Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

O experimento

Números e fuNções

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

Mensagens secretas com matrizes

Objetivos da unidadeIntroduzir o conceito de criptografia;1. Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes.2.

O experimento

SinopseNeste experimento, seus alunos aprenderão uma das diversas maneiras de criptografar mensagens: usando matrizes. Inicialmente, dividindo a classe em grupos, o professor deve explicar como isso pode ser feito e fornecer uma mensagem codificada, pedindo para que eles tentem decifrá-la. Depois, cada grupo deve criar sua própria mensagem cripto-grafada e trocá-la com os outros. O desafio é tentar decifrar o que o outro grupo quis dizer sabendo a matriz chave que usaram.

ConteúdosMatrizes: Propriedades, Determinantes.

Objetivos da unidadeIntroduzir o conceito de criptografia;1. Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes.2.

DuraçãoUma aula simples.

Mensagens secretas com matrizes

Mensagens secretas com matrizes O Experimento 2 / 8

Introdução

A palavra “criptografia” tem origem grega (kripto = oculto; grapho = grafia) e diz respeito à arte ou ciência de escrever mensagens em códigos, de forma que somente certas pessoas possam decifrá-las. Existem métodos criptográficos tão antigos quanto a própria escrita. Eles já estavam presentes no sistema de escrita hieroglífica dos egípcios, e também os romanos utilizavam códigos secretos para comunicar planos de batalha. Atualmente, utilizamos criptografia em transações eletrônicas, como movimentações bancárias e alguns serviços disponíveis na Internet, os quais necessitam de uma comunicação confidencial de dados.

Há várias técnicas de criptografia. Uma delas, que é a que utilizaremos neste experimento, é feita encontrando-se uma transformação (função) injetiva f entre um conjunto de mensagens originais (não codificadas) e um conjunto de mensagens codificadas. A função f deve ser inversível para garantir que o processo seja reversível e que as mensagens possam ser reveladas pelos receptores. Portanto, para que um certo método criptográfico seja considerado eficiente, deve-se ocultar muito bem a função f e os mecanismos para sua inversão, de modo que somente pessoas autorizadas possam decifrar a mensagem. Em um esquema destes, f é chamada chave de codificação e sua inversa, f−1, é a chave de decodificação. Neste experimento abordaremos apenas um método de criptografia, o qual utiliza matrizes como chaves, isto é, como peça fundamental para codificar e decodificar as mensagens.[?]

Material necessário

Apenas papel e lápis; �

Comentários iniciais

Como já mencionado, neste experimento usaremos um método criptográfico que utiliza matrizes como chave. Porém, existem alguns métodos que utilizam funções mais simples como, por exemplo, a função afim de uma variável. Se julgar necessário, desenvolva uma atividade de familiarização com seus alunos, usando funções afim como chave de um método criptográfico. No material Explorando o Ensino de Matemática, volume 3, parte 2, publicado no site do MEC, pode-se encontrar mais detalhes sobre criptografia com esse tipo de função.Seguem as etapas do experimento proposto.

Esse material pode ser �encontrado no site: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_2.pdf

Preparação

Divida a classe em grupos de dois alunos. Inicialmente, cada dupla buscará métodos para tentar decifrar uma mensagem sua. Depois, eles criarão suas próprias mensagens secretas e irão enviá-las para outra dupla tentar decifrar.

Mensagem do professor

Nesta etapa, use sua criatividade para inventar uma mensagem e depois criptografá-la, usando uma matriz como chave. Transmita sua mensagem codificada e desafie seus alunos para decifrá-la apenas sabendo como você a codificou. Ou seja, não diga a eles, de início, como decodificar a mensagem.

Como criptografar usando matrizes?

Para codificar uma mensagem usando este método é necessário que, primeiramente, cada letra do nosso alfabeto e símbolos

Professor, os grupos não �

devem ser muito grandes, pois não há muitas tarefas neste experimento e alguns integrantes poderiam ficar sem função.

Neste experimento �

usaremos a palavra vetor para nos referir a matriz coluna.

etapa

desejados sejam associados a vetores . A seguir, apresentamos uma tabela com um exemplo para essa associação.

ObservaçãoPodemos representar esses vetores como pontos de um plano, como mostra a figura 1 a seguir:

A B C D E F G H I J

K L M N O P Q R S T

U V W X Y Z espaço . , ?

tabela 1 Exemplo de uma associação entre letras e vetores que o professor pode fazer.

Professor, repare que, !se cada uma dessas letras e símbolos representarem um ponto num plano cartesiano, eles formarão um retângulo. É interes-sante que isso continue acontecendo caso queira mudar os valores de cada letra ou símbolo.

Decidido qual associação usar, construa uma matriz de apenas 2 linhas e codifi que uma mensagem. Para isso, basta colocar os vetores que representam as letras da mensagem um na frente do outro. Vamos, por exemplo, colocar a mensagem Boa aula. em uma matriz, usando a associação da tabela 1:

Agora, crie uma matriz para usar como chave. Ela deve ser inversível para garantir que a mensagem poderá ser decodifi cada. Você pode usar, por exemplo, a matriz mostrada a seguir:

Professor, o ideal é �

que sua mensagem tenha no máximo 20 caracteres, para não exigir muitas contas por parte dos alunos na hora de decifrá-la.

Professor, lembre-se que !uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.

fig. 1

Por fim, criptografe sua mensagem, transformando-a em uma matriz . Para isso, deve-se fazer a multiplicação

. Usando o exemplo de mensagem, temos:

Agora, transmita aos alunos a tabela com a associação entre as letras e os vetores, a matriz chave e a matriz com a mensagem codificada . Explique o processo descrito anteriormente para criptografar sua mensagem original e peça para que eles tentem decifrar sua frase. Se perceber que alguns alunos conseguiram decodificar a mensagem, peça para que eles compartilhem com a classe a maneira que eles usaram para descobrir. Mas lembre-se: inicialmente, não conte a eles como decifrar a mensagem. Deixe-os pensar bastante antes de dizer que para decodificá-la basta encontrar a matriz inversa de e multiplicar por pois

Professor, observe �

que, na multiplicação , algumas letras

de podem não ser transformados em outras letras. Por exemplo, o vetor

não representa nenhuma letra da tabela inicial.

Professor, tome cuidado !para que seus alunos não vejam sua mensagem original.

Professor, pode ser que !seus alunos consigam descobrir a mensagem original sem o uso da inversa, através de vários sistemas lineares . Tente descobrir como!

Troca de mensagens

Agora que seus alunos já sabem criptografar uma mensagem, deixe-os praticar. Nesta etapa, cada grupo deverá inventar uma frase com no máximo 20 caracteres e codificá-la. Em seguida, eles trocarão mensagens com outro grupo, sempre fornecendo apenas a matriz codificada ( ) e a chave ( ). O desafio é decifrar a mensagem do outro grupo. Fazendo isso, eles estarão fixando conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes de um modo divertido.

etapa

Professor, provavelmente !alguns grupos usarão matrizes não inversíveis como chave. Isso fará com que a mensagem eventualmente não seja decifrável. Se achar que deve, alerte-os para o uso apenas de matrizes inversíveis como chave.

Relembre seus alunos sobre os requisitos para existência de inversa de uma matriz (determinante diferente de zero), e o modo de calculá-la. Caso o conceito de matriz inversa ainda não seja conhecido pelos seus alunos, este experimento pode servir como uma aula introdutória do tema. Se achar interessante, comente com seus alunos sobre o fato de que, ao criptografar uma mensagem pelo método descrito neste experimento, estamos aplicando uma função que leva pontos do plano a outros pontos do plano. Por exemplo, as letras da mensagem Boa aula. podem ser representadas da seguinte forma:

fig. 2

E, plotando cada letra dessa frase depois de multiplicadas pela matriz do nosso exemplo, temos:

Observe o que acontece com cada vetor letra na transformação:

Outro fato interessante é o efeito da multiplicação de um bloco de pontos, que representam letras, pela matriz chave .

fig. 3

A fi gura abaixo mostra um bloco de quatro letras do alfabeto representado por pontos (não preenchido) e o efeito que a multiplicação por causou (preenchido):

Mais detalhes sobre a representação das letras por pontos no plano podem ser encontrados no Guia do Professor. Por fi m, comente com seus alunos que com o conhecimento das transformações de apenas duas letras no nosso método criptográfi co, já é possível que um “espião” descubra a matriz chave. Assim, se, por exemplo, ele souber que

e

são levados em

e ,

fig. 4

respectivamente, ele saberia que, se a matriz chave for igual a

,

então:

e

E daí,

Resolvendo o sistema, ele encontraria que , , e e portanto,

.

Daí vem a importância de se guardar todas as transformações em segredo.

Se usássemos uma !associação das letras à vetores , com a matriz chave sendo , a determinação de seria difi cultada, pois precisaríamos de mais uma informação para tal. Comente isto com seus alunos!

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

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AutorLeonardo Barichello

Coordenação de RedaçãoRita Santos Guimarães

RedaçãoFelipe M. Bittencourt Lima

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos do PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira