Curso de Física-Matemática USP.pdf

Universidade de Sao Paulo

Instituto de Fsica

Departamento de Fsica Matematica

2005

Curso de Fsica-Matematica

Joao Carlos Alves Barata

Versao de 29 de setembro de 2005

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http://denebola.if.usp.br/jbarata/Notas de aula

Prefacio 15

Notacao e Advertencias 17

Indice

I Captulos Introdutorios 20

1 Nocoes Basicas 21

1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.1 Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1.2 Relacoes de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.1.4 Infimos e Supremos de Famlias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.2 Estruturas Algebricas Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.2.1 Semi-grupos, Monoides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.2.3 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.2.4 Aneis, Algebras e Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.2.5 Mais sobre Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.2.6 Acoes e Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En-domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . 67

1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . 71

1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.5.1 Discussao Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relacoes . . . . . . . . . . 79

1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.5.6 Modulos e Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2

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1.6 Topicos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.6.2 Grupoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.6.3 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2 Espacos Vetoriais 94

2.1 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.1.1 Sub-Espacos e Espacos Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.1.2 Bases Algebricas de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.1.3 O Dual Algebrico de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espacos Vetoriais . . . . . . . 108

2.2.1 Formas Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski . . . 113

2.2.3 Produtos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.2.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.3 Normas em Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espacos de Dimensao Finita . . . . . . . . . . . 128

2.5 Estruturas Complexas sobre Espacos Vetoriais Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

II Topicos de Algebra Linear 141

3 Topicos de Algebra Linear I 142

3.1 Rudimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.2 Nocoes Basicas sobre o Espectro de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.2.1 O Traco de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.3 Polinomios de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.4 Matrizes Diagonalizaveis e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.4.1 Diagonalizacao Simultanea de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.5 Matrizes Auto-adjuntas, Normais e Unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.5.1 Matrizes Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.6 Matrizes Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

3.7 O Teorema de Decomposicao de Jordan e a Forma Canonica de Matrizes . . . . . . . . 191

3.7.1 Resultados Preparatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

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3.7.2 O Teorema da Decomposicao de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3.7.3 Matrizes Nilpotentes e sua Representacao Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.7.4 A Forma Canonica de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

3.8 Algumas Representacoes Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.8.1 A Decomposicao Polar de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.8.2 O Teorema da Triangularizacao de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3.8.3 A Decomposicao QR e a Decomposicao de Iwasawa (KAN) . . . . . . . . . . 212

3.9 Propriedades Especiais de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.9.1 Expansao do Polinomio Caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.9.2 A Desigualdade de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

3.10 Exerccios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

4 Topicos de Algebra Linear II 222

4.1 Uma Topologia Metrica em Mat (

, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.2 Exponenciais, Logaritmos e Funcoes Analticas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4.2.1 A Exponenciacao de Matrizes e os Grupos GL(

, n) e GL( , n) . . . . . . . . 236

4.3 A Formula de Lie-Trotter e a Formula do Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.4 Aplicacoes Lineares em Mat (

, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

4.5 A Formula de Baker, Campbell e Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

4.6 A Formula de Duhamel e Algumas de suas Consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . 254

III Equacoes Diferenciais 259

5 Equacoes Diferenciais Ordinarias. Uma Introducao 260

5.1 Definicao e Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

5.1.1 Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1.2 Equacoes Ordinarias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse . . . . . . . . . 267

5.2 Sistemas de Equacoes Diferenciais Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

5.3 Discussao sobre Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5.3.1 Problemas de Valor Inicial. Patologias e Exemplos a se Ter em Mente . . . . . . 276

5.3.2 Teoremas de Existencia e Unicidade de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

5.3.3 Solucoes Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

5.3.4 Dependencia Contnua de Condicoes Iniciais e de Parametros . . . . . . . . . . . 284

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6 Alguns Metodos de Resolucao de Equacoes Diferenciais Ordinarias 286

6.1 Solucao de Equacoes Ordinarias Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 286

6.2 As Equacoes de Bernoulli e de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.3 Integracao de Equacoes Separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

6.4 O Metodo de Variacao de Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6.5 O Metodo de Substituicao de Prufer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6.6 O Metodo de Inversao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.7 Solucao de Equacoes Exatas e o Metodo dos Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . 296

6.8 Solucoes das Equacoes de DAlembert-Lagrange e Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . 301

7 Sistemas de Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares 306

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

7.2 Unicidade e Existencia de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

7.2.1 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

7.2.2 Existencia. A Serie de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

7.2.3 Propriedades de D(s, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

7.3 Equacoes com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

7.3.1 Alguns Exemplos e Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

7.4 Teoria de Perturbacoes de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

7.5 Mais sobre a Serie de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . 330

7.6 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares no Plano Complexo . . . . . . . . . . . . . 333

7.6.1 O Caso Analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

7.6.2 Resolucao por Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

7.6.3 Sistemas com Pontos Singulares. Monodromia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

7.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

7.7 Sistemas Provenientes de EDOs de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

7.7.1 Pontos Singulares Simples em EDOs de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

7.7.2 Singularidades no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

7.7.3 Alguns Exemplos de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

7.8 Equacoes Fuchsianas. Smbolos de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

7.8.1 Equacoes Fuchsianas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

7.8.2 Equacoes Fuchsianas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

7.8.3 Smbolos de Riemann. Simetrias de Equacoes Fuchsianas de Segunda Ordem . . 382


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8 Solucoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares no Plano Complexo 394

8.1 Solucoes em Series de Potencias para Equacoes Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

8.1.1 A Equacao do Oscilador Harmonico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

8.1.2 A Equacao de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.1.3 A Equacao de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

8.1.4 A Equacao de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

8.1.5 A Equacao de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

8.1.6 O Caso de Equacoes Regulares Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

8.2 Solucao de Equacoes Singulares Regulares. O Metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . 411

8.2.1 Equacoes Singulares Regulares. O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

8.2.2 A Equacao de Euler Revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

8.2.3 A Equacao de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

8.2.4 Equacoes Relacionadas a` de Bessel. A Equacao de Bessel Esferica . . . . . . . . 438

8.2.5 A Equacao de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

8.2.6 A Equacao Hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

8.2.7 A Equacao Hipergeometrica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

8.3 Algumas Equacoes Associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

8.3.1 A Equacao de Legendre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

8.3.2 A Equacao de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

8.4 A Funcao Gama. Definicao e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

8.A Prova da Proposicao 8.1. Justificando os Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . 470

8.B Provando (8.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

8.C Justificando os Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

8.D Provando (8.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

8.E Porque deve ser um Inteiro Positivo na Equacao de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . 477


9 Propriedades de Algumas Funcoes Especiais 483

9.1 Discussao Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

9.1.1 Definicoes e Consideracoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

9.1.2 Relacoes de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

9.1.3 Formulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

9.1.4 Funcoes Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

9.2 Propriedades de Algumas Funcoes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

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9.2.1 Propriedades dos Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

9.2.2 Propriedades dos Polinomios de Legendre Associados. Harmonicos Esfericos . . 501

9.2.3 Propriedades dos Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

9.2.4 Propriedades dos Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

9.2.5 Propriedades dos Polinomios de Laguerre Associados . . . . . . . . . . . . . . . 519

9.2.6 Propriedades das Funcoes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

9.2.7 Propriedades das Funcoes de Bessel Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

9.A Provando (9.44) a` Forca Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541


10 Alguns Problemas Selecionados de Interesse Fsico 544

10.1 As Equacoes de Helmholtz e de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

10.1.1 Problemas em Duas Dimensoes em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . 546

10.1.2 Problemas em Tres Dimensoes em Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . 549

10.2 O Problema da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

10.2.1 Corda Vibrante Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

10.2.2 O Problema da Corda Homogenea Pendurada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

10.2.3 Corda Vibrante Nao-Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

10.3 O Problema da Membrana Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

10.4 O Oscilador Harmonico na Mecanica Quantica e a Equacao de Hermite . . . . . . . . . 567

10.5 O Atomo de Hidrogenio e a Equacao de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . 568

10.6 Propagacao de Ondas em Tanques Cilndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571


11 Rudimentos da Teoria das Equacoes Diferenciais Parciais 586

11.1 Definicao e Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

11.2 O Metodo de Separacao de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

11.3 Unicidade de Solucoes de Equacoes Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

11.3.1 Casos Simples. Discussao Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

11.3.2 Unicidade de Solucoes. Generalizacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

12 Introducao ao Problema de Sturm-Liouville 606

12.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

12.2 O Problema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

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12.2.1 Resolvendo o Problema de Sturm. A Funcao de Green . . . . . . . . . . . . . . 612

12.2.2 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

12.3 O Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

12.4 Propriedades Basicas dos Autovalores e das Autofuncoes de Problemas de Sturm-Liouville619

12.4.1 Realidade dos Autovalores. Ortogonalidade de Autofuncoes . . . . . . . . . . . . 619

12.4.2 A Simplicidade dos Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

12.4.3 Condicoes Suficientes para a Positividade dos Autovalores . . . . . . . . . . . . 623

12.5 A Equacao Integral de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

12.6 Uma Aplicacao do Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

12.7 O Metodo dos Determinantes de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

12.7.1 A Equacao Integral de Fredholm Linear Nao-Homogenea . . . . . . . . . . . . . 634

12.7.2 A Equacao Integral de Fredholm Linear Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . 638

12.8 Comentarios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

12.8.1 O Problema de Sturm-Liouville Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

12.A Prova do Teorema 12.1. Existencia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

12.B Prova da Proposicao 12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

12.C Comentario Sobre o Determinante Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

12.D Ausencia de Autovalores em um Problema Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

12.E Demonstracao do Teorema 12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

12.F Prova da Desigualdade (12.E.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

12.G Obtendo os Determinantes de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654


IV Grupos 665

13 Grupos. Alguns Exemplos 666

13.1 O Grupo de Permutacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

13.1.1 Ciclos, Transposicoes e Transposicoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

13.2 Alguns Grupos Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

13.2.1 Os Grupos GL(n) e SL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

13.2.2 O Grupo de Borel e o Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

13.2.3 Grupos Associados a Formas Bilineares e Sesquilineares . . . . . . . . . . . . . . 682

13.2.4 Os Grupos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

9/1304

13.2.5 Os Grupos Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

13.3 Os Grupos SO(2), SO(3), SU(2) e SL(

, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

13.3.1 Os Grupos SO(2), O(2), SO(1, 1) e O(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

13.3.2 O Grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

13.3.3 O Grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

13.3.4 A Relacao entre SO(3) e SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

13.3.5 O Grupo SL(

, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

13.4 Generalidades sobre os grupos SU(n) e SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

13.4.1 Os Grupos SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

13.4.2 O Grupo SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

13.4.3 Os Grupos SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

13.5 O Grupo Afim e o Grupo Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

13.6 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

13.6.1 O Espaco-Tempo, a Nocao de Intervalo e a Estrutura Causal . . . . . . . . . . . 720

13.6.2 A Invariancia do Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

13.6.3 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

13.6.4 Alguns Sub-Grupos do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

13.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734

13.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

13.7 O Grupo de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

13.8 SL(

, 2) e o Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

13.A Prova do Teorema 13.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

13.B Um Isomorfismo entre SL(

, 2)/{ , } e L+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

14 Grupos de Lie e Algebras de Lie. Uma Breve Introducao 772

14.1 Variedades e Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

14.2 Breves Consideracoes sobre Grupos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775

14.3 Grupos de Lie Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

14.3.1 Uma Topologia Metrica em GL(

, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

14.3.2 O Grupo de Lie GL(

, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779

14.3.3 Sub-Grupos Uniparametricos e seus Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

14.3.4 Sub-Grupos Uniparametricos e Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

14.3.5 Subgrupos Fechados de GL(

, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

14.4 A Relacao entre Grupos de Lie Matriciais e suas Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . 794

10/1304

14.4.1 Algebras de Lie Nilpotentes, Soluveis, Simples e Semi-Simples . . . . . . . . . . 795

14.4.2 Questoes sobre a Exponenciacao de Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 799

14.4.3 Alguns Exemplos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

15 Uma Breve Introducao a` Teoria das Representacoes de Grupos 808

15.1 Representacoes de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

15.2 Representacoes Irredutveis de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815

15.3 A Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819

15.4 Representacoes de Grupos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

15.5 O Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

V Topologia Geral, Teoria da Medida e Integracao 828

16 Espacos Metricos 829

16.1 Metricas e Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831

16.2 Topologia de Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845

16.3 Pseudo-Metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

16.4 Espacos de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850

16.4.1 Espacos de Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852

16.A Algumas Desigualdades Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

16.B Numeros reais e p-adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

16.C Aproximacoes para pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875

17 O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Consequencias 881

17.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882

17.1.1 Aplicacao a Equacoes Numericas. O Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . 884

17.1.2 Uma Generalizacao do Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . 888

17.2 As Equacoes Integrais de Fredholm e de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889

17.3 Aplicacoes a` Teoria das Equacoes Diferenciais Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

17.3.1 O Teorema de Picard-Lindelof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

17.3.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelof. Solucoes Globais . . . . . . . . . . 902

17.3.3 Um Teorema de Comparacao de Solucoes de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . 903

17.4 O Teorema da Funcao Implcita e o Teorema da Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . 907

17.4.1 O Teorema da Funcao Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907

11/1304

17.4.2 O Teorema da Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912

17.A O Lema de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913

18 Espacos Topologicos e Espacos Mensuraveis. Definicoes e Propriedades Basicas 914

18.1 Definicoes, Propriedades Elementares e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915

18.2 Algumas Construcoes Especiais e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920

18.2.1 Topologias e -algebras Geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920

18.2.2 Bases de Espacos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924

18.2.3 Topologias e -algebras Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

18.2.4 Topologias e -algebras Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932

18.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espacos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932

18.3.1 Fecho de Conjuntos em Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936

19 Medidas 938

19.1 O Problema da Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938

19.2 Medidas de Conjuntos. Definicao, Exemplos e Propriedades Basicas . . . . . . . . . . . 941

19.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory . . . . . . . . 945

20 A Medida de Lebesgue 954

20.1 A Construcao da Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

20.1.1 A -algebra de Borel em e a Medida de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . 957

20.1.2 A Medida Produto e a Medida de Lebesgue em n . . . . . . . . . . . . . . . . 960

20.2 Conjuntos de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961

20.3 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973

21 Convergencia, Pontos Limite e Pontos de Acumulacao em Espacos Topologicos 978

21.1 Primeiras Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978

21.2 Espacos Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980

21.3 O Limite do Infimo e o Limite do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981

21.4 Redes e o Caso de Espacos Topologicos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986

21.4.1 Redes em Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

22 Continuidade de Funcoes em Espacos Topologicos 990

22.1 Funcoes Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990

22.2 Outras Caracterizacoes do Conceito de Continuidade em Espacos Topologicos . . . . . . 993

12/1304

22.2.1 Continuidade e Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994

23 Elementos da Teoria da Integracao 997

23.1 Comentarios Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998

23.2 A Integracao no Sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000

23.2.1 A Integral de Riemann Impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009

23.2.2 Diferenciacao e Integracao em Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011

23.3 A Integracao no Sentido de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016

23.3.1 Funcoes Mensuraveis e Funcoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017

23.3.2 A Integral de Lebesgue. Integracao em Espacos Mensuraveis . . . . . . . . . . . 1023

23.3.3 A Integral de Lebesgue e sua Relacao com a de Riemann . . . . . . . . . . . . . 1032

23.3.4 Teoremas Basicos sobre Integracao e Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

23.3.5 Alguns Resultados de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038

23.4 Os Espacos Lp e Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040

23.4.1 As Desigualdades de Holder e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043

23.4.2 O Teorema de Riesz-Fischer. Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047

23.A Demonstracao da Proposicao 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048

23.B Caracterizacoes e Propriedades de Funcoes Mensuraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

23.C Prova do Lema 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055

23.D Demonstracao de (23.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056

23.E A Equivalencia das Definicoes (23.23) e (23.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057

23.F Prova do Teorema da Convergencia Monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059

23.G Prova do Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060

23.H Prova do Teorema da Convergencia Dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061

23.I Prova dos Teoremas 23.2 e 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062

23.J Prova das Desigualdades de Holder e Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065

23.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067

24 Alguns Topicos Especiais em Topologia e Analise 1070

24.1 Uma Coletanea de Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

24.2 A Nocao de Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076

24.3 A Topologia Produto de Espacos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077

24.4 O Teorema da Categoria de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079

24.5 Aproximacao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080

13/1304

24.5.1 Aproximacao de Funcoes Contnuas por Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 1080

VI Analise Funcional 1087

25 Nocoes Basicas Sobre Espacos de Hilbert 1088

25.1 Aspectos Topologicos Basicos de Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

25.2 Aspectos Geometricos Basicos de Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090

25.2.1 Bases Ortonormais Completas em Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1095

25.3 Funcionais Lineares e o Dual Topologico de um Espaco de Hilbert . . . . . . . . . . . . 1109

25.3.1 O Teorema da Representacao de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110

26 Operadores Lineares Limitados em Espacos de Banach e de Hilbert 1113

26.1 Operadores Lineares em Espacos Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115

26.1.1 Espacos de Banach de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119

26.1.2 O Dual Topologico de um Espaco de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123

26.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequencias do Mesmo . . . . . . . . 1127

26.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princpio de Limitacao Uniforme . . . . . . 1133

26.1.5 O Teorema da Aplicacao Aberta e o Teorema do Grafico Fechado . . . . . . . . 1134

26.2 Operadores Limitados em Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142

26.2.1 O Adjunto de um Operador em um Espaco de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1144

26.3 Algebras de Banach e Algebras C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152

26.3.1 Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152

26.3.2 A Inversa de Operadores Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155

26.3.3 O Espectro de Operadores em Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 1161

26.3.4 O Homomorfismo de Gelfand em Algebras C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171

26.3.5 Razes Quadradas de Operadores em Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . 1174

26.3.6 Elementos Positivos de Algebras C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175

26.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em espacos de Hilbert. A Decomposicao Polar . . . 1179

26.4 Um Pouco sobre Estados e Representacoes de Algebras C . . . . . . . . . . . . . . . . 1183

26.5 O Espectro de Operadores em Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193

26.6 Operadores Compactos em Espacos de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 1202

26.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos . . . . . . . . 1215

26.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espacos de Hilbert 1223

26.7.1 O Calculo Funcional Contnuo e o Homomorfismo de Gelfand . . . . . . . . . . 1223

14/1304

26.7.2 Generalizando o Calculo Funcional Contnuo. As Medidas Espectrais . . . . . . 1225

26.7.3 Medidas com Valores em Projecoes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235

26.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240

26.7.5 A Relevancia do Teorema Espectral para a Fsica Quantica (um pouco de Fsica,finalmente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244

26.A Prova do Teorema 26.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253

27 Nocoes de Estruturas Algebricas 1257

27.1 Algebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258

27.2 Acao de Uma Algebra Universal sobre uma Outra Algebra Universal (*) . . . . . . . . 1265

28 O Limite Indutivo de Algebras 1270

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Prefacio

intencao basica destas Notas e fornecer a estudantes de Fsica nocoes matematicas impor-tantes para uma melhor compreensao de desenvolvimentos modernos da Fsica Teorica e daMatematica.

De modo geral o texto e de leitura auto-suficiente, mas vez por outra algum estudo complementare sugerido. Estas Notas, porem, nao sao substituto a` leitura dos bons livros sobre os assuntos aquitratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exerccios!) o maior numero possvelde exemplos e contra-exemplos para as varias situacoes tratadas de modo a motivar melhor definicoese resultados, o que e menos comum em textos com tratamentos mais sistematicos. Parte do materialpode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliografia, mas a apresentacao e sua ordem saoproprias. Ha tambem nestas Notas demonstracoes do proprio autor de resultados conhecidos que sao,por alguma razao, dificilmente encontradas na literatura.

Fazemos notar que estas notas estao ainda sendo trabalhadas e alguns captulos e secoes podemvir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Alem disso, novos captulos serao escritos. Omaterial ja presente e, porem, util a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos.Versoes atualizadas serao colocadas na rede (no endereco acima indicado) sempre que possvel.

O autor agradece a todos os que apresentarem sugestoes. Fabulosas somas em dinheiro sao ofere-cidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os ja aquinhoados encontram-se os Srs.Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C.Patrao, Cleber de Mico Muramoto, Katiuscia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes Franca Junior, Gus-tavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Daniel AugustoTurolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti Jose de Andrade, Pedro TavaresPaes Lopes, Diego Cortegoso Assencio, Fleury Jose de Oliveira Filho, Paulo Henrique Reimberg, FabolaDiacenco Xavier e Marcio Andre Prieto Aparcio Lopez aos quais somos muito gratos por correcoes esugestoes.

As Secoes 13.B, pagina 764, e 17.3.1, pagina 897, foram originalmente escritas por Daniel AugustoCortez. A Secao 10.6, pagina 571, foi originalmente escrita por Andre M. Timpanaro, Fleury J. Oliveirae Paulo H. Reimberg. A eles dedicamos agradecimentos especiais.

Joao Carlos Alves Barata Sao Paulo, 29 de setembro de 2005.

Departamento de Fsica Matematica do IFUSP

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O comportamento de um fsico em relacao a` Matematica e similar a de um ladrao inteligente emrelacao ao codigo penal: ele estuda apenas o suficiente para evitar punicoes.

I. M. Gelfand (1913-).

A mente nao e um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa.Plutarco (46?-120).

Talvez eu nao tenha tido exito em fazer as coisas difceis tornarem-se faceis, mas pelo menos eu nuncafiz um assunto facil tornar-se difcil.

F. G. Tricomi (1897-1978).

In science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collectiveself-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mindthat nourish science.

Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976.

Nao existe nenhuma categoria da Ciencia a` qual se possa dar o nome de Ciencia Aplicada. O queexiste sao a Ciencia e as aplicacoes da Ciencia, intimamente ligadas, como frutos a` arvore que osgerou.

Louis Pasteur (1822-1895), in Pourquoi la France na pas trouve dhommes superieurs au moment duperil, Revue Scientifique (Paris, 1871).

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Notacao e Advertencias

Para facilitar a consulta e a leitura, listamos aqui sem muitos comentarios um pouco da notacaoque empregaremos nestas Notas.

Se z e um numero complexo denotaremos seu complexo conjugado por z. A notacao z (maiscomum em textos de Fsica) pode ocorrer mais raramente.

O smbolo A := B ou B =: A denota que A e definido pela expressao B. O smbolo A B indicaque A e B sao duas notacoes distintas para o mesmo objeto.

Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sao vetores reais com n componentes (ou seja, elementosde n) entao definimos

x, y := x1y1 + + xnyn .Trata-se do produto escalar usual em n.

Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sao vetores complexos com n componentes (ou seja,elementos de

n) entao definimos

x, y := x1y1 + + xnyn .

Trata-se do produto escalar usual em

n.

Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sao vetores complexos com n componentes (ou seja,elementos de

n) entao definimos

x, y := x1y1 + + xnyn .

Trata-se de uma forma bilinear em

n.

Mat( , n) ou Mat(n, ) designa o conjunto de todas as matrizes reais n n. Mat( , n) ouMat(n,

) designa o conjunto de todas as matrizes complexas n n. Se A e um elemento de Mat( , n) ou de Mat(

, n), entao AT designa a matriz transposta deA, ou seja, a matriz cujos elementos de matriz ij sao

(AT)ij

= Aji.

Se A e um operador linear em um espaco vetorial complexo (com um certo produto escalar),seu adjunto e denotado por A. Em textos de Fsica e mais comum denota-lo por A, mas naousaremos isso aqui.

Assim, se A Mat( , n), entao A sera a adjunta de A (em relacao ao produto escalar usual,acima). O elemento de matriz ij de A sera (A)ij = Aji.

Denotaremos o operador identidade agindo em um espaco vetorial (a matriz identidade, agindoem um espaco vetorial de dimensao finita) pelo smbolo . Esse smbolo tambem representara aunidade de uma algebra.

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Designaremos um produto escalar entre dois vetores u e v sempre por u, v e nunca por (u, v),para nao causar confusao com a notacao para par ordenado. Outra notacao possvel e aquelaempregada frequentemente em textos de Mecanica Quantica: u | v, mas faremos raramente usodessa notacao.

Ainda sobre produtos escalares, seguiremos sempre a convencao dos textos de Fsica: um produtoescalar em um espaco vetorial sobre os complexos e linear em relacao ao segundo argumento eantilinear em relacao ao primeiro. Assim, se e sao numeros complexos, teremos u, v =u, v. Textos de Matematica adotam por vezes a convencao oposta (ou mesmo ambas!).

Sobre o emprego das palavras funcao, aplicacao, mapeamento, mapa, funcional, operador, operacao,produto e forma, que por vezes causam perplexidade em estudantes, remetemos ao comentario a`pagina 23.

Dado um conjunto X 6= , denota-se por (X) a colecao de todos os sub-conjuntos de X. (X)e denominado o conjunto das partes de X.

A topologia usual da reta real sera denotada aqui por .

A -algebra de Borel de sera (quase sempre) denotada aqui por M[ ].

A -algebra dos sub-conjuntos de mensuraveis por Lebesgue sera (quase sempre) denotadaaqui por ML.

Para x , o smbolo bxc designa o maior inteiro menor ou igual a x. O smbolo dxe designa omenor inteiro maior ou igual a x.

Ha ainda nestas Notas um problema nao totalmente sanado quando ao conjunto dos numerosnaturais . Em algumas secoes adotou-se 0 , ou seja, = {0, 1, 2, 3, . . .} em outras,adotou-se 0 6 , ou seja, = {1, 2, 3, . . .}. Esperamos que isso seja definitivamente corrigidofuturamente. Por ora, pedimos atencao ao leitor.

O smbolo 2 indica o fim de um enunciado. O smbolo indica o fim de uma demonstracao. Osmbolo 6 indica o fim do enunciado de um exerccio. O smbolo indica o fim do enunciado deum exemplo.

B(X) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espaco de Banach X. B(H)designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espaco de Hilbert H.

C(L) designa o conjunto de todas as funcoes contnuas (reais ou complexas, dependendo do caso),definidas em L (na topologia que se estiver considerando em L).

B(L) designa a colecao de todos os conjuntos Borelianos de L (em relacao a` topologia que seestiver considerando em L). Bl(L) designa a colecao de todas as funcoes Borelianas (reais oucomplexas, dependendo do caso), definidas em L.

O domnio de um operador T (agindo em um espaco de Banach ou de Hilbert) sera denotadopor D(T ) ou por Dom(T ). A imagem (range) de T sera denotada por R(T ) ou por Ran (T )ou, mais raramente, por Im (T ), mas essa ultima notacao pode causar confusao com a da parte

19/1304

imaginaria de um numero complexo ou mesmo com a da parte imaginaria de um operador agindoem um espaco de Hilbert: Im (T ) := 1

2i(T T ).

As nocoes de propriedade valida quase em toda parte e de propriedade generica sao definidas naspaginas 960 e 1072, respectivamente.

IntervalosAinda nao introduzimos os numeros reais nem a relacao de ordem entre eles mas, como essas nocoes

sao conhecidas, vamos colocar aqui uma palavra sobre a nomenclatura usada para descrever intervalosda reta real. Para a < b o conjunto

(a, b) = {x , com a < x < b}

e dito ser um intervalo aberto. Para a b o conjunto

[a, b] = {x , com a x b}

e dito ser um intervalo fechado. Para a < b os conjuntos

[a, b) = {x , com a x < b}

e(a, b] = {x , com a < x b}

sao ditos ser intervalos semi-abertos (ou semi-fechados).

E importante dizer que a nomenclatura aberto ou fechado acima e usada independentementeda topologia usada em (a nocao de topologia sera introduzida adiante).

Parte I

Captulos Introdutorios

20

Captulo 1

Nocoes BasicasConteudo

1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.1 Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1.2 Relacoes de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.1.4 Infimos e Supremos de Famlias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.2 Estruturas Algebricas Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.2.1 Semi-grupos, Monoides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.2.3 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.2.4 Aneis, Algebras e Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.2.5 Mais sobre Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.2.6 Acoes e Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En-domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de umGrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . 71

1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . 73

1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.5.1 Discussao Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relacoes . . . . . . . . 79

1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.5.6 Modulos e Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.6 Topicos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.6.2 Grupoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.6.3 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

21

JCABarata. Curso de Fsica-Matematica Versao de 29 de setembro de 2005. Captulo 1 22/1304

ste captulo introdutorio pretende (re)apresentar ao leitor uma serie de nocoes matematicasbasicas abrangendo rudimentos da teoria dos conjuntos e algumas estruturas algebricas. Oobjetivo nao e um tratamento extensivo dos diversos assuntos, ja que varios deles serao desen-volvidos em captulos futuros. Trata-se quase de um guia de consulta onde sao apresentadas,

junto com exemplos simples, varias nocoes e definicoes basicas que utilizaremos. O estudante deveretornar a este captulo sempre que necessario.

1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes

Partiremos do pressuposto de serem familiares as nocoes basicas envolvendo conjuntos, como a nocaode pertinencia x C, de uniao de dois conjuntos A B e de intersecao de dois conjuntos A B.

Para A, B X denotamos por A \B a chamada diferenca entre os conjuntos A e B, a saberA \B := {x X tal que x A mas x 6 B}. (1.1)

Por vezes usa-se a notacao AB para A \B. Para A X denota-se por Ac o chamado complementode A em relacao a X: Ac := X \A. Note-se que ao usar-se o smbolo Ac deve estar subentendido qualo conjunto X ao qual o complemento se refere. E facil ver que se A, B X entao A \B = Bc A.

Dizemos que um conjunto B A e um subconjunto proprio de A se A \B 6= , ou seja, se houverelementos em A que nao estao em B.

Se A e B sao conjuntos e A B = entao A B e dita ser uma uniao disjunta de A e B.Se X e um conjunto denota-se por

(X) a colecao de todos os subconjuntos de X.

(X) e porvezes chamado de conjunto das partes de X. Por convencao adota-se sempre que (X). Assim,dizer que A X equivale a dizer A (X).

Por A4B denota-se a chamada diferenca simetrica entre A e B:A4B := (A B) \ (A B). (1.2)

E. 1.1 Exerccio. Mostre que A4B = B4A e que (A4B)4C = A4(B4C). 6

Pares OrdenadosUm conceito basico importante em Matematica e o de par ordenado. O conceito de par ordenado

(a, b) formado por dois elementos genericos a, b X e intuitivo. A intuicao e que entende-se como parordenado uma lista de dois elementos sendo que um deles assume a posicao de primeiro elementoda lista (no caso, a) e o outro a de segundo (no caso, b). Formalmente define-se (a, b) como sendoo conjunto {a, {b}}. Esta definicao formal corresponde a` intuicao pois, no conjunto C = {a, {b}}, hauma distincao entre o papel de a e de b, dado que a e um elemento do conjunto C, enquanto que be um elemento de um subconjunto de C, a saber do conjunto C \ {a}. Apesar de existir a definicaoformal acima, recomenda-se ao estudante fiar-se inicialmente na intuicao por tras do conceito.


Dados dois conjuntos A e B definimos por A B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b)sendo a A e b B. O conjunto A B e chamado de produto Cartesiano1 de A e B. Note que, emgeral, A B 6= B A. Por que?

Mais adiante apresentaremos uma generalizacao da nocao de produto Cartesiano de conjuntos.

1.1.1 Relacoes e Funcoes

RelacoesSejam A e B conjuntos e seja o produto Cartesiano A B. Um subconjunto de A B e dito ser

uma relacao binaria, ou simplesmente relacao entre A e B.

Exemplo. Seja A o conjunto de homens vivos e B o conjunto de mulheres vivas e seja R A Bo conjunto R := {(a, b), a e irmao de b}. R representa uma relacao (de irmandade) entre homens emulheres.

Outros exemplos virao abaixo.

Dada uma relacao G AB entre conjuntos A e B ha duas nocoes importantes associadas: a dedomnio da relacao e a de imagem da relacao. Define-se por domnio de G o conjunto

Dom(G) := {a A tal que (a, b) G para algum b B}. (1.3)

Define-se por imagem de G o conjunto

Im(G) := {b B tal que (a, b) G para algum a A}. (1.4)

Note-se que Dom(G) A e que Im(G) B.

FuncoesEste e talvez o mais importante exemplo de relacao. Sejam A e B conjuntos e F uma relacao entre

A e B. Entao, a relacao F e dita ser uma funcao de A em B se Dom(F ) = A e se (a, b) F e(a, b) F so for possvel caso b = b. Em outras palavras, a cada elemento a de A a funcao associa ume apenas um elemento b de B que faz o papel de segundo elemento do par ordenado (a, b). Este segundoelemento associado pela funcao F ao elemento a, e mais conveniente denota-lo por F (a). Assim, umafuncao e o conjunto de pares {(a, F (a)) AB, a A}. Frequentemente denotamos uma funcao Fde A em B por F : A B.

Aplicacoes, Mapeamentos, Mapas, Funcionais, Operadores, Operacoes, Produtos etc.Muito frequentemente usam-se as palavras aplicacao, mapeamento, mapa, funcional, operador,

operacao, produto, transformacao, forma, e talvez ainda outras, para designar certos tipos de funcoesentre conjuntos. Essa abundancia de palavras causa frequentemente confusao e mesmo perplexidade

1Assim chamado em honra a Rene Descartes (1596-1650). O adjetivo Cartesiano provem da latinizacao de seu nomecomo Cartesius.


em estudantes recem-iniciados mas, em essencia, todos esses objetos sao funcoes, no sentido abstratoque definimos acima.

O que difere seu uso e por vezes a tradicao de certas areas e os tipos de conjuntos que as funcoestem como domnio e imagem. A palavra funcao, propriamente, e mais frequentemente empregadaquando se trata de funcoes numericas, por exemplo de em ou de

em

. A palavra funcional2

e frequentemente empregada quando se trata de funcoes que levam vetores ou funcoes numericas emnumeros. Um exemplo de funcional e a funcao que leva funcoes reais contnuas f nas suas integraisno intervalo [0, 1]: f 7 1

0f(x)dx. A palavra operador tipicamente designa funcoes lineares entre

espacos vetoriais (como, por exemplo, as matrizes, que sao funcoes lineares entre espacos vetoriais dedimensao finita). Produtos ou operacoes frequentemente designam funcoes de C C em C, paraum conjunto C nao-vazio qualquer, ou seja, funcoes de duas variaveis em um conjunto C, assumindovalores no proprio conjunto C. A palavra forma por vezez designa certas funcoes bi-lineares deV V em ou , sendo V um espaco vetorial. As palavras aplicacao, mapa e mapeamento saofrequentemente empregadas para designar funcoes em areas como Topologia, Geometria Diferencial ouSistemas Dinamicos.

Certas palavras sao empregadas para designar certas funcoes com propriedades especiais. Umhomeomorfismo, por exemplo, e uma funcao bijetora entre dois espacos topologicos que seja contnuae cuja inversa seja tambem contnua. Um difeomorfismo e um homeomorfismo entre duas variedadesdiferenciaveis que seja infinitamente diferenciavel. Ha ainda varios outros morfismos, como discutidona Secao 1.2.7, a` pagina 65.

Em verdade, e conveniente dispormos por vezes de uma certa variedade de palavras diferentessimplesmente para evitarmos o emprego monotono e descolorido da palavra funcao. Com um poucode ironia, lembremos por fim a definicao circular de Edward Teller: An intelectual is someone whothinks the same things and uses the same words as other intelectuals.

Imagens e pre-imagens de funcoesSeja f : X Y uma funcao. Se A X, definimos

f(A) := {y Y | y = f(x) para algum x A}.Se B Y , definimos

f1(B) := {x X| f(x) B}.f(A) e dita ser a imagem de A por f e f1(B) e dita ser a pre-imagem de B por f .

O uso do smbolo f1 para designar pre-imagem f1(B) de um conjunto B e uma escolha infeliz(mas universalmente aceita), pois pode causar confusao com a nocao de funcao inversa de f , que podenao estar definida. O estudante deve estar atento.

Funcoes Sobrejetoras, Injetoras e BijetorasUma funcao F : A B e dita ser sobrejetora se Im(F ) = B. Uma funcao F : A B e dita

ser injetora ou injetiva se a cada b Im(F ) existir um e somente um elemento a Dom(F ) tal que(a, b) F . Uma funcao que for sobrejetora e injetora e dita ser bijetora.

2A palavra funcional foi empregada pela primeira vez na Matematica por Jacques Salomon Hadamard (1865-1963).


Seja uma funcao bijetora F A B. Entao, a relacao F1 B A dada porF1 = {(b, a) tal que (a, b) F}

e, em verdade, uma funcao denominada funcao inversa de F . E claro que (F1)1 = F .

Famlias de ConjuntosSeja X um conjunto nao-vazio. Uma colecao F nao-vazia de sub-conjuntos de X e por vezes dita

ser uma famlia de conjuntos (que sao sub-conjuntos de algum X fica subentendito). Se F for umafamlia de conjuntos e existirem um conjunto nao-vazio I e uma funcao bijetora f : I F, entaodizemos que a famlia F e indexada por I e os elementos de I sao denominados ndices. Se e umndice, designaremos sua imagem pela funcao f simplesmente por A F.

Uma indexacao de uma colecao F nao-vazia de sub-conjuntos de X sempre existe: podemos tomarI = F e f a funcao identidade.

Operacoes basicas com famlias de conjuntosSejam X e I conjuntos arbitrarios nao-vazios e seja associado a cada I um sub-conjunto A de

X. O conjunto I sera frequentemente denominado conjunto ou famlia de ndices. Vamos introduziralguma notacao a ser usada em todas estas Notas. Definimos

IA := {x X tal que x A para algum I} (1.5)

e I

A := {x X tal que x A para todo I}. (1.6)

As definicoes acima implicam as importantes propriedades descritas na proposicao que segue, cujademonstracao deixamos como exerccio.

Proposicao 1.1 Sejam B X, X nao-vazio, e {A X, I} uma colecao arbitraria de subcon-juntos de X. Entao valem as seguintes relacoes:

B \(

IA

)=I

(B \A) , B \(

IA

)=I

(B \ A) , (1.7)

(I

A

)\B =

I

(A \B) ,(

IA

)\B =

I

(A \B) , (1.8)

B (

IA

)=I

(B A) , B (

IA

)=I

(B A) , (1.9)

B (

IA

)=I

(B A) , B (

IA

)=I

(B A) . (1.10)


As relacoes, (1.7) implicam(I

A

)c=I

(A)c ,

(I

A

)c=I

(A)c . (1.11)

2

Propriedades elementares de funcoesAs seguintes proposicoes sao importantes e frequentemente usadas:

Proposicao 1.2 Seja f : X Y uma funcao e seja um conjunto de ndices. Se A X para todo , entao

f

(

A

)=

f(A) , (1.12)

mas

f

(

A

)

f(A) . (1.13)

Se B Y para todo , entao

f1(

B

)=

f1(B) , (1.14)

e

f1(

B

)=

f1(B) . (1.15)

2

A demonstracao e elementar e e deixada como exerccio.

Em (1.13) nao se pode provar a igualdade entre f(

A)

e f(A) e a razao e a seguinte:

se y f(A) entao y f(A) para todo . Assim, em cada A existe um x com y = f(x).Mas pode ocorrer que em

A nao exista nenhum elemento x com y = f(x). O seguinte exemplo

ilustra isso. Seja f(x) = x2 definida em [1, 1]. Tomemos A1 = [1, 0], A2 = [0, 1]. Entao,f(A1) = [0, 1] e f(A2) = [0, 1]. Portanto, f(A1) f(A2) = [0, 1]. Porem, f(A1 A2) = f({0}) = {0}.apesar disso, vale o seguinte:

Proposicao 1.3 Se f : X Y e injetora entao, se A X para todo , vale

f

(

A

)=

f(A) . (1.16)

2



Em relacao a`s operacoes de complemento e diferenca de conjuntos temos o seguinte:

Proposicao 1.4 Se f : X Y e uma funcao e B, C Y , entaof1(Bc) =

(f1(B)

)c,

f1(B \ C) = f1(B) \ f1(C) .Aqui, Bc = Y \B. Fora isso, se f : X Y e uma funcao injetora e sobrejetora e A, B X, entao

f(Ac) = (f(A))c ,

f(A \B) = f(A) \ f(B) .Aqui, Ac = X \ A. 2


A Uniao Disjunta de uma Famlia Arbitraria de ConjuntosSejam, como acima, um conjunto I (nao necessariamente finito ou contavel) e Ai, i I, conjuntos

indexados por elementos de I. Os conjuntos Ai podem eventualmente possuir elementos comuns, ouseja, pode haver elementos x que comparecem em varios conjuntos Ai. Porem, quando formamos auniao usual dos conjuntos Ai, ou seja,

iI Ai, cada elemento x comparece apenas uma vez, mesmo que

pertenca a varios Ais. Por vezes estamos interessados em formar um outro tipo de uniao de conjuntosonde essa possvel multiplicidade de cada elemento x possa ser levada em conta. A definicao abaixo e,para tal, das mais adequadas.

Definimos a uniao disjunta da famlia de conjuntos Ai como sendo o conjunto, denotado poriI

Ai,

dado pela uniao de todos os pares ordenados (a, i) com i I, a Ai, ou seja,iIAi :=

iI

aAi

(a, i) .

Unioes disjuntas desempenham um papel em varias areas da Matematica. Na Geometria Diferencial,por exemplo, o chamado fibrado tangente de uma variedade diferenciavel e definido como a uniaodisjunta dos espacos tangentes a` variedade.

Extensoes de FuncoesSeja F : A B uma funcao e suponha que A seja subconjunto de um outro conjunto A. Uma

funcao G : A B e dita ser uma extensao de F se F e G coincidirem na parte comum de seusdomnios, que vem a ser o conjunto A, ou seja, se G(a) = F (a) para todo a A.

Se lembrarmos que uma funcao F : A B e um subconjunto de AB e que uma funcaoG : A Be um subconjunto de A B e se notarmos que A B A B caso A A, entao uma definicaoalternativa de extensao seria seguinte: uma funcao G e uma extensao de uma funcao F se F G,ambas entendidas como subconjuntos de A B.


E. 1.2 Exerccio. Verifique a equivalencia dessas duas definicoes do conceito de extensao de funcoes.6

Como veremos, o conceito de extensao de funcoes e frequentemente empregado na teoria dos ope-radores lineares em espacos de Hilbert.

O Produto Cartesiano de uma Famlia Arbitraria de ConjuntosJa discutimos o conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos A e B: AB e com ele introdu-

zimos a nocao de funcao. De posse dessa nocao podemos, com vistas a uma generalizacao, apresentaruma outra visao do conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos, a saber, podemos dizer que ABe o conjunto de todas as funcoes f : {1, 2} AB tais que f(1) A e f(2) B. A ideia e dizer quecada par ordenado (a, b) com a A e b B e uma funcao onde o primeiro membro do par e a imagemde 1 (por ser o primeiro) e o segundo a imagem de 2 (por ser o segundo). Essa ideia permite definir pro-dutos Cartesianos de um numero finito n de conjuntos A1, A2, . . . , An denotado por A1A2 . . .Ancomo sendo o conjunto de todas as funcoes f : {1, 2, . . . , n}

nj=1

Aj satisfazendo f(j) Aj para todo

j {1, . . . , n}. A funcao f tem, por assim dizer, o papel de ordenar os elementos denj=1

Aj tomando-se

sucessivamente um elemento de cada Ai por vez. O produto Cartesiano A1 A2 . . . An e assimentendido como o conjunto formado por todas as enuplas ordenadas (a1, . . . , an) com ai Ai.

Essa ideia pode ser generalizada ainda mais. Sejam I um conjunto nao-vazio (nao necessariamentefinito ou contavel) e Ai, i I, conjuntos nao-vazios indexados por elementos de I. Definimos entao oproduto Cartesiano da famlia de conjuntos {Ai, i I}, denotado por

iIAi

como sendo o conjunto de todas as funcoes f : I jI

Aj tais que f(x) Ax para todo x I. O

Axioma da Escolha (pagina 28) consiste na afirmacao (ou melhor dizendo, na suposicao, ja que se tratade um axioma) que

iI Ai e nao-vazio.

Se por ventura todos os conjuntos Ai forem identicos entao denota-se o produto Cartesiano acimapor AI . Assim, AI denota o conjunto de todas as funcoes de I em A.

Desta forma e {1, 2} sao duas notacoes distintas para o mesmo objeto, que tambem edenotado simplesmente por 2, como se sabe. Genericamente d designa {1,...,d} para d , d > 0.

O Axioma da EscolhaO Axioma da Escolha consiste na seguinte afirmativa:

Seja As, s I, uma famlia de conjuntos nao-vazios, onde I e um conjunto arbitrario (nao-vazio)de ndices. Entao, podemos construir um conjunto A tomando (escolhendo) um elemento as de cada

conjunto As. Em termos mais tecnicos, o axioma diz que ha funcoes F : I sI

As tais que F (s) As


para todo s I, ou seja, o produto Cartesiano sI As e nao vazio3.A primeira vista esse axioma parece constituir-se de uma obviedade. Sucede, porem, que, sobretudo

pelo fato de o conjunto I de ndices ser arbitrario (podendo ser ate um conjunto infinito e nao-contavel),a afirmativa que o mesmo contem nao pode ser derivada de princpios mais basicos. O axioma faz umaafirmacao de existencia (de uma funcao como a F , ou de um conjunto como A formado por elementosescolhidos de cada As) que, geralmente, nao pode ser demonstrada construtivamente, ou seja, porexibicao explcita de uma tal funcao F ou de um conjunto A.

Faremos uso explcito do Axioma da Escolha adiante quando exibirmos exemplos de conjuntos nao-mensuraveis. O Axioma da Escolha foi originalmente formulado por Zermelo4 em 1904 como parte dasua demonstracao do chamado Princpo do Bom-Ordenamento, Teorema 1.1, pagina 35. Vide [52].

Uma tpica situacao na qual se faz uso do Axioma da Escolha ocorre quando sao dados um conjuntoX e uma uma relacao de equivalencia E em X e constroi-se um conjunto A X tomando-se umrepresentante de cada classe de equivalencia de X por E.

Nem sempre e possvel exibir explicitamente os elementos de A, mas assumimos (via Axioma daEscolha) que um tal conjunto existe. Para ter-se em mente um caso onde uma tal situacao ocorre,tome-se o exemplo dado em (1.18), pagina 30.

Relacoes de EquivalenciaOutro tipo importante de relacao e formado pelas chamadas relacoes de equivalencia. Uma relacao

E AA e dita ser uma relacao de equivalencia em um conjunto nao-vazio A se os seguintes quesitosforem satisfeitos:

1. (a, a) E para todo a A.2. (a, b) E implica que (b, a) E.3. (a, b) E e (b, c) E implicam que (a, c) E.

Se o par (a, b) pertence a uma relacao de equivalencia E entao a e b sao ditos serem equivalentes

segundo E. Quase sempre usa-se a notacao aE b, ou simplesmente a b, para indicar que dois

elementos sao equivalentes segundo uma relacao de equivalencia dada.

Seja A um conjunto e E A A uma relacao de equivalencia em A. Para cada a A podemosdefinir o conjunto

E(a) := {a A tal que (a, a) E}. (1.17)Esse conjunto e chamado de classe de equivalencia de a (pela relacao de equivalencia E).

E. 1.3 Exerccio. Seja A um conjunto e E AA e uma relacao de equivalencia em A. Suponha quea, b A e que a b segundo E. Prove que E(a) = E(b). 6E. 1.4 Exerccio importante. Prove que se A e um conjunto e E AA e uma relacao de equivalencia

em A entao A e a uniao disjunta de classes de equivalencia de seus elementos. 63Para a definicao do produto Cartesiano

sI As, vide pagina 28.

4Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953).


E. 1.5 Exerccio. Seja o conjunto dos numeros reais e seja a relacao W definida por

W := {(x, y) tal que x y }, (1.18)

onde e o conjunto dos numeros racionais. Prove que W e uma relacao de equivalencia. 6

Relacoes de CompatibilidadeSeja P um conjunto. Uma relacao de compatibilidade em P e um conjunto C P P com as

seguintes propriedades:

1. Se e sao tais que (, ) C, entao (, ) C.2. Para todo P vale (, ) 6 C.

Para uma dada relacao de compatibilidade C denotamos C caso (, ) C e dizemos que e sao C-compatveis. Caso contrario, denotamos 6C se (, ) 6 C e dizemos que e saoC-incompatveis.

Se uma dada relacao C e subentendida, denotamos simplesmente caso (, ) C e dizemossimplesmente que e sao compatveis.

Relacoes de compatibilidade sao importantes na Mecanica Estatstica, especialmente nas chamadasexpansoes de polmeros e de clusters.

Exemplo. Seja X um conjunto nao-vazio e P =

(X) \ {}, a colecao de todos os subconjuntosnao-vazios de X. Uma relacao de compatibilidade em P e a seguinte: A B A B = .Verifique.

1.1.2 Relacoes de Ordem

Seja X um conjunto nao-vazio. Uma relacao R X X e dita ser uma relacao de ordem parcial emX, ou simplesmente uma relacao de ordem em X, se as seguintes condicoes forem satisfeitas:

1. Para todo a X tem-se que (a, a) R.2. Se (a, b) R e (b, a) R entao forcosamente a = b.3. Se (a, b) R e (b, c) R entao (a, c) R.

Se X possui uma ordem parcial R, X e chamado de conjunto parcialmente ordenado por R. Emtextos matematicos em lngua inglesa, conjuntos parcialmente ordenados sao frequentemente denomi-nados posets (de partially ordered sets). A nocao de conjunto parcialmente ordenado foi introduzidapor Hausdorff5

5Felix Hausdorff (1868-1942). Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna Teoria dos Conjuntos.Perseguido pelo nacional-socialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentracao.


Exemplo. Seja X um conjunto e

(X) a colecao de todos os sub-conjuntos de X. Podemos estabe-lecer em

(X) uma relacao R do seguinte tipo: para A, B X tem-se (A, B) R se A B. Comoexerccio deixamos ao estudante mostrar que esta e uma relacao de ordem parcial de acordo com adefinicao acima. Este exemplo ilustra tambem por que chamar tal relacao de ordem de parcial. Arazao e que nem todo par (A, B) e elemento de R pois, para dois conjuntos A e B arbitrarios, nemsempre vale que A B ou que B A (por exemplo se A B = ).

Em funcao da analogia com essa relacao de ordem usual dos numeros reais e costume, dada umarelacao de ordem R qualquer, indicar que (a, b) R atraves da notacao a b. Por vezes, o smbolo e tambem usado, mas tentaremos emprega-lo apenas para denotar a relacao de ordem usual entrenumeros reais.

Relacoes de Ordem TotalOutro conceito importante e o de relacao de ordem total. Uma ordem parcial R em um conjunto X

e dita ser uma relacao de ordem total se para todo a, b X tem-se que (a, b) R ou que (b, a) R.Se X possui uma relacao de ordem total R entao X e dito ser totalmente ordenado ou linearmenteordenado. Assim, se X e um conjunto dotado de uma relacao de ordem parcial, dizemos que umsub-conjunto A X e linearmente ordenado se a b ou b a para todo a, b A.

ExemplosExemplo. Seja o conjunto de numeros reais e a relacao de ordem (x, y) R se x y for um

numero negativo ou nulo (ou seja, se x y). Mostre que essa e uma relacao de ordem total em .Contra-exemplo. Seja C um conjunto nao-vazio qualquer. Entao,

(C) e ordenado pela inclusao deconjuntos: A B se e somente se A B. Porem (C) nao e linearmente ordenado pois se A B = nao podemos dizer que A B nem que B A.E. 1.6 Exerccio. Voce consegue construir uma relacao de ordem em 2 ou em 3? E uma relacao de

ordem total? 6

Mais ExemplosSeja o conjunto dos numeros naturais . Podemos estabelecer em a relacao de ordem usual onde

dizemos que x y se x y for um numero negativo ou nulo. Esta relacao e uma relacao de ordemtotal. O leitor nao deve pensar que essa e a unica relacao de ordem total existente em . Um outroexemplo e o seguinte.

Vamos estabelecer uma relacao de ordem em que denotaremos pelo smbolo pi. Sejam a,b . Se a e b forem pares dizemos que a pi b se a b. Se a e b forem mpares dizemos que a pi bse a b. Se a e par e b e mpar entao dizemos sempre que a pi b.E. 1.7 Exerccio. Mostre que a relacao pi estabelece uma relacao de ordem total em . 6

Um exemplo analogo pode ser construdo em . Vamos estabelecer uma relacao de ordem em que denotaremos pelo smbolo ri. Sejam x, y . Se x e y forem racionais dizemos que x ri y se


x y. Se x e y forem irracionais dizemos que x ri y se x y. Se x e racional e y e irracional entaodizemos sempre que x ri y.E. 1.8 Exerccio. Mostre que a relacao ri estabelece uma relacao de ordem total em . 6

Ordem Lexicografica

E possvel estabelecer uma relacao de ordem total em 2 da seguinte forma: dizemos que (x1, x2) L(y1, y2) se x1 < y1 ou se x1 = y1 e x2 y2. Essa relacao de ordem e denominada relacao de ordemlexicografica de 2.

Essa definicao pode ser facilmente generalizada. Seja X um conjunto totalmente ordenado por umarelacao de ordem total X . Entao, Xn pode ser totalmente ordenado dizendo-se (x1, . . . , xn) L(y1, . . . , yn) se houver um j {1, . . . , n}, tal que xi = yi para todo i < j e xj X yj.

Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de ordem total X e seja Seja X =n=1X

n. Podemos estabelecer em X uma ordem total X, tambem denominada lexicografica, daseguinte maneira. Sejam m, n e p = min{m, n}. Entao, dizemos (x1, . . . , xm) X (y1, . . . , yn) se(x1, . . . , xp) L (y1, . . . , yp) no sentido dado no paragrafo anterior, ou se (x1, . . . , xp) = (y1, . . . , yp),mas m < n.

E. 1.9 Exerccio. Por que essas relacoes de ordem sao denominadas lexicograficas? Pense na maneiracomo palavras (de tamanho arbitrario!) sao ordenadas em um dicionario. 6

Podemos ainda estender a definicao de ordem lexicografica. Seja X um conjunto totalmente orde-nado por uma relacao de ordem total X e seja Y um conjunto totalmente ordenado por uma relacaode ordem total Y . Entao, XY pode ser totalmente ordenado dizendo-se XY 3 x L y XY se houverum j Y , tal que x(i) = y(i) para todo i Y j e x(j) X y(j).

Exemplo. Sejam f, g, duas funcoes de em . Dizemos que f L g se existir y tal quef(x) = g(x) para todo x < y mas f(y) g(y). Lembrando que o conjunto de todas as funcoes de em e

, ve-se que essa definicao coincide com a dada acima.

Conjuntos DirigidosUm conjunto I e dito ser um conjunto dirigido (directed set) se for dotado de uma relacao de

ordem parcial, que denotaremos por , e se for dotado da seguinte propriedade: para quaisquer doiselementos a e b de I existe pelo menos um terceiro elemento c I tal que a c e b c.

Exemplo. e um conjunto dirigido com a relacao de ordem usual.

Exemplo. e um conjunto dirigido com a relacao de ordem ri definida acima.Exemplo. Seja o conjunto n, n = 1, 2, . . ., e seja I o conjunto de todos os abertos limitados de n

(um conjunto e limitado se for subconjunto de alguma bola aberta de raio finito centrada na origem).Mostre que I e um conjunto dirigido pela relacao de ordem de inclusao: A B se A B. Note queessa relacao de ordem nao e uma relacao de ordem total.


Contra-Exemplo. Seja X um conjunto nao-vazio e seja I =

(X) \ {X}, ou seja, I e a colecaode todos os subconjuntos de X, exceto o proprio X. Podemos ter em I uma relacao de ordem (deinclusao) dizendo que A B se A B. Notemos, porem, que I nao e um conjunto dirigido poispara A I, A 6= temos X \ A I mas nao existe em I nenhum conjunto que contenha A e X \ Asimultaneamente como subconjuntos.

Exemplo. Causalidade de Einstein. Seja 4 o espaco-tempo quadri-dimensional de Minkowski esejam E0 = (t0, x0, y0, z0) e E1 = (t1, x1, y1, z1) dois eventos em

4. Dizemos que o evento E0 precedecausalmente o evento E1, (em notacao simbolica E0 Einstein E1), se t0 t1 e se

c2(t1 t0)2 (x1 x0)2 (y1 y0)2 (z1 z0)2 0 ,

onde c e a velocidade da luz.

E. 1.10 Exerccio. Mostre que Einstein e uma relacao de ordem em 4 e que 4 e um conjunto dirigidopor essa relacao. 6

Redes e SequenciasSeja I um conjunto dirigido com respeito a` uma relacao de ordem parcial . Se M e um conjunto

nao-vazio, uma funcao f : I M e denominada uma rede em M baseada no conjunto dirigido I comrespeito a ou, simplesmente, uma rede6 em M .

Uma sequencia em M e uma rede baseada em , que e um conjunto dirigido com respeito a` ordemusual dos naturais, ou seja, e uma funcao f : M .

A nocao de rede e importante, por exemplo, no estudo de funcoes contnuas em espacos topologicosgerais e na definicao da nocao de convergencia (vide Captulo 21, pagina 978).

Se f : M e uma sequencia em M , os elementos f(n) de sua imagem sao frequentementedenotados por uma notacao com ndices: fn. E tambem comum denotar-se a propria sequencia por{fn, n } ou por {fn}n , que, estritamente falando, representam a imagem de f em M .

Maximos e MnimosSe X e um conjunto dotado de uma relacao de ordem parcial (que denotamos por ) diz-se que

um elemento z X e um maximo de X se x z para todo x X. Se z e z sao maximos de X entao,por hipotese, valem ambas as relacoes z z e z z, o que implica z = z. Assim, se X possuir ummaximo ele e unico, e e denotado por max(X).

Se A X, a relacao de ordem parcial em X induz uma relacao de ordem parcial em A. Com essarelacao, podemos definir max(A), se existir, como o elemento de A tal que a max(A) para todoa A. Note que, por definicao, maxA A.

Analogamente, um elemento a e dito ser um mnimo de X se a x para todo x X. Se a e asao mnimos de X entao, por hipotese, valem ambas as relacoes a a e a a, o que implica a = a.Assim, se X possuir um mnimo ele e unico, e e denotado por min(X).

6Alguns autores em lngua portuguesa preferem usar a palavra reticulado em lugar de rede.


Elementos Maximais e MinimaisSeja X e um conjunto dotado de uma relacao de ordem parcial (que denotamos por ).Um elemento z X e dito ser um elemento maximal se nao existir x X, x 6= z tal que z x.Um elemento a X e dito ser um elemento minimal se nao existir x X, x 6= a tal que x a.Os elementos maximais e minimais de um conjunto parcialmente ordenado X, se exitirem, nao sao

necessariamente unicos, como mostra o seguinte exemplo.

E. 1.11 Exerccio-Exemplo. Considere no plano 2 o quadrado fechado Q = [0, 1] [0, 1], ou seja, oselementos de Q sao pares ordenados (x, y) 2 com 0 x 1 e 0 y 1. Estabelecemos em Quma relacao de ordem (parcial!) da seguinte forma: (x, y) (x, y) se x = x e se y y. Em palavras,(x, y) (x, y) se ambos os pontos estiverem em uma mesma linha vertical, mas (x, y) estiver mais baixoque (x, y). Cheque que isso e, de fato, uma relacao de ordem, mas que nao e uma ordem total, pois naose pode comparar pontos que estao em linhas verticais diferentes.

Com essa definicao convenca-se que todos os elementos da forma (x, 1) sao maximais. Porem, se xfor diferente de x, nao se pode nem dizer que (x, 1) (x, 1) nem que (x, 1) (x, 1). Igualmente,convenca-se que todos os elementos da forma (x, 0) sao minimais.

Note tambem que para a existencia de elementos maximais e importante queQ contenha pontos na arestade cima e (com coordenada y = 1), analogamente, para a existencia de elementos minimais e importanteque Q contenha pontos aresta de baixo (com coordenada y = 0). Por exemplo, se voce definir a mesmarelacao de ordem no quadrado aberto (0, 1) (0, 1) nao ha mais elementos maximais ou minimais. 6

Se um conjunto nao-vazio e parcialmente ordenado X possuir um unico elemento maximal, esteelemento e denominado o maior elemento de X. Reciprocamente, se um conjunto nao-vazio e parcial-mente ordenado X possuir um unico elemento minimal, este elemento e denominado o menor elementode X.

Conjuntos Bem-OrdenadosUm conjunto X dotado de uma relacao parcial de ordem e dito ser um conjunto bem-ordenado

se todo subconjunto A nao vazio de X tem um elemento mnimo em A.

E. 1.12 Exerccio. Mostre que todo conjunto bem-ordenado segundo uma relacao parcial de ordem etambem totalmente ordenado segundo a mesma relacao. 6E. 1.13 Exerccio. A recproca nao e, entretanto, verdadeira. Mostre que e totalmente ordenado pela

relacao usual de ordem entre numeros reais, mas nao e um conjunto bem-ordenado. 6E. 1.14 Exerccio. Mostre que o conjunto dos numeros naturais e bem-ordenado. 6

A importancia de conjuntos bem-ordenados e que a eles se aplica uma generalizacao do bem-conhecido metodo de inducao matematica, muito empregado em demonstracoes de teoremas, deno-minada princpio de inducao transfinita. O estudante interessado encontrara em [52] uma excelente


referencia introdutoria. Nesta mesma referencia o estudante interessado encontrara uma demonstracaodo seguinte e importante resultado, devido a Zermelo7:

Teorema 1.1 (Teorema do Bom-Ordenamento) Se X e um conjunto nao-vazio entao e possvelencontrar uma relacao de ordem em X tal que X e bem-ordenado por essa relacao. 2

Incidentalmente, o Teorema 1.1 junto com a afirmacao do Exerccio E. 1.12 informam que todoconjunto nao-vazio possui ao menos uma relacao de ordem total.

Majorantes e MinorantesSeja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por e seja A X. Se existe t X

tal que a t para todo a A dizemos que t e um majorante de A, ou um limitante superior8 de A.Analogamente, se existe h X tal que h a para todo a A dizemos que h e um minorante de A

ou um limitante inferior9 de A.

Conjuntos LimitadosSeja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por . Um conjunto A X que tenha

pelo menos um majorante e dito ser um conjunto limitado superiormente. Um conjunto A X quetenha pelo menos um minorante e dito ser um conjunto limitado inferiormente.

Infimo e SupremoSeja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por e seja A X.O mnimo do conjunto de majorantes de A, se existir, e dito ser o supremo de A e e indicado por

sup(A). Note que o supremo de A, se existir, e unico, por ser o mnimo de um conjunto. Assim, s Xe dito ser o supremo de A se for um majorante de A e se s t para todo t que seja majorante de A.Note que o supremo de um conjunto A X nao e necessariamente um elemento de A, ao contrario doque ocorre com o maximo de A (caso exista).

O maximo do conjunto dos minorantes de A, se existir, e dito ser o nfimo de A e e indicado porinf(A). Note que o nfimo de A, se existir, e unico, por ser o maximo de um conjunto. Assim, i e onfimo de A se for um minorante de A e se h i para todo h que seja minorante de A. Note que onfimo de um conjunto A X nao e necessariamente um elemento de A, ao contrario do que ocorrecom o mnimo de A (caso exista).

E interessante notar o seguinte. Dado um conjunto X dotado de uma ordem parcial poderamos nosperguntar se todo subconjunto limitado superiormente de X possui um supremo ou, analogamente, setodo subconjunto de X limitado inferiormente possui um nfimo. A validade ou nao dessas propriedadesdepende de X e da relacao de ordem em questao. Por exemplo, para X = , o conjunto dos racionais

7Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953).8A expressao limite superior e tambem usada na literatura, mas deve ser evitada para nao causar confusao com a

nocao de limite.9A expressao limite inferior e tambem usada na literatura, mas deve ser evitada para nao causar confusao com a

nocao de limite.


com a relacao de ordem usual, verifica-se que a propriedade nao e valida. Tomemos A = {x , x2 2. Ou seja, se considerarmos o conjunto Ub detodos os reais u do intervalo [0, 1] representaveis na base b, b , b > 2, da forma

u =n=1

dn(u)

bn.

onde dn(u) {0, 1}, entao, repetindo o que fizemos acima, veramos que Ub nao e contavel. ClaramenteU = U10.

Nota. O caso da base binaria b = 2 foi excludo da ultima nota pois nele nao vale a unicidade darepresentacao dos elementos de U2 na forma

u =n=1

dn(u)

2n.

onde dn(u) {0, 1}. Para ver isso, faca o exerccio seguinte.E. 1.24 Exerccio. Mostre que na base binaria 0, 1 e 0, 01111111 . . . representam o mesmo numero, a

saber, o numero 1/2. Sugestao: use a formula da progressao geometrica infinita para calcular quanto vale0, 01111111 . . .. 6

Nota. Os conjuntos Ub, b > 2, sao exemplos de uma classe de conjuntos chamados de conjuntosde Cantor13. Tornaremos a reencontrar tais conjuntos quando falarmos de Teoria da Medida (videCaptulo 20, especialmente Secao 20.2, pagina 961.).

Ainda sobre os numeros reais, tem-se tambem o seguinte fato, que para referencia futura formulamoscomo uma proposicao.

Proposicao 1.7 e 2 tem a mesma cardinalidade. 2

Prova. E suficiente mostrar que (0, 1) e (0, 1) (0, 1) tem a mesma cardinalidade, pois a funcaox (1 + tanh(x))/2 e uma bijecao de em (0, 1). Fixemos para cada x (0, 1) uma representacaodecimal x = 0, d1d2d3 . . . com dn {0, . . . , 9}. Seja F : (0, 1) (0, 1) (0, 1) definida por

F (0, d1d2d3d4 . . .) := ( 0, d1d3d5d7 . . . , 0, d2d4d6d8 . . . ) .

F e bijetora e F1 : (0, 1) (0, 1) (0, 1) e dada porF1(( 0, a1a2a3a4 . . . , 0, b1b2b3b4 . . . )) = 0, a1b1a2b2a3b3a4b4 . . . .

13Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918).


Finalizamos com um outro teorema de grande importancia:

Teorema 1.5 Se Ci, i , sao conjuntos contaveis entao C =i

Ci tambem o e. 2

Prova. Se cada Ci e contavel entao para cada i ha uma funcao bijetora gi : Ci cuja imageme Ci. Defina-se entao a funcao G : ( ) C dada por G(a, b) = ga(b). Esta funcao nao e, emgeral, bijetora, pois podem existir elementos comuns entre conjuntos Ci e Cj com i 6= j e teramosgi(m) = gj(n) para algum n e m. Entretanto, a imagem de G e C.

Considere entao em a seguinte relacao de equivalencia: o par (a, b) e equivalente ao par(c, d) se e somente se ga(b) = gc(d). O conjunto pode ser entao, como ja observamos, escritocomo a uniao disjunta de suas classes de equivalencia pela relacao acima. Construamos entao umsubconjunto K de tomando-se um e somente um elemento de cada classe de equivalencia escolhidoarbitrariamente (usamos aqui o Axioma da Escolha para afirmar que tal construcao e possvel).

Defina entao ag

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