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FGV ADM – 14/dez/2014

CPV O CursinhO que Mais aprOva na GV

MATEMÁTICA APLICADA

01. Um mapa de um pequeno parque é uma região em forma de quadrilátero, limitado pelas retas y = x, y = x + 4, y = –x + 4 e y = –x, sendo que as unidades estão em quilômetros. A altitude em relação ao nível do mar em cada ponto (x, y) do parque é dada pela expressão

34

. (0,75x + y3) quilômetros.

a) Demonstre que o quadrilátero do parque é um quadrado.

b) Qual é a altitude do centro do parque, ponto de encontro das diagonais, em relação ao nível do mar?

Resolução: a) Considerearepreasentaçãográficadasretas

y = x (r) y = x + 4 (s) y = – x + 4 (t) y = – x (u)

Observandoquenoquadriláterodafiguraasdiagonaissãoperpendiculares e congruentes, portanto, o quadrilátero é quadrado.

b) Considerando o ponto M (0, 2), temos:

3

4 . (0,75 . 0 + 8) =

34

. 8 = 2 3 cm

4

-4(s)

(r) (u)

(t)-2 2

22

A (0,0)

D (-2,2)

C (0,4)

B (2,2)

r // s e t // ur t e s u

M (0,2)

02. Certo município pode ser representado em um mapa como uma malha retangular, 0 £ x £ 5 e 0 £ y £ 5 com uma cidade na origem. Uma construtora estimou que o valor do metro quadrado no ponto (x, y) do mapa, x e y números naturais, é dado pela relação:

ln V = ln 45 – ln 10 – x2 + y2( )100,

sendo V expresso em milhares de reais.

a) Expresse V em termos de x e y. b) Quais são o maior e o menor valor, em reais, do metro

quadrado no município?

Se necessário, use as aproximações: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1. Observe que o número e é igual a 2,718... e que y = ln x se e

somente se ey = x, com x > 0.

Resolução:

a) Temos que 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 5

ln V = ln 45 – ln 10 – ( x2 + y2

100 ) ln V – ln 45 + ln 10 = – ( x2 + y2

100 ) ln

V . 1045

= – ( x2 + y2

100 ) Þ ln V . 2

9 = – ( x2 + y2

100 )

V . 29

= e–

x2 + y2

100 Þ V = 92

e–

(x2 + y2)100

b) x = 0 e y = 0 Þ Vmáx

Vmáx = 92

e0 = 4500 reais por m2

x = 5 e y = 5 Þ Vmin

Vmin = 92

e–1/2

ln Vmin = ln 92

– 12

Þ ln Vmin = 2,2 – 0,7 – 0,5

Vmin = e1 = 2,718 = 2718 reais por m2

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03. Atenda ao que se pede:

a) Determine o produto das raízes da equação cúbica x3+ 64 = 0 que não são números reais.

b) Para resolver uma equação cúbica expressa na forma x3 + 3ax = 2b, o matemático francês François Viète (1540-1603) substituiu a variável x por x =

ay – y

e obteve a equação: y6 + 2by3 – a3 = 0. Obteve os valores de y e depois, os de x. Use esse método para determinar uma raiz da seguinte equação (considere x e y números reais e positivos): x3 + 3x . 3 5 = 4.

Resolução:

a) x3 + 64 = 0

fatorando temos que (x + 4) (x2 – 4x + 16) = 0

portanto, a raiz real é – 4,

logo x2 – 4x + 16 = 0 contém as raízes imaginárias.

O produto das raízes imaginárias é dado por ca

= 16.

Resposta: o produto das raízes imaginárias é 16.

b) Segundo François Vièle a equação x3 + 3ax = 2b resolve substituindo x =

ay

– y,

obtendo a equação y6 + 2by3 – a3 = 0.

Assim, a equação x3 + 3x 3 5 = 4

pode ser resolvida fazendo a = 3 5 e b = 2,

resultando na equação

y6 – 4y3 – ( 3 5 )3 = 0, isto é, y6 – 4y3 – 5 = 0.

Substituindo y3 = t temos t2 – 4t – 5 = 0

cujas raíses são: t = – 5 (não convém) t = 1

Se t = 1 então y3 = 1 Þ y = 1 (real positivo)

Como x = 3 51

– 1 temos x = 3 5 – 1

04. Afiguramostraográficodafunção f (x) = 2x3 – x2 – 20x + 28.

a) Se julgar conveniente, utilize-o para resolver a

inequação: 2x3 – x2 – 20x + 28(x2 + x + 1)3 > 0.

b) Resolva a inequação: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 28.

Resolução: a) Deacordocomográficodado,2éumaraizdupladef(x),a

outraraizpodeserobtidaporBiot-Ruffini.

2x + 7 = 0 Þ x = – 72

.

Como x2 + x + 1 > 0 para todo x Î , devemos ter: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 0 Û (x – 2)2 (2x + 7) > 0 isto é f(x) > 0. Pelográfico:

S = ] – 72 , + ¥ [ – { 2 }.

b) Temos: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 28 Û x (2x2 – x – 20) > 0.

As raízes de 2x2 – x – 20 = 0 são x = 1 ± 161

4

Estudo de sinal:

S = ] 1 – 1614

, 0 [ È ] 1 + 1614

, + ¥ [.

– 72

– 72

– –+

0

+

1 – 1614

1 + 1614

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05. Uma fábrica constrói dados com a forma de um tetraedro regular. A área de uma face do dado é igual a 9 3 cm2.

a) Qual é a soma das medidas das arestas de um dado? b) As faces do dado são numeradas de 1 a 4. Lançamos

dois desses dados. Qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, da soma dos números das faces visíveis ser um múltiplo de 5?

Resolução:

a) Devemos ter: a2 3

4 = 9 3 Þ a = 6 que é a medida

de uma aresta do tetraedo. O tetraedo possui 4 . 32

arestas,

então a soma de todas elas é igual a 6 . 6 = 36 cm.

b) O número de elementos do espaço amostral é N (E) = 4 . 4 = 16.

Os resultados possíveis cuja soma dos números das faces é múltiplo de 5 são:

dado 1 dado 2 soma(1, 2, 3) (2, 3, 4) 15(2, 3, 4) (1, 2, 3) 15(1, 2, 4) (1, 3, 4) 15(1, 3, 4) (1, 2, 4) 15

Portanto: P = 416 = 25%

06. Uma padaria entrega mensalmente certo tipo de pão, cobrando R$ 1,50 pelo pacote simples, que contém 1 unidade, e R$ 2,50 pelo pacote duplo, que contém 2 unidades.

— Na primeira semana, ela entrega a um restaurante 100 pacotes simples e 40 pacotes duplos.

— Na segunda semana, 200 pacotes simples e 80 pacotes duplos.

— Na terceira semana, 200 pacotes simples e 60 pacotes duplos.

— Na quarta semana, 300 pacotes simples e 80 pacotes duplos.

a) Escreva um produto de matrizes que expresse o total de pães entregues pela padaria mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria.

A matriz produto deve ter esta forma: Número de pães – – – – Valor total em reais – – – – As colunas representam a primeira, segunda, terceira e

quarta semanas, respectivamente.

b) Usando a matriz produto do item A, calcule o total de pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria.

Resolução:

a) Seja P a matriz produto pedida. Do enunciado, P é do tipo (pij)2x4, sendo:

número de pães p11 p12 p13 p14 = P valor total em reais p21 p22 p23 p24

Seja Q a matriz que indica a quantidade de pacotes de pães vendidos no mês. Q é do tipo (qij)2x4, sendo:

1a semana 2a semana 3a semana 4a semana

pacote 100 200 200 300 simples = Q pacote 40 80 60 80 duplo

Seja R a matriz que indica a quantidade de pães por pacote e o preço de cada pacote, tal que R seja do tipo (rij)2x2, com

1 2 R = , temos o produto de matrizes: 1,50 2,50

R . Q = P

1 2 100 200 200 300 . = P 1,50 2,50 40 80 60 80

número de pães 180 360 320 460= P

valor total em reais 250 500 450 650

b) Usando o resultado do item A, o total de pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria pode ser obtido, respectivamente, pela soma dos elementos da 1a e da 2a linhas da matriz produto. Temos:

● totaldepães=180+360+320+460=1320 ● valortotal(emreais)=250+500+450+650=1850

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07. a) Braille é um sistema de leitura para cegos inventado pelo francês Louis Braille no ano de 1827, em Paris. Os caracteres são indicados por pontos de alto-relevo que podem representar letras, pontuações, números, sinais matemáticos, notas musicais. Cada célula Braille possui 6 pontos, arrumados num padrão três linhas por duas colunas. Observe como são representadas, por exemplo, as letras A e B.

Considere que quando não há pontos de alto-relevo, não há representação de nenhum caractere:

Quantos caracteres podem ser representados no sistema Braille?

b) Nove cobaias numeradas de 1 a 9 são distribuídas igualmente em três grupos: um grupo de controle e dois grupos experimentais. De quantos modos diferentes as cobaias podem ser distribuídas nos grupos, se os três grupos têm tratamentos diferenciados?

Resolução:

a) Considerando que pelo menos um ponto precisa de alto-relevo, temos:

1 ponto 2 pontos 3 pontos 4 pontos 5 pontos 6 pontos C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 =

26 – 1 = 63

Resposta: Podem ser representados no sistema Braille 63 caracteres.

b) Escolhendo as pessoas dentro dos grupos, temos:

1o Grupo 2o Grupo 3o Grupo C9,3 . C6,3 . C3,3 84 . 20 . 1 = 1680

Resposta: As cobaias podem ser distribuídas nos grupos de 1680 modos diferentes.

08. Atenda ao que se pede.

a) Considerando que uma geração corresponde a 25 anos, determine o número de ancestrais (pais, avós, bisavós, etc.) que determinada pessoa pode ter em um período de 300 anos.

b) A figura mostra os quatro primeiros termos dasequência dos números piramidais de base quadrada. Determine o quinto, o sexto e o sétimo termos da sequência.

Resolução: a)

PaiPai ...

Pai ...

25 anos 25 anos

Mãe

Mãe ...

Mãe ...

Montando uma sequência de ancestrais, temos (2, 4, 8, ...) P.G. de razão 2 e a1 = 2.

O total de ancestrais em 300 anos é dado por

S 30025

= S12 = a1 (qn – 1)

q – 1 =

2 (212 – 1)2 – 1

= 8190

b) 1o termo = 1 2o termo = 1 + 4 = 12 + 22 = 5 3o termo = 1 + 4 + 9 = 12 + 22 + 32 = 14 4o termo = 1 + 4 + 9 + 16 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30

Assim, 5o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 6o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91 7o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 140

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09. Um retângulo em que a razão entre as medidas do maior e

do menor lado é 1 + 5

2 é chamado retângulo de ouro.

Doretângulodeourodafigura,retiramosumquadradodelado 2a.

Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo de ouro.

Resolução:

A partir do desenho, temos:

Assim, a razão é dada por:

2a

( 5 – 1) a = 2

5 – 1 = 1 + 5

2

Logo, o retângulo resultante é um retângulo de ouro.

2a

2a

2a

(1 + 5 ) a

( 5 – 1) a

10. Considere um triângulo ABC de área 12 cm2, cujos lados medem AC = 8 cm e BC = 6 cm.

a) Calcule a medida do ângulo C^ . Faça um esboço de todos os triângulos possíveis.

b) Calcule a soma dos quadrados das possíveis medidas do lado AB.

Resolução:

a) AABC = 12

. AC . BC . sen C^ Þ 12 = 12

. 8 . 6 sen α

Þ sen α= 12

Þ α = 30º ou α = 150º

Assim, os possíveis triângulos são:

b) Nafigura1, temos: x12 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 cos 30º

Nafigura2, temos: x22 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 cos 150º

Assim, x12 + x2

2 = 64 + 36 – 96 cos 30º + 64 + 36 – 96 cos 150º e como cos 150º = – cos 30º, temos:

x12 + x2

2 = 100 + 100 = 200

COMENTÁRIO do CPV

A prova de Matemática Aplicada da FGV de 2015 foi uma prova abrangente no seu conteúdo, dentro da proposta de selecionar os melhores alunos. Fica claro a preocupação da bancaembeneficiaroalunoconceitualebempreparado.

8 6

C

A x B

α

A Ax xB B

30º

C

8 6

figura1 figura2

68 150º

C