Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável...

21
Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas Variáveis aleatórias Cristian Villegas [email protected] http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 1

Transcript of Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável...

Page 1: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Variáveis aleatóriasCristian Villegas

[email protected]

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 1

Page 2: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Introdução

Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um número a um eventoaleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que aprobabilidade do evento. Introduziremos a seguir o conceito de variáveisaleatórias.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 2

Page 3: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Variável aleatória

Definição 1. Seja ε um experimento aleatório e Ω o espaço amostral associado comε. Uma função X que associa a cada um dos elementos de ω ∈ Ω, um número realX(ω), se denomina variável aleatória. Isto, pode ser representado da seguinte forma

X : Ω→ R

ω X(ω)

Exemplo 1. Se lança uma moeda duas vezes e se define a variável aleatória X comoo número de caras obtido nos dois lançamentos. Defina ε, Ω e os possíveis valores davariável aleatória X.

Observação 1. Uma variável aleatória pode ser classificada em

1. variável aleatória discreta ou

2. variável aleatória continua.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 3

Page 4: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Variável aleatória discreta

Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores davariável aleatória assumem valores em um conjunto enumerável.

Exemplo 2. A seguir alguns exemplos,

• número de sementes que germinam.

• número de chamadas telefônicas numa central da TIM em 30 minutos.

• número de acidentes na rua XV de novembro.

• número de mulheres na ESALQ.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 4

Page 5: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Variável aleatória continua

Definição 3. Uma variável aleatória é continua quando os possíveis valores davariável aleatória não assumem valores em um conjunto enumerável.

Exemplo 3. A seguir alguns exemplos,

• rendimento de milho (kg/ha),

• diâmetro de uma árvore,

• ângulo entre o norte e a direção tomada por um pássaro no sentido horário,

• altura de plantas.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 5

Page 6: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Teorema 1. O caso mais simples de variável aleatória é a função indicadora quedefinimos a seguir. Seja A ⊂ Ω. Então, a função indicadora de A, IA é definida por

IA(ω) =

1 se ω ∈ A;

0 se ω ∈ Ac.

Exemplo 4. A seguir alguns exemplos,

• para uma variável aleatória discreta

I0,1,2,3(x) =

1 se x ∈ 0, 1, 2, 3;0 se x /∈ 0, 1, 2, 3.

• para uma variável aleatória continua

IR+(x) =

1 se x ∈ R+;

0 se x /∈ R+.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 6

Page 7: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Função de probabilidades

Definição 4. Uma função P (X = x) de uma variável aleatória discreta se denominafunção de probabilidades se satisfaz as seguintes duas condições

P (X = x) ≥ 0 x ∈ Rx e∑x∈Rx

P (X = x) = 1,

em que, Rx denota os possíveis valores da variável aleatória X. A distribuição deprobabilidades de X é o conjunto de pares ordenados (xi, P (X = xi)), em que xirepresenta os diferentes valores da variável aleatória X e P (X = xi) a probabilidadede ocorrência de xi.

Exemplo 5. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidades

P (X = x) =1

6para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Determine se P (X = x) é uma função de probabilidades.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 7

Page 8: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Função densidade de probabilidades

Definição 5. Uma função f(x) de uma variável aleatória continua se denominafunção densidade de probabilidades se satisfaz as seguintes duas condições:

f(x) ≥ 0 x ∈ Rx∫x∈Rx

f(x) dx = 1,

em que, Rx denota os possíveis valores da variável aleatória X.

Exemplo 6. Se X é uma variável aleatória continua com função

f(x) = 1 parax ∈ [0, 1].

f(x) é uma função densidade de probabilidades?

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 8

Page 9: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Tarefa

Exemplo 7. Seja X uma variável aleatória continua

f(x) =1

b− aparax ∈ [a, b].

f(x) é uma função densidade de probabilidades?

Exemplo 8. Seja X uma variável aleatória continua

f(x) = λe−λx parax ∈ (0,∞), λ > 0

f(x) é uma função densidade de probabilidades?

Exemplo 9. Seja X uma variável aleatória continua

f(x) =1

λe−

1λ x parax ∈ (0,∞), λ > 0

f(x) é uma função densidade de probabilidades?

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 9

Page 10: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Função de distribuição acumulada

Definição 6. Dada a variável aleatória X, chamaremos de função de distribuiçãoacumulada a função F (x) definida por:

F : R→ [0, 1]

x F (x) = P (X ≤ x)

Para uma variável aleatória discreta

F (x) = P (X ≤ x) =∑xi≤x

P (X ≤ xi).

Exemplo 10. Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidadesdada por

P (X = x) =3!

(3− x)!x!

(1

2

)x(1

2

)3−x

I0,1,2,3(x)

Determine e faça o gráfico de F (x).

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 10

Page 11: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Função de distribuição acumulada

Para uma variável aleatória continua

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞f(t) dt.

Exemplo 11. Seja X uma variável aleatória continua com função densidade deprobabilidades dada por

f(x) = e−x parax ∈ (0,∞).

Determine F (x).

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 11

Page 12: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Relação entre f(x) e F (x) para uma variável aleatória continua

Seja f(x) uma função densidade de probabilidades, isto é, uma função nãonegativa que integra 1. Qual é a relação entre F (x) e f(x)?

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞f(t) d t. (1)

Note da equação (1) que com base no teorema teorema fundamental do cálculointegral

f(x) =dF (x)

d x.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 12

Page 13: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Observação 2. Para uma variável aleatória continua

P (X = x) = 0 x ∈ R

P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b)

=

∫ b

a

f(x) d x = F (b)− F (a).

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 13

Page 14: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Esperança de uma variável aleatória

Definição 7. A esperança de uma variável aleatória discreta X, é definida por

E(X) =∑x∈Rx

xP (X = x).

Exemplo 12. Determine E(X) para a seguinte variável aleatória discreta

P (X = x) = px (1− p)1−x parax ∈ 0, 1.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 14

Page 15: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Esperança de uma variável aleatória

Definição 8. A esperança de uma variável aleatória continua X, é definida por

E(X) =

∫ +∞

−∞x f(x) d x.

Exemplo 13. Determine E(X) para a seguinte variável aleatória continua

f(x) =1

b− aparax ∈ [a, b],

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 15

Page 16: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Tarefa

Exemplo 14. Determine E(IA(x)), em que

IA(x) =

1, se x ∈ A;

0, se x /∈ A.

Exemplo 15. Determine E(X) para a seguinte variável aleatória continua

f(x) =1

λe−x/λ parax ∈ (0,∞).

Exemplo 16. Determine E(X) para a seguinte variável aleatória continua

f(x) = λe−λx parax ∈ (0,∞).

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 16

Page 17: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Propriedades da esperança

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, a, b ∈ R (constantes), então

1. E(a) = a.

2. E(aX ± bY ) = aE(X)± bE(Y ).

3. E(aX) = aE(X).

4. E(aX ± b) = aE(X)± b.

5. E[(X − a)2] = E(X2)− 2aE(X) + a2.

6. E(XY ) = E(X)E(Y ), se X e Y são variáveis aleatórias independentes.

Exemplo 17. Seja X uma variável aleatória discreta com

P (X = x) = px (1− p)1−x parax ∈ 0, 1.

Determine E(2X + 1).

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 17

Page 18: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Variância para uma variável aleatória

Definição 9. Seja X uma variável aleatória e µ = E(X). A variância de X é definidapor

V (X) = E(X − µ)2

= E(X2 − 2Xµ+ µ2)

= E(X2)− 2µE(X) + µ2, usando propriedades de esperança

= E(X2)− 2µµ+ µ2, µ = E(X)

= E(X2)− µ2, µ = E(X)

= E(X2)− E(X)2.

Geralmente usamos a seguinte definição de variância

V (X) = E(X2)− E(X)2.

Note que V (X) = E(X − µ)2 ≥ 0.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 18

Page 19: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Variância para uma variável aleatória

Definição 10. A variância para uma variável aleatória discreta é dada por

V (X) =∑x∈Rx

x2 P (X = x)−[ ∑x∈Rx

xP (X = x)

]2.

Exemplo 18. Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias. Com base na seguinte tabelacalcule V (X1) e V (X2) e faça alguns comentários.

x 1 2 3 4 5

P (X1 = x1) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

P (X2 = x2) 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 19

Page 20: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Variância para uma variável aleatória

Definição 11. A variância para uma variável aleatória continua é dada por

V (X) =

∫x∈Rx

x2 f(x) d x−[∫

x∈Rxx f(x) d x

]2.

Exemplo 19. Determine V (X), com base em

f(x) = 1 parax ∈ [0, 1].

Tarefa

Exemplo 20. Determine V (X), com base em

f(x) =1

b− aparax ∈ [a, b].

Exemplo 21. Determine V (X), com base em

f(x) = λ e−λx parax ∈ (0,∞) λ > 0.

http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 20

Page 21: Cristian Villegas clobos@usp · Variável aleatória discreta Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores da variável aleatória assumem valores

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas

Propriedades da variância

Sejam X e Y variáveis aleatórias, a e b constantes, então

1. V (aX + b)

2. V (a) = 0

3. V (aX) = a2V (X)

4. V (−X) = V (X)

5. V (X ± Y ) = V (X)± V (Y ), se X e Y são variáveis aleatórias independentes.

Tarefa

Exemplo 22. Seja X uma variável aleatória discreta com

P (X = x) = px (1− p)1−x parax ∈ 0, 1.

Determine V (2X + 1).http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 21