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Aula 00

Raciocnio Lgico-Quantitativo e Matemtica p/ AFRFB - 2016 (com videoaulas)

Professor: Felipe Lessa

05949764803 - NECILDA LOURENCO PAULA

Raciocnio Lgico-Quantitativo e Matemtica p/ AFRFB 2016 Teoria e exerccios comentados

Prof. Felipe Lessa Aula 0

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AULA 0:

5. Matrizes.

SUMRIO Cronograma ..................................................................................... 3 I. Matrizes ....................................................................................... 6 II. Mais Questes Comentadas... ...................................................... 19 III. Lista das Questes Apresentadas ................................................ 23

Ol Concurseiro! Seja muito bem vindo ao nosso Curso! Embarcar neste desafio de estudar para a Receita Federal no para qualquer um; para os fortes! E meus parabns por voc ter dado este primeiro passo. Este ano de 2015, como voc deve estar acompanhando na mdia, est sendo um ano de austeridade, com o Governo querendo arrecadar mais para equilibrar suas contas. No se desanime com o corte dos concursos anunciado pelo Governo. Ele TEMPORRIO. O cargo pblico, esse sim, para sempre! Aproveite essa poca para estudar e solidificar os conhecimentos. Quando sair a autorizao da Receita, voc estar anos-luz frente dos seus concorrentes.

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O concurso da Receita Federal , sem dvida, um dos mais aguardados entre os concurseiros! E, para voc mandar bem nesse concurso, FUNDAMENTAL se preparar com antecedncia. Assim, voc sai na frente dos seus concorrentes e no pego de surpresa quando sair o edital! Este Curso est atualizado com todas as provas aplicadas pela ESAF em 2014: AFRFB 2014, MTUR 2014 e ATA 2014 e PROVA DO MPOG/APO 2015 ********************************************************** Falando um pouquinho de mim e da minha histria, me chamo Felipe Lessa, sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado no concurso de 2009. Sou engenheiro de telecomunicaes formado pelo IME (Instituto Militar de Engenharia) na turma de 2004. Sou um desses apaixonados pela arte dos nmeros e espero poder passar um pouco desse gosto para vocs. Afinal, dominar bem o Raciocnio Lgico pr-requisito para ir bem em qualquer matria. Lembro-me bem que, em 2010, no curso de formao para os aprovados na RFB, o instrutor perguntou quem era engenheiro e pude notar que mais de 60% dos aprovados levantaram a mo. Por que os engenheiros se do bem em concursos pblicos? Porque so formados para pensar logicamente! Quantas e quantas vezes eu acertei questes de Direito sem saber do que ela se tratava mas apenas usando conceitos de raciocnio lgico. isso que eu espero passar para voc nesse curso, caro aluno!

Minha experincia em concursos pblicos comeou bem cedo: aos 14 anos. O Colgio Militar do RJ, pela primeira vez em sua histria, resolveu abrir concurso para o Ensino Mdio e ofereceu apenas 20 vagas... Quando comecei a estudar, meu foco passou a ser unicamente este. E sempre que as pessoas me perguntavam quantas vagas tinham, eu respondia: Dezenove, pois uma j minha!. Dito e feito! Fiz as quatro provas do Colgio Militar e saiu o resultado: 1 LUGAR GERAL!!!!! A essa hora, voc deve estar pensando: Ih... Cara metido... Precisava encher a boca pra dizer que foi 01 do Concurso? S quer saber de contar vantagem. Mas no, caro amigo! Estou dizendo isso porque a partir de agora seu pensamento tem que ser este. Estude como se uma das n vagas j fosse

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sua e a cada um que perguntar quantas vagas tem para a RFB, responda: (n 1), porque uma j minha! Por fim, quero dizer mais uma vez que um imenso prazer poder fazer parte desta seleta equipe do Estratgia Concursos e que me empenharei ao mximo para tentar fazer parecer fcil essa matria da qual muitos fogem e tm medo: Raciocnio Lgico-Quantitativo e Matemtica. * * * Voltando aos estudos, uma estratgia que utilizei e recomendo para aqueles que no tm muito tempo para frequentar aulas, como eu no tinha, pois trabalhava e fazia mestrado, : fujam das aulas presenciais. Muitas vezes, o que um professor leva 3 horas explicando para uma turma de 80 alunos, voc aprende em 30-40 minutos de estudo bem concentrado. Ah, mas claro: sempre bom ter um professor com quem voc pode tirar suas dvidas. Desta forma, voc leva ao professor somente a sua dvida e ganha tempo! No nosso curso, ainda temos os vdeos para ajudar! Para preparar este curso de RACIOCNIO LGICO-QUANTITATIVO E MATEMTICA P/ AFRFB 2015, tomei por base o EDITAL ESAF N 18, DE 07 DE MARO DE 2014. Nosso curso apresentar, de um modo bem interativo, a teoria que cerca a matria, muitos exerccios resolvidos da ESAF e Vdeo-Aulas que complementam o material escrito. Quando eu achar pertinente, trarei exerccios de outras bancas. * * * * * * * Por fim, quero deixar um recado: fiquem tranquilos! No tenham medo da Lgica! Absorvendo os conceitos que trarei neste Curso, voc vai ver que ela pode ser sua melhor amiga em qualquer disciplina de qualquer concurso.

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Cronograma O cronograma do curso est baseado nos itens do prprio Edital de 2014, mais ou menos na ordem em que aparecem, abrangendo todo o contedo cobrado nele. Faremos assim:

AULA CONTEDO DATA

Aula 0 5. Matrizes. 17/09/15

Aula 1 1. Estruturas Lgicas Associao Lgica /

Verdades e Mentiras 17/09/15

Aula 2 1. Estruturas Lgicas Lgica de Proposies 17/09/15

Aula 3 1. Estruturas Lgicas Equivalncia Lgica 26/09/15

Aula 4 2. Lgica de Argumentao 03/10/15

Aula 5 2. Lgica de Argumentao (Exerccios Extras) 10/10/15

Aula 6 3. Diagramas Lgicos 17/10/15

Aula 7

11. Compreenso e elaborao da lgica das

situaes por meio de: raciocnio sequencial;

orientao espacial e temporal; formao de

conceitos; discriminao de elementos

24/10/15

Aula 8

6. lgebra. 11. Raciocnio Matemtico parte I:

Numerao; Nmeros Naturais: mltiplos,

divisores, divisibilidade e restos; MDC e MMC

31/10/15

Aula 9

6. lgebra. 11. Raciocnio Matemtico parte II:

Nmeros Fracionrios; Operaes com Fraes;

Dzimas Peridicas; Porcentagem

07/11/15

Aula 10

6. lgebra. 11. Raciocnio Matemtico parte III:

Aplicaes e Operaes com Inequaes;

Sequencias e Sries; Progresso Aritmtica;

Progresso Geomtrica

14/11/15

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Aula 11

6. lgebra. 11. Raciocnio Matemtico parte

IV: Logaritmos; Radiciao e Potenciao;

Fatorao Algbrica

21/11/15

Aula 12

6. lgebra. 11. Raciocnio Matemtico parte V:

Sistemas de Unidade; Razes e Propores;

Escalas; Diviso Proporcional; Regra de Trs

Simples ou Composta

28/11/15

Aula 13

6. lgebra. 11. Raciocnio Matemtico parte

VI: Teoria dos Conjuntos; Relaes e Funes de

primeiro e segundo grau

05/12/15

Aula 14 7. Combinaes, Arranjos e Permutao 12/12/15

Aula 15

7. Combinaes, Arranjos e Permutao

Exerccios de Anlise Combinatria com

Probabilidade

19/12/15

Aula 16 5. Matrizes, Determinantes e Soluo de

Sistemas Lineares. 26/12/15

Aula 17 4. Trigonometria. 02/01/16

Aula 18 9. Geometria Bsica 09/01/16

Aula 19 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros,

Desconto 16/01/16

Aula 20 10. Equivalncia de Capitais, Anuidades

23/01/16

Aula 21 10 Sistemas de Amortizao 30/01/16

Agora, chega de enrolao rsrsrs! Vamos a nossa Aula Demonstrativa?!?

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I. Matrizes

Uma matriz, grosso modo falando, uma tabela onde armazenamos nmeros. Ela pode ser representada por parntesis ou colchetes. Assim, seja a matriz A. Veja como ela pode ser representada: Como toda boa tabela, uma matriz possui linhas e colunas. Identifique-as: Outro conceito que devemos ter em mente sempre ao trabalharmos com matrizes o de ordem da matriz. A ordem de uma matriz nada mais do que o seu tamanho, representado pela quantidade de linhas e colunas. Podemos afirmar que a matriz A do nosso exemplo inicial de ordem 3x3 (trs por trs), porque possui 3 linhas e 3 colunas. Representamos assim: A3x3, onde o primeiro 3 representa as linhas e o segundo 3, as colunas. Dessa forma, podemos escrever uma matriz na forma geral Amxn, o que significa que ela tem m linhas e n colunas.

Notao Geral Assunto de interesse relevante para provas de concurso a identificao dos elementos da matriz. Representaremos por aij, o elemento da linha i e da coluna j da matriz. Assim, podemos escrever uma matriz mxn na sua forma genrica:

LINHAS

COLUNAS

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Uma coisa que a ESAF adora dar uma Lei de Formao para os elementos da matriz. Exemplo: Seja a matriz A2x2, onde aij = i+j.

Vamos praticar?

Questo 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013 Os elementos de uma matriz A3X2, isto , com trs linhas e duas colunas, so dados por: Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha i e coluna j. Ento, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2 igual a: a) 17 b) 15 c) 12 d) 19 e) 13

SOLUO: A questo quer saber a soma dos elementos da primeira coluna da matriz A, ou seja: a11 + a21 + a31 Pela lei de formao da matriz A: a11 = (1 + 1)2 = 4 a21 = 22+12 = 5 a31 = 32+12 = 10

Gabarito: Letra D * * * * * * * * * * *

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Tipos de Matrizes Passo a apresentar agora algumas matrizes diferentes antes de entramos nas operaes com matrizes propriamente ditas. Matriz Coluna: a matriz formada por uma nica coluna. Exemplo:

Matriz Linha: a matriz formada por uma nica linha. Exemplo: Matriz Quadrada: a matriz que tem nmero de linhas igual ao nmero de colunas. Exemplo: Na matriz quadrada, podemos identificar dois conceitos novos: a diagonal principal e a diagonal secundria. Os elementos que compem a diagonal principal no exemplo abaixo so: 2, 3, 1, 4. J a diagonal secundria composta pelos elementos: 0, 1, 8, 2. Observe: Matriz Diagonal: a matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal so iguais a zero. Exemplo:

DIAGONAL PRINCIPAL

DIAGONAL SECUNDRIA

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Matriz Triangular: a matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so iguais a zero. Exemplo:

Matriz Identidade: a matriz onde os elementos da diagonal principal so iguais a um e os demais iguais a zero. A matriz identidade tem vrias propriedades interessantes. Aguarde e vers... Exemplo: Matriz Transposta: a matriz transposta At de uma matriz A uma nova matriz onde suas linhas so as colunas de A. Simples assim! Exemplo: Matriz Simtrica: diz-se que uma matriz simtrica quando ela igual a sua transposta (A=At ou aij=aji). Repare que os elementos das linhas e colunas de mesmo ndice so iguais; a linha 1 igual coluna 1, e assim por diante. Exemplo:

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Matriz Antissimtrica: diz-se que uma matriz antissimtrica quando a sua transposta coincide com sua oposta (-A=At ou aij=-aji). Repare que os elementos da diagonal principal so iguais a zero e os elementos das linhas e colunas de mesmo ndice so opostos; a linha 1 igual a menos a coluna 1, e assim por diante. Exemplo:

Questo 2: ESAF - AFRFB/2014 A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por ltimo, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimtrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 devero ser, respectivamente, iguais a: a) 4; -2; -2; -2. b) 4; -2; 2; -2. c) 4; 2; -2; -2. d) -4; -2; 2; -2. e) -4; -2; -2; -2.

SOLUO: Uma matriz antissimtrica aquela cuja transposta coincide com sua oposta, ou seja,

ou =- A matriz do enunciado :

Para que seja antissimtrica, precisamos ter: (4) Logo, =4 Nossa matriz fica:

Gabarito: Letra C

* * * * * * * * * * *

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Matriz Inversa: a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) aquela que, multiplicada por esta, resulta na matriz identidade. Assim:

AA-1 = I

Para achar a inversa de uma matriz 2x2, s: 1. trocar de lugar os elementos da diagonal principal; 2. multiplicar por -1 os elementos da diagonal secundria; 3. Dividir os elementos pelo determinante de A (detA).

Veremos mais adiante o conceito de determinante mas, por ora, saiba que o determinante de uma matriz 2x2 o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundria. Assim:

O clculo da inversa de matrizes de ordem superior a 2 extremamente complicado e eu nunca vi cair em concurso! Como este um curso voltado para o que cai em prova e no um doutorado em matemtica, vou pular essa parte, ok? suficiente para sua prova saber a inversa de uma matriz 2x2 Exemplo: Seja a Matriz A, calcule sua inversa: Ora, basta seguir a nossa frmula mgica:

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Operaes com Matrizes Adio/Subtrao de Matrizes: Para somar ou subtrair matrizes, basta fazer a operao elemento a elemento. Exemplo: Calcule o soma da matriz A com a matriz B. Questo de prova que envolve os conceitos de soma de matrizes...

Questo 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalizao/2004 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, ento o produto dos elementos x31 e x13 igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169

SOLUO: Sabemos que x31 = a31 + b31 Pela lei de formao da matriz A, a31=32=9 Pela lei de formao da matriz B, b31=(3 1)2 = 4 Ento, x31 = a31 + b31 = 9 + 4 = 13 Sabemos tambm que x13 = a13 + b13 Pela lei de formao da matriz A, a13=12=1 Pela lei de formao da matriz B, b13=(1 3)2 = 4 Ento, x13 = a13 + b13 = 1 + 4 = 5 x31 x13 = 135 = 65

Gabarito: Letra D * * * * * * * * * * *

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Multiplicao/Diviso de Matrizes por um nmero real: Para multiplicar ou dividir matrizes por um nmero real, basta fazer a operao elemento a elemento. Exemplo: Calcule o valor de 3xA: Multiplicao de Matrizes: A multiplicao de duas matrizes A e B um pouquinho mais complicada, mas nada impossvel! Cada elemento (cij) da matriz C resultado do produto formado pela multiplicao ordenada de cada elemento da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B. - Poxa vida, Professor! No entendi nada! - Eu sei, caro Aluno! meio enrolado mesmo! Mas vamos fazer um exemplo para clarear as ideias... Exemplo: Calcule o produto da matriz A pela matriz B. Seja a matriz C o resultado do produto AB. Cada elemento cij ser assim formado:

c11 = a11b11 + a12b21 c11 = 1x0 + 2x3 = 6

c12 = a11b12 + a12b22 c12 = 1x1 + 2x1 = 3

c21 = a21b11 + a22b21

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C21 = 3x0 + 4x3 = 12

c22 = a21b12 + a22b22 C22 = 3x1 + 4x1 = 7 Logo, a nossa matriz C = AB fica assim: Entendido at aqui???? Nada melhor do que uma questo da ESAF para treinarmos um pouco!

Questo 4: ESAF -Tcnico MPU Administrativa/2004 Sejam as matrizes e seja xij o elemento genrico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto , a matriz X a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razo entre x31 e x12 igual a a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 1/3 e) 1

SOLUO: A primeira coisa a ser feita o produto AB:

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Nosso prximo passo encontrar X, a transposta de AB:

Gabarito: Letra A * * * * * * * * * * *

Para multiplicar matrizes, existe uma observao importante. Este produto s ser possvel quando o nmero de colunas da primeira

matriz for igual ao nmero de linhas da segunda matriz. Exemplo: Sejam as matrizes A3x7 e B7x6. Verifique se o produto A B possvel. Se sim, qual a ordem da matriz A B? Essa muito fcil: Basta verificar se o nmero de colunas de A igual ao nmero de linhas de B.

A3x7 B7x6 Como ambos so iguais a 7, o produto possvel sim! Para determinar a ordem da matriz resultado, tem um macete! Ela ter o mesmo nmero de linhas de A e o mesmo nmero de colunas de B

A3x7 B7x6 Assim, a ordem da matriz resultado do produto A B ser 3x6.

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Questo 5: ESAF - TFC/1997 Se A, B e C so matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), ento a expresso [A(BC)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12

SOLUO: Questo fcil, tpica de ordem de produto de matrizes! Vamos por partes, o produto BC tem ordem:

B3x4 C4x2 Assim, a ordem da matriz resultado do produto B C ser 3x2. Agora, o produto A(BC) tem ordem:

A2x3 BC3x2 Assim, a ordem da matriz resultado do produto A(BC) ser 2x2. Agora, o produto [A(BC)]2 = [A(BC)] [A(BC)] tem ordem:

A(BC)2x2 A(BC)2x2 Assim, a ordem da matriz resultado do produto [A(BC)]2 ser 2x2.

Gabarito: Letra A * * * * * * * * * * *

Propriedades da Multiplicao de Matrizes: 1. Associativa: (AB)C = A(BC) 2. Distributiva: A(B+C) = AB + AC / (A + B)C = AC + BC 3. Elemento Neutro: AI = IA = A, onde I a matriz identidade. 4. (A.B)t = BtAt 5. AA-1 = I 6. (A.B)-1 = B-1A-1

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Vamos ver como essas propriedades foram cobradas pela ESAF?

Questo 6: ESAF - AFTN/1998 Sejam as matrizes: E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y dada por Y = (AB) + C, ento o valor de x : a) -7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2

SOLUO: A primeira coisa que devemos fazer o produto AB. Se voc reparar bem, antes de cair dentro das contas, perceba que a matriz A a matriz identidade, ou seja, o produto dela por qualquer outra igual a esta ltima. Assim, AB = B. Logo, Y = B + C:

Nosso prximo passo calcular a transposta de Y (Yt). O que era linha vira coluna!

A soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y :

1 + ( 1) = 0

Gabarito: Letra C * * * * * * * * * * *

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Questo 7: ESAF - AFRE MG/2005 A, B e C so matrizes quadradas de mesma ordem, no singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C igual ao produto AZB, onde Z tambm uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, igual a: a) A-1 B C b) A C-1 B-1 c) A-1 C B-1 d) A B C-1 e) C-1 B-1 A-1

SOLUO: Na multiplicao de matrizes, no vale a propriedade comutativa, ou seja, a ordem em que so multiplicadas importa. Sabemos que C = A Z B. Temos que isolar a matriz Z. Para tanto, nessas questes, procuramos multiplicar sempre pela matriz inversa de outras matrizes. Voc ver o porqu. Vamos multiplicar direita, em ambos os lados da igualdade, por B-1.

C B-1 = A Z B B-1 Ora, sabemos que o produto B B-1 igual matriz identidade:

C B-1 = A Z I

Como a matriz identidade o elemento neutro desta multiplicao de matrizes, podemos escrever:

C B-1 = A Z

Para isolar a matriz Z na igualdade, multiplicamos esquerda por A-1

A-1C B-1 = A-1A Z

Ora, sabemos que o produto A-1A igual matriz identidade:

A-1C B-1 = I Z = Z Logo, Z = A-1C B-1

Gabarito: Letra C * * * * * * * * * * *

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II. Mais Questes Comentadas...

Questo 8: ESAF - MPOG/2003 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 - j2e que bij = (i + j)2, ento a soma dos elementos x31 e x13 igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108

SOLUO: Sabemos que x31 = a31 + b31 Pela lei de formao da matriz A, a31 = 32 - 12 = 8 Pela lei de formao da matriz B, b31 = (3 + 1)2 = 16 Ento, x31 = a31 + b31 = 8 + 16 = 24 Sabemos tambm que x13 = a13 + b13 Pela lei de formao da matriz A, a13 = 12 - 32 = - 8 Pela lei de formao da matriz B, b13 = (1 + 3)2 = 16 Ento, x13 = a13 + b13 = -8 + 16 = 8 x31 + x13 = 24 + 8 = 32

Gabarito: Letra C * * * * * * * * * * *

Questo 9: ESAF Tcnico/MPU/Administrativa/2004 A matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = ij, ento a razo entre os elementos s22 e s12 da matriz S igual a: a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6

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SOLUO: Sabemos que s22 = a22 + b22 Pela lei de formao da matriz A, a22 = 22 + 22 = 8 Pela lei de formao da matriz B, b22 =22 = 4 Ento, s22 = a22 + b22 = 8 + 4 = 12 Sabemos tambm que s12 = a12 + b12 Pela lei de formao da matriz A, a12 = 12 + 22 = 5 Pela lei de formao da matriz B, b12 =12 = 1 Ento, s12 = a12 + b12 = 5 + 1 = 6

Gabarito: Letra D * * * * * * * * * * *

Questo 10: ESAF - AFC (CGU)/2001 A matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = 2ij, ento: a soma dos elementos s31 e s13 igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32

SOLUO: Sabemos que s31 = a31 + b31 Pela lei de formao da matriz A, a31=32+12=10 Pela lei de formao da matriz B, b31 =231 = 6 Ento, s31 = a31 + b31 = 10 + 6 = 16 Sabemos tambm que s13 = a13 + b13 Pela lei de formao da matriz A, a13=12+32=10 Pela lei de formao da matriz B, b13=213 = 6 Ento, s13 = a13 + b13 = 10 + 6 = 16 s31+ s13 = 16 + 16 = 32

Gabarito: Letra E * * * * * * * * * * *

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Questo 11: ESAF - AFC (CGU)/2002 De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, ento a soma dos elementos da primeira linha da matriz S igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58

SOLUO: A questo quer saber a soma dos elementos da primeira linha da matriz S, ou seja: s11 + s12 + s13 Sabemos que s11 = a11 + b11 Pela lei de formao da matriz A, a11 = 12+12 = 2 Pela lei de formao da matriz B, b11 = (1 + 1)2 = 4 Ento, s11 = a11 + b11 = 2 + 4 = 6 Sabemos que s12 = a12 + b12 Pela lei de formao da matriz A, a12 = 12+22 = 5 Pela lei de formao da matriz B, b12 = (1 + 2)2 = 9 Ento, s12 = a12 + b12 = 5 + 9 = 14 Sabemos que s13 = a13 + b13 Pela lei de formao da matriz A, a13 = 12+32 = 10 Pela lei de formao da matriz B, b13 = (1 + 3)2 = 16 Ento, s13 = a13 + b13 = 10 + 16 = 26 s11 + s12 + s13 = 6 + 14 + 26 = 46

Gabarito: Letra D * * * * * * * * * * *

Questo 12: ESAF -TFC/1995

Dadas as matrizes , assinale os valores de a e b, de modo que AX = B. a) a=0 e b=1; b) a=1 e b=0; c) a=0 e b=0; d) a=1 e b=1; e) a=0 e b=-1;

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SOLUO: A primeira coisa a ser feita o produto AX. Perceba que A 2x2 e X 2x1. Logo, a ordem do produto AX ser 2x1 Igualando AX a B, temos: Se as matrizes so iguais, porque os elementos so iguais um a um. Logo, b = 1; a+2b=2; Substituindo o valor de b na equao acima, temos: a + 2x1 = 2 a = 0

Gabarito: Letra A * * * * * * * * * * *

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III. Lista das Questes Apresentadas

Questo 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013 (e mais 3 concursos) Os elementos de uma matriz A3X2, isto , com trs linhas e duas colunas, so dados por: Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha i e coluna j. Ento, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2 igual a: a) 17 b) 15 c) 12 d) 19 e) 13 Questo 2: ESAF - AFRFB/2014 A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por ltimo, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimtrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 devero ser, respectivamente, iguais a: a) 4; -2; -2; -2. b) 4; -2; 2; -2. c) 4; 2; -2; -2. d) -4; -2; 2; -2. e) -4; -2; -2; -2. Questo 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalizao/2004 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, ento o produto dos elementos x31 e x13 igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Questo 4: ESAF -Tcnico MPU Administrativa/2004 Sejam as matrizes

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e seja xij o elemento genrico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto , a matriz X a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razo entre x31 e x12 igual a a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 1/3 e) 1 Questo 5: ESAF - TFC/1997 Se A, B e C so matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), ento a expresso [A(BC)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12 Questo 6: ESAF - AFTN/1998 Sejam as matrizes: E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y dada por Y = (AB) + C, ento o valor de x : a) -7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2 Questo 7: ESAF - AFRE MG/2005 A, B e C so matrizes quadradas de mesma ordem, no singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C igual ao produto AZB, onde Z tambm uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, igual a: a) A-1 B C b) A C-1 B-1 c) A-1 C B-1 d) A B C-1 e) C-1 B-1 A-1

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Questo 8: ESAF - MPOG/2003 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 - j2e que bij = (i + j)2, ento a soma dos elementos x31 e x13 igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 Questo 9: ESAF Tcnico/MPU/Administrativa/2004 A matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = ij, ento a razo entre os elementos s22 e s12 da matriz S igual a: a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6

Questo 10: ESAF - AFC (CGU)/2001 A matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = 2ij, ento: a soma dos elementos s31 e s13 igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 Questo 11: ESAF - AFC (CGU)/2002 De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, ento a soma dos elementos da primeira linha da matriz S igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46

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e) 58 Questo 12: ESAF -TFC/1995

Dadas as matrizes , assinale os valores de a e b, de modo que AX = B. a) a=0 e b=1; b) a=1 e b=0; c) a=0 e b=0; d) a=1 e b=1; e) a=0 e b=-1;

isso a, Pessoal! Espero que tenham gostado de nossa Aula Demonstrativa! No se acostumem com a pouca quantidade de exerccios, rsrsrs. Hoje foi s um aperitivo!! Na Aula 16 de nosso Curso, veremos o Assunto Matrizes de modo completo, junto com Determinantes e Soluo de Sistemas Lineares. Bons Estudos! Contem comigo!

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