Critérios de paralelismo Critérios de paralelismo e de perpendicularidadee de perpendicularidade

Certamente resolveste sem dificuldade os exercícios anteriores. No entanto se quisesses justificar algumas respostas já não seria assim tão fácil. Além disso, muitas vezes a própria figura não é muito clara para decidirmos qual a posição relativa.

Vamos estudar, então critérios que são condições suficientes para garantir certas posições relativas.

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Critério de paralelismo entre Critério de paralelismo entre rectas e planosrectas e planosComo construir uma recta paralela ao plano Como construir uma recta paralela ao plano ? ?

Traçamos uma recta qualquer no plano . Traçamos uma recta qualquer no plano .

Imaginamos outro plano distinto de que contenha a recta s.

Nesse plano, traçamos uma recta r paralela a s.

Então: r //

Assim, podemos enunciar o seguinte critério:seguinte critério:Se uma recta r não contida num plano , é paralela a uma recta s, Se uma recta r não contida num plano , é paralela a uma recta s, desse plano, então é paralela ao plano.desse plano, então é paralela ao plano.

r

s

Também é verdade que:Também é verdade que:Se uma recta r (não contida no plano beta) é paralela a esse Se uma recta r (não contida no plano beta) é paralela a esse plano, existe pelo menos uma recta, s, paralela a r.plano, existe pelo menos uma recta, s, paralela a r.

//// rentãosesrSe

Critério de paralelismo entre rectas e planosCritério de paralelismo entre rectas e planos

Exercício:Exercício:

A figura representa um paralelepípedo rectângulo.B

C

Justifica que a recta EF é paralela à face [ABCD].

Critério de paralelismo Critério de paralelismo entre planosentre planosComo construir um plano paralelo a um plano dado?

Traça-se uma recta paralela ao plano .

Há uma infinidade de planos que contêm r.

Mas, só um deles é paralelo a .É aquele que contém outra recta, s, também paralela a e concorrente com r.

Então: Então:

//

gamadelta

r s

//////

,,

entãoserescom

econcorrentérsrSe

Dois planos distintos e são paralelos se Dois planos distintos e são paralelos se num deles existem duas rectas concorrentes e num deles existem duas rectas concorrentes e paralelas ao outro plano.paralelas ao outro plano.

Critério de paralelismo entre planosCritério de paralelismo entre planos

É fácil verificar que:É fácil verificar que:

Se um plano é paralelo a outro, todas as rectas de um deles são paralelas ao outro.

A figura representa o tronco de uma pirâmide.As rectas AB e CD contidas no plano CAB são paralelas ao plano EFG. Podes concluir que os planos considerados são paralelos?

Exercício:Exercício:

Observa a figura

A recta r está contida no plano , é paralela ao plano e, no entanto os planosalfa e beta não são paralelos.

As rectas r e s são paralelas, estão contidas no plano , cada uma delas é paralela ao plano e, no entanto, os planos alfa e beta não são paralelos.

As rectas AB e BC são concorrentes em B, estão contidas no plano e são paralelas ao plano . Os planos são paralelos.

e

Critério de Critério de perpendicularidade perpendicularidade entre recta e plano.entre recta e plano.

r

s

tesets ,

tSe uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então é perpendicular ao plano.

são concorrentes.

rentãosretrSePara que uma recta seja perpendicular a um plano basta que seja perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano que passem pelo seu pé (ponto onde a recta encontra um plano chama-se pé da recta).

Critério de Critério de perpendicularidade perpendicularidade entre recta e planoentre recta e plano..

A recta AC é perpendicular à recta CD do plano BCD e, no entanto, não é perpendicular ao plano, pois teria que ser perpendicular a duas rectas concorrentes e não a uma só.

Podemos afirmar que a recta AB é perpendicular ao plano BCD porque é perpendicular a duas rectas concorrentes do plano: BE e BC.

Exemplo:Exemplo:

Critério de Critério de perpendicularidade perpendicularidade entre planos.entre planos.

Se um plano contém uma recta perpendicular a outro plano, então os dois planos são perpendiculares.

entãorerSe

Reparem que estes dois planos dividem o espaço em 4 regiões. A cada uma chama-se DIEDRO.

DIEDRO é cada uma das quatro regiões em que fica dividido o espaço quando dois planos se intersectam.  

Se os quatro diedros forem iguais , os planos dizem-se PERPENDICULARES.

Caso contrário, os planos são OBLÍQUOS.

Justifica as afirmações:

a)A recta AB é paralela ao plano CDE da base.

b)A recta BC é perpendicular aos planos das bases.

c)O plano BCD é perpendicular ao plano CDE.

d) O plano ABC é paralelo ao plano EFG.

Na figura está representado um prisma hexagonal recto e regular.

Os planos são perpendiculares ao plano ,, e

GEOMETRIA GEOMETRIA EUCLIDIANA EUCLIDIANA

… …

Vamos ver como se constrói uma geometria Vamos ver como se constrói uma geometria dedutiva.dedutiva.

Tudo se passa como se se tratasse de um jogo.

Num jogo qualquer, precisamos dos materiais com que vamos jogar e precisamos também de conhecer as regras do jogo. Com estas informações, o jogador pode desenvolver as suas jogadas.

Na geometria “joga-se” com pontos, rectas, planos, … (os chamados termos primitivos).

As “regras do jogo” são as proposições aceites sem demonstrações (os chamados axiomas).

O “jogo” desenvolve-se partindo de conceitos e proposições já conhecidas e construindo novos conceitos (triângulos, circunferências,…) e novas propriedades (teoremas), usando as regras da lógica.