Círculos ou circunferências

O terceiro postulado de Euclides diz que é possível

traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer

raio. Com os nossos axiomas, este postulado é

simplesmente uma consequência.

Até o momento nós estudamos apenas triângulo e

quadriláteros, figuras planas definidas por pontos e retas.

Começaremos nosso estudo do círculo, que é uma figura

plana definida através da noção de distância entre dois

pontos.

Seja 𝑂 um ponto e 𝑅 um número positivo.

Definição. O círculo com centro 𝑂 e raio 𝑅 é o conjunto dos

pontos 𝑄 tais que 𝑂𝑄 = 𝑅.

Dois ou mais círculos com o mesmo centro são ditos

concêntricos. Se Q é qualquer ponto do círculo, então o

segmento OQ é um raio do circulo, e Q é a extremidade do

raio. Se Q e R são pontos do círculo, então QR é uma corda do

círculo. Uma corda que contém o centro é denominada um

diâmetro do círculo. Evidentemente, o comprimento de todo

diâmetro é o número 2r. Este número é denominado o

diâmetro do círculo.

Observação Note que a palavra raio é

usada com dois sentidos. Ela pode

significar um número 𝑅 ou um segmento

𝑂𝑄. Porém, no contexto sempre será

fácil identificar o significado. Quando

falamos “o raio”, falamos do número 𝑅, e

quando falamos de “um raio”, falamos de

um segmento. Da mesma forma, para a

palavra diâmetro.

Tangência e ângulos no círculo

Comecemos esta seção estudando uma das mais importantes

noções da Geometria Euclidiana, qual seja, a de reta e círculos

tangentes.

Dizemos que um círculo e uma reta r são tangentes ou, ainda, que

a reta r é tangente ao círculo , se r e tiverem exatamente um ponto

P em comum. Nesse caso, P é denominado o ponto de tangência de r

e .

A proposição a seguir ensina como construir uma reta tangente a

um círculo dado e passando por um ponto do mesmo.

Teorema. Se uma reta é perpendicular a um raio de um círculo

em sua extremidade, então a reta é tangente ao círculo.

Demonstração Sejam 𝐶 um círculo com

centro em 𝑂 , 𝑂𝑃 um raio e 𝑡 a

perpendicular a 𝑂𝑃 em 𝑃. Se 𝑅 é qualquer

outro ponto de r, então 𝑂𝑅 > 𝑂𝑃, já que

o menor segmento unindo um ponto a uma

reta é o segmento perpendicular.

Portanto, 𝑅 está no exterior de 𝐶. Logo, 𝑡

intersecta 𝐶 somente no ponto 𝑃, o que

implica que 𝑡 é tangente a 𝐶.

Teorema. Toda tangente 𝑟 a um círculo C é perpendicular ao raio

com extremidade no ponto de tangência 𝑄.

Dados no plano um círculo e um ponto P sobre o

mesmo, mostre que a reta tangente a em P é

única.

Proposição. Um raio é perpendicular a uma corda (que não é um

diâmetro) se e somente se a divide em dois segmentos congruentes.

Voltemo-nos, agora, ao estudo de certos ângulos em um círculo.

Dado, no plano, um círculo de centro O, um ângulo central em

é um ângulo de vértice O e tendo dois raios OA e OB por lados. Em

geral, tal ângulo central será denotado por AOB e o contexto

tornará claro a qual dos dois ângulos AOB estamos nos referindo.

Por definição, a medida do ângulo central AOB é igual à medida do

arco correspondente. O exemplo a seguir mostra que ângulos

centrais iguais subentendem cordas também iguais.

Suponha que AÔB = CÔD < 180 (o caso AÔB =CÔD > 180 pode

ser tratado de modo análogo). Como AO = CO, BO =DO e AÔB

= CÔD, os triângulos AOB e COD são congruentes por LAL, de

modo que AB = CD.

Outra importante classe de ângulos em um círculo é aquela formada

pelos ângulos inscritos. Por definição, um ângulo inscrito num

círculo é um ângulo cujo vértice é um ponto do círculo e cujos lados

são duas cordas do mesmo.

Outra maneira útil de generalizarmos ângulos inscritos é considerar

ângulos ex-cêntricos mas, nesse caso, há dois tipos distintos, quais

sejam, os interiores e os exteriores. Um ângulo ex-cêntrico interior

é um ângulo formado por duas cordas de um círculo que se

intersectam no interior do mesmo;

Um ângulo ex-cêntrico exterior é um ângulo formado pelas retas

suporte de duas cordas de um círculo que se intersectam no

exterior do mesmo.

(a) Basta aplicar sucessivamente o teorema do ângulo externo

(Corolário 3.7, Unidade 3) e o resultado da Proposição 4:

Círculos associados a um triângulo

Quadriláteros Inscritíveis

e Circunscritíveis

Contrariamente aos triângulos, nem todo quadrilátero

(convexo) admite um círculo passando por seus vértices.

Para ver isso, basta tomar um triângulo ABD e um ponto C

não pertencente ao círculo circunscrito a ABD. Por outro

lado, dizemos que um quadrilátero é inscritível se existir

um círculo passando por seus vértices.

• É imediato a partir da unicidade do círculo circunscrito a um triângulo quese um quadrilátero for inscritível, então o círculo que passa por seus vértices é único e será doravante denominado o círculo circunscrito ao quadrilátero.

• Podemos mostrar que um quadrilátero é inscritível se, e só se, as mediatrizes de seus lados se intersectarem em um único ponto, o circuncentro do quadrilátero. Porém, nas aplicações que temos em mente, a caracterização dos quadriláteros inscritíveis dada a seguir mostra-seem geral mais útil:

No que segue, apresentamos duas aplicações importantes

da proposição acima. Para a primeira delas, precisamos da

seguinte nomenclatura: o triângulo órtico de um triângulo não-

retângulo ABC é o triângulo formado pelos pés das alturas de

ABC.

Nossa segunda aplicação diz respeito à seguinte situação: dados no plano um triângulo ABC e um ponto P não situado sobre qualquer das retas suportes dos lados de ABC, marcamos os pontos D, E e F, pés das perpendiculares baixadas de P respectivamente aos lados BC, CA e AB. O triângulo DEF assim obtido é o triângulo pedal de P em relação a ABC. Por exemplo, o triângulo órtico de um triângulo é o triângulo pedal do ortocentro do triângulo.

Nas notações da discussão acima, quando P estiver sobre o círculo circunscrito a ABC diremos que a reta que passa pelos pontos D, E e F é a reta de Simson-Wallace de P relativa a ABC.

Voltando à discussão do parágrafo inicial desta seção,

observamos agora que nem todo quadrilátero convexo

possui um círculo tangente a todos os seus lados. Quando

tal ocorrer, diremos que o quadrilátero é circunscritível e

que o círculo tangente a seus lados é o círculo inscrito no

quadrilátero. O teorema a seguir, conhecido como o

teorema de Pitot, dá uma caracterização útil dos

quadriláteros inscritíveis.