Curso 4 —Modelação Matemática — aprendizagem com a … · forma que pode ser descrita por um...

Jos Carlos BalsaRaquel Farate

Curso 4 Modelaco

Matemtica

aprendizagem com a CASIO

CG-20

4 e 1 1 de Fev er e i r o

Esc. Sec. Francisco de Holanda

O ensino de todos estes temas O ensino de todos estes temas O ensino de todos estes temas O ensino de todos estes temas tem de ser suportado em tem de ser suportado em tem de ser suportado em tem de ser suportado em actividades propostas a cada actividades propostas a cada actividades propostas a cada actividades propostas a cada estudante e a grupos de estudante e a grupos de estudante e a grupos de estudante e a grupos de estudantes que contemplem a estudantes que contemplem a estudantes que contemplem a estudantes que contemplem a modelamodelamodelamodelao matemo matemo matemo matemtica, o tica, o tica, o tica, o trabalho experimental e o estudo trabalho experimental e o estudo trabalho experimental e o estudo trabalho experimental e o estudo de situade situade situade situaes realistas sobre as es realistas sobre as es realistas sobre as es realistas sobre as quais se coloquem questes quais se coloquem questes quais se coloquem questes quais se coloquem questes significativas e se fomente a significativas e se fomente a significativas e se fomente a significativas e se fomente a resoluresoluresoluresoluo de problemas no o de problemas no o de problemas no o de problemas no rotineiros. rotineiros. rotineiros. rotineiros.

Pgina 3

Temas transversais:Temas transversais:Temas transversais:Temas transversais:

Pgina 7 - Viso geral dos temas e contedos

A anA anA anA anlise de situalise de situalise de situalise de situaes da vida real es da vida real es da vida real es da vida real e a identificae a identificae a identificae a identificao de modelos o de modelos o de modelos o de modelos matemmatemmatemmatemticos que permitam a sua ticos que permitam a sua ticos que permitam a sua ticos que permitam a sua interpretainterpretainterpretainterpretao e resoluo e resoluo e resoluo e resoluo, o, o, o, constituem uma oportunidade de constituem uma oportunidade de constituem uma oportunidade de constituem uma oportunidade de abordar o mabordar o mabordar o mabordar o mtodo cienttodo cienttodo cienttodo cientfico. Em fico. Em fico. Em fico. Em todos os temas do programa de todos os temas do programa de todos os temas do programa de todos os temas do programa de matemmatemmatemmatemtica (Geometria, Funtica (Geometria, Funtica (Geometria, Funtica (Geometria, Funes es es es e Estate Estate Estate Estatstica) se podem encontrar stica) se podem encontrar stica) se podem encontrar stica) se podem encontrar ferramentas fundamentais de ferramentas fundamentais de ferramentas fundamentais de ferramentas fundamentais de modelamodelamodelamodelao. o. o. o.

Pgina 12 Capacidade de usar a Matemtica

muito importante desenvolver a muito importante desenvolver a muito importante desenvolver a muito importante desenvolver a capacidade de lidar com elementos capacidade de lidar com elementos capacidade de lidar com elementos capacidade de lidar com elementos de que apenas uma parte se pode de que apenas uma parte se pode de que apenas uma parte se pode de que apenas uma parte se pode determinar de forma exacta; determinar de forma exacta; determinar de forma exacta; determinar de forma exacta; importante ir sempre chamando a importante ir sempre chamando a importante ir sempre chamando a importante ir sempre chamando a atenatenatenateno dos estudantes para a o dos estudantes para a o dos estudantes para a o dos estudantes para a confrontaconfrontaconfrontaconfrontao dos resultados obtidos o dos resultados obtidos o dos resultados obtidos o dos resultados obtidos com os conhecimentos tecom os conhecimentos tecom os conhecimentos tecom os conhecimentos tericos; sem ricos; sem ricos; sem ricos; sem estes aspectos no se pode estes aspectos no se pode estes aspectos no se pode estes aspectos no se pode desenvolver a capacidade de resolver desenvolver a capacidade de resolver desenvolver a capacidade de resolver desenvolver a capacidade de resolver problemas de aplicaproblemas de aplicaproblemas de aplicaproblemas de aplicaes da es da es da es da matemmatemmatemmatemtica e a capacidade de tica e a capacidade de tica e a capacidade de tica e a capacidade de analisar modelos matemanalisar modelos matemanalisar modelos matemanalisar modelos matemticos. ticos. ticos. ticos.

Pgina 17 Uso da Calculadora Grfica

Caractersticas:- Principais menus semelhantes aos dos modelos anteriores;- Ecr a cores e com maior resoluo;- Novidade: possibilidade de modelao de fotografias.

Primeiros passos

Comandos principais

Esta calculadora, tal como noutros modelos de calculadoras grficas CASIO, existem trs teclas fundamentais: SETUP: permite alterar as definies de cada um dos menus da mquina. Este comando acedido pressionando [SHIFT] [MENU]. OPTN: a utilizao desta tecla faz surgir os principais comando de cada menu, veremos adiante o que isto significa especificamente no caso do menu destinado modelao matemtica. VARS: permite aceder s variveis dos outros menus.

PicturePlot o menu da modelao

PicturePlot o menu da modelaoPodemos usar a funo Plot para executar as seguintes operaes:Registar e desenhar a representao grfica de uma funo do tipo Y=f(x) e represent-la sobre uma fotografia. Encontrara a regresso baseada nas coordenadas dos pontos marcados e desenhar a regresso que melhor se ajuste aos pontos. Construir grficos Posio-Tempo.

Tecla OPTN

Permite abrir

ou guardar

um ficheiro.

Desenha/marc

a pontos no

ecr.

Mostra a lista

das coordenadas

dos pontos

marcados.

Desenha no ecr a

representao

grfica das

regresses.

Permite alterar

os parmetros

de uma funo.

Divide o ecr ao

meio e desenha

representaes

grficas P-T.

Permite determinar a regresso

que melhor se ajusta ao

conjunto de pontos desenhado.

Permite alterar a

localizao dos

pontos

desenhados.

Apaga os objectos

desenhados no ecr.

Permite arrastar

os objectos

seleccionados.

Menu SETUP

Permite obter a representao do grfico Posio-Tempo.

Permite obter a representao grfica sobre a fotografia.

Permite escolher a cor dos pontos marcados.

Permite escolher o estilo do ponto.

Permite especificar a cor da linha da representao grfica.

Menu SETUP

Permite escolher o tipo da linha da representao grfica.

Define a unidade do ngulo apresentado.

Define o modo de retorno de operaes com nmeros complexos.

Permite visualizar as coordenadas dos pontos na representao grfica de uma funo (TRACE)

Define uma imagem com pontos de guia (grelha)

Menu SETUP

Permite a visualizao dos eixos coordenados

Permite a visualizao da designao dos eixos coordenados.

Permite visualizar o resultado de uma operao fixando o nmero de casas decimais, notao cientfica, converso em notao cientfica ou em notao de engenharia.

Actividade 1- Uma ponte sobre guas geladas

Estruturas como o Arco de St. Louis, em Chicago ou outras pontes apresentam uma forma que pode ser descrita por um modelo matemtico.

Nesta actividade, determinaremos modelos de duas partes da ponte e reveremos alguns conceitos teis sobre funes.

Abra a galeria de fotos e escolha a fotografia intitulada Footbr~1.g3p. Repare que os eixos foram automaticamente colocados sobre o fundo e ser este o referencial que utilizaremos.

Questo 1Descreva a forma da ponte. Em que partes da ponte se concentraria para descrever a forma? D exemplos de diferentes funes matemticas que poderiam ser utilizadas para modelar a forma da ponte.

Proposta de ResoluoA ponte tem a forma de um arco, baseado na parte onde andamos e tambm no corrimo. O modelo poder ser uma parbola, uma curva seno ou um polinmio de grau elevado.





Questo 2Vamos usar a parte de baixo da ponte e model-la como uma funo seno. Por enquanto assumiremos que a parte de baixo passa pela origem do referencial e a funo no tem deslocamentos verticais nem horizontais. Desenhe um ponto na parte mais alta da ponte de escreva as suas coordenadas.

Proposta de Resoluo





Questo 3Recorrendo s potencialidades grficas da sua calculadora, e depois de colocar diversos pontos na parte de baixo da ponte, escreva a equao de uma funo sinusoidal que modele a forma da ponte. Determine tambm o coeficiente de correlao do modelo.

Proposta de Resoluo





Questo 4Esboce o grfico do modelo que obteve em 3.

Proposta de Resoluo





Questo 5Atravs do mesmo conjunto de pontos, defina uma regresso quadrtica e o coeficiente de correlao desse modelo.Questo 6Esboce o grfico do modelo que obteve em 5.

Proposta de Resoluo





Questo 7Comparando os coeficientes de correlao explica qual te parece ser o modelo que melhor se ajusta a esta situao.

Embora sejam ambos muito bons modelos para a situao descrita (visto que ambos os coeficientes esto muito prximos de 1), neste caso particular (com os pontos escolhidos) o modelo quadrtico melhor, visto que o coeficiente est mais prximo.

Proposta de Resoluo

Actividade 2 Investigao: rea de Figuras Semelhantes

Como varia a rea de um crculo quando o seu raio aumenta para o dobro? Ser que a rea dobra tambm? A atividade seguinte serve para descobrir isso mesmo.

Questo 1Encontre as coordenadas dos extremos do raio para cada um dos relgios e insira-os na tabela seguinte. Seguidamente, utilize a frmula da distncia para encontrar o comprimento de cada um dos raios.

Questo 2Para cada um dos crculos, encontre o seu permetro.

Questo 3Divida o raio do relgio Vermelho pelo raio do relgio Azul escuro. Divida o permetro do relgio Vermelho pelo permetro do relgio Azul escuro. Que nota?



Questo 4Divida o raio do relgio Dourado pelo raio do relgio Laranja. Divida o permetro do relgio Dourado pelo permetro do relgio Laranja. Que nota?

Questo 5O que notou ser verdade para outro(s) par(es) de relgio(s)?

Questo 6Escreva uma conjetura sobre como varia o permetro em funo do raio.

Questo 7Para cada um dos crculos, encontre a sua rea.



Questo 8Divida o raio do relgio Verde pelo raio do relgio Vermelho. Divida a rea do relgio Verde pela rea do relgio Vermelho. Que nota?

Questo 9Divida o raio do relgio Verde pelo raio do relgio Dourado. Divida a rea do relgio Verde pela rea do relgio Dourado. Que nota?

Questo 10O que notou ser verdade para outro(s) par(es) de relgio(s)?

Questo 11Escreva uma conjetura sobre como varia a rea em funo do raio.

Atividade 3 - Peixe voador

Esta atividade representa o salta de um peixe entre dois aqurios relativamente prximos um do outro.

Antes de iniciar a actividade, no menu principal, seleccione o menu Pitcure Plot e pressione EXE. No sub-menu FILE abra a pasta intitulada CASIO e de seguida a pasta g3b.

Abra a galeria de fotos e escolha a fotografia intitulada Jumpin~1.g3b. Repare que os eixos foram automaticamente colocados sobre o fundo e ser este o referencial que utilizaremos.

Questo 1Escreva algumas questes que gostaria de responder com esta actividade.

Questo 2Desenhe na imagem alguns pontos e obtenha a lista das coordenadas dos pontos.Nota: Desenhe os pontos sobre a boca do peixe.

Questo 3Que pontos representam os zeros da parbola criada pelo desenho?


Questo 4De acordo com os dados, qual a altura mxima atingida pelo peixe?

Questo 5O que representa o primeiro ponto marcado?

Questo 6Use os dados obtidos para obter a equao quadrtica que melhor se ajusta aos pontos. Qual a equao?

Questo7Quais so os zeros da equao quadrtica? Reflicta sobre os resultados obtidos. O valor da abcissa faz sentido no contexto do problema apresentado? Explique.

Questo 8Quais deveriam ser as coordenadas do primeiro ponto? Porque?


Questo 9Se o segundo aqurio estivesse colocado 20 cm abaixo, a que distncia ficaria do primeiro aqurio?

Questo 10Se quisesse treinar o peixe de modo a saltar atravs de arcos colocados a 9 cm acima dos aqurios, a que distncia do eixo dos yy deveriam ser colocados?

Questo 11Seria o peixe capaz de saltar sobre uma barra colocada a 15 cm de altura? Qual a altura mxima que o peixe consegue atingir?

Questo 12Gostaria de colocar o segundo aqurio a 1 m de distncia do primeiro. Quantos centmetros abaixo do eixo dos xx deveria coloc-lo de modo a que o peixe, ao saltar, entre dentro deste aqurio?


Questo 13O peixe aparenta ter 6 cm de comprimento. O recorde mundial de salto de aproximadamente 2,44 m e pertence a Javier Sotomayor de Cuba; ele mede 1,96 m. Relativamente altura de cada um, quem salta mais alto? Explique a sua resposta.

Questo 14Quem tem o maior salto em comprimento, o peixe ou Mike Powell, que mede 1,85 m e salta 8,95 m?

Atividade 4 Deita-os abaixo!

Alguma vez jogou bowling? Se sim, sabe que os pinos so arrumados no fim da pista na forma de um tringulo. Existe uma distncia mdia de 30.5 cm entre o centro de um pino e outro. Ento, quanto espao ocupado pelos pinos at ao final da pista? Talvez, conhecer um pouco mais sobre isto, ajude da prxima vez que jogar bowling.

Nesta actividade, determinaremos as linhas formadas pelos pinos numa pista de bowling. Determinaremos tambm quanto espao os pinos ocupam e como poderemos represent-los na calculadora. Finalmente, determinaremos a rea ocupada pelos pinos at ao fim da pista.

Antes de iniciar a actividade, no menu principal, seleccione o menu Pitcure Plot e pressione EXE. No sub-menu FILE abra a pasta intitulada CASIO e de seguida a pasta g3p.

Abra a galeria de fotos e escolha a fotografia intitulada Bowlin~1.g3p. Repare que os eixos foram automaticamente colocados sobre o fundo e ser este o referencial que utilizaremos.


Questo 1Desenha pontos nos pinos #1 e #7. Quais so as coordenadas?

Questo 2Qual a equao da recta que passa pelos dois pinos?


Questo 4Qual a equao da recta que passa pelos dois pinos?


Questo 6Qual a equao da recta que contm os dois pinos?


Questo 7Escreva cada equao como uma inequao, que representar a rea do tringulo formado pelos pinos.

ExtensoQuesto 1Ser a linha que passa pelos pinos #1, #2, #4 e #7 paralela linha que contm os pinos #3, #5, e #8, assim como linha que contm os pinos #6 e #9? Explique e prove a sua resposta, acompanhando-a com ecrs obtidos na sua calculadora.

Questo 2 Ser a linha que contm os pinos #1 e #7 perpendicular linha que contm os pinos #7 e #10? Explique e prove a sua resposta, acompanhando-a com ecrs obtidos na sua calculadora.

Questo 3Qual a rea do tringulo formado quando todos os pinos esto em p?

Atividade 5 Um jogo matemtico

No conhecido jogo Angry Birds o objetivo , com um certo nmero de pssaros destruir as construes de modo a derrubar os porcos verdes. O que os seus jogadores mais fanticos desconhecem que o ponto em que o pssaro acerta nas construes determinado utilizando modelao matemtica.

Questo 1O pssaro que acabou de desaparecer voou aparentemente em linha reta. Encontre a equao do seu voo e confirme esta hiptese.

Questo 2Caso o voo no tivesse terminado, por no encontrar a barreira, onde estaria 2 unidades mais direita?

Atividade 5 Um jogo matemtico

Questo 3O pssaro amarelo (em voo) traou uma curva que se assemelha a uma funo quadrtica. Encontre a expresso analtica que a define.

Questo 4Sabendo que ambos os pssaros partem do mesmo ponto, quo distante est este ponto de partida do maior porco?

Questo 5Defina a expresso de uma funo que, partindo do ponto de origem determinado em 4, v de encontro ao embrulho vermelho de fita amarela.

Atividade 6 Como so feitas as lmpadas?

Ser que a modelao pode ser utilizada para descobrir como so formados os objetos do nosso quotidiano? O exemplo que se segue mostra como determinar uma funo que desenha uma lmpada.

1 - Marque pontos ao longo do limite de cima da lmpada (tantos quanto possvel). Quais os valores para que varia x? E y?

2 - Justifique uma funo de grau 2 no pode servir para modelar a o desenho da lmpada

3 - Encontre a funo cbica que passa pelos pontos definidos em 1. Escreva a expresso analtica que a define.

4 - Justifique porque, para definir o limite de baixo da lmpada, no necessrio repetir o processo anterior.

Depois de inserida a imagem, tente colocar o eixo Ox a meio da lmpada.

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