UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Mestrado Prossional em Matemática Aplicada e Computacional

PM007 - Modelos e Métodos Matemáticos

CURVAS PLANAS, ENVOLTÓRIA E TRAJETÓRIAS

ORTOGONAIS

EMERSON DUTRA

JHONE DE SOUZA PEREIRA

ODAIR JOSÉ TEIXEIRA DA FONSECA

CAMPINAS - SP

2015

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Mestrado Prossional em Matemática Aplicada e Computacional

PM007 - Modelos e Métodos Matemáticos

CURVAS PLANAS, ENVOLTÓRIA E TRAJETÓRIAS

ORTOGONAIS

Trabalho apresentado como atividade parcial

da disciplina PM007 - Modelos e Métodos

Matemáticos, do Mestrado Prossional em

Matemática Aplicada e Computacional, na

Universidade Estadual de Campinas. Sob

orientação do Prof. Dr. Ricardo Miranda

Martins

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Sumário

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1.1 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Famílias de Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Envoltória de uma família de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Trajetórias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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Lista de Figuras

1.1 Família de Parábolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Família de Parábolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Envoltórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Trajetórias Ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Trajetórias Ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Trajetória Ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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Introdução

1.1 Equações Exatas

Denição 1.1. Uma forma diferencial ω : Ω → (R2)∗ é exata se existir f : Ω → R tal

que ω = df .

Considere as equações diferenciais da forma

N(x, y)y′ +M(x, y) = 0 (1.1)

Onde M,N : Ω → R são funções denidas em um aberto conexo Ω do plano (x, y).

Suponhamos que M e N são funções de classe C1 e N(x, y) 6= 0, ∀ (x, y) ∈ Ω, a equação

(1.1) se reduz ao tipo y′ = f(x, y), que já conhecemos como resultado a existência e

unicidade de solução do problema de valor inicial.

Dizemos que (1.1) é uma equação exata se o campo vetorial (M,N) deriva de um

potencial V (x, y), ou seja, Vx = M e Vy = N . Disto, (1.1) pode ser escrito da seguinte

forma

Vy(x, y)y′ + Vx(x, y) = 0 (1.2)

Note que se y(x) for uma solução de (1.1), a partir de (1.2), obtemos:

d

dxV (x, y(x)) = 0,

E assim, temos que y(x) é solução da equação algébrica

V (x, y(x)) = c, (1.3)

onde c é uma constante, que pode ser obtida a partir de um ponto (x0, y0) por onde a

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solução y(x) passe. Ou seja, c = V (x0, y0). Isso signica que os grácos de soluções de

(1.1) traçados no plano (x, y) estão contidos nas curvas de nível da função V (x, y).

1.2 Famílias de Curvas Planas

As soluções y das equações exatas

N(x, y)y′ +M(x, y) = 0 (1.4)

obtidas implicitamente, são da forma

V (x, y(x)) = c, (1.5)

onde c é uma constante arbitrária. Para cada c obtemos uma curva no plano (x, y).

Particularmente, as soluções de yy′ + x = 0 são dadas por

x2 + y2 = c,

note que, para cada c > 0 temos um círculo centrado na origem de raio√c. Ainda mais,

para o mesmo valor de c podemos ter mais de uma solução y(x) dada por (1.5). Essa

expressão dene um família de curvas a um parâmetro . Em geral, uma família de curvas

a um parâmetro é denida por

f(x, y, λ) = 0 (1.6)

onde f : Ω× Λ→ R é uma função diferenciável, Ω é um aberto do plano (x, y) e Λ é um

intervalo da reta.

Agora, surge a questão: dada uma família de curvas (1.6) a um parâmetro, existe uma

equação diferencial para a qual essa família represente suas soluções?

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1. Família de parábolas:

f(x, y, λ) = y − 2λx2 − λ = 0 (1.7)

onde x, y, λ ∈ R. Derivando implicitamente temos5

y′ − 4λx = 0 (1.8)

da equação acima segue que λ =y′

4x. Agora, substituindo em (1.7) obtemos

(2x2 + 1)y′ − 4xy = 0

cujas soluções são dadas por (1.7).

Figura 1.1: Família de Parábolas

Exemplo 2. Famílias de círculos de raio 1 centrados no eixo-x

f(x, y, λ) = (x− λ)2 + y2 − 1 = 0. (1.9)

Derivando implicitamente, obtemos

2(x− λ) + 2yy′ = 0. (1.10)

Da expressão acima segue que λ = yy′ + x, substituindo em (1.9) obtemos

y2(1 + y′2)− 1 = 0 (1.11)

Cujas soluções soluções são dadas por (1.9). Note que existem soluções que não estão

incorporadas em (1.9), a saber, y(x) = 1 e y(x) = −1. Neste caso dizemos que (1.9) são

chamadas soluções regulares e y(x) = 1 e y(x) = −1 são chamadas soluções singulares.

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Figura 1.2: Família de Círculos de Raio 1

1.3 Envoltória de uma família de curvas

Seja a família de curvas Cλ dada por (1.6) suponhamos que, para cada λ a curva corres-

pondente tem tangente, o que quer dizer que o vetor normal

(fx(x, y, λ), fy(x, y, λ)) 6= 0 (1.12)

para todos (x, y, λ) tais que f(x, y, λ) = 0. Dene-se uma envoltória da família (1.6) como

sendo uma curva em coordenadas paramétricas (x(λ), y(λ)) tal que

f(x(λ), y(λ), λ) = 0 (1.13)

x(λ)fx(x(λ), y(λ), λ) + y(λ)fy(x(λ), y(λ), λ) = 0 (1.14)

onde x = dx/dλ. A condição (1.13) diz que para cada λ, o ponto (x(t), y(t)) pertence à

curva Cλ da família (1.6). A condição (1.14) diz que naquele ponto a envoltória e a curva

Cλ têm a mesma reta tangente. A condição a seguir garante a existência de envoltória da

família (1.6).

fxfλy − fyfλx 6= 0. (1.15)

De fato, considere o sistema

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f(x, y, λ) = 0

fλ(x, y, λ) = 0(1.16)

A condição (1.15) juntamente com o Teorema das Funções Implícitas garante que existe

uma solução (x(λ), y(λ)) do sistema (1.16). Assim, tais x(λ) e y(λ) satisfazem (1.13) que

derivando em relação a λ obtemos

x(λ)fx(x(λ), y(λ), λ) + y(λ)fy(x(λ), y(λ), λ) + fλ(x(λ), y(λ), λ) = 0 (1.17)

De (1.16) temos que o último termo em (1.17) é zero e portanto (1.17) implica (1.14), e

portanto, (x(λ), y(λ)) é, de fato, uma envoltória da família Cλ.

Exemplo 3. A família do exemplo 2

f(x, y, λ) = (x− λ)2 + y2 − 1 = 0

fλ(x, y, λ) = −2(x− λ) = 0(1.18)

Eliminando λ no sistema acima obtemos y2 = 1, e portanto, y(x) = 1 e y(x) = −1 são

duas envoltórias.

Figura 1.3: Família de Círculos e suas envoltórias

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1.4 Trajetórias Ortogonais

Duas curvas dadas por y = φ(x) e y = ψ(x) que se interseccionam no ponto (x0, y0) são

ortogonais se suas retas tangentes naquele ponto são perpendiculares, isto é,

φ′(x0)ψ′(x0) = −1, (1.19)

onde supomos que ψ′ e φ′ não se anulam. Se as curvas são dadas em coordenadas

paramétricas, isto é, α(t) = (α1(t), α2(t)) e β(t) = (β1(t), β2(t)) são curvas, então (1.19)

toma a forma

α′1(t0)β′1(t0) + α′2(t0)β

′2(t0) = 0.

Duas famílias de curvas

f(x, y, λ) = 0 e g(x, y, µ) = 0

são mutuamente ortogonais se cada λ-curva é ortogonal a toda µ-curva que ela inter-

secciona. Dada uma família de curvas

f(x, y, λ) = 0 (1.20)

um modo de obter um outra família a ela ortogonal é o seguinte. Pelos métodos anteriores,

obtenha inicialmente a equação diferencial para a qual essas curvas são funções:

F (x, y, y′) = 0 (1.21)

a seguir dena a função

G(x, y, p) = F

(x, y,−1

p

)(1.22)

e obtenha as soluções da equação diferencial:

G(x, y, y′) = 0. (1.23)

Essas soluções constituem uma família de curvas

G(x, y, µ) = 0. (1.24)

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que é ortogonal à família f. De fato, se y = φ(x) é uma µ-curva então

F

(x, φ(x),− 1

φ′(x)

)= 0

o que quer dizer que se y = ψ(x) é a λ-curva que passa pelo ponto (x, φ(x)), então

ψ′(x) = − 1

φ′(x)

ou seja (1.19) está satisfeita.

Exemplo 4. Considere a família de círculos

x2 + y2 − λ2 = 0. (1.25)

A equação diferencial cujas soluções são dadas por (1.25) é

yy′ + x = 0

Para obter a família ortogonal a (1.25) considere a equação

−y 1

y′+ x = 0

cujas soluções são y = µx. Portanto, as retas através da origem formam uma família

ortogonal à família de círculos (1.25).

Figura 1.4: Família Ortogonal à Família de Círculos

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Exemplo 5. Considere a família de parábolas

y − 2λx2 − λ = 0. (1.26)

A equação diferencial correspondente é

(2x2 + 1)y′ − 4xy = 0.

Para obter a família ortogonal a (1.26) considere a equação

−(2x2 + 1)1

y′− 4xy = 0,

cujas soluções são

2y2 − x2 − ln|x| = µ.

Essa é a família ortogonal a (1.26).

Figura 1.5: Família Ortogonal à Família de Parábolas

Exemplo 6. Potencial gerado por dois os Para determinar as linhas de força do campo

gerado por dois os se utiliza o fato que as linhas de força e as linhas equipotenciais são

ortogonais. O problema é achar a família ortogonal a:

(x− λ)2 + y2 = λ2 − 1. (1.27)

Derivando implicitamente obtemos;

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2(x− λ) + 2yy′ = 0

de onde segue que

λ = yy′ + x

substituindo em (1.27), obtemos

y′ =y2 − x2 + 1

2xy

Para obter a família ortogonal a (1.27) considere a equação

− 1

y′=y2 − x2 + 1

2xy⇔ y′ =

2xy

x2 − y2 − 1

Resolvendo a equação diferencial

y′ =2xy

x2 − y2 − 1

obtemos a solução.

x2 + (y + γ)2 = 1 + γ2 ; y 6= 0

Essa é a família ortogonal a (1.27).

Figura 1.6: Famílias de Curvas

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Referências Bibliográcas

[1] FIGUEIREDO, Djairo, G. NEVES, Aloisio, F. Equações Diferenciais Aplicadas. 2

ed. Rio de Janeiro, IMPA, 2005.

[2] BOYCE, Willian, E. DIPRIMA, Richard, C. Equações Diferenciais Elementares e

Problemas de Valores de Contorno. 9 ed. Rio Janeiro, LTC, 2010.

[3] DOERING, Claus, I. LOPES, Artur, O. Equações Diferenciais Ordinárias. 5 ed. Rio

Janeiro, IMPA, 2014.

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