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1 CPV UNIFESP2011 UNIFESP – 17/dezembro/2010 CPV seu pé direito também na Medicina MATEMÁTICA 16. A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função f (x) = 2 x + 1 2 x , com domínio [A, B]. a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada? Resolução: a) A menor distância ocorre quando o cabo está o mais baixo possível, ou seja, na intersecção com o eixo y (x = 0). Assim, f(0) = 2 0 + 1 2 0 =1+1=2 Portanto, a menor distância será 2. b) Devemos ter, 2 x + 1 2 x = 2,5 Fazendo-se 2 x = t, obtemos: t+ 1 t = 2,5 t= 1 2 Þ 1 2 =2 x Þ x=–1 Þ A (–1; 2,5) Þ t 2 – 2,5 t + 1 = 0 t=2 Þ 2=2 x Þ x=1 Þ B (1; 2,5) Portanto, a distância entre as hastes será | 1 – (– 1) | = 2.
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unifesP – 17/dezembro/2010
CPV seu pé direito também na Medicina
matemática
16. Afigura1representaumcabodeaçopresonasextremidadesdeduashastesdemesmaalturahemrelaçãoaumaplataformahorizontal.Arepresentaçãodessasituaçãonumsistemadeeixosortogonaissupõeaplataformadefixaçãodashastessobreoeixodasabscissas;asbasesdashastescomodoispontos,AeB;econsideraopontoO,origemdosistema,comooponto
médioentreessasduasbases(figura2).Ocomportamentodocaboédescritomatematicamentepelafunçãof(x)=2x + 12x,
comdomínio[A,B].
a) Nessascondições,qualamenordistânciaentreocaboeaplataformadeapoio? b) Considerandoashastescom2,5mdealtura,qualdeveseradistânciaentreelas,seocomportamentodocaboseguir
precisamenteafunçãodada?
Resolução:
a) Amenordistânciaocorrequandoocaboestáomaisbaixopossível,ouseja,naintersecçãocomoeixoy(x=0).
Assim,f(0)=20 + 12
0 =1+1=2
Portanto,amenordistânciaserá2.
b) Devemoster,
2x + 12x=2,5
Fazendo-se2x=t,obtemos:
t+ 1t=2,5
t=12 Þ
12 =2
x Þx=–1ÞA(–1;2,5) Þt2–2,5t+1=0 t=2Þ2=2x Þx=1ÞB(1;2,5)
Portanto,adistânciaentreashastesserá|1–(–1)|=2.
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17. Progressãoaritméticaéumasequênciadenúmerostalqueadiferençaentrecadaumdessestermos(apartirdosegundo)eoseuantecessoréconstante.Essadiferençaconstanteéchamada“razãodaprogressãoaritmética”eusualmenteindicadaporr.
a) ConsidereumaPAgenéricafinita(a1,a2,a3,...,an)derazãor,naqualnépar.DetermineafórmuladasomadostermosdeíndicepardessaPA,emfunçãodea1,ner.
b) QualaquantidademínimadetermosparaqueasomadostermosdaPA(–224,–220,–216,...)sejapositiva?
Resolução:
a) Peladefiniçãodada,temosquea2=a1+r,a4=a1+3r,a6=a1+5r,...,an=a1+(n–1)r
eassim,asequênciadostermosdeíndiceparéumaPAderazão2ren2 termos.
Portanto,asomadessasequênciaseráS=a a n
n2 22
+( )=
a r a n r n1 1 14
+ + + −( )( )=( )2
41a nr n+
b) Paraasomaserpositiva(S>0),temosS=( ) ( ( ( ) ))a a n n nn1
2224 224 1 4
2+
=− + − + − .
=( )− +452 4
2n n
Assim, ( )− +452 42
n n >0Þn>113.Portanto,asomaépositivaapartirde114termos.
18. Considerea1,a2,a3,b1,b2,b3númerosreaisestritamentepositivos,taisqueospontos(a1,b1),(a2,b2)e(a3,b3)pertençamàretay=2x.
a) Sabendo-sequeQ(x)=a x a x a
b x b x b12
2 3
12
2 3
+ +
+ +(comb1x
2+b2x+b3≠0)independedex,pede-sedeterminarseuvalor.
b) Nafigura,seospontosA,BeCsãovérticesdeumtriânguloisósceleseosegmentoACéumdosdiâmetrosdacircunferênciaconvenientementecentradanaorigemdosistemaortogonal,pede-sedeterminaramedidadosegmentoABemfunçãodea1.
Resolução:
a) Comoospontos(a1,b1),(a2,b2)e(a3,b3)pertencemàretay=2x,temosb1=2a1,b2=2a2eb3=2a3.
Assim, Q(x)=a x a x a
b x b x b
a x a x a
a x a x a
a x a x12
2 3
12
2 3
12
2 3
12
2 3
12
22 2 2
+ +
+ +=
+ +
+ +=
+ + aa
a x a x a3
12
2 32( )+ + ÞQ(x)=
12
b) Pelafigura,temosC(a1,b1)eA(–a1,–b1).Comoambosospontospertencemàretay=2x,temosqueamedidadosegmentoACé
AC = ( ( )) ( ( ))a a b b1 12
1 12− − + − − ÞAC = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 201
212
12
12
12a b a a a+ = + =
ComoACéodiâmetrodacircunferência,entãoéahipotenusadotriânguloretânguloisócelesABC,retânguloemB.
Assim,AB2+BC2=AC2esendoAB=BC,temos:2AB2=AC2 Þ2AB2=20a12 ÞAB2=10a1
2 ÞAB=a1 10
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19. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo módulo (indicadopor|z|)éamedidadosegmentoOAecujoargumento(indicadoporθ)éomenorânguloformadocomOA,nosentidoanti-horário,apartirdoeixoRe(z).Onúmerocomplexoz=iéchamado“unidadeimaginária”.
a) Determinarosnúmerosreaisxtaisquez=(x+2i)4éumnúmeroreal. b) Seumadasraízesquartasdeumnúmerocomplexozéocomplexoz0,cujoafixoéoponto(0,a),a>0,determine|z|.
Resolução:
a) z=(x+2i)4
z=x4+4x3(2i)+6x2(2i)2+4x(2i)3+(2i)4
z=x4+8x3i+24x2i2+32xi3+16i4
z=x4+8x3i–24x2–32xi+16 z=(x4–24x2+16)+(8x3–32x)i
Parazserumnúmeroreal,temosque8x3–32x=0Þ8x(x2–4)=0Þx=0oux=2oux=–2
b) Comoz=z04ez0=0+ai,temos:
z=(0+ai)4=a4i4=a4+0i
Portanto,como|z|= x y2 2+ ,temos|z|= ( ) ( )a a4 2 2 40+ =
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20. Paratestaradurabilidadedeumabateriaelétricaforamconstruídosdoispequenosaparatosmóveis,AeB,quedesenvolvem,respectivamente,asvelocidadesconstantesde30cm/se20cm/s.Cadaumdosaparatoséinicialmenteposicionadoemumadasduasextremidadesdeumapistaretilíneaehorizontalde9mdecomprimento,ecorrememsentidocontrário,umemdireçãoaooutro,cadaumemsuafaixa.Aochegaremàextremidadeoposta,retornamaoinício,numfluxocontínuodeidasevindas,programadoparadurar1horae30minutos.Otempogastopelosaparatosparavirarem-se,emcadaextremidadedapista,einiciaremoretornorumoàextremidadeoposta,édesprezívele,portanto,desconsideradoparaodesenvolvimentodoexperimento.
a) DepoisdequantossegundososaparatosAeBvãoseencontrar,pelaprimeiravez,namesmaextremidadedapista? b) Determinequantasvezes,durantetodaaexperiência,osaparatosAeBsecruzam.
Resolução:
a)
OaparatomóvelAdemora90030 =30segundosparairdeumaextremidadeaoutraeoaparatomóvelBdemora 900
20=45segundos.
Portanto,oprimeiroencontronamesmaextremidadeocorreem,mmc(30,45)= 90 segundos.
b)
Ográficopermiteafirmarque,acada180s,osaparatosmóveisAeBencontram-se5vezeseretornamaopontodoorigem.
Logo,concluímosqueem1h30=5400s,osaparatosmóveisencontram-se 5400 5180
. =150 vezes.
900 cmA B
30 cm/s 20 cm/s
comentário da prova de matemática unifesp 2a fase 2011
A segunda fase daUNIFESP 2011manteve o nível apresentado nos anos anteriores, com questões adequadas e conteúdospertinentesaoprogramadoEnsinoMédio,taiscomofunções,progressões,geometriaanalítica,númeroscomplexosearitmética,quecertamentecontemplaráosalunosbempreparados.
20%–FunçãoExponencial
20%–ProgressãoAritmética
20%–GeometriaAnalítica
20%–NúmerosComplexos
20%–Aritmética
S (cm)
900
0 30 45 60 90 120 135 150 180 t (s)
SA
SB
