CPC IF - 2018 MATEMÁTICA MÓDULO III E MÓDULO IV · h) Um número é o triplo do outro. Somando...

CPC

IF - 2018

MATEMTICA

MDULO III

E

MDULO IV

Lista de Exerccios de Equaes do 1 Grau com uma varivel

(Equaes e Problemas com equaes)

1) Determine a raiz de cada equao a seguir (resolva descobrindo o valor do termo x

desconhecido), considerando U = R

a) x - 17 = -9 R:8 n) 3. (x +2) + 5 = x + 12 R:1/2

b) 2x = -7 R: -7/2 o) x + 4.(x - 1) = 9 - 2.(x + 3) R: 1

c) 3x + 2 = 2x - 11 R:-13 p) 5.(3x - 2) = 2.(6x + 3) R:

16/3

d) 2x = 16 R:8 q) 2.(3x-1) + 2 .(3-x)= 0 R: -1

e) x = -5 R: -10 r) 7.(x-1) = 2.(3x+1) R:9

2

f) 2x + 14 = 5x - 1 R:5 s) 2.(3 - y) + 7.(2 - y) = 15 - 4y R:1

g) 4x - 5 = 6x + 11 R:-8 t) 2.(x - 2) + 5.( 2 - x) + 6.(x + 1)= 0 R:-4

h) 5x + 4 - 2x = 26 - 3x R: 11/3 u) 3. (x - 2) - (1 - x) = 13 R; 5

i) 5m - 7 - 2m - 2 = 0 R:3 v) x - (x + 1) = 12 - (3x - 2) R;5

j) y - 8 + 5y = -3 +2y + 7 R:3 x) x/2 = 12/3 R: 8

k) 4t + 9 = 3t + 5 R:-4

w)2x/3 + 1/2 = x/4 - 3/2 R:-24/5

l) -10 + 4 - 2x = -4x - 7 R; -1/2

m) 10x - 8 - 2 = 7x - 4 R: 2 y) x/3 - 1 + 3/4 = x/2 -

1/4 R: x=0

2) Resolva cada situao problema a seguir, utilizando equaes do primeiro grau com uma

varivel:

(No esquea que cada problema exige uma resoluo com resposta).

a) O triplo de um nmero somado a quatro igual a vinte e cinco. Qual este nmero? 7

b) O quntuplo do nmero de meninas do 7 A menos cinco igual a 25. Quantas so as meninas

do 7 A 6

c) A diferena entre o triplo de um nmero e 90 igual a esse nmero somado com 48. Que

nmero esse? 69

d) Um nmero menos 12 igual a 3/4 do mesmo nmero. Qual esse nmero? 48

e) O triplo de um nmero menos 40 igual a sua metade mais 20. Que nmero esse? 24

f) A metade de um nmero mais 10 e mais a sua tera parte igual ao prprio nmero. Que

nmero esse? 60

g) Sabe-se que 3/5 da idade de Jurandir menos 15 igual a 9. Qual a idade de Jurandir? 40

anos

h) Um nmero o triplo do outro. Somando os dois, obtemos 84. Quais so esses nmeros? 21 e

63

i) A idade de um pai o triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos eles

possuem 72 anos. pai 54 e filho 18

j) Somando 5 anos ao dobro da idade de Snia, obtemos 35 anos. Qual a idade da Snia? 15

anos

k) Num estacionamento h carros e motos, totalizando 78 veculos. O nmero de carros o

quntuplo do nmero de motos. Quantas motos existem neste estacionamento? 13 motos

l) Um nmero tem 4 unidades a mais que o outro. A soma deles 150. Quais so estes

nmeros? 73 e 77

m) Um senhor tem coelhos e galinhas num total de 20 cabeas e 58 ps. Determine o nmero de

coelhos e de galinhas. 9 coelhos e 11 galinhas

n) Tenho 9 anos a mais que meu irmo e juntos temos 79 anos. Quantos anos eu tenho? 44

o) As idades de 3 irmo somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem 1/3 da idade do mais

velho e o 2 irmo tem a metade da idade do mais velho, determine a idade do mais velho. 54anos

p) Numa escola 1/3 dos alunos so meninos e 120 so meninas. Quantos alunos h nesta

escola? 180

q) Numa caixa h bolas brancas e bolas pretas num total de 360. Se o nmero de bolas brancas

o qudruplo do nmero de bolas pretas, qual o nmero de bolas brancas? 288

r) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha obtm-se os 3/5 de sua idade. Qual a idade de

minha filha? 15 anos

s) A soma de trs nmeros 150. O segundo o triplo do primeiro e o terceiro tem 10 unidades a

mais do que o segundo. Quais so estes nmeros? 20, 60 e 70

t) A quantidade de figurinhas que os irmo Pedro, Joo e Marcos possuem, somam 142. Joo tem

o qudruplo de figurinhas de Pedro e Marcos o triplo das de Joo e mais seis figurinhas. Quantas

figurinhas tem cada um? 8, 32 e 102

u) A soma das idades de trs irmos 28 anos. Quando o segundo nasceu, o primeiro tinha trs

anos, e quando o terceiro nasceu, o segundo tinha 2 anos. Qual a idade atual de cada um? 12, 9

e 7

v) Num campeonato de futebol, as trs primeiras equipes classificadas A, B e C, marcaram 115

gols. A equipe A marcou 12 gols a mais que a equipe C e oito gols a mais que a equipe B. Quantos

gols marcou cada equipe? A 45, B 37, C 33

x) Jair e Edson tm juntos 35 mil reais. Jair tem a mais que Edson 6 mil reais. Quanto tem cada

um?

E 14.500, J 20.500

y) Ary e Rui tm juntos 840 reais. A quantia de Ary igual a 3/4 da quantia de Rui. Quantos reais

Rui tem? 480

w) Numa partida de basquete, as duas equipes fizeram um total de 145 pontos. A equipe A fez o

dobro de pontos menos cinco, que a equipe B. Quantos pontos marcou cada equipe?

A 95, B 50

Bom Estudo!

"No se pode ensinar nada a um homem; s possvel ajud-lo a encontrar a coisa dentro de si". (Galileu Galilei) Postado por Srgio s 19:00

https://www.blogger.com/profile/02601234159665871256http://sergiofabretti.blogspot.com/2013/06/7-ano-lista-de-exercicios-de-equacoes.html

Sistema de duas equaes

Um sistema de equaes do 1 grau com duas incgnitas formado por duas equaes,

onde cada equao possui duas variveis x e y. Veja o exemplo:

A resoluo de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que satisfazem as

equaes do sistema. A soluo de um sistema pode ser feita atravs de dois mtodos

resolutivos: adio e substituio.

Mtodo da Adio

Consiste em somarmos as variveis semelhantes das duas equaes no intuito de obter

resultado igual zero. Veja a resoluo do sistema a seguir:

Mtodo da Substituio

Consiste em isolar x ou y em qualquer uma das equaes do sistema, e substituir o

valor isolado na outra equao. Observe:

Podemos observar atravs dos exemplos resolvidos que, de acordo com a configurao

do sistema, podemos resolv-lo utilizando o mtodo da adio ou o mtodo da

substituio.

A soluo de um sistema consiste em um resultado que chamado de par ordenado, o

grfico de uma equao do 1 grau dado por uma reta. Um sistema de duas equaes

possui duas retas representadas no plano e a interseco dessas retas a soluo

geomtrica do sistema. Conclumos que a soluo de um sistema pode ser apresentada

de duas formas matemticas, uma algbrica outra geomtrica (graficamente).

Por Marcos No

Graduado em Matemtica

Equipe Brasil Escola

Exerccios Sobre Sistema De Equao

Estes exerccios sobre sistema de equao do 1 grau podem ser resolvidos atravs do mtodo da adio ou da substituio sem qualquer prejuzo nos resultados. Publicado por: Amanda Gonalves Ribeiro em Exerccios de Matemtica5 Comentrios

Questo 1

Joo gosta muito de animais de estimao e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-

lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente Joo respondeu com o

seguinte enigma: A soma do dobro do nmero de cachorros e do triplo do nmero de gatos

igual a 17. E a diferena entre o nmero de cachorros e de gatos apenas 1. Ser que

voc consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos

Joo possui?

https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-sistema-equacao.htm#disqus_thread

Questo 2

Em sua rua, Andr observou que havia 20 veculos estacionados, dentre motos e carros.

Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual a quantidade de motos e de carros

estacionados na rua de Andr?

Questo 3

(Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limo e coco. A compra foi

entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada

caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limo do que no aroma coco, o

nmero de frascos entregues, no aroma limo, foi:

a) 110

b) 120

c) 130

d) 140

e) 150

Questo 4

(Vunesp) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata,

marca 1 ponto e se perde no marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o

time A tenha participado de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses

jogos, obteve 24 pontos, ento a diferena entre o nmero de jogos que o time A venceu e

o nmero de jogos que empatou, nessa ordem,

a) 8.

b) 4.

c) 0.

d) 4.

e) 8.

Respostas

Resposta Questo 1

De incio, vamos interpretar algebricamente o enigma de Joo. Para isso, identificaremos o

nmero de gatos como g e o nmero de cachorros como c. Se a soma do dobro do nmero

de cachorros e do triplo do nmero de gatos igual a 17, chegamos a:

2 c + 3 g = 17

E se a diferena entre o nmero de cachorros e de gatos apenas 1, podemos concluir

que:

c g = 1

Com as equaes encontradas, podemos montar o seguinte sistema:

Para resolver esse sistema pelo mtodo da adio, multiplicaremos todos os termos da

segunda equao por 3 e somaremos as equaes:

5 c + 0 g = 20

5 c = 20

c = 20

5

c = 4

Substituindo c = 4 em c g = 1, teremos:

c g = 1

4 g = 1

g = 1 4

( 1) ( g) = ( 3) ( 1)

g = 3

Podemos concluir que Joo possui trs gatos e quatro cachorros.

Resposta Questo 2

Se identificarmos a quantidade de motos com a incgnita m e a quantidade de carros com

a incgnita c, podemos afirmar que a equao m + c = 20 vlida.

Sabendo que cada moto possui 2 rodas e cada carro, 4, podemos montar ainda outra

equao: 2 m + 4 c = 54. Organizando-as em um sistema de equaes, teremos:

Para resolver esse sistema atravs do mtodo da substituio, isolaremos m na primeira

equao, substituindo-o na segunda:

m + c = 20

m = 20 c

2 m + 4 c = 54

2 (20 c) + 4 c = 54

40 2 c + 4 c = 54

2 c + 4 c = 54 40

2 c = 14

c = 14

2

c = 7

Substituindo c = 7 em m = 20 c, teremos:

m = 20 c

m = 20 7

m = 13

Portanto, h treze motos e sete carros estacionados na rua de Andr.

Resposta Questo 3

De acordo com o enunciado, as caixas contm detergentes no aroma limo e no aroma

coco. Representaremos suas quantidades com as variveis L e C, respectivamente. Ns

sabemos que, somando as quantidades dos dois aromas em uma caixa, teremos um total

de 24 detergentes, isto , L + C = 24. Sabemos ainda que cada caixa contm dois

detergentes de limo a mais do que de coco, logo, L = C + 2. Reorganizando essa equao,

teremos: L C = 2.

Com as equaes identificadas, podemos montar um sistema que resolveremos

pelo mtodo da adio:

2 L + 0 C = 26

2 L = 26

L = 26

2

L = 13

Cada caixa continha 13 frascos de detergente aroma limo. Mas como foram estregues

10 caixas com essa mesma quantidade (13 10 = 130), o supermercado adquiriu 130

frascos de detergente aroma limo. A resposta correta a letra c.

Resposta Questo 4

De acordo com o enunciado, o time A participou de 16 jogos e perdeu em dois destes.

Podemos afirmar, portanto, que, em 14 dos jogos, o time A pode ter vencido ou empatado.

Representando pela letra v os jogos em que o time venceu e por e aqueles em que

empatou, algebricamente temos v + e = 14 (o nmero de vitrias somado ao nmero de

empates igual a 14). Para determinar a pontuao de um time, multiplicamos as vitrias

por 3 e os empates por 1 e somamos os resultados. No caso do time A, temos:

3 v + 1 e = 24

3 v + e = 24

Podemos montar o seguinte sistema de equaes:

Vamos resolver esse sistema pelo mtodo da substituio. Para isso, isolaremos a

incgnita e na primeira equao, ficando com: e = 14 v. Substituindo esse valor de e na

segunda equao, teremos:

3 v + e = 24

3 v + 14 v = 24

3 v v = 24 14

2 v = 10

v = 10

2

v = 5

Substituindo o valor encontrado de v em e = 14 v, teremos:

e = 14 v

e = 14 5

e = 9

O time A teve nove empates e cinco vitrias, mas o exerccio pediu a diferena entre o

nmero de jogos em que A venceu e o nmero de jogos em que empatou. Essa diferena

5 9 = 4. A alternativa correta a letra d.

EXERCCIOS SOBRE FUNO DE 1 GRAU

EXERCCIOS DE MATEMTICA 63

QUESTO 1

Determine a funo afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(3) = 7.

QUESTO 2

(U. Catlica de Salvador-BA)

Seja a funo f de R em R definida por f(x) = 54x + 45, determine o valor de f(2 541) f(2 540).

QUESTO 3

(U. F. Viosa-MG)

Uma funo f dada por f(x) = ax + b, em que a e b so nmeros reais. Se f(1) = 3 e f(1) = 1, determine o

valor de f(3).

QUESTO 4

(PUC-BH)

A funo R(t) = at + b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicao. O tempo t

contado em meses, R(1) = 1 e R(2) = 1. Nessas condies, determine o rendimento obtido nessa aplicao,

em quatro meses.

RESPOSTAS

Questo 1

f(1) = 5

f(1) = a * 1 + b

5 = a + b

a + b = 5

f(3) = 7

f(3) = a * (3) + b

f(3) = 3a + b

3a + b = 7

Sistema de equaes

Isolando a na 1 equao

a + b = 5

a = 5 b

Substituindo o valor de a na 2 equao

3a + b = 7

3 * (5 b) + b = 7

15 + 3b + b = 7

4b = 7 + 15

4b = 8

b = 2

Substituindo o valor de b na 1 equao

a = 5 b

a = 5 2

a = 3

A funo ser definida pela seguinte lei de formao: f(x) = 3x + 2.

Voltar a questo

Questo 2

f(2 541) = 54 * 2 541 + 45

f(2 541) = 137 214 + 45

f(2 541) = 137 259

f(2 540) = 54 * 2 540 + 45

f(2 540) = 137 160 + 45

f(2 540) = 137 205

f(2 541) f(2 540) 137 259 137 205 54

https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-1-o-grau.htm#resp-1

A diferena ser igual a 54.

Questo 3

f(x) = ax + b

f(1) = 3

f(1) = a * (1) + b

3 = a + b

f(1) = 1

f(1) = a * 1 + b

1 = a + b

Sistema de equaes

Isolando b na 1 equao

a + b = 3

b = 3 + a


a + b = 1

a + 3 + a = 1

2a = 1 3

2a = 4

a = 2


b = 3 + a

b = 3 2

b = 1

A funo ser dada pela expresso f(x) = 2x + 1. O valor f(3) ser igual a:

f(3) = 2 * 3 + 1

f(3) = 6 + 1

f(3) = 5

O valor de f(3) na funo f(x) = 2x + 1 igual a 5.

Questo 4

R(1) = 1

R(1) = a * 1 + b

1 = a + b

a + b = 1

R(2) = 1

R(2) = a * 2 + b

1 = 2a + b

2a + b = 1

Sistema de equaes

Isolando b na 1 equao

a + b = 1

b = 1 a


2a + b = 1

2a + (1 a) = 1

2a 1 a = 1

a = 1 + 1

a = 2


b = 1 a

b = 1 2

b = 3

A funo ser dada pela seguinte lei de formao: R(t) = 2t 3.

Fazendo f(4), temos:

R(t) = 2 * 4 3

R(t) = 8 3

R(t) = 5

O rendimento obtido nessa aplicao ser de R$ 5 000,00.

Grfico de uma equao de 1 grau com duas variveis

Sabemos que uma equao do 1 grau com duas variveis possui infinitas solues. Cada uma

dessas solues pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de uma equao, podemos represent-los graficamente em

um plano cartesiano, determinando, atravs da reta que os une, o conjunto das solues dessa

equao. Exemplo:

Construir um grfico da equao x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equao.

1 par: A (4, 0)

2 par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos em um plano cartesiano.

x y

4 0

0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contm todos os pontos solues da equao.

A reta r chamada reta suporte do grfico da equao.

Equaes do 2 grau

O que uma equao do 2 grau?

Denomina-se equao do 2 grau na incgnita x, toda equao da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplos:

x2 - 5x + 6 = 0 um equao do 2 grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

6x2 - x - 1 = 0 um equao do 2 grau com a = 6, b = -1 e c = -1.

7x2 - x = 0 um equao do 2 grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0 um equao do 2 grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equaes escritas na forma ax + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equao do 2

grau na incgnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a sempre o coeficiente de x;

b sempre o coeficiente de x,

c o coeficiente ou termo independente.

Reforando o texto acima

A reta como grfico da funo

Na Matemtica, consideramos funo como uma relao de dependncia entre duas grandezas. As relaes

que envolvem crescimentos e decrescimentos lineares so representadas por uma funo do 1 grau do tipo

y = ax + b, com a e b nmeros reais e b 0. Nessa funo, os pares ordenados (x, y) so denominados

domnio e imagem respectivamente. A representao desse modelo de funo no plano cartesiano dada por

uma reta crescente ou decrescente. A posio da reta no plano depende do valor do coeficiente angular a,

caso ele seja positivo (a > 0), a reta crescente; e se for negativo (a < 0), a reta decrescente. O coeficiente

representado por b denominado linear e indica em que ponto do eixo y (ordenada) a reta passa.

O grfico da funo construdo no plano de coordenadas cartesianas, onde cada valor de x (eixo das

abscissas) possui uma representao em y (eixo das ordenadas).

Funo do 1 grau crescente (a > 0)

A funo y = 2x + 5 representada por uma reta crescente, pois o coeficiente angular positivo, possuindo

valor igual a 2. Veja o grfico:

Na funo crescente, medida que os valores de x aumentam, os valores de y tambm aumentam; ou

medida que os valores de x diminuem, os valores de y diminuem.

Funo do 1 grau decrescente (a < 0)

A funo y = 2x +3 representada por uma reta decrescente, pois o coeficiente angular negativo,

possuindo valor igual a 2. Veja o grfico:

Na funo decrescente, medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem; ou, medida

que os valores de x diminuem, os valores de y aumentam.

Exerccios Sobre Funo Do 1 Grau

Ao resolver exerccios sobre funes do 1 grau, importante verificar

se a funo crescente ou decrescente, bem como os zeros da funo. Publicado por: Amanda Gonalves Ribeiro em Exerccios de Matemtica5 Comentrios

Questo 1

Determine os zeros das funes a seguir:

a) y = 5x + 2

b) y = 2x

c) f(x) = x + 4

2

Questo 2

https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-1-o-grau.htm#disqus_thread

Classifique cada uma das funes seguintes em crescente ou decrescente:

a) y = 4x + 6

b) f(x) = x + 10

c) y = (x + 2)2 (x 1)2

Questo 3

(UFPI) A funo real de varivel real, definida por f (x) = (3 2a).x + 2, crescente quando:

a) a > 0

b) a < 3/2

c) a = 3/2

d) a > 3/2

e) a < 3

Questo 4

(FGV) O grfico da funo f (x) = mx + n passa pelos pontos ( 1, 3) e (2, 7). O valor

de m :

a) 5/3

b) 4/3

c) 1

d) 3/4

e) 3/5

Respostas

Resposta Questo 1

a) y = 5x + 2

Primeiramente, faamos y = 0, ento:

5x + 2 = 0, o nmero 2 mudar de lado e o sinal tambm ser mudado.

5x = 2, o nmero 5 mudar de lado e realizar uma diviso.

x = 2

5

O zero da funo y = 5x + 2 o valor: x = 2

5

b) y = 2x

Faamos y = 0, ento:

2x = 0, o nmero 2 mudar de lado e realizar uma diviso. Mas como o nmero zero

dividido por qualquer nmero resulta em zero, x = 0.

O zero da funo y = 2x x = 0.

c) f(x) = x + 4

2

Faamos f(x) = 0, ento:

x + 4 = 0, o nmero 4 mudar de lado e o sinal tambm ser mudado.

2

x = - 4, o nmero 2 mudar de lado e realizar uma multiplicao.

2

x = ( 4) . 2

x = 8

Portanto, o zero da funo f(x) = x + 4 dado por x = 8.

2

Resposta Questo 2

Em uma funo do tipo y = ax + b, o coeficiente a de x indica se a funo crescente ou

decrescente.

a) y = 4x + 6

Nessa funo, a = 4 > 0, portanto, y uma funo crescente.

b) f(x) = x + 10

Como a = 1 < 0, f(x) uma funo decrescente.

c) y = (x + 2)2 (x 1)2

Nesse caso precisamos desenvolver os parnteses atravs dos produtos notveis.

x2 + 4x + 4 (x 1)2

x2 + 4x + 4 (x2 2x + 1)

x2 + 4x + 4 x2 + 2x 1

6x + 3

y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y uma funo crescente.

Resposta Questo 3

Para que a funo seja crescente, necessrio que o coeficiente de x seja positivo, logo:

3 2a > 0

2a > 0 3

( 1). ( 2a) > ( 3). ( 1)

2a < 3

a < 3

2

Portanto, a alternativa correta a letra b.

Resposta Questo 4

O primeiro ponto que dado o ( 1, 3), em que o valor de x 1 e o valor de f(x) 3.

Substituindo esses valores na funo, temos:

f (x) = mx + n

3 = m.( 1) + n

n = 3 + m

Vamos tambm substituir o segundo ponto (2, 7) na funo, sendo

que x vale 2e f(x) vale 7:

f (x) = mx + n

7 = m.2 + n

n = 7 2m

Nas duas substituies feitas, encontramos dois valores para n. Se igualarmos essas

duas equaes, teremos:

3 + m = 7 2m

m + 2m = 7 3

3m = 4

m = 4

3

A alternativa correta a letra b.

Equaes completas e incompletas

Uma equao do 2 grau completa quando b e c so diferentes de zero. Exemplos:

x - 9x + 20 = 0 e -x + 10x - 16 = 0 so equaes completas.

Uma equao do 2 grau incompleta quando b ou c igual a zero, ou ainda quando ambos so iguais a

zero. Exemplos:

x - 36 = 0

(b = 0)

x - 10x = 0

(c = 0)

4x = 0

(b = c = 0)

Reforando o texto acima

A equao do segundo grau recebe esse nome porque uma equao polinomial cujo termo de maior grau

est elevado ao quadrado. Tambm chamada de equao quadrtica, representada por:

ax2 + bx + c = 0

Numa equao do 2 grau, o x a incgnita e representa um valor desconhecido. J as letras a, b e c so

chamadas de coeficientes da equao.

Os coeficientes so nmeros reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do contrrio passa a

ser uma equao do 1 grau.

Resolver uma equao de segundo Grau, significa buscar valores reais de x, que tornam a equao

verdadeira. Esses valores so denominados razes da equao.

Uma equao quadrtica possui no mximo duas razes reais.

Equaes do 2 Grau Completas e Incompletas

As equaes do 2 grau completas so aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja a, b e c so

diferentes de zero (a, b, c 0).

Por exemplo, a equao 5x2 + 2x + 2 = 0 completa, pois todos os coeficientes so diferentes de zero (a = 5,

b = 2 e c = 2).

Uma equao quadrtica incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Por exemplo, a equao 2x2 = 0

incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0

Exerccios Resolvidos

1) Determine os valores de x que tornam a equao 4x2 - 16 = 0 verdadeira.

Soluo:

A equao dada uma equao incompleta do 2 grau, com b = 0. Para equaes deste tipo, podemos

resolver, isolando o x. Assim:

Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois nmeros elevados ao quadrado resultam em 4.

Assim, as razes da equao 4x2 - 16 = 0 so x = - 2 e x = 2

2) Encontre o valor do x para que a rea do retngulo abaixo seja igual a 2.

Soluo:

A rea do retngulo encontrada multiplicando-se a base pela altura. Assim, devemos multiplicar os valores

dados e igualar a 2.

(x - 2) . (x - 1) = 2

Agora vamos multiplicar todos os termos:

x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2

x2 - 1x - 2x + 2 = 2

x2 - 3x + 2 - 2 = 0

x2 - 3x = 0

Aps resolver as multiplicaes e simplificaes, encontramos uma equao incompleta do segundo grau,

com c = 0.

Esse tipo de equao pode ser resolvida atravs da fatorao, pois o xse repete em ambos os termos. Assim,

iremos coloc-lo em evidncia.

x . (x - 3) = 0

Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo, substituindo x por zero, as medidas dos

lados ficam negativas, portanto, esse valor no ser resposta da questo.

Ento, temos que o nico resultado possvel (x - 3) = 0. Resolvendo essa equao:

x - 3 = 0

x = 3

Desta forma, o valor do x para que a rea do retngulo seja igual a 2 x = 3.

https://www.todamateria.com.br/fatoracao/

Frmula de Bhaskara

Quando uma equao do segundo grau completa, usamos a Frmula de Bhaskara para encontrar as razes

da equao.

A frmula apresentada abaixo:

Frmula do Delta

Na frmula de Bhaskara, aparece a letra grega (delta), que chamada de discriminante da equao, pois

de acordo com o seu valor possvel saber qual o nmero de razes que a equao ter.

Para calcular o delta usamos a seguinte frmula:

Passo a Passo

Para resolver uma equao do 2 grau, usando a frmula de Bhaskara, devemos seguir os seguintes passos:

1 Passo: Identificar os coeficientes a, b e c.

Nem sempre os termos da equao aparecem na mesma ordem, portanto, importante saber identificar os

coeficientes, independente da sequncia em que esto.

O coeficiente a o nmero que est junto com o x2, o b o nmero que acompanha o x e o c o termo

independente, ou seja, o nmero que aparece sem o x.

2 Passo: Calcular o delta.

Para calcular as razes necessrio conhecer o valor do delta. Para isso, substitumos as letras na frmula

pelos valores dos coeficientes.

Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o nmero de razes que ter a equao do 2 grau. Ou

seja, se o valor de for maior que zero ( > 0), a equao ter duas razes reais e distintas.

Se ao contrrio, delta for menor que zero ( ), a equao no apresentar razes reais e se for igual a

zero ( = 0), a equao apresentar somente uma raiz.

3 Passo: Calcular as razes.

Se o valor encontrado para delta for negativo, no precisa fazer mais nenhum clculo e a resposta ser que a

equao no possui razes reais.

https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/

Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir todas as letras pelos seus valores na

frmula de Bhaskara e calcular as razes.

Exerccio Resolvido

Determine as razes da equao 2x2 - 3x - 5 = 0

Soluo:

Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim temos:

a = 2

b = - 3

c = - 5

Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as regras de sinais e lembrar que

primeiro devemos resolver a potenciao e a multiplicao e depois a soma e a subtrao.

= (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49

Como o valor encontrado positivo, encontraremos dois valores distintos para as razes. Assim, devemos

resolver a frmula de Bhaskara duas vezes. Temos ento:

Assim, as razes da equao 2x2 - 3x - 5 = 0 so x = 5/2 e x = - 1.

Sistema de Equaes do 2 Grau

Quando queremos encontrar valores de duas incgnitas diferentes que satisfaam simultaneamente duas

equaes, temos um sistema de equaes.

As equaes que formam o sistema podem ser do 1 grau e do 2 grau. Para resolver esse tipo de sistema

podemos usar o mtodo da substituio e o mtodo da adio.

Exerccio Resolvido

Resolva o sistema abaixo:

Soluo:

Para resolver o sistema, podemos utilizar o mtodo da adio. Neste mtodo, somamos os termos

semelhantes da 1 equao com os da 2 equao. Assim, reduzimos o sistema para uma s equao.

Podemos ainda simplificar todos os termos da equao por 3 e o resultado ser a equao x2 - 2x - 3 = 0.

Resolvendo a equao, temos:

= 4 - 4 . 1 . (- 3) = 4 + 12 = 16

Depois de encontrar os valores do x, no podemos esquecer que temos ainda de encontrar os valores de y

que tornam o sistema verdadeiro.

Para isso, basta substituir os valores encontrados para o x, em uma das equaes.

y1 - 6. 3 = 4

y1 = 4 + 18

y1 = 22

y2 - 6 . (-1) = 4

y2 + 6 = 4

y2 = - 2

Portanto, os valores que satisfazem ao sistema proposto so (3, 22) e (- 1, - 2)

Para saber mais, leia tambm:

https://www.todamateria.com.br/sistemas-de-equacoes/

Exerccios

1) Resolva a equao de segundo grau completa, utilizando a Frmula de Bhaskara:

2 x2 + 7x + 5 = 0

VER RESPOSTA

Antes de mais nada importante observar cada coeficiente da equao, portanto:

a = 2

b = 7

c = 5

Atravs da frmula do discriminante da equao, devemos encontrar o valor de .

Isso para depois encontrar as razes da equao por meio da frmula geral ou a frmula de Bhaskara:

= 72 4 . 2 . 5

= 49 - 40

= 9

Observe que se o valor de maior que zero ( > 0), a equao ter duas razes reais e distintas.

Assim, aps encontrar o , vamos substitu-lo na frmula de Bhaskara:

Logo, os valores das duas razes reais : x1 = - 1 e x2 = - 5/2

2) Resolva as equaes incompletas do segundo grau:

a) 5x2 x = 0

VER RESPOSTA

Primeiramente, busca-se os coeficientes da equao:

a= 5

b= - 1

c= 0

Trata-se de uma equao incompleta onde c = 0.

Para calcul-la podemos usar a fatorao, que neste caso colocar o x em evidncia.

5x2 x = 0

x. (5x-1) = 0

Neste situao, o produto ser igual a zero quando x = 0 ou quando 5x -1 = 0. Ento vamos calcular o valor

do x:

Portanto, as razes da equao so x1 = 0 e x2 = 1/5.

b) 2x2 2 = 0

VER RESPOSTA

a = 2

b = 0

c = - 2

Trata-se de uma equao incompleta de segundo grau, onde b = 0, seu clculo pode ser feito isolando o x:

x1 = 1 e x2 = - 1

Logo, as duas razes da equao so x1 = 1 e x2 = - 1

c) 5x2 = 0

VER RESPOSTA

a = 5

b = 0

c = 0

Nesse caso, a equao incompleta apresenta os coeficientes b e c iguais a zero (b = c = 0):

Portanto, as razes dessa equao possuem os valores x1 = x2 = 0

Por: Rosimar Gouveia Professora de Matemtica e Fsica

O que funo do segundo grau?

Uma funo uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um nico elemento

de um conjunto B, respectivamente conhecidos como domnio e contradomnio da

funo. Para que a funo seja chamada funo do segundo grau, necessrio que sua

regra (ou lei de formao) possa ser escrita na seguinte forma:

f(x) = ax2 + bx + c

ou

y = ax2 + bx + c

Alm disso, a, b e c devem pertencer ao conjunto dos nmeros reais e a 0. Dessa forma,

so exemplos de funo do segundo grau:

a) f(x) = x2 + x 6

b) f(x) = x2

https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao.htmhttps://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htmhttps://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-reais.htm

Razes da funo do segundo grau

As razes de uma funo so os valores assumidos por x quando f(x) = 0. Assim, para

encontr-las, basta substituir f(x) ou y por zero na funo e resolver a equao

resultante. Para resolver equaes do segundo grau, podemos usar frmula de Bhskara,

mtodo de completar quadrados ou qualquer outro mtodo. Lembre-se: como

a funo do segundo grau, ela deve ter at duas razes reais distintas.

Exemplo As razes da funo f(x) = x2 + x 6 podem ser calculadas da seguinte forma:

f(x) = x2 + x 6

0 = x2 + x 6

a = 1, b = 1 e c = 6

= b2 4ac

= 12 41( 6)

= 1 + 24

= 25

x = b

2a

x = 1 25

2

x = 1 5

2

x = 1 + 5 = 4 = 2

2 2

x = 1 5 = 6 = 3

2 2

Logo, as razes da funo f(x) = x2 + x 6 so os pontos de coordenadas A = (2, 0) e B

= ( 3, 0).

Vrtice da funo Ponto mximo ou mnimo

O vrtice o ponto no qual a funo do segundo grau atinge seu valor mximo ou

mnimo. Suas coordenadas V = (xv, yv) so dadas pelas frmulas a seguir:

xv = b

2a

e

yv =

4a

No mesmo exemplo citado anteriormente, o vrtice da funo f(x) = x2 + x 6 obtido

por:

xv = b

2a

https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-equacao-2-grau.htmhttps://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htmhttps://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htmhttps://brasilescola.uol.com.br/matematica/maximo-minimo.htmhttps://brasilescola.uol.com.br/matematica/maximo-minimo.htm

xv = 1

21

xv = 1

2

xv = 0,5 No pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

e

yv =

4a

yv = 25

41

yv = 25

4

yv = 6,25

Assim, as coordenadas do vrtice dessa funo so V = ( 0,5; 6,25).

A coordenada yv tambm pode ser obtida substituindo o valor de xv na prpria funo.

Grfico da funo do segundo grau

O grfico de uma funo do segundo grau sempre ser uma parbola. Existem

alguns macetes envolvendo essa figura que podem ser usados para facilitar a construo

do grfico. Para exemplificar esses macetes, tambm usaremos a funo f(x) = x2 + x

6.

1 O sinal do coeficiente a est ligado concavidade da parbola. Se a > 0 a

concavidade da figura ser voltada para cima, se a < 0 a concavidade da figura ser

voltada para baixo.

Assim, no exemplo, como a = 1, que maior que zero, a concavidade da parbola que

representa a funo f(x) = x2 + x 6 ser voltada para cima.

2 O coeficiente c uma das coordenadas do ponto de encontro da parbola com o

eixo y. Em outras palavras, a parbola sempre se encontra com o eixo y no ponto C =

(0, c).

No exemplo, o ponto C = (0, 6). Ento, a parbola passa por esse ponto.

3 Assim como no estudo dos sinais da equao do segundo grau, nas funes do

segundo grau, o sinal do determinante aponta o nmero de razes da funo:

Se > 0 a funo tem duas razes reais distintas.

Se = 0 a funo tem duas razes reais iguais.

Se < 0 a funo no tem razes reais.

https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao.htm

Dados esses macetes, ser preciso encontrar trs pontos pertencentes a uma funo do

segundo grau para construir o grfico. Em seguida, basta marcar esses trs pontos no

plano cartesiano e desenhar a parbola que passa por eles. A saber, os trs pontos so:

O vrtice e as razes da funo, se ela possuir razes reais;

ou

O vrtice e dois outros pontos quaisquer, se a funo no possuir razes reais.

Nesse caso, um ponto deve estar esquerda e outro direita do vrtice da funo no

plano cartesiano.

Observe que um desses pontos pode ser C = (0, c), exceto no caso em que esse ponto

for o prprio vrtice.

No exemplo f(x) = x2 + x 6, temos o seguinte grfico:

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemtica

https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao-segundo-grau.htm

EXERCCIOS SOBRE FUNO DO SEGUNDO GRAU

QUESTO 1

Qual a soma das coordenadas do vrtice de uma funo do segundo grau definida por f(x) = 2x2 + 10x + 12?

a) 3,0

b) 3,0

c) 2,5

d) 2,5

e) 0,5

QUESTO 2

Qual o resultado da soma das razes reais da funo f(x) = x2 + 16x + 39?

a) 16

b) 16

c) 10

d) 10

e) 13

QUESTO 3

Qual a altura mxima atingida por um projtil cuja trajetria pode ser descrita pela funo: h(x) = 4x2 + 5,

sabendo que h a altura do projtil e que x a distncia percorrida por ele, em metros?

a) 5 metros

b) 10 metros

c) 15 metros

d) 20 metros

e) 25 metros

QUESTO 4

A respeito do estudo dos sinais de uma funo do segundo grau, possvel afirmar, com certeza, que:

a) O valor do discriminante no pode ser usado para determinar a quantidade de razes reais que uma funo

do segundo grau possui.

b) Se o valor do discriminante for igual a zero e o coeficiente a for positivo, ento todos os pontos dessa funo

do segundo grau estaro sob o eixo x.

c) Se o valor do discriminante for igual a zero e o coeficiente a for positivo, ento todos os pontos dessa funo

estaro acima do eixo x, exceto pelo vrtice que estar sobre esse eixo.

d) Se o valor do discriminante for menor que zero, a funo possui duas razes reais e distintas e outras duas

razes complexas.

e) Se o valor do discriminante for maior que zero, no ser possvel calcular as razes dessa funo.

RESPOSTAS

Questo 1

Para determinar as coordenadas do vrtice de uma funo do segundo grau, existem algumas tcnicas.

A mais conhecida faz uso de duas frmulas, uma para encontrar a coordenada x, conhecida como xv,

e a outra para a coordenada y, conhecida como yv. Nessas frmulas, basta substituir os coeficientes

da funo e o valor de para encontrar os valores de x e y do vrtice. Observe:

xv = b

2a

xv = 10

22

xv = 10

4

xv = 2,5

yv =

4a

yv = (100 4212)

42

yv = (100 96)

8

yv = 4

8

yv = 0,5

A soma das coordenadas do vrtice da funo dada :

2,5 0,5 = 3,0

Alternativa A.

Questo 2

Para resolver essa questo, basta encontrar as razes da funo e som-las. Para calcular as razes de

funes do segundo grau, existem diversos mtodos. Para este exerccio, usaremos o mtodo

conhecido como completar quadrados.

Lembre-se: para encontrar as razes de uma funo do segundo grau, devemos fazer f(x) = 0, portanto,

temos:

f(x) = x2 + 16x + 39

0 = x2 + 16x + 39

x2 + 16x + 39 = 0

Observe que 16/2 = 8 e 82 = 64, logo:

x2 + 16x + 39 + 64 = 0 + 64

x2 + 16x + 64 = 64 39

(x + 8)2 = 25

(x + 8)2 = 25

x + 8 = 5

x = 5 8 = 3

ou

x = 5 8 = 13

A soma das razes :

3 13 = 16

Alternativa B.

Questo 3

Para descobrir a altura mxima que um projtil pode alcanar, a partir da funo que representa sua

trajetria, basta calcular o valor mximo dessa funo com relao ao eixo y, ou seja, a coordenada y

do vrtice.

yv =

4a

yv = (0 4( 4)5)

4( 4)

yv = 80

16

yv = 5

A altura mxima que esse projtil pode atingir de 5 metros.

Alternativa A.

Questo 4

a) Incorreta!

O valor do discriminante pode ser usado pra descobrir quantas razes reais a funo do segundo grau

possuir.

b) Incorreta!

Nessas hipteses, todos os pontos da parbola, exceto o vrtice, estaro acima do eixo x.

c) Correta!

d) Incorreta!

Nessa hiptese, a funo no possui razes reais. Embora possua razes complexas.

e) Incorreta!

Se o valor do discriminante maior que zero, ento possvel calcular as razes de uma funo do

segundo grau.

Alternativa C.

Exerccios Sobre Funo Do 2 Grau

Para resolver exerccios sobre funo do 2 grau, pode-se utilizar a

frmula de Bhaskara ou isolar a varivel x. Publicado por: Amanda Gonalves Ribeiro em Exerccios de Matemtica7 Comentrios

Questo 1

Encontre o valor de f(x) = x + 3x 10 para que f(x) = 0

Questo 2

Calcule o valor de 5x + 15x = 0 para que f(x) = 0

Questo 3

(UfSCarSP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de

futebol, teve sua trajetria descrita pela equao h(t) = 2t + 8t (t 0) , onde t o tempo

medido em segundo e h(t) a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o

chute:

a) o instante em que a bola retornar ao solo.

b) a altura atingida pela bola.

Questo 4

Determine x pertence aos reais tal que (x 100x).(x 101x + 100) = 0.

https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-2-grau.htm#disqus_thread

Respostas

Resposta Questo 1

Os coeficientes dessa funo so: a = 1, b = 3 e c = 10. Para resolver essa equao,

vamos utilizar a frmula de Bhaskara:

= b 4.a.c

= 3 4.1.( 10)

= 9 + 40

= 49

x = b

2.a

x = 3 49

2.1

x = 3 7

2

x1 = 3 + 7

2

x1 = 4

2

x1 = 2

x2 = 3 7

2

x2 = 10

2

x2 = 5

Os dois valores de x para que f(x) = 0 so x1 = 2 e x2 = 5.

Resposta Questo 2

Vamos resolver essa funo do 2 grau isolando a varivel x:

5x + 15x = 0

5x.(x + 3) = 0

x1 = 0

x2 + 3 = 0

x2 = 3

Portanto, os valores de x para os quais f(x) = 0 so 0 e 3.

Resposta Questo 3

a) Houve dois momentos em que a bola tocou o cho: o primeiro foi antes de ela ser

chutada e o segundo foi quando ela terminou sua trajetria e retornou para o cho. Em

ambos os momentos a altura h(t) era igual a zero, sendo assim:

h(t) = 2t + 8t

0 = 2t + 8t

2t 8t = 0

2t.(t 4) = 0

t' = 0

t'' 4 = 0

t'' = 4

Portanto, o segundo momento em que a bola tocou no cho foi no instante de quatro

segundos.

b) A altura mxima atingida pela bola dada pelo vrtice da parbola. As coordenadas do

seu vrtice podem ser encontradas atravs de:

xv = b

2a

yv =

4a

No caso apresentado, interessante encontrar apenas yv:

yv =

4a

yv = (b 4.a.c)

4a

yv = (8 4.(2).0)

4.( 2)

yv = (64 0)

8

yv = 8

Portanto, a altura mxima atingida pela bola foi de 8 metros.

Resposta Questo 4

Devemos encontrar as razes de cada equao dentro dos parnteses. Para isso, vamos

resolver a primeira equao colocando x em evidncia:

x 100x = 0

x(x 100) = 0

x1 = 0

x2 100 = 0

x2 = 100

A segunda equao pode ser resolvida pela frmula de Bhaskara:

x 101x + 100 = 0

= b 4.a.c

= ( 101) 4.1.100

= 10201 400

= 9801

x = b

2.a

x = ( 101) 9801

2.1

x = 101 99

2

x3 = 101 + 99

2

x3 = 200

2

x3 = 100

x4 = 101 99

2

x4 = 2

2

x4 = 1

Os valores de x que satisfazem a equao so 0, 1 e 100.

Exerccios Sobre Inequaes Do 1 Grau

Estes exerccios sobre inequaes do 1 grau testaro suas

habilidades tanto nas resolues das inequaes quanto na

interpretao de problemas que as envolvem.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Exerccios de Matemtica2 Comentrios

https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-inequacoes-primeiro-grau.htm#disqus_thread

Questo 1

Quais so os resultados naturais da inequao a seguir?

2x 18 > 4x 38

a) x > 10

b) x < 10

c) x = 10

d) x um nmero natural

e) x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 3, x = 5, x = 6, x = 7, x = 8 e x = 9

Questo 2

Entre as opes a seguir, qual a que melhor representa a idade de Maria?

Ana tem duas vezes a idade que Maria ter daqui a dez anos, entretanto,

a idade de Ana no supera o qudruplo da idade de Maria.

a) A idade de Ana maior que a idade de Maria.

b) A idade de Maria menor que a idade de Ana.

c) A idade de Ana maior que 10 anos.

d) A idade de Maria maior que 10 anos.

e) A idade de Maria menor que 10 anos.

Questo 3

Sabendo que um quadrado possui quatro lados congruentes, que condio deve ser

cumprida para que a rea de um quadrado seja maior que seu permetro?

a) Os lados do quadrado devem ser iguais

b) A medida do lado do quadrado deve ser maior que 10

c) A medida do lado do quadrado deve ser menor que 10

d) A medida do lado do quadrado deve ser maior que 4

e) A medida da diagonal do quadrado deve ser maior que a medida do lado.

Questo 4

Uma empresa que trabalha com cadernos tem gastos fixos de R$400,00 mais o custo de

R$3,00 por caderno produzido. Sabendo que cada unidade ser vendida a R$11,00,

quantos cadernos devero ser produzidos para que o valor arrecadado supere os gastos?

a) 50 cadernos

b) 70 cadernos

c) 90 cadernos

d) A arrecadao nunca ser superior

e) Os gastos nunca sero superiores

Respostas

Resposta Questo 1

2x 4x > 18 + 38

2x > 20 ( 1)

2x < 20

x < 20

2

x < 10

Lembre-se de que os valores naturais menores que 10 so: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O

nmero 10 no menor que 10, logo, ele no pertence ao conjunto de solues da

inequao.

Gabarito: Letra E.

Resposta Questo 2

Para solucionar esse problema, basta extrair as informaes do texto e escrev-las em

forma de inequao. Observe:

Observe que o problema coloca a idade de Ana em funo da idade de Maria quando diz

que a idade de Ana igual ao dobro da idade de Maria daqui a 10 anos. Assim, s

necessrio definir uma incgnita para a idade de Maria. Logo:

x = Idade de Maria

Observe que a idade de Maria deve ser somada a 10, e o resultado disso deve ser

multiplicado por 2 para obtermos a idade de Ana. Matematicamente, podemos escrever:

Idade de Ana = 2(x + 10)

Colocamos parnteses porque 10 deve ser somado antes de multiplicar por 2.

Observe agora que a idade de Ana no supera o qudruplo da idade de Maria, ou seja,

menor ou igual ao qudruplo. Logo:

4x 2(x + 10)

Agora basta resolver a inequao encontrada para solucionar o problema.

4x 2(x + 10)

4x 2x + 20

4x 2x 20

2x 20

x 20

2

x 10

A idade de Maria maior que 10 anos.

Gabarito: Letra D.

Resposta Questo 3

O permetro de qualquer polgono igual soma das medidas dos seus lados. J a rea

do quadrado igual ao quadrado da medida de seu lado.

Seja o lado de um quadrado igual a x. O permetro desse quadrado x + x + x + x, e a rea

x2. Como queremos saber a condio para que a rea seja maior que o permetro,

escreveremos:

x2 > x + x + x + x

x2 > 4x

x2 4x > 0

Agora basta encontrar as razes dessa inequao do segundo grau para descobrir os

intervalos em que ela maior que zero:

x2 4x > 0

x(x 4) > 0

x = 0 ou

x 4 > 0

x > 4

Logo,

x < 0 e x > 4

Observe que o exerccio refere-se a um quadrado, que no pode ter medidas negativas

(menores que zero). Portanto, o resultado x < 0 deve ser descartado. Logo, a medida do

lado do quadrado deve ser maior que 4.

Gabarito: Letra D.

Resposta Questo 4

Primeiramente, monte a inequao que representa a situao acima. Lembre-se de que o

custo de produo varia de acordo com a quantidade de cadernos produzidos e que o gasto

fixo deve ser apenas somado a essa variao:

3x + 400

Temos que calcular quantos cadernos devem ser produzidos para que os custos fiquem

menores que a arrecadao nas vendas. Logo, teremos:

11x > 3x + 400

11x 3x = 400

8x = 400

x = 400

8

x = 50

Sero necessrios 50 cadernos para que a arrecadao supere as vendas.

Gabarito: Letra A.

EXERCCIOS RESOLVIDOS INEQUAES DO SEGUNDO GRAU

As inequaes, sobretudo as de segundo grau, tm cado com bastante frequncia nas ltimas provas de concursos, e costuma retirar pontos da maioria dos concorrentes. Bons estudos. Questo 1 (BNDES Cesgranrio). O conjunto-soluo da inequao 9 x > 0 :

a) 3 > x > 3

b) 3 < x < 3

c) x = 3

d) x < 3

e) x > 3

Resoluo

Sabemos que a funo f(x) = 9 x uma funo quadrtica, onde a=-1, b=0 e c=9.

Podemos concluir que o grfico de f uma parbola com a concavidade para baixo, pois

a

x = 9

x = 3

Da, o conjunto soluo da equao S = {-3, 3}

Veja como fica o grfico de f com as informaes que descobrimos:

Como queremos os valores de x onde f(x) > 0, temos que o conjunto soluo :

S = {xR | -3

a) O nvel de concentrao de lcool na corrente sangunea da pessoa em questo foi

superior a 1 g/L por pelo menos 23 horas.

Resoluo:

Sendo N = 0,008(t 35t + 34) a funo que mede a concentrao de lcool em funo

do tempo, precisamos saber quando N > 1.

Devemos ento resolver a inequao do segundo grau:

0,008(t 35t + 34) > 1

8(t 35t + 34) > 1000

t 35t + 34 > 125

t 35t + 159 > 0

Calculando :

= b 4ac

= (-35) 4.1.159

= 1225 636

= 589

Utilizando a frmula de Bhaskara:

t = (-b )/2a

t = (-(-35) 589)/2.1

t = (35 24,3)/2

Assim,

t = (35 + 24,3)/2 = 59,3/2 = 29,65

t = (35 24,3)/2 = 10,7/2 = 5,35

https://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-prf-2013-1.jpg

Pelo grfico da funo e analisando as razes temos que o conjunto soluo :

S = {5,35 x 29,65}

E a diferena entre os extremos ser 24,3.

Questo CERTA.

Questo 3 (PM Cear). O batalho de polcia militar de uma cidade constituda dos

bairros B1, B2 e B3 ser dividido em trs pelotes distintos de modo que cada um fique

responsvel pelo policiamento ostensivo de um desses bairros. As populaes dos bairros

B1, B2 e B3 so, respectivamente, iguais a 60.000, 66.000 e 74.000 pessoas; o batalho

possui um efetivo de 4.000 militares dos quais 300 trabalham exclusivamente em uma

central nica de comunicao e inteligncia, no caracterizando atividade policial

ostensiva; e todos os militares do batalho residem na cidade. Com base nessa situao

hipottica, julgue a afirmao a seguir:

Se as quantidades de policiais do sexo feminino em cada um dos trs pelotes so

nmeros que satisfazem inequao x 520x + 64.000 < 0, ento, no batalho, h mais

de 600 policiais do sexo feminino.

Resoluo:

Primeiramente vamos achar as razes da equao x 520x + 64.000 = 0

Note que a = 1, b = -520, c = 64000

Calculando o valor de :

= b 4ac

= (-520) 4.1.(64000)

= 270400 256000

= 14400

Calculando as razes:

Logo, as duas razes sero:

x = (520 + 120) / 2 = 640/2 = 320

x = (520 120) /2 = 400/2 = 200

Por se tratar de uma equao do segundo grau com a>0, temos uma parbola com

cavidade para cima, cortando o eixo x em 200 e 320. Logo, na inequao x 520x +

64.000 < 0, temos que 200 < x < 320.

Disto temos que cada um dos trs pelotes tem mais que 200 e menos que 320 mulheres,

logo, o batalho tem mais que 600 mulheres.

Resposta: CERTO

Questo 4 (BB Cesgranrio). A proposio funcional Para todo e qualquer valor de n,

tem-se 6n < n + 8 ser verdadeira, se n for um nmero real

(A) menor que 8.

(B) menor que 4.

(C) menor que 2.

(D) maior que 2.

(E) maior que 3.

Resoluo:

Vamos resolver a inequao: n 6n + 8 > 0, para isto, devemos achar as razes da

equao n 6n + 8 = 0:

Pelo mtodo de soma e produto:

Soma = -b/a = 6/1 = 6

Produto = c/a = 8/1 = 8

Os dois nmeros cuja soma 6 e o produto 8 s podem ser 2 e 4.

Veja em nosso material didtico que o grfico de uma funo do segundo grau uma

parbola, e que quando a > 0 a parbola tem a concavidade para cima. Logo, a

proposio verdadeira para n4.

Resposta: C

Questo 5 (RFB Esaf). Considere as inequaes dadas por:

f(x) = x 2x + 1 0

g(x) = -2x + 3x + 2 0

Sabendo-se que A o conjunto soluo de f(x) e B o conjunto soluo de g(x), ento o

conjunto Y = A B igual a:

a) Y = { x R | -1/2 < x 2 }

b) Y = { x R | -1/2 x 2 }

c) Y = { x R | x = 1 }

d) Y = { x R | x 0 }

e) Y = { x R | x 0 }

Resoluo

Vamos calcular as razes de f(x):

= b 4.a.c = (-2) 4.1.1 = 4 4 = 0

x = (-b +- )/2a = (2 +- 0)/2 = 2/2 = 1

Como o grfico de uma funo do segundo grau uma parbola, f(x) s tem uma raz

igual a 1 e a>0, temos uma parbola com o buraco para cima e o vrtice no ponto (1,0).

Logo, f(x) menor ou igual a zero apenas quando x=1.

Logo A = {1}.

Como no temos a opo de Y ser vazio, s nos resta a alternativa C.

Questo 6 (BASA Cesgranrio). No conjunto dos nmeros reais, considere as seguintes

duas inequaes:

Inequao 1: 5x 7 > x x + 1

https://sabermatematica.com.br/funcaoquadraticamd.html

Inequao 2: x + 6 > -x + 10

Um nmero real x, que soluo da inequao 2, tambm ser soluo da inequao 1,

se, e somente se, for soluo da inequao

(A) x 16 > 0

(B) 1/x < 1/4

(C) -x < -4

(D) 4x 16 < 0

(E) x + 1 > x + 9

Resoluo

Resolvendo a primeira inequao:

5x 7 > x x + 1

x x + 1 5x + 7 < 0

x 6x + 8 < 0

Utilizaremos agora o mtodo da soma e do produto para encontrarmos as razes da

equao x 6x + 8 = 0.

S = -b/a = -(-6)/1 = 6

P = c/a = 8/1 = 8

Os dois valores cuja soma igual a 6 e o produto igual a 8 so 2 e 4.

O grfico da funo x 6x + 8 uma parbola com concavidade para cima. Ela ser

negativa apenas no intervalo ]2, 4[.

Resolvendo a segunda inequao:

x + 6 > -x + 10

2x 4 > 0

x > 2

Analisando os valores de x que atendem a inequao 2, eles tambm atendero a

inequao 1 se forem menores que 4, ou seja, x < 4, que equivalente a inequao:

4x 16 < 0

Resposta: D

ABOUT JORDON

Graduado e mestre em matemtica pela Universidade Federal do Esprito Santo.

EXERCCIOS SOBRE ESTATSTICA

EXERCCIOS DE MATEMTICA

Teste os seus conhecimentos: Faa exerccios sobre Estatstica e veja a resoluo

comentada.Publicado por: Marcos No Pedro da Silva

QUESTO 1

Em um grupo de pessoas, as idades so : 10, 12, 15 e 17 anos. Caso uma pessoa de 16 anos junte-se ao

grupo, o que acontece com a mdia das idades do grupo?

QUESTO 2

A distribuio de salrios de uma empresa fornecido pela tabela a seguir:

Calcule a mdia salarial dessa empresa.

QUESTO 3

(Unicamp-SP)

Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min 38s, 3min 18s, 2min 46s, 2min 57s e 3min

26s. Qual foi a mdia do tempo de votao (em minutos e segundos) desses eleitores?

QUESTO 4

(Unifor-CE)

Em certa eleio municipal foram obtidos os seguintes resultados:

O nmero de votos obtido pelo candidato vencedor foi:

a) 178

b) 182

c) 184

d) 188

e) 191

QUESTO 5

(FGV-SP)

A tabela abaixo representa a distribuio de frequncia dos salrios de um grupo de 50 empregados de uma

empresa, em certo ms. O salrio mdio desses empregados, nesse ms, foi de:

a) R$ 2 637,00

b) R$ 2 520,00

c) R$ 2 500,00

d) R$ 2 420,00

e) R$ 2 400,00

RESPOSTAS

Questo 1

Questo 2

Questo 3

Questo 4

Calcular o ndice percentual de votos nulos e brancos:

x + 26% + 24% + 22% = 100%

x = 100% 72%

x = 28%

Calcular o total de votos com base nos votos nulos e brancos:

28% de x = 196

0,28x = 196

x = 196/0,28

x = 700

O total de votos igual a 700, e o candidato vencedor teve 26% desses votos, ento:

26% de 700 0,26 * 700 182 votos

Resposta correta item b.

Questo 5

Regra de Trs Simples Regra de Trs > Regra de Trs Simples

Regra de trs simples permite encontrar um quarto valor que no

conhecemos em um problema, dos quais conhecemos apenas trs deles.

Assim, encontraremos o valor desconhecido a partir dos trs j

conhecidos.

Veja os passos para montar o problema e resolver facilmente:

1. Crie uma tabela e agrupe as grandezas da mesma espcie na

mesma coluna.

2. Identificar se as grandezas so inversamente ou diretamente

proporcionais, analisaremos isso no prximo passo.

3. Montar a equao assim: se as grandezas forem diretamente

proporcionais, multiplicamos os valores em cruz, isto , em forma

de X. Se as grandezas forem inversamente proporcionais,

invertemos os valores para ficarem diretamente proporcional.

4. Resolva a equao.

Regra de trs simples direta:

Quando temos duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja,

quando a variao de um deles semelhante a variao no outro,

aumentando ou diminuindo.

Exemplo:

Exerccios resolvidos de regra de trs simples direta:

https://www.regradetres.com.br/

1) Para se construir um muro de 17m so necessrios 3

trabalhadores. Quantos trabalhadores sero necessrios para

construir um muro de 51m?

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

H duas grandezas envolvidas (rea do muro e nmero de trabalhadores)

e temos trs valores conhecidos; portanto, trata-se de um problema de

regra de trs simples.

Precisamos encontrar o nmero de trabalhadores para construir 51m.

Para isso, vamos armar o problema para descobrir se temos uma regra

de trs simples direta ou inversa:

Soluo: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma

espcie na mesma coluna.

rea N de trabalhadores

17m 3

51m X

Inicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido contrrio do X,

isto , para cima. Colocaremos na outra grandeza uma seta de mesmo

sentido, caso as grandezas sejam diretamente proporcionais, ou uma

seta de sentido contrrio, se as grandezas forem inversamente

proporcionais.

Perceba que a outra seta ter o mesmo sentido, j que as grandezas so

diretamente proporcionais (se aumentarmos a rea do muro,

devemos aumentar o nmero de trabalhadores):

Como se trata de uma regra de trs simples direta, multiplicamos os

valores em cruz, isto , em X, assim:

Logo, montando a equao:

Portanto, sero necessrios 9 trabalhadores para construir um muro

de 51m.

Resposta: C

Regra de trs simples inversa:

Quando temos duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja,

quando a variao de uma delas contrria a variao no outro, quando

um aumenta o outro diminui e vice-versa.

Exemplo:

Exerccios resolvidos de regra de trs simples inversa:

2) Um automvel com velocidade de 80 km/h gasta 15 minutos em

certo percurso. Se a velocidade for reduzida para 60 km/h, que

tempo, em minutos, ser gasto no mesmo percurso?

a) 10 b) 12 c) 18 d) 20 e) 24



Velocidade Tempo

80 km/h 15 min.

60 km/h X min.

Inicialmente, vamos colocar uma seta orientada no sentido contrrio do X,

isto , para cima.

Temos uma regra de trs simples inversa, a seta ter sentido contrrio

(se diminumos a velocidade, o tempo do percurso aumenta).

Como se trata de uma regra de trs simples inversa, devemos inverter os

valores no sentido da seta, assim transformamos em uma regra de trs

simples direta e ento podemos multiplicar em cruz (em X):

Logo, montando a equao:

Portanto, ser gasto um tempo de 20 minutos para fazer o mesmo

percurso a 60 quilmetro por hora.

Resposta: D

O intuito facilitar o entendimento sobre regra de trs simples, mostrando

os passos. Bons estudos e boa sorte!

Autor

https://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-simples.html

by Jean Carlos Novaes

Formado em Cincia da Computao na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando

cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais

concorridos vestibulares do pas.

Regra de Trs

Composta

Regra de trs composta, na matemtica, a forma de encontrar um

valor desconhecido quando conhecemos trs ou mais grandezas

diretamente ou inversamente proporcionais.

Exemplos resolvidos de regra de trs

composta:

1) Numa grfica existem 3 impressoras off set que funcionam

ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo

240.000 folhas. Tendo-se quebrado umas das impressoras e

necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas

por dia devero funcionar ininterruptamente as duas mquinas

restantes?

a) 20 b) 18 c) 15 d) 10 e) 8

Soluo: monte a tabela e agrupe as grandezas de mesma espcie na

mesma coluna.

https://www.instagram.com/jeancarlosnovaes/

Impressoras Horas/Dia Dias Folhas

3 10 4 240.000

2 X 6 480.000

Perceba que se trata de um problema que envolve regra de trs

composta, pois temos mais de trs grandezas conhecidas. Vamos

resolver esse problema de regra de trs composta, analisando cada

grandeza relativamente grandeza onde est o X. Assim, para resolver

regra de trs composta voc deve reduzir o problema em vrias regra de

trs simples. Se voc no sabe com resolver regra de trs simples,

acesse a seo aqui no site.

Analisemos, inicialmente, a grandeza impressoras com horas/dia que

onde se encontra a incgnita, isto , o X.

Inicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido contrrio do X,

isto , para cima. Vamos analisar a outra parte.

Inversa: se diminumos o nmero de impressoras,

precisamos aumentar a carga horria de trabalho. Assim, coloquemos

uma seta contrria, isto , para baixo.

Agora vamos analisar a grandeza dias com horas/dia, onde est o X.

Inversa: se aumentamos o nmero de dias de trabalho,

podemos diminuir a carga horria de trabalho. Assim, tambm

coloquemos uma seta contrria, isto , para baixo.

https://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-simples.html

Por ltimo, vamos analisar a grandeza folhas com horas/dia, onde est

o X.

Direta: se aumentamos a quantidade de trabalho a ser feito,

precisamos aumentar a carga horria de trabalho. Ento, neste caso,

coloquemos uma seta na mesma direo do X, isto , para cima.

Juntando tudo, temos:

Ento, sempre respeitando o sentido das setas, ou seja, quando for

inversa (seta vermelha) invertemos os valores (denominador, parte de

baixo, vai para o numerador, parte de cima) e quando for direta deixa

como est. Esse processo foi ensinado em regra de trs simples, vale

tambm para regra de trs composta.

Agora, para resolver, vamos isolar a grandeza que possui a incgnita, isto

, o X, para formarmos a equao. Veja:

https://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-simples.htmlhttps://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-composta.html

Como pode ver, o que est antes da igualdade multiplicamos em cruz,

isto , em X; o que est depois da igualdade multiplicamos em linha.

Assim, temos a seguinte equao:

Logo, as mquinas restantes devem funcionar 20 horas/dia para

produzir 480.000 folhasem 6 dias.

Resposta: A

Exemplo:

2) 24 operrios fazem 25 (dois quinto) de determinado servio em 10

dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estar

terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operrios e o

regime de trabalho diminudo de uma hora por dia?

a) 8 b) 11 c) 12 d) 21 e) 18

24 operrios . 25 trabalho . 10 dias . 7 horas/dia

Como j foram feitos 25 do trabalho, ou seja, 2 partes de uma tarefa

dividida em 5 partes, restam concluir 3 dessas partes.



Operrios Partes do Trabalho Dias Horas/Dia

24 2 10 7

20 3 X 6

Coloquemos inicialmente uma seta contrrio ao X, isto , para cima.

Analisando cada grandeza em relao ao X.

Vamos analisar a grandeza operrios em relao ao X.

Inversa: diminuindo o nmero de operrios a quantidade de

dias aumenta.

Agora, vamos ver como se comporta as partes do trabalho em relao

ao X.

Direta: aumentando o trabalho a quantidade de dias aumenta.

Vejamos agora, a jornada diria (horas/dia) em relao ao X.

inversa: diminuindo a jornada diria a quantidade de dias aumenta.

Juntando tudo, temos:

Respeitando o sentido das setas e invertendo as grandezas inversamente

proporcionais, ou seja, as setas para baixo (vermelha). O objetivo

transformar as grandezas em diretamente proporcionais. Como ficou

diretamente proporcional, colocamos as setas tudo numa s direo (seta

azul, para cima, diretamente proporcional). Fica assim:

Isolando a incgnita, isto , a grandeza onde tem o X. Relembrando, o

que est antes da igualdade multiplicamos em cruz, isto , em X; o que

est depois da igualdade multiplicamos em linha. Seguindo o sentido das

setas.

Resolvendo a equao:

Logo, a obra ser terminada em 21 dias com 20 operrios trabalhando 6

horas/dia.

Resposta: D

O intuito facilitar o entendimento sobre regra de trs composta, que

parece ser mais difcil que a regra de trs simples, mas, quando explicado

os passos, fica fcil.

Autor

by Jean Carlos Novaes

Formado em Cincia da Computao na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do pas.

https://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-composta.htmlhttps://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-simples.html

EXERCCIOS RESOLVIDOS REGRA DE TRS

COMPOSTA

Procurando exerccios resolvidos sobre a regra de trs composta? Confira aqui vrias

questes comentadas, todas retiradas dos ltimos concursos realizados pelo pas.

Veja tambm em nosso menu outras publicaes sobre os assuntos relacionados a razo

e proporo.

Bom estudo!

Questo 1 (BNB FGV). Em uma agncia bancria, dois caixas atendem em mdia seis

clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agncia, todos os caixas trabalham com a

mesma eficincia e que a mdia citada sempre mantida. Assim, o tempo mdio

necessrio para que cinco caixas atendam 45 clientes de:

(A) 45 minutos;

(B) 30 minutos;

(C) 20 minutos;

(D) 15 minutos;

(E) 10 minutos.

Resoluo:

Temos duas situaes:

2 caixas, 6 clientes, 10 minutos

5 caixas, 45 minutos, tempo a ser calculado

Como os caixas trabalham com a mesma eficincia e a mdia sempre mantida,

podemos resolver a questo atravs da regra de trs composta.

A grandeza que possui a incgnita x a grandeza minutos. Veja que:

Quanto mais minutos para atendimento, menos caixas so necessrios (inversamente

proporcionais);

Quanto mais minutos para atendimento, mais clientes sero atendidos (diretamente

proporcionais.

Resposta: B

Questo 2 (PC SP Vunesp). Dez funcionrios de uma repartio trabalham 8 horas por

dia, durante 27 dias, para atender certo nmero de pessoas. Se um funcionrio doente foi

afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os

funcionrios restantes levaro para atender o mesmo nmero de pessoas, trabalhando

uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, ser

(A) 29.

(B) 30.

(C) 33.

(D) 28.

(E) 31.

Resoluo:

https://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2014/08/41c4fbd68e32ef8b358e827aa6c7d73f.jpghttps://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2014/08/CodeCogsEqn-1.gif

Temos duas situaes:

10 funcionrios, 8 horas/dia, 27 dias;

8 funcionrios, 9 horas/dia, total de dias a ser calculado.

Considerando que o trabalho sempre feito no mesmo ritmo, resolveremos a questo

utilizando a regra de trs composta.

Comparando a grandeza dias com as demais:

Quanto mais dias de trabalho, menos funcionrios so necessrios (inversamente

proporcionais);

Quanto mais horas de trabalho, menos funcionrios so necessrios (inversamente

proporcionais).

Resposta: B

Questo 3 (PM ES Exatus). Uma equipe composta por 12 operrios, trabalhando 10

horas por dia, realiza determinada obra em 45 dias. Considerando-se o mesmo ritmo de

trabalho, se essa equipe fosse constituda por 15 operrios, e a carga horria de trabalho

fosse de 8 horas por dia, a mesma obra seria realizada em:

a) at 42 dias

b) 43 dias

c) 44 dias

d) 45 dias

e) mais de 45 dias

Resoluo:

Temos trs grandezas e duas situaes:

12 operrios, 10 horas, 45 dias;

15 operrios, 8 horas, total de dias a ser calculado.

Comparando com a grandeza dias:

quanto mais dias, menos operrios so necessrios;

quanto mais dias, menos horas so necessrias.

Resposta: D

Questo 4 (PM Par). 1200 kg de gnero alimentcio alimenta 50 soldados durante 30

dias, ento, nas mesmas condies, para alimentar 70 soldados durante 80 dias, a

quantidade de gnero alimentcio ser de:

a) 3230kg

b) 3800kg

c) 4000kg

d) 4300kg

e) 4480kg

Resoluo:

Temos duas situaes:

1200 kg, 50 soldados, 30 dias;

quantidade de kg a ser determinada, 70 soldados, 80 dias.

A questo pode ser resolvida atravs da regra de trs composta.

https://sabermatematica.com.br/regra-de-tres-composta.html

Veja que:

quanto mais comida, mais soldados so necessrios;

quanto mais comida, mais dias so necessrios.

Resposta: E

Questo 5 (Guarda Civil SP). Em uma fbrica de roupas, 10 costureiras, trabalhando em

um mesmo ritmo, fabricam 50 shorts em 1 hora. Em quanto tempo 8 costureiras,

trabalhando nesse mesmo ritmo, fabricam 40 shorts?

a) 1 hora.

b) 30 minutos.

c) 2 horas.

d) 2 horas e 30 minutos.

e) 3 horas.

Resoluo

Temos duas situaes a considerar:

10 costureiras, 50 shorts, 1 hora;

8 costureiras, 40 shorts, tempo a ser determinado.

Considerando que trabalham no mesmo ritmo, utilizaremos a regra de trs composta.

https://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2014/09/prova-resolvida-pm-para-2012-uepa-questao-24.jpghttps://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2014/09/CodeCogsEqn-39.gif

Veja que:

quanto mais horas, menos costureiras so necessrias;

quanto mais horas, mais shorts podem ser confeccionados.

Resposta: A

Questo 6 (Banpar Exatus). Quinze operrios realizam determinada tarefa em 8 dias,

trabalhando 10 horas por dia. Considerando-se o mesmo ritmo individual, se fossem 10

operrios, trabalhando 8 horas por dia, o equivalente a 4/5 dessa tarefa seria realizada

em:

a) menos de 7 dias.

b) mais de 7 e menos de 10 dias.

c) 12 dias.

d) 10 dias.

e) 11 dias.

Resoluo

A questo pode ser resolvida atravs da regra de trs composta:

Quanto MAIS dias, MENOS operrios so necessrios.

Quanto MAIS dias, MENOS horas so necessrias.

Quanto MAIS dias, MAIS tarefas so feitas.

Resposta: C

ABOUT JORDON

Graduado e mestre em matemtica pela Universidade Federal do Esprito Santo.

Matemtica Financeira A matemtica financeira a rea da matemtica que estuda a equivalncia de capitais no tempo, ou seja,

como se comporta o valor do dinheiro no decorrer do tempo.

Sendo um rea aplicada da Matemtica, estuda diversas operaes ligadas ao dia a dia das pessoas. Por esse

motivo, conhecer suas aplicaes fundamental.

Como exemplos dessas operaes podemos citar as aplicaes financeiras, emprstimos, renegociao de

dvidas, ou mesmo, tarefas simples, como calcular o valor de desconto num determinado produto.

Conceitos Bsicos da Matemtica Financeira

Capital (C)

Representa o valor do dinheiro no momento atual. Este valor pode ser de um investimento, dvida ou

emprstimo.

Juros (J)

Representam os valores obtidos pela remunerao de um capital. Os juros representam, por exemplo, o custo

do dinheiro tomado emprestado.

Ele pode tambm ser obtido pelo retorno de uma aplicao ou ainda pela diferena entre o valor vista e a

prazo em uma transao comercial.

Montante (M)

Corresponde ao valor futuro, ou seja, o capital mais os juros acrescidos ao valor.

Assim, M = C + J.

Taxa de Juros (i)

o percentual do custo ou remunerao paga pelo uso do dinheiro. A taxa de juros est sempre associada a

um certo prazo, que pode ser por exemplo ao dia, ao ms ou ao ano.

Clculos Bsicos da Matemtica Financeira

Porcentagem

A porcentagem (%) significa por cento, ou seja, uma determinada parte de cada 100 partes. Como representa

uma razo entre nmeros, pode ser escrita na forma de frao ou como nmero decimal.

Por exemplo:

Muitas vezes utilizamos a porcentagem para indicar aumentos e descontos. Para exemplificar, vamos pensar

que uma roupa que custava 120 reais est, nesse perodo do ano, com 50% de desconto.

Como j estamos familiarizados com esse conceito, sabemos que esse nmero corresponde metade do

valor inicial.

Ento, essa roupa no momento est com custo final de 60 reais. Vejamos assim, como trabalhar a

porcentagem:

50% pode ser escrito 50/100 (ou seja, 50 por cem)

Assim, podemos concluir que 50% equivale a ou 0,5, em nmero decimal. Mas afinal o que isso

significa?

Bem, a roupa est com 50% de desconto e, portanto, ela custa metade ( ou 0,5) de seu valor inicial. Logo,

a metade de 120 60.

Mas vamos pensar noutro caso, em que ela est com 23% de desconto. Para tanto, temos que calcular quanto

23/100 de 120 reais. Lgico que por aproximao podemos fazer esse clculo. Mas aqui a ideia no essa.

Logo,

Transformamos o nmero percentual em nmero fracionrio e multiplicamos pelo nmero total que

queremos identificar o desconto:

23/100 . 120/1 - dividindo o 100 e 120 por 2, temos:

23/50 . 60/1 = 1380/50 = 27,6 reais

https://www.todamateria.com.br/porcentagem/https://www.todamateria.com.br/fracoes/https://www.todamateria.com.br/o-que-sao-numeros-decimais/

Portanto, o desconto de 23% numa roupa que custa 120 reais ser de 27,6. Assim, o valor que voc ir pagar

de 92,4 reais.

Agora vamos pensar no conceito de aumento, ao invs de desconto. No exemplo acima, temos que a comida

subiu 30%. Para isso, vamos exemplificar que o preo do feijo que custava 8 reais teve um aumento de

30%.

Aqui, temos que saber quanto 30% de 8 reais. Da mesma forma que fizemos acima, vamos calcular a

porcentagem e, por fim, agregar o valor no preo final.

30/100 . 8/1 - dividindo o 100 e 8 por 2, temos:

30/50 . 4/1 = 120/50 = 2,4

Assim, podemos concluir que o feijo nesse caso est custando mais 2,40 reais. Ou seja, de 8 reais seu valor

foi para 10,40 reais.

Variao Percentual

Outro conceito associado ao de porcentagem o de variao percentual, ou seja, a variao das taxas

percentuais de acrscimo ou decrscimo.

Exemplo:

No incio do ms, o preo do quilo da carne era de 25 reais. No final do ms a carne era vendida por 28 reais

o quilo.

Assim, podemos concluir que houve uma variao percentual relacionada com o aumento desse produto.

Podemos constatar que o aumento foi de 3 reais. Pela razo dos valores temos:

3/25 = 0,12 = 12%

Sendo assim, podemos concluir que a variao percentual do preo da carne foi de 12%.

Juros

O clculo de juros pode ser simples ou composto. No regime de capitalizao simples, a correo feita

sempre sobre o valor do capital inicial.

J nos juros compostos, a taxa de juros aplicada sempre sobre o montante do perodo anterior. Note que

esse ltimo muito utilizado nas transaes comerciais e financeiras.

Juros Simples

Os juros simples so calculados levando em considerao um determinado perodo. Ele calculado pela

frmula:

J = C . i . n

Onde:

C: capital aplicado

i: taxa de juros

n: perodo que corresponde os juros

Logo, o montante dessa aplicao ser:

M = C + J

M = C + C . i . n

M = C . (1 + i . n)

Juros Compostos

O sistema de juros compostos chamado de capitalizao acumulada, pois, ao final de cada perodo os juros

que incidem sobre o capital inicial so incorporados.

Para calcular o montante em uma capitalizao a juros compostos, usamos a seguinte frmula:

Mn = C (1+i)n

Leia tambm:

Exerccios com Gabarito

1. (FGV) Suponha um ttulo de R$ 500,00, cujo prazo de vencimento se encerra em 45 dias. Se a taxa de

desconto por fora de 1% ao ms, o valor do desconto simples ser igual a

a) R$ 7,00.

b) R$ 7,50.

c) R$ 7,52.

d) R$ 10,00.

e) R$ 12,50.

Alternativa b: R$ 7,50.

https://www.todamateria.com.br/juros-simples/https://www.todamateria.com.br/juros-compostos/

2. (Vunesp) Um investidor aplicou a quantia de R$ 8.000,00 taxa de juros compostos de 4% a.m.; o

montante que esse capital ir gerar em 12 meses pode ser calculado por

a) M = 8000(1 + 12 x 4)

b) M = 8000(1 + 0,04)12

c) M = 8000(1 + 4)12

d) M = 8000 + 8000(1 + 0,04)12

e) M = 8000(1 + 12 x 0,04)

VER RESPOSTA

Alternativa b: M = 8000(1 + 0,04)12

3. (Cesgranrio) Um banco cobrou R$ 360,00 por seis meses de atraso em uma dvida de R$ 600,00. Qual a

taxa de juros mensal cobrada por esse banco, calculada a juros simples?

a) 8%

b) 10%

c) 12%

d) 15%

e) 20%

VER RESPOSTA

Alternativa b: 10%

Por: Rosimar Gouveia Professora de Matemtica e Fsica

EXERCCIOS SOBRE JUROS SIMPLES

EXERCCIOS DE MATEMTICA 70

QUESTO 1

Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao ms durante 14 meses. Determine os

juros e o montante dessa aplicao.

QUESTO 2

Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao ms, gerou um montante de

R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado.

QUESTO 3

Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de investimento que opera no regime de juros

simples. Aps 6 meses o investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. Qual a taxa de juros desse

fundo de investimento?

QUESTO 4

(UFPI)

Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao ms, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi

aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao ms. No final dos 10 meses, o novo montante foi

de R$ 234,00. Qual o valor da quantia aplicada inicialmente?

RESPOSTAS

Questo 1

Capital (C) = R$ 1.200,00

Tempo (t) = 14 meses

Taxa (i) = 2% ao ms = 2/100 = 0,02

Frmula dos juros simples

J = C * i * t

J = 1200 * 0,02 * 14

J = 336

Montante

M = C + J

M = 1200 + 336

M = 1536

O valor dos juros da aplicao de R$ 336,00 e o montante a ser resgatado de R$ 1.536,00.

Questo 2

Montante (M) = R$ 26.950,00

Tempo (t) = 2 anos = 24 meses

Taxa (i) = 5% ao ms = 5/100 = 0,05

Para determinarmos o capital precisamos fazer a seguinte adaptao:

M = C + J

J = M C

Substituindo na frmula J = C * i * t, temos:

M C = C * i * t

26950 C = C * 0,05 * 24

26950 C = C * 1,2

26950 = 1,2C + C

26950 = 2,2C

C = 26950/2,2

C = 12250

Portanto, o capital aplicado foi de R$ 12250,00.

Questo 3

Capital (C) = R$ 500,00

Montante (M) = R$ 560,00

Tempo (t) = 6 meses

Calculando os juros da aplicao

J = M C

J = 560 500

J = 60

Aplicando a frmula J = C * i * t

60 = 500 * i * 6

60 = 3000*i

i = 60/3000

i = 0,02 que corresponde a 2%.

A taxa de juros do fundo de investimentos igual a 2%.

Questo 4

1 aplicao

Taxa (i) = 6% ao ms = 0,06

Tempo (t) = 5 meses

J = C * i * t

J = C * 0,06 * 5

J = 0,3*C

M = C + J

M = C + 0,3C

M = 1,3C

2 aplicao

Capital (C) = 1,3C

Taxa (i) = 4% ao ms = 0,04

Tempo (t) = 5 meses

O capital da 2 aplicao ser o montante da 1. Observe:

J = C * i * t

J = 1,3C * 0,04 * 5

J = 0,26C

M = C + J

234 = 1,3C + 0,26C

234 = 1,56C

C = 234 / 1,56

C = 150

Portanto, o capital inicial de R$ 150,00.

GEOMETRIA

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Retas paralelas quando cortadas por uma transversal formam oito ngulos com

caractersticas de congruncia

Retas paralelas so aquelas que no se interceptam em nenhum ponto. Uma reta

transversal outra se ambas apresentam apenas um ponto em comum. Ao traarmos

duas retas r e s, tal que r // s (r paralela a s), e tambm uma reta transversal t que

intercepte r e s, haver a formao de oito ngulos. Na imagem a seguir, identificamos

esses ngulos por a, b, c, d, e, f, g, h.

A interseo da reta t com as retas paralelas r e s deu origem aos ngulos a, b, c, d, e, f, g, h

Experimente fazer um desenho semelhante a esse que foi mostrado de duas retas

paralelas cortadas por uma transversal. Ao finalizar seu desenho, divida-o ao meio,

cortando-o entre as retas paralelas. Se voc colocar os ngulos formados pelas

retas s e t exatamente em cima dos ngulos formados pelas retas r e s, observar que

eles so exatamente iguais.

Podemos classificar os ngulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma

transversal de acordo com a posio desses ngulos. Se eles estiverem entre as retas

paralelas, dizemos que esses ngulos so internos; caso contrrio, dizemos que eles

so externos. Na figura a seguir, os ngulos externos esto na faixa azul, enquanto os

ngulos internos esto na faixa amarela. Ao analisarmos dois ngulos, eles podem

estar do mesmo lado ou em lados alternados em relao reta transversal. Se dois

ngulos esto direita ou ambos esto esquerda da reta t, dizemos que esses ngulos

so colaterais; mas se esto em lados alternados, um direita, e o outro esquerda,

dizemos que esses ngulos so alternos.

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Os ngulos podem ser classificados como internos ou externos, e dois ngulos podem

ser colaterais ou alternos

Sabendo que os ngulos formados pelas retas r e t so iguais aos formados pelas

retas s e t, podemos afirmar que os pares de ngulos abaixo so correspondentes:

a e e

b e f

c e g

d e h

Estes pares de ngulos colaterais correspondentes, acima mencionados, possuem a

mesma medida. Mas sabemos que os ngulos opostos pelo vrtice so congruentes,

isto , tambm possuem a mesma medida. Ento, podemos dizer que:

a = c = e = g

b = d = f = h

Os ngulos d e f e tambm e e c podem ser classificados como ngulos alternos

internos, pois esto na regio interna e em lados alternados. Os ngulos d e e, bem

como os c e f, podem ser classificados como ngulos colaterais internos, uma vez

que esto na regio interna e do mesmo lado em relao reta t.

Semelhantemente, os ngulos a e h, assim como b e g, so ngulos colaterais

externos, pois esto na regio externa e do mesmo lado em relao reta t. Assim

como os ngulos a e g, bem como b e h, so ngulos alternos externos, pois esto na

regio externa e em lados alternados em relao reta transversal t.

Na figura a seguir, podemos ver claramente os ngulos alternos internos, colaterais

internos, alternos externos e colaterais externos formados atravs de duas retas

paralelas cortadas por uma transversal:

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ngulos alternos internos, colaterais internos, alternos externos e

CPC IF - 2018 MATEMÁTICA MÓDULO III E MÓDULO IV · h) Um número é o triplo do outro. Somando...

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