Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em...

Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292

Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.

Graduação em Administração - ESAG/UDESC

Doutorado e Mestrado em Engenharia de Produção - UFSC

Centro Universitário Estácio de Sá de Santa Catarina

Material Didático da Estácio

http://portal.estacio.br/

http://ebookpress.files.wordpress.com/2011/02/estacio-tablet-20110201185724.jpg

- SUMÁRIO -

Conceitos Introdutórios

Medidas de Tendência Central

Medidas de Dispersão

Probabilidades

Distribuição Binomial Distribuição de Frequência

Distribuição Normal

Distribuição de Bernoulli

Distribuição de Poisson

Bibliografia


Disciplina de Probabilidade e Estatística

Retornar

Conceitos Introdutórios

ESTATÍSTICA

LIVROS DE ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA

Origem no latim:

status (estado) + isticum (contar)

Informações referentes ao estado

Coleta, Organização, Descrição, Análise e Interpretação de Dados

Para Sir Ronald A. Fisher (1890-1962):

Estatística é o estudo das populações, das variações e dos métodos de redução de dados.

O Que é Estatística?

ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA

“Eu gosto de pensar na Estatística como a ciência de aprendizagem a partir dos dados...”

Jon KettenringPresidente da American Statistical Association, 1997

O Que é Estatística?

http://www.niss.org/photogallery/jrkconf2005/Jon1-C.jpg

“Estatística é um conjunto de técnicas e métodos que auxilia o processo de tomada de decisão na presença de incerteza.”

Estatística Descritiva coleta, organização e descrição dos dados.

Estatística Inferencial análise e interpretação dos dados.

ESTATÍSTICA

O Que é Estatística (definição)?

Panorama Histórico

ESTATÍSTICA

Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos e óbitos, que hoje chamamos de “estatísticas”.

Na Idade Média, colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas.

O Livro dos Impostos

À partir do século XVI começaram a surgir as primeiras

análises sistemáticas de fatos sociais.

No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo feição

verdadeiramente científica. Gottfried Achenwall batizou a

nova ciência com o nome de Estatística, determinando o seu

objetivo e suas relações com as ciências.

O verbete “statistics” apareceu na

Enciclopédia Britânica em 1797.

ESTATÍSTICA

POPULAÇÃO: Conjunto de elementos que se deseja estudar

Finita Número de alunos de uma escola

Infinita Número de estrelas no céu

AMOSTRA: Subconjunto de elementos da população.

ESTATÍSTICA

POPULAÇÃO x AMOSTRA

PopulaçãoAmostra

Fases do Método Estatístico

1) Coleta de dados

A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em:

contínua: quando feita continuamente;

periódica: quando feita em intervalos constantes de tempo;

ocasional: quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergência.

ESTATÍSTICA

2) Crítica dos dados

Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis falhas e imperfeições.

A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; e é interna quando visa a observar os elementos originais dos dados da coleta.

ESTATÍSTICA

Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação.

Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.

3) Apuração dos dados

4) Exposição ou apresentação dos dados

ESTATÍSTICA

5) Análise e Interpretação dos resultados

Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser apresentados sob a forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulterior obtenção de medidas típicas.

Para tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra).

Uma representação didática …

Informação

Decisão

Dados

Estatística

ESTATÍSTICA

Conhecimento

Parte da estatística que descreve e analisa dados sem tirar

conclusões mais genéricas.

ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA DESCRITIVA (Dedutiva)

Média Desvio padrão

Gráfico Tabela

É admitirmos que os resultados obtidos na análise dos dados

de uma amostra são válidos para toda a população da qual a

amostra foi retirada. Consiste em obtermos e generalizar

conclusões. (CASTANHEIRA,

2010)

ESTATÍSTICA

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (Indutiva)

Estatísticas Parâmetros

EXPECTATIVA DE VIDA – Diferenças entre os países

ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA

• SPSS• Epidata• Bioestat• Excel• STATA• SAS• Epi Info

Ferramentas para Análise de Dados


Disciplina de Probabilidade e Estatística

Retornar

Distribuição de Frequência

ESTATÍSTICA

Dados Nominais (Sexo, Raça, Cor dos Olhos) Dados Ordinais (Grau de Satisfação) Dados Numéricos Contínuos (Altura, Peso) Dados Numéricos Discretos (Número de Filiais)

“Estatísticas aplicadas em alguns tipos de dados não podem ser aplicadas a outros .”

TIPOS DE DADOS

BIOESTATÍSTICA

Dados Intervalares (Temperatura oC)

Quando se referem a valores obtidos mediante a aplicação de uma unidade de medida arbitrária, porém constante e onde o zero é relativo. Este tipo de dado tem restrições a cálculos.

30oC não é três vezes mais quente que 10oCPara cálculos se utiliza a escala Kelvin

TIPOS DE DADOS

BIOESTATÍSTICA

BIOESTATÍSTICA

1ª Regra: Arredondar para o número mais próximo 2ª Regra: Arredondar para o par mais próximo

5,0 5,5 6,0

6,0 6,5 7,0

ARREDONDAMENTO DE DADOS CONTÍNUOS

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIO No 1

Faça os seguintes arredondamentos:

38,648 para o centésimo mais próximo 38,65

54,76 para o décimo mais próximo 54,8



4,5 para o inteiro mais próximo 4

BIOESTATÍSTICA

AGRUPAMENTO DE DADOS POR VALORES DISTINTOS

8 2 5 6 5 6 5 4 3 7 5 6 5 4 7 2 5 4 6 5 3 6 5 4 2 5 3 6

x f (frequência) 2 3 3 3 4 4 5 9 6 6 7 2 8 1Total 28

BIOESTATÍSTICA

AGRUPAMENTO DE DADOS POR CLASSES

Classes f (frequência) Ponto Médio

39 50 4 44,550 61 5 55,5 61 72 5 66,572 83 6 77,583 94 5 88,5

BIOESTATÍSTICA

MÉTODO DE STURGES

Utilizado para determinar o número de classes a serem formadas em uma distribuição de frequência

i = 1 + 3,3 . Log n

BIOESTATÍSTICA

MÉTODO DE STURGES

Exemplo: Se em uma pesquisa tivermos 800 observações, quantas

classes podem ser formadas?

i = 1 + 3,3 . Log ni = 1 + 3,3 . Log 800i = 1 + 3,3 . 2,9031

i = 10,58023 11 Classes

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIO No 2

Em uma amostra de estudantes foram coletadas as seguintes alturas em metros: 1,70 1,58 1,67 1,72 1,70 1,71 1,75 1,58 1,64 1,66 1,72 1,70 1,73 1,82 1,79 1,77 1,76 1,75 1,73 1,65 1,64 1,63 1,62 1,66 1,71 1,68 1,69 1,70 1,59 1,61 1,64 1,76 1,64 1,70 1,64 1,65 1,70 1,79 1,80 1,70 1,67 1,71 1,72 1,63 1,70

a) Qual foi o tamanho da amostra (n)?b) Qual é a altura do sujeito mais alto e a do mais baixo?c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos.d) Faça o agrupamento por 6 classes.

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIO No 3

Em uma pesquisa com jogadoras de basquete foram coletados os seguintes pesos corporais em quilogramas: 65 66 62 66 63 61 67 63 64 62 68 67 65 64 65 66 63 64 65 66 64 63 64 66 65 63 64 65 64 63 64 63 64 68 69 70

a) Qual foi o tamanho da amostra (n)?b) Qual é o maior peso e o menor?c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos.d) Faça o agrupamento em 3 classes.

Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar

Medidas de Tendência CentralDisciplina de Probabilidade e Estatística

ESTATÍSTICA

Nos dão uma idéia de onde se localiza o centro, o ponto médio de um determinado conjunto de dados.

Medidas: Média, Moda e Mediana.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

f

x

ESTATÍSTICA

É um valor típico representativo de um conjunto de dados. Fisicamente representa o ponto de equilíbrio da distribuição.

Modos de calcular

1) para dados simples

2) para valores distintos

3) para agrupamentos em classes

MÉDIA

x = S x / n

x = S fx / n

x = S fx / n

ESTATÍSTICA

1) Cálculo para dados simples

MÉDIA

x = S x / n

S x = Soma dos valores

n = tamanho da amostra

x = (16+18+23+21+17+16+19+20)

8

x = 18,75

16 18 23 21

17 16 19 20

ESTATÍSTICA

2) Cálculo para valores distintos

x f fx 2 3 6 3 3 9 4 4 16 5 9 45 6 6 36 7 2 14 8 1 8 Total 28 134

MÉDIA

x = S fx / n

S fx = Soma dos produtos

dos valores distintos

com a frequência


x = 134 x = 4,7857 28

ESTATÍSTICA

3) Cálculo para agrupamentos em classes

Classes f x fx

39 50 4 44,5 178 50 61 5 55,5 277,5 61 72 5 66,5 332,5 72 83 6 77,5 465 83 94 5 88,5 442,5

Total 25 - 1695,5

MÉDIA

x = S fx / n

S fx = Soma dos produtos

dos valores distintos

com a frequência


x = 1695,5 x = 67,82 25

ESTATÍSTICA

É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados.

Para um número par de termos a mediana é obtida através da média aritmética dos dois valores intermediários.

Interpretação:

50% dos valores estão abaixo ou coincidem com a mediana e 50% estão acima ou coincidem com a mediana.

MEDIANA

ESTATÍSTICA

1) Cálculo da mediana para dados simples

MEDIANA

2 3 4 5 6

7 8 9 10

PMd =(n+1) / 2

PMd = (9+1) / 2

PMd = 5o Termo

Mediana (Md) = 6

ESTATÍSTICA

2) Cálculo da mediana para valores distintos x f fa 2 3 3o

3 3 6o

4 4 10o

5 9 19o

6 6 25o

7 2 27o

8 1 28o

Total 28 -

MEDIANA

PMd =(n+1) / 2

PMd = (28+1) / 2

PMd = 14,5

x entre 14o e 15o Termo

Mediana (Md) = 5

ESTATÍSTICA

3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes

Classes f x fa

39 50 4 44,5 4o

50 61 5 55,5 9o

61 72 5 66,5 14o

72 83 6 77,5 20o

83 94 5 88,5 25o

Total 25 - -

MEDIANA

PMd =(n+1) / 2

PMd = (25+1) / 2

PMd = 13o Termo

Classe Mediana

61 72Mediana (Md) = 66,5 (estimativa)

ESTATÍSTICA


Pode-se fazer a interpolação da classe mediana

MEDIANA

Classe Mediana

61 72

Md = Li + ((PMd - faa) / f ) . A

Li = limite inferior da classe mediana

PMd = posição da mediana

faa = frequência acumulada da classe anterior

f = frequência da classe mediana

A = amplitude da classe mediana

ESTATÍSTICA


Interpolação da classe mediana

MEDIANA

Md = Li + ((PMd - faa) / f ) . A

Md = 61 + ((13 - 9) / 5) . 11

Mediana (Md) = 69,8

Classe Mediana

61 72

ESTATÍSTICA

É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Símbolo = Mo

MODA

1) Moda para dados simples

Exemplos:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 AMODAL

2, 3, 3, 4, 5, 6 ,7 MODA = 3

2, 3, 3, 4, 5, 5, 6 BIMODAL (Mo = 3 e Mo = 5)

ESTATÍSTICA

2) Moda para valores distintos x f 2 3 3 3 4 4 5 9 6 6 7 2 8 1 Total 28

MODA

O valor 5 tem o maior número de ocorrências (9)

Mo = 5

ESTATÍSTICA

3) Moda para agrupamentos em classes

Classes f x fa

39 50 4 44,5 4o

50 61 5 55,5 9o

61 72 5 66,5 14o

72 83 6 77,5 20o

83 94 5 88,5 25o

Total 25 - -

MODA

Moda Bruta

Ponto médio da classe de maior frequência

Mo = 77,5

É uma estimativa

ESTATÍSTICA

3) Moda para agrupamentos em classes

MODA

Moda de King

Mo = Li + (A . f2 / (f1 + f2))

Li = limite inferior da classe modal

A = amplitude do intervalo da classe modal

f1 = frequência da classe anterior a modal

f2 = frequência da classe posterior a modal

Mo = 72 + (11 . 5)

5 + 5

Mo = 77,5

ESTATÍSTICA

MÉDIA: Apropriada para Dados Numéricos

MODA: Apropriada para Dados Nominais

MEDIANA: Apropriada para Dados Ordinais

Dados Nominais: Só se usa a Moda.

Dados Ordinais: Pode-se usar a Mediana e a Moda.

Dados Numéricos: Pode-se usar a Média, a Mediana e a Moda.

USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Mo = 3 . Md – 2 . x

ESTATÍSTICA

MODA DE PEARSON

Quando se conhece o valor da média e da mediana pode-se encontrar a MODA pela aplicação da fórmula de Pearson.

ESTATÍSTICA

USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

O salário médio dos empregados é uma relação entre soma e contagem, isto é, o somatório dos salários recebidos dividido pelo número empregados dessa indústria.

O salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.

A mediana salarial dos empregados de uma indústria é o salário que separa os 50% menores dos 50% maiores.

EXERCÍCIO No 1

Determine a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados

ESTATÍSTICA

6 5 8 4 7 6 9 7 3

EXERCÍCIO No 2

Determine o menor valor, o maior valor, a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados

ESTATÍSTICA

12 32 54 17 82 99 51 11 44 22

22 33 44 52 76 41 37 10 5 87


Medidas de DispersãoDisciplina de Probabilidade e Estatística

ESTATÍSTICA

DISPERSÃO DOS DADOS

Vimos que um conjunto de valores pode ser convenientemente sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores representativos - média aritmética, mediana e moda.

Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade.

Amplitude, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação

ESTATÍSTICA

É frequentemente chamada de variabilidade.

Medidas mais comuns: Variância, Desvio Padrão, Amplitude e Coeficiente de Variação

DISPERSÃO DOS DADOS

f

x

Dispersão dos dados

na população

Dispersão dos dados

na amostra

ESTATÍSTICA

É uma forma de se ver o quanto os dados se afastam da média.Exemplo: Vilarejo com apenas 11 pessoas

135cm 152cm 136cm 152cm 138cm 157cm 141cm 163cm 143cm 170cm 152cm

Dispersão na População

Média = 149cm

Mediana e Moda = 152cm

Valor Máximo = 170cm

Valor Mínimo = 135cm

Amplitude = 35cm

Alturas de 11 pessoas

ESTATÍSTICA

Alturas (N=11) x - x (x - x)2 135cm 135-149 -14 196136cm 136-149 -13 169138cm 138-149 -11 121141cm 141-149 -8 64143cm 143-149 -6 36152cm 152-149 3 9152cm 152-149 3 9152cm 152-149 3 9157cm 157-149 8 64163cm 163-149 14 196170cm 170-149 21 441Total 1314

Dispersão na População

s 2 Variância

= 1314 / 11

= 119,454 cm2

s Desvio Padrão

= 119,454

= 10,92 cm

Soma dos desvios quadráticos

s2 = S ( x - x )2 / N

ESTATÍSTICA

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA POPULAÇÃO

Variância da população

Desvio Padrão da população = Raiz quadrada da variância

= s s2

Como a dispersão nas amostras é menor do que na população, se faz um ajuste matemático.

ESTATÍSTICA

Variância da Amostra ( s2 ou v )

s2 = S ( x - x )2 / ( n -1 )

Desvio Padrão da amostra ( s ou DP ) = Raiz quadrada da variância

s = s2

A dispersão nas amostras é menor do que na população, por isso é que se faz este ajuste matemático

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA AMOSTRA

ESTATÍSTICA

SIGNIFICADO:

É um modo de representar a dispersão dos dados ao redor da média.

DESVIO PADRÃO

f

xMédia

ESTATÍSTICA

A curva A mostra uma dispersão dos dados maior do que a curva B, logo o desvio padrão de A é maior do que o de B.

DESVIO PADRÃO

f

xMédia

Curva A Curva B

x

f

Média

ESTATÍSTICA

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

O desvio padrão depende da unidade de medida usada, assim um desvio medido em dias será maior do que um medido em meses.

O coeficiente de variação expressa o desvio-padrão como porcentagem do valor da média.

COEF. VARIAÇÃO = 100 . DESVIO PADRÃO

MÉDIA

Quanto menor for este coeficiente mais homogênea é a amostra.

ESTATÍSTICA

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Classificação da proporção que o desvio padrão apresenta sobre a média.

GRAU DE HOMOGENEIDADE DOS DADOS

até 10% ÓTIMO

de 10% a 20% BOM

de 20% a 30% REGULAR

acima de 30% RUIM

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS

1) Determine a média, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:

4 5 5 6

6 7 7 8

ESTATÍSTICA

2) Determine o valor de n, a amplitude, a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:

22 32 45 22 46 76 24 21 78 43 21 58 92 11 16 28 33 73 11 29 22 47 28 24 21 53 36 88 99 18 Como a base de dados

é extensa sugere-se que os cálculos sejam feitos com o uso da planilha eletrônica Microsoft Excel .

ESTATÍSTICA

FUNÇÕES FÓRMULAS NO EXCEL

Contagem Numérica =CONT.NÚM(A1:A30)

Mínimo =MÍNlMO(A1:A30) Máximo =MÁXlMO(A1:A30)

Total (Soma) =SOMA(A1:A30)

Média =MÉDIA(A1:A30) Moda =MODO(A1:A30)

Mediana =MED(A1:A30)

Variância =VAR(A1:A30)

Desvio padrão =DESVPAD(A1:A30)


ProbabilidadesDisciplina de Probabilidade e Estatística

69

ESTATÍSTICA

Fonte: www.blogdogaz.com.br

A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar)

DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE

A teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável.

Será que o ônibus vai demorar?

Será que essa chuva vai passar?

70

ESTATÍSTICA

Ao começarmos o

estudo da probabilidade,

normalmente a primeira

ideia que nos vem à

mente é a da sua

utilização em jogos, mas

podemos utilizá-la em

muitas outras áreas.

71

ESTATÍSTICA

Exemplo na área comercial:

Um site de comércio

eletrônico utiliza a

probabilidade para prever a

possibilidade de fraude por

parte de um possível

comprador.

72

Fonte: http://www.morcego.blogger.com.br/2007_03_01_arch

ive.html

ESTATÍSTICA

LEI DOS GRANDES NÚMEROS

Conforme DuPasquier, em uma série de

observações de um conjunto natural, realizadas em

circunstâncias idênticas, um atributo x ocorre com

frequência relativa, cujo valor é uma aproximação da

probabilidade, aproximação esta tanto maior quanto

maior for o número de observações.

(CASTANHEIRA, 2010)

73

ESTATÍSTICA

Fonte: http://www.trendfollowingbovespa.com.br/2012_12_01_archive.html

74

ESTATÍSTICA

Pierre Simon Marquis de Laplace

Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749 Paris, 5 de março de 1827

Foi um matemático, astrônomo e físico francês considerado o paida Teoria das Probabilidades.

75

ESTATÍSTICA

TEORIA DAS PROBABILIDADES

Os teoremas de base das probabilidades podem ser

demonstrados a partir dos axiomas das probabilidades

e da teoria de conjuntos.

Calcula a chance de um evento

ocorrer

76

ESTATÍSTICA

Experimento Aleatório

Experimentos cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando realizados em condições

praticamente iguais.

Ex.: Lançamento de um dado

Observação do sexo de recém-nascidos

Lançamento de uma moeda

Jogar duas moedas

77

ESTATÍSTICA

Espaço Amostral (S)

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento

aleatório.

Exemplo: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

S2 = { M, F }

S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa

S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... }

S5 = { CC, CK, KC, KK }78

ESTATÍSTICA

Espaço Amostral no Lançamento de 3 Moedas

79

ESTATÍSTICA

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente denotado por letras maiúsculas.

Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento.

Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.

Exemplo: lançamento de um dado

S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Evento A = sair face par (evento composto)

Evento B = sair 1 (evento simples) 80

ESTATÍSTICA

CÁLCULO DA PROBABILIDADE

Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de resultados possíveis.

Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a probabilidade do evento A é dada por:

P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A

N.º total de casos possíveis

81

ESTATÍSTICA


Qual é a probabilidade de cair CARA no lançamento de uma moeda?

P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A


P(A)= 1/2 ou seja 50%

82

ESTATÍSTICA


Qual é a probabilidade de sair o número 6 no lançamento de um dado?

P(B)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A


P(B)= 1/6 ou seja 16,6667%

83

ESTATÍSTICA


Qual é a probabilidade de cair um número PAR no lançamento de um dado?

P(C)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A


P(C)= 3/6 ou seja 50%

84

ESTATÍSTICA


Lançando-se dois dados simultaneamente, qual é a chance da soma dos resultados ser igual a sete?

P(D)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A


Jogar um dado E outro (multiplicação)

P(D)= 6/36 ou seja 16,6667%

E = MultiplicaçãoOu = Soma

85

ESTATÍSTICA


Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, qual é a chance de aparecer coroa na moeda e um número menor

que 4 no dado?

P(E)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A


Coroa na moeda E >4 no dado (multiplicação)

P(E)= ½ x 3/6 ou seja 25%


86

ESTATÍSTICA


Uma urna tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas são sacadas dessa urna sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de ambas serem brancas?

P(F)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A


1 branca E outra branca (Multiplicação)

P(F)= 4/9 x 3/8 ou seja 16,6667%


87

ESTATÍSTICA


Uma urna tem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual é a probabilidade de obter um número par ou menor que 5?

P(G)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A


Par OU Menor que 5 (Soma)

P(G)= 10/20 + 2/20 ou seja 60%

E = MultiplicaçãoOu = Soma 2 e 4 já haviam sido contados

88

ESTATÍSTICA


Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é de 1/25. Quando está doente a probabilidade de ser devorada por predadores é de ¼ e de 1/40 quando não está doente. Qual é a probabilidade de uma ave, escolhida aleatoriamente, dessa população ser devorada?

DOENTE E SER DEVORADA SADIA E SER DEVORADA

1/25 x ¼ = 1/100 = 1% 24/25 x 1/40 = 24/1000 = 2,4%

Chance de uma ave Sadia OU Doente ser devorada

Soma das probabilidades: 1% + 2,4% = 3,4%

89

ESTATÍSTICA

90

Fonte: chargesdodenny.blogspot.com

ESTATÍSTICA


Distribuição de BernoulliDisciplina de Probabilidade e Estatística

ESTATÍSTICA

Jackob Benoulli (1654-1705)

Foi um matemático suíço.

Nascimento: 27 de dezembro de 1654

Basiléia, Suíça.

Falecimento: 16 de agosto de 1705, Basiléia, Suíça.

Educação: Universidade da Basiléia

ESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI

Estuda o comportamento dos Ensaios de Bernoulli

Sucesso / Fracasso

Na área de teoria das probabilidades, a distribuição de Bernoulli é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso e valor 0 com a probabilidade de falha.

ESTATÍSTICA


Estuda o comportamento dos Ensaios de Bernoulli

Sucesso / Fracasso

Exemplos:

- Lançar uma moeda e ver se ocorre cara ou não;- Lançar um dado e observar se ocorre 6 ou não;- Numa linha de produção, observar se um item é

defeituoso ou não;- Verificar se um servidor de uma intranet está ativo

ou não.

ESTATÍSTICA


Ensaios de Bernoulli

Quando x = 1 Sucesso / Quando x = 0 Fracasso

x p (x)

0 1 – p

1 p

Total 1

ESTATÍSTICA


A distribuição de Bernoulli é um caso especial da Distribuição Binomial, com n=1

Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja x: nº de bolas verdes. Determinar P(x).

P(x) = 20/50 = 2/5 = 0,4 = 40%

Var(X) = p.q = (2/5).(3/5) = 6/25

ESTATÍSTICA

EXEMPLO:


Distribuição BinomialDisciplina de Probabilidade e Estatística

ESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Estuda o comportamento amostral de eventos dicotômicos.

Masculino / FemininoSatisfeito / InsatisfeitoAtrasado / Não-atrasado

Estes eventos são denominados designativos

(sim / não ou sucesso / fracasso)

ESTATÍSTICA


Ocorre em experimentos que satisfaçam as seguintes condições:

a. O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n);

b. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas;

c. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados;

d. No decorrer do experimento, a probabilidade de sucesso e de insucesso manter-se-ão constantes.

ESTATÍSTICA

EXPERIMENTO BINOMIAL

Tem as seguintes características:

( 1 ) consiste de n ensaios;

( 2 ) cada ensaio tem apenas dois resultados: sim ou não;

( 3 ) os ensaios são independentes entre si;

( 4 ) com probabilidade de ocorrer sim, sendo uma constante

entre 0 e 1.Exemplo: Lançamento de uma moeda 3 vezes e observar o número de caras. n = 3 = 0,5

ESTATÍSTICA


ESTATÍSTICA


Binômio de Newton

ESTATÍSTICA

Simplificando a Fórmula:

Cálculo Probabilístico (Distribuição Binomial):

P (r) = n! . pr . (1 - p)n-r

r! . (n - r)!

n = número de tentativas ou repetições do experimento

r = proporção desejada de sucessosn - r = proporção esperada de fracassosp = probabilidade de sucessos


Distribuição de PoissonDisciplina de Probabilidade e Estatística

ESTATÍSTICA

Siméon Denis Poisson (1781-1840)

Foi um matemático e físico francês.

Nascimento: 21 de junho de 1781, Pithiviers, França

Falecimento: 25 de abril de 1840, Sceaux, França

Educação: École Polytechnique

ESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Considera as situações em que se avalia o número de ocorrências de um tipo de evento por unidade de tempo, de comprimento, de área, ou de volume.

Exemplos: Número de consultas a uma base de dados em um minuto; Número de pedidos a um servidor num intervalo de tempo; Número de erros de tipografia em um formulário; Número de defeitos em um m2 de piso cerâmico;

ESTATÍSTICA


SUPOSIÇÕES:- Independência entre as ocorrências do evento considerado;- Os eventos ocorrem de modo aleatório (não há tentativas de

aumentar ou reduzir as ocorrências do evento, no intervalo considerado)

ESTATÍSTICA


x = número de ocorrências no intervaloλ (lambda) = número médio de ocorrências no intervalo

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287

Observação: e = Número de Euler, Número de Nápier, Número de Neper, Número Neperiano

ESTATÍSTICA

EXEMPLO:

Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3 consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no próximo minuto não ocorra nenhuma consulta:

!0

3)(

03

e

xp

%9787,4049787068,0)( xp

ESTATÍSTICA

EXEMPLO:

Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3 consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorra apenas 1 consulta:

!1

3)(

13

e

xp

%9336,141493361205,0)( xp

ESTATÍSTICA

EXEMPLO:

Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3 consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram 2 consultas:

!2

3)(

23

e

xp

%4042,22224041808,0)( xp

ESTATÍSTICA



Distribuição NormalDisciplina de Probabilidade e Estatística

ESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL x DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Média, Moda e Mediana

x

y

x

y


Variável dicotômica (sim ou não, sucesso ou

fracasso)

Dá para enumerar os possíveis resultados

Variável contínua (infinitos resultados possíveis)

Não dá para enumerar os possíveis resultados

ESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÃO NORMAL


x

y Variável contínua (infinitos resultados possíveis)

Não dá para enumerar

os possíveis resultados

ESTATÍSTICA

CURVA NORMAL

É descrita pela média e pelo desvio padrão.

A mediana, a média e a moda coincidem.

A curva é simétrica ao redor da média.

A curva é mesocúrtica.Média, Moda e

Medianax

y

ESTATÍSTICA

CURVA NORMAL

As inferências em pesquisas em administração estão baseadas em dados, cuja distribuição é normal.

A curva normal (Gauss) é simétrica, unimodal e tem forma de sino.

É assintótica em relação ao eixo horizontal (eixo x).


x

y

ESTATÍSTICA

CURVA NORMAL

ESTATÍSTICA

A ESTATÍSTICA Z

0x

y

1 DP 1 DP

2 DP2 DP

3 DP 3 DP

-1 +1-2 +2 +3-3

A estatística Z (standard score) está baseada na curva normal.

Mede o afastamento de um valor em relação a média em unidades de desvios padrão.

Z = x - x

s

ESTATÍSTICA

A ESTATÍSTICA Z

0

x

y

-1 +1-2 +2 +3-3

Exemplo:

A altura média dos estudantes da ESTÁCIO é de 1,70m com desvio padrão de 10cm

Z = x - x

s

z

170160 180150140 190 200

ESTATÍSTICA

ÁREAS DA CURVA NORMAL

Áreas

-1DP a +1DP 68,27%

-2DP a +2DP 95,45%

-3DP a +3DP 99,73%

-1,96DP a +1,96DP 95%

Média a 1DP 34,13%

Média a 2 DP 47,72%

Média a 3DP 49,86%

Média, Moda e Mediana x

y

1 DP 1 DP

2 DP2 DP

3 DP 3 DP

-1 DP +1 DP-2 DP +2 DP +3 DP-3 DP

ESTATÍSTICA


0

x

y

-1 +1-2 +2 +3-3 z

34,13%

47,72%

49,86%

ESTATÍSTICA


0

x

y

-1 +1-2 +2 +3-3 z

68,27%

95,45%

99,73%

ESTATÍSTICA

TABELA Z

ESTATÍSTICA


(continuação)

ESTATÍSTICA


No Microsoft Excel

=DIST.NORM (x; média; s; 1) - 1

= DIST.NORMP (z) - 1

Fornece o valor da área entre x e a cauda

direita.

Fornece o valor da área entre z e a cauda

direita.

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS

1) O processo de fabricação de uma determinada empresa apresenta a média de peso de uma peça igual a 100g e desvio padrão de 1,5 g. Qual é a proporção de peças entre 100 e 102g?

100 102

0 ?

x

z

Z = (x - média) / desvio padrão = (102 - 100) / 1,5 = 1,33

na tabela qdo z = 1,33 a área é de 50% - 9,18% = 40,82%

?

ESTATÍSTICA

2) Calcule as seguintes proporções de peças:

(a) com peso entre 98 e 102g

(b) abaixo de 98g

(c) acima de 102g

(d) abaixo de 100g

(e) abaixo de 96,5g

Fonte Bibliográfica

BARBETA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 5.ed. Florianópolis: UFSC, 2006.

BARBETA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2008.

BRUNI, A. L. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo: Atlas, 2010.

BRUNI, A. L. Excel Aplicado à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo: Atlas, 2010.

CASTANHEIRA, N. P. Estatística Aplicada a Todos os Níveis. 5.ed. São Paulo: IBPES, 2010.

CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009.

LEVIN, J. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. 7.ed. São Paulo: Harbra, 2007.

SPIEGEL, M. R. Estatística. 8.ed. São Paulo: Makron Books, 2006.

STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 2007.

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The Wrap-up

A little knowledge of statistic helps you understand a lot about the information which is presented to you.

Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em...

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