Estatística DescritivaEstatística DescritivaMedidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central

Fátima MendesFátima MendesJúlia Júlia BrilhaBrilha

Luís RatoLuís RatoTeresa Teresa DiogoDiogo

DEFCUL – Metodologia de Investigação I – 2005/06 – Turma 2

Estatística DescritivaEstatística Descritiva

O primeiro passo na análise de dados consiste em O primeiro passo na análise de dados consiste em descrever, ou sumariar, os dados, utilizando descrever, ou sumariar, os dados, utilizando procedimentos estatísticos descritivos. Em alguns procedimentos estatísticos descritivos. Em alguns estudos como certas sondagens em que se aplicam estudos como certas sondagens em que se aplicam questionários, todo o procedimento de análise questionários, todo o procedimento de análise consiste unicamente em calcular e interpretar dados consiste unicamente em calcular e interpretar dados estatísticos descritivos. A estatística descritiva permite estatísticos descritivos. A estatística descritiva permite ao investigador descrever de forma significativa ao investigador descrever de forma significativa muitos resultados através de um número reduzido de muitos resultados através de um número reduzido de índices. índices.

Representação Gráfica de Representação Gráfica de DadosDados

Um gráfico permite ao investigador Um gráfico permite ao investigador visualizar como é que os resultados se visualizar como é que os resultados se encontram distribuídos.encontram distribuídos.

O método mais comum de representação O método mais comum de representação gráfica corresponde ao polígono de gráfica corresponde ao polígono de frequências.frequências.

Polígonos de FrequênciaPolígonos de Frequência

585

Total: 60 alunos

684

883

1082

1181

980

779

478

FrequênciaResultado

0

2

4

6

8

10

12

14

78 79 80 81 82 83 84 85

Resultados

Freq

uên

cia

s

Distribuição de frequências de 60 resultados de uma hipotético teste de

aproveitamento.Polígono de frequências de 60 resultados hipotéticos

Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central

São utilizadas para determinar o resultado São utilizadas para determinar o resultado típico ou médio de um grupo de resultados;típico ou médio de um grupo de resultados;

Tipos de Medidas de Tendência Central:Tipos de Medidas de Tendência Central:–– ModaModa;;–– MedianaMediana;;–– MédiaMédia..

ModaModa

Corresponde ao resultado obtido pelo maior número Corresponde ao resultado obtido pelo maior número de sujeitos; de sujeitos;

Moda Moda –– exemplo 1exemplo 1 (dados simples)(dados simples)

Registou-se o número de pesquisas dos mestrandos de administração e organização escolar, ao site da Professora Isabel Chagas durante doze dias, tendo-se obtido os seguintes valores:

5 7 6 8 10 7 11 7 12 9 8 65 7 6 8 10 7 11 7 12 9 8 6

O número de pesquisas mais frequentes ao site da Professora Isabel ao longo dos 12 dias é 7.

Como tal a Moda é 7.

Moda Moda –– exemplo 2exemplo 2 (dados em (dados em tabelas, não agrupados)tabelas, não agrupados)

Na aula de Metodologias de Investigação I verificou-se a cor dos olhos dos mestrandos e chegou-se ao resultado seguinte:

Por observação da tabela, verifica-se imediatamente, que 15 é a maior das frequências registadas e corresponde à cor “Castanho”.

Assim “Castanho” é a Moda da cor dos olhos.

131312121515

VerdeVerdeAzulAzulCastanhoCastanho

Moda Moda –– exemplo 3exemplo 3 (dados em (dados em tabelas, agrupados)tabelas, agrupados)

Na aula de Metodologias de Investigação I verificou-se as idades dos mestrandos e chegou-se ao resultado seguinte:

Por observação na tabela, verifica-se imediatamente, que a classe [60 , 70[ é aquela que apresenta maior frequência absoluta (neste caso 11). A classe, por isso, chama-se classe modal.

3030TotalTotal

66[80 , 90[[80 , 90[

55[70 , 80[[70 , 80[

1111[60 , 70[[60 , 70[

88[50 , 60[[50 , 60[

ffiiClasses (em kg)Classes (em kg)

Moda Moda –– exemplo 3exemplo 3 (dados em (dados em tabelas, agrupados) cont.tabelas, agrupados) cont.

Por observação na tabela, verificou-se que a classe [60 , 70[ é aquela que apresenta maior frequência absoluta (neste caso 11). A classe, por isso, chama-se classe modal.

6527060

=+

=oMMo

Uma solução consiste em considerar a Moda como o valor médio da classe modal.

No caso dos dados se apresentarem através de um histograma, pode usar-se o procedimento geométrico para determinar o valor aproximado da Moda.

MedianaMedianaCorresponde ao ponto numa distribuição em que tanto Corresponde ao ponto numa distribuição em que tanto

acima como abaixo existem 50% dos resultados, ou acima como abaixo existem 50% dos resultados, ou seja, a mediana é o ponto médio; seja, a mediana é o ponto médio;

kxX =~

com21+

=nk

21

~++

= kk xxX2nk =com

Ao valor da variável que ocupa a posição central, se nimpar.

À média aritmética dos dois valores centrais, se n par.

Mediana Mediana –– exemplo 1exemplo 1 (dados (dados simples)simples)

6212

2===

nk 8288

276

~=

+=

+=

xxx

Registou-se o número de pesquisas dos mestrandos de administração e organização escolar, ao site da Professora Isabel Chagas durante doze dias, tendo-se obtido os seguintes valores:

5 6 6 7 7 8 8 8 9 10 11 125 6 6 7 7 8 8 8 9 10 11 12 n par

e

A Mediana tem o valor 8

Mediana Mediana –– exemplo 1exemplo 1 (dados (dados simples) simples) contcont..

5 6 6 7 7 8 8 9 10 11 125 6 6 7 7 8 8 9 10 11 12

62111

21

=+

=+

=nk

Registou-se o número de pesquisas dos mestrandos de administração e organização escolar, ao site da Professora Isabel Chagas durante onze dias, tendo-se obtido os seguintes valores:

n impar

e 86

~== xx

A Mediana tem o valor 8

Mediana Mediana –– exemplo 2exemplo 2 (dados (dados em tabelas, não agrupados)em tabelas, não agrupados)

Na tabela seguinte estão registadas as faltas dadas pelos mestrandos de Administração e Organização Escolar e Desenvolvimento Social às aulas de Metodologias de Investigação I:

115544

25253030TotalTotal

447733777722998811443300

DesenvolvimentoDesenvolvimentoAdministraçãoAdministraçãoNº de AlunosNº de Alunos

Nº de FaltasNº de Faltas

Mediana Mediana –– exemplo 2exemplo 2 (dados (dados em tabelas, não agrupados) em tabelas, não agrupados) contcont..

25257733

30305544

18187722

11118811

333300

FFiiffiiNº de FaltasNº de Faltas

15230

==k

Número de faltas da turma de Administração

Como o número de aluno é par tem-se:

donde a mediana é a semi-soma dos valores de ordem 15 e de ordem 16.

Observando a coluna Fi da tabela em cima, verificamos que tais valores correspondem a F3=18. A mediana é , então:

2222

21615

~=

+=

+=

xxx Logo, a mediana do número de faltas dos alunos de administração é 2.

Mediana Mediana –– exemplo 2exemplo 2 (dados (dados em tabelas, não agrupados) em tabelas, não agrupados) contcont..

24244433

25251144

20207722

13139911

444400

FFiiffiiNº de FaltasNº de Faltas

132125=

+=k

Número de faltas da turma de Desenvolvimento

Como o número de aluno é impar tem-se:

donde a mediana é o valor de ordem 13.

Procuremos o número 13 na coluna Fi da tabela em cima. Como o encontramos, conclui-se que o número de faltas correspondente constitui a mediana, isto é,

113

~== xx Logo, a mediana do número de faltas

dos alunos de desenvolvimento é 1.

Mediana Mediana –– exemplo 3exemplo 3 (dados (dados em tabelas, agrupados)em tabelas, agrupados)

Na aula de Metodologias de Investigação I verificou-se as alturas dos mestrandos e chegou-se ao resultado seguinte:

Quando os dados estão agrupados em classes, admite-se que os valores se distribuem uniformemente em cada uma das classes. Por isso, neste caso, considera-se a mediana o valor da variável estatística que corresponde a

22

66

33

66

33

ffii

2020[190 , 200[[190 , 200[

1818[180 , 190[[180 , 190[

1212[170 , 180[[170 , 180[

99[160 , 170[[160 , 170[

33[150 , 160[[150 , 160[

FFiiClasses (em cm)Classes (em cm)

2n , quer seja par quer seja impar.

Mediana Mediana –– exemplo 3exemplo 3 (dados (dados em tabelas, agrupados) em tabelas, agrupados) contcont..

2n

Quando os dados estão agrupados em classes, admite-se que os valores se distribuem uniformemente em cada uma das classes. Por isso, neste caso, considera-se a mediana o valor da variável estatística que corresponde a , quer seja par quer seja impar.

Neste caso, tem-se: 10220

==k

Logo, a mediana será o valor da variável que corresponde a 10. Da observação da tabela anterior, verifica-se que a mediana pertence ao intervalo [170 , 180[, pois é aí que a frequência absoluta acumulada toma o menor valor não inferior a 10. Porque a mediana pertence ao intervalo [170 , 180[, ele toma o nome de classe mediana.

Mediana Mediana –– exemplo 3exemplo 3 (dados (dados em tabelas, agrupados) cont.em tabelas, agrupados) cont.

Depois de determinada a classe mediana, torna-se necessário localizar a mediana nessa classe. Para tal, podemos recorrer ao procedimento gráfico seguinte:

Mo

0

4

8

12

16

20

150 160 170 180 190 200

Altura

Freq

uênc

ia A

bsol

uta

Acu

mul

ada

~X

MédiaMédia

Corresponde à média aritmética dos resultados.Corresponde à média aritmética dos resultados.

n

xX

n

ii∑

== 1

n

xfX

m

iii∑

== 1

Para dados não classificados Para dados classificados

Média Média –– exemplo 1 exemplo 1 (dados (dados simples)simples)

5 7 6 8 10 7 11 7 12 9 8 65 7 6 8 10 7 11 7 12 9 8 6

Registou-se o número de pesquisas dos mestrandos de administração e organização escolar, ao site da Professora Isabel Chagas durante doze dias, tendo-se obtido os seguintes valores:

812

6891271171086751 =+++++++++++

==∑=

n

xX

n

ii

Os alunos fizeram em média 8 pesquisas diárias ao site.

Média Média –– exemplo 2 exemplo 2 (dados em (dados em tabelas, não agrupados)tabelas, não agrupados)

Na aula de Metodologias de Investigação I verificou-se a idade dos mestrandos e chegou-se ao resultado seguinte:

20203366554422ffii

TotalTotal42424040383835353232XXii

(idade)(idade)

Média Média –– exemplo 2 exemplo 2 (dados em (dados em tabelas, não agrupados) tabelas, não agrupados) contcont..

∑=

5

1iii xf

126126334242

240240664040

140140443535

6464223232

190190553838

TotalTotal

ffiixxiiffiiXXii

(idade(idade

∑ = 20if

Para determinar a média, calculamos, sucessivamente, fixi e

apresentando-se os resultados na tabela seguinte:

∑ =760iixf

Média Média –– exemplo 2 exemplo 2 (dados em (dados em tabelas, não agrupados) tabelas, não agrupados) contcont..

Aplicando a fórmula da média para dados classificados vem:

3620720

5

1 ===∑=

−

n

xfx i

ii

Logo a média de idades dos mestrandos é 36 anos.

Média Média –– exemplo 3 exemplo 3 (dados em (dados em tabelas, agrupados)tabelas, agrupados)

Na aula de Metodologias de Investigação I verificou-se as alturas dos mestrandos e chegou-se ao resultado seguinte:

22[190 , 200[[190 , 200[

2020

66

33

66

33

ffii

TotalTotal

[180 , 190[[180 , 190[

[170 , 180[[170 , 180[

[160 , 170[[160 , 170[

[150 , 160[[150 , 160[

Classes (em cm)Classes (em cm)

Média Média –– exemplo 3 exemplo 3 (dados em (dados em tabelas, agrupados) tabelas, agrupados) contcont..

∑=

5

1iii xf

__________

195195

185185

175175

165165

155155

xxii

58558533[190 , 200[[190 , 200[

1110111066[180 , 190[[180 , 190[

66066044[160 , 170[[160 , 170[

31031022[150 , 160[[150 , 160[

87587555[170 , 180[[170 , 180[

TotalTotal

ffiixxiiffiiClasses (em cm)Classes (em cm)

Para determinar a média, calculamos, sucessivamente, o valor médio (xi) de cada classe, fixi e , apresentando-se os resultados na tabela seguinte:

∑ = 20if ∑ =3540iixf

Média Média –– exemplo 3 exemplo 3 (dados em (dados em tabelas, agrupados) tabelas, agrupados) contcont..

Aplicando a fórmula da média para dados classificados vem:

177203540

5

1 ===∑=

−

n

xfx i

ii

Logo a média da altura dos mestrandos é 177 cm.