Critérios de Paralelismo e

Perpendicularidade

Reta paralela a um plano

Se uma reta r é paralela a outra reta contida num plano , então a reta r é paralela ao plano .

Reta paralela a um plano

r

sr // s e r

Então

s //

Paralelismos entre planos

r

s

Se um plano é paralelo a duas retas concorrentes de um plano , então e são paralelos.

Paralelismos entre planos

r

s

Se um plano é paralelo a duas retas concorrentes de um plano , então e são paralelos.

r e s são retas concorrentes do plano

r,s // , logo //

Planos paralelos a um terceiro

Dois planos distintos paralelos a um terceiro, logo os planos são paralelos entre si.

Planos paralelos a um terceiro

e são planos distintos

// e //

logo //

Perpendicularidade entre reta e plano

r

s

t

Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano então a reta é perpendicular ao plano

• s e t são retas concorrentes do plano .

• r s e r t

Então r

Perpendicularidade entre planos

rA

BC

DE• r ABC

• r AED

ABC AED

Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano então os planos são perpendiculares entre si.

Perpendicularidade entre planos

• t

• t

Intersecção de um plano com outros dois planos paralelos

entre si

s

r

Um plano corta planos paralelos segundo retas paralelas.

//

intersecta e segundo retas paralelas

r // s

ExercícioA figura junta representa um paralelepípedo retângulo. M e N são os pontos médios

dos segmentos [ AE ] e [ BF ], respetivamente.a) Determina todos os retângulos de vértices nos vértices do paralelepípedo, que não sejam faces do mesmo.b) Indica três arestas perpendiculares duas a duas.c) Indica três arestas não complanares duas a duas.Que posição relativa tem cada dessas arestas em relação às outras duas.d) Justifica que FG é ortogonal a EB.e) Mostra que MN é ortogonal ao plano ADE e ortogonal a BG.f) Mostra que os planos DHG e CBF são perpendiculares.Justifica que os planos EAB e HGC são paralelos.

H G

C

B A

E

D

F

M - -N

AS alíneas que se seguem referem-se ao cubo da figura.

a) Mostra que PS é ortogonal ao plano ao plano ORU

b) Mostra que QV é ortogonal a OR e RU. Investiga, em seguida, se QV e OU são ou não ortogonais.

Verdadeiro ou falso.

RS e PR são perpendiculares. O triângulo [ PRV ] é retângulo. As retas RT e SQ são secantes. As retas RT e SQ são ortogonais. Os planos OTV e UPR são paralelos.

Justifica as afirmações verdadeiras e corrige as falsas de modo a torná-las verdadeiras

O P

Q

UV

S T

R