiite ou, como eles próprios d i z iam, "geometricamente" .

0 mesmo, porém, não aconteceu c o m a matemática moderna, que começou a desenvolver-se quase ao mesmo tempo que a nova filosofia. E m matemática, o princípio da redução a axiomas é freqüentemente posto de lado, surgindo a p r o v a i n t u i t i v a , em cada caso isolado, como o método favorito de demonstração. M e s m o no caso de cientistas de primeira categoria encontramos operações com estes novos conceitos, baseados, pr inc ipalmente , sobre a intuição de resultados corretos, nem sempre livres de associações místicas — particularmente no caso das nefastas "quant idades inf initamente pequenas" ou " inf initesimais" . Fé cega n a onipotência dos novos métodos conduziu o investigador por caminhos que n u n c a ter ia podido percorrer, caso estivesse sujeito às limitações impostas por u m rigorismo puro. E não nos deve admirar que somente o inst into seguro de u m grande mestre pudesse evitar os erros crassos, precavendo-se contra eles.

Felizmente, as correntes antagônicas que surg i ram no século X V I I I e atingiram pleno desenvolvimento no século X I X , não intentaram pôr à prova o desenvolvimento d a matemática moderna, mas l i m i taram-se a estabelecer e estender os seus resultados. A necessidade, porém, de uma investigação crítica e d a consolidação dos progressos feitos cresceu, gradativamente, de t a l modo, que a sua realização, no século X I X , é justamente considerada como u m a das maiores façanhas d a matemática.

I] OBSERVAÇÕES P R E L I M I N A R E S 57

N o cálculo diferencial e integral a obra crítica de Cauchy foi particularmente importante. Formulando os conceitos fundamentais de modo claro e satisfatório, Cauchy desenvolveu, em várias direções, a obra iniciada no século X V I I I , relativa à apresentação d a análise superior de forma inteligível, l ivre de dúvidas e incertezas devidas ao uso dos infinitesimais.

O mais importante que restava fazer era substituir as considerações intuit ivas, nas demonstrações e discussões, por considerações de análise pura, baseadas, unicamente, sobre números ou sobre operações que podem ser efetuadas com os números — como dizemos atualmente, era preciso " a r i t m e t i z a r " a análise. N a realidade, os espíritos preparados para a crítica sentem que há algo de insatisfatório no apelo à intuição em demonstrações analíticas. Não necessitamos penetrar no âmago da questão relativa à "precisão" ou "imprecisão" da intuição ou da existência da "intuição pura a priorr no sentido estabelecido por K a n t , para reconhecer que o pensamento intui t ivo comum inclui muitas imprecisões que impedem o acesso r i goroso às provas exigidas pela análise. N o s capítulos seguintes esta constatação nos aparecerá de modo cada vez mais claro. M e n c i o n a mos aqui, como exemplo, a dificuldade que existe em apreender, i n tuitivamente, o conceito de curva contínua. U m a curva contínua não necessita, de modo alguma, possuir uma direção definida em cada ponto. D e fato, existem curvas contínuas que não possuem direção em nenhum ponto e curvas contínuas a que não podemos atribuir qualquer comprimento. E m face de tais resultados, mesmo o p r i n c i piante sentirá a necessidade de uma análise "aritmética"

Todav ia , não nos devemos esquecer que foi possível u m século de bri lhante e frutífero desenvolvimento da matemática antes que tais exigências fossem satisfeitas. Apesar dè todos os seus defeitos,- a i n tuição continuará sendo a força propulsora mais importante d a descoberta matemática, e somente ela pode construir a ponte que l iga a teoria às aplicações.

Seguiremos Bolzano e Weierstrass no desenvolvimento das diretivas de pensamento que deram como resultado as rigorosas e completas demonstrações dos teoremas que formulamos, por processos intuit ivos, no primeiro capítulo.

G) Conceitos matemáticos rigorosos são sempre formas altamente desenvolvidas de idéias que se originam intuitivamente. Logo, ê absolutamente impossível dispor os problemas relacionados c o m o s fundamentos básicos da matemática, recorrendo-ünicamènte à intuicSo comum.

58 I N T R O D U Ç Ã O [CAP.

1. PRINCÍPIO DO PONTO DE ACUMULAÇÃO E SUAS APLICAÇÕES

1. Princípio do ponto de acumulação.

N a discussão rigorosa dos fundamentos da análise, a parte p r i n cipal é representada pelo princípio do ponto de a umulação de Weier -strass. D o ponto de vista intu i t ivo , este princípio importa , simplesmente, na exposição de um fato comum; mas, justamente porque resume um estado de coisas que ocorre freqüentemente, ele é tão i m portante quanto uma pequena alteração na v i d a diária. 0 princípio se enuncia da forma seguinte:

Se um intervalo finito contêm uma infinidade de números, estes possuem ao menos um ponto de acumulação isto ê, há, no mínimo, um ponto £ lai que, em cada intervalo, por menor que este seja, em torno de £, existe uma infinidade de números dados.

A f im de provar aritmeticamente o princípio do ponto de acumulação, admitiremos, de início, que o intervalo dado seja o de 0 até 1. Dividiremos, agora, este intervalo em 10 partes iguais, por meio de pontos 0,1, 0,2, . . . , 0,9. A o menos u m destes subintervalos deve conter u m a infinidade de pontos. Suponhamos que o intervalo que começa com o número 0,a L seja aquele (ou u m daqueles se houver vários) que tem a propriedade mencionada. Subdividiremos, agora, este intervalo em dez partes iguais, empregando os pontos de subdivisão O.ezil, Q.a22, . . . , 0.ai9. Novamente será verdade que, no mínimo, u m desses subintervalos deve conter u m a : nfinidade de pontos; admitamos que seja o subintervalo que começa com o número 0,aiã2. M a i s u m a vez o subdividiremos em dez partes — notando que uma dessas partes deve conter uma infinidade de pontos — e continuaremos o processo. C o n sideremos, agora, o número decimal

£ = 0,aia2a3

É claro que este representa u m ponto de acumulação para o nosso conjunto de números. Cada intervalo, por menor que seja, em cujo interior estiver situado o ponto £, conterá subintervalos do nosso sistema de subdivisão com u m certo grau de precisão em diante , e estes subintervalos contêm u m a infinidade de números do conjunto.

Se o intervalo considerado, em lugar de ser o intervalo desde 0 a 1, fosse, digamos, o intervalo desde o até a h, nada de essencial seria alterado no ra-

11 P O N T O D E A C U M U L A Ç Ã O 59

ciocínio acima. O ponto de acumulação é, pois, representado, simplesmente, por um número da forma

a + h X 0, a i a 2 a a . . . .

2. L i m i t e s d a s seqüênc ias . A s considerações acima projetam nova luz sobre o conceito de l i m i

te das seqüências infinitas de números a i , a2, as an,.... E m p r i meiro lugar consideremos o caso excepcional em que u m a infinidade de números d a seqüência são iguais entre s i , e estenderemos nossa def in i ção, aplicando, também, a denominação de "ponto de acumulação" a éste ponto (ou a estes pontos). Se existir u m a infinidade de números diferentes n a seqüência, e admitirmos que os seus números an são " i l i m i tados", isto ê, que há u m número M t a l que a desigualdade | an | < M se verif ique para todos os valores de n, os termos de seqüência form a m u m conjunto inf inito de números num intervalo f in i to , v isto estarem todos situados entre - M e M. Eles devem, portanto, possuir pelo menos u m ponto de acumulação (£). Se existir somente um ponto de acumulação, é fácil demonstrar que a seqüência é convergente e que o seu l imi te é £. Marquemos u m intervalo, arbitrariamente pequeno, em torno do número £. Se houvesse uma infinidade de pontos da seqüência fora do intervalo, eles ter iam outro l imite , diferente de £, o que é contrário à hipótese. Portanto , somente u m número f in i to de termos d a seqüência é exterior ao intervalo e, assim, por definição, a seqüência converge para £. Se, por outro lado, existirem diversos pontos de acumulação, a seqüência não converge para limite algum. A existência do l imite e a unidade do ponto de acumulação das seqüências l imitadas são, pois, idéias equivalentes.

A inexistência de limite deve ser considerada antes como regra do que como exceção. Por exemplo, a seqüência com os termos a 2 n = l /n , a2a_i = 1 - l / n (n = 1, 2, ...) tem dois pontos de acumulação: 0 e 1.

O conjunto dos números positivos e racionais pode ser considerado como u m a seqüência de números, na qual a ordenação pela grandeza foi , de fato, completamente destruída. Chegaremos mais f a c i l mente a u m arranjo desta natureza n u m a seqüência se, primeiramente, escrevermos os números racionais como está indicado na página 60 e, depois, compusermos o esquema como ind icam as setas, desprezando os números que já tenham sido encontrados (tais como 2/4). O sistema de números racionais contém, evidentemente, todos os pontos rácio-

riais, e irracionais, como pontos de acumulação, const i tu indo , ass im, u m exemplo simples de seqüência com u m número inf in i to de pontos de acumulação. <

Por intermédio do conceito de convergência será possível estabelecermos o princípio do ponto de acumulação sob f o rma notável, a qual encontra ampla aplicação.

Em qualquer conjunto infi- \~~/2 yz~~}Ã * 5 ~T& ST""* ' nito de números, é possível esco- ~ \ A , \ À À Â * ' lher uma seqüência infinita a.i, 1/ I s z / z / z_/ „ a 2 , a 3 , . . . convergente para um Í / Í / 4 / 4 / , % • limite definido £. P a r a t a l , bas ta \]/\ f \ / * que tomemos u m ponto de a c u - \ y \ mulação £ do conjunto numéri- T \y/* co e u m número au cuja distân- f * ' E a u r n e r a c S o d o s n f i m e r o s

c ia de £ seja menor do que 1/10; * racionais

em seguida, u m número a 2 , c u j a distância de | seja menor do que 1/100, mais u m terceiro número a 3 , cu ja distância de £ seja inferior a 1/1000, e assim sucessivamente. Vemos, imediatamente, que esta seqüência converge, de fato, para o l imi te £.

3. Demonstração do critério de convergência de C a n c h y .

Voltemos, novamente, às seqüências convergentes, isto é, às seqüências l imitadas que têm apenas u m ponto de acumulação. O critério de convergência de Cauclry, exposto n o § 6 (pág. 40), reduz-se, agora, quase que a u m a banalidade. Efe t ivamente , admitamos que \am-an\ seja arbitrariamente pequeno, quando m e n f orem suficientemente grandes. Os números aM neste caso, situam-se todos n u m intervalo f inito e, portanto, possuem, no mínimo, u m ponto de acumulação £. Se existisse u m segundo ponto de acumulação a distância deste ponto a £ seria — a, quantidade pos i t iva . D e n t r o de u m a distância arbitrariamente pequena de £, digamos, menor do que a/3, existir iam inf initos Oj, e, portanto , em part icular , u m a inf in idade de números an para os quais n > N, por maior que fosse o N escolhido. D a mesma maneira , dentro de u m a distância arbitrariamente pequena do ponto 77, digamos, menor do que a/3, existirá u m a inf inidade de números a„, d a seqüência, em part i cu lar , inf initos a^, p a r a os quais m > N.

1] P O N T O D E ACUMULAÇÃO 61

Para os valores an e am verifica-se \ am-an\> a/3, porém, esta re lação é incompatível com a hipótese feita, isto é, para valores suficientemente grandes de N, a diferença | am - an J é arbitrariamente pequena, desde que n e m sejam, ambos, maiores do que N. Conseqüentemente, não há dois pontos distintos de acumulação, o que demonstra o c r i tério de Cauchy .

4. Existência de limites das seqüências monótonas restritas.

É igualmente fácil verificar que uma seqüência monótona restrita, crescente ou decrescente, deve possuir limite. D e fato, suponhamos que a seqüência é monótona crescente, e seja £ u m ponto de acumulação; este ponto de acumulação existirá, certamente. Neste caso, £ deve ser maior do que qualquer número da seqüência porque, se u m termo at

fôsse igual ou maior do que £, cada número an para o qual n > l -f- 1 satisfaria a desigualdade an > a-l+1 > aL è £. Desta forma, todos os números da seqüência, exceto o primeiro (l + 1), no máximo, estariam s i tuados fora do intervalo de comprimento 2 ( a z + 1 - £), cujo ponto médio é £. Isto, entretanto, contraria a hipótese estabelecida de ser £ u m ponto de acumulação. Logo, não existem termos d a seqüência, e, a fortiori, pontos de acumulação, situados além de £. Se existisse u m outro ponto de acumulação ??, deveríamos ter r\ < £. M a s , se repetirmos o raciocínio acima com tj, em lugar de £, encontraríamos £ < 17, o que é u m a contradição. Ass im, somente u m ponto de acumulação pode existir, ficando, pois, provada a convergência. Raciocínio análogo aplica-se às seqüências monótonas decrescentes.

Como na pág. 41, podemos ampliar os enunciados relativos às seqüências monótonas, mediante a inclusão do caso limite em que os números sucessivos da seqüência são iguais uns aos outros. Neste caso, são mais convenientes as designações, seqüências monótonas não-decrescentes e seqüências monótonas nao-crescentes, respectivamente. O teorema relativo à existência do limite continua válido para tais seqüências.

5. Ponto de acumulação superior e inferior; limites superior e inferior de conjuntos numéricos.

N a construção da página 58, que nos conduziu ao ponto de acumulação £, tínhamos, a cada instante, que escolher u m subinter-valo que contivesse uma infinidade de pontos do conjunto. Se escoIh8s-


semos sempre o último svxbintervalo que contivecse u m número i n f i nito de pontos, seríamos levados a u m determinado ponto de acumulação /3. Este ponto de acumulação jS ê denominado ponto de acumulação superior o u limite superior do conjunto de números, e é representado, abreviadamente, por l i m . É o ponto de acumulação da seqüência que f ica à d i re i ta , sendo perfeitamente possível que u m número inf in i to de pontos estejam a c i m a de j8, porém, escolhido u m número posit ivo e, tão pequeno quanto quisermos, não haverá u m número inf ini to de pontos ac ima de 0 + e-

Se, n a construção da página 58, tivéssemos escolhido sempre o primeiro dos intervalos que contivesse u m número i n f i n i t o de pontos da seqüência, teríamos novamente chegado a u m p o n t o de acumulação definido a. Este ponto a é chamado ponto de acumulação inferior ou limite inferior da seqüência, sendo representado por l i m . Pode existir u m a inf inidade de números do conjunto abaixo de a, porém, por menor que seja o número pos i t ivo e, há somente u m número f i n i to abaixo de a - e. A demonstração desse fato pode ser reservada ao leitor.

T a n t o o l imi te superior /3, como o inferior a, não prec isam, necessariamente, pertencer ao con junto que H m i t a m . P o r exemplo, para a seqüência a2n = l/n, a2n-i = 2 — l / n , estes l imites são, respectivamente, a = 0 e |3 = 2, porém, os próprios números 0 e 2 não ocorrem no conjunto .

Neste exemplo, não há n e n h u m número d a seqüência ac ima de 0 = 2. Dizemos, então, que 0 = 2 ê, também, o l i m i t e superior do conjunto , de acordo com a seguinte definição: M é denominado limite superior mínimo, ou , simplesmente, limite superior de u m conjunto numérico, se (1) não houver n a seqüência termos superiores a M, mas (2) para cada número pos i t ivo e deve exist ir u m número do conjunto maior do que M - e. 0 l i m i t e superior mínimo p o d e coincidir com o l imite superior, como ev idenc ia o exemplo ac ima. M a s a seqüência tf* = l + l/n (n = 1, 2 , . . . ) , m o s t r a que n e m sempre isto se verif ica, pois, neste caso, M — 2 e j3 = L

Todo o conjunto restr i to de números t e m l i m i t e superior mínimo. Se ja B t a l Hmite. C o m efeito, ou não existem números do conjunto maiores do que j3, ou existem tais números. Se não existirem, jS é o l imi te superior mínimo, pois não há números a c i m a dele, mas existem outros menores, arbi trar iamente próximos de /?. N o segundo caso,

I] P O N T O D E A C U M U L A Ç Ã O 63

seja a u m número do conjunto maior do que /?. Ex is te apenas u m número f inito de termos da seqüência iguais ou maiores do que a, v isto que de outro modo existiria u m ponto de acumulação ac ima de /3, o que é impossível. Precisamos, pois, apenas escolher o maior destes números; ele será o l imite superior do conjunto.

E m qualquer caso, porém, vemos que M è /3, e deduzimos: Se o limite superior do conjunto não coincidir com o valor superior,

ele pertence ao conjunto, como um ponto isolado da seqüência. Propriedades correspondentes se verif icam para o l imite inferior m ;

ê sempre i gua l ou menor do que a e, se m e a não coincidirem, m pertence à seqüência, sendo u m ponto isolado da mesma.

2. T E O R E M A S SOBRE AS FUNÇÕES CONTÍNUAS

1. V a l o r e s m á x i m o e m í n i m o das funções c o n t í n u a s .

U m conjunto inf in i to e delimitado de números deve possuir, pelo menos, u m l imite superior mínimo M e u m l imite inferior máximo m. Como v imos , porém, estes números M e m não precisam, necessariamente, pertencer ao conjunto ou, como dizemos, a seqüência não precisa ter, obrigatoriamente, valores máximo ou mínimo.

E m v i s t a disso, o teorema seguinte sobre funções contínuas não é, de f o r m a alguma, tão claro quanto parece à simples intuição:

Toda a junção f(x), contínua num intervalo jechado a S x S b admite um valor máximo ao menos uma vez, ou, como podemos dizer, possui um valor máximo e um mínimo.

A a f i r m a t i v a pode ser demonstrada facilmente. Os valores a d m i tidos pe la função contínua f(x) no intervalo a S x á h constituem u m conjunto restrito de números que, como sabemos, possui u m l imite superior mínimo M, visto que, de outra forma, exist ir ia u m a seqüência de números £ l 5 £2> • • • £n» • • • > n o intervalo considerado, para a qual / (£„ ) cresceria além de qualquer l imite . T a l seqüência ter ia , ao menos, u m ponto de acumulação £ no intervalo em apreço, de forma que, arbitrariamente perto de £, haveria sempre números %n da nossa seqüência, p a r a os quais a expressão - / ( £ „ ) | seja maior que 1 (e, na realidade, ê arbitrariamente grande), isto é, a função seria descontínua no ponto l. Ass im, existe ao menos u m l imite superior M e, ou há u m ponto £ t a l que / (£ ) = M , o que provar ia o enunciado,

ou existe uma seqüência de números xlt x2,..., xn)... no intervalo, para o qual

Hm f(xn) = M. n—*m

D e acordo com o princípio do ponto de acumulação formulado na página 60, podemos escolher uma subseqüência de números xn que tenda para o l imite £. Chamemos t a l subseqüência . . . £ „ , . . . , de modo que

lim £n = £.

É, então, certo que

ri-*™

Por outro lado, a função é contínua no intervalo , por hipótese, e par ticularmente em £, de t a l modo que

K m j r U D + / ( &

Logo, /((•) = M . O valor M é, pois, admit ido pela função no ponto definido £, no interior ou sobre o contorno do intervalo , como foi enunciado. Discussão, em tudo semelhante, é aplicável ao valor mínimo.

O teorema relativo aos valores máximo e mínimo das funções contínuas não ê, em geral, verdadeiro, exceto quando se estabelece, expressamente, que o intervalo é fechado, isto ê, a menos que se faça a hipótese de que a continuidade i n c l u i , também, os pontos extremos. P o r exemplo, a função y = l / x é contínua no intervalo aberto 0 < x < '<». E l a não admite valor máximo, mas tem valores arbitrariamente grandes nas proximidades de x — 0. D a mesma forma, a função não a d mite valor mínimo, mas torna-se arbitrariamente pequena para va lo res suficientemente grandes de x, sem jamais atingir 0.

2. C o n t i n u i d a d e u n i f o r m e .

Como já vimos (pág. 54) e veremos posteriormente, a continuidade da função j(x) no intervalo fechado a Sx Sb deixa margem para inúmeras possibilidades, as quais, entretanto, não aparecem i n t u i t i v a mente. Por ta l razão, apresentaremos demonstrações logicamente r igorosas de certas conseqüências da idéia de continuidade, que, part indo de u m ponto de vista simples, apresentam-se inteiramente claras. A

FUNÇÕES CONTÍNUAS 65

definição de cont inuidade estabelece, simplesmente, que, p a r t i n d o d a relação l i m xn = £, obtém-se l i m f(xn) = / ( £ ) . Podemos a inda e x p r i -

jl—• CD Tl—> 03

m i r este fato d a m a n e i r a seguinte: p a r a cada ponto £ corresponderá, a cada e > 0, um número 5 > 0 t a l que \f(x) - /(£) j < e sempre que I % ~ £ I < à> desde que todos os números x considerados estejam i n cluídos no i n t e r v a l o a S % S b.

Por exemplo, no caso da função y = cx (onde c 0), um número 5 de tal espécie é dado pela relação ô = e/j c ]. Para a função y = x2, podemos determinar tal número, admitindo que a = 0 e è = l e indagando quão perto de £ deve ficar o número x a fim de que a expressão | x2 - £2 | possa ser menor do que e. Para este fim, escrevemos \ x2 - $21 = | x - £ || x + § | â 11 - $ | (1 + £). Se, portanto, escolhermos Ô ã e/(l + £), podemos ter certeza de que | x2 - £ 2 | < e. Vemos, neste exemplo, que o número S encontrado desta maneira depende não somente de e, mas, também, do ponto do intervalo no qual se investiga a continuidade da função. Mas, se desistirmos de fixar a melhor escolha possível de 5 para cada £, podemos eliminar a dependência de 6 em relação a £. Para tanto basta substituir | por 1, à direita, obtendo, então, a expressão e/2 para 5, que é menor do que o valor anteriormente determinado, mas que serve igualmente bem para todos os pontos £.

Surge, agora , a pergunta se algo semelhante não sucede a todas as funções contínuas n u m interva lo fechado. Isto é, indagamos se é o u não possível de terminar , para cada e, u m 5 = è(è) dependente somente de e e não de £, de ta l modo que a desigualdade

l / ( * ) - / ( Ô l < «

se ver i f ique desde que | x - £ | < 8, para todos os valores de £ ao mesmo tempo (ou, melhor , uniformemente em relação a £). N a rea l idade , isto ê possível como conseqüência d a definição geral de cont inu idade , sem qualquer hipótese adic ional . Este fato, que despertou atenção, pe la p r i m e i r a vez , em f ins do século X I X , ê denominado teorema da continuidade uniforme das funções contínuas.

Demonst raremos o teorema indiretamente . Isto ê, mostraremos que a existência de u m a função contínua, mas não uni forme, n u m interva lo fechado a x <; b nos leva a u m a contradição. C o n t i n u i d a d e uni forme s ign i f i ca que, se desejarmos tomar a diferença \f(u)-f(v) | menor do que u m número pos i t ivo arbitrar iamente escolhido e, sendo u e v t omados no intervalo fechado a g x f£ 6, precisaremos apenas escolher u e v bastante próximos- u m do outro , isto é, separados por u m a distância menor do que 8 = 3(e). O lugar do interva lo onde fôr

66 I N T R O D U Ç Ã O [GAP.

escolhido o par de valores u e v, não tem importância. Se f(x) não fosse uniformemente contínua, existiria um número positivo (talvez muito pequeno), a com a seguinte propriedade: a cada número 8n de uma seqüência arbitrária Ôlt ô2,.. . de números positivos, que tender para zero, corresponderá um par de valores un, vn, do intervalo, para o qual [ un - vn j < Sn e \f(un) - / ( « „ ) I > 5. De acordo com o princípio, os números un devem ter um ponto de acumulação £, 0 mesmo acontecendo com os números vn. Se marcarmos u m intervalo arbitrariamente pequeno | x - £ \ < 5 em torno destes pontos £, haverá uma infinidade de pares de números un, vn, contidos neste intervalo. Isto, porém, contraria a hipótese admitida da continuidade de f(x) no ponto £ pcr-que requer, de acordo com o critério de convergência de Cauchy, que

| / ( ^ ) - / ( x 2 ) | < « ,

para pontos xL e x2 suficientemente próximos de £. A uniformidade da continuidade está, portanto, demonstrada.

Nesta demonstração frisamos3 especialmente, que o intervalo considerado é fechado (ü. E , na realidade, o teorema da uniformidade da continuidade não se verifica para intervalos abertos.

Por exemplo, a função l / r é contínua no intervalo semi-aberto, 0 < x g 1, mas não é uniformemente contínua, porque, por menor que seja o comprimento escolhido 5 (< 1) de um intervalo, a função assumirá valores que diferem por um número fixo qualquer, digamos 1, no intervalo, se este fôr tomado bastante próximo da origem, por exemplo, 5/2 á i â 35/2. A não uniformidade da continuidade é, efetivamente, devida ao fato de que, no intervalo fechado 0 ^ i | l , a função é descontínua na origem. Se tivéssemos considerado y = x2 em todo o intervalo (aberto) — < x < «>, em lugar de num intervalo fechado, não haveria continuidade uniforme.

3. Teorema do valor intermediário.

Outro teorema constantemente empregado na Análise é o seguinte: Uma função f(x), contínua num intervalo fechado a Si x S b, nega

tiva para x = a e positiva para x = b (ou vice-versa), admite o valor 0, ao menos uma vez, no intervalo.

Geometricamente este teorema é tr ivial , pois estabelece, apenas, que uma curva que começa abaixo do eixo dos x e termina acima dele,

P) De outro modo, o ponto de acumulação £ não teria necessidade de pertencer ao intervalo.

I] FUNÇÕES CONTÍNUAS 67

deve cortá-lo em alguma parte, entre os dois pontos. Ana l i t i camente , a demonstração do teorema é mui to simples. N o intervalo considerado há u m a inf in idade de pontos para os quais f(x) < 0. Levando-se em conta a continuidade d a função, isto ê verdade para todo o intervalo que começa em a. O conjunto destes pontos x para os quais f(x) < 0, t em u m l i m i t e superior mínimo £, que é maior do que a. Como , porém, nas vizinhanças de £ há pontos x para os quais f(x) < 0, devemos ter / (£ ) < 0 (em particular para £ + b). E impossível, entretanto, que f(£) < 0, pois , neste caso, f(x) seria negativa em vizinhança suf ic ientemente próxima de £, que incluísse valores de x maiores do que £, em contradição com a hipótese feita de que £ é o l imi te superior dos valores de x, para os quais f(x) < 0. Des ta maneira, / (£ ) = 0, f icando provada nossa asserção.

O teorema permite a seguinte generalização: Se admitirmos que f(a) = a e f(b) = j3, e se a for um valor qualquer

entre a e (3, a função contínua f(x) assume o valor n, ao menos uma vez no intervalo. A função contínua

<f>(x) = f(x) - ju

terá sinais diferentes nos dois extremos do intervalo , e admitirá, portanto, o va lor 0 em alguma parte do mesmo.

4. Funções inversas das funções contínuas monótonas.

Se a função contínua y = f(x) for monótona no intervalo a SxSb, admitirá cada valor M, entre f{a) e f(b), u m a vez, e somente u m a . Logo, se y percorrer o intervalo fechado entre os valores a = f(a) e 0 = fQb), a cada valor de y corresponderá somente u m va lor de x. Podemos, pois, imaginar x como função unívoca de y neste interva lo , isto é, a função y = f(x) t em função inversa única. A f i rmamos que t a l função x — 4>(y) é, também, u m a função contínua e monótona de r , à med ida que y var ia no intervalo compreendido entre a e 0.

O caráter monótono da função inversa x = <f>(y) ê óbvio. A f i m de demonstrar sua continuidade, observaremos que, part indo d a função f(x), cujo caráter monótono é conhecido, segue-se que

l / t e ) - / O r - i ) I = l y o - V i l > 0 .

desde que %i e x2 sejam números dist intos do interva lo . Se h for u m número posit ivo menor do que 6 - a, a função

\f(x + h)-f(x)\

será contínua no interva lo fechado a S x S b - h. N o ponto £ ela atinge, portanto, o valor mínimo + h) - / ( £ ) | = ar(/i), que, de acordo com as observações precedentes, não é nulo P a r t i n d o destas premissas, concluímos que se Xi e x2 forem dois pontos do interva lo para os quais j xi - r 2 I è / i , verificar-se-á | f f a ) - f(x2) |èa ( f t ) . Isto i m p l i c a , porém, n a continuidade d a função inversa . Se | j i - y 2 | cair embaixo do número positivo a(h), devemos ter j x i - x2 | < h e, portanto, se for dado u m número posit ivo e, necessitaremos apenas escolher 5 i gua l a aO) , a f i m de assegurar que | $(yi) - 4>(yz) | < e se verifique p a r a t o dos os valores de y p a r a os quais j y i - y | < 5.

P i c o u estabelecido, assim, o teorema seguinte: Se a junção y = f(x) /ór contínua e monótona no intervalo a S x ^ b , e f(a) = a, f(b) = /3, haverá uma junção unívoca inversa x = <£(y), a S y ^ p\ çue, por sua rer, será também contínua e monótona.

5. O u t r o s t e o r e m a s sobre f u n ç õ e s c o n t í n u a s .

Deixamos ao leitor a demonstração do seguinte: u m a função contínua de u m a função contínua ê, ela própria, u m a função contínua. Isto é, se <b(x) fôr u m a função contínua no interva lo a S x Sb eseus valores estiverem contidos no in terva lo a S) fôr u m a função contínua de <j) neste último intervalo , então /(<£(#)) representará u m a função contínua de x p a r a a Sx Sb. (Teorema da continuidade das funções contínuas.)

Já foi mencionado na pág. 54 que a soma, diferença e produto das junções contínuas são outras tantas junções contínuas, e que o quociente de tais junções será junção contínua sempre que o denominador jôr diferente de zero.

3. OBSERVAÇÕES SOBRE AS F U N Ç Õ E S E L E M E N T A R E S

N o C a p . I admit imos , tac i tamente , que as funções elementares são contínuas. À demonstração é m u i t o simples. E m pr imeiro lugar, a função j(x) = x ê contínua, logo x2 = x.x é contínua, pois ê o produto de duas funções contínuas, o mesmo acontecendo com qualquer

í 1 ) Tendo-se em vista a continuidade de f(x\ o próprio a(h) tende para 0, juntamente com h.


potência de x. Ass im, qualquer polinómio é u m a função contínua, visto representar a soma de funções contínuas. T o d a a função rac ional f ra cionária é, igualmente, uma função contínua, como quociente de funções contínuas, em todo o intervalo em que o denominador não for nulo.

A função xn é contínua e monótona, logo, a raiz n sendo a função inversa d a potência n , é contínua. Pelo teorema da continuidade das funções de funções contínuas, a raiz n de u m a função racional é contínua (exceto nos casos em que o denominador é nulo).

A continuidade das funções trigonométricas, com as quais o leitor deve estar familiarizado desde a matemática elementar, poderia ser facilmente demonstrada empregando-se os conceitos desenvolvidos acima. Não apresentamos, porém, esta discussão aqui, v i s to ela decorrer naturalmente da derivabilidade, como teremos oportunidade de verificar no cap. I I , § 3 (pág. 97).

Faremos, simplesmente, algumas observações sobre a definição e continuidade da função exponencial ax, da função-potência geral xa e da função logarítmica. Suporemos, como no § 3, pág. 25-26, que a é u m número positivo, digamos maior do que 1, e se r = pjq for u m número racional positivo (p e q sendo inteiros), ar = aPlq significará o número positivo cuja potência q ê ap. Se a representar u m número irracional qualquer e r 1 } r2,.. ., rm,... u m a seqüência de números racionais que se aproximam de a, podemos af irmar que l i m arm existe;

chamaremos então este l imite de aa. P a r a provar a asserção pelo critério de Cauchy , basta mostrar que

I ara - arm [ é arbitrariamente pequeno, desde que nem sejam suf i cientemente gratides. Suponhamos, por exemplo, que rn > rm, isto ê, que rn — rm = o, onde 8 > 0. Teremos

Desde que arm é l imitado, precisamos apenas provar que

| a s - l | = a s - l

é arbitrariamente pequeno, quando os valores de ÍI e m forem sufi cientemente grandes. M a s 8 é um número racional , e, certamente, podemos torná-lo tão pequeno quanto quisermos, desde que os valores de n e m sejam suficientemente grandes. Logo , se l for u m inteiro

positivo, arbitrariamente grande, 5 < 1// se n e m forem suficientemente grandes. Às relações 5 < l/l e a > 1 dão ( 1 )

1 < as < all\

e, desde que a111 tende para 1 à medida que l cresce (pág. 31), nossa afirmação decorre imediatamente.

O leitor poderá demonstrar, seguindo o mesmo raciocínio, que a função of, estendida aos valores irracionais, é, também, contínua e, mais ainda, que é uma função monótona. Para os valores negativos de ÍC esta função será naturalmente definida pela equação

a~x

Ã medida que x varia desde — <» até -f- co t ax assume todos os valores compreendidos entre 0 e + » . Conseqüentemente, a equação possui função inversa, contínua e monótona, a qual é denominada logaritmo de base a. Da mesma forma poderíamos provar que a potência geral xa

é uma função contínua de x, sendo a qualquer número dado, racional ou irracional, e x variando no intervalo 0 < x < ° o ; Se a ={= 0, xa também é unia função monótona.

À discussão "elementar" das funções exponencial, logarítmica, e potência de x aqui delineada será substituída, oportunamente, por outra que é, em princípio, muito mais simples (cap. I I I , § 6, pág. 1G7).

E X E M P L O S

1. Determinar os valores máximo e mínimo e os l i m i t e s superior e inferior das seguintes seqüências, dizendo quais deles pertencem ao conjunto :

6 n ( - l n ) (o) - ~ , n = 1, 2 (6) 0, — , n = 1, 2

nl nl

n ( - l ) n ( - l ) - n { c ) i L + n - 1, 2 . . . . . (d) 1 + + r — f - , n = 1, 2, . . . ,

n 2n - f 1 n 2n - f 1

1 1 (e) + — ™, n = 1, 2, . . . .

m - n -

(i) Porque, quando a > 1, a potência a m ' n ê maior do que 1 se min fôr positivo. Isto 6 claro, visto que, se amln fosse menor que 1, a m = (am'n)l> representaria o produto de n fatores, todos menores que 1, tendo portanto, valor inferior a 1. Contrariamente porém, a » é o produto de m fatores, todos maiores que 1, sendo, assim, maior que 1.

2* Provar que se f(x) é contínua para a ã x ^b, para cada e > 0 existe u m a função poligonal <p{x) (isto é, uma função contínua cujo gráfico consiste em u m número finito de segmentos retilíneos, que se encontram nos vértices) ta l que \J(x)~<p(x) I < e para qualquer va lor de 2, contido no intervalo (*).

3. Mostrar que qualquer função poligonal <p(x) pode ser representada pela soma <p{x) = a 4- bx -f- 2c£ | x — xi (, onde xi são as abscissas dos vértices.

Determinar uma fórmula desse t ipo para a função/(x) definida pelas equações:

j(x) = 2x - 1 (0 â x g 2). j{x) = 5 - x (2 â x â 3). j{x) = x - 1 (3 ^ x â 5). iCr) - 4 ( 5 á i | 7 ) .

4. Determinar um 5(e), ta l que |/(x,) -J(x2) | < e desde que | xx - x2 \ < S(e), para as funções seguintes, empregando as deduções do § 1, N.° 2, pág. 65:

(a) / (x) => 2 x 3 , - l l i á l . (o) /(x) = x", - a gg x á a.

*(c) /(x) = 1 - x», - 1 £ 3 á 1.

5. * A função y = sen l / x não tem descontinuidade no intervalo 0 < x < 1. Provar que ela não é uniformemente contínua neste intervalo aberto.

6. U m a função/ (x) ê def inida por todos os valores de x da seguinte maneira :

j(x) = 0 para todos os valores irracionais de x; /(x) = l / ç para x racional e igual a plq,

sendo p/q uma fração irredutível (assim, para x — 16/29, /(x) = 1/29). Demonstrar que /(x) é contínua para todos os valores irracionais de x e des

contínua para todos os valores racionais de x.

APÊNDICE II AO CAPÍTULO I

1. COORDENADAS POLARES

No capítulo I estabelecemos o conceito de função e representamo-la, geometricamente, por meio de curvas. Entretanto, convém recordar que a geometria analítica segue processo inverso, iniciando

(*) Ver também pág. 16,


c o m a c u r v a def in ida por a l g u m a p r o p r i e d a d e geométrica e represen-tando -a por u m a função, p o r exemplo , p o r u m a função que e x p r i m a

a dependência de u m a das coordenadas de u m p o n t o d a c u r v a e m relação à o u t r a . E s t e p o n t o de v i s t a nos l eva n a t u r a l m e n t e a cons iderar , além das coordenadas re tangulares , às quais nos r e s t r i n -

T }

0 X

F i g . 25 .—Coordenadas polares

coordenadas q u e se jam mais adequados p a r a representar as curvas dadas geomet r i c a m e n t e . 0 exemplo m a i s impor tante é o das coordenadas polares r , 0, que se

relac ionam com as coordenadas retangulares x, y de u m ponto P pelas equações

y x = r cos 6, y = r sen 6, r2 = x2 -f- r , t g 6 = x

e cuja interpretação geométrica é e x p l i c a d a n a f i g u r a 25 .

2/f

F i g . 2 6 . — L e m n i s c a t a

Consideremos, por exemplo, a lemniscata. Esta curva ê definida, geometricamente, como o lugar de todos os pontos P para os quais o produto das distâncias ri e r a a dois pontos fixos Fx e F2, de coordenadas retangulares x = a, y = 0 e x — - a, y = 0, respectivamente, tem o valor constante a 2 (fig. 26). Como

ri2 = (x - a)- -f- y-, r22 = (x = a) 2 - f y 2 ,

um cálculo simples proporciona a equação da lemniscata sob a forma

(x- +y-y-2a-(xs-y)- = 0.

Se, agora, introduzirmos as coordenadas polares, obteremos

r* - 2 a V (cos2 6 - sen 2 6) = 0;

I] C O O R D E N A D A S P O L A R E S 73

e, se d iv id irmos tudo por r 2 e usarmos u m a fórmula trigonométrica simples, virá

r 2 = 2 a 2 cos 20.

Vemos, assim, que a equação da lemniscata é mais s imples em coordenadas polares do que em retangulares.

2. OBSERVAÇÕES SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS

A S considerações que faremos a seguir serão baseadas, principalmente, sobre a classe dos números reais. Não obstante, tendo em conta as discussões dos capítulos V I I I , I X e X I , lembraremos ao leitor que os problemas algébricos conduziram a uma extensão ainda mais ampla do conceito de número, exigindo a introdução dos números complexos. A passagem dos números naturais para a classe de todos os números reais surgiu do desejo de eliminar fenômenos excepcionais e tornar certas operações, como a subtração, a divisão e a correspondência entre pontos e números, sempre possível. D a mesma forma fomos compelidos, pela exigência de que toda a equação do segundo grau e, na realidade, toda equação algébrica, tenha solução, a introduzir os números complexos. Se, por exemplo, quisermos que a equação

x2 + 1 = 0

tenha raízes, seremos obrigados a introduzir os novos símbolos í e —i como raízes desta equação. (Como é demonstrado na álgebra, este fato é suficiente para assegurar que toda equação algébrica tem uma solução.) ( 1 )

Se a e ò forem dois números reais ordinários, o número complexo c — a-\~ib designa um par de números {a, b), cujos cálculos são efetuados de acordo com a seguinte regra geral: somam-se, multiplicam-se e dividem-se números complexos (entre os quais estão incluídos os números reais como casos especiais, em que b = 0), considerando o símbolo i como quantidade indeterminada, simplificando todas as expressões com o emprego da equação i2 — -1 para eliminar as potências de i superiores à primeira, e obtendo-se uma expressão final da forma a - f ib.

Admitimos que o leitor possui certo grau de familiaridade com os números complexos. Todavia, salientaremos uma relação particular-

(i) O teorema fundamental da álgebra afirma que toda equação algébrica possui raíaes reais ou complexas.


mente impor tante que desenvolveremos j u n t a m e n t e com a representação geométrica ou trigonométrica dos números complexos. Se c = x-\- iy for u m número de ta l espécie, representá-lo-emos, em u m sistema de coordenadas retangulares, pelo ponto P , cu jas coordenadas são x e y . Introduzimos , então, as coordenadas po lares , r e 0, por meio das equações x — r c o s 8 e y = r s e n 6 (pág. 72), e m lugar das r e t a n g u lares, x e y. Então, r = V x~ - j - y - é a distância do ponto P à or igem, e d o ângulo formado pelo segmento p o s i t i v o do eixo dos x e o segmento OP. 0 número complexo c será, então, representado sob a forma

c = r(cos & -f- i sen d).

O ângulo 5 é o argumento do número complexo c, a quantidade r é o seu raZor absoluto ou módulo, que a i n d a pode ser representado por | c |. A o número complexo " c o n j u g a d o " c — x-iy corresponde, n a t u r a l mente, o mesmo va lor absoluto, porém (exceto no caso de valores reais e negativos de c), o ângulo - 6. A s s i m

r- = i c I - = cc = ar -f- yz.

Empregando-se esta representação trigonométrica, a multiplicação dos complexos assume forma p a r t i c u l a r m e n t e simples. Então,

c.c' — r(cos 0 + i sen ff). r' (cos 8' + i sen 0') = rr' (cos 0 cos 5' - sen 0 sen d')

-f- i(eos 5 sen 6' -f- sen 5 cos 5').

Se recordarmos os teoremas d a adição das funções trigonométricas, virá

c.c' = rr' [cos (6 -f- d') + i sen (d + d')].

P o r t a n t o , para se m u l t i p l i c a r e m números complexos, mult ip l i cam-se os seus valores absolutos e somam-se seus argumentos. A fórmula notável

(cos d H - i s e n 6) (cos 6' - f t sen 0') = (cos 0 + #') + i sen (0 - f 5')

é usualmente denominada teorema de De Moivre. E l a nos l e v a , i m e d i a tamente, à relação

(cos 9 + i sen 0)n = cos nJ -f- t sen nd,

I] NÚMEROS C O M P L E X O S 75

que permite a resolução da equação xn = 1 para n inteiro e positivo cujas raízes (denominadas raízes da unidade) são

2TT , . 2TT „ 4TT , . 4TT

€7 = 6 = cos h i sen —, e2 = = cos j- t sen—, . . n n n n

. (n — I)ir , . ( M - 1 ) 7 T en_i = e n _ 1 = cos — -f- i sen —, = en = 1. Ti n

Além disso, se imaginarmos a expressão do primeiro membro da equação (cos d + ísen 6)n = cosn0 + isennô desenvolvido segundo o teorema do binômio, basta separar os termos reais dos imaginários para obtermos expressões para cos nd e sen nd em função de potências e de produtos de potências de sen d e cos 6.

EXEMPLOS

1. C o n s t r u i r os gráficos das seguintes funções:

r = sen <p. r = cos 5<p. r ~ f- r = 1 a constante. r — sen 6<p. cos {<p - a)

2. D e t e r m i n a r a equação p o l a r :

(a) do círculo de ra io a , c o m o centro n a or igem; (ò) do círculo de raio a, c o m o centro (a, <p0); (c) da l inha re ta (caso geral ) .

3. E x p r i m i r cos 20 e sen 29 e m função de sen d e cos 0, apl i cando o teorema de D e M o i v r e . Operar analogamente p a r a cos 3(9, sen 30, cos 50, sen 50.

D e m o n s t r a r que cos nd é u m polimônio e m cos 0, e também que, se n fôr ímpar, sen nd é u m polinómio e m sen d.

4. E f e t u a r as seguintes operações, determinando o módulo e o argumento das quantidades dadas e das próprias respostas.

(a) - 3 . 2 Í . (/) i 1 ' 2 . (6) (4 + 4 0 ( M - M V 3 i ) . (?) (1 + i)1". (c) ( l + £) ( 1 - 0 - CO ( 3 - 3 Í ) 2 " . ( t f ) ( V 3 ~ i ) 2 . ( f c ) l 1 ' 3 . (e) l 1 ' 2 . (0 C160 w * .

2TT 2-TT 5 * D e m o n s t r a r que , se e = cos h i sen — , onde n é inte iro e maior do

TI n que 1

, , , a i i m, j 0 se n não íôr fator de v, I n se n tor íator de v.

CAPÍTULO I I

IDÉIAS F U N D A M E N T A I S S O B R E O CÁLCULO I N T E G R A L E D I F E R E N C I A L

A análise matemática emprega, entre outros, dois processos de limite que desempenham papel de importância, não só porque são constantemente utilizados em muitas relações diferentes, mas, principalmente, devido à interdependência que existe entre eles. Desde os tempos clássicos são conhecidos exemplos isolados do emprego destes dois métodos, derivação e inlegração. 0 começo, porém, do cálculo diferencial e integral, estudado de maneira metódica, foi possível somente depois que o reconhecimento da natureza complementar destes processos permitiu considerável desenvolvimento e o estabelecimento de um novo método matemático, devidamente sistematizado. Dois grandes gênios do século X V I I , Newton e Leibnitz, iniciaram este desenvolvimento, fazendo suas descobertas independentemente um do outro. Conquanto Newton, nas suas investigações, possa ter euunciado seus conceitos de forma mais clara, a notação e os métodos de cálculo de Leibnitz foram desenvolvidos de modo mais perfeito constituindo, ainda hoje, elementos indispensáveis na teoria.

1. INTEGRAL DEFINIDA

Encontramos, primeiramente, a integral no problema da medição da área de uma região plana, l imitada por linhas curvas. Considerações mais elevadas permitem separarmos a noção de integral da idéia intuitiva de área e exprimi-la, analiticamente, em termos numéricos. T a l definição analítica da integral é, como veremos, dotada de grande significação, não somente porque permite esclarecer completamente nossos conceitos, mas, também, porque suas aplicações vão muito além do simples cálculo das áreas.

Iniciamos considerando a questão intuitivamente. 76

C A P . II] I N T E G R A L D E F I N I D A 77

1. A i n t e g r a l c o m o área.

Suponhamos que nos fosse dada u m a função f(x), contínua e posi t i v a n u m intervalo , e que a e 6 (a < b) sejam dois valores desse intervalo. Imaginaremos a função representada por uma curva e consideraremos a área da região l i m i t a d a em c i m a pela curva, nos lados pelas re'.as x = a e x = ò, e, embaixo, pela porção do eixo dos x compreendida entre os pontos a e b (fig. 1).

Estabelecemos expressamente como hipótese que há u m sentido definido em nos referirmos à área desta região, o que decorre da i n t u i -

8

F i g . l

a b 'x F i g . 2.—Somas superior e inferior

ção. Designaremos esta área, Fab, a integral definida da função f(x)

entre os limites a e b. Quando procuramos atribuir u m valor numérico a esta área, verificamos que, em geral, somos incapazes de medir áreas limitadas por curvas. Podemos medir polígonos de lados retos, d i v i -dindo-os em retângulos e triângulos. M a s esta subdivisão, no caso da área considerada, é usualmente impossível. Contudo, para concebermos a área como o valor l i m i t e de u m a soma de áreas retangulares há apenas u m pequeno passo a dar, da seguinte maneira. Div id iremos o eixo dos x, compreendido entre a e ò, em n partes iguais e em cada ponto da divisão elevaremos uma ordenada até à curva; a área f ica , assim, d i v i d i d a em n faixas. Não podemos, porém, calcular a área das diversas faixas, assim como não podíamos calcular a área d a superfície in i c ia l . Se, porém, como está indicado na f igura 2, determinarmos, pr imeiro , o menor e o maior valor d a função f(x) em cada intervalo e, depois, substituirmos a fa ixa correspondente: (1) por u m retângulo cu ja altura seja igual ao menor valor da função; (2) por u m retângulo cuja a l tura seja igual ao maior valor da mesma função, obteremos duas figuras em forma de escada. ( N a f igura 2 a primeira

78 IDÉIAS F U N D A M E N T A I S [ C A P .

está desenhada com linhas cheias, enquanto a segunda ê indicada por meio de linhas pontilhadas.) A primeira f igura, i . é, a l imitada pelos degraus inferiores, tem uma área que, no máximo, será igual à área Fa

h que estamos tentando determinar. A segunda tem uma área, no mínimo, tão grande quanto F a

6 . Se designarmos a soma das áreas do primeiro conjunto de retângulos por F_a (soma inferior), e a soma das áreas do segundo conjunto por Fn (soma superior), teremos a relação

FnSFfSK.

Se fizermos as subdivisões cada vez menores, i . ê., se n crescer sem limite, a intuição diz-nos que as quantidades Fn e F^ aproximar-se-ão cada vez mais, tendendo para o mesmo l imi te Fa

b. Podemos, portanto, considerar a integral como o va lor l imite

Fab = ]hnFn = l i m ^ " .

A intuição também nos mostra a possibilidade de uma generalização imediata. Não será preciso que os TI intervalos tenham todos o mesmo comprimento. Eles podem, ao contrário, apresentar extensões diferentes áfcsde que, à medida que n cresça, o comprimento do maior intervalo tenda para zero.

2. Definição analítica de integral.

N o capítulo anterior consideramos a integral definida como r m número correspondente a uma área e, portanto , de certa extensão previamente conhecida, e subseqüentemente o representamcs como um valor limite. Vamos agora inverter o processo. Não adotaremos a possibilidade, indicada pela intuição, de atr ibu ir u m a área à região sob uma curva contínua, nem sequer verificaremos se isso é viável. Partiremos, ao contrário, de somas formadas analiticamente, semelhantes às somas superiores e inferiores, já definidas, e provaremos que tais somas tendem para u m limite determinado. Adotaremos este valor limite como definição da integral e d a área. Somos levados, naturalmente, a adotar os símbolos clássicos que são usados no cálculo integral desde o tempo de Le ibni tz .

Seja f(x) uma função positiva e contínua no intervalo a S x S b (de extensão b - a). Imaginaremos o intervalo dividido por (TI — 1)

II] I N T E G R A L D E F I N I D A

pontos Xi, x2,.. .£„_ ! , em n partes iguais ou desiguais, e faremos x 0 = a, xn — b. E m cada intervalo escolheremos u m ponto arbitrário, £1 no primeiro, £ 2 no segundo. . . , £ n no último, ponto este que pode estar situado no interior ou mesmo n u m extremo do intervalo . E m vez da função contínua f(x), consideremos, agora, as funções descontínuas (step-functions) / ( & ) na p r i m e i r a divisão, /(£>) na s e g u n d a , . . . , / (£ „ ) na última, as quais adquirem valores constantes em cada interva lo . Como mostra a f igura 3, o gráfico destas funções descontínuas define

Vi

F i g . 3.—Ilustração da definição analítica de integral

uma série de retângulos cu ja soma das áreas é dada pela expressão

Fn = (xi - xo)f(t) + (x2 - 2Ci)/(&) - r . . . 4- (x n - a j B _i ) / ( í „ ) .

E s t a expressão é usualmente abreviada pelo emprego do s inal somatório ou de somação 2 :

Fn = 2 (xr - xv-i)f(Ç,);

a introdução do símbolo

simpli f ica ainda mais a expressão:

Fn = 2/(Ç,)Ai5,.

(O símbolo A nâo é u m fator, indicando u m a "diferença". 0 símbolo total Ax„, inseparável, s ignif ica, por definição, o comprimento do i n -

80 I D É I A S F U N D A M E N T A I S [ C A P .

tervalo). Podemos, agora, enunciar a nossa afirmação básica, d a seguinte maneira:

Se o número de pontos de divisão crescer sem limite e se, ao mesmo tempo, o comprimento do maior intervalo tender para. zero, a soma anterior tende para um limite. Este limite ê independente da maneira particular pela qual os pontos de divisão Xi, x 2 j . . ., x„_i e os pontos intermediários £i, £2,..., foram escolhidos. .

O valor l imi te é denominado integral definida d a função f(x) que, por sua vez, é d i ta integrada entre os l i m i t e a e b. Como j á frisamos, consideramos esta afirmação como definição ( 1 ) d a área l i m i t a d a pela curva y = f(x), para a S x S b. E possível, agora, reenunciarmos a asserção básica: Se f(x) for contínua entre a Sx Sb, possuirá in te gral definida entre os l imites a e b.

Este teorema, referente à existência d a i n t e g r a l def inida de u m a função contínua, pode ser demonstrado por processo puramente analítico, sem apelo à intuição. N ã o o faremos, contudo , agora, pois v o l taremos a tratar deste assunto no apêndice deste capítulo (pág. 131), depois que o uso do conceito de i n t e g r a l t i v e r despertado o interesse do leitor para estabelecer u m a base f i r m e p a r a o mesmo. C o n t e n t a m o -nos, por ora, com o fato de que as considerações intu i t ivas das págs. 77-78 tenham feito o teorema apresentar-se sob f o rma extremamente plausível.

3. Extensões . Notação . R e g r a s f u n d a m e n t a i s .

A definição de integral , como l i m i t e de u m a soma, l evou L e i b n i t z a exprimi- la pelo símbolo:

rb I f(x)dx.

J a

O s ina l de integral é u m a modif icação do s i n a l somatório e tem a forma de u m <S alongado. A passagem ao l i m i t e das divisões f initas Ax, do intervalo ê indicada pela l e t r a d e m vez de A. Devemos, entretanto, pôr-nos em guarda contra o pensamento de que dx represente u m a "quant idade inf initamente p e q u e n a " o u " i n f i n i t e s i m a l " , ou que a integrai signifique a soma de u m número in f in i to de quantidades

( l) A área, como ê natural, pode ser definida de maneira geométrica, demonstrando-se, então, que tal definição é equivalente à definição l imite d a d a acima ( C a p . V , § 2, N.° 1, pág. 268).

II] I N T E G R A L D E F I N I D A 81

"infinitamente pequenas". T a l concepção seria destituída de qualquer significado claro; somente ter ia o efeito de obscurecer o que já def i nimos com precisão.

Nas figuras anteriores, admitimos (1) que a função f(x) é posit iva em todo o intervalo, e (2) que 6 > a. A fórmula que define a integral como o limite de urna soma é, contudo, independente de tais hipóteses. Se j(x) for negativa em todo ou somente em parte do intervalo considerado, a única conseqüência será tornar negativos os fatores /(£„) da soma acima, em vez de positivos. À área Kmitada pela curva abaixo do eixo dos x, atribuiremos, naturalmente, o sinal negativo, o que está de acordo com a convenção de sinais familiar da geometria analítica. A área total l imitada por u m a curva será assim, em geral, a soma de termos positivos e negativos, correspondentes, Q respectivamente, às porções da curva situadas acima e abaixo do eixo dos x (D.

Se supusermos que a < ò, invertendo a condição a > b, a inda podemos conservar a definição aritmética de integral já estabelecida; a única mudança é que, quando percorrermos o intervalo de a para 6, as diferenças âx, serão negativas. Teremos, então, a relação

b F i g . 4

jjix) dx = -f'f(x) dx,

que tem lugar para todos os valores de a e b (adpb), o que permite

definir J f(x)dx como sendo igual a zero.

E s t a definição dá, imediatamente, a relação fundamental (fig. 4):

j j i x ) dx + Jj(x) dx = jj{x) dx

para a <b < c. Pelas expressões anteriores verificamos que esta equação se verifica para qualquer posição dos pontos a, b, c, uns em re la ção aos outros.

U m a regra fundamental simples, porém importante, é obtida con-

C1) Para áreas limitadas por curvas fechadas arbitrárias, ver Cáp. V , § 2, pág. 269.

82 I D É I A S F U N D A M E N T A I S [CAP.

siderando-se a função cf(x), onde c representa uma constante. Da própria definição de integral, obtemos

J cf(x) dx — cj f(x) dx.

Em seguida, estabelecemos a seguinte regra de adição: Se f(x) = <fa) + Md,

segue-se

/f(x)dx = I <}>(x)dx+ I ${x)dx,

a J a J a

cuja demonstração é muito fácil. Finalmente, faremos, sobre a "variável de integração", uma observação que,

apesar de óbvia, é muito importante nas aplicações. Escrevemos a integral pro-

posta sob a forma / f(x) dx. P a r a a sua avaliação não i m p o r t a empregarmos a letra x J a v

ou qualquer outra, para designar as abscissas do sistema de coordenadas, isto é, a variável independente. O símbolo part icular que usarmos para a variável de

integração é, portanto, completamente indiferente; em vez de / j(x) dx poderíamos, çb ç-b J a

igualmente, escrever, / di o u / jf"(u) du ou qualquer outra expressão análoga. J « J a

2. E X E M P L O S

Estamos, agora, habilitados a empregar o processo-limite estabelecido pela definição de integral, calculando as áreas em numerosos casos especiais. Realizá-lo-emos em uma série de exemplos em que (com exceção do N . ° 5, pág. 86) empregaremos somente as somas superiores e inferiores 1. I n t e g r a ç ã o d e f u n ç õ e s l i n e a r e s .

Inicialmente, consideremos a função / ( i ) = Xa, onde n é u m inteiro maior do que ou igual a zero. P a r a n = 0, isto é, para / í z ) = 1, o resultado é tão evidente que apenas escreveremos:

/•& rb

Idx = I dx = 6 - a. a «/ cl

P a r a a função f(x) — x, a integração é novamente banal , do ponto de vista geométrico. A integral da função j(x) = x,

•i> x dx, J

f1) Deixamos ao leitor, como exercício útil, demonstrar que chegaremos ao mesmo resultado, nos exemplos seguintes, quer empregando as somas superiores, quer as inferiores.

II] E X E M P L O S D E INTEGRAÇÃO 8 3

é a área do trapézio representado na fig. 5, a qual , por uma fórmula elementar, vale

H ( ò - a ) ( 6 + a) = V2(b2-a2). Verificaremos, agora, que o processo-limite conduz exatamente ao mesmo resultado. Como já estabelecemos, no cálculo do l imite , podemos restringir a discussão, operando com as somas superiores ou com as inferiores. Subdividimos o intervalo ab em n partes iguais, por meio dos pontos

a -f- h, a + 2h, ..., a + (n - l)h, onde h = (ò — a)/n. A integral será, então, o l imite da soma seguinte, que representará uma soma superior se ò < a, e u m a soma inferior se b > a:

h[a + (a + h) + (a + 2h) + ... + {a + n - Ih)] = h[na + h-i-2h+ . . . - f (ra - l)h].

Fig. 5 Fig. 6

Sabemos, por uma fórmula elementar, que 1 + 2 + . . . + (n - 1) = Y2n(n - 1),

o que permite escrever a expressão acima sob a forma

( n-1\ /• b-a n - 1 a •+- h I = (b - a) I a -\

2 y V 2 n À medida que n cresce, o segundo membro tende para o l imite

(b-a)[a + V2{b-a)\ - ^ ( ò 3 - a 2 ) , como queríamos demonstrar.

2. Integração d e x2 . A integração da função f(x) = x2, que em linguagem geométrica pode ser enun

ciada como a determinação de superfície da uma área l imitada por u m segmento de parábola, uma parte do eixo dos x e duas ordenadas, já não é u m problema tão simples como o primeiro. Consideremos, por exemplo, a integral

/ x2 dx, o

onde 6 s£ 0 (fig. 6) e dividamos o intervalo 0 á x S 6 em n partes iguais, de com-

primentó k = bjn; a área que desejamos determinar será, então, o l imite da seguinte expressão (soma superior) :

h(k° + 22h2 + 3=/r 4- . - . 4- n2fr) = h*(l- - j - 2 2 -f- . . . + n 2 ) -= ò 3 ( l 2 + 2= + . . . + n-)ln\

A soma dos termos contidos no parêntese, entretanto , já foi determinada (ver no ta da pág. 27):

P + 22 + . . . -1- n1 = \n{n + 1) (2n -f- 1).

Subst i tu indo esta expressão e escrevendo o resultado sob forma um pouco diferente, a soma em estudo transforma-se em

ò 3

6~ ( i + D ( 2 + D -Desde que n cresça além de qualquer valor , a s o m a tende para o l imite H3, que nos dá a fórmula d a integral procurada

j\2dx=\b\

Empregando as relações gerais dadas ac ima, estabelecemos a fórmula geral

J x3 dx =s j x2 dx- J" x2 dx — |(ò* - a?).

3. Integração de xa, sendo a inteiro e positivo. C o m o terceiro exemplo, integremos a função

y = j(x) = x« ,

sendo a u m a quantidade in te i ra e pos i t iva . P a r a o cálculo d a integral

dx

(onde admit imos 0 < a < b), ser ia inconveniente d iv id irmos o intervalo em n partes iguais ( l). A passagem ao l imite pode, entretanto , ser efetuada facilmente, desde que a subdivisão seja fe i ta obedecendo a u m a "progressão geométrica", d a maneira seguinte. F a r e m o s "\!b/a — q e subd iv id i remos o intervalo por meio dos pontos

a, aq, aq2, ..., aq11'1, aç t t — b.

0) Neste caso, seríamos obrigados a basear a avaliação da integral sobre o limite de-_ J L _ Qoc _j_ 2« -j- . . . -{- h.<*)r para n —» m; o leitor, contudo, pode efetuar este cálculo, sozinho, baseando-se na rlota do pê da pâg;. 27.

II] E X E M P L O S D E INTEGRAÇÃO 85

A integral procurada é, pois, o l imite da soma aa(aq - a) + (aq)a {aq- - aq) + {aq-)a (aq3 ~ aq2) + .

+ (aq*-l)a {aq»~aqa~l) - a a + , ( 3 - D [1 + qa+1 + <Z 2 i a + 1 ) + ç 3 i c m ) + . . • • + q^~u W + 1 J I .

Os termos da chave formam uma progressão geométrica, cuja razão é g a + 1 =í= 1. A soma da progressão fornece a expressão

q°-rl~\

Substituindo q pelo seu valor (6/a) l , n , a relação acima transforma-se em ? - 1

( ò t t + 1 - a a + 1 ) — .

Se, agora, n crescer sem l imite , o primeiro fator permanece invariável. Sendo q ^ 1, empregaremos a fórmula da soma das progressões geométricas e escreveremos o segundo fator sob a forma

1

f J a

qa + qa-i+ . . . + 1

e, como a equação q = (6/a) 1 , n indica que q tende para 1 à medida que n ~* 0, o segundo fator terá o l imite l / ( a + 1). F inalmente , o valor da integral é dado pela expressão

• 6 i za.dx + ( è a + 1 - a a + 1 ) .

a + 1

O cálculo ac ima é simples, em princípio, mas algo complicado nos pormenores. Veremos, posteriormente, que ele pode ser posto inteiramente de lado, u m a vez que estejamos mais familiarizados com a teoria da integração.

4. I n t e g r a ç ã o d e xa, s e n d o a u m n ú m e r o r a c i o n a l q u a l q u e r , d i f e r e n t e d e — 1.

O resultado que obtivemos acima pode ser consideravelmente generalizado, sem complicação essencial do método. Seja a = r/s u m número racional posit ivo , sendo r e s inteiros e positivos. N a avaliação da integral considerada não haverá

ç - 1 alteração, salvo n a determinação do l imite à medida que q se aproxima de 1.

qa+l - 1 q — l _ _

T a l expressão transforma-se, então, em Seja qu* = T ( T ={= 1)- Quando

q tender para 1, r também aproximar-se-á de 1. Temos, portanto, que achar o T * - 1

valor l imite de — quando r se aproxima de 1. Se dividirmos tanto o n u m e

rador como o denominador da fração por T - 1 e os transformarmos como antes,

o l imite torna-se, simplesmente, -.«-1 _1- - « - 3

l i m


Sendo, tanto o numerador como o denominador, contínuos e m r , o l imite pode ser imediatamente determinado, fazendo-se r =» 1. Obtemos, assim, o l imite

s 1 -; e, para qualquer va lor racional e posit ivo de a , teremos a fórmula r + s a 4- 1

integral

x*dx = ( 6 o * 1 - a"* 1 ) . a cl 4" 1

E s t a expressão é veri f icada para os valores racionais negativos de a, desde que excluamos o valor a. = — 1, p a r a o qua l a equação d a soma da progressão

q-l geométrica não tem significado a lgum. Vamos , agora, determinar o l imite de

qa — 1 para os valores negativos de a , digamos, a = — r/s. P a r a t a l , façamos q~lh = r, o que nos dá

q = r " " 5 g a + 1 = ? - ^ - « ' « = rc ~« .

Conseqüentemente, procuraremos o l imite de T - R - 1 1 - T "

T r - . _ 1 T r — T *

1

Deixaremos ao leitor demonstrar que t a l l imi te é, novamente, igual a , isto é, a 4~ 1

obtemos, de novo, a fórmula de integração b 1 x-i rjx = (ba+i - a R + 1 )

a a 4- 1

para o caso geral dos valores racionais de a, posit ivos ou negativos, com exceção de a. == - 1 .

Observando a equação anterior, vemos que e la não se veri f ica para a = -1 porque, neste caso, tanto o numerador como o denominador se anulam.

E natural, também, supor que a validade desta última fórmula se estenda aos valores irracionais de a. T a l extensão será efetivamente estabelecida, por uma simples passagem ao l imite , no § 7 (pág. 129).

5. I n t e g r a ç ã o d e s e n x e c o s x.

Como último exemplo, consideremos a função j(x) — sen x, a qual será tratada por meio de u m artifício especial. Def iniremos a integral

õ sen x dx

a como sendo o l imite da soma

& = A[sen(a 4- h) 4- sen(a +-2k) + . . . + sen(a 4- nh)], b-a h

onde h = . Mul t ip l iquemos o parêntese do segundo membro por 2 sen - e n 2

II] E X E M P L O S D E INTEGRAÇÃO 87

apliquemos a conhecida fórmula trigonométrica

2 sen u sen v = cos(u - o) - cos(u + v);

desde que h não seja múltiplo de 2 r , chegaremos à expressão

h

2 sen - L 2 h j cos Ça + ^ - cos Ça + ^ / t ^ + cos ^ a + - ft^ - cos + -

/ 2 n - l , \ / - , 2n + l \~] + . - . + cos (a + — - — h J - cos la + — - — h J I

- r / h\ í 2n + 1 > v i / i cos í a + - ) - cos ( a -f- — - — h J .

h

2 sen

Visto que a nh — b, a integral torna-se o l imite de

h h \ cos (a -\- - \- cos (b + -]\ quando h -> 0.

2 s e n - L V 2 7 V, 2 7 J 2

Posto isto, sabemos, do capítulo I (pág. 47), que, quando h tende para 0, a

expressão - /sen - aproxima-se do limite 1. O l imite procurado será, pois, simples-2 2

mente, cos a - cos 6, o que permite escrevermos a fórmula de integração

/sen x dx — - (cos ò — cos a),

a •

D o mesmo modo, como o leitor poderá verificar por si mesmo, obtemos a expressão

• b

f cos x dx =* sen b - sen a.

Quase todos os exemplos apresentados foram tratados por métodos especiais ou por artifícios particulares. O ponto essencial, porém, do cálculo integral e diferencial, quando encarado de maneira sistemática, consiste no emprego de considerações de caráter geral, que conduzem diretamente ao resultado desejado, em lugar dos artifícios que possam ser utilizados. Para chegarmos a tais considerações, devemos volver nossa atenção para outro conceito fundamental da análise superior, a derivada.

E X E M P L O S

1. Determinar a área l imitada pela parábola y = 2a:2 + 3 + 1, pelas ordenadas i = 1 e i = 3, e pelo eixo dos x.

2. Achar a área compreendida entre a parábola y = l^x2 + 1 e a l i n h a reta y = 3 + x.


3. Determinar a área l imitada pela parábola y- = 5a: e pela linha reta y = 1+x . 4. Achar a área compreendida entre a parábola y = x2 e a linha reta y = ax+b.

5. Empregando os métodos do texto, calcular as integrais

/•b pb pb

(x + iydx, (b) I sen axdr, (c) / cos axdx, a *' a a

sendo a u m inteiro arbitrário.

6. Com as fórmulas do exemplo 5, juntamente com as identidades sen 3 x

~ \; - 1 cos 2x, cos-x = \ - f \ cos 2x, demonstrar que çb b-a sen 26 — sen 2a I cos2x dx — —-— -+-

J a

I. 2 4

b b — a sen 2b - sen 2 a sen2.r dx — - .

i 2 4

• 6 7. Utilizando o exemplo 1 da pág. 28 , calcular f a;3 dx, fazendo a divisão em

J a subintervalos iguais.

8. Calcular o valor de f (l - xYdx (sendo n inteiro), pelo desenvolvimento J o

do parêntese.

3. D E R I V A D A

O conceito de derivada, como o de integral, é de origem intuitiva. Suas fontes são (1) o problema da construção da tangente a uma curva dada num ponto determinado, e (2), a pesquisa de uma definição precisa, para a velocidade, num movimento arbitrário.

1. A d e r i v a d a e a t a n g e n t e .

Consideremos, em primeiro lugar, o problema da tangente. Seja P um ponto sobre uma curva dada (fig. 7). Definiremos a tangente à curva no ponto P , de acordo com a intuição comum, por meio do seguinte processo de limite. Marquemos, além de P, um segundo ponto, PL, sobre a curva. Façamos passar uma reta pelos dois pontos, reta esta secante à curva. Se o ponto JPi se mover sobre a curva, dirigindo-se para P, a secante tenderá para uma posição limite, a qual é independente do lado pelo qual P\ se aproxima de P. A posição-limite da

II] D E R I V A D A S 89

secante ê a tangente, e a afirmação de que tal posição-limite existe equivale à hipótese de que a curva possui tangente definida ou direção definida no ponto P. (Empregamos a palavra "hipótese" porque, efetivamente, fizemos uma. A hipótese da existência da tangente verifica-se nas curvas mais simples, mas, de forma alguma, pode ser generalizada para todas as curvas, ou mesmo para todas as curvas contínuas).

Uma vez que representamos a curva considerada por meio de uma função y = f(x), surge o problema de representar analiticamente o

processo geométrico de l imite, u t i lizando a função f(x). Imaginemos o ângulo que uma linha reta l faz com o eixo dos x, como sendo aquele de que a parte positiva do eixo deve girar, na direção positiva da rotação a f im de ficar paralelo, pela primeira vez, à reta l. Seja «i o ângulo que a secante PPX faz com a parte positiva do eixo dos x (fig. 7) e a o ângulo que a tangente forma

com o mesmo eixo. Se pusermos de lado o caso da tangente perpendicular, temos

l im «i = a, PI-*P

onde o significado dos símbolos é perfeitamente compreensível. Se a?, y [ = f(x)] e Xi, yi [= /(zi)] forem coordenadas dos pontos P e P i , respectivamente, temos imediatamente ( 2 )

O

y-f(x)

x Fig 7.—.Corda e tangent6

tg ai yi - y / f a ) - f(p)

Xi — X Xi - X

e, assim, o processo-limite estudado será representado pela equação

fW-f(x) l im

Xl-*X X\ — X tg a.

(i) Isto ê, numa direção tal que uma rotação de tt/2 o obrigue a coincidir com o eixo dos y positivos; ou, em outras palavras, no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógin»

(-) A fim de que esta equação tenha significado, devemos admitir 0 < t x - xi | < S, sendo 5 escolhido suficientemente pequeno. Nos processo3-Iimite que seguem, muitas vezes faremos, tacitamente, hipóteses correspondentes.

A expressão

Kxú-m y i - y Ay

Xi — X Xi - x Ax

será d e n o m i n a d a quociente das diferenças da função y = /(&), v l s t o que os s ímbolos Ay e Ax des ignam as diferenças das funções y = f(x) e d a variável independente a;. ( D o mesmo modo que na pág. 79, o símbo l o A i n d i c a u m a abreviação da diferença, e não u m fator.) A t a n gente dc a, ângulo de direção d a curva ê, portanto, igual ao l imite p a r a o q u a l tende o quociente das diferenças da função considerada, q u a n d o x± t e n d e p a r a x.

C h a m a r e m o s este l i m i t e a derivada ( 2 ) da função y = f(x) no ponto

x e, de a c o r d o com a notação de Lagrange, empregaremos para repre

sentá-la o s ímbolo y = / ' (z) o u ^ , ^ ou ~ f(x), de conformidade dx dx ax

c o m L e i b m t z . N a pág. 100, discutiremos detalhadamente o s igni f i cado d a n o t a ç ã o de L e i b n i t z . N o momento, limitar-nos-emos a assina lar q u e / ' ( í c ) ind i ca que a derivada ê, ela própria, uma função de x, v i s t o ter e l a u m va lor def inido para cada valor atribuído a ai, no interv a l o em es tudo . T a l fato é, por vezes, salientado pelo emprego das expressões função derivada o u curva derivada (pág. 99).

A p r e s e n t a m o s , novamente , a definição da derivada.

f(x) = hm , XI-* X «*<

OU dy df(x) ftxò-m Ay

= —-— = f (x) = hm = hm — ax dx Xl^x Xi - X Aa-o Ax

' Kx + h)-f(x) = h m r ,

h-*ü n

onde, n a últ ima expressão, substituímos xx por x-\-h. É impossível achar a derivada, fazendo apenas xi = x na expres

são do cjuociente das diferenças porque, então, tanto o numerador como o d e n o m i n a d o r anular-se-iam, resultando a expressão 0/0, sem

(i) A Inclinação o u gradiente d a c u r v a ê dada por tga, daí empregar-se algumas vezes a pala-VEa gradiente p a r a a derivada d a função representada pela curva.

(3) O t e r m o coejicienle dijerencial é também usado, principalmente em textos antigos. {3} A n o t a ç ã o do C a u c h y , Dj(x), encontra-se ocasionalmente na bibliogrufia.


signifioado. Ao contrário, a passagem ao limite, em cada caso part i cular, depende de certas operações preliminares (transformação do quociente das diferenças).

Por exemplo, para a função f(x) = x%, temos ( 1 )

fM-f(x) XX2-X2

Xi - X Xi — X = Xi + X.

A função Xt 4- x não é a mesma função , pois 2 : 4- x ê definida em um X\ X

xí> -x2

ponto em que o quociente não o é, a saber, no ponto xx = x. Para todos xi - x

os outros valores de xu as duas funções são iguais entre si; logo, na passagem ao limite acima indicada onde exigimos, explicitamente, que xx 4= x, obteremos o

Xi2 — x2 . mesmo valor tanto para lim como para lim (xi 4- a:). Como a função

xi -*X X1— X xi —>x

2j 4- x é definida e contínua no ponto x x = x, podemos fazer com ela o que não seria certo se fizéssemos com o quociente, isto é, passar ao limite, fazendo simplesmente Xi =» x. Obtemos, então, a seguinte expressão para a derivada

f(x) = - 1 J - 2x. ax

Levar a cabo tal operação, isto é, formar a derivada, denomina-se derivar a função f(x). Veremos, mais adiante, como esse processo de derivação pode, efetivamente, ser aplicado a todos os casos importantes.

A significação definida do problema da derivação de uma função dada, independentemente da intuição geométrica da tangente, ê da maior importância. O leitor se lembrará de que, no caso da integral, nos libertamos da concepção geométrica de área e, ao contrário, baseamos a noção de área sobre a própria definição de integral. Aqui , devemos definir a derivada da função y = /(as) como sendo uma nova função y — f (x) dada pela equação acima, independentemente da representação geométrica de y = f(x) por meio de uma curva, desde que exista, em todos os casos, limite para o quociente das diferenças. Se tal limite existir, dizemos que a função f(x) é derivâvel. Doravante, suporemos sempre que as funções com que operamos são deriváveis, salvo menção expressa em contrário Devemos observar que, se a função j(x) fôr derivâvel no ponto x, quando h tende para 0, deve

(l) Ver pâg. 89, segunda nota.

92

existir l imite do quociente

IDÉIAS F U N D A M E N T A I S

f(z+h)-f(x)

[ C A P .

h , seja com valor positivo,

seja com valor negativo, independente da maneira pela qual h tende para 0, isto é, sem qualquer restrição r e l a t i v a ao sinal .

U m a vez achada a derivada/ 7 (x ) , tomaremos a direção que faz um ângulo a com o eixo dos x positivos, dada pela equação tg a = f (x), como sendo a direção da tangente à curva , no ponto (x, y). Ev i tamos , assim, as dificuldades provenientes da indef inibihdade sob o ponto de

O

Fig . 8.—Tangentes aos gráficos de funções crescentes e decrescentes.

vista geométrico, visto basearmos a definição geométrica sobre a analítica, e não vice-versa.

Não obstante, a representação v i sua l d a derivada como tangente à curva constitui auxílio importante à compreensão, mesmo nas. discussões analíticas puras. Aceitaremos, assim, o seguinte enunciado, baseado n a intuição geométrica:

Se f' (x) for positiva e a curva for percorrida no sentido dos x crescentes, a tangente inclina-se para cima e, portanto, no ponto em questão, a curva sobe à medida que x cresce; se, por outro lado,i'(x) for negativa, a tangente inclina-se para baixo e a curva cai, quando x cresce (fig. 8). A n a l i ticamente, esta propriedade é deduzida da observação de que o limite.

de ~ nao pode ser posit ivo, a menos que a função seja h

crescente no ponto x. C o m isto significamos que para todos os valores de h suficientemente próximos de 0 o valor de f(x -f- h) será maior ou

t 1) Exemplos de casos em que esta condição não é satisfeita serão apresentados oportunamente (pág. 97).


menor do que f(x), conforme h for positivo ou negativo. Podemos, naturalmente, estabelecer um enunciado correspondente para o caso em que f'(x) é negativa.

2. A derivada como velocidade.

Do mesmo modo que a intuição comum nos conduz à noção de direção da tangente à curva, ela nos leva a atribuir velocidade, ao movimento. E , mais uma vez, a definição de velocidade conduz-nos ao mesmo processo-limite que chamamos derivação.

Consideremos, por exemplo, o movimento de um ponto sobre uma linha reta, cuja posição seja determinada por uma única coordenada y. Esta coordenada y representará a distância do ponto móvel considerado, com o sinal correspondente, a um ponto fixo sobre a l inha. O movimento será conhecido se tivermos y como função do tempo t, y = f(t). Se esta função for linear/(í) = ct + 6, haverá movimento uniforme com velocidade c e, para cada par de valores t e ti diferentes entre si, podemos escrever

A velocidade é, portanto, o quociente das diferenças da função ct -f- 6, e este quociente ê independente do par de instantes particulares que fixarmos. M a s , o que devemos entender por velocidade do movimento no instante /, se o movimento não for uniforme ?

A f im de estabelecermos esta definição, consideremos o quociente

das diferenças ^-j-—que designaremos velocidade média no inter

valo de tempo entre ti e t. Se tal velocidade média tende para u m limite definido, à medida que ti se aproxima cada vez mais de U definiremos, naturalmente, este limite como sendo a velocidade no instante /. E m outras palavras: a velocidade no instante t ê representada pela derivada

c = Kk)-f(t)

f(t) = l i m fdi) - / ( O

Deste novo significado de derivada, que em si mesmo nada tem a ver com o problema das tangentes, vemos que é realmente apropriado


para definir o processo-limite da derivação como operação puramente analítica, independentemente de intuições geométricas. Neste caso, também, sempre faremos, tacitamente, a hipótese da derivabilidade da função-posição, o que efetivamente ê necessário, para que a noção de velocidade tenha sentido.

Como exemplo simples da relação entre o movimento e a velocidade, consideremos um corpo que cai livremente. Começaremos com a le i , estabelecida experimentalmente, de que a distância percorrida por u m corpo em queda l ivre, no tempo l, é proporcional a í 2 e, portanto, pode ser representada por u m a função da forma

y-J(t) = at*.

Como n a pág. 91, aebamos imediatamente que a velocidade é dada pela expressão f'(t) = 2GÍ, a qual mostra que a velocidade de u m corpo que cai livremente cresce proporcionalmente ao tempo.

3 . E x e m p l o s .

Passaremos, agora, a apresentar u m certo número de exemplos de derivação efetiva de funções. Iniciaremos com a função y = j(x) = c, onde c é uma constante. Ê sempre certo que f(x + h) - j{x) = c - o « 0, de ta l modo que

l i m ^~X-~^~—-—^—^ = 0; isto é, a derivada de uma constante ê nula.

Para a função linear y = / (x) = cx - f b, achamos que

,. f(x4-h)-j(x) ch hm = h m — = c. h-*o h h-*0 h

Derivemos ainda a função

y - Kx) =

admitindo inicialmente que a seja inteiro e positivo. Desde que xx 4= x, temos

JixO-fix) a r ^ - a »

o segundo membro desta equação é igual a 4- x^-x 4- . . . 4- a** - 1 , como verificamos, seja pela divisão direta, seja pelo emprego da fórmula da soma das progressões geométricas. E s t a nova expressão do segundo membro da equação é uma função contínua, e, assim, podemos efetuar a passagem ao limite (x : -* x) pela simples substituição de xx por x. C a d a termo torna-se, então, igual a a » - 1

e, como o seu número é a, obteremos

dix") y' =f'(x) = —-— = ax« - l .

dx

Chegaríamos ao mesmo resultado se a. fosse u m inteiro negativo - j3; devemos, entretanto, admit i r que x não seja nulo . T e r e m o s então

1 1

j(xi)-f(x) Xi& x& xP~Xi& 1 Xi-x xt — x x — Xi xPxfí

as —• , #

xflxP

M a i s u m a vez podemos efetuar a passagem ao l imi te pela simples substituição de Xi por x. Então, do mesmo modo que anteriormente, obteremos, para l i m i t e , a expressão

x$~l

y' = -Px-H-1. x-p

Portanto, para valores de a, inteiros e negativos, a der ivada 6 novamente

y' = a z » - 1 .

Finalmente , chegaremos à m e s m a fórmula quando x for pos i t ivo e a u m número racional qualquer. Suporemos que a. — pjq, sendo p e q ambos inteiros e pos i tivos. (Se u m deles fôr negativo, não h a v e r i a mudança essencial n a demonstração; se a = 0 já conhecemos o resultado, v i s to que Xa ê, então, constante.) Temos, eatão,

J(xi) -J(x) a i p , < - x p / q

Se fizermos x U q = £ e Xx11* «= ia , obteremos

/ f r i ) -J(x) = l x p - f = g i " ' 1 + g tp - 2 ^ 4- . • • + g p~'

x x - x ^ " - ^ f!"- 1 + « i , _ 3 Í + . . . + £ , _ l *

Após esta última transformação, podemos real izar imediatamente a passagem ao l imite ( i j - t i ou, o que dá no mesmo, f t -» £), v indo a seguinte expressão p a r a va lor -l imite

P s " - 1 P P P

5 F'1 q Q 1 ou, finalmente,

j'{x) = y ' = a x " - 1 ,

que representa o mesmo resultado obt ido anteriormente. D e i x a m o s ao le i tor demonstrar que a mesma fórmula de derivação é aplicável, também, p a r a expoentes racionais negativos. Voltaremos à derivação das potências logo que t ivermos desenvolvido a teoria de maneira mais c omple ta (pág. 130).

96 IDÉIAS FUNDAMENTAIS [CAP.

Como último exemplo, consideremos a derivação das funções trigonométricas sen x e cos x. Empreguemos a fórmula trigonométrica elementar

sen (x + h) - sen x sen x cos h -f- cos x sen h - sen x

cos h — l sen h = sen a; - j - cos a: .

h h

Vimos, no Cap. I , § 7, págs. 47-48, que

sen h cos h — l lirn = 1, l im = 0. h->o h h-*Q h

Obtemos, então, imediatamente, para a derivada procurada

d(sen x) y' — = cos x.

dx

A função y = cos x pode ser derivada de forma análoga. Partindo de

cos (x + h) - cos a: cos h — l sen h a» cos x sen x ,

h h h

e, tomando o limite quando h -* 0, temos a derivada

cí(cos x) y = = - sen x.

dx

4. Algumas regras fundamentais para derivação. Como no caso da integração, algumas regras simples, porém fun

damentais para a formação das derivadas, são conseqüência imediata da definição. Se <j>(x) = f(x) -j- g(x), resulta 4>' (x) = /' (x) + g' (x); se \j/(x) — cf(x) (sendo c uma constante), teremos ip' (x) = cf (x). Sabemos que

<j>(x + h) - 0(aQ = f(x -f- h) -J(z) , g(s + fe) -/ i h h

e

A " C h

e o enunciado decorre diretamente, pela passagem ao limite. De acordo com estas regras, por exemplo, a derivada da função

4>(x) = j{x)-r ax + b (onde a e ò são a.i.cs) c fornecida pela equação

<f.'0r) = / ' (x) + a.


5. Derivabilidade e continuidade das funções.

Convém sabermos que, se uma função é derivável, não há necessidade de demonstração especial da sua continuidade.

Se uma função e derivável, ela é necessariamente contínua.

Com efeito, quando o quociente da diferença f(x + h)-f(x) h se

Fig. 9. — Kx) - I x I

aproxima de um limite definido, à medida que h tende para zero, o numerador da fração, isto é, f(x + h) - f(x) deve, também, convergir para zero com h\ e este fato exprime a continuidade da função f(x) no ponto x.

A recíproca desta proposição, entretanto, ê inteiramente falsa. Não ê verdade que toda função contínua admita derivada em qualquer dos seus pontos. O exemplo mais simples para refutar a hipótese é a função f(x) = \x\, isto é, f(x) = - x para x S 0 e/(a?) = x para i ^ O , cujo gráfico está representado na figura 9. N o ponto x = 0 a função é contínua,

mas não tem derivada. 0 l imite de ^ X + ^ ~ ^ é i g u a l a 1 s e h

tende para 0 por valores positivos e igual a - 1 se h se aproximar de 0 por valores negativos. Se não fixarmos o sinal de h, não existirá limite. A função apresentará, então, derivadas diferentes à direita e à esquerda do ponto x, e devemos entender por derivada à direita e derivada à

esquerda, respectivamente, os valores limites de ^—^~^» quando

h se aproximar de 0 admitindo somente valores positivos ou negativos. A derivabilidade da função exige, assim, não apenas a existência das derivadas à direita e à esquerda, mas ainda que elas sejam iguais. A desigualdade das duas derivadas significa, geometricamente, que a curvíi tem um ponto anguloso.

Como exemplos de pontos em que uma função contínua não ê derivável, consideraremos aqueles onde a derivada se torna infinita, isto é, nos quais não existe derivada nem à direita nem à esquerda, cresceu-

do o quociente da diferença — ~ — - — além de qualquer limite,

quando A-*0. Por exemplo, a função y = J(x) = v z = é definida e contínua para todos os valores de x. P a r a todos os valores de x diferentes de zero sua derivada ê dada (pág. 95) pela fórmula/ = ^aT 2 7 3 .

Kx + h)-f(x) Al /3 N o ponto x = 0 teremos ^ — = = A - 2 ' 3 , e constatamos

logo que à medida que h->0 a expressão não admite valor limite, mas, ao contrário, tende para o «>. T a l estado de coisas pode ser resumido, dizendo-se que a função possui derivada infinita (ou derivada <*>), no ponto considerado. Lembraremos, entretanto, que isto significa,

apenas, que, quando h tende para 0, o quociente da diferença cresce além de qualquer valor, e que a derivada, no sentido em que a definimos, realmente não existe. A representação geométrica de uma derivada infinita é uma tangente vertical à curva (fig. 10 ) .

A função y = f(x) = V definida e contínua para x^O, também não ê derivável no ponto x = 0. Como y não é definida para os valores negativos de x, considera-se somente a derivada à direita. A equação —^ ^ = mostra que a derivada é infinita e que a curva

toca o eixo dos y na origem (fig. 11 ) . Finalmente, na função y = ^x^ — x2ls temos um caso em que a

derivada à direita no ponto x = 0 é positiva e infinita, enquanto a

derivada à esquerda é negativa e infinita, como se deduz da relação

/ ( Ã ) - / ( 0 ) J L h <l li

Efetivamente, a curva contínua y — #2/3, também chamada p o râbola semicúbica ou parábola de Neil, tem um ponto anguloso na origem, sendo simétrica em relação ao eixo dos x.

6. Derivadas de ordem superior e seu significado.

A derivada / ' (x) de uma função ê, ela própria, uma função de .r, cujo gráfico será denominado curva derivada da curva considerada. Por exemplo, a curva derivada da parábola y = x2 ê uma linha reta,

Fig. 13.—Curvas derivadas de sen i e cos z

representada pela função y = 2x. A curva derivada da senôide y = sen x ê a co-senóide y = cos x, assim como a derivada de y = cos x é a curva y = -senec. (Qualquer uma destas últimas curvas pode ser obt'da das outras, por uma translação conveniente na direção do eixo dos x, como está indicado na figura 13.)

lOC IDÉIAS F U N D A M E N T A I S [CAP.

Como seqüência natural, agora podemos tratar das curvas derivadas, isto é, da formação da derivada da função / ' (x) = cb{x). T a l derivada

r f(x + h)-f'(z) 4>' (x) = h m r ,

h->0 II desde que exista realmente, será denominada derivada segunda da função f(x), e a designaremos por/" (ai ) .

D a mesma forma podemos procurar obter a derivada de f"(x), a chamada derivada de terceira ordem de f(x), a qual será representada por (x). O processo pode ser repetido quantas vezes desejarmos, na maior parte das funções importantes, chegando-se, assim, à derivada de •ordem n, ou à enegêsima derivada /ín) (x) da função primitiva. E m certas ocasiões convém chamar f(x) sua própria derivada de ordem 0

Se considerarmos o tempo t como variável independente e se representarmos o movimento de u m ponto pela função /(Q, a segunda «derivada será fisicamente interpretada como sendo a velocidade com que a velocidade varia / ' (/) ou, como usualmente se chama, a aceleração. Mais tarde (págs. 153-159) discutiremos a interpretação geométrica da derivada de segunda ordem em seus pormenores. Notemos, porém, desde já, os seguintes fatos: no ponto em que/"(ir.) ê positiva, /' (x) cresce juntamente com x; se, por outro lado, f"{x) for negativa, /' (x) decresce à medida eme x cresce.

7. A derivada e o quociente d a diferença.

0 fato da diferença Ax, no processo de l imite que define a derivada, tender para 0, ê expresso, algumas vezes, dizendo-se que a quantidade Ax se toma infinitamente pequena. T a l maneira de dizer significa que a passagem ao limite é considerada como u m processo durante o qual a quantidade Ax pode-se aproximar de zero tanto quanto qui sermos, sem igualá-lo jamais. N a notação de Leibnitz, a passagem ao limite, no processo de derivação, é expressa, simbolicamente, pela substituição do símbolo A por d, de modo que podemos traduzir o símbolo de Leibnitz, para a derivada, pela equação

dy Ay -r = h m —-. ax AX-»O Ax

{*) Os termos segundo, terceiro n-gésimo coeficiente diferencial são também empregados. Ver a segunda nota da pág. 90.


Se, entretanto, quisermos ter u m a concepção c lara do significado do cálculo diferencial, devemo-nos guardar de considerar as derivadas como quocientes de duas quantidades efetivamente " in f in i tamente

A y pequenas". O quociente das diferenças — deve ser formado com as

diferenças Ax, as quais não são iguais a 0. Apôs a formação deste quociente das diferenças devemos imaginar a passagem ao l imi te , efetuada por transformação ou por meio de outro artifício qualquer. Não temos o direito de supor que, primeiramente, Ax varie , por meio de algo parecido com u m processo de l i m i t e até at ingir u m valor inf initamente pequeno, mas não propriamente 0, de modo que Ax e Ay possam ser substituídos por quantidades " in f in i tamente pequenas" ou " i n f i n i t e s imais" dx e dy, para então ser formado o quociente. T a l concepção de derivada é incompatível com a clareza de idéias exigida pela matemática e, n a realidade, destituída de qualquer significação. P a r a u m grande número de espíritos simples, indubitavelmente, há certo en canto em admit i r esta concepção, o encanto do mistério que está sempre associado à palavra " i n f i n i t o " e, na própria gênese do cálculo diferencia], Le ibn i t z misturou essas idéias místicas e vagas, com a compreensão c lara do processo de l imi te . E verdade que a obscuridade que circundou os fundamentos d a n o v a Ciência não impediu que Le ibni tz e seus grandes sucessores achassem o caminho da verdade. M a s isto não nos liberta do dever de evi tar qualquer idéia confusa na construção do cálculo diferencial e integral .

A. notação de Leibnitz, entretanto, não ê apenas atraente em si mesma, porém de grande f lexibi l idade e da maior uti l idade. A razão é que em muitos cálculos e transformações podemos l idar com os símbolos dy e dx da mesma maneira que com os números comuns, permit indo dar expressões mais perfeitas a muitos cálculos que, sem o seu emprego, não poderiam ser realizados. N a s páginas seguintes, veremos este fato repetidamente verificado e, assim, desde que não esqueçamos o caráter simbólico dos sinais dy e dx, teremos justificação para o seu uso l ivre e continuado.

P a r a as derivadas de segunda ordem e de ordens superiores, L e i b ni tz entreviu notação muito sugestiva e de grande ut i l idade prática. Imaginou a derivada de segunda ordem como o l imite do "quociente das segundas diferenças", da forma seguinte. Além d a variável x, con-

102 IDÉIAS F U N D A M E N T A I S [CAP.

sideraremos Xi = x -f- h e x% — x - j - 2A. Tomamos, então, o quociente das segundas diferenças como sendo o quociente das primeiras diferenças do quociente das primeiras diferenças, isto é, a expressão

1 fyz - vi yi~y\ i ,

h v~h~ - n r y - J ? ° ' 2 - 2 Y I + Y ) -

ondey =/(x), yL = /(xi), e y 2 =/ (x 2 ) . Se escrevermos, também, h = àx e yz ~ yi — A)'L, yi~ y ~ Ay, podemos, apropriadamente, chamar a expressão contida no último parêntese a diferença da diferença de y ou a segunda diferença de y e escrever, simbolicamente, ( 1 )

y-z ~ 2yi -f- y = Ay i - Ay = A(Ay) = A 2 y.

Nesta notação, o quociente das segundas diferenças será ^ onde

o denominador é, realmente, o quadrado de Ao:, enquanto, no numerador, o número 2 indica, simbolicamente, a repetição do processo-diferença. Ta l representação para o quociente das diferenças ( 2 ) levou Leibnitz a introduzir a notação

dzv dsy y" »/"(*) = ~ , y>" = / " ' (x) - ^ , etc,

para as derivadas segunda e de ordem superior e veremos na continuação que ela ê satisfatória e prática.

8. Teorema do valor médio.

dy

A relação simples que existe entre a derivada = f (x) e o quo

ciente da diferença é importante para muitos fins. T a l relação ê conhece A A = A 3 não representa um quadrado, porém, apenas, um símbolo para a "diferença da

diferença" ou "diferença de segunda ordem".

P) Devemos salientar que a afirmação de que a derivada de segunda ordem pode ser representada como o limite do quociente das diferenças de segunda ordem requer demonstração, visto termos definido a derivada de segunda ordem, não deste modo, mas como o limite do primeiro quociente da diferença das derivadas de primeira ordem. No caso atual, porém, as duas definições são equivalentes desde que a derivada segunda seja contínua. A demonstração não serã apresentada, por ora visto aão termos, aqui, necessidade particular da mesma.

I l l D E R I V A D A S 103

Ai/

€Ída como o teorema do valor médio, e é obtida do modo seguinte. C o n sideremos o quociente das diferenças

f(xi) - / f a ) _ Af xi - x2 Ax

de uma função f(x), e admitamos que a derivada exista em todos os pontos do intervalo X\ Sx S x2, de modo que o gráfico da curva possua tangente em qualquer ponto. O quociente das diferenças será representado pela direção da secante (fig. 14); ele é, efetivamente, a tangente do ângulo a, desenhado na f igura. Imaginemos esta secante deslocada paralelamente a s i mesma. Pelo menos u m a vez ela tangenciará a curva, n u m ponto entre Xi e x2, isto é, no ponto mais afastado O da secante. Logo, haverá u m ponto intermediário £ t a l , que

F i g . 14.—Ilustração do teorema do valor médio

X\ ~ X2

Este enunciado se denomina teorema do valor médio do cálculo diferencial. Podemos ainda exprimi- lo de forma algo diferente, observando que o numero £ pode ser escrito sob a forma

£ = Xx + 6{x2 - x{),

onde 9 representa u m certo número, entre 0 e 1. Nas aplicações do teorema do valor médio acharemos, muitas vezes, que 6 não pode ser determinado com aproximação maior que esta, mas reconheceremos que, usualmente, não há necessidade de valores mais precisos. O teorema do valor médio, enunciado de forma rigorosa, se exprime do modo seguinte:

Se f(x) for contínua no intervalo fechado x L S x S x 2 e derivável em todos os pontos do intervalo aberto x± < x < X2, existirá pelo menos um valor d, sendo 0 < 9 < 1, tal que,

/ t e ) - / ( r i )

x2 - Xi

Substituindo-se Zi por x e x2 por x + h, será possível exprimir o teorema do valor médio pela fórmula

fa + h)-M ^ f a ) = f , { x + / | 0 ) j x < ^ < x + k

a

Desejamos salientar que, embora seja essencial a continuidade de f(x) em todos os pontos do intervalo, inclusive nos extremos, não há necessidade de se admitir a existência de derivadas nos pontos extremos. E s t a observação, aparentemente t r i v i a l , ê efetivamente útil em muitas aplicações.

Se, em qualquer ponto do intervalo, a derivada deixar de existir, o teorema do valor médio não é mais necessariamente verdadeiro. Vejamos o exemplo f(x) = j x \ (pág. 97).

Podemos completar o raciocínio i n tuitivo com as considerações seguintes. Há, no mínimo, u m ponto P da curva que tem a distância máxima da corda que une os pontos de ahscissas xi e x2

(fig. 15). Este ponto da curva tem, por -Q hipótese, tangente definida. Provaremos, então, que esta tangente deve ser para lela à corda. Por definição, a tangente é a posição limite da secante, sendo obtida pela união do ponto P a um ponto Q da curva, enquanto Q move-se na direção de P. Visto que, por hipótese, Q não está mais longe da corda do que P, a l inha PQ, traçada de P para Q, ou corta a corda ou se mantém paralela à mesma; e isto deve-se verificar, independentemente do lado em que esteja situado Q, em relação a P . A afirmação, porém, somente é possível se a posição hmite for paralela à corda. Se designarmos a abscissa de P por £, a inclinação/(I) da tangente em P ê igual à inclinação da corda,

£i - x2

valor de £ no teorema. A demonstração rigorosa do teorema do valor médio é, usualmente,

desenvolvida do modo seguinte. Primeiramente estabelecemos o teorema de Rolle, que é u m caso especial do teorema do valor médio:

Se a função <£(x) for contínua no intervalo fechado Xi Sx Sx2 e de-

F i g . 15.—Ilustração do teorema do vaio* médio

-. Daí podermos tomar, simplesmente, a abscissa de P para

rivável no intervalo aberto x i < x < x 2 , e se, além disso, <b(x{) — 0 e 4>{x2) = O, existirá no mínimo um ponto £, no intervalo, para o qual ^ Ü ) = 0.

Efetivamente, há pelo menos u m ponto £ no intervalo, onde a função <f>{x) admite o seu valor máximo ou mínimo (Cap. I , Apêndice I , § 2, pág. 63). P a r a concretizar, admitamos que £ seja u m ponto em que </>(£) tem um máximo, de modo que para cada x do intervalo , 4>(x) á<K£)- Então, para cada número h cujo va lor absoluto, | h j , for suficientemente pequeno, será verdade que <£(£) - <£(£ + ti) = 0 . Se h for positivo

0(£ + h) - <K£) ^ • h = U i

se h tender para 0, através de valores positivos, obteremos <£'(£) S 0.

Se, por outro lado, h for n e g a t i v o , — ^ o e, então, se h

tender para 0 através de valores negativos, obteremos <b' (£) è 0. Comparando as duas desigualdades, constatamos que = 0, o que prova o teorema.

Apliquemos o teorema de R o l l e à função ( 1 )

tíz) = A*) ~fM - Í/Ofe) - / f e ) ] -X2

E s t a função satisfaz, sem dúvida, à condição <b(x{) — <j)(x2) — 0, sendo da forma <f>{x) = f(x) + ax + b, com os coeficientes constantes

a = - í i i ^ e ò. Sabemos (pág. 99) que £2 ~ Xi

4>'(x) = / ' ( * ) + a ,

e, pelo teorema de Ro l le , teremos 0 = * ' ( Ô + a

para u m valor intermediário de £, convenientemente determinado. Daí tiramos

ficando demonstrado o teorema do valor médio.

C1) E s t a função, pondo de parte o fator independente de x, representa a distância do p^nto [x, j{x)] da curva, à secante. O leitor poderá verificá-lo sozinho, muito facilmente.

Como primeira das muitas aplicações do teorema do valor médio, demonstraremos o seguinte. Seja a junção f(x) contínua no intervalo jechado a á x á b, com derivada f '(x) em todos os pontos do intervalo aberto a < x < ò. Se f '(x) jôr positiva em qualquer ponto de a < x < b, a junção f'(x) é monótona crescente no intervalo a g x ^ b. Analogamente, se f'(x) jôr negativa em a < x < b, f(x) será monótona decrescente.

Demonstraremos somente a primeira parte da tese, visto que a segunda pode ser feita de modo semelhante. Suponhamos que j'(x) > 0, e que xi e x* > xi sejam dois valores quaisquer de x no intervalo fechado. O teorema do valor médio permite escrever

j(xs)-j(x1) = (x2-x1)j'a),

onde Xx< £ < x*. Como ambos os fatores da direita são positivos, segue-se que f(x2) >/(£)) e, portanto, j(x) é monótona crescente.

9. R e p r e s e n t a ç ã o a p r o x i m a d a d e f u n ç õ e s arb i t rár ias p o r f u n ções l i n e a r e s . D i f e r e n c i a i s .

A equação l i m $ílkJÚ.—EÈ. — f q u e define a der ivada, é equ i -h->0 h

valente às equações

m + h-f(x) = hf(x)+ eh

ou y + A y = f(x + Ax) = f(x) + f (x) Ax -f- e Ax,

nas quais e é u m a q u a n t i d a d e que tende para zero com h = A x . Se imaginarmos, por enquanto , o p o n t o x f i x o e o acréscimo A x variável por essa fórmula, o acréscimo d a função, isto ê, a quant idade A y consistirá de dois termos, a saber, u m a parte hf (x), proporc ional a h, e u m erro que pode ser diminuído quanto quisermos, re lat ivamente a h, tomando-se o próprio h suf ic ientemente pequeno. A s s i m , q u a n t o menor fôr o in terva lo , em t o r n o do p o n t o x, que estivermos considerando, tanto mais prec isamente a função f(x - j - h) (que é função de //) será representada p e l a sua par te l inear j{x) + hf (x). A representação aprox imada de f(x + h) po r u m a função linear de h é expressa geometr icamente pe la substituição d a c u r v a pela tangente no ponto x . M a i s tarde (Cap . V I I ) , estudaremos a aplicação prática destas idéias à realização de cálculos aprox imados .

P o r ora, observaremos de passagem que é possível empregar-se a representação a p r o x i m a d a do acréscimo A y pela expressão l inear hf (x), para estabelecermos u m a definição logicamente satistafória da noção de "d i f e renc ia l " , o que fo i feito , em par t i cu lar , por C a u c h y .

III D E R I V A D A S 107

Enquanto que a idéia de diferencial, considerada como quantidade infinitamente pequena, não tem significado, sendo, conseqüentemente, fútil definir a derivada como o quociente de duas quantidades tais, podemos, ainda, experimentar atribuir um sentido ta l à equação /' (x) = dyjdx, que a expressão dyjdx não precise ser imaginada como puramente simbólica, mas como o quociente efetivo das duas quantidades dy e dx. Para isto, definiremos primeiramente a derivada f (x) por meio do processo-limite, e, depois, consideraremos x fixo, tomando o acréscimo h = Ax como variável independente. Esta quantidade h será denominada a diferencial de x e representada por h = dx. A expressão dy = y' dx = hf (x) será, então, definida como a diferencial da função y. Como vemos, dy ê um número que nada tem a ver com quantidades infinitamente pequenas. A de- ^ rivada y ' = / ' (x) é, pois, realmente, o quociente das diferenciais dy e dx. Este enunciado, porém, nada tem de notável; ele é, de fato, mera tautologia, um reenunciado da definição verbal. A diferencial dy é, conseqüentemente, a parte linear do acréscimo Ay (fig. 16).

Não empregaremos, de imediato, estas r>L

diferenciais. Notaremos, todavia, para sermos completos, que também é possível â formação de diferenciais de segunda ou de ordens superiores. Para tanto, escolhamos h de qualquer maneira, mas sempre o mesmo para cada valor de x. Teremos, então que dy = hf (x) é uma função de x, da qual podemos formar nova diferencial. O resultado será a diferencial de segunda ordem de y, que ê representada pelo símbolo d2y=d2f(x). O acréscimo de hf (x) sendo [f (h + x) - f (x)], a diferencial de segunda ordem é obtida substituindo-se a quantidade entre colchetes pela sua parte linear hf"{x), obtendo-se d2y = h2f"(x). Podemos, naturalmente, prosseguir do mesmo modo, obtendo as diferenciais de terceira, quarta, . . .ordens, de y, as quais podem ser representadas por h3f" (x), Wfix) e assim sucessivamente.

10. Observações sobre aplicações às ciências n a t u r a i s .

Nas aplicações da matemática aos fenômenos naturais, jamais l idamos com quantidades definidas com precisão. Se um comprimento

1

Fig. 16.—A diferencial dy


mede, exatamente, um metro, é questão que não pode ser decidida por simples experiência e que, conseqüentemente, não tem "significado físico". Também não há significado físico imediato no dizermos que o comprimento de uma barra material ê racional ou irracional; poderemos sempre medi-la, com qualquer grau de precisão desejada, e o que realmente interessa é saber se é possível efetuar a medida empregando apenas números racionais com denominadores relativamente pequenos. Assim como o problema da racionalidade ou irracionalidade no sentido rigoroso da "matemática exata" , não tem significado físico, também a realização efetiva dos processos-limite, nas aplicações, não passa de uma idealização matemática.

O resultado prático de tais abstrações repousa, principalmente, no fato de que o seu emprego torna as expressões analíticas mais simples e manejáveis. Por exemplo, é, indiscutivelmente, mais simples e conveniente operar com a noção de velocidade instantânea, que é função de um único instante de tempo, bem definido, do que com a de velocidade média entre dois instantes diferentes. Sem tais idealizações, qualquer investigação racional da natureza estaria condenada a complicações insanáveis, caindo no seu próprio início.

Não é nosso intuito , entretanto, entrar na discussão das relações existentes entre a matemática e a realidade. Queremos apenas salientar, visando melhor compreensão da teoria, que podemos substituir a derivada pelo quociente das diferenças, nas aplicações, e vice-versa, desde que as diferenças sejam suficientemente pequenas para garantir uma aproximação bastante exata. T a n t o o físico, como o biologista, o engenheiro ou qualquer outro que tenha que l idar com tais idéias na prática, tem o direito de identificar o quociente das diferenças com a derivada, dentro dos seus limites de precisão. Quanto menor fôr o incremento h = dx d a variável independente, tanto mais precisamente ele poderá representar o acréscimo Ay = f(x +• h) - f(x), pela diferencial dy = hf (x). Dentro dos l imites de exatidão requerida pelo problema, costuma-se denominar as quantidades dx = h e dy = hf (x) por " infinitesimais" . Tais quantidades "fisicamente infinitesimais" têm significado preciso. Elas são quantidades finitas, diferentes de zero, escolhidas suficientemente pequenas para a investigação considerada, por exemplo, menores do que a parte fracionária de um comprimento de onda ou menores do que a distância entre dois íônios de um átomo.


De uma maneira geral, tais quantidades são menores do que o grau de precisão desejado.

E X E M P L O S

1 * Subst i tu i r o enunciado: " N o ponto x = £ a função }(x) não é derivável" por outro equivalente, sem empregar a p a l a v r a "derivável" .

2. D e r i v a r as funções seguintes d iretamente , ut i l izando a definição de der i vada :

1 1 1 1 ( « ) _ _ _ _ . & ) — - . ( c ) _ _ _ . (d)

x + 1 x2 + 2 2x2 4- 1 sen x

(e) sen 3z. (/) c o s a s . (g) s en 2 z. (h) cos 2 x.

'ò. Determinar o valor intermediário | do teorema do va lor médio para as funções seguintes, traçando o gráfico de cada caso:

(a) 2x. (ô) x2. (c) 5 x 3 + 2x. (d) l / ( x 2 + 1)- (fi) x i n .

4. Demonstrar que o teorema do va lo r médio não se aplica às funções seguintes, quando os dois pontos têm sinais opostos, por exemplo, z , = - 1, x , = 1:

(a) l / z . (ô) I x |. (c) x 2 ' 3 .

I lustrar graficamente e comparar com o exercício anterior.

4 . INTEGRAL INDEFINIDA, FUNÇÃO PRIMITIVA E TEOREMAS F U N D A M E N TAIS DO CÁLCULO D I F E R E N C I A L E INTEGRAL.

Como já frisamos anteriormente, a conexão existente entre os problemas da integração e da diferenciação é a pedra angular do cálculo diferencial e integral. Tal relação será, agora, o objeto dos nossos estudos.

1. A integral como função do l i m i t e superior.

O valor da integral definida da função f(x) depende da escolha dos limites a e 6 da integração. Tanto pode ser função do limite inferior a, como do superior 6. A fim de estudar esta dependência de modo mais preciso, imaginemos o limite inferior a como um número fixo, designemos a variável de integração não mais por x, mas por u (pág. 82), e indiquemos o limite superior por x em vez de 6, para sugerir que de-

vemos considerar a variação do limite superior, pesquisando o valor da integral como função deste l imite. Assim, escreveremos

f(u)da = *(as).

Chamaremos à função $(x) uma integral indefinida da função /(x). Quando nos referirmos a uma e não à integral indefinida, queremos frisar que poderíamos ter escolhido qualquer outro l imite inferior em vez de a, o que, ordinariamente, dá um valor diferente à integral. Geometricamente, a integral indefinida para cada valor de x é dada pela área sob a curva y = /(u) (tracejada n a f ig. 17) e limitada pelas ordenadas

*u u = <z e u = x, com o sinal determinado de acordo com as regras já estabelecidas (pág. 81).

Se escolhermos a para l imite inferior em vez de a, teremos a inte-ia l indefinida

a x Fig. 17

*(x) =j f(u)du.

A diferença &{x) - $(x) será dada por

/(«) da,

que é constante, visto a e a terem sido ambos considerados números fixos. Portanto

V(x) = $(x) + const.;

As integrais indefinidas da mesma função diferem unicamente por uma constante aditiva.

Podemos, da mesma forma, considerar a integral como função do limite inferior e introduzir a função

4>{x) =j' f(u)du,

na qual b e uma quantidade f ixa. Novamente, teremos duas integrais

II] I N T E G R A L I N D E F I N I D A 111

com limites superiores diferentes, õ e /3, divergindo somente por uma

constante aditiva jb^u^

2. Derivadas das integrais indefinidas.

A derivação da integral indef inida <í>(x), em relação à variável x, nos conduz ao teorema seguinte:

A integral indefinida

<$>(x) = Jj(u) da

de uma jtznção contínua f(x) possui sempre derivada 3>'(x), e, além disso,

* ' ( * ) = / ( * ) ;

isto é, a derivação da integral indefinida de uma função contínua dá-nos, novamente, a mesma função.

a xx, x0x+h x F i g . 18.—Derivação da integral indefinida

Esta é a idna fundamental de todo o cálculo diferencial e integral. A demonstração, extremamente simples, decorre da interpretação da integrai como área. Formemos o quociente das diferenças

$(cc + h)- $(x)

e observemos que o numerador

/

x+h fx fx+h

f(u)du- / f(u)du = / f(u)du representa a área l imitada pelas ordenadas correspondentes a x e x-\-h.

Seja x0 um ponto entre x e x + h, no qual a função f(x) admite o valor máximo, e xx um ponto no qua l a função assume o valor mínimo, dentro do intervalo considerado (fig. 18). A área em questão ficará

112 I D É I A S F U N D A M E N T A I S [GAP.

contida entre os valores de hf(x0) e. hf(xí), que reprr sentam as áreas dos retângulos com o intervalo entre x e x + h como base e f(xQ) e / ( z i ) , respectivamente, como alturas. Anal i t i camente ,

*(a + h) - §(x) f(xQ)^~ 1 è/(aü).

A demonstração pode ser fe i ta diretamente, partindo da definição de integral, sem apelo à interpretação geométrica Para ta l , escrevamos

f(u) du = l i m SJXii,.) A u , n—> oo v = 1

onde u0 = x, Ui, u2, . .., nn = x + h, são pontos de divisão do intervalo entre x e x + h. Além disso, o maior dos valores absolutos das diferenças Au„ = iz„ - u„_i tende p a r a zero à mediada que n cresce. Desta maneira, àujh será certamente posit ivo , quer h seja positivo, quer negativo. Como/(cc 0 ) s£f(jz9) è / ( x i ) , e visto a soma das quant i dades àu„ ser igual a h, segue-se que

se n tender para o in f in i to , obteremos as desigualdades enunciadas acima, pois

$(x 4- h) - $(x) í r x + h

-kj. ^ ;) da ou

Se h tender, então, para zero, /(af0) e f(x{) tenderão, ambos, para o l imite f(x), dada a continuidade d a função. Vemos, pois, imediatamente, que

$(x + h)~ $(as) $'(*) = l i m - % ~ = /(*),

como asseverava o teorema. Dev ido à derivabil idade de $(#) resu l ta (§ 3, N . 5, pág. 97) o

seguinte teorema: A integral de uma função contínua f(x) é uma função contínua do

limite superior.

C1) Ver, também, a discussão posterior, n a pág. 127.

Para completar, diremos que se considerarmos a integral definida, não como uma função do seu l imite superior, mas sim do inferior, a derivada não será igual a/(a;), mas sim a -f(x). Escreveremos

cb(x) = j / (u) du,

e então <f>' (x) — —f(x)

A demonstração decorre imediatamente da observação de que

/f(u) du = - f f(u) da.

X J b

3. Função primitiva; definição geral da integral indefinida.

0 teorema que acabamos de demonstrar estabelece que a integral indefinida $(sc) dá solução imediata ao problema seguinte: dada uma função f(x), determinar outra F(x), tal que

F<(x)~f{x).

Este problema requer a inversão do processo de derivação. E um exemplo típico de solução inversa, ta l como ocorre em muitas partes da matemática e que já verificamos ser u m método matemático muito profícuo para a geração de novas funções. (Por exemplo, a primeira extenso da idéia dos números naturais foi obtida graças à necessidade de se inverterem certos processos elementares de cálculo. A formação das funções inversas levou-nos, por sua vez, a novas espécies de funções).

U m a função F{x) t a l que F'(x) =/(&), ê denominada função primitiva defix) ou, simplesmente, primitiva defix). Esta designação sugere que a função f(x) se origina de F(x) por derivação.

O problema da inversão da derivação ou da determinação da função primitiva é, à primeira vista, de caráter completamente diverso da integração. Entretanto, sabemos da pág. 111, que:

Toda integral indefinida *(x) da função f(x) ê função primitiva de f(x). Contudo, ta l resultado nao resolve inteiramente o problema da

determinação das funções primitivas, visto não sabermos se achamos iodas as suas soluções. A questão referente ao grupo formado por todas as funções primitivas é satisfeita pelo teorema seguinte, às vezes mencionado como fundamental do cálculo diferencial e integral:


A diferença entre duas primitivas F x (x ) e F 2 (x ) da mesma função f(x) é sempre uma constante:

Fi{x) - F2(x) = c.

Assim, de qualquer função primitiva F(x) podem-se obter todas as outras sob a forma

F(x) - f c

mediante escolha conveniente da constante c. Inversamente, a expressão Fi(x) = F(x) + c representa uma função primitiva de f(x), para cada valor da constante c.

É claro que para qualquer valor da constante c, a função F(x) = c é uma primitiva, desde que F(x) o seja. Temos (pág. 96)

[F(a + h) + c] - [F(ar) + c] *Xs + ft) - F(z)

e como, por hipótese, o primeiro membro tende para f(x) quando h-^Q, o mesmo deve acontecer ao segundo membro, e, portanto

£[F(x)+c]=f(x) = F'(x).

Para concluir a demonstração do teorema, resta mostrar que a diferença das funções primitivas é, sempre, uma constante. Seja a diferença

Fi(x) - F2(x) = G(x)

da qual formamos a derivada

Q, ( X ) = U M VF^x+Kj-F^x) _ F2(x±h)-F2(x)l L h h J

Ambas as expressões do segundo membro, por hipótese, têm o mesmo hrnite f(x), quando h-*0; logo, G'(x) — 0, para todos os valores de x. Entretanto, uma função cuja derivada ê nula em toda a parte deve ter um grafico cuja tangente é sempre paralela ao eixo dos x, isto é, deve ser constante. Teremos, então, G(x) — c, como tínhamos enunciado. Este último fato pode ser verificado por meio do teorema do

valor médio, sem recorrermos à intuição. Aplicando o teorema do valor médio a G(x), teremos, com efeito:

G(£2) - G(xx) = (xz ~ xJG' (£); xx < | < x2.

Já sabemos, porém, que a derivada G' (x) é nula para todos os valores de x, e, portanto, em particular, para £. Deduz-se imediatamente que G(x{) = G(x2). Desde que xi e x2 sejam valores arbitrários de x no intervalo considerado, G(x) deve ser constante.

Combinando o teorema que acabamos de provar com o resultado do n.° 2 (pág. 111), podemos enunciar o seguinte:

Qualquer função primitiva F(x) de uma função dada f(x) pode ser representada por

F f » = c + $(x) = c + rV(íz) tf», oncfe c e a são constantes, e, reciprocamente, para quaisquer valores constantes de a e de c, escolhidos arbitrariamente, tal expressão sempre representará a função primitiva.

Podemos supor facilmente que a constante c pode, em geral, ser omitida, porque, mudando-se o l imite inferior a, altera-se a função primitiva por uma constante adit iva. E m muitos casos, contudo, não se obtêm iodas as funções primitivas se omitirmos c, como mostra, por exemplo, f(x) = 0. P a r a esta função a integral definida do N.° 1 (pág. 110) é sempre nula, independentemente do limite inferior; entretanto, qualquer constante arbitrária é função primitiva de f(x) = 0. A função f{x) = V i , proporciona u m segundo exemplo. E s t a função é definida somente para os valores não-negativos de x e a sua integral indefinida é

$(x) = f x 3 / 2 - f a 3 ' 2 ,

e verificamos que, qualquer que seja a forma pela qual escolhermos o limite inferior a, a integral indefinida $(x) é sempre obtida de 3 (x)3/2

pela adição de uma constante menor ou igual a zero, a saber, a constante - |(x) 3 / 2. Entretanto, | x 3 / 2 + 1 é também uma função pr imi tiva de Vx. Assim, na expressão geral da função primitiva não podemos dispensar a função adit iva . A relação achada permite darmos uma extensão à idéia de integral indefinida. Chamaremos, daqui para

diante, qualquer expressão da forma c + $(x) = c 4- / f{u) du, uma


integral indefinida de f(x). E m outras palavras, não faremos distinção entre função primitiva e integral indefinida. Não obstante, para que o leitor tenha uma concepção clara sobre as relações existentes entre estes conceitos, ê absolutamente necessário que, antes de tudo, grave bem no espírito que integração e inversão de derivação são duas coisas completamente diferentes, e que só o conhecimento do parentesco entre as mesmas nos autoriza a aplicar o termo "integral indefinida" também à função pr imit iva .

A integral indefinida é usualmente representada por uma notação que é, talvez, u m pouco obscura. Escrevemos

F(x) = c - f JXf(u)du = j f(x)dx; isto é, omitimos tanto o l imite superior x como o inferior a e a constante c, além de empregarmos a letra x para a variável de integração. Seria melhor, na realidade, evitar esta última troca, para evitar possíveis confusões com o limite superior x que é a variável independente

de F(x). Usando a notação^"f(x)dx não devemos perder de vista a

indeterminação contida n a mesma, isto é, este símbolo representa, sempre, somente uma integral indefinida.

4. Emprego das funções primitivas n a avaliação das integrais definidas.

Suponhamos conhecida uma função pr imi t iva qualquer F{x) =

= / f(x)dx da função f(x) e que buscamos o valor da integral de-J rb

finida J f(u) du. Sabemos que a integral definida

= jXf{u)du,

sendo, também, u m a função pr imi t i va de f(x), pode diferir de F(x) somente pela constante de sua adição. Conseqüentemente

$(a;) = F(x) -h c,

ficando imediatamente determinada a constante de adição c, se lem

brarmos que a integral indefinida $x = J f{ii)du se anula para x — a.

ÍI] I N T E G R A L D E F I N I D A 117

Obteremos, então, 0 = $(a) = F(a) + c, donde c = - F(d) e $(x) = = F(x) - F(a). E m particular, para x = b, teremos:

hf(u)du = F(t>) - F(a),

que nos dá a seguinte importante regra: Se F(x)/ó> uma função primitiva qualquer de f(x), a integral definida

de f(x) ercfre os limites a <e b é i#uaZ à diferença F(b) - F(a). Se usarmos a relação F' (x) — f(x), podemos escrevê-la sob a forma

F(b) - F(à) = Çb F'{x)dx = fb^^-dx. J « J a dx.

Esta fórmula pode ser compreendida diretamente e demonstrada com facilidade. Dividamos o intervalo a á= as ^ ò em subintervalos A x i ,

A F Aa:2, . . ., Aa^ e consideremos a soma 2 - — Ax„. Por um lado, esta

Axv

soma é simplesmente 2 A F = F ( 6 ) - F(a), independente de subdivisão particular; daí seu limite F(b) — F(a). Por outro lado, porém, o seu l i -mite é, ainda, igual a / F' (x) dx, como se deduz do teorema do valor médio. Temos, então, AFjAxv — F' (£,,), onde £„ representa um ponto intermediário entre os extremos cc„_i e xv no intervalo Axp. A soma será, pois, igual a 2 A J ^ F ' ( £ „ ) e, pela definição de integral, esta expressão

tende para o limite f F' (x)dx, à medida que as subdivisões se vão

tornando cada vez mais delgadas, como estabelece a fórmula. Nas aplicações da regra, usamos seguidamente o símbolo | para

representar a diferença F(b) - F(a), isto é, escrevemos assim

f. f(x)dx = F(b)- F(á) =F(x)

indicando o traço vertical que, na expressão precedente, devemos substituir x, primeiro por 6, e, depois, por a, formando, então, a diferença entre as quantidades resultantes.

5. Exemplos . Estamos agora em condições de ilustrar, com alguns exemplos sim

ples, as relações existentes entre a integral definida, a integral indefinida e a derivada, as quais acabamos de estudar. Cada fórmula de


integração, demonstrada diretamente no § 2 (pág. 82) , permite, em face do teorema da pág. 111 , a dedução de uma fórmula de derivação.

A. fórmula de integração

rb i / xadx = (6«+i — a^+i)

J a a - j - 1

para qualquer quantidade racional a =|= 1 e para todos os valores positivos de a e b, obtida na pág. 86, nos dá

rx 1 J a a + 1

se substituirmos a variável de integração por u e o l imite superior por x. D o teorema fundamental decnrre que o segundo membro desta expressão é uma função primitiva do integrando, isto é, a fórmula de derivação

d = (« -f- l)xoc

dx

será válida para todos os valores racionais de a + - 1 e para todos os valores positivos de x. Por substituição direta, verificamos que esta última expressão também se verifica para a. = - 1, se x > 0. O resultado coincide com o que achamos pela derivação direta (pág. 95). Assim, empregando o teorema fundamenta], depois de efetuada a integração, pode-se evitar o incômodo da derivação.

A. fórmula de integração (pág. 87)

cos u du = sen x — sen a

conduz a —- sen x = cos x, em coincidência com o resultado encontrado na pág. 96. dx

Reciprocamente, podemos considerar cada fórmula de derivação, diretamente demonstrada, F'(x) = /(x), como decorrente da relação que existe entre a função primitiva F(x) e a função derivada /(x), isto é, podemos encará-la como fórmula para a integração indefinida e, depois, obter da mesma a integral definida de /(x), como fizemos na pág. 117. Este método é empregado com freqüência, como veremos no Cap. IV (pág. 205). E m particular, pode-se partir dos resultados obtidos no § 3 (pág. 94), obtendo-se as fórmulas relativas às integrais do § 2 (pág. 82),

d em face do teorema fundamental. Por exemplo, sabemos que — xct+1 = (a + YJX*

dx (pág. 95), Logo, é uma função pr imit iva ou integral indefinida de X a , desde

a -f- 1 que a 4= - 1 , e chegamos novamente à fórmula relativa à integral acima, pela página 117.

II] INTEGRAÇÃO GRÁFICA 119

E X E M P L O S

1. Deduzir as integrais correspondentes às derivadas dos Exemplos 2 e 3 da pág. 109.

r1 dx f 1 2x dx 2. Avaliar (a) / . (6) /

J o (x + iy J o (r 2 + iy

3. Com os dados do exemplo 2, e partindo da definição de integral definida, demonstrar que

(a) lirn n

(b) l im ir n~* m

1 + (n + 2y -+. . .+ (2n)a J 2

+ Jrr + D2 Ur + 2^j-+ . . . + —

(ir + r r , 2 _

5. M É T O D O S S I M P L E S D E I N T E G R A Ç Ã O G R A F I C A

U m a in tegra l de f in ida o u função p r i m i t i v a de f(x) é u m a função y = F(x) que pode ser cons iderada , não somente como área, mas , como qualquer o u t r a função, pode, também, ser representada graf icamente por u m a c u r v a . A definição sugere a poss ib i l idade i m e d i a t a de se const r u i r t a l c u r v a a p r o x i m a d a m e n t e , obtcndo-se, assim, o gráfico da função i n t e g r a l . D e início, l e m b r a r e m o s que t a l c u r v a não ê única, v i s t o que a constante a d i t i v a faz com que e l a se desloque, para le lamente a si m e s m a , n a d i reção do eixo dos y . Podemos , po is , estabelecer que a c u r v a integra l passa p o r u m ponto arb i t rar iamente escolhido, p o r exemplo, pelo p o n t o de coordenadas jr«= 1, y = 0, se x = 1 pertencer ao i n t e r v a l o p a r a o q u a l / ( x ) é de f in ida . A c u r v a f i c a , pois, de terminada , p e l a exigência de que, p a r a c a d a v a l o r de x, a sua direção seja d a d a pelo v a l o r correspondente def(x). P a r a se obter u m a construção a p r o x i m a d a que satisfaça tais condições, procuraremos desenhar, não p r o p r i a m e n t e a c u r v a y = F(x), mas s i m u m contorno pol igonal ( l inha quebrada) , cu jos vértices este jam, ver t i ca lmente , em correspondência c o m os pontos de divisão do eixo dos x, p r e v i a m e n t e escolhidos, e cujos lados t e n h a m , a p r o x i m a d a m e n t e , a m e s m a direção que o segmento d a c u r v a i n t e g r a l , s i tuado entre os mesmos pontos de divisão. P a r a isto , d i v i d a m o s o i n t e r v a l o considerado do eixo dos-aí

0 F i g . 19.—Integração gráfica


por meio dos pontos x = 1, xx, x2, .. . em certo número de partes, não necessariamente todas iguais, e, pelos pontos de divisão, elevemos

F i g . 2 0 . — I n t e g r a ç ã o gráfica de l/x

paralelas ao eixo dos y . Tracemos, então, pelo ponto x = 1, y — 0 (fig. 19), a linha reta, cuja inclinação é igual a /(l); pela interseção

y, desta com a linha x = X\ traçaremos ...T / outra linha com a inclinação j(x\)\

j M /, p e j a interseção desta com a linha x — x2 traçaremos a reta com a inclinação f(x2), e assim sucessivamente. Na prática, eleva-se a ordenada relativa à curva y = j{x), em cada ponto de divisão, projetando-

x a sobre uma paralela qualquer ao eixo dos y. Para fixar idéias, suponhamos que as ordenadas foram projetadas sobre o próprio eixo dos y. Obteremos, então, a direção da

Fig. 21— Integração gráfica de x CUTVa integral, UIlindo O p O L l t O de coordenada x — 0 e y — f(x) ao ponto x = - 1 , y — 0. Transportando essas direções paralelamente a si mesmas, obteremos o contorno poligonal cujos vértices estão situados, verticalmente, cm correspondência com os pontos de divisão do eixo dos x , e cujas direções coin-

II] INTEGRAÇÃO GRÁFICA 121

cidem com as l a curva integral, no início de cada intervalo. A poli gonal pode representar a curva integral com o grau de aproximação desejado, tornando-se a subdivisão do intervalo suficientemente grande. A precisão do traçado pode ser comprovada escolhendo-se, não a direção de cada segmento do polígono no ponto inicial, mas sim a do ponto médio do intervalo correspondente (figs. 20 e 21)

A construção d e s c r i t a , a p l i c a d a à f u n ç ã o j{x) = x, fo i e f e tuada n a f i g u r a 21 . E l a nos dá, pe la integração gráfica, u m a aprox imação d a c u r v a i n t e g r a l , q u e é a p a r a l e l a y = J ^ a ; 2 - 14- A l é m d isso , a f i g u r a 20 apresenta u m a aprox imação d a c u r v a i n t e g r a l d a função j{x) = l / z . E s t a i n t e g r a l , que nos fornecerá a f u n ç ã o logarítmica, será e s t u d a d a , p o s t e r i o r m e n t e , c o m grande minúcia . F i n a l m e n t e , l e m b r a m o s ao le i tor a conveniência de reso lver , p o r s i mesmo, a lguns outros e x e m plos, como, v . g., i n t e g r a r , g r a f i c a m e n t e , sen x e cos x.

1. C o n s t r u i r as seguintes c u r v a s i n t e g r a i s , p o r integração gráfica, c o m i n t e r valos h = 1/10:

6. O B S E R V A Ç Õ E S SOBRE AS R E L A Ç Õ E S E X I S T E N T E S E N T R E I N T E G R A L

E D E R I V A D A

Antes de estudarmos, sistematicamente, as relações deduzidas no § 4 (pág. 109), considerá-las-emos sob outro ponto de vista, estritamente relacionado com a concepção intuitiva de densidade e outros conceitos físicos.

(!) Mencionaremos, de passagem, que a integração gráfica (isto é, a determinação do gráfico de F(x), função primitiva de/(r) que tainhém é dada por um gráfico) pode ser realizada por meio de um aparelho mecânico, o intégrafo. U m ponteiro percorre a curva enquanto uma pena traça, automaticamente, uma das curvas y = F(x), para a qual F'(x) = j(x). A indeterminação da constante de integração 6 traduzida por certa arbitrariedade na posição inicial do aparelho. Artifícios gerais de cálculo, relativos ii integração, encontram-se nas obras: Cálculo Integral, págs. 214-217, de B. Williamson (Ed. Longmans); Diclionary of Applied Physict, vol. III, págs. 450-457 (Ed. Mac-millan, 1923).

E X E M P L O

(fi)


1. Distribuição de m a s s a e d e n s i d a d e . Q u a n t i d a d e t o t a l e q u a n t i d a d e específica.

Suporemos que uma massa qualquer é distribuída ao longo de uma l i n h a reta, o eixo dos x, de u m a maneira contínua, orem, não obri gatoriamente uniforme. Imaginemos, por exemplo, uma coluna ver t i cal de ar sobre a superfície de área 1. Tomaremos para eixo dos x

u m a l inha vertical e, para origem, o ponto da vertical situado na superfície da Terra. A massa tota l , localizada entre duas abscissas Xi

e x2, é determinada por meio d a chamada função-soma F(x), da seguinte maneira. Medem-se as distâncias a part ir do ponto inicial de distribuição de massa, x = 0, sobre a vertical , e rcprcsenta-se a massa to ta l , compreendida entre as abscissas 0 e x, por F(x). O incremento sofrido pela massa, entre as abscissas X\ e x2, é dado, então, pela fórmula

assim, o incremento recebe u m sinal que mudará se X\ e x2 forem

A massa média, por unidade de comprimento, entre x i e x2 será

Se admitirmos que a função F(x) é derivável, quando x2 — X\ este valor tende para a derivada F'(x{). T a l quantidade é, precisamente, o que denominamos usualmente massa específica ou densidade de distribuição no ponto x\. dependendo o seu valor , naturalmente, do ponto p a r t i cular escolhido. Entre a densidade f(x) e a função-soma F(x) existe, portanto, a relação

A função-soma è uma função primitiva da densidade, ou, o que vem a dar no mesmo, a massa é a integral da densidade e, reciprocamente, a densidade e a derivada da função-soma.

E s t a mesma função ê encontrada, com m u i t a freqüência, na física. P o r exemplo, se designarmos por Q(f) a quantidade total de calor necessária para elevar a unidade de massa de uma substância, da

F(x2) - F(xù;

trocados um pelo outro.

F(x2) - F ( A )

x2 - Xi

II] I N T E G R A L E D E R I V A D A 123

temperatura / 0 à temperatura t, a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de tx a to será igual a

Q(/2) - Q ( í i ) .

Entre ^ e í 2 a quantidade média de calor consumida por unidade de acréscimo de temperatura é

Q(Q - Q(h)

Se admitirmos, novamente, que a função Q(t) é derivável, no limite obteremos a função

n s Q(t)-Q(k) q{t) = hm — . — ,

íL -< £ - h que denominaremos ca/or específico da substância. Este calor específico deve, em geral, ser considerado como função da temperatura.

Entre o calor específico e a quantidade total de calor surge, novamente, a relação característica de integral e derivada,

J\{t)dt=Q{b)-Q{a).

Encontraremos a mesma relação sempre que as quantidades total e específica forem consideradas. Por exemplo, carga elétrica e densidade de carga, ou força total sobre uma superfície, comparada com a densidade de força, isto é, pressão.

N a natureza, acontece que geralmente conhecemos diretamente, não a densidade, ou quantidade específica, mas sim a quantidade total. Assim, é a integral que é primitiva (como sugere o nome "pr imit iva" ) , obtendo-se a quantidade específica somente depois de aplicar-se um processo-hmite, isto é, a derivação.

Incidentalmente, notemos que se as massas consideradas são positivas por sua natureza, a função-soma F(x) será, forçosamente, função monótona crescente de x e, conseqüentemente, a quantidade específica, a densidade f(x), deve ser positiva (não negativa). Nada impede, porém, de considerarmos também quantidades negativas (por exemplo, elericidade negativa). E m t a l caso, as funções-soma consideradas FKX) não precisam mais ser monótonas.


2. Aplicações.

A relação entre a função-soma primit iva e a densidade de distri buição talvez se torne mais clara quando verificarmos que, do ponto de vista dos fatos físicos, os processos-limite de integração e derivação representam, apenas, uma idealização abstrata, não exprimindo algo palpável na natureza. Ao contrário, no reino da objetivação física podemos formar, em lugar da integral, somente uma soma de quantidades muito pequenas e, em lugar da derivada, o quociente de quantidades igualmente muito pequenas. A s quantidades Ax se mantêm diferentes de 0, sendo a passagem ao limite Ax - »0 apenas uma simplificação matemática que não prejudica, essencialmente, a precisão da representação simbólica dos fatos reais.

Como exemplo, retomemos a coluna vertical de ar. De acordo com a teoria atômica, sabemos que não podemos idealizar a massa distri buída segundo uma função contínua de x. Pelo contrário, somos levados a admitir (e isto representa, também, uma hipótese simplificadora) que a massa se distribui ao longo do eixo dos x sob a forma de grande número de pontos moleculares situados muito próximos uns dos outros. A função-soma F(x) não será, então, uma função contínua, mas terá um valor constante no intervalo entre duas moléculas, dando um salto desde que x atinja o ponto ocupado por u m a molécula. O valor deste salto será igual à massa da molécula, sendo a distância média entre moléculas, de acordo com os resultados estabelecidos pela teoria atômica, da ordem 10~8 cm. Se tivermos que realizar qualquer medida na coluna de ar de que nos estamos ocupando, sendo consideradas desprezíveis massas moleculares da ordem 10"""4, a função dada não poderá ser distinguida de uma função contínua. Efetivamente, se escolhermos dois valores x e x + Ax, cuja diferença Ax seja menor do que 10~4 cm, a diferença entre F(x) e F(x + Ax) será igual à massa das moléculas do intervalo. Como o número destas moléculas é de ordem 10 4, os valores de F(x) e de F{x + Ax) serão, em tudo que disser respeito à nossa experiência, iguais. A s s i m , consideraremos

como densidade de distribuição, simplesmente o quociente = F(x + Ax) - F(x) . A x

_ ^ Constitui, com efeito, hipótese física importante

o fato de não obtermos valores mensuráveis diferentes para este quo-

II] APLICAÇÕES 125

ciente, quando Acc variar entre certos l imites, por exemplo, entre I O " 4

e 10~ 5 cm. Imaginemos, agora, que F(x) seja calculada e determinada para u m grande número de pontos em torno de I O - 4 cm, e que os pontos assim achados sejam ligados por l inhas iretas; obter-se-á u m polígono que, pelo arredondamento dos vértices, proporcionará uma curva dotada de tangente, variável continuamente. E s t a c u r v a será o gráfico de u m a função, digamos, de F\(x). T a l função, Fx{x), não pode, dentro dos limites d a precisão experimental, ser diferençada de F(x), e suas derivadas, dentro dos mesmos limites, serão iguais a AF/Ax. Achamos, assim, u m a função contínua, derivável, que, para as finalidades físicas, é a função F(x).

Talvez seja conveniente discutirmos ainda u m outro exemplo dos conceitos de função-soma e densidade de distribuição. N a estatística, por exemplo, n a teoria cinética da matéria ou n a biologia estatística, estes conceitos ocorrem freqüentemente, sob u m a forma n a qual a natureza da idealização matemática é particularmente c lara. Imaginemos, por exemplo, as moléculas de u m gás contido em u m recipiente e observemos as suas velocidades n u m dado instante. Seja N o número de moléculas e N$(;x) o número daquelas cuja velocidade é menor do que x. A relação entre o número de moléculas que se movem com velocidade entre 0 e x e o número t o t a l de moléculas será, então, <í>(;r). E s t a função-soma não ê contínua, mas s im secionalmente constante ( 1 ) e, subitamente, cresce de 1/iV quando x> no seu crescimento, atinge valor igual à velocidade de alguma molécula.

A idealização que devemos fazer consiste em imaginar o número N como capaz de crescer além de qualquer Hmite. Admitamos , então, que n a passagem ao l imi te , N-* °° , a função-soma $(ÍC) tende para u m a função-limite, F(x), contínua e definida. Que este seja realmente o caso (isto é, que possamos substituir <è(x), com suficiente precisão), representa, sem dúvida, u m a importante hipótese física. O u t r a hipótese, do mesmo tipo, é supormos que a função F(x) possui derivada F' (s) = /0*0» à qual chamaremos a densidade de distribuição. A função-soma é relacionada com a densidade de distribuição pelas equações

F(x) = ímãu; F(b) - F(a) = fj(x)dx.

(') E m alemão: stuckweise; cap. I X , § 3.


A densidade de distribuição é, às vezes, considerada como a probabilidade específica de que u m a molécula possua a velocidade x. A idealização que acabamos de expor exerce p a p e l preponderante n a teor ia cinética dos gases', c r iada por M a x w e l l , e, sob o mesmo aspecto matemático, aparece em mui tos problemas atinentes à estatística matemática.

7. A V A L I A Ç Ã O D E I N T E G R A I S E T E O R E M A D O V A L O R M É D I O D O

C Á L C U L O I N T E G R A L

Fina l i zaremos êsts capítulo c o m algumas considerações sobre m a téria de interesse geral , cu ja importância poderá ser aquilatada mais tarde. Trata - se da avaliação das integrais.

1. T e o r e m a d o v a l o r m é d i o d o c á l c u l o i n t e g r a l .

A p r i m e i r a e mais simples regra p a r a ca l cu lar as integrais pode ser enunciada do modo seguinte: se n u m i n t e r v a l o a ^x è b a função contínua f(x) for sempre não-negativa (isto ê, p o s i t i v a ou zero), a i n tegral de f in ida

'b fix) dx

íerá, também, sempre não-negativa. D a m e s m a forma, a integral nãc &erá pos i t iva se a função não for pos i t i va e m todo o intervalo. A demonstração do teorema decorre imediatamente d a definição da integral.

0 teorema seguinte deduz-se do precedente: se

em todos os pontos do intervalo a á x 5= b teremos, também,

J f(x) dx^J' g{x) dx

D e v i d o à p r i m e i r a observação, a in tegra l d a diferença f(x) - g(x) é não-negativa, e, pe la regra d a adição (pág. 82),

/

b rb rb

íf(x)' - g(x)] dx = f(x) dx - I g(x) dx. Seja M o maior em o menor v a l o r d a função f(x) no intervalo àb.

A função M - f(x) é não-negativa no i n t e r v a l o , o mesmo sendo ver-

II] AVALIAÇÃO D A S I N T E G R A I S 127

dade para f(x) - m. Destas observações obtemos imediatamente a dupla desigualdade

Jhmdxú Jbf(x)dxS JbMdx.

M a s , J mdx = mj dx = m(jb-a) e, de modo semelhante, J Mdx —

= M(b - a), donde tiramos m(b - a) ^ j x) dx ú M(b - a). A i n tegral que nos ocupa pode, pois, ser representada pelo produto de (ò - a) por uma quantidade u s ituada entre m e M:

I. b J(x) dx = n(b - a), m ^ p á M.

E m geral, não há necessidade de se conhecer o valor exato da média /*. Podemos, entretanto, dizer que êle será atingido pela função ao menos n u m ponto £ do intervalo a ^ ^ í ) , visto que u m a função contínua, no intervalo em que está definida, assume todos os valores compreendidos entre o mínimo e o máximo correspondentes. Como no caso do teorema do valor médio do cálculo cliferencial, a determinação do valor exato de £ ê, em muitos casos, sem importância. Podemos, pois, fazer /x = / ( £ ) , onde £ representa u m valor intermediário de x, vindo então,

bf(x)dx=(b-à)M), aútúb.

E s t a última expressão é o teorema do valor médio do cálculo integral. O teorema ficará mais generalizado se substituirmos o integrando

f(x) por outro da forma f(x) p(x), no q u a l p(x) e uma função qualquer, arbitrária, não-negaiiva, que será suposta contínua, como já o foi f(x). Desde que mp(x) £f(x) p(x) ^ Mp(x), obteremos, imediatamente

/

b rb rb

p{x)dx ú I f(x)p(x) dx è M I p(x)dx, ou, em u m a única equação,

j f{x)p{x) dx = /(£) j p(x)dxt

onde £ ê, novamente, um número entre a e b.

128 I D E I A S F U N D A M E N T A I S [ C A P .

Demonstramos, assim, o teorema: •Se f(x) e p(x) forem funções contínuas no intervalo a S x S b, e se

p(x) ^ 0, verifica-se

J/(x)p(x)dx=M) pp(x)dx,

sendo a ^ £ ^ b .

O

f<&

f i-t

2. Apl icações . In tegração de xa p a r a q u a l q u e r va lor i r r a c i o n a l de a.

O teorema do valor médio e a equivalente avaliação das integrais facultam, imediatamente, a m p l a visão sobre o seguinte fato intuit ivo

e facilmente compreensível: o valor da integral sofre alteração muito pequena quando a própria função variar, em cada ponto, mui to pouco. E m linguagem precisa: se em todo o intervalo a^x^b o valor absoluto da diferença de duas funções f(x) e g(x) for menor do que a quantidade e, a diferença de suas integrais será, em valor absoluto, menor do que e (6 - a). E m símbolos, representaremos este enunciado d a seguinte maneira: se

tivermos | f(x) ~ g(x) | < «, em todo o intervalo aSxSb, virá

o- b ~z F i g . 22.—Continuidade das integrais

Jj{x) dx-Ja g{x)dx < 6 ( ò - o )

OÜ, expresso de outro modo,

/

6 ri rb

g(x) dx< f(x) dx< g{x) dx + e(6 - a). A f igura 22 i lustra o teorema com m u i t a clareza. P a r a a curva

y = f(x) traçamos as "curvas paralelas" y = f(x) - f e e y = f(x) - e. P o r hipótese, a função g(x) f i ca dentro da fa ixa l i m i t a d a por tais "curvas parale las" . E claro que as áreas l imitadas pelas curvas f{x) e g(x) difer e m entre si por quantidade menor do que a metade da área da faixa, área esta que vale

I I ] A V A L I A Ç Ã O D A S I N T E G R A I S 1 2 9

f b \ K x ) + e ] d x - f \ f ( x ) ~ e ] d x = = 2 t ( b - - á ) . J a J a

N ã o n e c e s s i t a r e m o s a p e l a r p a r a a i n t u i ç ã o . V i s t o q u e

- e + g ( x ) <f(x) < 6 + g{x):

p o d e m o s d e d u z i r , e m p r e g a n d o c o n s i d e r a ç õ e s análogas às da pág. 1 2 6 ,

/

•b rb fb

[ - e - f gix)} dx< f(x) dx < / [g(x) - f e] dx, a J a J a

q u e , c o m o r e s u l t a d o d a s r e g r a s f u n d a m e n t a i s d a i n t e g r a ç ã o , a s s u m e

a f o r m a

/

'b rb fb

g(x)<k< f(x)dx< g(x)dx-\- e ( ò - a ) ; o J a J a

d e v e m o s n o t a r q u e , a p e n a s , s u b s t i t u í m o s a i n t e g r a l d e u m a s o m a p e l a

c o r r e s p o n d e n t e s o m a d e i n t e g r a i s , o b s e r v a n d o q u e e dx = e (6 - a).

f J a Como demonstração da importância deste teorema, mostraremos que, com

o seu auxílio, poderemos integrar a função Xa para qualquer valor irracional de a, rb

ou, mais exatamente, que poderemos calcular a integral indefinida / xadx. Su-J a

poremos que 0 < a < b. Representemos o expoente a como o limite de uma seqüência de números

racionais au <x2, ..., an, . . . , de maneira que a = lim a n . Neste caso podemos n—» oo

admitir que nenhum dos valores de a a seja igual a - 1 , desde que o próprio a seja diferente de - 1. Para a potência Xa, usaremos, pois, a definição

Xa = lim cc""1

n—><=° notando que, por menor que seja o número positivo e escolhido, será sempre possível determinarmos um n suficientemente grande para termos | Xa - Xa" | < e, no intervalo total (l).

(1) T a l fato pode ser demonstrado, de maneira muito simples, como segue (Apêndice, I I 3, pág. 69). Lembrando que xa é uma função monótona e fazendo án «* aa — a, teremos

I xa-xa* I = 2« I 1~xSr | ^ (a« -f- 6 a ) (| 1 - a& | + 1 I);

como of está situado entre aa e ba, de modo que a;"* á aa + 6 A , teremos, da mesma forma, que 1-z S a e estará situado entre 1 ~aSa e l~bSa e, portanto, | 1 - x5a | ã ( | 1 - aSa \ + U - ò í n |). De lim aJ« =• = lim bSa = 1, deduz-seque n-*<o

lim 11 - aSa I = lim | 1 - bSa | - 0; n—»00 n—> co

Se n fôr escolhido suficientemente grande, o segundo membro da desigualdade será menor do que «.

Teremos, então, | x a u — xa | < e simultaneamente para todos os valores de x no intervalo a S i á í>.

Precisamos, agora, somente, aplicar a relação a c i m a mencionada às funções /(a;) = Xa e g(x) — r a n , obtendo

/>6 nb /•»&

xa*dx< / x*dx< \ Xo™ dx + e(b- d), a J a J a

A s integrais de ambos os membros, porém, podem ser calculadas de acordo com o que foi exposto n a pág. 85, dando

1 - e (h - o) + &=">+! — o^-r- 1)

fb l < / x°dx< - «-»•.+11 4- e(h- a).

J a a a + 1

Se , agora, fizermos o número e decrescer cont inuamente , tendendo para 0, os ca lores correspondentes de n ultrapassarão quaisquer l imites . A s quantidades a,„ a?» e 0a", convergirão, então, para a , aa e 0a, respectivamente, dando o resultado imediato

r •J u

* 1 Xa dx = . - rr^-H).

o l + L

E m outras palavras, a fórmula de integração que t e m lugar para os valores r a cionais de a verifica-se, também, para os valores irracionais do evp<ienta.

Segue-se daí, em virtude do teorema fundamenta l d a pág. 111, que, para valores positivos de x, a fórmula de derivação

d — Xa+1 = (a -f- 1)2« dx

já verif icada para os valores racionais de a, é igualmente válida para os irracionais.

E X E M P L O S

1. Achar o valor intermediário £ do teorema do va lo r médio do cálculo integral , para as expressões seguintes, e interpretá-los geometricamente:

/• b pb

1 dx. (b) / x dx. a J a

/• b fb dx

x*dx. (d) — a J a X2

2. Suponhamos que j(x) é contínua. D e m o n s t r a r , part indo do teorema do valor médio do cálculo integral, que a der ivada da integral indefinida de /(x) é igual à própria j(x).

3. (a) Calcular 7 a = f x1'* dx. O que é l i m J n ? Interpretar geumètrica-•J 0 n—» «

r a

mente este significado, (ò) Fazer o mesmo p a r a i» = / r n dx. J o

II] AVALIAÇÃO DAS INTEGRAIS 131

4* Seja a função /(£) contínua para qualquer valor de £, e F(x) definida pela equação

F ( i ) - I fS J(x + t)dt, íò J - a

onde 5 ê um número positivo, arbitrário. Demonstrar que: (a) a função F(x) possui derivada contínua para todos os valores de x~, (6) em qualquer iatervalo fixado, a g x g 6, podemos fazer | F(x) -J(x)\< e,

sendo e uma quantidade arbitrária, positiva, prefixada, mediante escolha de S suficientemente pequeno.

5.* Desigualdades de Schwarz para as integrais. Demonstrar que para todas as funções contínuas j(x), g(x)

fb[Kx)T-dx f\g(x)r-dx^ J a J a jj(x)g{x)dx~\

APÊNDICE AO CAPÍTULO II

1. E X I S T Ê N C I A , D A I N T E G R A L D E F I N I D A D E U M A F U N Ç Ã O C O N T Í N U A

Apresentaremos, ainda, uma prova de que toda função contínua, entre os limites a e b (a < ò), possui, sempre, integral definida. Para tal, retomaremos a notação do § 1 (pág. 79) e consideraremos a so.na

Fn = 2 / < f , ) A * r . V = 1

Certamente, ê verdade que

Fn = 2 / ( » , ) A * , áF„ £ ZfMAx, = Fn~, „ = 1 y = 1

onde f(v,) representa o mínimo e f(up) o valor máximo da função no subintervalo v. 0 problema consiste em provar que F n converge para um limite definido, independentemente da maneira particular de subdivisão e da escolha das quantidades £„, desde que, à medida que n cresce, o comprimento do maior subintervalo tende para zero. Para demonstrá-lo, ê necessário e suficiente provar que Fn e F„ convergem para um único e mesmo limite.

Sabemos, dada a continuidade uniforme de f(x), que, em cada intervalo suficientemente pequeno, a "oscilação" |/(iz„) —/(*>„) I é menor do que qualquer número positivo e, por menor que ele seja. Desta sorte, quando a subdivisão atingir um certo grau, teremos, com certeza

0 ^ ¥n - Fn = S Axv [fM <e(b- a).

Vemos, pois, que, à medida que n crescer, a diferença deve convergir para zero, podendo, portanto, contentarmo-nos e m demonstrar que uma das somas, digamos, F^ , converge. A convergência será verificada desde que mostremos que j Fn - Fm | pode tornar-se tão pequena quanto quisermos com a condição de que as subdivisões correspondentes (às quais nos referimos como "subdivisão n" e "subdivisão m " , respectivamente), ultrapassem determinado grau de pequenez. Este grau de pequenez é caracterizado pelo fato de que, para ambas as subdivisões, a •oscilação da função em cada subintervalo é menor do que e(e > 0). Passemos a u m a terceira subdivisão, cujos pontos de divisão contenham todos os pontos n e m, tomados conjuntamente. E s t a nova subdivisão, que tem, digamos, l pontos de divisão, será representada pelo índice l e a soma superior correspondente por F / . Estamos, agora, aptos a calcular o valor de 1 Fn ~Fm |, determinando, primeiramente, o valor das expressões j Fn - Ft | e | Fm - Fi |. A f i rmamos que as duas relações seguintes são verificadas

FnãTiãTn e F^ãFi^FZ.

A demonstração decorre, imediatamente, do significado das expressões consideradas. Seja, digamos, o subintervalo de ordem v da subdivisão n. Es te intervalo abrangerá u m ou vários subintervalos da subdivisão l; os termos correspondentes a estes intervalos consistirão, cada um, de dois fatores, u m dos quais será.a diferença Ax, enquanto o outro, por certo, não excederá /(zz„), nem atingirá /(»„)• A soma dos comprimentos Ax dos intervalos da subdivisão /, que se encontram no subintervalo de ordem v da subdivisão mais grosseira n, será, pois, exatamente Ax„. Vemos, assim, que o valor correspondente à s o m a Fi deve estar contido entre os limites f(uv)Axp e f(vy)Axv. Se estendermos a soma a todos os n subintervalos, obteremos a pr imeira das desigualdades acima;

II] I N T E G R A L D E F I N I D A D A FUNÇÃO CONTÍNUA 133

a segunda será obtida de maneira inteiramente idêntica, considerando-se, apenas, a subdivisão m em lugar da n.

Já tínhamos visto que F n - F „ < e(b-a); também é verdade que Fm-F\í< e ( ò - a ) . Das desigualdades deduzidas acima, para Fb

segue-se, portanto,

E s t a relação, em vista de e poder ser escolhido tão pequeno quanto quisermos, mostra-nos, pelo critério de convergência de Cauchy (pág. 40), que a seqüência de números Fn converge, efetivamente. A o mesmo tempo, o raciocínio nos leva imediatamente à constatação da independência do valor-Hmite relativamente à maneira pela qual foi feita a subdivisão.

Completa-se, assim, a demonstração d a existência das integrais definidas das funções contínuas.

O método empregado permite novas deduções. Êle mostra que, em muitos casos, é possível efetuar-se a integração por processo-limite u m pouco mais geral. Se, por exemplo, f{x) = 4>(x)\p(x) e o intervalo entre a e ò for dividido em n partes pelos pontos de divisão xv, podemos empregar a soma mais geral

em lugar da expressão 2/(£„)Acc„, sendo £ / e £„" dois pontos do i n tervalo de ordem v, não necessariamente coincidentes. A soma acima tenderá, também, para a integral

desde que n cresça, e uma vez que o comprimento do maior subinter-valo tenda para zero.

Enunciados correspondentes têm lugar para todas as somas formadas de modo análogo; por exemplo, a soma

0 èFn-Fl< e(b-a) e 0 ^ F m ~ F , < e ( ò - a ) . Ass im, também, é certo que

\Tn-K*\ = \ (K-FÒ-U^-F5\<2e(b-a).

2<K£/)<A(s f c/')Ar

n

2 V [ 0 ( £ / ) 2 + ^ ; O 2 ] A z ,

tende para a integral

1 3 4 IDÉIAS F U N D A M E N T A I S [ C A P .

A demonstração destes fatos é idêntica às anteriores, dispensando, por isso, maiores detalhes.

2. R E L A Ç Ã O E N T R E os T E O R E M A S D O V A L O R M É D I O D O C Á L C U L O D I F E

R E N C I A L E DO C Á L C U L O I N T E G R A L .

Entre os teoremas do valor médio do cálculo diferencial e do cálculo integral existe uma relação simples, à qual se chega pelo teorema fundamental (pág. 111), e que apresentamos como exemplo instrutivo do emprego daquele teorema.

Tomemos o teorema do valor médio do cálculo integral, sob sua forma mais particularizada.

bMdx = (b-a)M).

Se fizermos Jj{x)dx — F(x), de m o i o que f(x) = F ' (x ) , o teorema que acabamos de escrever assume a forma

F ( ò ) - F ( a ) = ( ò - o ) F ' U )

F(b) - F(a)

Podemos, neste caso, como é claro, escolher para F(x) qualquer função cuja primeira derivada F'(x) — J(x) seja contínua, ficando assim demonstrado o teorema do valor médio do cálculo diferencial para tais funções.

Se considerarmos a forma mais geral do teorema do valor médio do cálculo integral,

hf(x)p(x)dx~M) Pp(x)dx,

onde p(x) ê u m a função contínua e posit iva no intervalo e f(x) uma função arbitrária, contínua, seremos levados ao teorema correspondente, de forma mais geral, do valor médio do cálculo diferencial. Escreveremos

f(x)p(x)dx = F(x), istoé, f(x)p(x) = F ' ( s ) ,

Jp(x)dx = G(x), istoé, p(x) = G'(x);

II] T E O R E M A S D O V A L O R M É D I O 135

a fórmula do valor médio assume, então, a forma

F(b)~F(a) = [G(b)-G(a)]M,

F' (x) ou, visto que f(x) = j^-rx,

F(b)-F(a) F(è) G(b)-G{a)~ G'UY

onde a =(= b. E s t a fórmula, na qual £, mais u m a vez, representa um número

intermediário entre a e b, const i tu i o teorema geral do valor médio do cálculo diferencial. P a r a a sua verificação, é evidente que basta admit i r que F(x) e G(x) são funções contínuas com derivadas de primeira ordem, também contínuas, e que, além disso, G'{x) seja sempre posit i v a (ou sempre negativa). E m face destas considerações, o processo completo é reversível (podendo, pois, ser invertido).

Finalmente, observaremos que na presente discussão do teorema do valor médio do cálculo diferencial, fizemos hipóteses restritivas mais amplas do que as requeridas pelos próprios teoremas ( § 3, n.° 8, pág. 103 e, também, pág. 203).

E X E M P L O

1. Mostrar que, se j[x) tiver derivada no intervalo a S x ã b, a função pode ser representada pela diferença de duas funções monótonas.

C A P Í T U L O I I I

DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO D A S FUNÇÕES E L E M E N T A R E S

1. R E G R A S S I M P L E S P A R A D E R I V A Ç Ã O E S U A S A P L I C A Ç Õ E S .

Acontece, usualmente, na análise superior, e nas suas aplicações, que os problemas de integração são mais importantes do que os referentes à derivação, mas esta última oferece menos dificuldades do que a integração. Como conseqüência, o método natura l para o estudo do cálculo diferencial e integral consistirá em, primeiramente, aprender a derivar as classes mais extensas de funções e, depois, em virtude do teorema fundamental (cap. I I , § 4, pág. 116), tornar os resultados obtidos aplicáveis à solução dos problemas de integração. Realizar este programa, será a nossa tarefa nas seções seguintes. De certo modo, começaremos novamente, pois desenvolveremos as derivações e integrações mais importantes, sistematicamente, sem apelar para os resultados obtidos no último capítulo. Nesta parte do estudo, certas regras para derivação, com as primeiras das quais já estamos familiarizados (pág. 96), serão da maior importância.

1. Regras p a r a derivação.

Admitiremos que, no intervalo que estamos considerando, as funções f(x) e g(x) sejam deriváveis. As regras correspondentes enunciam-se, então, do modo seguinte:

1.» regra. Multiplicação por uma constante. Seja c uma constante e cb(x) « cf(x). Neste caso <b(x) é derivável, e

136

C A P . III] DERIVAÇÃO 137

Este resultado deduz-se imediatamente da relação 4>(x + h)-4>(x) f(x + h) -f(x)

h ~° h

se tomarmos os limites quando h - 0. 2. a regra. Derivada de uma soma. 4>(x) ê derivável quando <f>(x) = J(x) + g(x), e

4>'{x) = / ' C r ) + í / (x) ;

isto ê, os processos de derivação e de adição são permutáveis. O teorema se verifica, também, para uma soma de um número finito qualquer, (n), de parcelas

para o qual obtemos

0'(x) = Ijjix). V = 1

Deixaremos de lado a demonstração que, depois do cap. I I , § 3 (pág. 88), ficou inteiramente clara.

3. a regra. Derivada de um produto.

A função <t>(x) será derivável quando 4>(x) = f(x)g(x). Então,

*'(*) =Ãx)g'(x) + g(x)f'(x).

A demonstração é deduzida da equação 0 (s + h)-* (x) J{x + h)g(x + h) -Rx)g(x)

h h

•* f(x + % ( s 4- h) -f(x + %(g) + Rx + -/(g)y(aQ >*

« ( 3 + f c ) - 0 ( a O /(aj - f A) -/(a;) - / (a + / l) + Í/O) ^ .

Pode-se efetivar a passagem ao l imite A - 0, diretamente, nesta última expressão, obtendo-se a fórmula enunciada.

A fórmula adquire aspecto mais elegante se dividirmos ambos os membros por 4>{x) = j{x)g{x). Obteremos, então,

4>{x) f(x) g(x)'

("A Devemos, naturalmente, admitir que <t>{x) seja sempre diferente de zero-

138 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO [ C A P .

Aplicando repetidamente a fórmula do produto, encontraremos, por indução, para a derivada de um produto de n fatores, uma expressão contendo n termos, cada um deles igual à derivada de u m dos fatores multiplicada por todos os outros fatores do produto original. Podemos escrever:

dx

= fi' íx)Mx).. .Ux) + h(x)f2f (x)Mx).. .fn(x)

+ ... +Mx)Mx)...fn'(kx) n (b(x)

= , ! í " ( T ) 7 S ) ' ou, dividindo ( 1 ) ambos os membros por <fi(x) = fi(x)f2(x).. .fn(x)

AC*) Mx) + ' • • + fn(x) ~,lif,{xy

4. a regra. Derivada de um quociente. P a r a o quociente

, , f(r)

verifica-se a seguinte regra: a função <fj(x) ê derivável em todos os pontos em que g(x) não se anula, e

i ãwF • Se (x) é derivável, por hipótese, poderemos aplicar a regra do produto a f(x) = <f>(x)g (r), e concluirmos que

f(x)

Substituindo ^— por d>(x) no segundo membro e resolvendo a equação

em relação a <l>'{x), obteremos a regra acima enunciada. A f im de t1) Devemos, naturalmente, admitir que <j> (s) sempre diferente de zero.

III] D E R I V A Ç Ã O 139

demonstrar a derivabilidade de 4> (x), assim como a regra, escrevamos

f(x + h) f(x) <t>(x + h)-<b(x) _ g(x + h) g{x)

h ~ h , J(x+h)-f{x) g{x + h)-g{x)

g { x ) h ' h f ( x )

g(x)g(x + h)

Se, agora, deixarmos h tender para 0, chegaremos ao resultado enunciado, visto que, por hipótese, os dois termos do segundo membro,

õ(x)f(x) qr(x)[(r) resultantes da divisão têm l imites definidos, isto é, ~~~-r^~ e - V,v- • Isto demonstra, imediatamente, tanto a existência de limite do p r i meiro membro, como a fórmula de derivação.

2. Derivação de funções r a c i o n a i s .

D e início, deduziremos novamente a fórmula de derivação

d T-xn = n x n _ 1

dx

para n inteiro e positivo, baseando a demonstração na regra de derivação de u m produto. Consideremos xn como um produto de n fatores, xn = x.. .x, obtendo, então

d -j- xn = 1 .x" - 1 + l . x " - 1 + . . . -f- l.xn~l = nx"-1

dx

A derivada de segunda ordem da função xn será

d 2

xn = n(n - l)xn~2,

se empregarmos a fórmula ac ima e a primeira regra de derivação. Prosseguindo com o mesmo processo, obteremos

d? xn = n(n - 1 ) (n - 2)x"~3

dn

— xn = 1.2 . . . n = n !

140 D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O [ C A P .

A última destas relações deixa ver claramente que a derivada de ordem (n + 1) de xn se anula, em qualquer ponto.

E m virtude das duas primeiras regras, o conhecimento da derivação das potências permite, imediatamente, derivarmos qualquer poHnômio

y = aQ -f- axx -f a2x~ + . . . -f anxn.

Teremos,. simplesmente,

y' = ai + 2a2x - f 3a 3 x 2 + . . . + nanxn~\

e, depois,

y" = 2a2 + 3.2a32 + 4.3a4ai2 + . - . + n(n - l)anx^2,

e assim sucessivamente. A derivação de qualquer função racional deduz-se, também,

com o auxílio da regra do quociente. E m particular, estabeleceremos, novamente, a fórmula de derivação da função xn, para n = - m, isto é, quando n for inteiro e negativo. A aplicação d a regra do quociente, juntamente com o fato de a derivada de uma constante ser nula, dá-nos o resultado

»m-l

dx \xmy mx"í~1- rn

ou, se fizermos m ~ — n, d ~xn = nxn-x

dx

que coincide, exatamente, com o resultado encontrado para os valores positivos de n e com outros resultados já deduzidos (pág. 95).

3. Derivação das funções trigonométricas.

Já deduzimos as fórmulas

d d - j - sen x = cos x e — cos x = - sen x, dx dx

para as funções trigonométricas sen x e cos x (pág. 96). A regra do quociente permite, então, derivar as funções

cos x cos x y — tg x = e y = cotg x = .

III] D E R I V A Ç Ã O 14]

D e acordo com a regra, a derivada d a pr imeira destas funções é cos 2 x -+- sen 2 x 1

,2 ~ ' cos" X cos*" x obtendo-se o resultado

d 1 -j- tg x = —5— = sec 2 x = 1 + t g 2 x. dx cos2 x

D a mesma forma, virá d l

- 7 - cotg x = - • — 5 — = - cosec 2 x = — (1 + cotg 2 x). dx sen 2 x

2. F Ó R M U L A S C O R R E S P O N D E N T E S D E I N T E G R A Ç Ã O

1. R e g r a s gerais p a r a a integração .

O teorema fundamental da pág. 116 « a definição de integral indef inida indicam a possibilidade de escrevermos, imediatamente, uma fórmula de integração correspondente a cada fómula de derivação. As regras de integração que seguem (das quais as duas primeiras já foram mencionadas na pág. 82), são inteiramente equivalentes às três primeiras regras de derivação.

Multiplicação por uma constante: Designando c uma constante, teremos

Integração de uma soma: Verif ica-se, em geral, que

J [f(x) + g(x)}dx= J f(x)dx + j g{x)dx.

À. terceira regra de derivação corresponde a regra para a integração de um produto, ou, como é vulgarmente denominada, a regra d a integração por partes. A regra do produto , n a integração, dá

J [Kx)g(x)]'dx = J Kx)g'{x)dx+.j g{x)f{x)dx.

A integral indefinida do primeiro membro é, sem dúvida, f(x)g(x) (exceto, evidentemente, uma constante aditiva) , permitindo-nos escrever a regra da integração por partes do modo seguinte:

Jj{x)g'{x)dx =f(x)g(x) - jg(x)f'(x) dx.

E s t a última fórmula de integração, o oposto da regra para a derivação de um produto, foi apresentada aqui, unicamente, para completar o assunto; empregá-la-emos somente no próximo capítulo (pág. 218).

2. Integração das funções m a i s s i m p l e s .

Deduziremos, a seguir, as fórmulas de integração equivalentes às fórmulas de d..rivação das funções especiais, que acabamos de estabelecer. À fórmula

d dx

corresponde a fórmula de integração

xn

xn~ldx = —, n £ 0. n

E l a significa, apenas, que a derivada do segundo membro ê igual à expressão sob o sinal de integral, do primeiro membro. Se substituirmos n por n -f- 1, obteremos a fórmula integral

/ xndx = 1 , xn+1, n ={= - 1.

E s t a fórmula é válida para qualquer valor inteiro do expoente n (quando n< 0 ela se verifica somente se x 4= 0), com exceção de n = - 1 , caso em que o denominador n - f 1 se anula. M a i s adiante (pág. 167), estudaremos, detalhadamente, este caso especial.

O teorema fundamental do cálculo integral permite a utilização imediata das fórmulas de integração na determinação de áreas, isto é, no cálculo das integrais definidas. D e acordo com a exposição da pág. 117, obteremos, desde logo,

1 n - r - 1

onde, se n for negativo, admitiremos que o e i têm o mesmo sinal, visto que, se não o fizermos, o integrando será descontínuo, no intervalo da integração.

Ás fórmulas de diferenciação das funções sen x, cos x, tg x e cotg x, correspondem as seguintes de integração:

III] INTEGRAÇÃO 11:5

j*cos xdx — sen x, Jsen x dx — - cos x,

C 1 í 1

/ — — c?x = tg x, I — r — dx = - cotg x. J cos x J sen2 x Destas fórmulas obtemos, pela regra fundamental do Cap. II, § 4 (pág. 117), o valor das integrais definidas entre quaisquer limites, com a única restrição que as duas últimas expressões, quando empregadas no intervalo de integração não devem conter pontos de descontinuidade no integrando. Por exemplo,

ò

J 'b

cos x dx — sen x = sen ò - sen a.

Salientaremos, ainda que, com o auxílio das duas primeiras regras de integração, estamos em condições de integrar qualquer polinómio em x e, efetivamente, qualquer combinação linear, com coeficiente? constantes arbitrários, das funções já estudadas. Finalmente, notaremos que as regras de integração e derivação devem, de acordo com o teorema fundamental, ser equivalentes. Assim, é possível demonstrar, primeiramente, as regras de integração que estabelecemos nesta seção e, depois, deduzir delas as de derivação da seção precedente. Será proveitoso para o leitor realizar esta sugestão.

E X E M P L O S

1. Calcular o valor numérico de todas as derivadas de xs-xi, para x = 1. 2. Qual será o valor numérico da décima primeira derivada de

3 l7z° -202x 7 + 76, sendo x = 1 3 ^ ?

3. Diferenciar e estabelecer as fórmulas integrais correspondentes das seguintes expressões:

(a) ax - f b. ax2 + 2bx + c (6) 2õcx7. ^ ax2 + 2px + 7 *

1 1 (c) a + 2bx - f cx\ (j)

1 - x2 1 + X2

(d) UX + 6 (g) O 8 - ^ x 4 + 4) (xs + V i x* + 4) cx + d xlB + 16

4. Seja P(x) = a0 - f axx + a2x2 -+-...+ aaxn.

(a) Calcular o polinómio F(x), partindo da equação F(x) - F'(x) — P(x). (6)* Calcular F(x), partindo de c 0 F(x) + c.F^x) + c : F"(x) * P(x).

1 4 4 D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O [ C A P .

5, Derivar as funções seguintes, estabelecendo as correspondentes fórmulas de integração:

(a) 2 sen x cos x. (c) xtgx. r ^ sen x (e) .

1 sen x 4- cos x x ( ò ) (d) .

1 + tg x sen x - cos x

Lembrando que sec x = - , co-sec x — , determinar as derivadas dos cos x sen x

exemplos 6-9. d* d3

6. — sec x. 8. — co-sec x. dx'- dx3

7. — sec x tg x. 9. —— tg a; sen x. dx* dx'

10. Determinar o limite quando n ->o3 do valor absoluto da derivada de ordem n de l / x , no ponto x = 2.

Calcular:

c?x.

11. J (az + 6) dz. 15. J (^x2 +

12. f Tax2 + 2òx + c) cfc. 16. f (&cosx-{ ^—^) J J V sen- x /

13. / i9x s + 7x 6 + 5x 4 4 - 3z 2 4-1) dx. 17. f (^3x - f 7 sen x 4 - 4 -—^r} d x -J ' J V x cos-xy

14. / 4 - — 4- — ) cfec. 18. f sec x tg E Jx. J \xs x3 x*y J

3. F U N Ç Õ E S E N V E R S A S E S U A S D E R I V A D A S

1. Fórmula geral para derivação. Vimos anteriormente (pãgs. 21 e 67), que uma função contínua

y = f(x) possui inversa contínua em todo o intervalo em que for monótona. Mais exatamente:

Se a x h for um intervalo no qual a função contínua y = f(x) for monótona, e se f(a) = a e f(b) = j8, x será uma função de y que, no intervalo entre a e |S é unívoca, contínua e monótona.

Como já expusemos na pág. 92, o conceito de derivada proporciona um meio simples de reconhecer se uma função é monótona e, portanto, se possui inversa. Uma função derivável é, certamente, sempre monótona crescente, se / ' (x) for maior do que zero, em todo o

III] ' FUNÇÕES I N V E R S A S 145.

intervalo correspondente, e, semelhantemente, será monótona decrescente, se / ' (x) for menor do que zero, em todo o intervalo considerado.

Demonstraremos, agora, o seguinte teorema: Se afànção y = f(x) for derivável no intervalo a < x < b, e se f (x) >0 ,

em todo o intervalo, a função inversa x = <b(y) também possuirá derivada em todos os pontos do seu intervalo de definição e, entre a derivada da função dada y = f(x) e a da função inversa x = 0 ( y ) existirá, para valores correspondentes de x e de y, a relação f (x). 4>' (x) = 1, que também poderá ser escrita

dx dx

Notamos, nesta fórmula, novamente, a flexibilidade da notação-de Le ibn i t z . E l a se escreve justamente como se os símbolos dx e dy fossem quantidades sobre as quais pudéssemos operar como o fazemos com os números reais. A demonstração é bastante simples, se c o n s i derarmos a derivada como o l imite do quociente das diferenças

Ay yi - y y' - f (x) = l i m — = l i m »

Ax-*Q AX xi-ix X \ - X

onde x e y = f(x), e xx e yx — f(x{) representam, respectivamente, pares de valores correspondentes. Por hipótese, o primeiro destes valorcs-lirnites não é igual a zero. Levando-se em conta a continuidade de y = f(x) e e x = cj>(y) a equação h m Ax = 0 é equivalente a l i m Ay = 0 e, conseqüentemente, as relações yi~*y e Xi~*x são, também, equiva lentes. E m face disto, o valor-limite

Xi~ X Xj—X l i m = l im x^xyi-y y^yyi-y

existe e é igual a Por outro lado, o va lor l imi te é, por definição,

a derivada <£'(y), ficando, assim, demonstrada a nossa fórmula.

Esta fórmula tem interpretação geométrica muito simples, a qual é repre- ;

sentada, com clareza, na fig. 1. A tangente à curva 3' = j(x) ou z = <p(y) forma o.

146 DERIVARÃO E INTEGRAÇÃO [ C A P .

ângulo a com o eixo dos x positivos e o ângulo (3 com o eixo dos y positivos. Da definição gei métrica da derivada, segue-se

J'(x) = t g « , *>'(y) = tg0.

Como a soma dos ângulos a e /3 perfaz x/2, tg a tg |3 = 1 e esta relação corresponde exatamente à fórmula de derivação encontrada.

Admitimos, até aqui, expressamente, que ouf (x) > 0 o u / ' (x) < 0, isto é, que J v (x) jamais ê nula. O que aconteceria, p rém, se / ' (x) = 0 ? Se / ' (x) = 0 em todo o intervalo, a função será constante e, conseqüentemente, não terá inver

sa, visto que o mesmo valor de y deve corresponder a todos os valores de x no intervalo. Sef (x) — 0 verificar-se somente para certos pontos isolados, e se, por questão de simplicidade, admitirmos que a função é c mtínua, devemos observar, então, S J ela muda ou não de sinal ao passar por estes pontos. N o primeiro caso, o ponto separa a parte monótona crascente da função, da parte mo-

F i g . 1 .—Derivação d a função inversa

o -st*

Fíg. 2 .—Parábola Fíg. 3.—Parábola cúbica

nótona decrescente. Nas proximidades de tal ponto não haverá função inversa unívoca, de qualquer espécie. No segundo caso, a anulação da derivada não perturbará o caráter monótono da função y = f(x), de modo que existe uma inversa unívoca. T a l função inversa, porém, não será derivável no ponto correspondente, pois, sua derivada nesta altura

ni] FUNÇÕES I N V E R S A S 147

6 infinita. As funções y = x 2 e y = x 3 , no ponto cc = 0, oferecem exemplos dos dois tipos citados. As figuras 2 e 3 ilustram o comportamento destas duas funções quando passam através da origem. As figuras mostram, ainda, que y = x 3 tem inversa unívoca, ao passo que y = x 2

não a possui.

2. Função inversa da potência.

O exemplo mais simples de funções inversas é proporc ionado pelas funções y = xa p a r a valores posit ivos e inteiros de n e, como admit imos in i c ia lmente , valores posit ivos de x. Nestas condições, y' é sempre pos i t iva , de modo que poderemos f o rmar u m a única função inversa p o s i t i v a para todos os valores pos i t ivos de y

X = V y = y l / V

A. d e r i v a d a desta função inversa é ob t ida imed ia tamente , de acordo cem a rc^ra geral a c i m a estabelecida, mediante as seguintes transformações:

c?(y 1 / n) dx _ 1 1 _ 1 1 _ 1

dy dy dy nx"~l ny(a~n'a n

dx

= - ylla-\

e, se designarmos a variável independente por x, poderemos, por f i m , escrever

dTx d 1 dx dx J n

que coincide c o m o resultado obtido, d i re tamente , n a pág. 94. O ponto x = 0 requer consideração especial . Se x se aprox imar de 0 através

de valores posit ivos , d(xlia)dx. onde n > 1, crescerá, na tura lmente , além de q u a l quer l i m i t e . D e v i d o a isto é que a der ivada d a potência n, / (x ) = x n , p a r a n > 1, se a n u l a n a or igem. Geometricamente , quer dizer que as curvas y = x1/n, n > 1, t o cam o eixo dos x n a origem (fig. ln, pág. 34).

P a r a completarmos este estudo, notaremos que, p a r a valores ímpares de n, a hipótese de que x > 0 pode ser o m i t i d a e a função y = a" pode ser considerada para todos os valores de x, sem perder o seu caráter monótono , nem a un idade

d 1

da função inversa . A fórmula de derivação — ( y 1 / n ) = - y 1 / n _ 1 t e m lugar, também, dy n

á(x n ) para os valores negativos de y ; para x = 0, n > 1, teremos — — = 0, o que cor-

dx responde a u m a der ivada i n f i n i t a (dxjdy) d a função i n v e r s a no ponto y = 0.

DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO [ C A P .

3. Funções trigonométricas inversas.

A fim de formar as inversas das funções trigonométricas, consideraremos mais uma vez os gráficos de sen x, cos x, tg x e cotg x. Vemos, imediatamente, nas figuras 14 e 15, pág. 25, que, para estudarmos uma função inversa unívoca destas funções, é preciso escolher um intervalo definido, porque as linhas y = c, paralelas ao eixo dos x, cortam as curvas, em um número infinito de pontos, se as atingirem.

A derivada y' — cos x da curva y — sen x será, por exemplo, positiva, no intervalo - irJ2 < x < r /2. Neste intervalo o seno, conse-

a y *> son x

Fig. 4.—Função inversa do seno

qüentemente, tem uma função inversa. Escreveremos a função inversa do seno sob a forma ( 1 )

x = are sen y

(que se lê arco-seno y e significa o ângulo cujo seno vale y). Esta função percorre o espaço de - ir/2 a + TT/2, monotonamente, quando y varia no intervalo - 1 a + 1. Se quisermos salientar que estamos tratando da função inversa do seno para este mesmo intervalo, nos referiremos ao valor principal do arco seno. Se formarmos a função inversa para outro intervalo qualquer, no qual sen x fôr monótona, por exemplo, o intervalo + x /2< x< 37r/2, obteremos "outro ramo" do arco-seno. Sem a fixação do intervalo no qual os valores da função devem estar situados, o arco-seno é uma função plurívoca e, efetivamente, tem uma infinidade de valores.

E m geral, exprime-se a expressão plurívoca de arco-seno y dizendo-se que a um valor qualquer y, do seno, corresponderão, não somente o ângulo x, mas também o ângulo 2kir -f- x, assim como (2k - f l)ir - x, onde k representa um inteiro qualquer.

(l) Os livroa ingleses empregam, também, a notação x — s e i i - i y .

ni] FUNÇÕES I N V E R S A S 149

A derivação da função x — aro sen y é obtida com o auxílio da regra geral, mediante as seguintes rápidas transformações:

dx dy

1 COS X ± V 1 - sen 2 x ± V 1 - y2

onde a raiz quadrada deve ser tomada com o sinal positivo, se nos i imitarmos ao primeiro intervalo mencionado

Se a variável independente for, afinal, novamente mudada de y para x, a fórmula de derivação da função are sen a: será obtida da seguinte maneira:

~r are sen x = „> dx \l-x2

admitindo-se que o arco-seno esteja compreendido entre - T /2 e +7r/2, e que a raiz quadrada tenha sido tomada com o sinal positivo.

ilJ-COSX

71 i x

i t i s

X-are cos y

Fig. 5.—Função inversa do co-seno

Para a função inversa de y = cos x, designada por are cos x, obteremos a fórmula de derivação

1 d - T - are cos x = - • ^ dx V 1 — ar

de modo inteiramente análogo. Neste caso, devemos atribuir o sinal positivo à raiz sempre que o valor de are sen x esteja compreendido entre 0 e ir (e não, como no caso do are sen a;, entre - TT/2 e +7r/2); (fig. 5).

Resta-nos dizer alguma coisa sobre os pontos extremos x = - 1 e a = +1. As derivadas, nas vizinhanças destes pontos, tornam-se infi-

(!) Se, em vez deste, tivéssemos escolhido o intervalo ir/2 < x < 3T/2, correspondente à substituição de * + n- por aí, deveríamos empregar a raiz negativa, visto cos x ser negativo neste intervalo.

riitas, correspondendo às tangentes verticais que as curvas inversas dos senos e dos co-senos devem ter nesses pontos.

Podemos lidar com as funções inversas da tangente e da cotan-gente, da mesma maneira. A função y = tg x, cuja derivada l/cos 2x,

para x 4 + k-K, é sempre posit iva , tem inversa unívoca, no intervalo - 7r/2 < x < 7r/2. Chamaremos tal função inversa x = are tg y ou (trocando as letra ar e y), y = are tg x. Vemos, na figura 6, que a plural i dade original da função inversa, isto é, — a pluralidade que se verificaria se o intervalo da função não fosse fixado — é traduzida pelo fato de que, para cada x poderíamos escolher, em lugar de y, qualquer um dos valores y + IZT (onde k ê i n teiro). A função x = are cotg y, ou (trocando as letras x ey), y = are colg x

inversa de y — cotg x, ficará univocamente determinada, se exigirmos que seu valor permaneça no intervalo entre 0 e ir. As expressões mul-tívocas de are cotg x são, por outro lado, as mesmas que para are tg x.

As fórmulas de derivação podem ser deduzidas como segue:

Fig. 6.—Função inversa da tangente

dx 1

dx

1 1 x = are tg y, ~r = y ~ Q 0 ^ x ~ í — T T ^ = —ã*» ° dy dy 1 + tg-x 1 + y 2

dx x — aro cotg y, y - = - sen-x = - -—; —j- = - r - ~ — ;

dy 1 + cotg 2x 1 + y-

ou, finalmente, se designarmos a variável independente por x,

-r are tg x = ~ — Õ » dx 1 + x 2

d 1 - 7 - are cotg x = - — — r . dx 1 + x2

III] F U N Ç Õ E S I N V E R S A S 151

4. Fórmulas de integração c o r r e s p o n d e n t e s .

A s expressões que acabamos de estabelecer serão escritas da maneira seguinte, n a linguagem das integrais indefinidas:

E n t r e as duas fórmulas d a esquerda e as da direita, que exprimem cada integral indefinida sob duas formas que parecem inteiramente diferentes, não há contradição alguma. Lembraremos que, no caso das integrais indefinidas, f i ca à nossa disposição uma constante adi t iva arbitrária. Se escolhermos tais constantes de modo que divir jam de 7r/2 e recordarmos que TT/2 — are cos x — are sen x e, cio mesmo modo, 7T/2 - are cotg x — are t g x, a discrepância aparente entre as fórmulas é imediatamente el iminada. A indefinibilidade é devida, simplesmente, ao fato de que a integral indefinida não é uma função única, determinada, mas s im uma família inteira de funções que diferem umas das outras pe la adição de constantes arbitrárias. As equações das integrais indefinidas não estabelecem o seu valor, mas sim um dos seus valores. Corno já observamos, seria mais correto expr imir este fato, incluindo sempre a constante indeterminada. Não escreveríamos, então.

Por conveniência, entretanto, evitamos usualmente esta forma mais pormenorizada. O leitor, porém, terá o cuidado de não perder de vista a ambigüidade resultante do emprego da fórmula abreviada.(ver também pág. 116).

D a s fórmulas para a integração "indefinida deduzimos, imediatamente, as fórmulas seguintes para a integração definida, como já o

".fizemos na pág. 117. E m part icular ,

- are cos x,

mas, sim,

b — arc t g x • -=* • arc tg b •- are tg a.

a

1 5 2 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO [ C A P .

Se fizermos a = 0, b = 1 e observarmos que tg 0 = 0 e que tg x / 4 = 1, obteremos a fórmula notável

T

4

1 -TI dx.

o 1 + x-

0 número r , calculado originariamente como junção do círculo, 'e,

Fig. 7.—Representação de x/2 como área

por esla fórmula, deduzido de uma relação muito simples com a função 1

i acionai -—;—Õ> sendo representado pela área definida indicada na fig. 7. 1 + x :

E X E M P L O S

x1 dy 1. Se y = —, y = 16 corresponde a x = 8. Calcular — para x — 8; resolver

4 dx

y = _ em relação a i e calcular — para y = 16, provando que os valores destas 4 dy

derivadas estão de acordo com a regra das funções inversas.

2. Demonstrar que (a) are sen a 4- are sen £ = are sen (a V1 - / 3 2 -f- /3 V l —

(6) are sen a -f- are sen j3 = are cos( V 1 - as V 1 -p2~ap);

« + /3 (c) are t g a + are tg j3 = are tg

1-at

Derivar as expressões dos exemplos 3-10, escrevendo as expressões das integrais correspondentes:

Vx V x - a r c sen z 3.

1 + 3S

4. V x cos 2x.

1 + VÊ

' 1 -

1 - t g x '

7. arc sen x . arc cos x.

1 -(- arc tg x

9.

arc tg x

10. 5 arc cotg x + arc cos x

8 1 - arc tg x'

III] FUNÇÕES INVERSAS 153

l 11. Desenhar y = ^ 2 num papel quadriculado e numa escala grande.

r 1 1

Determinar / dx, contando os quadrados, e estabelecer um valor apro-J o 1 + x 2

ximado para TT/4 (exemplo 1, púg. 121).

4. D E B I V A Ç Ã O D E U M A F U N Ç Ã O D E F U N Ç Ã O

1. R e g r a d a c a d e i a .

As regras estabelecidas até aqui habilitam-nos a derivar qualquer função passível de' ser representada por exprersões racionais, cujos termos sejam funções com derivadas conhecidas. Podemos, entretanto, dar outro passo importante para a frente, aprendendo a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. Seja cb(x) uma função qualquer, derivável no intervalo a ^ x ú b, admitindo todos os valores do intervalo a S4> ^ j8. Imaginemos, agora uma segunda função derivável g(x) da variável independente <f>, na qual 4> percorre o intervalo de a até j8. Podemos considerar a função g(4>) — g[<f>(x)] — f(x) como função de x no intervalo a ^ x ^ ò. A função f(x) = g[4>(x)] será, então, denominada uma função de x, composta das funções g e <bt ou uma função de função.

Se, por exemplo, <p(x) = 1 - x 2 e g(<p) = V^, a função composta será, simplesmente, j(x) = V1 - x9. Neste caso, fizemos o intervalo a á x 5» b, igual a 0 ^ i á 1, ficando, assim, a função composta j(x) = V i — %" definida no intervalo 0 á x ú 1, visto os valores de cp(x) preencherem exatamente o intervalo 05j 1.

Outro exemplo de composição de funções é j(x) — V 1 + x 2 , onde o processo de composição pode ser indicado pelas equações

<p{x) - 1 + x2, g{>p) = V^;

o valor da função (.x) percorrendo todos os valores positivos §í 1, de modo que /(x) = g[<p(x)] pode ser satisfeita por todos os valores de x.

Compondo funções desta maneira, devemos, naturalmente, ter cuidado em nos cingirmos aos intervalos a á x Sl b, para os quais a função composta é definida. Por exemplo, a função composta V 1 - x2 é definida somente para valores de x compreendidos na região - 1 | i ^ 1, não o sendo para o intervalo 1 < x :g 2, pois, quando x se encontrar neste último intervalo, os valores de <p(x) consistirão de números negativos, para os quais a função não é definida.

Do mesmo modo que podemos compor as funções uma a uma, podemos a

devemos considerar funções em que o processo de composição é realizado mais de uma vez. Uma função dêsle tipo é

V1 - f are tg x s

que pode ser obtida pelo seguinte processo de composição

v(x) = x 2, Mv>) = 1 + are tg g(^) = V^(^) = j(x).

A derivação das funções compostas ê baseada no teorema seguinte, denominado regra da cadeia do cálculo diferencial:

A função f(x) = g[$(x)] e derivâvel, sendo sua derivada fornecida pela equação

f(x) = g'(.<t>).<t>'(x),

ou, segundo a notação de L e i b n i t z ,

dy dy d<b

dx d<p dx

E m termos verbais : a derivada de uma função composta é igual ao produto das derivadas das funções componentes.

A demonstração do teorema é m u i t o fácil, se recordarmos o s i g n i ficado de derivadas P a r a qualquer Ax 4= 0, arbitrário, e p a r a os valores correspondentes de A e A<£ = 4>'{x)Ax + n Ax;

é preciso, apenas, calcular -n n a segunda equação, onde A)<b'(x)Ax - f + e<f>'(x) + er,]Ax,

àg ou — = g> (x) + [ng' (4>) + e<f>' (a:) 4- e^].

N e s t a equação, entretanto, podemos fazer A x tender p a r a 0, obtendo imediatamente o resultado enunciado, v i s to que a chave d a direita tende p a r a zero com Ax . Conseqüentemente, o p r ime i ro membro da equação tem f'(x) para l imite , l i m i t e este igual ao primeiro termo do segundo membro , como havíamos a f i r m a d o . ( U

(i) Poderíamos, também, fazer a demonstração, efetuando a passagem ao limite A x - » 0 e, portanto, A £ - » 0 , na equação — •=> ^ — . — . O método apresentado no texto deve, contudo, ser prefe-

Ax Ax ' * rido, u m a vez que evita a necessidade de considerar-se, de maneira especial, o cano em que <t>'(x)<=0,

III] FUNÇÕES D E FUNÇÃO 155

Pela aplicação sucessiva da fórmula encontrada podemos, imediatamente, estendê-la às funções compostas de mais de duas funções. Se, por exemplo,

y = 0(11), u = v = f(x),

podemos considerar y = f(x) como sendo função de x; sua derivada será obtida pela regra

dy dy da dv

O caso de funções compostas de um número arbitrário de funções é, essencialmente, análogo, motivo por que deixamos a demonstração a cargo do leitor.

2. Exemplos. Como exemplo muito simples, apresentaremos a função y = Xa, onde a = plq,

sendo q u m número inteiro e pos i t ivo , e p inteiro, positivo ou negativo, de modo que a será um número rac ional , pos i t ivo ou negativo. Teremos, pela regra da cadeia, sendo x posit ivo,

y = <pv, v - x 1 ' " que nos dâ a fórmula

y' = ptp*-1. — a;tl-p)/i~lt

9 Q

a qual , para valores racionais arbitrários de a , proporciona a fórmula de derivação

d ~ x a - az* " 1 , dx

plenamente de acordo com o resultado obt ido por outro método, no C a p . I I , § 3 (pág- 94).

Como segundo exemplo, vejamos

y = V 1 - xs ou y = V <p,

onde p = l - c c 2 e - l < x < l . A regra d a cadeia permite escrever, 1 x

y' - — 7 = . ( - 2 z ) => - , .

Outros exemplos são dados pelos seguintes cálculos abreviados:

1. y = are sen V 1 - x2,

= 1 rfV(l-j')

dx V l - ( l - x 2 ) * dx

1 - s _ 1

1

L56 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO [ G A P .

2. f l + x

fy = i dx 9 "1 /l — x dx

" V l + x

V i — x 2

A regra d a cadeia para a derivação pode, também, ser expressa por meio de u m a fórmula de integração, e m concordância c o m o fato de que cada fórmula de derivação t e m u m a de integração correspondente e equivalente. Não obstante, como não necessitamos desta fórmula imediatamente , deixaremos o seu estudo detalhado para mais tarde (cap. I V , § 2, pág. 207).

3. Observações complementares sobre a integração e derivação de X a , quando a ê irracional.

E m face d a definição e lementar d a potência Xa- pela equação

Xa = l i m xT*,

em que os números r* f ormam u m a seqüência de números racionais com o l imi te a, poderíamos ser tentados a d e r i v a r Xa, e fetuando a passagem direta ao l i m i t e , na fórmula de derivação

' d

XTn = TBX'n 1.

dx

Não podemos fazê-lo, entretanto, a menos que a expressão x r ° -»X a pe rmi ta a rela-d d

ção — x ' D - » — Xa. Há, contudo , u m a ob jeção m u i t o séria contra t a l passagem dl*

ao l i m i t e . N a vizinhança de u m a curva , vizinhança esta arbitrariamente pequena, podemos traçar outras curvas cujas direções , em pontos escolhidos à vontade, d i f i r a m da direção da curva or ig inal de u m a quant idade qualquer; por exemplo, podemo-nos aproximar de u m a l i n h a reta p o r u m a onda , s i tuada arbitrariamente per to dela, cujo ângulo, formado pela onda e p e l a l i n h a , a t i n j a até 45° (fig. 8). E m

outras palavras , o exemplo a c i m a i l u s t r a que não podemos concluir, imediatamente, >iue duas derivadas sejam aproximadamente iguais, em toda a parle, desde que as

Fig. 8.—Aproximação da linha rela por curvas onduladas

III] FUNÇÕES DE FUNÇÃO 157 suas junções dijiram muilo pouco. T a l objeção impede de efetuarmos a passagem ao limite, aparentemente óbvia, na falta de justificação posterior.

A este respeito, entretanto, a integral comporta-se de modo diferente da derivada. Já observamos, na pág. 128, que se duas funções diferirem entre si menos do que e, no intervalo entre a e ò, suas integrais diferirão, por sua vez, de quantidade menor do que e ( ò - a ) . Empregamos este resultado para estabelecermos a validade da fórmula de derivação

1 d x a + * =» x«,

a. + 1 dx

ou, substituindo a + 1 por a,

d —-Xa = az«-l. dx

d d Por este processo indireto, portanto, verifica-se a validade da relação — x r ° -» — Xa,

dx dx acima citada.

A discussão que acabamos de efetuar é um exemplo característico das relações existentes entre o cálculo diferencial e o cálculo integral. Contudo, em princípio, é preferível substituir a definição elementar de Xa por uma outra (como o faremos na pág. 173 e seguintes), essencialmente mais simples e que possa conduzir, mais uma vez, ao mesmo resultado, porém, desta feita, diretamente.

Derivar as seguintes funções:

1. (x + l ) 3 . 2. (3a; + 5) 2. 3. (x° - 3x 6 - x 3)».

1 4. .

1 + 3

6. (ax + 6)n (n inteiro). 1

x + V x 2 - 1

8 1/ a x Z + + c

V Zx2 + mx + n

9. [V (1 - x ) 2 / 3 J s -10. sen 2 x.

E X E M P L O S

11. sen (x 2).

12. V 1 + sen 2 x.

1 13. x 2 sen —

x 2

1 + x 14. tg .

1 — x

15. sen (x 2 + 3x + 2). 16. are sen (3 + x 3). 17. are sen (cos x).

18. sen (are cos V 1 - x1).

19. x v = - x ~ V i .

20. [sen(x + 21. [ are sen (a cos x + ò) ]«.

5. M Á X I M O S E MÍNIMOS

Tendo adquirido certo domínio sobre a derivação das funções elementares e das funções compostas com elas, estamos em condições de fazer u m a grande variedade de aplicações. Inicialmente, estudaremos a mais simples destas aplicações, a teor ia dos máximos e mínimos de u m a função, juntamente com a discussão geométrica das derivadas de segunda ordem e, na próxima seção, retomaremos o fio da teoria geral.

1. C o n v e x i d a d e o u c o n c a v i d a d e das c u r v a s .

d

P o r definição, a derivada ~çj~f(x) da função f(x) dá a inclinação

d a c u r v a y = f(x). E s t a inclinação pode, p o r sua vez, ser representada

F i g . 9 a . — / " ( a ) > O F i g . 96.—J"(x) < 0

pela c u r v a / = ^ / O * ) = f (pò, ou seja, a curva derivada d a curva

or ig inal . A inclinação d a curva der ivada é fornecida por —j'{x) =

d2

= faàltâ = = / / / ( : c )> derivada de segunda o r d e m de f(x), e assim por diante. Se a derivada de segunda ordem, /" (#) , fôr pos i t iva no ponto x — de modo que, devido à continuidade (que supomos existir), seja pos i t iva nas vizinhanças de x — então a d e r i v a d a f'(x) crescerá, ao atravessar este ponto, n a direção dos valores crescentes de x. P o r t a n t o , a curva y = f(x) v o l t a o seu lado convexo p a r a a direção dos valores decrescentes de y. 0 contrário se verificará sef"(x) fôr negativa. N o

III] MÁXIMOS E MÍNIMOS 159

primeiro caso, contudo, na vizinhança do ponto dado, a.curva está situada acima da tangente e, no segundo, abaixo dela (figs. 9a e 96).

Somente o caso dos pontos em que f"{x) = 0, exige um estudo especial. A derivada de segunda ordem, quando passa por um ponto

Fig . 10.—Ponto de inflexão

de tal natureza, muda, geralmente, de sinal. Este ponto será, então, de transição entre os dois casos acima mencionados, isto ê, a tangente estará, de um lado, acima da curva e, do outro, abaixo da mesma, cortando-a, em vez de tocá-la (fig. 10). O ponto é chamado um ponto de inflexão da curva e a tangente correspondente é denominada tangente flexionai.

O exemplo mais simples é dado pela função y = x 3 , parábola cúbica, para a qual o próprio eixo dos x é uma tangente flexionai no ponto x = 0. Outro exemplo é a função y = sen x, para a quâ\f'(x) = d(sea xjdx = cos xej"(x) = d2(sen x)/d2

= - s e n x . Como conseqüência, / '(O) = 1 e /"(O) = 0; o sinal de f'(x), mudando em x = 0 , indica que a senóide tem uma tangente flexionai na origem, inclinada de u m ângulo de 45° sobre o eixo dos x.

Notemos, finalmente, que podem existir pontos para os quais j"{x) — 0, sem, contudo, a tangente cortar a curva, mautendo-se sempre do mesmo lado dela. Por exemplo, a curva y = x 4 f ica inteiramente acima do eixo dos x, a despeito da derivada de segunda ordem f"(x) se anular para x = 0.

2. Máximos e mínimos.

Diz-se que uma função contínua ou uma curva y = f(x) tem um máximo (mínimo) num ponto £ se pelo menos, nas proximidades, vizinhança ou entorno de x = £, os valores de f(x), para x 4= £> forem todos menores do que /(£) (ou maiores do que /(£)). Po r proximidades, vizinhanças ou entorno de um ponto significamos o intervalo a ^ x á &


contendo o ponto referido (£) no seu inter ior . Geometr i camente f a l a n do , ta is máximos e mínimos são, respect ivamente , as cristas das ondas

côncavas e convexas d a c u r v a . U m o lhar à f i g . 11 mostra-nos que o v a l o r do máximo no p o n to P5 pode , m u i t o bem, ser m e nor do que u m mínimo em outro

- Q| *z ponto , por exemplo, P2; então, F i g . i L - M á x i m o s e mínimos ° conceito de máximos e míni

mos será sempre, de certo m o d o , re lat ivo , dev ido à restrição de p r o x i m i d a d e do ponto em que eles ocorrem.

Se desejarmos f ixar idéias sobre os valores , máximo ou mínimo, absolutos da função, devemos empregar processos especiais p a r a po dermos escolher tais valores d e n t r e os máximos ou os mínimos.

N o momento , porém, o p r o b l e m a consiste e m aprendermos a dete rminar os máximos e mínimos (relativos) ou , empregando u m a p a l a v r a que abrange tanto máximos c o m o mínimos, os valores extremos ( 1 )

relativos de u m a dada função o u c u r v a . E s t e p rob l ema , que ocorre em inúmeras aplicações e é m u i t o freqüente n a geometria , mecânica e física, c ons t i tu iu u m dos p r i m e i r o s incent ivos p a r a o desenvo lv i mento do cálculo integral e d i f erenc ia l d u r a n t e o século dezessete.

V e m o s , imediatamente , que , a d m i t i n d o - s e que a função seja d e r i -vável, a tangente à curva , e m u m ponto extremo £, deve ser h o r i zonta l . Surge , portanto , a equação

/ ' ( ! ) = 0

como condição necessária p a r a a existência de u m va lor extremo. Reso lvendo a equação em relação à incógnita £, obteremos os pontos nos quais ocorrerá, possivelmente, . u m v a l o r ex t remo . A condição, po is , não é, de m o d o a lgum, suficiente p a r a u m v a l o r extremo. P o d e m exist i r diversos pontos p a r a os quais a d e r i v a d a se a n u l a , isto ê, nos quais a tangente é hor izonta l , e m b o r a a c u r v a não apresente máximo n e m mínimo nesta posição. Isto se v e r i f i c a se a c u r v a t i v e r u m a tangente f lexionai hor i zonta l que a cor te n o ponto dado , como ocorre n o exemplo a c i m a , d a função y = a?s, n o ponto x = 0.

(!) T a m b é m ê empregada a p a l a v r a vértice. P o r outro lado, os türmos valor estacionário e ponto estacionário, inc luem tanto inflexões, como m á x i m o s e mínimos.

ÍII] M Á X I M O S E MÍNIMOS 161

Contudo, se determinarmos um ponto para o qual / ' (x) se anula, podemos concluir, imediatamente, que a função apresenta um máximo neste ponto se / " (£ ) < 0, ou um máximo se / " (£ ) > 0 , visto que, no primeiro caso, a curva, nas proximidades do ponto, está situada inteiramente abaixo da tangente, e no segundo, completamente acima.

E m lugar de fundamentar a dedução da condição necessária sobre a intuição, poderíamos ter desenvolvido uma demonstração fácil, baseada em métodos puramente analíticos (de maneira análoga como fizemos para o teorema de Rolle, pág, 105). Se a função f{x) tiver um máximo no ponto £, a expressão /(£) - / ( £ -f- h) deve ser positiva para todos os valores de h, diferentes de 0 e suficientemente pequenos.

O quociente ^ ^ — s e r á > pois, positivo ou negativo, conforme

h for negativo ou positivo. Assim, se h tender para zero, percorrendo valores negativos, o l imite do quociente não poderá ser negativo, ao passo que se h se aproximar de zero, assumindo valores positivos, o limite não será positivo. M a s , desde que admitamos a existência da derivada, estes limites devem ser iguais entre si, e efetivamente, a / ' (£ ) que somente poderá ter o valor zero. Devemos ter, portanto, / ' (£) = 0. Demonstração semelhente tem lugar para o caso do mínimo.

Podemos também formular e provar, analiticamente, condições necessárias e suficientes para a ocorrência de um máximo, ou de um mínimo, sem recorrermos à segunda derivada. Suporemos, para isto, que f(x) é contínua e que a sua derivada f (x) também é contínua, anulando-se somente em um número finito de pontos.

A função f(x) lerá um máximo ou um mínimo no ponto x = £ quando e somente no caso da derivada {' (x) mudar de sinal ao passar por esse ponto. Particularizando, o ponto considerado será um mínimo se a derivada for negativa à esquerda de £ e. positiva à direita, ao passo que o caso contrário indicará um máximo.

Demonstraremos a afirmação, empregando o teorema do valor médio. E m primeiro lugar, observaremos que existem intervalos h< %< £ e %<x< £ 2 (estendendo-se aos pontos mais próximos nos quais f'(x) = 0), à esquerda e à direita de £, em q u e / ' (x) tem um só sinal, em cada intervalo. Se os sinais de / ' (x) fossem diferentes nestes dois intervalos, / (£ - f h) - hf (£ dh) teria o mesmo sinal para todos os valores de h, numericamente pequenos, positivos ou negativos,

de sorte que / (£ ) seria u m valor extremo. S e /'(cr) t iver o mesmo sinal em ambos os intervalos, dh) mudará de sinal com h, de modo que /(£-+• h) será maior do que / ( £ ) de u m lado e menor no outro, não sendo, portanto , u m va lor extremo. O teorema f ica , assim, demonstrado.

A o mesmo tempo, verif icamos que / (£ ) ê o m a i o r ou o menor va lor da função em cada intervalo que contém o p o n t o £, e que a única mudança de s inal de / ' (x) ocorre no próprio p o n t o £.

O teorema do valor médio, sobre o q u a l baseamos esta demonstração, pode ser empregado mesmo no caso e m que f(x) não seja de-rivável n u m dos pontos extremos do in terva lo ao q u a l ele é aplicado, contanto que f(x) seja derivável em todos os outros pontos do mesmo intervalo . P o r exemplo, a demonstração a c i m a exposta ê ver i f i cada, mesmo que f'(x) não exista, p a r a x = £. T a l fa to possibil ita-nos a t i n gir o seguinte resultado mais geral : se f(x) for contínua n u m intervalo que contenha o ponto £ e t iver der ivada f (x) em todos os pontos, com exceção, talvez , do próprio ponto £, d e r i v a d a esta que se anula , no máximo, n u m número f in i to de pontos, terá, então, u m valor extremo no ponto x = £ se e somente quando £ separar dois intervalos nos quais f'(x) t iver sinais diferentes. P o r exemplo , a função y = | x j tem u m mínimo em % — 0, visto que y' = 0 p a r a x > 0 e y* < 0 para x< 0 (fig. 9, pág. 97). A função y — -s/x2, do mesmo modo, terá u m mínimo no ponto x = 0, embora a sua d e r i v a d a | z - i / 3 seja in f in i ta nesse ponto (fig. 12, pág. 99).

Faremos , a inda , a seguinte observação sobre a teoria dos máximos e mínimos: a determinação dos máximos e mínimos não é, necessariamente, equivalente à determinação do m a i o r e menor valores da função n u m intervalo fechado. N o caso das funções monótonas, esses valores maior e menor serão determinados nos extremos do intervalo , não sendo, portanto , máximos e mínimos n o sentido estudado, v isto que este último conceito exige u m a vizinhança completa do lugar em que estão. Se ja , por exemplo, a função f(x) —x que , no intervalo O ^ x ^ l admite o seu maior valor no ponto x = 1 e o menor quando x = 0; enunciado semelhante pode ser estabelecido p a r a qualquer função monótona. A função y — are t g x, cuja d e r i v a d a é 1/(1 + x2), ê monótona p a r a - » < x < « , e, neste intervalo aber to , não possui máximo nem mínimo, nem valores maiores ou menores do que os outros.

Se, depois de determinarmos os zeros de / ' (x) quisermos ter certeza de que foram estabelecidos os pontos nos quais a função adquire seus valores maior e menor, podemos, muitas vezes, utilizar o critério seguinte:

O maior ou menor valor de uma função f(x), num intervalo, será atingido no ponto £ no qual f (x) se anula, se í" > 0 ou f "(x) < 0, respectivamente, através desse intervalo.

Se £ e £ + h pertencerem, ambos, ao intervalo, f (£ + &)=/'({ + h) - / ' U ) = hftt + oh),

pelo teorema do valor médio. Portanto, no ponto x = £ -f- h a deriv a d a / ' (x) terá o mesmo sinal de h, ou sinal oposto, conforme seja f"(x).>0 ouf"(x)<Q; o enunciado decorre, então, da observação feita após o teorema da pág. 162.

3. Exemplos de máximos e mínimos. Ex. 1. Entre todos os retângulos de mesma área, dada, determinar o que

tem o menor perímetro. Seja a2 a área dos retângulos e x o comprimento de um dos seus lados (neste

caso, x percorre o intervalo aberto 0 < x < °°); o comprimento do outro lado será cr/x, e o semiperímetro será dado por

M = x + ~. x

a 3 2a 2

Temos / '(*) = i - f(x) = x2 x 3

A. equação / ' ( § ) = 0 admite uma única raiz posit iva £ — a. Para este valor, f(x) ê posit iva (como o será para qualquer valor positivo de x); ela, portanto, fornece o menor valor procurado e obtemos como resultado muito plausível, que entre todos os retângulos de mesma área, o quadrado é o que apresenta o menor perímetro.

Ex. 2. Entre todos os triângulos de mesma base e mesma área, determinar o que possui menor perímetro.

P a r a resolver este problema, façamos o eixo dos x coincidir com a base dada AB, tomando o ponto médio de AB como origem. Sendo C o vértice do triângulo, h sua altura (que é fixada), e (x, h) as coordenadas do vértice, a soma dos lados AC e BC do triângulo, cujo valor procuramos, será

j(x) = V(x + a) 2 + h2 + V ( x - a ) 2 - r - / i J

onde 2a é o comprimento da base. Desta fórmula obtemos .. . x 4- a x - i

1 6 4 D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O [ C A R

rix) - + + - (x - ay

V[(;r + a)3 + / r ] 3 V(x + a)2 + h2 V[(a: - a) 2 + / * 2 J 3

1 + V ( r - a ) 2 + / r

/ i 2

V[(s - f a ) - + / r j 3 + V [ ( x - a ) 2 + A 2 ] 3 "

Vemos, imediatamente, (1) que/'(O) se anula, (2) q u e / " é sempre positiva; logo, em x — 0 bá um mínimo. Visto j"{x) > 0, a derivada de primeira ordem jf(x cresce sempre, nao podendo ser igual a zero em nenhum outro ponto, de modo que x — 0 fornece, realmente, o menor valor de/(x). Este valor mínimo é, portanto, dado pelo triângulo isósceles.

Semelhantemente, determinaríamos que, de todos os triângulos de mesmo y I perímetro e mesma base, o isósceles

é o que apresenta maior área. Ex. 3. Achar um ponto, sobre

uma reta dada, cuja soma de suas distâncias a dois pontos fixos seja mínima.

Seja dada a linha reta e os dois pontos A e Z3, situados num mesmo lado da linha. Desejamos determinar um ponto P da reta, tal que a distancia PA + PB tenha o menor va-

F i g . 1 2 . - L e i da reflexão , Q r p o s s í v e L

Faremos o eixo dos x coincidir com a linha dada e empregaremos a noLação da fig. 12.

A distância procurada será f(x) = V * 3 + Ir + V " ( s - a ) 2 + h,\

donde obteremos x x — a

h2

h

0 0 * to "~——• »n

V > + / r V ( x - a ) - - M , - '

1 - f x - aY-j (x) _ + ^ 2 + jr, + V f ( x - a ) 2 + hr}1

+ -V ( x - a ) - +

V ( x 2 + / r ) 3 ' y[(x-a)- +JI,2}3' À e q u a ç ã o j'{x) = 0 d á , p o r c o n s e g u i n t e ,

£ e t -

c u

V í 2 - f - / r V ( £ - a ) 2 + / l i 2 '

c o s a = c o s jS,


o que significa que as duas l i n h a s PA e PB devem fazer ângulos iguais com a reta dada . O s inal pos i t ivo d e / " ( x ) m o s t r a que, na real idade, temos u m mínimo.

A solução deste p r o b l e m a está i n t i m a m e n t e l igada à lei d a reflexão da óptica. Pelo importante princípio d a óptica, conhecido como princípio do tempo mínimo, de F e r m a t , a trajetória de u m r a i o luminoso é determinada pela propriedade de que o tempo gasto pe la l u z p a r a i r do ponto A ao B, sob condições conhecidas, deve ser o menor possível. S e o ra io luminoso satisfizer à condição de passar por u m ponto de u m a re ta d a d a (digamos, u m espelho), vemos que o tempo mínimo será o fornecido pelo ra i o p a r a o q u a l o "ângulo de incidência" for igual ao "ângulo de reflexão".

Ex. 4. Lei da rejração.— S e j a m dados os dois pontos A e B, situados em lados opostos do eixo dos x. Q u e trajetória de A para B corresponde ao menor tempo possível, se a veloc idade em u m dos lados do eixo dos x for c x e no outro c 2 ?

y 4 A \ h

p >•,

ü X ü

B

Fig. 13.—Lei da refração

É claro que a menor trajetória será constituída de dois segmentos retos que se encontram no ponto P, sobre o eixo dos x. Empregando-se a notação da f ig. 13, obteremos as duas expressões V A 2 + x a e - v V + (a - x ) 2 , p a r a os comprimentos PA e PB, respect ivamente, encontrando-se o tempo de percurso dividindo-se os compr imentos dos dois segmentos pelas velocidades correspondentes e tomando-se os resultados. Teremos , então, o t empo empregado

J(x)

P o r derivação, obtemos

~ V / ! 2 + x 2 + ~ - v V - i - ( a _ xyt

Li 6 2

1- X

C l V / i 2 + x 2 C s V / i , 2 + {a-xf

l h 2 1 h2

Ci V ( / i 2 + x 2 ) 3 c^[h* + (a-xY

Conforme vemos i m e d i a t a m e n t e n a f i gura , a equação j'{x) = 0, isto é,

] x 1 a - x


é equivalente à condição — sen a = - sen p, ou Cj c 2

sen a ct

sen (3 c 2

Deixaremos ao leitor demonstrar que existe somente um ponto que satisfaz esta condição e que tal ponto conduz, efetivamente, ao menor valor procurado. A significação física do nosso exemplo estende-se, ainda, ao princípio óptico do tempo mínimo. U m raio luminoso percorre o espaço existente entre dois pontos no tempo mais curto. Chamando se c, e Cj as velocidades da luz e m cada região limítrofe de dois meios ópticos, o caminho percorrido pela luz será dado pela fórmula deduzida que, conseqüentemente, representa a lei da refração de Sne l l .

E X E M P L O S

1. Determinar os máximos, mínimos, e pontos de inflexão das seguintes f u n ções. Construir os gráficos correspondentes, determinando as regiões de crescimento e de decréscimo, assim como a concavidade:

(a) x3 - 6x 4- 2. (b) x2,3(l - x). (c) 2x / ( l 4- x 2 ) . (d) x 3/(x* + 1). ifi) s en 2 x.

2. Determinar os máximos, mínimos e pontos de inflexão de x 3 4- Zpx 4- q. Discut ir a natureza das raízes de x 3 4- 3px 4- q = 0.

3. Qua l é o ponto da hipérbole y 2 - y>%~ = 1, mais próximo de x = 0, y ==» 3 ? 4. Seja P u m ponto fixo de coordenadas x u , y0, s i tuado no primeiro quadrante

da u m sistema de coordenadas retangulares. Estabelecer a equação de uma l inha que passe por P , de modo que o segmento compreendido entre os dois eixos seja mínimo.

5. U m a estátua com 3,60 m de a l tura está colocada sobre u m pedestal com 1,00 m de alto. A que distância deve estar um homem c o m 1,80 m de altura, para que a estátua abranja o maior ângulo possível?

6. Duas fontes luminosas, de intensidade a e b, estão separadas pela distância d. Que ponto d a l inha , que une os dois focos, recebe menor quantidade de l u z ? (Admitiremos que o i luminamento é proporcional à intensidade e inversamente proporcional ao quadrado da distância.)

7. Determinar , entre todos os retângulos d a mesma área: (a) o que apresenta menor perímetro; (6) aquele que tem a menor diagonal.

, - y' 8. Inscrever o retângulo de área máxima na elipse — 4- — = 1.

a 2 b2

9. Sejam a e 6 os dois lados de u m triângulo. Determinar o terceiro, de forma que a área seja máxima.

10. A l inha g, distando h do centro, divide o círculo de raio r em dois segmentos. Inscrever, no menor destes segmentos, o retângulo de área máxima.

11. Determinar o cilindro de área mínima, entre todos os cilindros circulares do u m volume dado.

III] MÁXIMOS E MÍNIMOS 167 12. Dados a parábola y 2 = 2px, p > 0 , e o ponto P(x - £, y = 17), iriterior à

mesma (J72< 2p£), determinar o caminho mais curto (formado por dois segmentos retos) entre o ponto P e o ponto Q da parábola, e deste ao foco F(x = Y%p, y — Q). Demonstrar que o ângulo FQP ê d iv idido em duas partes iguais pela normal à parábola, e que QP ê paralela ao eixo da curva. (Princípio dos espelhos parabólicos.)

13. * Os prismas desviam os raios luminosos que incidem perpendicularmente às suas arestas. Qua l deve ser a posição relativa do prisma e do raio de luz, para que o desvio seja mínimo ?

14. Dados n números fixos, a h . . . , aa, determinar x de tal modo que 2 (a; - x ) a

seja mínimo. 4 = 1

15. Provar que, se p > 1 e J > 0, x p - 1 è p{x - 1). sen x 2 r

16. Verificar a desigualdade 1 2; 2: - , 0 á x ^ -. x ir 2

ir 17. Demonstrar que (a) tg x è x, 0 ú x â - .

(6) cos x 1 - —. 2

18. * Dados ax > 0, a 3 > 0 , . . . , « „ > 0, determinar o mínimo de Ci + . . . + a„_i + x

n

" v a : a 3 . . .a n _!X

para x = 0. Empregar o resultado para demonstrar, por indução matemática, que 111 a, 4- . . . + a„ V a i a 2 . . .a„ ê •

n

6. FUNÇÕES E X P O N E N C I A L E LOGARÍTMICA

As relações sistemáticas entre o cálculo diferencial e o cálculo integral conduzem-nos, naturalmente, a um método conveniente para estabelecermos a interdependência existente entre as funções exponencial e logarítmica. Embora já tenhamos estudado estas funções (págs. 25 e 69), vamos defini-las de novo, desenvolvendo sua teoria sem recorrermos à definição anterior, nem aos resultados já obtidos. Iniciaremos com a função logarítmica, tratando, então, a função exponencial como sua inversa.

1. Definição de logaritmo. Fórmula de derivação.

Já vimos que a integração indefinida da potência xn para valores inteiros do expoente n, conduz-nos, em geral, a uma potência de x.

168 D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O Í C A P .

A única exceção é a função l / x , que não representa der ivada de qualquer das funções de que tratamos até agora. É n a t u r a l supor que a integral indef in ida de l/x forneça u m a n o v a espécie de funções. Ass im, desenvolvendo esta idéia, passaremos a investigar a função

para x > 0 . Chamá-la-emos logaritmo de x, ou , mais precisamente, logaritmo natural de x, e escreveremos y = log x ou y = nat log x. Designaremos a variável de integração por £ p a r a evitar confusão com o l imite superior x.

A escolha do número 1 como l imi te inferior é inteiramente a r b i trária, porém, em breve, demonstraremos a sua conveniência.

N o desenvolvimento destes raciocínios veremos que o logaritmo que acabamos de definir é o mesmo que já tivemos estabelecido (pág. 70)

por "método e lementar" . M a s , como f r i samos novamente, os resultados a que chegaremos são completamente independentes dos j á obtidos anteriormente.

Geometricamente, a função logarítmica é representada pela área tracejada na fig. 14, a qual é limitada, em cima, pela hipérbole retangular y — 11%, embaixo, pelo eixo dos £, e, lateralmente, pelas linhas £ = 1 e £ = x. Esta área será positiva, se x > 1, e negativa quando

F i g . 14.—Bepresen tacão de log x como área

x < 1. Para x = 1 a área é nula e, portanto, log 1 = 0.

D e acordo c o m a definição supra, a der ivada do logaritmo é dada pela fórmula

djlog x)

dx

Neste caso, chamaremos expressamente a atenção que supomos sempre o argumento x posit ivo. E m face d a fórmula deduzida, o l o gar i tmo de 0 ou de qualquer valor negativo não pode ser formulado, pois o integrando l / f torna-se inf in i to , desde que £ = 0. P o r outro lado, se tomarmos qualquer quantidade negat iva , digamos - 1, para

III] FUNÇÕES E X P O N E N C I A L E LOGARÍTMICA 169

b'mite inferior, poderemos formar a integral com um limite superior x, isto é. podemos considerar a expressão

- (x < 0). -í £

Devido ao significado da integral como limite de uma soma ou como uma área, vemos que, para x < 0,

De conformidade com o que ficou estabelecido, podemos, em geral, escrever a fórmula da integração indefinida, do modo seguinte

'dx Pdx

O logaritmo pode, naturalmente, ser representado por uma curva. E s t a linha, a curva logarítmica, está representada na fig. 15 e já vimos como construí-la (págs. 119 e seg.).

2. T e o r e m a d a a d i ç ã o .

O logaritmo, definido como o fizemos acima, obedece à seguinte lei fundamental:

log(aò) = log a + log b.

O

F i g . 15

A demonstração deste teorema da adição decorre diretamente da fórmula da derivação. Se escrevermos z = log (ax) e aplicarmos a regra da cadeia, obteremos

dx 1

ax a = -• x

M a s d 1 — log x — -; dx x

visto as funções z e log x terem a mesma derivada, poderão diferir somente por uma constante, de sorte que z = log x -f- c, oa

log ax = log x -f- c.


Isto sendo verdadeiro p a r a todos os valores posit ivos de x, faremos, pr imeiramente , x = 1 p a r a determinarmos c; como log 1 = 0, temos

log a — c.

S u b s t i t u i n d o este va lor por c, virá log ax = l og x + log a,

donde, p a r a x = b,

log ab = log a - f log ò,

como queríamos p r o v a r . A equação

l o g O i a ? • • -an) = log d ! + log ao + . . . - f log an

é deduzida do teorema da adição dos logar i tmos , para os números posit ivos quaisquer a\, a2>. .., an.

P a r t i c u l a r m e n t e , se todos os números au a2, . . . , an, forem iguais ao mesmo número a, obteremos

log an = n log a.

Semelhantemente , segue-se que 1

log a + log - = log 1 = 0 , a

1

de modo que l og a = — log -.

Se, além disso, f izermos = a, virá log a = n l og a, ou

log ?]a = log a1!n — - log a. n

Daí vemos que, empregando repet idamente o teorema da adição, quando m for inte iro e pos i t ivo ,

m . •—log a = log 7 \ 'a m = log am!n.

A equação log ar — r log a

f i ca , assim, ver i f i cada para qualquer va lor pos i t ivo rac ional de x, sendo, também, verdadeira , como é c laro, p a r a r — 0 . P a r a os valores racionais negativos d e r a equação a inda é válida porque, então,

1 log ar = log — = - log a~r = r log a .

III ] F U N Ç Õ E S E X P O N E N C I A L E L O G A R Í T M I C A 171

3. Caráter monótono e valores do logaritmo.

O va lor do logaritmo cresce, naturalmente, à m e d i d a que x cresce, decrescendo quando x d i m i n u i ; o logaritmo ê, pois, u m a função monótona.

E m v i s t a d a der ivada l/x tornar-se cada vez menor à med ida que x cresce, a função aumenta de v a l o r , sempre mais lentamente, ao passo que x v a i crescendo. Não obstante , desde que x cresça além de q u a l quer l imi te , a função log x não tenderá para u m l i m i t e posit ivo, mas se torna in f in i ta , isto é, p a r a qualquer número pos i t ivo A, por maior que seja, haverá sempre valores de x para os quais l og x > A. Isto se deduz, simplesmente, do teorema da adição. E m v i s t a de log 2" = = n log 2 e log 2 ser u m número posit ivo, fazendo-se x — 2n e tomando-se n suficientemente grande, obteremos log x tão grande quanto desejarmos.

C o m o log( l /2 n ) = - l og 2, vemos que, à medida que x tende para zero, através de valores pos i t ivos , log x é negativo e cresce, numericamente, além de qualquer l i m i t e .

A função log x é monótona e verifica-se para qualquer valor entre - o o e + c o , à medida que a variável independente x v a i assumindo todos os valores da seqüência dos números.

4. Função inversa da logarítmica (função exponencial).

E m v i s t a de y = log x (x > 0) ser u m a função monótona de x que admite qualquer va lor rea l , a sua função inversa , que designaremos inic ialmente por x = E(y), deve ser u m a função monótona unívoca, definida para todos os valores reais de y. A inversa é, t a m bém, derivável, porque log x é, por sua vez, derivável. Permutaremos a notação das variáveis dependentes e independente e passaremos ao estudo detalhado da função E(x). Inicialmente, a mesma deve ser, evidentemente, pos i t iva p a r a qualquer valor de x. E m seguida, devemos ter

£ ( 0 ) = 1;

porque esta equação equivale ao enunciado: log 1 = 0. D o teorema da adição p a r a os logaritmos deduz-se, imediatamente,

o teorema da multiplicação

E(a)E(B) = E{a + 0).


P a r a prová- lo , b a s t a notar que as equações

E{a) = a, E(fi) = 6, E{a-+ /3) = c

são equivalentes a

a. = log a, /3 = l og ò, a + @ — l og c.

0 teorema d a adição permi te escrever a + /3 = log aô, por tanto , deve ser verdade que c = aò, o que j u s t i f i c a o t e o r e m a da multiplicação.

Deste teorema deduz imos u m a propr iedade fundamenta l de y = E(x), que nos a u t o r i z a a denominar esta função de função exponencial, e escrevê-la, s imbo l i camente , sob a f o r m a

y = ex.

P a r a estabelecer esta propr iedade , observaremos que deve existir u m numero — que chamaremos ( 1 ) e — p a r a o q u a l

l og e = 1.

Isto equivale à definição

E(l) = e.

E m p r e g a n d o o t eorema d a multiplicação p a r a a função E(x), virá

E{n) = en,

e, d a m e s m a f o r m a , p a r a m e n inte iros e pos i t i vos ,

que poderíamos, também, ter encontrado d i re tamente , p a r t i n d o do teorema d a adição dos logar i tmos .

A equação E(r) = er ass im estabelecida, p a r a os números r r a c i o nais e pos i t ivos , t e m lugar , também, p a r a números racionais negat ivos , c m face d a equação

E(r)E(- r) = E(0) = 1.

A função E(x) ê, p o r t a n t o , contínua p a r a todos os valores de x, e coincide com e z , p a r a os valores rac ionais de x. E s t e s fatos a u t o r i z a m -nos a a d m i t i r a função ex, também p a r a qua i squer valores i rrac ionais

(>) S u a identidade c o m o número e apresentado n a pág. 43 será demonstrada no N . " 6 (pág. 175).


de x (Devemos observar, neste caso, que a continuidade de ex ê conseqüência imediata de sua definição como função inversa de uma função inversa de uma função contínua monótona, enquanto que, se adotássemos a definição elementar, deveríamos demonstrar tal continuidade.)

A função exponencial é derivada de acordo com a fórmula

BÊÊÊm

mSÊÊÊÊ wÊSÊÊi

~-ex = ex ou y dx

r

exprimindo o fato importante de que a derivada da junção exponencial é a própria junção.

A demonstração é extremamente fácil. Temos x = logy, donde, pela fórmula de derivação dos logaritmos, dx 1 — = -, e, pela regra das funções dy y inversas

dy dx = y = e3

como tínhamos enunciado.

O gráfico da função exponencial e1, a curva exponencial, corno é denominado, é obtido pela reflexão da curva logarítmica em relação à bissetriz do primeiro quadrante, como está indicado n a fig. 16.

Fig. 16.—Função exponencial

5. Funções exponencial geral ax e potência geral x".

A função exponencial ax para uma base positiva qualquer, a, pode, agora, ser definida facilmente, pela equação

y = a* = exlQB\

(*) Se anteciparmos que o número e, de que estamos tratando, 6 idêntico ao que já encontramos antes (o que será demonstrado na pág. 175), teremos provado que a presente definição nos conduz à mesma função exponencial de base e, que estabelecemos anteriormente, partindo do processo de elevação a potências. De acordo com a definição elementar, deduzimos os valores de e para x irracional, considerando-os como os limites de e I n , onde x* assume os valores de uma seqüência de números racionais, com o limite x.


que coincide c o m a ant iga definição, em v i s t a da equação

E m p r e g a n d o - s e a regra da cadeia , obtém-se imediatamente

d d a x = ex[oga = g r c l o g a ^ J Q g fl

dx dx ° '

= a 1 I oga . A função i n v e r s a d a exponenc ia l y — ax é c h a m a d a logaritmo

de base a, escrevendo-se

x = l o g a y .

A função logarítmica p r e v i a m e n t e i n t r o d u z i d a , quando for preciso estabelecer-se distinção entre elas, será d e n o m i n a d a logari tmo n a t u r a l o u l o g a r i t m o de base e.

D a definição t ira-se imed ia tamente

log y = x log a = l o g a y. log a ,

o que nos m o s t r a que o l ogar i tmo de y , em u m a base pos i t i va q u a l quer, a 4= 1, é obt ido mul t ip l i cando - se o l o g a r i t m o n a t u r a l de y pe la recíproca do l o g a r i t m o n a t u r a l de a, o u seja, o módulo do s istema de l ogar i tmos de base a

E m lugar d a definição j á apresentada d a potência geral xa = (x >0) , def iniremos, agora , esta potência, por m e i o d a equação

,fCL _ _ „a l o g X

A regra p a r a a derivação de xa decorre i m e d i a t a m e n t e da definição empregando-se a r e g r a d a cadeia, p o r q u a n t o

d a — Xa = ea l o g x . - = ax"-1, ax x

co inc id indo com o resu l tado que havíamos o b t i d o (pág. 155).

(!) Se fizermos a = 10, teremos os logaritmos ordinários o u de " B r i g g s " , os quais j á foram estudados na matemática elementar, sendo de grande vantagem nos cálculos numéricos.

6. Representação d a função e x p o n e n c i a l e dos l o g a r i t m o s como l i m i t e s .

Estamos, agora, em condições de estabelecer importantes relações entre os limites das quantidades introduzidas acima. Começaremos com a fórmula para derivar a função f(x) = log x,

1 r,, s X* + A> i 0 S (* + h ) - l Q g X

- = J (x) = l i m r = hm r x h~>o h h~>Q h í r h\

= h m v log I l + ~ ). h-*o ii V

Se fizermos l / x = z, teremos 1

l i m - r l o g ( l + zh) = 2-

Já que a função ex é contínua para todos os valores de .r, isto i m plica em ser

e = l im eP<*(i+rA)/Ai = l i m (1 + . . (a) /i->0 h->0

1 1

Se, particularizando, atribuirmos a h a seqüência de valores 1,

1 obteremos

n

„ ' i m . ( i + 0 " = f í ( 6 )

Se, por outro lado, dermos azo valor 1, a fórmula (a) permite a seguinte verificação importante:

À medida que h tende para zero, a expressão (1 + h)llh aproxima-se do número e:

l i m (1 + h)líh = e. h->Q

A fórmula (ò), por seu turno, dá l i m ( l + ~ j =e,

provando que o número e de que estamos tratando é o mesmo que representamos pelo símbolo e na pág. 43.

D a fórmula de derivação para ax, ax+h _ ax

ax log a — l i m — ,


deduzimos, fazendo x = 0 , ah-l

log a = l i m — r — , A-*O n

expressão esta que exprime o logaritmo de a, diretamente como u m l imite .

Acrescentaremos que esta equação permite completar a relação

l xadx = — — f ò a + 1 - ax+1)

a + 1 •

já estabelecida e para a qual fomos sempre obrigados a excluir o caso em que a = 1. A g o r a , entretanto, podemos verif icar o que acontece quando a tende para o limite - 1 . Se fizermos a — 1, o primeiro m e m bro, pela definição de logaritmo, terá o l imi te ( 1 )

bdx — = log b;

i x

ao passo que o segundo membro terá o mesmo l imite , quando a -* - 1. E s t a verificação está, aliás, de acordo com a fórmula

bh-l log ò = l i m , ,

h-o n

bastando, apenas, fazer a + 1 = h. Esclarecemos, assim, o caso excepcional em que a — -1, na fór

m u l a de integração que empregamos tantas vezes. A expressão carece, a inda, de significado quando a = - 1, porém, t em u m sentido defi nido, como fórmula de l imite , quando a -* - 1 .

7 . Observações f i n a i s .

Vamos recordar, de modo sucinto, a ordem de idéias seguida nesta seção. D e início, definimos o logaritmo n a t u r a l y = log x para x > 0, por meio d a integral , e deduzimos, imediatamente, a fórmula de derivação, o teorema d a adição e a concluímos pela existência de uma função inversa. Estudamos , então, a função inversa y = ex, ver i f i cando que o número e possui o logaritmo 1 , e deduzimos a fórmula

C1) Efetuamos a passagem ao limite a -* — 1, sob o sinal d a integral, sem nos preocuparmo» com Investigações posteriores (págs. 128 e seg.).

III] FUNÇÕES LOGARÍTMICA E E X P O N E N C I A L 177

de derivação correspondente, assim como as expressões limites para ela e para a função logarítmica. Seguiu-se, naturalmente, a introdução das funções y = xa — e a l o g I e y = ax — exl°8a*

No estudo que acabamos de proceder, contrastando com o que acontece nos processos "elementares", a questão da continuidade não acarreta dificuldades, visto considerarmos o logaritmo como integral e, portanto, como função contínua e derivável, cuja função inversa é, também, contínua.

E X E M P L O S

1. Empregando papel quadriculado e uma escala grande, esboçar o gráfico 1

da função y = - (1 á a; á 2) e determinar loge 2, contando os quadrados. x

Der ivar as funções dos exemplos 2 a 5:

2. x(log x - 1). 4. log [x + V1 + x*]. 3. log log x. 5. log ( V l + log x - sen x).

Va;2 + 1 6. Der ivar log — ; (a) empregando as regras da cadeia e dos quocientes,

V 2 + x sem simplificar inicialmente; (6) simplificando, primeiro, por meio do teorema sobre logaritmos.

^ . ^ 7 x 2 + 1 7. (a) Der ivar y — —

- V z - 2 Vx 4 + 1 (b) Der ivar a mesma função, primeiramente tomando os logaritmos e s impl i

ficando depois.

8. * Dado l im en = 0, demonstrar que l im I 1 + I = 1 . n —»co u - í o j \ Tis

9. Mostrar que a função y = e~ax (a cos x + ò sen x) satisfaz à equação y" + 2*y' + (a2 + l)y = 0

para quaisquer valores de a e b.

10* Demonstrar que — (e-i/a=2) = —^— erV*2, quando x 4= 0 e Pu(x) fôr dx" x3'

um polinómio de grau 2 n - 2 . Estabelecer a "fórmula de recorrência", P»+i(aO = (2-3nx2)Pa(x) +x3Pa'(.x).

11. Determinar o máximo de y = x\aer*x, considerando X e a como constantes. Achar o lugar do máximo, quendo se permite a variação de X.

12. Der ivar (a > 0). 13. Der ivar aaf>nx^°s^2.


7. A P L I C A Ç Õ E S D A F U N Ç Ã O E X P O N E N C I A L

Nesta seção consideraremos alguns problemas variados, envolvendo a função exponencial, a f i m de que tenhamos uma visão ampla da importância fundamental que ela tem nas aplicações.

1. Definição da função exponencial por u m a equação diferencial.

U m simples teorema, cujo emprego evitará indagações minuciosas em muitos casos particulares, define perfeitamente a função exponencial.

Se a função y = f(x) satisfizer urna equação do tipo

y=ay

em que a é uma constante, diferente de zero, y assume a forma

y = Ãx) = ce*\

onde c é, também, uma constante; inversamente, cada função da forma ce*" satisfaz a equação y ' = ay . Abreviadamente nos referimos à últ i m a expressão, chamando-a equação diferencial, visto exprimir u m a relação entre a função e a sua derivada.

A f im de tornar claro o teorema, notaremos, em primeiro lugar, que, no caso mais simples, isto é, quando a — 1, a equação reduz-se a y' = y. Sabemos que y — ex satisfaz esta relação, sendo claro que o mesmo valerá para y = ceT, quando c for u m a constante arbitrária. Inversamente, vemos com facilidade que nenhuma outra função satisfaz à equação diferencial. Se y for u m a função desta espécie, tomemos a função u — ye~x. Devemos ter, então,

u! = y> g-x _ y€r* = e~x(y' - y).

O segundo membro, porém, se anula, visto que admitimos y' = y, donde u' = 0 , u é a constante c e y = cex, como queríamos provar (págs. 1 1 4 e seg.).

O caso de qualquer valor de a diferente de zero, pode ser desenvolvido do mesmo modo que o caso especial em que a = l . Se introduzirmos a função u — ye~ax, chegaremos à equação u' —y'e~ax—a.ye~ax. Logo, tiramos da equação diferencial, u' = 0 , de modo que u = c e y = ceaX. A recíproca é evidente.

III] FUNÇÃO E X P O N E N C I A L 179

A fim de tornar o teorema mais compreensível, aplicá-lo-emos a alguns exemplos.

2. Juros compostos contínuos. Desintegração radioativa.

U m capital cujos juros são adicionados em períodos regulares de tempo cresce, por saltos, nestes períodos, d a seguinte maneira . Se 100a íôr a t a x a dos juros por cento e se, ademais, o juro produzido fôr somado ao capital no f i m de cada ano, a quantia acumulada por u m cap i ta l or ig inal 1, no f im de x anos, será

Se, entretanto, somarmos o juro ao capital , não no f im de cada ano, mas no fim de cada n 6 ' 1 *"" parte do ano, a quant ia produzida no fim de x anos elevar-se-á a

Se fizermos x = 1 para s impli f icar , isto é, computando o juro n a base de 100a ao ano, acharemos o valor do capi ta l or ig inal 1, no f im de u m ano, calculando o juro nesta base,

Se, agora, imaginarmos que n cresce além de qualquer l imite, isto é, se calcularmos o juro em intervalos cada vez mais reduzidos, o caso limite significará que o juro é composto continuamente, em cada instante. Vemos, então, que a quant ia acumulada no f im de u m ano se.rá ea vúzes o capital or ig inal . D a mesma forma, calculando-se o juro desta maneira , o cap i ta l in i c ia l 1 atingirá, no f im de x anos, e°x, podendo x ser um número qualquer, inte iro ou não.

A discussão apresentada no n.° 1 (pág. 178) constitui a ordem de idéias à luz da qual exemplos deste tipo são rapidamente compreensíveis. Consideremos uma quantidade, representada pelo número y, que cresce (ou decresce) com o tempo. Seja a razão pela qual esta quantidade cresce ou decresce, proporcional à quantidade total. Se tomarmos o tempo como variável independente x, obteremos, para a razão do crescimento, u m a expressão d a forma y' = cxy, onde a , fator de proporcionalidade, é positivo ou negativo, conforme a quantidade seja crescente ou decrescente. D e acordo, então, com o N.° 1, a própria quantidade y será dada por

em que o significado da constante torna-se claro, imediatamente, considerando-se o instante x = 0. Neste instante, &*x = 1 e, por conseguinte, c = y„ representa a quantidade no começo do tempo considerado, de sorte que podemos escrever

(1 + « ) * .

y mt ceax,

y = y o e c * E

180 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO [ G A P .

U m exemplo característico do emprego destas idéias é proporcionado pela desintegração radioativa. A. razão segundo a qual a quantidade total y de substânc ia radioat iva d iminui , em cada instante, ê proporcional à quantidade remanescente no instante considerado. A. afirmação é plausível, a priori, visto cada partícula da substância decrescer tão rapidamente como qualquer outra. Portanto, a representação da quantidade y da substância, como função do tempo, satisfaz uma equação d a forma y' = - ky, onde k será positivo, desde que estejamos considerando u m a quantidade que está decrescendo. A quantidade de substância será, então, expressa, em função do tempo, por y = v 0 6 - k x j onde y 0 é o acréscimo d a substância no início do tempo considerado (instante x = 0).

Depois de u m certo tempo r a substância radioat iva terá diminuído metade do vatar original. Este tempo, denominado semiperíodo, é fornecido pela equação

JAyQ = yi>e~kr,

donde obtemos, imediatamente, T = . fe

3. Resfriamento ou aquecimento de um corpo pelo meio circundante.

Outro exemplo típico da ocorrência da função exponencial é proporcionado pelo resfriamento de um corpo, por exemplo, uma placa metálica imersa em um banho de grandes dimensões, a u m a dada temperatura. Admitimos, de início, que o banho é tão grande que a sua temperatura não é afetada pelo processo de resfriamento. Imaginaremos, em seguida, que em cada instante dado, todas as partes do corpo têm a mesma temperatura e que a razão segundo a qual a temperatura varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio que o cerca (lei do resfriamento de Newton) .

Se representarmos o tempo por x e a diferença de temperaturas por y =» y(x), a lei do resfriamento será traduzida pela expressão

y' = - ky,

em que k é uma constante positiva cujo valor depende do próprio corpo. Desta relação instantânea, que exprime o efeito do processo de resfriamento num dado instante, pretendemos, agora, derivar uma " l e i integra l " que permita encontrar a temperatura num tempo arbitrário x, partindo da temperatura no tempo inic ial x — 0. O teorema do n . u 1 (pág. 178) fornece a lei integral, imediatamente, sob a forma

y = ce" k x , onde fe é a já mencionada constante que depende do corpo. Isto indica que a temperatura decresce "exponencialmente" e tende a tornar-se igual à temperatura externa. A. rapidez com que o fato se verifica, é expressa pelo número fe. Como anteriormente, podemos determinar a constante c, considerando o instante x = 0. Teremos, então, ya = c, o que nos permite escrever a lei do resfriamento sob a forma final

y => yoíT1".

III] FUNÇÃO E X P O N E N C I A L 183

É claro que discussão semelhante pode ser aplicada ao aquecimento de um corpo. A única mudança reside na diferença inic ia l de temperatura y0 que, no caso do aquecimento, é negativa, e m vez de posit iva.

4. Variação da pressão atmosférica com a altura, acima da superfície da terra.

Como mais um exemplo d a ocorrência da fórmula exponencial, deduziremos a lei segundo a qual a pressão atmosférica var ia com a altura. Empregaremos aqui : (1) a verificação física, segundo a qual a pressão atmosférica é igual ao peso de u m a coluna vertical de ar sobre a superfície unitária, e (2), a lei de Boyle , que estabelece que a pressão do ar (p) a uma temperatura constante é proporcional à densidade do ar (o-). A lei de B o y l e , expressa em símbolos, é: p = aa, onde a representa uma constante que depende da propriedade física especificado ar , e mais ainda, é proporcional à temperatura absoluta — como supusemos a temperatura constante, não consideraremos esta última dependência. O problema resume-se, pois, na determinação de p = f(h) como função da altura h acima d a superfície da terra.

Se designarmos por p0 a pressão atmosférica n a superfície da terra, isto é, o peso total da coluna de ar suportada pela área unitária, epor <r(X) a densidade do ar na altura X sobre a superfície da terra, o peso da coluna de ar até à altura h

r h

será dado pela integral / cr(X)c?X. A pressão, em h, será, portanto, J o

rh P =J(h) = p 0 - *(X)dX.

•J o

Derivando esta fórmula, obtemos a seguinte relação entre a pressão p = f(h) e a densidade a(h):

c(h) =-j'(h)=-p'.

Se empregarmos, agora, a lei de Boyle , eliminaremos o-, obtendo 1

P'- P a

equação que contém unicamente a função-pressão como incógnita. D a pág. 178 segue que

P = J(h) = ce _ h / » .

Se, como já o fizemos, chamarmos a pressão na superfície da terra, isto é, /(O) por po, obteremos, imediatamente, c = ptt, e, por conseqüência,

P = Kh) = Poe-h'\

Passando aos logaritmos, obtemos


E s t a s duas fórmulas são freqüentemente empregadas. P o r exemplo, se a constante o for conhecida, permite-nos calcular a a l tura de u m lugar, partindo d a pressão barométrica, ou determinar a diferença de a l t i tude de dois lugares, medindo a pressão atmosférica em cada u m deles. Aliás, se a pressão atmosférica e a alt i tude h forem conhecidas, pode-se determinar a constante a que é da maior importância n a teoria dos gases.

5. Reações químicas. Consideremos, agora, u m exemplo referente à química, a saber, a cbamada

reação unim.olecu.lar. Suponhamos que uma substância é dissolvida n u m a q u a n t i dade relativamente grande de solvente, digamos, u m a certa quantidade de açúcar de cana, e m água. Se uma reação t iver lugar, a lei química d a ação das massas estabelece, neste caso simples, que a velocidade da reação é proporcional à quant idade dos reativos presentes. Suponhamos que o açúcar de cana está sendo transformado, por ação catalítica, em açúcar invert ido , representando por u(x) a q u a n tidade de açúcar de cana que no instante x a inda se encontra inalterada, a velocidade da reação será — dujdx, e de abordo com a le i d a ação das massas, teremos u m a equação da forma

du — = -ku dx

onde k representa u m a constante que depende da substância reagente. Des ta lei instantânea obtemos, imediatamente, como na pág. 178, uma lei integral, que dá a quantidade de açúcar em função do tempo:

u(x) = ae~kx.

Esta fórmula mostra, claramente, como a reação química tende, assintòticamente, para a sua fase f inal , u = 0, isto é, a transformação completa de todo o açúcar. 5. constante a é, como é fácil deduzir, a quantidade de substância existente no tempo x = 0.

6. Abertura e fechamento de circuitos elétricos. Como exemplo f inal , estudaremos o acréscimo de u m a corrente elétrica (con

tínua), quando o circuito é restabelecido (ou o seu decréscimo quando é cortado). Seja R a resistência do circuito e E a força eletromotriz (voltagem). A corrente / crescerá gradualmente desde o seu valor or ig inal 0 até o valor final E/R. Temos, pois, que considerar I como função do tempo. 0 crescimento da corrente depende da indução-própria do circuito; o circuito possui u m a constante característica L, o coeficiente de self-indução, de t a l natureza que u m a força eletromotriz, de grandeza Ldl/dx, oposta à força eletromotora externa E, se desenvolve, à medida que a corrente cresce. D a lei de O h m , que estabelece que e m cada instante o produto da resistência pela corrente é igual à voltagem efetiva existente, obtemos

dx

http://unim.olecu.lar

ÍII] F U N Ç Ã O E X P O N E N C I A L IC<3

Escreveremos, então,

j(x) = J ( x ) - | ,

R deduzindo, imediatamente, que j'{x) « - -j(x), e, pelo teorema da pág. 178,

Í? = J ( 0 ) e " R l / L . Recordando que 1(0) = 0, vemos que/(O) = , vindo a ex-

R pressão

E E I=Jfr) + -= = -a~e-^)

li li

para a corrente em função do tempo. A expressão indica que, quando o circuito 6 fechado, a corrente tende, assin

tòticamente, para o seu valor f inal EjR.

E X E M P L O S

1. A função j(x) satisfaz a equação / ( x + y ) = / ( x ) / ( y ) .

(a) Se /(x) fôr derivável, tanto se j(x) = 0, como se f(x) = e<**. (6)* Se jí(x) fôr contínua, tanto se J(x) = 0, como sc J(x) — e°x.

2. Se uma função j{x) fôr derivável e satisfizer a equação

/ f c y ) = » / ( * ) + / ( y ) , teremos /(x) = a. log x.

3. U m a quantidade de rádio pesa 1 g no instante t — 0. N o tempo t = 10 anos ela d iminuiu para 0,997 g. Quanto tempo será necessário para ficar reduzida a 0. 05 g ?

4. Resolver as seguintes equações diferenciais:

(a) y' = a ( y - / 3 ) . (c) y' ~ay = j3e**. (6) y ' - a y = /3. (d) y' - ay = (Ser*.

8. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

1. D e f i n i ç ã o a n a l í t i c a .

A função exponencial não se apresenta sozinha, em muitas aplicações, mas sim, em combinações da forma

1 1 - (ex + e-*) ou - (e* - e~*).

E conveniente estudar estas e outras combinações semelhantes como funções especiais. Representá-las-emos como segue:

181 DERIVAÇÃO E I N T E G R A Ç Ã O [CAP.

C h x = ex + e~

Thx = C o t i i x =

às quais chamaremos seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica e co-tangente hiperbólica, respectivamente. As funções S h x, C h x e T h a; são definidas p a r a todos os valores de x, ao passo que C o t h x exclui o ponto x = 0. E s t a notação foi estabelecida para expr i mir certa analogia com as funções t r igo nométricas, isto é, fo i esta analogia, que estamos em vias de estudar pormenori zadamente, que just i f icou a concepção especial deitas novas funções. A s f i gu ras 17, 18 e 19 mostram os gráficos das funções hiperbólicas. A s linhas pont i lha das d a f igura 17 são os gráficos de y = Vzex

e y = }4.e~x, a par t i r dos quais podemos construir facilmente as curvas correspondentes a S h £ e C h x.

Fig . 17

I F i g . 18

Vemos, assim, que C h x é u m a função par , isto ê, uma função que não se altera quando substituímos x por - x, enquanto que S h x é ímpar, visto mudar de sinal quando se troca x por - x (ver pág. 20).

III] FUNÇÕES HIPERBÓLICAS •1.85

A função

C h a : = e*4- e

ê, por definição, positiva para todos os valores de ar, assumindo o seu valor mínimo quando x = 0, ficando C h 0 = 1.

Entre Cha? e Shic existe a relação fundamental

Ch 2 a ; -Sh 2 2 r = 1, que decorre imediatamente da definição destas duas funções. Se designarmos a variável independente por t em vez de x e escrevermos

x — C h t, y = S h t,

teremos x2 - y2 = 1;

isto ê, o p o n t o de coordenadas x = Ch t, y = Sh t se move sobre a hipérbole equilátera x2-y2 = 1, quando t percorre toda a escala de valores, desde -<» até + c o . D e acordo com a equação da definição, xzèl, e vemos mais facilmente que y percorre todos os valores entre — °= e + 0 0 à medida que t o faz. Desta forma, ê tenderá para o infinito se / o fizer, enquanto que e~l tende para zero. Podemos, portanto, estabelecer, mais exatamente, que quando t percorrer os valores entre - <=o e J r c o , as equações x = C h t e y = Sh t darão um ramo, a saber, o da direita, da hipérbole equilátera.

2. Teoremas da adição e fórmulas para derivação. Das definições das funções que nos ocupam, deduzimos as fórmu

las conhecidas por teoremas da adição: Ch(a + b), = C h a C h .6 + Sh a Sh ò, S h ( a + 6) = S h a C k ò + C h a S h ò.

A demonstração ê obtida se escrevermos

Fig. 19

eaeb _ | _ e~ae

Ch(a + ò) =• ,—a a-b apb _ _ e~ae-h

Sh(íl + ò) = 2

186 D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O

e se f izermos, nestas equações,

e = C h a + S h a, e~a = C h a - S h a, e ò = C h ò - f S h 6 , ér6 = C h ò - S h ò .

A analogia entre estas e as fórmulas trigomonétricas correspondentes c evidente. A única diferença nos teoremas d a adição reside no s ina l da pr ime i ra fórmula.

A s fórmulas para a derivação apresentam analogias correspondentes. Recordando que d(ex)jdx — e*, podemos escrever C 1 )

d_ d , C h a ^ S h x , 7~ S h x = Chx,

dx dx

d 1 A 1

TxTh x = c b S ' dxCothx = -stfx

?>. Funções hiperbólicas inversas.

A s funções hiperbólicas x = C h t, y = S h í, correspondem funções inversas que designaremos por ( 2 )

t = A r e C h x, t — A r e S h y.

Vis to a função S h / ser monótona crescente, em todo o intervalo - co < t< -f- c o , a sua inversa será determinada para todos os valores de y . Por outro lado, basta deitarmos u m olhar ao gráfico (fig. 17, pág. 184) p a r a sabermos que / = A r e C h x não é definida u n i v o c a mente, apresentando ambigüidades de s inal , pois, a cada va lor de x • orrespondeni, não somente o número t, mas também, -t. A s s i m , a íonção inversa A r e C h x ê def inida somente para x ü 1, v isto a sua (unção p r i m i t i v a ser C h t ^ 1 p a r a qualquer valor de t.

Podemos representar estas funções inversas , muito comodamente, por meio dos logaritmos, considerando é = u, nas definições

é-\-e~l é — e~l

x = -j~> y = - y -

como incógnitas, e resolvendo estas equações (quadráticas) em re la ção a u. Teremos, então,

u — x dc Var - 1, u = y -f- V y 2 + 1;

(') Muitas vezes & conveniente introduzir as funções Sech x = 1 / C h x ; Cosechas =• 1/Sh.x. (*) Einproga-30, tambúrn, a notação C h - l x , etc. (Ver nota da pág. 148.)

III] FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 187

como ul — e pode assumir unicamente valores positivos, a raiz quadrada, na segunda equação deve ser tomada com o sinal positivo, ao passo que, na primeira, é possível outro sinal. Sob forma logarítmica, teremos,

/ = log (x ± Vcc2 - 1) = Are C h x,

t = log (y + V y 2 + 1) = Are Sh .x

N o caso de Are C h x a variável x é restringida ao intervalo x ^ 1, enquanto Are S h y é definida para todos os valores de y.

A fórmula apresenta dois valores, log (x + V x 2 - 1 ) e log (cc - Var - 1), para Are C h x, correspondentes aos dois ramos da curva. Desde que

(x+^x2-l)(x~-Jx2~l) = 1 a soma destes dois valores de Are C h z é zero, o que concorda com a observação feita acima.

As inversas das tangente e co-tangente hiperbólicas podem ser deduzidas de modo análogo, podendo igualmente ser expressas loga-r í tmícamente. Representaremos estas funções por Are T h x e Are Coth x. Indicando a variável independente por x, obtemos, imediatamente:

1 1 + 2

Are T h x = - log ^ _ x n ° intervalo - 1 < x < 1,

1 x + 1 Are Coth x = s log no intervalo x < - 1 , x < 1.

Z x — l A derivação destas funções inversas pode ser feita pelo próprio

leitor, que, neste caso, poderá usar tanto a regra para a derivação das funções inversas, como a regra da cadeia, juntamente com as expressões acima, representadas logaritmicamente. Se x for a variável independente, será obtido o seguinte resultado:

d 1 d 1 Are C h x = =fc , • , » - 7 - Are Sh x = dx V z 2 - 1 dx V x 2 + 1

d 1 d — Are T h x = : ;> -r Are C o t h x = -dx 1 - ar dx 1 - ar

As duas últimas fórmulas não se contradizem, visto a primeira somente ser verdadeira para -1< x< l e a segunda somente verificar-se

d para a?< - 1 e 1 < ai. Os dois valores de ^ A r c C h x , representado-

188 D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O [GAP.

pelos dois sinais (=b) na primeira fórmula, correspondem aos dois ramos da curva y — Are Ch x = log (x ± v V

4. Outras analogias.

D .

N a representação que acabamos de estudar, da hipérbole equilátera, pela quantidade l, não buscamos evidenciar qualquer significado geométrico do próprio "parâmetro" t. Voltaremos, agora, a este assunto, para obtermos conhecimento mais profundo das analogias entre as funções trigonométricas e as hiperbólicas. Se representássemos o círculo de equação ar -f- y 2 = 1 pelo parâmetro t, sob a forma x = cos i, y — sen i, podemos interpretar a quantidade t como u m ângulo ou como um comprimento de arco medido sobre a circunferência. Podemos, ainda :

considerar / como o dobro da área do setor circular correspondente àquele ângulo, sendo a área positiva ou negativa, conforme o ângulo seja positivo ou negativo.

« —coik i —'y~\

«

0 -ckt-\—- x

Fig. 20 — Representação da hipérbole pelos parâmetros

Fig . 21 — Funções hiperbólicas

Faremos, agora, u m enunciado semelhante para as funções hiperbólicas, estabelecendo que t é o dobro do setor hiperbólico ( l) tracejado na fig. 20. A demonstração é obtida sem dificuldade, se tomarmos para eixos da hipérbole as suas assíntotas, efetuando a transformação das coordenadas

ou x-y = V 2 £, x + y = ^2v,

Com estas novas coordenadas a equação da hipérbole será £?7 = }4- Vemos, assim, desde logo, que a área em questão é igual à área ABPQ da figura, pois os dois t r i -

C1) Do mesmo'modo que a notação = aro cos x lembra que t é um arco do círculo de referência a expressSo t =» Are Ch x significa que é uma certa área da hipérbole equilátera.

III] FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 189 cangulos retângulos OPQ e C U S têm a mesma área, de acordo com a equação d a hipérbole. Os dois pontos A e P terão, como é claro, as coordenadas

t L 1 x-v x - f y

? " V 2 ' " = vi e * = vT ' ' " ~vT respectivamente, e para o dobro da área da nossa f igura , obteremos

2 I (V2v)dv = logfz +y) = log [x =*= V x 2 - l ] . J 1/V2

Efetuando-se a comparação desta com a fórmula da função inversa t - A r e C h >\ deduzida n a pág. 187, vemos que o enunciado sobre a quantidade i é verdadeiro

E m conclusão, devemos frisar que, como está indicado n a fig. 21, as funções hiperbólicas podem ser representadas por diagramas em relação à hipérbole, de modo análogo à representação das funções trigonométricas com referência ao círculo 0) .

E X E M P L O S

1. Demonstrar a fórmula

S h a + S b f i - 2 S h ( ^ ) c h ( a - f 6 ) .

Deduz i r fórmulas semelhantes para S h a - S h ò , C h a C h 6, C h a - C h f r . 2. Representar T h ( a ± ò ) em função de T h a e T h b.

Representar Co th (a =*= 6) em função de Coth a e C o t h 6. Representar Sh Yz® e C h em função de C h a.

3. D e r i v a r (a) C h x + Sh x\ (6) e««x*coa«. (c) log Sh (x - f Clrx);

(d) A r e C h x + Are S h x\ (e) Ase S h (a Ch x); ( j ) A r e T h 2 a

1 -f- x-

4. C a l c u l a r a área l imi tada pela catenária y =» C h a:, pelas ordenadas x = a e x = 6, e pelo eixo dos » .

9. O R D E M D E GRANDEZA, DAS FUNÇÕES

ÀS diversas funções que encontramos neste capítulo mostram diferenças muito importantes com relação ao seu comportamento em face de valores grandes do argumento ou, como dizemos também, na or-

C) Os valores numóricos das funções hiperbólicas, que são empregados em inúmeros cálculos, encontram-se em muitas tábuas Mencionaremos as seguintes: J . B. Dale, Five-jigure Tables of Mathe-maiical Funciions (Arnold, 1918); K. Hayashi, Fünjslelliue Tajetn der Kreis- u, 4 Hyperbelfunktionen (Berlim, 1930); E . Jahnke and F . Emde, Funktionenlqfeln mit Formeln and Kurven (German and English, Leipzig, 193S).

dem de grandeza do seu crescimento. D e v i d o à grande importância deste assunto discuti-lo-emos aqui , de mane i ra abreviada, muito embora ele não esteja diretamente l igado às idéias de integral ou de derivada.

1. Conceito de ordem de grandeza. Casos mais simples.

Se a variável x crescer além de qualquer va lor , quando a > 0, as funções Xa, log ex, e"* crescerão, também, excedendo qualquer l imi te . Observando, porém, a maneira pela q u a l se processa o crescimento, podemos, desde logo, apontar u m a diferença essencial entre as f u n ções. P o r exemplo, a função xz tornar-se-á i n f i n i t a de ordem superior a x2. C o m isto queremos dizer que, à med ida que x cresce, o próprio quociente xdlx2 cresce além de qualquer valor . D o mesmo modo, diremos que a função Xa tornar-se-á i n f i n i t a de ordem superior a de x3

se a < /S < 0 e, ass im, sucessivamente. D e maneira geral , se os valores absolutos das duas funções f(x) e

g(x) crescerem com x além de qualquer l imi te , u m a delas, digamos /(./) tornar-se-á infinita de ordem superior à oulra, g(x), desde que o quo -

ciente —rr cresça, com x, além de qualquer l imi te . Quando o quo

ciente tender p a r a zero, à m e d i d a que x crescer, f(x) será i n f i

n i t a de ordem inferior a g(x) e, f inalmente, as duas funções t o r n a r -

se-ão in f in i tas da mesma ordem de grandeza, se o quociente fU)

giz) medida que a; for crescendo, t i v e r u m l i m i t e diferente de zero ou, ao menos, permanecer entre dois l imites fixos, pos i t ivos . P o r exemplo, a função axz + bx2 -f- c = /(ar), onde a 0, será da mesma ordem de

grandeza da função £ 3 = g(x), visto o quociente m ax3 -f 6a;2 -f- c

x-i

ter o l imi te j a |. P o r outro lado, a função x} + x -f- 1 atingirá u m valor in f in i t o de grandeza superior ao da função x2 + x + 1.

A soma de duas funções f(x) e $(x)> sendo f(x) de ordem de grandeza superior a 4>{x), é da mesma ordem de grandeza que f(x), v is to

,e, por hipótese, esta expressão tender f(x) + <j>(x)

fix) — 1 J

p a r a 1 à med ida que x cresce.

III] O R D E M D E G R A N D E Z A 191

Poderíamos ser tentados a medir a ordem ds giandeza das funções por uma escala, dando a x a ordem de grandeza I . c à potencia Xa (a > 0) a ordem de grandeza a. U m polinómio de grau n teria, então, claramente, a ordem de grandeza n; uma função racional qualquer, na qual o grau do numerador excedesse de h o grau do denominador, pertenceria à ordem de grandeza h.

2. Ordem de grandeza da função exponencial e do logaritmo.

Acontece, porém, que qualquer tentativa visando fixar a ordem de grandeza de funções arbitrárias pela escala acima mencionada, falharia irremediavelmente. Existem funções que se tornam infinitas de ordem superior à potência Xa de x, não importando quão grande seja o valor escolhido de a; além disso, há funções que se tornam infinitas de ordem inferior à da potência xa, por menor que seja o valor positivo atribuído a a . Tais funções não poderiam ser colocadas em parte alguma da nossa escala.

Sem nos aprofundarmos n a teoria da ordem das grandezas, demonstraremos o seguinte teorema:

Se a for um número arbitrário qualquer, maior do que 1, o quociente a 2

-— tenderá para o infinito, à medida que x crescer. x

Para prová-lo construamos a função

ax

<b(x) = log — = x log a - log x\

é claro que basta mostrar que a função cresce além de qualquer l i mite se x tender para + 0 0 - P a r a ta l , consideremos a derivada

1

<p' (x) = log a--

2

e observemos que, para x =s c = ^ ^ ela não será menor do que o

número positivo lA log a. Portanto, segue-se que, para x ^ c,

/X px

<?' (0 dt^Jc H log adt^ y,{x - c) log a, <f>(x) è <t>(c) + }4(x - c) log a,

onde o segundo membro se torna infinito, à medida que x crescer.

192 D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O

Apresentaremos outra demonstração deste importante teorema. Se escrevermos V a = b ~ 1 4- h, teremos b > 1 e h > 0. Seja n um inteiro t a l que n ^ x < n + 1; podemos fazer x > 1, de modo que n ê l . Ap l i cando o lema da pág. 31, virá

| / 7 V i Va: V n 4 - 1 V/T+Tí V2n V2 7 l ' e, conseqüentemente,

s 2 tende p a r a o inf inito com x.

D a demonstração que acabamos de apresentar decorrem muitas propriedades interessantes. P o r exemplo, o quociente axlxcc, de duas potências, onde a representa qualquer expoente posit ivo e a qualquer número a > 1, tenderá para o infinito, quando x crescer, isto é:

A junção exponencial toma-se infinita de ordem de grandeza superior à de qualquer potência de x.

A f im de verificá-lo, basta, apenas, mostrar que a raiz a da expressão, isto é,

axja / A x •==. a x/a a y \^ ~ aj>

tende p a r a o inf inito . Isto, entretanto, decorre do teorema precedente, quando se subst itui x por y =* xja.

D e modo semelhante, podemos demonstrar o seguinte teorema. O quociente (log x)jx«, para qualquer valor pos i t ivo de a, tende para zero, desde que x tenda para o in f in i to ; isto é

O logaritmo iorna-se infinitamente pequeno, de ordem de grandeza inferior à de qualquer potência positiva de x , por menor que ela seja.

A demonstração é imediata , fazendo-se log a; = 1, com o que transformamos o quociente em y/eay. Escreveremos, pois , e* — a, resultando que a é u m número > 1 e o quociente y / a y aproxima-se de 0, quando y cresce. C o m o y aproxima-se do inf inito , à m e d i d a que x o faz, o teorema está demonstrado

{*) Outra demonstração muito simples pode ser apresentada: p a r a x> 1 e e > 0,

log x - f* |* < f f « - i dí = - (x* - 1);

se escolhermos e menor do que a e dividirmos ambos os membros d a desigualdadp por Xa, verifica-se q u s à medida que x-* « , (Ioga:)/ iP-tO.

III] O R D E M D E G R A N D E Z A 193

Com fundamento nestes resultados, podemos construir funções de ordem de grandeza muitíssimo mais elevada do que a da função exponencial, e outras de ordem de grandeza muitíssimo mais baixa do que a do logaritmo. Por exemplo, a função eeX é de ordem de grandeza superior à da função exponencial, ao passo que log log x é inferior à do logaritmo. Podemos, como é claro, repetir o processo quantas vezes quisermos, combinando os símbolos e ou log.

3. Observações gerais .

A s considerações anteriores mostram que ê impossível, por meio de u m raciocínio sistemático, atribuir números definidos às funções, classificando-as em ordens de grandeza, de modo que, ao compararmos duas delas, pudéssemos conferir ordem de grandeza superior à que apresentasse o número mais elevado. Se, por exemplo, a função x for da ordem de grandeza 1 e a função x 1 + e da ordem 1 + e, a função x log x deverá ser de uma ordem de grandeza maior do que 1 e menor do que 1 + €, por menor que seja o e escolhido. T a l número, porém, n l o existe. Deixando esta discussão de lado, é fácil, entretanto, ver que as funções não precisam ter ordem de grandeza claramente defi-

iE 2(son x)2 - j - X ~\~ 1

nida. Por exemplo, a função — CÕ-T não tende para qual-ar^cos X)" ~x~ x

quer l imite definido quando ÍC cresce. Ao contrário, para x = nir , 1 / 1\

(n sendo inteiro) o seu valor será — , enquanto que para x = ( n -f- - Jtt í 1\ 1

ele valerá l n-\- - i r - f - l - j - 7—•——r—. Embora numerador e deno-

minador se tornem, ambos, infinitos, o quociente não se encontra entre limites positivos e não se aproxima de zero nem do inf inito . O numerador, portanto, não é da mesma ordem que o denominador, nem de ordem inferior ou superior. E s t a situação, aparentemente assustadora, significa, unicamente, que as definições apresentadas não o foram de molde a permit ir a comparação de um par de funções quaisquer. Isto, entretanto, não constitui um defeito, pois não desejamos comparar as ordens de grandeza de funções tais como o n u merador e o denominador da fração acima, visto que o conhecimento do valor de uma delas não nos dá qualquer informação útil em relação à outra.

194 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO [CAP.

4. Ordem de grandeza das funções na vizinhança de pontos arbitrários.

Da mesma forma que podemos inquirir o comportamento das funções quando x cresce sem limite, podemos, também, indagir se, e de que modo, as funções que se tornam infinitas no ponto x = £ podem ser distinguidas em face do seu comportamento no ponto referido.

Estabeleceremos, em seguida, que a função f(x) = , ——T I se torna I x- £ I

infinita de primeira ordem no ponto x •» £, e que : — , , de modo

correspondente, se torna infinita de ordem a, desde que a seja positivo. Reconhecemos, então, que a função el^x~^ se torna infinita de

ordem superior e que log | x - % | será de ordem inferior a todas aquelas potências; isto é, verificam-se as relações entre limites:

limfl as- £ h.e 1 ' 1*-* 1) = co e l imf l x- £ I a . log | x - £ |) = 0. X-t £ x—f £

Para verificá-lo, faremos, apenas,-]—-—r = y. O enunciado reduzi a - £ I

se, então, ao conhecido teorema da pág. 192, visto

I x - £ |«.evi*-ii = ey/r e | x - £ |«.log | x ~ £ | = - (log y ) / r

e y crescer além de qualquer limite à medida que x se aproxima d:: £. O método de redução do comportamento das funções num ponto finito ao comportamento das mesmas em um ponto infinito, pela

substituição i—^—-r — y, é freqüentemente útil, como veremos mais I x £ I

adiante.

5. Ordem de grandeza das funções que tendem para zero.

Assim como procuramos descrever a aproximação de uma função ao infinito, mais precisamente, por meio do conceito de ordem de grandeza, podemos, igualmente, estabelecer o modo pela qual ela se aproxima de zero. Diremos que, quando x-+ a», a quantidade l/x se anula na primeira ordem, ao passo que x~a será nula para a ordem a, desde que a seja positivo. Acharemos, novamente, que a função

O R D E M D E G R A N D E Z A : 195

1/logx s' anula em ordem inferior à de qualquer potência xr", isto ê, para cada a positivo, verifica-se a relação

lim(ar a .Iog x) = 0.

D a mesma forma, diremos que para x = £, a quantidade x — Ç se anula para a primeira ordem, enquanto | x - £ \a se anulará paru a ordem a. Com estes resultados, é fácil demonstrar as relações

lim( I x | a.log I x I ) = 0, lim( | a: | _ a .e - 1 / , x l ) = 0 x—»0 z—»0

que se exprimem, usualmente, como segue: 1

A função i — : se anula quando x-^O, em ordem inferior à de log I x I

qualquer potência de x; a função exponencial e~ 1 / , a : l se anula em ordem superior à de qualquer potência de x.

EXEMPLOS

1. C o m p a r a r as funções seguintes c o m potências de x, em relação às suas ordens de grandeza , quando x ->» :

(n\ „ri9 i , , x ~ c o s 3 x

(a) e*p - 1. ( / ) x i / = S e i 1 x + (ò) ( log i ) / » . (c) sen i . (3 )

1 - e-Ux

(e) x " 2 sen a:.are tg x. ) J o g ^ ] o g ;,.).

2. C o m p a r a r as funções do exemplo 1 c o m eax, ex°. ( logx)" . 3. C o m p a r a r as funções do exemplo 1 c o m as potências de x, quando x -* 0 4. À expressão l i m exTl e ( _ « x ) , existe ?

X—* CO 5. Q u a i s são os l imites de e C - * 1 ) e e^ - *), q u a n d o x - » o o ? 6. S e j a / (x ) u m a função contínua que se a n u l a , j u n t a m e n t e com sua p r i m e i r a

d e r i v a d a , p a r a x = 0. D e m o n s t r a r que j{x) se a n u l a em ordem superior à de x, quando x -* 0.

a 0 x° -f- a x a ; n - 1 + . . . + a„ 7. M o s t r a r que f(x) = , quando a 0 , í>0 0> forem

ò 0 x m + feiX""1 + - . . 4- 6 r a

d a m e s m a o r d e m de grandeza que x*~m, à m e d i d a que x - + » . 8. * D e m o n s t r a r que ex não é função r a c i o n a l . 9* D e m o n s t r a r que e x não pode sat is fazer qua lquer equação algébrica qup

tenha p a r a coeficientes polinómios e m x.

x2 + 1

196 D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O [CAP.

APÊNDICE AO CAPITULO III

1. ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS

Já esclarecemos, em diversas oportunidades, por meio de exemplos, que o conceito geral de função contém muitas possibilidades estranhas à intuição comum, Geralmente não apresentamos esses casos por meio de expressões analíticas simphs, e aqui, portanto, desejamos mostrar que é possível representar diversas destas descontinuidades típicas e fenômenos anormais por meio de expressões muito simples, construídas com o auxílio das funções elementares. Começaremos, entretanto, com um exemplo, no qual não existe descontinuidade.

1. A f u n ç ã o y = 6"" 1 '* 2 .

Es ta função (fig. 22), que é definida, em sua primeira fase, somente para valores de x diferentes de zero, tem, obviamente, zero para limite, desde que x->0. Fazendo-se l / x 2 = £ a função proposta transforma-se em v = e~f e lirn e~f = 0.

€-» » Logo, a f im de estendermos a função, de sorte que seja contínua para x = 0, definiremos o seu valor neste ponto (x = 0), pela equação y(0) = 0.

0| / *

F i g . 22

Pela regra da cadeia, a derivada da função proposta, para x =j= 0, será

y' = - e " l , l S . Se x se aproximar de 0, a derivada terá, igualmente, o limite zero, x3

como deduzimos da pág. 194 e seguinte. N o próprio ponto x = 0, a derivada

„ n , r y(h)-y(0) e-vh* y (0) = um = um

ft-»o h h-*o h é, também, nula.

Se formarmos as derivadas de ordem superior para x 4: 0, obteremos sempre produtos da função e - 1 / * 2 por polinómios em Ifx, e a passagem ao limite, x -> 0, conduzirá ao limite 0. Todas as derivadas de ordem superior se anularão, da mesma forma que y' no ponto x = 0.

I l l ] FUNÇÕES E S P E C I A I S 197

A s s i m , vemos que a função e s t u d a d a é contínua em q u a l q u e r interva lo e derivável tantas vezes q u a n t a s dese jarmos , além de se anular , c o m todas as suas der ivadas , no ponto x = 0. V e r e m o s mais tarde (Capítulo V I , Apêndice , pág. 336), quão notável é, n a rea l idade , este compor tamento .

2. A função y — e ~1,x.

Podemos ver i f i car , r a p i d a m e n t e , que p a r a valores posit ivos de x, esta função se c ompor ta de maneira idêntica à anter iormente estudada. S e x tender p a r a 0 através de valores pos i t ivos , a função tenderá, igualmente , p a r a 0, ass im como todas as suas derivadas. Se o v a l o r d a função fôr definido para x — 0, como y(0) = 0, todas as der ivadas à d i r e i t a do p o n t o considerado (x = 0), serão nulas . Quando, porém, x se a p r o x i m a de 0 através de valores negativos, o proced imento é inte i ra -

F i g . 23

mente diverso . Então, t an to a função como todas as suas der ivadas tornam-se i n f i n i t a s , não exist indo der ivadas à esquerda do ponto x = 0. N e s t e ponto, portanto , a função apresenta u m a notável espécie de descontinuidade (fig. 23), completamente diferente das descont inu idades in f in i tas das funções rac ionais , já anter iormente estudadas (págs. 22, 53).

1 3. A função y = T h -

Já v i m o s (págs. 33, 52) , que funções ' ' c om s a l t o s " de descontinuidade podem ser obt idas a p a r t i r de funções s i m p l e s , pe la passagem ao l i .u i t e . A função exponenc ia l de f in ida n a pág. 171 e o princípio d a composição das funções dão-nos outro mé-i/odo p a r a construí-las c o m as descont inuidades citadas, p a r t i n d o de funções elementares, sem outro q u a l q u e r processo posterior de l i m i t e . E x e m p l o disto é a função

1 el'x - e~Vx

y . » T h - - — x eV* -)- e~

e o seu comportamento no p o n t o x — 0. E s t a função, na sua p r i m e i r a fase, não

198 DERIVAÇÃO' E INTEGRAÇÃO [ C A P .

6 de f in ida em t a l p o n t o . S e nos a p r o x i m a r m o s do ponto x = 0 através dos valores ! os i t ivos de x, obteremos , como é c laro , o l i m i t e 1. S e , p o r outro lado, nos a p r o -

i m a n n o s do p o n t o x = 0 através dos valores negat ivos , at ingiremos o l i m i t e - 1 . O ponto x = 0 surge, ass im, como u m ponto de descontinuidade; q u a n do x, no seu crescimento, at inge 0, a função dá u m salto igual a 2 (fig. 24) . P o r sua vez , a der ivada

r = -C h s ( l / ; r ) x2

F i g . 2 4 x"-(e e - l / * ) 2

^ a p r o x i m a do l i m i t e 0 por ambos os lados, con'o se deduz do § 9, pág. 194 (').

4. A função y = x T h - . N o caso d a função

1 e l / x _ e - 1/z y = x T h - =s x

;> descont inuidade ac ima é r e m o v i d a pelo fator x. A função tem o l imi te 0 quando x -» 0 de q u a l q u e r lado , de modo que podemos, mais u m a vez , apropr iadamente ,

Í/A

Fig. 25

def inir y(ü) como sendo i g u a l a 0. A função é, por tanto , contínua no ponto x — 0, mas s u a d e r i v a d a de p r i m e i r a o r d e m

1 x 1 y ' - T h - - -

x 1 C b 2 ( l / x ) »

t1) Outro exemplo da ocorrência de descontinuidade com "salto" 6 proporcionado pela fungSo

are tg - , quando x -* 0.

[ I l l FUNÇÕES E S P E C I A I S 199

apresenta a m e s m a espécie de descont inu idade que o exemplo precedente . O gráfico d a função é u m a c u r v a c o m u m vértice (fig. 25). N o ponto x = 0 a função não possui , un ivocamente , d e r i v a d a , mas t e m u m a à d i r e i t a , c o m o v a l o r - f l , e o u t r a à esquerda, c o m o v a l o r — 1 .

1 5. A função y = x s e n - , y(0) = 0.

x Já v i m o s q u e esta função n a o é composta de u m numero f in i t o de termos

monótonos — podemos d izer que não é "parc ia lmente m o n ó t o n a " — m a s , apesar disso, é c o n t i n u a (pág. 54). S u a d e r i v a d a de p r i m e i r a o r d e m

1 1 1 y ' as sen - - - cos - , (x ={= 0)

x x x

tio contrário, apresenta u m a d e s c o n t i n u i d a d e em x = 0. À m e d i d a que x - »0esta d e r i v a d a osci la c o n t i n u a m e n t e entre duas curvas-1 i m i t e , u m a p o s i t i v a , o u t r a neg a t i v a , as qua i s t endem p a r a - f - 0 0 e — oo, respect ivamente. N o ponto x — 0 o

y(k) - y(0) 1 quoc iente das diferenças é = sen -. Q u a n d o / i - * 0 o quoc iente oscila

h h u m número i n f i n i t o de vezes, p a r a a f rente e para trás, entre + 1 e - 1 , ind icando que a função não possui d e r i v a d a s n e m à dire i ta n e m à esquerda.

2. OBSERVAÇÕES SOBRE A D E R I V A B I L I D A D E DAS FUNÇÕES

A derivada de uma função contínua que tenha derivada em todos os seus pontos não precisa ser, necessariamente, contínua.

C o m o exemplificação m a i s s imples , tomemos a função

"."a sua p r i m e i r a fase, a função p r o p o s t a não é d e f i n i t i v a p a r a x = 0. E s t a b e l e ceremos a definição de / (O) , a t r i b u i n d o - l h e neste p o n t o o v a l o r 0, t o r n a n d o , assim, a função contínua e de f in ida e m t o d o o interva lo . P a r a q u a l q u e r v a l o r de x, d i fe rente de zero, a der ivada é f o r n e c i d a p e l a expressão

1 1 1 1 1 j = - x2 cos - . — + 2x sen - = - cos - + 2x sen - .

XX2 X X X

Q u a n d o x se a p r o x i m a de 0, j'(x) não possu i l i m i t e . Se , por outro lado , formarmos J(h)-f(0) / I A , T 1

o quociente das diferenças = ( h2 sen - ) [h = h sen - , veremos em se-h V hs h

g u i d a que êle tende p a r a zero , à m e d i d a que h o faz . A d e r i v a d a , p o r t a n t o , existe p a r a x = 0 e va l e 0. A f i m de compreendermos i n t u i t i v a m e n t e a razão deste c om-


portamento paradoxal, representemos a função graficamente (fig. 26). E l a oscila para a frente e para trás, entre as curvas y = x- e y — — x2, as quais toca, alternadamente. Assim sendo, a razão entre a altura da crista das ondas e suas distâncias à origem, torna-se cada vez maior. Contudo, as ondas não se retificam,

pois sua inclinação é dada pela derivada j'(x) = 2a;sen - - cos- . Nos pontos x x

1 1 , 1 x — , em que cos - = 1, ela é igual a - 1, e nos pontos x = , onde

2nir x (2n+l)7r 1

cos _ = — 1, ela vale + 1. x

F i g . 26

E m contraste c o m a poss ib i l idade que acabamos de i l u s t r a r , i s to é, que a d e r i v a d a exista em todos os pontos e, contudo , não seja c on tínua, v a m o s estabelecer o seguinte teorema, m u i t o simples, que esclarece u m a série de prob lemas e discussões anteriores : se soubermos que nas vizinhanças do ponto x = a a função f(x) ê contínua e t e m u m a d e r i v a d a / ' (x) em todos os pontos , mas se não pudermos a f i r m a r a existência de / ' (a), e, se além disso, ver i f icar-se a equação l i m / ' (x) = ò, podemos conc lu i r que a d e r i v a d a / ' (as) existe, também, x-*a no ponto a e q u e / ' (a) — b. Ã. demonstração decorre, imed ia tamente ,

do t e o r e m a do v a l o r médio. T e m o : f(a + h) -f(á)

h : / ' ( £> , o n d e £ é

u m v a l o r intermediário entre a e a + h. Se h se a p r o x i m a r de 0, / ' ( £ ) tenderá p a r a b, f i cando p r o v a d o o que enunciamos .

O u t r o t eorema que a c o m p a n h a este e que pode ser demonstrado de m a n e i r a análoga, é o seguinte : se a função f(x) fôr contínua no

III] D E R I V A B I L I D A D E D A S F U N Ç Õ E S 201

intervalo a ^ x ^ ò e possuir derivada, para a < x < b, que cresce além de qualquer l imite , quando x se aproxima de a, o quociente das

. ,. f(fl + h)-f(a) diferenças, a direita, — } cresce, também, além de q u a l quer valor à medida que h tende para 0, não existindo der ivada f i n i t a , à direita, no ponto x = a. Geometricamente, isto significa que a c u r v a tem u m a tangente vert ica l no ponto de coordenadas (finitas) [a, f(a)].

3. A L G U M A S F Ó R M U L A S E S P E C I A I S

1. D e m o n s t r a ç ã o do t e o r e m a do b inômio .

As regras que estabelecemos para a derivação permitem-nos dar uma demonstração simples do teorema do binômio. In t roduz imos aqui esta demonstração, como exemplo do método dos coeficientes indeterminados, cuja importância veremos mais tarde. Desejamos desenvolver (1 4- x)n em potências de x, para todos os valores inteiros e positivos de n. Vemos, logo, que a função (I 4- x)n deve ser u m polinómio de grau n, isto é,. deve assumir a forma

(1 4- x)n = a0 H- aix 4- a2x~ 4- . . . 4- anxn.

consistindo o problema em determinar os coeficientes av. Se f izermos x— 0, obteremos, em seguida, a 0 = 1. Derivando ambos os membros cia equação, u m a , duas, três vezes, e t c , obteremos as equações

n{\ 4- x)n~l = a x + 2a2x 4- . . . 4 - nanxn~l, n(n - 1) (1 4- x)n~2 = 2 a 2 4- 3 . 2z3x + ... + n(n - l K x n " s ,

Já que tais equações se veri f icam para todos os valores de x, podemos fazer x = 0 em cada u m a delas, vindo, então, para os coeficientes a i , a 2 , . . . os valores fornecidos pelas seguintes expressões

n(n - 1) _ ra(n-l) (n - 2 ) «i = n, «2 = 1 2 , « 3 - 1 . 2 . 3 "

n(n - 1) (n - 2) . . . (ji-k + 1) _ / n \ ak = ü - { k J -

Finalmente, teremos o teorema binomial sob a forma

(1 + xY = 1 + nx 4- Q ) * 2 + . • • + (l) xk 4- . . . + x».

2. Der ivação s u c e s s i v a . R e g r a d e L e i b n i t z .

E m conexão com o que acabamos de expor, deixamos ao cu idado do le i tor provar , como exercício, que a derivação sucessiva de u m produto pode ser real izada de acordo com a seguinte fórmula (regra de Leibnitz):

f fn\d"-\f dg Sn\d«-J d-g

\ n - l J dx dxn~l ' * <

dn

dxT

dfd^g , fd°g

* dxn'

A derivação sucessiva de u m a função composta y = [f4>(x)], entretanto , não segue lei tão simples. D a s fórmiüas de derivação apresentadas no último capítulo (regras do produto e d a cadeia), t i ramos

dx dtfidx * ^ *

dx-

d2v

3. O u t r o s e x e m p l o s do u s o d a r e g r a d a c a d e i a . Derivação de j(x)g(x\ G e n e r a l i z a ç ã o d o t e o r e m a d o v a l o r m é d i o .

P a r a formar a der ivada da função xx escrevemos xx = e l l u g 2 , donde obtemos

dx —j- xx ~ xx (log x -f- 1)

pela regra da cadeia. D a mesma forma, podemos efetuar a derivação da expressão mais geral j(x)J<>x) = eKx) l o s^w empregando, a inda , a regra d a cadeia. Obteremos, então,

d ^ [/(*)'«] = m j ( x ) . f ( x ) r i o g / r » + 1 ] .

C o m o mais u m a aplicação da regra d a cadeia, apresentaremos a demonstração do teorema que podemos denominar de teorema geral

FÓRMULAS ESPECIAIS 203

do valor médio do cálculo diferencial (pág. 135), estabelecendo-o, agora, sob condições menos restritivas.

Seja G(x) = u uma função contínua e monótona no intervalo fechado a ís-x úb, que tem derivada, que não é, em parte alguma, igual a zero, no intervalo aberto a < x < 6. Seja, ainda, F[x) uma função também contínua para a ^ x á 6 e derivável para a< x< b. Introduziremos a nova variável independente u em vez de x em F(x), por meio da função inversa x = 3>(u) de G(x), obtendo, então, a função composta f(a) — F[$(ú)]. A regra da cadeia proporciona

F'(x)

O teorema comum do valor médio, aplicado à função f(u) e ao intervalo entre Ui = G(a) e u2 = G(ò) mostra que para um valor intermediário CO

/ W - / ( m ) = o u F(b)-F(á) = j ^ f l , u 2 - m G(ò)-G(a) G'(Ç)'

onde £ = $(w) representa o valor intermediário entre a e 6.

E X E M P L O S

1. Achar a derivada de segunda ordem de / l9[/i(r)]]. 2. Derivar as funções seguintes:

, (a) xsen (6) (cos x) *s (c) logw(x) u(x) (isto é, o logaritmo de u(x) na base v(x)); u(x) > 0.

3. Demonstrar a regra de Leibnitz . 4. Formar as derivadas de ordem n de:

(a) x3eax. (d) cos mx sen kx. (6) (log x)2. (e) e 1 cos 2x. (c) sen a: sen 2x. (/) (1 + r ) s c x .

5. * Formar a derivada de ordem n dc are sen x, no ponto x = 0 e a de (are sen r ) 3

no mesmo ponto.

6. Demonstrar que S k(k - 1) ( " ) = n(n - l )2 n " " . * - 2 V f e y

C A P Í T U L O I V

D E S E N V O L V I M E N T O C O M P L E M E N T A R D O C A L C U L O I N T E G R A L

A s regras p a r a derivação estabelecidas no capítulo precedente h a bil itam-nos a operar extensamente sobre o problema da derivação das funções. Quase sempre, porém, o problema inverso, isto é, a integração, excede-o em importância. Estudaremos, portanto , a arte de inte grar funções dadas.

Os resultados obtidos por meio das fórmulas de derivação podem ser resumidos no seguinte enunciado:

Toda função derivada de funções elementares, constituindo uma "expressão fechada'" (U pode ser derivada, sendo a sua derivada, também, uma expressão fechada, igualmente formada de funções elementares.

Não encontramos, porém, enunciado que correspondesse exatamente a esse, aplicável à integração das funções elementares. Sabemos que toda função elementar, e na realidade, t oda função contínua, pode ser integrada e já integramos numerosas funções deste t ipo, seja diretamente, seja pela inversão das fórmulas d a derivação, verificando que as integrais obtidas são constituídas de expressões que contêm unicamente as funções elementares já mencionadas. Contudo, ainda estamos longe de poder formular a solução geral do seguinte problema: dada u m a função j(x) decorrente de funções elementares, representada por u m a expressão fechada qualquer, determinar a sua integral indef in ida , F(x) = fj(x)dx que seja, também, por sua vez, uma expressão fechada, decorrente de funções elementares.

f 1) Entendemos por "expressão fechada" uma função que pode ser formada, a partir das funçSes elementares, pela aplicação repetida das operações racionais e dos processos de composição e inversão.

Devemos, entretanto, salientar que a distinção entre as funções elementares e as demais ê, em si mesma, inteiramente arbitrária.

204

CAP. I V ] I N T E G R A I S E L E M E N T A R E S 205

N a realidade este problema é, em geral, insolúvel. De modo algum é certo que todas as funções elementares possuam integrais que sejam, elas próprias, funções elementares. A despeito disso, porém, é necessário que estejamos aptos para executar tais integrações quando forem possíveis, adquirindo certo grau de habilidade técnica no manejo das mesmas.

A primeira parte deste capítulo ê dedicada ao desenvolvimento de artifícios úteis ao f i m visado. E desde já advertimos o principiante contra o desejo que possa ter de decorar, simplesmente, as inúmeras fórmulas obtidas pelo emprego desses recursos técnicos. O leitor deve, ao contrário, dirigir seus esforços no sentido de obter compreensão clara dos métodos de integração e aprender como aplicá-los. Além disso, deve lembrar-se de que, mesmo no caso da integração ser i m possível por tais artifícios, a integral deve existir (pelo menos para todas as funções contínuas) e pode, efetivamente, ser determinada com o grau de precisão desejada, por meio de métodos numéricos que serão desenvolvidos mais tarde (capítulo V I I , pág. 342).

N a última parte do presente capítulo esforçar-nos-emos em aprofundar e estender as concepções de integração e integral, inteiramente à parte da técnica da integração.

Inicialmente, repetiremos que a cacia u m a das fórmulas de derivação, anteriormente estabelecidas, corresponde uma fórmula equivalente de integração. Como estas integrais elementares são empregadas a cada momento como material indispensável na arte da integração, reunimo-las sob a forma de tábua (pág. 206). A coluna da direita contém certo número de funções elementares, ao passo que a coluna da esquerda indica as derivadas correspondentes. Se a tábua: for lida da esquerda para a direita, encontraremos, na última coluna, a integral indefinida da função que está n a primeira coluna.

Lembraremos, também, ao leitor, os teoremas fundamentais do cálculo diferencial e integral, demonstrados no capítulo I I , § 4 (pág. 117) e, em particular, o fato de que a integral definida é obtida da integral indefinida F{x) pela fórmula

1. INTEGRAIS ELEMENTARES

2 0 6 CÁLCULO I N T E G R A L [C

F"(x) = /(x)

1. xa (a - 1.

1 2. - .

X

3. e*.

4. a* (a rj: 1).

5. sen x.

6. cos x.-

1 7. — — - (s= cosec2 x). sen 2 x

8. cos-x

9. Sh x.

10. Ch x.

1

(= sec2 x).

11. Sh 2 (= Cosech2 x).

1 2 - c t ^ ( - S e c h > * ) -

1 3 - V r b d x K D .

14.

15.

16.

1 + x 2

1

V l + X a "

1

17. J _ ( , X , < L

1 " 1 I x I > 1

F(x) =fj(x)dx

log I a; í .

a* log a - cos x.

sen x.

- cotg

t g r .

C h z .

Sh z.

- Co Ih x.

T h x .

f are sen r . - are cos x.

are tg a;. - are cotg x.

Axc Sh s Iog(x + V l - f x2).

Are Ch x s log(a: =*= x2 - 1).

Àrc Th x ss - loe 1 +x 1-x

Are Coth x s - IOÍÍ - -2 a ; - ! '

IV] I N T E G R A I S E L E M E N T A R E S 207

Finalmente , o leitor deverá saber perfeitamente as regras elementares da integração reunidas no capítulo I I , § 1 (págs. 81-82).

N a s seções seguintes procuraremos reduzir o cálculo das integrais das funções que nos ocuparem ao das integrais elementares apresentadas na tábua ao lado. Pondo de lado certos artifícios, que não podem, certamente, ocorrer ao principiante, mas unicamente àqueles que possuem grande experiência, a redução a que nos referimos se baseia essencialmente em dois métodos usuais. C a d a u m dos referidos métodos permite transformar as integrais de muitas maneiras, sendo o objetivo de tais transformações reduzir a integral considerada, de uma vez, ou mediante uma seqüência de vezes, a u m a ou mais fórmulas elementares de integração, constantes da tábua que apresentamos.

O primeiro dos métodos empregados para resolver os problemas de integração, consiste na introdução de u m a nova variável (isto é, método de substituição ou transformação). A fórmula integral correspondente é, precisamente, a regra da cadeia do cálculo diferencial, expressa sob forma integral.

1. F ó r m u l a d a subst i tuição .

Suporemos que uma nova variável u ê introduzida na função F(.r) por meio da equação x = 4>(u)t de modo que F(x) se transforme em uma função de u:

2. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO

F(x) = F[4>(u)} = G(«). A regra d a cadeia do cálculo diferencial nos dá

dG dF — = — 4>'(a), du dx

Se escrevermos F'( .r) =f(x) e G'(u) = g(u),

ou as expressões eqmva; il entes

208 C A L C U L O I N T E G R A L [ C A P .

a regra da cadeia assume a forma

Por outro lado, sendo G(u) = F(x), por definição, isto ê

j g{u)du = j f(x)dx,

obteremos a fórmula integral, equivalente à regra da cadeia,

Jf[cb(u)} da=f f(x) dx, [x = *(«)].

Tal ê a fórmula básica para a substituição, em uma integral, da variável por uma outra. E l a indica que, se desejarmos a integral indefinida de uma função de u, a qual é dada sob a forma especial f[4>(u)] <b' (u), podemos calcular a integral indefinida da função f(x), como função de x e, depois de realizada a integração, retomar a variável u, fazendo x = 4)(u).

Se, por exemplo, aplicarmos a fórmula ao integrando ~ ~ . tere-4>{u)

mos 7 V ( a ) fdx

J ^ ^ j T = 1 ° g i * l = l o g l 0 ( l í ) l

ou, substituindo u por x, '<Pr(x) ' -r^dx = log |.

Se, nesta fórmula importante, substituirmos funções particulares, tais como ip(x) = log x ou <p(x) = sen x ou, ainda, <p(x) — cos x, obteremos 0)

f dx i = log I logx|,

J x l og X

j cotg x dx = log i sen a; |, J tg x dx = - log | cos x j .

Outro exemplo é

J <p{u)ip'{u)du = y* x ia = ^ x 2 = ^ [<P(U)]2,

onde jrx) = x. Quando <p(jx) = log u, teremos

;

log u 1 du — - (log u)-

u 2

('} Tanto esta como as fórmulas subseqüentes, são verificadas derívando-se o resultado, que deve dar, outra vez, o integrando. De mais a mais, estas fórmulas são consideradas verdadeiras somente quando as expressSes que nelas figuram têm um significado preciso, como é natural.

IV] M É T O D O D E SUBSTITUIÇÃO 209

Consideremos, por fim, o exemplo

sen"- u cos u da.

Aqui, x = sen u = <p(ji) e, portanto,

J sen71 u cos u du = ^ se" cíx = xn-t-l s e n ^ + i «

n 4- 1 n + 1

E m muitos casos, entretanto, empregaremos a fórmula acima em sentido inverso, partindo do segundo membro, isto ó, d a integral

jf(x)dx. Devemos, então, calcular ou simplificar a integral indefi

n ida F(x) = Jf(x)dx, introduzindo- lhe a nova variável de integra

ção u por meio d a fórmula de transformação a? = <j£>(zi) e operar sobre

a integral indef inida

G(ii) - ff[tfu)ltf(u)du,

substituindo, finalmente, a variável u por x. A f i m de realizar esta última operação devemos estar certos de que há u m valor definido de u que corresponde ao valor de x, isto é, que a função x = tfu) tem inversa. Conseqüentemente, estabeleceremos a seguinte hipótese, pela q u a l consideramos x como variável pr imit iva . N o intervalo considerado, u = \p(x) ê u m a função monótona e derivável, cuja der ivada tf (x) não se anula em parto a lguma do intervalo. A função inversa — que, sob estas condições, é definida e monótona —• será representada por x — tfu), sendo sua derivada fornecida por tf (u) = = l/tf (x). Como fórmula básica, para a substituição da nova variável u n a integral , teremos

Jf{x)dx - jf[4>(u)] tf(u)du [u = tf(aO].

A integral indefinida J f (x) dx pode ser obtida calculando-se a inte

gral indefinida Jf[<£(u)] tf (u)du, inlroduzindo-se x em lugar de u, como

variável independente, por meio da equação u == ^(x). Vemos, pois, que não é suficiente exprimir-se simplesmente a v a

riável antiga x em função d a nova u e efetuar a integração em relação a esta n o v a variável: E necessário, antes de proceder à integra-

210 CÁLCULO I N T E G R A L [CAP.

cão, efetuar a multiplicação pela derivada da variável original x, em relação à nova variável u.

A fórmula correspondente para a integração definida entre dois limites é

/ j(x)dx = / f[<f>(u)]d>f(u)du. J a J <fi (a)

Os limites de integração da nova integral são obtidos submetendo-se os limites primitivos à transformação x = <£(u) e u = -^(x).

N a maioria das aplicações, o integrando f(x) aparecerá, inicialmente, como função de função, digamos, f(x) = h(u), onde u = yi/(x). Xestas condições, é preferível escrever a fórmula integral sob forma i^eiramente modificada, identificando a expressão / [<b(u)] com h(u).

S3 fizermos a substituição u = ^(x), x = <b(u) para u, a fórmula de ransformação será, simplesmente,

jh[yjj{x)]dx = j Ha)d~du-

Como primeiro exemplo, vamos integrar a função f(x) = sen 2x, fazendo u = $(x) = 2x e h(u) = sen a. Temos

du — = ^'(x) = 2. dx

Se, agora, introduzirmos a = 2a; na integral, como nova variável, ela não se trans

formará em J sen u <fu, mas, sim, em

1 í , 1 1

_ / sen adu — — cos a = — cos 2x: 2J 2 2

o que pode ser verificado imediatamente pela derivação do segundo membro. Se efetuarmos a integração em relação a x, entre os limites 0 e 7r/4, os limites

correspondentes para u serão 0 e 7r/2, vindo, então,

fir/i 1 i / sen 2x dx ~ - / sen uda = — cos u

Jo 2J o 2

C*dx_

V2 1 o ~~ 2"

Outro exemplo é a simples integral / Faremos, neste caso, u — 6(x) = J i V r

Vx, donde x « <p(u) — u-. Visto que v>'(it) = 2u, teremos

r±dx r^udu r s / -yt = 2 / = 2 / du = 2.

M É T O D O D E S U B S T I T U I Ç Ã O 211

2. O u t r a d e m o n s t r a ç ã o d a f ó r m u l a d e s u b s t i t u i ç ã o .

A fórmula de integração que estabelecemos pode ser jus t i f i cada de o u t r a mane i ra mais d i r e t a , levando-se em conta a fórmula da integração definida, baseando-se a demonstração no signif icado da integral de f in ida como o l i m i t e de u m a soma. P a r a ca lcularmos a integra l

f*h[m]dx (quando a < b), começaremos c o m u m a subdivisão arbitrária do i n tervalo a^xúb e tornaremos esta subdivisão cada vez menor . F ixaremos esta subdivisão d a m a n e i r a seguinte. Se a função u = \p(x) for monótona crescente, haverá (1, 1) correspondência entre o in ter va lo a x á b no eixo dos x, e u m i n t e r v a l o a úu, dos valores de ii = \p(x), onde a — 4>{a) e (d = 4>(b). D i v i d i r e m o s este interva lo dos u em n partes de c o m p r i m e n t o A u haverá u m a subdivisão correspondente do. interva lo dos x, e m subintervalos que, em geral , não têm o mesmo compr imento . Des ignaremos os pontos de divisão do in terva lo dos x por x0 = a, Xi, x2, .... xn = ò, e os comprimentos dos subintervalos correspondentes por

Axi, Ax2, . . ., Axn.

A integral que procuramos será, po is , o l i m i t e ( 2 ) d a soma

c m que £„ assume u m va lor a r b i t r a r i a m e n t e escolhido no subintervalo de ordem r d a subdivisão dos x. P o d e m o s escrever esta soma sob a

" A z , f o rma 2 h(u„) —— Au onde u„ = »£(£„). Pe l o teorema do va lor médio

„=i A u Ax„

d o cálculo di ferencial - — = <£ ' (0> sendo -r\v u m valor intermediário A u

d a variável u, convenientemente escolhido, no subintervalo de ordem r d a subdivisão u, e x — 4>(u) a função inversa de u — \j/{x). Se , agora,

í 1 ) N 3 o é essencial, p a r a a demonstração, a hipótese de que todos estes subintervalos sejam iguais.

(?) T a l limite existe, efetivamente (para Au—»0), e representa a integral porque, e m face d a cont inuidade uniforme de x = <t>(,x), o maior dos comprimentos àx tende p a r a 0 com A u .

212 CÁLCULO I N T E G R A L [ C A P .

escolhermos o valor de £„ de ta l maneira que £„ e i\v coincidam, isto é. que = <j>(t}v), 11, — i}>(%p), a soma estudada adquire a forma

n

Efetuando a passagem ao l imite , obteremos a expressão

B dx h(u) ~r du,

da como valor- l imite, isto é, como valor da integral procurada, em concordância com a fórmula que já havíamos deduzido (pág. 210).

Demonstramos, assim, o seguinte teorema: Se h(u) for uma função contínua de u no intervalo a S u ^ /?, e se

a função u = ^(x) fôr contínua e monótona, tendo, atêm disso, uma d u

derivada —, contínua e que não se anula no intervalo a á x ^ b , e se

\p(&) = a, ypÇa) — |8, então, r b r b r» dx

J htt(x)}dx=J h(u)dx=J h(u) — du. E s t a fórmula mostra a vantagem da notação de Leibnitz . A f im de efetuarmos a substituição u — rf/(x), somente precisamos escrever dx

— du em lugar de dx, mudando o l imite dos valores originais de x

para os correspondentes de u. 3. E x e m p l o s . Fórrrmlas de integração.

C o m o auxílio da regra da substituição podemos, em muitos casos,

calcular urna dada integral j f(x) dx, reduzindo-a, mediante u m a substituição conveniente de x por (j>(iz), a u m a das integrais elementares da tábua que apresentamos. Se tais substituições são possíveis, e como achá-las, são perguntas a que não se podem dar respostas de caráter geral; são, antes, assuntos nos quais a prática e a capacidade inventiva de cada um, em contraste com os métodos sistemáticos, encontram sua aplicação adequada.

Ç dx Como exemplo, transformaremos a integral J' V a 2 _ ^ efetuando

ÍV] MÉTODO D E SUBSTITUIÇÃO 213

a substituição ( 1 ) x — <f>(u) — au, u = \y(x) = x/a, dx = adu, pela qual, de acordo com o n.° 13 da tábua das integrais elementares (pág. 206), obteremos

/

dx r adu a

Va 2 - x2 ~ I aVl - li2 ~ a r c S e D U ~ m Q s e t l x ^ ) a x a I 211 < I a I* Pela mesma substituição, teremos, de modo análogo,

r dx r

J a2 + x2 J é adu 1 1 x

~~——ir-= - arc tg u = - arc tg -» (1 + u2) a a a

Va 2 + x2 * a I f dx

J V í 2 " ^

dx x = Arc Sh

x — Arc Ch -» para | x \ > \ a |, a

I dx

a2-x2

1 x - Arc T h - para \x\< \a

a

1 x - Arc Cotb - para ! x I > j a\ a a

fórmulas que se apresentam freqüentemente, e que podem ser facilmente verificadas, pela derivação do segundo membro.

E m conclusão, devemos salientar, mais uma vez, que baseamos o processo que expusemos na hipótese de que a substituição possua uma única inversa, x = 4>(u) e, efetivamente, que (x) não se anule em parte alguma do intervalo considerado. Se a hipótese nao se verificar, a aplicação da fórmula de substituição pode conduzir, facilmente, a conclusões errôneas. Verificando-se $>'' (x) = 0 unicamente em pontos isolados do intervalo de integração, podemos evitar a dificuldade subdividindo este intervalo de modo que ^'(ÍC) se anule somente nos pontos extremos de um subintervalo. Podemos, então, aplicar a fórmula de substituição a cada subintervalo, separadamente ( 2 ) .

(*) Para abreviar, escrevemos os símbolos dx & da separadamente, isto é, dx = s6'(u) du em vez de dx/du = <j>'(u) (págs. 106, 107).

(2) Uma aplicação deste método conduz ao resultado seguinte, aplicável a muitos casos especiais: se a derivada ip'(x) se anular em um número finito de pontos, porém, se a função ij>(.x) permanecer monótona, o processo da fórmula de substituição pode ser empregado.

3. E X E M P L O S D O M É T O D O D E SUBSTITUIÇÃO

Nesta seção reunimos um certo número de exemplos que o leitor deve estudar cuidadosamente, a fim de adquirir a prática necessária.

Pela substituição de u = 1 =±= z-, d a = ± 2xdx, deduzimos x dx

J I

x dx 1 * X 2

= =b H lg I 1 ± X 2 J.

Nestas fórmulas devemos empregai-, nas três posições indicadas, somente um dos sinais, + ou - .

Pela substituição de u = ax -J- b, da = a dx( a 4= 0), obtemos í dx 1 / T T ~ l o g I aa: + 6 I,

./ ax + o a (ax + 6)« tíx = (ax -f- 6)<*+ L ( a 4: - 1),

a ( a 4- 1)

f . 1 sen fax + o) dx = -- - cos(« .r 4 - í/);

da mesma forma, substituindo u — cosx, du = — senxcfx, teremos,

tg x dx — ~ log I cos x |,

e, substituindo u = sen x, da — cos r dx, virá

cot a; dx = log | sen x \ I (pág. 208) . E m p r e g a n d o as subst i tu ições análogas, u = C h x, du = Shxdx e u = S b x, du — Ch x dx, o b t e r e m o s as fórmulas

Tb xdx = log I Ch x |,

Coth x dx = log I Sh x j,

c a Efetuando a substituição u = - tg x , du = - sec2x dx, chegaremos às duas fórmulas

o o

dx 1 C 1 cte

a 2 sen2 x +- 62 cos2 x b2 f a' . „ , , cos2 x J p t g ' a: + 1

1 / a \ = — are t g ( r tg x ,

IV] MÉTODO D E SUBSTITUIÇÃO 215

—S

dx ab A r e T h

2 sen2 x - b2 cos2 x

Calculamos a integral

Are Coth ab

dx

sen x X X X X X escrevendo sen x — 2 sen - cos - = 2 tg - cos* - e fazendo u = tg -, de modo aue 2 2 2 2 2

1 x

da = -sec 2 - dx. A. integral, então, transforma-se em 2 2 y dx Çdu

sen x J u

log

Se substituirmos x por x -f 7r/2, a fórmula assumirá a forma dx

I cos X

A substituição de = 2x conduz, se aplicarmos também as fórmulas trigonométricas 2 cos2 x = 1 -f- cos 2 x e 2 sen 2x = 1 - cos 2 x , às relações freqüentemente empregadas

cos2 xdx — }/%{x -{- sen x cos x)

sen2 xdx = }4(x~ sen x cos x).

Pela substituição de x — cos u, equivalente a u = are cos x, ou mais geralmente, x = a cos u (a =fc: 0), podemos reduzir

y V ( l - s 2 )< f e e y* V ( a 2 - x 2 ) dx

respectivamente, a estas fórmulas. Obteremos, então, t2 a" x x ,

V (a2 - x2) dx = - — are cos - + « Va 2 - £ 2. Da mesma forma, pela substituição de x — a Ch u, chegaremos a

a- x x V (x2 -a2)dx — ~~ Are C h - + - Vcc2 - a 2

e, pela substituição de x = a Sh u, teremos r2 cr cc x V(a 2 -j- re2) dx = — Are Sh - -f- - Va 2 -f x2.

a

216 C Á L C U L O I N T E G R A L [ C A P .

a a A substituição de a = -•> dx — —- du, conduz a

x u-

I dx

/ • o o

xvx~ - a-

1 a are sen ->

a x

dx ; r V r 2 •+- ar

dx ; 9 o

x\a~~ x~

1 a ~ ~ Are Sli -» a x

1 a - A r e C h -a a;

Vejamos, por fim, as três integrais

J sen mx sen nx dx, J sen ma; cos nx dx, J cos mx cos na- cfo,

onde m e n são inteiros e positivos. Por fórmulas trigonométricas bem conhecidas, podemos desmembrar cada uma das integrais acima em duas partes, escrevendo

sen mx sen nx = y& [cos {ni - n)x - cos(m -f- n)x],

sen mx cos nx = M [sen(m + rí)x -f sen(m-n);r],

cos ma; cos nx = K [eos(77i - j - + cos'(m - n)x].

Se fizermos, agora, as substituições u = (m. + n)x e u = (m - n)x, respectivamente, obteremos diretamente o seguinte sistema de fórmulas:

sen mx sen nx dx =

1 T sen(m - n)x _ sen(m + 2 L m — n m +

- n)xl n J se m n,

f sen mx cos nx dx = -

1 / " sen 2mx\

1 f cos(m -h n)a: , cosím - n)x 1 _ _j s e / n i j r n ,

cos 2T C C

2 V 2m ) se m = n;

ÍV] MÉTODO D E SUBSTITUIÇÃO 21?

í 1 T sením + n)x , sen(m-n)x 1 j_ s e m + n,

/ 1 2 L m + n m-n A j cos mx cos nx dx = •> ., - _ x

J \ 1 f sen 2mx \

Se, em particular, integramos desde — -K ate 4- T , obteremos dessas fórmulas as relações importantíssimas

St I. f.

• sen mx sen az == 4 [_ T se m. = n ,

sen mx cos na: dx = 0,

+ x , (*0 s e m p r e , cos ma; cos na; dx = -j

- x [.-TT se m = n, que traduzem as "relações de ortogon alidade" das funções trigonométricas, que encontraremos novamente no capítulo I X (pág. 438).

E X E M P L O S

Calcular as seguintes integrais, verificando os resultados pela dernação:

_ , x + 1 1. / xex2 dx.

C c x -+- i Jxe*2dx. 9 - J W ^ d X -

dx 2. f x 3 e - ^ dx. 10. f-, .

J J V 5 - f 2x + x2

3. fx2Vl + xHx. 11. í-, — =. J J V 3 - 2x - x a

/log x r xdx

-^~dx. 12. / -. X J X 2 — X + 1

/áx r xdx

-. 13. / , =. x(logx)™ J V x 2 - 4 . x + l

3cfx , j f (x + l)dx 6

5

r ádx r ;. / . . 14. / -,

J 9x2 - 6x + 2 J V 2 -f- 2x - 3 x a

r dx />• dx 7. / , 15. / — : .

u . f d x .

J 2 + 3x J x2-x 4- 1 8

2 1 8 C Á L C U L O I N T E G R A L [CAP.

/dx r 1 ar< ~

23. / — x 3 + 2ax + b J o 1

18. /" <íx. 24. / cos" x sen x efe. ./ 1 - x J o r , /•» ' ícte / sen 3 x cos4 x ax. 25. / '

J J o V i + 3

20. Jsen2 x cos 5 x dx. 26. * -—-—— dx.

4 xdx x'

b x

a (1-Tx2)2

21. f x%\'l - i 2 ) 5 rfx. 27. f _?L— dx (1< o < 6). -/ J a 1 — X

/x-

, dx. 28. / V i - x 2 J o

•x/2 x sen 2x 2 dx»

29. Calcular f (1 - x)« (sendo n inteiro e positivo) por substituição. J o

4. INTEGRAÇÃO POR PARTES

O segundo método usual p a r a resolver os problemas de i n t e g r a ção é fornecido pe la fórmula d a derivação dos produtos :

UgY-fg + fg'.

1. O b s e r v a ç õ e s g e r a i s .

Se escrevermos a expressão anter ior sob f o r m a integral , obteremos (pág. 141)

j(x)g{x) = J g{x)J'{x)dx + Jf(x)g'(x)dx

ou f(x)g' (x)dx = f(x)g(x) - Jg(x) f {x)dx.

E s t a relação pode ser t o m a d a como a fórmula d a integração por partes. O cálculo de u m a integra l f i c a , ass im, r eduz ido à avaliação de o u

tra i n t e g r a l . Decompusemos o integrando d a integra l J ca(x)dx em

u m p r o d u t o w (x) = f(x)<p(x), e se pudermos determinar o va lor da integra l i n d e f i n i d a

g{x) = J (f>{x)dx

do fator 4>(x), de m o d o que <£(>) = gr (%), r eduz imos , pela nossa fór

m u l a , a in tegra l Ju(x)dx = Jf(x)4>(x)dx = Jf{x)g' {x)dx a Jg{x)j'{x)dx

que, em alguns casos, pode ser c a l c u l a d a m a i s rap idamente do que sob

IV] I N T E G R A Ç Ã O P O R P A R T E S 219

a forma p r i m i t i v a . Levando-se em conta que a função a integrar u (x) pode ser considerada como u m produto f(x)<f>(x) = f(x)g' (x) de u m grande número de modos diferentes, verifica-se que a fórmula proposta proporciona um instrumento mui to eficiente para a transformação das integrais.

A fórmula de integração por partes, escrita como fórmula para a integração definida, assume o aspecto

fbf(x)g'(x)dx =f(x)g(x)\b- fbg(x)f(x)dx J a [aja

= Kb)g(b) -f(a)g(a) - £ g{x)f> (x) dx,

visto necessitarmos, apenas, subst i tuir a variável que aparece em ambos os membros da integral inde f in ida (1) por x = 6, (2) por x — a e escrever a diferença das duas expressões, para obtermos a integral definida, partindo da fórmula para a integração indefinida (cap. I I , § 4, pág. 117).

Podemos dar uma interpretação simples desta fórmula, pelo menos com restrições convenientes sobre as funções envolvidas. Suponhamos que y = f(x) e z = g{x) são funções monótonas e que f(a) = A, f(b) — B, g(a) = a, g(b) — j8. Podemos, então, formar a inversa da primeira função, substituindo na equação assim obt ida z como função de y , admit indo que ta l função seja monótona crescente. Como dy = f'{x)dx e dz => = gr{x)dx, a fórmula de integração por partes pode ser escrita

zdy-{-j ydz — BB - Aa,

em concordância com a relação que a f igura 1 esclarece perfeitamente,

área NQLK + área PMLQ - área OMLK - área OPQN.

© exemplo seguinte servirá de primeira ilustração do método apresentado:

F i g . 1

Jlogxdx = J log a. 1. da;.


Escrevemos o integrando desse modo para indicar que faremos j{x) — logxeg '(x) = 1, de ta l sorte que tenhamos j'{x) =• l/x e g(x) = x.

A fórmula proposta torna-se, então,

J log xdx — x log x — J' - dx ~ x log x — x,

expressão que é a integral do logaritmo, como pode ser verificado pela derivação.

2 . E x e m p l o s .

Os seguintes exemplos são destinados a auxiliar o leitor a fixar este método. Fazendo-se f(x) = x, g'(x) — ex, teremos J ' ( r ) = 1, g{x) = ex, e

j xex dx = ex(x -1).

D a mesma forma obteremos

J x sen x dx = — x cos x + sen x

e

J x cos xdx — x sen x + cos x.

Para j[x) = log x, g'{x) = xa, teremos a relação

r a a + l s 1 N / xalogxí fx = — — I Ioga — - ) .

Admitiremos que o 4 = - l . Quando a =» - 1 teremos (pág. 208)

/l c dx

- log x ür = (log x ) 2 - / log x . — ; X J X

transpondo a integral do segundo membro para o primeiro, virá rl 1 / - log x dx = - (log x)2.

J x 2

Calculamos a integral j are sen x d x , fazendo j{x) — are sen x, g'[x) — 1.

Obteremos, assim,

x dx J are sen xdx ^ x are sen x - J ^ r :

A integração do segundo membro pode ser efetuada como está indicado no § 3 (pág. 214); achamos, pois,

j"are sen x dx =» x are sen x +• V l - x 2 .

IV] INTEGRAÇÃO P O R P A R T E S 221

Do mesmo modo calcularemos a integral

f are tg x dx = x are tg x - - log (1 - f x 2 ) J 2

e muitas outras do tipo análogo. Os exemplos seguintes são de natureza algo diferente. Uma dupla aplicação

de método de integração por partes leva-nos à integral primitiva, para a qual obtemos, assim, uma equação.

Integrando por partes, duas vezes, inferimos:

/ exa sen bxdx = — eax cos bx + ~ f eax cos bx dx J b b J

1 a a3 r «. — eax c o s D x _] eax s e u bx / eax sen bx dx,

b b2 b 2 J

e, resolvendo a equação em relação à integral jeax sen 6a: dx,

/eax sen bx dx = — eax (a sen ò i - ò cos 62).

a3 + ò 2

De maneira análoga, deduzimos que 1

eax cos bx dx = e a a ; (a cos ò i + ò sen òx). d- + ò2

3. Fórmulas de recorrência.

E m muitos casos, o integrando é função não somente de uma variável independente, mas, também, de um expoente inteiro n e, na integração por partes, obtemos, em lugar do valor da integral, outra expressão semelhante, na qual o expoente n aparece com um valor menor. Chegaremos, assim, após um certo número de aplicações do método, a uma integral que poderá ser resolvida pela tábua de integrais elementares que apresentamos. Este sistema é denominado processo de recorrência. Os exemplos seguintes mostram como, pela repetição da integração por partes, é possível estabelecer o valor das integrais das funções trigonométricas

y*cos";£ dx, ysem*xote, Jsen^a:cosida;,

desde que m e n sejam inteiros. Achamos, assim, que

Jcosnxdx = cos n - 1 x sen x + (n - 1) J cosra-2a;sen22:cfa;;

podemos escrever o segundo membro sob a forma

cos n _ 1 a; sen x + (n - 1) y cos n~2 xdx- (n - 1) J cosn x dx,

222 C Á L C U L O I N T E G R A L [CAP.

obtendo a relação de recorrência

J 1 n-l r cosnxdx = - cos " - 1 x sen x -f- / cosn~2xdx.

n n J Esta fórmula permite-nos prosseguir, diminuindo o expoente do integrando, até chegarmos à integral

cos x dx = sen a; ou J dx = x,

conforme n seja ímpar ou par, respectivamente. Analogamente estabeleceremos as fórmulas de recorrência análogas

1 n - l f sennxdx = — sen 7 1 - 1 xcosx -\ f seu.n'2x dx

n n J

/

$enm+1xcosn~lx n - l f &en.mxcos,nxdx = • 1 •— / senmx cosn~2xdx.

m -f- n m + rtj

E m particular, estas fórmulas permitem calcular a integral

sen2 x dx = }i(x - sen x cos x)

I cos2 x dx = y2(x + sen x cos x),

como já fizemos, empregando, porém, o método de substituição (pág. 215).

Diremos, ainda, que as fórmulas integrais correspondentes para as funções hiperbólicas podem ser estabelecidas de maneira exatamente igual.

Ás seguintes transformações fornecem outras fórmulas de recorrência:

y (\ogx)mdx = a;(log x)m- m J (log x)~*—1dx,

y*xm sen x dx =» - xm cos x 4 m Jx™—1 cos x dx\

j" xm cos x dx — xm sen x — m J" x™—1 sen x dx,

/jco+l. (log x)m m r

x* (log x)m dx — / xa (log x)m-í dx (a £ - D -a 4 -1 a 4 1 « /

IV] INTEGRAÇÃO P O R P A R T E S

4. P r o d u t o de Wal l i s .

f9 A fórmula de recorrência para a integral J sennxdx conduz;, por

meio de transformações elementares, à mais notável expressão de ir, como um produto infinito. Suporemos que n > 1 e introduziremos os limites 0 e TT/2 na fórmula

r í n-i r I sen" x dx = — sen" - 1 x cos x + / sen" - 2 x dx,

J n n J obtendo

/sennxdx — - — - f sçnn~2xdx para n > 1.

o n J o

Se aplicarmos novamente a fórmula de recorrência ao segundo membro, e continuarmos o processe, teremos, fazendo distinção entre os casos em que n = 2m e n = 2m -f- 1,

f"" /2 om , 2 m - l 2 m - 3 1 f*' 2

I sen~mxdx = . . . . - . / dx, J o 2m 2m - 2 2 J o

2m+l J 2m 2 m - 2 2 p ' 2

s e n ^ m + 1 xdx = . . . . - . / sen x dx, o 2m ~j- 1 2m-1 3 J o

donde x / 2 9m J 2 m - l 2 m - 3 1 *•

sendee ax = . o 2m 2m-2 2 2

T / 2 2 M - M J 2m 2 m - 2 2 s e n ^ + ^ a x =

o 2 m + l 2 m - l 3 Dividindo, vem

/ sen 2 mxc?x TT 2.2 4.4 6.6 2m.2m ./ o 2 1 . Î J . S S . I « . - U . B . + 1) C - „ „ ^

0 quociente das duas integrais do segundo membro converge para 1 à medida que m cresce, como podemos deduzir das seguintes considerações. No intervalo 0 < x < irj2 temos

0 < s e n 2 m + 1 x ^ s e n 2 m x ^ sen 2 7 "" 1 »;

224 C A L C U L O I N T E G R A L [ C A P .

conseqüentemente,

/

•W2 /"x/2 /*x/2

sen 2 m + 1 x dx ^ / sen 2 m xdx ^ I sen 2 m ~ 1 a: ár.

Dividindo-se cada termo por / s e n 2 m + 1 x dx, e observando que pela

fórmula deduzida acima

sen 2 m _ 1 x dx o = 2 m + 1 = 1 + J _

T l % am-i-i J 2 M 2m' sen^m+1xdx o

T/2

sen 2 / 7 2 cr. d,r ./ 0 1

teremos 1 á = 1 + —» sen 2 m J r l x dx .

que demonstra o enunciado. A relação

2 2 4 4 6 6 2m 2m — = iim 2 m_> » 1 3 3 5 5 7 " 2 m - 12m + l

está, portanto, verificada. Esta fórmula do produto (devida a Wallis), com a sua lei sim

ples de formação, proporciona uma relação notável entre o número TC e os inteiros. Se observarmos que

lim -———* = 1, podemos escrever m—* «° <íTYl ~X~ t

2 2 . 4 2 . . . ( 2 m - 2 ) 2 T I™3*.5*...(2m-iy2m = 2'

e, se tomarmos a raiz quadrada e multiplicarmos, então, numerador e denominador por 2, 4 , . . . (2m — 2), acharemos

V v 2 .4 . . . ( 2m-2 ) _ 2 2 . 4 2 . . . (2m-2) 2

õ = u m ^ r~\ V2/n = lim — — V2/n 2 3 . 0 . . . ( 2 m - 1) m _ c o ( 2 m - l ; I

2 2 .4 2 , (2trú2 jo

IV] INTEGRAÇÃO POR P A R T E S 225

Donde deduzimos, finalmente, (m!)2 22m

íim . .— = W , m - , » (2772)! Vm

para a fórmula do produto de Wallis, fórmula esta que empregaremos mais tarde (capítulo VI I , apêndice, pág. 363).

EXEMPLOS

Calcular as integrais dos exemplos 1 até 14.

/x cos x r x7 c

dx. 2. / dx. 3. / x2 cos x dx. s e n 2 x J ( 1 - x 4 ) 2 J

4. j x 3 er*2 dx. 5. J x2 cos nx dx (n sendo inteiro e positivo).

6. J x 2 sen nx dx (n sendo inte iro e posit ivo) . 7. jx3 cos x 5 dx.

8. jsen4 x dx. 9. Jcosaxdx. 10. JaWl - x 2 dx.

11. y*x 2 e* dx. 12. fl-^dx (n =j= 1).

13. J*x™ log x dx (m + 1). 14. Jxs (log x ) 2 dx.

15. Demonstrar a fórmula

Je*p(x) dx - esfpfx) - p ' ( x ) + p"(«)-+...],

onde p(x) representa u m polinómio qualquer. 16. Mos t rar que, para todos os valores ímpares e positivos de n, pode-se

calcular a integral Je~x2xn dx em relação a funções elementares.

17. Demonstrar que, se n fôr par , a integral j e~x2xn dx pode ser avaliada

por intermédio de funções elementares e d a integral J erx2 dx (da qual existem tábuas calculadas).

18. Demonstrar que

19.* O exemplo anterior (18), dá u m a fórmula para a segunda integral repet ida. Demonstrar que a integral repet ida de ordem n de /(x) é dada por

1 r* ; — / J(U)(X- U)n~ldu. (n—l)lJ o


5. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS

A classe geral mais importante de funções integráveis por inter médio de funções elementares, consiste nas funções racionais

/ O ) = -7-7

onde f{x) e g(x) são polinómios:

J(x) = amxm - f a m _ i x r n - 1 - f . . . + c?3, g(x) = bnxn 4- frn-ix*-1 4- - - - + èo (ò„ + 0).

C a d a polinómio pode ser integrado imediatamente , e a integral do mesmo ê, também, u m polinómio. P o r t a n t o , devemos estudar, apenas, as funções racionais cujo denominador não é constante. Além disso, podemos sempre a d m i t i r que o grau d o numerador (/i) é menor do que o do denominador , pois no caso contrário poderemos d i v i d i r os polinómios f(x) por g(x), obtendo u m resto de grau inferior a n. E m outras pa lavras , podemos escrever f(x) = q(x)g(x) 4- r(x), onde q(x) e r(x) são também polinómios, e r(x) é de grau menor do que n.

f(x) f

A integração de - 7 - 7 é, então, reduz ida à integração do polinómio 9W

r(x) q(x) e d a fração "própria" -7-7 • Poster iormente , mostraremos que a

9w g(x) avxv

fração 7 7 - T pode ser representada como a s o m a das funções — - r > de Rx) * * v g(x)

xv

sorte que estudaremos apenas os integrantes d a forma - r - r -

1. T i p o s f u n d a m e n t a i s .

Não procederemos, de imediato , à integração da função rac ional mais geral do t ipo ac ima, mas consideraremos, apenas, aquelas cujos denominadores g(x) são de forma par t i cu larmente simples, a saber,

g{x) = x, g(x) = 1 4- x2,

ou , mais geralmente, g(x) = xn, g(x) = ( í 4- x2)n

onde n é u m inte i ro posit ivo qualquer .

IV] INTEGRAÇÃO D E FUNÇÕES RACIONAIS 227

A este caso podemos reduzir o mais geral, em .que g(x) = (ax 4- 0)n, ou seja, ê uma expressão linear ax + B (a 0), ou g(x) = (ax2+ 2bx -f- c)", uma potência de uma expressão quadrática definida No primeiro caso, introduziremos uma nova variável, £ = ax 4 8. Teremos\d%jdx = a e x — (.£ - 0)la que são, também, .funções lineares de f. Cada numerador /(x) torna-se um polinómio <£(£) do mesmo grau, e, conseqüentemente,

J (ax x~<xJ r ^

No segundo caso, escreveremos , 1 ' d* • •

ax2 -f 2òx + c = - (ax + 6)2 +-~ (d2 = ac - ò2, > 0),

observando que, desde que admitamos ser a expressão definida, ac-b-deve ser positivo e a 4= 0. Introduzindo a nova variável

ax -f 6

chegaremos a um integrando com o denominador — ( 1 £ 2 ) '— CL —J

Logo, para integrar funções racionais, cujos denominadoras-,sejam potências de expressões lineares, ou quadráticas definidas, é suficiente que sejamos capazes de integrar os seguintes tipos de funções:

1 x2" x 2 " + 1

x n ' (x 2 4- D n ' O 2 + 1)" '

Veremos que, mesmo estes tipos, na realidade, não precisam ser tratados em geral, visto podermos reduzir a integração das funções racionais à integração de formas muito especiais destas três funções, fazendo v = 0. Consideremos, pois, a integração das três expressões

1 1 x

x" (x2•+ 1)"' (x 2 4 l ) n '

(i) Uma express3o quadrática Q(x) = ax- + 2bx + c k dejinida, quando, para qualquer valor real de x, receber valores que tenham um só e mesmo sinal, isto é, se a equação Q(x) «• 0 aão tiver raízes reais. Para tanto é necessário e sutiUente que ac — íi2 seja positivo.


2. Integração dos tipos fundamentais.

A integração do primeiro tipo de função conduz, imediatamente, à expres-

1 são log I x I se n = 1 e - — -, se n > 1, isto é, funções elementares em am-

(n~l)xa'L

bos os casos, para a integral. As funções do terceiro t ipo podem ser integradas, em seguida, introduzindo-se a nova variável | = x 2 - j - 1, donde se obtém 2x dx = cf£ e

„ ^ rj, \ % + 1) se n • 1,

J (x 2 + D n 2J £° 2(n - 1) (x 2 + 1)»-*

Finalmente, para se calcular a integral dx

se n > 1.

(x s - f 1)"

em que n tem u m valor qualquer superior a 1, emprega-se o método de recorrência. Se fizermos

1 1 x 2

(x 2 + D " (x 2 + I ) " " 1 (x 2 + l ) a ' de modo que

x 2 dx r dx _ r dx r x J (x 2 + D " ~J (Xa + l ) » " 1 ~J W + l ) n

podemos transformar o segundo membro integrando-o por partes, usando a fórmula da pág. 218:

Í(x) » x, g'(x) = S

(z 2 + D a

Teremos, então, como já havíamos encontrado,

dx

2 (n - 1) (x 2 +

e, portanto, obteremos

f cfx _ x 2 n - 3 /*

' ~ J (x 2 + l ) n ~ 2 ( r c - l ) 0 2 + l ) » - 1 + 2(n-l)J (x 2 + l ) - 1 " O cálculo da integral / „ é, então, reduzido ao da integral J D _ i . Se n - 1 > 1 apli caremos o mesmo processo à última integral, e prosseguiremos no seu emprego até chegarmos, finalmente, à expressão

dx

s i x > + v r & T C t s x '

IV] INTEGRAÇÃO D E FUNÇÕES R A C I O N A I S 229

Vemos, então, que a integral In Cl) pode ser representada implicitamente por funções racionais e pela função are tg x.

Poderíamos, incidentalmente, ter integrado a função diretamente, (z 2 + l)»,

substituindo x por x = tg í. Teríamos, pois, dx — sec21 dl e 1/(1 + x-) — cos 2 /, de modo que

sabendo, já, como calcular esta integral (pág. 222).

3. Frações parciais.

Podemos, agora, estudar a integração das funções racionais mais gerais, visto tais funções poderem ser consideradas como a soma das chamadas frações parciais, isto é, a soma de um polinómio com um número finito de funções racionais, cada qual com uma potência de expressão linear para denominador e u m a constante para numerador, ou, então, uma potência de u m a expressão quadrática definida para denominador e uma função l inear para numerador. Se o grau do numerador f(x) for menor do que o do denominador g(x), não há pol i nómio. Estamos, portanto, aptos para calcular cada fração parcial, visto o denominador poder ser reduzido às formas especiais x« ou (x2 + l ) n (pág, 226), dando frações que representam combinações dos tipos fundamentais já integrados (pág. 228).

Não apresentaremos uma demonstração geral d a possibilidade da decomposição em frações parciais. Pelo contrário, nos contentaremos em enunciar o teorema de maneira inteligível ao leitor, mostrando, por meio de exemplos, como a decomposição em funções parciais pode ser realizada em casos típicos. N a prática, somente se opera sobre funções relativamente simples, dada a excessiva complicação que atingiriam os cálculos, caso fossem consideradas funções mais complexas.

f1) A integral da funcSo - pode ser calculada do mesmo modo, visto que, pelo método (x2 — J}"

de recorrência, podemos reduzi-la à integral

C dx Are T h x {ou Are Co th x).

230 CÁLCULO I N T E G R A L [ C p .

Como sabemos pela álgebra elementar, qualquer polinómio g{x) pode ser escrito sob a forma

g(x) = a(x - ai)h (x - a2)h . . . (x2 - f 2biX-\- c ^ O 2 + 262x - f c 2) r s . . .

Às quantidades «i, a2, . .. são as raízes reais e distintas da equação g(x) = 0, enquanto li, l2, que são inteiros e positivos, indicam quantas vezes as mesmas são repetidas. Os fatores x2 -f 2bvx + c„ representam expressões quadráticas definidas, das quais duas nunca são iguais, com raízes complexas conjugadas, indicando os números

r 2 , . . . , quantas vezes as mesmas são repetidas. Suponhamos que o denominador é dado sob esta forma, ou que

o reduzimos à mesma mediante o cálculo das suas raízes reais e imaginárias. Admitamos, além disso, que o numerador J(x) ê de grau menor do que o denominador (pág. 226). O teorema da decomposição em frações parciais pode, então, ser enunciado como segue. E sempre possível determinar uma expressão da forma

Ai A<? Ai • + •72 ^ + . . . + (x - a) (x - a) 2 " " * (x - a ) p

para cada um dos fatores (x-a)1, onde a ê qualquer uma das raízes reais e / o número de vezes que ela é repetida, ou

Bl + Cix B2 + Cx2 Br 4- Crx

para cada um dos fatores quadráticos Q(x) — x2 - f 2òx 4- c, do pro-f(x)

duto elevado à potência r, de forma que — r r seja a soma de todas g(x)

f(x) estas expressões. E m outras palavras, o quociente —— pode ser re-

<7(z) presentado por uma soma de frações, cada uma das quais pertence a um ou outro tipos dos já integrados na pág. 228

(*) Damos, a seguir, um breve apanhado do métndo pelo qual se demonstra a possibilidade ria decomposição em frações parciais. Se g(x) ~ (x - ot)k /i(x) e h(a =j= 0, o segundo membro da equação

— f í a ) 1 J(x)h(a)-y(a)h(x) y(x) ~ Mac) (x - a)* " (z - «>k h(x)

tRrá o numerador nulo para x =• a, como é claro. Ele será, pois, da forma h(a) te - atWife), onde

I N T E G R A Ç Ã O D E F U N Ç Õ E S R A C I O N A I S 231

Era casos particulares, a decomposição em frações parciais pode ser feita, facilmente, pela simples observação. Se, por exemplo, g(x) = x 2 - l , vemos, desde fogo, que

1 1 1 1 1 x 2 - l 2x-l 2 x - f l '

de tal modo que dx

1 1

K - l0£ x - 1 x + 1

Mais geralmente, se g(x) = ( x - a ) (x ~ / 3 ) , isto é, se £7 ( 2 ; ) não for uma expressa© quadrática definida com dois zeros reais, a e /3, teremos

de forma que J dx 1

(X - a ) (x - j3) • a - jS I O Í

X - a

X - / 3

4. E x e m p l o . R e a ç ã o b i m o l e c u l a r .

Um exemplo simples da aplicação desta fácil redução a frações parciais é proporcionado pela chamada reação bimolecular. Suponhamos que dispomos de dois reagentes cujas concentrações originais, em moléculas-grama, por unidade de volume, são a e b, sendo, por hipótese, a<ò. Suponhamos, ainda, que no tempo t forma-se uma quantidade x (moléculas-grama) do produto da reação, por unidade de volume. De acordo com a lei da ação das massas (pág. 182), no caso mais simples— reação entre uma molécula de cada reagente—a razão do acréscimo da

dx quantidade x é fornecida pela equação — = fe(a - x)(6 - 2). O problema consiste,

dt então, em determinar a função x(í). Se, inversamente, considerarmos o tempo £ como função de x, teremos

dt 1 dx k(a-~x){b

que dá por integração, 1

- x) k(b — a) \a - x b — xj

kl « a — x 6 - X

+ c, para x < a < 6.

fi(x) 6, também, um polinómio, a quantidade Inteira m ^ 1, QJI(<X) =t= 0. Escrevendo . 0, Yirá h(ot)

/ ( x ) ff Ji(x)

g(x) ~ (x - « ) k ** (x - a>)k~m h(xY

Repetindo o processo, iremos dimímuiado o grau do expoente de (x — a) que ocorre no denominador, até eliminá-lo. Repetiremos o processo em relação à Tração restante» para alguma outra raiz de g(x\ e o faremos tantas v<V,es quantos fatores distintos existirem em g{x), Realizando-o, não sò-meute para as raízes reais, mas igualmente para as complexas, chegaremos, eventualmente, à decomposição completa cm frações parciais.

Determina-se a constante de integração c, sabendo-se que no tempo t => 0 não bá produto a lgum da reação formado, de sorte que

1 a log - - f c = 0.

Obtemos, f inalmente, x

1 - -1 , «

kl - l o g -, a - o x

1 - -6

e se resolvermos a equação em relação a x, teremos a função procurada x{t): a 6 ( l - e ! a - b , k t )

x = £ _ a e < a - b ) k t

5. Outros exemplos de decomposição em frações parciais. Método dos coeficientes indeterminados.

Se gix) = (x - ai) (x - et2) (... O - an), onde a t 4= a f e se £4= isto é, se a equação g(x) — 0 tiver unicamente raízes simples reais, poderemos representar a expressão, valendo-nos das frações parciais, do seguinte modo

1 ai a2 an = _j_ 1 2 _

g(x) x~ai x-a-2 x-an'

Se multiplicarmos ambos os membros por (x — a{), cancelando este fator comum ao numerador e denominador do primeiro membro e do primeiro termo do segundo membro, fazendo, então, x — ai, obteremos expressões explícitas para valor dos coeficientes d\, a 2, que assumirão a forma ( 1 )

1 1 (ax - a2) («i - a 3 ) . . . (ax - an)

Como exemplo característico do denominador g(z) com raízes múltiplas, 1

estudemos a função — . A relação pre l iminar x-[x - 1 )

1 a b e x2(x - 1) a: - 1 a: x2

em concordância com o exposto n a pág. 230, leva-nos ao resultado que procuramos. Se mult ip l i carmos os dois membros desta equação por x2(x -1) chegaremos à expressão

1 = (a 4- b)x2 - (6 - c)x - c,

í 1) O leitor deve observar que o dentminadjr do segundo membro é g^aj, isto é, a derivada da função g(x) no ponto x=av

IV] INTEGRAÇÃO D E FUNÇÕES RACIONAIS 233

verdadeira para todos os valores de x e por meio da qual determinaremos os coeficientes a, b, c. T a l condição, porém, não pode ter lugar, a menos que todos os coeficientes do polinómio (a + b)x2 — (ò - c)x — c — 1 sejam iguais a zero, isto é, devemos ter a-\-b = b- c = c + l = 0, ou c = -1, ò = - l e a = l . Logramos, assim, a decomposição

1 1 1 1 x2(x — 1) X - 1 X X2'

« , por conseqüência, dx , , , , , , 1 = log I x - 1 I - l o g I x I -f- - .

x2(x — 1) X

1 Decomporemos, agora, a função — (que é u m exemplo do caso em que

x[x- -|- 1) os zeros do denominador são complexos) de acordo com a equação

1 a bx + c = —f-x(x 2 + 1) Z X 2 + 1

Teremos, para os coeficientes, a + ò = c = a - l = 0, de modo que

1 1 x z(x2 - f l ) x x 2 + 1

c , conseqüentemente, dx 1

log I x I - - Iog(x 2 + 1). x(x2 -f-1) 2

Como terceiro exemplo, vejamos a função (o próprio Le ibn i t z a con-x 4 + 1

siderou uma integração trabalhosa.) Podemos representar o denominador como o produto de dois fatores quadráticos:

x* + l = (x2 + l ) 2 - 2x2 = (x 2 + 1 + V2i) (x 2 + 1 - V iã ) .

Sabemos, portanto, que a decomposição em frações parciais assumirá a forma

1 ax + b cx 4- d + x* + 1 x2 4 - ^ 2 x 4 - 1 x 2 - V 2 x 4 - l "

P a r a a determinação dos coeficientes a, b, c, dispomos da relação

(o + c)x3 + (b + d'-a^2 + c V l ) x 2 + (o + c - òVl 4- <fV2)z + (6 + d - l ) = 0,

que é satisteita pelos seguintes valores:

1 _ 1 _ d 1 0 = 2V2' ~ 2' C ~ ~ 2VI' " 2*

Teremos, assim,

1 l x 4- V2 l x ~ V i

x 4 4 - l 2 V 2 x 2 4 - V 2 x 4 - l 2 V 2 x 2 - V 2 x 4 - l

234 C Á L C U L O I N T E G R A L [CAP

e, aplicando o método que apresentamos na pág. 227, obteremos

r dx J x^T

dx 1 ,— 1 ,— = — log I x2 + V 2 i - f 1 i - — r r Iog I x2 - V2x + 1 I

* 4- 1 4v2 0 1 1 4V2 . .

4- are tg (V2x + 1) + ^ are tg (V2x - 1),

que pode ser facilmente verificada por derivação.

E X E M P L O S

Integrar:

dx r dx 1. f~^-~. 8. f-

J 2x - 3x 2 J 1 4- x 3

dx r (x - 4) 2. f-5f_. 9. f. J x2 - X J ( (x 2 4- 1) (x - 2)

r 3 da: r x 4- 4 3. / . 10. — —

J x(x + l ) a J (ar - 1) (x 4- 2)

r x 3 4- x 4- 1- 1" xG

4. / J _ dx. 11. rfj. J 3x- - 2x - 5 J 1 - x 4

_ r dx 1- dx 5 / . 12.*/ -.

J ( x - l ) 2 ( x 2 + 1) J x° 4- 1 r x 2 r' - r x2.

6. / _ _ _ 13. / — — J (x- !)-(.£-• 4-1) J x- +X--2

dx.

dx.

dx. _ 2

dx r dx " f li f

J 1 -X3' l'J arXx 2 4- l ) 2

6. INTEGRAÇÃO DE OUTRAS CLASSES DE FUNÇÕES

1. Observações preliminares sobre a representação racional das funções trigonométricas e hiperbólicas.

A integração de algumas outras classes gerais de funções pode ser reduzida à integração das funções racionais. Estaremos mais bem habilitados a compreender esta redução, se estabelecermos, inicialmente, certos fatos elementares relativos às funções trigonométricas

x

e hiperbólicas. Se fizermos t = tg a trigonometria elementar dá as seguintes fórmulas simples

IV] O U T R A S C L A S S E S Dû FUNÇÕES 235

visto que = cos2 t2

2 = sen- - , 1 + t2 2 " 1 + i

e, partindo das fórmulas elementares,

sen x = 2 cos2 - tg - e cos x = cos2 - - sen 2 -

obtemos as expressões acima estabelecidas. Estas equações mostram que sen x e cos x podem ser expressos, racionalmente, em função da

x x quantidade t = t g - - Derivando t = tg-> temos

ÍÍ

dl 1 1 + P dx 2 Tx = w i / i = ~1T' d e s o r t e q a e J t = I T ?

dx portanto, a derivada -77 é, também, uma expressão racional em /.

dt A representação e o s igni f i cado geométrico das fórmulas encontradas estão

indicados na figura 2. O círculo u2 + v2 = 1 está contido no plano uv. Se representarmos por x o ângulo POT d a f i gura , u = cos x e v — sen x. O ângulo OSP, com vértice no ponto u = - 1, D = 0, é igual a z/2, devido a u m teorema da geometria elementar, sendo possível deduzir d a f igura a significação geométrica do parâmetro t, pois t — t g y$x = OR. Se o ponto P se deslocar, part indo de <S, e girar u m a vez e m torno do círculo, n a direção pos i t iva , isto é, se x percorrer o in terva lo de - TT a + T , a quantidade t percorrerá t o d a a série de valores compreendidos entre — «» e + °°> exatamente u m a vez. „ . „

- Fig. 2. — R<presentação paramétrica das funções trigonométricas

As funções hiperbólicas Ch x = V2(ex + er*) e Sh x = y2(ex - e~x) podem, de maneira correspondente, ser expressas como funções racionais de uma terceira quantidade. O caminho mais simples é fazer-se ex = T, de sorte que teremos

\

ft /\z 1 V >

V - 0 JT u.

Chx =-

expressões racionais do S h z e do Chá:. Nestas fórmulas, também, dxjdt = 1/T é racional em r. Obteremos, porém, analogia mais perfeita

com as funções trigonométricas, introduzindo a quantidade t — T h

Chegaremos, então, às fórmulas 2t

Shx = 1-F

Chx = 1 + l2

1-t2'

Derivando t = T h - obteremos, como na pág. 235, a expressão racional

dx 2 dt l~i2

para a derivada dxfdL Novamente, a quantidade i ê suscetível de interpretação geométrica semelhante à que lhe atribuímos no caso das funções trigonométricas, como vemos, imediatamente, observando a figura 3.

u2-v2-t

F i g . 3. — Representação paramétrica das funções hiperbólicas

N o caso, porém, das funções trigonométricas, t deve assumir toda a seqüência de valores compreendidos entre — <» e 4> <»} para dar todos os pares de valores de cos x e sen x, ao passo que, no caso das funções hiperbólicas, t ê l imitado ao intervalo - 1 < t < 1.

Feitas estas observações prebminares, passaremos ao problema da integração.

2. Integração de í?(cos x, s e n

Seja H (cos x, sen x) uma expressão rac ional em sen x e cos x,

IV] O U T R A S C L A S S E S D E FUNÇÕES 23 T

isto é, uma expressão que se forma racionalmente destas duas funções e constantes, de sorte que

3 sen 2£ + cos x

3 cos 2 £ + sen x

x Se aplicarmos a substituição t = t g -> a integral

.R(cos x, sen x)dx

será transformada em í \ - t 2 2t \ 2

:dt, + t2 1 - M V 1 + / 2

com uma função racional de t sob o sinal de integral. Des ta maneira resolvemos teoricamente o problema proposto, isto é, achamos a integral da função dada, visto podermos resolvê-la, integrando-a de acordo com os métodos expostos nas seções precedentes.

3. Integração de JR(Ch#, S n * ) .

D o mesmo modo, se R(Gh x, S h x) for uma expressão racional em função das funções hiperbólicas Cha? e Shas, podemos efetuar a

x integração substituindo t — T h - - Lembrando que

dx 2 dt l - t 2

teremos

J R(Chx, Shx)dx = J R^T—p* YZJz) TZj2dL

(De acordo com uma observação anterior, podíamos, também, ter introduzido r — ex como nova variável, exprimindo C h x e S h x em função de r.) A integração fica, portanto, reduzida, mais u m a vez, à das funções racionais.

4. Integração de R(x, V l — x2).

A integral J R(x, V l - a : 2 ) pode ser reduzida ao t ipo estudado

no n.° 2 (pág. 236), empregando-se a substituição

x = cos u, V l — x2 = sen u, dx = - sen u du;


2 part indo deste ponto, a transformação t = tg ~ leva-nos à integração

de u m a função racional . Poderíamos, neste caso, ter efetuado a redução de urna só vez, em lugar de duas, empregando a fórmula de substituição

l-x, l - P , 21 —> x = ^ q ^ ; v i - x2 = z-^js t = y x = v i -x- =

dx - U dl (1 + ÍFf

;roduzido t = t\

variável, obtendo, desde logo, u m a função rac ional para integrar.

u ou seja, poderíamos ter introduzido t = t g ^ diretamente, como nova

5. In tegração d e R(x, V * 2 — 1).

A integral JR(x, ^x2-l)dx será transformada no tipo tratado

no N.° 3 (pág. 237), substituindo-se x = C h a. Observemos, entretanto, que, neste caso, também podemos atingir o nosso objetivo imediatamente, introduzindo

4_ i / E l - - r h 2 -6. Integração de R{x, VAT - f 1).

A integral J R(x, V x 2 4> 1) dx é reduzida pela transformação x — S l i u, ao t ipo apresentado no N.° 3 (pág. 237), podendo, pois, ser integrada em termos de funções elementares. E m vez de empregarmos a substituição e u = T OU T h ^ = t e depois reduzii"mos o problema proposto à integral de funções racionais, poderíamos ter obtido a integral das funções racionais de u m só passo, ut i l izando qualquer das substituições

- 1 + V r H ^ I r = z - f V r 8 - ! - 1 , t = =

7. Integração d e JR (*, V a * 2 + 2hx 4- c)*

A integral JR(x, slax2 4- 2bx + c)dx de u m a expressão racional

IV] i O U T R A S C L A S S E S D E F U N Ç Õ E S 239

em x e da raiz quadrada de u m polinómio qualquer em x, do segundo grau, pode ser imediatamente reduz ida a u m dos tipos já estudados. Podemos escrever (pág. 227)

1 CLC — b2

ax2 + 2bx 4> c = - (ax + b)2 -j a a

Se ac-b2 > 0, introduz iremos a n o v a variável £, por meio da ax + b

transformação £ = , pj em v i r tude d a qual o rad i ca l assume a voe - i r

forma j/ ( £ 2 + !)• P o r t a n t o , a integral proposta, quando expressa em termos de £, é do t ipo do N.° 6. A constante a deve, neste caso, ser pos i t iva , para que a ra iz quadrada possa admi t i r valores reais.

Se ac - ò 2 = 0, a > 0, vemos pe la fórmula Vaar + 2bx + c - í h \ = V a l x - f - \

que o integrando é rac ional e m x desde o início.

ax + & Se, f inalmente, ac — b2< 0, faremos £ = ,7-5 obtendo a ex-

v o" — ac

l / ò 2 — ac

pressão 1 / — - — ( £ 2 - 1) p a r a o rad i ca l . Quando a for pos i t ivo , a

integral será reduz ida ao t ipo do N.° 5 (pág. 238), ao passo que, quando

a for negativo, escreveremos o rad i ca l sob a forma j ^ / ^ - - — ^ V l - £ 2 ,

reduzindo a integra l ao t ipo do N.° 4 (pág. 237). 8. O u t r o s e x e m p l o s d e r e d u ç ã o a i n t e g r a i s de f u n ç õ e s r a c i o n a i s .

Dos outros t ipos de funções que podem ser integrados pe la redução a funções racionais , mencionaremos apenas dois: (1) expressões racionais contendo dois radica is diferentes das expressões lineares,

R(x, Vacc + b, sloiX + 0); (2) expressões d a forma R Çx, j / ^ ^ ^

onde a, 6, a e j8 são constantes. N o primeiro caso introduziremos a n o v a variável £ = V a z - f /3, de sorte que ax -+- j3 = £ 2 , e, conseqüentemente,

a ác 2£ #


então, J R(x, ylax + b, V a z -f- í3)dx —

Ç Í ? - P -| í l \2Ç

-JR\7írV ~M2-W-ba)},t)~dZ,

que é do t ipo j á estudado no n.° 7 (pág. 238). Se, no segundo caso, introduzirmos a variável

_ i / ax + o

teremos ax + 6 - j f f ^ + b afi-ba

a x + /3 a f - a d£ ( a f - o ) 2 * '

chegando, imediatamente , à fórmula

que é a in tegra l de u m a função rac ional .

9. Observações s o b r e os e x e m p l o s .

A s discussões que precederam apresentam interesse puramente teórico, pois a realização dos cálculos efetivos, no caso de expressões complicadas, é extremamente laboriosa. É , portanto , aconselhável fazer uso. sempre que possível, d a f o rma especial do integrando, para s impl i f i car o t rabalho . P o r exemplo, para integrar a expressão

~ 2 — 2 . \ h2—~ é preferível empregar-se a substituição t = t g x, 0~SeiT";£ -f- o-cos-z em vez d a apresentada n a pág. 237, v is to sen 2 £ e cos2;z poderem ser expressos como funções racionais de tgx, evitando-se, assim, vo l tar

x à expressão t = t g O mesmo vale p a r a qualquer expressão formada

racionalmente ( 1 ) de sen 2#, cos2a; e sen x cos x. A d e m a i s , p a r a o cálculo de mui tas integrais , é preferível a f o rma trigonométrica à rac ional , desde que a p r i m e i r a possa ser a v a l i a d a por u m processo simples de recorrência.

(!) Visto sen a cos x ~ t g x cos 2 x poder ser expresso, racionalmente, em função de tg x.

IV] O U T R A S C L A S S E S D E FUNÇÕES 241

Por exemplo, embora o integrando da expressão J x n(V 1 — x^dx

possa ser reduzido a forma racional, é mais simples fazer-se x — sen u,

transformando-o em J sen"ii c o s m + 1 « du, já que esta fórmula pode ser facilmente tratada pelo método de recorrência da pág. 222 (ou, empregando os teoremas da adição, reduzir as potências dos senos e co-senos a senos e co-senos de ângulos múltiplos).

P a r a ca l cu lar .a integra l dx

a cos x 4- 6 sen x ( a 2 + b2 > 0),

em lugar de aplicar a teor ia geral , pode-se determinar u m a quant idade A e u m ângulo 0, de sorte que

a — A sen d, b — A cos 6;

isto é, podemos escrever • • Uß V

a2 •+ b2, sen 0 = —, cos d — —, A A

A integral assume, então, a f o r m a

- f -

A S s

dx

sen [x -f- Q) e introduz indo a n o v a variável x 4- d veri f icaremos (pág. 215) que o va lor da i n tegral é

log x 4- 6

Integrar :

h

dx

4- sen x

dx

4- cos x

dx

4- sen a; dx

sen 3 x

dx

cos x

*ß dx /

• tri s

o S

EXEMPLOS

dx

4- cos 3 x

dx

3 4- s e n 2 x

9. Jtg*

! 0 . f— J sen x

dx.

dx

4- cos x

s e n 2 x 4- cos 3 x

4- cos x

H . f J 3 cos 2 x 4- sen 1 x

12. J V ( x 2 - 4 ) e f a .

sen x tfx.


13. /*V(4 + 9x*)dx. 16. í r . J J Vx + V i - a /• d x , „ /* V l 4~ x 4~ Vl"~*ã

í • 7 (x-2)Vx=-4 2 : + 3- " J vr+Trvrrí^ 15. /"x V(x 2 + 4x) dr. 18. f V s ~ a &

^ 7 1 + V x - a

19

+ V x - a 4 -1

+- V x - 6 '

7. OBSERVAÇÕES SOBRE AS FUNÇÕES NÃO INTEGRÁVEIS PELAS FUNÇÕES ELEMENTARES

I. De f in i ção d e funções p o r m e i o de i n t e g r a i s . I n t e g r a i s e l í p t i c a s .

C o m os exemplos apresentados dos tipos de funções integráveis pela redução a funções racionais, esgotamos, praticamente, a l i s ta das funções que podem ser integradas por meio das funções elementares. A s tentativas feitas para exprimir integrais gerais, tais como

dx V(flo -f- axx + . . . 4- anxr

/ v a o + CLIX 4- • • . + anxn

fe*

ou I —dx por meio de funções elementares, f a lharam sempre e, no .--éculo X I X , foi f inalmente provado ser de fato impossível realizar t a l desiderato.

Se, portanto, o objetivo do cálculo integral fosse o de integrar funções referidas, unicamente, às funções elementares, teríamos chegado, decididamente, a u m ponto derradeiro. T a l f inalidade, entretanto, tão restr i ta , não tem just i f i cat iva intrínseca, sendo, ao contrário, de natureza u m tanto art i f ic ial . Sabemos que qualquer função contínua possui integral , sendo a própria integral u m a função contínua do l imite superior, não indicando este fato coisa alguma sobre a possibilidade da integral poder, ou não, ser representada por funções elementares. Os aspectos característicos das funções elementares são baseados n a facil idade com que são reconhecidas, n a sua aplicação aos problemas numéricos, aplicação s impl i f i cada, muitas vezes, por tábuas convenientes ou, como no caso das funções racionais, pela simplic idade com que podem ser calculadas com o grau de precisão desejado.

IV] F U N Ç Õ E S N Ã O I N T E G R Á V E I S 243

N o caso e m que a in tegra l de u m a função não possa ser representada por meio de funções c o m as quais já estejamos fami l iar izados , nada nos impede de considerarmos t a l integral como u m a função " s u per ior " e m análise, o que equivale, apenas, a atr ibuir - lhe u m a designação própria. Se a introdução desta n o v a espécie de funções con vém ou não, depende das propriedades que possui , d a freqüência com que ocorre, e d a fac i l idade c o m que possa ser m a n i p u l a d a n a teor ia e na prática. D e s t a mane i ra , o processo de integração serve de base para a formação de novas funções.

Além do mais , j á estamos acostumados c o m este princípio desde que operamos com as funções elementares. A s s i m , v imo-nos obrigados a introduz ir a in tegra l l/x, anteriormente desconhecida, como n o v a função, que denominamos logari tmo e cujas propriedades f o ram determinadas c o m fac i l idade. Poderíamos ter deduzido as funções t r igo nométricas de m a n e i r a semelhante, fazendo uso, somente, das funções racionais e dos processos de integração ou do de inversão. P a r a t a n t o , basta apenas t omar u m a ou outra das equações

como definição das funções are tg x ou are sen x, respect ivamente, a f im de chegarmos às funções trigonométricas, por inversão. P o r este processo, a definição das funções mencionadas é independente da geometria ; resta-nos a tarefa de desenvolver as suas propriedades, também independentemente d a geometria

O pr ime i ro e mais importante exemplo que nos l e v a além d a re gião das funções elementares é fornecido pelas integrais elípticas. São integrais em que o integrando é formado de modo r a c i o n a l por meio de urna variável de integração e da ra iz quadrada de u m a expressão do terceiro ou quar to grau. E n t r e estas integrais , a função

se apresenta como tendo part i cu lar importância e a sua função i n versa, s(u), desempenha p a p e l igualmente impor tante . E m p a r t i c u l a r ,

are t g x = ou are sen x =»

(i) N ã o entraremos no desenvolvimento destas idéias aqui. O essencial ê demonstrar os teoremas

d a adição referentes às funções inversas, isto 6, para o seno e a tangente.


se k = 0, teremos u(s) = are sen x e s(u) = sen a, respectivamente. A função s(u) foi estudada detalhadamente, e tabulada, t a l como as funções elementares. Isto, entretanto, nos conduz para fora dos l i m i tes d a presente discussão, levando-nos ao domínio das chamadas funções elípticas, que ocupam posição destacada na teoria das f u n ções de variáveis complexas.

Observaremos, apenas, que a expressão " integra l elíptica" se o r i g ina do fato destas integrais aparecerem no problema da determinação do comprimento dos arcos d a elipse (capítulo V , pág. 289).

Além disso, integrais que à primeira vista têm uma aparência inteiramente diversa, mostram, após uma substituição simples, serem integrais elípticas. Como exemplo, a integral

dx

f cos a. — cos x

x transforma-se, pela substituição de u = cos - , nà integral

da

a integral

transforma-se em

V (1 - u2) (1 - Vá-)' cos a/2' dx

cos 2x

du

V (1 - u-) (1 - 2a2)

pela substituição de u = sen x;

r dx finalmente a integral / v 1 -

J V l - f e 2 s e n 2 x

pela substituição de u = sen x, transforma-se em

du V (1 - u2) (1 - fe2Ua)"

2. Derivação e integração.

Incluiremos aqui outra observação sobre a relação existente entre derivação e integração. A derivação pode ser considerada como pro cesso mais elementar do que a integração, v isto que, em hipótese alguma, nos conduzirá para fora dos domínios das funções conhecidas. P o r outro lado, devemos lembrar que a derivabilidade de uma função contínua arbitrária não é, de modo algum, u m a conclusão estabelecida, mas s im u m a hipótese adicional mui to restrita. V imos , efetivamente, que existem funções contínuas que não são deriváveis

IV] FUNÇÕES NÃO INTEGRÁVEIS 245

em pontos isolados, e podemos mencionar que desde o tempo de Weierstrass foram apresentados muitos exemplos de funções contínuas que não possuem derivada em qualquer ponto (Na definição matemática da continuidade há, portanto, muito menos do que a simples intuição nos levaria a supor.) E m contraste com isto, ainda que a integração por meio das funções elementares nem sempre seja possível, temos certeza de que, em qualquer circunstância, existe a integral de uma função contínua.

Tomadas em conjunto, vemos que a integração e a derivação não podem ser classificadas, simplesmente, como mais elementar ou menos elementar, mas que, sob alguns pontos de vista, o primeiro dos processos citados é mais elementar, ao passo que sob outros, será o segundo.

No que diz respeito ao conceito de integral, veremos na próxima seção que o mesmo não está rigidamente ligado à hipótese de que o integrando seja uma função contínua, podendo ser estendido a numerosas classes de funções com descontinuidade.

8. EXTENSÃO DO CONCEITO D E I N T E G R A L . INTEGRAIS IMPRÓPRIAS.

1. Funções descontínuas com saltos.

E m primeiro lugar vemos que não bá dificuldade em estender o y i conceito de integral ao caso em que a fun

ção a integrar apresente descontinuidades com salto, em um ou mais pontos, no intervalo de integração. Para tanto devemos,

*x somente, considerar a integral da função , , , , , como a soma das integrais estendidas aos

Fig. 4.—Integral de uma fuDçao „ ,

descontínua intervalos separados em que a função e contínua ( 2 ) . A integral conserva, então, o seu significado intuitivo de área (fig. 4).

(1) Titchmarsh, The Theory cf Fanctions (Oxford, 1932), §§11.21-11.23 (págs. 350-354). (2) Na realidade, deveríamos ter observado que na definição anterior de integral, consideramos

o intervalo fechado e a função contínua no intervalo. Esta hipótese não acarreta nenhuma dificuldade, visto que, em cada subintervalo fechado, podemos estender a função de tal modo, que seja contínua, dando-lhe para valor, no ponto extremo, o limite da mesma quando x se aproxima do ponto terminal, partindo do interior do intervalo.

0


3. Funções com descontinuidades infinitas. Quando as funções apresentam descontinuidades infinitas, no i n

terior do intervalo ou em algum dos seus extremos, o caso é completamente diferente. A f im de formularmos a noção de integral, mesmo nestes casos, devemos apresentar u m processo posterior de l imite . Antes, porém, de anunciarmos a definição geral, ilustraremos algumas das suas possibilidades com uns poucos exemplos.

Iniciaremos com a integral /

dx

onde a representa uma quantidade positiva. O integrando l/x°- torna-se infinito quando x-*0, não sendo possível, pois, estendermos a integral ao limite inferior 0 . Podemos, porém, indagar o que sucede quando tomamos a integral desde o limite positivo e ao l imite 1, digamos, e, finalmente, fazemos e tender para 0. De acordo com as regras elementares da integração, desde que a ^ 1 obteremos

'idx 1 1 — a

Iteconhecemos, imediatamente, a ocorrência das seguintes possibilidades: (1) a é maior do que 1; então, quando e-*0, o segundo membro tende para o «>; (2) a è menor do que 1; neste caso, o segundo membro tende para o limite 1/(1 - a). N o segundo caso, portanto, adotaremos simplesmente este valor-limite como a integral entre os limites 0 e 1. N o primeiro caso, diremos que a integral entre os limites G e l não existe. (3) N o terceiro caso, quando a — 1, a integral valerá - l o g e, e quando ela não se aproximará de limite algum, tendendo para o m, isto ê, a integral entre 0 e 1 não existe.

Outro exemplo da extensão de uma integral além de uma descontinuidade 1

V 1 ~ x-ínfinita é dado pelo integrando ^ Achamos que

i -« dx = are sen (1 — e). V l - z 2

Se fizermos «tender para 0, o segundo membro convergirá para um limite definido,

,« ~ ri dx 7T/2 , e chamaremos a este, o valor da integral / , embora o integran-

J o V 1 - x-do se torne infinito no ponto x = 1.

P a r a que possamos extrair u m conceito perfeitamente geral destes exemplos, notaremos em primeiro lugar que, evidentemente, não haverá diferença essencial se a descontinuidade do intervalo ocorrer no extremo inferior ou no superior do intervalo de integração. Podemos, então, estabelecer o enunciado seguinte:

IV] I N T E G R A I S I M P R Ó P R I A S 247

Se num intervalo a i x á b , a função Ux) for contínua, com a única

exceção do ponto extremo h, definimos I 6 f (x )dx , como o limite J a

— em que o ponto b - e se aproxima de h, a pjartir do interior do intervalo—desde que tal limite exista.

Neste caso, diremos que a integral imprópria f *f(x) dx ê conrer-J a

gente. Se, entretanto, não existir o l imite, diremos que a integra l não existe, ou não converge, ou ainda, que ela diverge.

K i s . 5. — (.'on vergência ou dívcrgGncia (ta integrais "m^r^prias

Q u a n d o o l imite inferior, e não o superior, cio interva lo de inte gração lor o ponto excepcional, verifica-se definição análoga u que estabelecemos acima.

Mesmo as integrais impróprias podem ser interpretadas como áreas. Nao forma sentido, naturalmente, falarmos da área de uma região que se estende até o infinito, porém, podemos tentar defini-la por meio da passagem ao limite de urna regi fio limitada, com área finita. Por exemplo, os resultados já obtidos para a função indicam que a área limitada pelo eixo dos x, pelas linhas x 1 e x =s e e pela curva y = tende para um limite finito, quando e-*0, desde que a < 1 , e que tenderá para o infinito se a S: 1. Esta constatação pode ser expressa simplesmente, como segue: a área compreendida pelos eixos dos x e dos y, pela curva e pela linha y = 1 será finita ou infinita, conforme a < 1 ou a ^ 1 .

A Intuição nao pode, como 6 claro, dar-nos uma informação precisa sobre a ponderabilidade da área de uma região que se estende1,ao infinito. Desta região podemos dizer, unicamente, que quanto mais os seus lados se aproximarem um do outro, tanto mais provável será que ela tenha uma área,.finita» A figura 5 explica

o que acabamos de dizer, isto é, a possibilidade da área ser finita para a. < 1 enquanto que se toma infinita quando a S l .

P a r a dec idir se u m a função f(x) que apresenta u m a descontinuidade in f in i ta no ponto x = b, pode ser integrada até 6, podemos, muitas vezes, ev i tar u m a investigação especial, usando o seguinte critério:

Se ja /Cr ) u m a função pos i t iva ( 1 ) no interva lo a^x^b, elimf(x) = °°.

f(x) dx convergirá se exist irem, tanto u m número u me

nor do que 1, como u m número fixo Aí, independente de x, tais que,

em qualquer ponto do interva lo a S x < b se veri f ique a desigualdade

M f(x) ^ jz r - - E m outras palavras , a integral será convergente se

7io ponto x = b , a função f(x) tornar-se infinita de ordem menor do que a primeira. P o r outro lado, a integra l será divergente, se existirem duas quantidades v ^ 1 e outra f i x a N tais que, em qualquer ponto do

N

intervalo a áí x < b se veri f ique a desigualdade f(x) ^ r - - E m outras pa lavras , a integral divergirá, se no ponto x = b a função f(x) se tornar infinita, no mínimo, de primeira ordem.

A demonstração decorre quase imediatamente , por comparação com os casos especiais, m u i t o simples, apresentados acima. P a r a demonstrar a p r i m e i r a parte do teorema, observemos que, para 0< e<ò - a, teremos

f{x)dx â / 7r~~r dx. a J a {b-xY

rdx Como e-» 0, a integral à d i re i ta , que é obt ida d a integral / — (pág. 128)

J x* por simples mudança de notação, tem l imi te , permanecendo, portanto ,

rò-<= restr ingida. D e mais a mais , os valores de / f(x)dx crescem monò-

" a

tonamente quando e-^O, e como eles, também, estão delimitados,

devem possuir l imi te , e a integral jb f(x)dx será, portanto, conver

gente. Deixamos a demonstração parale la d a segunda parte do teorema,

como exercício, p a r a o leitor resolver. (*) Veremos, no apêndice do capítulo V I I I (pâg, 418) que estas restrições, quanto ao sinal, podem

ter facilmente postas de lado.

IV] INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 219

De modo semelhante, vemos que teoremas inteiramente análogos têm lugar quando o limite inferior da integral for o ponto de descontinuidade infinita. Se o ponto em que ocorre a descontinuidade infinita estiver no interior do intervalo de integração, usaremos este ponto somente para subdividir o intervalo em duas partes, aplicando, então, as considerações feitas a cada uma delas separadamente.

Como mais um exemplo, estudemos a integral elíptica

A identidade 1 - x2 = (1 - x) (1 + x) permite ver que, à medida que x-*l, o integrando se torna infinito de ordem }A, donde se segue que a integral imprópria existe.

3. I n t e r v a l o i n f i n i t o d e i n t e g r a ç ã o .

Outra extensão importante do conceito de integral consiste em tomar o infinito como um dos limites da integração. A fim de tornarmos precisa tal extensão, introduziremos a seguinte notação: se a integral

onde a é fixo, tender para um limite definido, quando A crescer além de qualquer valor, de maneira positiva, designaremos o limite por

e diremos que a função /(se) é integrada desde a até ° o . Naturalmente, tal integral não precisa, necessariamente, existir, ou como se diz muitas vezes, não é convergente.

Exemplos simples das diversas possibilidades são novamente fornecidos pelas funções j\x) = l / x a ,

Vemos, aqui, que se excluirmos, novamente, o caso em que a = 1, a integral no infinito existe para a > 1 e, de fato,

dx 1

ao contrário, quando a < 1, a integral nao existe. Para a = 1 a integral deixa novamente de existir, visto que log x tende p a r a ò infinito juntamente com x. Vemos, além disso, que relativamente à integração sobre um intervalo infinito.

as funções l / x a não se c o m p o r t a m d a m e s m a m a n e i r a q u e no caso d a integração a p a r t i r d a o r i g e m . U m o l h a r à f i gura 5 t o r n a o e n u n c i a d o plausível, pois vemos que , q u a n t o m a i o r fôr a , t a n t o m a i s perto do eixo dos a: deverão ser desenhadas as c u r v a s , desde que x se ja su f i c i en temente grande , sendo aceitável a suposição de que a área c o n s i d e r a d a tende p a r a u m l i m i t e d e f i n i d o , p a r a valores c o n v e n i e n temente g r a n d e s de a.

O critério seguinte, para a determinação da existência de integrais como limite infinito é útil. muitas vezes. Admitiremos novamente que para valores suficientemente grandes de x, digamos x ^ a, o integrando tenha sempre o mesmo sinal que, sem perda de generalidade, podemos escolher positivo Teremos, então, o seguinte enunciado:

A integral J f (x)dx convergirá se a função f(x) se anular no in

finito com ordem superior à primeira, isto é, se existir uma quanti

dade v > 1 tal que, para qualquer valor de x, tão grande quanto qui -M

sermos, se verifique a relação 0 < f(x) ^ ~ , sendo M uma quanti-dade fixa, independente de x. A integral divergirá se a função permanecer positiva e se anular no infinito em ordem não superior à pri-meira, isto é, se houver uma quantidade fixa N > 0 tal que xf(x) A r .

A demonstração destes critérios, que ê feita paralelamente ao raciocínio anterior, será deixada ao leitor.

r° i U m e x e m p l o m u i t o s imples é f o rnec ido p e l a i n t e g r a l / — dx (a > 0), c u j o

J a X 2

i n t e g r a n d o se a n u l a no i n f i n i t o , n a s e g u n d a o r d e m . E f e t i v a m e n t e , vemos , desde . CA

l 1 1 logo , que a i n t e g r a l é convergente , po is / — dx — — —, e por tanto

J a x- a A

f: — dx = -. x- a

O u t r o e x e m p l o , i g u a l m e n t e s i m p l e s , é

1 7T

- dx = l i m (are tg A - are t g 0) = —. o 1 + x-

4. Fimçâo-gama. U m exemplo de particular importância em análise é oferecido

pela chamada função-gama.

Y(n) = e~xxn-xdx (n > 0).

(!) Como veremos no apêndice do capítulo VIII (pág. 418), esta re3tricão de siaal pode set facilmente removida.

ÍV] I N T E G R A I S IMPRÓPRIAS 251

Neste caso, também, o critério de convergência ê satisfeito. Por exemplo, se escolhermos v = 2, teremos l im xv. e~xxn~x = 0, visto a função

exponencial e"x tender para zero com ordem superior à de qualquer outra potência ljxm [m > 0). A função-gama, que pode ser considerada como função do número n (não necessariamente inteiro), satisfaz uma relação notável, que podemos obter pela seguinte dedução, apl i cando o método da integração por partes. Tomaremos, de início,

fe~xxn-ldx = - er9xn-1 - f (n - I) je~rxn-- dx.

Se considerarmos esta fórmula entre os limites 0 e .4 e fizermos, então, A crescer além de qualquer limite, obteremos

r (n) = (n - 1) e~xxn-2 dx = (n - 1) r (n - 1),

e empregando esta fórmula dc recorrência, desde que M seja inteiro e 0 < a < n,

T(n) = (n - 1) (n - 2) . . . (n - n) / " 1 dx. J o

E m particular, se n fôr inteiro e positivo, virá

r (n) = (n - 1) (n - 2) . . . 3 . 2 . 1 e ~ x d x ,

e como J^ e~xdx = 1,

segue-se, finalmente, r(n) = (n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1 = (n - 1)!

'Esta expressão das fatoriais por meio de integrais é de grande importância em diversas aplicações.

/

'ca /*co e~x- dx, I xne~i1 dx

o J o

também convergem, como f a c i l m e n t e nos cer t i f i caremos a p l i c a n d o o critério exposto.

5. Integra l de Dir i ch le t . Uma integral convergente, importante em muitas aplicações, mas

cuja convergência não segue diretamente o nosso critério, e que é um caso simples do tipo estudado por Dirichlet, é

sen x

s: dx. x

2 5 2 C Á L C U L O I N T E G R A L [ C A P .

C o m o vemos faci lmente, ela será convergente quando o l imi te supe

r ior for f i n i t o , pois - 1 quando x - » 0 . S u a convergência no

interva lo in f in i t o é dev ida à mudança periódica do s inal do integrando, a q u a l faz c o m que as contribuições p a r a a integra l , relativas a i n tervalos v i z inhos do comprimento T, quase se cancelem mutuamente . A f i m de nos servir desta circunstância, escreveremos a expressão

FAB /

' h sen x , dx

A X sob a f o rma

/' A + 7 r s e n x fB+^sen x fB+irsent

dx- / tfa-f / —r-dt, A X J B X J A + rr t

in t roduz indo , nas três integrais do segundo m e m b r o , a nova variável x = t - 7T, donde sen / = - sen x, e

rA+'senx fB+«&en x fB

DÁB — / dx-I dx-f J A X J A X J É

sen x dx.

A X + 7T

Somando esta relação c o m a expressão or ig ina l de DÁB, teremos

/' A + X s e n x r B + r s e n a ; fB sen a;

dx - I efe -f- ir / —,—;—: dx. A a J B x J A x(x -f- ir)

Se admi t i rmos que B > A > 0, segue-se que

2DAB\<^- + rA dx J B X 2 '

Podemos empregar o método d a página 1 2 7 , observando que 1 sen x 1

<; — X X X

1 sen x 1 e ú

ais x(x + ?r) x2

p a r a os valores posit ivos de x. A integra l d a d i re i ta é convergente, pelo critério conhecido, e a fórmula mos t ra que | DAB | -> 0, à med ida que A e B t endem, ambos, p a r a o in f in i to . Temos , pois,

\DQB-DQA \ = \DAB I,

seguindo-se, pelo critério de convergência de C a u c h y , que DoB tende para u m l i m i t e definido, quando £ - 0 0 . E m outras palavras, a inte -

IV ] I N T E G R A I S I M P R Ó P R I A S 253

gral I existe. O u t r a demonstração será apresentada no apêndice do ca pítulo V I I I (pág. 418), e na pág. 450 mostraremos que / t e m o va lor x/2.

6. S u b s t i t u i ç ã o .

E claro que todas as regras p a r a a substituição de novas v a riáveis, e t c , são válidas p a r a as integrais impróprias convergentes.

Como exemplo, p a r a calcularmos xe~x~dx, introduz imos a nova

variável u = x2, obtendo

r o , 1 r" 1 1

/ xe2x~dx = - / e~uda — l i m - (1 - e~A) = -. J o l J o A->~ 2 2

Outro exemplo do emprego d a substituição no estudo das inte grais impróprias, é oferecido pelas integrais de Fresne l , as quais ocorrem na teoria da difração d a l u z :

F\ = / sei\(z2)dx, F2 = / cosfx2)dx. J o J o

A substituição x2 = u conduz a „ 1 r*° sen ii , „ 1 / ' C T cos ti ,

FL = - I du, F2 = - I — — G ? Z Z .

2 . / o V u 2 / o V u

Integrando por partes, teremos 7 i sen u ^ _ cos A c o s ß 1 / " ß c o s i i ^

A V i i V A ^'B 2JA u3'2

Quando A e B tendem para o <», os pr imeiros dois termos do segundo membro tendem p a r a 0 , e, pelo critério da pág. 250, a própria integral tende para zero. Por tanto , empregando o mesmo raciocínio que f izemos para a integral de D i r i c h l e t , vemos que a integra l F1 é convergente. A convergência da integra l F2 é demonstrada de m a n e i r a idênt i ca .

A s integrais de Fresne l m o s t r a m que u m a integra l imprópria pode existir, embora o integrando não tenda p a r a zero, quando x -* °°. D e fato, u m a integral imprópria pode existir mesmo quando o inte grando não é l imi tado , conforme mostra o exemplo

Í: 2u cos (w4) du.

Quando u 4 = nr, isto ê, quando u ~ \imr, n = 0, 1, 2. , . . , o ínte-

grando torna-se 2%' rnr cos mr = ± 2 \ 7 I T , sendo, pois, i l imitado. Pe ia substituição ur = a:, entretanto, a integral reduz-se a

i; cos (x2)dx,

a qual converge, conforme acabamos de mostrar. A s integrais impróprias podem, por meio de substituições, ser

transformadas, muitas rezes, em integrais próprias. Por exemplo, a transformação x = sen u dá-nos

11 dx

o v 1 - x-= / du =

o

Por outro lado, as integrais das funções contínuas podem ser transformadas em integrais impróprias; isto ocorrerá se a transformação ii = (£>(;••) fôr ta l que num dos extremos do intervalo da integração a derivada 4> (x) se anule, de sorte que dxjdu seja infinita.

E X E M P L O S

Comprovar a convergência das integrais impróprias dos exemplos 1-11: ,-3 dx r 1 dx r d . r / — . 2. 3. / / _ 3 X2 J - l V l J — » 1 + x-ü

1

r/x f 1 t/x r ^ dx f 1

4 . / 7=. 5 . / -.'o (1 + xWx Jo 1 o (1 -f x) V x J o 1 - cos x

/«••! í/x

j) (x - a,2) (x - (i;.) (x - «.,) reates, porem, compreendidos entre ,4 e 3.

, e o are tg x r r o aretgx

6. / —— —.— —- — onde alt a-., a,, cr, suo todos diíe-J B V (x — a j

r ° arc tg x r r o arc t / — d x . 8 . / —

J o 1 + x 2 •/ o l -r a x r ^ x r*l-I __—f/x . 1 0 . / .dx.- 1 1 . / log tg' x Í / X .

J 1 1 - c 1 ./ o e x - 1 o

dx, não existe. 12.* Demonstrar que j sen2 J ^ T ^ X

/i C O </x

= 0. o 1-f- kx1"

rm xs~l /""sen x 14. Para quais valores de s as integrais (a) / dx, (o)' / cfa,

./ o 1 + x J o xs

são convergentes ? r m sen í

15. * A integral / di é convergente? J o 1.4-í

IV] • I N T E G R A I S IMPRÓPRIAS

16.* (a) Se a fôr um número fixo, positivo, demonstrar que A* h

hm / - dx = T . h^oj —ah2 + x2

(b) Se J(x) for contínua no intervalo - 1 g x ^ 1, demonstrar que

hm I 0 / ( r ) e k = TT/ÍO). A-»0 J — 1 A 2 + a:2

E X E M P L O S D I V E R S O S

Calcular as integrais dos Ns. 1-7:

l J e a r o i e D ^ X i

2. " sen3 x cos6 dx (Por um método mais abreviado do que o tio texto, emnr

gando identidades trigonométricas.)

3. / (logx) 2dx. 4 . / . 5. / V l - e - 2 * d J J 3 + sen ax J

6. f xe-* 2 t&x dx. 7. f - sen ("a; - dx. J — l J y x V i y

8* Demonstrar que lim e-^2 f e^2 dl = 0. £ — * CD «- '0

9. Admitindo que \ a\ rfr | /3 |, mostrar que 1 rT

lim — / sen ax sen fix dx = 0. r -+ co T J o

10. Calcular j x 3 e~x41 cos 2x dx.

11.* Demonstrar que a substituição x = , onde a 5 - 7 / 3 4= 0) transfor-7 Í •+ <5

ma a integral dx

ax 4 -+- frz3 + cx 3 +- rfx -h e em filtra de tipo semelhante, e que, se o polinómio do 4.° grau

ax 4 + òx 3 + cx2 -f- dx -f- e não tiver fatores repetidos, o mesmo acontecerá com a nova função do 4-.° grau em /, que toma o lugar da anterior.

Demonstrar que o mesmo enunciado se aplica a

JJ7(x, V ax 4 + òx3 + cx2 -ir dx + e) dx,

onde R é uma função racional.

i i 12. Determinar o limite de an —

n-hl n + 2 - i , quando n - » » .

2n

13.* Determinar o limite de 1 1

- r ,. ——- -r ,—-\ n--0 \ n- - 1 V n*

-f . . . + v V - ( n - l ) 2 ' .» - 4

14.* Demonstrar que liin

15.* Sendo a. um número qualquer maior do que - 1, calcular

A P Ê N D I C E A O C A P Í T U L O I V

S E G U N D O T E O R E M A DO V A L O R MÉDIO DO C Á L C U L O I N T E G R A L

0 método de integração por partes faculta-nos u m processo s i m ples p a r a provar u m importante teorema sobre o cálculo das integrais, geralmente chamado — segundo teorema do v a l o r médio d a cálculo integral .

Suponhamos que a função (j>(x) é monótona e contínua no in ter va lo a Sx ^ ò, e que a sua der ivada ' (x) é contínua. A d m i t a m o s , a inda , que/(cc) é u m a função contínua arbitrária no mesmo intervalo . 0 segundo teorema do va lor médio do calculo integral será, então, enunciado d a seguinte maneira . E x i s t e u m número £, t a l que a ^ £ ^ ò , p a r a o qual

P a r a demonstrá-lo, observemos, pre l iminarmente , que podemos supor que d>(b) = 0, v isto que subst i tuindo <p(x) por <j>(x) - <f>(b), os dois membros da equação são alterados pela mesma quantidade e dão u m a função que se anula p a r a x — b. Além disso, podemos a d m i t i r que cj>(à) > 0. Sendo 4>(a) < 0, precisamos apenas subst i tuir (b(x) por - <j>(x), o que muda o s inal de ambos os membros da equação. (O caso em que <b{a) = 0 ê t r i v i a l , pois se tanto 4>(a) como 4>(b) se a n u l a m , 4>{x) deve ser igualmente n u l a , e a equação proposta transforma-se

j a J(xMx)dx = 4(d) Ja f(x)dx + / f(x)dx.

IV] S E G U N D O T E O R E M A D O V A L O R M É D I O 257

em 0 = 0.) Precisamos somente demonstrar que, se tfx) for contínua e monótona decrescente, e <£(ò) = 0, teremos

Jj{x)tfx)dx = tfd) Jj(x)dx.

Faremos, agora, F(x) = f(x)dx e aplicaremos a fórmula da i n tegração por partes ao primeiro membro da última equação. Virá, então,

fbKx)tfx)dx = F(x)tfx) T + fh F(x) [ - tf(x) ] dx.

A parte integrada se anula, já que F(d) e tfb) são iguais a zero. A expressão - tf (x) é posit iva em qualquer posição, de sorte que podemos aplicar o primeiro teorema do valor médio do cálculo integral. Chegaremos, então, ao seguinte valor da integral da direita

M a s

F(0f\-4>'(.x)]dx, o á £ á 6 .

F(t) = fj(x)dx e f a [ - t f (x)]dx = tfa) - tfb) = tfa),

ficando, assim, estabelecido o teorema. Este teorema pode ser estendido para classes mais gerais de fun

ções (embora não apresentemos a demonstração), visto permanecer verdadeiro para qualquer função monótona tfx), quer admita derivada, quer não. Finalmente, ele se verif ica para qualquer função monótona descontínua, para a qual possamos integrar J(x)cb(x).

C A P Í T U L O V

APLICAÇÕES

Nes te capítulo, depois de algumas preliminares, mostraremos como se aplica o que aprendemos até aqui, à geometria e à física.

1. R E P R E S E N T A Ç Ã O DAS C U R V A S

1. Representação paramétrica.

Como já vimos no capítulo I (pág. 17), na representação das curvas por meio de uma equação y = f{x), devemos nos restringir, sempre, a um ramo unívoco. E , por isso, mais conveniente, especialmente quando se trata de curvas fechadas, estudarmos outres meto los analíticos de representação. A representação mais geral, e, ao mesmo tempo, a mais empregada, das curvas, é a paramétrica. E m lugar de se considerar cada uma das coordenadas retangulares como função da outra, tomamos ambas as coordenadas x e y como função de uma terceira variável independente, o parâmetro. O ponto considerado, de coordenadas x e y, descreve pois a curva, à medida que t percorre um intervalo definido. Representações como estas já foram encontradas nos capítulos anteriores. Por exemplo, para o círculo x2 + yz = a2

teremos uma representação paramétrica da forma x — a cos t,y = a sen t, que, como já sabemos, indica, geometricamente, um ângulo com o vértice no centro do círculo. Para a elipse ar /a 2 -f- y 2 /ò 2 = 1 teremos, de maneira análoga, a representação paramétrica x = a cos t, y — b sen t, onde t ê o ângulo excêntrico, isto é, o ângulo central correspondente ao ponto do círculo circunscrito, situado, verticalmente, acima ou abaixo do ponto P (a cos /, 5 sen 0 da elipse (fig. 1). E m ambos os casos, o ponto com coordenadas x, y descreve o círculo completo ou a elipse, quando o parâmetro t percorre o intervalo compreendido entre 0 e 2TT.

258

[ C A P . V ] REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA 259

Em geral, podemos representar uma curva paramétrica, fazendo

x = 0(0 = x(0, y = M) = y(/),

isto ê, conhecendo duas funções do parâmetro t. Empregaremos a notação mais condensada x(í) e y(f) quando não houver perigo de confusão. As duas funções <6(0 e \p(l) devem ser determinadas para cada curva, de modo que a totalidade de paresfun cionais x{t) e y(i), correspondente a um dado intervalo de valores, dê todos os pontos sobre a curva, e nenhum fora dela. Se a curva for dada sob a forma v = .=./(x),. podemos obter uma representação desta espécie, escrevendo primeiramente x = onde d>(i) é uma função monótona qualquer, contínua, que, num intervalo definido, passa exatamente uma vez sobre cada valor de x considerado. Segue-se, então, que y = f[4>(J)}, isto é, a segunda função (0 ó obtida compondo-se/ e 4>. Vemos assim que, graças à arbitrariedade da escolha da função 4>, dispomos de completa liberdade na representação paramétrica de uma curva dada. E m particular, podemos faz d - , efetivamente, i = x e assim considerar a representação original y = j(x) como equação paramétrica, com o parâmetro t = x.

A v a n t a g e m cia representação paramétr i ca res ide e m se p o d e r a p r o v e i t a r a a r b i t r a r i e d a d e d a e s co lha p a r a f ins de s impl i f i cação . P o r e x e m p l o , r e p r e s e n t a m o s a c u r v a y = V i - - f a z e n d o x = í a e y — í-, de sor te q u e <p(l) — ía, = t'1. O p o n to de c o o r d e n a d a s x, y descreverá , e n t ã o , a c u r v a c o m p l e t a (parábola semicúbieaX q u a n d o l v a r i a r de - ate + ° 3 -

F i g . 1

Se, por outro lado, tivermos inicialmente uma curva dada pelas suas equações paramétricas x = <£( / ) , y ~ ^(0J e desejarmos obter a representação não paramétrica, isto é, sob a forma y — f(x), basta, apenas, eliminar o parâmetro i nas duas equações. No caso das representações paramétricas do círculo e da elipse, dadas acima, podemos efetuar tal eliminação imediatamente, elevando-se ao quadrado e em-

260 APLICAÇÕES [CAP,

pregando a equação sen2 í + cos2 t = 1. (Damos mais abaixo outro exemplo.) Em geral, teríamos que achar uma expressão para t, partindo da equação x = <b(t), por meio da função inversa t = §{x), substituindo-a em y — \p(t), para obtermos, finalmente, a representação y~^P[^(x)] = f(x) Em tal eliminação, naturalmente, devemo-nos restringir, via de regra, a um segmento da curva, ou, mais precisamente, a uma porção da curva que não seja cortada duas vezes por uma linha qualquer paralela ao eixo dos y.

A representação paramétrica compreende um sentido definido segundo o qual a curva é descrita, e que corresponde à direção em que os valores do parâmetro crescem. Tal direção será denominada sentido positivo. Se, por exemplo, o ponto x = x(í), y = y(í) descrever a curva C enquanto t atravessar o intervalo i0 = t = U e os pontos extremos da curva P 0 e P± corresponderem, respectivamente, a tQ e tx, a linha é gerada positivamente de P 0 para P\. Se introduzirmos r = - l como novo parâmetro, a curva C corresponderá aos valores —t Sr S~t0

da variável r, enquanto os pontos extremos P0 e Px corresponderão a r = - í e r = —tít respectivamente. Se, agora, percorrermos a curva de P 0 para Px, prosseguiremos na direção em que os valores do parâmetro r decrescem, isto é, em sentido negativo. Em geral, uma mudança de parâmetro t = t(r) conserva o sentido segundo o qual a curva é descrita se t(r) for uma função monótona crescente, alterando-o quando t(r) fôr uma função monótona decrescente.

2 . Interpretação do parâmetro. Mudança de parâmetro.

Em muitos casos podemos atribuir uma interpretação física imediata ao parâmetro t, considerando-o como tempo. Justamente, o fato das coordenadas x, y de um ponto serem dadas em função do tempo, é que permite exprimir-se matematicamente qualquer movimento do ponto num plano. Estas duas funções determinam, portanto, o movimento ao longo de um caminho ou trajetória, sob forma paramétrica.

Como exemplo apresentaremos a ciclóide que se origina quando u m círculo rola ao longo de u m a l inha reta ou de u m círculo, sem deslizamento. Limitar -nos -emos aqu i ao caso mais simples, isto é, em que u m círculo de raio a rola sobre o

(i) Pode acontecer, entretanto, que a equação y =/(x), obtida desta forma, signifique mais do que a representação paramétrica original. Assim, por exemplo, as equações x = a sen t, y = b sen/, representam unicamente a porção finita da linha y = bxja, situada entre os pontos x •= — a, y »» — b e a: = a, y = 6, ao passo que y =» bxja representa toda a linha.

V] REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA 261

eixo dos x, e consideraremos um ponto da sua circunferência. O ponto em questão descreverá uma ciclóide "comum". Se fixarmos a origem do sistema de coordenadas e o tempo inicial de sorte que o ponto correspondente da curva coincida cora a origem no tempo t = 0, teremos (fig. 2) a representação paramétrica

x —a(t-sen t), y = a ( l - c o s í )

para a ciclóide. Nas equações acima, t indica o ângulo do qual o círculo girou, a partir de sua posição inicial ; no caso de velocidade de rolamento uniforme, é proporcional ao tempo.

y P\ M ]

y \ z

M ]

0 x 'x. F i g . 2 .—Ciclóide

Pela eliminação do parâmetro / podemos obter a equação da curva sob forma não paramétrica, à custa, entretanto, da elegância de expressão. Temos

cos/ = ?Z2:, í - a r c c o s í Z Z , sen t = - l / l -^ZJl, e a y a-

e, portanto, a-y i

x = a are cos =F "V (2a — y)y, a

obtendo, assim, x como função de y.

Na representação paramétrica das curvas, dispomos de ampla l i berdade na escolha do parâmetro (pág. 259). Por exemplo, em vez do tempo t, podemos tomar a quantidade r = P como parâmetro, ou até qualquer quantidade arbitrária r relacionada com o parâmetro original t, por uma equação arbitrária da forma r = to(/), em que admitimos que a função possua uma única inversa do tipo t — K(T) para o intervalo dos valores de t considerados. Se os valores crescentes de T corresponderem aos valores crescentes de t, é mantido o sentido positivo do percurso; caso contrário, ele é invertido.

A representação paramétrica não é limitada, naturalmente, às coordenadas retangulares, podendo, por exemplo, ser empregada igualmente bem no caso das coordenadas polares r e d. Estas coordenadas são relacionadas com as retangulares pelas equações já conhecidas

262 APLICAÇÕES [ C A P .

x •— r cos 8, y — r sen 8, ou r = V ,x2 -f y-, sen 6 = y/r, cos 6 = cc/r. As equa^cos da curva assumirão a forma r = r(l), 6 = 8(1).

Como exemplo, a linha reta pode ser repre-sentada paramètricamente (fig. 3) pelas equações i

r = d = a + i r cos í

j V^^X. (p c a sendo constantes), donde obtemos, em

.Oi/ V7 —, >_ polares, ifí/P seguida, a equação da linha em coordenadas

Fig . 3 r =

cos {6-a)

pela eliminação do parâmetro t.

3. D e r i v a d a s das curvas representadas paramètr icamente .

Se tivermos a equação de uma curva, y — J(x), e por outro lado, a sua representação paramétrica x = x(l), y = y(t), devemos ter y(l) ~ = f[x({)]. Pela reg^a da cadeia para a derivação, virá

dy dy dx

dl dx dt ou

, dy y

^ dx x

onde, como abreviação para as derivações em relação a t, usamos um ponto sobre a variável (notação de Newton), em lugar de uma linha ('), a qual reservamos para as derivadas em relação a x.

Para a ciclóide, por exemplo, teremos

t

x = a(l - cos t) = 2 a sen'-' - ,

t t y — a sen l = 2a sen - cos - .

2 2 Estas formulas mostram que a ciclóide tem um vértice com tangente vertical aos pontos t = 0,: ±2 T T , ± 4 i r , . . . , nos quais encontra o eixo dos ar, pois, quando nos aproximamos ilêstes pontos, a derivada y' = j / i = cotg (t/2) torna-se infinita. Nestes pontos y =*-- 0, ao passo que, em qualquer outra posição, y > 0.


A equação da tangente à curva é ( £ - z ) y - (v -y)x = 0,

onde £ e y são as coordenadas "correntes", isto é, as coordenadas variáveis, correspondentes a um ponto qualquer da tangente. Para a equação da normal, isto ê, da linha reta que passa por um ponto da curva perpendicularmente à tangente, neste ponto, obteremos, de modo análogo,

.(£-x)x + (n-y)y = 0.

Os cosenos diretores da tangente, ou sejam, os co-senos dos ângulos a e j8 compreendidos entre a tangente e os eixos dos x e dos y, respectivamente, são dados pelas fórmulas

x cos a = cos /3 = ± V i 2 + y 2 ± V x 2 - r - y 2

como podemos verificar por métodos elementares. Os correspondentes co-senos diretores da normai são fornecidos por

- v CCS a' = C O S / 3 ' =

X

á- V i 2 + v 2 ± V i 2 + y2

(fig. 4). Estas fórmulas mostram que em cada ponto em que x e y forem

contínuas, e x2 + y 2 4= 0, a direção da tangente variará continuamente com t. Este é o caso mais importante para nós, porém não deixará de ser interessante esclarecermos, por meio de exemplos, as várias possibilidades que surgem quando as hipóteses estabelecidas não são preenchidas e quando não é possível afirmar-se, diretamente, que a tangente se conserva girando de modo contínuo. Num ponto em que x = y = 0, a tangente pode girar continuamente ou não. Como exemplo, tomemos a curva x — iz, y = t2, já estudada nas páginas 99 e 259, que tem um vértice F i g - 4- ~ co-amoa diretores da t a * .

f gente e da normal na origem, embora x e y sejam continuas em toda a parte. Como outro exemplo, consideremos a curva x = t2, y = P, que representa a linha reta y = x. Esta curva tem a mesma

264 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

direção d a tangente em toda parte . A última é, portanto , contínua, embora ambas as derivadas x e y se anulem p a r a t = 0. Além disso, nos pontos em que x e y forem descontínuas, a direção da tangente pode ou não ser contínua. Se ja $(/) u m a função qualquer, contínua e monótona crescente, def inida p a r a tx ^ t S com u m vértice em t=l3, h < k < k- A c u r v a x = t, y = <£(0> que ê a mesma curva que y = 4>(x), terá u m vértice em x = í3, ao passo que a c u r v a x = <b(t), y = <b(t), que é u m segmento d a l i n h a reta y = x, terá direção constante p a r a a tangente, mesmo que as derivadas x e y não existam para t — í 3 . Isto i n d i c a que se quisermos invest igar o comportamento da tangente no p o n t o em que o teorema citado não se ap l i ca , devemos empregar, pr imeiramente , as fórmulas que dão cos a ou cos /3 como funções de t e, depois, estudar os próprios co-senos diretores.

D e u m a fórmula conhecida da tr igonometr ia ou da geometria analítica, deduzimos que o ângulo formado pelas duas curvas, representadas paramètricamente por x ~ Xi(i), y = yi(t) e x = cc2(0> J = ^OO respectivamente (isto é, o ângulo formado pelas suas tangentes ou pelas suas normais) , é fornecido pela expressão

_ % i f f 2 + yàz

A indeterminação dos sinais das raízes quadradas nas últimas fórmulas , sugere que os ângulos não são perfeitamente determinados, v i s to podermos especificar q u a l o sentido de direção, sobre a tangente ou a n o r m a l , que adotamos como " p o s i t i v o " . Considerando a raiz q u a drada como p o s i t i v a , como se faz hab i tua lmente , isto corresponderá a escolher p a r a direção pos i t iva da tangente, a direção em que o parâmetro cresce, e p a r a direção pos i t iva d a n o r m a l , a direção obt ida pela rotação d a tangente de u m ângulo igual a x /2 , no sentido pos i t ivo

d2y

A der ivada de segunda ordem, y" = é o b t i d a como segue, pelas

regras da cadeia e da derivação dos quocientes:

/f dy' dy' dl d /'y\ 1 xy - y£ 1 ^ dx dl dx dl \xJ x x2 x

(!) Isto f, no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros dos relógios-

V] R E P R E S E N T A Ç Ã O P A R A M É T R I C A 265

donde, d2y xy-yx

y" dx2 ~3

4. Mudança de eixos no caso de curvas representadas paramè-tricamente .

Se girarmos os eixos de u m ângulo a n a direção p o s i t i v a , as novas coordenadas retangulares £, tj e as antigas x, y, estarão l igadas pelas equações

x — £ cos a - 7] sen a, £ — x cos a -f- y sen a, y = I sen a + rj cos a, rj — — x sen a + y cos a.

A s s i m , as novas coordenadas £, T? f i c a m definidas, do mesmo modo que x, y, em função do parâmetro í. D e r i v a n d o , obteremos

x = £ cos a - ri sen a, % = x cos a -f- j sen a, y = £ sen a - f 7 7 cos a , rj = - x sen a -f- j cos a .

Suponhamos que a c u r v a é dada em coordenadas polares e que, tanto as coordenadas polares como as retangulares, são funções do p a râmetro t. D e r i v a n d o em relação a t, as equações x = r cos 0, y = rsen 6, darão as fórmulas

x = r cos 0 — r sen 0.0, "] y = r sen 0 -f- r cos 0.0, J • • • • • • ( a)

freqüentemente empregadas n a passagem das coordenadas re tangula res às polares. C o m o exemplo, ve jamos a equação polar d a c u r v a r= / (0 ) , que pode se or iginar d a representação paramétrica r = r(t), 0 = 0(0, pela eliminação do parâmetro t. O ângulo \p compreendido pelo raio vector a u m ponto da c u r v a e a tangente à c u r v a , no ponto considerado, é dado por

Podemos verificá-lo, fac i lmente , da m a n e i r a seguinte. Se considerarmos a c u r v a representada pela equação y = F(x) e empregarmos o parâmetro 0, de sorte que 0 = 1 e r = / / ( 0 ) , teremos

x r t g 0 + r

2 6 6 APLICAÇÕES [CAP

(fig. 5 e equações (a) acima estabelecidas). Além disso, \p = a - d e, portanto,

y' - tg 6 v -f- r tg- d r

Esta fórmula pode, igualmente, ser estabelecida por dedução geométrica.

5. Observações gerais.

N o estudo de diversas curvas encontramos, por vezes, propriedades que não proporcionam informação alguma sobre a forma da própria curva, mas somente em relação à sua posição, em face do sistema de eixos coordenados. Tais são, por exemplo, a existência de uma tangente horizontal, expressa pela equação y = 0, ou de uma tangente vertical, representada por x — 0. Propriedades desta natureza não persistem, quando os eixos sofrem rotação.

Contrastando com isto, os pontos de inflexão serão sempre pontos de inflexão, qualquer que seja a rotação atribuída aos eixos coordenados. A condição necessária para a existência de u m ponto de inflexão é (pág. 265),

xy ~ i : y — 0. Sc substituirmos as expressões .r, y, x, y, do primeiro membro por seus valores em função das novas coordenadas £, rj, obteremos

xy-xy = £ 7 7 - li.

Logo, da equação xy - xy = 0 segue-se que & - Çij = 0, de sorte que a equação traduz uma propriedade de um ponto da curva, a qual é independente do sistoma de coordenadas.

Veremos, muita-? ^êzes, mais tarde, que as propriedades verdadeiramente geométricas são expressas por fórmulas que não se alteram pela rotação dos eixos coordenados.

E X E M P L O S

1. Deduz ir a equação da c u r v a

x = a cos 2 6 cos 9 y = a cos 26 seu d.

2. U m círculo c, de raio r , r o l a externamente sobre u m círculo f ixo C, de raio R. 0 ponto P d a circunferência de c move-se com o círculo e descreve u m a curva denominada epiciclóide. D e t e r m i n a r a representação paramétrica d a epiciclóide (considere-se a velocidade de c constante e meça-se o tempo de sorte que p a r a t = 0, o ponto P esteja em contato com o círculo C ) .

3. Desenhar a epiciclóide p a r a o caso especial em que r = R, determinando as suas equações paramétricas. ( E s t a epiciclóide part i cu lar é denominada cardióide.)

4. Se, no exemplo 2, o raio r fôr menor do que R, e e rolar por dentro de C, o ponto P descreverá u m a hipociclóide. D e t e r m i n a r suas equações paramétricas.

5. Desenhar a hipociclóide (a) p a r a R = 2r; (6) para R = 3r. 6. Desenhar a hipociclóide p a r a R = 4r {aslróidé), deduzindo sua equação

não paramétrica. 7. Estabelecer as equações paramétricas da c u r v a x 3 + y 3 = 'òaxy (jólio de

Descartes), escolhendo a tangente do ângulo compreendido entre o eixo dos x e o raio vector de origem ao ponto x, y, como parâmetro.

8. Demonstrar que o compr imento da tangente à hipociclóide x-13 + y 2 ' 3 = a2 3

interceptado pelos dois eixos coordenados, é constante. 9. Provar que a tangente e a n o r m a l à ciclóide passam pelos pontos mais

alto e mais baixo do círculo gerador, e m c a d a posição do mesmo. 10. Estabelecer a fórmula do ângulo <x compreendido entre as curvas r = j(Õ)

e r = g{6), em coordenadas polares. 11. Seja C uma curva f ixa e P u m ponto fixo com coordenadas x0, y 0 . A.

curva pedal do C em relação a P é def inida como sendo o lugar dos pés das perpendiculares baixadas de P sobre as tangentes à curva dada . E s t a b e l e c e r a representação paramétrica da curva pedal de C, se a própria c u r v a C fôr dada para-mètricamente por x = ./(/), y = g(i).

12. Determinar a curva pedal do círculo C, (a) re lat ivamente ao seu centro M, (ò) re lat ivamente a um ponto P d a sua circunferência.

2. APLICAÇÕES À TEORIA DAS CURVAS P L A N A S

Ao estudarmos as curvas, consideraremos duas espécies de propriedades geométricas associadas às mesmas. O primeiro tipo consiste em propriedades ou quantidades que dependem, unicamente, do comportamento da curva no sentido restrito, isto é, na vizinhança imediata de um ponto, e que podem ser expressas analiticamente por meio da derivada no ponto. Propriedades da segunda espécie dependem de


todo o traçado da curva ou somente de uma porção dela, e são traduzidas analiticamente pelo conceito de integral. Iniciaremos estudando as propriedades do segundo tipo.

1. O r i e n t a ç ã o d a s á r e a s .

A idéia de área constituiu o nosso ponto de partida para a definição de integral. Entretanto, a conexão entre integral definida e área, permanece algo incompleta. As áreas com as quais estamos habituados na geometria são limitadas por curvas fechadas conhecidas; por

fíx) dx ê limitada só em parte pela curva dada/(a:), ficando o resto do contorno dependendo da escolha do sistema de coordenadas. Se quisermos determinar a área compreendida por uma curva fechada, como um círculo ou uma elipse, por integrais deste tipo, devemos empregar um artifício, como, por exemplo, a decomposição da área em várias partes, cada uma delas limitada por um ramo unívoco da curva e também pelo eixo dos x, assim como pelas ordenadas correspondentes.

Para a discussão deste caso geral é conveniente, em primeiro lugar, apresentarmos algumas observações sobre a determinação do sinal da área considerada. Para qualquer área limitada por uma curva fechada, arbitrária, que não se corte a si mesma, podemos relacionar o sinal da área com a idéia puramente geométrica do sentido segundo o qual a curva ê descrita, de acordo com a seguinte convenção. Diremos que o contorno de uma superfície é descrito no sentido positivo, quando o interior da área ficar à esquerda ( 1 ) de quem percorre o contorno; o sentido oposto será o negativo. Se, então, considerarmos uma superfície cujo contorno seja percorrido num dado sentido, superfície esta designada região orientada, tomaremos a área como positiva se tal sentido for positivo e negativa no caso contrário (fig. 6)

Suponhamos que, em particular, a função f(x) seja positiva em qualquer posição do intervalo a S x ^ b. Consideraremos a curva fechada obtida a partir do ponto x = b = xi, y = 0, seguindo pelo eixo dos x para trás, até o ponto x = a = xQ, y = 0, subindo pela ordenada

(l) Se q u i s e r m o s e v i t a r as p a l a v r a s " d i r e i t a " e " e s q u e r d a " n e s t a definição, diremos q u e o t r i ângulo cujos vértices sSo, r e s p e c t i v a m e n t e , a o r i g e m e os p o n t o s j = 0 e i = 0 , y = l , é descr i to n o sent ido p o s i t i v o , se os vértices forem p e r c o r r i d o s n a o r d e m m e n c i o n a d a P a r a qualquer o u t r a área, o c o n t o r n o descrito será p o s i t i v o se fôr p e r c o r r i d o c o m o o tr iângulo a c i m a , e negativo no caso contrário.

V] T E O R I A D A S C U R V A S P L A N A S 269

da curva y = f(x), percorrendo a curva até a ordenada x = b, e, f i n a l mente, descendo por esta ordenada até o eixo dos x (fig. 7). O va lor absoluto da área interior a esta curva — o número de unidades q u a dradas contido nela — ê , como já sabemos, J f(x) dx. Logo , designando

por A01 a área com o s inal como foi determinado ac ima, a integra l dá o va lor de AQ1, exceto quanto ao sinal. P a r a determiná-lo, precisamos

Ui x I --o

F i g . 6. — Ãrea positiva f : g . 7

unicamente observar que o contorno da região é percorrido em sentido negativo, de forma que An é negativo; temos, portanto ,

4 01 = - fj(x) d x -

D o mesmo modo, se a > b, veremos que, de acordo com a de f in i -

ção que estabelecemos, A 0 i é positiva, ao passo que / f(x) dx é nega

t i v a . A s s i m , A oi é, em qualquer caso, dado pe la equação ac ima.

2. F ó r m u l a gera l p a r a a área c o n s i d e r a d a c o m o i n t e g r a l .

Depois destas preliminares, as dificuldades mencionadas no início podem ser contornadas de forma simples, pela representação paramétr i ca d a curva proposta. Se introduzirmos t, formalmente, como n o v a variável independente na integral acima, fazendo x — x(t), y = y{t) = = / frCOl» teremos

Aoi = - r ' y ( / ) i ( / ) dl, J lo

onde i0 e tx são os valores do parâmetro correspondente às abscissas x0 = a e Xi = b, respectivamente. Admit iremos que o ramo considerado, da curva y = f(x) refere-se ao intervalo í 0 ^ t ^ lx por u m a cor-

270 APLICAÇÕES

respondência ( 1 ) (I, 1), segundo a qual f(x) ê positiva em toda parte e x(J) nunca se anula no intervalo. Como vimos, a expressão estabelecida dá-nos a área da região limitada pela curva, pelas linhas x = a e x = 6, e pelo eixo dos x. E la está, naturalmente, sujeita às desvantagens que já mencionamos. Mostraremos, agora, que, se a curva x = x{t), y — y(l), l0 SI ^.li, for fechada, contornando uma região de área Aox, esta área será fornecida por uma integral que, na forma, é exatamente igual à que estabelecemos.

Imaginemos, pois, uma curva fechada, representada paramètri-camente pelas equações x = x(f), y = y(i), sendo a curva descri

ta justamente uma vez, quando í percorre o intervalo / 0 t S l\. A fim de que a curva possa ser fechada, é essencial que x(t0) — x(ti) e y (Q — y{h)- Admitiremos que as derivadas são contínuas, exceto para um número finito de descontinuidades com saltos, e, mais ainda, que x2 + y2 seja diferente de zero, salvo, talvez, em um número finito de pontos, os quais poderão ser vértices da curva ( 2 ) .

Estudaremos, em primeiro lugar, uma curva fechada sem vértices, convexa, e de tal tipo que nenhuma linha reta a possa cortar em mais de dois pontos. Designaremos por Pi e P-2, respectivamente, os pontos em que a curva possui tangentes verticais; estas tangentes são chamadas "linhas de contenção" em Px e P2, porque os pontos da curva na vizinhança de P x e P2 ficam situados inteiramente de ura dos lados destas tangentes. Podemos, então (fig. 8), considerar a área limitada

(J) lato ê, tal que cada ponto do mesmo corresponda a um único valor de / no intervalo Ai S ( S h e reciprocamente.

(-) Unia curva contínua x = x(l\ y = y(í) terá um vértice em t ~ to se a direção positiva da tangenti) se aproximar de una limite, quando (l - /o)—>0, através de valores positivos, e se aproximar também dc uin limite, porém, diferente do primeiro, quando (l - ipl—> 0 através de valores negativos.

0|

Fig . 8. — Área de uma curva fechada

T E O R I A D A S C U R V A S P L A N A S 271

pela curva, como a soma da área AX2 envolvida pela cuiva fechada P\MP2ABPU formada, como na seção precedente, com a área A-2[

contornado pela curva fechada P2-\PxBAp2 Admitimos que a curva seja gerada no sentido positivo, como está indicado na figura. Pela convenção de sinais que adotamos, AX2 será positiva e A2X negativa. Suporemos que o ponto x(í), y(f) descreve a parte superior da curva, de Pi a Po quando t se desloca de / ( ) a T , ao passo que a parte inferior de P 2 a Pi é descrita quando l varia de r a tx. Obteremos imediatamente

Se designarmos por "área absoluta" de uma região o número de quadrados unitários contidos na mesma — e que, naturalmente, nunca pode ser negativo — a expressão acima nos dará sempre a área absoluta, limitada pela curva, exceto, talvez, quanto ao sinal. Para que possamos aquilatar o que acontece quando o sentido em que a curva é gerada 6 invertido, tomaremos a mesma integral de tx a l0 ern vez de í 0 a /[. Faremos, então,

que ê igual a - A. Reconhecemos, então, a veracidade do seguinte enunciado:

A área representada pela fórmula será positiva ou negativa, conforme for positivo ou negativo o sentido em que a linha de contorno for descrita

(M Traçando a figura admitimos que y > 0 para todos os pontos da curva. E s t a comlição. n:i realidade, não restringe a generalidade do resultado. Se deslocarmos a curva àn uma distância a, paralelamente ao eixo dos y, sem girar a mesma, ou, em outras palavras, se substituirmos y por y + a, a área não sofre alteração. O valor da integral, da mesma forma, fica inalterado, visto que a integral acima será substituída por

portanto, a área total contornada pela curva convexa será

é, como a curva é fechada,


Duas observações simples permitem-nos estender os resultados encontrados. Primeiramente, a fórmula continua válida para as curvas fechadas que não se interceptam, mesmo não sendo convexas e apresentando forma mais geral, como indica a figura 9. E m segundo lugar, as derivadas podem ter descontinuidades com saltos, ou podem ambas anular-se em um número finito de pontos, os quais podem ser vértices- De acordo com o cap. IY , § 8, pág. 245, a função yx continuará sendo integrável. (As ordenadas dos vértices são consideradas linhas de contenção se as curvas, na vizinhança do ponto, ficarem inteiramente de um lado da ordenada.) Admitiremos que a curva possui um número finito de linhas de contenção, correspondendo aos pontos Pi, Pz, . . P n , e subdividiremos a curva nos ramos unívocos

Fig. 9

PiPz, .. ., Pn-iPn, PnP\- Como vemos (fig. 9), obteremos a área l imi tada pela curva, sob a forma A = A 1 2 + A 2 3 + . . . + i4„_1, „ + A n l . (Na fig. 9, n = 6.) Se representarmos paramètricamente cada uma dessas porções de área, e combinarmos as equações numa integral única, veremos que a área limitada pela curva é dada por

que, como já vimos anteriormente, tem o sinal do sentido em que a curva de contorno ê percorrida.

D e certo modo, a fórmula deduzida dá a área das curvas que se interceptam. Deixaremos, porém, de apresentar a q u i tal discussão, remetendo o leitor ao § 2 do apêndice deste capítulo (pág. 311).

V] TEORIA. DAS CURVAS P L A N A S 273

Podemos estabelecer a fórmula deduzida para a área de modo mais elegante e simétrico, se, inicialmente, transformarmos a integral mediante integração por partes:

Como a curva ê fechada

logo

A = — /1 yxdt = J t xy dt.

Se tirarmos a média aritmética das duas expressões, obteremos a forma simétrica

í rh

to xy) dt.

3. Observações e exemplo.

Juntamente com estas expressões faremos uma observação de natureza fundamental. Tanto a demonstração como o enunciado destas fórmulas dependem de um sistema particular de coordenadas retangulares. O valor da área, porém, é uma quantidade puramente geométrica, que não pode ficar subordinado ao sistema de coordenadas eventualmente escolhido. E, pois, importante mostrar que as integrais encontradas não se alteram quanto ao valor, pela mudança de coordenadas.

Se os eixos sofrerem somente um deslocamento, sem rotação, as integrais não mudam (nota da pág. 271). Suponhamos, então, eme os eixos sofrem uma rotação igual ao ângulo a. Em vez de x e y teremos as novas variáveis £ e rj, definidas pelas equações x — £ cos a — y sen a, y = £ sen a -f- v cos a, sendo ainda as novas variáveis funções do parâmetro t. Se lembrarmos que x = £ cos a - rj sen a e y ~ £ sen a -f- -rj cos a, um cálculo abreviada dá yx-xy = - Çrj, de modo que

1 p 1 f ' i

A = ~ 2 / 1 (yx~xy) dt = -~J ^ - £TJ) dt. (!) Em vez de acharmos a segunda expressSo da área pela integração por partes, podemos derivá-la

baseados na propriedade apresentada pela própria definição de área, que permite trocar os eixos dos x e dos y. Deve-se observar, porém, que o sentido da rotação que leva o eixo dos x para a posição do eixo dos y, pelo caminho mais curto, ê oposto ao que o eixo dos y deve perfazer para, peio caminho mais curto atingir o eixo dos x.

274 A P L I C A Ç Õ E S [CAP.

Esta equação mostra que a área é independente do sistema de coordenadas.

A expressão integral que estabelecemos para a área, é igualmente independente da escolha do parâmetro. Suponhamos que introduzimos um novo parâmetro T pela equação r = r{t). Teremos, então,

dx dx dr dy dy dr di dr dC dl dr dl'

de modo que

/*'* f dx dv\ flí f dx dv\ dr - J l a V d i - x 7 i ) d l = = - l yy^-x~)Tldt u V d- d-J dl

dx

onde r 0 e r i são os valores inicial e f inal do novo parâmetro, correspondentes aos valores paramétricos U e ÍL, respectivamente

Como exemplo de aplicação da fórmula da área, vejamos a elipse y = - Va 2 - z 2 . a

Para determinarmos a área, tomaremos separadamente as duas metades, superior e inferior, representando a superfície pela integral

+ a \'a--x-dx.

Se, entretanto, usarmos a representação paramétrica, x = a cos t, y = 6 ser. estabelecemos imediatamente a expressão

ab / sen3 / dl J o

que pode ser integrada como na pág. 215, e tendo para valor abn.

i1) Nesta seção, baseamos o conceito de área sobre o de integral e mostramos que esta definição analítica tem caráter verdadeiramente geométrico, visto que proporciona quantidades independentes do 3istema de coordenadas. É fácil, entretanto, formular uma definição geométrica direta da área limitada por uma curva fechada que não se intercepta .da seguinte maneira: a área é o limite superior das áreas de todos os polígonos situados no interior da curva. A demonstração da equivalência dag duas definições, que não apresentaremos aqui, 6 extremamente simples.

T E O R I A D A S C U R V A S P L A N A S 275

4. Areas em coordenadas polares.

E conveniente, para muitos fins, que possamos exprimir as áreas em função de coordenadas polares. Seja r = f(Ô) a equação de uma curva em coordenadas polares. Representemos por A(S) a área de uma região limitada pelo eixo dos x (isto ê, a linha d = 0), pela linha que passa pela origem e que faz o ângulo d com o eixo dos x, e pelo segmento da curva compreendido entre estas duas linhas. Teremos, então,

A' (0) = l r\ 2

Sc considerarmos o raio vector correspondente ao ângulo 6 e o que corresponde ao ângulo 6 + AB, representando o menor deles, neste intervalo angular (fig. 10) por r 0 e o maior por r i , o setor compreendi-

Fig. 10. — Elemento de área em coorde-

do pelos raios vectores de 6 - f Ad nadas polares

terá a ária A / l , compreendida entre os limites >^r 02A6 ! e yzri~Ad. Con

seqüentemente, 1 LA 1

AB

e, passando ao limite quando A0-O, obtemos a relação acima. Pelo teorema fundamental do cálculo integral, a área do setor compreendido entre os ângulos polares a e /3 é dada pela expressão

dB.

Se 0 > a, esta expressão não pode ser menor do que zero. Como vemos imediatamente que, à medida que d cresce, o ponto com coordenadas (r, 6) descreve o contorno da área no sentido positivo, isto está de acordo com a nossa convenção prévia sobre o sinal.

Corno exemplo, consideremos a área l imitada por u m laço da l emniscata . A equação d a lemniscata é (pág. 73) r 3 = 2 a 2 cos 20, obtendo-se u m laço, fazendo 6 var iar de - TT/4 até +jr/4. Teremos, então, a expressão

/V /4 a 2 /

J -«•/* cos 26 de

276 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

para a área. Pudemos Integrá-la imediatamente, introduzindo a nova variável H = 20, obtendo para valor da área, a 2 .

5. C o m p r i m e n t o d as c u r v a s .

O comprimento de um arco de curva ê outro conceito geométrico i m portante que nos leva à integração.

P r i m e i r a m e n t e exporemos, geometricamente, como fomos levados à definição do comprimento de uma curva arbitrária. 0 processo elementar p a r a a m e d i d a de comprimento consiste n a comparação da extensão a ser m e d i d a com padrões retilíneos de comprimento. O método mais simples consist ir ia , portanto, em aplicar o padrão de comprimento à c u r v a , com os seus extremos sobre a mesma, e contar quantas vezes o processo deve ser repetido, do princípio ao f i m da curva. O processo seria tornado mais preciso, empregando-se unidades de comprimento cada vez menores. P o r analogia com esta idéia in tu i t iva elementar, definiremos o comprimento de u m a curva d a maneira seguinte. Suporemos que a c u r v a é dada pelas equações x = x(t), y = y(t), aSiSj3. (O que i n c l u i as curvas d a forma y = f(x), desde que se possa escrever J — /(0> x — Q N o intervalo compreendido entre a e /?, escolheremos os pontos t0 = a, tu t2, . .., in = B, n a ordem em que estão escritos. Os pontos d a c u r v a que correspondem a estes valores tv serão unidos por retas, segundo a sua ordem natura l , formando assim parte de um polígono inscr i to n a c u r v a . Mediremos , agora, o perímetro deste polígono. E s t e comprimento dependerá do modo como os pontos t„ ou, como podemos dizer a inda, os vértices do polígono, forem escolhidos. Deixemos o número de pontos tv crescer indefinidamente, de sorte que o comprimento do maior subintervalo , no intervalo a ^t ^ /3 tenda s imultaneamente para zero. Isto faz com que o número de lados do polígono cresça sem l imi te , ao passo que o comprimento do maior lado tende p a r a 0. O comprimento da curva poderá, portanto, ser definido como o l imi te p a r a o q u a l tendem os polígonos inscritos, desde que tal l i m i t e exista e seja independente da maneira part icular pela qual os polígonos foram escolhidos. Somente quando se verifica a existência deste l imi te (hipótese de retificação) é que se pode falar em comprimento d a c u r v a . Veremos , em breve, que classes m u i t o extensas de curvas podem ter a sua retificação demonstrada.

P a r a expr imir analit icamente o comprimento por meio de uma i n tegral , consideraremos a curva , de fato, como representada pela função


y — f(x), c o m u m a derivada contínua y'. Pelos pontos a — X\, x2, .. - , xn = ò, d iv idimos o intervalo a ^ x ás b do eixo dos x, a c ima do q u a l está s i tuada a curva em estudo, em (n - 1 ) subintervalos de c o m p r i mento Axi, Aa; n _i . Inscreveremos então u m polígono n a curva , cujos vértices correspondam, vert icalmente, aos pontos de divisão. O comprimento total desse polígono inscrito será, de acordo com o teorema de Pitágoras (fig. 11), dado pela expressão

M a s o teorema do valor médio do cálculo diferencial diz que o quo ciente das diferenças AyjAxv é igual a / ' (£„), sendo £„ u m valor i n termediário do intervalo Ax„. Se, agora, n crescer além de qualquer

y, y*

ti.*

y, y*

ti.* ,.A Aiji

Ë

0 X,

F i g . 11. — Retificação de curvas

l imite e, ao mesmo tempo, o comprimento do maior subintervalo Ax„ tender para zero, pela definição de integral , a expressão enunciada tenderá para o l imite

J%1 + y,2dx.

Visto a passagem ao l imite nos conduzir sempre ao mesmo resultado, a saber, a integral, qualquer que seja a forma pela q u a l o intervalo foi subdividido, podemos estabelecer o seguinte teorema:

Toda a curva y = f(x), para a qual a derivada í' (x) e continua, e retificável e o seu comprimento entre x = a e x = b ( b ^ a ) é dado pela fórmula

s{a, b) = f* VTTT"2 dx.

Se designarmos por s o comprimento do arco, medido a partir de um ponto fixo arbitrário até o ponto de abscissa x, a equação acima dá-nos a seguinte expressão para a derivada do comprimento do arco, em relação a x:

ds

5 = V 1 + ^ A expressão obtida para o comprimento do arco está, ainda, su

jeita à hipótese especial e artif icial de que a curva consiste em um ramo unívoco, acima do eixo dos x. A representação paramétrica, porém, livra-nos desta restrição. Se a curva da espécie que estamos considerando for dada sob forma paramétrica, pelas equações x = x(t),y = y(f), obteremos a forma paramétrica do comprimento do arco, introduzindo o parâmetro t na expressão encontrada

PP s(a, ,8) = I V i 2 + T dt,

onde a e 8 são os valores de / que correspondem, respectivamente, aos pontos da curva x = a e x = b.

A expressão paramétrica do comprimento da curva apresenta uma considerável vantagem sobre a forma pr imi t iva , a qual consite em não ficar restrita unicamente aos ramos unívocos das curvas representadas por y = f{x), mas verificar-se igualmente para arcos arbitrários, inclusive das curvas fechadas, desde que as derivadas x e y sejam contínuas ao longo dos arcos.

Reconheceremos esta afirmação mais facilmente, se retornarmos à fórmula do comprimento do polígono inscrito. Supomos que x e y sejam contínuas ao longo do arco. Como na definição, subdividiremos o intervalo a St SB pelos pontos tQ = a, tlf . . ., tn = 6, com as diferenças Aí„, e faremos dos pontos correspondentes sobre a curva vértices de um polígono inscrito; na passagem ao limite n - - <», admitimos que a maior diferença ài„ tende para 0. Se escrevermos o comprimento do polígono sob a forma

Vi

veremos logo que a soma tende para a integral / -V'x2. -f- y2 dt; basta,

unicamente, lembrar ' o método geral de formação das integrais


(pág. 133). Se a c u r v a for c o m p o s t a de vários arcos deste t i p o , os qua is podem unir-se nos vértices, u m ao out ro , a expressão do c o m p r i m e n t o da c u r v a será d a d a pe la s o m a das integra is correspondentes. R e u n i n d o estes resultados , podemos estabelecer o seguinte enunc iado :

Se as funções x(t) e y(t ) forem contínuas no intervalo a ^ t á=/3 e se as suas derivadas x (t ) , y(t ) , também forem contínuas, exceto, talvez, para um número finito de descontinuidades com saltos, o arco da curva x = x(t) , y = y(t ) terá para comprimento a expressão

onde a in tegra l , se necessário, pode ser t o m a d a como imprópria , no sentido do Capítulo I V (pág. 245). E m v i r t u d e desta fórmula, n a q u a l a deve ser menor que /3, há u m s ign i f i cado em a t r i b u i r u m c o m p r i m e n t o negat ivo ao arco de c u r v a per cor r ido n a direção em que o v a l o r do parâmetro t decresce. 0 s i n a l do c o m p r i m e n t o do arco dependerá, assim, d a escolha do parâmetro. Se i n t r o d u z i r m o s n o v a expressão p a ramétrica p a r a a m e s m a c u r v a , que não altere o sent ido do percurso , isto é, se i n t r o d u z i r m o s n o v o parâmetro pe la equação r = r(f), onde drfdK 0, vemos a priori que a fórmula i n t e g r a l que deduz imos d a r i a o mesmo v a l o r , qua lquer que fosse o parâmetro empregado, t o u r ; as duas integrais d a n d o o c o m p r i m e n t o da m e s m a c u r v a d e v e m , for çosamente, ser iguais . Isto , en t re tanto , pode ser ver i f i cado d i r e t a m e n t e por

D e d u z i r e m o s agora a expressão do c o m p r i m e n t o do arco, q u a n d o a c u r v a for expressa em coordenadas polares. P a r a isto bas ta s u b s t i tu i rmos x e y po r seus valores dados p e l a fórmula (a) (pág. 265) n a última equação p a r a obtermos

V i r -f- y2 dl dt

x- + y- = r- + r -0 - , donde

A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

Se agora passarmos da expressão paramétrica para a equação sob a forma r = /(#), introduzindo o próprio parâmetro t = 8, de sorte que é — 1, teremos

/ • « >

J Sn

para expressão do comprimento do arco.

Ura exemplo simples do cálculo do comprimento do arco é dado pela pará-1

bola y = - x-. O comprimento deste arco é dado imediatamente pela integral

j •à

V i -{- x- dx, que, com a substituição x = S h u, transforma-se em J

/ * Are S h 6 1 f Are Sh 6 1 I C l r - udu = - \ ( 1 + C h 2 u) du = - (u + Sh a Ch u)

J Are Sh a 2 J Are Sh a 2

Are Sh 6

l) Are Sh a

da modo que o comprimento do arco da parábola entre as abscissas x = a e x «= b será dado por

s(a, b) = } |(Arc Sh ò -f- òV l - ò- - Are Sh a - a\ ' l - f a-').

Para a catenária y = C h x, achamos que rb p

ò) = / V l -+- S b 2 x t fo = / Chxdx, ou s(a, b) — Sh /; - Sh a. J a J a

Finalmente, deve ser observado que em muitos casos é conveniente introduzir como parâmetro o comprimento do arco, medido a partir de um ponto fixo P0 sobre a curva, isto é, x = x(s) e y = y(s). Os pontos situados em lados opostos da curva, em relação a P 0 corresponderão aos mesmos valores de s, porém, com sinais diferentes. Neste caso, teremos

í , + * í - ( s ) J - 1 ' donde, por derivação,

xx -f- yy = 0;

Estas duas ultimas fórmulas são de freqüente aplicação.

6. Curvatura das curvas. A área e o comprimento do arco de uma curva dependem do tra

çado comphito da mesma. Discutiremos um conceito que se refere ao comportamento da curva somente na vizinhança de um ponto, a saber, «li curvatura.


Se imaginarmos a curva descrita uniformemente no sentido positivo, de sorte que iguais comprimentos de arco sejam percorridos em tempos iguais, a direção da curva variará numa razão definida, que tomaremos como medida da curvatura. Se, portanto, designarmos o ângulo compreendido entre a direção positiva da tangente (pág. 264) e a direção positiva do eixo dos x, por a, e se considerarmos a como função do comprimento do arco s, podemos definir a curvatura k pela equação k — dalds, no ponto correspondente ao comprimento do arco s. Sabemos, porém, que a = are tg y', logo, pela regra da cadeia,

da da ds y" I ds dx dx 1 •+- y'2 v l -f- y'~

(onde o sinal positivo da raiz quadrada significa que os valores crescentes de x correspondem aos valores crescentes de s). A curvatura será pois, conseqüentemente, dada pela expressão

y" fe==U + y / 2) 3 / 2 '

Usando a forma paramétrica para y' e y" obteremos a seguinte expressão simples para a curvatura das curvas representadas param è-tricamente:

xy-yx

a qual, como ô lógico, pode ser diretamente deduzida da equação

y x a = are tg \ = are cotg ~ •

E m contraste com a expressão anterior que depende da equação y =f(x), envolvendo, por conseqüência, uma hipótese especial sobre a posição do arco em relação ao eixo dos x, a fórmula paramétrica da curvatura tem lugar para todos os arcos ao longo dos quais x, y, x e y são funções contínuas de t e x~ -f- y2 4= 0. E m particular, ela ê válida para os pontos em que x — 0, isto é, nos quais dyjdx se torna infinita.

Se introduzirmos o comprimento do arco s como parâmetro, lembrando que x2 -\- y2 — 1 e xx + yy = 0, teremos

( Y \ y x

yj x y

A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

Obtivemos , assim, u m a expressão p a r t i c u l a r m e n t e simples p a r a a c u r v a t u r a .

O sinal d a c u r v a t u r a será m u d a d o se inver termos o sent ido do percurso da c u r v a , isto é, se s u b s t i t u i r m o s o parâmetro i ou s pelo novo parâmetro r = -t o u a = - s. N e s t e caso x e y m u d a m de s i n a l , porém, x, y, x2 ou y2 não m u d a m de sina], c omo m o s t r a o cálculo se

rá dx dt _ I [ Í ( T ) ] ._ _ = ( £ H_„. d2 d dx dt

(Dedução semelhante pode ser f e i ta p a r a y.) N o caso da expressão

y" k — ^ /zyàis' estabelecida na página anter ior , este fato está suben

tendido, pois ê n a t u r a l e c o m u m considerar a c u r v a como descr i ta d a

esquerda para a d i re i ta , caso em que a r a i z q u a d r a d a somente pode

ser pos i t iva . C o m o exemplo, estudemos a c u r v a t u r a do círculo descrito no sen

tido posit ivo, c om o ra io a. Se p a r t i r m o s d a representação paramétrica . i ' = a cos t, y = a sen t, obteremos i m e d i a t a m e n t e

1 fe = -

a 'A curvatura do círculo descrito no sentido positivo e a recíproca do pró-l>rio raio. T a l resul tado assegura-nos que a definição que estabelecemos para a c u r v a t u r a é realmente a p r o p r i a d a , po is no caso do círculo p e n samos, naturalmente , n a recíproca do raio como m e d i d a d a c u r v a t u r a .

1 1 Façamos p = A q u a n t i d a d e | p j = p -j é, e m geral , c h a m a d a

o raio de curvatura d a curva , no ponto cons iderado . P a r a u m determinado ponto da c u r v a , o círculo que a toca neste lugar , que tem o mesmo sentido de percurso e a mesma c u r v a t u r a , c o m o centro, além disso, sobre o lado p o s i t i v o ou negat ivo da n o r m a l , conforme k seja posit ivo ou negativo, é denominado círculo de curvatura correspondente ao ponto . Suponhamos que a equação do círculo (ou de u m arco de círculo contendo o ponto em questão) é dado sob a f orma y = g(x).


N o ponto considerado teremos, não s ó / ( x ) = g(x) e / ' ( aO = g'(x) como se deduz do fato do círculo e a c u r v a se tocarem, mas, e m face da relação

f'(x) = z k = = g"(x)

V [ l +f'(xYf V [ l + g'(xff

teremos, também,

/''(*) = g"(x).

O centro do círculo de c u r v a t u r a é denominado centro de curvatura. Suas coordenadas são expressas, paramètricamente, por

pj , px Ç = X J 1 ) = H = r L _ .

P a r a demonstrá-lo, basta apenas empregar as fórmulas dos co-senos diretores da n o r m a l , sobre a q u a l ca i o centro de c u r v a t u r a , a u m a distância 1/| k | = | p | d a tangente . Es tas fórmulas dão u m a expressão para o centro de c u r v a t u r a em função do parâmetro t. Ã m e d i d a que i descreve o seu percurso, o centro de c u r v a t u r a v a i gerando u m a c u r v a , a evoluta da c u r v a dada . V i s t o que com x e y devemos considerar x, y e p como funções conhecidas de t, as expressões ac ima p r o p o r c i o n a m as equações paramétricas desta evo luta .

P a r a exemplos especiais, o le i tor pode recorrer ao § 3 (págs. 287 e seguintes) e ao apêndice deste capítulo (págs. 307 e seguintes).

7. C e n t r o d e m a s s a e m o m e n t o d a s c u r v a s .

Estudaremos , agora, a lgumas aplicações, que nos conduzem aos domínios da mecânica. Imaginemos u m sistema de n partículas n u m plano. Se jam mi, m 2 , . . . , mn as massas dessas partículas e y L , y 2 , . . . , y „ suas ordenadas respectivas. Chamaremos , então,

n T = S mvyv = miyi + m2y2 + . . . - f mnyn

K = l

o momento do sistema de partículas em relação ao eixo x. A expressão 7] = T/M, onde M s igni f ica a massa t o t a l mx + m 2 + . . . -\- mnào sistema, dá-nos a altura do centro de massa do s istema de partículas, ac ima do eixo dos x. O momento em relação ao eixo dos y e a abscissa do centro de massa são determinados de m a n e i r a semelhante.


Veremos que esta concepção pode ser fac i lmente general izada , a f im de proporcionar u m a definição do momento de u m a c u r v a ao longo da q u a l a massa está distribuída uniformemente, e das coordenadas £ e v d o seu centro de massa. Somente por questão de brev idade , a d mit i remos que a densidade é constante ao longo da c u r v a , d igamos M-Qua lquer distribuição contínua, porém, poderia ser d i s c u t i d a do mesmo modo.

P a r a at ingirmos a generalização necessária, retrocedamos à cons i deração de u m sistema de u m número f inito de partículas passando, depois, ao l imi te . P a r a isto , suponhamos que o c o m p r i m e n t o do arco s é in t roduz ido como parâmetro da c u r v a a q u a l , por s u a vez , é s u b d i v i d i d a por (n - 1) pontos de divisão em arcos de compr imentos A.s'i, As2, As„. A massa juAs£- de cada arco A s £ é suposta concentrada n u m p o n t o arbitrário do arco, por exemplo, no de ordenada y £ .

P o r definição, o momento deste sistema de partículas, em relação ao eixo dos x, t e m p a r a valor

Se a maior parte das quantidades As,- tender p a r a 0, a soma teu- ' derá p a r a u m l i m i t e def inido , fornecido pela expressão

Çn f x i

T = til yds=fi y V i + y / 2 dx, J Sü J xo

a qua l aceitaremos, naturalmente , como definição do momento da c u r v a em relação ao eixo dos x. Desde que a massa t o t a l d a c u r v a é igual ao seu comprimento mul t ip l i cado por u,

n ds = p.{Si - s0), J Sú

somos levados, imediatamente , às seguintes expressões das coordenadas do centro de massa:

/'« rsi

y ds x ds •1 — 5 0 £ = J so

*1 ~ «0 Si - S0

Estes enunciados são, efetivamente, definições do m o m e n t o e do centro de massa da c u r v a . Por outro lado, porém, são generalizações tão evidentes do caso mais simples de u m certo número de partículas,


que esperamos naturalmente — como acontece n a rea l idade - — que qualquer enunciado d a mecânica que envolva o centro de massa ou o momento de u m sistema de partículas, seja igualmente válido para as curvas. E m part icular , a posição do centro de massa, em relação à curva , é independente do s istema de coordenadas.

8. A r e a e v o l u m e das super f í c ies d e revo lução .

Se efetuarmos a rotação da c u r v a y = f(x), para a q u a l f(x) ^ 0, em torno do eixo dos x, ela descreverá u m a superfície de revolução. A área desta superfície, cujas abscissas supomos compreendidas entre os l imites xoexi > XQ, pode ser obt ida por discussão análoga à precedente. Se substituirmos a curva por u m polígono inscrito , teremos uma f i gura composta de certo número de cones delgados e truncados, em vez de u m a superfície c u r v a . Desenvolvendo a sugestão i n t u i t i v a , definiremos a área das superfícies de revolução como o l imite das áreas das superfícies cónicas mencionadas, quando o comprimento do maior lado do polígono inscr ito tender para 0. Sabemos da geometria elementar que a área de cada cone truncado ê igual ao seu apótema mult ip l icado pela circunferência da seção circular do ra io médio. A d i cionando estas expressões e efetuando, então, a passagem ao l imite , obteremos a expressão

para a área. E m palavras, este resultado significa que a área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geradora, mult ipl icado pela distância percorr ida pelo centro de massa (regra de Guld in) .

D a mesma forma acharemos que o vo lume compreendido pela su perfície de revolução, l imi tado nos extremos pelos planos x = xQ e x = xi > Xo será

E s t a fórmula foi deduzida seguindo-se a sugestão i n t u i t i v a que apresenta o volume em questão, como o l imite dos volumes das figuras já descritas, que consistem em cones truncados. A conclusão d a demonstração será atribuição do leitor .


9. M o m e n t o d e i n é r c i a .

N o estudo do m o v i m e n t o de rotação, n a mecânica, certas q u a n t i dades chamadas " m o m e n t o s de inércia" desempenham u m pape l m u i t o importante . T r a t a r e m o s a q u i , rap idamente , destas expressões.

Suponhamos que u m a partícula m, s i t u a d a a u m a distância y do eixo dos x, g i ra uni formemente em torno deste eixo com a veloc idade a n gular « (isto é, g i ra de u m ângulo &> n a un idade de tempo) . A energia cinética da partícula, representada pe la metade do produto d a massa pelo quadrado d a ve loc idade , é, log icamente ,

m 2 Cy»h

Chamaremos o coeficiente de Viu2, i s to é, a quant idade my2, o momento de inércia da partícula, em torno do eixo dos x.

D a mesma forma, se t ivermos n partículas de massas m l s nu, .. .. mn, c om as ordenadas y1} y2, ..., yn, denominaremos a expressão

momento de inércia do s i s tema de massas em torno do eixo dos x. O momento de inércia é u m a q u a n t i d a d e que pertence ao próprio sist e m a de massas, independentemente do seu mov imento . S u a i m p o r tância reside no fato de que se todo o s i s tema entrar em m o v i m e n t o rígido em torno de u m eixo, sem alteração das distâncias existentes entre os pares de partículas, a energia cinética será o b t i d a m u i t i p i i -cando-se o momento de inércia em torno do eixo considerado pe la metade do quadrado d a ve loc idade angular . V e m o s , assim, que o m o mento de inércia representa o mesmo p a p e l , n a rotação em t o r n o de u m eixo, que a massa, no m o v i m e n t o retilíneo.

Suponhamos que temos u m a c u r v a arbitrária, y —f(x), s i tuada entre as abscissas x0 e x\ ( > xG), ao longo d a q u a l se d i s t r i b u i a massa u n i formemente, c om densidade unitária. P a r a def in irmos o momento de inércia de t a l c u r v a , procederemos como o fizemos n a subseção 7 (pág. 284). C o m o naque la ocasião, chegaremos a u m a expressão p a r a o momento de inércia e m t o r n o do eixo dos x, a saber,

P a r a o momento de inércia em torno do eixo dos y teremos a expressão correspondente:

T = 2 miyi2

V j C I C L Õ I D E O I - 1

3. E X E M P L O S

À teoria das curvas planas, com sua grande variedade de formas e propriedades especiais, apresenta uma rica coleção de exemplos destes conceitos abstratos. Para evitar, porém, que nos percamos no vulto dos pormenores, limitar-nos-emos a algumas poucas aplicações típicas.

1. Ciclóide c o m u m .

D a s equações x = a(t~ sen t), y — a(l~ cos f) (pág. 261), obtemcs desde logo, x = a ( l - cos t), y = a sen t. O c o m p r i m e n t o do arco será, por tanto ,

= y V i 2 + y*dt = j a V 2 a 2 ( l - cos /) dl.

t t C o m o , porém, 1 - c o s i = 2 s e n 2 - , o in tegrando é i g u a l a 2 a sen - , e p a r a

2 2 0 á a. ^ 2TT,

Ca t t * / Ct\ — 2a / s en - dt = - 4 a cos —. = 4a ( 1 - cos - ) — S a s e n

J 0 2 2 o V 2 / a

4*

Se , e m p a r t i c u l a r , cons iderarmos o c o m p r i m e n t o do arco compreendido entre dois vértices sucessivos, podemos escrever a = 2 ir , v i s t o que o i n t e r v a l o 0 g t 2TT

de valores do parâmetro corresponde a u m a revolução comple ta do círculo gerador . Obteremos, ass im, o va lor 8a, i s to é, o c o m p r i m e n t o do arco d a ciclóide, c o m p r e e n d ido entre os vértices sucessivos, é i g u a l a q u a t r o vezes o diâmetro do círculo gerador .

D a m e s m a f o r m a , calcularemos a área l i m i t a d a pelo arco d a ciclóide e pelo eixo dos x:

pz* r2w I = \ yxdt = a 2 I (1 - cos O 2 dl

= a 2 / ( 1 - 2 c o s i + cos 2Z) dt

r t s en2 í\|2* -= a 2 ( i - 2 sen t + - H )

V 2 4 / o 3 a 2 T .

E s t a área va le , por tanto , três vezes a área do círculo gerador . O raio de c u r v a t u r a p = l/k será representado por

p = i = - 2 a V 2 ( l - cos /) = - 4 a xy - yx

t sen -

2

N o s pontos i — 0, t = =±=27!-, . . . esta expressão se a n u l a . Nes tes pontos , e f e t i vamente , acham-se os vértices, ondo a ciclóide e n c o n t r a o e ixo dos x sob ângulos retos.

288 APLICAÇÕES [CAP.

A área d a superfície de revolução gerada pela rotação de u m arco d a ciclóide em torno do eixo dos x é d a d a , de acordo c o m a fórmula já deduz ida (pág. 285), por

A = 2ir y ds = 2TT I a ( l - cos t).2a sen -dt Jo Jo 2

/ " S r l fx = Sa-7r I s e n 3 -dt = I6a2ir I sen3 udu

J 0 2 J o

= 16a 27r / (1 - cos 2 u) sen u c/u. J o

A última in tegra l pode ser ca l cu lada pe la substituição de cos u «• t. Acharemos , então, que

6 4 a 2 -1 A = 16a 27r ( - cos u H — cos 3 u)

3 0

Como exercício, o le i tor poderá de terminar a a l t u r a T\ do centro de massa d a ciclóide a c i m a do eixo dos x. ass im como o m o v i m e n t o de inércia desta c u r v a , T» . Os resultados são

4 A 236 ri = - a = • e 7\ = —— a 3 ,

3 2TTÍ 15

2. Catenária.

O compr imento do arco d a catenária j á fo i d e t e r m i n a d o n u m exemplo da seção precedente (pág. 280), tendo sido encontrado p a r a seu va lor

6 C h x dx = S h 6 - S h a.

a

A área d a superfície de revolução gerada pela ro tação d a catenária em torno do eixo dos x, a c h a m a d a calenóide, é d a d a por

A = 2TT / Ch°-xdx = 2TT / cix J a J a 2

1 1 » JT(6 - a + - S h 2b - - S h 2a).

2 2

Desta expressão obtemos a a l t u r a do centro de m a s s a do arco que se estende de a até ò:

_ _A_ _ b - a + l S h 2b - \ S h 2a " " 2 « = = =

2 (Sh b ~ S h a)

Finalmente , a cm*vatura é fornecida pela equação y " C h x 1 k =

( 1 + v ' 2 ) 3 ' 2 C b 3 x C h 2 2 *

E L I P S E E L E M N I S C A T A 289

3. Elipse e lemniscata.

O comprimento dos arcos destas duas curvas não pode ser reduzido a funções elementares, visto pertencer à classe das "integrais elípticas", mencionadas na pág. 243.

P a r a a elipse y = - V a 2 - ^ , teremos: a

a J K a 2 - x* J V ( l - n (1 - x 2 £*)

onde fizemos xla = g e 1 - 6 2 / a 2 = xz. Pela substituição £ = sen <p esta integral pode ser expressa pela fórmula

* = ~ ( ° 3 ~ fo2) s e n V d á + */2.

P a r a a lemniscata, cuja equação em coordenadas polares é r J = a- cos 2í teremos, analogamente,

JyJr* +r*dt= j^f 2a2 cos 2í + 2a-

C dt ,~ r dl - a V2 / , = a V 2 / , - .

J Vcos2Z J V i - 2 sen2 í

cos 2t dt

Se introduzirmos u = tg t como variável independente, na última integral, virá

iz 2 du sen 2 i = , dt =

l + u J 1 + u 2

e, por conseqüência,

,- f du = a V2 / -, . J Vl - u*

E m cada laço completo da lemniscata u varia desde - 1 até + l e o comprimento do arco será, então, igual a

du Vl - u * '

integral elíptica especial, que representou papel importantíssimo nas pesquisas de Gauss.

290 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

E X E M P L O S

1. D e t e r m i n a r a área l i m i t a d a pe la parábola s e r n i c u b i c a y = x 3 ' 2, pelo eixo dos x, e pelas i iuhas x — a e x = ò.

2. C a l c u l a r a área d a região l i m i t a d a pe la l i n h a y = x e p e l a m e t a d e in fer ior do laço do fólio de Descar tes . ( E m p r e g a r a representação paramétrica estabelec ida no exemplo 7 d a pág. 267.)

3. C a l c u l a r a área de u m setor d a esp ira l de A r q u i m e d e s r — ad, (a > 0 ) .

4. D e t e r m i n a r a área d a cardióide (ex. 3, pág . 267) empregando coordenadas polares.

5. C a l c u l a r a área d a astróide (ex. 6, pág . 267) .

6. D e t e r m i n a r a área d a c u r v a p e d a l do círculo x- -f- y2 = 1 e m relação ao ponto P(x0, 0) do eixo dos x. P r o v a r q u e t a l área é mínima, q u a n d o P co inc ide com

7. Fazer o m e s m o p a r a a elipse 1 = 1. a 2 ò 2

8. Estabelecer a representação paramétr ica d a cardióide, empregando o c o m p r i m e n t o do arco como parâmetro.

9. Fazer o m e s m o p a r a a ciclóide.

10. C a l c u l a r o c o m p r i m e n t o do arco d a parábola semicúbica y = x 3 l s .

11. Ca l cu lar o c o m p r i m e n t o d a astróide.

12. D e t e r m i n a r o c o m p r i m e n t o do ar co :

(a) d a esp i ra l de A r q u i m e d e s r = ad, (a > 6). (ò) d a esp ira l logarítmica r = (c) d a cardióide (ex. 3, pág. 267). (d) da c u r v a r = a(62 -1).

13. A c h a r o r a i o de c u r v a t u r a (a) d a parábola y = x2; (b) d a elipse x = a cos <p, y = b sen <p, como função de x e de <p, r e s p e c t i v a m e n t e . C a l c u l a r os raios de c u r v a t u r a máximo e mínimo, d e t e r m i n a n d o os pontos e m q u e eles o correm.

14. Desenhar a c u r v a

determinando seu raio de c u r v a t u r a .

15. D e m o n s t r a r que a fórmula d a c u r v a t u r a da c u r v a x = x(J), y = y(f) c o n serva-se i n a l t e r a d a pela ro tação dos e ixos , e também pela mudança do parâmetro dado por l = <p{r), onde <p'(r) > ü .

a or igem.

V] E L I P S E E L E M N I S C A T A 291

16. S e j a a equação de u m a c u r v a e m coordenadas r o l a r e s r = D e m o n s t r a r q u e a c u r v a t u r a é f o r n e c i d a p e l a fórmula

2r'2~rr" + r*

17. D e t e r m i n a r o v o l u m e e a área s u p e r f i c i a l de u m a z o n a esférica de ra io r, i s to é, d a porção d a esfera l i m i t a d a p o r do is p l a n o s para le l os d is tantes hz, hi, resp e c t i v a m e n t e , do centro .

18. C a l c u l a r o v o l u m e e a área s u p e r f i c i a l do toro ou anel, gerado p e l a rotação de u m círculo em t o r n o de u m a l i n h a q u e não o corte .

19. C a l c u l a r a área d a catenôidc, o u se ja , a superfície o b t i d a pe la rotação de u m arco d a catenária, y — C h x, e m t o r n o do eixo dos x.

20. D e s e n h a r as c u r v a s d e f i n i d a s pelas equações

Q u a l o c o m p o r t a m e n t o d a c u r v a q u a n d o t v a r i a desde - °= até -f- « ? C a l c u l a r a c u r v a t u r a k e m função d o c o m p r i m e n t o do arco .

2 1 . A c u r v a p a r a a q u a l o c o m p r i m e n t o d a tangente , c o m p r e e n d i d o entre o ponto d e contac to e o eixo dos y, é s e m p r e i g u a l a 1, é d e n o m i n a d a Iralória. E s t a belecer a s u a equação . M o s t r a r que o r a i o de c u r v a t u r a e m c a d a ponto d a c u r v a é i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l ao c o m p r i m e n t o d a n o r m a l c o m p r e e n d i d a entre o ponto d a c u r v a e o e ixo dos y. C a l c u l a r o c o m p r i m e n t o do arco d a tratória, esta be lecendo as equações paramétricas e m função do c o m p r i m e n t o do arco .

22. S e j a x = x(t), y — y(L) u m a c u r v a f e c h a d a . M e d e - s e u m c o m p r i m e n t o c o n s t a n t e p sobre a n o r m a l à c u r v a . A e x t r e m i d a d e deste segmento descreve u m a c u r v a d e n o m i n a d a curva paralela à o r i g i n a l . A c h a r a área, o c o m p r i m e n t o do arco e o r a i o de c u r v a t u r a d a c u r v a p a r a l e l a .

23 . D e t e r m i n a r o c ent ro de m a s s a de u m arco arbitrário (o) de u m círculo de r a i o r; (b) d a catenária.

24 . C a l c u l a r o m o m e n t o de inércia e m t o r n o d o eixo dos x d o c ontorno do retângulo a ^ i á 5, a | y | |3.

25 . D e t e r m i n a r o m o m e n t o de inércia de u m arco d a catenária y = C h x (a) e m t o r n o do eixo dos x; (b) e m t o r n o do eixo dos y.

26. A equação y = / ( x ) + a, a ^ x á b, representa u m a família de c u r v a s , u m a p a r a c a d a v a l o r do parâmetro a. D e m o n s t r a r que , em l a i família de curvas , a que t e m o m o m e n t o de inércia mín imo , e m torno do eixo dos x, é aque la cujo centro d e m a s s a está s i t u a d o no eixo dos » .

k ( r ' s + r a ) 3 ' 2 '

onde de

2 9 2 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

4. P R O B L E M A S S I M P L E S SOBRE A M E C Â N I C A DAS P A R T Í C U L A S

O cálculo d i ferenc ia l e in tegra l deve à ciência da mecânica o seu posterior desenvo lv imento , além d a geometr ia . A mecânica assenta sobre certos princípios básicos, que f o r a m pr ime i ramente d ivu lgados por N e w t o n . O enunc iado destes princípios j á envolve o conceito de der ivada , e as suas aplicações requerem a teor ia d a integração. S e m analisar m i n u c i o s a m e n t e estes princípios, i lustraremos , por intermédio de alguns exemplos s imples , como o cálculo di ferencial e in tegra l é apl icado n a mecânica.

I . H i p ó t e s e s f u n d a m e n t a i s d a m e c â n i c a .

Restr ing i remos o nosso estudo à consideração de u m a única p a r tícula, i s to é, u m ponto no q u a l se supõe concentrada a massa m. A d m i t i r e m o s , além disso, que o m o v i m e n t o somente se processa segundo u m a c u r v a f i x a sobre a q u a l a posição d a partícula é caracte r i z a d a pelo c o m p r i m e n t o do arco s, m e d i d o a p a r t i r de u m ponto f ixo d a c u r v a . E m p a r t i c u l a r , a c u r v a pode ser u m a l i n h a re ta , caso em que empregaremos a abscissa x como coordenada d a partícula, e m vez do compr imento 5 . 0 m o v i m e n t o do ponto é determinado e x p r i m i n d o a coordenada 5 = <b(i) em função do t empo . P o r velocidade do movimento compreendemos a d e r i v a d a <f>'(l) ou , como podemos escrever,

ds

A segunda d e r i v a d a d2s

dP = r ( 0 = *'

será d e n o m i n a d a aceleração. N a mecânica, parte-se d a hipótese de que o m o v i m e n t o de u m

ponto pode ser representado por me io de /ôrças de direção e grandeza definidas. A s e g u n d a l e i f u n d a m e n t a l de N e w t o n , n o caso do m o v i mento sobre a c u r v a que menc ionamos , pode ser enunc iada como segue:

A massa multiplicada pela aceleração e igual à força que atua sobre a partícula na direção da curva. E m símbolos

ms = F.

V] MECÂNICA. D A S PARTÍCULAS 293

Assim, a força e a aceleração têm sempre a mesma direção, a qual será a dos valores crescentes de s se a velocidade íor crescente neste sentido ou a oposta, no caso contrário.

A lei de Newton nada mais ê, em primeira instância, do que uma definição do conceito de força. 0 primeiro membro da equação apresentada é uma quantidade passível de determinação, pela observação do movimento, por meio da qual medimos a força. A equação citada, porém, tem significado bem mais profundo. Efetivamente, cm muitos casos, podemos determinar a força que age, baseados em outras hipóteses físicas, abs-traindo-nos de levai* em consideração o movimento correspondente. A lei fundamental de Newton que enunciamos não é, portanto, urna simples definição de força, mas, ao contrário, uma relação da qual podemos t i rar importantes conclusões acerca do movimento.

0 exemplo mais importante de uma [orça conhecida nos é dado pela gravidade. Sabemos, por medida direta, que tal força cuia sobro uma curva dada, sob a

age sobre a massa m e é dirigida vertical- a e a o d a e r a v l d u d o

mente de cima para baixo, sendo sua intensidade igual a mg, onde g, a denominada gravitação universal, é constante para cada lugar e igual a, aproximadamente, 981 se o tempo for medido em segundos e os comprimentos em centímetros. Quando a massa se move sobre uma determinada curva, aprendemos por experiência que a força da gravidade, na direção da curva, é igual a mg cos a, onde a indica o ângulo formado pela vertical e pela tangente à curva no ponto considerado (fig. 12).

0 problema básico da mecânica, no caso do movimento sobre uma curva dada, é o seguinte: conhecendo-se a força que atua sobre a partícula (por exemplo, a força da gravidade), determinar a posição do ponto, isto ê, sua coordenada s ou x, em função do tempo.

Se nos restringirmos ao caso mais simples, no qual a força mf(s) CB

é conhecida, de início, em função do comprimento do arco,— de modo

F i g . 12. — Movimento do uma p ^ r t i -

( l) A separação do fator m na expressão em que a força 6 dada não 6 essencial, mas toros a fórmula mais simples.

294 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

que a força seja independente do tempo, — veremos como o movimento ao longo da curva pode ser determinado pela equação

1 s = - F = f(s).

Deparamos aqui com uma equação diferencial, isto ê, uma equação na qual ocorrem, tanto a função como a sua derivada, e pela qual devemos determinar uma função desconhecida, — neste caso, s(t) — (cap. I I I , § 7, pág. 178).

2. Queda livre dos corpos. Resistência do ar.

No caso da queda livre de uma partícula ao longo do eixo dos x, em posição vertical, e lei de Newton dá a equação diferencial

x = g.

Daí se deduz que i(t) = gt = ÜO é uma constante de integração. É fácil encontrar-se o seu significado, fazendo-se / = 0. Achamos, então, i ( 0 ) = i ' 0 ; isto c, vQ é a velocidade da partícula no instante a partir do qual se começa a contar o tempo, ou seja, a velocidade inicial. Efetuando outra integração, teremos

aKO = Viu? + Val + Xo,

onde xo é, também, uma constante de integração, cujo valor é ainda determinado fazendo-se / = 0. Vemos, assim, que x u é a posição inicial, isto é, a coordenada do ponto dc início do movimento.

Inversamente, podemos escolher a posição inicial x0 e a velocidade inicial Í 0

arbitrariamente, obtendo então a representação completa do movimento partindo da equação x = y gP + vul - j - xo.

Se levarmos em conta o efeito do atrito ou resistência do ar sobre a partícula, considerá-lo-emos como uma força de direção oposta à do movimento, de acordo cem o que devemos estabelecer hipóteses físicas definidas (*). Analisaremos os resultados provenientes de diferentes suposições: (a) a resistência é proporcional à velocidade, sendo dada por uma expressão da forma - rx, onde r é uma constante positiva; (ò) a resistência é proporcional ao quadrado da velocidade, sendo a fórmula - rx"2. De acordo com a lei de Newton, as equações do movimento serão

(a) mx — mg - ri, (6) mx = mg-rx2.

Se considerarmos primeiramente x = u(l) como a função procurada, teremos x\t) — ü(0, de sorte que

(a) mú — mg-ru, (ò) mú — mg -ru2.

(') Estas hipóteses devem ser escolhidas, tendo-se em vista o sistema particular estudado. Por exemplo, a lei da resistência para velocidades baixas não é a mesma que para as gTandes velocidad»-(velocidade de projéteis, para concretizar).

V] MECÂNICA DAS PARTÍCULAS 295

E m lugar de de te rminar u e m função de l, por estas equações, podemos deduzir i em função de u, escrevendo as equações d i ferencia is sob a f o r m a

, , dt 1 dt 1 (a) = (6)

du g-ru/m du g-ru2/m'

C o m o auxílio dos métodos apresentados no capítulo anter i o r , podemos efetuar a integração i m e d i a t a m e n t e , obtendo

(a) KÜ) = - ~ l o g ( 1 - — K ) - f i o , r V mg S

(ò) t(u) = - J / e l o g - ^ ü - f / 0 , 2 kg + u

onde f izemos V m V g = /c e onde /o é u m a constante de integração. Reso lvendo estas equações e m relação a u, virá

(a) u(/) - - — (e-KMo)/m _ i ) , r

e-2(l-l0)lk _ 1 (6) u(t) =-gk •

e-2U-lo)/k -|. 1

E s t a s relações r e v e l a m u m a i m p o r t a n t e propr iedade do m o v i m e n t o . A. ve l o c idade não cresce c o m o t e m p o além de qua lquer l i m i t e , mas converge para u m l imi te de terminado , dependente d a m a s s a m. A s s i m ,

(a) l i m u(t) = — , (ò) H m u(í) = ] / ^ .

U m a segunda integração, o p e r a d a sobre as expressões p a r a u(l) — x, c o m o auxílio dos métodos expostos no capítulo precedente , dá os resultados (que p o d e m ser ve r i f icados por derivação)

m 2 s , mq

(a) 2(0 = — ge-r(t~lo)/m + _ i t + C, r2 r

(6) x (0 = - log c h ] / r l ( l - to) + c, r \ m

onde c é u m a n o v a constante de integração. À s duas constantes de integração, to e c, são determinadas p r o n t a m e n t e , conhecendo-se a posição i n i c i a l a:(0) = aro e a ve loc idade , t a m b é m i n i c i a l , x(0) = u(0) = vo d a partícula que c a i .

3. Tipo mais simples de vibração elástica.

C o m o segundo exemplo es tudaremos o m o v i m e n t o de u m a partícula que se desloca ao longo do eixo dos x. sendo atraída p a r a a o r igem p o r u m a força elástica. R e l a t i v a m e n t e a esta força elástica, a d m i t i r e m o s que seja sempre d i r i g i d a p a r a a o r i g e m e que sua intens idade seja p r o p o r c i o n a l à sua distância d a or igem. E m outras pa lavras , faremos tal força i g u a l a - kx, onde o coeficiente k expr ime a


medida da resistência d a ligação elástica. C o m o supomos que k é posit ivo, a força será negat iva quando x for pos i t ivo , e p o s i t i v a , quando x íòt negativo. A lei de N e w t o n diz que

mi = ~ kx.

Não podemos esperar que esta equação diferencial determine completamente o movimento , mas é plausível supor que n u m dado instante de tempo, digamos. t ~ 0, possamos determinar arb i t rar iamente a posição in i c ia l z(0) = ar0, assim como a velocidade i n i c i a l i (0 ) = v0. E m l inguagem física, isto quer dizer que a partícula pode part i r de u m a posição arbitrária c o m u m a velocidade qualquer, f icando o movimento determinado, depois disto, peia equação di ferencial . Matemat i camente , esta possibilidade é t r a d u z i d a pelo fato de que a solução geral da equação diferencial proposta contam duas constantes de integração, à pr ime i ra v i s ta indetermi nadas, cujos valores são estabelecidos em face das condições iniciais , como demonstraremos a seguir.

Podemos encontrar , com faci l idade, u m a solução deste t ipo , d iretamente . Se fizermos a = Vfe /m, verif icaremos imediatamente que a nossa equação di fe rencial será satis fe ita por todas as funções d a forma

x(l) = Ci cos wt + ci sen aí,

onde Cx e c 2 são constantes arb i trar iamente escolhidas. Veremos, n a pág. 297, que não existem outras soluções p a r a a equação di ferencial proposta e, portanto , cada movimento deste t ipo , sob a influência de u m a força elástica, é representado pela expressão ac ima. E s t a equação pode ser transformada com faci l idade, vindo

x(f) = a sen a(t — 5) = — a sen co5 cos v>t ~\- a cos aõ sen at;

basta, unicamente, fazer - a sen o>ô = a e a cos aS — a, empregando as novas constantes a e 5 em vez de ct e c 2 . Os mov imentos deste t ipo são senoidais ou harmônicos simples. São periódicos; qualquer estado, (isto é, posição xíl) e velocidade x(t)) é repet ido depois do tempo T — 2ir!a, que é denominado período, visto as funções sen at e cos at terem o período T. O número a é chamado deslocamento máximo ou amplitude d a oscilação. O número l / T = w/2r é a jreqiiêneia da oscilação, ind i cando o número de oscilações n a un idade de tempo. Vol taremos à teoria das oscilações no capítulo X I (pág. 501).

4. Movimento sobre uma curva dada.

Discut iremos , p o r f i m , a f o r m a mais geral do prob lema enunciado, a saber, o problema do m o v i m e n t o sobre u m a c u r v a dada , sob a ação de u m a força predeterminada qualquer mj(s).

Buscamos a determinação d a função s(t) e m função de t por intermédio d a equação diferencial

onde/(s) é u m a função dada . E s t a equação di ferencial e m s pode ser completamente resolvida, pelo seguinte artifício.

Iniciaremos considerando qualquer função p r i m i t i v a F(s) de j(s), de t a l sorte

V] MECÂNICA D A S PARTÍCULAS 297

que F'(s) = f(s) e m u l t i p l i q u e m o s ambos os m e m b r o s d a equação s = / (s ) = F'(s) d f l \

por s. P o d e m o s , então, escrever o p r i m e i r o m e m b r o sob a f o r m a — í - $~ J< c o m o vemos i m e d i a t a m e n t e , der ivando a expressão s 2 . O segundo m e m b r o , e n t r e t a n t o ,

é a d e r i v a d a de F(s) e m relação ao t e m p o /, se considerarmos s c omo função de /, e m F(s). Teremos , pois ,

d

dl ou, i n t e g r a n d o ,

-ê2 = F(s)+c,

onde c r epresenta u m a constante a d e t e r m i n a r . ds i

E s c r e v a m o s esta equação sob a f o r m a — = ~\2[F(s) + c]. O b s e r v a m o s l ogo dl

que não podemos deduz ir s e m função de t desta relação, p o r integração. Se, p o rém, nos c o n t e n t a r m o s e m d e t e r m i n a r pr ime i ramente a função i n v e r s a i(.s), i s to é, o t empo gasto p e l a partícula p a r a alcançar u m a posição de f in ida s, chegaremos à solução do p r o b l e m a . P a r a t a l , t omemos a equação

ds 1

dt ~ V2[ JP(s) + c]'

f icando a s s i m conhec ida a d e r i v a d a d a função t(s). T e m o s , r i n d a ,

J ^2[F(

ds

onde c t r epresenta o u t r a constante de integração. L o g o que t i v e r m o s reso lv ido esta última integração teremos reso lv ido o p r o b l e m a , pois , e m b o r a não t e n h a m o s d e t e r m i n a d o a posição s e m função de l, ficará, ao contrário, conhec ido o t e m p o / e m função de s. C o m o a i n d a d i spomos das duas constantes de integração c e c i , podemos t o r n a r gera l a solução estabelec ida sob condições i n i c i a i s p a r t i c u l a r e s .

N o e x e m p l o a c i m a , do m o v i m e n t o elástico, t i v e m o s que i d e n t i f i c a r x com s. T e m o s j(s) = - w 2 s e correspondentemente , d igamos , F(s) = — Yiu2s2. O b t e r e mos , então,

dt I

ds -V2c - co3s2

e e m seguida ds

' V 2 c - o>V + C l "

E s t a i n t e g r a l pode ser f a c i lmente ca l cu lada , in t roduz indo - se w/s V 2 c como n o \ a variável. Virá, pois ,

1 as t = - are sen - n r r -f- c i ,

a> V 2 c

298 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

ou, formando a função inversa,

s

Somos, assim, levados exatamente ao mesmo enunciado da solução, como anteriormente.

Por este exemplo vimos, também, o que significam as constantes de integração e como podem ser determinadas. Se, por exemplo, estabelecermos que no tempo t — 0 a partícula deve estar no ponto s = 0, animada da velocidade s(0) — 1 , teremos as duas equações

\< *)(• i 0 = ~— sen ucj, 1 = v 2 c cos wCj,

Cd

das quais tiramos o valor das constantes c = 0 e c 1 = As constantes de integração podem ser determinadas da mesma forma quando

a posição inicial s0 e a velocidade inicial su (no tempo t = 0) forem arbitàriamente fixadas.

E X E M P L O S

1. Um ponto A se move com a velocidade 1, constante, sobre um círculo de raio r, com o centro na origem. O ponto A está ligado ao ponto B por uma linha de comprimento constante l(>r). O ponto B é obrigado a mover-se sobre o eixo dos x (manivela, biela e pistão de máquinas a vapor). Calcular a velocidade e a aceleração de B, em função do tempo.

2. Uma partícula parte da origem com a velocidade 4, e sob a influência da gravidade desliza, por um fio reto, até atingir a linha vertical x — 2. Qual deve ser a inclinação da trajetória, para que o ponto atinja a linha vertical no menor tempo possível ?

3. Uma partícula se move sobre uma linba reta submetida a uma resistência que produz o retardamento k u 3 , onde u é a velocidade e /e uma constante. Deduzir as expressões para a velocidade (u) e para o tempo (l) em função de s, distância da posição inicial, e «„, velocidade inicial.

4. Uma partícula de massa unitária se move ao longo do eixo dos x, sob influência da força j(x) — - sen x.

(a) Determinar o movimento do ponto, sabendo que no tempo t = 0 ele está no ponto x = 0, animado da velocidade v0 = 2. Mostrar que quando í - » o = > a partícula se aproxima de uma posição limite e determinar a mesma.

(ò) Para condições idênticas, exceto quanto a vü que pode assumir qualquer valor, mostrar que se va > 2 o ponto caminha para uma distância infinita quando t - » o o , e que se v0 < 2, ele oscila em torno da origem.

5. Estabeleçamos am sistema de eixos com a origem no centro da terra, cujo raio designaremos por R. De acordo com a lei da gravitação de Newton, uma partícula de massa unitária situada sobre o eixo dos y é atraída pela terra com a força - nM , ——-, onde n ê & ' constante de gravitação'' e M a massa da terra.

„ y. = sen 03(1 - cj.

01

V] P A R T Í C U L A S D E S L I Z A N D O A O L O N G O D E C U R V A S 2 9 9

(a) C a l c u l a r o m o v i m e n t o d a part ícula depo is q u e a m e s m a é a b a n d o n a d a no p o n t o y0(>R), i s to é, se n o i n s t a n t e t = 0 e la es t iver no p o n t o y — y 0 , a n i m a d a c o m a v e l o c i d a d e s 0 = 0.

(ôj D e t e r m i n a r a v e l o c i d a d e c o m q u e a partícula a c i m a t o c a a t e r r a . (c) U s a n d o o resu l tado de (6), c a l c u l a r a v e l o c i d a d e c o m q u e u m a part í cu la ,

ca indo d o i n f i n i t o , t o c a a t e r r a 6:* U m a partícula de m a s s a m se m o v e sobre a e l ipse r = fe/(l-ecos 6).

A. f o r c a q u e a t u a sobre a part ícula , d i r i g i d a p a r a a o r i g e m , é c m / r 2 . D e s c r e v e r o m o v i m e n t o d o p o n t o , d e t e r m i n a r o s eu per íodo e m o s t r a r q u e o r a i o v e c t o r d o m e s m o desc reve áreas i g u a i s e m t e m p o s i g u a i s .

5. O U T R A S A P L I C A Ç Õ E S . P A R T Í C U L A S D E S L I Z A N D O AO L O N G O D E C U R V A S .


O caso de u m a partícula q u e des l i za ao l o n g o de u m a c u r v a , s e m a t r i t o , s o b a influência d a g r a v i d a d e , p o d e ser e s t u d a d o m u i t o s i m p l e s m e n t e , pelo m é t o d o que a c a b a m o s de expor . P r i m e i r a m e n t e , d i s c u t i r e m o s este m o v i m e n t o e m g e r a l , e depo is c o m referência espec ia l aos casos do pêndulo c o m u m e do pêndulo c i c l o i d a l . E s t a b e l e c e r e m o s os eixos de m o d o q u e o eixo dos x f i que d i r i g ido v e r t i c a l m e n t e p a r a c i m a , i s t o é, oposto à direção d a f o r ç a d a g r a v i d a d e , e cons ideremos a c u r v a c o m o d a d a e m função do parâmetro 6, p e l a s equações paramétricas a; = <p(ff) => x(6), y =z ^(0) = y(6). A f i g u r a 13 i n d i c a o s eg m e n t o d a c u r v a p a r a o q u a l e s t u d a r e m o s o m o v i m e n t o . E n i todos os p o n t o s d a c u r v a a força d a g r a v i d a d e a t u a p a r a b a i x o (isto é, n a direção dos y decrescentes) , s e n do s u a i n t e n s i d a d e , sobre a partícula, i g u a l a mg. S e des ignarmos o ângulo f o r m a d o pe lo e ixo cios x negat ivos e p e l a t a n g e n t e à c u r v a , p o r a, de acordo c o m a h ipótese es tabe le c ida n a pág. 293 , a força q u e age n a direção d a c u r v a será

Fig . 13

mg cos V i - + y ' 2 '

onde d(í> d\p

x'^Jt^tp'W, y' tf'(0). de de

(Note - se que a linha indica, aqui , a derivada em relação a f i e não em TeTação a x.) S e , e m particular, introduzirmos o comprimento do arco s como parâmetro, e m

C1) Esta é igual à velocidade mínima que deveria ser imprimida a um projétil para iiue, disparado da terra, não voltasse mais.

300 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

dy lugar de 9, obteremos a expressão - mg — para a força ao longo da curva . P e l a

ds lei de Newton, entretanto, a função s(t) satisfaz a equação diferencial

dy S = - g —.

ds O segundo membro desta equação é uma função conhecida de s, v isto conhecermos a curva, devendo, portanto, considerarmos x e y como funções conhecidas de s.

Como na seção precedente, mult ip l iquemos ambos os membros desta equação por s. O primeiro membro será, então, a derivada de J ^ s 2 em relação a t. Se considerarmos s como função de t na função y(s), o segundo membro da equação será a derivada de — gy, em relação a í. Integrando, teremos

^ s 1 = - gy + c.

onde c é uma constante de integração. A f i m de f ixar o significado desta constante, suporemos que no tempo t — 0 a partícula que estamos considerando está no ponto da curva para o qual o va lor do parâmetro é 0O e cujas coordenadas são *o = <P(80), y0 — iA(0o), e a inda, que neste instante sua velocidade seja nula , isto é, i(0) = 0. Fazendo, então, t = 0, temos imediatamente - gy0 -f- c = 0, de sorte que

y2s2 = -g(y-y0).

Agora, em vez de considerar s como função de t, consideraremos a função inversa /($), obtendo para ela

dl 1 ds V2<7(y0 - y ) '

que é equivalente a ds

t = cl •f 2g(y0-yy

onde cx ê uma nova constante de integração. C o m relação ao sinal da raiz quadrada, o qual é o mesmo de s, cbamamos a atenção para o seguinte fato. Se a partícula se mover sobre u m arco que está mais baixo do que y 0 , em toda a parte, exceto nos extremos, o sinal não pode mudar , pois o s inal de s m u d a somente quando s = 0, isto é, quando y - y0 = 0. O integrando da d ire i ta é conhecido em função do parâmetro 0, visto a curva ser conhecida. Introduz indo 6 como variável inde pendente, obtemos

f ds dff /* -, 4- v ' 2

J dd^2g(y0-y) J \ 2g(y0-y)

onde as funções x' = $ ' (0 ) ,y / » V(0),y = f(0) são conhecidas. A f i m de determinar a constante de integração c x observaremos que para t =» 0 o valor

V] PARTÍCULAS D E S L I Z A N D O AO L O N G O D E C U R V A S 30J

do parâmetro deve ser do. E s t a consideração nos dá a solução, imediatamente , sob a f o r m a

J eoV 2g(y0-y) U m a vez integrada , esta equação representa o tempo que a partícula gasta para deslocar-se do valor do parâmetro 9o p a r a o do parâmetio 6. A função inversa 0(7) da função t{6) permite-nos descrever completamente o mov imento , v is to que a cad a instante t podemos determinar o ponto x = <p\8(í)[, y = \f*[6{i)] pelo qual a partícula está passando.

2. Discussão do movimento . D a s equações que acabamos de estabelecer, embora sem u m a expressão ex

plícita p a r a o resultado da integração, podemos deduzir a natureza geral do movimento por u m simples raciocínio i n t u i t i vo . Suponhamos que a c u r v a estudada seja do t ipo indicado n a f igura 14, isto é, que consista em u m arco c u j a convexidade esteja vo l tada para baixo . T o memos s como crescendo d a esquerda para a d i r e i t a . Se, in i c ia lmente , a b a n donarmos a partícula no ponto A de coordenadas x — xQ, y — ya, correspondentes a 6 = 00, a velocidade cresce, visto a aceleração s ser pos i t iva . A partícula desloca-se de A ao ponto mais ba ixo com velocidade sempre crescente. U m a vez passado o ponto mais baixo , porém,

Fig. 14

a aceleração é negat iva, porque o segundo membro dy

g — d a equação do movimento ds

é negat ivo . A velocidade, portanto , decresce. Vemos logo n a equação s2 = - 2g(y - y0) que a veloc idade atingirá o va lor 0 quando a partícula alcançar o ponto B, cuja a l tura é a mesma que a da posição i n i c i a l A. Desde que a aceleração a i n d a é negat iva , o mov imento d a partícula deve ser inver t ido neste ponto , de sorte que ela v o l t a ao ponto A, repetindo-se esta ação indef inidamente . (O le i tor por certo observou que o a tr i to f o i desprezado.) Neste mov imento oscilatório, o tempo que o ponto l e v a p a r a v o l t a r de B para A deve ser, logicamente, o mesmo que êle leva para se t ransportar de A até B. S e designarmos o tempo requerido p a r a u m a v i a gem comple ta de A até B ea v o l t a de B até A por T, o mov imento será obviamente periódico, c o m o período i g u a l a T. Se 0 O e 6l forem os valores do parâmetro correspondentes aos pontos AeB, respect ivamente, o semiperíodo será dado pela expressão

T _ 1 _

1

^2g

J 0o V Jo-y

J so V t(ou) -dO

Se 02 for o v a l o r do parâmetro correspondente ao ponto m a i s baixo d a c u r v a , o tempo que a partícula l e v a p a r a c a i r de A até este ponto m a i s baixo será

2g\J 6o V y 0 - y V,

3. Pêndulo c o m u m .

O exemplo mais fácil é fornecido pelo c b a m a d o pêndulo s imples . A c u r v a a considerar, neste caso, é o círculo de ra io /:

x = 1 sen 6, y = —l cos 6,

em que o ângulo 6 é med ido no sent ido p o s i t i v o , a p a r t i r d a posição de repouso . D a expressão gera l , d a d a a c i m a , obtemos

_ _ d d

, , ' o í T a d6 -» A7 / T

s e n 2 -2

= - j / 2 J f g _ d 0 =•]/* / / \ 9 J -a Vcos d - cos a. \ g I 1 / s e n 2 1 -

onde a(0 < a < ir) representa a a m p l i t u d e d a oscilação do pêndulo, i s to é, a po sição angular a p a r t i r d a q u a l a partícula é a b a n d o n a d a , no t empo t = 0, c om a velocidade 0. P e l a substituição

sen (dl2) du cos (0/2)

sen (a/2)' d0~~ 2 sen (a/2)

a expressão do período de oscilação do pêndulo t ransforma-se em

„ . . . du T

V ( l - u*) [ l - u a s e n 3 ( a / 2 ) f

Obtemos, assim, o período de oscilação do pêndulo, expresso p o r u m a integra l , elíptica.

Se admit i rmos que a a m p l i t u d e d a oscilação é pequena , de sorte que possamos com u m grau de precisão suf ic iente , s u b s t i t u i r o segundo fator sob a ra i z q u a d r a d a por 1, teremos a expressão

du

V l - u 2

como aproximação p a r a o período de oscilação. P o d e m o s ca l cu lar esta última

integral pe la fórmula 13 d a tábua de integrais (pág. 206), obtendo 2ir ~^/~ P a r a

valor aproximado de T.

4. Pêndulo c ic lo idal -

O fato do período de oscilação do pêndulo c o m u m não ser completamente independente da a m p l i t u d e d a oscilação l e v o u C h r i s t i a n H u y g e n s , nos seus pro longados esforços p a r a c o n s t r u i r relógios de precisão, a procurar u m a c u r v a ta l que o período de oscilação fosse i n t e i r a m e n t e independente d a posição par t i cu lar

V] PARTÍCULAS D E S L I Z A N D O AO L O N G O D E C U R V A S 303

e m que a partícula o s c i l a n t e i n i c i a o seu m o v i m e n t o sobre a c u r v a ('). H u y g e n s estabeleceu q u e t a l c u r v a é a c ic ló ide.

A f i m de que a partícula possa, e f e t i v a m e n t e , o s c i l a r sobre a ciclóide, a cr is ta d a c u r v a d e v e estar d i r i g i d a segundo direção opos ta à d a força da g r a v i d a d e , i s to é, a ciclóide c o n h e c i d a (pág. 261) d e v e sofrer u m a rotação e m torno do e ixo dos x (fig. 15). E s c r e v e m o s , po i s , as equações d a c u r v a sob a f o r m a

x = a{6 - sen 0),

y = a ( l - f cos 0),

as qua is i n c l u e m , t a m b é m , a translação d a c u r v a n u m a distância 2 a n a direção dos y p o s i t i v o s . O t e m p o d i s p e n d i d o p e l a partícula p a r a p e r c o r r e r o espaço c o m preend ido entre a a l t u r a

yo = a ( l + cos a) (0 < a < ir)

VA

Fig . 15. — Trajetória descrita pelo pêndulo cicloidal

e o p o n t o m a i s b a i x o d a trajetória, é d a d o p e l a fórmula t r a n s f o r m a d a n a página 301

l = l / I fT l/xJi + ride = l / ê fr j / l-™°-de. 4 V 2g J a V yo-y V g J a V cos a - cos $

E m p r e g a n d o a equação

obteremos

T r a n s f o r m a r e m o s a i n t e g r a l d e f i n i d a , a p l i c a n d o a substituição

6 a 6 a cos - — u cos - , sen - dô = - 2 cos -

2 2 2 2

(') Neste caso, as oscilações s5o chamadas isócronas.

Obtemos, então,

sen

1 / cos- — c o s - -V 2 2

de /

du are sen u,

donde, finalmente,

1 / - are sen r ff

cos — o (X

cos 2 O período de oscilação T é, portanto, independente da amplitude cr.

6. T R A B A L H O


O conceito de trabalho lança nova luz sobre as considerações da última seção e sobre muitos outros problemas da mecânica e da física.

Consideremos novamente a partícula em movimento sobre uma curva, sob a ação de uma força atuando na direção da trajetória, e suponhamos que a sua posição seja determinada pelo comprimento do arco a part ir de u m ponto fixo, inicial , qualquer. A própria força será, então, v i a de regra, u m a função de s. Admitiremos que seja uma função contínua/(s) do comprimento do arco. E s t a função terá v a lores positivos quando a direção da força for a mesma que a dos valores crescentes ile s, e negativos quando a direção da força for oposta à dos valores crescentes de s.

Se a intensidade da força fôr constante ao longo d a trajetória, entenderemos por trabalho realizado pela força, o produto da força pela distância percorrida (sj - sQ), onde S j representa a posição final e s „ a inic ia l do movimento. Se a força não fôr constante, definiremos o trabalho por u m processo de l imite. Subdividiremos o intervalo entre sQ e s t em n subintervalos, iguais ou desiguais, observando que, se os subintervalos forem suficientemente pequenos, a força será aproximadamente constante em cada u m deles. Sendo av u m ponto escolhido arbitrariamente no subintervalo o-, a força, neste subintervalo, será aproximadamente j(a„). Se a força fosse exatamente /(<r„) neste subintervalo, o trabalho por ela realizado valeria, precisamente,

3 f(<rv)Asv, * = l

onde As„ representa, como de costume, o comprimento do subintervalo de ordem v. Se passarmos agora ao limite, deixando n crescer além de qualquer medida, ao passo que o comprimento do maior subintervalo tende para zero, pela definição de integral, a nossa soma tenderá para

que, naturalmente, denominaremos o trabalho realizado pela força.

V] T R A B A L H O 305

S e as direções d a força e do m o v i m e n t o c o i n c i d i r e m , o t r a b a l h o real izado pela força será p o s i t i v o ; d izemos , então, que a força produz trabalho. P o r ou t ro lado, se as direções d a força e do m o v i m e n t o f o rem opostas, o t r a b a l h o rea l i zado pela força será n e g a t i v o ; d izemos , neste caso, que o trabalho ê produzido contra a jorra (')•

Se cons iderarmos as coordenadas d a posição s como função do t e m p o /, de m o d o que a força j(s) — p seja t a m b é m u m a função de t, podemos, n u m plano de coordenadas retangulares s e p, m a r c a r o p o n t o de coordenadas s = s(l), p = pít), e m função do t e m p o . E s t e ponto descreverá u m a c u r v a , que será denominada o d i a g r a m a do t r a b a l h o do m o v i m e n t o . Se o m o v i m e n t o de que nos ocupamos fôr periódico, c o m o no caso de qua lquer máquina, depois de ura certo t e m p o T (um período) o p o n t o móve l s(t), p{t) voltará ao ponto de or igem; isto é, o d i a g r a m a do t r a b a l h o será u m a c u r v a f e chada . N e s t e caso, a c u r v a poderá cons is t i r e m um só e mesmo arco . percorr ido , p r i m e i r a m e n t e , p a r a a frente e, depois , p a r a trás. Ver i f i ca -se este p r o c e d i m e n t o , por exemplo , nas oscilações elásticas. T a m b é m é possível que o d i a g r a m a seja representado por u m a c u r v a fechada m a i s geral , l i m i t a n d o u m a área. T a l é o caso, p o r exemplo , das máquinas de pistão, e m que a pressão sobre o êmbolo não é a m e s m a d u r a n t e o percurso p a r a a frente e para trás. O t r a b a l h o p r o d u z i d o e m u m c ic lo , i s to é, no t e m p o T, será, então, dado s i m plesmente pe la área n e g a t i v a do d i a g r a m a do t r a b a l h o , o u e m outras pa lavras , pe la i n t e g r a l

e m que o i n t e r v a l o de tempo entre to e lo + T representa exatamente u m período do m o v i m e n t o . Q u a n d o o c o n t o r n o d a área fôr percorr ido n o sent ido pos i t ivo , o t r a b a l h o rea l i zado será negat ivo , e q u a n d o o l i m i t e fôr percorr ido no sentido negat ivo , o t r a b a l h o será pos i t ivo . À c u r v a consist indo e m diversos laços, uns percorridos p o s i t i v a e out ros n e g a t i v a m e n t e , o t r a b a l h o p r o d u z i d o será a s o m a das áreas dos laços, cada u m a delas c o m o seu s ina l t rocado .

E s t a s considerações são per fe i tamente i lus t radas , n a prática, pelo diajrama indicador das máquinas a v a p o r . P o r meio de u m aparelho mecânico, c onven ien temente esco lhido , u m lápis é o b r i g a d o a mover - se sobre u m a t i r a de p a p e l ; o m o v i mento h o r i z o n t a l do lápis em relação ao p a p e l é p roporc i ona l à distância do pistão à sua posição e x t r e m a , enquanto o m o v i m e n t o v e r t i c a l é proporc i ona l à pressão do vapor , p o r t a n t o , à força p exerc ida pelo v a p o r sobre o êmbolo . O pistão, por tanto , descreve o d i a g r a m a de t r a b a l h o d a máquina, e m escala conhec ida . M e d e - s e a área do d i a g r a m a (geralmente c o m u m planímetro) , achando-se o t r a b a l h o do vapor sobre o pistão. V e m o s a q u i , n o v a m e n t e , que a convenção que adotamos para o s ina l de u m a área, como exposta no § 2, n.° 1, deste capítulo (pág. 271), não se reveste apenas de interesse teórico. E f e t i v a m e n t e , acontece às vezes, quando a máqTiina está t r a b a l h a n d o a v a z i o , que o v a p o r a l tamente expandido no f i m do

(!) Notemos que ê preciso distinguir, cuidadosamente, a fôrea a que nos referimos. Por exemplo, levantando um peso, o trabalho produzido pela forca da gravidade é negativo; o trabalho ê produzido contra a gravidade. A pessoa, porém, que levanta o peso, produz um trabalho positivo, visto que o esforço é feito em direção oposta à da gravidade.

306 APLICAÇÕES C A P .

curso, tem pressão mais ba ixa do que a necessária para expeli-lo na vo l ta do pistão. O diagrama indica ta l ocorrência por u m laço percorrido positivamente. A máquina está retirando energia do volante, em vez de fornecê-la.

2. Atração mútua de duas massas. Suponhamos que u m a partícula atrai outra , de acordo com a lei da atração

de N e w t o n ; como primeiro exemplo consideraremos o trabalho realizado pela força de atração quando a segunda partícula se move sobre a l inha que une as duas. Pela lei da gravitação de N e w t o n , sabemos que a força atrat iva é inversamente proporcional ao quadrado da distância. Se imaginarmos a pr imeira partícula em repouso, na origem, e a segunda a u m a distância r do ponto inic ia l , a força de atração será dada por

onde ix representa u m a constante posit iva. O trabalho produzido por esta força quando a partícula se move d a distância r para r x ( < r) é, portanto, positivo, e igual à integral

Se uma força oposta fizer com que a partícula ultrapasse a origem, indo da distância r a r , > r , o trabalho realizado pela força de atração será, naturalmente, expresso pela mesma integral (neste caso, negativa). O trabalho produzido pela força oposta tem o mesmo valor numérico, porém, com o sinal contrário, sendo,

então, igual a it ^ J. Imaginando-se a posição f inal como cada vez mais afastada, ela se aproximará do valor l imite ju/r, que podemos tomar como o trabalho que deve ser realizado contra a força de atração para mover a partícula da distância r ao " i n f i n i t o " . E s t a importante expressão é denominada potencial mútuo das duas partículas. Neste caso, porém, o potencial é definido como o trabalho necessário para separar duas massas que se atraem; por exemplo, o trabalho preciso para arrancar u m eletrônio do átomo (potencial de ionização).

3. Distensão das molas. Como segundo exemplo estudaremos o trabalho produzido no estiramento

das molas. Como é usual n a teoria da elasticidade, admitiremos (como já o fizemos na pág. 295) que a força necessária para distender a mola seja proporcional a x, que representa o acréscimo do comprimento da mola, isto é, p = kx, sendo k uma constante. O trabalho que deve ser realizado para que possamos distender a mola da posição de repouso, x = 0, até a posição f inal , x — xu será pois fornecido pela integral

r

kx dx — yí

V] T R A B A L H O 307

4. Carga dos condensadores. O conceito de trabalho em outros ramos d a física pode ser t ratado de m a

neira semelhante. Vejamos, por exemplo , o carregamento dos condensadores. Se chamarmos Q a quantidade de eletric idade no condensador, C sua crpac idade e V a diferença de potencial (voltagem) através do condensador, sabemos d a física que Q — CV. Ademais , o trabalho produzido p a r a mov imentar a carga Q através d u m a diferença de potencial V, é igua l a QV. A diferença de potencial V n S o sendo constante durante o carregamento do condensador, porém, crescendo c o m Q, permite-nos efetuar u m a passagem ao l imi te , análoga à que realizamos na pág. 304, obtendo-se para o trabalho realizado no carregamento do condensador a seguinte expressão

ror í ro> rt i Q i 2 í

onde Q\ é a quantidade total de eletricidade que passa para o condensador e Vi a diferença de potencial no f im do processo de carga.

APÊNDICE AO CAPITULO V

1. P R O P R I E D A D E S DA EVOLUTA

As equações paramétricas

y à Vor + y- v x2 -f- y j

da evoluta de uma curva dada, x = #(0, y = y(t), (pág. 283), permitem-nos deduzir algumas relações geométricas interessantes entre ela e a própria curva. Por conveniência, empregaremos o comprimento do arco s como parâmetro, de sorte que

x- - f yz = 1 e xx + yy = 0,

1 y x

P ^ x y*

ou py — x e px = - y.

Teremos, então, £ = x - py, rj = y -f- px;

que, derivadas, dão é = x- py - py = - py, j = y + px + p i = pá,

e, portanto, + 77'y = 0.

308 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

Como os cd-senos diretores da n o r m a l à c u r v a são dados por - y e x, segue-se que a normal à curva e tangente à evoluta no centro da curvatura', ou, as tangentes à evo luta são normais è c u r v a or ig inal . Podemos a inda dizer que a evoluta e a envoltória das normais (fig. 16).

Designando-se o compr imento do arco d a evoluta , medido a par t i r de u m ponto f ixo , arbitrário, por a, teremos

de modo que, se escolhermos de mane i ra conveniente a direção na qual c é medido, virá

Vemos, assim, que o comprimento do arco da evoluta, compreendientre dois pontos, e igual à diferença entre os raios de curvatura correspondentes, uma vez que p seja diferente de zero, para o arco considerado.

E s t a última condição não ê supérflua. Se p m u d a r de s ina l , vemos pela fórmula à = p, que passando o ponto correspondente da evo luta , o comprimento do arco <r tem u m máximo ou u m mínimo, ou seja, passando este ponto , não cont inuaremos , simplesmente, a calcular cr,

porém, devemos inverter o sentido segundo o qua l o mesmo é medido. Se quisermos evitá-lo, ao passar por u m ponto desta espécie, devemos mudar o s ina l n a fórmula ac ima , escrevendo è = - p.

Podemos a i n d a observar que os centros de c u r v a t u r a correspondentes aos máximos e mínimos dos raios de curvatura são pontos duplos da evoluta. (Não o demonstraremos aqui.)

Às relações geométricas que acabamos de estabelecer podem, a inda , ser expressas sob o u t r a forma. Imaginemos u m fio flexível, inexten-sível, colocado sobre u m arco de evo lu ta e estirado de t a l modo que u m a parte se estenda p a r a fora d a c u r v a , tangenciando-a, e além disso, que a extremidade do fio Q f ique sobre a c u r v a or ig inal C. Ã medida que o fio fôr sendo desenrolado, o ponto Q descreverá a c u r v a C. Este

Visto que x2 + y2 = 1, obteremos d a fórmula ac ima

desde que <r ={= 0,

ou, integrando, Cl - Ofj = PI - Po-

V ] P R O P R I E D A D E S D A E V O L U T A 309

modo de geração justifica o nome da curva {evolvere, desenrolar). A curva C ê a evolvente da evoluta E. Por outro lado, pode-se partir de uma curva qualquer E e construir a sua evolvente C pelo processo de desenrolamento.

Para demonstrá-lo, consideremos a curva E que, agora, é a curva conhecida, representada pelas equações £ = £(<r), 17 = Í?(<T) , onde as coordenadas retangulares comuns são designadas por £ e 77 e o parâmetro a é o comprimento do arco. O enrolamento é feito como indica a figura 17. Quando o fio estiver completamente enrolado sobre a evoluta E, sua extremidade Q coincidirá com o ponto A de E, correspondente ao comprimento de arco a. Se, agora, desenrolarmos o fio

F i g . 1 6 . — E v o l u t a (E) F i g . 1 7 . — E v o l v e n t e (67)

até que ele tangencie a evoluta em P, ponto este correspondente ao comprimento de arco cr S a, a extensão do segmento PQ será (a - a) e seus co-senos diretores serão £ e r], o ponto superior indicando derivação em relação a a. Para as ordenadas x e y do ponto Q teremos as expressões

x = £ + (a - a)k, y = "n + (a - 0)7),

que dão as equações da evolvente descrita por Q, em função do parâmetro a. Derivando em relação a a segue-se que

x = £ - ê + (a - a)l = (a - 7)

V = 77* — rj -f- (a - cr)rj = (a - <r)rj.

310 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P

Uma vez que -f- 1777 = 0, achamos logo que

& -f Tjy = 0,

o que significa que a linha PO é normal à evolvente C. Podemos, portanto, dizer que as normais à curva C são tangentes à curva E. Isto, entretanto, é uma propriedade característica de E, a evoluta de C. Logo, uma curva qualquer é a evoluía de todas as suas evolvenles.

Fig. 18.—A ciclóide como evoluta e evolvente

Como caso part i cu lar consideraremos a evoluta da ciclóide x = i — sení, y - 1 - c o s í . O que estabelecemos nas páginas 281, 283, nos dá

. x2 - f y 2 . x- + y 2

y _ n = y _f- a- ; xy - yx xy- yx

obtemos, pois, a evo luta sob a forma £ = t -f- sen t, n = - 1 -f- cos t. Se fizermos / = T 4- 7T, virá £ — 7T = 7- sen r e 77 -f- 2 = 1 — cos r . Estas equações mostram

que a própria evoluta é u m a ciclóide, semelhante à curva or ig inal , podendo ser obt ida por simples translação, como indicamos na figura 18.

Como mais u m exemplo, transformaremos a equação da evoluta do círculo. Iniciaremos com o círculo £ = cos./, rç=sen t e desenvolveremos a tangente respectiva (fig. 19). A evol vente do círculo assumirá a f o rma

x = cos i + t sen t, y = - sen / + t cos t

Fig. 19.—Evolvente do círculo

Finalmente , determinaremos a evoluta da elipse x = a cos 2, y = b sen í. Temos, imediatamente,

£ = x x- + y-

iy-yx

a- • cos 3 1 a

re- -+- y -

ÍJ = y - f x — a- b2

— sen 3 1, xy — ya; ò

que é a representação paramétrica da evoluta . Podemos eliminar t destas equações

P R O P R I E D A D E S D A E V O L U T A 311

pelo método u s u a l , obtendo a equação d a e v o l u t a sob a f o r m a não paramétrica:

(a£)a/3 + C M 2 ' 3 = (a2 - &3)2'3.

E s t a c u r v a , c u j a representação está cons ignada na f i gura 20, é d e n o m i n a d a a astrôide. Pelas equações paramétricas vemos , r a p i d a m e n t e , que os centros d e c u r v a t u r a correspondentes à elipse são, e f e t ivamente , os vértices d a astrôide.

1. P r o v a r que a e v o l u t a da epiciclóide (exemplo 2, pág. 267) é o u t r a e p i c i -clóide semelhante à p r i m e i r a , podendo ser o b t i d a dela por rotação e contração .

2 M o s t r a r que a e v o l u t a d a hipociclóide (exemplo 4, pág. 267) é o u t r a h i p o -ciclóide, q u e pode ser o b t i d a d a p r i m e i r a p o r rotação e expansão.

Já vimos no § 2 (pág. 271 ) que a área limitada por uma curva fechada x = x{t), y — y(í), U =t ~ k, que não se intercepta (chamada curva fechada simples) é dada pela integral

Fig. 20.—Evoluta da elipse

E X E M P L O S

2 . Á R E A S LIMITADAS POR C U R V A S F E C H A D A S

onde o valor obtido será positivo ou negativo, conforme o sentido segundo o qual a curva de contorno é descrita seja positivo ou negativo. Podemos, agora, estender este resultado a curvas mais gerais. Supo-

312 A P L I C A Ç Õ E S [ C A P .

nhamos que a c u r v a C, dada pelas equações x ~ x(i), y = y (0 , se i n tercepte a si m e s m a em u m número f in i to de pontos , d i v i d i n d o , a ss im, o p lano e m u m número f in i t o de porções RL, R2, . . . . Suponhamos , mais , que as der ivadas sejam contínuas, exceto , talvez, para u m número f i n i t o de saltos com descontinuidades, e q u e x2 + y 2 4= 0, exceto, poss ive lmente , p a r a u m número f in i t o de va lo res de t correspondentes aos vértices. F i n a l m e n t e , admitamos que a c u r v a possui u m número f in i t o de l inhas de suporte (pág. 270).

A t r i b u i r e m o s , pois , a cada u m a das regiões i? t-, u m índice m a s s im de f in ido : escolhamos u m ponto arbitrário Q e m Rh não situado sobre qualquer l i n h a de suporte , e elevemos a l i n h a que se estende de Q para c i m a , na direção do eixo dos y pos i t ivos . Contemos o número de

n

-» x

F i g . 21

vezes que a c u r v a C a travessa a l i n h a média, d a d ire i ta para a esquerda , e subt ra iamos o número de vezes que a c u r v a atravessa a re fer ida l i n h a d a esquerda p a r a a d i r e i ta . A diferença será o índice AZ,-. P o r exemplo , o in ter i o r d a c u r v a i l u s t r a d a n a f i g u r a 6 (pág. 269) t e m o índice ju = + 1 . N a f i gura 21 as regiões Rlt . . . , fí5 têm os índices tu = - 1, fj.2 = - f - 1 , J"3 = +2, jU4 = - 2, i z 5 = - 1. O número de pende, e fet ivamente , d a região R{ e não do p o n t o par t i cu lar Q, escolh ido em R[, como podemos constatar d a seguinte maneira . E s c o l h a mos o u t r o ponto Q' em R[, s i tuado fora de q u a l q u e r l i n h a de suporte , e l iguemos Q e Q' po r u m a l i n h a q u e b r a d a , l o ca l i zada inte i ramente em Ri. Se percorrermos esta l i n h a de Q p a r a Q', o número de c r u z a mentos da d i re i ta p a r a a esquerda menos o número de cruzamentos d a esquerda para a d i re i ta será constante , po i s , entre as l inhas de s u porte o número de c ruzamentos de qua lquer t i p o é inalterável, ao passo que n a travess ia de u m a destas l inhas de s u p o r t e o número de c r u zamento e m ambas as direções, ou cresce o u decresce de u m a un idade . Em q u a l q u e r caso, porém, a diferença permanece ina l terada . N o caso

V ] Á R E A S L I M I T A D A S P O R C U R V A S F E C H A D A S 313

em que a l i n h a de suporte encontre a c u r v a em mui tos pontos d i f e rentes, d igamos , A, B, .. ., H, c ons ideramo- la como,vár ias l i n h a s d e suporte diferentes FA, FB, . .., FH, onde F i n d i c a o p o n t o do .eixo dos x que f i c a ver t i ca lmente aba ixo de todos os pontos c i tados . 0> r a ciocínio fe i to se a p l i c a , então, a c a d a u m a destas l inhas . L o g o , o nú mero HÍ t e m o mesmo va l o r , quer usemos Q, quer Q', p a r a a s u a de terminação.

E m p a r t i c u l a r , se a c u r v a p r o p o s t a não se in terceptar , a área qüe ela c o n t o r n a consistirá em u m a única região R, cu jo índice será -f-1 o u - l f . conforme o contorno for descr i to n o sentido p o s i t i v o ou no-negat ivo . P a r a m o s t r a d o bas ta traçar q u a l q u e r l i n h a V e r t i c a l (exceto-as de suporte) que intercepte a c u r v a . M a r q u e m o s sobre a l i n h a assim o b t i d a , o p o n t o mais alto de interseção (P) c o m a c u r v a , e escolhamos o ponto Q e m R, s i tuado aba ixo de P, mas tão próximo dele que nen h u m o u t r o p o n t o de interseção possa exist ir entre P e Q. A s s i m , a c i m a de 0 existe u m c r u z a m e n t o da c u r v a que será da d i r e i t a p a r a a esquerda se a c u r v a fôr p e r c o r r i d a no sent ido pos i t i vo , de m o d o que n = - f -1 . D e o u t r a f o r m a ju = — 1. C o m o acabamos de constatar , o mesmo v a l o r de /* va le p a r a todos os pontos de R. P a r a u m a c u r v a desta espécie, e n a rea l idade , p a r a todas as curvas fechadas, u m a das regiões, a " e x t e r i o r " ao contorno , se estende i l i m i t a d a m e n t e em tôclas as direções. T a l região terá, n a t u r a l m e n t e , o índice 0 e, p o r t a n t o , a deixaremos de lado .

O t e o r e m a que estabelecemos acerca da área assume, po is , o se

guinte e n u n c i a d o : o v a l o r da i n t e g r a l - / yxdíê i gua l à soma das áreas J lo

absolutas d a região R;, sendo cada u m a das áreas Ri r epet ida ju; vezes. E m símbolos,

A demonstração é s imples . A d m i t i r e m o s , como estamos a u t o r i z a dos a fazer, que t o d a a c u r v a esteja l o ca l i zada a c i m a do eixo dos x (nota da pág. 271). A s l inhas de suporte d i v i d e m Ri em u m número f i n i t o

de porções; se ja r u m a delas. Es tabe le cendo , então, a i n t e g r a l - / yx dl

p a r a c a d a r a m o unívoco d a c u r v a , veremos que a área a bso lu ta de r é t o m a d a -f-1 vezes p a r a cada r a m o d i r i g ido d a d i r e i t a p a r a a esquerda, a c ima de r, e - 1 vezes p a r a c a d a r a m o d a esquerda p a r a a d i r e i t a ,

3 1 4 APLICAÇÕES [ C A P . V

acima de r, perfazendo, no to ta l , vezes. O mesmo se verif ica para qualquer outra porção de í? f ; logo, Rt será considerado m vezes. A integral de toda a curva valerá, pois, 2MÍ I área Rt j , como tínhamos enunciado. E s t a fórmula coincide com a que achamos para as curvas simples fechadas, como podemos verificar pela discussão dos valores de ÍÍ para tais curvas.

A definição do índice m apresenta a desvantagem de ter sido estabelecida em função de um sistema part icular de coordenadas. N a realidade, porém, pode ser demonstrado que o valor de é independente do sistema de coordenadas, dependendo somente da curva. E s t a demonstração, entretanto, não será apresentada aqui .

T E O R E M A D E T A Y L O R E REPRESENTAÇÃO A P R O X I M A D A

D A S FUNÇÕES P O R M E I O D E P O L I N Ó M I O S

A s funções racionais são, sob mui tos aspectos, as mais simples d a análise. F o r m a m - s e com u m número f i n i t o de aplicações das operações racionais de cálculo, d i fer indo , em sua gênese, de qualquer outra função que e n v o l v a u m a passagem, mais ou menos encoberta, ao l i m i t e , a par t i r das funções racionais . Os problemas que v i s a m estabelecer se, e de que m o d o , u m a função d a d a pode ser expressa, aprox imadamente , por funções rac ionais , especialmente por polinómios, são, pois , de g ran de importância, tanto n a teor ia como n a prática.

1. L O G A R I T M O E F U N Ç Ã O I N V E R S A D A T A N G E N T E

1. L o g a r i t m o .

Estudaremos , de início, alguns casos especiais em que a integração das progressões geométricas conduzem, quase imediatamente , às aproximações desejadas. Recordemos que p a r a ? + 1 e p a r a n inteiro e posit ivo , temos

1 — - = 1 - f q + q2 + • • • + qn~l + r a t

j. y qn

onde r„ =

Se I q I < 1 o resto rn tende p a r a 0 quando n cresce, obtendo-se, então, as séries geométricas infinitas

1 1 + a + Q2 + . . . c om a soma .

315

316 T E O R E M A . D E T A Y L O R [ Ü A P .

Tomaremos, como ponto de part ida , a fórmula

r* dt + t

e desenvolveremos o integrando de acordo com a fórmula acima, fazendo q = —l. Por integração, obtemos imediatamente

l o g U + z) = x - - + - - - + _ . . . + ( - i ) " - i - + J R n f

onde Rn==J^rndl = (- iyJ^ — + *'

Assim, para qualquer inteiro positivo n , conseguimos exprimir a função log(l + x) aproximadamente, por um polinómio de grau n, a saber,

x2 a: 3 xn

ao mesmo tempo, a quantidade Rn, o resto, representa a grandeza do erro cometido na aproximação.

Para se estimar a precisão da aproximação feita, basta calcular o resto Rn. Este cálculo é feito segundo o método apresentado à página 126 para avaliar a integral . Suporemos, primeiro , que x ^ 0, veri ficando que no intervalo tota l da integração o integrando não é negativo em parte alguma, jamais excedendo ta. Conseqüentemente

o n + 1

mostrando que, para cada valor cie x contido no intervalo 0 Sx SI, este resto pode tornar-se tão pequeno quanto quisermos, pela escolha de n suficientemente grande (pág. 32). Se, por outro lado, a quanti dade x estiver contida no intervalo - 1 < x S 0, o integrando não mudará de sinal e seu valor absoluto nao excederá j t | n / ( l + x), permitindo estabelecer o seguinte valor para o resto

1 flxl \x\n+1

lRnl-YT~xJo ^ - ( i + ^ + i y

Vemos, assim, que também neste caso o resto será arbitrariamente pequeno, quando n fôr suficientemente grande. P o r conseqüência, a avaliação não tem significado quando fizermos x = - 1.

V I ] L O G A R I T M O E F U N Ç Ã O I N V E R S A D A T A N G E N T E 317

R e c a p i t u l a n d o , podemos dizer que

l0g (1 + x) = X - ~ + + • • - + ( " D " - 1 - + Rn, Z à n

onde o resto Rn tende p a r a zero quando n cresce, desde que x esteja contido no in te rva lo ( 1 ) - 1 < x ^ 1. D a s desigualdades a c i m a podemos, efet ivamente, deduzir o va l o r do resto independentemente de x, o qua l valerá p a r a todos os valores de x contidos no interva lo - 1 + h ^x á l , onde h é u m número t a l que 0 < h S 1. N e s t e caso teremos

1 1 \Rn \ = T

hn 4- 1'

mostrando esta fórmula que no in terva lo completo a função log( l - f -x ) ê representada, aprox imadamente , pelo polinómio de g rau n que apre-

1 1 sentamos, não sendo o erro e m parte a lguma maior do que 7 •

h n 4- 1 Deixamos ao le itor ver i f i car por s i mesmo que, p a r a qualquer va lor de x p a r a o q u a l | x \ > 1, o resto não somente cessa de se aprox imar de zero, mas, efet ivamente, cresce numer i camente além de qualquer valor , à med ida que n v a i crescendo, de f o rma que p a r a tais valores de x o polinómio proposto não fornece u m a aproximação d a função logarítmica.

A convergência do resto Rn p a r a zero, no in terva lo a c i m a c i tado , pode ser t r a d u z i d a dizendo-se que temos u m a série infinita como r e presentação d a função logarítmica neste interva lo ( 2 ) .

x2 x3 x 4

l og ( 1 - f x) = z - y + - •••

Introduz indo o v a l o r p a r t i c u l a r x = 1, nestas séries, obteremos a fórm u l a notável

1 1 1 lo°-2 = 1 - - 4- - - - H —

2 - 1 - 3 4 ~ r ••• E s t a foi u m a das relações c u j a descoberta causou p r o f u n d a impressão nos espíritos dos pioneiros do cálculo di ferencial e in tegra l .

Ç) Devemos notar que este intervalo ê aberto à esquerda e fechado à direita . P) Estudaremos as séries infinitas, detalhadamente, no cap. VIII (pág. 365).

318 T E O R E M A D E T A Y L O R [CAP.

A aproximação estabelecida p a r a a função logarítmica conduz-nos a outra fórmula de grande ut i l idade , pr inc ipalmente nos cálculos n u méricos. Desde que -1< x< 1, precisamos apenas escrever - x em lugar de x n a expressão ac ima p a r a obtermos

X 2 X Z XA

l0g(l -X) = -X-—- 3 - - S n .

Supondo n p a r e subtra indo , temos 1 1 + x x3 x5 xn~x _ 2 l 0 g ~ x = x + T + T + • • + — i + R -

onde Rn é dado pela expressão 1 1 fx f 1 1 \

dt

f. dL o l - í 2

Devido à relação

_ Ix n + x

n + 1 1 - x»

o resto tenderá para zero à med ida que n cresce, o que podemos expr i mir , novamente, escrevendo o desenvolvimento sob forma de série in f in i ta :

1 1 -f- x xs x5 x1

2 l c g r^x ==AicThx==x+j+~j+^ + • • •> para todos os valores de x, tais que | x \ < 1.

A vantagem apresentada pe la expressão ac ima é que, à medida 1 + x

que x percorre o in terva lo de - 1 até 1, a relação representa todos os números posit ivos . Logo , se o v a l o r de x for convenientemente encolhido, esta série permite calcular o logar i tmo de qualquer número positivo, com u m erro que não excederá Rn.

2. F u n ç ã o i n v e r s a d a t a n g e n t e .

Podemos considerar a inversa da tangente de modo análogo, se partirmos da fórmula, verdadeira p a r a todos os valores inteiros e pos i tivos de n,

1

1 + t

V I ] L O G A R I T M O E F U N Ç Ã O I N V E R S A D A T A N G E N T E 319

t2n o n d e

1 + F I n t e g r a n d o , obtemos,

xz x5 x2n~l

a r c t g z = x - ~ + 4 - . . . + ( - D - 1 4- RM

v e n d o logo que no interva lo - 1 g x S 1 o resto tende p a r a zero à me d i d a que n cresce, v isto que

r\x\ \x\2n+l

\ R n \ ^ / l2ndt 2n+l

D a fórmula do resto podemos t a m b é m deduz i r fac i lmente que, p a r a I x I > 1, o v a l o r absoluto de resto cresce além de qua lquer l i m i t e , à m e d i d a que n cresce. Conseqüentemente , deduz imos a série i n f i n i t a

rr.3 asa a r c t g x = x -— + — - +

vál ida p a r a \x \ g 1. P a r a x = 1, desde que are t g 1 — 7r /4 , temos 7T 1 1 - = i _ - + _ _ + . . . t

fórmula notável, tão i m p o r t a n t e c o m o a que estabelecemos a n t e r i o r m e n t e p a r a log 2.

E X E M P L O S

X2 X* X2 X3

1. Demonstrar que x 1 < log (1 + i ) < x j (a; > 0). 2 3(1 +x) 2 3

Daí achar log - com 2 decimais.

6 2. Calcular log - com 3 decimais, empregando a séne

x2 xz

log (1 + x) - X - - + - - . . . .

Provar que o resultado é exato até a terceira decimal.

3. Quantos termos da série log(l -f- x) devem ser usados para se obter log(l -f-x) com erro inferior a 10 por cento, se 30 g x ^ 31 ?


2. T E O R E M A D E T A Y L O R

A s funções arbitrárias f(x) p o d e m , também, ser representadas aprox i m a d a m e n t e por funções rac iona is , c omo o f o r a m os casos especiais que estudamos. B a s t a , p a r a is to , a d m i t i r m o s que, p a r a todos os v a lores da variável independente , cont idos n u m interva lo fechado, a f u n ção possua der ivadas contínuas, no mínimo, até a ordem (n -f- 1). N a m a i o r i a dos casos que e fet ivamente ocorrem, a existência e a c o n t i n u i dade de todas as der ivadas são conhecidas de início, de sorte que se pode escolher p a r a n u m número qua lquer inte i ro .

A fórmula de aproximação que deduziremos a seguir, foi descoberta nos primórdios do cálculo d i f e renc ia l e i n t e g r a l por T a y l o r , a luno de N e w t o n , e é conhec ida pelo n o m e de teorema de T a y l o r

1. T e o r e m a de T a y l o r p a r a o s p o l i n ó m i o s .

P a r a termos u m a idéia c l a r a do p r o b l e m a , começaremos estudando o caso e m que f(x) = aQ.+ axx + a2x2 + . . . + anxn é u m polinómio de g r a u n. Podemos , então, e x p r i m i r fac i lmente os coeficientes respect ivos , p o r me io das der ivadas áef(x) n o p o n t o x = 0. A s s i m , der ivando ambos os membros d a equação, u m a , duas vezes, e t c , em relação a x, e se f i zermos , então, x = 0, os coeficientes valerão

a0 = /(O), ax = / (O), a2 = ^ f ' ( 0 ) , . . . , an = i / W (0).

Qua lquer polinómio do grau n pode , então, ser escrito sob a f o r m a

X2 3?3 Xn

f(x) = / (O) -f- z / ' ( 0 ) + 2 j / * ( 0 ) + - / " ' ( O ) + . . . + - fW>(0).

A fórmula a c i m a i n d i c a , s implesmente , que os coeficientes av p o d e m ser expressos em função das der ivadas e m x = 0, dando a constituição dos mesmos.

Podemos general izar l ige i ramente esta "série de T a y l o r " p a r a p o linómios, s u b s t i t u i n d o x por £ = x + h e considerando a função

(*) U m caso especial df-ste teorema e muitas vf-zes r-itndo. aliás, sem justificação histórica, como teorema de Mac-Laurin. N ã o adotaremos tal destruição

VI] T E O R E M A D E T A Y L O R 321

/(£) = f(x + h) — 9(h) como contínua em h; admit indo por u m m o mento que x seja fixo e h variável independente, segue-se que

logo, se fizermos h = 0, S'(0) = / ' ( a 0 , FFW(0) = J0*(x).

Aplicando a fórmula anterior à função f(x -f- h) = g(h), que é, ela própr ia , u m polinómio em h de grau n, obtemos imediatamente a série de T a y l o r

/({) = Ãx + h) = f(x) + hf'(x) + k - f"(x) + ^ /" ' (r) + .. . A»

+ - / ( * > ( ^

2. T e o r e m a d e T a y l o r p a r a f u n ç õ e s arbi trár ias .

A s fórmulas ac ima sugerem que procuremos u m a relação semelhante para os casos em que a função arbitrária/(x) não seja, necessariamente, u m polinómio. Nestes casos, entretanto, a fórmula somente poderá conduzir à aproximação da função, por meio de u m polinómio.

Comparemos os valores d a função / nos pontos x e £ = x + h, de sorte que h = £ - x. Considerando-se n como u m inteiro positivo qualquer, a expressão

/(*) + (É - x)f'{x) + ... + ^p-V(^) não será, v i a de regra, u m a representação exata do valor da função / (£ ) . Devemos, portanto , fazer

M) = f(x) - f (Ê - x)f'(x) + ^p-V(^) + •

onde JR„ representa o resío, quando / (£) é substituída por f(x) -f-+ /'(#) (£ — + • • • • E m pr ime i ra instância, esta equação nada mais é do que u m a definição explícita de Rn. A sua importância reside no fato de possibi l i tar a dedução de u m a expressão simples e de emprego constante, do resto Rn. P a r a isto, imaginemos a quantidade £ f ixa e

3 2 2 T E O R E M A D E T A Y L O R [ C A P .

x como variare i independente. O resto será, então, a função Rn(x). Pela equação estabelecida, esta função se anula para x — £:

Ademais, obtemos por derivação

Rn'(x) = — / * + « ( a 0 .

Se derivarmos a equação que dá o resto, em relação a x, obteremos 0 no primeiro membro, visto / (£ ) não depender de x, sendo, portanto, considerada constante. Der ivando cada termo do segundo membro pela regra dos produtos, vemos que todos se cancelam, com exceção do último, o qual está escrito na fórmula acima com o sinal menos.

Pelo teorema fundamental do cálculo integral

Rn(x) = Rn(x) - i? n (f) = J Rn'(t) di = - J*Rn'Q) dl,

de modo que obteremos a expressão fx+h(x + h~t)n

RJx) = / : -/f+w(0 dl. J x Til

Introduzindo a nova variável de integração r, por meio da equação T — l — x, virá

^ = ^ fh(h-rrf^(x+r)dr. n\ J o

Reunindo estes resultados, temos o seguinte enunciado: Se a função f(x) tiver derivadas contínuas até a ordem (n 4- 1) no

intervalo considerado, teremos

2 2 / i 3

f(x - f h) = f(x) 4 - hf'(x) 4 - ^f"(x) 4 - ~}f"'(x) + • • •

~n\ ou (expressão equivalente para h = £ - x)

+ Z]f"Kx) + Rn,

f(Q = /(*) + (f - a ) / ' ( a ) 4- ~ ~ - " f ( x ) 4- . . .

VI] T E O R E M A D E T A Y L O R 323

onde o resto Rn é dado pela Jórrnula

í rh

n\ J o

Fazendo-se, em p a r t i c u l a r , x = 0 e subst i tu indo , então, h por x , virá

= m + (o + (o) + ! . . + ^/ í B ,(o) + Rn

com o resto

R « = ~ \ r) B / ( B + U (r)rfT. n! j o

Estas fórmulas são denominadas, geralmente, teorema de T a y l o r . E l a s dão os valores de J(x + h) e de f(x), ordenadamente, em polinómios de grau n em h e x, respect ivamente (os chamados polinómios de aproximação), e o resto. Os polinómios de aproximação são caracterizados pelo fato de que, quando h = 0 (ou x = 0, conforme o caso), o seu va lor e o das suas n pr imeiras derivadas, coincide com os d a f u n ção dada e das suas n pr imeiras der ivadas . E m contraste c o m a série de T a y l o r p a r a os polinómios o resto e a sua fórmula, n o caso das funções arbitrárias, são essenciais. A importância da fórmula reside em que o resto, embora apresentando f o r m a mais compl i cada que os outros termos da relação, fornece, não obstante, u m meio seguro p a r a se estimar a precisão com que a soma dos n -f- 1 primeiros termos

2 n

/ (O) 4 - ^ / ' ( O ) + | r (0) + . . . + ^ / ( n ) ( 0 ) ,

representa a função f(x).

3. Ava l iação d o r e s t o .

P a r a que a aproximação fornec ida pelos n-\-1 primeiros termos d a série de T a y l o r seja considerada suficiente, é preciso que o resto seja convenientemente pequeno. Vo l taremos , pois, nossa atenção p a r a o cálculo do resto. E s t e cálculo é feito da mane i ra mais simples, recor-rendo-se ao teorema do va lor médio do cálculo integral (Cap . I I , § 7, pág. 127).

(1) C u j a representação não cogita do resto.

321 T E O R E M A D E T A Y L O R [CAI\

Empregaremos este teorema sob a forma

h rh p(r) q> (r) dr = cb(dh) / p(r) dr,

onde p(r) representa uma função contínua, que em parte alguma do intervalo de integração ê negativa, e 4>(r), simplesmente, uma função contínua, ao passo que í é um número do intervalo ( 1 ) 0 á á 1. Se, na fórmula do resto, fizermos (h - r)n = p{r), teremos

hn + l

(n 4- l j !

enquanto que, se fizermos p(r) = 1, obteremos a expressão

h n + 1

~}.\

que é de somenos importância para o nosso estudo, porém, foi deduzida para completar a exposição. Nestas fórmulas 6 representa um certo número no intervalo 0 ^ 6 ík 1, cujo valor, v ia de regra, não podemos especificar mais claramente. E m geral, porém, ó claro que tal valor é diferente nas duas fórmulas do resto, e depende, além disso, de n, x e de h. A primeira fórmula do resto foi deduzida por Lagrange e a segunda por Caucby, sendo ambas conhecidas por estes nomes. C 2 )

0 nosso principal interesse está em descobrir se o resto tende para zero, à medida que n cresce. Se isto se verificar, quanto maior escolhermos 72, tanto mais exatamente a função f(x 4- h) será representada

fi) Podemos admitir, efetivamente, que 0 < 9 < 1, mas, no caso presente, isto nâo tem importância.

P) Tanto esta como outras expressões para o resto podem ser deduzidas do teorema do valor médio do cálculo diferencial e do teorema generalizado do valor médio (pôg. 203), respectivamente. Aplicamos estes teoremas à função fín(x) = Rn(x) - fln({) e ao par de funções Rc(x) e (x - £)n+i, onde consideramos £ fixo, e empregamos a fórmula

i? n '(z) = - f g ~,X>J<*+D0c). nl

Os métodos apresentados para a determinação das fórmulas do resto emprestam maior importância ao fato do teorema de Taylor constituir uma generalização do teorema do valor m.'dio. Além disso, oferecem a vantagem, importante para fins teóricos, de somente necessitarmos admitir a existência

não a continuidade da derivada de ordem n + 1 da função. Por outro lado, porém, perdemos a representação exata que tínhamos para o resto, sob a forma de integral.

VI] T E O R E M A . D E T A Y L O R 325

pelo correspondente polinómio em h. N e s t e caso dizemos que desenvolvemos a função segundo a série infinita de Taylor.

h h2 h? Ãx + h)= f(x) + jj/'<a:) + j{r(x) -f- g j / ' " ( * ) + • -

ou, em part i cu lar , se f izermos in i c ia lmente x — 0, e então s u b s t i t u i r mos h por x,

2 3

m = /(o) + ^f(o) + ^r(o) + -/"(o) +.... N a próxima seção apresentaremos os exemplos respectivos.

Antes disso, porém, queremos assinalar a segunda dedução i m p o r tante decorrente do estudo d a série de T a y l o r . N a p r i m e i r a fórmula, imaginando-se que a quant idade h d i m i n u i progressivamente, tendendo para zero, os vários termos d a série tenderão p a r a zero com diferentes ordens de grandeza (cap. I I I , § 9, pág. 195). Conseqüentemente, denominaremos a expressão f(x) o termo de ordem zero d a série de

h2

T a y l o r ; hf'(x) será o termo de p r i m e i r a ordem, ~^f"{x) o de segunda ordem, e assim sucessivamente. D a fórmula do resto deduzimos: •

Desenvolvendo uma função até o termo de ordem n , cometemos um erro que tende para zero, na ordem (n -f- 1), quando h - * 0 .

M u i t a s aplicações importantes são baseadas nesta propriedade. E l a mostra , por exemplo, que o polinómio de aproximação representará a função f{x -f- h) tanto mais precisamente, quanto mais próximo de x + h estiver o ponto x. A o mesmo tempo, n u m caso dado, a a p r o x i mação n a vizinhança imed ia ta do ponto x pode ser mais apurada , pelo crescimento do va lor de n.

E X E M P L O S

1. Seja/(a:) uma função que possui derivada contínua no intervalo o ^ 1 1 ii, e í"{x) g: 0 para qualquer valor de x. Sendo § um ponto qualquer do intervalo, a curva nunca passará abaixo da tangente no ponto a; = £, y = /(I). (Empregar a série de Taylor com três termos.)

2. Calcular o valor de 6 pela fórmula de Lagrange, para o resto Ra, para j - —

e —j-—, desenvolvidas segundo as potências de x.

326 T E O R E M A D E T A Y L O R [ C A P .

3. APLICAÇÕES. D E S E N V O L V I M E N T O DAS FUNÇÕES E L E M E N T A R E S

Empregaremos, agora, os resultados gerais obtidos na seção anterior, para representar as funções elementares, aproximadamente, por polinómios, desenvolvendo-as, então, segundo a série de Tay lor . L i m i taremos, entretanto, o nosso estudo às funções cujos coeficientes do desenvolvimento em série sejam obtidos por leis simples. A s séries correspondentes a algumas outras funções serão apresentadas no capítulo V I I I (págs. 405 e seguintes).

1. F u n ç ã o e x p o n e n c i a l .

O exemplo mais simples ê oferecido pela função exponencial/(z) = e*. Neste caso, todas as derivadas são idênticas à função original f(x), dando-nos, portanto, o valor 1 para x = 0. Logo , usando a fórmula de Lagrange para o resto, obteremos a expressão

x x2 rc3 xn x x + 1

e * = 1 + Í ! + 2 ! + Í ! + - + ^ + ( Í T y ] e í i

de acordo com o § 2 (págs. 320 e seguintes). Se, agora, fizermos n crescer além de qualquer l imite , o resto tenderá para zero, qualquer que tenha sido o valor fixo de x que tenhamos escolhido, visto que, de início, | e9x | ^ éxK Então, para n ^ m, virá

/v.n+1 J L Í \ <r I 2 x \m , 1

de sorte que I Kn | = ~~mJ~~e 2n*

Como os dois primeiros fatores da direita são independentes de n, e 1|2„ tende para zero à medida que n cresce, o enunciado se verifica. Se imaginarmos que o número x não é fixo, mas sim podendo variar livremente no intervalo - a ^ x ^ a, onde a é u m número fixo positivo, deduz-se do que foi exposto que, se escolhermos m > 2a, a est imativa

[ 2a\m 1 I JR„ I ^ ~ T 7 ~ ea ^

FUNÇÕES E L E M E N T A R E S 327

será válida, desde que nçzm. Estabelecemos, assim, um limite para o resto, que se verifica para todos os valores de x no intervalo —aSxSa, e que tende para zero quando n -> «>. Podemos, pois, escrever o desenvolvimento de ex em série infinita, como segue

x x- X 0 0 X*

e' = 1 + v. + v + v + --*.7r sendo a última expressão apenas uma representação abreviada do desenvolvimento em série. T a l desenvolvimento aplica-se para todos os valores de x. Provamos, assim, novamente, que o número e, já estudado no cap. I (pág. 43), é a própria base dos logaritmos naturais (cap. I I I , § 6). Nos cálculos numéricos empregaremos, como é lógico, a forma finita da série de Taylor, com o respectivo resto. Para x = 1, por exemplo, virá

1 1 1 é e = = 1 + 1 + ^ + ^ + . - . + ^ + 3! 1 " * ' n\ 1 (n + 1)!'

Se quisermos calcular e com erro inferior a 1/10 000, precisamos apenas escolher n tão grande que o resto seja efetivamente menor do que 1/10 000 e, já que o resto é realmente menor ( 1 ) que 3/(/i + 1)!, basta fazer n = 7, visto que 8! > 30 000. Obteremos então o valor aproximado

e= 2,718 22 com erro inferior a 0,000 1. Não levamos em conta, neste caso, o erro devido à supressão da sexta casa decimal. 2. Sen cos S h C h x.

Para as firnçoes sen x, cos x, Sh x, Sh x, achamos as seguintes fórmulas C 2 ) :

/(*) sen x cos X Sh x Ch x,

I'(x) = cos X —sen x Ch x Sh x,

/ " (* ) = —sen X —cos X Sh x Chx, f"(x) —cos X sen x C h z Sh x,

/ " " ( * ) = sen x cos X Sh x Chx.

(1) Sabemos que e < 3, o que se deduz imediatamente (pág. 43) da série estabelecida para t. Verifica-se, em qualquer caso, que — 5j r ™ , e

rú 2 n ~ i

e < l + l + M + M + - - . = l + l / d - H) = 3. (2) Se /(x) = sen x ou j{x) = cos x, a derivada de ordem n pode sempre ser represenlada pela

expressão

Logo, nos polinómios de aproximação para sen x e Sh x, os coeficientes das potências pares de x se anulam, ao passo que, nos polinómios de aproximação para cos x e C h x, são os coeficientes de ordem ímpar que se anulam. Assim, no primeiro caso, os polinómios de ordem (2/i + 1) e (2n + 2) são idênticos, enquanto que, no segundo, são idênticos aos de ordem 2n e (2/2 + 1). Se, em cada caso, usarmos o polinómio de ordem mais elevada, obtemos logo, empregando a fórmula de Lagrange para o resto,

or xs x2n+l

sen x = x - ~. + — - + . . . + ( - 1)" 3! 1 5! 1 v ' (2n+ 1)1

X2 X2n

cosx = l - - + 7 7 - 4 - . . . + ( - ! ) « 4 ! ••" 1 v ' (2/2)1

x-n+2

+ ( - 1 ) n + 1 (27T^i C 0 S ( f a ) '

sen x = x -j- — + rr + • • • + 3! ' 5! (2rt 4- 1)!

Ch (6x), r £ 2n+3

(2/i 4- 3)! ar ar

Ch .r = 1 4- — + — 4- . . . 4-2! 1 41 1 '•• ' (2/i)!

onde, em cada uma das quatro fórmulas, 6 representa, naturalmente, um número diferente, contido no intervalo 0 1 9 ^ 1 , número este que, além disso, depende de n e de x. Nestas fórmulas podemos também levar a aproximação tão longe quanto quisermos, para cada valor de x, visto que o resto tende para 0 quando n cresce. Obteremos, então, as quatro séries

Q.3 rjS CO <g2l<-j-l

senx = x - — + — - + . . . = S ( - 1)" 3! 1 5! '•• ^ o " ( 2 ?+ 1)1' x2 ar 1 - x2u

cosx = l - ~ 4- 7 7 - + ••• = 2 ( - 1 ) " 2! ' 4 ! 1 „ : o

v ' (2v)V

vi] F U N Ç Õ E S E L E M E N T A R E S 329

Shíc = a:-|- — + 77 + X" Xa ra X'

3! r 5! ' ••• , r 0 ( 2 ^ + 1)!' X2 X 4 0 0 x2u

C h Z = 1 - f ^ + 7í + . . . = S 2! 1 4! * ••• ,r 0(2v)r

As duas últimas fórmulas podem, também, ser obtidas da série e 1 desenvolvida de acordo com as definições das funções hiperbólicas.

3. Série binômia. Podemos pôr de lado a série de T a y l o r para as funções log (1 -f- x)

e are tg x, as quais já foram tratadas diretamente no § 1 (pág. 315). Devemos, porém, ocupar-nos da generalização do teorema do binômio para expoentes arbitrários, que é u m a das mais proveitosas descobertas matemáticas de N e w t o n , representando u m dos casos mais i m p o r t a n tes de desenvolvimento em série, pelo teorema de T a y l o r . Visamos desenvolver a função

f(x) = (1 + x)°

segundo a série de T a y l o r , sendo x > - 1 e a u m número arbitrário, positivo ou negativo, rac ional ou irrac ional . Escolhemos a função (1 -f- x)a em vez de xa porque no ponto x = 0 nem todas as derivadas de Xa devem ser necessariamente contínuas, exceto no caso ordinário de valores inteiros, não-negativos de a. E m primeiro lugar calculamos as derivadas def(x), obtendo

f'(x) = a(l + a » — 1 , f'{x) = a(« - 1) (1 + x)«-\ ....

fM(x) = <x(a - 1) ...{a-v+ 1) (1 + xY~\

E m part i cu lar , para x = 0, temos

/'(O) = a , /"(O) = a{a - 1), . . . ., / W ( 0 ) = a(a - 1) (a - v + 1).

O teorema de T a y l o r dá, então, a (a — l)

(1 + x)° = 1 + ax + —— x2 + . ..

a (a - 1) (a - 2) . . . (a - n + 1) + : xn + Rn.

nl

Devemos a inda estudar o resto. E s t e problema não apresenta grande di f iculdade, porém, não ê tão simples como o dos casos anteriormente estudados. Deixamos de lado a avaliação do resto, u m a vez que o teorema do binômio, generalizado, será demonstrado completamente

de forma algo diferente e mais simples no capítulo V I U (págs. 406 e seguintes; também, pág. 336). O resultado que damos desde já, é que em todos os casos onde | x j < 1 o resto tende para 0 e, portanto, a expressão (1 + x)a pode ser desenvolvida segundo a série binômia infinita

a a(a — 1) <" /" ot\

(1 + xY = 1 - r ^ z + 2Í X* + = ?oV v ) X %

em que, por brevidade, introduzimos os coeficientes gerais (a - 1) . . . (a - v - f 1) f a

v l ( p a r a , > 0 ) , ^ 0 J = 1.

E X E M P L O S

1. Desenvolver (1 - f a:) 1 ' 2 até os dois primeiros termos, mais o resto. Calcular o resto.

2. Empregando a série do exemplo 1 (desprezando o resto), calcular "V2. Qual o grau de precisão desta aproximação ?

3. Q u a l a função linear que mais se aproxima de $ 1 + x na vizinhança do ponto x = 0 ? E n t r e que valores de x o erro de aproximação é menor do que 0,01 ?

4. Q u a l a função quadrática que mais se aproxima de v* 1 + x na vizinhança de x = 0 ? Qual é ó maior erro cometido no intervalo - 0,1 g i S 0,1 ?

5. (a) Qual a função l inear, (b) qual a função quadrática que mais se aprox ima de V 1 + x, na vizinhança de x = 0 ? Estabelecer o erro máximo quando - 0,1 â z á 0,1.

6. Calcu lar sen (0,01) com 4 decimais. 7. Fazer o mesmo para (a) cos (0,01) (6) ^ 1 2 6 , (c) V 97. 8. Desenvolver sen (x -f- h) segundo a série de T a y l o r , em relação às potências

de h. Determinar sen 31° [ = sen (30° + I o)] por este método, com 3 decimais. Desenvolver as funções dos exemplos 9-18 na vizinhança de z = 0, com três

termos mais o resto (estabelecer o resto pela fórmula de Lagrange).

9. s e n 2 z . 14. e*~2.

10. cos 3 x. 1

cos X

11. log cos x, 16. c o t g x - - .

12. tgx. 17.

X 1

sen x

1 3 . l o g . 18. , cos x 1 - f x

V I ] A P L I C A Ç Õ E S G E O M É T R I C A S 33]

19. (a) Desenvolver) e*" x até cinco termos mais o resto; (6) WÍ s - V i • s u b s tituir 2 oor sen x, tomando um número suficiente de termos a r\n\ de assegurar que o coeficiente de xi está correto. Comparar o resultado com (a).

20. Determinar o polinómio de quarto grau que mais se aproxima de tg x na vizinhança de x = 0. E m que intervalo este polinómio representará tg x com erro inferior a 5%?

21. Achar os 6 primeiros termos da série de Taylor para y, segundo as potências de x, no caso das funções definidas por

(a) z 2 + y 2 = y, y(0) = 0; (6) x* + y 2 = y, y(0) - 1; (c) z 3 + y 3 = y, y(0) = 0.

4. A P L I C A Ç Õ E S G E O M É T R I C A S

O c o m p o r t a m e n t o de u m a função f(x) n a vizinhança de u m ponto x = a, ou o c o m p o r t a m e n t o de u m a c u r v a d a d a n a vizinhança de u m ponto , pode ser estudado c o m precisão cada vez m a i o r pe lo teorema de T a y l o r , v i s t o ele decompor o acréscimo que a função sofre quando passa a u m p o n t o v i z i n h o , x = a + h, em u m a soma de quant idades de p r i m e i r a , segunda, . . . o rdem.

1. C o n t a t o d a s c u r v a s .

E m p r e g a r e m o s este método p a r a inves t igar o conceito de contato de duas c u r v a s .

Q u a n d o em u m ponto , d igamos , x = a, duas curvas , y = / (x) e y = g{x) não somente c o r t a m , mas têm a i n d a tangente c o m u m , d i re mos que elas se t o c a m m u t u a m e n t e neste ponto , o u que têm u m contato de primeira ordem. Os desenvo lv imentos pe la série de T a y l o r das funções f(a + h) e g(a + h) terão, p o r t a n t o , os mesmos termos de ordem zero e de p r i m e i r a o r d e m e m h. Se no ponto x = a as segundas der ivadas d e / ( x ) e de g(x) t a m b é m fo rem iguais , d iremos que as curvas têm contato de segunda ordem. N o s desenvolv imentos p e l a série de T a y l o r , os termos de segunda o r d e m serão os mesmos, e se a d m i t i r mos que ambas as funções t e n h a m der ivadas contínuas de terce ira ordem ao menos , a diferença Z)(x) = f(x) - g{x) pode ser expressa sob a f o rma

D(a+h) =f(a + h)-g(a + h) = - { D'''(a + eh) = -{F(h),

em que a expressão F(h) tende p a r a f"'(a) - g"' (a) q u a n d o h tende p a r a zero. A diferença D(a + h) anula-se , p o r t a n t o , pelo menos n a terceira o r d e m , c o m h.


Podemos prosseguir deste modo e estudar o caso geral, onde as séries de Tay lor para/(a;) e g(x) são as mesmas até os termos de ordem n, isto é,

/(«) = 9(a), f(a) = g>(a), f"(a) = g"{a\ .. ., ( a ) = g(n) ( f l ) >

Admit imos , então, que as derivadas de ordem n + 1 são, também, contínuas. Nestas condições, diremos que, neste ponto, as curvas têm contalo de ordem n. A diferença entre as duas funções assumirá, então, a forma

f{a + h) - g(a + h)= F(h),

F i g 1.— Parábolas oseulairizes de e*

onde, já que 0 ^ d á 1, a quantidade F(/i) = D C n + 1 ) (a 4- eh) tende para f{n+1) (a) - gin+u (a) quando h tende para zero. Verif icamos por esta fórmula que, no ponto de contato, a diferença f(x) - g(x) se anula na ordem (n + 1), ao menos.

Os polinómios de T a y l o r são definidos geometricamente, de modo simples, pelo fato de representarem as parábolas de ordem n que, no ponto dado, têm contato, d a maior ordem possível, com o gráfico da função proposta. Daí serem denominadas, às vezes, parábolas oscula-Irizes. A f igura 1 representa as três primeiras parábolas osculatrizes da exponencial y = ex, no ponto x = 0.

Se duas curvas y = f(x) e y — g(x) t iverem contato de ordem n , a definição não exclui a possibilidade de existir outro contato de or-

V I ] A P L I C A Ç Õ E S G E O M É T R I C A S 333

dem mais e levada ainda, isto é, de que a e q u a ç ã o / c " + 1 ) (a) = <7 ( n + J ) (a) também se ver i f ique . Se isto não se der, e neste c a s o / ( r t = 1 ) (a) 4= g(n+1Ka), podemos dizer que o contato é exatamente de ordem n ou que a ordem do contato é exatamente n

Inferimos, tanto das fórmulas apresentadas, como das f iguras, u m fato notável, que mui tas vezes passa despercebido aos pr inc ip iantes . Se o contato de duas curvas for exatamente de ordem par , isto é, se u m número n, par , de der ivadas das duas funções t iver o mesmo va lor no ponto em questão, ao passo que as derivadas de ordem (n + 1) são diferentes, de acordo com as fórmulas anteriormente deduzidas, a diferença fia + h) - g(a + h) terá sinais diferentes p a r a valores n u mer icamente pequenos de h, posit ivos ou negativos. A s duas curvas cortar-se-ão, pois, no ponto de contato . E s t e caso ocorre, por exemplo , no contato de segunda ordem, se as terceiras derivadas t iverem valores diferentes. Se , entretanto , considerarmos o caso de u m contato de o rdem exatamente ímpar, digamos, u m contato c o m u m de pr ime i ra o rdem, a diferença f(a + h) - gia + h) terá o mesmo sinal para todos os valores numer i camente pequenos de h, quer posit ivos , quer negativos ; as duas curvas , por tanto , não se cor tam n a vizinhança do ponto de contato . A ilustração mais simples do que acabamos de expor é d a d a pelo contato d a c u r v a c o m a sua tangente. A tangente pode cortar a c u r v a somente nos pontos em que o contato for, no mínimo, de segunda ordem; efet ivamente, ela atravessará a c u r v a nos pontos em que a o rdem do contato é par , por exemplo, nos pontos de inflexão, onde f"(x) = 0, m a s / " ' (#) =t= 0. N o s pontos de contato de ordem ímpar, ela não atravessará a c u r v a . C o m o exemplos, podemos tomar u m ponto c o m u m da c u r v a em que a der ivada de segunda ordem não seja n u l a , ou a c u r v a y = XA n a sua origem.

2. O c í r c u l o d e c u r v a t u r a c o m o c í r c u l o o s c u l a d o r .

O conceito de c u r v a t u r a de u m a c u r v a y — f(x), quando encarado sob este ponto de v i s t a , g a n h a novo s ignif icado i n t u i t i v o . P o r u m ponte d a curva , def inido pelas coordenadas x = a, y = ò, passa u m a i n f i n i dade de círculos que t o c a m a c u r v a neste ponto . Os centros de tais círculos estão sobre a n o r m a l à c u r v a , e a cada ponto d a n o r m a l cor-

(!) O fato da ordem de contacto de duas curvas ser u m a relação puramente geométrica, não afetada pela mudança dos eixos coordenados, pode ser facilmente comprovado por meio das fórmulas íeferentes à mudança dos eixos.


responde justamente um círculo tangente. Podemos esperar que, por uma escolha apropriada, possamos estabelecer um contato de segunda ordem entre a curva e o círculo.

Com efeito, sabemos do cap. V (pág. 283) que, para o círculo de curvatura no ponto x = a, cuja equação é, digamos, y = g{x), não somente temos g(a) — f(a) e g'(a) = / ' (a ) , mas também g"{a) — f"{a). Logo, o círculo de curvatura é, ao mesmo tempo, o círculo osculador

ordem superior à segunda, o círculo de curvatura não só toca a curva, mas também a atravessa (fig. 2).

3. T e o r i a dos máximos e mínimos . Como vimos no cap. III (pág. 161), um ponto x = a no qual

/ ' (a) = 0 representa um máximo da função f(x) se f"(a) for negativa, e um mínimo, se f"(a) for positiva. Estas condições são, portanto, suficientes para que ocorra um máximo ou um mínimo. Entretanto, elas não são, de modo algum, necessárias; no caso em que f"{a) = 0, apresentam-se três possibilidades: a função pode ter um máximo no ponto em questão, pode ter um mínimo, ou pode não ter máximo nem mínimo. Exemplos destas três hipóteses são dados pelas funções y — - £4, y — x 4 , e y = x3, no ponto x = 0. O teorema de Taylor nos permite dar, imediatamente, um enunciado geral das condições suficientes para a existência de um máximo ou de um mínimo. Necessitamos, apenas, desenvolver em série a função f(a + h), segundo as potências de h. O essencial será, portanto, determinar o primeiro termo que, contendo uma potência par de h não se anule, ou uma potência ímpar. N o primeiro caso teremos um máximo ou um mínimo, conforme o coeficiente de h seja negativo ou positivo. No segundo caso haverá

Oi

Fig. 2.— Círculo osculador

T

no ponto da curva em discussão; isto é, êle é o círculo que tem um contato de segunda ordem com a curva, no ponto considerado. No caso Kmite de um ponto de inflexão, ou, em geral, no de um ponto no qual a curvatura seja nula e o raio de curvatura infinito, o círculo de curvatura transforma-se na tangente. Nos casos comuns, ou seja, quando o contato não é de

VI] APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS 335

uma tangente inflexional horizontal, sem máximo nem mínimo. O leitor poderá completar o raciocínio sozinho, lançando mão da fórmula do resto ( U .

E X E M P L O S

1. D e que ordem é o contato das curvas y = exey = l-\-x-\-}''2 sen 2 x no ponto x — 0 ?

2. De que ordem é o contato de y =» sen* i e j = tg* x no ponto x = 0 ? 3. Determinar as constantes a, b, c, d de sorte que as curvas y = e-T e

y => a cos x -f- ò sen x + c cos 2x + d sen 2x tenham contato de 3. a ordem no ponto x — 0.

4. De que ordem são os contatos das curvas

x3 + y3 = xy, x- + y2 «* x

nos seus pontos de interseção ? Construir as curvas citadas. 5. Qual é a ordem de contato das curvas

z s + yz = y , x2 =* y

nos seus pontos de interseção ? 6. A curva y = /(x) passa pela origem O e toca o eixo dos x em O. Most rar

X A

que o raio de curvatura da curva no ponto O é dado por p = Hm — . i-»o 2y

7. * Seja K u m círculo que toca u m a curva dada n u m ponto P e que passa por u m ponto Q, vizinho da curva. Mos t rar que o limite do círculo K, quando Q-*P, é o círculo de curvatura da curva no ponto P.

8* Designemos por R o ponto de interseção das duas normais a uma curva dada, tiradas pelos pontos vizinhos P e Q da própria curva. Demonstrar que, quando Q -* P, R tende para o centro de curvatura da curva relativo ao ponto P. (O centro de curvatura é a interseção de normais vizinhas.)

9. * Demonstrar que a ordem de contato de uma curva com o seu círculo osculador, nos pontos em que o raio de curvatura é máximo ou mínimo, é, ao me" nos, a terceira.

10. Determinar os máximo e mínimo da função y = e- 1 /* 2 .

(!) A condição necessária e suficiente já estabelecida (pág. 161), entretanto, ê mais conveniente nas aplicações, a saber: Desde que a primeira derivada J'(x) se anule somente em um número finito de pontos, a condição necessária e suficiente para que ocorram máximos ou mínimos, em um desses pontos, é que a primeira derivada t'(x) mude de sinal ao passar pelo ponto.

APÊNDICE AO CAPÍTULO VI

1. E X E M P L O D E FUNÇÕES Q U E NÃO ADMITEM DESENVOLVIMENTO SEGUNDO A SÉRIE D E T A Y L O R

A possibilidade da representação de uma função pela série de Taylor, com um resto de ordem {n + 1), depende, essencialmente, da de-rivabilidade da função no ponto considerado. Por tal razão, a função log x não pode ser representada por uma série de Taylor segundo as potências de x, o mesmo acontecendo com ^x, cuja derivada é infinita em x = 0.

Para que a função possa íer desenvolvida segundo a série infinita de Taylor, é preciso que todas as suas derivadas existam no ponto em questão; esta condição, entretanto, não é, de forma alguma, suficiente. Mesmo funções para as quais existam todas as derivadas e sejam contínuas num determinado intervalo, podem não permitir o seu desenvolvimento segundo a série de Taylor, isto é, o resto Rn do teorema de Taylor pode deixar de tender para zero quando n crescer, por menor que seja o intervalo em que quisermos desenvolver a função.

O exemplo mais simples deste fenômeno é oferecido pela função y = / (£ ) =e - i / * a

para x = 0, /(O) = 0, que j á foi estudado no apêndice do cap. I I I (pág. 196). Esta função, com todas as suas derivadas, é contínua em cada intervalo , mesmo era x = 0, e vimos que, neste ponto, todas as derivadas se anulam, ou se ja , / ( n ) (0 ) = 0 para qualquer valor de n. Logo, no teorema de' T a y l o r , todos os coeficientes do polinómio de aproximação se anulam, qualquer que seja o valor atribuído a n. E m outras palavras, o resto é igual à própria função e, portanto, exceto quando x = 0, não se aproxima de zero à medida que n cresce, visto a função ser posit iva para qualquer valor de x, diferente de zero.

2. DEMONSTRAÇÃO D E QUE o NÚMERO e É IRRACIONAL

D a fórmula e = 2 + ^ - f . . . 4- — -j deduzimos imediatamente 2! n\ (n 4- 1)!

que o número e é i rrac ional . Se o contrário fosse verdadeiro, ou seja, se e = p/q, onde peq representam inteiros, poderíamos, certamente, escolher n maior do que q.

Neste caso, n!e = n\ - seria u m inteiro . P o r outro lado. n\e — 2nl 4- — 4- . . . 4-q 2!

n! 1 e 9 4- — -I ~e<>, e como eB < e < 3, devemos ter 0 < < 1. Logo, o inteiro

nl n + l ri + i

VI] C O N V E R G Ê N C I A D A S E R I E B I N O M I A L 337

n!e = ao inte i ro 2nl -\ 1- . . . + 1 mais u m a fração própria que não se anula ,

o que é impossível.

3. DEMONSTRAÇÃO D A CONVERGÊNCIA DA SÉRIE BINOMIAL

N O § 3 (pág. 329) adiamos a avaliação do resto Rn no desenvolvimento de f(x) = (1 + x)a para | x | < 1. Executaremos este cálculo agora. Por conveniência, distinguiremos os casos em que x > 0 e x < 0.

P a r a / ( n + 1 ) ( x ) temos a expressão (1 + x)a

Se x > 0, escreveremos o resto sob a fórmula de Lagrange,

Rn(x) =

de modo que

x n + l (1 + 6xJ*

( iTï ) ï a ( a " 1 } • ' • { a " n ) a + exr+1

I RM I ^ a(a — 1) . . . (a - ri) x n + 1 ( l + x)

(n + 1) !

Fazendo ò = [ | a | ] + 1, onde [ | a | ] representa o maior inteiro que não excede |<x|, virá

Rn(x) < Ob

<

b(b 4- 1) . . . (6 -f TI)

(n + 1)!

2b 1 . 2 . . . ( n + 1) ( r i - f 2) . . . (n + b)

<

(b - 1)! 2b

(n + 1)!

(n + 6 ) 6 - 1 ^ + 1 , - ( 6 - 1 ) !

e, desde que 6 é fixo, se 0 < x < 1, a expressão tende para 0 quando n cresce.

Para o caso - 1 < x < 0, escreveremos o resto sob a fórmula de Cauchy

,n + l

Rn(x)

de sorte que

(1 - e)n a(a~l) . . . (a - ri) (1 + 6x)'

RÁX) < (1 - e)n

( i - e \ x I ) n

n + l

(1 4- dx)n '

ct(a - 1 ) . . . (a - ri)

nl (1 -j- 6x) ,-r,\a—1

Uma vez que j x j < 1, o último fator não poderá exceder a constante K, independente de n. D a mesma forma, (1 - 9)1(1 - d | x j ) < 1. Como já o fizemos, escreveremos novamente b = [ | a j ] + L vindo, então,

\Rn{x) \SK\x ln + 1(£TT)j(rc + 2) (/» + 3) . . . (n + 6)

~ ( ò ^ l ) ! ( n + 6 ) 6 - 1 1 X | n + 1 '

que se aproxima de 0 quando n cresce. Assim, em qualquer caso, quando j x | < 1, o resto tende para zero

à medida que n cresce, justificando o desenvolvimento do § 3 (pág. 330).

4. ZEROS E INFINITOS DAS FUNÇÕES. SÍMBOLOS INDETERMINAI OS

A série de Taylor para uma função, na vizinhança do ponto x — a, nos permite caracterizar o comportamento da função nas proximidades do ponto referido, da forma seguinte. Dizemos que f(x) tem um zero, precisamente de ordem n, ou se anula, exatamente, na ordem n, no ponto x = a, se f(a) = 0, / ' (a) = 0, /"(a) = 0, . . . , / ^ « ( a ) = 0, e /W(a) 0. Admitiremos, aqui, que na vizinhança do ponto, a função possui, no mínimo, derivadas contínuas até a ordem n. Pela definição, podemos escrever a série de Taylor para a função dada, na vizinhança do ponto considerado, sob a forma

hn

f(a + h) =—F(h), nl

na qual o fator F(h) tende para um limite diferente de 0, a saber, f(n\a), à medida que h->Q.

Se a função 4>{x) for definida em todos os pontos da vizinhança de x = a, exceto, talvez, no próprio ponto x = a, e se

m em que o numerador não se anula no ponto x = a, mas o denominador possui um zero de ordem v, diremos que a função <b{x) fica infinita de ordem v no ponto x = a. No caso do numerador também possuir um zero de ordem M no ponto x = a e, além disso, se M > v, diremos que

VI] SÍMBOLOS I N D E T E R M I N A D O S 339

a função possui um zero de ordem (p - v) neste ponto, ao passo que, se M < v, a função terá um infinito de ordem (y - n).

Todas estas definições concordam com as convenções já estabelecidas (cap. I I I , § 9, pág. 194) relativamente ao comportamento das funções. A fim de precisarmos estas relações, desenvolveremos tanto o numerador como o denominador pelo teorema de Taylor, empregando a fórmula de Lagrange para o resto. A função assumirá, pois, a forma

M / ( a + f r ) v\h'jV>(a+ Bh)

em que 6 e ôi são dois números situados entre 0 e 1 e os fatores pelos quais se multiplicam fr/pl e hv/v\ não tendem para zero quando h o faz, visto eles se aproximarem dos limites (a) e g{v) (a), respectivamente, que são diferentes de zero. Se ju > v, teremos

v\ J™(a) lim <t>(a + h) = l im — h?—" M / , = 0.

A expressão 4>(x), conseqüentemente, se anula na ordem p—v. Se v > n, vemos logo que <b(a - f ò) torna-se infinita de ordem v - \x quando h - 0. Se ju = v, obtemos a equação

/ W ( a )

Podemos traduzir1 as últimas equações do modo seguinte: se o nu-

merador e o denominador de uma função <p(x) = — se anularem

ambos em x = a, é possível determinar-se o limite quando x -* a, derivando o numerador e o denominador igual número de vezes até que uma, ao menos, das derivadas seja diferente de zero. Se ta l suceder simultaneamente, tanto para o numerador como para o denominador, o limite procurado é igual ao quociente das duas derivadas. Se obtivermos uma derivada diferente de zero no denominador, antes que no numerador, a fração tende para zero. Se acharmos uma derivada diferente de zero no numerador, antes que no denominador, o valor absoluto da fração ultrapassa qualquer limite, tendendo para o infinito.

Obtivemos, assim, uma regra para avaliar os denominados símbolos indeterminados 0/0, assunto desenvolvido com extensão exagerada em muitos compêndios de cálculo diferencial e integral. N a realidade, trata-se unicamente de determinar o valor-limiíc de um quociente em que tanto o numerador como o denominador tendem para zero. A expressão "símbolo indeterminado", usualmente empregada, é confusa e vaga.

Podemos atingir os resultados estabelecidos, seguindo raciocínio diferente, baseando a demonstração no teorema generalizado do valor médio ( 1 > , em vez de no teorema de Taylor. Teremos, pois, se g'(x) 4= 0,

f(a + h) -f(g) f^a+õK)_

g(a + h) -g(a) ~ g'(a+ eh)'

onde 6 ê o mesmo, tanto no numerador como no denominador. Logo, em particular, quando f(a) = 0 = g(a),

f(a+h) _f'(a+ ôh)

g{a + h) ~ g'(a+ eh)'

Neste caso, 6 é um valor contido no intervalo 0 < 6 < 1, e se fizermos k = 9h, virá

/ ( a - M ) f'(a+k) hm — — — 7 = hm — — — A - O g(a 4- li) h-o g (a + k)

supondo-se que o limite da direita exista. Se

f(a) = 0 = g'(a),

podemos operar da mesma forma, até chegarmos a um índice para o qual não se verifique mais / w (a) = 0 = g^(a). Então,

f(a+h) v + 0 hm — — — 7 7 = hm , w 7-7-, A-o g(a -f- h) 2_o g^(a + 0

em que também incluímos o caso em que ambos os membros têm l i mite infinito.

C1) Este método para estabelecer a regra apresenta a vantagem de não recorrer, de modo algum. h. existência da derivada no próprio ponto x = a. Além disso, êle inclui o easo em que <A(z) é definida somente para x è a, de sorte que a passagem ao limite a: - r * a ou /i ~> 0 se faz, apenas, de um lado.

VI] SÍMBOLOS I N D E T E R M I N A D O S 341

C o m o exemplos consideremos

sen x 1 - cos x c 2 x - 1 x 2 t g x

x q u a n d o x -> 0. T e r e m o s

' l o g ( l + x) ' V l - ^

sen x cos 0 1 - cos x sen 0 l i m = = 1; h m = = 0;

z — o x 1 a — o x 1

l i m = l i m x-> o log (1 + a:) i -* o 1/(1 + x)

x'2 tg x 2x t g x 4- x 2 / cos - x ' : l j m x - O V 1 ~ X 2 - 1 ar-» 0 ~ XN 1 - Xs

= - l i m ( 2 t g x 4 — ) V l - x- = 0.

i-> o \ cos 2 i 7

M a i s a d i a n t e veremos que outras expressões comumente chamadas indeterminadas p o d e m também ser reduz idas ao caso que estudamos. P o r exemplo, o

1 1

l i m i t e de quando x -* 0, sendo a diferença de duas expressões que se t o r -sen x x

n a m ambas i n f i n i t a s , é u m a " f o r m a i n d e t e r m i n a d a " d e » — co. E n t r e t a n t o , fazendo-se a transformação

1 _ 1 x — sen x sen x x x sen x

chegamos logo a u m a expressão cujo l i m i t e , quando x -» 0, é determinado pe la regra já conhec ida , a saber

1 — cos x sen x l u n = l i m — = G.

t - t o i cos x 4- sen x x -* o 2 cos x — x sen x

E X E M P L O S

Estabe lecer os l imites dos exemplos 1 a 12:

x n - a n / 2 1 \ 1. l i m - . 7. l i m ( - — — ) .

x-*a X-a V l 2 - 1 1 - 1 / x - senx / 1 1 *\

2. h m . 8. l i m ( ) . x->0 x 3 x - » o V s e n 2 x x-y

24 - 12x= 4- xi - 24 cos x 3. h m . 9. l i m x l v a x .

x - » 0 ( s e n x ) 6 x - , 0

4. l i m 1_. 10. l i m (1 4 - x ) 1 ' * . « - » 0 s e n x x -> o

are sen x e 2 x - 1 5. h m .. 11 . l i m

x -» o x x -» o l og (1 4- a;) , r t g 5 x x t f f x 6. h m , 12. h m

x-y TT/2 t g X x — 0 v 1 - X2 - 1

13. D e m o n s t r a r que y = ( r 5 ) x , y(0) = 1 é contínua no ponto x = 0,


M É T O D O S N U M É R I C O S C.i

OBSERVAÇÕES P R E L I M I N A R E S

Todo aquele que deva ut i l i zar a análise como instrumento para investigação de fenômenos físicos e técnicos se defronta com a seguinte questão: — se, e de que modo, a teoria se adapta, a f i m de que dela resultem métodos práticos e usuais p a r a a resolução dos cálculos numéricos efetivos. M e s m o do ponto de v i s t a do teorista, que queira, apenas, estabelecer as relações existentes entre os fenômenos naturais, não se interessando, propriamente, pelos seus detalhes, esta questão é da maior importância. P a r a o estudo sistemático dos métodos numéricos, há compêndios especializados, aos quais remetemos o leitor A q u i nos hmitaremos a discutir alguns pontos de part i cu lar interesse, os quais estão mais ou menos relacionados int imamente com as idéias precedentes. Chamamos especialmente a atenção p a r a o fato fundamental de que a significação de u m cálculo aprox imado não é precisa, a menos que seja seguida d a avaliação dos erros ocorrentes, isto ê, a menos que seja acompanhada do conhecimento do grau de exatidão atingido.

1. INTEGRAÇÃO N U M É R I C A

Vimos que mesmo funções re lat ivamente simples não podem ser integradas em funções elementares, e que seria de todo fútil querer fazer com que esta meta inatingível constituísse a finalidade do cálculo integral. Por outro lado, a integral def inida das funções contínuas existe, e esta existência c r ia o problema da determinação dos métodos convenientes p a r a calculá-las numericamente. Discutiremos somente

C1) Whittaker e Robinson, The Cakulus oj Observalions (Blackie a n d Som, L t d . , 1929).

342

C A P . V I I ] I N T E G R A Ç Ã O N U M É R I C A 343

os mais simples e lógicos dos métodos, com o auxílio da intuição geométrica, e consideraremos, depois, a avaliação dos erros.

Nosso objetivo ê, portanto, calcular a integral I = f(x) dx, onde

a ê menor do que b. Imaginemos o intervalo de integração d i v i d i do em n partes iguais, de comprimento h = (b - a)fn, e designemos os pontos de subdivisão por xo = a, x\ = a -f- h, . . . , xn = 6; sejam f0, fu • • •, fn, os valores da função nos pontos de divisão, e semelhantemente, / i / 2 , / 3 / 2 , ..., f{2n-i)i2s os seus valores nos pontos médios dos subintervalos. Interpretemos a integral como u m a área, e cortemos a região sob a curva em faixas de largura h, de maneira usual . Devemos, então, obter u m a avaliação aproximada para cada u m a das faixas da área assim subdividida, ou seja, das integrais

1. R e g r a do re tângu lo .

O método mais simples e menos preciso para se calcular I de uma maneira aproximada, está diretamente relacionado com a definição de integral . Substitui-se a área da faixa Iv pelo retângulo de área fji, obtendo-se a expressão aproximada ( 1 )

2. Fórmulas do trapézio e da tangente.

Obteremos a aproximação mais elevada, sem maior trabalho, se substituirmos a área da faixa / „ , não pela área retangular mencionada, mas pelo trapézio de superfície Y2 (/„ +JV-+1) h, indicado na f igura 1. Teremos, então, para toda a integral, a expressão aproximada

(fórmula trapezoidal), visto que, quando se somam as áreas dos trapézios, cada valor da função, exceto o primeiro e o último, são considerados duas vezes.

. 1 « fcí/o+/i+ . . .

I ~ h (A +/2 + . . . +/ n-i) + ~(fo +fn)

C1) O sinal = significa: "6 aproximadamente igua a " .

344 .MÉTODOS NUMÉRICOS [ C A P .

Via de regra, a aproximação torna-se ainda mais precisa se, em-lugar de escolhermos o trapézio sob a corda AB como aproximação da área / , tomarmos o trapézio sob a tangente à curva no ponto da abscissa x = s, + hJ2. A área deste trapézio é hfv+y3, vindo para toda a integral o valor aproximado

I ~ h (/i/3 4/ fs/, + . . . + / l 2 n - l > / 2 ) »

que é denominado fórmula da tangenle.

Fig. 1. — Fórmula trapezoidal

3. Regra de Simpson.

Pela regra de Simpson chegamos, com pouco mais trabalho, a resultados numéricos geralmente muito mais exatos. Esta regra consiste em calcular a área Iv 4- J , + 1 da dupla faixa situada entre as abscissas x = xv e x = x„ + 2h = xp+2, considerando o limite superior, não mais uma linha reta, como nos métodos anteriores, mas sim como uma parábola. Para fixar idéias, diremos que a referida parábola passa pelos três pontos da curva com abscissas xv, xv+1 = xv 4- ht e xv+2 = x,+2h (fig. 2). A equação desta parábola é

y ~ / » + (x - xf) fv + l ~ fv

(a - x„) (x-xv~ h) y , + 3 - 2fv+1 + /.

2 ' } f ~ ~ ~ -

VIT] I N T E G R A Ç Ã O N U M É R I C A

(O leitor pode verificar por substituição direta que, paira os três valores de x em questão, esta equação fornece os valores correspondentes de y, a saber, / „ / „ + i , e / „ + 2 , respectivamente). Integrando-se este polinómio do segundo grau entre os l imites + 2h, obteremos, após simples transformações, a seguinte expressão para a área sob a parábola:' •

X „ + 2/Í ydx = 2hfw + 2h{f,+i-f,) +

h

(L+z-V.+i+L)

F i g . 2. — Regra de Simpson

E s t a fórmula representa a aproximação requerida para a área da faixa

Se admitirmos que n = 2m, isto é, que n. é um número par, obteremos a regra de Simpson, pela soma das áreas das faixas consideradas:

4h -í ~ - 3 ( / 1 + / 3 + - •• + / t a - i )

2h h + j (/a + / * + . . . + hm-2) + 3 (/o + /2m).

346 MÉTODOS NUMÉRICOS [ C A P .

4. Exemplos.

Apliquemos os métodos expostos ao cálculo de log 2 = / —. Dividindo-se o g 2 -J 1 x

o intervalo compreendido entre 1 e 2 em dez partes iguais, h será igual a 1/10, e, pela fórmula dos trapézios, obtemos

Xi = 1,1 = 0,909 09 X2 1,2 h 0,833 33 x3 1,3 0,769 23 Xi = 1,4 S* 0,714 29 Xõ == 1,5 /« — 0,666 67 Xc = 1,6 /• 0,625 00 X7 = 1,7 Sr 0,588 24 Xs = 1,8 Ss 0,555 56 Xt = 1,9 / a 0,526 32

Soma = 6,187 73 ato - 1,0 > á / 0 = 0,5

no = 2,0 M / i o = 0,25

6,937 73 X V »

Ioga 2 = 0,693 77

Este valor, como era de prever, é grande demais, visto a curva ter o seu lado convexo voltado para o lado dos x.

A regra da tangente dá os valores

r 0 + Y2h = 1,05 Si/2 = 0,952 38 xi + y&t- 1,15 SV2 = 0,869 57 x 2 + y2h = 1,25 S*r- = 0,800 00 xz + Y2h = 1,35 jV/2 = 0,740 74 X4 4- V2h = 1,45 jfo/2 = 0,689 66 zs •+• y2h = 1,55 / l l / 2 = 0,645 16 Xe + lAh = 1,65 /l3/2 = 0,606 06 a , + y2h = 1,75 / i s ; 2 = 0,571 43 3s 4- yji = 1,85 SIV 2 = 0,540 54 a» + Hft - 1,95 /l0/2 = 0,512 C2

6,928 36 X 'A

loge 2 = 0,692 84

Devido à convexidade da curva, este valor é pequeno demais.

V I I ] I N T E G R A Ç Ã O N U M É R I C A 347

Para as mesmas subdivisões, obtemos resultado mais exato com o emprego da regra de Simpson. Teremos, neste caso,

X l = 1,1 / j « 0,909 09 xz = 1,3 f3 = 0,769 23 X s = 1,5 / 5 = 0,666 67 X l = 1,7 / , » 0,588 24 x9 - 1,9 / 9 = 0,526 32

Soma 3,459 55 X 4 13,838 20

Na realidade,

5. Avaliação do erro.

X2 = 1,2 £4 = 1,4 Xa — 1,6 £ 8 - 1,8

Soma

Xo = 1,0 zio = 2,0

/ 2 = 0,833 33 ft = 0,714 29 /• = 0,625 00 fa = 0,555 56

2,728 18 X 2 5,456 36

13,838 20

/ o = 1,0 fio = 0,5

20,794 56 X V ,

log, 2 = 0,693 15

log. 2 - 0,693 147...

Quando as derivadas d a função f(x) forem conhecidas em todo o intervalo de integração, ê fácil ca lcu lar , aproximadamente , o erro comet ido com o emprego dos métodos de integração propostos. Tomemos Mi, M2, •.. como l imites superiores do va lor absoluto das derivadas de pr imeira , segunda, . . . ordens, respect ivamente ; isto é, suponhamos que, em todo o interva lo , | / w (x) | < M „ . A s fórmulas p a r a avaliação dos erros são, então, as seguintes:

P a r a a regra do retângulo:

I Iv-hfv\ < - M x h 2 ou

P a r a a regra d a tangente:

I h ~ hfP+y3 I < — h? o u

P a r a a regra do trapézio: h

n-l A S / ,

v = 0 <-Mmh2 = 2 M i (b-d)h.

n-l J M2

I-h-E f,+ H <irr(b-a)h\ 24

M 2

P a r a a regra de S impson :

h M 4

348 M E T O D O S N U M É R I C O S [ C A P .

Das duas ultimas fórmulas deduzimos também expressões para a avaliação de toda a integral I. Vemos que a regra de Simpson apresenta u m erro de ordem muito mais elevada do que o cometido com o emprego dos outros métodos, n a avaliação da integral . Quando A f 4 não for demasiado grande, esta regra é mui to vantajosa para os cálculos práticos. P a r a não fatigar o leitor com os pormenores das demonstrações dessas estimativas, que, aliás, são extremamente simples, apresentaremos somente a demonstração da fórmula da tangente. P a r a ta l , desenvolveremos a função f(x), na faixa de ordem (v - f 1), pelo teorema de Tay lor :

onde £ ê um determinado valor intermediário n a faixa. Se integrarmos o segundo membro no intervalo - j - h, a integral do termo intermediário será zero. Logo ,

como pode ser verificado com facilidade, seguindo-se imediatamente que

(x - *.-l)r(x, + ~) + \(x - xv -£)

ficando assim demonstrada a nossa asserção.

E X E M P L O S

ir r i 1 1. Calcular x empregando a fórmula — = / dx,

'4 J o 1 -f- x2

(a) usando a fórmula dos trapézios com h = 0,1;

(ò) usando a regra de Simpson com h — 0,1.

00 2. Calcular e~x2ãx com erro inferior a 1/100 (ver pág. 496).

3. Calcular 1 1 o V l -t-x*

-, numericamente, com erro inferior a 0,1.

VII] CÁLCULO D O S E R R O S 349

2. APLICAÇÕES DOS TEOREMAS DO VALOR MÉDIO E DE TÁTLOX. C Á L C U L O DOS ERROS.

1. " C á l c u l o dos e r r o s ' ' .

As aplicações do teorema do valor médio, ou , mais geralmente, do teorema de T a y l o r , com resto, ou finalmente, da série in f in i ta de Taylor, apresentam-nos cálculos numéricos de tipo completamente diferente. Como aplicação, embora simples, porém, de grande importância na prática, estudaremos o cálculo ou a avaliação dos erros. Esta operação é baseada n a idéia — fundamental do cálculo diferencial — de que u m a função f{x) que ê derivada u m número suficiente de vezes pode ser representada, n a vizinhança de u m ponto, por urna função linear, com erro de ordem menor do que a pr imeira ; por urna função quadrática, com erro de ordem inferior à segunda, e assim sucessivamente. Consideremos a aproximação linear da função y=/(íc). Se y -+- Ay = f(x - j - Ax) — f(x + h), teremos, pelo teorema de Taylor,

h2

ày = hf (*) + -/"(£>,

onde £ = x + dh (0 < d < 1) ê u m valor intermediário, que neto precisa ser conhecido com mais exatidão. Quando h — Ax for suficientemente pequeno obteremos, como aproximação prática,

Ay^hf'(x).

E m outras palavras, substituímos o quociente das diferenças pela derivada que lhe é praticamente igual , e o acréscimo sofrido por y pela equação linear em h, aproximadamente igual.

Efetuamos esta transformação, evidente por s i me^nia, com propósitos práticos, como veremos a seguir. Suponhamos duas quantidades físicas x e y ligadas pela relação y — f(x). O problema que se apresenta consiste em saber qual o efeito que uma imprecisão na medida de x acarreta sobre a determinação de y. Como, em lugar do "verdadeiro" valor de x, empregamos o valor impreciso x -f- h, o valor de y dií3rirá do seu verdadeiro valor, y = f(x), da quantidade Ay = f(x + h) -f(x). O erro é, portanto, dado, aproximadamente, pela relação acima.

350 MÉTODOS NUMÉRICOS C A P .

AJguas exemplos permitirão u m melhor entendimento destas relações.

Ex. 1. Gahanômetro tangencial. N a determinação d a corrente por meio do galvanômetro tangencial usamos a fórmula y = c t g a, onde a ê o ângulo de deflexão da agulha magnética, c a constante do aparelho, e y =• J a intensidade ds corrente. Temos

dy _ c da cos 2 a

e e portanto, A y = A a . O erro percentual cometido n a m e d i d a é dado por

cos 2 a

lOOAy lOOcAa 200 = • = A a .

y c cos 2 a t g a sen 2 a

Vemos, assim, que a precisão alcança seu va lor máximo, isto é, para u m dado erro na le i tura do ângulo, corresponde o menor erro possível n a determinação da corrente, quando a = J T / 4 ou 45°.

Fig. 3

E m part icular , suponhamos que seja possível efetuar a le i tura da graduação do galvanômetro tangencial a menos de meio grau ; então | A a | e m radianos < J 4 X

X 0,017 45..., sendo o erro percentual — . Se a l e i t u r a fôr 30°, sen 2 « = ]4, V 3 = sen 2a

1,745 = M X 1,732 05... , e o erro percentual será menor do q u e 2 X — , que dá, anro -

1,732 * ximadamente, 2 % .

Ex. 2. Suponhamos que os lados b e c do triângulo ABC (fig. 3) f o ram medidos precisamente, ao passo que o ângulo a = x é determinado com u m erro ( Ax { < ô.

E n t r e que l imites de erros ficará o v a l o r y — a = V&2 - f c 2 - 26c cos « ? Temos

1 A a ~ -bc sen a Aa;

a

x , , , lOOAo lOOòe o erro percentual e, p o r t a n t o , = sen aAa. Se , p a r a concretizar, t omar -

VII] CÁLCULO DOS ERROS 35]

mos um caso que em 6 = 400 metros, c « 500 metros, e a = 60 °, empregando 8 fórmula do co-seno, determinaremos y = a = 458,257 6 metros, e

200 000 1 à a = x - V 3 Aa.

458,257 6 2 Se pudermos medir Aa com erro inferior a dez segundos de arco, isto é, se

A« = 10" = 484 8 X 10" 8 radianos, acharemos, na pior das hipóteses, que

Aa ~ 1,83 cm, dando um erro percentual de, aproximadamente, 0,004.

Ex. 3. Este exemplo ilustra u m tipo de aplicação dos métodos expostos que, muitas vezes, evita consideráveis embaraços em problemas de física.

E sabido pela experiência que se uma barra de ferro tem o comprimento lo à temperatura 0, o seu comprimento à temperatura t será l = l0(l + a í ) , onde a depende somente do material da barra. Vejamos, agora, quantos segundos um relógio de pêndulo atrasará por d ia , se, dando a hora certa à temperatura U, a mesma subir para í 2 .

O período de oscilação ê dado pela fórmula dT jr_

Logo, se a mudança de comprimento for AÍ, a alteração correspondente no período da oscilação será

AT ~ - 7 f = ,

onde li = ío(l + ah) e Al = aZo(Í2 - U). Es te é o tempo perdido em cada oscilação. N u m segundo, o atraso será A T / T = AZ/2íi; logo, em u m dia, o relógio atrasará 43 200AZ/ÍI segundos.

A. aplicação dos métodos expostos evitou, neste caso, diversas multiplicações e a extração de duas raízes quadradas. N o processo direto, mais longo, teríamos, além disso, que subtrair T(li) de T(h), cujos valores são quase iguais, e um pequeno erro de cálculo acarretaria u m erro percentual relativamente grande, no resultado (>).

Tanto neste como em outros casos em que a função considerada tem vários fatores ou expoentes fracionários, podemos reduzir ainda mais as operações, tomando o logaritmo de ambos os membros, antes da derivação. N o exemplo em foco, teríamos

1 1 log T = log 2TT - - log g - f - log k

T(l) - 2* j/X donde'

e, derivando, v i r i a : dT I 1 — T = ~. dl 21

(*) Este o motivo de serem os cAlculos de óptica aplicada tSo laboriosoi.

352 M É T O D O S ' N U M É R I C O S [CAP.

dT AT Subst i tuindo-se —— por — - teremos

dl Al â.T _ Al

em concordância c o m o resultado precedente.

2. Cálculo de 7r0

A série de Gregório obtida no capítulo V I , § 1 (página 319), r 1 1 1 7 = 1 - - - { - - - - - { - - por intermédio da série da função inversa 4 o o í

da tangente, não é adequada para o cálculo de r, devido à lentidão da sua convergência. Podemos, porém, calcular ir com relativa facilidade, mediante o seguinte artifício. Partindo do teorema da adição das tangentes, temos

tga-f-tg-jS * < " + . » - r n ^

e, se mudarmos para as funções inversas a = are tg a, (3 = are tg v, obteremos a fórmula

are tg ii -f- are tg v = are tg \ 1 - uvy

u 4- V TT

Escolliendo-se u e v de sorte que- = 1, obteremos o valor de -1 - uv 4

no segundo membro e, se u e v forem números pequenos, será possível calcular facilmente o primeiro membro, por meio de séries conhecidas.

1 1 Façamos, por exemplo, u = ->!)= -> como fez Euler; virá, então.

v 1 1 - = are tg - 4- are tg -•

/í r\ r i \ i Notando-se, também, cruel - -f- - í -f-1 1 — — 1 = teremos

1 1 I are tg - = are tg - 4- are tg de sorte que

r 1 1 - = 2 a r c t g - 4 - a r c t g - -

Empregando esta fórmula, Vega calculou o número w com 140 decimais. (!) Também chamada série de LeibnUz.

VII] CÁLCULO D O S L O G A R I T M O S 353

A equaçãoQ + ~ Ç\ = n o s proporciona 1 1 1

are tg - = are tg - - f are tg -ou

T i l 1 - = 2 a r c t g g + a r c t g - + 2 a r c t g - -

T a l desenvolvimento é extremamente útil para o cálculo de r por meio x3 x5

da série are tg a; = x - — -f- — - Substituindo-se £ pelos valores o O

1 1 1 , -> - ou -> obteremos, com um número reduzido de termos, u m alto o l o grau de precisão, visto que os termos diminuem rapidamente. Pode mos, contudo, efetuar o cálculo ainda mais convenientemente se o b a searmos na fórmula

ir 120 1 1 1

4 = a r c t g Í Í 9 " 8 1 0 t g 2^9 = 4 a r C t g 5 - ^ 2 3 ?

obtida por considerações semelhantes às anteriores.

3. Cálculo dos l o g a r i t m o s .

P a r a o cálculo numérico dos logaritmos transforma-se a série loga-1 1 + X £3 £5

rítmica - log = x + — + — + • • - (I x \ < 1), onde 0 < x < 1, t X o D

substituindo l + x p2 1

r> x = l-x p 2 - l * 2 p 2 - l nas séries

1 1 1 l o g p = - l o g (p - 1) + - l o g (p + 1) + 2 i ? 2 _ 1

1 + 3 (2p2 - l ) 3 +

em que 2p 2 — 1 > 1, ou seja, p2 > 1. Se p for u m inteiro e se p + 1 puder ser decomposto em fatores menores, esta última série exprime o logaritmo de p em função do logaritmo de outros inteiros menores

354 MÉTODOS NUMÉRICOS [GAP

e de uma série cujos termos diminuem rapidamente e cuja soma pode. portanto, ser calculada com precisão suficiente, empregando-se apenas algumas parcelas. Estas séries permitem, pois, calcular sucessivamente os logaritmos de qualquer número primo e, por conseguinte, os de qualquer número, uma vez que já calculamos o valor do log 2. -

A precisão com que é calculado o log p pode ser avaliada mais facilmente por meio da série geométrica do que pela fórmula geral do resto. 0 resto Rn da série, isto é, a soma de todos os termos que seguem

1 n(2p2 - 1)"' é e x p r e s s o p o r

1 f 1 1 \ R n < (n + 2) (2p2 - 1 ) " + 2 V + (2p2 - l ) 2 + (2p2 - l ) 4 + • "J

1 1 (n + 2) (2p2 - 1)" (2p2 - l ) 2 - 1

e esta fórmula nos dá imediatamente a estimativa procurada para o erro.

Calculemos, por exemplo, log» 7, usando os primeiros quatro termos da série. Teremos

j> = 7, 2p*-l = 97,

1 1 1 log 7 = 2 log 2 -f- - log 3 H 1 h . .

2 6 97 3,97 3 ' *

1 1 — = 0,010 309 28, = 0,000 000 37, 97 3,97 3

2 log 2 = 1,386 294 36, - log 3 = 0,549 306 14;

logo logo 7 = 1,915 91015 .

A estimativa do erro dá

1 1 1 tf* < r - r ^ : X — < 5,97 3 9 7 2 - l 36 X IO 9

Devemos, entretanto, notar que cada u m a das quatro parcelas que empregamos é dada com erro inferior a 5 X 10" 9 , de modo que a última casa do valor do log, 7 que calculamos acima poderá apresentar, no máximo, u m erro de 2 unidades. EfetivAmente, porém, a última casa também está certa.

V I I ] C Á L C U L O D O S L O G A R I T M O S 355

E X E M P L O S

1. Para medir-se a altura de uma colina, observou-se, da planície, uma torre de 100 metros de altura, situada no topo da mesma. O ângulo de elevação da base da torre é de 42° e a própria torre subtende um ângulo de 6 o . Quais os limites do erro cometido na determinação da altura da colina, se a leitura do ângulo de 4 2 ° está sujeita a um erro de I o ?

2. Calcular log e 2 com três decimais, por meio de um desenvolvimento em série. 3. Calcular log0 5 com cinco decimais, usando os valores de log 8 2 e log* 3

dados no texto. 4. Calcular ir com cinco decimais exatas, usando qualquer das fórmulas da

subseção 2 (págs. 352, 353).

3. RESOLUÇÃO N U M É R I C A D E E Q U A Ç Õ E S

P a r a conc luir , acrescentaremos a lgumas observações sobre a r e s o lução numérica da equação f(x) = 0, o n d e / ( x ) não é, necessar iamente , u m polinómio Qualquer método numérico des ta espécie t e m s e n ponto de p a r t i d a n u m a aproximação conhec ida , X Q , de u m a das raízes e depois m e l h o r a cada vez mais esta aproximação. C o m o f o i d e t e r m i n a d a esta p r i m e i r a aproximação p a r a a r a i z e m apreço, e o g r a u d e aproximação da mesma, não interessa especialmente . E s t e p r i m e i r o dado pode ser obt ido grosseiramente, o u m e l h o r , pode ser m e d i d o n o gráfico d a função y = f(x), cu ja interseção c o m o eixo dos x dá a r a i z p ro curada (naturalmente , com u m erro que depende da escala e d a precisão do desenho).

1. M é t o d o d e N e w t o n .

O processo que vamos expor, cr iado p o r N e w t o n , ê baseado n o princípio fundamenta l do cálculo di ferencial — a substituição d a c u r v a por u m a re ta , a tangente, n a vizinhança i m e d i a t a do p o n t o de c o n tato . Se t ivermos u m v a l o r aprox imado x0 p a r a u m a das raízes d a equação f{x) = 0, consideraremos o ponto sobre o gráfico d a f u n ç ã o y = f(x), cujas coordenadas são x = XQ, y = f(xo)» Q u e r e m o s d e t e r m i nar a interseção da c u r v a com o eixo dos x; como aproximação des te valor , acharemos o lugar em que a tangente, no p o n t o x = x0i y = / ( x 0 ) ,

C1) A q u i , naturalmente, nos ocupamos somente com a determinação das raízes reais d c j ( x ) = 0.

356 MÉTODOS NUMÉRICOS [ C A P .

corta o eixo dos x. A abscissa x\ da interseção da tangente com o eixo dos x representará nora, e sob certas circunstâncias, melhor aproximação do que XQ, para a raiz procurada.

Em virtude do significado geométrico da derivada, a figura 4 dá imediatamente

í ( X o ) f, ^

Desta obtemos a fórmula para o cálculo da nova aproximação x\

Fig. 4. — Método das aproximações de Newton

XL = X 0 -

Se, por este processo, acharmos uma aproximação melhor do que Xo, repeti-lo-emos para determinar x% e, assim, sucessivamente. Se a curva tiver a forma indicada na figura 5 , estas aproximações tendem, cada vez mais, para a solução exata.

1

) / 1

/ 6 /

\ y

/ ~X0 ^ ^ y ^

Fig. 5

A utilidade deste processo depende, essencialmente, da natureza da curva y <*= f(x). N a figura 4 vemos que as avaliações sucessivas convergem, com precisão cada vez maior, para a raiz procurada. Isto se deve ao fato da curva ter a sua convexidade voltada para o eixo dos x. Vemos, porém, na figura 5, que se o valor original de Xo for escolhido de maneira inadequada, a construção não conduzirá, em absoluto, à raiz que procuramos. Concluímos, daí, que o emprego do método de Newton exige o exame de cada caso individual, para ser

VII ] RESOLUÇÃO N U M É R I C A D E EQUAÇÕES •35-7

determinado o grau de precisão com que se resolveu, realmente, a equação. Voltaremos a este assunto na página 359.

2. R e g r a de f a l s a posição.

0 método de Newton, no qual a tangente à curva desempenha papel decisivo, não é mais do que o caso l imite de u m método mais antigo, conhecido como a regra de falsa posição, no qual se emprega a secante em lugar da tangente. Suponhamos conhecidos os dois pontos {x0, y 0 ) t / 1

e (xi, y i ) , na vizinhança da interseção procurada, com o eixo dos x. Se substituirmos a curva pela secante que liga os dois pontos, a interseção desta l inha com o eixo dos x será, sob certas circunstâncias, uma aproximação satisfatória da raiz que procuramos. Designando-se por £ a abscissa deste ponto, teremos F;s. e,. ~ Regra de ruisa posição

a equação

* ~ x° £ ~ X l

f(xQ) f(xL) '

donde se Lira o valor de £:

*~ Rxú-Kxo)

0 U * X° UM-KxoMxi-xà

E s t a fórmula, que estabelece a aproximação £ a partir de x0 e de xx, é denominada regra de falsa posição. Podemos empregá-la, vantajosamente, quando u m valor da função é positivo e o outro negativo, como, por exemplo, na fig. 6, em que y 0 > 0 e yx < 0. A repetição do processo conduzirá sempre ao resultado procurado, se, em cada passo, empregarmos u m valor positivo e outro negativo da função, entre os cpiais fica situada, necessariamente, a raiz que buscamos.

358 M É T O D O S N U M É R I C O S [CAP.

À regra de N e w t o n , como já dissemos, decorre da regra de falsa posição, como caso-limite, quando x± tende para x0, visto o denominador do segundo termo do segundo membro tender p a r a / ' ^ ) , quando

3. Método de i teração.

Outro meio de que dispomos para calcular, aproximadamente, as raízes da equação f(x) = 0, é o método de iteração. Façamos 4>(x) — = Ã%) + x e escrevamos a equação original sob a forma x = <j>(x). Suponhamos, então, que £ é o verdadeiro valor da solução procurada, e XQ uma primeira aproximação. Obteremos u m a segunda aproximação xi, fazendo xi = 4>(xo), u m a terceira x2 escrevendo x2 = <P(ZI), etc. A f im de investigar a convergência destas diversas aproximações, apl i caremos o teorema do valor médio. Recordando que | = $(|), teremos

I - xx = <KI) - <f>(x0) = (I - aro) 4>'(l)

onde | fica entre | e x0. Isto mostra que, se para

| | - x \ < | | - Xo j

a derivada <£'(.r) for menor, em valor absoluto, do que k < 1, as aproximações sucessivas convergirão, visto

I í - X ! I < fe I £ - ZO I, l l - *2 ! < fe2 ! I - * 0 I, • -I I - z n |< kn I I - Xo I,

e os erros, portanto, tendem para zero. Quanto menor for o valor absoluto da derivada <j>' (x) em relação a |, tanto mais rápida será a convergência.

Se, na vizinhança de |, <p'(x) > 1, as aproximações não tenderão mais para |. Podemos, então, usar a função inversa, ou mesmo o seguinte artifício. Estabelecemos a pr imeira aproximação XQ e calculamos A =f(x0). Escrevemos, portanto,

1

<p(x) = - jjix) + X.

A equação/(x) pode ser posta sob a forma x = (j>(x) e 4> (x)=- i-/' (z) - f 1, ./t

com o valor 0 em £ = xo e, portanto, geralmente menor, em valor absoluto, do que a constante fe<lse|£-a;|<|£ — &oI.

VII] R E S O L U Ç Ã O N U M É R I C A D E E Q U A Ç Õ E S 359

Vo l tando ao método de N e w t o n , podemos verif icar, agora, a conveniência d a sua aplicação n u m ponto qualquer. A equação f(x) = G

f(x) é equivalente a x = tb(x) = x - 777-7» desde que/ ' (x) 0. Apl icando o

J \X)

método de iteração a esta última equação, partindo-se da primeira

aproximação x0, obteremos a segunda, x± = XQ — ——-. L m outras pa -J (XQ)

lavras, o mesmo valor obtido pe la aplicação do método de N e w t o n à equação f(x) = 0. Vemos, assim, que quanto menor for o valor de

( / ' ( * ) ) 2 '

tanto mais rapidamente as aproximações sucessivas convergirão. Constatamos, poi~, que a fórmula de N e w t o n converge rapidamente para os grandes valores de f'(xQ) e p a r a os pequenos de f(x0) e d a curva tura, conforme a intuição já nos levava a suspeitar.

É possível, igualmente, obter u m a est imativa da precisão do método de N e w t o n , recordando que a derivada = 0, desde que / (£) = 0. Teremos, aplicando o teorema de T a y l o r ,

( S - X 0 ) 2 -$- xx = - cKxo) = g — *" (£) ,

sendo que | f ica situado entre % e x0. Ass im , se o erro da estimativa inicial for pequeno, o método converge mais rapidamente do que o de iteração aplicando diretamente a f(x) = 0.

Por exemplo, se U'(x)]*f"{x) +J'{x)J'x)f"{x)-2f(x)[f"(x)]*

**(*)- yT^f <«)

for menor do que 10 em qualquer ponto, u m a pr imeira aproximação, cujo erro fosse menor do que 0,001, acarretaria u m a segunda com erro inferior a (0,001) 2 X 10 2 = 0,000 005.

4. E x e m p l o s . Como exemplo, vejamos a equação

/(x) = x 3 - 2x - 5 =0. Parax 0 = 2, teremos/(xo) = - 1, ao passo que, parax t = 2,1, teremos/fo) = 0,061. O método de Newton nos dá

x _ x = 2,1 ° ' ° 6 1 = 2,1 - 0..005 431 = 2,094 569. ' j'(xi) 3 ( 2 , 1 ) » - 2

360 MÉTODOS NUMÉRICOS [ G A P .

P a r a a v a l i a r o erro d e d u z i m o s d a expressão (a) q u e <p"{x) v a l e a p r o x i m a d a mente 1 e. c o m certeza , menos do que 2, perto de x = 2. A lém disso, o erro da p r i m e i r a aprox imação é m e n o r do que 1/160, pois a secante que une os p mtos x = 2, y = - 1 e x = 2 ,1 , y = 0,061, c o r t a o e ixo dos x n u m a distância infer ior a 1/160 do p o n t o x — 2,1 e a c u r v a , que se desenvo lve a c i m a d a secante, deve cor tá-lo a i n d a m a i s p róx imo de 2 ,1 . A s s i m , o erro C) d a segunda aproximação será menor do q u e

1 2 1 _ . = < 0,000 04 . 2 (160)- 25 600

Se este g r a u de precisão a i n d a n ã o fôr su f i c i ente , podemos repet i r o processo, ca l cu lando j(x2) e j'(x2) p a r a x2 = 2,094 569, o b t e n d o a terce i ra aproximação x3

1 c o m erro m e n o r do q u e < 0,000 000 002 .

(25 600 ) 2

C o m o segundo e x e m p l o , r e s o l v a m o s a e q u a ç ã o / ( x ) = x l o g 1 0 x - 2 = 0. T e r e m o s / (3 ) = - 0,6 e / ( 4 ) = + 0,4, e m p r e g a n d o , p o r t a n t o , x3 — 3,5 como p r i m e i r a a p r o ximação. U s a n d o as tábuas de l o g a r i t m o s de dez d e c i m a i s obteremos os valores sucessivos a p r o x i m a d o s

35Q = 3,5

X l = 3.598

x3 = 3,597 284 9

xz = 3,597 285 023 5.

E X E M P L O S

1. A c h a r a r a i z p o s i t i v a de x 6 + 6x - 8 = 0, c o m 4 dec imais , usando o m é t o d o de N e w t o n .

2. D e t e r m i n a r a r a i z de x = t g x, entre ir e 2-r, c o m q u a t r o dec imais . Demonstrar que o r e s u l t a d o é exato até à q u a r t a d e c i m a l .

3. E s t a b e l e c e r o v a l o r de x p a r a o q u a l

x u3 1 da = - ,

o 1 + u 2 2 empregando o m é t o d o de N e w t o n .

4. Qua is são as raízes d a equação x = 2 sen x , c o m d u a s d e c i m a i s ? 5. D e t e r m i n a r , pelo m é t o d o de iteração, as raízes p o s i t i v a s de x 5 - x - 0,2 => 0 . 6. D e t e r m i n a r , pelo m é t o d o de iteração, a m e n o r r a i z p o s i t i v a de x 4 - 3 x 3 + 10x

- 1 0 = 0. 7. A c h a r as raízes de r 3 - 7 x 2 + 6x + 2 0 = 0, c o m q u a t r o dec imais .

( l) Outro mods de avaliar o erro, sem referência à secante, é o seguinte: se calcularmos que o erro ê menor do que 1/20, a segunda aproximação es tara separada do valor real menos de 1/202 = 0,002 5. Logo, a raiz diferirá de 2,1 por uma quantidade menor do que (2,1 - 2,094 5) + 0,002 5 = 0,008. O erro, portanto, não somente ê menor do que 1/20, mas ainda do que 0,008, de sorte que za terá erro inferior » (0,008)3 = 0,000 061.

VII] F Ó R M U L A D E S T I R L I N G 361

APÊNDICE A O C A P Í T U L O V I I

F Ó R M U L A D E S T I R L I N G

E m muitas aplicações, especialmente n a estatística e no cálculo das probabilidades, é necessário dispor-se de uma aproximação s imples de rd, como função elementar de n. T a l expressão é dada pelo seguiüte teorema, o qua l tem o nome do seu descobridor, S t i r l ing .

nl 1

Quando n~*<=° ,~ „, x, „~*i->

ou, mais exatamente,

V 2 l r r i n + J í e~n <nl< V 2 l m n + ^ e

E m outras palavras , isto quer dizer que as expressões nl e ^2irnn+ ^e~n

diferirão entre si somente por u m a pequena percentagem quando o valor de n for grande — as duas expressões são assiníòlicamente iguais, como dizemos — e ao mesmo tempo dispomos do fator 1 -f- l / 4 n que dá uma est imat iva do grau de precisão da aproximação.

Chegamos a esta fórmula notável ao procurarmos avaliar a área compreendida pela curva y = log x. Por integração (pág. 220), achamos que An, a área exata compreendida pela curva , entre as ordenadas x 1 e x = n, é dada por

log x dx — x log x - x í

= n l o g n - n + 1.

Se, entretanto, avaliarmos esta mesma área pela regra dos trapézios, levantando as ordenadas em x = 1, x = 2, . . . , x = n, como ind ica a f igura 7, obteremos Tn, u m valor aproximado da área:

1

r„ = log 2 + log 3 + . . . + log (ra - 1) + - fog/i

1 = log nl - ~ log n.

Admit indo-se a hipótese plausível de que An e Tn sejam da mesma ordem de grandeza, achamos logo que nl e n r a + J Í e~n são também da mesma ordem de grandeza, o que const itui a parte essencial do enunciado da fórmula de St i r l ing .

362 M É T O D O S N U M É R I C O S [ C A P .

P a r a tornar o argumento mais exato, mostraremos que a diferença an = An - Tn é l imitada , do que se deduz, imediatamente, que Tn =>

— Anyi - — J é da mesma ordem de grandeza que An.

F i g . 7

A diferença a.k+i - a& representa a diferença entre as áreas sob a curva e sob a secante, respectivamente, na faixa kSxSk + l. Como a curva

apresenta sua concavidade vo l tada para ba i xo, estando s i tuada, pois, acima da secante, fffe+i - a-k é pos i t iva e an = (an - a„_0 + -f- ( a n _ i - an-2) + • • • + (a 2 - a x ) - f a x é monótona crescente. Além disso, a diferença afe_i - Ofe é claramente menor do que a diferença entre as áreas l imitadas pela tan -

logo, temos a desigualdade

ük+i ~ak<\o

gente em i = fe - f - e pela secante (fig. 8);

l og fe - - l og ( fe + l )

^ o g ( l + i ) ^ l , T [ l + 2 - ^ n j }

VII ] FÓRMULA D E S T I R L I N G 363

Somando-se estas desigualdades para k = l, 2, ..., n - 1, todos os termos da direita, exceto dois, serão cancelados, vindo então (uma vez que a i = 0),

1 3 1 ^ 1 \ 1 3 a " < 2 l 0 g 2 ~ 2 l 0 S V 1 + ^ < 2 l 0 g 2 '

Logo an é l imitada, e sendo monótona crescente, tenderá para o l imite a , quando n->°°. A desigualdade para a-k+i - au fornece, pois,

a - an = f e 2 j<z f e + i - ak) < -log ^ 1 + —

Tendo sido estabelecido, por definição, que A n - Tn — an, teremos

log ri ! = 1 - aH + + ^)L0S n - n,

ou, escrevendo an — el~a\

n\ — annn+V2e~n.

A seqüência an é monótona decrescente, tendendo para o l imite a = e 1 _ a ; daí virá:

1 < — = 6 F L — < e <°e(l+l/2n) = 1 / 1 + ± < 1 + -L a V 2n 4n

Logo, podemos escrever

ann+^e~n< n\< ann+^e~nÇl + Resta, somente, acharmos o valor efetivo do l imite a. Empregare

mos, para t a l f im , a fórmula deduzida no Cap . I V , § 4 (pág. 255): (n) i 2 2 2 "

V V = l i m (2n )Wn

Substituindo n\ por annn+y> e"n e (2n)l por a2n22n+Xn2n+y*e~Zn, obteremos

2 2 VTT = h m ,- =

donde a = V 2 r . F i c a , assim, completamente demonstrada a fórmula de St i r l ing .

364 MÉTODOS NUMÉRICOS [CAP. V I I

Além do seu interesse teórico, a fórmula de Stirling é muito empregada no cálculo de n!, quando n é grande. E m vez de efetuar um grande número de multiplicações de inteiros, basta calcular a fórmula de Stirling por meio dos logaritmos, o que reduz consideravelmente o número de operações. Assim, para n = 10, obtém-se o valor 3 598 696 pela fórmula de Stirl ing (empregando logaritmos com sete decimais), ao passo que o valor exato de 10! é 3 628 800. O erro cometido é, pois, apenas de 5/6 por cento.

EXEMPLO

1 Demonstrar que lim : = —.

n 9


S É R I E S I N F I N I T A S E O U T R O S P R O C E S S O S - L I M I T E S

OBSERVAÇÕES P R E L I M I N A R E S

A s séries geométricas, a série de T a y l o r e numerosos exemplos especiais que já encontramos neste l i v r o , ind i cam a conveniência de estudarmos estes processos-limites, que denominaremos soma das séries infinitas sob u m ponto de v i s ta mais geral. P o r sua natureza, qualquer valor- l imite

S = l i m sn

n—»a>

pode ser escrito sob a forma de u m a série in f in i ta . Atribuindo-se £ n os valores 1 , 2 , 3 , . . . , basta fazer-se aa = sn - sn-i para n > 1 e ai — S\ a f im de obter

Sn = 0-1 + G2 + • • - + an,

aparecendo, então, o valor de S, como o l imite de sn, a soma dos n termos, à med ida que n cresce. E x p r i m i m o s esta propriedade dizendo que S é a " s o m a da série i n f i n i t a "

a i + £*2 + a 3 4- . . .

Ass im, as séries infinitas são simples modos de representação de limites, em que cada aproximação sucessiva se deduz da anterior, pela soma de mais u m termo. A expressão dos números sob a forma decim a l é, em princípio, a representação de u m número a por meio da série i n f i n i t a a = a L + a% + a 3 + • • •, onde, se 0 á a ú 1, o termo an

é igual a c f n X 1 0 _ r a , sendo an u m número inteiro , entre 0 e 9, inclusive. Desde que cada valor - l imite pode ser representado por u m a série.infin i ta , pode parecer supérfluo u m estudo especial das mesmas. Acontece, porém, que na maior ia dos casos, os valores-limites ocorrem, natura l -

365

366 S É R I E S I N F I N I T A S [ C A P .

mente, sob a forma de séries inf initas , as quais apresentam leis de formação particularmente simples. Natura lmente , não e verdade que cada série tenha uma lei de formação facilmente reconhecível. Por exemplo, o número T pode, certamente, ser representado sob a forma decimal, porém, desconhecemos u m a lei bastante simples que permita encontrar um algarismo qualquer do desenvolvimento, digamos, o 7 000°. Se, porém, desprezarmos a representação decimal de ir e adotarmos, em vez dela, a série de Gregório, teremos u m a expressão com a lei de formação perfeitamente c lara e geral.

Semelhantes às séries inf initas, nas quais as aproximações do limite, são obtidas pela adição de novos termos, são os produtos infinitos, em que as aproximações do l imite nascem da multiplicação repetida por novos fatores. Não entraremos, entretanto, profundamente na teoria dos produtos infmitos . O objetivo deste capítulo e do seguinte será, apenas, o estudo das séries inf initas .

1. CONCEITOS D E C O N V E R G Ê N C I A E D E DIVERGÊNCIA

1. Idéias f u n d a m e n t a i s .

Adotaremos, nesta exposição, u m a série in f in i ta cujo termo gerai designaremos ( 1 ) por an. A série terá, então, a forma

« í + a% + ... = X a,.

O símbolo da dire i ta , com o s inal somatório, é, apenas, u m a maneira abreviada de escrever a expressão da esquerda.

Se, quando n cresce, a soma parcial de ordem n n

sn = ai + a2 + ... + aa = 2 a, v ~ l

se aproximar do l imite

S = l i m sn

dizemos que a série é convergente. D e outro modo, ela será divergente. N o primeiro caso 5 é denominado a soma da série.

Já encontramos muitos exemplos de séries convergentes, como a

í 1 ) Admitimos a possibilidade de alguns dos termos ctu serem zero. Se iodos o fossem, a partir de um certo número JV (quando n > /V), teríamos uma série terminante.

VIII] CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA 367

série geométrica 1 + q -f- q2 4- • • •, que converge para a soma 1/(1 - q) quando J q | < 1; a série gregoriana; a do log 2; a de e, além de outras. O critério de convergência de Cauchy (cap. I, § 6, pág. 40) é expresso do seguinte modo, na linguagem das séries infinitas:

A condição necessária e suficiente para a convergência de uma série t que

I sm - sn I = I an+1 + a „ + 2 + - -. + aTl

se torne arbitrariamente pequena quando m e n forem escolhidos suficientemente grandes (m > n). E m outras palavras: Uma série converge, e somente neste caso, se satisfizer a seguinte condição. Dado um número positivo e, tão pequeno quanto quisermos, será sempre possível estabelecermos um índice N = N(e) que, em geral, cresce além de qualquer limite quando e-0, de sorte que a expressão acima \sm — s„\ seja menor do que e, desde que, unicamente, m > N e n > N .

Podemos, ainda, compreender melhor o significado do critério de convergência, fazendo q = na série geométrica. Se tomarmos * =» 1/10, bastará fazer N = 4, visto que

1 1 I Sm - Sa = —• + . - • + 2 n 2 m _ 1

1 / 1 1 1 \ 1 2 o " 1 V 2 2 2 2 m - n J 2n~l

1 1 e < — se n > 4.

2 n " 1 10

Se tivéssemos escolhido e = 1/100, seria suficiente tomar N = 7, como é fácil verificar.

Como é lógico, a convergência da série exige a condição necessária

l im an = 0, Tl—> Co

posto que, de outra maneira, o critério de convergência não seria satisfeito. Esta condição, necessária, não é, entretanto, suficiente para determinar a convergência. Ao contrário, é relativamente fácil encontrar-se séries infinitas cujo termo geral an se aproxima de 0 à medida que n cresce, porém, cuja soma não existe quando a soma parcial sn

ultrapassa qualquer limite, à medida que n vai crescendo.

363 SÉRIES I N F I N I T A S [ C A P .

E x e m p l o disto é a série

JL , JL _ L 1 + / ~ - r / -• - { - . . .+ / — | - . . . »

y 2 V 3 V n

1 cujo termo geral é ~7=. Vemos, logo, que

V n

1 1 n ,-Í . > - = + . . . + --7= = "7= = Vn.

v n V n V n

A. soma parc ia l de ordem n cresce além de qualquer l imi te , à medida que n aumenta, logo, a série é divergente.

O mesmo é verdadeiro para o exemplo clássico da série harmônica

1 1 1 1 + - + - + - +

2 3 4

1 1 1 1 1 Neste caso, a„+i + • • • + a** = — — + • • • 4- •— > - — | - . . . - i = - . C o m o

n + 1 2n 2 n 2n 2 n e m = 2n podem ser tomados tão grandes quanto quisermos, a série diverge, visto o critério de convergência de C a u c h y não se veri f icar . E fe t ivamente , a soma parcial de ordem n tende, como é lógico, para o in f in i to , logo, todos os termos são posit ivos. P o r outro lado, a série dos mesmos números com os sinais alternados,

1 1 1 1

2 3 4 5 n

é convergente (Cap. V I , pág. 317), sendo sua soma log 2.

Não é de forma alguma verdadeiro que err\ todas as séries divergentes sn tenda para + 0 0 ou para - 0 0 . Assim, no caso da série

1 - 1 + 1 - 1 + 1 + - . . . ,

vê-se que a soma parcial sn apresenta os valores 1 e 0, alternativamente, e, devido a esta oscilação para trás e para a frente, não se aproxima de limite algum definido, nem cresce, numericamente, além de qualquer valor.

Com relação à convergência e divergência das séries infinitas, deve-se anotar o seguinte, que apesar de ser quase evidente, ê, contudo, muito importante» A convergência ou. divergência das séries não ê alterada pela inclusão ou exclusão de um número finito de termos. Relativamente à convergência ou divergência, não importa começarmos a série no termo a0 ou ai, ou a 5 , ou qualquer outro, escolhido arbitrariamente

s mmm

V I I I ] C O N V E R G Ê N C I A E D I V E R G Ê N C I A 369

2. C o n v e r g ê n c i a a b s o l u t a e c o n d i c i o n a l .

1 1 1 A série l + - - f - - - f - ^ + , . - . é d ivergente . Se , porém, t rocarmos

os sinais de c a d a segundo t e r m o , ela convergirá. P o r outro l ado , a série geométrica • 1 - q -f- q2 - g 3 H — . . . é convergente, tendo a soma 1/(1 + ç) , desde que 0 Sq< 1. E s c r e v e n d o todos os sinais pos i t ivos , teremos a série

l + q + q2 + q3+

que é também convergente, t endo a soma 1/(1 - q). Surge , assim, u m a distinção que examinaremos mais m i n u c i o s a

mente. N a s séries em que todos os s inais são pos i t ivos , há apenas dois casos possíveis: ou elas convergem, ou a soma p a r c i a l cresce além de qualquer l i m i t e , q u a n d o n cresce. A s somas parc ia i s , sendo seqüências monótonas crescentes, serão convergentes se forem l i m i t a d a s . Haverá convergência se os termos se a p r o x i m a r e m de zero bastante r a p i d a mente, à m e d i d a que n cresce, ao passo que a série será d ivergente se os seus termos, de m o d o a l g u m , se a p r o x i m a r e m de zero, o u se o f izerem m u i t o l entamente . N a s séries em que há termos pos i t i vos e negat ivos , entretanto , a mudança de s i n a l pode acarretar a convergênc ia , pois , u m crescimento m u i t o grande nas somas parc ia is , d e v i d o aos termos pos i t ivos , pode ser compensado pelos termos negat ivos , de modo que o resu l tado f i n a l seja a tendência p a r a u m l i m i t e de f in ido .

P a r a melhor compreensão, comparemos a série 2 'a„ c o m termos v = l

pos i t ivos e negat ivos , c o m a dos mesmos termos , porém, c o m todos os sinais pos i t ivos , ou seja,

CO

I «í I + I a2 j + • • • = S I a„\.

Se esta série for convergente, ter-se-á, p a r a valores de n e m > n, s u f i c ientemente grandes, a expressão

I a n + i I ~f- I an+2 I + , • • + I am \

tão pequena quanto desejarmos. D e v i d o à relação

I an+i + ... + am I ú i a n + 1 | + . . . + ! am |

37C S É R I E S I N F I N I T A S [GAP.

a expressão da esquerda é, também, arbitrariamente pequena, seguin-co

do-se, portanto, que a série original 2 a, converge. Neste caso, a série »=i

pr imit iva apresenta convergência absoluta, sendo absolutamente convergente. T a l convergência é devida à pequenez numérica dos termos, não sendo afetada pela mudança dos sinais.

Se, por outro lado, a série com todos os termos positivos for d i vergente, ao passo que a original ainda mantiver a sua convergência, a série proposta ê condicionalmente convergente, ou dotada de convergência condicional. A convergência condicional resulta da compensação recíproca dos termos dotados de sinais diferentes.

0 critério de convergência de Le ibni tz é freqüentemente empregado para a verificação desta propriedade das séries:

Se os termos de uma série tiverem os sinais alternados, e se, além disso, os seus valores absolutos tenderem | a n | monotonamente para 0 (de modo que | a n-f-i j < | a n |), a série 2 a„ será convergente. (Exemplo:

série de Gregório, pág. 352.) N a demonstração admitiremos que ax > 0, o que não restringe es

sencialmente a generalização do raciocínio, e escreveremos a série proposta sob a forma

h - b2 + h — h • - •,

onde todos os termos bn são positivos, bn tende para 0, e a condição 6 a + i < bn é satisfeita. Reunindo-se entre parênteses os termos sob as duas formas

h - (h - 63) - (h - 65) - . . .

e (61 - b2) -f (Ò3 - ò4) + (65 - b6) + . . .

vemos logo que estas duas relações são satisfeitas pelas somas parciais:

Sl > S3 > s5 > . . . > s2m+i > . . .

S 2 < S 4 < S6< . . . < S2m < . . . .

Temos, também, que s2n. < s2n+i < s± e s2n+i > s2n > s2. As somas parciais de ordem ímpar formam, pois, u m a seqüência monótona decrescente que, em caso algum, valerá menos que s2; logo, ta l seqüência possui o limite L (pág. 61). As somas parciais de ordem par, s2, s 4 , formam, igualmente, u m a seqüência monótona crescente cujos termos

V I I I ] C O N V E R G Ê N C I A E D I V E R G Ê N C I A 371

jamais excedem o número f ixo slt tendo, portanto , também esta seqüência u m va lor - l imi te L ' . C o m o s2n e % + i diferem entre si somente d e b 2 n + i , que se aprox ima de 0 quando n cresce, os valores-l imites LeU são iguais, isto é, as somas parc ia is , tanto posit ivas como negativas , se aprox imam do mesmo l i m i t e , que designaremos por S (fig. 1). Is to , porém, i m p l i c a na convergência da série proposta, c u j a soma é S, como havíamos af irmado.

P a r a concluir faremos o u t r a observação de caráter geral sobre a

convergência absoluta ou condic iona l das séries. Tomemos a série con

vergente 2 a„. Chamemos os seus termos positivos de pi, p2i p3, . . . ,

e os negativos de - çx, - q2, - q3, . . . . Formando-se a soma p a r c i a l n co

da série proposta , sn = 2 av, aparecerá u m certo número de termos

positivos, digamos n', e outro de termos negativos n " , de sorte que

Sg St S# Sj S$ §j Si

F i g . 1 .— Convergência das séries alternadas

n' + n" = n. Além disso, se o número dos termos posit ivos assim como o dos negativos fôr in f in i to , tanto n' como rír crescerão sem l i m i t e , quando n o f izer. Vemos, imediatamente , que a soma parc ia l sn é i g u a l

à soma p a r c i a l S pv dos termos posit ivos , mais a soma parc ia l dos têr-v = l

n" mos negativos - 2 q„. Se a série fôr absolutamente convergente, as

v = l

séries dos termos posit ivos 2 pv e a dos valores absolutos dos negativos P=i

2 qvt certamente convergirão, v i s to que, à med ida que m cresce, as

Tn m somas parc ia is 2 pv e 2 qv são seqüências monótonas não-decrescentes,

p=i p=i co

com o l i m i t e superior 2 | av \ . p=i

A soma de uma série dotada de convergência absoluta ê, pois, simplesmente igual à soma da série constituída somente dos termos positivos, mais a soma da série constituída unicamente dos termos negativos, OÜJ.

372 S E R I E S I N F I N I T A S [ C A P .

em outras p a l a v r a s , e igual à diferença entre as duas series, com termos positivos.

n n' n"

Ass im, 2 a„ — 2 p„ — 2 g„. Quando n crescer, n' e n" deverão, v ~í J>= 1 v=l

também, ul trapassar qualquer v a l o r , e o l imi te do primeiro membro será, portanto, i gua l à diferença entre as duas somas d a dire i ta . Quando a série contiver somente u m número f in i to de termos de u m dos sinais, os fatos correspondentes s impl i f i cam-se . Se, por outro lado, a série não for dotada de convergência absoluta, mas s im, de convergência condicional, as séries S p , e 2?, deverão ser, ambas, divergentes, v i s to

p=l v=l

que, se as duas fossem convergentes a série proposta convergir ia absolutamente, o que é contra a hipótese formulada. Se somente u m a das séries divergisse, digamos 2 JD„, ao passo que a outra fosse convergente,

ri n"

a separação em partes p o s i t i v a e negat iva , sn = 2 p„ - 2 q„, mostrar ia

que a série d a d a não pode ser convergente, porque, à med ida que n n'~

crescesse, n' e 2 pv u l t rapassar iam quaisquer l imites , enquanto o termo v = l

n*

2 qp se aprox imar ia de u m va l o r def inido, de sorte que a soma parc ia l sn cresceria além de qualquer l i m i t e .

Constatamos, pois, que as séries dotadas de convergência, condicional não podem ser consideradas como a diferença de duas séries convergentes, uma dos termos positivos e a outra dos valores absolutos dos termos negativos. Int imamente l i g a d a com o que acabamos de expor, existe outra

diferença entre as séries absolutamente convergentes e as dotadas de convergência condic ional , a q u a l estudaremos rapidamente .

3. R e a g r u p a m e n t o dos t e r m o s .

A s somas f in i tas possuem a propriedade de não a l terarem os seus valores quando se m u d a a ordem das parcelas ou , como dizíamos, ós seus termos podem ser reagrupados, sem que isto impl ique em a l tera ção do resultado. Surgem, ass im, as perguntas sobre q u a l seja o s ign i ficado exato d a mudança d a ordem das parcelas n u m a série i n f i n i t a , e se t a l reagrupamento mantém o t o t a l inalterado. 0 que, no caso das somas de u m número f in i to de parcelas, não apresentou d i f i culdade ,

VIII ] C O N V E R G Ê N C I A E D I V E R G Ê N C I A 373

por exemplo, n a adição dos termos n a ordem inversa, é completamente impossível em se tratando das séries in f in i tas ; efetivamente, não há nenhum último termo com o qua l se possa inic iar o processo. A m u dança da ordem das parcelas n u m a série i n f i n i t a pode somente s ign i ficar que a série a x + a2 + a3 -f- . . . se transforma, pelo reagrupamento, n a série 61 + b2 -f- b3 + . . ., desde que cada t e r m o an da p r i m e i r a ocorra somente u m a vez na segunda e vice-versa. P o r exemplo, a q u a n tidade de que an é deslocado pode crescer além de qualquer l imi te , quando n f izer o mesmo; a única exigência é que êle deve aparecer, em algum lugar, n a nova série. Se alguns termos forem removidos p a r a posições posteriores, outros tantos deverão ser transferidos p a r a colocações anteriores. P o r exemplo, a série

1 + q + q2 + qé + <Z3 + í 8 + q7 + q6 + g 5 + g 1 6 - f . . . é u m reagrupamento d a série geométrica 1 - f ç + g 2 -f- . . . .

C o m relação à mudança de ordem dos termos, há uma distinção fundamental entre as séries de convergência absoluta e as de convergência condic ional .

Nas séries de convergência absoluta, o reagrupamento dos termos não altera a convergência, permanecendo inalterado o valor da soma, exatamente como no caso das adições finitas.

Nas séries de convergência condicional, por sua vez, o valor da soma pede ser mudado à vontade, por um reagrupamento conveniente dos termos da mesma, podendo a própria série tornar-se divergente, se assim o desejarmos.

A pr imeira a f i r m a t i v a que se refere às séries de convergência absoluta, é facilmente demonstrada. A d m i t a m o s , em primeiro lugar, que a série proposta seja constituída somente de termos positivos, sendo sua

n soma parc ia l , de ordem n, sn = S a„. Todos os termos desta soma ocor-

m

rerão n a soma parc ia l de ordem m, tm — S b, d a série reagrupada,

x = l desde que, unicamente , m seja escolhido suficientemente grande. L o g o , tm ;> sn. P o r outro lado, podemos estabelecer u m a ordem n' tão grande

n' que a soma parc ia l sn' = 2 av d a pr imeira série contenha todas as parcelas 61, b2, bm. Segue-se, então, que im Ssn' SA, onde A ê a soma da pr imeira séúe. A s s i m , p a r a qualquer valor de m sufic ientemente grande, teremos sn Stm = A, e como podemos fazer sn d i fer ir

374 S E R I E S I N F I N I T A S

de A p o r u m a quantidade arbitrariamente pequena, a série r e a g r u p a d a tarnbêm é convergente; e, de fato, p a r a o mesmo l i m i t e A d a série proposta .

Q u a n d o u m a série de convergência abso luta possuir termos p o s i t ivos e negativos, podemos considerá-la como a diferença entre d u a s séries, cada u m a delas constituída unicamente de parce las p o s i t i v a s . C o m o no reagrupamento, cada u m a destas séries teve a l t e r a d a somente a ordem dos seus termos, convergindo, porém, p a r a o mesmo l i m i t e que antes, outro tanto se ver i f i ca p a r a a série o r ig ina l , q u a n d o r e a g r u p a d a . P e l o que acabamos de ver , a n o v a série possui convergência a b soluta , sendo, portanto , a diferença entre duas séries reagrupadas , de termos posit ivos .

O que acabamos de demonstrar pode parecer ao principiante de somenos importância. Entretanto, um exemplo do comportamento oposto, de uma série de convergência condicional, mostrará a necessidade da demonstração e do papel essencial que a convergência absoluta desempenha nela. Consideraremos a série conhecida

1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 — + + + - - - + - . . . «=log2.

2 3 4 5 6 7 8

e sob ela escrevamos o resultado da multiplicação pelo fator - ,

1 1 1 1 1 2 - 4 + 6 - 8 + - - - Í 1 0 8 2 '

somando as duas, combinando os termos da mesma coluna vertical 0 ) . Obteremos então,

, , 1 1 , 1 , 1 1 1 1 1 3 I H 1 1 H 4- - . . . »= - loa- 2

3 2 5 7 4 9 1 1 6 2 S

Esta série poderia, como é evidente, ser obtida da série original, mediante um arranjo conveniente e, no entanto, o valor da soma aparece multiplicado pelo fator 3/2. É fácil imaginar o efeito que a descoberta deste aparente paradoxo produziu nos matemáticos do século XVIII , os quais estavam acostumados a operar com as séries infinitas, sem se preocuparem com a sua convergência.

E m b o r a não cheguemos a empregar o resultado, apresentaremos a demonstração do teorema que enunciamos ac ima, referente à alteração d a soma das séries de convergência condic ional , pelo reagrupamento dos termos. S e j a m P l ) p2, ...,o& termos posit ivos , e - q l t - q 2 , ... os negativos d a série dada. C o m o o va lor absoluto tende p a r a 0 quando n cresce, os números pn e qn devem também convergir p a r a 0, à me -

f1) Adição das séries: N.° 4, pág. 376.

VIII] C O N V E R G Ê N C I A E D I V E R G Ê N C I A 375

d i d a que n v a i crescendo. Já v i m o s , além disso, que a soma ( 1 ) 2 p, i

co

deve ser divergente , o mesmo se ver i f i cando p a r a 2 q„. í

Podemos , agora, determinar fac i lmente u m reagrupamento da série o r ig ina l que t e n h a u m número qualquer , a, como l i m i t e / S u p o n h a m o s , p a r a concret izar , que a seja pos i t ivo . Somemos , então, os n\ pr imeiros termos pos i t ivos , em número sufic iente p a r a assegurar que a soma m m

2p v é m a i o r do que a. C o m o a soma 2 pv u l t rapassa c o m n qualquer h m i t e , será sempre possível, empregando-se número suf ic iente de termos, obter-se a s o m a p a r c i a l m a i o r do que a. A soma diferirá, então, do v a l o r exato a, por p r t l , . n o máximo. Somemos u m número suficiente

mi m mi

de termos negat ivos - 2 qv p a r a termos certeza de que a s o m a 2 pv - 2 qy

í í i é menor do que a; i s to também é possível, como se deduz d a d iver -

co gência da série 2 qy. A diferença entre esta soma e a será qmi, no má-

í ' 712

x i m o . Somemos outros termos pos i t ivos 2 py, e m número sufic iente, m-f-1

p a r a que a soma p a r c i a l seja m a i o r do que a, como a i n d a é possível u m a vez que a série dos termos pos i t ivos é d ivergente . A diferença entre a s o m a p a r c i a l e a, será pn2> no máximo. V a m o s , novamente , adic ionar u m número conveniente de termos negat ivos , - S g , , a co-

mi+ l

meçar pelo p r i m e i r o após o último anter iormente usado , p a r a que a soma seja, m a i s u m a vez , menor do que a, e prossigamos d a mesma f o rma . Os valores das somas assim obt idos oscilarão em t o m o de a, e quando o processo for levado bastante longe, a oscilação processar-se-á entre l imi tes a rb i t rar iamente estreitos, v i s t o que o c o m p r i m e n t o do in terva lo e m que ela ocorre tende p a r a zero, porque os próprios ter

mos p„ e q„ c onvergem p a r a 0 q u a n d o vê suf ic ientemente grande . O

teorema f i c a , ass im, demonstrado . D o mesmo m o d o , poderíamos reagrupar a série, de sorte que ela

se tornasse d ivergente . Teríamos, apenas, que escolher número tão grande de termos pos i t ivos , que comparado c o m o dos negativos , não houvesse poss ib i l idade de compensação.

"° í 1 ) E s t a notação abreviada , empregada p a r a S pv, e outras semelhantes p a r a outras séries, serSo

usadaB, muitas vezes,, mais>adiante. . .. ,

4. Operações com as séries infinitas. É claro que duas séries infinitas convergentes, ai - f a2 -f- • • • = S

e bi + b2 + ... = T podem ser somadas termo a termo, isto ê, a série formada pelos termos cn = an + bn será convergente, e sua soma valerá S+ T Temos, assim,

n n n v

p=i i'=i p — \

É também claro que, se multiplicarmos cada termo de uma série infinita convergente pelo mesmo fator, a série resultante será convergente, sendo sua soma multiplicada pelo mesmo fator.

Nos casos mencionados não importa se a convergência da série é absoluta, ou condicional. Por outro lado, porém, estudo que levaremos a efeito mais adiante, e do qual não necessitamos presentemente, mostrará que, se duas séries infinitas forem multiplicadas pelo método empregado para a multiplicação das somas finitas, a série resultante em geral não será convergente ou terá a soma igual ao produto das somas das duas séries, a não ser que uma delas, pelo menos, possua convergência absoluta (apêndice, pág. 415).

E X E M P L O S

1 1 1 1 1. D e m o n s t r a r que 2 = -—- + — -j U . . . » 1.

^ l K ^ - r - l ) 1 -2 2 . 3 3 . 4 o. i ^

2. D e m o n s t r a r q u e „ = 1 v{v + 1) [y + 2) 4

_ 00 2v + 3 3. D e m o n s t r a r q u e 2 ( - 1)»

.= 0 (» + 1) (v-+-2)

4. P a r a q u e va lores de a a série 1 - — + — — — + . . . será convergente ? 2<* 3« 4<*

CO

5. * D e m o n s t r a r que se 2 a„ f or convergente , e s a = ai + az + . . . + a a , a se-

qüência Sl 4" S2 + . • • -f" ÃJf _

00 também convergirá, t endo S av c o m o l i m i t e .

p=l

6. A série 2 ( - — — - ) é convergente ?

C D V

7. A série 2 ( - 1)" é convergente ? 71 = 1 v + 1

( i ) Esto teorema nada mais ê , na realidade, senão outro enunciado do que afirma que o limito da soma de duas parcelas é a soma dos seus limites (cap. I, § 6 , pág. 4 1 ) .

VIII] CRITÉRIOS D E CONVERGÊNCIA 377

2. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA E DE DIVERGÊNCIA

Já tivemos ocasião de encontrar um critério de natureza geral que permite assegurar, pelo menos, a convergência condicional de uma série, quando ela possuir os termos com sinais alternados e valor absoluto decrescente. N a exposição que segue, nos ocuparemos unicamente dos critérios que garantem a convergência absoluta.

1. Critério de comparação. Quaisquer considerações sobre a convergência dependem, neste pro

cesso, da comparação entre a série dada e uma outra. Esta segunda série é escolhida de tal modo que a sua convergência possa ser prontamente comprovada. O critério geral de comparação pode ser enunciado da seguinte maneira:

co

Se os números b i , bo, . . . , forem lodos positivos e se a série 2 byfôr

convergente, verificando-se

\dn\Sbn CO

para qualquer valor de n, a série 2 a n possui convergência absoluta. n = l

Aplicando-se o critério de convergência de Cauchy, a demonstração, torna-se muito simples. Quando m ^n, teremos

I an + . . . + am j ^ I an | -f . . . + | am \ S bn + ... + bm. ca

Como a série 2 bn é convergente, o segundo membro será arbitrária-n = l

mente pequeno, uma vez que n e m sejam suficientemente grandes. Segue-se que para tais valores de n e m o primeiro membro será, também, arbitrariamente pequeno, de sorte que, pelo critério de Cauchy. a série proposta é convergente. A convergência é absoluta, visto o argumento aplicar-se igualmente bem à série dos valores absolutos j an |,

Deixamos ao leitor a demonstração análoga do seguinte. Quando a co

série 2 b n for divergente e

\an\^bn>0, • . : . • :•

a série 2 a n não será, com certeza, de convergência dbsólãlà. n = l

3 7 8 S É R I E S I N F I N I T A S [CAP,

2. Comparação c o m a série g e o m é t r i c a . Nas aplicações do critério de comparação, a série mais freqüente^

mente empregada é a geométrica. D e l a obtemos, em seguida, o seguinte teorema:

A série 2 a n ierá convergên:ia absoluta, se a partir de um certo termo n = 1

em diante, uma relação da forma

\an\<cqn (I)

se verificar, sendo c um número positivo independente den, e q qualquer número fixo e positivo, menor do que 1.

Este critério é expresso, usualmente, sob u m a das seguintes formas CO

menos rigorosas: a série 2 an será absolutamente convergente se, de 71 = 1

u m certo termo em diante, verif icar-se u m a relação da forma

<q, (lia)

onde q representa, novamente, u m número posit ivo menor do que 1 e independente de n, ou : se, de u m certo termo em diante, verificar-se uma relação d a forma

^1! an I < q, (LU)

onde q é u m número posit ivo menor do que 1. E m part icular , as condições estabelecidas serão satisfeitas se u m a relação como

an + l

l i m = k < 1 ( I l l a ) n — m an

ou iim ^|ü;i| =k<l (IIIÒ)

for verdadeira. Estes enunciados são estabelecidos facilmente, da seguinte maneira:

Suponhamos que a condição lia, o critério da relação, seja satisfeita a partir de índice nQ em diante, isto é, quando n > n 0 . P a r a simplif icar, faremos ano+m+i = bm e acharemos que

I h I < q I &o I , I h ! < q j òi I < g 2 i h i , I os I < q | ò 2 |< g 3 | ò 0 j . e, assim, sucessivamente; logo

1 K \<qm\ 6o I»

VIII] CRITÉRIOS D E CONVERGÊNCIA 379

< q ou ^ I an I < q, con-

que estabelece o que foi enunciado. Para a condição l i o , o critério da raiz, temos | an \ < qn, donde o enunciado decorre imediatamente.

Finalmente, para demonstrar o critério III, consideremos um número arbitrário q, tal que k < q < 1. De um certo índice n0 em diante,

isto é, quando n > TIQ, será certo que

forme o caso, visto que, a partir de um certo termo, os valores de an^.\

ou de ^ I an | diferem de k por menos do que (g - fe). 0 enun-an

ciado fica, assim, estabelecido, baseado nos outros já demonstrados. Insistimos na observação de que os quatro critérios derivados do

original, | an \ < cqn não são equivalentes entre si ou ao original, isto é, eles não podem ser reduzidos ou deduzidos uns dos outros, em ambas as direções. Veremos em breve, por meio de exemplos, que se uma série satisfaz uma destas condições, não precisa, de forma alguma, satisfazer todas as outras

Para completar este assunto, diremos que uma série é divergente, com toda a certeza, se de um dado termo em diante,

\an\>c

para um número positivo c convenientemente escolhido, ou se, a partir de um certo termo,

^ I an I > 1,

ou se lim n -

k, ou lim v" I a n I = fe,

onde k é um número maior do que 1, pois, como vemos logo, em tais séries os termos não podem tender para zero quando n cresce. (Assim, a série nem pode ser mesmo condicionalmente convergente.)

Os critérios apresentados fornecem condições suficientes para a convergência absoluta das séries; isto ê, quando forem satisfeitas, podemos concluir pela convergência absoluta da série. Entretanto, tais condições não são necessárias, visto haver séries dotadas de convergência absoluta que não as satisfazem.

C1) Mais exatamente: se Illa fôr preenchida, l i a será satisfeita; se IIIò o fôr, IT6 o será; sendo Illa, também IIIò o será, e se l ia o fôr, Ilè será. E , se qualquer das quatro fôr satisfeita, I tarnhem »erá preenchida. Nenhum destes enunciados ê reversível.

330 S E R I E S I N H N I T A S [ C A P .

Por exemplo, sabemos que

lim n-*a>

= 1 ou l im V J an | = 1

não nos autoriza a estabelecer qualquer conclusão sobre a convergência da série. Tais séries podem ser convergentes ou divergentes. Por exemplo, a série

- 1

a n + l para a qual lim ? j an | = 1 e l im = 1 ê divergente, como cons-

ri—> co Ti—» a I un

tatamos na pág. 368 . Por outro lado, veremos dentro em breve que a °° 1

série 3 —, que satisfaz às mesmas relações, é convergente. 7i=i n~

Como exemplo de aplicação dos critérios que apresentamos consideraremos, inic ialmente, a série

q + 2tf + 3g 3 + . . . + nq° -f- . . . .

Temos, para esta série, l i m v I a n I = j q { . l i m v n = | q |,

71-+co

l im 71- 00 a 0

= J qI . h m ri—*co ri

Quando j q | < 1 a série será convergente, o que se deduz dos critérios d a relação e da raiz , mesmo sob a f o r m a III, menos prec isa .

E n t r e t a n t o , não é possível p r o v a r a convergência da série 1 + 2q + ç 2 + 2g 3 + . . . + + 2 ç 2 n + 1 + . . . ,

pelo critério d a relação, quando ]4. S | Ç | < 1, porque , neste caso, j — — ; = 2 [ q j 1 O critério da ra iz , porém, dá imed ia tamente l i m ^ | a n | — j q |. e m o s t r a que a

71—* CO

série será convergente desde que | q \ < 1 o que, n a t u r a l m e n t e , poderíamos ter observado d iretamente .

3. Comparação com uma integral Estudaremos , agora , a convergência, por u m processo in te i ramente diverso do

anterior. Seja a série p a r t i c u l a r m e n t e s imples e i m p o r t a n t e 00 1 1 1 S _ = 1+ + +...,

7i=i n<* 2« 3 « (<) Ver também o apêndice do Cap. VII (pág. 361), que tem relação com este parágrafo.

VIII ) C R I T É R I O S D E C O N V E R G Ê N C I A 381

em que o termo geral aa é l/n«, sendo a um número positivo. A fim de pesquisarmos a convergência ou divergência desta série, tracemos o gráfico da função y = l/a?» e marquemos sobre o eixo dos x as abscissas inteiras x = 1, x = 2, . . . . Primeira

mente, construiremos o retângulo de altura llna sobre o intervalo n~ 1 â x ê TI, do eixo dos i , (n > 1), comparando-o com a área da região limitada pelo mesmo intervalo do eixo dos x, pelas ordenadas dos extremos e pela curva y = llx* (superfície tracejada na fig. 2). Em seguida, construamos o retângulo de altura l/n<* sobre o intervalo n í i ^ n + 1, comparando-o, analogamente, com a área da região compreendida entre o eixo dos i e a curva (região duplamente tracejada na figura). No primeiro caso, a área sob a curva é, naturalmente, maior do que o retângulo, ao passo que, no segundo, a área do retângulo é a maior. Em outras palavras.

f n + i dx 1 fn dx

J n Xa- n« J n—\ X°

n-1 como podemos provar diretamente, por meio da própria integral (Cap. II,

K g . 2 .—Comparação de uma serie com uma integral § 7 < p á g 1 2 9) . Escrevendo esta desigualdade para n = 2, n = 3, . . . , n = m, e somando obteremos a expressão (*)

,'*» + ! dx Cm d x i + I — < sm < l -{- I — ia

m 1 para a soma parcial de ordem m, sm — 2 — . A medida que m for crescendo, a in-

n=*i n«

/

' m l — dx tenderá para um limite finito, ou crescerá indefinidamente, con-

1 x<* forme seja a > 1 ou a ^ 1. Por conseqüência, a seqüência monótona dos números tm ou é limitada ou excede qualquer valor, segundo seja a > l o u a | l , obtendo-se, jssim, o seguinte teorema:

(•) Desta relação, para a = 1, decorre, imediatamente, que a seqüência de números

Zn - 1 H- Z + ~ + . . . + - - log n, é limitada interiormente. Como a desigualdade 2 3 n

1 rn + 1dx < / — = log {n + 1) - log n mostra que a seqüência ê monótona decrescente, ela

« + 1 J n x

leve aproximar-se do limite

lim Ca - lim (1 - f - + h + . . . + l_ - log n) - C. n—> co n—.oo 2 3 n

9 número C, cujo valor é 0 ,5772 . . , , ê denominado constante de Euler. E m contraste com outros lúmeros especiais, importantes na analise como *• e e, não há outra expressão que f o i_eça uma lei le fomação simples para a constante de Euler

382 S E R I E S I N F I N I T A S [ ÇAP.

A série » 1 1 1 1 s — = 1 j_ < < #

n = i n " 1« 2« 3« será convergente — e, como ê natural, absolutamente convergente, — se, e somente, no caso em que a > 1.

A diveigência da série harmônica, que já demonstramos por processo diferente, é u m a conseqüência i m e d i a t a deste teorema. E m part i cu lar , vemos que as séries

1 1 1 1 U L

r- 2 2 3 2

1 1 1 j u !_

I 3 2 3 3 3

convergem. CO yd

A série 2 —, cuja convergência acabamos de estudar, serve, freqüentemente, v = í 1

como série de comparação n a pesquisa da convergência. P o r exemplo, vemos logo CO c „

que, para a > 1, a série 2 — possui convergência absoluta , desde que os valores v = l Va

absolutos dos coeficientes J c | permaneçam menores do que u m determinado l imite fixo, independente de v.

E X E M P L O S

Determinar se as séries dos exemplos 1-6 são convergentes ou não. co J CO ^

L s r j n - 4* s n—r> a f i x o-» = 1 1 + Vz „ = 2 (log v)a

1 2. 2 - . 5. S v = \ V „ = 2 (log v) l o s "

1 V

3 s g s

„=1 Vv (v -4- 1) v = i 2 " Calcular o erro das séries dos E x e m p l o s 7-10, depois de n termos:

» ( - 1 ) , + 1 co ! 7. s ; . 9. 2 - .

« 1 » „ 8. S —. 10. 2 — .

K = l V\ V = l 2 "

11. Demonstrar que 2 sen 3 £TT + ^ J é convergente. CO CO

12. A série S e—"8 (isto é, 1 + 2 2 e~^) é convergente ? » = — co y = l

1 1 3 * Demonstrar que 2 — — converge quando a > 1, sendo divergente se

v=2 n l o g J0« a ^ 1.

VIIIJ CRITÉRIOS D E CONVERGÊNCIA

1 1 4 * Demonstrar que 2 converge quando a > 1, divergindo v = 3 v log v (log log

se a â 1. «*> CO

15. Demonstrar que, se m è 0 (i = 1, 2, 3, ...) e 2 u: fôr convergente, 2 U i 3

também con\ergirá. CO CO CO

16. Mostrar que, se 2 a k ! e 2 òt2 forem ambas convergentes, 2 ak.6k também fe = l fe = l fc=l

convergirá. 17. Demonstrar que

1 2 1 1 2 1 1 1 2 1-1 - + • - + H - - + . . . -) + h . . . = loa 3

2 3 4 5 6 7 3 n + 1 3 n + 2 3 n + 3 °

18. * Demonstrar que, se n fôr um inteiro qualquer, maior do que 1, a au

a

2 — = l o g n ,

onde a*" é definido da seguinte maneira: 1 se n não fôr fator de r ,

, - (n - 1) se n fôr fator de w.

3. S E Q Ü Ê N C I A S E S É R I E S D E F U N Ç Õ E S


Os termos das séries infinitas que consideramos até aqui, foram supostos constantes. Logo, estas séries (quando convergentes) representam, sempre, números definidos. Contudo, tanto na teoria, como nas aplicações, as séries de fundamental importância são aquelas em que os termos são funções de uma variável, de sorte que a soma da série será por sua vez função da mesma variável, como no caso da série de Taylor.

Estudaremos, portanto, a série

g(ix) + 92(x) + gs(x) + • •

na qual todas as funções gn(x) são definidas no intervalo a ^ x S 6. A soma parcial de ordem n desta série

gi(x) + g2(x) + . . . + QÁx),

será representada por fn(x). A soma f(x) da série, quando existir, será, então, simplesmente o limite l im fn{x).


Podemos, portanto, considerar a soma de uma série infinita de funções como o limite da seqüência de funções fi(x), f 2(x), . . ., f n(x), . . . . Inversamente, podemos formar uma série equivalente a qualquer seqüência de funções do tipo fi(x), faCc), . • -, fazendo gx(x) = fi(x) e gn(x) = fn(x) -fn-i(x), para n > 1. Quando houver conveniência, pode-se passar da consideração da série à i a seqüência e vice-versa.

2. Processos - l imi tes c o m funções e c u r v a s . Estabeleceremos agora, exatamente, o que queremos dizer ao afirmar

que a função f(x) é o hmite da seqüência fi(x), fz(x), .. ., fn(x), • • • no intervalo a S x á= b. A definição é a seguinte: a seqüência fi(x), f%(x),... tenderá para a função hmite f(x), no intervalo, se em cada ponto x do mesmo os valores fn(x) convergirem, no sentido comum, para f(x). Neste caso pode-se escrever l i m fn(x) = f(x). D e acordo com o critério

de Cauchy (pág. 40) podemos exprimir a convergência da seqüência sem conhecer ou deduzir o valor da função l imite f(x). Deste modo, a seqüência de funções considerada convergirá para uma função limite se, e somente neste caso, em cada ponto x do intervalo e para qualquer número positivo e, a quantidade | fn(x) — fm(x) | for menor do que e e u m a vez que os números nem sejam escolhidos suficientemente grandes, isto é, maiores do que u m certo número N = N(e). Este número iV(e) é, em geral, função de e e de x e cresce indefinidamente, quando e tende para zero.

Temos encontrado, freqüentemente, casos de limites de seqüências de funções. Mencionaremos apenas a definição da potência x" para valores irracionais de a, pela equação

em que rí} r 2 , . . . , rn, . . . ê u m a seqüência de números racionais que tende para a ; ou a equação

em que as funções fn(x) do segundo membro são polinómios do grau n. A representação gráfica das funções por meio de curvas sugere um

estudo sobre os limites das seqüências de curvas, no qual verificaremos, por exemplo, que os gráficos das funções limites acima citadas, xa e ex

podem ser consideradas como as curvas limites dos gráficos das fun-

xa = l i m xrn,

VIII] SEQÜÊNCIAS E SÉRIES D E FUNÇÕES 335

ções xrn e O + O '

respectivamente. Há, entretanto, uma sulil dis

tinção entre a passagem ao limite das funções e a das curvas. Até meados do século X I X não se tinha observado suficientemente esta distinção, e somente tendo-se uma idéia clara da mesma poderão ser evitados paradoxos aparentes. U m exemplo esclarecerá este ponto.

Vejamos, p a r a t a l , as funções

Mx) (n = 1, 2, . . . )

no intervalo 0 ^ x á 1. Todas estas f u n ções são contínuas, exist indo a função l i mite l i m ja(x) = f(x), a q u a l , entretanto ,

71—>•»

não é contínua. A o contrário, desde que para todos os valores de n, / n ( l ) = 1, o l imite será / ( l ) =» 1. P o r outro lado, p o rém, p a r a 0 ^ x ^ 1, o l i m i t e valerá / (x ) = = l i m / n ( x ) = 0, como v i m o s no cap. I , § 5

0 Fig. 3.— Cutva-limite e funçSo-ümite .

(pág. 33). A função f(x) é, pois, descontínua, apresentando o va l o r 1 no ponto x = 1 e 0 em qualquer outro ponto do interva lo .

E s t a descontinuidade torna-se compreensível se observarmos os gráficos Ca

das funções y = ja(x). T a i s gráficos são curvas contínuas (fig. 16, pág. 33), todas elas passando pe la or igem e pelo ponto x — 1, y = 1, aproximando-se cada vez mais do eixo dos x, à m e d i d a que n cresce. A s curvas possuem u m a curva-limile C que, de modo a l g u m é descontínua, m a s consiste (fig. 3) d a porção do eixo dos x entre x = 0 e x = l e d o segmento d a l i n h a x = 1, compreendido entre y — 0 e y = 1. A s curvas, pois, convergem p a r a u m a curva-limile contínua, com u m a parte vertical , ao passo que as junções convergem p a r a u m a função-limite descontínua. Reconhecemos, ass im, que a descontinuidade d a função-limite é t raduz ida , n a c u r v a -l imite , pela existência de u m segmento perpendicular ao eixo dos x. Este segmento deve, necessariamente, corresponder a u m a descontinuidade n a função-limite, e, efetivamente, ele está sempre presente, quando a função-limite for descontínua. A curva- l imi te a que estamos nos referindo, não ê o gráfico d a função-limite, v isto nenhuma c u r v a , c o m u m segmento v e r t i c a l , poder ser a representação gráfica de uma função unívoca y = / (x) , porque, em correspondência ao va l o r de x no qual se veri f ica o segmento ver t i ca l , há inúmeros valores de y p a r a a curva , porém, somente u m p a r a a função. Logo , o l i m i t e dos gráficos das funções /a ( x ) é diferente do gráfico do l i m i t e destas funções, j{x).

Raciocínios correspondentes têm lugar , natura lmente , também para as séries inf initas .

í. C O N V E R G Ê N C I A U N I F O R M E E C O N V E R G Ê N C I A N Ã O U N I F O R M E

1. Observações gerais e exemplos.

A distinção entre os conceitos de convergência relativos às funções e às curvas, origina um fenômeno que o estudante deve estar apto a reconhecer com toda a exatidão. Referimo-nos à convergência não-aniforme das seqüências ou das séries infinitas de funções. Como sabemos que os principiantes costumam encontrar dificuldades neste assunto, tratá-lo-emos com o maior número de detalhes possível.

O

F i g . 4.— ConvergÔDcia uniforme

Quando dizemos que uma função f(x) é o limite da seqüência / I ( X ) , / 2 ( Í ) , . . . , no intervalo a %x ^ ò , isto significa, unicamente, que, por definição, a relação do limite f(x) — l im f(x) se verifica em todos

os pontos do intervalo. Intuitivamente pode-se esperar a seguinte conclusão do conceito de convergência que acabamos de expor: se escó

is

lhermos um determinado grau de precisão, digamos, e = - ou 1

6 ~ 1ÕÕ' a P a r t ^ ^ e u m c e r t o índice N em diante, todas as funções fn{x) ficarão compreendidas entre f(x) + e e /(cr) - e para todos os valores de x, de sorte que os seus gráficos y = fn(x) estarão inteiramente situados na faixa indicada na figura 4. Isto quer dizer que, para qualquer que seja o número positivo e, haverá um número N — N(e) correspondente, que naturalmente crescerá além de qualquer limite quando e~> 0, de tal sorte que, para n > N, a diferença | f(x) - fn(x) | < e, não importando a localização de x no intervalo. (Satisfeita esta con-

VIII] CONVERGÊNCIA U N I F O R M E 387 dição, \fn(x) - fm(x) j < 2 e para qualquer valor de x, desde que n e m sejam ambos maiores do que N.) Quando a precisão da aproximação puder ser, no mínimo, igual a uma quantidade e predeterminada, em qualquer posição do intervalo, e ao mesmo tempo, isto é, quando for possível escolher o mesmo numero N(e), independente de x, em qualquer lugar, dizemos que a aproximação é uniforme. Muitos ficam, à primeira vista, admirados, quando constatam que a hipótese intuitiva da convergência necessariamente uniforme está completamente errada, ou seja, que a convergência pode, perfeitamente, ser não-uniforme.

Ex. 1. A convergência não-uniforme ocorre no caso d a seqüência de funções que acabamos de estudar, jn(x) = Xa. E s t a seqüência converge p a r a a função-limite f(x) = 9, no in terva lo O á i á 1, p a r a 0 g i < 1, f(l) = 1. A convergência se verif ica em qualquer ponto do interva lo , isto é, se e fôr u m a quantidade posi t iva qualquer, e se escolhermos qualquer va lor f ixo. def inido, x = £, a desigualdade I Sn _ / (£ ) 1 < e certamente será satisfeita, se n for suficientemente grande. T o d a v ia , ta l aproximação não é uniforme. Se escolhêssemos e = poderíamos determi nar u m ponto x = -q ^ 1, por maior que fosse o n escolhido, p a r a o q u a l | r j " - / ( r ? ) | =•

— rf > 3'2, o que, efetivamente, acontece para todos os pontos x — y, onde 1 > ri < >/14.. É, portanto , impossível determinar-se u n i número n tão grande que a diferença entre j{x) e fa(x) seja menor do que no intervalo completo.

Este comportamento torna-se compreensível, quando nos referirmos aos gráficos das funções (fig. 3, pág. 385). Vemos que, p a r a valores de £ pouco menores do que 1, a função /o(£) valerá aproximadamente 1, por maior que seja o n escolhido, não podendo, pois, este va lo r ser u m a boa aproximação p a r a / ( £ ) , que vale 0.

Compor tamento análogo apresentam, n a vizinhança dos pontos i * l e i = - 1 , as funções

Isto pode ser faci lmente estabelecido (cap. I , § 8, pág. 52). Ex. 2. N o s dois exemplos que apresentamos ac ima, a não-uniformidade da

convergência estava diretamente relacionada com a descontinuidade da função-l imite . Contudo , é fácil, também, construir u m a seqüência de funções contínuas, que convir ja para u m a função-limite contínua, porém, não-uniformemente. Cons i deraremos, apenas, o intervalo 0 á 1 e estabeleceremos as seguintes definições para n è 2:

1 fB(x) = xn<* para 0 g x g - ,

n

ju(x) = 0 para - | 1, n

388 S É R I E S I N F I N I T A S

onde, para começar, podemos escolher u m valor qualquer para a, o qual deverá ser considerado fixo para todos os termos da sequencia. Graficamente, estas funções serão apresentadas por u m a figura em forma de telhado, constituída de dois segmentos lineares contidos no intervalo 0 | i á 2,'n do eixo dos x, ao passo que, de x — 2,'n em diante, o gráfico c o próprio eixo dos x (fig. 5).

Se a < 1, a alt itude do ponto mais alto do gráfico, que tem em geral o valor n"—-1, tenderá para 0, à medida que n cresce. A s curvas tenderão, portanto, para o eixo dos x, enquanto as funções jfn(x) convergirão uniformemente para a função-limite / O ) = 0.

Se a — 1, o vértice do gráfico terá a a l tura 1 para qualquer valor de n. F i n a l mente, quando a > 1, a a l t i tude do vértice crescerá além de qualquer l imite , quando n crescer.

Entretanto, independentemente de como a fo i escolhido, a seqüência .AO) , ji{x), ... sempre tenderá para a função-limite j(x) = 0. Se x for positivo, teremos,

F i g . 5.— Convergência nSo-uniforme

para qualquer valor de n suficientemente grande, 2jn < x, de modo que x não está sob o ângulo formado pelo gráfico, e jn(x) — 0. P a r a x = 0, todos os valores funcionais de ja(x) serão iguais a 0, de f orma que, em qualquer caso, l im fn(x) = 0.

n—»m

A convergência não será uniforme, certamente, se a è 1, porque é impossível escolher-se um n tão grande que a expressão | j(x) - ja(x) \ — f*(x) seja menor do que 14 e m qualquer posição do intervalo.

Ex. 3. A seqüência de funções jn(x) = xn^e - " 1 ,

comporta-se de maneira exatamente igual (fig. 6). Neste caso, porém, em contraste com o precedente, cada função da seqüência ô representada por u m a expressão analítica simples. A equação l i m jn(x) = 0 também se veri f ica para qualquer valor

n—* co

positivo de x, e desde que n cresça, a função e~"x tenderá para 0 em ordem muito mais elevada do que qualquer potência de l/n (cap. I I I , § 9, pág. 1P2). P a r a x = 0 teremos sempre / „ (x) = 0, e portanto,

j(x) = l i m ju(x) = 0 n~*co

VIII] CONVERGÊNCIA U N I F O R M E 339

para qualquer valor de x situado no intervalo 0 S x ú a, em que a é uin número positivo qualquer. Neste caso, novamente, a convergência para a função-limite não é uniforme. Temos, no ponto x = l/n (em quefa(x) tem seu máximo),

/ ' I N n « ~ l \ns e

c podemos verificar que, se a è 1, a convergência não será uniforme. Qualquer curva y = jn(x), por maior que tenha sido escolhido o valor de n, sempre conterá pontos (especialmente o ponto x = l/n, que varia com n, e seus pontos vizinhos) para os quais Ja(x) - f(x) > l/2e.

Fig. 6

Ex. 4. 0 conceiLo das convergências uniforme e nao-uniforme pode, naturalmente, ser aplicado às séries infinitas. Dizemos que a série

ffiGc) + g2(x) + ...

é uniformemente convergente, ou não, de acordo com o comportamento das suas somas parciais fn(x). Um exemplo muito simples de uma serie de convergência nao-uniforme é dado por

+ + x-1 + X2 (1 + x2)

Para z = 0, cada soma parcial, ja(x) — x2 + . .. +

(1 + x 2 ) 3

x 2

+ tem o valor 0; por-

(1 + X 2 ) " " 1

tanto, /(O) = 0. Para x 4= 0 teremos simplesmente uma série geométrica, com a

razão positiva — - — < 1; podemos, pois, somá-la pelas regras elementares, obtendo, 1 + x2

para cada valor de x =Ë 0, a soma

= 1 + x\ l - 1/(1 + X 2 )

A funçao-limitey(x) é então dada em qualquer posição, exceto em x — 0, pela expressão J(x) - 1 + x s , enquanto /(0) — 0. E l a possui, portanto, descontinuidade algo artificial na origem.


Deparamos de novo , neste caso, com u m a convergência não-uniforme em todo o intervalo que cont iver a origem, v i s to a di ferença/ (x) —jQ(x) — ra(x) ser sempre 0,

para x = 0, ao passo que , p a r a qualquer outro va lor de x, e la vale rn(x) = , (1 -j" x )n 1

como o leitor poderá ver i f i car , faci lmente, por s i mesmo. Se exigirmos que esta expressão seja menor do que, digamos, }4, podemos consegui-lo, escolhendo um valor de n suf ic ientemente grande, p a r a cada va lor f ixo de x. E n t r e t a n t o , não há valor de n suf ic ientemente grande, para que possamos assegurar que ra(x) é menor do que 14 em t o d a a parte , porque, por maior que seja o valor de n adotado, podemos sempre t o r n a r rn(x) ma ior do que 14,, t omando x bastante próximo de 0. A aproximação un i f o rme , a menos de x/i é, ass im, impossível. O que acabamos de expor torna-se c laro , considerando-se as curvas de aproximação (fig. 7). E s t a s cur-

Fig. 7

vas, exceto de x = 0, vão se aprox imando cada vez m a i s d a parábola y = 1 -4- x 3 , à medida que n cresce. Próximo de x = 0, contudo, as curvas projetam-se em extensões cada vez mais próximas d a or igem, e, ao passo que n v a i crescendo, estas extensões vao-se aprox imando sempre mais de u m a determinada reta , o u seja, de u m segmento do eixo dos y . A curva-I imite será, por tanto , a parábola, mais u m segmento linear que alcança a origem, ver t i ca lmente p a r a baixo.

Como outro exemplo de convergência não-uniforme, mencionaremos a série 00 2 g„{_!), em que g„(x) = x" - x*^ 1 p a r a v è 1, go{x) = 1, def inida no intervalo

0 g x â 1. A s somas parc ia is são as funções xv j á estudadas no primeiro exemplo (pág. 387).

2. Critério de convergência uniforme.

As considerações precedentes indicam que a convergência uniforme das seqüências ou das séries não é uma propriedade comum a todas

VIII ] C O N V E R G Ê N C I A U N I F O R M E 391

elas, mas s im u m a característica especial. Formularemos, novamente, 0 conceito de convergência uniforme. A série

9i(x) + g2(x) + ...

será uniformemente convergente n u m determinado intervalo , se sua soma f{x) puder ser aproximada a menos de e (onde e representa u m a q u a n tidade pos i t iva , arbitrariamente pequena), tomando-se u m número de termos suficientemente grande, invariável no intervalo .

Suponhamos, inicialmente, que a série gi(x) + g2(x) + . . . converge, em qualquer posição do intervalo , p a r a a função l imite f(x). Designemos por fn(x) a soma parc ia l de ordem n da série, isto é, fn{x) = gL(x) + + • • • + gn(x), e por Rn(x) o resto d a mesma após n termos

Rn(x) =/0r) - / „ ( * ) .

A série g i ( x )4 - g 2 ( x )+ . . . terá convergência uniforme no intervalo, se a cada número positivo e corresponder um número N , dependente só de e, e não de x, tal que para n > N a desigualdade | R„(a:) | = \ f(x) — f„(x) < e se verifique para todos os valores de x do intervalo.

Traduz indo o conceito mais objetivamente, a soma parc ia l fn(x) representa a soma f(x) com erro inferior a e em qualquer posição do intervalo, simultaneamente, desde que, apenas, se tenha escolhido n suficientemente grande. Pelo critério de C a u c h y verif icamos, em seguida, que a série convergirá se, e somente no caso em que a diferença 1 fn(x) - fm(x) I puder ser tornada menor do que a quantidade arbitrária e, em qualquer parte do intervalo , pela escolha de n e m maiores do que N, independente de x. Se a convergência for uniforme, podemos fazer tanto | fn(x) - f(x) \ como | fm(x) - f(x) | menores do que e/2, atribuindo-se a n e m valores maiores do que o número À7, independente de x, de sorte que \fn(x) ~ fm(x) | < e. Verif icando-se esta última desigualdade para qualquer valor de x, sempre que nem sejam maio res do que N, estabelecendo-se u m valor fixo de n< N e fazendo m crescer além de todos os l imites, teremos a relação

I j»(aO - /(») I = Km I /„(*) - I % €,

para cada valor de x, de modo que a convergência será uni forme. P a r a abordarmos a convergência uniforme das seqüências de fun

ções, bastam apenas algumas alterações insignificantes n a definição

anterior. A seqüência fi(x), /o(a;), . . . convergirá uni formemente para f(x), n u m interva lo , se a diferença |/(a;) - fn(x) | puder ser t o rnada menor do que e em qua lquer posição do in te rva l o , pe la escolha de n maior do que o número N, independente de x. C o m o v imos a c i m a , a condição necessária e suf ic iente p a r a a convergência un i f o rme d a seqüência, é que I fn(x) - jm{x) \ < e p a r a todos os valores de x, quando n e m forem, ambos, maiores do que N, dependente de e, mas não de x.

Veremos em breve que é jus tamente a convergência un i forme que faz com que, tanto as séries i n f i n i t a s , como outros processos de l i m i t e com funções, sejam ins t rumentos de grande u t i l i d a d e e emprego na análise. A for tunadamente , nos processos de l i m i t e normalmente encontrados no cálculo, e nas suas aplicações, a convergência não-uni-forme é u m a espécie de fenômeno excepcional , q u e raramente p e r t u r bará as presentes aplicações analíticas.

N a maior ia dos casos, a un i f o rmidade d a convergência das séries é estabelecida pelo seguinte critério:

«D

Se os termos da série X g„(x) satisfizerem a condição j g„(x) | ^ a„, em *=1 CD

que os números a„ são constantes que formam a série convergente X a „ » „=i

a série X g„(x) convergirá uniformemente (e, podemos observar- incidental-

mente, de maneira absoluta). Teremos, assim,

m m m

I s gM I ^ s I g,(x) l i s a , , v = n v = n v = 7 í

m

e como, pelo critério de C a u c h y , a soma X av pode ser t o r n a d a a r b i -v = n

tràriamente pequena p e l a escolha de n e m > n bas tante grandes, a relação exprime a condição necessária e suf i c iente d a convergência uniforme.

U m primeiro exemplo é fornecido pela série geométrica 1 -{- x + z2 + . . . , em que x fica restringido ao intervalo | as j è q, sendo q qualquer número positivo menor do que 1. Os termos desta série são, portanto, menores ou iguais aos da série convergente ~Zqv.

Outro exemplo é dado pela "série trigonométrica" ci sen (x - 5i) cz sen (s - S2) cz sen (x — 53)

V I I I ] CONVERGÊNCIA U N I F O R M E 393

desde que | | < c, sendo c u m a constante p o s i t i v a , independente de n. Teremos, então,

ca sen (x - ô„) c gj,x) = , de modo que | gn(x) j < —.

n- n-

À convergência uni forme e absoluta d a série trigonométrica decorre, por tanto , da co c

convergência da série 2 —. » = l n2

3. Continuidade da soma de uma série de funções contínuas uniformemente convergentes.

Como já indicamos, o significado da convergência uniforme das séries infinitas reside no comportamento destas séries que, sob muitos aspectos, é semelhante à soma de um número finito de funções contínuas. Assim, por exemplo, a soma de um número finito de funções contínuas ê, por sua vez, uma função contínua, o que nos dá o seguinte teorema correspondente:

Se uma série de lermos confímws convergir uniformemente num intervalo, a sua soma será uma função contínua.

A demonstração é muito simples. Subdividamos a série f(x) = gÂx) + 92Íx) + ...

na sua soma parcial de ordem n, fn(x), mais o resto Rrl(x). Como de costume, fn(x) = gi(x) + ... + gn(x). Estabelecendo-se, então, qualquer número positivo e, poderemos, em virtude da convergência uniforme, fixar n tão grande, que o resto seja menor do que e/4 em todo o intervalo, vindo, pois,

\Rn(x+h)~Rn(x)\<^

para cada par de números x e x + h do intervalo. A soma parcial fn(x) consiste na soma de um número finito de funções contínuas, sendo, portanto, contínua. Logo, para cada ponto x podemos escolher um 5 positivo, tão pequeno, que

\fn(x+h)-fn(x)\<e2

desde que | h \ < ô* e que os pontos x e x + h pertençam ao intervalo. Segue-se, então,

+ h) -J(X) ! = \UX + h) ~fn(x) + Rn(x + h) - Rn(x) | ^ \fn(x +h)~ fjx) I + I Rn(x + k) ~ Rn(x) \ < €,

que exprime a continuidade da função proposta.

O significado deste teorema torna-se c laro quando lembrarmos que as somas de séries de funções contínuas de convergência nao-uniforme não são necessariamente contínuas, como v imos nos exemplos que apresentamos. Concluímos, portanto , do teorema exposto, que se a soma de u m a série convergente de funções contínuas t iver u m ponto de descontinuidade, a convergência será nao-uniforme nas vizinhanças deste ponto. Logo, a representação das funções descontínuas por meio de séries de funções contínuas é baseada no emprego de processos de l imite de convergência nao-uniforme.

4. In tegração das séries d e c onvergênc ia u n i f o r m e .

A soma de u m número f in i to de funções contínuas pode ser " in te grada termo por t e r m o " , isto ê, a integral d a soma pode ser determinada , integrando-se cada u m a das suas parcelas, separadamente, e somando-se as integrais. N o caso das séries convergentes inf initas pode-se empregar o mesmo processo, desde que a série convir ja uniformemente no intervalo de integração.

«o Uma série do tipo 2 g„(x) = f(x), uniformemente converqenle num

intervalo, pode ser integrada termo por termo neste intervalo. O u , mais precisamente, se a e x forem duas posições no intervalo de convergência

co rx uniforme, a série 2 / g„(t) dt convergirá e, efetivamente, convergirá uni-

v — l j a

formemente em relação a x para cada valor fixo de a, valendo a sua soma,

J f(t) dt. P a r a prová-lo, escrevamos como antes

f(x) = 2g.(x) =*Mx) + Rn(z). v = l

A d m i t i m o s que os termos isolados d a série são funções contínuas, logo, pela subseção precedente, a soma respect iva é contínua, e, portanto, integrável. Se e fôr u m a quant idade p o s i t i v a qualquer , podemos determinar u m número N tão grande que a desigualdade | Rn(x) | < e se verif ique para qualquer n > N, p a r a cada va lor de x do intervalo . 0 primeiro teorema do valor médio do cálculo i n t e g r a l nos dá

VIII] CONVERGÊNCIA U N I F O R M E 39«"»

em que l é o comprimento do intervalo de integração. A integrarão da soma finita fn(x) podendo ser realizada termo por termo, dará

/(O dl - 2 / 0,(0 dl 1 J a

< d.

Uma vez que d pode ser tomado tão pequeno quanto quisermos, teremos

2 / gXO dl = l i m 2 / gv(f) dl = / /(/) dt,

como devíamos provar. Se, em vez de lidar com séries infinitas, quiséssemos fazê-lo com

seqüências de funções, o resultado seria traduzido da maneira seguinte: Desde que a seqüência de funções fi(x), fsfa), . . . tenda uniforme

mente para a função-limite f(x), num intervalo,

f(x) dx ~ l im / fn(x) dx : para qualquer par de valores a e b do intervalo. E m outras palavras: ê possível permutar a ordem das operações de integração e passagem ao limite.

O que acabamos de enunc iar está longe de ser u m fa to t r i v i a l . E verdade que, de u m ponto de v i s t a i n t u i t i v o , como preva leceu no século X V I I I , d i f i c i l m e n t e seria pos ta e m dúvida a i n t e r p e r m u t a b i l i d a d e dos dois processos. E n t r e t a n t o , u m olhar aos exemplos do n.° 1 desta seção (pág. 387) m o s t r a que, nos casos de c o n vergência não-uniforme, a equação a c i m a não se v e r i f i c a . B a s t a considerarmos o exemplo 2 (pág. 387) no q u a l a i n t e g r a l d a função-limite é 0, ao passo que a d a função / « (x ) no i n t e r v a l o 0 ^ x â 1, i s to é, a área do triângulo (fig. 5) va le

// o ( x ) dx = n«—2,

o

e quando a ^ 2 não converge p a r a zero . N e s t e caso, v e m o s i m e d i a t a m e n t e que a

diferença entre / j{x) dx e l i m f fSx)dx é m o t i v a d a p e l a n a o - u n i f o r n m i d a d e J o n->°= J o

da convergência. P o r outro l a d o , considerando valores de a , ta is que 1 á a < 2, vemos que a

o r a a c o n -equação l i m / fa(x) dx = / j(x) dx pode ser verdade i ra , m u i t o emb l i - . » J o J o

CO

vergência não se ja u n i f o r m e . C o m o exemplo , a série 2 gD(x), onde gn(x) — xn-xn~í

o para n e l e g0(x) = 1, pode ser i n t e g r a d a t e r m o p o r t e r m o entre os l imi tes 0 e 1,

396 S E R I E S I N F I N I T A S [ C A P .

mesmo que não possua convergência uniforme. Assim, enquanto a uniformidade da convergência é condição sujicienle para a integrabilidade termo por termo, não é. de modo algum, condição necessária. O desconhecimento destas particularidades pode, facilmente, conduzir a erros.

5. Der ivação d e sér ies i n f i n i t a s .

O c ompor tamento das séries u n i f o r m e m e n t e convergentes ou das seqüências c o m relação à derivação, ê c omple tamente d iverso do refe-

rente à integração. P o r exemplo, a seqüência de funções (fnx) = n

certamente converge , c o m u n i f o r m i d a d e , p a r a a função-Hnnte/(#)== 0, porém, a d e r i v a d a / „ ' (x) = n cos n2x não converge p a r a a d e r i v a d a da função l imi te / ' (x) = 0, c omo podemos v e r , fazendo x = 0. A despeito da uni formidade d a convergência, não é possível alterar-se a ordem dos processos de derivação e passagem ao l i m i t e .

Enunc iados correspondentes p o d e m ser formulados , natura lmente , para as séries i n f i n i t a s . P o r exemplo , a série

sen 24x sen 34ar sen x + ' p — + «• •

possui convergência abso luta e un i f o rme , v i s t o seus termos não serem numer i camente maiores d o que os d a série convergente 1 1 1

p + o2 + p ~f~ • • • • D e r i v a n d o , en t re tanto , esta série t e rmo por ter

mo, obteremos cos x + 2 2 cos 24x - f 3 2 cos 3*x -f- . . . ,

que não converge em t o d a a p a r t e ; p o r exemplo , ela é d ivergente em x = 0.

O único critério capaz de assegurar que a derivação, t e r m o por ter

mo, é permissível e m casos especiais, é o p r o p o r c i o n a d o pelo seguinte teorema:

o»

Quando a derivação de uma série infinita convergente 2 G„(x) = F(x )

produzi- uma série de termos contínuos, S gv(x) = f(x)," dotada de con-

urgência uniforme, a soma dos termos da série resultante ê igual à derivada da soma da série primitiva. E s t e t e o r e m a requer , p o r t a n t o ,

VIII] CONVERGÊNCIA U N I F O R M E 397

expressamente, que depois de derivar a série, termo por termo, investiguemos se a série resultante é ou não uniformemente convergente.

A demonstração é muito simples, pois, pelo teorema do n.° 4 (pág. 394) é possível integrar-se termo por termo as séries obtidas por derivação. Recordando que g,(t) = Gy'(t), teremos

/

X í X & CO fX CO

RO dt= [ 2 gv(t)\ dt = 2 / 0,(0 dl = 2 [G,(x) - G„(a)J = F(z) - F(a).

Como isto se verifica para qualquer valor de x no intervalo da convergência uniforme, segue-se que

Rx) = F'(x),

o que queríamos demonstrar.

E X E M P L O S

1. M o s t r a r por comparação com uma série de termos constantes que as séries seguintes convergem nos intervalos indicados:

(a) x - x 2 + x 3 - xi + . . . (- lA S x á 14).

(6) Va V 1 - x- + V* V 1 - z 4 + VB V l - x 3 + • • • + ^ ^ 1 - x-a + • • •

( - l á x ^ D -

, s sen x , sen 2x , . sen nx . (C) . ^ + + . . . + • - n T - - - - - -

(d) e* 4- e 2 1 + . . . - f é " + . . . ( - 2 á x á - 1 ) .

2. Demonstrar que l im / n(x) = 0, onde jn(x) = 3 . - 1 ^ s á 1- M o s -x. r* TI *c

trar que a convergência é não-uniforme.

3 * (a) Determinar l i m / ^ x ) , sendo / . ( i ) = ^ a ' 2 a , Demons-n—»co -L "T" 7 l~ X

trar que a convergência não ê uniforme. Demonstrar, ainda, que de modo algum,

l im f jn(x) dx = f l i m /,(s)'dz.

n a x 2

(ò) D iscut i r o comportamento da seqüência dada por f»(x) = - ^ - relati

vamente à convergência, convergência uniforme, e sua integração termo por termo.

4.* Desenhar as curvas y = ja(x) = ^ , - 2 g x ^ 2, para a = 1, 3, 10 .

Determinar lim / Q (x) . Demonstrar que a convergência não é uniforme.

5. M o s t r a r que 2 e——") 2 converge de m a n e i r a uniforme em qualquer i n -lf = CD

tervalo determinado a á x ^ b.

6. Demonst rar que as seguintes seqüências convergem, porém, não uniformemente, no interva lo 0 g i ^ - :

(a) V sen x. (d) [J(x)]\ sendo j(x) = , /(O) = 1. x

(6) ( senx) n .

(c) v x sen x. (e) v / í » , sendo / » = /(O) = 1. x

7. A seqüência /u (x) = 1, 2, . . . , é def inida no i n t e r v a l o 0 | j | l pela equação.

Ío(x) s 1, / n ( x ) = V x/a_i(x). (a) D e m o n s t r a r que, neste in terva lo , a seqüência converge p a r a u m l i m i t e con

tínuo. (&)* P r o v a r que a convergência é uni forme.

8 * Consideremos/o(x) contínua no interva lo 0 ^ x g a. A seqüência de funções /» (x) é def inida por

/ n ( x ) = dt, n = 1, 2,

Demonstrar que em qualquer intervalo determinado , 0 5S x íS a, a seqüência converge uniformemente p a r a zero.

9. Desenhar as curvas x 2 n + y 2 n = 1, p a r a n = 1, 2, 4. P a r a que l imi te tendem estas curvas, quando n -» °° ?

10. * S e j a /o(x), n = 1, 2, . . . , u m a seqüência de funções, com derivadas contínuas, no in terva lo a â x ^ ò. P r o v a r que, se J u ( x ) fôr convergente em todos os pontos do interva lo , e a desigualdade | / / ( x ) | < M (onde M é constante) se v e r i ficar para todos os valores de n e de x, a convergência é uni forme.

5. SÉRIES D E POTÊNCIAS

As séries de poiências ocupam o lugar preponderante entre as séries infinitas. Designamos por este nome uma série do tipo

P(x) = Co -f- cix + c2x2 -{-... = 2 cvxv

("série de potências em x"), ou mais geralmente, 00

P{x) = Co + Ci(x - XQ) + C2(X - XQ)2 -f- . . . = 2 cv{x - xQy

["série de potências em (x - z 0 )"L em que x0 é um número fixo. Se introduzirmos na última série, £ = x - x0 como nova variável, teremos

V I I I ] S É R I E S D E P O T Ê N C I A S 399

u m a série de potências, 2 c£", n a n o v a variável £, sendo, po is , possível

concentrarmos a atenção somente n a série de f o r m a m a i s especial

2 c„xv, sem r e s t r i n g i r m o s a generalização do p r o b l e m a . *=o

N o capítulo VI (pág. 320) estudamos a representação a p r o x i m a d a das funções p o r meio de pol inómios, chegando a s s i m a desenvolvê-las segundo a série de T a y l o r , a q u a l , e fe t ivamente , é u m a série de potências. N e s t a s ^So estudaremos as séries de potências de f o r m a mais minuc iosa , desenvo lvendo e m série as funções m a i s i m p o r t a n t e s , de modo mais s imp les e c onven iente do seguido anter iormente ,

1. P r o p r i e d a d e s d e c o n v e r g ê n c i a d a s sér ies d e p o t ê n c i a s .

H á séries de potências que não c onvergem p a r a v a l o r a l g u m de x, exceto, n a t u r a l m e n t e , p a r a x = 0. P o r exemplo , a série

x + 2 V + 332c3 + • •. + nnxn + . .. . N o caso de x ^ 0, é possível de terminar - se u m i n t e i r o N t a l que

I x I > l/N. Então , todos os termos nnxn p a r a os qua is n > N serão maiores do que 1 em v a l o r abso luto e, e fet ivamente , à m e d i d a que n cresce, nnxn crescerá além de q u a l q u e r v a l o r , de sorte q u e a série d e i x a de ser convergente .

P o r outro l a d o , há séries que c o n v e r g e m p a r a qualquer valor de x. P o r exemplo, a série de potências d a função exponenc ia l

a r a r

e s = l + cc + — + — + . . . ,

cuja convergência, p a r a qua lquer v a l o r de x, decorre do critério d a relação (critério I l l a , pág. 378). O t e r m o de o rdem (n + 1) d i v i d i d o pelo de ordem n dá xjn, e, qua lquer que seja o x escolhido, esta relação tenderá p a r a zero , à m e d i d a que n crescer.

O c o m p o r t a m e n t o das séries de potências r e l a t i v a m e n t e à convergência é expresso pelo seguinte t e o r e m a f u n d a m e n t a l :

Quando urna serie de potências em x convergir para o valor x = £, convergirá deforma absoluta para qualquer valor de x tal que | x | < | £ |, convergindo uniformemente em todos os intervalos | x | S 17, em que 77 for um número positivo qualquer, menor do que j £ |. N e s t e caso, rj pode ficar tão próximo de | £ | q u a n t o qu isermos .

A demonstração é s imples . Se a série 2 cv£" c onverg i r , os seus têr-^=0

400 SÉRIES I N F I N I T A S [CAP.

mos tenderão para 0, à medida que n crescer. Da i segue-se que todos os termos ficarão abaixo de um certo limite M , independente de v, ou seja, i c„£" | < M. Se designarmos por q um número qualquer, de modo que 0 < q < 1, e se restringirmos x ao intervalo j x | 2s q | £ |,

co

teremos | cX | ^ | | qv < Mq\ Os termos da série X c„xv são, porém, o

neste intervalo, menores do que os da série geométrica convergente XMq". Logo, do teorema da página 392 deduz-se a convergência absoluta e uniforme da série, no intervalo - q \ ^ \ ^ x ^ \ ^ \.

Quando uma série de potências não for convergente em todas as posições, isto é, se houver um valor x = £ para o qual diverge, ela será divergente para todos os valores de x, tais que [ x | > | £ j , porque se fosse convergente para estes valores de x, pelo teorema acima, também o seria para os valores de |, numericamente inferiores.

Do que foi exposto verificamos que, uma série de potências que converge, no mínimo, para um valor de x, diferente de 0, e diverge, ao menos, para um valor de x, possui u m intervalo de convergência. Existirá, então, um número p, positivo e definido, tal que a série divergirá para | x j >p, convergindo para | x j < p. Para x = p, nada pode ser enunciado, de um modo geral. Os casos-limite, isto é, aqueles em que a série converge somente para x = 0 ou em que converge em toda a parte, são representados, simbolicamente, por p = 0 e p = » , respectivamente

P o r exemplo, p a r a a série geométrica 1 + x -f- z2 -f- . . . , teremos p = 1. A série será divergente nos pontos extremos do i n t e r v a l o de convergência. D a mesma forma, p a r a a série d a função inversa d a tangente (pág. 319),

are tg x = x - x 3 / 3 -f- x5/5 —\- ...,

teremos p = 1, ver i f i cando-se que a série converge e m ambos os extremos, x = ± 1 , do i n t e r v a l o de convergência, como se reconhece logo, pelo critério de L e i b n i t z (pág. 370).

Q) É possível determinar-se o intervalo de convergência referido, diretamente, dos coeficientes iy da série. Existindo o limite lim 's/ |cu| teremos

n—* co r

p lim -\/ |<Sa|" n~> co

Geralmente, p é dado pela fórmula 1

hm V |c„| n—»<°

em que lim é o símbolo do limite superior, como já foi definido no apêndice do capítulo I (pág. 62).

VIII] S E R I E S D E POTÊNCIAS 401

Da convergência uniforme tiramos a importante dedução que, no intervalo de convergência (se êle existir) a série de potências representa uma função contínua.

2. Integração e derivação das séries de potências.

Tendo em vista a uniformidade da convergência, ê sempre possível integrar-se uma série de potências.

f(x) = S c„xv

termo por termo em qualquer intervalo fechado, desde que êle se encontre, inteiramente, no intervalo de convergência. Obteremos, assim, a função

F(x) = c+ £ ~ ~ 7 Z H - \ v=ov - f - 1

para o qual F'(x) = f(x). c„

Além disso, como — ; — r v + 1

obtida por integração convergirá muito mais rapidamente do que a original.

Podemos, também, derivar a série de potências, termo por termo, no intervalo de convergência, obtendo a equação

f(x) = 2 vcX~x-v * * l

Para demonstrar esta afirmação, basta mostrar que a série do segundo membro convergirá uniformente, se x for restringido a um intervalo contido inteiramente no intervalo de convergência. Suponhamos, então, que £ é um número, tão próxmo de p quanto quisermos,

co

para o qual S c „ ^ é convergente. Como já vimos anteriormente, todos </=i

os números |c , f | ficarão abaixo do limite M, independente de v, de

forma que | c^if - 1 | < ~T7 = N. Seja q um número qualquer quesatis-I « I

faça à condição 0 < q < 1. Se limitarmos x ao intervalo \x \ Sq \ £ I» os termos da série em apreço não serão maiores do que os da série

á I c„ I para todos os valores de v, a série

2 I vc^'1?"11, e, portanto, serão menores do que os da série 2 Nuq' v - l

S É R I E S I N F I N I T A S [CAP.

N e s t a última série, porém, a relação entre os termos de ordem (n -f-1)

,n + 1

e n, é — - — q, a q u a l tende para q, à medida que n cresce. C o m o sabemos que 0 < q < 1, segue-se (critério I l l a , pág. 378) que a série é convergente. Logo , a série obtida por derivação converge uniformemente, e pelo teorema da parte f ina l da seção anterior (pág. 396), representa a der ivada / ' (x) da função proposta, f(x), f i cando assim provado o nosso enunciado.

Se aplicarmos este resultado, novamente , à série de potências

f{x) = S ^ - 1 , teremos, derivando termo por termo,

co f(x) = 2 V (y - 1) CVXV~2,

v = 2 -

e, continuando o processo, chegaremos ao teorema: Qualquer função representada por uma série de potências pode ser derivada termo por termo quantas vezes quisermos, no intervalo de convergência

3. Operações c o m as séries de p o t ê n c i a s .

Os teoremas que acabamos de demonstrar permitem operar-se com as séries de potências, do mesmo modo que com os polinómios. É claro que duas séries de potências podem ser somadas ou subtraídas, s omando-se ou subtraindo-se os coeficientes correspondentes (pág. 376). É iguamente claro que u m a serie de potências, como qualquer série convergente, será m u l t i p l i c a d a por u m fator constante, se cada u m dos seus termos for m u l t i p l i c a d o pelo fator em questão. P o r outro lado, a multiplicação e a divisão das séries de potências exigem estudo mais detalhado, e, p a r a t a l , remetemos o l e i tor ao apêndice (pág. 416).

(*) Como representação explícita d a der ivada de o r d e m k, obtemos

/(fc) ( r ) = s „ („ - i) . . . (p - fe - f 1) cvx>- K

ou, sob forma ligeiramente diversa,

Estas duas fórmulas são empregadas freqüentemente.

VIII] SÉRIES D E POTÊNCIAS 403

Aqui , nos limitaremos a afirmar, sem demonstrá-lo, que duas séries de potências

co

f(x) = 2 avx* v = 0

co e g(x) = 2

podem ser multiplicadas como os polinómios. Para concretizar, temos o seguinte teorema: o produto destas duas séries, na parte comum dos seus intervalos de convergência, é representado pela série de potências,

co

convergente, 2 cvxv, era que os coeficientes c„ valem, respectivamente,

c0 = a0bo» ci = a0bi -f- axbQi

Co = 0062 + o-ibi + dobo.

Cn = Oobn + a i & n - i + . . . + O.nb0t

(Demonstração no apêndice, § 1, pág. 416.)

4. Teorema da unicidade das séries de potências.

O fato seguinte é muito importante na teoria das séries de potên-co 00

cias: se duas séries de potências 2 a.x" e 2 b„x" forem, ambas, conver-gentes num intervalo que contenha o ponto x = O, e se as duas séries representarem a mesma função f(x) neste intervalo, elas serão idênticas, ou seja, a equação an — bn se verifica para qualquer valor de n. E m outras palavras:

Uma função f(x) pode ser representada por uma série de potências em x, unicamente de uma forma.

Mais simplesmente, a representação de uma função por uma série de potências é única.

Para demonstrá-lo, basta notar que a diferença entre as duas séries, co

ou seja, a série de potências 4>(x)= 2 cvxv com os coeficientes cv = a„-bP

representa a função tf(aO=/(x)-/(*) = O

no Intervalo considerado, ou seja, esta última série converge para o limite 0 em qualquer posição do intervalo. P a r a x = 0, em particular, a soma da série deverá ser 0; isto ê, c 0 = 0, de sorte que a 0 = b0. Der i vando a série, no interior do intervalo, virá <j>' (x) ~ 2 vcvx''~1. M a s , <t> (x)

é, também, nu la , no intervalo, portanto, para o caso particular em que x — 0, teremos Ci = 0 ou a± — o2. Prosseguindo com este processo, isto ê, derivando e fazendo, em seguida, x = 0, acharemos sucessivamente que todos os coeficientes c„ são iguais a zero, o que demonstra o teorema.

Podemos, além disso, t irar a seguinte conclusão da discussão que acabamos de fazer: se tomarmos a derivada de ordem v da série f(x) =» = 2 avxv e se fizermos x — 0, teremos imediatamente

a, = i / w ( 0 ) ,

ou seja: Qualquer série de potências que convergir para pontos diferentes de

x = 0, é a série de Taylor da função representada. A unicidade do desenvolvimento é expressa, neste caso, pela deter

minação dos coeficientes, que é feita de forma única, pela própria função.

6. D E S E N V O L V I M E N T O D E C E R T A S F U N Ç Õ E S E M S É R I E S D E P O T Ê N C I A S ,

M É T O D O D O S C O E F I C I E N T E S I N D E T E R M I N A D O S . E X E M P L O S .

Cada série de potência representa, no interior do intervalo, uma função contínua, com derivadas contínuas de todas as ordens. E s t u daremos, agora, o problema inverso, isto é, o desenvolvimento das funções dadas, em séries de potências. Teoricamente, sempre será possível fazê-lo, pelo teorema de T a y l o r ; na prática, porém, muitas vezes surgem dificuldades no cálculo efetivo da derivada de ordem n e n a avaliação do resto. Quase sempre, entretanto, é possível atingir o objetivo visado, com mais facilidade, empregando-se o seguinte artifício. P r i meiramente, escreveremos a relação f(x) = 2 cvxp, em que todos os

coeficientes cv são desconhecidos, de início. Depois, por alguma propriedade conhecida da função f(x) determinam-se os coeficientes, com-provando-se a convergência da série. E s t a representa uma função, restando, apenas, demonstrar que t a l função é idêntica a f(x). Devido à

VIII] D E S E N V O L V I M E N T O E M SÉRIES D E POTÊNCIAS 405

unicidade do desenvolvimento em série de potências, sabemos que nenhuma outra, a não ser a série determinada, poderá ter o desenvolvimento procurado. Vejamos, agora, alguns exemplos deste método. Efetivamente, já deduzimos as séries para are tg x e log (1 + x) por um método que faz parte da ordem de idéias apresentadas no presente capítulo, visto as termos obtido integrando, simplesmente, as séries das derivadas destas funções, que sabemos serem séries geométricas, termo por termo.

1. Função exponencial.

O problema consiste em determinar uma função j(x) para a qual /'(x) = j(x) e 7(0) = 1. Se escrevermos a série com os coeficientes indeterminados

j(x) = Co + cxx -f- c2x2 - f . . . ,

e a derivarmos, obteremos

/'(x) = Ci + 2c2x + 3c3x2 -f- . . . .

Como, por hipótese, estas duas séries de potências devem ser idênticas, teremos

a equação

verdadeira para qualquer valor de n ig 1. Se observarmos que, devido à relação /(O) = 1, o coeficiente c0 deve valer 1, poderemos calcular todos os coeficientes sucessivamente, obtendo, então, a série de potências

X X2 X 3

* W - 1 + D + Ü + S + - *

Como vemos facilmente, pelo critério da relação, esta série converge para qualquer valor de x, representando, pois, uma função para a qual se verificam efetivamente as relações j'(x) =/(x) e /(O) = 1. (Evitamos, intencionalmente, empregar o que já aprendemos sobre o desenvolvimento da função exponencial.)

A função ex possui, certamente, estas propriedades; deduzimos prontamente, pois, que a função /(x) é idêntica a ex. Formando-se o quociente $(x) = j(se)lex, e derivando, virá:

é*f'(x) - e*j(x) * ' ( * ) - . , - 0 .

A função <t>(x) é, portanto, uma constante, e já que tem o valor 1 para x = 0, deve ser identicamente igual a 1, ficando assim demonstrado que a nossa série de potências e a função exponencial são idênticas (discussão análoga, pág. 178).

406 S É R I E S I N F I N I T A S [CAI*.

2. Série binômia.

Podemos , agora, re tomar à série binômia (cap. V I , § 3, pág. 329), e m p r e gando, desta vez, o método dos coeficientes indeterminados . Queremos desenvo lver a função / (x ) = (1 -+• x)° em série de potências. Escreveremos , po is ,

/ (x ) = (1 + a:)" = Co + CjX + c2x2 -f- . . . ,

onde c representa os coeficientes a determinar . N o t a m o s que a função d a d a deve , obv iamente , satisfazer à relação

CO

(l + x ) / ' ( x ) = a / ( x ) = 2 ac,x".

P o r outro lado , derivando-se a série de / (x ) , termo por t e r m o , e m u l t i p l i c a n d o por (1 -f- x), obteremos

(1 + x)j'{x) = cy + {2c2 + C l ) x + (3c 2 + 2c 3 )x 2 -h . . . ;

v is to como as duas séries de potências devem ser idênticas,

ac0 — Ci, acx = 2c á + c l s ac2 — 3c 3 + 2c 2 , . . . .

É certo que c u = 1, desde que a série deve ter o va lo r 1 p a r a x = 0 e d e t e r m i n a r e mos, sucessivamente, as expressões

{a - 1)« (a - 2) (a - l)a «i = a, c2 = , c 3 =» —— . . . ,

£ 2* . o

para os coeficientes, e, e m geral , como se pode estabelecer c o m fac i l idade ,

( a - v + 1) ( a - v +- 2) . . . (a - l ) a c = v(v-l) . . . 2 . 1

S u b s t i t u i n d o ta is valores, teremos a série S ( ) x". Devemos , a i n d a , i n v e s t i g a r

a sua convergência, e mostrar que e la representa, e fet ivamente , (1 -f- x)a. P e l o c r i tério d a relação verif icamos que quando a não fôr inte i ro pos i t i vo , a série será convergente se | x \ < 1 e divergente se | x j > 1, v isto a relação entre os t e r m o s

de ordem (n + l j e n ser x, cu jo v a l o r absoluto tende p a r a | x | q u a n d o

n cresce além de qualquer l imi te (*). L o g o , se j x | < 1, a série representará a função f(x) que satisfaz a condição (1 + x)f'(x) = af(x), como se deduz do m o d o de f o r -

(!) Estabeleceremos, sem demonstração, as condições exatas sob as quais esta série convergirá. Se o expoente a fôr um inteiro è 0, a série terminará, sendo portanto válida para qualquer valor de x (transformando-se no teorema ordinário do binômio). Para qualquer outro valor de a a série apresentará convergência absoluta para | x |< 1, e divergência para | x | > 1. Para t = > f l a série será absolutamente convergente, se a > 0, condicionalmente convergente, se - 1 < a < 0, e divergente, quando a á - 1 . Finalmente, quando a > 0, a=série terá-convergência absoluta no ponto x " - 1, e divergência, se a < 0.

VIII] DESENVOLVIMENTO E M SERIES D E POTENCIAS 407

mação dos coeficientes. Além disso, /(O) — 1. Estas duas condições, porém, asseguram a identidade entre J(x) e (1 + x)a

t pois, fazendo

4>(x) = + *)« achamos que

„ , (1 + a * \ f < a : ) - a ( l + x)«-lj(x) n

= — — — = 0; (1 + a;)2**

<£(;c) é3 portanto, uma constante e3 de fato, é sempre igual a 1, visto que ç»(0) ~ 1. Provamos, assim, que quando | x \ < 1,

(1 + ar)* 2 f * ) * ' .

a qual representa a série binômia. Citaremos, em continuação, os seguintes casos especiais da série binômia: a

série geométrica 1

= ( l + XY1 = 1 - X + X- -X3 + £4 - -\- . . . 1 + x " •

= 2 ( - l)»x>", e = 0

a serie 1

( 1 + x)'- = 1 - 2x + 3 x 5 - - l x s

d + x ) 2

" ( - - f - l ) x " , i . = 0

que pode, também, ser deduzida da série gtométrica por derivação; a série: / 1 1 1-3 ,

V i + x = (1 + x)ir2= n - - x x- 4 x 3

2 2 . 4 2 . 4 . 6

1 . 3 . 5 x" 4- , 3 . 1 . 6 . «

1 1 1.3 1 . 3 . 5 - 7 = = = (1 4 - x ) - 1 ' 2 = 1 - - x 4- — x 2 x» •JL + x 2 2 . 4 2 . 4 . 6

1 . 3 . 5 . 7 4 x*- 4-

2 . 4 . 6 . 3

da qual se empregam os primeiros dois ou três termos como aproximações correntes.

3. Série de a r e s e n x. Esta série é obtida facilmente, desenvolvendo-se a expressão 1/ V1 - í2, de acordo

com as séries binômias, 1 1 3

( l - / 2 ) - 1 / 2 = 1 4- -l2 + T 1 Í Í + . . . -2 2 . 4

E s t a série convergirá se j t \ < 1, converg indo uni formemente quando 11 | s= q < 1. Integrando-a t e r m o por t e rmo , entro O e i , teremos:

l z 3 1.3 z 5

are sen x = x -\ f- h • • •"» 2 3 2 .4 5

vemos, então, pelo critério d a relação, que e la convergirá se |z[ < 1, e divergirá se j x I > 1.

A dedução d a série a c i m a , p a r t i n d o do teorema de T a y l o r , seria, dec id idamente , menos conveniente, e m face das d i f i cu ldades que s u r g i r i a m quando se tivesse que ca l cu lar o resto.

4. Série de Are Sh x = log (x -f- V I + x 2).

O desenvolv imento desta função é ob t ido por u m método semelhante ao que acabamos de empregar . U s a n d o o t eorema do b inômio , podemos escrever a série para a d e r i v a d a de A r e S h x,

1 1 1.3 1 .3 .5 / = 1 — x- -\ z 4 x ° + - . . . ,

V l - f - z » 2 2 . 4 2 . 4 . 6

integrando-a , depois , termo por t e r m o . Obtemos , então, o desenvo lv imento

í 0 1 l z 3 l.Sx* A r e oh x = x 1 r- . .

2 3 2 .4 5 *

cujo in terva lo d e convergência é - 1 ú x è 1.

5. Exemplo de multiplicação de séries. O desenvolv imento d a expressão

log (1 + x)

1+x

é u m exemplo s imples d a aplicação d a regra r e l a t i v a à multiplicação das séries de potências. B a s t a , apenas, m u l t i p l i c a r a série logarítmica

log (1 + x) = x - — + — - T + - • • • 2 3 4

pela série geométrica 1

— - — = 1 - x + x~ - x3 - f x* - + . ..; 1 +• x

como o le i tor poderá ver i f i car p o r si n iemso , p a r a se ter a série notável

l o g ( l - r - z ) f i x s \ i x

- T + T — - O + 2 > + ( 1 + i + 3 > '

í 1 1 I N para [ x \ < 1.

VIII] D E S E N V O L V I M E N T O E M SÉRIES D E POTÊNCIAS 409

6. Exemplo da integração termo por termo (integral elíptica). J á encontramos, em aplicações anteriores, a integral elíptica

f ir/2

J 0 V1 - k- sen2 ip K

(período de oscilação do pêndulo, pág . 302). P a r a ca l cu larmos esta i n t e g r a l poderemos, e m p r i m e i r o l u g a r , desenvo lver o i n t e g r a n d o pelo teorema do b inômio , v i n d o então,

1 1 1.3 = 1 + - k2 s e n 2 <p H fe4 sen" ? V l - f e 2 s e n 2 ^ 2 2.4

1.3.5

2.4.6

C o m o fe2 s e n 2 <p j a m a i s é ma io r do que fe3, a série converge un i f o rmemente para todos os valores de <p, podendo ser i n t e g r a d a t e r m o p o r t e r m o :

r x/2 dip r T / 2 1 f K «= / , , „ —f= - de + -k2 s e n 2 9? Í/V»

"v 1 - fe-sen-VP ^ o 2 J o 1.3

-1 fe4 / s en 4 <p í/ta + .... 2.4 J o

As integrais que aparecem no desenvo lv imento já f o r a m calculadas ( C a p . I V , § 4,

pág. 223). S u b s t i t u i n d o - s e os seus va lores , virá

rr/z <1<P - I" / l \ a , K " / o V l ^ P s e n ^ " d 1 + ( i ) *' + (TO **

P a r a outros exemplos sobre a t e o r i a das séries, remetemos o le i tor ao apêndice deste capítulo (pág. 415).

E X E M P L O S co

D e t e r m i n a r os in terva los de convergência d a série 2 a a z n , sendo aa dado pelas n = l

fórmulas dos exemplos 1 a 20.

1 8 15. < £ ' n - l ) « . ' n' an + ò*

2. n . 1 16.

_ L 9 Íog(n + ! )• 3 - Vã' 1 17. ^ L ± í .

i n r i - - n 4. V n . A U - l o g l o g l O n -

5- n i . 11. -,= . 1 + a " 1 ( - 1 ) "

6 . 5 . 12. ^ . . 1 9 . . ^ + — . n 1 13. aVn,

7. — T T . „ w „ 20 a •{• n' 11. a l °s ? l . - u - n i+i/n

Desenvolver as funções dos exemplos 21-26 em séries de potências:

21. a1. 24. cos2 2.

x 4- logf l - x) 22. ~. 25. sen0 a:.

2'i. srn-r. 26. are sen xs.

27. Empregando a série binômia, calcular"^2 com quatro casas decimais. 28. Calcular, aproximadamente, as integrais seguintes, por meio de séries,

desenvolvendo o integrando em séries de potências e integrando, depois:

- 1 sen x , • f 1 l °g ( l + x) rx sen x . r 1

(a) / dx. (c) / o x J o

flA dx r 1 0 dx

o V 1- J 5 -V 1 + xi

29. Desenvolver as seguintes funções, até os termos em x4, empregando a multiplicação das séries de po*:íncias:

are sen x (a) e1 sen x. (c) V l - s " (ò) [log(l H-sc)]*. (d) sen-x.

30. * Demonstrar, pela multiplicação das séries de potências, que

(a) exey = e I + y . (ò) sen 2x = 2 sen x cos x.

31. Qual será o intervalo de convergência de S ( a a -+- òtt)xn, se o de ~Zajcn fôr I x ! < p , e o de S6nxn fôr j x | < p', sendo p' < p?

32. Com o método dos coeficientes indeterminados, estabelecer uma função f(x) que satisfaça às seguintes condições:

(a) /(O) = 3; (6) / ' ( i) =/(x) + x.

7. SÉRIES D E POTÊNCIAS C O M T E R M O S C O M P L E X O S

1. Introdução dos termos complexos nas séries de potências.

Certas funções, aparentemente independentes, possuem notáveis semelhanças nos seus desenvolvimentos em séries de potências, e esta analogia levou Euler a estabelecer relações puramente formais entre elas, atribuindo valores complexos, ou, particularizando, valores imaginários puros, à variável x. Estudaremos este assunto, primeiramente, de uma maneira formal, sem nos embaraçarmos com questões de rigorismo, investigando, depois, os resultados do processo.

A primeira relação notável desta espécie será obtida pela substitui-

VIII] S É R I E S C O M P L E X A S D E P O T Ê N C I A S 411

ção de x na série ex pela quantidade imaginária i(f>, onde 4> é u m número real . Se recordarmos a equação fundamental da unidade i m a g i nária i, isto é, i2 = - i, da qua l se deduz que i 3 = - i , i 4 = i, t 5 — i, ..., teremos, separando os termos reais e os imaginários da série,

« " - ( 1 - 2 i + i i - 6 í + — • >

* 3 * 5 tf7

+ i ( * - S Í + 5 Í - 7 Í + - - ) <

ou, sob outra forma, e1"* = cos è - f £ sen

E s t a é a conhecida e i m p o r t a m ^ fórmula de E u l e r " , embora a inda sob aspecto puramente formal . E l a é compatível com o teorema de D e M o i v r e (pág. 74), que é expresso pela equação

(cos $ + i sen <f>) (cos i£ + i sen i/0 = cos (0 + 4>) + i sen (<£ +

E m v ir tude d a fórmula de E u l e r , esta relação estabelece, apenas, que a expressão

e*.ey = ex+y

continua tendo lugar para os valores imaginários, x — i(j>, y = vj/. Substituindo-se a variável x, n a série de potências de cos x, pe la

quantidade imaginária pura ix, obteremos, imediatamente, u m a série para C h x. E s t a relação pode ser t raduz ida pela equação

C h x = cos ix. D a mesma forma, teremos

1 S h x = ~. sen ix.

i

E m v i s t a d a fórmula de E u l e r também dar e-1'* = cos 4> — i sen <£, chegamos às expressões exponenciais p a r a as funções trigonométricas,

eix _ e - w e í x + e ,-ix

sen x = — » cos x = •

1 As relações C h x = cos ix e S h x — -r sen ix permitem transformar as

expressões acima nas relativas às funções hiperbólicas, sendo, de resto, inteiramente semelhantes às expressões exponenciais correspondentes.

412 S É R I E S I N F I N I T A S [ G A P .

Expressões análogas podem, como é claro, ser obtidas para tgxr

T h x, cotg x e C o t h x, as quais são ligadas pelas equações T h x = 1

«= T tg ix e C o t h x = i cotg ix.

Finalmente, podem ser estabelecidas relações semelhantes para as funções inversas, tanto trigonométricas como hiperbólicas. Por exemplo, de

y = tg X = ^ + g-íxj = ^ 2 / * +

deduzimos logo que 1 - f ív 1 - iy

Tomando-se os logaritmos de ambos os membros e escrevendo-se .T cm lugar de y, e are tg x em vez de x, obteremos a equação

1 1 + ix a r c t g ^ - . l o g y — ,

que exprime u m a ligação notável entre a função inversa da tangente 1 ! + • £

e o logaritmo. Se substituirmos x por ix n a série de potências - log , » 2 1 - x já estudada (pág. 318), teremos a série de potências para o are tg x:

1 (zz) 3 (ix)s

are tg x - f ~ (ix + - r — + i + . ..) L 0 0

a?3 x5

3 o

As relações ac ima são a inda de caráter puramente formal, reclamando, naturalmente, u m enunciado mais preciso, de acordo com o que elas pretendem exprimir . N a próxima subseção indicaremos como pode ser atingido es te desiderato, com o auxílio d a teoria das funções.

P a r a emprego posterior, entretanto, necessitaremos unicamente da fórmula de Euler e1* = cos 4> -f- i sen 4> e, sendo assim, evitaremos uma análise completa. Rastará, apenas, considerarmos o símbolo e í ç j como uma abreviação formal do segundo membro cos 4> + i sen <j>, aparecendo, então, a fórmula de D e M o i v r e , e'*.e** = e í c * + w , como simples conseqüência dos teoremas elementares da adição, da trigonometria. Partindo

V I I I ] S E R I E S C O M P L E X A S D E P O T Ê N C I A S 413

deste ponto de v i s ta , a f i m de fazer com que a relação e* .ey = ezJçy se verifique p a r a quaisquer argumentos complexos, estabeleceremos ainda a definição

ex = e*(cos 77 + i sen rj),

em que x = £ -f- irj ( £ , -q sendo reais).

2. R e s u m o d a t e o r i a g e r a l das funções c o m variáveis c o m p l e x a s .

M u i t o embora o ponto de v i s t a que seguimos nas deduções anteriores seja l i vre de objeções, será conveniente procurarmos nestas fórmulas algo mais do que as simples relações formais indicadas. Seguindo este objetivo, seremos levados à teoria geral das funções, como (para abreviar) , designaremos a teoria das chamadas funções analíticas com variáveis complexas. Como ponto de par t ida deste estudo, adotaremos a discussão geral da teoria das séries de potências, com variáveis e coeficientes complexos. A construção de t a l teoria não apresenta d i f i culdades, desde que estabeleçamos o conceito de l imite , no domínio dos números complexos, pois ela acompanha a teoria das séries de potências, quase exatamente. E n t r e t a n t o , como não util izaremos estes resultados no presente curso, l imitar-nos-emos a enunciar certos fa tos, omit indo as demonstrações. Pode ser provado que o teorema do § 5, n.° 1 (pág. 400), admite a seguinte generalização, verificando-se para as séries de potências complexas:

Se uma série de potências convergir para qualquer quantidade complexa, arbitrária, x = £, ela será absolutamente convergente para cada valor de x para o qual | x | < £ |. Se ela for divergente para x = £, divergirá, igualmente, para todos os valores de x para os quais [ x [ > [ £ |. Uma série de potências que não convirja em todos os pontos do intervalo, porém, que o faça para algum outro ponto, além de x = 0, possui um círculo de convergência, islo ê, existe um número p = 0 tal, que a série terá convergência absoluta para | x | < p, divergindo, quando | x [ > p.

U m a vez estabelecido o conceito das funções com variáveis complexas, representadas por séries de potências, e conhecidas as regras para operar com tais funções, podemos imaginar as funções ef, sen x, cos x, are tg x, e t c , da variável complexa x, como definidas, s implesmente, pelas séries de potências que as representam para os valores reais de x. A s relações que deduzimos anteriormente reduzem-se, então, a simples trivialidades.


Indicaremos, apenas, por meio de dois exemplos, como esta introdução às variáveis complexas pode auxiliar-nos a compreender melhor as funções elementares. A série geométrica 1/(1 + x2) deixa de ser convergente quando x deixa o intervalo - 1 ^ i ^ 1, o mesmo fazendo a série are tg x, embora não ha ja particularidades no comportamento destas funções nos pontos extremos do intervalo de convergência. De fato, tanto as funções quanto todas as suas derivadas, são contínuas para qualquer va lor real de x. P o r Outro lado, compreendemos faci l mente que as séries 1/(1 - x2) e log (1 - x) cessem de convergir quando x atingir o va lor 1, pois elas se tornam infinitas nesta posição. A d i vergência das séries da função inversa d a tangente e de 2 ( - \)vx2v,

para I x\>l, f i ca clara, imediatamente, se admitirmos, também, v a lores complexos de x. Acharemos, então, que quando x = i, as funções-soma tornam-se inf in i tas , não podendo, portanto, ser representadas por séries convergentes. Logo, pelo teorema relativo ao círculo de convergência, as séries divergirão para todos os valores de x, tais que I x \ > \i |. Particularizando, a série divergirá fora do intervalo - 1 S x ^ 1, para os valores reais de x.

Outro exemplo ê fornecido pela função f(x) — e~1/x2, para x 0, /(O) = 0 (págs. 196, 336), que, a despeito do seu comportamento aparentemente regular, não pode ser desenvolvida segundo a série de Taylor . Realmente, esta função deixa de ser contínua quando atr i buirmos a x valores puramente imaginários x -f- i£. E l a assume, então, a forma e11*3 e cresce além de qualquer l imite , à medida que £-»0. É, pois, claro que nenhuma série de potências de x poderá representar ta l função para todos os valores complexos de x n a vizinhança d a ori gem, por menor que seja esta vizinhança.

A s observações ac ima, sobre a teoria das funções e séries de potências com variáveis complexas, bastam-nos por enquanto.

VIII] MULTIPLICAÇÃO D E SÉRIES 413

APÊNDICE A O CAPÍTULO V I I I

1. M U L T I P L I C A Ç Ã O E DIVISÃO D E SÉRIES

1. Multiplicação de séries absolutamente convergentes.

CO CO

Sejam A = S a , , L = S ò„

duas séries dotadas de convergência absoluta. Juntamente com elas, consideremos as séries correspondentes, dos valores absolutos

. CO CO

A = 2 I a„ j e B = S | b„ j . * ». = 0 v = 0

Teremos, ainda,

A n = S av, Bn=2ba, An = 2 | a, |, fín = S | 6, |

e c„ = a06„ + ai6 f t _i + . . . + <znò0.

CD

Afirmamos, então, que a série 2 c,t é absolutamente convergente, e que

sua soma é igual a A£?. Para prová-lo, escreveremos a série

+ ÍÍ2&2 + «102 + «0O2 + • • - + G N Ò 0 + Onbi

+ .. . + anbn + . . . -f- aibn + aQbn + . . . ,

cuja soma parcial de ordem rr é AnBn, asseverando que ela possui convergência absoluta. As somas parciais das séries correspondentes de valores absolutos crescem monotonamente; a soma parcial de ordem n2

é igual a AnBn, menor do que AB (e que tende para AB). Assim, pois, a.série dos valores absolutos é convergente, ao passo que a que escrevemos em seguida possui convergência absoluta. A soma da série será, naturalmente, AB, enquanto sua soma de ordem n2 valerá AnBn, a qual tende para AB, à medida que n-»<». Permutaremos, agora, a ordem dos termos, o que é permitido fazer-se nas séries de convergência absoluta, reunindo os termos sucessivos entre parênteses. Nas séries

416 S É R I E S I N F I N I T A S [GAP

convergentes é possível separar-se os termos sucessivos, reunindo-os em tantos parênteses quantos desejarmos, sem perturbação da convergência n e m da s o m a d a série, porque, se reunirmos entre parênteses, digamos, todos os termos ( a n + 1 , + a n + 2 + • • • + am), ao formarmos as somas parc ia i s omit i remos as somas que or ig inar iamente c a i a m entre sn e sm, o que não afeta a convergência, n e m a l tera o v a l o r do l i m i t e . D o mesmo modo , se a série for de convergência abso luta , antes da introdução dos parênteses, continuará a sê-lo, depois. E m v i s t a da série

CG

2 c„ = (a0b0) + (floh + &ibo) + (ffo&2 + «í&i + a2bQ) + . . .

ter sido f o rmada deste modo, a par t i r da série i n i c i a l , está demonstrada a afirmação que f izemos .

2. M u l t i p l i c a ç ã o e d iv i são de séries de p o t ê n c i a s .

O p r i n c i p a l emprego do teorema demonstrado é n a teoria das s é ries de potências. A asserção seguinte é a conseqüência i m e d i a t a dele: o produto de duas séries de potências

ca ro 2 CL^X" e 2 bvxv

no interva lo de convergência c o m u m às duas séries, é representado por

u m a terce i ra série de potências 2- xvc", cujos coeficientes são » = 0

c„ — aob, -f- ai^-i -f- . . . + a„b0.

N a divisão das séries de potências podemos, de modo semelhante , co

representar o quoc iente pe la série 2 qvxv, desde que ò 0 , o t e r m o cons-*=o

tante do denominador , não se anule. (Se t a l se desse, a representação proposta seria impossível, v isto a série não poder convergir p a r a x — 0, em face da anulação d o denominador. P o r outro lado , porém, t o d a a série de potências deve convergir em x = 0.) Os coeficientes d a série de potências

2 qvxv

VIII ] M U L T I P L I C A Ç Ã O D E SÉRIES 417 00

podem ser determinados, lembrando-nos que 2 qvxv. 2 b„xv = 2 avx\

A primeira destas equações dá imediatamente o valor de ço, determinan-do-se q± d a segunda, q2 da terceira (usando-se os valores de qQ e qx), etc. P a r a que a representação do quociente de duas séries de potências por outra série de potências fosse rigorosamente just i f icada, deveríamos,

ainda, investigar a convergência de 2 q„xv. Entretanto , como não tere

mos oportunidade de empregar estes resultados, poremos de lado esta generalização, contentando-nos em sabermos que a série representat iva do quociente converge, efetivamente, desde que x permaneça num intervalo suficientemente pequeno, no qual tanto o numerador como o denominador sejam séries convergentes, e onde o denominador não se anule.

A s séries inf initas e os conceitos desenvolvidos sobre as mesmas têm aplicação e simples analogias na teoria das integrais impróprias (cap. I V , § 8, pág. 249). Limitaremos nosso estudo ao caso das integrais convergentes, num intervalo inf inito de integração, digamos, uma

integral da forma / f(x) dx. Se dividirmos o intervalo de integração

pela seqüência de números a:0 = O, xx, . . . tendendo monotonamente para + ° o , podemos escrever a integral imprópria sob a forma

J o

em que, cada u m dos termos da série in f in i ta é u m a integral ;

de sorte que as seguintes equações devem verificar-se:

ao = ?oòo,

€LV = q<sbv + çi&„-i + . . . + qvbQ.

2. S É R I E S I N F I N I T A S E I N T E G R A I S E M P R Ó P J U A S

e, assim, sucessivamente, não importando a maneira como escolhemos os pontos x„. Podemos, portanto, reduzir a idéia da integral imprópria, convergente, à das séries infinitas, de muitas maneiras.

É especialmente vantajoso escolher-se os pontos xv de tal forma que o integrando não mude de sinal no interior de qualquer subinter-

co

valo individual. A série 2 | av I corresponderá, então, à integral do valor absoluto da função, "

fa \f(x)\dx.

Somos, assim, conduzidos naturalmente ao seguinte conceito: uma inte-gral imprópria I -f(x) dx diz-se absolutamente convergente, quando exis-

J °

tir a integral J | f(x) | dx. De outra maneira, isto é, se a integral existir

de qualquer forma, diremos que ela é condicionalmente convergente.

Algumas das integrais estudadas anteriormente (págs. 250, 251), tais corno

/

• CO "I / » CO i i" CO

-dx, / e-x-dx, T(x) = / e^l^dt, li 1 T r ^ 0 J O

possuem convergência absoluta. P o r outro lado, a integral f °° sen x r A sen x / dx = lim / -dx,

J o x A~**> J G x

estudada na pág. 251 é u m exemplo simples de in tegra l condic ionalmente convergente: P a r a demonstrarmos a convergência desta in tegra l , de modo diferente da demonstração anterior, subdividiremos o intervalo de 0 a A pelos pontos x" = = vir (v = 0 ,1 , 2, . . . ,u.A), em que M A é o maior in te i ro possível para o qua l nAir á A.

/' " r sen x

dx (v = x x

= 1, 2, . . . ) , com u m resto J ? A d a f o r m a • A

/• A sen x

dx (0 g A - fi^rr < T). f-i* x

É claro que as quantidades av terão sinais alternados, visto que sen x é alternadamente positivo e negativo, nos intervalos consecutivos. Além disso, |a„ + 1| < |a„| Apl icando, portanto, a transformação x — £- ir, teremos

r v v I sen x ( r [ s e n (t _ x ) | r | s e n £ I a , I = í dx = / d£ = / d$,

•J (ir-\)ir X J vir { — 7T J » r £ — 7T

> / u'£ — I a.+i

VIII] I N T E G R A I S IMPRÓPRIAS 419

L o g o , pe lo critério de L e i b n i t z , vemos q u e Sa» é convergente . D e m a i s a m a i s , o resto RA t e m o v a l o r a b s o l u t o

RA I r A sen x [ r + ' ' ^ | sen x í

= / dx ã / Í / J :

1 • .- ( ^ + 1,'* 2 5 / i sen ;• : dx = - .

j U A i r J uA i u&rr

que tende p a r a 0, à m e d i d a que A cresce. S e d e i x a r m o s , pois , A t ender p a r a = na equação

' • A sen x - - -/ dx = a , + a , + a? 4- . . . 4- f i ^ 4- / ' u

J o x

o segundo m e m b r o tenderá p a r a Zau c omo l i m i t e , o q u e d e m o n s t r a a convergência da i n t e g r a ! . A convergência , porém, não é a b s o l u t a , pois

/• , sen / • 2 I av I > / «/• = , de sorte que 2 [ av | e d ivergente .

d f i' - I) ir f <T I' ir

3. P R O D U T O S I N F I N I T O S

Na introdução deste capítulo (pág. 366), frisamos que as séries in finitas são apenas um dos modos, conquanto particularmente importante, de que dispomos para representar números ou funções, por processos infinitos. Como exemplo de oulro destes modos, apresentaremos os produtos infinitos, sem entrarmos em detalhes nem demonstrações.

N a página 223 encontramos o produto de Wallis,

7 T . 2 2 !• 1 6 6 . . .

pelo qual o número 7r/2 é expresso por um "produto inf ini to" . Calcularemos o produto infinito

CO

n a» = ai. a->. a;» „ = i

como o limite da seqüência de produtos parciais

ai, a~i.a*, ai.a-2-a-i, O i . fl-. t.*;;. c i , . " .

desde que eles existam.


Os fatores ai, a2, a3, . . . , como é lógico, podem, também, ser funções de uma variável x. Um exemplo, especialmente interessante, é c referente ao "produto infinito" da função sen ar,

sen rx = ^ ( i - p ) ( i ~ ! ) ( i - p ) . . . .

que deduziremos no § 4 do próximo capítulo (pág. 445) . O produto in f in i to da junção " d z e t a " desempenha papel importantíssimo na

teoria dos números. P a r a conservarmos a notação usual na teoria dos números, designaremos a variável independente por s, definindo a função para s > 1, pela expressão

co 1 f(í) = s - .

n=i n'

Sabemos ( § 2, págs. 380 e segíintes) que a série do segundo membro será convergente, se s > 1. Sendo p u m a quantidade qualquer maior do que 1, teremos a equação:

1 1 1 1 « ! + _ + + + . . . 1 _ — P' P-' P

P'

desenvolveudo-a segundo a série geométrica. Imaginando-se esta série escrita para lodoi os números pr imos pu p2, p 3 , . . . , em ordem crescente, e todas as equações resultantes mult ipl icadas conjuntamente, obteremos no primeiro membro u m produto da forma

1 1

1-/>,"• I-P*-'

Se, sem nos determos para justi f icar o processo, mult ip l icarmos conjuntamente as séries dos segundos membros das nossas equações, lembrando-nos, além disso, que por u m teorema elementar, cada inteiro n > 1 pode ser representado por u m produto de potências de diferentes números primos, de u m a maneira, e somente de uma, acharemos que o produto do segundo membro é, ainda, a função f(s). T e mos, assim, a notável " f o r m a do produto"

T i l f(0 =

Í-Pí ' 1 -Pi • 1-p

E s t a " forma do p r o d u t o " , cu ja dedução esboçamos ligeiramente, é, efetivamente, uma expressão da função " d z e t a " como produto inf inito , visto o número dos fatores primos ser infinito.

Na teoria geral dos produtos infinitos, usualmente é excluído o caso em que o produto a L a 2 • -. an tem zero por limite. Logo, é particularmente importante que nenhum dos fatores se anule. A fim de que o produto seja convergente, os fatores an devem, naturalmente, tender

VIII] P R O D U T O S I N F I N I T O S 421

para 1, à medida que n crescer. Desde que podemos, se necessário, omitir um número finito de fatores (o que não influi na convergência), podemos admitir que an > 0. O teorema seguinte se aplica a este caso: uma condição necessária e suficiente para a convergência do produto

0 3 CD

n a„, em que ar > 0, ê que a série 2 log a, seja convergente. E claro „=i „=i n

que as somas parciais desta série, 2 log a„ = log (a ia 2 . . .an), tenderão

para um limite definido se, e somente no caso em eme os produtos parciais aia.2... an tiverem um limite positivo.

N o estudo da convergência usualmente se aplica o seguinte critério (condição suficiente), onde se faz av = 1 + a,. O produto

5 (1 + a,)

será convergente se a série

2 \a„\

também o for, e se nenhum fator (1 + a„) for nulo. N a demonstração admite-se, depois da omissão de um número finito de fatores, se necessário, que cada | a„ | < ^- Teremos, assim, 1 - | a„ | > ~- Pelo teo-

I rema do valor médio, log (1 + h) = log (1 + h) - log 1 = h -—,— ~r pa-

1 -\- ali ra 0 < d < 1. Virá, então,

I log (í + « , ) ! = < _ J L , <ç 9 I I 1 + da,

CO

decorrendo, pois, a convergência da série 2 log (1 -f- a,), da COnVer-i ^ l

co

gência de 2 \ a„\. v = l

D o critério exposto deduz-se q u e o p r o d u t o i n f i n i t o que demos a c i m a para sen TTX c onverge p a r a todos os v a l o r e s de x, exceto p a r a x = 0, =±=1, =t=2, . . . , onde os fatores d o p r o d u t o são nu los . A l é m d isso , p a r a p è 2 e s > 1, a c h a m o s p r o n t a mente que

1 1 1 2


Se p assumir, então, todos os valores primos, a série 2 — será convergente, visto P s

CT 1 os seus termos serem somente u m a parte da série convergente 2 —. A convergên-

J> = 1 v' 1

cia do produto II , para s > 1, fica, pois, demonstrada. 1 -p-'

4. S É R I E S I M P L I C A N D O OS N Ú M E R O S D E B E R N O U I L L I

Até agora não apresentamos os desenvolvimentos em séries de potências de certas funções elementares, como, por exemplo, tg x. A razão é que os coeficientes numéricos que ocorrem não se revestem de forma bastante simples. Podemos representar tais coeficientes, assim como os referentes a numerosas outras funções, com o auxílio das chamados números de Bernouilli. E l e s são números racionais, com lei de formação não muito simples, que ocorrem em muitas partes da análise. Podemos estabelecê-los de maneira simples, desenvolvendo a função

x x-1 + - + - + .

2! 3!

em uma série de potências da forma

x a B„ X".

ex-l „ = Escrevendo esta equação da seguinte maneira

x = (e 1 - 1) S — x» j. = ü v\

e substituindo-se a série de potências do segundo membro por e 1 - 1 , obteremos, como na página 417, u m a relação recorrente, que permite a determinação de todos os números B„. Estes são os números de Bernoui l l i 0). São racionais, já que na sua formação foram empregadas somente operações racionais; anulam-se para todos os índices ímpares, diferentes de v = 1, como verificamos facilmente. Os primeiros são:

1 1 1 1 ' Ba = 1, B , = - - , B, = ; , B.y = - —, Bü =

2 b 3ü 42

BH = , B,„ = -—, ... 30 66

(') Ern algumas obras é empregada notação levemente alterada, vindo, então, a fórmula básica sob o aspecto

X 1 0 3 B » 1 - - i + S ( - 1)0+1 L x 2„.

e * - l 2 „ = i (2:01

Vlü j NÚMEROS D E R E R N O U I L L I 423

F a r e m o s , apenas , u m a b r e v e sugestão, p a r a m o s t r a r c o m o estes números são incluídos nas séries de potências . E m p r i m e i r o l u g a r , e m p r e g a n d o a transformação

B 2 x x x e 1 4 - 1 x 4 - e~üx j_ _i_ a; 2 4- = u = _ _ _ _ _ _ — _ ! . 2! " " e*- l 2 2 ' e x ~ l 2 elA*-ett~*

teremos

X X <o B"v - C o t h - = 2 • x 2»'.

2 2 „ = 0(2*01

S u b s t i t u i n d o - s e x p o r 2x, v irá a série

- 2^B,V

x C o t h x — 2 z 2 r , * = o {2v)\

para j x \ < d a q u a l , s u b s t i t u i n d o - s e x p o r — ix, ob teremos

a; co tg x = 2 ( - 1)" x 2 ü , I x < r .

, = o (2*)!

À equação 2 c o t g 2x = co tg x-tgx fornece a série

2 2 l ' ( 2 2 « ' - l ) t g x = 2 ( - l ) * - l — B29x*»-\

v = \ [2v)\ 7T

que se v e r i f i c a p a r a | x \ <

M a i o r e s deta lhes sobre este assunto serão e n c o n t r a d o s pelo l e i t o r nos t ra tados espec ia l izados (').

E X E M P L O S

1. D e m o n s t r a r que a série de potênc ias p a r a V l - x a i n d a converge , q u a n d o x = 1.

2. D e m o n s t r a r q u e p a r a q u a l q u e r v a l o r p o s i t i v o de « ex is te u m polmômio

em x, que r e p r e s e n t a V l - x no i n t e r v a l o 0 á z á 1, c o m erro in f e r i o r a «. 3. P r o v a r q u e p a r a q u a l q u e r v a l o r p o s i t i v o de « existe u m pol inómio era í,

que r e p r e s e n t a [ l | no i n t e r v a l o — 1 _s £ _S 1, c o m erro i n f e r i o r a e. 4. * Teorema da aproximação de Weierslrass. D e m o n s t r a r q u e s e / ( x ) for contínua

em a ã x é ò, p a r a q u a l q u e r v a l o r p o s i t i v o de e existe u m po l inómio P(x), t a l q u e |/(x) - P(x) I < e, p a r a t odos os v a l o r e s de x, n o i n t e r v a l o a __ x __ 6.

5. P r o v a r q u e o p r o d u t o i n f i n i t o q u e segue é c o n v e r g e n t e :

n ( i + Gí)*); n — — - ; n ( i - - ) , se | z \ < 1. n - l n=2Tl3 + I n = l V n J

(i) Consulte-se, por exemplo, K . Kuopp, Theory and Applicaiioni Q} Injinite Series, pág. 183 iBlaokie & Son, Ltd.), 1928.

424 S É R I E S I N F I N I T A S [ C A P . V I I ]

6. Demonstrar, pelos métodos do texto, que n ( 1 + - ) é divergente. n=i V ns

7. Empregando a identidade

» 1 » f 1 \ 2 —- = n ( ) (onde p; é o primo de ordem 0.

n = i n" i=i V l - j a r v

provar que o número de primos é infinito. 8. Demonstrar a identidade

5 (1 + s2") -* - 0 1-9

para j x | < L

C A P Í T U L O I X

S E R I E S D E F O U R I E R

Além das séries de potências, há outra classe de séries infinitas que desempenha papel particularmente importante, tanto na matemática pura quanto nas aplicações. São estas as séries de Fourier, cujos termos isolados são funções trigonométricas, representando suas somas funções periódicas.

1. F U N Ç Õ E S P E R I Ó D I C A S


As funções periódicas do tempo, isto é, funções cujo comportamento se repete em intervalos definidos de tempo, são encontradas em muitas aplicações. N a maior parte das máquinas verificam-se processos periódicos em combinação com a rotação do volante, por exemplo, a corrente alternada gerada por um dínamo. As funções periódicas são igualmente associadas a todos os fenômenos vibratórios.

Uma função periódica, com o período 21, e representada pela equação

J\x + 21) = f(x),

verdadeira para qualquer valor de x. Frisamos, especialmente, que 2/ é denominado o período E interessante notar que. além do período 21,

(l) N a representação das funções periódicas convém, muitas vezes, que a variável independeate x signifique um ponto da circunferência de um círculo, em lugar do ponto usual sobre a teta. Se a íunção j(x) tiver o período 2ir, digamos, e se a equação

J(x + 2 ir) = jíx)

se verificar para todos os valores de x, chamando-se x o ângulo central de raio unitário, compreendido entre um raio inicial qualquer e o correspondente ao ponto variável da circunferência, a periodicidade da função J(x) ê expressa simplesmente pelo fato de que, a cada ponto da circunferência, corresponde comente um valor da função. No caso de uma máquina, por exemplo, a periodicidade pode ser expressa em função da posição de um ponto do volante.

425

426 S E R I E S D E F O U R I E R [ C A P .

a função/Or) possui, necessariamente, o período 4/. desde que/(a; -f- AT) = == f(x + 20 = f(x). D a m e s m a forma, a função terá períodos 61, 81,.. ., sendo também possível (embora não necessariamente verdadeiro) que a d m i t a períodos menores, tais como l ou 1/5. Graf i camente , em dois intervalos consecutivos quaisquer , de comprimento 21, a configuração da função será exatamente a mesma. Há u m a segunda interpretação, que pode ser preferida pelo leitor , que considera a variável x como tempo (de acordo com o que, em certas ocasiões escreveremos t em lugar de x), representando, então, a função f(x) o processo periódico ou, como também podemos dizer , u m a vibração (ou oscilação). O período 21 = T é chamado, ass im, o período da vibração (ou da oscilação).

Se umafunção arbitrária, f (x) , /or dada num intervalo definido, digamos, - / <; x % l, sempre será possível desenvolvê-la segundo uma função periódica. Bas ta , apenas, def inirmos f(x), fora do intervalo , pela equação f(x -f- 2nl) = f{x), onde n é u m inteiro arbitrário, pos i t ivo ou negativo. Devemos assinalar que, se f(x) for contínua no interva lo -porém, / ( - 1 ) dpf(+l), a função periódica desenvolvida será descontínua nos pontos ± Z , ±31, . . . (figs. 7 e 8, págs. 44.1 e 442, nas quais l = 7r). Além disso, neste caso, o desenvolvimento não fornecerá a função unívoca f(x) nos pontos x = ± Z , ± 3 / , v isto , por exemplo, termos definido/(3Z) como / ( / - f -20 , o que dá/(3Z) = f(l), tendo também definido a mesma função c o m o / ( - l - j - 4/), o que fornece/(3/) = / ( - /). E v i t a m o s esta dif iculdade desenvolvendo, não a função como foi defin ida , p a r a - l __i x __ l, mas s i m p a r a - l < x Sl ou - l < l, quer d i zer, poremos de lado u m dos valores originais / ( - l) o u / ( - f 1).

Assinalaremos, agora, u m fato de caráter geral re lat ivo às funções periódicas, traduzido pela equação

ou, em palavras : a integral de u m a função periódica n u m intervalo cujo comprimento seja igua l a u m período T = 2 i ' t e m sempre o mesmo va lor , onde quer que esteja s ituado o intervalo . P a r a demonstrá-lo, basta observar que. em v i r t u d e d a equação / ( £ - 2/) = / ( £ ) , a substi tuição x = £ - 21 dá

IX] FUNÇÕES PERIÓDICAS 427

E m particular, para <x = —l — ae(3 — —l, segue-se que

*—i

—L—a fix) dx = r

J l—a f(x) dx,

logo, 'l—a r—i ri—a

fix) dx = / fix) dx + / fix) dx J —l—a J —l -l—a

i r i—a ri f{x) dx + / fix) dx — / fix) dx,

l—a -Z

que prova o enunciado. Recordando o significado geométrico da integral, o enunciado torna-se claro, observando-se a figura 1.

F i g . 1. —Integral num período completo

As funções periódicas mais simples, das quais partiremos para construir, mais tarde, outras mais gerais, são a sen o>x e a cos ux O U , de modo mais geral, a sen caÇx - £) e a cos a(x - £), onde u( è 0) , w( > 0) e £, são constantes. Chamaremos os processos representados por tais funções vibrações senoidais ou vibrações harmônicas simples (ou oscilações) O período da vibração ê T = 27T/ÚJ. O número ca é denominado freqüência circular da vibração ( 2 ) . Como 11T é o número de vibrações na unidade de tempo, ou a freqüência, w será o número de vibrações no tempo 2TT . O número a é denominado a amplitude da vibração, representando o valor máximo da função a sen u(x - £) ou a cos oix - Ç) já que, tanto o seno como o co-seno têm 1 para seu maior valor. A quantidade o>{x - £) é chamada fase e a> £ a época, ou deslocamento da fase.

C1) Estas fórmulas tomadas isoladamente (para todos os valores de a e £) representam a classe de todas as vibrações senoidais. As duas fórmulas são equivalentes, visto que a sen w(x - £) =* «= a cos w[x — ({ + ir/2cd)).

(2) O leitor terá o necessário cuidado para não confundir freqüência com freqüência circular das vibrações (em inglês, circular frequency, em alemão, Kreisjrequenz).

428 S É R I E S D E F O U R I E R [ C A P .

Graficamente estas curvas podem ser obtidas, desenhando-se a curva senoidai na razão de 1 - w sobre o eixo dos z, e a : 1 sobre o dos y, transladando-se depois a curva para a distância £ no sentido positivo do eixo dos x (fig. 2).

As fórmulas da adição das funções trigonométricas p e r m i t e m , t a m bém, expr imir as vibrações senoidais d a seguinte mane i ra ;

a cos ax -\- B sen cox e B cos cox - a sen cox,

respect ivamente , onde a = - a sen u£ e 8 = a cos w£. Inversamente , c a d a função da forma

a cos CÚX + B sen iox

representa u m a vibração senoidai a sen co{x - £), com a ampl i tude i

. A t . A

^Li^X^ / \ J

F i g . 2 — Vibrações senoidais

a = V a 2 -f- jS2 e o deslocamento de fase co£ dado pelas equações a = = - a sen co%, B = a cos <y f. V e m o s , p e l a expressão a cos cox+ B sencox, que a soma de duas ou m a i s funções c o m a m e s m a freqüência c i r cu lar co, sempre representa o u t r a vibração senoidai , a i n d a c o m a mesma freqüência c i rcular co.

2. Superposição de vibrações senoidais . Harmônicos. Pulsações.

E m b o r a mui tas vibrações se jam senoidais (cap. V , § 4, pág. 296), ver i f i ca -se , entretanto , que a m a i o r parte dos mov imentos periódicos têm caráter mais complicado, sendo, em geral , resultantes d a superposição de vibrações senoidais. M a t e m a t i c a m e n t e , isto s ign i f i ca , apenas, que o

IX] FUNÇÕES PERIÓDICAS 429

movimento, por exemplo, a distância de u m ponto à sua posição inicial em função do tempo, é dado por u m a função que representa a soma de diversas funções periódicas puras, do tipo que estudamos acima. A s ondas senoidais da função são, assim, empilhadas umas sobre as outras (isto ê, suas ordenadas são romadas), ou, como se diz comu-mente, elas são superpostas. Nesta disposição, admitimos que as freqüências circulares (e, naturalmente, os períodos, também) das v ibra ções superpostas são todos diferentes, pois a superposição de duas v i brações senoidais da mesma freqüência circular, dá outra vibração senoidal com freqüência circular idêntica (porém, com amplitude e deslocamento de fase diversos), como já vimos acima.

Considerando-se o caso mais simples, isto é, a superposição de apenas duas vibrações senoidais, com as frequências circulares _>i e a>2, vemos que há dois casos fundamentais diferentes, conforme as freqüências tenham ou não u m quociente racional , isto é, como se diz, se elas forem comensuráveis ou incomensuráveis. P a r a inic iar , estudemos o primeiro caso, e como exemplo, tomemos a segunda freqüência circular, igual ao dobro da primeira: co2 = 2coi. 0 período da segunda vibração será, assim, a metade do da primeira, 27r/2coi = T 2 = T i / 2 , e ela terá, não só o período T 2 , mas, também, o duplo período T±, visto a função repetir-se após este duplo período. A função formada pela superposição das vibrações terá portanto, também, o período 7\. A segunda v ibra ção, com o duplo da frequência circular, e com a metade do período da primeira, é chamada o primeiro harmônico da vibração inicial (ou fundamental).

Procedimento correspondente se veri f icaria se adicionássemos uma outra vibração, com a freqüência circular co3 = 3 w i . Neste caso, igualmente, a função vibração sen 3coi x repetir-se-á, necessariamente, com o período 2x/_oi = T i . T a l vibração será o segundo harmônico da v i bração dada. D a mesma forma podemos considerar o terceiro, quarto, . . . , (n - 1) harmônicos, com as freqüências circulares o)4 = 4 « i , _ J 5 = =- 5<_i, . . ., o3n = ttcoi, e, além disso, com quaisquer deslocamentos de fase que quisermos. Cada u m destes harmônicos repetir-se-á, necessariamente, depois do período T x = 2ir /wi , e, por conseqüência, cada função obt ida pela superposição de u m certo número de vibrações, cada u m a delas sendo u m harmônico da freqüência circular fundamental , conhecida, _>i, será u m a função periódica^ com o período 2TJU\ = T x . Superpondo vibrações com as freqüências circulares ordenadas a partir

430 SÉRIES D E FOURIER [ C A P .

da fundamental até ao harmônico de ordem (n - 1), obteremos uma função periódica da forma

S(x) = a -f- S (a, cos PCÚX -f- bv sen vux).

Fig. 3.0)—Composição de vibrações

(A. constante a, que introduzimos a fim de tornarmos a fórmula mais geral, não afeta a periodicidade, visto ser periódica em cada período.) Como a função acima contém 2n -f- 1 constantes que podemos csco-

— s e J j x _ sen 2- x + sen 3 x _ sen 4'x 2 3 4

Fig. 4. — Composição de vibrações

Ilier arbitrariamente, estamos aptos para engendrar curvas muito complicadas, que não se assemelham, em absoluto, com as curvas senóides originais. As figuras 3, 4 e 5 indicam, graficamente, o que acabamos de expor.

(>) As proporções da figura correspondem a ta =* 1.

I X ] F U N Ç Õ E S P E R I Ó D I C A S 4 3 1

O termo " h a r m ô n i c o " se o r i g i n o u n a acústica onde, se u m a v 'bração f u n d a m e n t a l com freqüência c i r cu lar co corresponder a u m a nota de cer ta a l t u r a , o p r i m e i r o , segundo, terceiro , e t c , harmônicos, corresponderão à seqüência dos harmônicos da n o t a f u n d a m e n t a l , isto é, à o i t a v a , à d u p l a o i t a v a , etc.

E m geral , no caso d a superposição de vibrações, em que as freqüências c irculares t i v e r e m razões rac iona is , ta is freqüências poderão ser

brações senoidais não p r o l o n g a s u a per iod i c idade . N ã o penetraremos nas discussões matemáticas que se o r i g i n a m nestas considerações, mas observaremos, de passagem, que ta is funções sempre têm u m caráter aprox imadamente periódico, ou , como dizemos, quase-periódico. R e c e n temente f o r a m real izados estudos pormenor i zados sobre as funções de que nos estamos ocupando .

U m a observação f i n a l sobre a superposição das vibrações senoidais, refere-se ao fenômeno das pulsações. Se f i zermos a superposição de duas vibrações de a m p l i t u d e unitária, porém, de freqüências c irculares di ferentes, ÜJI e o)2, e se, p a r a s i m p l i f i c a r , t o m a r m o s o mesmo v a l o r de | p a r a ambas (p. 427) (deixamos a generalização p a r a u m a fase arbitrária ac le itor) , teremos que nos ocupar, u n i c a m e n t e , c o m o compor tamento da função y _ g e i l ^ x _j_ g e n W z X / U i > W 2 >

(!) N a acústica empregam-se, também, os termos harmônico superior e parcial. (2) A s curvas traçadas na figura correspondem aos polinómios trigonométricos obtidos com

o emprego de 3, 5, 6 e 7 termos, respectivamente, d a série

representadas por múltiplos i n t e i ros d a freqüência c i r cu lar funda m e n t a l c o m u m . A superposição de duas vibrações dotadas de freqüências c irculares incomensuráveis, caL

e o)2, entretanto , representa u m t i po de fenômenos intr insecamente diferentes. N e s t e caso, o processo resul tante d a superposição das v i -

0

F i g . 5.P) Composição de vibrações

sen i sen 2x sen 3x sen Sx sen 6a sen 9 r

1 2 + 3 i _[_ 2 -f

T 5 T 6 ^ 7 + 9 + ... .

432 SÉRIES D E F O U R I E R ICAP.

U m a fórmula trigonométrica conhecida, nos dá

y = 2 cos Já ( « í - ÜÍZ)X sen Y2 (o>i + u2)x.

E s t a equação representa um fenômeno que podemos interpretar como segue: temos u m a vibração com a freqüência circular y2 (o>i + a>2) e com o período 4T/(WI + __)• E s t a vibração, porém, não possui ampl i tude constante. Pelo contrário, a " a m p l i t u d e " é dada pela expressão 2 c o s K (wi — a>2)x, que varia com o período maior 47r/(_oi — co 2). Este ponto de v is ta é particularmente empregado e de fácil interpretação quando as duas freqüências circulares, w i e OJ2, forem relativamente grandes, enquanto sua diferença (ou - <_2), for pequena, comparada

Fig. 6 — Pulsações

com elas. A amplitude 2 cos y2 ( a i - o>2) da vibração com período 4ir/(coi -f- co2) variará, então, só ligeiramente, em comparação com o período da vibração, e esta mudança de amplitude repetir-se-á periodicamente, com o período 47r/(-oj. - co2). Estas mudanças rítmicas de amplitude são chamadas pulsações. Todos conhecem estes fenômenos da acústica e talvez, também, da telegrafia sem-fio. Nes ta , as freqüências circulares coi e w 2 estão, v i a de regra, ac ima d a capacidade de captação do ouvido humano, porém a diferença cox - o>2 situa-se entre as notas audíveis, ao passo que as vibrações originais são imperceptíveis pelo ouvido.

A f igura 6 i lustra, graficamente, u m exemplo de pulsação.

I X ] N O T A Ç Ã O C O M P L E X A 433

2. E M P R E G O DA NOTAÇÃO C O M P L E X A

1. Observações g e r a i s .

A investigação dos fenômenos vibratórios e das funções periódicas é s impl i f i cada quando se u t i l i z a m os números complexos, combinando cada par de funções trigonométricas cos o>x e sen cox, p a r a formar u m a expressão do t ipo cos u>x + i sen cox = e™* (cap. V I I I , § 7, pág. 411). Devemos ter presente que u m a equação entre quantidades complexas é equivalente a duas entre quantidades reais e, além disso, que os r e sultados devem ser interpretados e tornados compreensivos no domínio da realidade.

Se subst i tu irmos as funções trigonométricas pelas exponenciais, de acordo com a fórmula

2 cos 6 = eie + e'iB, 2i sen d = eiB - e~ie,

teremos expr imido as vibrações senoidais, em função das quant idades complexas eiax, e~iux, ou

respectivamente, onde a, co, e w£ representam as quantidades reais, amplitude, freqüência c i rcu lar e deslocamento d a fase. A s vibrações reais são obtidas destas expressões complexas, de maneira simples, tomando-se partes reais e partes imaginárias.

A conveniência deste método de representação, empregado em m u i tas aplicações, decorre de que as der ivadas das vibrações reais, em r e lação ao tempo x, são obtidas derivando-se a função exponencial c o m plexa como se i fosse u m a constante rea l , o que é representado pela fórmula

d — a [cos w (x - f) -f- i sen w (x - £)] dx

— acc[~ sen to (z - £) + t cos w (x - £) ] = iaa [ cos co(x - £) -f- i sen co (x - £) ],

d ou T ae^-® = ia<aelulJC-&.

dx

2. Ap l i cação ao e s t u d o d a s c o r r e n t e s a l t e r n a d a s .

Ilustraremos o que acabamos de expor por meio de um exemplo importante. Designaremos, no que vai a seguir, a variável independente, tempo, por í, em lugar de x, como o fizemos até aqui.

434 S É R I E S D E F O U R I E R [ G A P .

Consideremos u m circuito elétrico com a resistência Rea indutância L , ao q u a l se impr ime u m a força eletromotriz externa E (voltagem). N o caso d a corrente contínua, E é constante, sendo a corrente I dada pe la l e i de O h m ,

E = RJ.

Tratando-se , porém, de corrente a l ternada, E será função do tempo t, e por conseguinte , / também o será, resultando, então, a seguinte expressão para a lei de O h m (pág. 182)

dl E - L — = RI.

dl

N o caso mais simples, ao q u a l restringiremos este estudo, a força eletromotriz externa E é senoidal, com a freqüência c ircular _>. Se , em vez de tomarmos esta oscilação sob a forma a cos ut ou a sen « / , combinarmos estas duas possibilidades, teremos E sob a forma complexa

E = eeiut = e cos ut + ie sen cot,

em que «( > 0) representa a ampl i tude . Operaremos c o m esta "vo l tagem complexa" , como se i fosse u m parâmetro rea l , obtendo-se, então, u m a corrente complexa 7. O significado d a relação estabelecida entre as quantidades complexas E e I, é que a corrente que corresponde à força eletromotriz e cos w í é a parte real de / , ao p&=>so que a corrente que corresponde à força eletromotriz e sen cot será a parte i m a g i nária de I. A corrente complexa pode ser calculada imediatamente , se representarmos / por u m a expressão da f o r m a

i " = ae'-* = o:(cos od + i sen ut);

isto é, se estabelecermos a hipótese que I também é senoidal, com a freqüência c i r cu lar o>. A der ivada de I será, pois, d a d a por

dl . . — = ictwelut

dt

— aco( — sen cat 4- i COS 03Í).

Subst i tu indo estas quantidades na fórmula general izada d a l e i de O h m , supr imindo -se fj fator e"»', obteremos a equação e — aLioi = Ra, ou

a = , R + iuL

de sorte que E = (R + iuL)I = WI.

Podemos considerar esta última equação como a lei de O h m para correntes alternadas sob a f o rma complexa, se chamarmos a quant idade

W = R -f- ícoL

a resistência complexa do circuito. A. l e i de O h m é, ass im, a mesma que para a corrente contínua: a corrente é igual à vo l tagem d i v i d i d a pela resistência.

IX] NOTAÇÃO C O M P L E X A 435

Escrevendo-se a resistência complexa sob a forma

W = we'lS — w cos Ô + iw sen 5, onde

w == V / ? í + 1 ^ 7 t g 5 =

obteremos

De acordo com esta fórmula, a corrente terá o mesmo período (e freqüência c i r c u lar) que a voltagem. A amplitude a da corrente é relacionada com a ampl i tude e da força eletromotriz , pela equação

e a = —,

w e, além disso, há u m a diferença de fase entre a corrente e a voltagem. A corrente não atinge seu máximo no mesmo tempo da voltagem, mas s im, ô/co mais tarde , o mesmo se verificando, naturalmente, para o mínimo. N a engenharia elétrica a quantidade w = V/?'- + L 2 « 2 é freqüentemente denominada impedância ou resistência da corrente alterna ia do circuito para a freqüência circular a. O deslocamento da fase, geralmente dado em graus, é chamado retardamento.

3. Representação complexa da superposição de vibrações senoi-dais.

Até agora, empregamos a notação complexa para representar uma combinação de duas vibrações senoidais. Entretanto, uma única vibração ou uma vibração composta, do tipo

n. S(x) = a 4- 2 (av cos vx -f- b„ sen vx)

(para simplificar fizemos w = 1) podem, também, ser reduzidas à forma complexa, substi tuindo-se

1 cos vx — - (elvx 4- e~lvx)

e sen vx = — (évx - e~ivx).

A expressão acima transforma-se, então, em

S(x) = 2 avévxf

436 S É R I E S D E F O U R I E R [ C A P .

em que as quantidades complexas av são ligadas às quantidades reais a, av e bv pelas equações

av = av -f- cn_„, cx = ao, bv = l(a„ — a-v).

Para que a equação av = <xy -\- a-v possa incluir o caso em que v — G\ fazemos, geralmente, a — ao — a0j2.

Inversamente, pode-se considerar uma expressão arbitrária da forma

v=—n

como uma função representativa da superposição de vibrações, escrita sob forma complexa. Para que o resultado desta superposição possa ser real, é necessário, somente, que av -f- «_„ seja real, e que av-a-vy

seja um imaginário puro, isto é, que ay e «_„ sejam números complexos conjugados.

4. Dedução de u m a fórmula trigonométrica.

Empregando a notação complexa, podemos obter uma demonstração muito simples de u m a fórmula de que precisaremos mais tarde . T a l é a jormula da adição

trigonométrica

sen(n -f- H ) a ° " a W = Já + cos a -{- cos 2a - f . . . -f- cos nu = ,

2 sen Ha

que se verifica p a r a todos os valores de <x, exceto 0, =*=2TT, — 4TT, . . . . Para demonstrá-lo, substituiremos a função co-seno pela sua expressão expo

nencial, e escreveremos a soma o-a(a) sob a forma

n <r„(a) = M S e»*fl.

v=—n

N o segundo membro teremos uma progressão geométrica com a razão comum» q = e í a ={= 1. Empregando a fórmula comum da adição, teremos,

1 l e - í / ia_ e (rt+l )£a ^ n W = - e~^na . = -.

2 1-q 2 l - e « ' «

Multiplicando-se o numerador e o denominador por e - ' a / 2 virá:

sen(n + H ) a *«(<*) = — »

2 sen M a como queríamos demonstrar.

IX] NOTAÇÃO C O M P L E X A 437

E X E M P L O S

N sen nx 1. Desenhar as curvas y = 2 , para N = 3, 5, 6.

ra = l «

N COS / 2. Desenhar as curvas y = 2 , para i V = 3, 6, 8.

n = l n 4

3. Calcular a soma sen a + sen 2 « -f- . . . + sen na.

a0(a) + + . . . 4- cm(<*) 4. Se s m ( « ) =

m + 1 )'2 4- cos a 4- cos 2a 4" • • • 4~ cos na, demonstrar que

, onde trA(a) tem o valor <ru(a) =

m + 1

(m + l)ot

sen

(A expressão s m é chamada "núcleo de Fejér", sendo da mais alta importância no estudo da série de Fourier) .

5. Demonstrar que 1 - / sm(a)aoí = 1, i r J -ir

sendo sm(a) o núcleo de Fejér do exemplo anterior (Ex. 4).

3. S É R I E S D E F O U R I E R

A função n

S(x) = a + 2 (av cos vx + bv sen i>;c)

resultante da superposição de vibrações senoidais, contêm 2ÍI+-1 constantes arbitrárias, a, a„, b„. O problema que surge é indagar se tais consantes podem ser escolhidas de modo que no intervalo - TT S X á t a soma S(x) se aproxime de uma função dada, J(x) e, se assim for, como podemos determiná-las. Mais precisamente, verificaremos se a função f(x) pode ser desenvolvida segundo a série infinita

03 f(x) = a + 2 (a„ cos vx + b„ sen K T ) .

Admitindo-se, por um momento, que este desenvolvimento da função f(x) seja efetivamente possível, e que a série possua convergência unifome no intervalo - T á s âir, obteremos uma reação simples entre a função f(x) e os coeficientes a — ^a0, av e bv. (Veremos, em breve, que a notação a — K «o se justifica plenamente.) Multiplicamos o de-

438 SÉRIES D E F O U R I E R [ C A P .

senvolvimento hipotético acima por cos vx e integramos termo por termo, o que é possível, dada a convergência uniforme a d m i t i d a . E m v i r tude das relações ortogonais

X

f.

I.

"* , f 0, se m dp n, sen mx sen nx ax = 4

[T, se m = n dp 0, - { - i r

sen mx cos nx dx = 0,

, f 0, se m dp n, cos mx cos nx dx = ->

[ x , se m = n dp 0, demonstradas n o cap. I Y , § 3 (pág. 217), obtemos, imediatamente, as fórmulas

í r + x

a, = - f f(x) cos VJ; efe para os coeficientes. D a mesma forma, mult ip l icando-se a série por sen vx e integrando-se, virá:

1 /•+-• bv = ~ J fix) sen <£e.

Estas fómulas apresentam u m a seqüência def inida dos coeficientes av e ò„, usualmente denominados coeficientes de Four ier , p a r a cada função f(x), de f in ida e contínua no interva lo - r ú x ^ T, OU que tenlia somente u m número f inito de descontinuidades no seu inter ior . Sendo dada a função J(x), podemos usar essas quantidades av e ò , p a r a formarmos as somas parciais da série de Four ie r

n

Sn{x) — Yido + 2 (a„ cos vx + bv sen vx),

o que permite, também, escrever a "série i n f i n i t a de F o u r i e r " correspondente. À questão consistirá em dist inguir classes simples de funções f(x) para as quais a série de F o u r i e r seja convergente, representando, de fato, a função.

P a r a estabelecermos o resultado que vamos demonstrar, i n t r o d u ziremos a seguinte definição. U m a função f(x) será secionalmente regular ( 1 ) n u m interva lo , se for secionalmente continua ( 2 ) (isto é, contínua

(J) E m alemão: stückvieise glatt. E m inglês: seciionally smooth. P> E m alemão: stückweise stelig. E m inglês: sectionally continuoiu. 1

I X ] S É R I E S D E F O U R I E R 439

D O intervalo , exceto p a r a u m número f in i t o de saltos c o m descont inui dades) e, além disso, se sua der ivada de p r i m e i r a ordem, / ' (x) for se-cionalmente contínua.

Imaginaremos a função f(x), de f in ida originariamente no i n t e r v a l o - x á= x á 7T, como desenvolvida periodicamente.

E m cada ponto no qua l a função f(x) t i v e r u m salto de desconti nuidade, será a l terada, se necessário, assumindo então u m v a l o r igual à média aritmética dos l imites d a esquerda e da d ire i ta àef(x). P o d e mos, pois, escrever

Kx) ^ ( / ( i - 0 ) + / ( x - f O ) ) ,

onde f(x - 0) ef(x + 0) são simplesmente os l imites de f(x) quando x se aprox ima de x pe la esquerda ou pela d ire i ta , respect ivamente. E s t a equação, como é lógico, será verdade i ra p a r a qualquer ponto x e m que f(x) for contínua.

Nosso ob jet ivo é o teorema seguinte: Se a função f(x) for secionalmente regular, satisfazendo, ao mesmo

tempo, a equação acima, o seu desenvolvimento segundo a série de Fourier é convergente em qualquer ponto x e representa a função

Demonstraremos , depois, o teorema: Em qualquer intervalo fechado, no qual a função f (x) (suposta periodi

camente desenvolvida) seja contínua e, também, secionalmente regular, a sua série de Fourier converge uniformemente.

F i n a l m e n t e : Se a função í(x)fôr secionalmente regular, não tendo descontinuidades,

o seu desenvolvimento, segundo a série de Fournier, possuirá convergência absoluta.

A s demonstrações destes teoremas serão dadas no § 5 (pág. 447). Por enquanto , frisaremos que as funções que podem ser desenvolvidas segundo estes teoremas possuem alto g rau de arbitrar iedade, o u seja, uão é necessário que elas sejam dadas por u m a única expressão a n a lítica.

N a próxima seção tornaremos mani festa a extraordinária fert i l idade dos desenvolvimentos segundo a série de Four i e r , d iscut indo alguns exemplos.

C1) Notemos , de passagem, que Oste teorema pode ser demonstrado para classes mais gerais1

de funções. Os resultados a que. chegamos aqui , contudo, Imstam para todas as aplicações.

440 S É R I E S D E F O U R I E R [GAP.

4. E X E M P L O S SOBRE SÉRIES DE F O U R I E R

1. Observações preliminares.

Suponhamos uma função f(x), com o período 2T, definida no in tervalo — T < x < x. Fora deste intervalo, tanto para a esquerda como para a direita, ela pode ser desenvolvida periodicamente, como vimos na página 4 2 6 .

Antes de entrarmos em detalhes, notemos que sef(x) for uma função par (pág. 20) , é claro que f(x) sen vx será ímpar, ao passo que f(x) cos vx será par, de sorte que

í r + x 2 r* K — - / f(x) sen vxdx = 0; a, = - / f(x) cos vx dx.

Obtemos, assim, uma "série de co-senos." Se, por outro lado, a função f(x) for ímpar, teremos

ar — ~ I J(x) cos vx dx = 0; b, = _ / f(x) sen vx dx.

Deduzimos, portanto, uma "série de senos". ( 1 )

2. Desenvolvimento das funções fi{x) = x e <p(x) = x2.

2 r x

A função ímpar, x, nos dá ò„ = - / x sen vx dx e, in tegrando - se p o r partes , x J 0

7T — X COS VX — b„ = 9

1 rr

- / , VJ 0

TT - 1 — / cos vx dx = ( - —.

Logo , a função periódica ^(z) , que é i g u a l a m o i n t e r v a l o — T<X<TT ( f ig. 7), per mitirá o d e s e n v o l v i m e n t o

, v /• sen x s en 2a: s e n %x \

^ • 2 ( —-— + — - + •••> Fazendo-se a: = x / 2 , teremos a série de Gregór io

X 1 1 - - 1 - - -1 V 4 3 5

que j á conhecemos (pág. 319). A função ${x) r e p r e s e n t a d a p o r esta série não é contínua. P e l o contrário, e la s a l t a de 2ir nos p o n t o s x = kv, k ± 3 , =±=5

( l) Conseqüentemente, se a função j(x) fôr dada, inicialmente, só no intervalo 0 < x < poderemos desenvolvê-la no intervalo - v < x < 0, seja como função ímpar, seja como par, desenvolvendo-a correspondentemente, no intervalo 0 < x < w, como série de senos ou de co-senos.

IX] EXEMPLOS 441

Nestes pontos de descontinuidade, isto é, nos pontos x = fer, k — =*=1, =*=3, =±=5, . . c a d a termo da série será zero, sendo, portanto, zero o valor da própria função. Logo, nos pontos de descontinuidade a série representa a média aritmética dos limites da esquerda e da direita

Sendo £ um número fixo qualquer entre - ir e -TT, e se substituirmos x por (x - £) nas séries acima, teremos

tsen(x - È) sen 2(x - |) sen 3(x - £) 1 — I 2 — + — i + - J

2 2 2 = — sen £ cos x + - cos £ sen x +- - sen 2 £ cos 2s

1 1 2 2 2 2

— - cos 2£ sen 2x — sen 3£ cos 3a; H — cos 3 £ sen 3JC -f- . . . • 2 3 3

F i g . 7

Podemos, também, escrever estas expressões sob a forma de séries de Fouríer, com os coeficientes

aQ = 0, a a = 2 sen n£, on = 2 cos n £, n

que tendem para xero quando n cresce; esta série representa uma função com as descontinuidades descritas acima, nos pontos x = £ =*= TT, X = £ =*= 3TT,; , . . .

Acharemos para a função par 4>0)=£ 2, integrando por partes duas vezes que

2 rw 4 a;2 cos efe = (— l)v — (*> > 0), a, = - /

7T J 0

27T-

de forma que teremos o desenvolvimento 7T 2 / ' c o s SC

<p(z) — 4 ( — w 3 V r

cos x cos 2x cos 3a;

2 2

Derivando esta série termo por termo e dividindo por 2, teremos novamente a série de vK#) =

442 SERIES D E F O U R I E R [CAP.

3. Desenvolvimento da função x cos x.

P a r a esta função ímpar, teremos

a„ = 0, 6, irJ 0

x cos x sen vx dx.

Empregando a fórmula

x sen fix dx — ( - 1)M+I - (ji = 1, 2, . . . ) 0 M

estabelecida na subseção anterior, calculamos bv

2 f * 1 r ' b„ — - \ x cos x sen vx dx = - / x[sen(> -f- l)x + sen(v - l ) x l dx

TTJQ Tf J 0

( - D H - 2 ( - ! >

6, = - ;

K + 1 V - 1 1

( - D " (* = 2, 3, . . . ) ,

27t

F i g . 8

Obtemos, pois, a série 1 » ( - ] > „

a; cos x — — sen x + 2 £ sen vx, 2 ,=2 r - 1

que se transformará em 3

x ( l + cos x) =*= - sen x -f- (se T. sen 2x sen 3x sen 4x -1 +

2 . 3 2 . 3 . 4 3 . 4 . 5 ) se lhe adicionarmos a série estabelecida na página 410. Quando a função igual a x cos x no intervalo - ir < x < r for desenvolvida periodicamente além dele, ocorrerão as descontinuidades (fig. 8) já estabelecidas p a r a a função i£(x) estudada no n.° 2. P o r outro lado, se a função x ( l + cos x) fôr desenvolvida periodicamente, ela permanecerá contínua nos extremos do intervalo, e, efetivamente, sua derivada também será contínua, visto as descontinuidades serem eliminadas pelo fator 1 -f- cos x que, juntamente com sua derivada, se anula nos pontos extremos.

IX] E X E M P L O S 443

4. Função/(x) = | x \. E s t a função é par ; conseqüentemente, 6, = 0 e

2 (••* av — - / x cos PX <íx,

TJQ

que, integrada por partes nos dá:

J 0 x cos vx dx = ~ x sen vx * 1 f * J — I sen da!

o vJ o

0, se J> for par e 4: 0, 2 - A , — —, se V for i m p a r .

P o r conseguinte,

/O TT 4 / " cos 3x cos 5z

cos x -| 1 h

3 2 5 2

Fazendo-se x = 0, obteremos a fórmula notável

x 2 1 1

5. Exemplo A função def inida pela equação

{ — 1, p a r a — T < x < 0, 0, p a r a x = 0,

+ 1, p a r a 0 < x < T,

- ) •

-X) O

Fig. 9

como está representada n a f igura 9, é u m a função ímpar. Logo , at = 0 a f 0 se p for par,

2 /•«• , b„ — - \ sen J>X cZx = < 4

•3T J o — se y for i m p a r , t TP

de sorte que a série de Four ie r p a r a a função d a d a será 4 f sen x sen 3x \

P a r a x = - , e m par t i cu lar , teremos, novamente , a série de Gregório.

E s t a série pode ser deduzida d a referente a 1 x |, pe la derivação termo a termo.

44 % S É R I E S D E F O U R I E R ( C A P .

6. Função/(.t) = [sen*|. . A função par j(x) = | sen x \ pode ser desenvolv ida segundo a sér ie dos co

senos, sendo os coeficientes a , dados pelas seguintes transformações:

-a. - i ^sen x cos vx dx = - f [ sen (v + 1) x - sen (v - 1) x ] dx 2 Jo 2 J o

f 0 se p fôr ímpar,

~" — se v fôr par . ^ v--l

Obteremos, então, 2 4 m cos 2/xx

j(x) = I s e n x j = 2 — — - . x ir f H - 1 — 1

7. Desenvolvimento da função cos p.x. Resolução da co-taxigente em frações parciais. Produto infinito do seno.

S e j a j(x) = cos [xx para - x < x < x, onde n não ê inteiro. C o r a o / ( x ) é p a r , teremos novamente bv = 0, enquanto

-a„ = / cos /ia: cos vx dx = - [ cos (p + v) x + cos (M - v) x ] dx: 2 J o 2 J o

1 f~sen (ji + V)TT sen (p. - v)w~\

— sen /ir. * li--v*

Deste modo virá

cos 2ß sen AÍX / " 1 cos x cos 2x \

x v 2 / i 2 — l 2 n'--2'2 J

E s t a função se conserva contínua nos pontos x = =±= x . S e f izermos x = ir e d i v i d i rmos ambos os membros por sen jux, escrevendo, então, x e m lugar de ju, t e r e m o s a equação

2x r 1 1 1 N cotg x x = - ( —; ; + — _ _ + + . . . ) .

x V 2 x 2 x 2 - l 2 x 2 - 2 2 J

E s t a é u m a fórmula m u i t o importante , freqüentemente d i s c u t i d a e m anál ise e denominada : resolução da co-tangente em jrações parciais. P o d e m o s e s c r e v e r e s t a série sob a f o r m a

1 2 x ^ 1 1 -\ COtg X X = - j 1 - L . )

x x . x V I 2 - x 2 2 a - x 2 •• J-

Q u a n d o x estiver cont ido no interva lo 0 | í | g < l ) O t e r m o de o r d e m n do se- ,

gundo m e m b r o será menor , em va lor absoluto, do que - L o g o , a s é r i e p o s -x n

ÍX ] EXEMPLOS 445

Ruirá convergência uniforme no intervalo, podendo ser integrada termo por termo, Obteremos, então,

r x f 1 \ _ , sen TX sen ira 7T / ( cotg tri - — 1 dt — log lim log = log

J 0 V irl/ irX a-*0 7rd sen 7rr

7rx

€0 primeiro membro, e

l o g ( l - ~ ) + lo, 0 - | ) + . . . - to S b , ( l - í | )

no segundo, multiplicando ambos por TT. Se passarmos da função logarítmica para a exponencial, teremos:

sen irx Hm S l o g ( l - a ; 2 / „ 2 ) ^ s iog ( l - a ^ a )

7 T X n—* oo

== ma S A 1 - ? ) -Logo,

sen xx

Obtivemos, assim, a notável expressão do seno, como produto infinito (*). Fazendo ar = virá o produto de Wallis

n 2 „ - i 2 v - l 2^ + 1 1 3 3 5

como foi obtido na página 2 2 4 .

8. O u t r o s e x e m p l o s . Por transformações rápidas, como as anteriores, teremos os seguintes exemplos

de desenvolvimentos em séries. A função j(x) definida pela equação J(x) = sen px no intervalo - TT < x < TT

pode ser desenvolvida segundo a série 2 sen Pr f sen x 2 sen 2x 3 sen 3x *\

flx) = sen U.X = — — — ( 1- • ) • 7T V / X " — 1 /Li " — /U ô y

7T fJLlT }XTT

Se fizermos x = — e se empregarmos a relação sen JUTT — 2 s e n — cos —, teremos o desenvolvimento da secante em frações parciais, isto ê, da função

1 " . O desenvolvimento é

7T cos U -

2 - ( - D 1 - ( 2 , - 1 )

7T sec 7TX = = 4 1 •„ — — . cos 7TX „ « i 4 x - - (2v - 1 ) -

em que escrevemos x para jn/2.

(!) E s t a fórmula é particularmente interessante porque mostra que a função sen n-x se anula nos pontos x — O, ± 1 , =*= 2, . . . . A este respeito ela corresponde à fatoraçao de um polinómio, quando os zeros respectivos forem conhecidos.

4 4 6 S É R I E S D E F O U R I E R [ C A P .

As séries para as funções hiperbólicas Ch ]xx e Sh px ( — TT < ar < são 2fi ^ f 1 cos x cos 2x cos 3x "\

Ch \XX — Sh fJLTT 1 1 • - j — . . . ) .

2 ^ / sen x 2 sen 2x 3 sen 3x \ Sh vx = - Sh fiT ( H h . . . }.

EXEMPLOS

1. Determinar o desenvolvimento das funções periódicas, com período 2TT. segundo a série de Fourier, as quais são definidas pelas fórmulas

(a) c " . (ô) (x2 - 7 T 2 ) 2 . (c) sen az (1 + cos x).

(d) j(x) = l ( a á í á i ) , - 0 ( - x < x < a), j(x) = 0 (6 < x g TT),

no intervalo — ir < x ^ 7r. 2. À função é periódica, com o período 1, sendo definida por j{t) = em

1 1 sen 2mri 0 á x < 1. Demonstrar que /(£) = 2 .

2 7T n = i n 3. Os polinómios Ba(t) (polinómios de Bernouilli) são definidos pelas relações:

(a) BM « í - (6) J3n'(í) = n 5 n 4 (í); (c) f * Ba(t) dl = 0. J o

Achar B a (0, B3(t\ B$). (Nota. — Os números jBn(0) sao racionais sendo, de fato, os mesmos números

de Bernouilli, como se pode verificar nas págs. 422, 423). 4. Verificar os desenvolvimentos segundo a série de Fourier, para os seguintes

polinómios de Bernouilli: 1 co sen2mrí 3 sen2n7ri

7 T n = l 72 2TT 3 7i = l n 3

i r - n s l n 2 7 T 4 n = l

« 1 Tf2 <» 1 7T4

5. Demonstrar que 2 — = —, 2 — —. 7i = i n 3 6 n - i n * 90 1 1 1 1

6. Demonstrar que — 1— 1— l 3 3 S 5 3 7 3 3 2

1 1 1 7T2

7. Provar que (a) 1 + — H 1 h . . . = —. 3 3 5 a 7- 8

„ v „ 1 1 1 7T2

(6) 1 + + . . . - — . 2 2 3 2 4 2 12

/ N n 1 1 1 7TT 2

(c) 1 - - + + . = . 2* 3* 4* 720

8. Estabelecer o produto infinito do co-seno da relação sen 2irx

cos TTX = 2 sen TTX

IX] CONVERGÊNCIA D A S SÉRIES D E F O U R I E R 447

5. C O N V E R G Ê N C I A DAS SÉRIES D E F O U R I E R

Demonstraremos agora, rigorosamente, os teoremas enunciados no § 3 (pág. 439) e ilustrados no § 4 (pág. 440).

1. Convergência das séries de Fourier de funções secionalmente regulares.

Lembraremos, de início, que se f(x) for uma função qualquer, definida e secionalmente contínua (isto é, contínua, exceto para um número finito de descontinuidades, no máximo) no domínio — T ^ x ^ TT, podemos formar os coeficientes da série de Fourier para/(x), de acordo com as fórmulas

av — ~ I f (t) cos vt dt, bv — - / / (/) sen vt dt,

sendo então possível escrevermos a série co

14 do + 2 (flp cos vx + b„ sen vx).

Esta ê a denominada série de Fourier correspondente a f(x), independentemente da sua convergência. Determinaremos, agora, as condições que f(x) deve satisfazer para que se tenha certeza de que a série representa de fato a função e é convergente. Admitiremos que f(x) é desenvolvida periodicamente, fora do intervalo - T < x á= ir.

Demonstraremos, então, o teorema Se a função f(x) for secionalmente regular e se, em cada ponto de

descontinuidade (x), satisfizer a equação f(x) = Yi [f(x - 0) 4- f(x + 0)], a serie de Fourier correspondente à função dada f(x) será convergente em qualquer ponto e representará a função.

Para a demonstração, consideremos as somas parciais 71

Sn (x) = }4 a 0 -h 2 (av cos vx + ò„ sen vx).

Se substituirmos os coeficientes pelas integrais que estabelecemos acima, alterando a ordem da integração e da somação, virá

Sn(x) =- / f(t) 1 n

- 4 - 2 (cos vt cos vx 4- sen vt sen vx) L 2 "=i

dt,

í 1) Isto é, tanto f(x) como sua derivada f'(x) são secionalmente contínuas.

4 4 8 S É R I E S D E F O U R I E R ( C A P .

ou, empregando o teorema d a adição dos co-senos,

Sn(x) = IJ + /(/) [ l- + J^os - ^) rfí.]

Aplieando-se, então, a fórmula da adição trigonométrica (pág. 4 3 6 ) , teremos

s.(x) = 1 r / w ?!HÍÍ±ÜL^=^ & 2TT J -w sen }--2 (/ - x)

Finalmente, fazendo-se r = (í — a?) e notando-se a periodicidade do i n tegrando, obteremos

e . , "1 f + * . . sen (n +

Partindo da soma parc ia l Sn(x) sob esta forma, podemos demonstrar, com o auxílio do lema abaixo, que Srl(x) tende para f(x).

Lema. Quando a função s(x) for secionalmente continua no intervalo a S x ^ b, o integrando

I = y \(f) sen X / #

tenderá para 0, à medida que X crescer. N a demonstração deve-se admit i r que s(:r) seja contínua no inter

valo completo, visto que de outra forma precisaríamos, apenas, l imi tar o raciocínio aos subintervalos em que s(x) é contínua.

Como no argumento empregado nas páginas 4 1 8 e seguintes, observaremos que, se X for posit ivo, a função sen \t será alternadamente positiva e negativa nos intervalos sucessivos de cumprimento T / X . Para valores grandes de X , as contribuições dos intervalos adjacentes para a integral quase se cancelam, porque, em v is ta d a continuidade, os valores de s(x) em dois destes domínios adjacentes diferem muito pouco entre si. Usaremos esta circunstância, transformando a integral I pela substituição t = T + h, em que h = T / X ; então, sen \t = - sen XT e

/

•6-ft

S(T 4- h) sen Xr dr. a-h

Escrevendo-se, de novo, / em vez de r , e somando-se as duas expres-

ÍX] CONVERGÊNCIA DAS S E R I E S D E F O U R I E R 449

soes de I, virá

/

•a rb-h s(t 4- h) sen Xf dt + / - stf + h)] sen Xt dt

a—h J a

•ff- / s(0 sen X£ dt J b-h

Se M for um limite superior do valor absoluto de s(x), isto ê, se para qualquer valor de x, no domínio considerado, | s(x) | â M , a desigualdade

/

b-h I s(f) - s(jt + h)\dt

decorre imediatamente da expressão encontrada para I. Seja, agora, c uma quantidade positiva qualquer; se escolhermos X tão grande que no intervalo completo a ^ t ú b — h a expressão | s(t) - s(t + h) \ per-

MTC e maneça menor do que <•/(& - a), e também, Mh — < -, teremos

X 2 \I\< €. Conseqüentemente, desde que podemos escolher e tão pequeno quanto quisermos, lim I — 0. a )

Além deste lema, precisamos da fórmula de integração sen (n -f- %)t ir

o 2sen3^í ~ 2~'

que se verifica para qualquer inteiro positivo n. Isto se demonstra rapidamente, empregando-se a fórmula da soma dos co-senos, visto que

/ i L _ dt = / ( H + 2 cos i»0 cft = - . Jo 2 sen^ í J o i 2

Demonstração do teorema principal. — Pelo lema estabelecido, será fácil demonstrarmos o teorema principal, isto é, comprovar a fórmula

v O / N v 1 T + V I A sen (n + J$ í . . . hm = hm — í f(x + í) dt = f(x). n-*cn n-*a27rj—r 2senJ^í

(!) Admitindo-se que s(x), além de ser contínua, possui a derivada *'(a;) secionalmente contínua; a demonstração do lema decorre, simplesmente, da integração por partes. Teremos, então,

rb i r fb i I s(t) sen Xi dt = - I s(a) cos Xa — s(6) cos X6 -f- J ^ s'(í) cos Xí dl I.

Vemos logo. nesta expressão, que à medida que X cresço, o segundo membro tende para zero.

450 S E R I E S D E F O U R I E R [CAP.

Começaremos subdividindo o intervalo de integração na origem. Para valores fixos de o*, a função ( D

2 sen lot

é secionalmente contínua no domínio 0 ^ t S x. Isto é claro quando 0 < t ú ir, ao passo que a continuidade quando t = 0 decorre da h i pótese feita, de existir derivada do segundo membro

.. j(x 4 0 - / ( x + 0) /(a: 4- 0 -.f(x + 0) 2 sen y2t i i m = t i m 1 . .

Í->O. «>o t i-+o 2 sen J í í ^ = Km / í i ± ± ^ L ± i ) .

<-»+«> 2 sen lit

Logo, quando X = n 4 Já crescer, a integral

I í "s(t) sen X/ rfZ 7T J 0

= — / /(a: -h 0 dl -— I j(x 4 0) dl 2rJ o sen J tf 2r J o sen Jó/

tenderá para zero. Como, porém, o fator f{x 4- 0) pode ser excluído da segundo inte-

C r sen X/ gral do segundo membro, e como a integral / dl é igual

J o 2 sen y21 a - para X = n 4 J i , obtemos logo a equação ( 2 )

2

lira 1 f\f(x 4- 0 * = -/(a? + 0). X - « 2 T . / O senj-áí 2

Da memsma forma teremos

l im 1 f°f(x + 0 A = - 0),

ao intervalo - x ^ tf í§ 0 e, por adição, virá j

l im 1 f - f - 0 dl = / ( i ) . x-><*> 2x J s e n j - é í

C1) Para esta notação, veja-se a página 439. (s) Fazendo-se x = 0, f(0 = (sen J£ /)/í nesta equação, e substituindo t por u/X, obteremos a

nportante relação (págs. 251-253).

I X ] CONVERGÊNCIA D A S SÉRIES D E F O U R I E R 451

2. Investigações subseqüentes sobre a convergência.

N a vizinhança dos pontos em que a função f(x) ê descontínua (pontos críticos), a série de Fournier não é uniformemente convergente, pois, de acordo com o cap. V I I I , § 4 (pág. 393), toda a série de funções contínuas, uniformemente convergente, tem soma contínua. Não obstante, temos o seguinte teorema importante:

Se uma função secionalmente regular e periódica não tiver descontinuidades, sua série de Fourier converge absoluta e uniformemente. A convergência da série de Fourier para qualquer função secionalmente regular ê uniforme em todo o intervalo fechado que não contiver pontos de descontinuidade da função.

P a r a demonstrar este teorema, partiremos de uma desigualdade fundamental, satisfeita pelos coeficientes da série de Fourier de qualquer, função f(x), secionalmente contínua (observe-se que não se imaginou f(x) secionalmente regular). E s t a desigualdade, denominada desigualdade de Bessel, estabelece, para qualquer valor de n

l-a02 + 2 (a,2 + ò„2) 22 í f +*[/(*) T2 dx.

2 - i . 7 T J - T

A demonstração decorre de que a expressão

f(x) - H Oo _ S (a„ cos vx + bv sen vx) j dx

é sempre posit iva ou nula. Se calcularmos a integral, desenvolvendo o colchete sob o sinal, lembrando as relações ortogonais e a definição dos coeficientes de Fourier, obteremos imediatamente a desigualdade de Bessel sob a forma

j + *[ /(ÍC) f dx - 7T [ 1 a ü2 + ! (a , 2 4- ò,. 2)] è 0.

Além da desigualdade de Bessel, empregamos a de Schwarz (pág. 13): se Ui, u2, . • ., un evi, v%, . . v n , forem números reais, arbitrários, será sempre verdade que

( n \ 2 n n

S u , » , ) ^ S Ü , 2 . S t ' , 2 , ocorrendo o sinal de igualdade somente quando as seqüências u e v forem proporcionais.

Admitiremos, agora, que a função periódica f(x) seja secionalmente regular e, também, contínua. A derivada g(x) — f (x) será secional-

452 SÉRIES D E F O U R I E R [CAP.

mente contínua, sendo fácil de demonstrar que os coeficientes da série de Fourier, c¥ e dp, de g(x), satisfazem as relações

Co = 0

d„ = - vav J

integrando por partes, teremos

1 f + f f

c, = _ I g{x) cos vx dx

= -f(x) cos vx TT

+ — / f(x) sen vx dx = vby,

verificando-se demonstração semelhante para os outros enunciados. A desigualdade de Bcssel, aplicada à função g(x) dá, pois,

2 v2 (a2 + b2) = 2 (c2 + d2) $1 f+\g(x) f dx.

Se, para abreviar, designarmos o segundo membro por M 2 , e aplicarmos a desigualdade de Schwarz, acharemos que, quando m> n,

m v av cos vx -f- ò„ sen vx | ^ 2 Va„ 2 + ò„ 2

visto que Va„2 + b2 é a amplitude da função periódica av cos + + ò„ sen ra.

" 1 Graças, porém à convergência de 2 —, o segundo membro, que é

»> = 1 v2

independente de x, pode ser tornado tão pequeno quanto desejarmos, escolhendo-se nem suficientemente grandes, o que demonstra a convergência absoluta e uniforma da série

A f im d provar o teorema acima para funções secionalmente regulares, consideramos uma Junção especial, \^(x), deste tipo.

C1) As mesmas considerações mostram, incidentalmente, que a soma "^v-^ia^ -\-bv-) se mantêm abaixo de um limite fixo, para as funções periódicas com derivadas contínuas de ordem (A — 1) e, pelo menos, com derivadas secionalmente contínuas, de ordem h. Este procedimento dá uma indicação precisa e definida, sobre a ordem em que os coeficientes de Fourier se anulam. Para tais funções, as séries de Fouriei das derivadas superiores à de ordem (h - 1), convergem absoluta e uniformemente.

I X ] CONVERGÊNCIA. D A S SÉRIES D E F O U R I E R 453

N o domínio - r < x < ir, a definição estabele2e a igualdade entre \p(x) e x. F o r a deste intervalo, ^(x) é desenvolvida periodicamente. De acordo com o exposto na página 440, a sua série de Fourier será

9 / s e n x sen 2x sen ?>x \

E s t a série nao pode ser uniformemente convergente, porque sua soma é a função descontínua ^(x). Mostraremos, entretanto, que a convergência ê uniforme em qualquer intervalo - / S x á /, para o qual 0 < / < 7T.

A demonstração é baseada num artifício especial Observamos x

que, no intervalo - l ^ x S l, a função cos - jamais é menor do que a

quantidade pos i t iva cos^ = K. Mult ipi icando-se o valor absoluto da

diferença entre as somas parciais de ordem m e n da série acima (m > n), isto é, a expressão

I Sm(x) - SJx) I

sen (n + l)x sen (n •+- 2)x sen mx : _ - _ | — ^ _ _ j _ —

n + 1 x + 2 " ' /?i

pela função cos ~, teremos, de acordo com a fórmula trigonométrica

conhecida, 2 sen u cos v = sen (a -f- v) + sen ( í i - r ) , o valor absoluto da expressão

sen mx ~j mcc J

x 2 cos -

sen (ri - f l )x sen (n - f 2).r sei H — . . . ±

n -f- 1 n + 2

sen (n + 3/ 2)x sen (/i + ^2)x sen (fta 4- 1/2)2 — — -\- — . . .

n + 1 n -f- 2 m

. sen (ri + £ sen (M + 3/ 2)x sen (n + 5/2)a? -f- . — — - f - h . . . . n + l n - H 2 n + 3

(!) Somos conduzidos, naturalmente, a este artifício, observando que a função 2y cos y, desen-volvida periodicamente, além do intervalo - - á j á - permanece continua e, de acordo com a primeira parte do teorema, a sua série de Fourier deve convergir uniformemente e representar a função. Tal série, entretanto, será obtida pela multiplicação da série de Fourier referente a 2y por cosy. Se fizermos y = x/2, a multiplicação dará a série cousiderada no texto.

454 SÉRIES D E F O U R I E R [ C A P .

Reduzindo-se os termos do segundo membro que têm os mesmos numeradores, obteremos a relação

sen (n - j - \i) x sen (m 4- 14) x

n 4- 1 m

^_ sen (n 4- s/ 2)j ^ sen (n 4- 5!2)x sen (m - il2)x

(M + I) (n - f 2) (n + 2) (n + 3) + " • • • ^ ( m _ 1 ) m '

x

mas, como cos - K , e jscn u| ^ 1, teremos a aproximação

i Sm(x) - Sn(x) \ K L rz + 1 77i (77, + 1) (n - f 2) (m - l )m

O segundo membro, porém, não depende de x e, em virtude da con

vergência da série 2 , pode ser tomado tão pequeno quanto v=i v[y 4- 1)

quisermos, pela escolha de n e m suficientemente grandes. Isto implica 11a convergência uniforme da série de Four icr , conforme tínhamos afirmado.

U m a vez obtido o desenvolvimento de uma função descontínua particular, podemos (pág. 441) transferir a descontinuidade para qualquer ponto arbitrário do intervalo, pela translação da curva ou do sistema de coordenadas. Efetivamente, a função

sen (x - £) _ sen 2(x - £) sen 3 Cr. - £) - - - - • + -]

é contínua, exceto nos pontos (2k - f l ) i j - £, onde k é inteiro. Passando estes pontos, porém, a função sa l la de - 2 i r , do valor de T ao de - 7T, enquanto nos próprios pontos o seu valor é zero.

Se/(:r) fôr uma função secionalmente regular, descontínua somente nos pontos £1, £ 2, • • •, fm» do intervalo - ir á x S w, e se passando por estes pontos, da esquerda para a direita, ela saltar de 8X, <52, . . 5m, respectivamente, a função

f(x) + lK& + ir - É i ) + ~ <P(x + ir - &) + . J 27T 2ir

27T

I X ] C O N V E R G Ê N C I A D A S S É R I E S D E F O U R I E R 455

será contínua e secionalmente regular, e, portanto , pela demonstração anterior, poderá ser desenvolvida n u m a série de Four i e r , uni forme* mente convergente. Obtemos, assim, a série de Four i e r da função f(x),

somando termo a termo u m número f in i to de séries de Four ie r , correspondentes às funções - — + ir - h), - f T - £M).

2ir 2-7T O teorema f i ca , pois, demonstrado.

Este resultado é perfeitamente adequado p a r a a m a i o r i a das inves tigações práticas e das aplicações. Devemos , porém, assinalar que o estudo desta série l evou a inda mais longe. A s condições aqui estabelecidas para os desenvolvimentos em série de Four i e r são suficientes, porém, de modo a lgum, necessárias. Funções com propriedades de continuidade m u i t o menores do que as que estudamos podem, também, ser representadas por séries de F o u r i e r . Há bibl iograf ia abundante sobre estas questões e sobre o prob lema geral do desenvolvimento das funções segundo a série de Four i e r . Como resultado notável destas i n vestigações, c itaremos a existência de funções contínuas cujas séries de Four ie r não convergem em intervalo a lgum, por menor que ele seja. U m resultado desta espécie não impugna , de modo a lgum, a u t i l i dade da série de F o u r i e r ; pelo contrário, deve ser admit ido como evidente que o conceito de função contínua envo lva possibil idades razoave l mente complicadas, como já demonstramos, com a apresentação de tais funções que não possuem der ivada em parte a lguma.

A P Ê N D I C E A O C A P Í T U L O I X

INTEGRAÇÃO D E SÉRIES D E F O U R I E R

U m a das propriedades mais notáveis das séries de Four ie r ê a sua integrabi l idade termo por termo. E m geral , t oda a série uni formemente convergente pode ser integrada termo por termo; de outro modo a integração conduzirá a resultados falsos. E m contraste c o m isto, temos o seguinte teorema para as séries de F o u r i e r :

Quando f(x) fôr secionalmente contínua no domínio - r ^ x S ir, e y2ao -f- 2 (a„ cos x + b„ senx) fôr a série de Fourier correspondente a

456 SÉRIES D E F O Ü R I E R [ C A P . I X

f(x), esta série pode ser integrada termo a termo entre dois limites quaisquer £ e x do intervalo - TT ^ x 2= -K. Em símbolos,

f f(x) dx = / V2 a0 dx 4 - 2 ( / a, cos vx dx + / 6, sen vx rfx Y

Além disso, para qualquer valor fixo de £ a série do segundo membro será uniformemente convergente em x. O notável neste teorema ê que não somente é desnecessário supor que a série de Four ier correspondente a f(x) seja uniformemente convergente, como também não precisamos admit ir que eia convir ja .

P a r a demonstrá-lo, seja a função F(x) def inida pela equação F(x) =

=J [f(x) - ya0] dx. E s t a função é secioiialmente regular e, pela de

finição de a 0 , temos i q » = F( - x) = 0, de sorte que F(x) pode ser

desenvolvida periódica e continuamente. A série de Four ier y A 0 -f-

+ 2 (Avcosvx+ Bvsenvx) correspondente à função F(x) converge,

portanto, uniformemente para F(x). Procuremos, agora, determinar ps coeficientes de Av e Bv. Pe la integração por partes (como na pág. 440} achamos que, p a r a v > 0 , A„ = -bjv e Bv — ajv. Logo , para quaisquer valores £ e x do intervalo - r è x % TT , teremos

F(x) - F(£) = 2 [,4„(cos vx - cos vQ 4 - B, (sen vx - sen ]

= 2 í" — (sen vx - sen v£) - — (cos vx - cos v£)

uniformemente convergente em x. Se substituirmos F(x) pelo seu valor dado pela definição, virá

j f(x) dx - y2a0 j dx = 2 ^ ( a „ ^ cos VJC dx-j-bv J sen ^ cte).

o que queríamos demonstrar. E fácil ver que se f(x) for periódica e secionalmente contínua, a

integração termo por termo pode ser efetuada sobre qualquer intervalo .

C A P Í T U L O X

E S B O Ç O D A T E O R I A D A S FUNÇÕES D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S

Até aqui l idamos com funções de u m a única variável independente. Estudaremos, agora, funções de diversas variáveis independentes, v is to as aplicações ao cálculo forçarem-nos a dar este passo. Efet ivamente , as relações que ocorrem na natureza são traduzidas por funções que, geralmente, não dependem de u m a só, mas de duas, três, ou mais v a riáveis independentes. Ass im, por exemplo, o volume de u m gás ideal será função de u m a única variável, a pressão, se mantivermos a t e m peratura constante, porém, no caso contrário, não o será. E m geral , a temperatura também var ia , e o volume dependerá de dois valores, a saber, d a pressão e da temperatura; é, portanto, uma função de duas variáveis.

D o ponto de v i s ta da matemática pura , também urge u m estudo detalhado das funções de diversas variáveis independentes. T i raremos vantagem do que expusemos anteriormente, de t a l sorte que, em m u i tos casos, faremos somente generalizações ou extensões dos raciocínios já conhecidos.

E m geral é suficiente estudar-se o caso de duas variáveis independentes, x e y , desde que não sejam essenciais novas considerações p a r a a extensão às funções de três ou mais variáveis. A f i m de conservarmos a maior simplicidade possível, tanto nos enunciados quanto n a notação, consideraremos normalmente só duas variáveis independentes.

Sendo impossível darmos um desenvolvimento sistemático do cálculo diferencial e integral destas funções neste volume, reservamos esta matéria para o I I vo lume deste tratado. N o momento daremos,

457

4 5 8 F Ü N Ç U E S D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S [ C A P .

apenas, ao le itor , un ia visão pre l iminar dos novos conceitos e operações mais importantes . Freqüentemente nos basearemos na intuição plausível, deixando a demonstração rigorosamente desenvolvida para o I I vo lume.

1. C O N C E I T O D E FUNÇÃO N O CASO D E DIVERSAS VARIÁVEIS

1. F u n ç õ e s e seus d o m í n i o s de d e f i n i ç ã o .

As equações da forma

u = x2 + y2, u = x - y, u — xy, ou u = V1 - x2 - y2

admitem u m valor funcional u p a r a cada par de valores {x,, y). Nos três primeiros dos nossos exemplos esta correspondência se verif ica para qualquer sistema de valores (x, y), ao passo que, no último, ela somente tem lugar quando a desigualdade r + y 2 ^ 1 for verdadeira.

Nestes casos, u é u m a função das variáveis independentes x e y. E m pregaremos esta expressão sempre que u m a le i qualquer dê o valor de u, como variável dependente, correspondente a cada par de valores (x, y), n u m dado conjunto. A relação entre x, y e u pode ser fornecid.i por u m a "equação func iona l " como a c i m a , ou por descrição verbal , como por exemplo: " u é a área de u m retângulo cujos lados são x e y " , ou ainda, ser deduzido de observações físicas, como no caso da decli nação magnética para diversas lat i tudes e longitudes. 0 essencial ê que exista a relação de correspondência. D o mesmo modo, u será função de três variáveis independentes, x, y, z se, p a r a cada conjunto de valores ix, y, z) de u m a determinada série, existir um valor correspondente de u, fornecido por a lguma lei de f in ida ; igualmente , no caso geral de n variáveis independentes, X\, x2, ..., xn.

0 conjunto de valores que o par (x, y) pode receber, é denominado domínio da definição da função u = f(x, y) . Neste capítulo concentraremos a atenção nos tipos mais simples de domínio de definição. C o n sideraremos (x, y ) l imi tada ou pela chamada região retangular (domínio),

a úx 6, c â á ,

X] FUNÇÕES D E DIVERSAS VARIÁVEIS 459

ou mesmo por um círculo, determinado por uma desigualdade da forma (x - a)2 4- (y - bf =gr2.

No caso de funções de três variáveis x, y, z, podemos ainda considerar somente regiões retangulares

a Ikx Sb, c Sy Sd, e %z Sf

e esféricas (x - a)2 + (y - ò) 2 + (2 - cf S r2.

Quando se tratar de mais de três variáveis independentes, a intuição geométrica falha, porém muitas vezes é conveniente estender-se a terminologia geométrica a tais casos. Assim, para funções de n variáveis Xi, . . . , xn, imaginaremos as regiões

ãj S Xi S bi, ü 2 ú X» ^ &2, • • •, CLn = Zn = K

e, também, (xi - a i ) 2 + {x2 - a 2 ) 2 + ... +(xn- a „ ) 2 S r2,

que chamaremos de regiões retangulares e esféricas, respectivamente.

2. Os t i p o s m a i s s i m p l e s d e f u n ç õ e s .

Justamente como no caso das funções de uma só variável, as funções mais simples são as racionais inteiras ou polinómios. O polinómio do primeiro grau, mais geral (função linear), é da forma

l i = ax 4 - by 4 - c,

em que a, b e c são constantes. O polinómio geral do segundo grau é representado por

u — ax2 4 - bxy + cy2 + dx 4 - ey 4 - / .

O polinómio geral é a soma de termos da forma amnxmyn, onde as quantidades amn são constantes arbitrárias.

A s funções racionais fracionárias são quocientes de polinómios; a esta classe pertence, por exemplo, a função linear fracionária

ax + by + c u = . . a! x 4- b'y -f- c'

460 FUNÇÕES D E DIVERSAS VARIÁVEIS ( C A P .

A extração de raízes leva-nos das funções racionais às algébricas como por exemplo,

y x + y V z 3 + xy

Na construção de funções mais complicadas, de diversas variáveis, quase serrmre recaímos nas funções de uma variável, já conhecidas ( 2 ) ; por exemplo,

u = sen (xy) ou « = log(y2 + cos lAx).

3. Representação geométrica das funções Assim como representamos as funções de uma variável por curvas,

procuramos caracterizar geometricamente as de duas por meio de superfícies; no que segue, examinaremos somente funções passíveis de tal representação. Podemos realizar esta representação muito facilmente imaginando um sistema de coordenadas no espaço, com as coordenadas x, y e u, e marcando, acima de cada ponto (x, y) do domínio da definição da função, (i?), o ponto P, com a terceira coordenada u = = f(x, y). A medida que o ponto (x, y) percorrer a região R, P descreverá uma superfície no espaço. Esta superfície será a representação geométrica da função.

Inversamente, na geometria analítica, as superfícies no espaço são representadas por funções de duas variáveis, de sorte que entre tais superfícies e funções devem existir relações recíprocas.

Por exemplo, à função

B = V l - x 2 - y2

corresponde o hemisjêrio, situado acima do plano x y, com raio unitário e centro na origem. A função u = x2 + y2 corresponde o parabolóide de revolução, obtido pela revolução da parábola u = x2 em torno do eixo dos u (fig. 1). Os gráficos de u — x2 -y2 e de u = xy são parabolóides hiperbólicos (fig. 2). F ina lmente , a função linear u = ax -f- by + c é representada, no espaço, por u m plano (3).

(!) A definição precisa de "função algébrica" é dada na pág. 485. f2) Veja-se, também, a seção relativa às funções compostas (pág. 472). (3) Se uma das variáveis independentes, digamos, y. não ocorrer na função u = f(x, y), de

sorte que u dependa exclusivamente de z, isto ê, u = g(x), a função será representada no espaço sya por uma superfície cilíndrica, obtida elevando-se perpendiculares ao plano ux, pelos pontos da curva u » g{x).

X ] F U N Ç Õ E S D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S 461

A representação por meio das coordenadas retangulares apresenta, entretanto, duas desvantagens. E m primeiro lugar , a intuição fa lha sempre que t ivermos que l idar c om três ou mais variáveis independentes. E m segundo lugar, mesmo no caso de duas variáveis independentes, apenas, é m u i t a s vezes mais conveniente reduzir-se a discussão somente ao plano xy, v i s to que, neste plano, é possível desenhar-se e efetuar construções geométricas, sem dif iculdades. Baseando-nos neste ponto de v i s ta , devemos preferir outra representação geométrica da função, baseada nas linhas de nível. Tomaremos , no plano xy, todos os pontos p a r a os quais u=f{x,y)tem u m valor constante, digamos, 12= k. E m geral tais

F i g . 1.— u => x* + 3'2 F i g - 2.— a - z2 -

pontos estão n u m a c u r v a ou em curvas designadas l inhas de nível para dado va lor constante da função. E possível, também, obter-se tais cur vas, cortando-se a superfície u = f(x, y), pelo plano u — k paralelo ao plano xy e projetando-se as curvas de interseção perpendicularmente no p lano xy. O conjunto das l inhas de nível, marcadas com os valores correspondentes fel5 k2, . . ., de a l t u r a k, dá-nos a representação da função. E m geral se a t r ibuem a k valores em progressão aritmética, digamos, k — vk, onde v — l, 2, . . . . A distância entre as l inhas de nível dá, então, a med ida da c u r v a t u r a da superfície u — f(x, y ) , v i s to o valor d a função m u d a r da mesma quant idade entre duas l inhas v i z i nhas. Q u a n d o as l inhas de nível forem m u i t o próximas, a função decresce ou ca i rapidamente ; no caso das l inhas se distanciarem, a s u perfície é achatada. Este é o princípio segundo o q u a l se desenham ns plantas topográficas e geológicas.

462 FUNÇÕES D E DIVERSAS VARIÁVEIS [CAP.

A função linear u = ax - f by -f- c é representada, neste método, por um sistema de linhas retas paralelas ax -h by + c = k. A função u — x2 y2 é representada por um conjunto de círculos concêntricos (fig. 3). A função u = x2 - y3. cuja superfície apresenta um patamar na origem, é representada pelas hipérboles indicadas na figura 4.

O método de representação das funções pelas linhas de nível apresenta a vantagem de poder ser estendido, também, às funções de três variáveis independentes. Em lugar das linhas de nível, usaremos, en

tão, as superfícies de nível f(x. y, z) = fe, em que k é uma constante à qual se atribui qualquer seqüência de valores, convenientemente escolhida. Por exemplo, as superfícies de nível da função u = x 2 -f-y 2 -fz 2

são esferas concêntricas com centro na origem do sistema de coordenadas.

E X E M P L O

1. Desenhar as curvas de nível de cada uma das funções seguintes, para z = - 2, - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 .

(a) z = x2y. (d) z = y 2 .

(b) z = x2 + y2 - 1. / x f l N (e) z = y ( 1 ) .

(c) z = x 2 - y 2 . V x 2 + y V

xj C O N T I N U I D A D E 463

2. C O N T I N U I D A D E

1. Definição.

Como no caso de uma só variável, o requisito fundamental para que as funções de duas variáveis independentes possam ser traduzidas geometricamente, leva-nos à condição analítica de continuidade. T a m bém aqui, o conceito de continuidade é fornecido pela seguinte defi nição: qualquer função u = f(x, y), definida num domínio R , será contínua no ponto (£, ri) de R se, para todos os pontos (x, y) próximos de (£, r\) o valor da função f(x, y) diferir muito pouco de f(f, ri), tornando-se tal diferença arbitrariamente pequena, somente quando (x, y) estiver suficientemente próximo de (£, ??).

M a i s precisamente: a função f(x, y) , definida no intervalo R , será contínua no ponto (£, -n) de R , desde que, para qualquer número positivo, e, seja possível determinar-se uma distância positiva 8 — ô(c) (em geral dependente de e e tendendo para 0 com e) tal que, para qualquer ponto da região, cuja distância de (£, ri) for menor do que õ {isto ê, para os quais a desigualdade

(x - £) 2 + (y - v)2 ^ 5 2

se verifique) a relação

\Kx, y)-M, seja satisfeita. E m outras palavras, a expressão

\fU+h, , + „)| <£«

deve verificar-se para todos os pares de valores (h, k) tais que h2jrk2

e (£ + K T) + fe) pertençam à região R. Quando u m a função for contínua em qualquer ponto da região R,

diremos que ela é contínua em R. N a definição da continuidade pode-se substituir a condição de dis

tância h2 + k2 á <52 pela seguinte, que lhe é equivalente: A qualquer e > 0 corresponderão dois valores positivos §i e 82 tais

que

\M+h, v + k)-M, v)\£e

sempre que \ h | % 5X e \ k \ ^ 5%. Estas duas condições são equivalentes. Se a condição original for satisfeita, o mesmo se verificará com a segunda, se tomarmos 5i = 82 = Ô/V2.

464 FUNÇÕES D E D I V E R S A S VARIÁVEIS [CAP.

Reciprocamente, se a segunda condição se verificar o mesmo acontecerá com a primeira, se atribuirmos a ô o menor dos valores ôi e ô 2 .

Os seguintes fatos são mais ou menos claros: A soma, a diferença e o produío de funções contínuas são também

funções contínuas. 0 quociente de funções contínuas ê uma função contínua, exceto onde o denominador se anular. Funções contínuas de funções contínuas são contínuas (ver a nota das págs. 473, 474). E m particular, todos os polinómios são contínuos e todas as frações racionais são contínuas, salvo quando o denominador se anular

2. Exemplos de descontinuidades. N o caso de funções de uma só variável, deparamos com três espé

cies de descontinuidades: descontinuidades infinitas, saltos descontínuos, e descontinuidades em que não há limite de aproximação por um ou por ambos os lados. Para as funções de duas ou mais variáveis, não é possível estabelecer-se classificação tão simples. E m particular, a situação torna-se ainda mais complicada, porque as descontinuidades não ocorrem unicamente em pontos isolados, mas também ao longo de curvas inteiras.

A s s i m , a l i n h a x — y é u m a l i n h a de descont inuidade i n f i n i t a p a r a a função

ii = . C o m o nos aproximamos desta l i n h a , tanto por u m como pelo outro lado , x ~ y

segue-se que u cresce numericamente, além de qualquer l i m i t e , através de valores

pos i t ivos e de valores negativos. A função u — t e m a m e s m a l i n h a de (x-y)2

descont inuidade , porém, tende para 4- <*> quando nos aprox imamos d a l i n h a por 1

qua lquer lado. A função n = possui o único ponto de descont inuidade a; = 0, x- + y 2

1 y = 0. A função u = sen , não se a p r o x i m a de l i m i t e a l g u m , à m e d i d a

yx3 + y 2

que nos aprox imamos da or igem. A superfície que a representa ê o b t i d a , e fetuando-1

se a rotação de u = sen - em torno do eixo dos u. x

O u t r o exemplo i n s t r u t i v o de função descontínua é dado pe la função rac ional 2 r y

u = . E s t a função é indef inida para x — 0, y = 0 e podemos suplementar x- + y 2

C1) Outro fato óbvio que, entretanto, merece citação, ê o seguinte: se uma função ((x) fôr contínua na região R, e dijerenie de zero no ponto interior P da região, será possível estabelecer-se, na vizinhança de P, digamos, um círculo, contido inteiramente em R, wo qual f(x, y) não seja igual a zero, em parle alguma. O valor da função em P sendo a, podemos traçar um círculo tão pequeno em tfirno de P, que o valor da função, no seu interior, seja diferente de a de quantidade menor do que a/2, portanto, certamente, diferente de zero.

X] C O N T I N U I D A D E 465

a definição, a d m i t i n d o q u e u(0, 0) = 0. E s t a equação a p r e s e n t a u m t i p o p e c u l i a r de d e s c o n t i n u i d a d e n a o r i g e m . Se f i ze rmos x = 0, i s to é, se nos des locarmos ao longo do e ixo dos y , a função tornar-se-á u(0, y ) = 0, c o m o v a l o r c o n s t a n t e 0 p a r a qualquer v a l o r de y. A o longo do eixo dos x t e remos , s e m e l h a n t e m e n t e , u{x, 0) = 0 . A s s i m , na o r i g e m , a função u(x, y) será cont ínua e m y se a t r i b u i r m o s a i o v a l o r constante 0, e cont ínua e m x se a t r i b u i r m o s a y o v a l o r c ons tante 0. N ã o o b s t a n t e , a função é descont ínua, q u a n d o c o n s i d e r a d a c o m o função das duas variáveis i e y , v isto que, e m q u a l q u e r p o n t o d a l i n h a x = y , a charemos que u = 1, de m o d o q u e podemos d e t e r m i n a r p o n t o s a r b i t r a r i a m e n t e próximos d a o r i g e m , nos q u a i s u t e n h a o v a l o r 1. A função é, po is , descontínua n a o r i g e m não podendo ser d e f i n i d a em t a l p o n t o , de m o d o a t o rnar - se cont ínua:

O exemplo que acabamos de ver mostra que uma função pode ser contínua em x para qualquer valor fixo de y e contínua em y para qualquer valor fixo de x, sendo, não obstante, descontínua, quando considerada como função das duas variáveis. O ponto essencial, na definição da continuidade, é que o valor da função num ponto P deve ficar arbitrariamente próximo do seu valor no ponto Q, desde que Q esteja situado suficientemente perto de P, não sendo permissível restringir a posição de Q em relação a P de qualquer outra forma.

EXEMPLOS

x2 + y 1. E x a m i n e m o s a c o n t i n u i d a d e d a função x = • . D e s e n h e m o s as c u r -

v V + y 3

vas de nível z = k (fe = - 4, - 2, 0, 2, 4) . M o s t r e m o s ( n u m gráfico) o c o m p o r t a m e n t o de z s o m e n t e c o m o função de. x p a r a y = - 2, - 1, 0, 1 , 2 . V e j a m o s , a i n d a , o c o m p o r t a m e n t o de z u n i c a m e n t e c o m o função de y , p a r a x = 0, =±1, =*=2. F i n a l mente , estabeleçamos o c o m p o r t a m e n t o de z c o m o função só de r, q u a n d o 8 fôr constante (r e 6 sendo as coordenadas po lares ) .

2. D e m o n s t r a r a c o n t i n u i d a d e das seguintes funções :

(a) s e n ( x 2 + y) x3 4- y3

(c) sen x y x2 + y 2

- v V 4 - y s " {d) x% l o g ( x 2 + y " ) .

(!) Maia geralmente, temos para a linha reta y =» tg a inclinada do ângulo a. sobre o eixo dos x, a — 2 tg a/(l + tg 2a) = 2 sen a cos a = sen 2a. A superfície correspondente à função a = 2xy/(x~+y-) ê, pois, formada pela rotação de uma reta, que forma ângulos retos com o eixo dos x, em torno dele mesmo, até coincidir com este eixo, e, simultaneamente, elevando-a ou baixando-a, de sorte que a altura sen 2a esteja associada com o ângulo a. Quando a cresce até 45°, a linha reta se eleva até a altura 1, e subseqüentemente cai ao nível do eixo dos y e abaixo dele na profundidade 1; depois sobe, de novo, até alcançar o nível do eixo dos x. A superfície descrita pelo movimento da reta ,ê deno-minada cilindrôide, tendo importância na mecânica.

466 F U N Ç Õ E S D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S [ C A P .

3. D e t e r m i n a r se as funções que seguem são o u não contínuas e, no caso neg a t i v o , onde são descontínuas:

v x 3 + v - x3 '+ y- x3 + y 5

(o) s e n - . (6) — ( c ) — - J - (d) -^LL. X - x- -t- y - i 3 + y 3 i - - j - y

3. DERIVADAS DE UMA FUNÇÃO D E DIVERSAS VARIÁVEIS

1. Definição. Representação geométrica.

Atribuindo-se valores numéricos definidos a todas menos uma das variáveis de uma função de diversas variáveis, e permitindo eme somente uma delas, digamos x, possa variar, a função transformar-se-á numa de uma única variável. Consideremos, por exemplo, a função

Fig. 5 Fig. 6 Seções de ti = J(x, y)

a = f(x, y) de duas variáveis x e y e demos a j o valor fixo e definido y = yo — c. A função u = f(x, yo) da única variável x pode, então, ser representada, geometricamente, de maneira simples, cortando-se a superfície u = f(x, y) pelo plano y = yQ (figs. 5 e 6). A curva de interseção assim obtida no plano tem para equação u = f(x, y 0). Derivan-do-se esta função da maneira usual no ponto x = x0 (admitiremos que a derivada exista, efetivamente), teremos a derivada parcial de f(x, y) em relação a x, no ponto (a?o, yo)- De acordo com a definição corrente de derivada, ela será o limite ( 1 )

l i m / f a + h, y 0) - /(xp, y 0) À~>O h

(') Se (xo, y o ) fôr um ponto do contorno da região da definição, faremos uma restrição: na passagem do limite o ponto (x -f- h, y 0 ) deve permanecer sempre na mesma região.

X] D E R I V A D A S P A R C I A I S 4 6 7

Geometricamente esta derivada parcial signif ica a tangente do ângulo compreendida entre uma paralela ao eixo dos x e a tangente à c u r v a a = j(x, y„) . E l a é, portanto, a inclinação da superfície u = f(x, y) na direção do eixo dos x,

Existem diversas notações para representar-esta derivada parcial. Dentre elas, mencionaremos as seguintes:

K ^ / f c o + h, y0) - /(aro, yo) _ , , „, v „ , * h

Se quisermos salientar que a derivada parcial é o limite do quociente das diferenças, escreveremos

df d — ou —/ . dx dx

Empregamos, nesta notação, uma letra especial d, em lugar do d comum, empregado na derivação das funções de uma variável, para significar que a operação se refere a uma função de diversas variáveis, e a derivação em relação a uma delas.

As vezes é conveniente empregar-se o símbolo de Caucliy, D, mencionado na página 90, e escrever

d± = DJ; dx

no nosso estudo, porém, raramente usaremos tal notação. A derivada parcial de f{x, y) em relação a y, no ponto (a;0, yo), é

definida de maneira idêntica pela relação

/(lo. yo + fe) - J(x0, y0) _ df inn = jy{x0) y0) = — = iJyjKXo, yo).

fc'-o k dy Ela representa a inclinação da curva de interseção da superfície u=f(x, y)

com o plano x = x0, perpendicular ao eixo dos x. Imaginemos agora o ponto (x0, yo), considerado fixo até aqui, como

variável e, de acordo com esta hipótese, omitamos os índices 0. E m outras palavras, consideremos a derivação como realizada em qualquer ponto (x, y) da região de definição de f(x, y). As duas derivadas serão, assim, funções de x e y:

ux(x, y) = y) = e uy(x, y) = fy(x, y) = dx dy


Por exemplo, a função u — x2 -f- y2 tem as derivadas parciais u t = 2x (deri-vando-se em relação a z, o termo y2 é considerado constante, sendo, portanto, a sua derivada igual a 0) e u y = 2y. As derivadas parciais de u = x3y são u x = 3a:2y e Oj = x3.

Podemos, do mesmo modo, estabelecer a seguinte definição para u m número qualquer de variáveis independentes (ri):

admitindo-se que exista o l imite . Natura lmente , podemos também formar derivadas parciais de ordem

superior def(x, y), derivando sucessivamente as derivadas de " p r i m e i r a ordem" , fx(x, y) efy(x, y), em relação a cada u m a das variáveis. I n d i camos a ordem da derivação pelos índices ou pela ordem dos símbolos dx e dy no " d e n o m i n a d o r " , da dire i ta para a esquerda usando, então, os seguintes símbolos para as derivadas parciais de segunda ordem:

D a mesma forma, escreveremos as derivadas parciais de terceira ordem» como segue:

dxi

= l i m ^ 1 "*~ ^ X 2 ' ' ' ' 1 X n ^ ~ ^ X l ' X 2 ' * ' ' x ^ A-o h

= fxfai, x2, . . x n ) = DxJ(Xi, x2, . . . , z n ) ,

dx \ dx2s

lídX\ dy\dx2J

X] D E R I V A D A S P A R C I A I S 469

e, em geral, a derivada de ordem n, por

Finalmente, estudaremos alguns exemplos de cálculo de derivadas parciais. De acordo com a definição, todas as variáveis independentes menos aquela em relação à qual é efetuada a derivação, são consideradas constantes. Teremos, pois, que considerar as outras variáveis como constantes, efetuando a" derivação pelas regras que regem a derivação das funções de uma só variável.

A s s i m , por exemplo, teremos:

j{x, y ) = xy;

U = y> U = »;

- 0 J x r = / y , = 1, /yy - 0.

j(x, y) = V > + y*

x y

" = slx2 + y- } v ~ vx^+y

(As derivadas parciais do raio vector r — V x 2 + y 2 , d a or igem ao ponto (x, y), cru relação a x e y, são dadas pelo co-seno cos <p = x/r e pelo seno, sen <p = y/r, do ângulo <p que o raio vector faz com a direção pos i t iva do eixo dos i . )

Segundas derivadas:

1. Fuação

pr imeiras der ivadas :

segundas der ivadas :

2. Função

primeiras der ivadas :

170- FUNÇÕES D E D I V E R S A S VARIÁVEIS

3. A. função recíproca do raio vector em três dimensões é:

1 1 j(x, y, z) = \ ' z 2 + y 2 2-' r

derivadas de primeira ordem:

X

A = - I 7 F .

(x 2 + J - + zs>3 r 3

y y \ (x2 - f 2 2 ) 3 r3

7. Z

V ( x 2 - r y - + 2 - ) 3 .3

derivadas de segunda ordem:

:. "T p />-y — - 4 p — - - ; 4 r »

_ 3xy _ 3y: 3;x

Donde se verifica que a equação

3 3(x 2 + y a + i 2 ) j» +U +J» = - - + y ~ ~ - l = 0

r 3 r s

se verifica para todos os valores de x, y e z, exceto 0,0,0, para a função/

Como se diz, a equação

/ « +/>•>• + y » = 0

é satisfeita identicamente em x, y, z, pela função j(x, y, z) — l / r .

4. Função j(x, y) = -7 - e-(-r-a)2/iy;

primeiras derivadas:

1 - ( i - a ) /x = ~ F r e-(x-a)2/4 y j

V y 2y

r - i ( x - o ) H

segundas derivadas:

f - 1 ( x - a ) 2 l

l _2y 3 ' 2 4 y 5 ' 2 J

T 3 x - a ( x - a ) 3 l ,

L 4 y 5 ' 2 8 y " 2 J T3 1 3 ( x - a ) 2 (x-ayi

" 1 4 y — í + 7 ^ 7 7 J - ^ r .

X ] D E R I V A D A S P A R C I A I S

A equação

é, p o r t a n t o , s a t i s f e i t a i d e n t i c a m e n t e e m x e j.

Justamente como no caso de uma única variável independente, possuir derivadas é uma propriedade especial das funções Sempre a mesma, tal propriedade é possuída por todas as funções de importância prática, exceto, talvez, em pontos isolados excepcionais.

E m contraste com as funções de uma variável, a existência de derivadas não implica na continuidade da função. Isto é claramente demonstrado pelo exemplo u = -^X^ , já estudado nas páginas 464,

x2 + y 2

465. Apesar de existirem derivadas parciais em toda a parte, a função é descontínua na origem. Entretanto, como estabelece o teorema seguinte, a existência de derivadas com limite acarreta a continuidade:

Se a Junção f(x, y) tiver derivadas parciais f* e f y em qualquer ponto da região R e se tais derivadas satisfizerem em qualquer parte as desigualdades

\Mx,y)\<M, \fy(xty)\<M,

em que M é independente de x e de y, a função f(x, y) será contínua em qualquer ponto de R .

E m particular, se fx e fy forem contínuas, serão necessariamente limitadas, de sorte que f(x, y) será também contínua.

A demonstração deste teorema será apresentada no II volume. 0 leitor deve ter observado que em todos os exemplos apresenta

dos a equação fxy — fyx é satisfeita. E m outras palavras, não há diferença se derivarmos a função, primeiro em relação a x e depois em relação a y, ou vice-versa. Esta ocorrência não é acidental, em face do seguinte teorema:

Se as derivadas parciais "mistas" f s y e fy* de uma função f(x, y) forem contínuas na região R , a equação

fyx fxy

tem lugar em qualquer parte do interior de R , isto é, a ordem de derivação em relação a x e a y ê indiferente.

( l) A expressão "derivável" significa mais tio que a simples existência das derivadas parciais em relação a x e a y. Veja-se o II Vol.

4 7 2 F U N Ç Õ E S DE DIVERSAS VARIÁVEIS [CAP.

Apiicatido este teorema a fx e fy, depois a fxx, fxy, fyy, e assim sucessivamente, acharemos que

fxxy Ixyx ~ fyxxt

fxyy ~ fyxy ~ Jyyxi

Jxxyy fxyxy fxyyx = fyxry ~ fyxyx = fyyxxi ©tC.

e, em geral, teremos o seguinte resultado: Na derivação repetida de uma função de duas variáveis a ordem da

derivação pode ser mudada à vontade, desde que, unicamente, as derivadas em questão sejam funções contínuas.

Para a demonstração deste teorema remetemos o leitor ao II volume.

E X E M P L O S

1. Achar a primeira derivada parcial de:

(a) Vx 2 + y-. (d) f— = •V1 + x + y 2 + 2 '

(6) sen(x2 - y). (c) y sen(xz).

(c) e'-*. (/) l o g V l + x 2 + y 2 .

2. Determinar todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem de (a) xy. (d) x*. (6) logxy. (e) e*7. (c) tg(arc tg x + are tg y).

3 * Achar uma função/(x, y) que seja função de (x 2 + y 2 ) e que seja, também, um produto da forma ^(x)rp{y), isto é, que resolva as equações

f{x, y) = <p(x2 4- y 2 ) = iKx)#(y)

em relação às funções incógnitas.

4. R E G R A D A C A D E I A E D E R I V A Ç Ã O D A S F U N Ç Õ E S I N V E R S A S

4. F u n ç õ e s d e f u n ç õ e s ( f u n ç õ e s c o m p o s t a s ) .

Acontece, muitas vezes, que uma função u das variáveis independentes x, y, é dada sob a forma

" = / ( £ , 17, • • •),

em que os argumentos 17, . . . , são eles mesmos funções de x e de y: £ = <í>(x, y), 7? = 4>{x, y), . . . .

X] REGRA- D A C A D E I A 473

Neste caso, diremos que

u =/(£, v, .-.) = / [00, y ) , yj,(x, y), . . .] = F í > , y)

é uma função composta de x e y.

P o r exemplo, a função

u = e*2-v(.c + y ) s

pode ser escrita como função composta, pelas relações u = eavz = ,,); j = x = y, , ? - x + y .

D o mesmo modo, a função

u = log(x -f- 1) - are cosV 1 - - y -

pode ser expressa sob a forma

u = 17 are cos »7); ? = ^ 4 - z 2 - y 3 , 17 = log(z - f 1).

A fim de tornar este conceito mais preciso suporemos, de início, que as funções § = <j>(x, y), 17 = (ac, y), . . . são definidas numa certa região das variáveis independentes x, y. A qualquer ponto (x, y) de jR, corresponderá um ponto (£,77, . . .) do espaço, como coordenadas 17, . . . . À medida que o ponto (x, y) se deslocar sobre R, o ponto (£,17, .. .) descreverá um certo conjunto de valores. Admitiremos que o ponto (£, 77, ...) permaneça sempre no interior da região S, para a qual/(£, 77, ...) é definida. A função u=f [<b(x, y), \p(x, y), ...] = F(x,y) será, pois, definida na região R.

Reportando-nos aos exemplos apresentados, achamos no pr imeiro que f e if são definidas p a r a qualquer va lor de x, y e / ( § , 77) o é p a r a quaisquer §, 17, de sorte que a região R escolhida pode ser t o m a d a como sendo todo o plano xy. N o segando exemplo, entretanto , a região 5 é l i m i t a d a pe la desigualdade | £ | â 1, v i s t o que, para | £ | > 1, a função are cos £ não é def inida. E m segundo lugar , a região R 6 restr ingida pelas desigualdades 1 + 1 > O a 3S + y s â 4, ao passo que £ e rj não são definidos p a r a outros valores. E m terceiro lugar , a região R deve ser l i m i t a d a , além disso, pe ia desigualdade 3 g x2 + y2 a f i m de que o ponto de coordenadas £, ij possa cair em S; ou seja, a restrição | £ | á 1 i m p l i c a as3 + y 2 â 3. L o g o , ff consiste d a parte do círculo 3 g í 2 + y a â 4 que f i ca à d i re i ta d a l i n h a x = — 1.

O seguinte teorema sôbré funções compostas, é conseqüência imediata das definições:

Quando a função u = f (£, 17, . . . ) for contínua em S e as funções £ = <jE>(x, y), t] = i>(x, y), . . . o /orem em R a função composta u==F(x, y)

será contínua em R . O leitor está habilitado a demonstrar esta tese sozinho.

2. Regra da cadeia.

Voltemos, agora, nossa atenção para as funções compostas do tipo " = / ( s i Vi • • • ), em que £, rj, . . . dependem da única variável x.

£ = 4>(x), v = Mx), .... Para tais funções temos o importante teorema conhecido como regra da cadeia:

Se a função u = f(£, 7 7 , . . . ) tiver derivadas parciais de primeira ordem, contínuas em S , e suas funções £ = #(x), 77 = ^(x), . . . tiverem derivadas de primeira ordem contínuas no intervalo R , a S x S b, teremos u = í[<f>(x), ip(x), ...] = F(x) , a qual terá derivada contínua em R , e

F'(x) =f&,(x)+fW(x)+ . . . .

0 segundo membro desta equação ê uma abreviação de

M4>(x), <K*), . . . ]4>'(x)+ . . . .

A f im de simplificar a notação, admitiremos que / é função dos três argumentos £, 17, Designaremos por x0 um ponto fixo arbitrário no intervalo a Sx Sb, por £0, iJo, fo os valores correspondentes de £ 0 = 4>0o), % = (zo), fo = XÍXQ), e por £, 7?, os valores de <j>(x), t(x), x(x), correspondentes ao ponto variável x — Xo + A. Escreveremos, em primeiro lugar, a identidade

F{x) - F(xo)

= [jf(f, 1?, f) - / ( ê o , *7, f)] + [/(&,, V, t) -/(Éb, f)] + [/(&, 170, 170, r 0 )].

Observamos, em cada colchete do segundo membro, que somente uma das variáveis muda de valor. Logo, podemos aplicar o teorema do v a lor médio das funções de u m a só variável a cada u m dos colchetes, obtendo

F(x) - F(x0)

= u - Ço)/íd, v, r) + ( 1 7 - % ) / , ( & , v, f) + a - r o ) / K & , 770, D,

X ] R E G R A D A C A D E I A •175

em que Ç está situado entre £ 0 e £, 77 entre 770 e 77, e entre e A aplicação do teorema do valor médio dá

£ - £0 = *(a0 - tf(ar0)'- O5 " *o) 77 - 77o = ^ ( 3 ) - i//(x0) = (x - ar0) ^'(ar 2), ? - To = xO) - X(XQ) = (x - XQ) X' (xa),

onde ÍCI, ÍC2 e #3 f i cam entre ar0 e x. Subst i tuindo estes valores na última equação e d iv id indo -a por x - x0, teremos

F(x) - F(xQ) _

X - XQ

= fál V, f) 4>'(Xl) + /„(&, V, f) Vito) HO, ?) x'fe). Façamos, agora, a; tender para xQ. Graças à continuidade de <p{x), \p(x) e de x(x), as quantidades £, 77 e f tendem para £ 0 , »70 e f 0 ) respect ivamente, e, " a f o r t i o r i " , Ç, 77, e f devem fazer o mesmo. D o mesmo modo, xi, x2 e £3 tendem para x0. Como todas as funções do segundo membro são contínuas, teremos

.. F(x) - F(xQ) hm -±A ^ = F ' ( z 0 ) x->Zo X — XQ

= M£o, Vo, fo) <t>' (x0) + / „ ( & , 77o, fo) (ar0) + /r(£o, Vo, f0) x'(a?o).

ficando, assim, estabelecida a fórmula para F ' (ar). A continuidade de F'(x) decorre imediatamente da fórmula, v i s to

que , \p' e %' são contínuas por hipótese e / f , / , e / f são funções con-l ínuas.

Este teorema pode ser ampliado p a r a as funções compostas de duas ou mais variáveis, como segue:

Se a função u = f(£, 77, . . . ) tiver derivadas parciais de primeira ordem, contínuas na região S, e se as funções £ = d>(x, y), 77 = ^-(x, y) , tiverem derivadas parciais de primeira ordem, contínuas em R , a função u = F ( x , y) = f[0(x, y ) , ^(x, y ) , ...] terá derivadas parciais de primeira ordem, contínuas em R , e tais derivadas serão dadas pelas fórmulas

Fx — fè<}>x + frdx -f- . . . . Fy=f&y+My + ....

Estas fórmulas são, em geral, escritas, abreviadamente, como segue

Ux = U^x + Ufa + . . . ,

Uy = U{£y + Unr\y + . . . .

476 F U N Ç Õ E S D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S [CAP.

P a r a deduzi-las introduziremos, temporariamente , a notação g(x) = = 0(3, 3'o)> Kx) - i K ^ . y 0 ) , . . . em que y 0 é u m va lor f ixo de y . D a definição das derivadas parciais deduzimos que g'(x) = 4>x(x, y 0 ) , h'(x) = ilrx(x. yo), . . . - D o mesmo modo, se escrevermos H(x) = F(x, y 0 ) , teremos H'(x) = Fx(x,yo). Apl iquemos o teorema que acabamos de demonstrar à função u = H{x) = / ( £ , 17, ...) = f[g(x), h(x), ...], vindo , então,

H'(xo) =M(xQ)+fvri'(xo)+ . . . .

Vol tando aos símbolos originais, teremos

Fx&o, yo) = féx&o, yo) + fMxo, yo) + • •.. A outra fórmula é demonstrada de mane i ra idêntica.

Se quisermos calcular as derivadas de ordem mais e levada, basta derivar novamente o segundo membro destas fórmulas em relação a x e a y , considerando / „ . . . como funções compostas. Então , para a = / ( ê , 1?) = / fofa y ) , ip(x, y)], virá

uxx = /««fe 2 + 2fSvqbx^x 4- /„, 4- / f 0 M 4- fv xpxx,

Uxy = /« <Px<l>y + /{, O ^ y + 4>ytx) + fm My + /« 4>xy + uyy - /íí^y2 + 2/fi0y^y + /m ^y 2 + /í^yy + A

3. E x e m p l o s . ( 1 )

1. U — ex *ty+y»xt

X Faremos £ = x tg y, rj = y cos x, de sorte que | x = tg y, |y = , ^ »

c o s 2 y

= - y sen x, rjr = cos x. Visto que e£+i, teremos u% = uv = eí+v e ux = e * t E y + y C O J 1 (tg y - y sen ÍC),

U j =* e * « . x f ^ _ ^ h c o s z ) . Vcos 2 y y

2. U m exemplo de função composta com uma única variável é apresentado por

u = [«7(ï)]h C l ) = &=M, v),

onde faremos £ = «/(x) e i\ = / Í ( X ) . Obteremos, imediatamente,

j - + /» '? ' = = log £.17'.

fo(aO]h<*> I /i(x) -r- /*'(x) log .

Já tratamos um caso especial deste tipo, embora empregando um método artificial (pág. 203).

0) Salientaremos que as derivações que seguem podem ser efetuadas diretamente, sem o em» prSro da regra da cadeia.

R E G R A D A C A D E I A 477

4. M u d a n ç a de variáveis independentes .

U m t ipo par t i cu larmente i m p o r t a n t e de funções compostas ocorre no processo de mudança das variáveis independentes . P o r exemplo , seja a função u = / ( £ , 7 ? ) de £, 77, as quais interpretaremos como coordenadas retangulares no p lano £77. Se g irarmos os eixos de u m ângulo 6, no p lano dos £, 7 7 , obteremos u m n o v o s i s tema de coordenadas x, y , referido a £, 7 7 , pelas equações:

£ = x cos 8 - y sen 8, ij = x sen 6 4- y cos 0,

x = £ cos 0 -f- 7 7 sen d, y = - £ sen 0 -f- 7 7 cos 9.

A função i i = / ( £ , 7 7 ) pode, então, ser expressa em função das novas variáveis x, y, por :

a = / ( Ç , 7 7 ) = F ( x , y ) .

A regra da cadeia permite escrever

ux = « { cos 0 •+ u , sen 6, uy — — sen 5 -f- i z , cos 6.

A s s i m , as der ivadas parciais são transformadas pelas mesmas fórmulas que as variáveis independentes. Is to também se ver i f i ca n o caso de rotação dos eixos no espaço.

O u t r o t ipo impor tante de mudança de coordenadas é a passagem das retangulares , x, y , às polares, r, 8. E fe tua -se esta mudança por meio das equações

x = r cos d, y — r sen d,

y r = Va: 2 + y 2 , 8 = are t g - . x

Ver i f i camos então que p a r a a função arbitrária u = f(x, y), c o m der ivadas parc ia i s de p r i m e i r a o r d e m contínuas, virá

w = f(x, y) = /O" cos 6, r sen 8) = F ( r , 8),

x y . sen 8 ux = f i r r x + U 0 0 x = ur~- ug~ = « r cos 6 - us ,

r r2 r

y , £ „ , c o s 0 u y — u r r y + Ws y = ur-~ + ws — = u r sen 8 -\- Ue

473 FUNÇÕES D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S [ C A P .

Daí obtemos a equação

i2 4- u2 = u2 + 1 lio2,

que ê muito empregada. Consideremos o caso geral do par de funções £ = <j>(x, y) , 7 7 = ^ ( 2 ; , y),

ambas contínuas e possuindo derivadas contínuas n a região R do p la no xy. Estas equações dão um ponto | = <f>(x, y), -n — \f/(x, y) do plano £ 7 7 , correspondente a cada ponto (x, y) de R. Quando (z, y) percorre R, o ponto correspondente (£, 7 7 ) percorrerá u m determinado conjunto de valores S do plano £ 7 7 . E possível, naturalmente, que diversos pontos distintos (x, y) dêm os mesmos valores £, 7 7 , assim como que a diversos pontos (x, y) corresponda somente u m ponto (£, 7 7 ) . A d m i t i remos que este caso não se verifica, mas ao contrário, que a cada ponto ( ) ( £ , 7 7 ) de S corresponda exatamente um único ponto P(x, y) em 7?. Podemos, assim, considerar a correspondência sob outro ponto de vista , dizendo que Q corresponde a P, ou que P corresponde a 0 . Este último ponto de vista pode ser enunciado como segue: a cada ponto ( £ , 7 7 ) de S correspondem um x e u m determinado y, a saber, as coordenadas de P, ou, em equações há duas funções x — g(Ç, 7 7 ) , y = 7 7 ) . definidas em S, as quais representam a correspondência inversa de i = 4>(x, y), V = ^(ar, y).

Acontece, por vezes, que as funções T J ) , 7 7 ) não são fáceis de calcular, mesmo no caso de existirem efetivamente. Devemos, pois. procurar determinar as derivadas parciais gv, hç, hv, diretamente das derivadas parciais 4>x, cf>y, fc, \py, sem calcular g e h. P a r a isto, observemos que se escolhermos qualquer ponto ()(£, v), determinando o seu ponto correspondente P[g(Ç, 7 7 ) , 7 7 ) ] em R, achando, então, o ponto 5 que corresponde a P , o qual é dado por 7 7 ) , 7 7 ) ] . t[gí,£,v) h(Ç, 7 7 ) ] , teremos voltado ao ponto Q. O u seja, as equações £ = v), h(Ç, 7 7 ) ] , 77 - f[g(Ç, 7 7 ) , 7 7 ) ] são identidades em £ e 7 7 . Derivemos ( 1 ) agora ambos os membros das duas equações em relação a £ e 7 7 . Teremos

1 = 0X0£ + 4>yh(t

0 = M í + tyK

0 = <t>xgv + <t>yK

1 = f&v + VyK

l 1 ) Se uma equação exprime relação de identidade, a sua derivação relativamente a qualquer variável independente conduz a outra identidade, como se deduz da definição.

<iMiiMl,w«ai..,.asJL.

X] R E G R A D A C A D E I A

Resolvendo este sistema de equações, virá

ou

onde representamos por D o determinante

0 i

ZT sfcx

D '

dx dy

drj drj

dx dy

que admitimos ser diferente de zero. O determinante D, denominado determinante funcional ou jacohi-

niano de (§, 77) em relação a (x, y), ocorre com tanta freqüência que geralmente se emprega um símbolo especial para o mesmo

d(x, y)

E X E M P L O S

1. Calcu lar as derivadas parciais de pr imeira ordem de

1 (a) / =

(6) / = are sen

V x 2 + y- + 2xy cos z

x

(c) } =•= x- + y l og ( l + + y2 -T

(d) j = arc tg "Va; + yz. 2 + y 2

2. Ca lcu lar as derivadas de (a) / = xx*, (6) / = - 1 \ l/x~| l/x

3. Demonstrar que se / (x, y) satisfizer a "equação de Laplace ' d-f , Ô 2 /

, + — , = 0, dx2 dy2

deverá se veri f icar 4>(x, y) \x-

4. Demonstrar que as funções

(d) / ( x , y) = log V x - + y 2 .

+ y2 x2 + y 2 .

(6) y, 3) = V x - + y2 -f- z 2

! í -

1 \

> XO

(c) h(x, y, z, w) = — x" + y 2 4- z2 + w2

III

480 F U N Ç Õ E S D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S . C A P

satisfazeai as respectivas "equações de Laplace"

(a) i « +Jr, = 0. (6) g„ + g„ + = 0. (c) h I X -f- /lyy + hxi - f / i „ w = 0.

5. Dada z = r 2 cos 5, onde r e 6 são coordenadas polares, determinar zx e z, no ponto d = ir/4, r = 2.

Exprimir zr e z# em função de zx e zy.

6. A. função u(x, y) transforma-se em £/(£, TJ), função de £ e de rj, fazendo-se £ = a + ax -f- |3y, n = 6 - /3a; -}- »y, onde a, ò, a e /3 são constantes e a 2 + (32 = 1. Demonstrar que

L7„ - £ / £ i j 2 == U„Uyy ~ U x y2 .

7. Estabelecer o determinante jacobiniano das seguintes transformações:

(a) £ = ax - f 6y, 17 = cz + dy, (b) r = "S x 2 + y 2 , 0 = are tg - ; z

(c) £ = x 2 , »? = y 2 .

8. Se x «= x(u, o), y = y(u, ») e u = zz(£, 77), demonstrar que

ô(x, y) _ ô(x, y) 3(u, ») ã ü T ü ) ã í ü T õ ) ã(I~ij)

9. Como corolário do exemplo anterior (n.° 8) mostrar que

d(x, y) _ 1 d(u, v) d(u, v)

5(x, y)

10. Com os dados do exemplo 9, determinar o jacobiniano das transformações inversas das do exemplo 7.

5. F U N Ç Õ E S IMPLÍCITAS

N o estudo das funções de diversas variáveis, não obt ivemos, até agora, relações análogas às funções inversas. Podemos considerar a função inversa de y — f(x) como a função o b t i d a quando se resolve a equação y - f(x) = 0 em relação a x. N e s t a seção procuraremos resol ver as equações F(x, y) = 0 em relação a x ou a y, de modo mais ger a l , discutindo o comportamento das funções de diversas variáveis, de f o rma correspondente.

M e s m o n a geometria analítica elementar, as curvas são freqüentemente representadas, não pelas equações y = f(x) ou x = <£(y), mas por u m a equação da forma F(x, y) = 0, compreendendo x e y . Por

X ] FUNÇÕES IMPLÍCITAS 481

exemplo, o círculo, a:2 4- y 2 - 1 = 0, a elipse, _ 4- : L - 1 = 0, e a a 2 ò 2

lemniscata, (x2 4- y 2 ) 2 - 2a 2(a: 2 - y 2) = 0. P a r a se obter y em função de x, ou a? em função de y, ê mister resolver-se a equação em relação a y ou a x. Diremos, então, que a função y = f(x) ou x = <p(y), assim determinada, é definida, implicitamente, pela equação -Ffo y) = 0, e que a solução desta equação nos dá a função explicitamente. Nos exemplos que apresentamos acima e em muitos outros a solução é viável e as raízes são obtidas explicitamente, em funções elementares. E m outros casos, porém, as soluções podem ser expressas em função de séries infinitas ou de outros processos de limites, isto é, as soluções y = f(x) ou x = 4>(y) podem ser tão aproximadas quanto desejarmos.

Basearemos a nossa discussão sobre a função implícita F(x, y ) = 0 , em vez de recorrermos às soluções exatas ou aproximadas da equação, por ser mais conveniente sob muitos pontos de v ista .

A idéia de que toda a função F(x, y) conduz a y = f(x) ou x = <£(y) contidas implicitamente em F(x, y) = 0 é errônea, e até é fácil apresentar exemplos de funções F(x, y) que, quando igualadas a zero, não admitem soluções compostas de funções de u m a só variável. A^ssim, por exemplo, a equação + y 2 = 0 é satisfeita pelo único par de v a lores x — 0, y = 0, enquanto que x2 + y 2 4- 1 = 0 não se verif ica para valor algum (real). É, portanto, necessário investigar este assunto mais detidamente, a f im de saber-se quando a equação F(x, y) pode, efetivamente, ser resolvida, e quais as propriedades da sua solução. Não poderemos estudar estas particularidades, com os detalhes desejados, aqui, porém, apresentaremos as demonstrações rigorosamente desenvolvidas no 2.° volume. Contentar-nos-emos, por ora, com a interpretação geométrica, a qual sugere os resultados desejados.

1. Interpretação geométr ica de funções impl í c i tas .

Representaremos a função u = F(x, y) por uma superfície n u m espaço de três dimensões, a f i m de discutirmos geometricamente o problema que nos ocupa. Determinar os valores (x, y) que satisfazem a equação F(x, y) = 0, ê o mesmo que estabelecer os valores {x, y) que verificam as duas equações F(x, y) — u, u = 0; em outras palavras, visamos encontrar a interseção da superfície u = F(x, y) com o plano u = 0, que é o próprio plano xy. Suporemos, então, que dispomos de um ponto definido (x0, y<0 que satisfaz a equação F(xo, y 0) = 0; isto ê,

no ponto (ar0> Jo), a superfície u = F(x, y) t e m u m ponto c o m u m com o p lano u = 0. (Se este ponto não exist ir , não haverá interseção e a equação F(x, y) — 0 não poderá ser resolvida.) Se o p lano tangente à superfície u = Fix, y) no ponto ix0, yo) não for horizontal, cortará o plano u — 0, segundo u m a única l i n h a reta . A intuição nos diz , então, que a superfície u = F(x, y), m u i t o próxima do p lano tangente , cortará, igualmente, o p lano u = 0, segundo u m a c u r v a única, perfe i tamente def inida. A extensão de t a l c u r v a não nos interessa. O plano tangente será hor izonta l , se ambas as curvas u = FixQ, y 0 ) e u = Fix, y) t i verem tangentes l ineares horizontais no ponto ixQ, y0); i s to ê, se Fx(x0 yo) = 0 e Fy(x0, y0) = 0. A s s i m , se t a n t o Fx(xQ, y 0 ) 4= 0 ou Fy(xo, yò) ^ 0, o p lano tangente não será h o r i z o n t a l e, como acabamos de ver podemos esperar u m a solução da f o r m a y = f{x) o u x = <f>(y).

Se, por outro lado, t a n t o Fx(xo, yü), como Fy(x0, yo) t i v e r e m o valor zero, isto não const i tu i garant ia d a existência o u d a poss ib i l idade de solução.

Por exemplo, para F =» 1 - V I -xz — y2 a superfície esférica correspondente. u = 1 - V I - a;2 ~ y 2 tem o ponto (0,0) comum com o plano xy. As derivadas parciais Fx(0, 0) e FsiO, 0), são ambas nulas, e verificamos que nenhum outro ponto além de (0, 0) satisfaz a equação F = 0. Para a função F(x, y) = xy achamos que .F(0, 0) = 0, ao passo que F^O, 0) = Fy(0, 0) = 0. Neste caso, qualquer ponto, tanto do eixo dos x como do eixo dos y satisfaz a equação F(x, y) = 0. N a vizinhança da origem, não teremos, portanto, uma única solução, x = 4>(y) ou y —j(x). Vemos, assim, que quando FxixD, y0) = Fy(x0, y0) =» 0, não há certeza sobre a existência da solução.

Conseqüentemente, se retornarmos ao caso em que u m a das der i vadas p a r c i a i s , — digamos Fy(x0, v 0 ) , p a r a o b j e t i v a r m o s , — é diferente de zero, a sugestão gráfica de que u m a superfície regular possa ser cort a d a por u m plano não-tangente segundo u m a c u r v a regular , leva-nos a admit i r a veracidade do seguinte teorema:

Se a função F ( x , y) tiver derivadas contínuas F x e F y e se a equação F ( x 0 , Yo) = 0 for satisfeita no ponto (y 0 , x 0 ) , ao passo que F y ( x 0 , yo) c

diferente de zero, podemos marcar, em torno do ponto (x 0 , yo) um relân-gulo Xi Sx Sx2, y x ^ y ^ y 2 de tal modo que, para qualquer x do intervalo X i â x 2 ) a equação F (x , y) = 0 determine somente um valor y — f(x) pertencente ao domínio y i <! y <; y 2 . Esta função y = f(x) satisfaz a equação y 0 = f (x 0 ) , enquanto que

F[x,fix)} = 0

X] FUNÇÕES IMPLÍCITAS 483

ê satisfeita por qualquer x do intervalo. Além disso, a função y = f(x) í contínua e possui derivadas contínuas.

Este teorema é passível de demonstração rigorosa, como veremos no 2.° volume. Aceitando-o, porém, como provado, é possível acrescentarmos o seguinte:

A derivada da função y = f(x) ê dada pela equação

Fy

Obtém-se este resultado, imediatamente, usando-se a regra da ca-

deia, visto que — F[x, f(x)\ = Fx — 4- Fy — = Fx - f Fyf. Como, po-dx dx dx

rém, F[x, f(x)} é identicamente nula, sua derivada também o será; logo, Fx + Fyf = 0, ficando assim estabelecida a fórmula.

Considerando-se o segundo membro desta fórmula como uma função composta de x, e derivando-o • de acordo com a regra da cadeia, substituindo y' por -Fx[Fy, virá

v" ~ - F * ( F » + F?*yf) ~ FÁF*y + f y y y / )

F2

p p 1 __ p p i z? p 2 __ ' xx1 v —1 iv1 / ' y i 1 yyl x

Continuando o processo, poderemos calcular y'", y"", etc. Empregando esta fórmula, podem-se estabelecer, usualmente, as

derivadas das funções implícitas muito mais facilmente do que resol-vendo-as primeiro, para então derivá-las.

P o r exemplo , p a r a o círculo F(x, y) = - f - y * - l - 0

FT x teremos y ' = = — . Fy y A verificação é fácil. Reso lvendo a equação do círculo em função de y , obteremos

duas soluções, a saber, y = V i - x2 e y = - V l - x2, dando os semicírculos super ior e in fer ior , respect ivamente . P a r a o super ior , teremos

— x y = V i - X 2

enquanto que, para o inferior virá

y = v n de sorte que em qualquer caso, y' — -

y

X

484 FUNÇÕES D E D I V E R S A S VARIÁVEIS [CAP

Apresentaremos, como outro exemplo, F{x. y) — ez~7 + y - x — 0. Achamos que Fs(}4, - Y%) — 0» enquanto que Fv(Í2, - ^2) - 2- A equação tem. assim, a solução y =j(x). O cálculo efetivo da função f{x) pode apresentar dif iculdades. Não obstante, temos

Para que a função / (z ) possa ter u m máximo ou um mínimo, devemos ter y ' = 0, isto é, e I + y - 1 = 0, donde y — - x. Substituindo-se v = - x na equação F u , y) = 0, leremos l - 2 z = 0. donde, x = l4, y = ~ Vi. Se ca l cu larmos / " (x ) para x — Y% verificaremos que ela é negativa, assim como - l/% é o valor máximo de y .

Este teorema sugere, imediatamente, uma extensão às funções implícitas de maior número de variáveis independentes:

Seja F(x, y, . . ., z, u) uma função contínua das variáveis independerdes x, y, z, u, com derivadas parciais contínuas, Fx, F y , F z , F u . Seja, ainda, F(x0, v0, . - -, z 0, u0) = 0 e F„(x0, y 0 , z 0, u0) 4= 0, para o sistema de valores (x0, y 0 , . . , Zo, u0). Podemos, então, determinar um intervalo U| l u ^ u » em lôrno de Uo, assim como uma região R que contenha (x0, Yo» - • • 1 7-o) ^ ^ mocío que a equação F(x, y, . . ., z, u) = 0 .vfya satisfeita para qualquer (x, y. . . , z) afe R, por um único valor de u do intervalo fixado. Tal valor de u, que representaremos por u = f(x, y , z ) , é função contínua de x, y, . . . , y, e possui derivadas parciais contínuas fx, f y, . . . , fz, sendo

As derivadas de f são dadas pelas equações

Fr + FJX = 0, F, + ^ u / y = 0,

+ FJt - 0.

A demonstração da existência e da continuidade de u ê apresentada no 2.° volume, para onde, novamente, remetemos o leitor. As fórmulas para fxy, etc, decorrem imediatamente da regra de cadeia.

Incidentalmente, o conceito de função implícita nos capacita a dar uma definição geral do termo "função algébrica". Dizemos que u => - / C * \ 3'> - • •, 2) é uma função algébrica das variáveis independentes

FUNÇÕES IMPLÍCITAS 485

x, y, . . . , z, quando u puder ser definido implicitamente por uma equação da forma F(x, y, . . . , z, u) = 0, em que F é um polinómio em x, y, . . . , 2, u; isto é, se u satisfizer uma "equação algébrica". As funções que não satisfazem equação algébrica alguma são denominadas transcendentes (pág. 24).

C o m o exemplo da fórmula de derivação, vejamos o elipsóide

x1 v J u* - + - + - - 1 - 0 . a1 6» c>

Teremos , para as der ivadas parciais,

2z c J c 1 x

as 2u a 3 u '

2y c 3

der ivando , n o v a m e n t e , virá

K „ = • - 4 • - u , = —, a 1 u a 3 u 2 a*u a

a 3 x c* i y

" c3 u 2 a 3 ò 5 u J

c 1 1 c 5 v c J b 2 u ' 4- c V u „ * • - 4 • — u , =• - .

ÒJ u ò 3 u a ^ u 3

E X E M P L O S

1. D e m o n s t r a r que as seguintes equações têm soluções únicas em relação a y , nas prox imidades dos pontos indicados :

(a) x 2 - f ry +• y 2 = 7 (2, 1).

(ò) x cos ry = 0 ^ 1 ,

(c) xy 4- !og xy = l (1, 1).

(d) xs 4 - y * + xy = 3 (1, 1).

2. D e t e r m i n a r a p r i m e i r a d e r i v a d a das soluções do pr ime i ro exemplo.

3. A c h a r as segundas der ivadas das soluções do exemplo 1.

4. A c h a r os va lores máximo e mínimo da função y = j(x) de f in ida p e l a e q u a ção x 3 + xy - f y 2 = 27.

5. M o s t r a r que a equação x + y 4- z = sen xyz pode ser reso lv ida em relação a z nas p r o x i m i d a d e s de (0, 0, 0). D e t e r m i n a r as der ivadas parciais d a solução.

486 FUNÇÕES D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S [ C A P .

6. I N T E G R A I S M Ú L T I P L A S E R E P E T I D A S

1. I n t e g r a i s múlt ip las .

Consideremos a função u = f(x, y), definida e contínua no retân-gulo R{a %x á ò, c úy èd), que admite unicamente valores positivos. Queremos atribuir um volume à porção do espaço tridimensional limitado pelo retângulo R, pela superfície a = f(x, y). pelos quatro planos x — a, x = b, y = c, y = d, perpendiculares ao plano xy. Além disso, o volume deve ser definido de modo a satisfazer certas condições elementares: (1) se a região tridimensional for um prisma, — isto é, se a função a for uma constante k, — o volume será igual ao pro

duto da base pela altura. V = (b - a) (d - c)k; (2) se dividirmos o retângulo R em outros menores Ri e R2, por meio de linhas retas, o volume construído sobre R deve ser igual ao volume construído sobre R\, mais o correspondente a R2\ (3) se a região tridimensional Ri contiver R2 inteiramente, o volume de Ri será, no mínimo, igual ao de R2.

Estas considerações conduzem-nos a u m método para definir V, o qual é, apenas, uma extensão do método para definir as áreas já apresentado no cap. I I (págs. 77 e seg.). Traçando linhas paralelas aos lados, subdividremos o retângulo R nos retângulos menores Ri, R2i .... Rni cujas áreas representaremos por ARU AR2, ..., ARn. E m cada um dos retângulos Rj a função tem um valor extremo inferior, m ;-, e um superior, Mj. Portanto , um prisma de base Rj e a l tura M} abrange inteiramente a porção do volume citado acima de Rj, ao passo que esta porção de volume contém o prisma de base Rj e a ltura nij (fig. 7).

Fig. ?

x i INTEGRAIS MÚLTIPLAS E REPETIDAS 487

Vemos, assim, que o volume da porção de que estamos nos ocupando fica entre rrijRj e M/TRj. O volume total, portanto, será tal que

2 irijkRj â V | 2 M J A R J . )=•! j =•= 1

Suponhamos, agora, que o número n de retângulos cresce além de qualquer limite, de sorte que o comprimento da maior diagonal tenda para zero. A intuição leva-nos a esperar que as duas somas ZmjARj e ZMjAfíj sejam ambas convergentes, tendendo para o mesmo limite. Tal limite será, portanto, denominado o volume V.

O leitor por certo observou que efetuamos uma generalização imediata da discussão do cap. II (pág. 78). Como naquela ocasião, chamaremos o limite comum das duas somas 2m ; /? ;-e 2Myi? y , a integral da função u = f(x, y) sobre o relângulo R, representando-a pelo símbolo

/(£, y) dr.

E claro que, se em cada retangulo Rj escolhermos um ponto (£;, í? y ) , determinando o valor correspondente da função/((-,-, ??;), a relação limite

lim S / C f j - , r,j)ARj = ff f(x,y)dr

deverá se verificar, visto a soma 2 / (£ y - , yj)ARj se achar entre XmjARj t ZMJARJ, as quais se aproximam da integral como limites.

Como método particular da subdivisão de R em retângulos menores, podemos dividir o lado a Sx Sb em n intervalos de comprimento Ax = (6 - a)ln, e o lado c S y S d em m intervalos de comprimento Ay = (d - c)/m, tirando então paralelas aos eixos pelos pontos de divisão marcados. A área de cada retangulo Rj será, assim, ARj = AxAy. Escolhendo um ponto arbitrário (|y-, 77;) em cada retangulo Rj, formaremos a soma

2 y - / (£ y , = 2 ; / ( ê i , Vj)àxAy. Quando nem crescerem sem limitação, esta soma aproximar-se-á da integral como limite. O tipo de subdivisão empregado sugere uma outra notação para a integral, a qual se usa, correntemente, desde o tempo de Leibnitz, a saber,

f(x, y) dx dy.

488 FUNÇÕES D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S [ C A P

A demonstração da existência deste l imite , no caso de u = f(x, y) ser contínua, pode ser feita de acordo com a exposição apresentada QG apêndice do capítulo ÍI (págs. 731 e segs.). Devemos, porém, admit ir , mesmo sem demonstração, o seguinte enunciado mais prático:

Se a função f(x, yj fôr contínua, exceto ao longo de um número finito de curvas regulares ( 1 ) y = f(x) ou x = #(y) nas quais f(x, y) apresenta saltos de descontinuidade, a integral dupla

A demonstração deste teorema fica transferida para o 2.° vo lume. E l a se baseia, essencialmente, em que, quando o número de retângulos cresce, a área tota l , tendo pontos comuns com as curvas de descontinuidade, tende para zero. Ass im, embora Mj e m,- possam diferir consideravelmente para os retângulos, eles dão lugar a u m a pequena d i ferença entre as somas IMJ&RJ e ZmjARj.

C o m esta hipótese, podemos determinar a área da superfície a = = f(x, y) para a qual (x, y) percorre a região R, mais ou menos compl i cada. Admitamos, pois, que esta região R seja de l imi tada por u m número finito de curvas x = <j>(y) ou y = \p{x) com derivadas contínuas, e que f(x, y) seja contínua em R. Fechamos R no retângulo R', e nos pontos de R' que não pertencem a R, damos a f[x, y) o valor 0. Faze mos, então, a integral / / f(x, y) dr, tomada na região R', represen

tar o volume sob a superfície u = f(x, y) , quando (x, y) estiver em R.

Alguns teoremas simples, porém importantes, decorrem da defi nição acima. Contentar-nos-emos em enunciar tais teoremas, visto o leitor poder demonstrá-los sem dificuldade.

Se f(x, y) e g(x, y) forem integráveis sobre um retângulo, o mesmo acontecerá com f ± g e com cf, sendo c uma constante:

existe.

Representa-se, geralmente, esta integral por ff Kx, y) dr.

[f(x, y) ± g{x, y)] dr =

(') Por curvas regulares designamos, como anteriormente, curvas com derivadas contínua».

X I I N T E G R A I S M Ú L T I P L A S E R E P E T I D A S 489

Se f(x, y) è g(x, y) em R , teremos

f(x, y) dr ^ g(x, y) dr. R JJ B

Se R for a soma das regiões R i e R 2 , virá: I f / (* , y) dr = ff fíx, y) dr + f f / ( a , y) tfr.

JJ R JJ Ri JJ Ri

2. R e d u ç ã o das i n t e g r a i s d u p l a s a i n t e g r a i s s i m p l e s r e p e t i d a s . Obtivemos a definição das integrais duplas, com sua interpretação

como volume, e com as inúmeras possibilidades de utilização que a nossa experiência com as integrais simples sugere. Não dispomos, porém, até agora, de um método para calculá-las. Nesta seção veremos como é possível avaliar estas integrais, reduzindo o seu cálculo ao de duas integrais simples.

Suporemos que u ~ f{x, y) é uma função definida e contínua no retângulo R, a ú x á b. c ^ y ^ d. Tomando-se um valor qualquer x0

do intervalo a â x â b, a função f(x0, y) será uma função contínua do resto variável y. Logo, a integral

'd

fixo, y) dy i: existe, podendo ser calculada pelos métodos apresentados nos capítulos anteriores. Es ta integral tem um valor definido para cada valor de x 0 que escolhermos. E m outras palavras, a integral será uma função $(x0) da quantidade r 0 ;

'd

f{x, y) dy = 4>(x). J. Por exemplo, seja u = f{x, y) = x2yB, 0 á x ^ 1, 0 â y 3. A i n

tegral J x2y3 dy poderá ser calculada para cada valor fixo de x no i n -

81 tervalo 0 á s â l , valendo, efetivamente, —x2, ou seja, uma função

4 de x. P o r outro lado, se f(x, y) = ex\ 1 ^x ^2, 1 á y á 4 , teremos

T 4 1

/ exy dy = - (e 4* - ex). J í x

Tendo determinado, assim, a função 0(2), podemos demonstrar a sua continuidade, a qual é simples conseqüência da continuidade i m i -

490 F U N Ç Õ E S D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S C A P

forme de f(x, y ) . É, portanto , possível integrar 0(x) entre os limites a e 6, obtendo-se a " in tegra l repet ida"

•b f b r - rd <t>(x) dx= I \ f(x, y) dy dx.

J a *-J c -

Invertendo-se a ordem do processo, isto é, calculando-se pr imeiro a

função de y definida por j f(x. y) dx, e depois integrando-se de c a

d, obtém-3e a outra integral repetida

I d f°f(x,y)dx]dy. ' i — . ! i I J ,

Estas integrais, como vimos, são obtidas pela d u p l a aplicação dos métodos ordinários de integração simples, os quais já foram expostos nos capítulos anteriores. A sua importância reside no seguinte :

Para funções contínuas í'(x, y), e para funções f(x, y) que apresentem, no máximo, saltos de descontinuidade num número finito de curvas regulares, as integrais repelidas são iguais às integrais duplas:

* / " t p rd f{x, y)dr = í \ f(x, y) dy dx

f{x, y) dx dy.

Contentar-nos-emos com a discussão i n t u i t i v a do caso em que f{x,y) for contínua. N a discussão originai da integral d u p l a , considerada como o vo lume do retângulo de base aSxSb, cSySd, sob a superfície u = f{x,y), obtivemos este vo lume, s u b d i v i d i n d o o sólido em prismas verticais e fazendo com que as diagonais das bases se aproximassem de zero, Podemos, também, em vez disso, d i v i d i r o sól ido em fatias de largura k = (d - c)ln. traçando as l inhas y = c + vk (v = 0, 1, . . ., n) paralelas ao eixo dos x, e fazendo passar u m plano perpendicular ao dos xy, em cada uma destas l inhas (fig. 8). Ta i s planos d iv idem o sólido em n fatias, as quais se t o r n a m cada vez mais delgadas, à medida que n cresce, e cujo vo lume t o t a l é igual à integral d u p l a . Vemos, pois, que o volume de cada fa t ia é aprox imadamente

X] I N T E G R A I S MÚLTIPLAS E R E P E T I D A S 491

(mas não de maneira absoluta, naturalmente), igual ao produto do espessura k pela área da face esquerda, isto é, igual a

f 6

fe I f(x, c + vk) dx.

Podemos, portanto, escrever </>(}') = Ãx, v) dx

e o volume procurado será, então, representado aproximadamente por n - l

kcj>(c 4- vk). * = 0

F i a . 8

Ã medida que n-*<*> estas somas tendem para fd \ 4>(y) dy.

É, pois, razoável esperar que o volume, ou a integral dupla, seja exatamente

rd rd j 4>(y) dy = f J(x, y) dx •J o

dy,

que é o enunciado feito acima. Raciocínio semelhante permite verificar o enunciado

f \J ^ J ) dy] d X = JJn / ( X ' 1 ) 0 *

4 9 2 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS

3. E x e m p l o s e observações.

AJguns exemplos mostrarão como se emprega este teorema na avaliação das integrais duplas. A função u = j{x, y) = x 3y, 0 | í á l , 0 g y â 2, dá

np* - f. (flx,y * ) & -/.' G x v D * - / 2x3 dx = - x 4 = - .

7 o 2 lo 2

O exemplo acima pertence a uma classe geral de funções cuja integração é simplificada pelo seguinte teorema:

Se Q função u = f(x, y), a á x á b , c á y á d, puder ser representada pelo produto de uma função somente de x por outra função somente de y,

f(x, y) = tt>(x)f{y), a integral dupla de f será o produto de duas integrais simples:

f f /(*. y) dr = I f Vx) dx f V(y) dy |. JJ n \J a J c I

Isto se verifica porque, fazendo-se a integração em relação a y, a função <p{x) pode ser considerada como constante e colocada antes do sinal da integral, enquanto que, integrando-se em relaçã será constante. Logo,

o a x. Hy) dy

0 (x) 4* (y) dy dx

4>(y) dy

$(y) dy dz

<j)(x) dx

A função u — sen {x 4- y), 0 â x £ TT /2, 0 á j á TT /2 , nos dá: • w2 r /• Jr/2

dx

T/2 f ^ r /- T\ -] /-T/2

J - cos ( x -f -f cos xj dx = J (sen x + cos x) dx

= ( - cos x -f- sen x) i = 1 + 1 = 2 . lo

Calculemos de novo o volume F do prisma vertical cuja base, no plano xy, é l imitada pelos eixos coordenados e pela linha x -f- y = 1, e que fica abaixo do plano u — 2x - j - 3y. E m primeiro lugar estendamos, a função u — f{x, y) ao qua-

Wtwm^mmmimmKmmmmmimmmmmimmmmmmmmmmmmimmmmm

I N T E G R A I S MÚLTIPLAS E R E P E L I D A S 493

drado O á i g l , O á y á 1, igualando-a a 0, do lado de fora do triângulo (a base do prisma). Então, para cada valor de x contido no intervalo, a função/(x, y) será diferente de zero somente para 0 ^ y ^ 1 — x. Logo,

CÃX, y) dy = f1J(x, y) dy = /** (2x + 3y) tfy

3 1 3 =-= 2 x ( l - x) + - (1 - x ) 2 = - - x2 - x + -,

2 2 2

O artifício empregado é passível de extensão a qualquer função u ~ Ãx, y) definida na região fie limitada, por cima e por baixo, pelas curvas y = i]/(x) e y — 4>(x). Imaginemos que R seja definida pelas desigualdades a ^x Sb, 4>{x) Sy Sip(x). Marquemos o retângulo R', a Sx èb, c Sy Sd, contendo R completamente, e do lado de fora de R façamos / = 0. Teremos

/

'd r f(x, y) dy = / f(x, y) dy

o J 4 4>(.x)

para qualquer valor de x no intervalo a íkb, de sorte que *6 r rd

'di f(x, y) dr =11 f(x, y) dr = a *—J c

Ãx,y)d}^

/ O , y) dy a *—J 4>{x)

dx.

x- y- u P a r a acharmos o volume do elipsóide 1 1 - - 1 = 0, notemos que ZA V

a2 b2 c 2

é o volume de u = j(x, y) — c\f 1 - — -~- , sendo a função/ (x , y) definida sò-y a2 o 2

mente no interior da elipse

ou - b l / l - 2 - á y ^ ò l / 1 - ^ , - f l â i á a . a 2 fc2 V a 2 V a1

Calculando a integral repetida, teremos, primeiramente,

j(x,y)dy~ / l-^-Z-dy -b d -b v i -x 2 / « 2 V a - b-

1 ir. b x \ y , W ! /, x2 y2

= - - c ( 6 ) are cos . , - + — 1/ 1 - — -2 V a 2 y V ò 2 - & 2 x 2 / a 2 2 y a 2 ò 2

C /* & X 2 \ CTT /* x 2 \

+6 Vl-x-Y»2

-ò Vl-x 2 /a-

494- FUNÇÕES D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S [ C A P .

Prosseguindo com a integração, virá

lv - L [ / > • y ) * > - / * i c b 0 -1> - ¥ 6 ( x - Q

4. C o o r d e n a d a s p o l a r e s .

N a definição da integral dupla , a subdivisão em retângulos fo i escolhida, naturalmente, por ser a mais conveniente em relação às coordenadas retangulares. Como sabemos, porém, há mui tas aplicações nas quais as coordenadas polares são mais adequadas do que as re -l angulares. Considerando-se a função f(p, 4>) em que p e ^ são as coordenadas polares, a subdivisão mais conveniente não será em retângulos, mas s im em regiões l imitadas por arcos de círculo p = constante c raio 4> = constante. Suponhamos, então, que a função f(p, cb) é def i nida na região R, determinada pelas desigualdades a SP Sb, a Scb S$ (Se /(p, <b) for definida originariamente n u m a região R', não deste t i po, mcluiremos R' numa região R, maior , d a forma desejada, e faremos /(p, 4>) = 0, fora de R'.) Como anteriormente (pág. 486) i n t r o d u ziremos os pontos de subdivisão PQ = a, pi, p2, .. ., pn = b, ^0 = a, £i, $2, • • •, 4>m = traçando os correspondentes raios e arcos de círculo, d iv idindo, assim, R nas regiões RÍJ de área ARij. E m cada Rij escolheremos u m ponto (p t;, <&_,) e faremos a soma 2jf ( p í 7 , cb^AR^, deixando, então, m e n crescerem sem l imi te . A soma tenderá, n o v a mente, para o vo lume correspondente à superfície u = / (p , 0), podendo ser representado pela integral

Até aqui , nada de essencialmente novo. O importante ê saber como calcular estas integrais, reduzindo-as a integrais repetidas ou a in te grais em função de coordenadas retangulares. P a r a isto, tracemos u m par de eixos retangulares n u m novo plano, o plano pcb, chamando os eixos assim traçados, eixo dos p e eixo dos cb, respectivamente. M a r camos u m ponto no plano pcb com as coordenadas retangulares, p, cb,

de modo que V = - vabc.

X ; INTEGRAIS MÚLTIPLOS E REPETIDOS 495

correspondente ao ponto de R com as coordenadas polares p, cf>. Assim, a região R, a S p Sb, a S S@, e cada uma das regiões parcial, Rij, Pi-i S p S Pi, <bj-i S <p S <bj, pelos pequenos retângulos Rcj. E n tretanto, a área AR-J do retângulo Ri/ não e a mesma área Ar?£y de Rij. A relação existente entre elas é estabelecida com facilidade. A área Ai?;/ ê simplesmente (cbj - <j>j~i) (PÍ — PÍ~I), ao passo que a área ARÍJ é dada pela fórmula

ARij = y2(<bj- <PJ-I)(PI2- P M 2 )

= 1A(PÍ -f- P i - i ) (^y - (PÍ - Pi-i) = M ( P Í + pi~i)ARij .

Escolhamos, agora, em cada região -R(y o ponto p"; = H ( P Í + PÍ-X),

4>J = + 4>j-i). Teremos, por definição,

f(P, cb) dr = lim 2/(Ã-, tfj) A f l y .

M a s , S/0>;, * j )AJí 7 - = S / ( p i , 4J)PiARij',

sendo a ú l t i m a expressão , j u s t a m e n t e , a s o m a f o r m a d a n a d e f i n i ç ã o d a i n t e g r a l d u p l a d a f u n ç ã o /(p, $ )p , s o b r e o r e t â n g u l o R', n o p l a n o p4>. L o g o , à m e d i d a q u e a l a r g u r a d a s u b d i v i s ã o d i m i n u i r , a s o m a a p r o -x imar - se -á d a i n t e g r a l , e

ff KP, 0) dr = ff f(p, 0)p dr' = f f /(p, </>)P dp dcb JJ R J J R' J J R'

= jb j / ( P , 0)P d<p] dp = [y V (P, D * -

Como exemplo, calculemos o volume V da esfei a de raio a. O hemisfério superior será dado pela equação u = V a 2 - p 2 , 0 á p á o, O á p á 2x. Ass im,

i V " C ( /." V ? Z 7 ' " 0 * - / . " [ ' í ^ " >">'" I H *

= d o = ~ 3 ~ '

4 de sorte que V — - ira3.

3

496 FUNÇuES D E DlVErtóAo V A X X I A V Ü I O [CAP.

5. Cálculo de / e~*2 dx.

logo

Às fómulas da subseção precedente habiKtam-nos a calcular a área sob a curva y "=> e -x2, - °=> < a; < « , que ocorre freqüentemente n a teoria das probabilidades. E s t a integração é especialmente interessante, visto podermos aval iar a integral definida entre - » e » de uma função da qual não é possível determinar, nem uma função pr imit iva , nem a integral indefinida.

Consideremos, em primeiro lugar, a integral da /unção er^+y2) = erp2 sobre o círculo O g p l f l . E l a é dada por

O quadrado - a ig x g a, - a ^ y ^ s , contém o círculo O á p â f l , sendo contido, por sua vez, ao círculo 0 ^ p á 2a, e o integrando e~x2-y2 é posit ivo em qualquer posição; logo,

n l - e~a2) = / . ã y e-* 2-* 2 dy^ dx á J 2 i = TT(1 - er^2).

A integral pode ser escrita sob a forma

TT(1 - e-a2) e-x- dx^ g i r ( l - e~4a2).

Se deixarmos, agora, a crescer sem limite, teremos a equação

f e~x2 dx = V 7T, ^ — 00

ficando, assim, calculada a integral proposta.

6. Momento e centro de massa. Momentos de inércia.

No cap. V, § 2 (pág. 283) vimos que o momento de um sistema de pontos PL,P2, • • .,Pn, tendo por coordenadas (xltyi), (x2,y2),..., (xn,yn)

n e massas m-i, m2, ..., mn, em relação ao eixo dos x, é dado por S m£y;, e que a ordenada do seu centro de massa é fornecida pela equação

1 N N

i) = — 2 mvyv, onde M = 2 mt-, M» = l r = l

com expressões análogas para o momento em relação ao eixo dos y, e para a abscissa do centro de massa. Estenderemos, agora, estas con-

xi I N T E G R A I S MÚLTIPLAS E R E P E T I D A S 497

siderações às massas distribuídas uniformemente na região R. Suporemos que a massa está distribuída com a densidade 1 em toda a região R, isto ê, que cada porção de R com a área AR tenha, também, a massa AR. A massa total M de R será, pois, igual à área de R,

Dividamos R em porções fí1? . . . , Rn com áreas ARi, ..., ARn e, numa certa porção R„ fixemos um ponto (f „, ??„). Se imaginarmos que a massa total de AR„ da porção Rv está concentrada no ponto (£„, r)v), o momento do sistema resultante de pontos em relação ao eixo dos x será 2 v-ARy,

sendo a ordenada do centro de gravidade

Fazendo-se n-*°o, enquanto o diâmetro da maior R tende para 0, as somas acima tenderão para as integrais

respectivamente. Estas expressões serão tomadas como as definições do momento Tx de R em relação ao eixo x, e da ordenada y do seu centro de massa. D a mesma forma, o momento em relação ao eixo dos y e a abscissa £ do centro de massa, são dados, respectivamente, por

2r)vARp %VvàRv

2 A f l „ M

M

P o r exemplo , o m o m e n t o do semicírculo /?, e m relação ao e ixo dos x, será:

e v isto que

2 1 4 p


Part indo da definição do momento de inércia Ix de u m sistema de partículas,

h = 2m„y„2, e empregando raciocínio semelhante, obteremos a expressão do momento de inércia d a região R em relação ao eixo dos x:

e, da mesma forma, teremos o momento de inércia em relação ao eixo dos y ,

Fórmulas análogas são estabelecidas p a r a regiões tr idimensionais R\ as coordenadas £, 7?, do centro de massa serão dadas por

. Hf*** . Hf*** . M«Zdr Ç M ' v M ' f M *

onde M = ^Jj Idr = vo lume de R. P a r a estabelecermos os momentos de inércia Ix, ly, lz de R em relação aos eixos dos x, y, z, respectivamente, lembraremos que a distância do ponto (x, y , z) ao eixo dos fc, é V y 2 + z 2 ; logo, para o sistema de partículas, o momento de inércia, em relação ao eixo dos x será 2m„V(y„2 - j - z2)2 = 2mí,(y„2 + z*2)- D i v i dindo R em sub-regiões e passando ao l in i i te como o f izemos anteriormente, teremos a fórmula

Semelhantemente, Iy — jjj (x2 + z2) dr,

Assim, o momento de inércia do cubo, -hSxúh, - h S y - Z i á z g i em relação ao eixo dos x, é:

"ih \_f 2/l(x2 + dy] dx = fHh

2h Ç2x2Jl + ^ rfx

4/í . . |A 4fc 16

X ] I N T E G R A I S M Ú L T I P L A S E R E P E T I D A S 499

A importância do momento de inércia, c o m o j á observamos n o capítulo V (pág. 286), reside em que ele desempenha, no m o v i m e n t o ro ta t ivo , o mesmo pape l que a massa no m o v i m e n t o de translação. Por exemplo , se a região R g i rar em torno do eixo dos x c om a v e l o c i dade angular co, a sua energia cinética será Hlxco2. E s t a , porém, n ã o é a única aplicação do conceito de m o m e n t o de inércia; ele é i g u a l m e n t e i m p o r t a n t e , p o r exemplo , no cálculo das es truturas , e m que se es ta beleceu q u e a resistência das v igas de u m determinado m a t e r i a l é p r o porc ional ao m o m e n t o de inércia d a seção t ransversa l em relação a u m a l i n h a que passe pelo seu centro de massa . O le i tor encontrará amplos detalhes sobre este assunto em qualquer t r a t a d o de resistênc ia dos mater ia i s .

7. Outras aplicações.

O le i tor por certo não terá i m a g i n a d o que as aplicações que temos apresentado t e n h a m esgotado as possibi l idades d a integral d u p l a . P o r exemplo, não demonstramos o i m p o r t a n t e teorema que a f i r m a que a área A da superfície z = f[x, y ) , em que (x, y) está em R, é d a d a p e l a integral

desde que — e -~- sejam contínuas. D e i x a m o s igualmente de lado m u i -dx dy

tos outros aspectos interessantes, os quais serão desenvolvidos no 2.° vo lume, v i s to não se s i tuarem entre as f inal idades do presente v o l u m e .

E X E M P L O S

1. Efetuar as seguintes integrações:

(a) / / xy (x2 - y2)dy dx. J oJ o

dr

500 F U N Ç Õ E S D E D I V E R S A S V A R I Á V E I S [ C A P . X

(f)

(c) fj^f-dydx. r2 ÇZ-x / / ydy dx.

J Oj O

2. Calcular o volume compreendido entre o plano dos xy e o parabolóide

3. Achar o volume comum aos dois cilindros x 2 + z 2 = 1 e y2 -\- z 2 — 1. 4. Achar, pela integração, a menor das duas porções em que um plano corta

a esfera de raio r, sendo h « r) a distância perpendicular ao centro. 5 . Determinar a área, o centro de gravidade, os momentos em relação aos eixos-

dos x e dos y, assim como os momentos de inércia em relação aos mesmos eixos, das seguintes figuras:

(a) semicírculo 0 | y g VV 2 - x2;

(b) retângulo 0 ^ i g a, 0 S x f== b;

(c) retângulo - a 1 1 1 a, - 6 â y á 6;

(e) triângulo de vértices (0, 0), (a, 0), (0, 6). 6. Achar o volume, o centro de gravidade e os momentos de inércia em relação

aos eixos dos x, y e z, das seguintes figuras:

(a) paralelepípedo 0 1 1 S a, 0 á y g è, O g z g c ; (6) hemisfério 0 g z g V a 2 - x 2 - y 2 ; (e) prisma triangular de vértices (0,, 0, 0), (a, 0, 0) , (0, b, 0), (0, 0, c).

2 = 2 - x2 - y 2 .

C A P Í T U L O X f

E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S P A R A O S T I P O S M A I S S I M P L E S

D E V I B R A Ç Õ E S

Já deparamos, em diversas oportunidades, com equações di ferenciais, isto é, com equações por meio das quais devemos determinar u m a função incógnita e que envolvem, não somente a própria função, mas, também, as suas derivadas.

O problema mais simples deste t ipo consiste no cálculo da integral indefinida de u m a dada função f(x). Este problema exige a determinação de u m a função y = F(x) que satisfaça a equação diferencial y ' - / ( x ) = 0. Já resolvemos u m problema deste tipo no cap. I I I , § 7 (pág. 178), onde mostramos que u m a equação d a forma y' = ay é satisfeita pela função exponencial y = ceax. Como vimos no cap. V (pág. 294), as equações diferenciais surgem com os problemas d a mecânica e, na verdade, muitos ramos da matemática pura , e quase tod a a matemática aplicada dependem destas equações. Neste capítulo, estudaremos as equações diferenciais dos tipos mais simples de v i b r a ções, sem nos aprofundarmos n a teoria geral. Estas aplicações não apresentam, apenas, valor teórico, mas são, também, muito i m p o r t a n tes n a matemática aplicada.

E conveniente ter presente no espírito as seguintes idéias gerais e definições. Solução de u m a equação diferencial é u m a função que, substituída na relação original , a satisfaz para qualquer va lor d a v a riável independente considerada. A expressão integral é usada, muitas vezes, em lugar de solução: primeiramente porque o problema consiste, mais ou menos, numa generalização da integração comum; depois, por que acontece, freqüentemente, que a solução seja encontrada, de fato, por integração.

501

502 EQUAÇÕES D I F E R E N C I A I S

1, P R O B L E M A S S O B R E V I B R A Ç Õ E S E M M E C Â N I C A E E M F Í S I C A

1. Vibrações mecânicas s imples .

O tipo mais simples de vibrações mecânicas já foi estudado no cap. V , § 4 (pág. 295). Consideramos, naquela ocasião, uma partícula de massa M que se movia livremente sobre o eixo dos x e que voltava à posição inic ial , x = 0, por uma força elástica. A grandeza desta força era proporcional ao deslocamento x; efetivamente, igualamo-la a - kx, sendo k uma constante positiva, e significando o sinal negativo que a força é sempre dirigida para a origem. Imaginemos agora que existe, também, uma força de atrito proporcional à velocidade da partícula, dxjdt = x, e oposta à mesma. Esta força será dada por uma expressão da forma - rx, com uma constante positiva de atrito r. F i nalmente, admitiremos que a partícula sofra a ação de uma força externa, a qual será uma função f(t) do tempo t Pela lei fundamental de Newton, o produto da massa m pela aceleração x deve ser igual à força total, isto ê, à força elástica, mais o atrito e mais a força externa. A equação

mx + rx - f kx = f(í)

exprime o que acabamos de dizer. Esta equação determina o movimento da partícula. Se recordarmos

os exemplos que já vimos, de equações diferenciais, como a integração dx r

de x = — = /(í) , com a sua solução, x = / f(t) dt + c, ou a solução dt J

da equação diferencial particular mx + kx = 0 (pág. 296), veremos que tais problemas têm um número infinito de soluções diferentes. N o caso presente, também, verificaremos que há u m número infinito de soluções, expressas da seguinte maneira. E possível encontrar-se a solução geral ou a integral completa x(t) da equação diferencial, dependendo não só da variável independente t, como também dos dois parâmetros Ci e c2, denominados constantes de integração. Se atribuirmos valores especiais a estas constantes, obteremos uma solução particular e cada solução é determinada, dando-se valores especiais a estas constantes. A integral completa representa, portanto, a totalidade das soluções particulares.

XT] TEORIA DAS VIBRAÇÕES '503

Este fa toé facilmente compreensível (veja, também, o cáp. V, § 4, pág, 298). Não podemos esperar, aliás, que a equação diferencial, sozinha, seja capaz de determinar completamente o movimento. A o contrário, é plausível que n u m dado instante, digamos, no tempo í = 0, possamos estabelecer a posição a-(O) ="x 0

e a

velocidade i{0) = x0 iniciais (abreviadamente, o estado inicial), arbitrariamente. E m outras palavras, podemos fazer a partícula part ir dè qualquer posição in i c ia l , com a velocidade que quisermos, no tempo t = 0, Feito .isto,, podemos esperar que b resto dó movimento fique definitivamente determinado. N a solução geral , as duas constantes arbitrárias C j e c 2 são suficientes p a r a q u e possamos escolher a solução part icular que preenche as condições iniciais . N a seção seguinte (pág. 508) •veremos que só.há u m meio de fazê-lo. ... "•• -•. .' ' '__

Se não houver força externa, isto é, se f(t) — 0, o movimento ê denominado movimento livre. A equação diferencial é, então, chamada homogênea. Se f(l) não fôr igual a zero para todos os valores de t, o movimento será forçado e a sua equação diferencial não-homogênea. O termo /(í) é designado, ocasionalmente, por f orça perturbadora.

2. Oscilações elétricas»

Um sistema mecânico com a. simplicidade do tipo que foi descrito, só pode ser realizado aproximadamente. Uma tal aproximação é representada pelo pêndulo, desde que as suas oscilações sejam pequenas. As oscilações da agulha magnética, as do diafragma central dos telefones ou microfones e outras vibrações mecânicas, podem ser representadas dentro de um certo grau de precisão, por sistemas como os ^jg que acabamos de descrever. Existe, porém, um outro tipo de fenômenos que corresponde muito mais exatamente à equação diferencial. Referimo-nos ao

T . • -í . ' • F i g . 1.— Circuito elé-

circuito elétrico oscilatório. t í i c 0 o s c i l a t 6 r i o

Consideremos o circuito desenhado na figura 1, com a indutância n, resistência p e capacidade G = Imaginemos, também, que o circuito seja influenciado pela força eletromotriz externa cb(t) dada em função do tempo t, como, por exemplo, a voltagem produzida por um dínamo ou devida a ondas elétricas. Para descrevermos o processo que se verifica no circuito, designaremos' a voltagem através do condensador por E e a carga do condensador por Q. Estas quantidades estão ligadas pela relação CE — E[K = Q. A corrente I que, como a voltagem E, é função do tempo, é definida com

504 EQUAÇÕES D I F E R E N C I A I S [CAP.

a razão da mudança da carga por unidade de tempo, isto é, como a razão segundo a qual a carga do condensador diminui : / = - Q — — - dQ[dt = - Ê/K. A lei de Ohm estabelece que o produto da corrente pela resistência é igual à força eletromotriz (voltagem), isto é, é igual à voltagem do condensador E, menos a força eletomotriz contrária devida à self-indução, mais a força eletromotriz externa 4>{i). Obtemos,

assim, a equação Ip = E - pf = <£(/) ou È = E ~Ê + <j>(t), is-K K

to é, }iÈ + pÈ + KE = - K<t>(l), que é satisfeita pela voltagem do circuito. Vemos, pois, que foi estabelecida uma equação diferencial, exatamente do tipo já estudado no n.° 1 (pág. 502). E m vez da massa, temos aqui a indutância, em lugar da força de atrito, a resistência, e em vez da constante elástica, o valor recíproco da capacidade, enquanto a força eletromotriz externa (exceto um fator constante) corresponde à força externa. Se a força eletromotriz for nula, a equação diferencial será homogênea.

Multiplicando-se ambos os membros da equação diferencial por - I/K e derivando em relação ao tempo, teremos a equação correspondente para a corrente

n'í + pi + KI = 4>(t),

que difere da equação da voltagem somente no segundo membro e que, para as oscilações livres (# = 0) tem, identicamente, a mesma forma.

2. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS. OSCILAÇÕES LIVRES

1. Solução teórica.

Pode-se obter facilmente uma solução da equação homogênea Mx + rx -f- kx = 0 da página 502, sob a forma de uma expressão exponencial, procurando-se determinar uma constante X de ta l sorte que a relação eu = x seja uma solução. Se efetuarmos esta substituição, fazendo o mesmo para as suas derivadas x = XeX f, x = X V ' , na equa-

XI] E Q U A Ç Õ E S H O M O G Ê N E A S 305

çao diferencial, eliminando o fator comum eu, teremos a equação quadrática

mX2 4- rX + k = 0 para X. As raízes de tal equação serão

r 1 7- 1 Xi = - — + — Vr 2 - 4mk, X2 — - — - — V r 2 - 4mfe.

2m 2m 2m 2m

Cada uma das duas expressões x = eXlí e x = eMi é, ao menos teoricamente, uma solução particular da equação diferencial, como poderemos verificar efetuando os cálculos na direção inversa. Três casos diferentes podem ocorrer.

1. r2 - kmk > 0. As duas raízes Xi e À2 são, então, reais, desiguais e negativas, proporcionando duas soluções da equação diferencial, x — Ui = eX l í e x = u2 = eMl. Com o auxílio destas duas soluções é possível construir-se, imediatamente, uma solução incluindo duas constantes arbitrárias. Derivando, vemos que

X = CiUi + C2Uo

ê, também, uma solução da equação diferencial. Mostraremos, na pág. 508, que esta expressão é, realmente, a solução mais geral da equação que nos preocupa, ou seja, poderemos obter todas as soluções da equação, atribuindo valores numéricos convenientes a Ci e c2.

2. r 2 - 4mfe = 0. A equação quadrática tem, então, raiz dupla. Assim, inicialmente, pondo de lado o fator constante, teremos somente a solução x = Wi = e~Ttl2m. Verificamos facilmente, porém, que, neste caso, a função

X = iÜ2 = te-rtfrn

é também uma solução da equação diferencial Temos

x = ( 1 - l í V * . x=í—t-L\e-H'2m, V 2m J \4m2 mj

e, por substituição, vemos que a equação diferencial r 2

mx 4- TX + — x = mx + rx + kx — 0

(!) Somos conduzidos, naturalmente, a esta solução, pelo seguinte processo-limk.. áe Xi X2, B expressão (e^1' - e^2')/(\i - te) também será uma solução. Façamos, agora, Xi tender para X2 e

sacrevamos X em lugar de Xi e X2. A expressão acima tranaforma-se-â em ~ => té^.

506 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S l C A P

é satisfeita. A expressão

x = cie-rtiSm + czte~rl/2m

dá, portanto, de novo a solução da equação diferencial , com as duas constantes arbitrárias de integração, c\ e c 2 .

3. r 2 - 4m& < 0. Faremos r 2 - 4rn& = - 4m 2 v 2 , obtendo dua3 so luções de forma complexa, dadas pelas expressões x = Ui = e~ril2m+i'4 e j = « 2 = e-rtl2m-i"t. A fórmula de Euler

dá para as partes reais e imaginárias da solução complexa Uj, por u m lado,

I'L = e~rt'-m cos vt, r 2 = e" W / 2 m sen v/,

e por outro, « i +• »-> - ;Í.>

l\ = — - , v» ~ 2 " 2i

Vemos, por esta segunda forma de representação, que i\ e v2 são soluções (reais) da equação diferencial. A verificação direta do que af ir mamos, pela derivação e substituição, const i tui u m simples, porém útil, exercício.

Das duas soluções particulares encontradas podemos formar, novamente, a solução gerai

£ = ciVi + C 2Ü2 = {c\ cos vi - f €2 sen vi) e~rll2m

com as duas constantes arbitrárias C\ e c 2 . E s t a solução pode, i gua l mente, ser escrita do seguinte modo

x — ae~rll2m cos v{í - 6),

onde fizemos Ci = a cos v5, c 2 = a sen vô, sendo a e 5 duas novas constantes.

Lembramos que já obtivemos esta solução, no caso especial em que r = 0 (cap. V , § 4, pág. 296).

2. Interpretação física d a so lução .

Nos dois casos r > 2Vmfe e r = 2Vmfe a solução é dada pela c u r v a exponencial, ou pelo gráfico da função íe~rll2m que, para grandes v a -

XI] EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 507

lores de t se assemelha à curva exponencial, ou pela superposição destas curvas. Nestes casos, o processo é aperiódico, isto ê, à medida que o tempo cresce, a "distância" x se aproxima de 0 assintòticamente, sem oscilar cm torno de x = 0. O movimento não é, portanto, oscilatório. O efeito do atrito ou amortecimento é tão grande que êle impede a força elástica de engendrar movimentos oscilatórios.

Nos casos em que r< 2Vmfe, o amortecimento é tão pequeno, que ocorrem as raízes complexas \± e X 2 . A expressão x = a cos v(t - 8)e~rtí2m

dá, então, as oscilações harmônicas amortecidas, que são oscilações que

seguem a lei do seno, tendo freqüência circular v = 1 / « _ _ T L , \ m 4 / r i 2 ' mas

cuja amplitude, em vez de ser constante, ê dada por ae~rt/2m. Isto é, a amplitude diminui exponencialmente; quanto maior for r/2m, tanto mais rápida será a razão do decréscimo. N a terminologia física o fator de amortecimento é chamado, freqüentemente, decréscimo logarítmico da oscilação amortecida, querendo isto significar que o logaritmo da amplitude decresce na razão r/2m. Uma oscilação amortecida desta espécie é a re-presen tada na figura 2. Como anteriormente, chamamos a quantidade T — 2T/V, O período da oscilação e ^5, o deslocamento de fase. Para o caso especial em que r = 0, obteremos de novo oscilações harmônicas simples, com a freqüência v0 = V/e//n, a. freqüência natural do sistema oscilatório não-amortecido.

x—a.cosv(i— 6)e 2 n L

Fig. Oscilações harmónicas amortecidas

3. Preenchimento de condições inic iais preestabelecidas. Solu~ ção única.

4 Devemos a i n d a mostrar que a solução com as duas constantes c x e c 2 pode ser

adaptada a qualquer estado in i c ia l pref ixado, e que, outross im, representa todas as soluções possíveis d a equação. Suponhamos que devemos achar a solução que ao tempo t = 0 satisfaça as condições in i c ia i s , x(Q) = x0, à{0) = x0, podendo x0 e xa

assumirem quaisquer valores. P a r a o caso 1 d a pág. 505 devemos fazer

Ci -f" # 2 — XQ

508 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S [CAP

Teremos, para as constantes cx e c2, duas equações lineares, as quais terão as soluções únicas

XQ X o l u XQ ^ 1 ^ 0

X i — Xo Xo — X j

Para o caso 2 (pág. 505), o mesmo processo dá as duas equações lineares

X C J c% — XQ V 2mJ

para as quais se determinam cx e c 2 de maneira única. Finalmente, para o caso 3 (pág. 506), as equações determinantes das constantes adquirem a forma

a cos P8 = x0,

a ( v sen vô cos v5 ) = xg,

\ 2m J com as soluções

1 õ — - are cos

v 7 <"iy,w+(i.+~*»y Mostramos, assim, que a solução geral pode representar qualquer condição

inicial arbitrária. Devemos, ainda, demonstrar que não há outra solução. P a r a ta l bastará provarmos que qualquer estado inic ial dado não admite, jamais , duas soluções diferentes.

Se existissem duas destas soluções, u(jt) e i>(í), para as quais u(0) == x0, ti(0) = x 0

e Í)(0) = x0, i(0) = x0, a sua diferença w = u-v seria, também, u m a solução da equação diferencial, e deveríamos ter w(Q) = 0, to(0) = 0. E s t a solução deveria, por sua vez, corresponder a um estado inic ia l de repouso, isto é, a u m estado em que, no tempo t = 0, a partícula estivesse na posição de repouso, animada da velocidade zero. Ora , podemos provar que, nestas condições, ela nunca se poria em movimento. Mul t ip l iquemos ambos os membros da equação diferencial mio -(-

d d

+ rw + kw = 0 por 2w, lembrando-nos que 2ioü> — — w2 e 2ww = — w2. Obte-dt dt

remos, então, d d

• — (mé2) + — (kw2) + 2rw2 = 0.. dt dt

Integrando-se entre os instantes t = 0 e t — r e usando as condições iniciais w(0) = 0, íi(0) = 0, teremos

múí 2(T) + kio2{r) + 2r / dl = 0. J o \dwj

E s t a equação,, porém, acarretaria uma contradição se, em qualquer tempo r > 0 a função w fôsse diferente de 0. Neste caso, o primeiro membro da equação seria positivo, visto termos feito m, k e r positivos, enquanto o segundo membro seria zero. Logo, w — u - v será sempre igual a 0, o que prova que a solução é a única possível.

X I ] EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 509

E X E M P L O S

Achar a solução geral dos exemplos de n.° 1 a 5, assim como a solução para a qual x(0) = 0, i(0) = 1:

1. x - 3x •+ 2x = 0. 2. x + Sx -f- 2x = 0. 3. 2x + x - x - 0. 4. x + 4x -f- 4x = 0. 5. 4x + 4x -+• x = 0.

6. Determinar a solução geral e aquela para a qual x(0) = 0, x(0) = 1 da equação

x - j - x + x = 0.

Estabelecer a freqüência ( p ) , o período (T), a amplitude (a), e a fase (5) da solução. 7. Ca lcu lar a solução de

2x + 2 i + x - 0

para a qual x(0) = 1, x(0) == - 1, determinando, também, a amplitude (a), a fase (á) e a freqüência (P).

3. EQUAÇÕES NÃO-HOMOGÊNEAS. OSCILAÇÕES FORÇADAS


Antes de estabelecermos a solução do problema quando bá uma força e x t e r n a . i s t o é, a resolução das equações não-homogêneas, faremos as seguintes observações de caráter geral.

Se w e v forem duas soluções da equação não-homogênea, a diferença a = w - v satisfaz a equação homogênea. Isto se verifica imediatamente por substituição. Inversamente, se u fôr solução da equação homogênea, e v solução da equação não-homogênea, w = u + v será, por sua vez, solução da equação não-homogênea. Portanto, de uma solução ( 1 ) da equação não-homogênea obtém-se todas as suas soluções, somando-se a integral da equação homogênea ( 2 ) . Necessitamos, assim, estabelecer unicamente a solução única da equação não-homogênea. Fisicamente, isto quer dizer que, se tivermos uma oscilação forçada devida a uma força externa, e que se superpusermos a ela uma oscilação livre, qualquer, representada pela solução da equação

(*) Também denominada integral particular* (2) Também denominada junção complementar.

510 EQUAÇÕES D I F E R E N C I A I S [ C A P .

homogênea, obteremos um fenômeno que satisfaz a mesma equação não-homogênea, como a oscilação forçada i n i c i a l . Se houver atrito, o movimento oscilatório cessará com o t e m p o , devido ao fator de amortecimento <r r í / 2 m . Logo, para uma dada vibração forçada, com atrito, não importa a oscilação livre que for superposta . O movimento tenderá sempre para o mesmo estado final, à m e d i d a que o tempo passar.

E m segundo lugar, notemos que o efeito de uma força f(i) pode ser separado do mesmo modo que a própria força . Obteremos, assim: se fi(Q, fz(f) e /(O forem três funções tais q u e

/ i ( 0 + / a ( 0 = / ( 0 ,

esexi = xi(í) for uma solução da equação di ferencial mx 4- rx 4- kx = = e x2 = x 2 (0 da equação mx 4- rx + kx = MO, teremos que

x(f) = Xl(t) 4- x2(t) será solução da equação diferencial mx 4- rx + kx = = / ( 0 . Enunciado semelhante se verifica, naturalmente, se / ( / ) tiver um número qualquer de termos. Este fato s imples, porém importante, é denominado "o princípio da superposição". A demonstração decorre de um simples olhar lançado à própria equação. Subdividindo a função f(t) em dois ou mais termos, poderemos decompor a equação diferencial em diversas equações, o que, em determinadas circunstâncias, fa cilita consideravelmente a manipulação.

O caso mais importante é o de uma f o r ça periódica, externa, /((). T a l força pode ser decomposta em componentes puramente periódicas pelo desenvolvimento segundo a série de F o u r i e r , podendo, portanto, aproximar-se a ) tanto quanto quisermos d a soma de um número f inito de funções puramente periódicas. Para estabelecermos a solução da equação diferencial de que estamos t r a t a n d o , bastará, pois, que o segundo membro tenha a forma

a cos coí ou b sen cot,

onde a, b e w são constantes arbitrárias. Empregando-se a notação complexa podemos obter a solução de

maneira mais simples e rápida do que u s a n d o as fórmulas trigonométricas estabelecidas. Faremos f(t) = ceiat, mostrando o princípio da superposição que basta considerarmos a equação diferencial

mx + rx + kx = ceiwt,

!? D e s d e T° 8 Ç J a C 0 D t í n U a 6 8 e c i O Q £ d m e n t e r e S«lar Cpág. 439), que 6 o Único caso que tem «aportância na f«ic?

X I ] E Q U A Ç Ã O N Ã O - H O M O G Ê N E A 5 1 1

onde representamos por c u m a constante arbitrária, real ou complexa , E s t a equação representa, efetivamente, duas equações diferenciais reais. Se d i v i d i r m o s o segundo membro em dois termos, por exemplo, se f i zermos c = 1 e escrevermos eia — cos coí + i sen co/, xx e x», as so lu ções das duas equações diferenciais reais, mx - f rx - f kx — cos cot e mx 4> rx + kx = sen oii, combinar-se-ão para formarem a solução x — x\ + ix% da equação di ferencial complexa. Inversamente, se resol vermos, em pr imeiro lugar, a equação di ferencial sob a forma complexa, a parte rea l da solução dar-nos-á a função xx e a parte imaginária x2.

2. S o l u ç ã o d a e q u a ç ã o n a o - h o m o g ê n e a .

Resolveremos a equação mx + rx 4- kx = ceiul por u m artifício sugerido, natura lmente , pela intuição. A d m i t i r e m o s que c seja rea l e (no instante considerado), r =f= 0- Faremos a hipótese de que existe u m movimento com o mesmo r i t m o d a força externa periódica, de sorte que podemos esperar achar a solução da equação diferencial sob a f o rma

x = creiat,

em que basta determinar o fator <r, independente do tempo. S u b s t i -tuindo-se esta expressão e suas derivadas x = iooae^1 e x = - orae^ n a equação diferencial e reduzindo-se o fator c o m u m eiut, obteremos

- morV -f- irua -f- ka — c

c cr = -— . .

- moo2 + irca + k

Inversamente, vemos que para este va lor de cr a expressão creiui ê, efetivamente, u m a solução da equação di ferencial . P a r a que este r e sultado possa refletir c laramente o seu signif icado, são necessárias a l gumas transformações.

Escreveremos, de início, o fator complexo a sob a forma

k — mar — iroi ,. . a — c = cael"\

(fe - mco2)2 + r2co2

em que o " f a t o r de distorção" a e o "deslocamento d a fase" ca 5 são

512 EQUAÇÕES D I F E R E N C I A I S [ C A P .

dados, em função das quantidades conhecidas, m, r, k, pelas equações

cr = , sen coô = rua, cos wò = (k — mu>2)ct.

(k - mo,2)2 + r V

Com esta notação, a solução assume a forma:

x = cae^{t'õ\ traduzindo-se o resultado da seguinte maneira: à força c cos cot corresponde o "efeito" ca cos w(í - 8), ao passo que à força c sen cot corresponderá ca sen (ú(t - 5).

Por ai se vê que o efeito é uma função do mesmo tipo que a força, ou seja, uma oscilação não amortecida. Esta oscilação difere da que representa a força, pela amplitude que é acrescida na razão a : 1, e pela fase que é alterada do ângulo co<5. Naturalmente, o mesmo resultado pode ser obtido sem lançarmos mão da notação complexa, porém, seriam necessários cálculos mais alongados.

De acordo com a observação feita no início desta seção (pág. 509), o estabelecimento desta solução única resolve completamente o problema, visto que, superpondo oscilações livres quaisquer, obteremos a oscilação forçada do tipo mais geral.

Resumindo o que foi deduzido, temos: A integral completa da equação diferencial

mx 4- rx 4- kx = ceied

[onde x 4= 0) á x = cae^1'^ 4- u , onde u é a integral completa da equação homogênea mx 4- rx 4- kx — 0, e as quantidades a e 5 são definidas pelas equações

a.2 = , sen coô = rua, cos cx>8 = (k — mu>2)a. (k - ma")- 4- r-or

As constantes, nesta solução geral, permitem fazer o resultado se adaptar a qualquer estado inicial arbitrário, isto é, elas podem ser determinadas, para quaisquer valores arbitrários atribuídos a x0 e i 0 de modo que x(0) = x0 e i(0) = io-

3. C u r v a de ressonância.

Para adquirirmos plena consciência da solução encontrada e da sua importância nas aplicações, consideraremos o fator de d is torção a como função da "freqüência excitadora" co, isto é, da função

X I ] EQUAÇÃO N Ã O - H O M O G Ê N E A 513

1

V(fe - mo>2)2 4- r V

O motivo determinante desta investigação detalhada reside em que, para dados valores das constantes k, m, r ou, como dizemos, para u m certo "sistema oscilatório", podem-se supor diversas forças excitadoras periódicas de freqüências circulares diferentes agindo sobre o sistema, e, neste caso, é importante conhecermos a solução da equação diferencial para os diferentes valores das forças excitadoras. P a r a descrevermos a função convenientemente, introduziremos a quantidade coo = = Vfc//ri. Este número representa a freqüência circular do sistema para o atrito r i gua l a zero, ou, mais resumidamente, a freqüência natural do sistema não-amortecido (pág. 507). A freqüência do sistema l iv re , graças ao atr i to r , não é igual a co0, tendo para expressão

admitindo-se que 4<km - r 2 > 0. (Se t a l não for o caso, o sistema não terá freqüência, sendo aperiódico.)

A função cb(ca) tende assintòticamente para 0, à medida que a freqüência excitadora tende para o in f in i to , e, efetivamente, e la se anula na ordem l / w 2 . Além disso, 0(0) = 1/fe, ou seja, u m a força excitadora de freqüência zero e de grandeza unitária, isto é, u m a força constante de grandeza unitária, origina o deslocamento 1/fe do sistema oscilatório. N a região dos valores positivos de ca, a derivada </>' (ca) não pode se anular, exceto onde a der ivada d a expressão (k - mca2)2 + r2ca2 for nula, isto é, para o valor ca = « i > 0, para o q u a l a equação

se veri f ica. P a r a que ta l valor exista, realmente, é preciso que tenhamos 2km - r2 > 0; neste caso,

Como a função <j>(ca) ê positiva em toda a parte, cresce monotonamente para valores pequenos de ca e se anula no inf ini to , este valor deve ser

- 4raco(fe — mca' ,2) + 2r2co = 0

514 EQUAÇÕES D I F E R E N C I A I S

um máximo. Denominaremos a freqüência circular « l 5 "freqüência ck ressonância" do sistema.

Substituindo a>i por esta expressão, achamos que o valor do máximc deve ser

V m 4 m 2

À medida que r -» 0, ta l valor excede qualquer l imite . P a r a r = 0, isto é, para um sistema oscilatório não amortecido, a função 0(co) apresenta uma descontinuidade inf inita para o valor co = coi. Este ê u m caso limite, ao qual dispensaremos maior atenção mais tarde.

O gráfico da função 0(a>) é denominado curva de ressonância do sistema. A distorção da amplitude a = <b(a) sendo particularmente grande para OJ = Ü>x (e, por conseqüência, para valores pequenos de r na vizinhança da freqüência natural), representa a expressão matemática do "fenômeno de ressonância", o qual , para valores fixos de m e k, se torna cada vez mais evidente à medida que r v a i decrescendo.

N a figura 3 desenhamos uma família de curvas de ressonância, todas correspondentes aos valores m = 1 e k = 1, e, conseqüentemente, para w 0 =? 1, porém, com valores diferentes de D = j^r. Vemos que para valores pequenos de D ocorre uma ressonância bem caracterizada, próximo de u = 1; no caso limite, em que D = 0, em vez do máximo, haverá uma descontinuidade infinita de çf>(a>) no ponto co = 1. Quando D cresce, os máximos se deslocam para a esquerda, vindo &)! = 0, para o valor D = 1/V2. Neste caso, o ponto em que a tangente é horizontal desloca-se para a origem, desaparecendo o máximo. Se D > 1/V2, não há zero para <pf(ca);

a curva de ressonância não apresenta mais máximo, não existindo ressonância.

E m geral, o fenômeno da ressonância cessa logo que a condição

2km - r 2 S 0

se verificar. N o caso do sinal de igualdade, a curva de ressonância atinge sua maior altura 0(0) = 1/fe no ponto u>i = 0; a tangente é horizontal neste ponto, e depois de um percurso inic ial proximamente horizontal, d iminui , aproximando-se de zero.

4. D i s c u s s ã o c o m p l e m e n t a r d a o s c i l a ç ã o .

Não podemos, entretanto, contentar-nos com a discussão que acabamos de fazer. Para que possamos compreender realmente o fenômeno

X I ] E Q U A Ç Ã O N Ã O - H O M O G Ê N E A 515

do m o v i m e n t o forçado, ê necessário f ixarmos u m ponto ad i c i ona l . A in tegra l p a r t i c u l a r cae!<aít~5) pode ser considerada como o estado-limile do q u a l a in tegra l completa

sc(0 = cae'u(-l's) + Ciiii 4- c2u2

se a p r o x i m a , cada vez mais , à medida que o iempo passa, v i s to a osc i lação l i v r e , cxui - f c2u2, superposta à in tegra l p a r t i c u l a r , enfraquecer com a passagem do tempo. E s t e enfraquecimento será l ento q u a n d o r for pequeno, e rápido quando r fôr grande.

9

Q

-

Ir - D-oj /D=$

-

- 1/ A \ J \ \

- . ^o-i \\ \ \\

\ \

- \ \

=8

OS l-ü 1-5 Freqüência .exciradoca •

20

F i g . 3.— C u r v a s de ressonância

S u p o n h a m o s que, por exemplo, no início do m o v i m e n t o , i s to ê, no tempo t = 0, o s istema esteja em repouso, de sorte que ac(0) = 0 e r(0) = 0. P a r t i n d o desta hipótese, é possível a determinação das constantes Ci e c2 e vemos, de imed ia to , que ambas não são nulas . M e s m o guando a freqüência exc i tadora fôr a p r o x i m a d a ou exatamente i g u a l a. coi, de f o r m a que h a j a ressonância, a a m p l i t u d e re la t i vamente g r a n -i e , a — c/>(coi), não aparecerá à p r i m e i r a v i s t a . A o contrário, e la é o c u l t a íela função C\ax + c2u2, aparecendo somente quando esta função fôr lesaparecendo gradualmente ; isto é, ela surgirá tanto mais l entamente , m a n t o menor fôr r.

516 EQUAÇÕES D I F E R E N C I A I S [ C A P

P a r a o sistema não amortecido, isto é, p a r a r = 0, a solução que estabelecemos fa lha quando a frequência excitadora íór igual à freqüência circular natural , w0 = Vfe/m, porque, então, <í»(w0) será in f i n i ta . Não será possível, assim, obtermos u m a solução da equação mx 4- kx = eiaí, sob a forma aeiid. Poderemos, não obstante, achar uma solução, revestida da forma atelat. Subst i tuindo-se esta expressão na equação diferencial, e lembrando-nos que

x = creia{l + iui), x = o-e,'"'(2z'o) - /w 2 ) ,

teremos

a(2imu - mocrl -+- kl) = 1,

e, uma vez que m u 2 = k,

1

2 í / 77 CO

Assim, quando há ressonância num sistema não amortecido, leremos a solução

t' .. I x = — — elal = • elal.

2imíú 2iV/em

Empregando a notação real , quando f(l) = cos to/, teremos x = \ —L=

2 Vfem sen ut, e quando j(t) = sen ul, virá

1 1 t

X = - - — = COS cot. 2V km

Vemos, assim, que encontramos uma função que pode ser considerada como se fosse uma oscilação, cuja ampl i tude cresce proporc ional mente ao tempo. A oscilação l ivre superposta não enfraquece, v is to não ser amortecida; ela conserva a amplitude or ig inal , tornando-se sem importância, em face da amplitude crescente d a oscilação forçada especial. A solução oscilante, para a frente e p a r a trás, entre l imites positivo e negativo, que crescem continuamente à medida que o tempo se escoa, representa o significado real da descontinuidade in f in i ta d a função ressonância, no caso do sistema não amortecido.

XI] EQUAÇÃO NAO-HOMOGÊNEA 5n

5. Observações sobre a construção de aparelhos registradores A discussão que acabamos de levar a efeito n a subseção precedente é d a mai?

alta importância em grande variedade de aplicações à física e à engenharia. E m muitos instrumentos , como galvanômetros, sismógrafos, c ircuitos elétricos oscilantes dos rádio-receptores, e nos diafragmas dos microfones, o prob lema consiste em registrar u m deslocamento osci lante x, devido a u m a força periódica externa. Nestes casos, a quant idade x satisfaz a equação di ferencial c i tada , ao menos, n u m a pr imeira aproximação.

Sendo T o período d a oscilação d a força periódica externa, podemos desenvolver a força segundo u m a série de F o u r i e r da forma

ou, melhor a inda , podemos imaginá-la como representada, com suficiente precisão, N

pela soma trigonométrica S y^í-^^íi, consistindo somente de u m número f in i to

de termos. Pe lo princípio da superposição (pág. 510), a solução x{t) d a equação diferencial , aparte a oscilação l ivre superposta, será representada por u m a série inf in i ta (') d a forma

3(0 = I cfiil&rm, Z = — CD

ou, aproximadamente , por uma expressão f i n i t a do t ipo TV .

X{i) = 2 afim^ITt.

E m face dos resultados já obtidos,

e

1 2TTI 2vlr a ] 2 " / - 4 T T 2 V , 4TT2 ' T G Y S l = í 4-ir2l2\'

I k-ml2— ) + r2l2 J Tik-m ) V T2J T> V T 2 J

Podemos, assim, descrever a ação de u m a força periódica externa, arbitrária, da seguinte mane i ra : dec.ompondo-se a força excitadora nas suas componentes p u r a mente periódicas, ou seja, nos termos ind iv idua i s da série de Four ier , cada componente é sujeita à sua própria distorção de ampl i tude e deslocamento de fase, super-pondo-se, aditivãmente, os efeitos separados. Se estivermos interessados somente na distorção d a ampl i tude (o deslocamento d a fase t em, apenas, importância secundária nas aplicações (2) e, além disso, pode ser discutido da mesma f o r m a que a distorção de ampl i tude) , a observação d a c u r v a de ressonância fornece in for mação comple ta sobre a maneira pe la qua l os movimentos do aparelho regis-

C1) Não consideraremos, aqui, as questões de convergência. (*) Por exemplo, nas vibrações imperceptíveis ao ouvido humano.

518 EQUAÇÕES D I F E R E N C I A I S [CAP

t rador r eproduzem a força externa exc i tadora . P a r a valores m u i t o grandes de l o u

Z—i^i o efeito d a freqüência exc i tadora sobre o deslocamento xserá d i f i c i l

m e n t e perceptível. P o r outro lado , t odas as freqüências excitadoras, nas p r o x i m i

dades de COÍ, a freqüência de ressonância, afetarão marcadamente a quant idade x. N a construção de aparelhos medidores e registradores, as constantes m, r e k

estão à nossa disposição, pelo menos dentro de amplos l imi tes . E l a s são escolhidas de m o d o q u e a c u r v a de ressonância se adapte d a me lhor f o r m a possível às p a r t i cular idades especiais d a medida que se v a i processar. E n t r e t a n t o , estabeleceremos duas condições predominantes . E m p r i m e i r o lugar , é de desejar que o aparelho seja tão sensível quanto possível, i s to é, o va lor de a. deve ser o m a i o r possível, p a r a todas as freqüências co que forem consideradas. P a r a os valores fracos de co, como j á v i m o s , a é aprox imadamente proporc ional a 1/fe, de sorte que o número l/k mede a sensib i l idade do aparelho , p a r a pequenas freqüências excitadoras. A sensib i l idade pode, por tanto , ser a u m e n t a d a , aumentando-se l / /e , o u seja, pela d i minuição d a força restauradora .

O u t r o p o n t o importante é a necessidade d a relativa liberdade de distorção. N

S u p o n h a m o s que = 2 yjeil(.-'/T)t s e j a u m a aproximação a d e q u a d a d a força í= - / v

exc i tadora . D i z e m o s , então, que o aparelho registra a força exc i tadora j{t) c o m r e l a t i v a l iberdade de distorção, se o fa tor de distorção t iver aprox imadamente o

2 ir mesmo va lor p a r a todas as freqüências circulares co S — - E s t a condição torna -se indispensável, se quisermos deduz i r conclusões sobre o processo excitador, baseados no comportamento do aparelho. E s t e é o caso, por exemplo , de u m gramofone ou de u m apare lho de rádio, que devem reproduzir notas musicais , tanto altas como baixas , com u m a relação de intens idade aprox imadamente correta . A exigência de que a reprodução se faça re la t ivamente " sem distorção" , não pode ser sat is fe i ta integralmente , v i s t o que n e n h u m segmento d a c u r v a de ressonância é exatamente hor izonta l . P o d e m o s , entretanto , escolher e f ixar as constantes m, k e r do aparelho, de m o d o que não se p r o d u z a m ressonâncias sensíveis, e que, também, a c u r v a t e n h a u m a tangente hor i zonta l no seu início, fazendo c o m que <p{u) — a se m a n t e nha a p r o x i m a d a m e n t e constante para valores pequenos de co. C o m o já v imos a c i m a , podemos rea l i zar este objet ivo , fazendo

2km - r2 = 0.

D a d a s as constantes m e k, podemos satisfazer a exigência, a justando a p r o p r i a d a mente o a t r i t o r, por exemplo, inser indo u m a resistência convenientemente escol h i d a , no c i r cu i to elétrico. A c u r v a de ressonância mos t ra , então, que d a freqüência 0 às freqüências c irculares próximas d a freqüâucia c i r cu lar n a t u r a l w 0 do s i s tema não amortec ido , o ins t rumento , p ra t i camente , não apresenta distorção, e que a c i m a desta freqüência o amortec imento é considerável. Obtemos, pois, r e l a t i v a l iber dade de distorção n u m dado in te rva l o de freqüências, escolhendo, e m pr ime i ro lugar, m tão pequeno e k tão grande, que a freqüência c i r cu lar n a t u r a l co0 do s is t ema não amortec ido , seja maior do que as freqüências excitadoras consideradas,

X I EQUAÇÃO NÃO-HOMO GÊNEA 519

e em seguida, estabelecendo u m fator de amortec imento r de acordo c o m a equação 2km-r2 =* 0.

E X E M P L O S

D e t e r m i n a r a solução que satisfaça as condições inic ia is x(0) = 0, x(0) = 0, para as equações dos exemplos 1-5. D e d u z i r , também, a ampl i tude d a fase, e o valor de o> p a r a o q u a l a ampl i tude é máxima, p a r a as equações 1-4:

1. x + 3x -f- 2x = cos cot.

2. x + x 4- x = cos cal.

3. x 4- x -\- x = sen cal.

4. 2x 4- 2 i + x = cos cat. 5. £ 4- 4 x 4- 4x = cos «L

4. OBSERVAÇÕES ADICIONAIS SOBRE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Apresentamos um estudo mais sistemático das equações diferenciais no capítulo V I do volume II. Aqui, daremos apenas alguns complementos à teoria especial anterior.

1. Equações diferenciais l ineares homogêneas de ordem n, com coeficientes constantes.

Os problemas mais complicados sobre as vibrações conduzem-nos a equações diferenciais lineares da função incógnita x(í) da variável independente, que assumem a forma

dnx dn~lx

onde ai, . . a n são constantes, e ri um inteiro positivo. Podemos resolvê-las por um método semelhante ao que empregamos no caso de n = 2 (pág. 504).

Seja x = exí. Substituindo-se esta função e as suas derivadas na equação diferencial e simplificando-se o fator comum exí, virá uma equação de grau n, em relação a X:

/(X) = \* + a ^ " " 1 + . .. + an = 0.

Se X for uma raiz desta equação, eu satisfará a equação diferencial. Vejamos, agora, as diversas possibilidades. Sejam X l s X 2, . . . » X„,

as raízes da equação /(X) = 0, de sorte que /(X) s (X - \) (X - X2) . . . (X - Xn).

520 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S [ C A P .

Admit iremos , de início, que todas as raízes são diferentes. Se todos os \ n forem reais, teremos n relações eXai l inearmente independentes, da mesma forma que antes. A solução geral é qualquer combinação linear destas soluções

C i e X l i 4 - c2eXlt + . . . -f- cn&*. As constantes cn podem ser determinadas de t a l modo que tanto x, como suas primeiras n - 1 derivadas, assumam valores arbitrários predeterminados, no tempo t — 0. P a r a t a l , devemos resolver o seguinte sistema de n equações lineares ( 1 ) :

ci + c2 + . . . + c n = x(Q), X Í C Í 4- X 2 c 2 4 - . . . 4 - \ncn = x' (0),

Se duas destas raízes forem iguais, digamos, X i = X 2 , não só eX l í, mas também te*lt será u m a solução. Isto pode ser ver i f i cado da maneira seguinte: como/ (X) = 0 possui a raiz d u p l a X = X x = X 2 , por u m t2orema conhecido da álgebra, tem-se que

/ ' ( X ) 3 nX*-1 4 - (n - l ) f l l X " - 2 + . . . 4 - an^ = 0.

A regra de L e i b n i t z , para a derivação dos produtos (pág. 202), dá

dk dk dl dk-x

Efetuando a substituição n a equação diferencial, teremos

^ ( X " 4 - a 1 X n - 1 4 - . . . +an)+e™(nkn-1+(n - l ) a 1 X " - 2 4 - . . . - fa „_ i ) = tè*f$) + (Pf' (X) = 0,

visto /(X) = 0 e, pela observação que fizemos sobre as raízes duplas, / ' (X ) = 0.

D a mesma forma, se X l 3 X 2 , . . . , X n forem iguais, obteremos as seguintes soluções linearmente independentes:

que podem ser combinadas p a r a formarem a solução geral, dependente de c i , c 2, . . . , cn. Estes parâmetros habi l i tam-nos, novamente, a adaptarmos a solução a n condições preestabelecidas, de sorte que, para i = 0, podemos f ixar os valores de x(0) e de suas n—l pr imeiras der i vadas.

(l) Este sistema de equações sempre terá solução se as raízes forem desiguais porque, então, o determinante dos coeficientes é diferente de zero.

XI] EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 521

Se a equação tiver raízes complexas, por um teorema da álgebra, tais raízes ocorrerão aos pares, cada uma delas com a sua conjugada. Como no caso de n = 2, obteremos soluções da forma

cospt.e"1 e sen/3Le a í , onde \j = a + i/3, X2 = a - i/3.

Alguns exemplos ilustrarão o que foi exposto.

d3x d2x dx Exemplo 1. \- 2 2x = 0,

dl* dr- dl /(X) = x 3 + 2X 2 - X - 2 = 0.

A solução geral é x = Cje"' + c2et + c 3 e" 2 t . U m a solução particular, para a qual x = 2, x ' = 0, em 2 = 0, é dada por

x = e' + e~\ cí3x d2x rfx

Exemplo 2. — • -f- x = 0. c&3 c/Z2 dl

A solução geral é x = Cje1, + C / É ' -{- c 3 e _ t . „ , d 3 x dx Exemplo 3. 2 h 4 - 0,

dl3 dl

/(X) = X 3 - 2X + 4 = (X + 2) (X - 1 + i) (X - 1 - 0-

A solução geral é x = c 1 e" 2 t + c3e* cos t + c 3e' seu í.

2. E q u a ç ã o d e B e r n o u i l l i .

Uma equação do tipo dx jt+MDx = B(t),

;m que A e B são funções somente de t, é denominada uma equação inear. No caso em que B — 0, se x = a(0. £ = jS(<) forem soluções, malquer combinação linear de a e /3 será igualmente uma solução. Consideremos, agora, o tipo ligeiramente mais geral

dx Jt + A(í)x = B(t)xn,

>nde n é um inteiro positivo, e que é conhecida com o nome de equação de Bernouilli.

Em primeiro lugar, vejamos o caso mais simples, em que J3 = 0, isto i , onde

dx — + A{i)x = 0.

5 2 2 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S [ C A P .

dx

Escrevendo novamente a equação como — = - A{1) dt, vemos que po

demos integrá-la imediatamente, como segue

hgx=-J A(i)dt + c, x = ece~fAdL = ve'fAdi

se subst i tuirmos e° = v. Experimentemos satisfazer a equação de B e r n o u i l l i por u m a função

da forma x = - ve~J'Adí, admitindo-se que v seja a variável, de maneira que

dx dv 17 = Tte~fAdl -vAe-SA* dt dt

Substituindo-se, virá du — v~n = B e - n f A d L e f A d t , dt

que pode ser integrada imediatamente, dando

x i - n = ( i _ n ) e ( n - i ) S A d l [ J Bé1'^SAdi d t

O método ac ima ê mui to importante e pode ser apl i cado em diver sos casos. E chamado método da variação dos parâmetros. ( P a r a maiores detalhes, consulte-se o vo lume I I , pág. 4 4 5 . ) D e v e ser observado que a solução é expressa por meio de integrais que, em gera l , não podem ser representadas por funções elementares.

Exemplo.— Consideremos a equação dx — - tx = Px*. dt

Seja x = ve

logo, ^ - tx = ~ ^ + vte^ - tveW = - e™\ dt dt dt

transformando-se a equação em dv i/>2 „ dv j/.o - e A l = tV-ei-, ou - = t3eAí'dt. dt v2

Integrando, teremos,

- - = (í 2 - 2)e^ 2 + c, ou - = 2 - t2 + ce-y2p, v x

Este resultado poderia ter sido obtido por substituição direta na fórmula dada acima, porém, a aplicação efetiva do método, passo a passo, é muito mais instrutiva.

XI] SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 523

3. Outras equações diferenciais de primeira ordem, resolúveis simplesmente por integração.

Existem alguns outros tipos de equações diferenciais de primeira ordem que podem ser resolvidas pela integração (conquanto, na maioria dos casos, a integração não possa ser efetuada explicitamente, em termos de funções elementares).

Consideraremos, em primeiro lugar, o método da separação das variáveis. Quando a equação diferencial puder ser escrita sob a forma ( 1 )

' A{x) dx + B(y) dy = 0,

diz-se que as variáveis são separáveis. A solução será, então,

J'A(x) dx+f B(y) dy -f- c = 0.

Exemplo.— Seja a equação

yy' -f- z y 2 = x. Podemos escrever

y dy y dy -f- x{y* — l)dx = 0, ou —• + x dx — 0;

y- - 1 logo,

yjog (y 2 - 1) + y^x2 =? e, ou {y-- l)ex2 = fe.

Outro tipo de equação que pode ser resolvido é o que se apresenta sob a forma

M(x, y) dx 4 - N(x, y) dy = 0,

em que M e N são funções homogêneas, do mesmo grau, de x e y. IN este caso, a fração M/iVé função somente de yjx, podendo-se escrever

dx \x Se fizermos y — xv, virá

dv

As variáveis x, v são agora separáveis, como segue: dx dv x f(v-v)'

(i) Tsto ê, y'B(y) + .4(2) = O.

5 2 4 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S [.CAP.

Integrando, teremos

r dv log x = / jT\ + c-

Exemplo.— Consideremos a equação

(2Vary - x) dy 4 y dx = 0.

Substituindo y — vx, virá

(2o1'2 - l)x Ç) + x + vx = 0

o(2o"3 - 1) 4 v 4 x(2v112 - 1) — = 0, efe

dx 2i ! I f 2 - 1 du d» x ~~ 22)3'2 ° ~ o + 2u 3 ' 2"

Integrando, obteremos

log x = - log a - i r M -}- c ou

log y + Vx/y = c.

4. Equações d i f e r e n c i a i s d e s e g u n d a o r d e m .

Há poucos tipos de equações diferenciais não lineares cujas soluções podem ser obtidas por simples integração. Já estudamos u m destes tipos, implic itamente, no capítulo V (pág. 2 9 7 ) , quando consideramos o movimento de uma partícula sobre u m a c u r v a dada. Es te t ipo é:

d2x = Ãx). dl-

dx Seja v = de sorte que

drx _ dv _ dvdx dv

dl2 dt dx dt dx

transformando-se a nossa equação em

dv

XIJ EQUAÇÕES D E S E G U N D A O R D E M 52b

Podemos considerar esta equação como sendo de primeira ordem, com a variável dependente u e a independente x. Separando as variáveis e integrando, virá

v du — j(x) dx

Então, v2 = 2 f(x) dx + c ou v = y 2 JJ(x) dx + c.

= = dí, dx

dx + c

que pode ser resolvida por integração (embora, em geral, seja impossível executar a integração explicitamente).

Este artifício permite resolver as equações dos seguintes tipos:

féPx dx\

^ã2 dl J dx

que se reduzem, respectivamente, quando fazemos v = a

0^t'^-, i', z ^ = o. V dx J

Estas são equações de primeira ordem, que podem ser resolvidas pelos métodos precedentes. A solução, depois de v ter sido

dx substituído por —, será, ainda, uma equação diferencial de primeira ordem, a qual deve ser resolvida em relação a x. Alguns exemplos esclarecerão melhor a marcha do processo.

526 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S

Exemplo 1. dy d2y 2a — — = 1.

dx dx2

dy Façamos — = p. A equação transformar-se-á em

dx dp

2ap f = 1. dx

Separando as variáveis e integrando, teremos

ap2 = x + c „ ou

.-dy i

V a — = V x + c,. dx

Integrando, virá _

Vafy -f- c2) = 2/3(x + c , ) 3 " .

Elevando ao quadrado teremos, finalmente,

a(y + cty - *hÁx H- C l ) »

Exemplo 2. d2y dy (1 + x 2) —- + x ~ = 0.

c/x- c/x

c/y Fazendo-se, como no exemplo anterior, — = p, obteremoi

dx

c/n r/p x C/J: (1 -f- x 2) h xp = 0 ou — = .

dx p 1 - f x J

Integrando, virá

ou

donde

l ogp = - % log(l -f- x 2) + c,

p = C , ( l + X s ) ' 1 ' 2 ,

c/y Cj

Exemplo 3.

c/x V l + x 2 '

y = c 2 + Ci Are Sh x.

= l - (*V c/x2 \c/x/

Façamos = p, donde — = p — , vindo então, c/x a x 2 c/y

í/p pdp dy p y = i - p- , o u =

c/y 1 - p - y

[ C A P ,

X I ] E Q U A Ç Õ E S D E S E G U N D A O R D E M 527

Integrando, teremos

isto é,

ou

- Hlogd - p 2 ) « log y + c9

y = d d - p T 1 ' 2 ,

y 2 ( l - p 2 ) - C l2 ,

-s n = ~* L_ OU ; = ÜX. dx y V y 2 - - 2

Nova integração produzirá

isto é, V y 2 - c r - a: + ca,

y 2 = a;2 + c3x + c 4 .

E X E M P L O S

Resolver as equações diferenciais dos exemplos 1 a 22.

1. d +y*)dx-(y- V l + y) d + z ) 3 ' 2 dy - 0. 2. (x3 + y3) dy = 3x2y dx. 3. y(log x - log y) dy ~xdx = 0, 4. x y ' + y = y 2 log a:. 5. (1 -f y 2) dx = (arc tgy — x) dy, 6 yy ' + H y 2 = sea x. 7. (x 3y 3 + x 2 y 2 + xy + l)y + (x 3y 3 - x 2 y 2 - xy + l)xy ' = 0. 8. 3y 2 y' + y 3 = £ - 1. 9. sen x cos y dx + cos x sen y dy = 0.

10. (1 + ext*)dx + e I i y

a! 3z d 2 z efe <f2Y / ' r f v \ 2

11. — - 3 — + 3 — - i - O . 17. + ( - f ) +1 = 0. dt3 dt2 dt dx- \dxj d?x d2x dx diy d'-y

12. 6 h 9— = 0. 1 8 . — = — . dt3 dt2 dt dx' dx2

d*y d2y d2y dy 13- A + 2 A + y = o. i9. a + z3) -4 + 2x -f = o.

dx* dx2 dx- dx d3y d2y dy , d2y Sdy\

14. — - — + — = 0. 20. (1 - y) — 4- 2 ( — ) = 0. dx3 dx2 dx dx2 \dx/ dsy d*y d2x /dx\2

15. — - 2 — + y = 0. 21. s -— = 2 ( — ) . dxs dx* dt2 \dlJ

d2y dy , d2s ds

23. Determinar o movimento de uma partícula que se move sobre uma linha reta, atraída por uma fôrga que varia na razão inversa do quadrado da distância à origem.

SUMÁRIO DE TEOREMAS E FÓRMULAS IMPORTANTES

1. Funções hiperbólicas. 2. Convergência de seqüências e séries. 3. Derivação. 4. Integração. 5. Convergência uniforme e permuta de operações infinitas. 6. Limites especiais. 7. Integrais definidas especiais. 8. Teoremas do valor médio. 9. Desenvolvimentos em série. Séries de Tavlor e de Fourier.

10. Máximos e mínimos. 11. Curvas. 12. Comprimento do arco, área, volume.

1. F U N Ç Õ E S H I P E R B Ó L I C A S

(págs. 183-189)

Sh x = }4(ex - e~x).

Ch x = Yziex + e~x).

Ch2x - Sh*x = 1. Ch2x = T — ^ T T - .

1 - 1 r r x Ch (x =b y) = Ch x Ch y d= Sh x Sh y. Sh (x ± y) = Sh a; Chy ± Ch a: Sh y. Ch 2 z = M(Ch 2a; + 1). Sh 2 a: = M(Ch 2a; - 1) .

Are Sh x = log (x 4- Var + 1).

Are Ch x = log (& ± Va; 2 - 1); (x ^ 1). 529

T h x =

Coth x =

S h x C h £

1 e T -f- e" T h a:

530 S U M A R I O D E F O R M U L A S

Are T h z = l4log~^(\x\< 1)

x 4- 1 Are C o t h x = y2 log - r ( | x | > 1)

x - 1

2. C O N V E R G Ê N C I A D E SEQÜÊNCIAS E S E R I E S

1. S e q ü ê n c i a s i n f i n i t a s (pág. 38).

Crilêrio de convergência de Cauchy (pág. 40). U m a seqüência de números an será convergente se, e somente se p a r a qualquer quant idade pos i t iva e existir u m número À r t a l que,

I o.n - am I < «

quando n > N, m > N. Operações com l imites (págs. 41-42). Se l i m an e l i m bn ex ist irem,

teremos

lim ian db bn) = lim an ± lim bn;

lim a„.òn, = lima f t. lim òrt; n—»=» n —* co ri—»co

lira a n

l i m — = r-^~—, desde que l i m bn 4= 0. bn l imò r t

n—* co

2. Séries i n f i n i t a s (págs. 365 e seg.).

Crilêrio de convergência de Cauchy (pág. 367). A série 2 an convergirá se, e somente se p a r a qualquer quant idade p o s i t i v a e exist ir u m número N t a l que

I an 4- a „ + 1 + . . . + a m I < é

quando m >n >N.

Nota.—Os critérios que seguem, são suficientes, mas não necessários.

Princípio da comparação das séries (pág. 377). S a n será conver gente se existirem números bn tais que bn ^ j an | p a r a qua lquer va lor de n, e se Sò„ for convergente.

_ - - •••'•MMBMMMaMI . . - -

CONVERGÊNCIA 531

Critérios da razão e da raiz (pág. 378). Sa r t convergirá se existir um número N, assim como outro q < 1, tais eme

Q-n + X < q ou v I an I < g

para qualquer valor de n > N. E m particular, se houver um número /e < 1 tal que

h m n —> =o i U f j

= fe ou l im y! \ an \ — k.

2a„ será divergente se houver um número k > 1 tal que

hm

f] —* 03

= k ou l im V I an I = k.

Critério de Leibnitz (pág. 370). 2a„ convergirá se os seus termos tiverem sinais alternados e se | an | tender monotonamente para zero.

3. DERIVAÇÃO

1. Regras gerais (Idéias f u n d a m e n t a i s , pégs. 88 e seg.).

lf(x) =b g{x)Y =f'(x)±g'(x).

U(x)g(x)}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x}. rmr =.nx)gw-Kx)g'(x) la(x)l [g(x)Y

, g(x) =1= 0 (págs. 136-139).

í)JI{n--\x)g"(x)+ ...+Kx)g™(x).

(Regra de Leibnitz, pág. 202).

Regra da cadeia. Se f(x) = g[<j>(x)],

d[__ dg_d^

dx d(j> dx'

532 S U M A R I O D E F Ó R M U L A S

Se u = /(£, v, • • •)> onde £ = £(x, y), n = ^(x, y), ...,

«* = + fvVx + / f f « 4-

«xx = / « ? * 2 + JnvVx2 + / f f f * 2 4- . ...

+ + fãxx+fvVxx+Jrtxx+ . . . .

com formulas correspondentes para e ayy (pág. 476).

Funções implícitas. Se F(x, y) = 0,

F y '

<*2y F a z F y2 - 2FxyFxFy 4- FyyFx

2

dx2~~ F v 3 rpág. 483).

Funções expressas em termos de um parâmetro. Se x = x(l), y=y( / ) , dy dy Jdx

dx = Til Ti Funções inversas.

dy Idx

dx V dy

Se £ = <b(x, y), r] = 4f{xt y),

_ h dx^_4*y õy ^ \h dy

d£ ~ D ' D' õ | ~" " D' dr, = D* onde

(pág. 262).

(pág. 145).

3(z, y) = & e £ y - 4>y4>x

(determinante funcional ou jacobiniano) (pág. 479).

2. Fórmulas especiais (págs. 94-96, 139-141, 149-150, 167 e seg., 186-187).

(xnY = nxn-\

1 (sen x)' = cos x.

(cos x)' — - sen £.

(are sen x)

(are cos a;)' = - ,

V 1 - x r

1 'V 1 - x2'

DERIVAÇÃO 533

1 1 (tg xY = ; = sec x2. (are tg x') — ——x.

COS X 1 + X2

1 1 (cotg xY = ; = - cosec x2. (are cotg x)' — - ——

sen xz 1 + x 1

(Sh xY = C h x, (Are Sh x) ' V I + x2' 1

(Ch ar)' = Sh x. (Are C h x) ' = db . 2 _,(a: >1). V o; — 1

1 1 (Th x) ' = 7^—5 = Sech 2 a;. (Are T h x)' = _ ( | x \ < 1). C h a:2 ' 1 - x 2 '

1 1 (Cothx) ' = - ^7T- = ~ Cosech 2 x. (Are Coth x)' = ( | x | > 1)

S h 2 x l - x z

1

(Ioga ai)' = - Ioga e; (axY = ax log* a;

em particular, em particular ( log*) ' («*)' = e*.

x (u*)' = uv(yu'ju -f- o'log u).

4. INTEGRAÇÃO

1. Regras gerais (Idéias f u n d a m e n t a i s , págs. 79 e seg.).

/ /(x) dx+ f fix) dx = / /(x) dx.

f(x) dx = - J ^ /(x) dx.

fb lÃx) + g(x)} dx = fb

f(x) dx + ( % ( x ) dof.

J cf(x) dx = cjb f(x) dx (págs. 81 e seg., 141).

Cálculo de integrais. Se / (x) ^g(x), b ^ a ,

/(x) dx ^ f* g(x) dx (pág. 126).

Integração por partes (págs. 218-219).

fh f(x)g' (x) dx = f(x)g(x) I * - f V (x)g(x) dx. J a \a J a

Método de substituição (págs. 207-212).

jj{x)dx=jj\ct{u)\4>'{u) da,

onde a = <f>(a), b = $(£). Relação entre a derivação e a integração (págs. 111 e seg.).

d r*

TxJaf(u)du=Kx). Integrais impróprias (págs. 197-254).

Se/(se) for contínua, exceto no ponto x = b, em que se torna in f i

n i ta , J J(x) dx será (absolutamente) convergente, se n a vizinhança de

x = 6, M

em que v < 1 (pág. 248).

J f(x) dx convergirá (absolutamente) se

M

onde v > 1, para valores de £ è A (pág. 250).

2. Fórmulas especiais (págs. 82-87, 128-130, 142 e seg., 151, 168 e seg., 206, 208-209, 210, 213-217, 220 e seg.).

r X-+1 r

J xn dx = n _j_ j ' - / log x dx = x log x — x. fdx r\

J — = log I a: I. J " l o g x dx = M(log x)2.

í*XdX = àa- ix~k~xdx = l ^ ^ ,

/ ^ l o g ^ = ^ ( l o g x - ^ ) ; a * - l .

-19

INTEGRAÇÃO

Jsen x dx = - cos x. JSh x dx = Ch x.

y cos x dx = sen x. jCh xdx = Sh ar.

Jtg xdx = - log | cos ar |. ^ * T h x dx = log Ch x.

Jcolg x dx = log ! sen a? |. J~ Co th a; dx = log | Sh x |.

y*are sen xdx — x are sen a:-j- V 1 — a;2,

^ are cos xdx — x are cos x - V1 - x~.

Jire tg x dx = x are tg x - M log (1 + x 2).

Jare cotg x dx = x are cotg x -\- lA log (1 -f- x2)«

yAre Sh xdx = x Are Sh x - V 1 + x".

Are Ch x dx = x Are Ch x - V x 2 - 1.

J*Arc Th x dx = x Are T h x + H log (1 - x2).

j*Are Cotli x dx = x Are Coth x +• H log (ÚC2 - 1).

t

J

dx sen x ' dx COS X

= log

= log

X ter -L o 9

/

dx X

tg (x x \ I Ç dx f x~

2+iJl J c h í = 2 - C t < T h 2 . = 2 Are T h ( t g ^ ) .

f d x í i = log | tg x |. / ;

j sen x cos x J í r dx r

J s " e n ^ = - C O t ^ J\

r dx r

dx g , P U = log [ T h se I. Sh x Gn x dx

Sh 2 x dx

= - Coth x.

= T k x .

536 SUMÁRIO D E FÓRMULAS

Jsen2x dx = Y% (x - sen x cos x).

j cos\r dx = li (z + sen x cos x).

r dx 1 fa \ 1 / — — s — r - T í — — = ~ 7 are tg í - tg x ) J a^sen-x + o-cos~x ao \o y

Í/X

aserrx -—— = - — Are T h ( - tg x ^ -cos_x ao \p y j

a, 6 4= 0 .

J x 2 4 ar

i x = - are t g - .

a a

í dx _

J ar - cr

1 x 1 a - x - - Are T h - = — log —•—, se I x I < a. a a 2 a a 4- x

1 x 1 x - a - - ArcCoth - = — log —;—, se I x I > a, a > 0 . a a 2 a x 4- a

a- - x~

r a; dx

4- are sen

— are cos

x

a'

x < <

a /

dx

V x 2 - a 2

1 a - - are s e n - .

a x

1 a + - are cos - . a x

V a- 4 = V a 2 4 - x 2 .

7 V a 2

dx

x-

/

dx

= - V a 2 — x2

x = Are Sh - = log ( ± x + V x2 + a 2 ) :

CL

/

dx

V x 2 - a 2

X

xV x 2 4- a 2 a

= Are Ch - = log (x ± V x 2 — a 2 ) .

1 . « 1. d= a 4 V a 2 4- x 2

- = - - Are bh - = - - loí x a x

/

dx

xV a 2 -1 n i o 1 a ± 7 a 2 - x 2

== = - - Are L h - = - - log x~ a x a x

INTEGRAÇÃO 537

_ 1 x 1 x2 dx — - ~ a2 are cos - + - x V a 2 - x2. 2 a 2

1 x 1 V x 2 -- a 2 dx = - - a2 Are Ch - 4- - x V x 2 - a 2 . 2 a z

r í x í Hx2 + a2dx = - a 2 . A r c . S h - + - x V x 2 + a 2 . J 2 a 2 C dx 1 sc + ò .

Are T h x 2 4 - 2 ò x 4 - c V ò 2 - c V ò 2 - c 1__ [ V ò 2 - c - x - 6

= ~ 2 V F ^ í ° ° M v r ò 2 ^ + x 4 - ò se c < ò2, isto é, se x2 + 2òx -f- c = 0 tiver raízes reais.

/

. dx _ 1 a; + b

x2 + 2òx 4- c ~ :JT^f2 Q r C t g VT^Ò 2 ' se c > ò 2, isto é, x 2 4- 2òx 4- c = 0 tiver raízes imaginárias

f 1

/ e0* sen bx dx = ^2 ea j : (a sen bx- b cos bx). a 2 4- ò 2

1 / eax cos òx dx = -«, , • , 0 ea:£ (a cos òx + ò sen òx).

J a2 4- ò-

r sen" x cos x dx = ;——. J n+l

Fórmulas de recorrência (págs. 221 e seg.).

r í n - i r I cos" x dx — - cos""1 x sen x 4- / cos 7 1 - 2 x dx.

7 / i n J r í n - i r I sen" x dx = - - sen n 1 x cos x 4- / sen" 2 x dx.

J n n J

j*f cos x dx = xn sen x - n j^z"'1 s e n 33 dx.

J*xn sen x dx = - xn cos x 4- n j xn~l cos x dx.

/* s e n m + 1 x cos" , - 1x n-l Ç

I senm x cos" x dx = ; 4- — ; — / sen"1 x cosn~2 x dx. I m + n m + nj

s e n " + 1 x

538 S U M Á R I O D E F Ó R M U L A S

x a + 1 ( I o g x)n n f r^log .r ) ' 1 dx = — — — / x a ( log x)"-] dx (a 4= - 1).

a T L a-j- 1 J

dx x 2n - 3 /" dx

^ + 2(^7) J (7 ; i - f x-j" 2(n - 1) (1 4 x 2 ) " - 1 2(* - 1) J (1 4 - x 2 ) '

3. In tegração d e t i p o s e s p e c i a i s d e f u n ç õ e s .

(a) Funções racionais. São reduzidas aos três tipos fundamenta is seguintes, pela decomposição em frações parciais (págs. 226-234):

dx 1 1 / r dx i r

J (x- 4- 2òx + c)n = (c - ò 2 ) " - ^ J i

(x - a)'1 TI - 1 (x - a ) " - 1 '

czu

d + a2)"'

ondec - ò 2 > 0, u = (x + ò)/Vc - ò 2 , sendo a integral do segundo m e m bro calculada pela última fórmula de recorrência dada a c i m a ;

x dx

x 2 4 - 2òx 4 - c)n

í í r dx

2(n - 1) (x 2 4 - 2òx 4 c)"" 1 J ( x 2 4 - 2òx 4 - c) r a '

sendo a integral do segundo membro do t ipo imed ia tamente anter ior .

N o que v a i seguir, R ind ica u m a função rac i ona l .

b) f R(sen x, cos x) dx (pág. 237).

o i • • X 2 t 1 - tZ

Substituição: f = t g - , de sorte que s e n x = - cos x =

dx 2

dl " 1 + t2'

INTEGRAÇÃO 539

Se, entretanto, B for uma função par, ou contiver somente t g a substituição seguinte é mais conveniente:

u2 1 dx 1 u = tg x, seirx = n , .„ cos2x =

1 4 - « 2 ' l + u 2 ' t fu 1 4 - M 2 '

(c) y*R(Ch x, Sh x) dx (pág. 237). x 21 1 4- i2

Substituição: t = Th - de modo que Sh x = 7 — 7 ; , Cli x = :„ - 1 — r I — t-dx

dl i - l 2 '

(d) JR{e™)dx.

dl 1 Substituição: t = emx, —- = —.

dx ml

(e) jE(x, v T ^ r 2 ) dx (págs. 237-238).

Substituição:

V l + x l + F 1 x l + fdl (l+f-f

(f) f R(*, V ^ I ) dx (pág. 238).

Substituição: _ 1 /x^í _ 1 + i2 —n • 2/ dx 4/

(0) y/?(x, V T + T 2 ) dx (pág. 238).

Substituição: , í2 ~ 1 1 4- í2 dx t2 4- 1

(/O yR(x, V a x 2 4 - 2ÒX4-C) dx (pág. 239).

A substituição £ = reduz esta integral a uma dos três V [ ac ~ b21

tipos precedentes.

5-10 S U M A R I O D E F O R M U L A S

(í) / R(x, âx+b,^cx+d)dx (pág. 239).

1 dx 2£ Substituição: £ = V cx 4- d ou x = - (£2 - d), lfc

c a£

(fe)J flâ, J/ zr— )dx (pág. 240).

Substituição: r

i / x — — = n tn~í ! cx + d' cèn-a'dk ( c ^ - o ) 2 s '

5. C O N V E R G Ê N C I A U N I F O R M E E P E R M U T A D E O P E R A Ç Õ E S I N F I N I T A S

Definições relativas à convergência uniforme, n a página 391. U m a série uniformemente convergente n u m intervalo fechado, cujos

Lermos sejam funções contínuas, representa u m a função contínua no intervalo referido (pág. 393).

Se \fn(x) I S an e 2an convergir, 2fn(x) convergirá uniformemente [e absolutamente) (pág. 392).

Permuta da somação e da derivação (págs. 396-397). Qualquer série convergente de funções contínuas pode ser der ivada termo a termo, desde que a série resultante seja uniformemente convergente.

Permuta da somação e da integração (pág. 394). Qualquer série de funções contínuas, uniformemente convergente, pode ser integrada terno a termo. A série resultante também convergirá uniformemente.

6. L I M I T E S E S P E C I A I S

Fórmula de Siirling (pág. 361).

n\ l im ~T=——— = 1. „-« ^2-tnnê-n

Produto de Wallis (págs. 223-225, 363, 445).

2 ~ i = n \2n-l 2n + lj' _ (n\)222n

V T = l i m . - . n - , co (2/i)!Vn

Produtos infinitos, págs. 419-422).

L I M I T E S E S P E C I A I S 541

e* = lim ( 1 + - ) (pág. 175).

- / " x 2 \ sen TX — 7rx H ( 1 - — ) (pág. 445).

n = í v n.-_y Definição da função gama (págs. 250-251).

T{x)=J^ e-H£-xdx ( a è l ) :

r(x + i) = xr(x); x fôr um inteiro positivo n,

T(n) = (n - 1)! Ordem de grandeza das funções (págs. 190-195).

lim ~ = o , se c > 0 (pág. 192). x—y co ar

log X lim —~~ = 0, se a > 0 (pág. 192).

x u

lim xa log x = 0, se a > 0 (pág. 195). a—» 0

7. INTEGRAIS DEFINIDAS ESPECIAIS

Relações ortogonais das funções trigonométricas (pág. 217).

f. I.

+ x f 0, se m 4= rc. sen mx sen nx dx =

L ir, se m. = n, n =fc 0.

sen mx cos rax dx = 0.

+ , r f0 , se m 3p TI. cos mx cos nx dx — H

* 7T, se m = n, rc, q= 0.

I. e~x- dx = - Vir (pág. 496). 2 1

o x 2 S6n te 1

' dx = - 7T (págs. 251-253, 418, 450),

512 S U M A R I O D E FÓRMULAS

8. T E O R E M A S D O V A L O R M É D I O

Teorema do valor médio do cálculo diferencial (pág. 103).

f{x + h) -f{x) j- =f(x+ eh), o < 0 < i .

Se f(x) = f(x + h) ~ 0, teremos o teorema de Rolle (pág. 105): há sempre um valor zero para a derivada, entre dois valores zero da função.

Teorema geral do valor médio (págs. 135, 203).

y n - / ( a ) _ f ( a 9(b)~g(a) g'ay

onde £ ê um valor compreendido entre a e ò.

Teorema de Taylor (págs. 320-323).

Kx + h) = /(x) + ^ / ' (a) + ^ / " ( s ) + . . . + ~ f M ( x ) +

com o resto (págs. 323-324): 1 Ch

Rn^-i {h-rYf^{x+r)dt n\J o

hn+l

' (n + D ! hn+l

fn+1{x+ eh)

- n { • (1 - 0 ) n / n + 1 (x + ^) (o < e < í ) .

Teorema do valor médio do cálculo integral (pág. 127).

f(x) dx = (b- « ) / (£ ) , onde aSÇSb.

Ãx) p(x) dx = /(£)^ p(x) dx, se P(ÍB) è 0.

D E S E N V O L V I M E N T O S E M SÉRIES 513

9. DESENVOLVIMENTOS E M SÉRIES: SÉRIES D E T A Y L O R E DE F O L I U E R

1. Séries de potências (definição, pág. 398),

(a) Séries de potências em geral. ao

Qualquer série de potências J'^"

de uma variável possui um raio de convergência p (que pode ser zero ou infinito); a série convergirá quando | x | < p, e efetivamente, convergirá uniforme e absolutamente em qualquer intervalo \ x\ á v, que T) < p. Quando | x | > p, a série será divergente (pág. 400).

Se o resto do teorema de Taylor tender para zero à medida que n cresce, teremos a série infinita de potências (pág. 325)

f(x + h) = f(x) + ~f'(x) + ~r(x) + .. . + ^ / « ( s ) 4- . . . .

(b) Série de Taylor, especial (páginas 316-319, 326-330, 405-109, 422-423).

4 n

sen x = x

cos x = 1

0

+ xz

X — 2" + 3

T 9 X

i i + 2!

•7i + — + 3! 0!

o - + 2! 4!

— + 3 .r 5

f? + 3! 5! x 2 , x 4

2! + 4!

para — 1 < x 1.

2 n - K

(2/i + 1)! „2n

+ X~

(2n)l

(2n)! + ...

para todos os valores

de x

T - , 1 N , 22"(22* — 1)B2„ 9 . 2 t g z = S ( — l ) - 1 — ^ - v H — ^ Para < cc <

22"#<>„ X cotg £ = 2 ( — 1)" T T T T z 2 " P a r a — ir < a: < ÍT, *=o (2v)I onde as quantidades Bt» são números de Bernouilli (pág. 423).

l i 3 1.3 a;5 1.3.5 a;7

are sen x = x 4- - —- 4- + 2 3 1 2 .4 5 1 2 .4 .6 7 1 x 3 1.3 a:5 1 .3.5 x7

A r c S h x = x ~ - ¥ + — — y +

X 3 X 5

are tg x = x — - — 4- — 1- . . .

X " X** A r c T h x = x 4 - - 4 - - 4 - . . .

para — 1 SxSl.

para | x | < 1.

Série binômia.

(1 4- a:)" a(a — 1)

= 1 + ox 4 - - - - ^ - - - x 2 4 . + a O - l ) ( a - 2 ) . . .(a-n + 1)

x" 4 . . .

para - 1 < x < 1, se a > - L para x = 1 também, se a ^ 0 para x = - 1 também;

em particular, 1

l + x

1 d + x)2

= l - x + x 2 - x 3 4 -

= 1 - 2x 4- 3 x 2 - 4x 3 +

V l 4- x = 1 — « a + 1.3 2^4

^ 2 1.3 .5 2 . 4 . 6 ; x- +

1 .3 .5

2 . 4 . 6 . 8

1 .3 .5 .7

2 . 4 . 6 . 8 x 4 — + . . . .

Integral elíptica:

J o V 1 - k2 sen2*;

-a'+G)'*-+(H)'''+(H:-D'»'+-l

D E S E N V O L V I M E N T O E M S É R I E S

2. Série de F o u r i e r .

Se a função /(a:) for secionalmente regular no intervalo - TT S x S ir, isto é, se a sua pr imeira der ivada fôr secionalmente contínua, a série de Four ier

f(x) — - a 0 + s (a„ cos i>x + b„ sen J>X),

í r+- í r+* onde a„ = - / f(t) cos vtdt, bv = - / f(l) sen vtdt

será absolutamente convergente através de todo o intervalo . Se / (x) tiver u m numero f inito de saltos de descontinuidade, ao passo q u e / ' (x) for secionalmente contínua, a série convergirá uniformemente em q u a l quer subintervalo fechado no q u a l não h a j a descontinuidades de / ( x ) . E m qualquer ponto em que /(x) fôr contínua, a série representará o valor d a função, enquanto que nos pontos de descontinuidade, e la será a média aritmética dos l imites d a d i re i ta e da esquerda de / (x) (páginas 447-450).

10. M Á X I M O S E MÍNIMOS

A s regras que seguem va lem, apenas, p a r a os máximos e mínimos no interior da região considerada.

P a r a que £ possa ser u m va lor extremo d a função y = J(x), /'(£) deve se anular. Quando t a l condição se veri f icar, haverá u m máximo ou u m mínimo, se a pr imeira der ivada que não se anula fôr de ordem par; se ela fôr ímpar, não haverá máximo nem mínimo. N o pr ime i ro caso ocorrerá máximo ou mínimo, conforme o sinal da pr ime i ra d e r i vada que não se anula fôr negativo ou posit ivo , respectivamente (páginas 158 e seg.).

11. C U R V A S

£ 6 i) ind i cam, no que segue, as coordenadas comunsi. Equação d a curva :

(a) y - f(x), (6) F(x, y) = 0, (c) x - tff), y =

Equação da tangente no ponto (x, y) (pág. 263):

(a) i ? - y = ( £ - x ) / ' ( x ) , (&) U - y ) - ^ y = 0, (c) [ í - tfQJ^CO - h - MOWiQ = 0.

Equação da normal no ponto (ar, y) (pág. 263):

(a) î - z + û - y ) / ' ( x ) = 0, (6) ( f - a O F y - f o - ^ F , = 0, (c) [ £ - # / ) ] * ' ( 0 + h - lKOWCO = 0.

C u r v a t u r a (pág. 281):

v. _ F r j F y2 - 2FXy Fx Fy + Fyy F

( a ) fe = (1 + y ' 2 ) 3 2 ' ( Ò ) k " " + F / ) 3 / " ^ <£"i>

(C) fe = ^ 2 + ^3n. R a i o de curvatura (pág. 282):

1 p = Yk]'

E v o l u t a (lugar do centro de curvatura) (págs. 283, 3 0 7 - 3 1 1 ) :

1 + y ' 2 i + y 2

(a) £ = x — y ———, v - y +

(6) £ = x + F :

*, = y + F y

y y F g

2 + F y2

F : r a : F : s2 - 2 F a 3 . F J : F y + F „ , F a :

2 '

FX" ~~{~ Fy^ FXSF2 ~2FxyFxF^F^F}1

Invo luta (pág. 309):

£ = x -f- (a - s)x, 17 = y + (a - s)y,

onde a é u m a constante arbitrária e s o comprimento do a r c o , med ido a part ir de u m ponto dado.

Ponto de inflexão (págs. 159, 266). A condição necessária p a r a a existência de u m ponto de inflexão, é:

(a) y" = 0, (6) FXXF/ - 2FxyFxFy 4- FyyFx2 - O,

(c) xy" - xy = 0.

C U R V A S 51.7

Angulo entre duas curvas (pág- 264):

Fx Gx H~ Fy Gy (b) cos co —

(c) cos co —

V F / + Fy24G2 + Gy

2'

àxi 4- yyi V i 2 + y2 ÍXÍ2 + y V

E m particular, as curvas serão ortogonais se (b) Fx Gx + FyGy = 0, (c) Ü ! + yyi = 0;

tocar-se-ão, se (ò) Fx Gy - F,. Gx = 0, (c) i j i — x i y = 0.

Duas curvas y = f(x), y — #(:c) apresentarão contato de ordem n no ponto x, se

f(x) = g(x\ f'(x) = g'(x), . . . , /<">U) = g<"J(x), fn+l(x) =|= gn+l(x)

(págs. 331-333).

12. C O M P R I M E N T O DE ARCO, ÁRE\ . V O L U M E

Comprrnenlo de arco (págs. 276-280). Seja uma curva plana dada pelas equações

(a) y = J(x), (b) F(x, y) = 0, (c) x = <*•(/), y = W)%

(d) (coordenadas polares) r = r{6).

O comprimento de arco será

(a) s = / V l + y'2 dx, (c) s = / V x 2 + y 2 rff, / o

'01

(b) s = F2-Y Fy2 dx, (d) s = -!r2 + r'2dQ. J -ro " y J e0

Área de uma superfície plana. A área l imitada pela curva

r = r(d)

e por dois raios vectores 60, 0 l s sendo r, 6 as coordenadas polares, é dada pó*

1 / * " 2 j - $ u ^ (pág. 275).


A área compreendida entre a curva

y =J(x),

as duas coordenadas x = xQ, x = x l t e o eixo dos x, é

í1' / y r f j 'pás. 80)

Volume. O volume tendo por base a região R e l imitado na part superior pela superfície

2 = / (* , y) é dado por

V = I I ^f{x, y) dx dy (pág. 487

CAPITULO I

1. Demonstrar que, se p e q forem inteiros, o desenvolvimento de p!q como fração decimal termina, ou é periódico a partir de certo ponto. Demonstrar, também, que cada fração decimal, finita ou periódica, representa um número racional.

2 . Exprimir 39 no sistema ternário (base 3) . 3. Como será escrito o número 156 (a) na escala binária (base 2), (ò) na escala

quaternária (base 4) ? 4. Escrever os seguintes números n o sistema de base 12 : (a) 1076; (6) 10 000 ;

(c) 20 736: {d) 1/6; (e) 1/64: (/) 1/5.

5. Pode-se determinar V 2 com uma casa decimal exata, fazendo I2 = 1 < 2. 2 2 = 4 > 2, portanto. 1 < V 2 < 2. em seguida 1.3* = 1,69 < 2, 1 ,4 a = 1,96 < 2, 1,5 2 = 2 ,25 > 2. logo 1,4 < V 2 < 1,5.

(a) Continuar o processo até mais uma decimal. (6) Calcular V 7 com duas casas decimais exatas, pelo mesmo método. 6. Para quais v a l o i e ; de x se verificam as seguintes desigualdades?

1 (a) x2 + 3 i + U 0 . (c) x +

X ã 6.

(6) í ! - i - h U 0 . {d) 3 x - 2 S T 3 .

a 4 - 6

7. Demonstrar que a média aritmética —-—, das duas quantidades positivas

a e b, não é menor do que a média geométrica, V ab, isto é, que ã V ab.

2 Quando se verifica o sinal de igualdade ?

8. A. quantidade £, definida por - = - (—(- -7 é denominada a média har-£ 2 V a bj

mônica das duas quantidades positivas a, b. Mostrar que a média geométrica nãn é menor do que a harmônica, isto é. que V ab 2: £.

Quando se verifica a igualdade? 9. * Mostrar que as seguintes desigualdades se verificam se a, b, c forem posi

tivos: (a) a 2 -f- b2 + c2 è ab +• bc 4- ca. (b) (a + 6) (ò + c) (c + a) è Babe. (c) a2b2 +• b2c2 + c2a2 è aòc(a + b + c).

519

550 E X E M P L O S D I V E R S O S

10. Os números xu z 2 , xs e a& (í , k = 1, 2, 3) são todos pos i t ivos . Além disso, a i k ^ M e + x , 2 + a^ 2 á 1. P r o v a r que

a n i t 2 - f 2 a 1 2 x 1 z 2 + . . . + a 3 3 r 32 ^ 3 A / .

11. * P r o v a r que se os números au a 2 , . . . , au e 6 1 ( f>2 satisf izerem as desigualdades a , è a 2 è • • • è a „ Z>i à í>2 è • • • = ba, verificar-se-á:

niaibi^ Çia^ ^ 2 ^ f ^ .

12. D e m o n s t r a r as seguintes propr iedades dos coeficientes binômios:

( H i ) + 2 0 + 3 0 + - - - + ^ 0 = n 2 n " 1 -

(c) 1.2 Q + 2 . 3 Q + . . . + (n - l ) n Q = n(n - l ^ n -i -2

1 1 / n \ 1 /n\ 2" + J - 1

l á ! 1 + : ( i ) + i ü + - + ^ ( J - ^ r

«o*+©•+•••+o1-o 13. D e m o n s t r a r que, somando-se

v{y + 1) (v + 2) . . . (» -r k + 1) - (K - 1)I»ÍP + r, . . . (v + k)

ile v — 1 a v = n , virá: " , n{n 4- 1) . . . [n 4- Ar 4- 1) 23 + D (» + 2) . . . (* 4- k) = .

14. C a l c u l a r I a + 2 3 + . . . + n3, empregando a relação

v3 = v(v + 1) (v 4- 2) - 3 ^ 0 T - 1 ) + ».

15. C a l c u l a r 1 1 1

(a) + - • • + . 1 . 2 .3 2 . 3 . 4 n(n + 1) (n + 2)

„v 1 1 1 1 (6) + + + . . . +

1.3 2 .4 3 . 5 n (n + 2)

1 1 1 ( c ) + + . . . +

1 . 2 . 4 2 . 3 . 5 n(n + 1) (n + 3)

16. Estabelecer u m a fórmula p a r a o termo de o r d e m n das seguintes progressões aritméticas:

(a) 1, 2, 4, 7, 11, 16, . . . . (6) - 7 , - 1 0 , - 9 , 1, 25, 68, . . . .


17. * M o s t r a r que a soma dos n pr imeiros termos de u m a progressão aritmética de ordem k é

aSí 4- 65 i :_i + . . . - + • pSy + qn,

onde S„ representa a soma das n pr imeiras potências de ordem v, e a, b, . .., p, q são independentes de n. Ca l cu lar as somas das progressões aritméticas do ex. 16.

18. * D e m o n s t r a r o teorema do binômio

(a -f- &)• = aa + a»- '6 + Q a a ~ 2 ò 2 + . . . + 6 o

por indução matemática. (Ver, também, o C a p . I I I , pág. 201.)

19. C a l c u l a r / - l i 1 \

(a) l i m ( h h • • • H • ) -V . 1 . 2 2.3 ra(n +• 1 ) 7

(6) l i m f — (- — 1 1- . . . H Y „ - , « \ 1 . 2 . 3 2 . 3 . 4 n(n + 1) (n + 2 ) 7

/ - I I 1 \ (c) h m ( i r h i ' - — v + . . . 4- *—- ) .

k k 20. Se 2 ai = 0, demonstrar que l i m 2 ax V n 4- t =• O.

í = 0 n—* oo i=» 0

" 5

21. D e m o n s t r a r que l im — = 0. n - * 2" (n 4- l ) s

22. P r o v a r que l im = 0. « - « , 2 J

23. D e m o n s t r a r que lim a 2 =» 0. r i — o?

m n—•

24. P r o v a r que l im V n 2 + n = 0.

2"). E m p r e g a n d o o critério de convergência de C a u c h y , mostrar que as seqüências abaixo convergem:

1 (a) aa =

(b) n -h 1

(b)

(cr a D = 1 + 1

i l 1

+ - + . . . +

a 0 = 1 — 1

i l 1 1

H h . 2 ! 3!

1

26.* M o s t r a r que os l imites das seqüências (c), (d) do exemplo anter ior são recíprocos (assim como o l imi te d a seqüência {d) é l /e!).

27.* D e m o n s t r a r q u e o l i m i t e d a seqüência

V 2, V 2 + V 2 , V 2 + V 2 + V Í . . »

(a) ex i s te ; (6) é i g u a l a 2.

28*. P r o v a r q u e o l i m i t e d a seqüência

1 1 1 n n 4- 1 2n

existe. M o s t r a r que t a l l i m i t e é menor do que 1, mas não do que V2.

29. P r o v a r que o l i m i t e d a seqüência

1 1 a a = h . . . H

n + 1 2n existe, é i g u a l ao do exemplo anter ior , ma io r do que mas não excede 1.

30 . Estabe lecer os seguintes valores extremos do l imite L dos dois exemplos 37 57

anter iores : — < L < —. 60 60

31 . * S e j a m ait blt dois números posit ivos quaisquer , sendo a{ < bv S e j a , a iuda ,

20,6] a3 = ——, b2 = Va,6,,

ai 4- o, e em gera l

' - "•a-l u o - l , 1 :

oa = —( 6. = \ a3_, 6 a _ ( . Oa-l + Oa-1 P r o v a r q u e as seqüências au a 2 , . . . e è t , 6 2 , . . . convergem e tt.n o mesmo l i m i t e .

32. * S e a Q > 0 e Hm = L, teremos l i m ^ aa = L.

33. E m p r e g a r a fórmula do exemplo anter ior (n.° 32) para ca l cu lar os l imites das seguintes seqüências:

(a) ^n; (6) ^ n « + n«; (c) j / ^ 34. Cons iderando o exemplo 33(c), m o s t r a r que

n ! = n n e " " a n J

onde a n é u m número c u j a r a i z n tende p a r a 1. (Ver cap. V I I , apêndice, pág. 363. ) a :4 -2

35 . P r o v a r que l i m - - = 2. D e t e r m i n a r u m 6 t a l , que para | x | < 5 a

... x + 2 1 diferença entre 2 e — — se ja , e m valor abso luto , (a) menor do que — : (6) menor

x + 1 10

1 do que ^ —; (c) menor do que e, e > 0.

E X E M P L O S D I V E R S O S 553

x + 2 3 36. (a) Provar que lini = - , Determinar um 5 tal, que para 11 - x | < í f

x—l x + 1 2 3 x + - 2

a diferença entre - e seja menor do que « (€ > 0), em valor absoluto, 2 x + 1

Fazer o mesmo (ò) para lim V 1 -h r 3 ; (c) para lim sen x

37. Demonstrar que (a) lim 1_£ 1 = 1 2->o x 2

(6) lim V x - f y2 ( V x + 1 - V x ) =

38. Provar que lim (cos irx)2m existe para cada valor de ar, sendo igual a 1

ou a 0. conforme x seja inteiro ou não. 39. * Demonstrar que lim [lim (cos irn!x) 2 m| existe para todos os valores de x,

Tl—' to m—* oo

sendo igual a 1 ou a 0, conforme x (ôr raciona! ou irracional. 40. Determinar quais das funçÕOá seguintes suo contüiuas. Estabelecer os

pontos de descontinuidade para as descontínuas

xb -t- 5x3 + 3x a

(a) j(x) = , J(0) - 0. sen x

X a + * 5r 3 4- 3x (6) i(js) = , J(O) - O.

s e n z

(c) j(x) = lim (cos n ) , B .

(d) J(x) = lim [lira (cos n—» o? ao

41. Seja j(x) u n i a função contínua para 0 | i á 1, Suponhamos, além disso, que j(x) admita somente valores racionais, e que fiz) = J£ quando i = Provar, então, que j{x) = Yi em todo o intervalo.

42. A função J(x) - 2 sen 3a + 10 cos 5z

possui algum zero real ? * 43*. Se / (x) satisfizer a equação funcional

/ ( 2 + y ) - / ( x ) + /<y) para todos os valores de x e de y, determinar os valores de j{x) nos pontos racionais, e provar que se j(x) for contínua, /(x) = cx, onde c é uma constante.

44.* Demonstrar a recíproca do teorema da continuidade uniforme, a saber: se /(x) for uniformemente contínua no intervalo semi-aberto a < x S 6, tenderá para um limite único, à medida que x -»a (que pode ser adotado como o valor de Ha)).


45. Desenhar os gráficos seguintes, escrevendo, também, as equações c m coordenadas cartesianas:

(a) r — a 4- b cos 6 (Caracol de Pasca l ) . o

(6) r , Z (El ipse) . 2 - cos d

2a s e n 2 6 (c) p (Cissoide).

cos d 3a sen d cos 6

(d) r = ( r oho de Descartes ) . sen 3 d 4 cos 3 B

46. * M o s t r a r que a equação da elipse com u m dos focos na or igem é

k r =

1 - e cosi d - en) 47. Se ja c o número complexo x 4- zy, representado por ura ponto n o s i s t e m a

de coordenadas cartesianas. Desenhar as curvas

i c - z I (a) i — . = 2 .

! c 4- i c - a

(b)* ! — -i c - £

= £, a, £ constantes complexas.

(c) í c 2 - 1 I = /z.

48. S e j a m c l 5 c 2 dois números complexos. P r o v a r que (a) ! e, * c, I g I c, 14- I c a |. (i) I c, * c 2 1 â I c, I - ! c21.

49. Demonstrar a igualdade

| c 1 4 e 2 j = 4 | c I - c 2 | 2 = 2 | C l j 2 4 - 2 | C 2 | »

dando a sua interpretação geométrica.

50. P r o v a r que (cos 6 4 z sen 0) n = cos n6 + isca. n9, por indução m a t e m á t ica .

C A P Í T U L O I I

51.* P r o v a r , d iretamente, que a der ivada da função

j(z) = x 2 s e n - , x + 0; /(O) = 0 x

existe em todos os pontos, sendo igual a

1 1 - cos - + 2x sen - , x ={= 0; 0 em x = 0.

X X

M o s t r a r que, e m b o r a / ' ( x ) não seja contínua em x = 0, o t eorema do v a l o r m é d i o a inda é aplicável, e a propriedade exposta no exemplo n.° 57, que segue, é v e r d a deira (ver as págs. 199, 200 do texto).

E X E M P L O S D I V E R S O S 5 3 3

52. D e s e n h a r o gráfico d a função

1 / ( r ) = i s e n - , 2 ^ 0; J(O) = 0

x

determinando s u a d e r i v a d a p a r a 2 4= 0. M o s t r a r que t a l d e r i v a d a não existe era / ( * ) - / ( 0 )

x = 0, m a s que o quociente das diferenças assume os valores extremos x

superior e in fer ior , 1 e — 1, r espec t ivamente , quando x - » 0 (pág. 199).

53. E s t u d a r o compor tamento d a função

1 1 j(x) = x sen - + x 2 sen - , x =j= 0; /(O) = 0

x x

r e l a t i v a m e n t e à sua der ivab i l idade .

54. P r o v a r que a d e r i v a d a d a função

1 j{x) = - sen x, xdfz 0; j(Q) - 1

x

existe em qua lquer ponto , sendo i g u a l a

1 1 j'(x) = sen x 4- - cos ar, x d£ 0; / ' ( 0 ) = 0.

x- x

M o s t r a r q u e / ' ( x ) é contínua, e d e d u z i r j"{x).

55. S e / ( x ) fôr contínua e derivável p a r a a ^ x ^ b, m o s t r a r que, se j'(x) íá 0 para a ^ x < £ e J ' (x ) ^ 0 p a r a K Í = ^ a função n u n c a será menor do que / ( $ ) .

56. * Se a função cont ínua / (x ) t i ve r a d e r i v a d a / ' ( x ) em cada p o n t o x n a v i z i nhança de x = e s e / ' ( x ) se a p r o x i m a r do l i m i t e L à m e d i d a que x - » £ , / ' ( £ ) exis tirá, sendo i g u a l a L.

57. * Se / ( x ) t i v e r a d e r i v a d a j'(x) (não necessar iamente contínua) e m c a d a ponto x de a â £ 6. e se / ' ( x ) a d m i t i r os valores m e M, admitirá, i g u a l m e n t e , qua lquer v a l o r n, s i tuado entre m e M.

58. S e / " ( x ) ^ 0 p a r a todos os valores de x e m a g x á b, o gráfico de y = / ( x ) ficará s i tuado a c i m a d a tangente e m q u a l q u e r p o n t o x — £, y = / ( £ ) d a c u r v a . ( A c u r v a , neste caso, t e m a convexidade v o l t a d a p a r a c ima. )

59. S e / " ( x ) è 0 p a r a todos os valores de x e m a ^ x ^ b, o gráfico de y = j{x), no in te rva l o i i l i g x 2 , está loca l i zado aba ixo do segmento l inear que une os pontos d a c u r v a para os quais x = xlt x — x2.

J(xô + J(x2) 60. S e / " ( x ) ^ 0, virá /

61. S e / ( x ) = 1f3x3 — x2 4 - 1 , d e t e r m i n a r u m a q u a n t i d a d e 5 t a l que, p a r a q u a l quer v a l o r de h menor do que 5, e m v a l o r abso luto , e p a r a qua lquer x do i n t e r v a l o - lÁ = x S Mi s e ver i f ique a des igualdade :

/ ( x 4- h) -j{x) 1 J ' h 100

62. D e r i v a r d iretamente , escrevendo as fórmulas de integração correspondentes: (a) x112; (b)tgx.

63. C a l c u l a r :

1 / 1 1 \ (a) U m — ( 1 + + • • • + " p 1 •

1 í T 2TT nir\ l i m - 1 1 4 - sec 2 —• 4- s e c 2 |- . . . 4- s e c 2 — ) .

n~*az n V 4n 4n <tns (6)

64. D e m o n s t r a r que

0 r l 16 r i 2 a '

a) / (a:2 - 1)* dx = - - ; (6) ( - 1)" / (x2 - 1)° dx = -/ - i l o •/ -1 (2n

2 a + l ( n ! ) 2

(2n 4- D !

65. M o s t r a r que

1 r"+ldx v

v 4- 1 J , x < 1

1 1 l rn dx 1 1 ' 4- . . . 4- - < / — < 1 + - + . . . +

2 3 n J i x 2 n-1

1 1 r» dx Provar que a seqüência 1 4 [ - . . . 4 / — , ? = 1, 2, . . . , é decrescente,

2 v J í x possuindo va lor extremo inferior.

66.* S e j a / O ) u m a função ta l que j"{x) è 0 para todos os valores de x, e seja, a inda , u = u(l) u m a função contínua, arbitrária. T e r e m o s :

- jaj[u(l)] dl^jí- r B u(0d /\ aJo V a . / o y

67. * Se u m a partícula percorre a d i s tanc ia 1 no tempo 1, p a r t i n d o e f i n a l i zando em repouso, e m a lguma parte do intervalo e la esteve su je i ta a u m a aceleração 2: 4.

C A P Í T U L O III

68. D e r i v a r as funç5es seguintes:

(a) etg=j:+logsenac,

(6) (x 4- 2) 4 (1 - x2)ll3(x2 4- l ) 5 " . xs sen x — x5 cos x

(c) . x- t g a:

69. Qua is as condições que os coeficientes a , /3, a , b, c devem satisfazer para que

txx 4- £

V cu: 2 4- 2Ò2 4- c

a d m i t a der ivada f i n i t a e m toda a p a r t e , sempre diferente de zero ?

70. D e s e n h a r o gráfico d a função

y = (* 2 ) x , y(0) = i .

M o s t r a r que esta função ê contínua e m x — 0. A função t e m máximo, mínimo ou pontos de inflexão ?

71 . E m todos os triângulos de m e s m a base e perímetro, o isósceles é o que possui a m a i o r área.

72. E n t r e todos os triângulos de m e s m a base e ângulo v e r t i c a l , o isósceles é o que possui a m a i o r área.

73. E n t r e todos os triângulos de m e s m a base e de área i g u a l , o isósceles é o que possui o ângulo v e r t i c a l máximo.

74. * E n t r e todos os triângulos de m e s m a área, o eaüilátero é o que possui o menor perímetro.

75. * E n t r e todos os triângulos de i g u a l perímetro, o equilátero é o que possui a maior área.

76. * E n t r e todos os triângulos inscr i tos n u m círculo, o equilátero é o que t e m a maior área.

77. D e m o n s t r a r as desigualdades seguintes:

1 (a) e x > , x > 0.

1 + x (b) e* > 1 4- logCl 4 - 2 : ) , x > 0.

(c) ex > 1 4- d 4- x) l o g ( l 4- x), x> 0. 78. * S e j a m a, 6 dois números pos i t ivos , p e q dois números diferentes de zero,

p < q. P r o v a r que

\6a? + (1 - 0)6"]1'o

[fia* 4- (1 - ò a j , , °

para qualquer v a l o r de 0 no in terva lo 0 < 8 < 1. ( E s t a é a desigualdade de Jensen , que estabelece que a potência média p,

[6a" + (1 - 0 ) ò p ] " p de duas quant idades pos i t ivas a. 6, é u m a função crescente de p.)

79. M o s t r a r que o s ina l i g u a l t em lugar na desigualdade a c i m a se, e somente se a — b.

80. P r o v a r que l i m [0a p 4- (1 - 0 )ò n J 1 , p = a*&i-«. p - 0

81. D e f i n i n d o a potência média de ordem zero de a, b, como a f i 6 1 _ e , m o s t r a r que a desigualdade de Jensen se a p l i c a a este caso, v i n d o (a =fc b)

^ [da* 4- (1 - 0)0"»]l/<», conforme seja q > 0.

P a r a q = 1, o«6i -« £6a + Q.-6)b.

82. P r o v a r a desigualdade

a, b > 0, 0 < (9 < 1, sem referência à des igualdade de Jensen , m o s t r a n d o que a

5Ú8 E X E M P L O S D I V E R S O S

igualdade existirá somente se a = 6. ( E s t a des igualdade estabelece que a média geométrica 6, i — 6 é menor do que a média aritmética correspondente . )

83. Se <Mar) — » q u a n d o i - = , mostrar que log <c{x) é de o r d e m de grandeza in fer ior a <P(X), ao passo que e°'~' é de ordem super ior .

84. Se a o r d e m de grandeza da função pos i t i va j{x) for super i o r , i gua l ou

infer ior à de i m q u a n d o x ~ = . p r o v a r que f / (£) d£ t e m o r d e m de g r a n d e z a cor-

respondente a o r d e m de graudeza de z m + l .

35. C o m p a r a r a ordem de grandeza de \ _/(£)e?$ em relação a J{x) quando J a

x—f, para as seguintes funções j(x):

V x 'ai -.. lc) xexi.

\b) c*. (d) l o g z .

86. P r o v a r q u e se j'(x) fôr contínua, e se

/(x) = fXJ(t) di, J o

j(x) será i d e n t i c a m e n t e n u l a .

(n - l)x" ~ nx"'' + 1 87. P r o v a r q u e Z i x 1 " 1 = • .

. = ) (x-iy-

83. M o s t r a r q u e = u.n{x)ex-'2, dxn

onde u,(x) representa u m polinómio de g r a u n. Es tabe lecer a relação de recorrência.

= xua + aa'.

8 9 * A p l i c a n d o a regra de L e i b n i t z a

d - (Éx='2) = xex^2i

dx

deduz ir a relação de recorrência

«a*i - xun + n u a . , .

90.* C o m b i n a n d o as relações de recorrência dos exemplos ns. 88 e 89, estabelecer a equação d i f e renc ia l

a . " + x u , ' - n u 0 = 0

sat is fe i ta por an(x).

9 L A c h a r o po l inómio

tzB(x) = x* + OiX""' 4- . . . 4- a ,

solução da equação d i ferenc ia l u , " 4- x u , ' - nti„ = 0.

EXEMPLOS DIVERSOS 559

1 da

92. * Se PJ,x) = (x2 - l ) n , provar as relações 2anl dxn

(a) P o t l ' - — — P 0 " + ^ — - L pj + _ r _ P . . 2(n + 1) x + 1 2

(6) P B + 1 ' = xP„' + (n + l)Pa.

(c) [(z3 - l )P a ' ] - n(n 4- 1)P. = 0. ax

93. Achar o polinómio (2n)I

2n(n!)2

solução da equação diferencial

~ [(x2 - 1)P„'] - n(n + 1 )P .= 0. ax

1 <í0

94. Determinar o polinómio PD(z) = — (x2 - empregando o teorema 2"n! dx"

do binômio.

95. * Seja X„,p(x) = (j^J x°(l -x)p~", n — 0, 1, 2 p. Mostrar que

1 - S KM. (") 2 k = 2 X„,0(x).

P N n = kfp

x = 2 - X n l p(x). n = i p

• • * •

• • » * • • •

st* = X p . p U ) .

CAPÍTULO IV

Efetuar a integração dos exemplos ns. 96-101.

T l + ^ x f x 2 - l 96. / -dx. 99. / dx.

J 1 + <1 x J x* + x> + 1

97. / -dx. 100. / . - .

98. /

x dx 1 3 / • 101. /

dx

x(x + 1) . . . (ar + n)

Calcular as integrais, dos exemplos ns. 102-107.

102. fV/2cosnxdx. 103. f 'cos7 30 sen* 60 cta. J o J o

560 EXEMPLOS DIVERSOS

f i x2adx r1 •r2"*1 dx 104. / . 105. / , ••, i o M - Ï ! J o -Jl-x)

ri . r i 106. f1 W 1 - z 2 dx. 107. í 1 i 2 ( l - i 2 ) 3 ' 2 dx.

J o J o Estabelecer as fórmulas de recorrência para as integrais dos exemplos ns.

108-112.

103. Jx"(log x)m dx. 111. fe" Sh bx dx.

109. y"a:De" sen bx dx. 112. Ch bx dx.

110. I x"e" cos bx dx.

f dx 113. Integrar / , de três maneiras diferentes, comparando os resul-./ "v a2 - x2

ta dos. 1 </•

114.* Seja Pa(x) = U* - ! ) » . Mostrar que 2°ni dx"

(x)Pa{x) dx = 0, se m 4= n.

115. Provar que J Pm5(x) dx =

n + 1

116. Provai que f 2 f f lP,(x) dx = 0, se m < n.

117. Calcular f* x*PD(x) dx. J -1

Verificar se as integrais impróprias dos exemplos ns. 118-131 são convergentes ou divergentes.

dx 118. / , 125. x logsenxdx.

f* dx

J o "V ÛX — x- J o dx r œ

/ 126. / <r*2dx. 1 x V r 2 - 1 J _«

120. j ^ l o g ^ c f c . 127. f~ xSn- ie^dx, o 121. / x m ( log - ) dx, 128. /

^ o \ x y J o sen* e~xxm(\og xY dx. 1 2 9 . / -

o i o l + i * 123. f log sen x dx. 130, / —

^ o J o 1

x dx

sen3 x xdx

124 + x 2 sen* x

/* 1 r m xa dx

- log sen x dx. 131.* / o x J o 1

4~ x^ sen2 x

— dx convergir p a r a q u a l q u e r v a l o r pos i t i vo de a , e se /(x) a x

. A r •» r ' A n • j{*x)-j(fix) , tender p a r a u m l i m i t e L quando x-*0, m o s t r a r que / dx e c o n v e r -

J 0 x /3

gente, tendo o v a l o r L l og - . a

133. C o m referência ao exemplo anter ior , mostrar que

dx — log -.' o x a

f m cos ax - cos |8x 0 (o) / dx = l o g - .

0 2 a

f b /(£) 131.* Se / dx convergir p a r a qua isquer valores pos i t ivos de a e de b,

J a x

e se j{x) tender para os l imi tes M, quando x - ^ m , e L q u a n d o x -*0 , m o s t r a r que

f ' * - ( £ - « ) to, g. J 0 X a

135. D e d u z i r as seguintes expressões p a r a a função g a m a : T(n) - 2 f x2n-ie - S 2 ^

J o

r ( n ) = J1 ( l Q g ^ ) n d*-

C A P Í T U L O V

136. D e s e n h a r as seguintes c u r v a s , estabeleceudo as suas equaçSes não para métricas:

5 a / 2 5aí 3

(a) x = — - — y = 1 + í 5 1 + tò

(6) x = aí 4- b sen í, y = a — 6 cos í.

137.* M o s t r a r que as duas famílias de elipses e de hipérboles

x2 y 2

4- = 1, p a r a X < b, a 2 - X ò 2 - \ ,

X 2 y 3

_^ 1_ a , i j p a r a <z < r < 6,

a 3 - r 0- - r

têm focos c o m u n s e se i n t e r c e p t a m segundo ângulos retos.

138. A c h a r as c u r v a ; pedais (pág. 267, cx . 11): (a) d a elipse x = a cos 6, y = b sen 3, e m relação à o r i g e m ; (b) d a hipérbole x = C h 6, y — b S h [5, e m relação à o r i g e m ; (c) d a parábola y 2 = 4px , e m relação à o r i gem; (d) d a parábola y 2 = 4px, e m relação ao foco.

139. M o s t r a r que a tangente à elipse t e m a m e s m a inclinação sobre os raios focais t i rados pe lo ponto de contacto.

140. M o s t r a r que a tangente à hipérbole t e m a m e s m a inclinação sobre os raios focais t i r a d o s pelo ponto de contacto .

141. D e t e r m i n a r a c u r v a descrita p e l a extremidade de u m segmento de comprimento constante l, medido ao logo d a n o r m a l à parábola.

142. A c h a r a área l i m i t a d a pelo laço d a c u r v a

xs + ys - 5az-y2 = 0.

143. C a l c u l a r a área l i m i t a d a pela c u r v a

a 2 ( x 2 + y2)Wx* + a2y2) = (a2 - ò 2 ) 2 ò 2 x* .

144. C a l c u l a r o comprimento do arco d a epíciclóide

a + b x = {a + o) cos t - b cos 1

b a + b

y = (a + b) sen t - b sen • t b

a par t i r do ponto i n i c i a l t = 0.

145. P r o v a r q u e o raio de c u r v a t u r a e m u m ponto d a c u r v a po lar r = j(8) é:

d2r Sdr\* r*-r — - f 2 ( — )

de2 \dej

146. * D e m o n s t r a r que, se a c u r v a t u r a de u m a c u r v a no p lano xy fôr uma f itição monótona d o comprimento do arco , a c u r v a não será fechada, nem terá ;><mtos duplos .

147. C a l c u l a r o momento de inércia de u m a b a r r a de c o m p r i m e n t o L , (a) e m relação ao seu centro; (b) em relação a u m dos extremos; (c) e m relação a u m ponto sobre a K n h a d a b a r r a , a u m a distância d do centro; (d) em relação a qualquer ponto s i tuado a u m a distância d do centro .

148. Estabe lecer a equação das curvas que i n t e r c e p t a m as retas t i radas pela origem sob o mesmo ângulo a, em qua lquer posição.

149. D e t e r m i n a r a equação das curvas cujas normais têm u m compr imento constante k. (O " c o m p r i m e n t o " da normal é a extensão do segmento compreendido entre a c u r v a c o e ixo dos x.)

150. M o s t r a r q u e as únicas curvas c u j a c u r v a t u r a é u m a constante f i xa k são os círculos de raio 1/fe.

151. D e t e r m i n a r as equações das curvas cujos centros de c u r v a t u r a se acham no eixo dos x, e cujos raios de c u r v a t u r a têm o compr imento i g u a l à n o r m a l .

152. E s t a b e l e c e r a equação das c u r v a s cujo ra i o de c u r v a t u r a ê i g u a l ao c o m pr imento d a n o r m a l , porém cujo centro de c u r v a t u r a não se a c h a sobre o eixo dos x.

153. * D e d u z i r a fórmula do c o m p r i m e n t o de u m a c u r v a , e m coordenadas polares.


154. D e d u z i r a fórmula d a i n t e g r a l p a r a o resto Rn, ap l i cando a integração por partes a

j(x + h)-J(x) = f J'(x + r)dr.

155. I n t e g r a r a fórmula

Ra = - . fk (A " T ) " / ( n + 1 , ( z + T) dr, n\J o

para obter

Ra = j(x + h) -í(x) - hf'(x) - . . . - h-V«\x). n l

156. * S u p o n h a m o s que se obteve o seguinte d e s e n v o l v i m e n t o e m série da função j(x)

j(x) = a u + ajx + a2x2 - j - . . . 4- aax" 4- RJx),

onde a0, au aa são constantes, J? u (x) é derivável c o n t i n u a m e n t e n vezes, e /*„(*) / k ( 0 ) — — -»0 q u a n d o x-*Q. M o s t r a r que <2k = , (fe = 0, . . . , n) , is to é, que o de-

xa fe! senvo lv imento o b t i d o é u m a série de T a y l o r .

157. * A c h a r os três pr imeiros t ermos que não se a n u l a m d a série de T a y l o r para s e n 2 x , na vizinhança de x = 0, m u l t i p l i c a n d o o desenvo lv imento e m série de T a y l o r de sen x por si mesmo. J u s t i f i c a r o proced imento .

158. D e t e r m i n a r os três pr imeiros t e r m o s que não se a n u l a m d a série de T a y l o r sen x

de tg x n a vizinhança de x — 0, empregando a relação tgx = , e j u s t i f i c a r o cos x

procedimento. 159. * Estabe lecer os três pr ime i ros termos eme não se a n u l a m d a série de T a y

lor de Vcos x n a vizinhança de x = 0, ap l i cando o t eorema do binômio à série de T a y l o r de cos x, e jus t i f i ca r o proced imento .

160. D e t e r m i n a r os quatro pr ime i ros termos que não se a n u l a m das séries de T a y l o r das seguintes funções, n a vizinhança de x = 0:

(a) x cotg x. (c) sec x. (e) e e I .

(6) ^ s e n z ^ W ) . e " » \ (/) log sen x - Iog x. Vr


161. Achar a série de T a y l o r de are sen x n a vizinhança de x — 0, aplicando

rx di are sen x — I ,- .

(Pág. 203, ex. 5.) 162* Estabelecer a série de T a y l o r de (aresen x)3. (Pág. 203, ex. 5.) 163. Deduz i r as séries de T a y l o r das seguintes funções, n a vizinhança de x = Q:

x rxsent dt. (o) S h " 1 ! . (b) fXe-Pdl. (c) f*

J o J o t

164* A v a l i a r o erro cometido empregando-se os n pr imeiros termos das séries do exemplo 163.

165. * Duas partículas com cargas opostas, +e, — e, separadas por pequena distância d, f o rmam u m dipolo c o m o momento M = ed. M o s t r a r que a energia

M d2

potencial é igual a — (1 + e), onde e é aproximadamente igual a — , n u m ponto r2 4 r 2

situado no eixo do dipolo à distância r do seu centro; (ò) é igual a 0 n u m ponto s ituado sobre o bissetor perpendicular ao dipolo;

Aícosfl d2

(c) é igual a (1 + e), em que e é aproximadamente igual a — (5 cos 2 6 - 3), r2 8 r 2

n u m ponto de coordenadas r , 6, re lat ivas ao centro e ao eixo do dipolo. (A energia potencial da carga única q n u m ponto s ituado à distância r da carga

é q/r; a energia potencial de diversas cargas é igual à soma da energia potencial das cargas isoladas.)

166. * Determinar os três primeiros termos da série de T a y l o r de ( \ - \ — ^

em potências de - . x

167. Calcular os seguintes l imites :

(a) l i m x[Çl + - e j .

iby ^Ax+*í(l+ly-e]• (cT l i m x \(l + -Y - e log ( 1 +

1Y1. X - Í C O L V , xs V xj J

f n /"sen x\l/x2 / s e n x \ i / x S

(d) l i m ( ) . (c) H m ( • ) . K-+O \ x y x - *co v x y

168. * Demonstrar que o círculo osculador não corta a c u r v a nos pontos em que o raio de curvatura ê máximo o u mínimo.

169. Determinar o máximo e o mínimo das seguintes funções : (a) J x j , (6) x sen ( l /x) .


C A P I T U L O V I I

170. M o s t r a r que o comprimento da elipse x = a c o s i , y — b sen t, é:

cr -b2

4a I V I - e1 cos 2 í dl, onde e 2 = a -

Calcu lar o compr imento d a elipse para a qual t — Y>, c o m quatro decimais exatas, empregando a regra de S impson com seis divisões.

171. Desenvo lver em série a integral do exemplo anterior (n.° 170), d e t e r m i nando o número de termos necessários para que o resultado seja exato até à q u a r t a casa dec imal .

/

l log ( i x ) dx empregando a regra de S i m p s o n cora h = 0,1.

0 x 173. M e d i u - s e a hipotenusa de ura triângulo retângulo, com precisão, a c h a n -

do-se 40, ao passo que o ângulo l ido de 30° t e m u m erro possível de H°- Pede-se o erro provável cometido no cálculo dos outros lados e n a área do triângulo.

174. * P a r t i n d o de / log(a + a:) dx (a > 0), mostrar que J H

a(pt + 1) . . . (a -f* n) = a„n! na,

í'm que a„ t e m p a r a l imi te inferior u m número posit ivo . M o s t r a r que a„ é m o n o tonamente decrescente, para valores suficientemente grandes de n. (O l i m i t e de aM

à medida que n-^^, é l / r (a ) . ) nj! rio! . .. nil

175. D e t e r m i n a r u m a expressão aprox imada p a r a log , onde n!

/ i , + ri, + . . . + ri; = n. í

176. M o s t r a r que o coeficiente de xa no desenvolvimento b i n o m i a l de 1

é dado assintòticamente por

C A P I T U L O V I I I

177. P r o v a r que se 2 av2 convergir, o mesmo acontecera p a r a S — .

178. S c an fôr u m a seqüência monótona crescente, com termos pos i t ivos , a 1 1 1

série — -| 1 h . . . sera convergente ? CO

179. * Se a série S a„ com termos posit ivos decrescentes convergir, teremos

l im naa = 0. n -»co

co T , 180. M o s t r a r que a série 2 sen - e divergente.

V I

181 . * D e m o n s t r a r q u e , se 2 a „ c o n v e r g i r , e se è „ b3, b3, . . . fôr u m a seqüência l i m i t a d a e m o n ó t o n a de números , 2a„6„ convergirá.

182. * P r o v a r q u e , se 2a„ os c i la r e n t r e l i m i t e s f i n i t o s , e se ò , fôr u m a seqüência m o n ó t o n a q u e tende p a r a zero , 2<zy6 l, será c onvergente .

183. D i s c u t i r a convergênc ia o u divergência das segu intes séries:

( - 1 ) » ( - 1 ) ' C O S Í ^ M cos v8

(a) ->). L. (b) 2 - . (c) 2 . v v v

sen vfi ( - l ) » c o s v 0 ( - 1)» sen »0 (d) 2 . (e) S . (j) 2 .

v s> r

184. D e t e r m i n a r a s o m a das seguintes disposições d a série

1 - 7» + % - V< 4- V , - llt+ . . . do l o g 2:

(O) 1 - V . " V« + Va - V . - V s - r l / 5 - V 1 0 ~ V i ,

(6) 1 + V , + Va - V , - V 4 - V« + + + • • • •

185. P a r a q u a i s va lores de <x as séries aba ixo c o n v e r g e m ?

I 1 1 1 1 (a) l - - - f 4- V- . . . .

2 a 3 4 a 5 6 a

I I 1 1 1 (b) 1 4 4 - - H 4 - 4 - - . . . .

3 a 2 a 5 a 7 a 4 a

186. D e t e r m i n a r se as séries seguintes são c onvergentes o u d i v e r g e n t e s :

(a) 1 4 - 7 = - Vs + lU + 7« - V . 4- VT + 7S - V . + + - • • • •

(6) 1 4- V» - 2h + lU + 7» - Va + VT + V . -V, + + - . . . .

187. M o s t r a r que

(a) 2 c o n v e r g e . *=1 (2v)\

» log(» 4- 1) - l og P (6) 2 converge .

» = 2 ( l og vY-

1 . 2 . 3 . . . v (c) 2 — converge se a. > 1 e d i v e r g e se a ^ 1.

» = 1 (a 4- 1) (a 4 - 2) . . . . (a 4- W » 1

1 8 8 * P o r c o m p a r a ç ã o c o m a série 2 —, d e m o n s t r a r o s egu in te critério ; > = i va

„ l o g ( l / | a n I) a e — > 1 + e p a r a q u a l q u e r va l o r s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e de n , a

l og n série S a * possuirá convergência a b s o l u t a ; se — — — < 1 - e p a r a q u a l q u e r va lor

log n s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e de n, a série 2a„ não terá convergênc ia a b s o l u t a .

1 \ » co / 1 \ » 189. D e m o n s t r a r a convergência d a série 2 ( 1 - ~ j

v = i V V J » /

E X E M P L O S D I V E R S O S 56?

190. D e m o n s t r a r o seguinte critério, por comparação com a série 2

-20

f (log v)°-A série 2 | a» | convergirá ou divergirá, conforme

i o g ( l / n I a 0 1)

!og log n fôr ma io r do que 1 + « o u menor do que 1 - í p a r a q u a l q u e r v a l o r suf ic ienterhente grande de n.

191. D e d u z i r o critério da raiz de o r d e m nt do critério do exemplo 188. 1 9 2 * D e m o n s t r a r o seguinte critério de comparação: se a série 2ó„ de termos

posit ivos fôr convergente, e 'se

a, b,

a par t i r de certo termo em d iante , a série 2a„ será abso lutamente convergente ; se 26» d i v e r g i r , e se

OjQ+i bn+i

a , b, de certo t e r m o em d iante , a série 2ot„ não será abso lutamente convergente.

193. D e d u z i r o critério da razão, pela comparação com a série geométr ica . c° 1

194. * D e m o n s t r a r o critério de R a a b e pe la comparação c o m 2 — :

A série 2 I a , I será convergente ou divergente , conforme

V | a n + 1 | J fôr ma io r do que 1 4- e ou menor do que 1 - e p a r a qua lquer va l o r suf ic ientemente, grande de n.

195. D e m o n s t r a r , por comparação com 2 , o seguinte Critério'. j>(log v)a

A série 2 j av | convergirá ou divergirá, conforme

n log n [ 1 - - )

fôr ma io r do que 1 4- t ou menor do que 1— « para qua lquer va l o r su f i c i entemente grande de n.

196. D e m o n s t r a r o critério de G a u s s :

l a j M ií„ I H h

em que | i ? 0 1 é l i m i t a d o , 2 ] a„ | convergirá, se ju > 1, e divergirá se n g 1. 197. V e r i f i c a r as séries seguintes, com relação à sua convergência ou d i v e r

gência:

a <x{ot + 1) aia 4 1) [oi + 2) (a) —I : 1- • f- . . • . •

/3 /3(/3 4 D m 4 1) í/3 4 2) ^ a. /5 , a ( a 4- l)./3(/3 4- 1) , a(a 4 1) (« 4 2).003 4- l) ;(/3 4- 2) (o) 1 4 — 4 — r • • -

1 . 7 1 . 2 . 7 ( 7 4 1) • 1 : 2 . 3 . 7 ( 7 + 1 ) ( H ; 2 )

» í 198. (a) M o s t r a r que a série £ — é uni formemente convergente p a r a x j £ 14-e.

i o g J» (6) Demonstrar que a série der ivada - £ converge uni formemente para

cos VX

199. * M o s t r a r "que a série £ , a > 0, converge un i f o rmemente para Va

200. A série x - 1 1 / a r - I V 1 / * " I N * L. _ f ] + - í » 4- ^ x 4- 1 3 V x 4- \J 5 V x 4- \J *

é uniformemente convergente para e á i á N . 201. Determinar as regiões nas quais as séries abaixo são convergentes:

[a) S i ' 1 . (e) £ - , a < 1. J»1

('f!)2x" a ' (6) S : .• (j) £ - . a > 1.

(2i0!

1 iog » (c) ( í ) S — .

( - D ' x? £ • (A) £ 1 - X '

a* 2 0 2 * P r o v a r que se a série £ — convergir p a r a x = x„, convergirá, i g u a l -

mente para qualquer x > x 0 . Se divergir para x = x 0 , divergirá p a r a qualquer x < x 0 . A s s i m , haverá u m a "abscissa de convergência" t a l , que p a r a qua lquer valor maior do que x a série convergirá, d ivergindo para todos os valores inferiores a x .

a " . dv log v 203. Se £ — convergir para x = x 0 , a série der ivada - £ será conver-

gente para qualquer x > x 0 . 204. Se ar > 0 e £ a p convergir, teremos

Hm £a„x" = Sa», z—l-o

205. Se a„ > 0 e Sa» divergir ,

l i m 2a„x" = » . l -o

206. * Demonst rar o teorema de A b e l :

Se £a„X» convergir , 1,avxv convergirá uni formemente p a r a 0 S i á X 207. * Se XavXv fôr convergente, l i m £a„x" = £a„J>S>. 208. De terminar as funções racionais representadas pelas seguintes séries da

T a y l o r : (a) x 4- x a - xz - xi 4- x s 4- x 6 h 4 - . . . . (6) 1 + 2x - 4 z a - 5x* 4- 7x f l 4- 8 x ? - - 4- +

EXEMPLOS DIVERSOS 569

209. Mostrar q e

1 2. •.3 (a) 1 1 ( - . . . » 1.

2! 3! 4-1 • : ' ' - - . i • 1 • 1 .3 ; . 1.3.5 ;. 7 1 _

(b) - + 4- — + . . . - - V2. 2 2 .4 .6 2.4.6.8.10 2

1 , ,..2-10Í Seja. 2. — relS - r (cos.e + t sen £). Do desenvolvimento —7-^ =>£ z» de>

' , • ; ' 1 - z • y±o duzir •• - ! > ' ;ir: ;

1 - r COS í «o . . . " XIZ

= Z f» COS . :• ! ; 1 - 2r COS 8 + r'J „=>o

r sen B » —: • = l r « sen *e. 1 - 2r cos 9 + r7

CAPÍTULO IX

211.* Empregando a expressão da cotangente em frações parciais, desenvolvei rx cotg -1 D uma série de potências de x. Comparando-a com a série da página 423, mostrar cmn

• l " " •" C 2 T j 2 m

112. Provar que

i ( - l)m-}(22m -..l)va* -. : , - l (2» - l ) 2 t t 2{2m)! 2 o ;

213. Mostrar que

2.(2m)[

21.4. Demonstrar 1 log x

BJm.

í f l ) iol~ (6) f\-gX

J o 1

= 2 6

efe — + x 12

215. Usando o produto infinito do seno pelo co-seno, mostrar que

/senacN <° ( - l ) ^ i 2 2 r - i B a , (a) log ( ) = - Z ^ —

• ( - 1 ) ^ 1 2 2 - 1 ( 2 ^ - 1 ) J 5 2 , (o) log cos X = - 2 x 2 # . * = 1 (2J>)! r


216. Usando o produto infinito do seno pelo co-seno, calcular

ia) a/,-,/.-,/.-6/7-I0/.-l0/ir"/u...; 00 2 - V V V , - l 7 . * u / i . - i e / i s .

217. Representar a cotangente hiperbólica e m função de frações parciais .

C A P Í T U L O X I

218. Quais as curvas cuja tangente tem o comprimento constante a ? (O " c o m primento" da tangente é o segmento compreendido entre a curva e o eixo dos a;.)

219. Determinar a curva ortogonal à família y = ce k I . 220. Designando-se por s o comprimento do arco de uma catenária, medido a

contar do ponto em que a tangente é horizontal , ter-se-á a forma d a catenária dada pela equação diferencial

Mostrar que a equação da curva é y = c C b - 4- a . c

221. Integrar a equação do circuito elétrico

IÍI 4- Pi = E ,

em que E = E0 sen ut, e ti, p, E 0 e a são constantes. 222. U m a partícula se dirige para u m ponto que a atrai na razão direta d a

massa e inversa do cubo da distância. Determinar o movimento e o tempo de queda, sc v = 0, x — a, no instante t — 0.

dy 223. * Integrar y = - xp + x*pz, onde p = —.

dx 224. Integrar y = p + log p. 225. * Resolver a equação de diferenças

u n > 2 4- 2 a u n + 1 4- bua = 0,

em que a, 6 são constantes, fazendo u a = X". M o s t r a r que a solução pode ser expressa sob a forma un = arf 4- /Sr 2

n , onde r l t r 2 são as raízes (supostas distintas) d a equação X a 4- 2aX 4- b —" 0. Mostrar , ainda, que a solução assume a forma i i , = a ( - a ) n + 0 n ( - a ) n , quando ò = a 2 .

R E S P O S T A S E SUGESTÕES

CAPÍTULO I.

§ 1, pág. 13. 1. (d), (e). Mostrar que x satisfaí u m a equação do t ipo

x* + a,x* + . . . + o , « 0,

em que a,. . a 6 são inteiros. Demonstrar que. neste caso, x é irracional ou inte iro . 2. Ut i l i zar a irracionalidade de sen 60" = V3/2.

/ b\2 a c - ò 2

é. Escrever a x 2 4- 2òx 4- c como a 1 x + - } 4 . V aJ a

7. Se o > 0 e ti1 - ac S 0, é possível fazer-se ax2 4- 2òx + £ = 0 para alguns valores de x se. e sòuneute se. ò J - ac = 0; use, então, o exemplo 6.

8. O co-seno do ângulo compreendido entre duas linhas retas é g l e m va lor absoluto.

9 . Empregue a desigualdade de Schwarz. 1 0 . Eleve ao quadrado ambos os membros e empregue a desigualdade de

Schwarz. \ soma do comprimento de dois lados de u m triângulo não pode ser menor do que o terceiro lado. § § 2, 3, pág. 26.

2 . (a), [d), (e), (g), ímpar ; (6) pat 3. (ò), (c). (h), monótonas; (a), (d), (è), (X), (m), pares; (d) e (e) idênticas.

§ 4, pág 28

2. w -t- H ( 2 n 4- 1) Í2n 4- 3)/3. 3. (cj Desenvolver (1 4- 1)D pelo teorema do binômio. 4 . (a) nln .+ I) (n 4- 2)/3.

1 1 (6) Somar desde v = 1 até v = n . n./(n 4 -1 ) .

J» 4- 1 ? 1 1

(c) Somar desde * » 1 até v = a . n(rt 4- 2)(n 4- 1)*. (i» 4- D 2 v2

5. 3; 193 7. l / g ( 2 n ' 4- 3 n 2 - l l n 4- 301.

571

572 R E S P O S T A S E SUGESTÕES

§ 5, pág. 36.

1. (a) 1; (6) 333; (c) 333 333. 2 . (a) 0; (ò) co; (C) 6; (d) ajb0; (e) 1/3.

4 . 19. 5. (a) 6; (6) 10; (c) 14. 6. (a) 25; (6) 2 500; (c) 250 000. 9. (a) 0; (6) não; (c) s im; (e) 30 . 15 . O maior dos números als . . . , Ok.

16. 2.

17. Deve-se empregar n/2n->0.

§ 6, pág. 45. 1. (a) P a r a qualquer número M, por maior que seja, há u m n t a l que | etn | > M.

(ò) Ex i s te u m número posit ivo « t a l , que para qualquer M, haverá números n, m, maiores do que M , para os quais | a„ - am | ^ e.

1 ' 5. O erro é menor do que ; e = 2,718 2 8 . . . .

n(n\)

§ 7, pág. 49.

1. (a) 6; (6) 15; (c) %; (d) 3.

3 . Os l imites (a) e (í>) não existem; o l imite (c) existe e é igual a 1.

§ 8, pág. 55.

3. (a) 1/60; 1/600; 1/6 000. (b) 1 / 1 0 ( 1 + 2 | £ - 1 ) , etc. (c) 1/120 (1 + U | )3, etc. (d) 1/100; 1/10 000; 1/1 000 000; («) 1/10; 1/100; 1/1 000;

4. (a) 1/600; e/6, (o) 1/400; e/4. (c) 1/77 600; e/776, (d) 1/10 000; e*. (e) 1/100; e . 5. (a), (6), (c), (d), új) contínuas;

(e) descontínuas e m x — 2, 4; ( / ) " " x = 3 ; (h),(k),(my " z = (n.4- • ( 0 , ( J ) " " x = n 7 r ; (I) " " ar = nir , n * 0.

Apêndice I , pág. 70. .

(a) Extremo super. _ 324/ * /5 J infer. = 0, l i m i t e super. - 0, infer. ' == 0. (6) _ 1/ *

- h> >» — _ 1 * "

i . * - o,* *J = 0*. to _ Ml '* ~ 110> >» • 2/ * , »»

— /3» = v„ 5> = v2. (d) 19/ *

— / l O i , u = ,-%* " ' = 3 / 2 . 9* = y3.

(«) = 2,*" = o; " "" ="1, >> - 0.

* A s quantidades assinaladas com este s inal pertencem à sequência.

RESPOSTAS E SUGESTÕES 573 2. D iv ida -se u m intervalo n u m número inf inito de subintervalos, pelos pontos

a = z„, « j , x 2 , xa = b, tão próximos que |J(x) - / ( x ) | < e se x e x estiverem contidos no mesmo subintervalo. Liguem-se os pontos adjacentes z = xi, y = / ( x t ) por l inhas retas.

k k

3. A expressão - - \ x - xi \ 4- — \x- z,_! | t e m a inclinação zero do lado de

fora do intervalo (x-^, x>). Acrescentar outros termos adequados desta espécie,

Va + a - Va1 x - 2 I + I x - 3 I - Va I x - 5 |.

4. (a) e/6; (6) e/ná»"1, n > 0; (<s) e 3/2.

Apêndice I I , pág. 75. s

2. (a) r = a; (ò) r = 2a cos(<? - <p0); (c) r = a/cos O -3. cos 20 — cos-d - sen 20, sen 2d = 2 sen 0 cos 0;

cos 30 = 4 cos30 - 3 cos 0, sen 30 == 3 sen 0 - 4sen 3 0; • ' * ' cos 50 = 16 cos 5 0 -2Ocos 3 0 4- 5 cos 0, sen 50 = 16sen 5 0 - 2O sen 30 4- 5 sen 0.

4. (a) - 6 i ; 0 = ir, r = 3; 0 = */2, r == 2; 0 = 3TT/2, r == 6. (6) 1 4- V3_4- i ( l - V I ) ; 0 = TT/4, r = 4 ViT A = r /3, r = J^; 0 .-'7ir/12,

r = 2V£ _ _ : . , , (cj 2; 0 = w/4, r = V2; 0 = 7x/4, r = V2; d = 2^, r = 2. (d) 2 - 2iV§; 0 == 5x/6, r = 2; 0 = 5TT/3, r = 4. (e) ± 1; d - 0, r = 1; 0 = 0, r = =fc 1. .'

U) * + ^5); 6 = x/2, r = 1; 6 = T/4, r = * 1..

(g) (VV2 4-3 4- WVI - 1)/VF; 0 = x/4, r = V i l 0 = x/8, r = <f& (h) - ^ Í 8 ( V 3 4- £)/2; 6 * 7V/4, r - 3V2! - . ,

d = 7 x/6, r = ( 3 V Í ) 2 / 3 = V Í ? .

(fe) 1 , " ( - 1 * t V3)/2; ' 6 = 0, r = 1; 0 = 0, — , — , r - 1. 3 3

(0 "C2(V V i 4 - ; l ' + WV2 - l ) ; 0 = x/2, r = 16; 0 = x/8, r = =fc 2.

5. Observe-se que e" satisfaz à equação x° - 1 = 0; fatorar, então, x" — 1.

C A P I T U L O I I

§ 2, pág. 87.

1. Empreguem-se as fórmulas do § 2 e as regras fundamentais: 70/3. 2. A área pedida pode ser considerada como a diferença entre as áreas sob a

linha e sob a parábola, compreendidas entre os pontos de interseção da curva com a l inha : 10Vã/3.

4. V 6 ( a 2 + 4Ò) 3 ' 2 . 5 . (a)[(l + by*a - ( 1 4 - o ) 1 + a ] / ( l 4- a); (b) - (cos ab - cos « a ) / a ;

(c) (sen « 6 - sen ao) /a . 7 . (6* -a* ) /4 . 8 . l / ( n + 1).

§ 3, pág. 109. 1 . P a r a qualquer número a existe u m e t a l , que p a r a qua lquer número 5 have

rá u m x para o qua l

i - { á í e x - £

2. (a) - l / ( x 4 - l ) 2 ; (6) - 2 x / ( x 2 4- 2 ) 2 ; (c) - 4x / (2x 2 4 1)*; (d) - cos x/sen 2 x ; (e) 3 cos 3x; (/) - a sen ax; (o) 2 sen x ^us JC; (/I) - 2 cos x sen x.

3 . (a) i t e m qualquer va lor ; (è) ^ = ( x I + x 2 ) / 2 ; (c) £=

(«) I 2/3 _ J _ ~ l / 3 ~ 1/3 + 2i 2

_ 1 /" X 22 4 X J X 1 + X I 3

)3/a

§ 4, pág. 119.

2. (a) H ; (6) y % .

§ 5, pág. 121.

1. - = 0,785. 4

§ § 6, 7, pág. 130.

! . i b ) e (c) í - + « - ' M - • • +g, w ç ^ V ^ 2 F n + 1

3 . (a) J, - aI+1'n/(l + l / n ) , Hm / , = a; n—»<=

(6) 7 n =*= a n + 1 / (n 4 -1 ) , H m Ia = 0 para - l g a | l , °= p a r a a > 1. n—»co

1 /•« 4 . I F(x) - / ( x ) I â — / i/Ca; -4- - / ( x ) | eft. E m p r e g a r a c o n t i n u i d a d e uni for -

25 J —s me de / (x) em a ^ x 5= 6. Podemos também escrever

1 r rc / " i f i - i

TO = - / /(0<ft+ ' /(O A , 25 LJ x-8 J c J

onde c é u m número fixo. 5 . E x p r i m i r as integrais como l i m i t e s de somas, empregando subdivisões iguais

de a á x â b, e explicar a desigualdade de S c h w a r z (pág. 12) a estas somas. O u t r o método , consiste e m integrar [/(x) 4- t g (x)] 2 è 0 e usar o exemplo 6, pág. 13. Apêndice, pág. 135.

1. Se ja <p(x) = / ' ( x ) , o n d e / ' ( x ) ^ 0, *>(x) = 0 em toda o i n t e r v a l o . S e j a a i n d a ,

ip(x) = j'(x) - (p(x); teremos, então, \p(x) 5=0. Consideremos f <p(x) dx e f \f/(x) dx, da J a

RESPOSTAS E SUGESTÕES 575

CAPÍTULO III § § 1, 2, pág. 143.

1. / ' (I) = 1, / " ( l ) = 8, }'"{!) = 36, i I V ( l ) = 96, / v (1) = 120, / V I ( I ) = 0, /™(1) = 0, . . . .

2. 0. ad — bc

3. (a) a; (ò) 175 cx6; (c) 2(ò 4- cx); (d) (cx + d)5

2x2(a/3 - «6) + 2x(a 7 - ac) + 2(by - /3c) ( M 2 + 2 ] í í f 7 ) 2

4x(l + x 4) U ) õ^xr-a + (í)0-

4 . (a) F(x) = aDx n + (aB_x + na jx" - 1 + [a„_2 + (n - 1 ) (aB_x 4- na n)]x n- 2 + .

(6) F(x) = - x - 4- ( a ^ - n a » - ^ x»"* + 4- (n - l)an_x — - n(n - l)a„ 5 x» 2 + . .

L_ C o C o £(i - J

5. (a) 2 cos 2a;; (6) -1/(1 + sen 2a?); (c) tg x + a:/cos2a:; sen x cos x

(d) - 2/(1 - sen 2x); (e) 4- . x 2 x

6. sec3x 4- sec x tg 2x. 7. 24 sec5x - 20 sec3x 4- sec x. 8. cos x(cosec2x - 6 cosec^x). 9. 24 sec5x - 20 sec3x 4- sec x - cos x. 10. » . 11. ax 2/2 4- ôx. 12. ax3/3 + 6x2 4- cx. 13. x 3 4- x 7 4- x 5 4- x 3 4- x. 14. - (l/x 4- l /2x 2 4- l/3x»). 15. x 3/3 - l /x. 16.. a sen x - ò cotg x. 17. 3x2/2 - 7 cos x - 5/2x2 - 9 tg x. 18. sec x.

§. 3, pág. 152. 1.4. 3. \x[ l - (n - l )x j /nx( l 4- x s> 4. cos 2x/2Vx - 2Vx sen x cosx. 5. 1/Vx(l - V x ) 2 .

6 ( 1 " t g Z ) + 3 X ( 1 + X )

3x 2 ' 3 ( l - tg x) 2

7. (are cos x - are sen x) /Vl - x V 8. 2/(1 4- x 2) (1 - are tg x) 2.

1 are sen x 9. V i - x 2 are tg x (14- x 2) (are tg x)**

5 1 1 4- x 2 V l - x2(arc cos x) 2 '

11. 0.785.

5 7 6 RESPOSTAS E SUGESTÕES

§ 4, pág. 157.

1. 3(i + l ) 2 . 2. 6(3x + 5). 3. lSx^Ox 6 - 6x3 - 1) (x« - 3x 3 - 1)«. 4. - 1/(1 4- x) 2- 5. 2x/(l - x 2 ) 2 , 6. cm(ax + õ)»"1.

1 7 . -

8.

V x 2 - l{x + V x - ' - 1)" x2(cwi - òí) 4 2x(an - cl) 4- (òn - cm) 2V(ox2 + bx + c) [ix2 + mx 4- «) 3

9. - 73(1 - x) 2 ' 3 . 10. sen2i. 11. 2x cos (x3). /- 1 1 1\

12. sen x cos x/"Vl 4 sen2x. 13. 2 { x sen cos — ). V x2 x x2J

2 14. — T T T T T " 1 5 - ('2x + 3 ) cos(-x2 + 3 í + 2;.

(1 - x) 2 cos2

16. 3 x 2 / V l - (3 + ar 3) 2. 17. - 1. 18. I.

19. Íl[x^2JrX-^2). 20. A ; 5 C O S ( X + 7) [sen (x + 7)]

aa sen x 21. - , - ~ , [arcsen(a cos x + b)]a'K V l - (a cos x + 6;2

§ 5, pág. 166. 1. (a) Max. para x = - V 2 f mm. para x = V 2 , inflexão para x 0.

(ò) Máx. para x = a/ 5, min. para x = 0, infl. para x = - y l 0 . (c) Máx. para x = 1, min. para x = - 1. infl. para x = 0, ~ V .3 .

(d) Máx. para x = "^3, min. para x = - "v'3, infl. para a = 0. =*= "v'6 = \'33 (e) Máx. para x = (n + Va)ir. min. para x — mr. infl. para x - r.

4

2. Máx. para x = - V - p ; min. para x = V - p ; infl. para x = 0. Quando p è 0 . não há máximo nem mínimo. As raízes são todas reais, ou duas complexas e uma real, conforme seja g2 + 4p3 ^ 0 ou >0.

3. O ponto (0, 1). 4. A equação da linha ê ( y - y0)/(x - x0) = -^yjxt.

5. V57,60 m. 6. O ponto que divide a linha ob na razão 7. O quadrado. 8. O retângulo com os vértices x = _ =*= a/V2, y = =±=ò/V2. 9. O triângulo retângulo, isto é, c2 = a2 + ò 2. 10. O lado do retângulo oposto a g deve se achar à distância 7 4(V8r 2 4- A a-+ /*)

do centro. 11. O cilindro cuja altura for igual ao diâmetro da base.

R E S P O S T A S E SUGESTÕES 577

1 3 . S e n d o <p o ângulo de u m p r i s m a e n o seu índice de refração, o ângulo de

incidência deverá ser are sen sen ~ ) .

14. x = ( S a O/n.

15. A c h a r o mínimo de xp - pz. 2 TT

16. A c h a r os mínimos de x - sen x e sen x — x no interva lo 0 á z < - . O u x ~ ~ 2

sen x mostrar que é monótona neste i n t e r v a l o .

18. (". + «. + •••+ *.-IVT — ^ n ~ 1 7 ^ a , a a . . . a , _ ,

§ 6, pág. 177.

1. 0,693. Z. l o g t . 3 . l / x l og x. 4. 1 / V l + x

5 1 - 2x~v' I - r log x cos z

2 x V l 4- log x ( V l 4- log x - sen x) 6. x / ( x 3 4- D - 1/3(2 4- x).

? V 7 x 2 4 - 1 T 14-x _ r 14x 1 2X 1 -j

Vx - 2 V x * + 1 L 3 ( 7 x s 4- D " 4(x - 2) ~ (x* 4- 1)J'

11 . x = I A , desde que \ =t 0; se X = 0, não há máxima. 12. (log a^.a^.a'-.

r 2 sen x l og x~i 13. a s a d o s * ) 2 , log a cos x(log x)3 4 — I.

L x f

§ 7, pág. 183.

1. (a) Faça-se x f ixo e derive-se em relação a y ; iguale-se, então, y a zero . (6) C a l c u l a r J(x), pr imeiro p a r a x r a c i o n a i , e depois , pe la c o n t i n u i d a d e p a

ra x i r rac i ona l .

2 . D e r i v a r e m relação a y , fazendo, então, y = 1. 3. 2 315 anos.

/3 ' 4. (a) y - 0 4- c e a i ; (6) y = H ce a \ a 4= 0; y = /3x 4- c, a = 0.

a /3

(c) y = pxeax 4- c c a i ; (d) y = e ? 1 4- c e " , «y 4= <*• 7 — ar

§ 8, pág. 189.

1. Sb a - Sh b = 2 C h ( ^ - ^ ) Sh ( ^ ) -

/o 4- b\ / a - fr\ Ch a 4- Ch ò - 2 Ch ( - — - ) Ch ( -—- )•

/ a 4- b\ sa — b\ Ch a - Ch b - 2 Sh ( - — ) Sh ( ) .

578 RESPOSTAS E SUGESTÕES

_ , T % T h a * T h 6 2. T h (a * 6) =

Coth (a * b) =

1 * T h a T h ò

1 Coth a Coth b

Coth a ± Coth b

n + 1

gTb i + Cothx

3. (a) Sh x + Ch x; (ô) - 4 ; Ch 4x - 1

(c) (1 + Sh 2x) Coth (x + Ch 2x); (d) 1/Vx 2 - 1 + 1/Vx 2 + 1;

(e) a Sh x / V a5 C h 2 x + 1; (j) 2/(1 - x 2).

4. Sh ò - Sh a.

§ 9, pág. 195.

1. (a) Mais alta do que x**; (b) mais baixa do que x e; (c) igual a 1; (ei) mai? alta do que xN; (/) mais alta do que xH-«, e mais baixa do que xM + <; (g) da mesma ordem que x; (h) mais alta do que x N ; (j) mais baixa do que xe.

2. Superior a e0*, (log x)« e igual a ex^; (b) inferior a e«x, e*a; (c) limitada; (d) igual à de ex, menor do que e*a, e superior a (log x)a; (e), (/), (g) inferior a e*x

y

exa, superior a (log x)°; (h) maior do que e* 1 - 6 , inferior a exXJr\ superior a e^, (log x)a;

(j) igual a log x, inferior a e**, e2*,

3. (a) igual a x ; (ò) inferior a (-^ ; (c) igual a x; (d) igual a x; (e) igual a x 5 ' 2 ;

(/) igual a x 3 / 2 ; (g) superior a xN; (ft) superior a x 1 - 8 , inferior a x; (,/) inferior

4. Sim; 0. 5 . 0, 1.

a \x

5. lim — = j '(0) = 0. 8, 9. Use o resultado do exemplo 7. a:-»0 X

Apêndice, pág. 203.

1. f"(3[h{x)})g'*[h{x)}h'Kx) +J'(gMx)})g''[h(xW*(x) + J'(g[h(x)])g>lh{x)]h"(x).

(sen x '*\ h log X. cos X j .

, , í logcosaf\ (6) (cos x) t s x ( - tg2x + — • ).

V cos22 y u'(x) v'(x)logu{x) (c) ..

u(x) log o(x) í)(x)[log «(a;)]2

4 . (a) + 3 ^ ^ 1 x 2 4. 3 n ( n _ i ^ n - i k 4- n ( n - 1) (n - 2 ) a « - 3 ] ;

2 ( - l K n - l ) ! / « - i l X (6) ( 2 - - l o g s ) ;

( - l ) m ( c ) — _ — (cog x _ 32m cos 3o;), p a r a n = 2m;

2

( - 1 ) " 2

(-1)1 2

(32m-{-l s e n 3a; _ s e n z^ p a r a n = 2 m + 1.

(d) [(m 4- fe)2*sen(m 4- fe)x - (m - fe)2í sen(m - k)x], p a r a n = 2Í;

[(m 4- & ) 2 * + i cos (m 4- fe)x - (m - fe)2/4-i cos(m - k)x], p a r a n =

= 21 4- 1.

( e ) eB{[IoVl)<2n>2í]COS2a; +

4- [ 2 ^ * ( - Q z ^_ x ) 22í+iJ s en 2x j - = 5n/2e* c o s ( 2 x + „ „ ,

onde t g a = 2 (desenvolvendo-se 1 4- 2 i ) " pelo t e o r e m a do b inômio , e a g r u p a n d o - , e os t e r m o s reais e os imaginários).

(j)e-.í (6) (n)(l 4- z)*-'.

5. S e j a y = arc sen x. T e r e m o s :

d " y _ dn-l / 1 \ _ r J "I

d x " d x " - i VVl - J V ~~ dx"~2 L(l ~ x 2 ) 3 / 2 J '

A p l i c a n d o - s e a r e g r a de L e i b n i t z a es ta últ ima expressão: dny d*-3 r 1 1

- (n - 2) z = o d x « - 3 L ( l - x 2 ) 3 , 2 J x = o

dn-4

dx"-d « - 4 r x 1

3 . n - 2 ) — , dx*-* 1(1 - x*)5'2

e c o n t i n u a n d o o processo

dxn

= 1 . 3 . 5 . ..(2v-l).(n-2)(n-4). . . ( n - 2 ^ + 2 ) 1 = 0 dx

Se n = 2Z. d « y

d x " d2l

dx2í (arc sen x ) :

d^-2- r x ""j

1 2 . 3 2 . 5 2 . . . . . ( 2 í ' - ' l ) s .

* - i f 21 \ = 2 ( ) 1 2 . 3 2 ( 2 f e - l ) 2 . l 2 . 3 2 ( 2 / - 2 f e - 3 ) 2 .

k~o\2k+lS

dny = 0; se n = 21 + 1,

x=o d x " 1=0

d2i4-i .dxãi+l

(arc sen x ) 2 - 0. x = Q

6. D e r i v a r (1 4- x)n duas vezes e fazer x = 1.

CAPÍTULO IV

§ § 2 , 3 « , pág. 217.

I. y2e*2. 2. -7*«r*«. 3. 2 / a ( l 4 -x 3 ) " 2 . 4. 7 , (Ioga?)».

n — 1 Vlog xj

6* Sugestão: escrevamos o denominador sob a forma (3a? - 1 ) 2 + 1 : are tg (3x -1)

, , o g [ - + j / ^ y ] . 8. Sugestão: 6x/(2 + 3x) = 2 - 4/(2 4- 3x) : 2 x - */3 log | 2 4 - 3x |.

9. a r e s e n x - V l - x a 10. log + j / ^ l + ' J •

x 4 1 1 2x - 1 I I . are sen — . 12. >/, log (x2 - x 4- 1) 4- T = are tg — r = - .

2 V3 V3

13. 2 Are Ch (~jf^) + V x 2 - 4 x + 1.

, 4 3x - 1 14. - 73^2 4 2x - 3xá H p are sen — : — .

3 V 3 V 7 2 2x 4 1 2 2x - 1

15. ,-are tg ,- . 16. "7= are t g — p - . V3 V3 V3 0 V3

1 2» - I. ^ J 17. ; are tg 1 = = = , se 6 - a 2 > 0; — , se ò - a 2 ~ 0;

v o - a - V o - a - x + a 1 x + a

: are Th , se 6 - a 2 < 0. V a 2 - ò V a 2 - ò 18. - JC*/4 - x3/3 - x2/2 - x - log I x - 1 f.

19. Sugestão: sen3x cos4x = sen x cos4x (1 - cos2x) = sen x cos'x - sen x cos6x: cos6x cos7x -j .

5 7 sen3x sensx sen7x

20. _ 2 — 4 — . 21. V f l(l - o:2)9'2 - 7,(1 - x 2)™.

22. V 3 are sen x - 7 2 x V l - a;4. 23. 7r2/32. 1 + (- IV* l 1

24. V, . . 25. 2. 26. n + 1 2(1 4 a2) 2(1 + 6a)"

27. V 3(a 3 - 63) 4 72(a2 - 6=) + (a - & 4 log — . 6 — 1

28. lU (l - cos y ^ . 29- Veja o exemplo 8, pág. 88: l /(n + 1).

í 1) Tanto açui como a seguir, omitimos as constantes de integração.


§ 4, pág. 225.

1. Façamos / = x, g'= cos x/sen2x: - x/sen x 4- log tg x/2. 2. Façamos j = x4/4, g'= 4x 3 /(l - x 4) 2 : x 4 /4(l - x4) 4- l|4 log J 1 - x* |. 3. (x2 - 2) sen x + 2x cos x. 4. - V2(a:2 + l)e-* 2. 5. 4TT( - l)«/n2. 6. 0. 7 . Vate2 sen x 2 4- cos x 2). 8. Vaa sen 4x - !/«sen 2x 4- \lsx. 9. Vi 9 2 sen6x + 3 A H

10. Façamos a; = cos 0; x V l - a;2 ( - VID - V 2 4 x 2 + Ve + Via are sen z. 11. e*(x2 - 2x -j- 2). 12. - : ^ - — r los ar 1

(n - l x ) " - i xm+i x^+i i r 2 2 I

13. i o g x 1 4 . - X 3 ( logx) - - - - logx + - . m + 1 ( m + 1)2 3 L 3 9 J

16* Façamos x 3 = í, empregando, então, o exemplo 15* 17. Integra-se, por partes, repetidamente. v

19. Empregue-se a indução matemática: admite-se que a integral repetida de 1 ordem n de Ju(x) é dada por / /(tx) (x — u)n~l da e desenvolve-se o inte

In -1)1 J o írran-(n - 1)! J o

pelo teorema do binômio. Então, jfi ^x) = f dl; integrem-se os dois ter-J o

do mos por partes, § 5, pág. 23 t.

1. IOÍ l/lr 3x 2. log 11 - -

J x 4 1| a; 4 1 2 ( x 4 1)2

x 1 49 4. log I x 4 1 I 4 — log I 3x - 5 I.

3 8

7. la

2(x - 1)

1

4 l0£ Vi 4 x2

(1 - x) 2 6. - 1

2(x - 1) - I O Í iY í + x 3

V d - x ) * '

'6 J) -V| a; — 1 1 6

1, 1 2x 4 1 4 ~log(x2 + x 4- 1) + are tg •.

3, 1 1 2x - 1 8. l o g V | x 4 1 I - g l o g | x 2 - x + l l + are t g ~ ^ = - .

= 4 lógVl 4 x 2 4 - are tg ; 9. log ir== V ( x - 2) 2 o

10. ? l o g | x + 2 | + I log I » - 11 -1 loff I as + 11.

11. + log X + 1 x - 1

— are tg x. 2

„ 1 V 3 a: 2 + V 3 x 4 - 1 1 , -12. - are tg x 4- - log _ ^ + x + g are tg (2x 4- V 3 ) +

4- - are tg (2x - V 3 ) . 6

1 x — 1 V2 x

u - 6 l 0 S x - n + T 9 I c t 3 ^ ' § 6, pág. 241.

1. -1 + t s

X 2 . t g - .

3 x 2 4 - 2 3 14. are te x.

2x(x 2 4- D 2 ^

2 f 2 t 4 + ^ 3- vs^^V^vT"/ 4-i( tg2rc o t g1) + i i o g

1 1 , -•6. -7= are tg - V 2 .

"V2 2

1 2 t e x 8 . 7= are t g

2 v 3

2

1 , 0 Vã

t g f - 1 + V i 1 0 . -7=

V2 los

! X te - - 1 - V 2

1 cos 2 x - cos x 4- 1 1 11. - log — 4- —7=

4 (cos 2x 4 - cos x 4 - l ) 3 2V3 1 2 cos x 4- 1

- 7= are tg := . 2V3 V3

tg -9 4 -1 5. Iog 5. Iog

«. x - 1

1 7. y | a r c t g

t g x Vã*

2 cos 2x 4- log cos x.

are tg 2 cos x - 1

V 3

12. - x V x 2 - 4 - 2 A r c C h - . 2 2

13. - xV4 4- 9x 2 4- r A r e Sh - x. 2 3 2

14. 2 are tg x - 3 x - 1 '

15. ~ V(x 2 4- 4x) 3 - (x + 2) V x 2 4- 4x 4- 4 Are C h — — .

16. Vx - V l - x 4 =log 2V2'

V l 4 - x - V l

( V x - < y 2 ) ( V i - x 4- V H )

(Vx 4- v>i) ( v r ^ - V H ) 17. log X .

V l 4 -x 4- V l - x 4- V l - x 2 .

18. Y2 A r e C h (2a - 2a + 1) + V(x - a) 2 + (x - a) - 2 Vx - a.

I 9 - o „ . 2 , [ V ( x - a ) 3 - V ( x - Ò ) 3 ] . 3(o - a)

§ 8, pág. 254.

I . D i v . 2. Conv . 3 . C o n v . 4. Ccmv. 5. D i v .

6. C o n v . 7. Conv . 8. D i v . 9. C o n v . 10. C o n v .

I I . C o n v . 14. (a) P a r a 0 < s < 1. (6) P a r a 0 < s < 2.

15. S i m .

Diversos exemplos. I V , pág. 255.

1. Faça-se are sen x — i: j ^ e a r c s e n * ( x 4- V i - x 2 ) .

2. Vg cos 9 x - V7 cos' x. 1 2 - cos x

3. r f ( l o g z ) 2 - 2 l o g x + 2|. 4. - log . 4 2 4- cos x

5. Façamos V l - = t: 2 - V1 - e -2x 4- l 0 g (1 4- V l - e-2z).

6. 0. 7. 0. 10. 0.

12. Consideremos a função l / x no intervalo I á 1 1 1 Subdividaímos este intervalo em n partes iguais e formemos a soma inferior como no capítulo I I , § 1 (págs. 76 e seg.). Isto nos proporciona « „ . Façamos, agora, 71-* =0. O resultado será log 2.

13. C o m p a r a r com l / V l - x2 em x = 0, l / n , 21 n, . . . . (n - l ) / n : x /2 . 14. C a l c u l a r

lim log 1 / — = Um 1 f l og 1 4- log (1 - . . . + . . . 4- log ( l - ^— «—00 V nn n— cu n L v n J \ n y J empregando a definição da integral def ioida.

15. 1/(1 + * ) .

C A P Í T U L O V

§ 1, pág. 267.

1. (x 2 4 - y 2 ) 3 = a'(x» - y 3 ) » .

,, 2 . A d m i t a m o s que c gire com velocidade constante e meçamos o tempo de sorte que em t = 0 o ponto P esteja em contacto com o círculo C:

x = (R 4- r) cos 0 - 7- cos [(i? 4- r)0/r], y = (R + r) sen 0 - r sen[(fí 4- r)0/r].

3. x = 27? cos 0(1 - cos 0) 4- R, y = 2R sen 0(1 - cos 0).

4. x = (R - f) cos 0 4- r cos [(# - r)0/r], y = (ü - r) sen 0 - r sen [(ií - r)0/rj.

6. Tomemos coordenadas retangulares, fazendo com que a origem f ique no centro de C e o ponto P no eixo dos x, no tempo t = 0. x 2 ' 3 4- y 2 ' 3 = i í 2 / * .

7. x = 3aí/(l 4 - i 2 ) , y = 3OÍ2/(1 4- í 2 ) .

-rU'-9'Y

+ / V W . a - a r c t g | _ — — J .

J ' W +x0j')~g'(gf'-jg') _ g'(y0g' + g j ' ) +j'(gj'-Jg')

12. (a) O próprio C; (6) a cardióide do círculo de diâmetro PM, com vértic* em P .

§ § 2, 3, pág. 290.

1. V 8 ( 6 S ' 2 - a 4 ' 2 ) . 2. 3a-74. 3. 7«aa(02» - 0,»). 4 . 6 W I 1 .

5. 6 i rr 3 . 6. r ( l 4 S W ) - 1- 7 2 - ( a J 4 ò 2 4 z 0J ) -

8. z = i? 4- «(1 - s!2R + s*IZ2tV) (1 - sfltR). y = fí(í/fl - í 2 / 1 6 f i 2 ) 3 ' 2 ( l - s/8/?), para O g s l 16/?.

9. x = 2 a a i c cos (1 - s/4a) - 1 - í /4a)Vs(l - si8a)<2a, y = j - s 2 /8a, para 0 á s â 8a.

10. s = V(4/9 4 x)* - 8/27. 11. 6R.

12. (a) V 3 a (Arc Sh 9 4 õ V l 4

(6) ^ L ± J 2 ! (e/nô _ emôo). m

(c) 8fí( l - cos lUB). {d) a[7 3 (0 3 - 0O3) 4 í - 9„).

13. (a) V i d + 4 z 2 ) 3 ' 2 : mín. l / t em x = 0. (6) (a 2 sea 2 ? 4- ò 2 cos 2 p)/ao: se a > 6, mín. bla em y< = 0. <r.

máx. a/6 em = -r/2. 3 x/2.

14. p = 1/Ví.

17. V o l . Trs(A, - hx) - VaTÍAí* - V ) - Superfície 2ir(ft, - A ^ r .

18 . Denominando-se p o raio do círculo e r a distância do seu centro â l inha, o volume será 2 x 2 r p J , e a área d a superfície. 4 i r 2 r p .

19. r(x, - x,) 4- ^ (Sh 2x, - Sb 2x 0 ) .

20 . fe = ir*.

21 . .

x » e*, y = _ A r e C h e~s 4 - V l - e2s 4 . const.

L. y = - A r e C b - 4- V l - x 2 4- const.; s = log ( — ^ ;

22. Se jam tis, ds' os comprimentos do arco; /, V os comprimentos totais; A, A' as áreas, e k, k' a curvatura e a c u r v a paralela, respectivamente. Teremos,

ds' = (1 + pfe) ds\ k' = fe/(l + pfe);

A ' = ^ 4- lp 4 T r p 2 ; / ' « l 4 2TTP. 23. (a) £ - r(sen p 3 - sen <pi)/(<p2 - <e,),

17 = - r(cos <p2 - cos (pJKvs - <px), onde p 2 são as coordenadas Q das extremidades do arco.

(6) £ = ( z a Sh x a - x2 Sh x , - Ch x2 + Ch x x ) / ( S h x 2 - Sh x t ) , u = [2(x, - x x ) + Sh 2 x s - Sh 2x l]/4(Sh x2 - Sh x x ) ,

onde ( x „ y x ) , ( x s , y 3 ) são as extremidades do arco. 24 . (o-2 + 0 2) (6 - a) + s/3033 - a3). 25. (a) Sh x , - Sh x , 4- 7 3(Sb 3z 2 - S n ^ ) ,

(ò) (x , 2 + 2) Sh x , - ( s , s 4- 2) Sh z x - 2 x 2 Ch x , + 2 x x Ch xt, st 9 g i , S i , .

% 4, pág. 298.

dx r sen (2í/r) í «.. — = - — - sen -;

d/ 2 V Í 2 - r1 sen^lir) r d*x l' cos (2Z/r) 4- r 2 sen*(í/r) I /

= , — : — COS - . dl* V[/ 2 - r3 seD2Wn? r r

2. Horizontal. 3. u = oj(l •+ ksv0), l = s,% + ll2k$1.

4. (a) x = 4 are tg e' - r: x — ~.

5 . (a) í = - y = ( y , V y 0 - y - y c3 ' 2 are tg V y / ( y . - y ) + * x y « ) .

fe (1 - e)* .— 6. 9 = at, r = , onde a = Ve.te;

1 - e cos a / fel

2 T 2TT psríodo = — = . fe*,}

a ( i - e ) J c " 2

C A P Í T U L O n

I 1. pág . 319

1. 0,28. 2. 0,182 3. Impossível; a série não é valid*.

§ 2, pág. 325.

1 1 - (1 - x)l/(« + 2i 2. : 6 = 1 - 2 X

1 _ (1 4- x ) l / ( n + 2 ) _ 1

1 4- x x '

§ 3, pág. 330.

3 1 1 „ V i 1. 1 4 - - X ; --<R<-Z±.

2 4(1 4- 0x ) 3 ' 2 4 16 2. 1,5; erro de 6 % , a p r o x i m a d a m e n t e ; 3 . 1 4- V n x ; [ x t < 0,3.

4. 1 + V 3 x - V 9 z J ; 6 / 8 1 X IO"' . X 1 / 1 \

5. (a) 1 4 - - ; _ ( - - l ) x IO" 2 .

(b) i+- + i f - - i V ! ; - f - - !^ T--2>) x lo-. 6. 0,010 0. 7. (a) 0,999 9; (6) 5,013 3; (c) 9,848 9.; 3. 0,515.

x* 2x 5 xa

9- x* - - 4- — + - [ - 128 cos (2te)]. 3 4o 81 3x 2 7x 4 3 x 6

10. 1 - — + — + - — [243 cos (3te) + cos (te)]. 2 8 4 6!

X 8

- 16 - [17 4 248 tg 2 (te) + 756 tg*(te) 4 840 tg 4 (te) 4 315 tg»(te)j.

12. x + V 3 2 3 + 2 / 1 5 x 5 . x 7

4 16 - [17 4 248 tg 2(te) 4- 756 tg 4(te) 4 840 tg 6(te) 4 315 tg 8(te)].

13. ll2x2 + 7 1 2z* 4 V « z 4

x8

4 16 - [17 4 248 tg 2(te) 4- 756 tg*(te) 4 840 tg f l(te) 4 315 tg 8 (te)i .

14. 1 - x 2 4- - xi - - e-*2*3. 2 3!

15. 1 + 7* a:2 4 » / 3 4 x 4

x 6

+ — [720 sec7(0x) - 840 sec s(te) 4 182 sec 3(te) - 3ec(te)J. . 6!

16. - i X - r ^ X 3 - £ l X 5 - . . . .

°? 7 ^ i 7 g i 31 g i

1 <. ~ X 4 2 " T j õ i a o " 1

3 11 x 4 1 18. x x 2

+ — z 3 + ( - 5 0 4 2 4 l o g l + te). • : 2 6 4! (1 4 te)5

1 3 x 5

19. 1 4 x 4 - x2 - — x* 4 - esenei[ c o s 5( 0 a ; ) _ i o cos 3(te) 4 cos (te) 2 24 D!

- 10 sen(te) cos 3(te) 4 15 sen(te) cos(te) 4 6 sen 3(te) cos(te)). 20. x + l/3x3; 0 < x < JT/4. 21. (a) y = x 2 4- x* 4 2x 6 4 . . . ; (ò) y = 1 - x 2 - z 4 - 2x 8 - . . . ;

(c) y = x 3 4- x° + •.. •

§ pág. 335.

1. 2. 2. 4. 3. a = 8/3, 6 = 16/3, c = - 5/3. d = - 5/3. 4. Terceira, e também, ordem zero, em (0, 0); ordem zero em (}•£, Y^. 5. Terceira ordem em (0, 0).

7. T o m e m o s P c o m o o r igem, e a tangente à c u r v a , em P, c omo e ixo dos x. S e j a m (x, y ) as coordenadas de Q. O centro do círculo em questão ficará, neste

y x 3

caso, sobre o e ixo dos x, no ponto - =» - 4 - — ; use o exemplo 6.

8. T o m e m o s os eixos como no exemplo anter i o r ; seja y' a inclinação d a c u r v a

em Q. A s duas normais in terceptam-se no eixo dos y, no ponto n = y -j . E s c r e -y'

y * ( 0 ) 3 , vamos y = x 3 4- . . . , e façamos x -*0 .

21

9. N u m ponto P, em que p = 1 for u m máx imo ou u m mínimo . y"

3 y ' v " teremos necessar iamente , y'" = - . T o m e m o s os eixos coordenados no exem-

(1 4- y ' 5 ) pio 7. N e s t e caso, y ' " (0 ) = 0, de sorte q u e a equação d a c u r v a , na vizinhança de

1 i x =« 0, será y = — x3 4- ax1 4 - . . . . A equação do c i r c u l o oscu lador é y = — x 2 4

2p 2p 4- bx* + . . . , sendo o contacto , no mín imo , de 3.* o r d e m .

10. M í n i m o em x = 0.

Apêndice, pág. 341.

I . n a » - i . 2. 1/6. 3. 1/30. 4. 2. S. 1.

6. E s c r e v a m o s a expressão como cotg x / co tg 5 x : 1/5.

7 1/2. 8. 1/3. 9. T o m e m o s os l o g a r i t m o s : l .

10. t. 1 1 . 2. 12. - 2 .


§ 1, pág. 348.

1. (a) 3,14; (6) 3,141 5. 2. 0,89.

3. 0,93.

§ 2, pág. 355.

1. E r r o < - 0 , 0 3 m , < 0,007 % . 2. 0,693. 3. 1,609 438 .

4. 3,141 59.

§ 3, pág. 360.

1. 1,075 5. 2 . 4,493 4. 3 . 1,475.

4 . 0; 1,90; - 1 , 9 0 . 5. 1,045.

6. E s c r e v a m o s a equação sob a f o r m a 2 = 1 4 - 0 ,3x 3 - 0 , l x 4 ; 1.519.

7. - 1,236 1; 3,236 1; 5,000 0.

C A P I T U L O V l l i

§ 1, pág. 376.

1 l 1 l . Uti l izemos o fato que

K " 4- 1) ~ v 4- 1 2. Decomponhamos l/x(x 4- 1) (s -f- 2) em frações parciais , subst i tu indo z = l ,

E = 2, i = v no resultado, cada u m por sua vez, e somar. 4. Convergente para a > 0.

5. Façamos £a„ = A. P a r a quaiquer « posit ivo, í s„ - A | < e se n fôr maior do que u m determinado m. Escrevamos

i, 4- • • • - f SN s t r . . . 4 - s m / V - m s m + 1 4- . . . 4- *\-Í V / Y + ~ ~ / V / V - m

e deixemos íV-* =°.

6. S i m . 7. Não.

§ 2, pág. 382.

1. Convergente.

2. Demonstremos, primeiramente, que n ! ,n n g 2 /n 2 . quando n > 2: convergente. 3. Divergente. 4. Cap . I I I , § Q. pág. 189. divergente. 5. Note-se que íiog n)l°S" = niogOogn! e j 0 ? (\QSr n j > 2 quando n é suficiente

mente grande: convergente.

6. Convergente. 7. l / ( n 4- D*.

r 8. Erro =

in -t- l)í

1 i ] -i ; j_

n -r 2 ín + 2 ) ( n + 3) ]

1 1 1 I < 1 4-

(n 4- D! L n f l ' (n + D 2 ' ** ' J

1 I 1 < : — < .

f n 4 - l ) ! i L _ n.nl n + l

* 1 1 9. E r r o = 1 (- ..-.

(n 4- D n + 1 <n 4- 2 )^+2 1 1 1 1

(n 4- D ^ ^ 1 (TI 4- l)n+z (n 4- D " + 3 ' n{n + l)»"

„ A n + l n 4- 2 1 0 . Erro = •—— 4 r- + ... . P a r a n > 1,

2 n + l 2^+2

n + 2 < Vs(n 4 -1) , n 4- 3 < 8/2(n + 2 ) < (a/a)J(n 4- 1), . logo,

n 4- 1 Erro < 2 n + l

, 3 ^ 3 \ * 1 n 4 -1 . . 1 + Í + (J +-J< s S -

dx 12. Convergente . 13 . C o m p a r a r c o m / -

J s (log x )

14. C o m p a r a r covaj" ^X

x l og x(log log x ) a '

16. Empregue -se a desigualdade de S c h w a r z .

1 2 , 2 3"+3 1 n-t-l 1 3n 1 17. 1 i \- ... = 2 - - 3 E — = 2 - ;

2 3 3TZ 4 - 3 v—l v *=»1 3P f = n-r-2* empregando-se, então, a fórmula da pág. 381,

1 1 l 1 + 7, + r + • • - + - - log n + C + i . ,

2 3 n

em que l i m e0 = 0. n — 9

) 8 . E fe tuemos a soma desde > =° 1 até » = mn: mn a v n \ n - 1 mn \ m n mn \ Z — « 2 - - 2 = s - - 2 — = 2 - /

•>= 1 » ,~knv ;- = fen » » - 1 » k"\kn » = ín + l »

§ § 3, 4, pág. 397.

f 0 se x - 0 i . (o) h m = -|;

n— = L I se x 4: 0.

f 0 se x = 0 (6) l i m = (a > 0).

m l 1 se X :£ 0

A convergência não é uniforme, e h m / / a ( x ) d r = / l i m J„(x) áz . n—• co J -1 ^ -] n - , o

f 0 se I x I < 1 4. l i m j,{x) - « H se | x | - 1

n - - 0 0 L 1 se I x I > 1.

9. Consideremos l i m Vi - z2n p a r a - l < x < 4- 1 e l i m V i - y^n p a r a

- K y < 4 1. .

10. S e j a e > 0. D i v i d a m o s o i n t e r v a l o pelos pontos x a = a , x 1 ? . . . , xm = b em sub interva los de comprimento menor do que e / 3 M . P a r a cada ponto x i pode mos determinar u m m tão grande que | / n (x0 -Jm(xi) | < e/3 quando n e m > n*. Seja A 7 o maior dos na, nx, . .., nm. Podemos , então, d e m o n s t r a r pelo t e o r e m a do valor médio que a desigualdade | / „ ( x ) -fm(x) | < e se verificará em c a d a s u b i n t e r -valo, desde que n e m > N.

§ § 5, 6, pág. 409.

Nota para os exemplos 1-20: N a m a i o r i a destes p rob lemas , o critério d a razão i eficaz; entretanto , para os exemplos 12-15, é preferível o d a r a i z .

1. | x | < l . 2. I x I < 1. 3. I x I < 1. 4. I x I < 1. 5. I x I < 1. 6. - co < x < 4- « .

. 7. i r | < 1. 8. I x | < 1. 9 . 11 |< 1. 10. ! x I < 1. U . ! x ! < 1. 12. I x I < l / a . 13. I X I < 1. 14 . I X I < 1. 15. - « < x < +oo . 16. I x I < 4. 17. I z I < 1. 18. ! x | < 1 ou a, que é sempre o 19. I x I < 1. maior 20. Note-se que l}nl+Vn fica entre n _ 1 e n~- ; | x | < l .

» (Ioga)" 21. 2 x'.

v=o J»!

1 x x1 xn 1 » z» 22 m £

2 3 4 n + 2 x 2 „ = s * ' » ( - 1)»^122>-1

23. Escrevamos sen 2 x = H - lA cos 2x; 2 x2». , - l (2v)!

o ( - 1V2 2"-"-24. 1 + 2 x2>.

, - i (2P)I co ( - l)i~i(2x)2»

25. S — — — (15 + 32* - 6.22»). „ - 3 32(20!

l x Q 1.3 x 1 5 » ( x 3)2^-i 1 .3 . . . (2» -4 ) 26. x J -1 1 + . . . - x3 + 2 ' .

2 3 2.4 5 , « 2 2 » - l 2 . 4 . . . ( 2 v - 2 ) 27. 1,414 2.

1 1 1

28. (o) 1 ! 1- -3.3! 5.5! 7.7!

1 1 1 (ò) - -1 + +

2 320 3 . 2 1 2

1 1 1 1 (c) 1 1 + h ..-. .

2* 3» 4» 5-* 1 2 5 - 1 2 ! - 1

(d) Façamos x = l / i ; 1- ( - . . - . ' 10 10 e 24 . IO 6

x 3 l lx« 29. (o) x + x2 + - . iò) x2 - x 3 + .

3 12 x 2 13x 3 19x* x 4

(c) x + - + — + - — . (d) x 2 - - . • 2 24 48 3

31. I x I < p. 32. f(x) = 4e* - x - l . .

.'VpÊndice, pág. 423.

1. Interrompamos a série no termo de ordem n. Teremos, então, 1 , 1 , 1 . 3 1 . 3 . . . ( 2 n - 3 ) ,

íI+UX'+€n,Z + - ' + 2 . 4 . . . 2 „ ' • < ' - " - ' S l

Façamos x = 1; todas as somas parciais S 1.

R E S P O S T A S E S U G E S T Õ E S 591

2. Empreguemos à série do exemplo L Mostremos que o maior erro ocorre quando x = 1, e que pode ser tornado menor do que e.

3. Escrevamos | í | = Vf a = V l - (1 - t2); façamos, então, x = 1 - í 2 no ex. 2. 4 . A substituição x = a - f (ò - a)í transforma a função f(x) em v(t)* Ó k 11% 1.

Aproximar para por uma função poligonal Mi) a menos de e/2 (exemplo 2, pág. 70). Representar ip(í) por uma soma da forma a + bt + 2ci\t - ta\. Aproximar-se desta expressão por meio de um polinómio (exemplo 3) e substituir t pelo seu valor em função de i .

7. Se houvesse apenas um número finito.de números primos, a identidade seria válida para qualquer s positivo, particularmente para s — 1. (Multiplicação das séries absolutamente convergentes.)

8. Demonstre-se, em primeiro lugar, por indução, que n - l

(1 - ar) n (1 + z2>) l - 2 2 " .

CAPÍTULO I X § § 1, 2, pág. 437.

n . . . " fn + l \ n l 3. 2 sen va » parte imaginaria de 2 eivo-\ sen { ) a sen - a/sen - a.

, - o V 2 y 2 2

4. Empregue-se a fórmula vn(a) = ^(1 - fiia)-i(e-ma-e(n-f i)ía) na pág. 436. 1 f *

5. Calculemos - / <rk(a:) da, e então empreguemos a expressão para sm(a) em

função de ak{a).

§ § 3, 4, pág. 446. €air _ g - t t T T r i „ ( - 1)* " *

1. (a) (- 2 (a cos J>X - v sen vrj |. 7T [_2a ^ = i a 2 -r J

8 «o (-]_)* (è) — 7T4 - 48 2 —=— cos vx.

15 y= 1 r i

: ( - 1)** sen a?r

(C) s ( - l)*n ft , • + sen vxt a y 9 m lx Lv*-(a + l)* v 2 - ( a - l ) 2 v2 - a-

$e a nao fôr inteiro; x/% sen (a - l )z + sen ax -\- 14 sen (a + l)x se a for inteiro. b — a 1 « / sen vi? - sen cos vb - cos

(d) b — a 1 « /sen vi? - sen va cos z>ò - cos va \

|- - 2 I cos vx sen vx \. 2lT Tl y = i V P *> / 2i

2. Apliquemos a transformação 2 - - 7r + 2TTÍ ao § 4, n.° 2, pág. 440. 3. B 9 (0 - í 2 - < + V.; BB(t) = - 3 / 2 <2 + v* í; B 4 (0 = í 4 - 2í3 4- *2 ~ V.o. 4 . BS) já foi dada no exemplo 2. Os outros desenvolvimentos sao obtidos por

Integração sucessiva por (ò) da definição do exemplo 3. Pode-se provar que as constantes de integração são iguais a zero.

http://finito.de

5. Nos resultados para 6 2(í) e BA(t) dos exemplos 3 e 4, fazendo-se t = 0. 6. Nos resultados para B3{t) dos exemplos 3 e 4, fazendo-se í =• '/«•

" r ** 1 8. cos x i = H 1 - — - .

CAPÍTULO X

§ 2, pág. 465.

3. (a) Descontínua sobre a linha x = 0; (6) descontínua para x =- y = 0; (c) descontínua na linha x = - y; (d) descontínua para y — - x2.

§ 3, pág. 472.

1 i a ) dl =

2 x tf = _ 2y 3x 3V (x 2 4 -y 2 ) 2 ' dy 3 V ( x 2 4 - y 2 ) 2 ' 3/ dj

(b) — = 2x cos (x2 - y), — = - cos (x2 - y). dx dy

Bf Bf (C) = er-y, = _e*-y. dx dy

M * 1 a / v dx 2V(1 + x + y 2 4- z2f dy~ V ( l + x 4- y 2 + z3)*

0/ - z <3z ~ V ( l + x + y 2 + z2)3*

^ tf ^ tf ^ tf (e) — == yz cos(xz), — = sen (xz), — = xy cos (xz).

dx By dz

~ df x Bf y ÔX 1 4- x 2 + y 2 ôy I 4 i ! 4 - y '

9 , x tf 3/ a 2 i ô 2y a 2 / 2. (a) •— = y, —• = x, — = —- •» 0, : = 1.

dx By ôx2 3y 2 dxây

( ô ) t f « í tf=_ ^ = JOL^o dx x' dy y ôx2 x 2 ' Bxdy ' dy 2 y*

C te (1 - xy) 2 ' Ôy (1 - xy) 2 ' ôx2 (1 - xy) 8 * B2f ^ 2 ( x + y ) d-j _ 2(1 4- x2)x

dxdy ~ (1 - xy) 3 ' dy2 ~~ (1 - xy) 3 '

tf i tf . av , ,N „ (a) — = yx^-J-, — = xy log x, — = y(y - l)-xy-*,

õx dy ôx 2

* d2./ — • « xy - i ( l 4- y log x), — - xy (log x)*. ôxdy By2

dj dl (e) — = yzy- iete ' ) , — = & iog [xé^\.

dx dy

b-j — = yxy-2eW)(yz' + v - 1), dx2

â2j = xy-ie(*y)(l + y Iog x + y i y log x), dxdy

d2J - = x7 (log x)2e(*7>(l 4 xr).

3. Derivar <ts(x2 4-y 2) = \f>{x)\t(j) parcialmente, em relação a x e a y. Eliminar ip'(x2 4 y 2). fazer y = 1, e resolver a equação diferencial resultante: /(x. y) =ae í , ^ 2 V).

§ 4, pág. 4 7 9 .

3/ x + y c o s ; 6/ v + a r c o s : L . (a) —

dx V (x2 4 y2 4 2xy cos z)3' dy V (x2 4- y 2 4 2zy co< z)3

ô/ xy sen z

dz V (xa + y 2 4 2xy cos z)3'

dj 1 2xy (6) —

dx V z2 4 2 z y 2 4- y* ~ x2' dy (z 4- y 2) V z 2 4- 2 z y 2 + y 4 -

d / x

dz (z + y2) V z2 4 2zy2 4 y 4 - x*'

(c) - = 2 x ( 1 4 \ dx V 1 4 x2,4 y 2 4 z V dj 2yJ

l og ( l +x2 + y2 + z2) 4

(d)

3y 1 4 x 2 4 y 2 4 r* # = 2yz ' • _ dz 1 4 x 2 4 y 2 4 z 2 '

í dj z

dx 2(1 4- x 4- yz) V x 4- yz dy 2(1 + x 4 y:) V x 4 yz' dj y

dz 2(1 4 x 4 yz) V x 4- y : '

2 . (a) — = x<**>x* [log x 4- (log x ) 2 4- - I; (6) ~ - - r ^ r r - , (2-log x - 1 ) .

dx L Z J ô x x 3 + l / « -

5. z, = 3, z y,= 1;. Zr = z,cos ;0 4- Zysen '0 , 29 == - z x r sen 8 4 z yr cos 9. 7. (a) aá - 6c; (6) l / r ; (c) 4xy.

§ 5, pág. 4 8 5 . . ; , v. ' • . .: '

2 . (a) ( ò ) - | ; (c) - . 1 ; (d) - 1, •',. ,.v

I

21 19 3 . (o)-- ; ( 6 ) T ; (C) 2 ; (d) - - .

o2 á

4. Valor máximo 6, valor mínimo - 6. 5. õz/dx — - 1, 3z/dy =« - l .

§ 6, pág. 499.

1. Co) a 2 W - ò 2)/8; (6) - 4; (e) log 2; (d) e*lb - 1/6 - a; (e) r / 1 6 ; ( /) 4/3.

2. 2 r . 3 . Utilize-se da simetria da figura: 1/16 do volume fica acima do triângulo

com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), e abaixo da superfície x 2 4- z 2 = 1; 16 /3 .

4. V , » ( r - / i ) 2 (2r 4- h).

Ares Centro de gravidade

Momento em eixo dos x

relação ao eixo doa y

Momento de inércia em relação ao

eixo dos r eixo dos y

(a) ' / , r * (0. 4r /3xi •/V» 0 rr*!8 *r*/8 (b) aò (V 2 a, »/a6) VaO»6 V3asJb <e) 4aà (0. 0) 8 0 4aò 3/3 4a 8ò/3 ídj T É t Ó (0. 0) 0 0 *-aò3/4 a-a3ò/4 (e) 73aò (V 3a. V,ô) V 4 a 2 6 aò 3/12 o s ò/12

Votuma Centro d* Momento de inércia em relação ao gravidade eixo dos x eixo dos y eixo do» z

6. (a) a6c (V 2 a, V A V«c) , / í a6c(ò 2 4-c 2 ) V aafo(c 24-a 2) :/ 3aí>c(a 24-6 3) (6) 2 / s T o 5 (0, 0, 3a/8) 47ra s/15 4*a 5/15 47ra5/15 (c) >/6aòc (V«a, ' / A V«c) a6c(ò 2+c 2) /60 aèc(c 24-a 2)/60 aòc(a 24-ò 2)/60

CAPÍTULO X I § 2 , pág. 5 0 9 .

1. Cjt?' 4- Cje 2 t ; s J > - d'.

2. c^e~' 4- c 3e~ l; e"' - e" 3'.

3. ceVa/ + C a e- ' ; 2 ' 3 ( e V 3 < - e - » ) . .

4. C i C ' 2 ' 4- c 2 / e - 2 ' ; í e " 2 ' .

5. c ae- l/2í 4- cate- 1 /*; te-W.

6. e - W (^c, cos ^— /. 4- c 2 sen — ^ = ae -W cos — (t - $);

^7|e-W sen — í; , = V 3 / Ü T = 4TT/V3Í a - 2 / V l f , 5 = r / V ?

7 . V2<rV2í cos « ( / 4- MTT); a = V 2 J í - - x /2 , p = H .

RESPOSTAS E SUGESTÕES

3, pág. 519.

1 - c * i ^ e ~ a ' i (2 - co2) cos co/ 4 3 c o sen orf.

' ~ 1 + o>2 4 4 co3 (1 4 - w2) ( 4 + co2)

1 3o a — .- , tg aS = , co = 8.

V(l 4 - co ) ( 4 4 co2) 2 - co2

2. c-Vsi - i ) cos íl t - •—r ( w i 4 1) Sen ^ í j

+ 1 - c o 2 4 w 4

(1 - w 2 ) cos cal 4 ci> sen coi*

1 - w 2 4 w*

1 _ « _ J _ ° ~ V 1 - c o 2 4 c o 4 ' t g W 5 ~ 1 - c o 2 ' V~2"

3, < - ' / 2 / £ w cos ^t + ^= c o ( 2 c o 2 - 1) sen

1 _ w 2 + w 4

(1 - w 2 " ) sen w i - co cos coí

1 - c o 2 4 « 4 '

a, t g c o õ , w como no exemplo 2. - e-L/2í[(i - 2 c o 2 ) cos iil 4 (1 4 2 a > 2 ) sen

+

1 4 4co<

(1 - 2 w 2 ) cos coí 4 2 w sen w í

1 4 4 t í 4

1 2 c o t g c o 5 = _ 1 — , co « • 0 .

V 1 + 4-a)4 1 - 2 w 3

( 4 - o>2) cos o i í + 4 w sen c * t

L « * - 4 ca3 + 4 J ( c o 2 + 4 ) 3

4 , pág. 527. 1* logd + y2) (y + V y 3 + 1) + 2(1 + s)" 1 ' 2 - 0 2, (y3 - 2a3)/y = c,

l . \ogy-j = c. log o - V a

4. l/y » log a: + 1 + #c. 5 . 2 = are tg y - 1 + ce"**** " *• 6* y 3 •= sen x - cos x + W*. 7. ey3 « 8* y* » « - 2 ,+ cê"*. 9. cos x.cos y =» e.

10. yext* + * = c.

11. x = Cje' - f C2Íei + c-fitK

12. z — c-eZi + c 3íe 3 t + c 3 .

13. y — ct cos x + c2 sen £ + cax cos x + c 4x sen x.

15. y = CjC* + c^xex + CaC"* -h c 4xe~ 1

+ c 5 cos a: -f- c f l sen x + c7x sen x + c5x co» * .

16. y + Cae1'*.

17. £ - r = d sec(x + c2).

18. y = Ci + c-x + czex + cAe~x.

19. y = Ci are tg x + c 2 .

14. y — Cj + c^c"* cos

J 2 log I y - 1 1 + et

21. as = - l/foí + Ca). 22. s = (are sen í) a + <M are sen í + e3.

3T rfy

EXEMPLOS DIVERSOS

C A P I T U L O I

•1. E m p r e g a r o § S, n.° 7-(pág. 340.

2. 39 = 1-3» 4- 1-3 S 4- 1-3 4- 0. logo, a resposta pedida é 1 110. 3. (a) 10 011 100; (6) 2 130. 4. (a) 758: (6) 5 954; (c) 10 000: (d) 0,2; (e) 0,023; (_f) 0,249 7. 5. (a) 1 , 4 1 < V i < 1.42: (ò) 2.65

: 6. ( a ) ^ ^ l . l è ^ -2 2

(6) Todos os valores de x. . •

(c) x g - 3 - 2 V 2: - 3 + 2 V i g z â 3 - 2 V 2? x è 3 4 - 2 V i .

íd) x g - 2

7. E l e v e m - s e ao quadrado ambos os membros . S o m e n t e haverá i gua ldade se o = ò

8. E m p r e g a r o exemplo 7 Somente haverá i gua ldade , se a = 6.

9. Somem-se as três desigualdades a' •+- ò ' è 2aò. ò 2 4- c 2 ã 2òc, c 2 4- <*2 = 2ca . (6) M u l t i p l i q u e m - s e as três desigualdades

o t i / — à -t- c .— c -t- a ,— > V aò, V 6c. ^ V ca.

2 ~ 2 ~ 2 ~~

(c) Somem-se desigualdades do t ipo a s 6 J 4- 6 2 c 2 ê 26 2ac.

10 . Ap l ique - se a desigualdade de Scnw-arz aos números x, . x2, x 3 e 1, 1, 1.

1 1 . Obtemos , da relação (a - a,) ib- - 6.) è 0. a s e g u i n t e s o m a

a,6> 4- a-tb1 è a,b, 4- a,òt:

para todos os valores inteiros de i e j . desde 1 até n.

12 . (a) D e s e u ^ o u e r (1 - D* pek- teorema do binômio. (e) Desenvo lver e reunir os termos e m x° da ident idade (14-x) , , (14-x) ' > =

*-(l+x)2\ 14. n\n 4- D 2 / 4 .

i i r í 1 1 1 5 . (a) Escrever = - I e somar desde

v(p + l)(p + 2) 2 lv(v 4 - 1 ) O 4- I X " + 2 J 1 1

• *= 1 até n ; — 4 2n(n 4- 1)

n (3n + 5) 7 ^ + 21n 4- 8 (*) T,—r—rr,—r^o w 2(n + l ) ( n + 2) 36(/i 4- l ) (n + 2)

597

16. (o) W - n 4 2); (ò) 7 6 (5n 3 - 18n= 4 n - 30). 17. (a) n ( / i l 4- 5)/6; (ò) n(n - 5)(5n 2 4 11* 4 26)/24. 18. Admitindo-se a veracidade do teorema para n = m, multiplicá-lo por (a-+-6),

obtendo-o para n = m 4- 1. Verificar o teorema para n = 1, 2. 19. (a) 1; (6) V« (c) « .

1 1 1 25. (c) Se m > n, | a B - o. | - - — — 4 4- . . . 4- —

(n - f 1)! (n 4 2)! ml i r í i í i

= 1 H H h . . . 4 ! (n + 1)1 L n 4- 2 (n + 2)(n 4 3) (n 4 2 ) . . . m j

) (" 1 1 1 *• < H 1

(n + l ) l L » + 1 (n + 1) 2 (n 4 l ) " " " " 1 J 1 1 1

< (n + 1)1 1 n. nl 1

n + 1 (d) O mesmo que (c).

a 1 n ( -1)7 26. Seja c„ = 2 - , d n = 2

„=0 r « 0 rl n ( _ l)r

c,d„ = 2 , e fazendo T 4 » 3 5 M, teremos „, T = o T! I>!

2n n ( - l ) r n *i ( - l ) r c0d„ = 2 2 4 2 2 - i — i i — .

íi=*nH-l T = 0 rl (/x - T)I u =0 T = 0 r! (M ~ r)l

" ( ~ l ) r

Agora, 2 = 0 se n > 0, de sorte que T = 0 T\(JÍ- T)\

c B d n - 1 I = I 2 i ! n = n+l J = ÜT!(JÍ - T)I

2 0 + l f 2 2 2

2n 2" < 2 - .

« = n 4 1 M l

1 4 H + (n + D ! L n + 1 (n 4 D 2

< (n + l ) l _ 2 ( n - l ) . n l

" n + 1 2" 1

Desde que — — 0 quando n — » , ene?n -» 1 e l im d 0 = - . n! n-* co e

27. (a) A seqüência é monotonamente crescente sendo l imitada superiormente por 2, visto que, se a a < 2, a n + 1 = V 2 4 a 0 < V 4 < 2.

(6) Seja l i m aa = a. Empreguemos a relação a n + 1 = V 2 4 au para obter

mos a = V 2 4 a o u a = 2. 33. (a) 1; (ò) 1; (c) l /c .

1 ... 1 « 35. (a) —; (6) — ; (c) 11 1001 1 4 «

36. (a) 4e / ( l 4- 2e); (b) e/7; (c) are cos (1 - e). 39 . Uti l ize-se o fato de que se x fôr rac ional , n!x será u m inteiro pos i t ivo para

todos os valores suficientemente grandes de n.

4 0 . (a) Contínua; (í>) Descontínua em x = 0; (c) Descontínua em x = 0, ± 1. =*= 2, . . . ; (d) Descontínua para todos os valores de x.

42 . S i m ; considerem-se os sinais e m x = 0 e em x — T / 5 . 44 Se ja e uma quantidade arbitrária quainncr . Teremos |/(x') -j(x") \ < e

desde que, unicamente, | x' - x" \ < ò. E> r-ar, ! j(x') - j{x") | < e se i x' - a < ô, que é o critério de convergência ue c a u c h y .

45 . (a) (x- 4- y 2 - bx)- = a2(x2 + y 2 ) . (6) 3x 2 - 4x - 4 4- 4 y 2 = 0. (c) x2 = y 2 (2a - x). (d) x 2 4- y 3 = 3axy.

5 4 47 . (a) Círculo com o centro em - - i e raio

3 3 1 k2 k2

ib) Se fe > 1, círculo com centro em <x H 0 e raio !(?-<*!; fe2-l fe2-l fca-l

se k < 1. permuta-se a e j3; se fe = 1, a bissetriz perpendicular à l inha que une a, j3. (e) Consideram-se as três possibilidades: k < 1, = 1, > 1.

4 8 . A "desigualdade t r iangular " : a soma de dois lados de u m triângulo é maior do que o terceiro lado

49 . A soma dos quadrados das diagonais de u m paralelogramo é i gua l à soma dos quadrados de todos os lados.

C A P Í T U L O II

1 1 1 52. sen cos - .

X X X

53. ;'{x) = (1 4- 2x) sen - - ( 1 4- - ) cos x zp 0; /'(0) não existe, x V xJ x mas o

quociente das diferenças t em os limites superior e inferior, respect iva-x

mente, 4- T e — 1, à medida que x -> 0.

/ 2 1\ 2 1 54 . J" (x) - ( ~ — ) sen x - - cos x, x ± 0; j"(ú) = - - .

55. Empregue-se o teorema do valor médio.

56 . Empregue-se o teorema do valor médio.

57. Considere-se <p(x) — [f(x + h) - jf(x)]//i. Provar que esta expressão assume valores ac ima e abaixo de p, para valores de h pequenos (fixos); logo, verificar-se-á (fi{x) — M p a r a algum valor de x. Empregue-se, então, o teorema do va lor médio .

600 R E S P O S T A S E S U G E S T Õ E S

58- Determina-se a equação da tangente y = g(x) e aplica-se o teorema do valor médio a j'(x) - g'{x). usando-se o resultado do exemplo a.° 55.

59. Estabelece-se a equação da corda que liga os pontos x — xu r = r , da curva» y = g{x)\considera-se, então, h{x) — f(x) - g(x)% h"(x) = J"{x) è 0. Se hlx) > 0 em algum ponto do intervalo r, g x á x2, haverá um ponto £ com 0 * h(£) < 0; empregue-se, então, o exemplo n.° 58.

60. Utilize-se o exemplo n.° 59.

61. 0,006.

62. (a) Mx~ w 2 ; (6) sec* ar.

63. Emprega-se o exemplo a.° 62. ía) 2; (ò) I.

1 r*

66. seja p — - I u(l) dL Determina-se a equação v = g(x) da tangente à curve ajo y — jiz) no ponto x = M- Ter-se-á/(X) ^ 5(2) para todos os valores de x (exemplo n.° 58). Façamos 2 =* u(0 e integremos.

67. Suponhamos que a aceleração é menor do que 4 em qualquer posição. f 1

Neste caso, 0 < 4£, e semelhantemente, v < 4 - 4t. A distância percorrida, s = / orfi 7 6

é, então, menor do que 1.

C A P I T U L O III

(2 t° x — — + cotx ) e ^ x . i o ç . « » cos2 x

(6) 4(r + 2)3 (x2 + l ) 5 ' 7 \' 1 - xa - * : (z + 2Y(x* + i) 1-" 3*V ( i - X 2 ) 2

+ ' M x 2 + iy2n(x + 2Y V l - x 2 . 3x2

(c) — x sen x + cos x + 3x2 sen x -f- x3 cos x sen x sen2 z

6. O denominador não deve anular-se para valor algum, real, de a. Igualmente, o numerador da derivada não deve anular-se. As condições são: ac - è 8 > 0, a > 0, cò - a/3 = 0, a 4= 0, ou a = b = 0, a =|= 0, c 4= 0.

70. Máximo para x = - l/c, mínimo para x = l/e, inflexões nos pontos (0,1) -2 (2 + iogx 2) 2 +2/x - 0.

74. Seja T um triângulo de área dada e menor perímetro, sendo b um dos seus lados. Fixando-se 6, T será o triângulo de base dada 6 e com área estabelecida, com o menor perímetro. Logo, T será isósceles, com os dois lados diferentes de 6, iguais entre si. Mas, b é qualquer lado, de sorte que o triângulo T é equilátera).

RESPOSTAS :E SUGESTÕES 601

A n a l i t i c a m e n t e , basta considerar somente o caso do triângulo isosceles. S e j a m

as coordenadas dos vértices ( - x), 0, (z, 0) e ^ 0 , o perímetro será, portanto ,

2s 4- - "V x* 4- A 2 . Iguala-se a pr imeira derivada a zero estabelecendo, então, a x

»egunda der ivada .

75. E m face do exemplo 71, considerem-se apenas triângulos isósceles.

76. E m v is ta do exemplo 72, considerem-se somente os triângulos isósceles. 77. (a) A der ivada de (1 4- x)e% é sempre posit iva para x ^ 0. O mínimo p a r a

i è 0 se dã quando x ~ 0, a saber, 1; (fc) integra-se (a) desde 0 até x; (c) integra-se (ò) desde 0 até x.

[da" 4 d - 0 ) M I , P

78. Se ja J(B) « - ; teremos /(0) = = 1. De te rminar j'{8) {8a" + (1 -

e mostrar que tanto J'(8) ss 0 como .f'(0) = 0 se ver i f i cam p a r a um único va lor de 6 no in terva lo de 0 a 1. N o último caso, mostrar que/ (0) nunca é igual a 1, v isto que 0 < 0 < 1. Calcula-se, então,/ ' (O) que é igual , exceto para u m fator pos i t ivo , a

a" - b" a 1 1 - ò" /*«* fcl 5» _ / ÍJPXP-1(J<1-P _ j r í - p ) dx,

P 1 J b

que é negat ivo , salvo quando a ~ b. P o r t a n t o . j{9) S 1-

79. O s inal de igualdade é válido somente quando / '(0) = 0, ou a = 6.

82. F a z e r com que a-^bs-ilõa 4 (1 - 6)b] seja um mínimo.

85. (o) Super ior : (6) o mesmo: (c) inferior, (d) superior.

86. i n t e g r a r o primeiro membro, somar, e derivar novamente. dn + i dn d» d f l - i

89. (e**/2) = — (IÍ^/Í) = a: — (e*2/2) 4 n (e*2/2) pela regra de a i " - * - 1 dx" dxn dxn~x

L e i b n i t z -90. E l i m i n a r u n ^ , de ambas as equações; rain_, = u a ' ; der ivar u m a das equa

ções, empregando esta relação.

n{n - 1) n (n - l ) (n - 2)(n - 3) 9 1 . a,{x) = i ° 4- -x°-* + — - z 0 ' 4 +

2 2 .4

92. A p l i c a r a regra de Leibnitz a

d0'1 d'*1

(a) - — (x a - 1)»+» = — [(x* - 1) . (x2 - l )» j ; dxa 2 dx° 2

da~' d"*1

(6j — — d 2 - l ) ° + l = — [2(n 4 D i . (x2 - IH dxn 2 c/x"*5

(c) Igualar as duas expressões de P ' n + J em (a) e (ò).

2(n)! 93. Pa(x) = 2"ín!) 2

- 1) „ n(n - l ) (n - 2)(a - 3)

2 ( 2 n - l > 2 . 4 . ( 2 n - l ) ( 2 n - 3 ) • 1

94. O mesmo como no exemplo n.° 93.

602 R E S P O S T A S E S U G E S T Õ E S

p 95. Pelo teorema do binômio, Z B, À D ( X ) = {x + 1 - x) p =» L

n=-0 Também» derivando

(a -f- x) p = £ (P )aP" nx a

êzes, teremos:

Víultiplicando por xk e fazendo a — 1 - x, virá:

CAPÍTULO IV

9 6 . , ; / l 3 x i : ! ' 1 2 - ^ i 1 " 4- \ ' 3 x i ; < 4- l 2 / 7 x 7 ' 1 2 - 2 x l í i - 3 z w a 4- 4x" 4 + 1 2 x m i

97. 4 / 7 ( l 4-e x) 7 /* - ' / B ( l 4- Í " 1 ) 3 ' 1 .

- 2 log (1 4- x 1 M ) - 4 log (1 4- x1'1-) - 4 V 3 are "7= (x 1 " 2 - >/a). "V 3

98. - 6 ^ ( 1 + x)a[V» 4 - V . ^ l 4-x T- V .< ' l - T - X 4 - V 7 V 1 + 4- V . ^ d -f x)2 4- 7,^(1 + r ) * ] .

_ 1 1 z a - X + i 99. Façamos i + - = /: - log • .

r 2 í + i + 1 1 1

LGO. - are cos —. n xa

101. i [jog x - log (x 4- D 4- log (x + 2) - + . . .

= log(x 4- n)~|.

( r a - l ) ( n - 3 ) . . . l r ^ ( n - l ) ( n - 3 ) . . . 2 , 1 0 2 , ; ™ «—• ~ ; s e n l o r P^í ; se n for impar.

j i ( r a - 2 ) . . . 2 2 ra(n-2)...3

103 2 l 2 / ( l • 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 13) . 104. J—L. I . 2 3 E ( n ! ) J 2

22 o(nl)2

1 0 5 . " .. 1 0 6 . T / 1 6 . 1 0 7 . T / 3 2 . (2n 4- 1)!

T , A r t / " / i . . x*'H (log x) m m r

108. / x» (log at)- dx = / x» (l 0 g x ) - " 1 dx. - a 4- 1 a + U

x ne a x sen &x dx « — (a sen 6x - 6 cos bx) a 2 + è 2

an r hn f " o . r ; / s""^" sen bx dx 4 / x B -V 1 3 C cos bx dz<

a2 + o- J a 2 + ò- ./

s x"e'LX

110. / z ne" cos bx dx = (a cos bx 4 b sen 62}

a s 4- V

an 1 bn xa~*etT cos òz cfx — : r - / xn'xe" sen bx dx.

a- 4 &2

111 . e " S b bxdx = ¥ - a 2

(o Cb bx - a Sh òz).

112. e"Cbòxdz = (6 Sb bx - a Ch bx). J b1 - a-

114, 115, 1 1 6 . Integrar por par tes . 117. 2 a - 1 ( f t ! ) 2 / (2n 4 1)!.

118. Convergente. H 9 . Convergente. 120. Convergente se n > - 1; divergente se n g - 1, 121. Convergente se n > - 1, m > - 1; de outra maneira é divergente. 122. Convergente se n > 0, m > - 1; de outra maneira é divergente. 123. Convergente. 124. Divergente. 125. Convergente. 126 . Convergente. 127. Convergente se n > 0; divergente quando n g 0. 128. Convergente quando m > n - 1; divergente se m g n - 1. 129. Convergente. Considere-se

/•(»+»* dx r r ( 4 e ) T r(p4i-i>» /•(H-D» " i d i

„ /•* 1 +r 4 3eQ J ï J » . J (4«!t J ( 4 i - t ) r J 1 4 Î 4 S I sen- z

O integrando ê < 1 na primeira e na última das integrais, sendo < , na s-V sen2 €7T

segunda, de sorte q u e ' ( "+1)» da

l + í* sen2 x < 2eir 4 r*v* sen2 ear

Esco lhamos e = — ; então, sen e r > Ví e r , e

rc»+i> dz & r- dx / < — <k —,

J ,* 1 4 z 4 sen2 x v4'3 J v-i x*" onde fe é constante. Finalmente,

ÇB dx Çm*

JA l + i 4 sen2 x J n* F dz

< fe 4 xi sen2 z J z

(m-l)x dx

3fe r 1 1 ~ i 3fe s r — . I < _+ o quando n -» » .

/•0-41)» da / * f r 4 i ) * d z O u , / < /

./ „ 1 4 - x 4 sen2 z J „ 1 4 < fe

< -. sen 2 z V 1 4 („„•)« v2

rA xdx ÇA xdx 1 3 0 . / — — ; — > / > X log í l 4- A2); d ivergente .

J o 1 4- x- s e n 2 x J o 1 T I !

1 3 1 . C o n v e r g e n t e q u a n d o S < - 2, ,3 4- 1 < a < - 1 ou 3 > 0, - 1 < a < j3/2 - l ; de o u t r a m a n e i r a é d ivergente .

T m xa dx S u p o n h a m o s que j J | 0 . Neste caso, / c onverg i r ia somente

J 1 + x 3 s e n 1 x f xa dx f Xa- dx

q u a n d o a < — 1 ; / - comporta-se como / , isto é, quando J o 1 4- x& s e n 2 x J o 1 + xP'2 4

j3 4- 2 è 0, teremos a > - 1, ao contrário da dedução anter ior : se £ 4- 2 < 0, a - 0 - 2 > - 1.

r> • , r x°-dx

S u p o n h a m o s , a i n d a , que 0 > 0. Então, / convergirá somente j o 1 + s e n 2 r

adiando a > - 1. Além disso, i / g 7 r B - M f (»+DT (j/7r)a rfx V 1 4- (J» 4 - J 1 4 ( » 4 s e n 2 1

rir+Dr xa dx n-+D-

J ,i l + i ^ s e n 2 x J VT 1

b+D- [V IYTT0- dx (v <

4- (VTT)*3 sen 2 x V 1 + ( » F j í /*(*+D* x a c/x

ou fe,»>0~í3/2< / <k2ua-3n. j »T 1 4- x® sen 2 x

f <° xa dx L o g o / será convergente q u a n d o , e somente q u a n d o a - j3/2 < - 1.

J r 1 + xP s e n 2 x A. integra l pode ser ca l cu lada , igualmente , peio método exposto no exemplo

n.° 129. 132 .

J a ta X J ao X J aS X

dx = £ log - 4- í r/z. J aa X a J ao x

M o s t r a r que esta última integra l tende para zero q u a n d o a - 0 .

134. Consideremos / t/x, e procedamos como no exemplo n.° 132, J o x

C 1 135 . N a fórmula V(n) = / e'Hn-ldt deve-se s u b s t i t u i r t = z 2 e í = log -

respect ivamente .

C A P Í T U L O V

136. (a) x 6 4- y s = 5 a x 2 y 2 ; (6) x = o are cos °~~ + \'b2 - (a - y)'.

138. (a) x 2 4- y2 = V a2x2 4- ò-y 2 , (c) x(x 2 4- y 2 ) 4- />y2 = 0. (6) x 2 + y 2 = V a2x2 — ò 2 y 2 . (d) x = 0.

1 4 1 . x = i-JdjL, y2 = 4 p / ( l 4- ' Y. V / + P V 2 V p V í 4 - p y

142 . 5a 2 / 2 . 143 . TT6(2Ü + fe)(a - ó) 8 / (2a 2 ) ,

R E S P O S T A S E S U G E S T Õ E S 605

4b(a + b) 4b<a + b) / a \ H 4 . _ L 1 - c o s - l .

a V 2ò 7 1 4 6 . E s c o l h e r os eixos de sor te que a c u r v a toque o eixo dos x na o r i g e m , e

que a o r d e n a d a dos y seja função d o ângulo que a tangente no ponto (x, y) faz c o m o eixo dos x.

1 4 7 . (a) / 3 / 1 2 ; (b) P/3; (c), (d) I(l2/12 + d 2 ) . 148. r = cecotga.í. ^ g , ( x _ cy. _j_ y fe5

1 5 1 . (x - c j 2 + y 2 = c,\ 152. y = a C b Z ^ . a

153 . O c o m p r i m e n t o da l i n h a reta que une. os pontos (r„. <*>„). ( r y + 1 , <^+I) d a c u r v a é ('«•í - r v ) 2 +- 2r„r P i ,|( l - c o s ( ç „ + 1 - <ep)l, va l endo o c o m p r i m e n t o da l i n h a po l i gona l i n s c r i t a :

onde todoã os | ü „ j são l imitados . D e i x a n d o o máximo de tender p a r a zero , obteremos


157. x2 - - x< + — z 9 +• . . . ; (sen x ) 5 = ( x 1 x7R ) 3 4-5 V 3! 51 J

2 = x 2 - - z 4 + — z c + x s / ? \

3 45

onde R e fi' pe rmanecera l imitados q u a n d o x - > 0 .

x ! 2 sen x 158. x H 1 xò -f- . . .;

3 15 cos x

X J

x — — 3! o !

- x7R

x- X 4

1 - -+ i i

- x °S 2! + i i

1 2 = z 4 - - z 3 + — x 5 + - x 7 T ,

3 15

em que R, 5 , T são l imi tados , à m e d i d a que x -> 0.

x 2 x* , / x 2 x 1 V " 159. 1 V cos x = ( 1 - - + - - z 6 R 1

4 96 V 2! 4! J

1 / X 2 X* \ 1 / X1 X* \i - 1 + - ( - - + - - x 6 i í ) - - ( - - + - - x*R)

2 V 2! 41 J 3 V 2 ! 41 J /* x 2 x 4 V y 2 * 4

+ ( |- _ _ ^ \ S = i + z e r

V 21 4 ! / 4 96

onde /?, »S, T são l i m i t a d o s , q u a n d o z-»U.

160. (a) 1 -x2 x* 2 x 8

? ~ 4 5 ~ 9 4 5 (b) 1 - - +

x* 12 1 440 23 712

x2 5 61 x1 x1

(e) e + es + ex 2 + - ex s 4- . . . 6 6 180 2 835

l i ! 1 . 3 i f 1 . 3 . 5 x7

161 . x + - - + — — - + — — — - - + . . - .

162. 2

2 3 2 2 . 21 5 2 3 . 3! 7

_ » - o V n A r - n J (2n + l ) ( 2 r -

z 2 T + 3

2 n + 1)J 2 2 ' '

1 . 3 . 5 (2* - 1) x2»+ i 163. (a) 2 ( - D- - ;

, = 0 2 . 4 . 6 2v 2v + 1

» ( - 1 ) " x 2 ^ 1

(6) 2

164. (a)

- o v\ 2v 4- 1

Í2n)b2n+1

(c) ( - 1 ) » X2v+I

"2 n (n ! )2 (2n 4- D ' ib)

— l O 4- 1)12* 4- 1

n!(2n 4- 1) (c) r 2 n + J

(2n 4- l ) í (2n + D

e / T \ l i e / T V 166. e - - ( - ) + — ( - ) -

2 V z y 24 V z /

167. (a) - - ; 2

(6) l i e

24^ (c) 0; (d) e"1"; (e) 1.

169. (a) Míilirno e m z = 0; (ò) máximos e mínimos nos pontos em que

1 1 . í 1 tg - = - , os quais ocorrem u m a vez em c a d a i n t e r v a l o : < z <

* x ( n + J í )x (n - ^ ) x n = =*= 1, =*= 2, . . . ; máximos e mínimos a l t e rnadamente .

CAPÍTULO VII

170. 5,881a. 1 7 1 . 11.

172 . 0,822 47. 1 7 3 . 0,175; 0,302; 3,490.

174. V i s t o log (a 4- x) ter a c onvex idade v o l t a d a p a r a b a i x o , e a > 0,

= (n 4- H + «) log (n + 4- a) - (a + Y2) l og (a + y2) - n,

l o g (a 4- 1) 4- . . . 4- log (a 4- n) > / log (a + x) efe

OU « ( a + 1 ) . . . (a + n) > a e-n > k(a)nlna, (a 4 - M) a +™

onde k{a) é u m a q u a n t i d a d e p o s i t i v a q u e depende de a. Além disso ,

a 0 _ i \ nJ \ nJ 2 n2 n3

em que fí p e r m a n e c e l i m i t a d o , q u a n d o n - * « . P o r t a n t o , p a r a va lores s u f i c i e n t e mente g r a n d e s de rt, a„ < o 0_j, sendo a sequência m o n o t o n a m e n t e decrescente .

i 175. c 4- (n + l og n - 2 (a» 4 - H) log n , .

p » 1


178. Q u a n d o l i m a„ § 1. os t e rmos não tendem p a r a zero. Q u a n d o üm a J > f e > l , 1

compare-se a série c o m S — . k"

m

179. 2 o » < e, qualquer que seja e, p a r a todos os n , m, su f i c i entemente g r a n ia = n

rn

des. M a s , X a„ > {m - n ) a m l o u mam < « 4 n a n . C o n s e r v a n d o TI f ixo, escolher m v = n

tão g r a n d e q u e naa < e; para q u a l q u e r m ass im d e t e r m i n a d o , mam< 2e.

180. A p l i c a r o exemplo n.° 179.

181. D e s i g n e m o s por s 0 as somas p a r c i a i s de 2 a„, por 5 a s o m a , e se ia aa=sa-s.

Teremos

rn m m 2 a^Òy = 2 (ff» - (T v_i)Ò v = 2 or„(6 s - Ò „ + 1 ) - (T 0_iÒ a 4 «"ofem+I-

P a r a q u a l q u e r v a l o r de v su f i c ientemente grande , teremos | <r„ ] < «, •

m I rn

2 a,ò„ < « S I b r - 6 „ + 1 I 4 e I 6 0 I 4 e I t> B + , i

< « | 6 . - + e | 6 a | 4- e | 6 m + 1 | . CO

Que , por s u a v e z , é menor do que 4 5 e , s e n d o 23 u m l i m i t e de | 6„ |, e a série 2 avbp

convergirá.

182 . P r o c e d e r como n o exemplo a n t e r i o r (n.° 181): m m m 2 a„ò„ = 2 { S c T - í ^ O ô r = 2 s„(b„ - 6 W + 1 ) - sa.ibu + smb^i

j>=n v~n v — n

empregando o caráter monótono de bA, o fa to de que 6 a - » -0 , e de que \sv \ < s p a r a q u a l q u e r v.

183 . (a), ( ò ) , (ef), ( / ) convergentes ; (c) convergente q u a n d o 0 dp. 2mr; (e) c o n vergente se 0 4 : (2n + l ) r ,

6Ü8 ' x i ^ P U S T A S E SUGESTÕES

184. (a) Vi iog 2; \b) !og 2 .

185* {a) a « L; (b) a £ h 186. i a ) D iverge ; «'6) converge.

1 188. Se j aa ( < teremos, para qualquer valor de n suf ic ientemente grande,

1 log l /t aa i log > (1 + s) log n ou > 1 + e.

* a- i iog n . log l / l aa I 1

Invertendo o raciocínio: > 1 +• e i m p l i c a em | aa j < . D e m o d a log n n 1 _ r - <

semelhante, no caso de divergência. 189. A p l i c a r o exemplo anterior (n.° 188).

190. Proceder como no exemplo n.° 188.

191. 0 critério da raiz de ordem n pode ser escrito como segue: se ° ° ^ ^ ^ >*.

a série é convergente; quando < - e, e la será d ivergente . Es c revamos , pois,

log 1/1 a , I _ n log l / l a n I iog n iog a n

< para qualquer n ã N, teremos:

. fea+i. . . b„x ba I a » I

I aQ 4.j. I < - — I a D I < — — I aQ_x | < . . . < — — 6 a + l ;

portanto , 2 | a* j convergirá se Zbv também o fizer. D a m e s m a f o rma para a d iver gência.

co 1 194. E m p r e g a r o exemplo n.° 192, comparando com X — . A série 2 | ap j

v~i va

será convergente se

« - = ^ 7 > ( 1 + - ) > ! + - + - , I aa+i I v a / n n 3

onde a > 1. Teremos,

192. Se

/ a . I A R

n( , ) >* + ->! + V i a n h l i y n

inver tendo o raciocínio,

„ ( ' i L - 1 ) > 1 + . i m p l i c a n a convergência de S | av |. D a mesma forma para a divergência.

195. 2 I a„ I convergirá, se

i ^ > ( 1 + í ) ( 1 +i 4 ^ ) j > 1 + i + . +_L_t

I f l o + i l V rc/ v l o g n / n n log n n 3 log n sendo a > 1. Virá. então,

/ " i « o ! I A R n log n ( - 1 - - + € .

VI tfu+i I ny n

A inversão deste raciocínio conduz ao critério d a convergência; procede-se de mane ira semelhante, no caso de divergência.

R E S P O S T A S E S U G E S T Õ E S 6 0 9

197, (a) Converge quando 8 - a > 1, divergindo se 0 - a á 1. (6) Converge quando y > a +• jS, divergindo se y S a + 0.

198. fa) Se z > 1 + e, 2 - g 2 —!—. Da mesma forma para (6). „ = 1 i/s „=i + «

199» A s somas parciais de 2 cos vx são limitadas uniformemente para qualquer vaíor de x compreendido no intervalo e g x â 2 ? r - e. (Escrevamos cos fx = as _ e j cos KC = - 2 eivx.) Demonstremos, então, um teorema aná-

logo ao do exemplo 1 8 2 , para a convergência uniforme. x - l

200. Se x estiver compreendido no intervalo é á x g /V, y = estará £ + 1

2 € 2 compreendido em - 1 4 ^ y g ] .

1 + e " A 7 + 1 201. (a) - 1 < x < 1; (6) - 4 < z < 4; (c) x > 1; (d) 3 > 0; («) qualquer x;

U) nenhum x; (#) x > 1; f/z) - 1 < 2 < 1. a n o o 5 0* r ~ S a» S a v 1

202. 3 — for convergente, escreva-se 2 — = 2 — . , ernpre-gando-se, então, o exemplo n.° 181 ou 1 8 2 . Se 2 divergir, 2 não poderá ser convergente para 2 < x 0 í pelo que acabou de ser demonstrado.

2 0 3 . Escreva-se 2 a ^ - y = 2 ^ . ^ co co

204. Logicamente 2 avx» < 2 av para 2 < 1. Por outro lado, co N N co co

lim 2 avxv > lim 2 a p z ü — £ a„; ou lim 2 a»x* â 2 a„. CO CO

205. Como no exemplo 2 0 4 , lim 2 avxv è 2 aVi sendo, pois, <».

« f x \» 206. Escrevamos 2 ayx" = 2 ( — ) . Provemos, então, o teorema pa-

CO

ra a convergência uniforme, análogo ao do exemplo n.° 181: se 2 av convergir, e

Be a sequência b0{x), b^x), ..bD(x) . . f ô r monótona para qualquer valor de x

e uniformemente limitada para todos os xde um certo intervalo, teremos 2 a9bv(x\

que será uniformemente convergente no intervalo considerado. CO

207» Isto decorre da convergência uniforme da série 2 avxv no intervalo CO

0 á x é X Desta maneira, 2 avx* é contínua neste intervalo.

208. (a) 3(1 + aO/d + x'zY> &) d - **)/(! ~ a + z 2) 2 . d / " e ^ - 1*\ I

209* (a) A série é igual a ( ) ; V x J U = i dx

(ò) A série é igual a % j x — ^ i -J * 1

610

C A P Í T U L O I X

2 1 1 . T I cotg irx = 1 - 2 x 2 S — l - — = 1 - 2 x 2 I - f z — j

, = I * 2 - x 2 „ « i *2 V/n = 0

x 2 " » \

1 - 2 S { S } z2m In=í v»-1 K 2 M y

/ - 1 log i » 1 r !og x » f - i )> 2 1 4 . (a) / dx = - 2 - ; (6) / - Í H a*x - 2 L _ ü

-/ 0 1 - X » - l J 1 4- i „ » i '

2 1 6 . (a) V 2 ; (6) Vã! 1 2* / ' 1 1 1 x

217. Coth rx = — { 1 j- -(- \ rx r \ . l ! + r J 2* + r» 3» + x* " 7 '

C A P Í T U L O X<

218. x 4- c = V a 2 - y 5 - a log 4- Va y

219. K &y= 4- x =» c.

2 2 1 - / - , , , 3en(ü>/ - «,) 4- • — — e - / ^ . onde tg « » — .

/fe/2 — 222. x 2 = ar ; o tempo de queda é as/Vfe.

a1

223. Diferenciar em relação a ; e resolver a equação diferenciai resultante de p, em função de x :

1 c y =. - « y - - 4- c\

4 x 5 T

224. x - - i 4- V 2 y T c 4- log l - 1 + V2y 4-

INSTITUTO ti vnsn - o F. Ü. Í.

B i R L I O T - A

I N D I C E A L F A B É T I C O - R E M I S S I V O

Aberto, Intervalo 15 Aceleração 100, 292 Acumulação. P o n t o de 58, 60 Álgelera, Teorema fundamental da . . . 73 Algébrica, Punção 23, 460, 484 Amortec ida , Vibração 41 A m p l i t u d e da vibração 296, 427, 4^2 Analítica, Função 413 Ângulo compreendido entre duas curvas 204 Angulo formado por duas curvas . . . . 264 Aparelhos registradores 517 Aplicações do Cálculo aos fenômenos

científicos 107, 109, 142, 1ZG Aproximação l i n e a r 349 Aproximação p o r expressões trigonomé

tricas 437, 456 Aproximação p o r polinómios, 321 e seg., 423 Arco de curva * . , 276, 28o Arco de c u r v a como parâmetro . . 260, 282 Arco de curva em coordenadas polares 280 Arco de curva — Representação para

métrica do — 278 , 27« Arco , Representação paramétrica do com- i

primento do 278, 27# Arco sen. V e r Funções trigonométricas

inversas. Arco S b . V e r Funções hiperbólica* in

versas. Área 77, 79 Área da elipse , ; 274 Área da lemniscata , 2 7 5 , 2 7 6 Área da parábola 88 Área das superfícies curvas 499 Área de uma superfície 499 Área l imi tada por a m a curva fechada £67,

275, 311, 314 Área que se estende até o infinito . 247 Áreas em coordenadas polares 275 Áreas, Orientação das 268, 312, 314 Argumento dos números complexos , . . 74 Astróide 267, 290. 311 Atração 298, 306 Axiomático. Método . . 4 55

Cálculo dos erros 349, 352 Cálculo dos logar i tmos 353. 354 Cálculo numérico das integrais . . . 343. 343 Cálculo numérico de ít 352. 353 Calor específico . . 123 Cardióide . 267, 290 Carga do condensador 307 Catenária 280, 288, 291 Catenóide 2S8, 297 Centro de c u r v a t u r a 283, 307 , 311 Centro de distribuição de massa . . . - 122 Centro de massa. 2 8 3 , 284. 291, 497, 498 Cic lo idal , Pêndulo 303 Cioloide c o m u m . . . 2 6 1 , 262, 287, 288, 290 Cilindróide 465 Circu i te elétrico . . 182, 433, 435, 503 e seg. Círculo Centro de massa do arco de . . 291 Círculo de convergência 413

C i r cu l o de c u r v a t u r a 282, 333 , 334 Círculo osculador 333 , 334 Coeficiente d i ferenc ia l . V e r Derivadas. Coeficientes binomiais . 2 8 , 23 , 329 Coeficientes de F o u r i e r 438 Coeficientes indeterminados, Método dos 201,

232, 404, 406 Comparação de séries 377, 380. 392 Comparação de séries c / u m a integral 380, 381 Comparação de séries in f in i tas 377 380. 392 Comparação de séries in f in i tas cora in*

tegraís 380. 381 Complexas, Variáveis 410, 414 Complexos, Números 73, 75 Conspostas, Funções . . . . 153, 156. 472. Comprimento do arco da elipse 2-»y Comprimento do arco da lemniscata . . 2-:» Comprimento do arco da parábola . . . . 2><> Comprimento do arco de uma c u r v a 276, 2c*u Comprimento do arco em coordenadas

polares 280 Concavidade o u convexidade das c u r

vas 158. 15ü Condições suficientes para máximo e

mínimo 161, 334, 335 Constante de E U L E R 3*M Constantes de integração 110, 114, 115, 50J Contato de curvas 331, 3.'s3 C o n t i n u i d a d e . . 16, 49, 51, 54. 63, 244, 24* Continuidade da função exponencial . . , (U* Continuidade das funções de duas va

riáveis 463, 46"i Continuidade do liusite 3í>:s Continuidade dos logaritmos 60 Continuidade e derivabi l idade . . . . . . . I5h* Continuidade por seções 4 3 -Continuidade uniforme 51, 65 Convergência absoluta 369 e seg Convergência absoluta das integrais . . 41 >* Convergência absoluta e condicional 3 69, 37.^ Convergência, Circulo de 413 Convergência condicional . Vêr Conver

gência. Convergência da série de F o u r i e r „ . 439

447, 45* Convergência das integrais impróprias 24 "

250. 41 = Convergência das seqüências 3* Convergência das série? integradas 394, 396 Convergência das séries d-e potências 399, 401 Convergência dos produtos inf in i tos 420, 422 Convergência. Intervalo de 400 Convergência uni forme 386, 397 Convergentes. Seqüências 38 Coordenadas polares 72. 261, 262, 265, 267 Coordenadas polares. Área em 275 Coordenadas polares, Comprimento do

arco em , 280 Coordenadas polares, C u r v a t u r a em . . .

280 e seg. 291 Coordenadas polares. Derivadas parc ia i s

em 477 Corrente alternada . . . . 433, 435, 603 e seg. Co-seno diretor 263 Co-seno, 2 4 - 2 5 . V e r , também, Funções

trigonométricas.

6 1 2 C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

Co-taugente, 2 4 - 2 5 . V e r , também, Funções trigonométricas.

Critério da r a i z 378, 379 Critério da razão • . • • 378 Critérios de convergência 367, 368, 377, 381 Critérios de convergência de Cauchy 39,

60, 367 Critérios de convergência de Leíbnitz. * 370 Critérios de convergência para a con

vergência uniforme 391,^ 392, 398 Critérios de convergência para as inte

grais 248, 250 Critério de convergência p a r a os pro

dutos inf initos 421 C u r v a der ivada 90, 99 C u r v a pedal . • - 267 C u r v a pedal da elipse 267, 290 Curva pedal do círculo 267, 290 Curvas l imite 385 Curvas paralelas 291 Curvatura Círculo de 282. 333, 334 Curvatura em coordenadas polares . . . 280

e seg. 291 C u r v a t u r a , R a i o de 282, 30S Curvas, Representação paramétrica das 258

e seg.

Decréscimo logarítmico . . . . . . . . . . . . . . 507 Densidade 122 Üerivabilidade 79,

91, 97. 109. 199. 201, 244, 245. 471 Derivação. V e r Derivadas Derivação das funções compostas 154, 474. 475 Derivação das funções racionais 3 40 Derivação das funções trigonométricas 96,

3 40 Derivação das séries infinitas . . 396, 397 Derivação sucessiva, R e g r a de Leibnitz

para a 202 Derivada — C u r v a 90 r 99 Derivada da função exponencial 173 Derivada da co-tangente 141 Derivada da tangente . . , . . . . « 141 Derivada de um produto 137, 202 Derivada de u m quociente 138, 139 Derivada do co-seno 96, 99 Derivada do limite 156 Derivada do seno 96, 99 Derivadas da função potência 94,

95. 118. 155, 174 Derivadas das funções compostas 154, 474, 475 Derivadas das funções de diversas v a

riáveis 466 e seg. Derivadas das funções hiperbólicas . . . 186 Derivadas das funções implícitas . . . . 483 Derivadas das séries infinitas . . . . 396, 397 Derivadas de funções inversas 145 Derivadas de ordem superior 99 Derivadas de polinómios 140 Derivadas parciais , 466 e seg. Derivadas parciais em coordenadas po

lares 477 Descontinuidade 51, 71 Descontinuidade das derivadas . . 197 e seg. Descontinuidade das funções de duas

variáveis '. 464, 465 Descontinuidade da integral 245, 249 Descontinuidade inf inita do integrando 246,

249 Descontinuidades infinitas 52, 464 Desigualdade 12 Desigualdade de Bessel 451 Desigualdade de Srhwarz . . . . 12, 130, 451 Desigualdade de Schwarz p a r a as inte

grais . 130 Desintegração radioativa 180 Deslocamento de fase 427

Determinante funcional 479, 480 D i a g r a m a indicador . 305 Diferencia l 107 Distorção 511, 518 Diergência, 39 , 45 . Y e r , também, Con

vergência. Domínio de definição . . . 458

£ 0 43, 172, 175, 327, 336 e, I rrac ional idade de 336 E i x o dos números 6 El ipse . Área da 274 Elipse , Comprimento do arco da . . . - 289 Elipse , C u r v a pedal da 267, 290 El ipse , Evoluía da 310 El ipse , Momentos da 500 El ipse . R a i o de c u r v a t u r a da 290 El ipse , Representação paramétrica da . 258 Elipsóide 485 Elipsóide, V o l u m e do 493, 494 Emvoltória • - 308 Epiciclóide 267, a i l Época 427 Equação da esfera 460, 4fi2 Equação da n o r m a l a u m a c u r v a . . . . 263 Equação do plano 460, 462 Equação da tangente a u m a c u r v a . . 203 Equação de B e r n o u i l l i . . 521 Equação de L a p l a c e 479 Equação diferencial da função exponen-

i ciai 178 Equação diferencial da vibração elás

tica 296, 502 i Equação diferencial do movimento cur

vilíneo 294, 524, 525 ( Equação diferencial homogênea . . 503, 504 i 508, 519, 521

Equação polar da l inha reta 262 Equação diferencial não homogênea 509, 512 Equações diferenciais , U n i c i d a d e de so

lução das 508 E r r o s , Cálculo dos 349, 352 E s f e r a . Equação da 460, 462 E s f e r a . V o l u m e da 495 Específica, Probabi l idade 126 Específico, Calor 123 E s p i r a l de Arquimedes 290 E s p i r a l logarítmica 29U E u l e r , Constante de 3SI E u l e r , Fórmula de 411, 412 E v o l u t a 283, 307, 311 E v o l u t a da ciclóide 310 E v o l u t a da elipse 310 E v o l u t a de u m a c u r v a 283, 307, 311 E x p o n e n c i a l . Função . 25, 69. 171, 177, 195 ExpíessÕes exponenciais das funções tri

gonométricas 411, 413 Expressões indeterminadas 338, 341 Expressões indeterminadas 338, 341

F a l s a posição, R e g r a da 357 Fase , , 42,7 Fase, Deslocamento de 427 F a t o r i a l , 251, 361, 364 Fechado, Intervalo 15, 64 Fermat . Princípio de 165, 166 Fólio de Descartes 267, 290 Força, Conceito de 293 Fórmula da somaçao trigonométrica . . 436 Fórmula de E u l e r 411, 412 Fórmula de S t i r l i n g 361, 364 Fórmulas de recorrência . . . . 221, 225, 241 Fórmmlas de recorrência das i n t e g r a s 221,

225 241

Í N D I C E - A L F A B É T I C 0 - R E M I S S 1 V 0 613

Fórmula trafe20idal 343 F o u r i e r , Série cie V e r Série de Fourier Frações decimais 8 Frações parc ia is . Resolução da cotan-

gente em , . . . 444 Frações parciais . Resolução da secante

em 445 Frações parciais , Resolução das funções

racionais em 229, 234 Freqüência . 296, 427 Freqüncia c i r c u l a r , 4 2 " Freqüência e x c i t a d o r a . 51A Preqü ência n a t u r a l 50*? Freqüência ressonante 514 Fricção 294, 502, 507 Função 14 Função complementar 509 Função de função. V e r Funções corri'

postas. Função de i n t e g r a i variável 27 Função diferença 26 Função exponencial . . 25. 69. 171, 177, 195 Função exponencial , D e r i v a d a da . . . . . 173 Funr;ão exponencial como inversa do lo

garitmo . . . 25, 26. 371 Punção exponencial como limite 175 Função exponencial de variáveis com*

plexas . . . 411. 414 Punção exponencial . Equação diferen

cial da 178 Punção gama 250. 251, 418 Punção inversa do logaritmo ... 25. 26. 171 Punção monótona 19. 20, 106. 135 Punção poligonal 70 Punção potência. Definição da . . . . 69, 3 74 Punção potência. D e r i v a d a s da 94, 95, 118.

155. 174 Punção potência. Gráficos da 33 Punção potência. Integração d a . 84, 85» 128

176 Punção potência. I n v e r s a d a 33, 147 Punção pr imit iva 113* 115 Punção algébricas 23, 460, 485 Punção Zita . . . . 380, 382, 420, 421, 422 Punções analíticas 413 Punções aproximadamente periódicas . 437 Punções compostas 153, 156. 472, 485 Punções ímpares - 20 Punções pares 20 Punções contínuas . . . . 63, 65. 67, 68, 70 Punções deriváveis . . 91, 97, 109, 199, 244 Punções de diversas variáveis . . 458 e seg. Punções de diversas variáveis, Continui

dade das 463, 465 Funções de diversas variáveis, Deriva

das das . 466 e seg. Funções õ> diversas variáveis, Repre

sentação freométrica das 460. 462 Punções elementares 68, 205 Funções hiperbólicas 183 r 189 Funções hiperbólicas, definições 184 Funções hiperbólicas. D e r i v a d a s das . 186 Funções hiperbólicas. Integração das . 214 Funções hiperbólicas e as trigonomé

tricas, Relação entre as 411 Funções hiperbólicas. Representação geo

métrica das . . 188 Funções hiperbólicas. Representação r a

cional das 235. 236 Funções hiperbólicas i n v e r s a s . 186, 187, 318

408 Funções hiperbólicas. Séries de potên

cias das . 328 Funções hiperbólicas. T e o r e m a da adi

ção das . t . - 185. 3 89 Funções implícitas 480 Funções implícitas de dÁver-sas variáveis 480 Funções inversas 21, 67, 145

Funções inversas das funções t r igono métricas 148, 151 , 243 , 319, 407 , 408 , 4 1 2

Funções inversas. Der ivadas de 1 4 5 Funções monótonas inversas 67 Funções monótonas, S i n a l das der ivadas

das 1 0 6 Funções periódicas 425 e seg. Funções quadráticas 23 Funções quadráticas def inidas 2 2 7 Funções racionais 2 2 , 55, 69 Funções racionais. Derivação das 140 Funções racionais fracionárias 4 5 9 Funções racionais. Integração d a s . . 226 , 2 3 4 Funções racionais, Resolução em frações

parciais 2 2 9 , 2 3 4 Funções regulares 438 , 4 3 9 Funções que não admitem desenvolvi

mento em série de Tay lor 3 3 6 Funções. Séries de 383 e seg. Funções transcendentais 24, 4 8 5 Funções trigonométricas 24, 4 8 Funções trigonométricas. Derivação das

96 , 140 Funções trigonométricas, Expresseõs ex

ponenciais das . 4 1 1 , 4 1 3 Funções trigonométricas, Funções i n v e r

sas das 148. 151. 243 , 319. 407, 408 , 4 1 2 Funções trigonométricas, Integração das 86 ,

87, 143 , 214 Funções trigonométricas inversas . 148 , 1 5 1 ,

220, 221, 243 , 319, 407, 408 , 412 Funções t rigonométricas, Rei ações orto

gonais das 217 , 4 3 8 Funções trigonométricas. Representação

rac ional das 234, 235 , 2 4 0 Funções trigonométricas, Séries de po

tências das 327 , 328 , 4 1 1

G

Galvanômetro tangencial 350 Gra d i e nte 90 Gráfica. Integração 119 , 121 Gráficos da função potência 33 G r a v i d a d e 293 Gregório, Série de 319, 352 , 440 , 443 G u l d i n , Regra de 285

H

Harmônicos 428 , 431 Hipérbole 23 Hipocic lóide 267 , 311

I

Impróprias , Integrais . . 245, 255 , 417 , 419 I n d e f i n i d a , Integra l 110 , 117 Inérc ia , Momento de 286, 4 9 8 , 499 I n f i n i t a s , Séries, 366, 417, 422 , 456 .

V e r , também, Convergência; Séries de potências; Série de Fourier.

I n f i n i t o • 33 I n f i n i t o s , Produtos 4 1 9 , 422 Inflexão, Pontos de . . . 159, 266, 334 , 335 Integração. V e r , também, Integrais. Integração, Constantes de 110, 114, 1 1 5 , 502 Integração da função potência 8 4 , 8 5 , 1 2 8 , 1 7 6 Integração da série da F o u r i e r . . 4 5 5 e seg. Integração das funções hiperbólicas . . . 2 1 4 Integração das funções r a c i o n a i s . . 226 , 2 3 4 Integração das funções trigonométricas 86,

87, 143, 2 1 4 Integração das séries de potências . . . 4 0 1 Integração das séries i n f i n i t a s 394, 396 , 4 0 1 Integração e derivação das séries de

potências 4 0 1 , 402 Integração gráfica . . . . 119, 123

614 C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

Integração p o r partes . . . . . . 141, 218, 225 Integrais definidas . . . . . . . . . . 76, 82, 117 Integrais de F r e s n e l 253 Integrais de funções contínuas . . . 79, 112,

131, 488 Integrais elípticas 2 4 3 , 2 4 4 , 2 4 9 . 2 5 5 , 2 8 9 , 409 Integrais, Fórmulas de recorrência 221, 225

241 Integrais impróprias 245, 255 e seg., 417, 419 Integrais, Tábua de . 206 Integral completa 502 Integral da co-tangente 208, 214 Integral da soma e do produto 141 Integral d a tangente 208. 214 Integral de Dir ichlet 251, 253, 418, 419. 450 Integral definida 76, 82. 117 Integral do co-seno 87, 143 Integral do seno 86, 87, 143 Integral dos logaritmos 20S, 220 Integral dupla , V e r Integral miíltipla. Integral indefinida 110. 117 Integral múltipla 4S6. 499 Integral múltipla de funções contínuas 488 Integral múltipla em coordenadas pola

res 494, 499 Integral . .art icular 509 Integrando 80 Intervalo aberto 15 Intervalo de convergência 400 Intervailo fechado 15, 64 Intervalo infinito de integração . . 249 250 Inversa da função potência 33. 147 Inversa , Função 21. 67 Involuta 309. 310 Involuta de u m a curva 309 310 Involuta do círculo 310 Irracionais , Números . . < . . 6 e seg. Irracionalidade de « 336

J Jacooiano 479, 480 J u r o s 179

Lagrange , Resto da série de T a y l o r sob a forma de 324

Lapiace . Equação de 479 Lattice Pontos de 13 L e i da gravitação, de Newton 306 ' L e i da reflexão 164, 165 L e i da refração 165, 166 L e i de Boyle 14. 181 L e i de Ohm 182, 434 L e i do resfriamento, de Newton . . . . . . 180 Lemniscata 72 Lemniscata, Área da 275, 276 Lemniscata . Comprimento do arco da 289 Leibnitz . Critério de convergência de . 370 L i m i t e 29, 38, 41, 46, 59 Limites de seqüências 59 Limites superior e inferior 62 L i n h a reta. Equação polar da 262 L i n h a s de contenção 270 L i n h a s de contorno 461, 462 Logaritmo como limite 176 Logari tmo. Função inversa do . 25, 26, 171 Logaritmos Cálculo dos 353, 354 Logaritmos . Continuidade dos 69 Logaritmos. Definição como integral dos 167 Logaritmos. Integral dos 208, 220 Logaritmos. Ordem de grandeza dos 192, 195 Logaritmos. Séries de potên-ias dos 316, 318 Logaritmos. Teorema, da adição d o s . . 169 Logaritmos. Valores dos 171

M -

Média aritmético-geométrica M a s s a . Centro d e . . 283, 284, 291, 497. Máximos e mínimos 159, Máximos e mínimos relativos M e d i d a dos ângulos em radianos . . . . Método de aproximação de N e w t o n . 355,

Método de reiteração 358, Método de substituição 207, 218, Método dos coeficientes indeterminados

232. 404, Métodos axiomáticos Métodos práticos de aproximação . 342, Módulo Momento 283, 284, 497, Momento de inércia . , 286, 498, Momento de inércia do cubo Momento do círculo Momentos da elipse Monótonas. Funções 19, 20, Monótonas, Seqüências 40 Movimento sobre u m a c u r v a d a d a . 293,

296, 304, 524, Mudança de eixos Mudança de variável, 477, 4 7 . . 9 . V e r ,

tarobém. Regra da cadeia; Substituição.

Múltipla. Integral 4 8 6 , Multiplicação de séries 408. 415, Multiplicação e divisão das séries de

potências 416,

N Newton . L e i d a gravitação, de Newton. L e i do resfriamento, de . . Newton. Método de aprovimação de

357. Newton, Notação das derivadas de . -Newton. S e g u n d a íei de N o r m a l à uma curva Notação complexa das vibrações senoi-

dais 4 3 3 . Notação complexa p a r a as vibrações 4 3 3 , Notação de Newton p a r a as d e r i v a d a s . . Notação de C a u c h y p a r a as derivadas 9 0 , Notação de L a g r a g e p a r a as derivadas Notação de Leibni tz p a r a as derivadas Notação de L e i b n i t z p a r a as derivadas

de ordem superior Notação de L e i b n i t z p a r a as integrais de

f inidas 8 0 , Núcleo de Fejér Número de B e r n o u i l l i 422, 423 , Números complexos 73, Números E i x o dos Números i rrac ionais 6 e Números rac ionais Números reais Números primos

46 493 167 160

24 357, 359 360 253

201. 406

56 364 674 498 499 498 497 500 135

61 294 525 265

499 417

417

3 0 6 1 J?0

35V 3 * 9 2 62 2 9 2 2 6 3

4 3 * 4 3 5 2 6 2 4 6 7

9 0 9 0

102

4 8 7 4 3 7 4 4 ( i

75 6

seg 6 8

424

Ohm, L e i de 182, Operações em séries i n f i n i t a s Ordem de grandeza . . . . 190. 195, 248,

338 e Ordens de grandeza das funções expo

nenciais . 191, Ordem de grandeza das funções rac i ona i s Ordem de grandeza dos logaritmos 192, Orientação das áreas 268, 312, Oscilações 53, Oscilações elétricas e mecânicas. V e r

Vibrações. Osculadora Parábola Osculador. Círculo : . , , 333 ,

434 376

250. seg.

195 195 195 314

54

332 334

- Í N O r C B - A L F A B É T l C O - R E M I S S I V O . 615

)la . . . . . . v . . . . . . . ; . ; 19 )la. A r é a d a . v i : * . * . . . ^. * : . : . . .&Ô )la. C o m p r i m e n t o do arco d a . . - - . 280 >la o s c u l a d o r a . . . . . ^. . , . 332 ) la. R a i o de curvatura da . . . . . . 280 jlas de o r d e m , superior \ . . 1 9 , 23 )la semicúbica 99, 259 , 290 )lóide h i p e r b ó l i c o - . * . . . . . . . . . 460 jióides . . . . . . . . . . 460 , 462 las . C u r v a s . . . . . . . . . . . . 291 etros 258, 260 •etro. T e m p o como . . . ; . „ , 260 etros. Var iação -de . . . . . . . 522 i s . D e r i v a d a s . 466 e s e g . i s . S o m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

Funções . . 20 i l a r . I n t e g r a l . . . . . . . . . . . . . . . 509 ar. 462

C u r v a . . . . . 267 lo c i c l o ida l 303 lo ordinário 302, 304, 351 icas. Funções 425 e seg.

44 , 152 ;ulo numér ico de . . . . 352, 353 luto de WaJlís para 223, 225, 363, 4 4 5 ies de 319 Q de vibração . . . 296, 301 , 426, 427 0 de vibração do pêndulo 302, 304, 351

Equação do . . . . . . . . 4 6 0 , 462 i . Coordenadas 72, 261 , 262, 265, 2 6 7 íal. Função . . . . . 70 nio de Bernouillí 4 4 6 nios 2 2 , 55 , 69 nios com duas variáveis •. . 459, 4 6 4 aios. D e r i v a d a s de . v . . . - 140 nios. Integração de . . . . . . . . . 143 i e acumulação 58, 60 de acumulação superior e in fer ior 62 de inflexão . . . . 159, 266, 334, 335 de L a t t i c e 13 as. Séries de . . . . . 398, 413 1 atmosférica • 1 8 1 ais- v a l o r e s - d a função Inversa do > . . . . . . . . , . 148 io de F e r m a t 165, 1 6 6 io de "Weierstrass 58

Números . . . 4 2 4 is de W a l l i s . . . 223, 225, 363, 4 4 5 >s de W a l l i s para « 223 , 225, 363, 445 lidade específica 126 is i n f i n i t o s ; . . . 419, 422 ts i n f i n i t o s . Critério de conver* da p a r a os 421 >s i n f i n i t o s do s e n o . . . 420, 4 2 1 r 445 soes aritméticas . . . . . . . . . . . . . 29 es . . . 432

1 ' Q . " âcas. Funções 23 ie= u m , corpo com resistência . . 294 ie u m corpo em c u r v a . . . . -299, 304 ivre de u m corpo 94

is . Funções . . . . . . . . . . . 22^ 55, 69 ís. Números . . . . . . . V . 6 s. M e d i d a dos f 2 4 c u r v a t u r a . . . V 282, 308

i: curvaturs•'• da elipse ' 290 c u r v a t u r a d a parábola . . . . . . ; 280

i a unidade* . » * • . » . . ..i r 7,5 bimolecular 231 unimolecular . ±> 182 •amento das séries 372, 375 Números. .;, . > ; . ; . . , . . » . . . . 8

Redução das integrais múltiplas-ia?.inte* •i grais- simples ; ; . . : :489, 493

Reflexão, L e i da . . . . . . . . . . . . 1 6 4 , 165 Ríefração, L e i da . . . . . ^.^ . ; . : . l G 5 r 1 6 6 Registradores . Apare lhos .-51*? R e g r a da cadeia com diversas v a r i a - -

veis . . . . ~ . . . . . 4 7 4 , - 4 7 5 R e g r a d a cadeia p a r a a derivação* 1 5 3 , 1 5 5 ^ 202 R e g r a d a falsa posição- . J . 3 5 7 R e g r a de G u l d i n - 2 8 5 R e g r a de L e i b n i t z p a r a a derivação -sa--^-

cessiva ^ . . - 202 R e g r a de S impson 3 4 4 , 345 R e g r a do retângulo ; « . . . . . . . 3 4 3 Reiteração. Método da . . . . . . . 3 5 8 , 3 6 0 Relação entre as funções hiperból icas-e

. as trigonométricas - 4 1 1 Relações ortogonais das funções tr igono

métricas 2 1 7 , 438 Representação analítica das s u p e r f U .

cies . . . . ; . ;r 460 t sejr. Representação geométrica das funções 16,

' " • 7 1 , 258 Representação geométrica das funções

de d iversas variáveis . . . . . . . . 460 , 462 Representação geométrica das funções

hiperbólicas 188 Representação paramétrica das á r e a s . . 278 Representação paramétrica das c u r v a s 2 5 8

e seg. Representação paramétrica d a e l i p s e . . 2 5 8 Representação paramétrica das der ivadas 262 Representação paramétrica do c í rculo . 2 5 8 Representação paramétrica dos arcos de

c u r v a 278 , 279 Representação r a c i o n a l das funções h i r

perbólicas 235 , 2 3 6 Representação r a c i o n a l das funções t r i

gonométricas . 234 , 235 , 2 4 0 Res f r iamento de u m corpo quente . . . . 1 8 0 Resolução da co-tangente : em frações

parc ia i s • 4 4 4 Resolução da secante em frações p a r c i a i s 4 4 5 Resolução das funções rac i ona i s em f r a

ções parc ia is 2 2 9 , 234 Ressonância 514 e seg. Resto da série de T a y l o r 322 , 3 2 5 Resto: da série de T a y l o r sob*a f o r m a

de Cauchy ... 324 Resto da série de T a y l o r sob a f o r m a de

L a g r a n g e . 324 Retângulo. R e g r a do 3 4 3 Ret i f i cab i l idade 276 , 2 7 7 Rotação 2 6 5 , 27.3, 477

S

Saltos de descontinuidade . . . . . . ' . . 5 1 , 464 Saltos" dè descontinuidade do in tegrando 2 4 5 S c h w a r z . Desigualdade d e . , 12 , 451 Secante," 24. V e r , também, Funções Tri

gonométricas Secante." In tegra l d a . . ^. y 2 1 5 Secante. Resolução ém frações p a r c i a i s 4 4 5 Segunda l e i dè N e w t o n . . „.-r 1 . " 2 9 2 Segundo teorema do va lor "médio do

cálculo integral 256 , 2 5 7 Semicúbica. Parábola'; ' . 9 9 , 259 , 290-Semiperíodo 180* Seno, 24, 25 , V e r , também, Funções ;

trigonométrica*. ' ' • :

Seno. D e r i v a d a do*1 . . . . . . . . . . . . . . 96 , 99* Seno. I n t e g r a l do . . . - 8 6 , 87 , 143 Seno. Séries- do 327» 328,' 411 S e n t i d o ' d e descrição das curvas . . . . . 260-Separação de variáveis #YV 52i£ Seqüências, Seqüências convergentes - -. •. . v « . . k*.'.1 -! 3*-

616 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

Seqüências de funções 383 e seg. Seqüências limitadas 38, 45, 60 Seqüências. Limites de 59 Seqüências monótonas 40, 61 Série binômia 329, 336, 406 Série de Pourier 437, 456 Série de Pourier absolutamente conver

gente 369 e seg. Série de Fourier . Integração da . . 455 e seg. Série de Gregório 319. 352, 440, 443 Série de potências 398, 413 Série de potências da função exponen

cial 326, 327. 399. 405 Série de Taylor 325, 398 e seg. 404 Série de Taylor . Resto da 324 Série do eo-seno 440 Série harmônica 368, 381, 382 Série infinita do co-seno . . . 327, 328, 411 Séries de funções 383 e seg. Séries de x 319 Séries de potências coro termos comple

xos • 410 e seg. Séries de potências das funções hiper

bólicas 328 Séries de potências das funções trigo

nométricas 327, 328, 411 Séries de potências da tangente 423 Séries de potências dos logaritmos . 316, 318 Séries de potências. Integração das . . 401 Séries de potências. Integração e deri

vação das 401, 402 Séries de potências. Multiplicação e di

visão das 416, 417 Séries de potências para funções dadas 404.

410 Séries de potências. Unicidade das . 403, 404 Séries de Taylor para polinómios . . 320, 321 Séries do seno 327, 32S. 411 Séries geométricas . . 34, 315. 392, 400, 407 Séries infinitas 366, 417. 422, 456 Séries infinitas absolutamente conver

gentes 369 e seg. Séries infinitas. Definição da conver

gência das 366, 367 Séries infinitas. Derivação das . . 396, 397 Seres infinitas e integrais impróprias 417.

419 Séries infinitas. Integração das . . 384, 396 Séries infinitas. Multiplicação das . 408,

415. 417 Séries infinitas. Operações com 376 Séries. Reagrupamento das 372, 375 Séries uniformemente convergente» . 389. 392 Simpson. Regra de 344, 345 Sinal das derivadas das funç5es monó

tonas 106 Stirling. Fórmula de 361, 364 Somaçãe trigonométrica. Fórmula d a . 436 Somas parciais 366 Somas superiores e inferiores 78 Substituição. Método de . . . . 207, 218, 253 Superfície de nível . 462 Superfície d* revolução 285 Superfícies, Representação analítica

das 460 e seg. Superposição áe vibrações . . . . 428 e seg.,

435, 518, 517

Tabu» de derivadas 206 Tabus de integrais 206 Tangente a ums curva. Equação da . 263 Tangente. Derivada da 141 Tangente-. Fórmula da 344 Tangent« Integral da . . . . . . . . . . 208, 214 Tangente Séries de potências da . . . . 423 Tangente (trigonométrica), 24, 25. Ver ,

também, Funções trigonométricas.

Taylor . Série de, V e r Série de Taylor. Taylor . Teorema de 320, 328 Tempo como parâmetro 260 Teorema da adição das funções hiper

bólicas 185. 189 Teorema da adição dos logaritmos . . . 169 Teorema da multiplicação das funções

exponenciais 171 Teorema de aproximação de Weierstrass 423 Teorema de D e Moivre 74, 411 Teorema de Rolle 104, 105 Teorema de T a y l o r 320, 323 Teorema do binômio 201 Teorema do valor intermediário . . 66, 67 Teorema do valor médio do cádculo d i

ferencial 102, 105, 134 Teorema do valor médio do cálculo d i

ferencial, generalizado 135, 203 Teorema do valor médio do cálculo i n

tegral 126 e seg. Teorema do valor médio do cálculo i n

tegral, generalizado 127 Teorema fundamental da áígebra . . . . 73 Teorema fundamental do cálculo dife

rencial e integral 114 Toro 291 Trabalho 304, 307 Transcendentais. Funções 24, 485 Trapezoidal . Fórmula 343 Tractriz - 291 Trigonométricas. Funções 24, 48

U

Unicidade das séries de potências . 403, 404 Unicidade de solução das equações dife

renciais 508

Valor absoluto 6, 74 Valor dos logaritmos 171 Valores extremos, 160. Ver , também,

Máximo* « mínimo*. Va lor intermediário. Teorema do . 66, 67 Variação de parâmetros 522 Variáveis complexas 410, 414 Variáveis. Separação de 523 Variável 15 Variável. Mudança de 477, 479 Velocidade 93, 192 Vibração amortecida 507 Vibração fundamental 429 Vibração. Período de. . 296, 301, 426. 427 Vibração senoidal livre 503. 507 Vibração senoidal forçada 510. 516 Vibrações 295 e seg., 426 e seg.. 502 e seg. Vibrações elásticas . . 295, 298, 502 e seg. Vibrações forçadas . 510, 518 Vibrações harmônicas simples. Ver Vir

brações senoidais. Vibrações livres 503. 507 Vibrações senoidais . . . . 296, 427 t seg., 507 Vibrações. Superposição de

428 e seg., 435, 510. 517 Vizinhança ' 159. 160 Volume 486 e seg. Volume da esfera 495 Volume do elipsóide 493, 494

Wallis. Produtos d e . . . 223, 225, 363. 445 Weierstrass Princípio de 58 Weierstrass. Teorema de aproximação de 423

Zêta. Função 380, 382, 420, 421. 422

Este livro foi composto e impresso nas oficinas gráficas da Livraria do Globo S. A . em Porto Alegre

Filiais: Santa Maria , Pelotas e Rio Grande

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COURANT, Richard - Calculo Diferencial e Integral, Volume 1 - 1ª Edição - Pt-Br

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