APLICAO DA FUNO DE DISTRIBUIO ESTATSTICA DEWEIBULL NA FADIGA MECNICA

LOPES, J.T. de BarrosUniversidade Federal do ParAv. Gov. Jos Malcher, 960, Apto. 403, 66.055-260, Nazar, Belm- Parteofilo@ufpa.br

OLIVEIRA, J. Sandoval B. deUniversidade do Estado do ParRua Tupinambs, 402, 66.033-810, Batista Campos, Belm Parteofilo@ufpa.br

Resumo:O objetivo do presente trabalho analisar a vida sob fadiga por flexo rotativa, de corpos de

prova de ao ABNT-4140. O interesse de tal estudo prende-se ao fato de ser este um material delarga aplicao industrial.

Empregou-se como tratamento estatstico a distribuio de Weibull a trs parmetros, e para aestimativa desses parmetros foram empregados o mtodo da mxima verossimilhana e o dosmomentos. Os resultados obtidos demonstram que a distribuio de Weibull oferece uma boadescrio para a vida em fadiga de tal material para esse esforo solicitante.

Palavras-chave: Fadiga, Weibull, Flexo, Verossimilhana, Momentos.

1. INTRODUO

Qualquer trabalho que discuta o fenmeno da fratura mecnica deve levar em conta que aresistncia oferecida pelo material uma propriedade da seo transversal mais fraca do corpo sob aao de um carregamento. Esta regra que se refere hiptese do elo mais fraco, h muito tem sidoexaustivamente discutida por muitos autores (PIERCE, 1926, WEIBULL, 1939). Nas discusses,em geral reporta-se sempre suposio de uma distribuio de resistncias emprica sobre umaseo transversal plana no corpo de prova e, ento, utilizando-se o aparatus matemtico da teoriaestatstica do valor extremo, procura-se determinar a resistncia particular de uma amostragem demuitos elementos, selecionada de forma aleatria, de uma amostragem-me, com muito maiselementos que a ensaiada. Se a suposio-hiptese boa, a distribuio assinttica resultante ter amesma forma que a distribuio de resistncias medidas experimentalmente, o que permitir averificao experimental da suposio-hiptese. Tal procedimento conhecido como teoriasclssicas (COLEMAN, 1958), pois tem por base modelos estticos que no permitem o clculo dadependncia temporal da resistncia para a fratura. Para elas, a resistncia assumida ser apenasuma propriedade do material de que o corpo de prova constitudo. Segundo OROWAN (1948), afratura no um fenmeno fsico to simples. Um mesmo material pode falhar, por diferentesmecanismos de fratura, sob diferentes condies de teste, sendo recomendado, principalmente noscasos onde a leveza do material deve associar-se alta resistncia que este deve apresentar emtrabalho, como o caso da indstria aeronutica, proceder-se a anlise do material para verificar-sese houve alterao na morfologia da fratura durante o teste.

CONEM UFPB

Contudo, segundo OROWAN (1948), a adoo da hiptese emprica da resistncia ser apenasuma propriedade do material no envolve consequncias srias quando consideram-se materiaiscujas resistncias fratura quase no dependem do tempo. Este o caso do material analisado nopresente trabalho.

O objetivo deste trabalho analisar a vida sob fadiga em um nvel de tenso fixo, para o aorecozido ABNT-4140, tratado termicamente como especificado na Tab. (3). A razo da escolhadeste material, deve-se ao fato de, alm de ser um material adequado para beneficiamento de mdiatemperabilidade e por apresentar boas propriedades mecnicas, tem sido utilizado, em larga escala,na confeco de virabrequins, bielas, juntas, eixos, peas para equipamento de perfurao,engrenagens e parafusos de alta resistncia, entre outras aplicaes.

Mesmo existindo outras distribuies que descrevem a vida de fadiga at a ruptura, adistribuio de Weibull a que tem maiores justificativas tericas para a anlise de falhas decomponentes sujeitos tenses cclicas (BS 3518, 1966), sendo por isso recomendada para a anliseda vida de fadiga em um nvel de tenso fixo.

A distribuio de Weibull uma funo que admite como casos particulares as distribuies defalhas exponencial de Rayleigh e a distribuio normal. A funo de Weibull uma distribuio devalores extremos, onde os valores extremos no-fixos so variveis estatsticas que dependemda distribuio propriamente dita e da amplitude da amostragem analisada, como destacado porHINDS et al. (1977).

No estudo das propriedades do ao ABNT-4140, foi utilizado como tratamento estatstico adistribuio de Weibull a trs parmetros, empregando-se na anlise dos dados experimentais opapel de Weibull para a representao grfica das probabilidades de ocorrncias de falhas comosugerido por WEIBULL (1961) e GUMBEL (1964), o que simplifica sobremodo a estimativa dosparmetros da funo de distribuio de Weibull. Como mtodos de estimativa de parmetros,foram empregados o da verossimilhana e o dos momentos. Para a ilustrao do trabalho terico,adotou-se os dados experimentais obtidos por VOORWALD & VANA (1984).

2. OBTENO E TRATAMENTO DE DADOS

A essncia do presente trabalho foi centralizado na anlise dos dados experimentais deVOORWALD & VANA, obtidos de uma amostragem de ao ABNT-4140.

VOORWALD & VANA (1984) analisaram a influncia do limite de resistncia trao naresistncia fadiga por flexo rotativa para diferentes temperaturas

Os corpos de prova, no estado recozido, apresentam dureza Brinell variando entre 175 e 200. Aspropriedades mecnicas, no estado em que foram confeccionados, so mostradas na Tab. (1),enquanto que a Tab. (2) apresenta o resultado da anlise qumica do material e os valores daespecificao ABNT NB-82. A Tab. (3) fornece os valores da temperatura para os tratamentostrmicos adotados.

Tabela1. Principais propriedades Mecnicas do ao ABNT-4140, recozido.

Propriedade ValorLimite de escoamento (MPa) 402Resistncia trao (MPa) 764,7Alongamento (%) 19Reduo de rea (%) 46Dureza Brinell 197

Fonte: VOORWALD & VANA, 1984.

Tabela 2. Composio qumica do ao ABNT- 4140 utilizado.

Composio (%)C Mn Si S P Cr Ni Mo Cu

Especificao ABNTNB-82

0,38a

0,43

0,75a

1,00- 0,040 0,035

0,80a

1,10-

0,15a

0,25-

Resultado da anlise 0,45 0,99 0,24 0,019 0,009 0,92 0,14 0,16 0,10 Fonte: VOORWALD & VANA, 1984.

Tabela 3. Intervalo de temperaturas para tratamentos trmicos do ao ABNT- 4140.

Tratamento trmico Temperatura (K)Recozimento 1053 1073Normalizao 1133 1153Tmpera (meio: leo) 1113 1133

Fonte: VOORWALD & VANA, 1984.Nos ensaios para o estudo do comportamento da resistncia fadiga por flexo rotativa do tipo

Schencker, foram usados corpos de prova, cujas forma e dimenses esto indicadas na Fig. (1).Segundo os autores, antes de serem ensaiados, os corpos de prova foram submetidos aostratamentos trmicos de tmpera e revenido para vrias temperaturas, recebendo posteriormente, umacabamento superficial fino. Os resultados obtidos para as temperaturas de 673K e 773K estorepresentados na Tab. (4) e Tab. (5), respectivamente, e correspondem ao nmero de ciclos a que omaterial resiste at a falha, bem como a mdia N dos nmeros de ciclos at a ruptura, para cadanvel de tenso utilizado.

Figura 1. Corpo de prova para ensaio de flexo rotativa tipo Schenck.

A Fig. (2) apresenta as curvas S-N, na forma S versus )Nln( , onde os segmentos de retashorizontais em cada nvel de tenso considerado, representam os espalhamentos caractersticos dosresultados deste tipo de ensaio.

Tabela 4. Resultado dos ensaios de fadiga para oao ABNT-4140, temperado e revenido a 673K.

CPTenso

(S),em MPa

Nmero deciclos

at a falha (N x 103)

Mdia( N x 103)

0102030405

784,3784,3784,3784,3784,3

2531232725

26,2

0607080910

735,3735,3735,3735,3735,3

4240483041

40,2

111213141516

686,3686,3686,3686,3686,3686,3

977665606290

75,0

171819202122

612,7612,7612,7612,7612,7612,7

155180149214194127

169,8

232425262728

563,7563,7563,7563,7563,7563,7

405345323298315421

351,2

29303132

539,2539,2539,2539,2

426666580524

549,0

3334353637

514,7514,7514,7514,7514,7

71471910151195771

880,8

383940414243

441,2441,2441,2441,2441,2441,2

100001139010510110101010010215

10537,5

Fonte: Adaptada de VOORWALD & VANA(1984).

Tabela 5. Resultado dos ensaios de fadiga para oao ABNT-4140, temperado e revenido a 773K.

CPTenso

(S),em MPa

Nmero deciclos at

a falha(N x 103)

Mdia( N x 103)

010203040506

588,2588,2588,2588,2588,2588,2

363941354036

37,8

0708091011

539,2539,2539,2539,2539,2

5354505758

54,4

121314151617

490,2490,2490,2490,2490,2490,2

951199289122108

104,2

18192021222324

441,2441,2441,2441,2441,2441,2441,2

255236238180176274250

229,8

2526272829

392,2392,2392,2392,2392,2

682555778754758

705,4

30313233

367,6367,6367,6367,6

1024174316771986

1607,5

343536373839

343,1343,1343,1343,1343,1343,1

109641006810000110991038510200

10452,7

Fonte: Adaptada de VOORWALD & VANA(1984).

Figura 2. Curvas S-N para os corpos de prova temperadose revenidos nas temperaturas indicadas.

Com a finalidade de melhor estimar os parmetros de Weibull e reduzir os erros inerentes aoprocedimento da marcao manual dos valores experimentais, desenvolveu-se um programacomputacional, que alm de gerar o papel de probabilidade de Weibull e representar neste osvalores obtidos experimentalmente, emprega o mtodo do ajuste linear por mnimos quadrados paraa obteno da reta que melhor ajusta estes dados e, consequentemente, revela que funo dedistribuio de Weibull descreve o ensaio de fadiga.

A regra de plotagem adotada para a representao grfica foi a largamente utilizada emtrabalhos que envolvem o estudo de fadiga de materiais (WEIBULL, 1961, CASTILLO,1988).

A Fig. (3) mostra a reta de Weibull para o ao temperado e revenido na temperatura de 673K,para os nmeros de ciclos N, medidos experimentalmente sob a tenso de 539,2 MPa, comomostrados na Tab. (4). O melhor ajuste para a reta de Weibull foi alcanado com No = 0 ciclos,onde o fator de correlao obtido R2 = 0,9974, o que reflete uma boa ajustagem.

A partir do valor de No, os outros dois parmetros da funo de Weibull vida caracterstica Nae parmetro de forma ou declividade b - foram estimados atravs das relaes entre os mesmos(CASTILLO, 1988), obtendo-se os valores apresentados na Fig. (3).

Procedimento idntico foi adotado para as estimativas dos parmetros para os corpos de provatratados nas temperaturas de 773K, todos ensaiados no mesmo nvel de tenso de 539,2 MPa. Estesresultados encontram-se inseridos nas Fig. (4).

As Figs. (5) e (6) apresentam os parmetros de Weibull para os corpos de prova tratados nastemperaturas de 673K e 773K, e ensaiados sob um mesmo nvel de tenso de 441,2 MPa, tendo sidoobedecidos os procedimentos anteriormente descritos.

Para confirmar os resultados obtidos, fez-se as estimativas dos mesmos parmetros pelosmtodos da mxima verossimilhana e dos momentos. No caso da estimativa dos parmetros pelamxima verossimilhana, empregou-se o mtodo de Newton Rapson como mtodo auxiliar. Osresultados so apresentados na Tab. (6).

Na Fig. (7) tem-se a representao das retas de Weibull, com seus melhores ajustes, para astemperaturas de revenimento de 673K e 773K, considerando o nvel de tenso de 539,2 MPa,enquanto que na Fig. (8) representam-se as retas de Weibull, com seus melhores ajustes, para onvel de tenso de 441,2 MPa.

300

400

500

600

700

800

900

1,00E+03 1,00E+04 1,00E+05 1,00E+06 1,00E+07 1,00E+08

VIDA EM FADIGA (ln ), em ciclos

TEN

SO

(S),

em M

Pa

673K773K

Figura 3. Reta de Weibull para o ao temperado e revenido na temperatura de 673K,a partir dos resultados dos ensaios de fadiga, sob tenso de 539,2 MPa, para

No = 0 (melhor ajuste obtido).

Figura 4. Reta de Weibull para o ao temperado e revenido na temperatura de 773K,a partir dos resultados dos ensaios de fadiga, sob tenso de 539,2 MPa, para

No = 0 (melhor ajuste obtido).

Figura 5. Reta de Weibull para o ao temperado e revenido na temperatura de 673K,a partir dos resultados dos ensaios de fadiga, sob tenso de 441,2 MPa, para

No = 2502000 (melhor ajuste obtido).

Figura 6. Reta de Weibull para o ao temperado e revenido na temperatura de 773K,a partir dos resultados dos ensaios de fadiga, sob tenso de 441,2 MPa, para

No = 0 (melhor ajuste obtido).

Figura 7. Retas de Weibull para as temperaturas de673K e 773K no nvel de tenso de 539,2 MPa.

Figura 8. Retas de Weibull para as temperaturas de673K e 773K no nvel de tenso de 441,2 MPa.

Tabela 6. Quadro geral de estimativa dos parmetros de Weibull.

Nvel de tenso (MPa)539,2 441,2

Temperatura (K) Temperatura (K)Mtodo Parmetros

673 773 673 773b 5,35 17,25 14,36 5,85

No 0 0 2502000 0Grfico

deWeibull Na 592512 55891 8304516 247578

b 5,41 17,84 14,72 6,05No 0 0 2504400 0

MximaVerossimilhana

Na 586059 55725 8253230 245854b 5,45 17,53 14,54 5,93

No 0 0 2508666 0MomentosNa 595004 56972 8332516 247591

3. DISCUSSO DOS RESULTADOS

As Tabs. 4 e 5 apresentam os valores obtidos experimentalmente. Verifica-se nelas, que osnveis de solicitao utilizados nos ensaios tiveram um amplo intervalo de variao para cada umadas temperaturas l referidas. Nestas tabelas, pode-se verificar que as tenses empregadas nos testesde fadiga por flexo, estiveram limitadas a um intervalo de valores de 30% a 60% do respectivovalor do limite de resistncia trao, para cada nvel de temperatura de revenimento adotada. Osnmeros de ciclos a que os corpos de prova resistiram at a falha so tambm mostrados nestastabelas, bem como os valores mdios respectivos, para cada nvel de tenso e cada temperatura derevenimento.

Na Fig. (2) tem-se a representao das curvas S-N, na forma S versus Nln , onde S o nvel detenso adotado e N a mdia do nmero de ciclos at a ruptura, para as temperaturas de revenimentoconsideradas. A comparao entre essas curvas mostra, em detalhes, que a diminuio da resistnciamecnica provocada pelos tratamentos trmicos diminui a resistncia fadiga, quando se fixa onvel de tenso no ensaio de flexo rotativa. Na representao grfica dessas curvas S-N, ossegmentos de retas horizontais, em cada nvel de tenso considerado, representam os espalhamentoscaractersticos dos valores obtidos experimentalmente neste tipo de ensaio.

Nas Figs. (3) e (4) tem-se a representao das retas correspondentes s distribuies de Weibull,para os casos em que estima-se o parmetro de localizao No, e, quando isto admissvel, osvalores de No que provocam um melhor ajuste da reta de Weibull aos valores experimentais, paraum mesmo nvel de tenso de 539,2 MPa e temperaturas de revenimento de 673K e 773K,respectivamente. Deve ser observado, que para todos eles, o valor do coeficiente de correlao, R2,encontra-se prximo do valor mximo permitido, fato que caracteriza uma boa ajustagem dosvalores experimentais aos valores tericos obtidos pelo mtodo grfico de Weibull.

Deve ser observado, tambm, que os valores dos parmetros da funo de distribuioacumulativa de Weibull, calculados pelos mtodos da mxima verossimilhana e dos momentos,apresentam uma boa concordncia entre si e com os obtidos pelo mtodo grfico de Weibull, comodemonstrado na Tab. (6).

Do mesmo modo, as Figs. (4) e (5) mostram a representao das retas de Weibull, com aindicao dos parmetros que provocam o melhor ajuste aos dados experimentais. Verifica-senovamente que os valores calculados pelos mtodos da mxima verossimilhana e dos momentos,so compatveis entre si e com os obtidos pelo mtodo grfico de Weibull.

Estes fatos nos permitem concluir que possvel e perfeitamente aceitvel estimar-se a vidaterica para os corpos de prova ensaiados em fadiga por flexo rotativa sob tenso fixa, desde queos parmetros calculados a partir dos dados experimentais sejam respeitados.

4. CONCLUSES

- A distribuio de Weibull permitiu uma boa descrio para o comportamento do ao ABNT-4140, quando ensaiado em carregamento constante flexo rotativa e em diferentestemperaturas de tratamento trmico.

- Os parmetros da distribuio de Weibull, determinados pelos mtodos da verossimilhana edos momentos, apresentaram valores perfeitamente concordantes com os determinados pelomtodo de Weibull, o que permite a obteno de uma equao mais realista, na medida em queos valores estimados tm boa concordncia com os valores obtidos experimentalmente.

5. REFERNCIAS

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5. DIREITOS AUTORAIS

Os autores so os nicos responsveis pelo contedo do material impresso includo no seutrabalho.

TITLE: APPLICATION OF THE WEIBULL STATISTICAL DISTRIBUTIONFUNCTION IN MECHANICAL FATIGUE

LOPES, J.T. de BarrosFederal University of ParAv. Gov. Jos Malcher, 960/403, 66.055-260, Nazar, Belm - Par - Brazilteofilo@ufpa.br

OLIVEIRA, J. Sandoval B. deUniversity of the State of ParRua Tupinambs, 402, 66.033-810, Batista Campos, Belm - Par - Brazilteofilo@ufpa.br

Abstract.The purpose of the present work is to analyze the life under fatigue for rotating beam, of

specimens of steel ABNT-4140. The interest of such a study is due to the fact of being this a materialof wide industrial application.

It was used as statistical treatment the three parameters Weibull distribution, and for theestimate of those parameters the method of the maximum-likelihood and the one of the momentswere used. The obtened results demontrate that Weibull distribution offers a good description forthe life in fatigue of such material for that effort applicant.

Keywords. Fadigue, Weibull, Beam, Likelihood, Moments