Criacao de Porcos

O Sr. Pigolino possui uma fazenda em Amparo. Nesta fazenda ele cria suínos para corte e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requisitos mínimos: as proteínas devem ser fornecidas em uma quantidade mínima de 200 unidades de medida (u.m) as vitaminas,em 250 u.m, e os carboidratos em 120 u.m. Considere que os alimentos disponíveis no mercado são: milho,ração preparada e alfafa,ao custo por quilo de R$ 20,00, R$ 30,00 e R$ 35,00, respectivamente. A tabela abaixo resume a quantidade de cada nutriente (u.m) presente de cada alimento.

Milho Ração Alfafa

Proteína 10 10 40

Vitamina 20 20 30

Carboidrato 20 40 20

a) Modele e resolva o problema para atender ao objetivo do Sr. Pigolino (1,0) b) Determine o preço dual dos recursos e interprete os mesmos segundo o problema (

2,0) c) Determine os custos reduzidos e interprete os mesmos segundo o problema (2,0) d) Determine as faixas de viabilidade para variações individuais nos limites dos requisitos

mínimos (2,0) e) Determine a faixa de otimalidade para os custos dos produtos (2,0) f) Quais requisitos estão sendo atendidos com sobra? Porque? (1,0)

a)

X1 = Milho X2 = Ração

X3 = Alfafa

Min Z= 20x1 + 30x2 +35x3

Sujeito a:

10x1 + 10x2 + 40x3 >= 200

20x1 + 20x2 + 30x3 >= 250

20x1 + 40x2 + 20x3 >= 120

x1, x2, x3 >= 0

Inserindo as variáveis de Folga e Artificiais:

Pelo método do M grande

Min Z = 20x1 + 30x2 +35x3 + MR1 +MR2 + MR3

Sujeito a:

(Proteína) 10x1 + 10x2 + 40x3 – S1 + R1 = 200

(Vitamina) 20x1 + 20x2 + 30x3 – S2 + R2 = 250

(Carboidrato) 20x1 + 40x2 + 20x3 – S3 + R3 = 120

M= 100

Z - 20x1 - 30x2 -35x3 - MR1 -MR2 - MR3 = 0

Base X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 b

Z -20 -30 -35 0 0 0 -100 -100 -100 0

R1 10 10 40 -1 0 0 1 0 0 200

R2 20 20 30 0 -1 0 0 1 0 250

R3 20 40 20 0 0 -1 0 0 1 120

Zerando R1


Z 980 970 3965 -100 0 0 0 -100 -100 20.000

R1 10 10 40 -1 0 0 1 0 0 200

R2 20 20 30 0 -1 0 0 1 0 250

R3 20 40 20 0 0 -1 0 0 1 120

Zerando R2


Z 2980 2970 6965 -100 -100 0 0 0 -100 45.000

R1 10 10 40 -1 0 0 1 0 0 200

R2 20 20 30 0 -1 0 0 1 0 250

R3 20 40 20 0 0 -1 0 0 1 120

Zerando R3 - Aplicação do Simplex

Base X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 b Divisão

Z 4980 6970 8965 -100 -100 -100 0 0 0 57.000

R1 10 10 40 -1 0 0 1 0 0 200 5

R2 20 20 30 0 -1 0 0 1 0 250 8,3

R3 20 40 20 0 0 -1 0 0 1 120 6

x3 entra na base Base X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 b Divisão

Z 2738,75 4.728,75 0 124,13 -100 -100 -224,13 0 0 12.175

X3 ¼ ¼ 1 -1/40 0 0 1/40 0 0 5 20

R2 12,5 12,5 0 0,75 -1 0 -0,75 1 0 100 8

R3 15 35 0 0,5 0 -1 -0,5 0 1 20 0,57

X2 entra na base


Z 712,14 0 0 56,57 -100 35,11

-156,57 0 -135,11 9.472,86

X3 1/7 0 1 -1/35 0 1/140 1/35 0 -1/140 34/7 34

R2 50/7 0 0 4/7 -1 5/14 -4/7 1 -5/14 650/7 13

X2 3/7 1 0 1/70 0 -1/35 -1/70 0 1/35 4/7 1,33

X1 entra na base


Z 0 -1661,67 0 32,83 -100 82,58 -132,83 0 -182,59 8.523,34

X3 0 -1/3 1 -1/30 0 1/60 1/30 0 -1/60 14/3 280

R2 0 -50/3 0 1/3 -1 5/6 -1/3 1 -5/6 250/3 100

X1 1 7/3 0 1/30 0 -1/15 -1/30 0 1/15 4/3 -

S3 entra na base


Z 0 -10 0 -0,2 -0,9 0 -99,8 -99,1 -100 265

X3 0 0 1 -0,04 0,02 0 0,04 -0,02 0 3

S3 0 -20 0 0,4 -1,2 1 -0,4 1,2 -1 100

X1 1 1 0 0,06 -0,08 0 -0,06 0,08 0 8

Não há mais variaveis com coeficiente positivo (minimização) na linha Z, logo a

solução é ótima, com Z = 265. Assim, deverão ser utilizados 8 Kg de Milho e 3Kg de Alfafa; a ração não fará parte da mistura.

Pois,

8*20 + 3*35 = 265

b) A Solução ótima é $ 265,00. Ou seja, o gasto com o preparo da alimentação dos porcos será

este. O preço dual é apresentado na tabela a seguir:

Recurso Preço Dual

Proteína -0,2

Vitamina -0,9

Carboidrato 0

Extraindo da tabela ótima do Simplex:

Z - 10x2 - 0,2 (S1) - 0,9 (S2) = 265

Z = 265 +10x2 + 0,2 (S1) + 0,9 (S2)

Um aumento de 1 unidade de medida de proteína S1 eleva o custo total em $ 0,2; já o

aumento de 1 unidade de medida de vitamina aumenta o custo em $ 0,9.

c) A ração é o alimeno mais caro entre os apresentados quando considerados seu preço e valores

nutricionais. Dessa forma, para a ração passar a integrar a dieta seu custo deverá ser reduzido

em $ 10. Caso seja adotada a mistura com a ração, haverá um aumento de $ 10 por unidade de mistura.

d) Temos para cada equação de restrição:

Pelo método do lado direito

(Proteína) 10x1 + 10x2 + 40x3 = 200 + S1

(Vitamina) 20x1 + 20x2 + 30x3 = 250 + S2

(Carboidrato) 20x1 + 40x2 + 20x3 = 120 + S3

Criando a variável D

(Proteína) 10x1 + 10x2 + 40x3 = 200 + D1

(Vitamina) 20x1 + 20x2 + 30x3 = 250 + D2

(Carboidrato) 20x1 + 40x2 + 20x3 = 120 + D3

Transformando a Solução primal do Simplex

Base X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 b D1 D2 D3

Z 0 -10 0 -0,2 -0,9 0 -99,8 -99,1 -100 265 -99,8 -99,1 -100

X3 0 0 1 -0,04 0,02 0 0,04 -0,02 0 3 0,04 -0,02 0

S3 0 -20 0 0,4 -1,2 1 -0,4 1,2 -1 100 -0,4 1,2 -1

X1 1 1 0 0,06 -0,08 0 -0,06 0,08 0 8 -0,06 0,08 0

Z= 265 – 99,8 D1 -99,1 D2 – 100D3

X3 = 3 + 0,04 D1 – 0,02 D2

S3 = 100 – 0,4D1 + 1,2 D2 X1 = 8 – 0,06 D1 + 0,08D2

Faixas de Viabilidade

D1 – fazendo D2= D3= 0

X3 = 3 + 0,04 D1 >= 0 D1 >= -75

S3 = 100 – 0,4D1 >= 0 D1 =< -250 X1 = 8 – 0,06 D1 >= 0 D1 =< 133,33

-75 =< D1 =< 133,33

D2 - fazendo D1= D3= 0

X3 = 3 - 0,02 D2 >= 0 D1 =< 150 S3 = 100 + 1,2D2 >= 0 D1 >= -83,33

X1 = 8 + 0,08 D2 >= 0 D1 >= -100

-83,33 =< D2 =< 150

D3 - fazendo D1= D2= 0

X3 = 3 > 0

S3 = 100 – D3 >= 0 D3 =< 100

X1 = 8 > 0

-∞ =< D3 =< 100

e) Faixas de Otimalidade

-75 =< D1 =< 133,33 | 200 + D1

-83,33 =< D2 =< 150 | 250 + D2

-∞ =< D3 =< 100 | 120 + D3

Logo:

Mínimo Atual Máximo

125 200 333,33 166,67 250 400

-∞ 120 220

f) Carboidrato. Está havendo um excessso, devido à combinação cruzada de otimalidade de outros requisitos. Pelo simplex é possível observar que há uma sobra de 100 unidade de

medida de Carboidrato por cada porção de alimento preparado .


Z 0 -10 0 -0,2 -0,9 0 -99,8 -99,1 -100 265

X3 0 0 1 -0,04 0,02 0 0,04 -0,02 0 3

S3 0 -20 0 0,4 -1,2 1 -0,4 1,2 -1 100

X1 1 1 0 0,06 -0,08 0 -0,06 0,08 0 8

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