CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA CADE 2013 - STELLA

PROFESSORES PAULINHO E ADRIANO

PROPORCIONALIDADE

Os problemas de divisão de uma certa quantidade em partes diretamente (ou até inversamente) proporcional a determinados números dados aparecem com bastante frequência em situações do nosso quotidiano (tais como divisão dos lucros entre os sócios de uma empresa, divisão de uma herança entre alguns irmãos...) . Assim é mais que justificável que demos uma atenção a resolução de algumas situações - problema como essas. Para isso vamos fazer algumas definições e observações relacionadas de alguma forma com esses problemas.

1. RAZÃO

Denomina-se razão entre dois númerosa e b ( ), nessa ordem, o quociente ou a:b.

1.2.RAZÕES ESPECIAIS

Existem algumas razões especiais que são muito utilizadas no nosso dia-a-dia e das quais você já deve ter ouvido falar: escala, velocidade média, e densidadedemográfica.

a) ESCALA

Quando queremos representar com um desenho um esboço de objetos (móveis, automóveis, etc.), a planta de uma casa, a fachada de um prédio, um mapa ou uma carta geográfica, a maquete de um edifício etc., usamos uma escala. Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho e o correspondente comprimento real, ambos medidos na mesma unidade.

b) VELOCIDADE MÉDIA

c) DENSIDADE DEMOGRÁFICA OU DENSIDADE DA POPULAÇÃO

O cálculo da densidade demográfica de uma região é também uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetros quadrado dessa região. Assim, densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de seus habitantes e a área ocupada pela região, ou seja:

Curso de Matemática Básica - CAdE 1

velocidade média =distância percorridatempo gasto para percorrê-la

densidade demográfica =número de habitantesárea

escala =comprimento do desenhocomprimento do real

2. PROPORÇÃO

Denominamos de proporção a igualdade de duas razões.

OBSERVAÇÕES

· Na proporção: ou a:b=c:d, com e , tem-se:

a e d são chamados extremos.

b e c são chamados meios

· Principais propriedades das proporções:

3. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais) quando a RAZÃO entre os valores assumidos pela primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda grandeza se mantém constante, ou seja,

( k= constante de proporcionalidade)

OBSERVAÇÃO:

Do ponto de vista gráfico quando duas grandezas a e b são diretamente proporcionais a sua representação gráfica num sistema cartesiano é uma reta passando pela origem

a

b0


4. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando O PRODUTO entre os valores assumidos pela primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda grandeza se mantém constante, ou seja,

(k= constante de proporcionalidade)

OBSERVAÇÃO:

Do ponto de vista gráfico quando duas grandezas a e b são diretamente proporcionais a sua representação gráfica num sistema cartesiano é uma hipérbole.

a

b0

5. REGRAS DE TRÊS

Chamamos de regra de três aos problemas nos quais figura uma grandeza (incógnita) que é diretamente ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. Os chamados problemas de regra três podem ser classificados como problemas de regra de três simples ou de regra de três composta. No primeiro são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra (que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais) e deveremos então, com o uso de uma proporção adequada, achar o segundo valor dessa segunda grandeza levando em conta o fato das duas grandezas serem diretamente ou inversamente proporcionais. Já no segundo caso trataremos com mais de dois pares de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

EXERCÍCIOS

01. (ENEM) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km2 de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo. Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km2, é de:

a)250 b)25 c)2,5 d)0,25 e)0,025

02. (ENEM) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?


a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros

03. (ENEM) Já são comercializados no Brasil veículos com motores que podem funcionar com o chamado combustível flexível, ou seja, com gasolina ou álcool em qualquer proporção. Uma orientação prática para o abastecimento mais econômico é que o motorista multiplique o preço do litro da gasolina por 0,7 e compare o resultado com o preço do litro de álcool. Se for maior, deve optar pelo álcool. A razão dessa orientação deve-se ao fato de que, em média, se com um certo volume de álcool o veículo roda dez quilômetros, com igual volume de gasolina rodaria cerca de

a) 7 km. b) 10 km. c) 14 km. d) 17 km. e) 20 km.

04. (ENEM) O lavrador de Ribeirão Preto recebe em média R$ 2,50 por tonelada de cana cortada. Nos anos 80, esse trabalhador cortava cinco toneladas de cana por dia. A mecanização da colheita o obrigou a ser mais produtivo. O corta-cana derruba agora oito toneladas por dia. O trabalhador deve cortar a cana rente ao chão, encurvado. Usa roupas mal-ajambradas, quentes, que lhe cobrem o corpo, para que não seja lanhado pelas folhas da planta. O excesso de trabalho causa a "birola": tontura, desmaio, cãibra, convulsão. A fim de aguentar dores e cansaço, esse trabalhador toma drogas e soluções de glicose, quando não farinha mesmo. Tem aumentado o número de mortes por exaustão nos canaviais. O setor da cana produz hoje uns 3,5% do PIB. Exporta US$ 8 bilhões. Gera toda a energia elétrica que consome e ainda vende excedentes. A indústria de São Paulo contrata cientistas e engenheiros para desenvolver máquinas e equipamentos mais eficientes para as usinas de álcool. As pesquisas, privada e pública, na área agrícola (cana, laranja, eucalipto, etc.) desenvolvem a bioquímica e a genética no país. Folha de S. Paulo, 11/3/2007 (com adaptações).

Considere-se que cada tonelada de cana-de-açúcar permita a produção de 100 litros de álcool combustível, vendido nos postos de abastecimento a R$ 1,20 o litro. Para que um corta-cana pudesse, com o que ganha nessa atividade, comprar o álcool produzido a partir das oito toneladas de cana resultantes de um dia de trabalho, ele teria de trabalhar durante:

a) 3 dias. b) 18 dias. c) 30 dias. d) 48 dias. e) 60 dias.

05. (ENEM) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A até uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distancia entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de

a) 1:250 b) 1:2500 c) 1:25000 d) 1:250000 e) 1:25000000

06. (ENEM) Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 × 109 anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta! Na teoria do "BIG BANG", o Universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e expansão de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de:

a) 100 anos. b) 150 anos. c) 1000 anos. d) 1500 anos. e) 2000 anos.


07.(ENEM) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente. Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?

a) 600, 550, 350 b) 300, 300, 150 c) 300, 250, 200 d) 200, 200, 100 e) 100, 100, 50

08.(ENEM) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.

Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?

a) I b) II c) III d) IV e) V

09. A presença de nitrogênio sob a forma de nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e deixa a água imprópria para o consumo humano, ou seja, não potável. Uma Portaria do Ministério da Saúde limita a concentração de nitrato em, no máximo, 10 mg/litro. Quando essa concentração ultrapassa tal valor, uma maneira de reduzi-la é adicionar água limpa, livre de nitrato. Uma análise feita na água de um reservatório de 12.000litros , constatou a presença de nitrato na concentração de 15mg/litro. Com base em tais informações, a quantidade mínima de litros de água limpa que se deve acrescentar para que o reservatório volte aos padrões normais de potabilidade é

A) 6.000 litros B) 12.000 litros C) 4.000 litros D) 18.000 litros. E) 8000 litros

10.(ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.


Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?

Resposta: 21cm x26 cm

11. (ENEM) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodiesel ao óleo diesel comercializado nos postos.A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodiesel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodiesel, bem como possibilita a redução da importação de diesel de petróleo.

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).

Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodiesel ao diesel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodiesel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final diesel/biodiesel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodiesel com a adição de 3%?

A) 27,75 milhões de litros. B) 37,00 milhões de litros. C) 231,25 milhões de litros.D) 693,75 milhões de litros. E) 888,00 milhões de litros.

12. (UFMS) Em um determinado mês, o dólar estava sendo cotado a R$ 3,50 no mercado de câmbio, ou seja, U$ 1,00 = R$ 3,50. Se houver uma valorização do real em relação ao dólar de 25%, então podemos afirmar que:

a) O dólar sofrerá uma desvalorização de 25%. b) O dólar sofrerá uma desvalorização de 20%.c) O dólar sofrerá uma desvalorização de 30%. d) A cotação do dólar passou a ser de R$ 2,62.e) A cotação do dólar passou a ser de R$ 3,00.

13. (ENEM) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria:

A) manter sua proposta. B) oferecer 4 máquinas a mais. C) oferecer 6 trabalhadores a mais.D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.

14.(ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos


primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de

A) 920 kg B) 800 kg C) 720 kg D) 600 kg E) 570 kg

15.(ENEM) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de SpaFrancorchamps, parado no Box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:

A) 617 kg B) 668 kg C) 680 kg D) 689 kg E) 717 kg

16. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual éA) "Leve dois e pague um” B) "Leve três e pague um”C) "Leve três e pague dois” D) "Leve quatro e pague três” E) "Leve cinco e pague quatro”

17. Você entra em um restaurante para comer pizza e espera pagar uma quantia proporcional à quantidade de comida pedida. Se uma pizza com 20 cm de diâmetro custa R$ 3,60, quanto você espera pagar por uma outra do mesmo sabor com 30cm de diâmetro?

A) R$ 5,40 B) R$ 5,80 C) R$ 6,60 D) R$ 7,50 E) R$ 8,10

18. Paulinho está sempre apressado. Quando usa a escada rolante de uma estação de metrô, costuma subir alguns degraus no percurso para ganhar tempo. Considerando que, quando ela sobe 8 degraus, gasta 50 segundos no percurso de toda a escada e, quando sobe 12 degraus, gasta 40 segundos, então, o total de degraus dessa escada é

a) 22 d) 30 b) 24 e) 32 c) 28

19. Dois automóveis iniciam a passagem sobre uma ponte de 840 m em linha reta e sentidos opostos. Enquanto um percorreu 30m, o outro percorre 40m.

a) Calcule a quantos metros do meio da ponte eles se cruzam?

b) Calcule a distância que falta para o mais lento sair da ponte, no instante que o carro mais rápido acaba de ultrapassá-la? Resposta: a) 60m b)210m

20. Um canavial tem a forma de um quadrado com 50m de lado e um lavrador consegue ceifá-lo em 4dias. Em quantos dias o mesmo lavrador ceifaria um canavial quadrado com 100m de lado?Resposta: 16 dias

21. O consumo de um combustível de um trator de arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. Esse mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare. Podemos estimar que, em 10 horas de trabalho, esse trator poderá arar cerca de:


a) 12 hectares b) 15 hectares c) 8 hectaresd) 6 hectares e) 10 hectares

22. (ENEM) O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y?a) 25 min b) 15 min c) 2,5 min d) 1,5 min e) 0,15 min

23. Considere o seguinte mapa do Brasil:


Observando a escala do mapa, podemos notar que 1 cm no desenho equivale a 400km no real. Assim, sabendo que no desenho a distância entre as cidades de São Paulo e Belo Horizonte mede 1,2cm, a distância real entre essas cidades, em km, é igual a:

a) 480 d) 500b) 520 e) 400c) 360

24.(ENEM)Um leitor encontra o seguinte anúncio entre os classificados de um jornal:

Interessado no terreno, o leitor vai ao endereço indicado e, lá chegando, observa um painel com a planta a seguir, onde estavam destacados os terrenos ainda não vendidos, numerados de I a V:

Considerando as informações do jornal, é possível afirmar que o terreno anunciado é oa) I b) II c)III d)IV e) V

25.(ENEM)

Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam, respectivamente:

a) R$ 300,00 a R$ 500,00 b) R$ 550,00 a R$ 850,00


c) R$ 650,00 a R$ 1000,00 d) R$ 650,00 a R$ 1300,00e) R$ 950,00 a R$ 1900,00

26. (ENEM) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares.

As fórmulas que determinam esses índices são:

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a

a) 0,4 cm/kg1/3 b) 2,5 cm/kg1/3 c) 8 cm/kg1/3d)20 cm/kg1/3 e) 40 cm/kg1/3

27.(ENEM) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

a) 12 kg b) 16 kg c) 24 kg d) 36 kg e) 75 kg

28.(ENEM) Considere-se que cada tonelada de cana-de-açúcar permita a produção de 100 litros de álcool combustível, vendido nos postos de abastecimento a R$ 1,20 o litro. Para que um corta-cana pudesse, com o que ganha nessa atividade (R$ 2,50 por tonelada de cana, 8 toneladas cortadas por dia), comprar o álcool produzidos a partir das 8 toneladas de cana resultantes de um dia de trabalho, ele teria de trabalhar durante:a) 3 dias b) 18 dias c) 30 dias d) 48 dias e) 60 dias

29. (ENEM) A resistência elétrica e as dimensões do condutorA relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:

resistência (R) e comprimento (ℓ), dada a mesma secção transversal (A);resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (ℓ) ecomprimento (ℓ) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).


Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (ℓ), resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (ℓ ) e área da secção transversal (A) são, respectivamente

a) direta, direta e direta b) direta, direta e inversa c) direta, inversa e diretad) inversa, direta e direta e) inversa, direta e inversa.

30. (ENEM) No monte de Cerro Amazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 cm de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.

Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?

a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200 d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000

31. Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe, foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

33.Em um aquário, há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo-se que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi de:

a) 20% b) 25% c) 37,5% d) 62,5% e) 67%

34. José gasta 30% de seu salário em aluguel. Se o aluguel aumentar 40% e o salário aumentar apenas 20%, que percentagem do salário de José passará a ser gasta em aluguel? Resposta 35%.


35.Muitas joias são constituídas por ligas feitas de uma mistura de ouro puro com outros metais. Uma joia

é considerada de ouro n quilates se n

24 de sua massa for de ouro, sendo n um número inteiro. Uma aliança

de ouro 15 quilates tem massa igual a 4 g. Para transformar essa aliança em outra, de ouro 18 quilates, mantendo a quantidade dos outros metais, é necessário acrescentar, em sua liga, uma quantidade de gramas de ouro puro equivalente a:a) 1,0 b) 1,5 C) 2,0 d) 3,0 e) 2,5

6. PORCENTAGENS

Uma porcentagem é uma fração cujo denominador é igual a 100. Para representar uma

porcentagem usamos a consagrada notação x%. Na escola básica é muito comum resolver os problemas de porcentagem através de regras de três, que de longe não são as ferramentas adequadas para atacar os problemas que envolvem porcentagens. Na verdade os fatores de correção, que apresentaremos a seguir são as ferramentas mais eficientes para atacar problemas que envolvem porcentagens. Vejamos

6.1 FATORES DE CORREÇÃO

Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso de haver acréscimo ou decréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor pelo fator de correção. Veja:

Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto, ao invés de 30%, tenha 20% de acréscimo então o fator de correção é 1,20.

Exemplo: Aumentando 10% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, teremos como valor final R$ 20,00 x 1,10 = R$ 22,00.

Veja:

Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto, ao invés de 30%, tenha 20% de desconto, então o fator de correção será de 0,80.

Exemplo: Desconto de 10% sobre o valor de um produto de R$ 50,00, temos R$ 50,00 x 0,90 = R$45,00.

7. JUROS SIMPLES

Chamamos de juros J a remuneração recebida pela aplicação de um capital C, a uma taxa de juros i, durante certo tempo n. Se essa remuneração incidir somente sobre o capital C , a esses juros, chamaremos de juros simples. A soma C + J é chamada de montante e será representada por M. É fácil deduzir que J = Cin e M = C(1+in) no regime de juros simples.

Exemplo: Qual o montante produzido por um capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 9% ao semestre, ao final de 1 ano e 9 meses?

Resolução. Perceba que 1 ano e 9 meses = 21 meses = 3,5 semestres.

Aplicando a fórmula do montante M = C(1+in), teremos: M = 10000(1+0,09.3,5) = R$ 13150,00.


8. JUROS COMPOSTOS

Chamamos de juros compostos à remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplicação, quando a cada período , a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do capital C no período anterior. Sendo assim, teremos: M = C(1 + i)n onde M = montante, C = capital , i = taxa e n = tempo. O fator (1 + i)n é chamado fator de capitalização.

Exemplo: Qual o montante produzido por R$ 10000, à taxa de juros compostos de 6% ao mês, durante 5 meses?

Resolução: Sabendo que M = C(1 + i)n e substituindo os dados do enunciado vem que:

M = 10000(1 + 0,06)5

M = 10000 . 1,065

M = 10000 . 1,338225

M = R$ 13382,25

EXERCÍCIOS

01. Alguns especialistas recomendam que, para um acesso confortável aos bebedouros por parte de crianças e usuários de cadeiras de rodas, a borda desses equipamentos esteja a uma altura de 76,2 cm do piso, como indicado na figura a seguir.

Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de 91,4 cm do piso à borda excedeu a altura recomendada. Dentre os percentuais a seguir, o que mais se aproxima do excesso em relação à altura recomendada é a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25%

02.O gráfico abaixo fornece o Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBovespa) nos finais dos anos 2000 (ano 0), 2001 (ano 1) até 2008 (ano 8).


Considerando o menor e o maior valor observados do índice, o aumento porcentual em relação ao menor valor foi de aproximadamente:a) 170% b) 270% c) 370% d) 470% e) 570%

03. Em dezembro de 2008, com a crise mundial, uma empresa foi obrigada a demitir, em massa, 60% dos seus empregados. Como, nestes últimos meses, as posições melhoraram muito, os diretores decidiram reabrir as vagas, para a empresa voltar a ter o número de empregados que tinha antes da crise. Para isso, o número atual de empregados deverá ser aumentado em:

a)40% b)60% c)100% d)120% e)150%

04. (ENEM) Em 31 de março deste ano, o IBOVESPA,índice de ações da bolsa de valores de São Paulo estava em 37900 pontos e, alguns analistas financeiros previam uma queda de 10% no mês de abril, seguida de uma alta de 15% no mês de maio. Desse modo, segundo esses analistas, em 31 de maio, o IBOVESPA atingiria um nível de pontos:

a) 5% superior ao de 31 de março b) 3,5% superior ao de 31 de marçoc) 10% superior ao de 30 de abril d) 5% superior ao de 30 de abrile) 2% superior ao de 31 de março

05. Em um período de grande volatilidade no mercado, Rosana adquiriu um lote de ações e verificou, ao final do dia, que ele sofrera uma valorização de 8% em relação ao preço pago na compra. No final do dia seguinte, o mesmo lote sofrera uma desvalorização de 6% em relação ao valor do final do dia anterior; nesse momento, isto é, no final do segundo dia, Rosana decidiu vender o lote e recebeu por ele R$ 10.152,00. Entre a compra e a venda, ela ganhou x reais. A soma dos algarismos de x é:a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

06. (ENEM) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$3800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor dea) R$ 4 222,22 b)R$ 4 523,80 c)R$ 5 000,00d)R$ 13 300,00 e)R$ 17 100,00

07.Em uma semana, as ações de certa companhia valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das ações é:a) O mesmo que o valor inicial b) Maior em 2% que o valor inicialc) Menor em 2% que o valor inicial d) Maior em 4% que o valor iniciale) Menor em 4% que o valor inicial


09. Durante sua viagem ao país das Maravilhas, a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas, da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: “beba-me e fique 25% mais alta. A seguir, comeu um pedaço de uma torta na qual estava escrito: prove-me e fique 10% mais baixa”; logo após, tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: “beba-me e fique 10% mais alta”. Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito: “prove-me e fique 20% mais baixa”. Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela:a) ficou 1% mais baixa b) ficou 1% mais alta c) ficou 5% mais baixad)ficou 5% mais alta e)ficou 10% mais alta.

10. Num grupo de 400 pessoas, 70% são não fumantes. O número de fumantes que devemos retirar do grupo, para que 80% das pessoas restantes sejam não fumantes, é:a)35 b)40 c)45 d)50 e)55

11. Na população de uma espécie rara de 1000 aves da floresta amazônica, 98% tinham cauda de cor verde. Após uma misteriosa epidemia que matou somente aves com cauda verde, esta porcentagem caiu para 95%. Quantas aves foram eliminadas com a epidemia?a)300 b)400 c)500 d)600 e)700

12. Há três anos, a população de Pitimbu era igual à população de Caaporã de hoje. Nos três últimos anos, a população de Pitimbu não mudou, mas a população de Caaporã cresceu 50%. Atualmente, as duas cidades somam 90000 habitantes. Há três anos, qual era a soma das duas populações?a)36000 b)45000 c)50000 d)60000 e)75000

13.(ENEM) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$_80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A) opção que dá a João o menor gasto seria A renegociar suas dívidas com o banco.B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.C)recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.D)pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.E)pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

14. Um comprador pagou um mercadoria em duas parcelas iguais, sendo uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. Se o preço à vista era de R$ 430,00 e se lhe foi cobrada uma taxa de juros de 15% ao mês, o valor de cada parcela foi de:

a)R$ 225,00 b)R$ 230,00 c)R$ 247,25 d)R$ 250,00 e) R$ 240,00

15. Uma loja oferece duas formas de pagamento a seus clientes: 10% de desconto sobre o preço anunciado se o pagamento for à vista, ou o preço anunciado, dividido em duas parcelas iguais: a primeira no ato da compra e a segunda no trigésimo dia após a compra. A taxa mensal de juros efetivamente cobrada, no pagamento parcelado, é de:

a) 10 % b) 15 % c) 25 % d) 30 % e) 50 %


16. (ENEM) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá

a) Escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%b) Escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%c) Escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.d) Escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento Ce) Escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

17. (ENEM) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa éa) A poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80b) A poupança, pois totalizará um montante de R$ 500, 56c) O CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38d) O CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21e) O CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87

18. (ENEM) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:

Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55.000,00; Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30.000,00, e mais uma prestação de R$

26.000,00 para dali a 6 meses. Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20.000,00, mais uma prestação de R$ 20.000,00,

para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para dali a 12 meses da data da compra.


Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15.000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39.000,00

Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60.000,00.

Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor), em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo. Após avaliar a situação do ponto financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19 .Numa loja, uma caixa com 5 barras de chocolate está à venda com a inscrição: “Leve 5 e pague 4”. Qual o desconto percentual aplicado ao preço de cada barra?Resposta: 20%

20. Um banco cobra uma taxa de juros simples de 30% ao mês sobre os saldos negativos das contas de cheques especiais. Considerando–se o extrato mensal da conta corrente a seguir, qual o valor dos juros que o banco cobra no respectivo mês?

Resposta: R$ 265,00

21.(ENEM) Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%.

Disponível em: planetasustentavel.abril.com.br.Acesso em: 02 maio 2009.

Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente,a) 22,5% b) 50,0% c) 52,3% d) 65,5% e)77,5%.

22.(ENEM) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados


Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de aproximadamentea) 1 mm b) 10 mm c) 17 mm d) 160 mm e)167 mm

23.Em 2008, o salário mínimo do Brasil foi reajustado pela variação do INPC (Índice Nacional de Preços do IBGE) do ano anterior, acrescido da expansão real do PIB (Produto Interno Bruto) de 2 anos antes. Portanto, em 28 de fevereiro desse ano, quando o PIB de 2006 foi divulgado, já se sabia que o salário mínimo, em 2008, teria um aumento real (acima da inflação) de 2,9%. Ocorre que o IBGE reformulou a metodologia de cálculo e os novos números, divulgados um mês após, em 28 de março, mostraram que o real crescimento do PIB em 2006 foi de 3,7%, percentual que, então, foi utilizado para o aumento real do salário mínimo, em 2008. Desse modo, a nova metodologia de cálculo do PIB, comparada à anterior, proporcionou ao ganho real do salário mínimo de 2008 um acréscimo da ordem de:a) 8% b) 28% c) 0,8% d) 3% e) 20%

24.Muitas jóias são constituídas por ligas feitas de uma mistura de ouro puro com outros metais. Uma joia

é considerada de ouro n quilates se n

24 de sua massa for de ouro, sendo n um número inteiro. Uma aliança

de ouro 15 quilates tem massa igual a 4 g. Para transformar essa aliança em outra, de ouro 18 quilates, mantendo a quantidade dos outros metais, é necessário acrescentar, em sua liga, uma quantidade de gramas de ouro puro equivalente a:A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 3,0 E) 2,5

25. Uma dona de casa pretende comprar uma geladeira nova. Na loja que oferece o melhor preço, há duas opções de pagamento:1ª) à vista, por R$840,00;2ª) em duas parcelas de R$440,00, com a primeira no ato da compra e a segunda após 30 dias. Comparando as duas propostas, ela concluiu que a loja trabalha com uma taxa de juros de:

a) 5% ao mês b) 5% ao bimestre c) 10% ao mês d) 10% ao bimestre e) 15% ao mês


26. (ENEM) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite.Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras a seguir:

A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TvB é APROXIMADAMENTE igual a: a) 15% b) 20% c) 22% d) 27% e) 30%

27.Dados colhidos por meio do monitoramento por satélite demonstram que uma região florestal de área 100 km2 vem diminuindo, desde o ano 2006, devido à exploração humana, e que essa área, no final de 2007, estava reduzida a 64 km2. Se, em janeiro de 2008, foram iniciados uma ação de intensa fiscalização e um programa de replantio que recupere, a cada ano, 20% da área existente, pode-se esperar que essa região volte a ter sua área original em:

a) 1 ano b) 2 anos c) 3 anos d) 4 anos e) 5 anos

28.(ENEM)Um laboratório realiza exames que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com as informações a seguir.

Hipoglicemia: taxa de glicose menor ou igual a 70 mg/dL Normal: taxa de glicose maior que 70 mg/dL emenor ou igual a 100 mg/dL Pre-diabetes: taxa de glicose maior que 100 mg/dL emenor ou igual a 125 mg/dL Diabetes Melito: taxa de glicose maior que 125 mg/dL emenor ou igual a 250 mg/dL Hiperglicemia; taxa de glicose maior que 250 mg/dL

Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estavam com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose apos as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de:

a) hipoglicemia b) normal c) pre-diabetes d) diabetes melito e) hiperglicemia.ENEM

29.(ENEM)O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 as 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.


Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela:

Investidor Hora da Compra Hora da Venda1 10:00 15:002 10:00 17:003 13:00 15:004 15:00 16:005 16:00 17:00

Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 530. “Receita bate novo recorde e acumula alta de quase 10%.” Esta foi a manchete dos jornalistas Fabio Granero e Gustavo Freire para O Estado de S. Paulo de 19 de outubro de 2007. O corpo da matéria, ilustrada pelo gráfico abaixo, informa que “a arrecadação da Receita federal em setembro totalizou R$ 48,48 bilhões, um recorde para o mês. De janeiro a setembro ficou em R$ 429,97 bilhões que, corrigidos pela inflação, somam R$ 435,01 bilhões, com crescimento de 9,94% ante o mesmo período de 2006. O secretário adjunto da Receita Federal destacou que, de janeiro a setembro, a expansão das receitas, na comparação com igual período de 2006, foi de 11,14%”.


Pode-se concluir, então, que:

a) a arrecadação da Receita Federal, de janeiro a setembro de 2007, foi crescente.b) em setembro de 2007, a Receita Federal arrecadou 10% a mais do que foi arrecadado em setembrode 2006.c) a arrecadação de setembro de 2007 foi 11,14% maior que a de janeiro de 2007.d) em 2007 a arrecadação foi crescente nos períodos de fevereiro a abril, e de maio a agosto.e) no período de julho a setembro de 2007, a arrecadação da Receita Federal foi decrescente.

31. O gráfico abaixo apresenta a taxa de crescimento dos voos domésticos no Brasil, por ano, em relação ao ano anterior, entre 2006 e 2011,. Verifica-se que a estimativa para a taxa de 2011 em relação a 2010 é de 49%.


Segundo os dados apresentados (mantida a estimativa para 2011), pode-se afirmar que a taxa de crescimento estimada para o número de voos em 2011 em relação ao número de voos em 2008 é de aproximadamente:a) 85% b) 95,2% c) 102,6% d) 110% e) 138%

32. O preço de um produto na loja A é 20% maior do que na loja B, que ainda oferece 10% de desconto para pagamento à vista. Sérgio deseja comprar esse produto pagando à vista. Nesse caso, para que seja indiferente para ele optar pela loja A ou pela B, qual o desconto oferecido pela loja A para pagamento à vista? Resposta: 25%

33. (ENEM) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de

A) 16% B) 24% C) 32% D) 48% E) 64%

34. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? Resposta: 5%

35. Uma loja vende um aparelho de televisão por R$ 500,00 à vista ou então a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$ 440,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos deste financiamento?Resposta: aproximadamente 4,9%

36. Se o seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de compra?a) 20 % b) 21 % c) 23 % d) 25 % e) 24%


37. Numa população, 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual a percentagem de homens na população? Resposta: 40%.

38.Um tanque contém 800 litros de combustível, nos quais 24% são de álcool e 76% de gasolina. Sabendo-se que o tanque tem capacidade de 1000litros, quantos litros de gasolina devem ser despejados no tanque a fim de que o combustível resultante tenha apenas 20% de álcool? R. 160 litros

39.Numa festa, o número de pessoas que dançam é igual a 25% do número de pessoas que não dançam. Qual é a porcentagem do total de pessoas na festa que não dançam?A) 50% B) 60% C) 75% D) 80% E) 84%

40. Se o comprimento de um retângulo é aumentado de 20% e sua largura é aumentada de 50%, então a sua área aumenta de:a) 120% b) 110% c) 100% d) 80% e) 70%

41. Diamantino colocou em um recipiente três litros de água e um litro de suco composto de 20% de polpa e 80% de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final é polpa?A) 5% B) 7% C) 8% D) 20% E) 60%

42. Uma companhia de teatro vai iniciar uma temporada especial, a preços reduzidos. O preço normal da entrada é de R$ 20,00. Pretende-se reduzir o preço de tal modo que a frequência semanal aumente 50% e a receita correspondente aumente 25%. Em quantos reais terá de ser reduzido (aproximadamente) o preço da entrada?a) 1,80 b) 2,10 c)3,50 d)4,50 e)3,30

43. João comprou uma geladeira e pagou em duas parcelas iguais de R$ 525,00. A primeira parcela foi paga à vista e a segunda, após um mês. Sabendo que a loja cobra juros de 5% sobre o saldo devedor, determine o preço da geladeira à vista.

44. Maria pretende comprar um computador cujo preço é R$ 900,00. O vendedor da loja ofereceu dois planos de pagamento: parcelar o valor em quatro parcelas iguais de R$ 225,00, sem entrada, ou pagar à vista, com 5% de desconto. Sabendo que o preço do computador será o mesmo no decorrer dos próximos quatro meses, e que dispõe de R$ 855,00, ela analisou as seguintes possibilidades de compra:OPÇÃO 1 – Comprar a vista com descontoOPÇÃO 2 – Colocar dinheiro em uma aplicação que rende 1% de juros compostos ao mês que comprar, no final de quatro meses, por R$ 900,00 OPÇÃO 3 – Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 1% de juros compostos ao mês e comprar a prazo, retirando todo mês o valor da prestaçãoOPÇÃO 4 – Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 2% de juros compostos ao mês e comprar três meses depois pelos R$ 900,00.

Entre as opções analisadas por Maria, a que oferece maior vantagem financeira no momento é:

a) Opção 2 b) Opção 1 c) Opção 4 d) Opção 3 e)Indiferente45. Numa eleição para governador, um candidato obteve 50% dos votos de todo o colégio eleitoral do estado. Se o percentual dos votos inválidos desta eleição foi de 20%, podemos afirmar que o percentual dos votos válidos obtidos por este candidato foi de:a) 30% b) 40% c) 62,5% d) 67,5% e) 60%


46. Uma mercadoria sofreu um aumento de (2 x )%, sendo x um número positivo. Algum tempo depois, em uma promoção, ela foi vendida com um desconto de x% . Se o total pago pelo cliente nessa ocasião foi igual ao preço da mercadoria antes do aumento, o valor de x é aproximadamente:a) 33,3 b) 41,4 c) 50,0 d) 66,7 e) 100,0

47. Numa cidade em que o número de eleitores é o dobro do número de pessoas que não votam, os dois únicos candidatos a prefeito tiveram o seguinte desempenho nas urnas:

Considerando-se que os votos brancos e nulos não são válidos, e que o candidato A teve 2 520 votos a mais que o candidato B, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o percentual aproximado de votos válidos do candidato vencedor e a população da cidade.a) 36,6% e 15 750 b) 36,6% e 21 000 c) 36,6% e 26 750d) 63,4% e 15 750 e)63,4% e 21 000

48.Certo automóvel vale hoje R$ 10000,00 e seu valor diminui 20% ao ano. Carlos tem hoje uma poupança de R$ 5000,00 aplicada com rendimento de 10% ao ano. A quantia que faltará para Carlos comprar esse mesmo automóvel daqui a dois anos, é de:a)R$2000,00 b)R$350,00 c)R$1000,00 d)R$0,00 e)R$700,00

49 Uma mercadoria é vendida com entrada de R$ 500,00 mais 2 parcelas fixas mensais de R$ 576,00. Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 20% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual aa)R$ 1.380,00 b) R$ 1.390,00 c) R$ 1.420,00d) R$ 1.440,00 e) R$ 1.460,00

50. No regime de juros compostos, a taxa de juros anual que produz um montante de 44% superior ao capital inicial, no prazo de aplicação de 2 anos, é:a) 20% b) 21,5% c) 20,5% d) 21% e) 22%

MÉDIAS

Uma média de uma lista de números é um valor que pode substituir todos os números da lista sem alterar uma determinada característica dessa lista. Se essa característica for a soma dos números da lista


essa média é denominada de média aritmética e neste caso teremos: Se x1 , x2, x3, ... , xn é uma lista de números dados a média aritmética é um número A que satisfaça a igualdade

e portanto,

Já se a característica da lista (que agora dever ser constituía apenas de números reais cujo produto é positivo) a ser preservada for o produto dos seus elementos chamamos a média de média geométrica o número positivo G obtido através da igualdade

e portanto temos que

Um terceiro tipo de média que comumente surge um problemas práticos é a média aritmética ponderada que ,em verdade, é uma média aritmética de uma lista de números que não são todos distintos. Assim podemos defini-la da seguinte forma: considere uma lista de números reais tais que existam p1 números iguais a x1 , p2 números iguais a x2 , p3 números iguais a x3, ... , pn números iguais a xn definimos a média aritmética ponderada dos elementos dessa lista como sendo o número

onde os números p1, p2, p3, ...,pn são os chamados pesos dos elementos x1, x2, x3, ...,xn da lista dada.

Existem muitos outros tipos de médias de uma lista de números dados, no entanto direcionando o assunto para as aplicações mais simples (que é o que usamos com mais frequência em situações do cotidiano e consequentemente mais abordadas em questões de vestibulares atuais) as três mais exploradas são as médias aritmética, geométrica e ponderada que foram acima citadas.· Quando a lista de números x1, x2, x3, ...,xn é constituída de números reais positivos demonstra-se

que G A e mais ainda; que G=A se, e somente se, x1= x2= x3= ...=xn . (este fato é conhecido em

Matemática como a desigualdade das médias (aritmética e geométrica, é claro!). Em particular no caso em que segue que

EXERCÍCIOS

01. A média aritmética dos elementos de um conjunto de 30 números é 57. Se retirarmos desse conjunto 3 números, de valores 25, 27 e 38, a média aritmética dos elementos do novo conjunto é:


a)57 b) 60 c) 61 d) 59 e) 58

02.A média aritmética das alturas de cinco edifícios é de 85 metros. Se for acrescentado a apenas um dos edifícios mais um andar de 3metros de altura, a média entre eles passará a ser:a) 85,6m b) 86m c) 85,5m d) 86,6m e) 86,5m

03.Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposentou e foi imediatamente substituído por um professor de 23 anos. Por esse motivo, a média das idades dos professores diminuiu 2 anos. Qual a idade do professor que se aposentou? Resposta: 58 anos

04. No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times era de 1,72m. Ainda o primeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68m de altura. No segundo tempo, outro jogador do mesmo time, com 1,73m de altura, foi expulso. A terminar a partida, qual a altura média dos 10 jogadores do time? Resposta: 1,71 (emmetros ) .

05.Em um colégio, há duas turmas de oitava série. Aplicada a prova de matemática, a média na primeira turma 6,4 e a da segunda turma foi 5,8. Se na primeira turma há 30 alunos, e na segunda há 20 alunos, qual foi a média da oitava série nessa prova? Resposta: 6,16

06.O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior à média obtida na primeira rodada?R. 18

07. Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada.

A média das velocidades dos veículos que trafegam nessa avenida é de:a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h

08.A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico:


Dê uma boa aproximação da média das idades destes alunos.

Resposta: 17,5anos.

09. Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a da última prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha retirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser dispensado da recuperação?Resp. A nota do aluno deverá ser igual ou superior a 7,9 para ele ser dispensado da recuperação.

10. A média das notas de todos os alunos de uma turma é 5,8. Se a média dos rapazes é 6,3 e a das moças é 4,3, a porcentagem de rapazes na turma é:a) 60 % b) 65 % c) 70 % d) 75 %

11. Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Matemática valendo 100 pontos. A nota média da turma foi de 70 pontos e apenas 15 dos alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, é CORRETO afirmar que o valor de M é

a) 53 b) 50 c) 51 d) 52

12.(ENEM) Segundo a Associação Brasileira de Alumínio (ABAL), o Brasil foi o campeão mundial, pelo sétimo ano seguido, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5% do que foi utilizado no mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhão de reais anuais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando, assim, "emprego" e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. Essa renda, em muitos casos, serve como complementação do orçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família.

Revista Conhecimento Prático Geografia, n° 22. (adaptado)

Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira em tomo de:a)R$173,00 b)R$343,00 c) R$841,00 d)R$242,00 e) R$504,00

13.A média aritmética das idades de um grupo de médicos e advogados é 40 anos. A média aritmética das idades dos médicos é 35 anos e a dos advogados é 50 anos. Pode-se, então, afirmar que o número de advogados é o dobro do número de médicos no grupo.


a)O número de advogados é o dobro do número de médicos no grupob)O número de médicos é o dobro do número de advogados no grupoc)Há um médico a mais no grupod)Há um advogado a mais no grupoe)Existem as mesmas quantidades de médicos e advogados no grupo

14. (UFCG) Em um concurso, dois candidatos participaram de duas etapas, consistindo de uma prova escrita e de uma prova didática. Pelas normas do concurso, os candidatos foram identificados pelas letras A e B. Suas notas, em cada etapa do concurso, aparecem na tabela abaixo:

Sabendo-se que a nota final é a média ponderada das notas em cada uma das duas etapas e que a soma dos pesos das duas etapas é 10, os pesos das provas escrita e didática são, respectivamente:a) 6 e 4 b) 5 e 5 c) 7 e 3 d) 8 e 2 e) 4 e 8

15.A média aritmética de 20 números reais é 30, e a média aritmética de 30 outros números reais é 20. Qual a média aritmética desses 50 números? Resposta: 24

16.Cada um dos 60 alunos da turma A obteve, na avaliação de um trabalho, nota 5 ou nota 10. A média aritmética dessas notas foi 6. Determine quantos alunos obtiveram nota 5 e quantos obtiveram nota 10.Resposta: 48 e 12

17. Numa prova para uma sala com 30 alunos, a média aritmética das 10 piores notas é 3 e a média aritmética das 10 melhores notas é 9.Qual o menor valor possível e o maior valor possível para a média da sala?Resposta: 5 e 7

18.A média aritmética de um conjunto de 50 números é 38. Se dois números, a saber, 45 e 55, são retirados, a média do conjunto restante é:a) 36,5 b) 37 c) 37,2 d) 37,5

19. O Professor Márcio aplicou uma prova de Matemática valendo 10 pontos. Para ter uma idéia do desempenho da turma, ele organizou a tabela abaixo.

Qual é a única alternativa que mostra um possível valor para a média aritmética das notas da turma?a) 3,9 b) 4,1 c) 4,5 d) 4,9 e) 7,9

20.Analise o gráfico:


Analisando o gráfico acima, observamos as variações, em relação aos pais, nas escolas de filhos fumantes e não fumantes. Considerando a média aritmética entre as quatro capitais de maior incidência de escolares fumantes, identifique entre todas as capitais, aquela que possui a percentagem de escolares que nunca fumaram mais próxima da média aritmética.

a) Aracaju b) Curitiba c) Fortaleza d) João Pessoa e) Porto Alegre

21.Por ocasião de uma campanha salarial, os funcionários de uma pequena empresa pediram ao seu dono e gerente um aumento de 25%. Este, por sua vez, alegou que seria impossível atender a esse índice de aumento, já que o salário médio dos funcionários da empresa era de R$ 970,00, o que, para a época, e em comparação com outras categorias, já era muito alto. Inconformados, os funcionários resolveram estudar melhor o caso e fizeram um levantamento de seus salários. Veja o que obtiveram:

De posse desses resultados, eles argumentaram, com razão, que o salário mais representativo dos funcionários dessa empresa é:

a) R$ 1.450,00, por ser o valor médio dos salários, e não R$ 970,00. b) R$ 4.000,00, por ser o salário mais alto. c) R$ 600,00, pois a metade dos funcionários dessa empresa ganha esse salário. d) R$ 750,00, pois é o salário intermediário entre os três salários mais baixos. e) R$ 450,00, por ser o salário mais baixo.

22. O gráfico representa, em milhares de toneladas, a produção de laranjas na fazenda do professor Portella (Colatina-ES) nos anos de 2000 a 2008.


Analisando o gráfico, observa-se que a produção:

a) foi crescente de 2002 a 2005.b) cresceu em progressão aritmética de 2000 a 2003.c) em 2003 teve acréscimo de 30% em relação ao ano anterior.d) a partir de 2005 foi decrescente.e) teve média de 50 mil toneladas ao ano.

23.Um jogador de basquete participou de 60 partidas e obteve uma média de 8 pontos por partida. Sabendo-se que tais partidas foram realizadas durante duas temporadas e que na primeira temporada a média de pontos foi de 10 pontos e na segunda foi de 4 pontos, a quantidade de partidas jogadas na primeira temporada foi:a) 15b) 40c) 20d) 10e) 824.Um time de futebol tem 11 jogadores cuja média das idades é 24 anos. Álvaro tem 35 anos. Se Álvaro for excluído do time, a média das idades dos 10 jogadores restantes será:a) 22,9 anos b) 22,8 anos c) 22,7 anos d) 22,6 anos e) 22,5 anos

25. Um pacote de viagem de 5 dias para dois passageiros, com destino a um determinado ponto turístico, é vendido por uma operadora de turismo, da seguinte forma

1° passageiro R$898,002° passageiro R$748,00Total 2 passageiros R$1.646,00

De acordo com as informações apresentadas, o gasto médio diário do 1° passageiro supera o do 2° passageiro em:


a)R$20,00 b)R$30,00 c)R$40,00 d)R$50,00 e)R$60,00

PROBLEMAS COM FRAÇÕES

01.(ENEM)Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela.Uma representação possível para essa segunda situação é

02. A professora Luísa observou que o número de meninas de sua turma dividido pelo número de meninos dessa mesma turma é 0,48. Qual é o menor número possível de alunos dessa turma?A) 24 B) 37 C) 40 D) 45 E) 48


03. Uma eleição – Três candidatos concorreram à eleição de representante de uma turma de escola: João, Rosa e Marcos. João obteve 2/7 dos votos e Rosa 2/5 dos votos. Supondo que não ocorreram votos nulos ou em branco, podemos afirmar que:a)João ganhou a eleiçãob)Rosa ganhou a eleiçãoc)Marcos ganhou eleiçãod)A eleição terminou empatada entre dois candidatose)A eleição terminou empatada entre os três candidatos

04. Amigos e frações – Adriano, Bruno, César e Daniel são quatro bons amigos. Daniel não tinha dinheiro, mas os outros tinham. Adriano deu a Daniel um quinto do seu dinheiro, Bruno deu um quarto do seu dinheiro e César deu um terço do seu dinheiro. Cada um deu a Daniel a mesma quantia. A quantia que Daniel possui agora representa que fração da quantia total que seus três amigos juntos possuíam inicialmente?

05. (ENEM)O Café no BrasilO consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.

Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010

Considere que a xícara citada na noticia seja equivalente a, aproximadamente, 120 ml de café. Suponha

que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em 15

do que foi consumido no

ano anterior. De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010?

a) 8 bilhões de litros b) 16 bilhões de litros c) 32 bilhões de litrosd) 40 bilhões de litros e)48 bilhões de litros

06.Um comerciante vendeu 1/5 das laranjas que possuía. Em seguida, vendeu 3/8 das que restavam, tendo ficado com 30 laranjas. Qual o número de laranjas que ele possuía? R. 60.

07.Para que a fração 4/7 não se altere ao multiplicarmos por 3 seu numerador, quantas unidades devem ser somadas ao seu denominador?

08.Uma loja vendeu 2/5 de uma peça de tecido e depois 5/12 do restante. O que sobrou foi vendido por R$ 1.400, 00. Sabendo-se que o tecido foi vendido a R$ 5,00 o metro, o comprimento inicial da peça era de:

a)200m b)400m c) 800m d)1200m e)1600m

09. De um reservatório foram tirados 3/7 de água nele contido mais 2400 litros. Sobraram ainda 2/5 do conteúdo. Quantos litros d’água tinham o reservatório?

10. Um estudante gastou 1/7 do seu salário com alimentação, 5/6 do que sobrou com educação e outras despesas. Restaram ainda R$ 286,34. O salário é de:

a) R$ 3.006,20 b) R$ 4.004,16 c) R$ 2.004,38 d) R$ 1.736,40 e)R$ 2.134,2811.João deu 3/5 do que possuía para seu amigo Carlos e metade do resto à sua colega Alda. Como ficou ainda com R$ 45,00, quanto João possuía?


12.Uma viúva recebeu um terço da herança de seu marido, e cada um de seus três filhos recebeu um terço do restante. Sabe-se que a soma da parte da viúva com a de um de seus filhos foi igual a R$ 45 000,00. Qual o montante total da herança?Resposta: R$ 81000,00.

13. Que horas são, se 2/5 do que falta do dia é igual a 2/3 do tempo já decorrido?Resposta: 9h da manhã.

14.Uma torneira enche um tanque em 2h e outra, encheria o mesmo tanque em 3h. Estando o tanque inicialmente vazio, em quanto tempo, as duas torneiras juntas encheriam o tanque?

15.Um determinado trabalho é feito por João em 9 dias, por José em 12 dias e por Pedro em 18 dias. Qual o número de dias em que os três juntos gastariam para executar esse trabalho? Resposta: 4 dias.

16.Um reservatório é alimentado por duas torneiras que o enchem em 6 horas. Se a primeira, sozinha, enche o tanque em 10 horas, em quanto tempo a segunda funcionando sozinha, deixará o reservatório cheio? Resposta:15 horas.

17.Um mesmo serviço pode ser feito por A em 8 horas e por B em 12 horas, quando operam separadamente. Se durante 3 horas trabalharam juntos nesse serviço, executarão uma parte correspondente a:a)15% b) 24% c) 30% d) 62,5%

18.Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma segunda torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos; ao fim desse tempo, fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x+3 minutos. Calcule o tempo gasto para encher o tanque. Resposta: 15 minutos.

19.Em uma fazenda produtora de soja duas colheitadeiras A e B são utilizadas para a colheita da produção. Quando trabalham juntas conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porém, utilizando apenas a colheitadeira A, em 120 horas. Se o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a colheita será feita em:a) 180 horas b) 165 horas c) 157 horas d) 192 horas e) 250 horas

20.A carga da bateria de uma câmera digital é suficiente para 12 horas desligada ou 2 horas ligada. Sabendo-se que a bateria da câmera descarregou em 8 horas, por quanto tempo ela esteve ligada? Resposta: 48 min.

21. Alexandre, consultando a programação de filmes, decidiu gravar Contato, cuja duração é de 150 minutos. Para gravar uma única fita, ele começou com velocidade menor (modo EP, que permite gravar 6 horas) e, num dado momento, mudou para a velocidade maior (modo SP, que permite gravar 2 horas), de forma que a fita acabou exatamente no fim do filme. Do início do filme até o momento da mudança do modo de gravação, quantos minutos se passaram?Resposta: 45min

22.Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Supondo ambas as vazões constantes, o tanque estará vazio em quanto tempo? R. 12 horas.

23. A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule: a) O número de fumantes da cidade.b) O número de habitantes da cidade.


Resposta: a) 17600 b) 55000

24. Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para os seus três filhos, com o este bilhete: “Dividam igualmente o dinheiro, Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou a terça parte do dinheiro e saiu. O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais. Achou que era o último pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro à mãe deixou?a) 25 reais b)35 reais c)45 reais d)48 reais e)55 reais

25. A figura mostra uma reta numerada na qual estão marcados pontos igualmente espaçados. Os pontos A e B correspondem, respectivamente, aos números 7/6 e 19/6. Qual é o número que corresponde ao ponto C?

a)1/6 b)1/6 c)1/2 d)2/3 e)1


EQUAÇÕES

1.EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

FORMA GERAL: , com .

Raiz:

2.EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

FORMA GERAL: , com .

Denomina-se DISCRIMINANTE da equação do 2º grau ao número , que representamos pela letra (leia: delta).

A equação do 2º grau tem raízes reais (que são os zeros da função quadrática) se, e somente se, ≥ 0.

As raízes são dadas por:

ou seja,

Temos ainda:

• > 0 (as duas raízes são números reais distintos)

• = 0 (raiz dupla)

• < 0 (não existem raízes reais)

OBSERVAÇÕES:

a) Se e são raízes da equação , então .b) (Relações de Girard)

Se e são raízes da equação , então (Relações de Girard).


EXERCÍCIOS

01.Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o professor de Matemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a participar da divisão, cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a percentagem de alunos da turma que contribuíram para a compra do presente?a) 85% b) 65% c) 60% d) 80% e) 75%

02. A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação (2 x−45 )2−( x−21 )2=0 é:A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

03. As equações do 2o grau e têm uma raizc omum. Qual é o valor do produto das duas raízes que não são comuns?A) 0 B) 1 C) 2007 D) 2008 E) 2007

04.Mariana entrou na sala e viu no quadro-negro algumas anotações da aula anterior, parcialmente apagadas, conforme a figura. Qual número foi apagado na linha de cima do quadro-negro?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 22

05. Em uma cesta há 135 laranjas, em outra há 85. Tirando-se quantidades iguais de laranjas de ambas as cestas, a primeira passa a ser o dobro da segunda. O número de laranjas tiradas de cada cesta é:a) 25 b)45 c)35 d) 40

06. Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes do dia da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$630,00. Assim podemos afirmar que cada um dos estudantes que permaneceram na escola pagou uma quantia de :a)R$ 136,00 b)R$ 138,00 c)R$ 142,00 d)R$ 144,00

07.Um grupo de amigas alugou um apartamento na praia para uma temporada, pelo preço de R$ 300,00, cabendo a cada uma o pagamento de R$ 50,00 para o aluguel. Como não podem pagar esse valor, decidem ampliar o grupo para que a parcela de cada uma no aluguel passe a ser de R$ 30,00. Elas precisam convidar maisa) 3 amigas b) 4 amigas c) 5 amigas d) 6 amigas e) 8 amigas.

08. Um pai e seu filho têm, juntos, 96 anos. Tirando-se 22 anos da idade do pai e acrescentando-os à idade do filho, elas tornam-se iguais. Calcule a idade do pai. R. 70 anos


09. Um pai tem 49 anos e seu filho 15 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho? R. 2

10. (ENEM) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? a) 476 b) 675 c) 923 d) 965 e) 538

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

01. Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a: a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) 135

02..Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 litros, de 10 litros e de 2 litros. Ao todo, foram comprados 94 litros de água, com o custo total de R$ 65,00.Veja na tabela os preços da água por embalagem:

Nessa compra, o número de embalagens de 10 litros corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 litros, e a quantidade de embalagens de 2 litros corresponde a n. O valor de n é um divisor de: a) 32 b) 65 c) 77 d) 81 e) 53

03. Uma família deseja organizar todas as fotos de uma viagem em um álbum com determinado número de páginas, sem sobra de fotos ou de páginas. Para isso, foram testados dois critérios de organização. O primeiro critério, que consistia na colocação de uma única foto em cada página, foi descartado, uma vez que sobraram 50 fotos. Com a adoção do segundo critério, a de uma única foto em algumas páginas e de três fotos nas demais, não sobraram fotos nem páginas, e o objetivo da família foi alcançado. O número total de páginas em que foram colocadas três fotos é igual a:A) 15 B) 25 C) 50 D) 75 E) 85

04.A soma das mesadas de Marta e João é R$ 200,00. No mês passado, Marta gastou R$ 70,00, e João gastou R$ 40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. A mesada de Marta é: A) R$ 115,00 B) R$ 120,00 C) R$ 135,00 D) R$ 152,00

05. Um número formado por dois algarismos, cuja soma dos valores absolutos é igual a 8. se adicionarmos 18 a esse número, o resultado obtido será um número cuja representação decimal está na ordem inversa daquela com que figura o número dado. Calcule o quadrado desse número. Resposta: 1225


06.Um número inteiro positivo de três algarismos termina em 7. Se este último algarismo for colocado antes dos outros dois, o novo número assim formado excede de 21 o dobro do número original. Qual é o número inicial?Resposta: 357

07.Em uma sala de aula entram n alunos. Se sentarem 2 alunos em cada bancada, 11 ficarão de pé. Porém, se em cada bancada sentarem 3 alunos, haverá quatro bancadas vazias. Qual o valor de n?Resposta: n=57

08.Uma pessoa nasceu no século XIX e morreu no século XX com 64 anos. Se o número formado pelos dois últimos algarismos do ano do seu nascimento é igual ao dobro do número formado pelos dois algarismos do ano de sua morte, quantos anos essa pessoa tinha em 1900? Resposta: 28 anos

09.Antonio possui um carro FLEX, isto é, que pode ser abastecido com álcool ou gasolina, em qualquer proporção. O tanque de combustível tem capacidade para 45 litros. Ao ser completado com 15 litros de álcool, a relação entre álcool e gasolina passou a ser de 3 para 2. Com base nessas informações, determine quantos litros de cada combustível existiam, no tanque, antes do abastecimento? Resposta: 12 e 18 litros

10.As balanças (1) e (2) da figura abaixo estão em equilíbrio. Sabe-se que todos os triângulos têm o mesmo peso; todos os quadrados também têm o mesmo peso, assim como os círculos. Quantos quadrados devem ser colocados no prato direito da balança (3) para que ela também fique em equilíbrio?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

11.No sítio do Sr. Agenor, existem porcos e galinhas totalizando vinte e cinco animais. Sabendo-se que todos os porcos possuem quatro patas e que todas as galinhas possuem duas patas e, também, que o número total de patas é igual a setenta, determine, respectivamente, o número de porcos e de galinhas existentes nesse sítio. A) 5 e 20 B) 10 e 15 C) 15 e 10 D) 20 e 5 E) 22 e 3

12.(ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? A) R$ 14,00 B) R$ 17,00 C) R$ 22,00 D) R$ 32,00 E) R$ 57,00

13. Um grupo de amigos havia reservado uma chácara para um churrasco de fim de semana e dividiram entre si o aluguel em partes iguais. Por algum motivo, o proprietário resolveu aumentar em 20% o preço combinado, o que fez com que 4 deles desistissem, ocasionando um acréscimo de 40% para cada um dos outros. Sendo assim, podemos concluir que o número de pessoas do grupo original era:a) 32 b) 26 c) 24 d) 28


14.Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, a diferença entre nossas idades será de 5 anos. Calcule a minha idade. R. 20 anos.

15.Um nutricionista está preparando uma refeição com 2 alimentos A e B. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de carboidrato e 2 unidades de gordura. Cada grama do alimento B contém 4 unidades de proteína, 4 unidades de carboidrato e 3 unidades de gordura. Essa refeição deverá fornecer exatamente 400 unidades de proteína e 500 unidades de carboidrato. A quantidade de gordura que essa refeição irá fornecer é:a) 300 unidades b) 350 unidades c) 400 unidadesd) 450 unidades e) 500 unidades

16. A figura abaixo é formada por cinco pequenos quadrados e, dentro de cada quadrado, esconde-se um número inteiro.

O número que aparece abaixo de cada um dos desenhos a seguir é a soma dos números que estão escondidos nos quadrados pintados.

Qual o número do quadradinho central? Resposta: 5

17.Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a:a) 37 b) 20 c) 13 d) 11 e) 4

18. Um instituto oferece curso de 80 horas de duração em dois modelos, dependendo da disponibilidade dos participantes.Modelo I: são ministradas x aulas, cada uma com y horas de duração.Modelo II: são ministradas (x-24) aulas, cada uma com (y+3) horas de duração.Nessas condições, se for criado um modelo especial desse curso em que cada aula tenha (y+6) horas de duração, deverão ser dadas, no total:a)5 aulas b)8 aulas c)10 aulas d)16 aulas e)7 aulas

19. No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha um estoque de calças e camisas no valor total de R$ 140 000,00, sendo R$ 80,00 o valor(preço de venda) de cada calça e R$ 50,00 (preço de venda) o de cada camisa. Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças em estoque e 40% do número de camisas em estoque, gerando uma receita de R$ 52 000,00. Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto) entre o número de calças e o de camisas é:a) 1 450 b) 1 500 c) 1 550 d) 1 600


20.Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de gude e algumas latinhas onde guardá-las. Ao colocar 4 bolinhas em cada lata, sobraram 2 bolinhas; mas, quando colocou 5 bolinhas em cada lata, a última ficou com apenas 2 bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas ficariam com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse:a)36 bolinhas b)42 bolinhas c)49 bolinhas d)55 bolinhas e)63 bolinhas

21.Um fato curioso ocorreu em uma família no ano de 1936. Nesse ano Ribamar tinha tantos anos quanto expressavam os dois últimos algarismos do ano em que nascera e, coincidentemente o mesmo ocorria com a idade de seu pai. Nessas condições, em 1936, a soma das idades de Ribamar e de seu pai, em anos, era igual a:a)76 b)78 c)82 d)84 e)86

22.Eric necessita de complementos das vitaminas A e C precisa de pelo menos 63 unidades de A e no mínimo 55 unidades de C. Ele pode escolher entre os compostos I e II que apresentam, por cápsula, as características abaixo:

Composto Vitamina A Vitamina C valor (R$)I 7 unidades 4 unidades 0,70II 4 unidades 5 unidades 0,50

Qual o gasto mínimo diário de Eric, em reais, com os compostos ( I ) e ( II )?

23.Observe a tabela de compras realizadas por Mariana;Loja Produtos Preço unitário Despesa (R$)

ACaneta 3,00

50,00Lapiseira 5,00

BCaderno 4,00

44,00Corretivos 2,00

Sabendo-se que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, qual o numero de corretivos comprados?

24. Um grupo de amigos, composto de 16 pessoas, fechou um pacote para uma viagem. O preço ficou acordado em R$ 15.600,00, incluindo adultos e crianças, sendo que criança pagava a metade do valor do adulto. Um casal e seus dois filhos desistiram da viagem, e o preço do pacote passou a R$ 12.000,00. Com essas informações é possível determinar que irão ao passeio: a) 10 adultos e 2 crianças b) 6 adultos e 6 criançasc) 8 adultos e 4 crianças d) 4 adultos e 8 criançase) 9 adultos e 3 crianças

25. (ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados.O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60


NOÇÕES BÁSICAS DE ARITMÉTICA

01.NÚMEROS INTEIROS, MÚLTIPLOS, DIVISORES E ALGORITMO DE EUCLIDES.

Como de costume na literatura do assunto, representaremos por Z o conjunto dos números inteiros , isto é, Z= { ...-2, -1, 0 , 1 , 2, 3,...}. Neste conjunto Z , dados dois números inteiros a e b , com b > 0 , demonstra-se que existe um único par de números inteiros q e r, tais que a= bq + r, onde 0 ≤ r < b (Algoritmo da divisão ou algoritmo de Euclides). Nessa igualdade, os elementos, a, b, q e r são chamados respectivamente de dividendo, divisor, quociente e resto da divisão de a por b.

Duas outras noções importantes definidas para os números inteiros são as noções de múltiplo e divisor, a saber; dados os números inteiros a e b , dizemos que a é um divisor de b (ou que b é um múltiplo da a) quando existir um inteiro c tal que b=ca. Assim, por exemplo, 6 é divisor de 12 (ou equivalentemente 12 é múltiplo de 6), visto que 12=2 . 6. De acordo com essas definições percebe que 1 e –1 são divisores de todo número inteiro , enquanto que o número 0 é múltiplo de todo número inteiro, mas não é divisor de nenhum número. Com as noções de múltiplos e de divisores podemos então definir para qualquer número inteiro n o conjunto M(n) dos seus múltiplos e o conjunto dos seus divisores D(n), assim temos, por exemplo,M(12) = { 0 , ±12, ±24, ±36, ±48,...} e D(12) = { ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}.

02.Definição. Quando um número inteiro maior do que 1 só possui dois divisores inteiros e positivos ( 1 e ele mesmo) dizemos que ele é um número primo. Assim, por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 são números primos. Caso um número inteiro maior do que 1 não seja primo, dizemos que é um número composto.

03. Teorema (EUCLIDES). Existem infinitos números primos.03.. Teorema Fundamental da Aritmética. Todo número composto pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores primos. Assim, temos, como exemplo de aplicação deste teorema, 20=2 .2. 5 e 42= 2 . 3. 7.

04. Definição. Dados dois números inteiros a e b, chamamos de máximo divisor comum (MDC), ao maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b. Assim, por exemplo, 4 é o maior número inteiro que divide simultaneamente 8 e 12.Mostraremos agora dois modos de se calcular o MDC de 72 e 20, como exemplo.

05. Método da Decomposição Simultânea72, 20 2 36, 10 218, 5 29, 5 33, 5 31, 5 51, 1

O MDC(72,20) é dado pelo produto dos fatores comuns em cada linha da decomposição acima, ou seja, 2x2 = 4.

06. Método das Divisões Sucessivas 3 1 1 2

72 20 12 8 4


12 8 4 0

Quando o resto da última divisão for zero, o último número da coluna do meio será o MDC procurado que, no nosso caso, é o número 4.

07. Definição. Dois números inteiros e positivos são denominados primos entre si quando o máximo divisor comum entre eles é o número 1. Assim, por exemplo, 36 e 49 são primos entre si.

08. Definição. Dados dois números inteiros a e b chamamos de mínimo múltiplo comum (MMC) o menor inteiro positivo que é simultaneamente múltiplo de a e b. Assim, por exemplo, 24 é o menor número inteiro positivo que é simultaneamente múltiplo de 8 e 12.Mostraremos como se calcula o MMC(72,20) de dois modos.I)Método da decomposição Simultânea

72, 20 2 36, 10 218, 5 29, 5 33, 5 31, 5 51, 1

O MMC(72, 20) é dado pelo produto de todos os fatores que aparecem na decomposição simultânea, isto é, 2x2x2x3x3x5 = 360.

II)Decomposição Separada – quando a decomposição é feita desta forma, o MMC (72,20) será dado pelo produto dos fatores primos não comuns pelos fatores primos comuns elevados aos maiores expoentes. Como 72=23 .32 e 20=22 .5, segue-se que MDC(72,20) = 22 .32 .5=360.

09. Teorema. Sendo a e b inteiros positivos, demonstra-se que .

10. ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

A) Divisibilidade por 2Um número é divisível por 2 quando for par.Exemplo. 138 e 276 são divisíveis por 2.

B) Divisibilidade por 3Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3.Exemplo. 132 e 981 são divisíveis por 3

C) Divisibilidade por 4Um número é divisível por 4, quando termina em 00 ou os dois últimos algarismos formarem um número múltiplo de 4.Exemplo. 1300 é divisível por 4, pois termina em 00 e 13516 é divisível por 4 já que termina em 16, que é múltiplo de 4.

D) Divisibilidade por 5Um número é divisível por 5, quando termina em 5 ou 0.Exemplo. 15 e 40 divisíveis por 5.


E) Divisibilidade por 6Um número é divisível por 6, quando for divisível por 2 e 3 simultaneamente.756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

F) Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.Por exemplo, 154 é divisível por 7, verifique.

G) Divisibilidade por 8Um número é divisível por 8, quando os três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número múltiplo de 8.Exemplo. 15000 é divisível por 8, pois termina em 000 e 15320 também é, já que 320 é múltiplo de 8.

H) Divisibilidade por 9Um número é divisível por 9, quando a soma de seus algarismos for um múltiplo de 9.Exemplo. 846 é múltiplo de 9, pois 8+4+6 = 18 é múltiplo de 9.

I) Divisibilidade por 10Um número é divisível por 10 quando termina em 0.Exemplo. 120 é divisível por 10, já que termina em zero.]

J) Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11.

1353 é divisível por 11, pois o primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

OBSERVAÇÃO

Para determinarmos a quantidade de divisores naturais de um número, decompomos o número dado em fatores primos e, logo em seguida, multiplicamos todos os expoentes nessa decomposição acrescidos de uma unidade. Por exemplo, como 72 pode ser escrito da seguinte maneira: 72 = 2³. 3², temos que a quantidade de seus divisores de naturais é(3+1 ) (2+1 )=12.

11. Teorema. Sendo a e b inteiros positivos demonstra-se que .Exemplo.(UNICAMP) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que MDC(a,b) = 5 e MMC(a,b)=105.

a) Determine o valor de b para a= 35.b) Encontre todos os valores possíveis para a e b.

Resposta. a) b = 15 b) 5 e 105, 105 e 5, 15 e 35, 35 e 15.


EXERCÍCIOS

01.Decompor o número 28 em dois fatores tais que a sua soma seja igual a 11.

02. Dois ciclistas correm sobre uma pista circular e partem, ao mesmo tempo, de uma linha. O primeiro realiza uma volta em 60s, e o segundo, em 72s. Depois de quanto tempo, os dois ciclistas sairão juntos novamente do mesmo ponto de partida?

03.(UFRN) Para os festejos natalinos, uma fábrica de doces lançará uma caixa de chocolates. O número de chocolates poderá ser dividido (sem fracioná-los) entre 2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, não havendo sobra. Qual o menor número de chocolates que essa caixa deverá conter?

04. Comprei uma partida de arroz de três qualidades: a primeira veio em sacos de 60kg, a segunda em sacos de 48 kg e a terceira em sacas de 72 kg. Desejo embalá-los em sacos menores, de igual peso, sem misturar as qualidades e sem sofrer qualquer perda. Qual o maior peso possível para esses sacos?

05. (UFRN) No piso de uma sala com 3,36m de largura e 4,00m de comprimento, um construtor deseja colocar peças de granito quadradas, do mesmo tamanho. Qual a menor quantidade de peças que ele pode usar para cobri completamente o piso?

06. Qual o valor de n para que o número 24.3n.5 admita 40 divisores naturais?

07. Para se tratar de uma doença, Dona Cacilda toma, por dia, os remédios A e B. Esses medicamentos são vendidos em caixas de 30 e 28 comprimidos, respectivamente. O medicamento A é ingerido de oito em oito horas e o B, de doze em doze horas. Ela comprou uma quantidade de caixas de modo que os dois tipos de comprimidos acabassem na mesma data e iniciou o tratamento às 7 horas da manhã do dia 15 de abril, tomando um comprimido de cada caixa. Qual a quantidade de caixas dos remédios A e B que Dona Cacilda comprou?

08. Um elevador pode carregar, no máximo, 450 kg. Devem ser transportadas 50 pessoas de 70 kg. Qual o número mínimo de viagens?

09. O resto da divisão de um número n por 18 é igual a 17. Qual o resto da divisão de n por 6?

10.Um número natural deixa resto 3 quando dividido por 7 e resto 5 quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42?.11. (UFRN/2009) As três lâmpadas de sinalização de uma ambulância piscam simultaneamente quando acionadas. Logo após, piscam, respectivamente, a cada 4, 6 e 9 segundos.a) Determine quanto tempo depois elas voltam a piscar simultaneamente.b) Considerando que o equipamento de sinalização tenha sido acionado às 12h e desligado às 14h, calcule o número de vezes em que as lâmpadas piscaram simultaneamente.

12.Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma para ela? A) 11 B) 20 C) 21 D) 31 E) 41

13. No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca’ 15 vezes por minuto e a segunda “pisca’ 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as


luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos voltarão a piscar simultaneamente? Resposta: 12segundos.14. Qual é o maior número que divide 262 e 337 deixando, respectivamente, restos 17 e 22?

15. Qual é o menor número que dividido por 9 e por 15, deixa resto 7 em ambos os casos?

16. Quais são os menores números pelos quais se devem multiplicar respectivamente 84 e 105 a fim de se obterem produtos iguais? Resposta: 5 e 4

17. Por segurança, atualmente, os números primos são importantes para criar mensagens por meio de códigos* e enviá-las via Internet. Para isso, usam-se números primos que tenham muitos dígitos. Em

relação a números primos, quantos números naturais n existem de modo que n+10n é primo?

18. A partir das 7 horas, as saídas de ônibus de Natal para Caicó, Mossoró e Martins obedecem o seguinte horário

Para Caicó, de 2 em 2 horas Para Mossoró, de 3 em 3 horas Para Martins, de 5 em 5 horas

Supondo que exatamente às 7 horas da manhã saíram (simultaneamente) três ônibus para Caicó, Mossoró e Martins, podemos afirmar que o próximo horário em que sairão simultaneamente ônibus para as três cidades será:a) 15:00 do mesmo dia b) 1:00h da manhã do dia seguintec) 7:00 da manhã do dia seguinte d)11:00 da manhã do dia seguinte

19. Três fios de comprimentos 36m, 48m e 72m devem ser cortados em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em um número inteiro de metros, sem que haja perda de material. O menor número possível de pedaços de fio é:a)7 b)9 c)11 d)13

20.Admita dois números inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divisões de a e b por 8 são, respectivamente, 7 e 5. Determine o resto da divisão do produto ab por 8. Resposta: 3

21.Determine números primos x, y e z tais que 2x+4y+5z=202. Resposta:. 2, 47 e 2

22.Os ônibus da linha 572 passam pelo Largo do Machado de 7 em 7 minutos. Se um ônibus passou às 15h 42min, quem chegar ao Largo do Machado às 18h 3min esperará quantos minutos pelo próximo ônibus?a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

23.Seu Almeida possuía uma quantidade de azulejos maior do que 150 e menor do que 250. Ele arrumou os azulejos em várias caixas, cada uma contendo 17 azulejos. Sobraram 15 azulejos. Ele, então, resolveu guardar tudo em caixas menores, cada uma contendo 11 azulejos. Dessa vez, ficaram sobrando 4 azulejos. Determine quantos azulejos seu Almeida possuía. Resposta:202


24.A tabela mostra aproximadamente a duração do ano (uma volta completa em torno do Sol) de alguns planetas do sistema solar, em relação ao ano terrestre.

Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano são observados alinhados, de um determinado local na Terra, determine, após essa ocasião, quantos anos terrestres se passarão para que o próximo alinhamento desses planetas possa ser observado do mesmo local. Resposta: 420 anos

25.Os números naturais p = 231 - 1 e q = 261 - 1 são primos. Então, o número de divisores de 2pq é igual a:a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

26. Uma fábrica armazena sua produção em caixas de mesmo tamanho, que são numeradas na ordem 1, 2,

3, 4, ... e arrumadas em seis colunas: 1a, 2a, 3a, 4a, 5a e 6a, conforme a figura abaixo

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

1 2 3 4 5 6a a a a a a

A caixa de número 2.007 está na

a) 4a coluna. b) 2a coluna. c) 3a coluna. d) 5a coluna.

27. Hoje é sexta-feira, dia 13 de agosto. Daqui a 666 dias, será:a) um domingo b) uma sexta-feira c) uma segunda-feira d) um sábado e) uma quinta-feira

28.Um edifício muito alto possui 1000 andares, excluindo-se o térreo. Do andar térreo partem 5 elevadores. O elevador A para em todos os andares. O elevador B para nos andares múltiplos de 5, isto é, 0,5,10,15,... O elevador C para nos andares múltiplos de 7, isto é, 0,7,14,21,... O elevador D para nos andares múltiplos de 17, isto é, 0,17,34,51,... O elevado E para nos andares múltiplos de 23, isto é, 0,23,46,69,...

a)Mostre que, excetuando-se o andar térreo, não existe nenhum andar onde param os 5 elevadores.b)Determine todos os andares onde param 4 elevadores.


29. No vestiário de um hospital há exatamente 30 que são usados por exatamente 30 enfermeiros. Curiosamente, certo dia em que todos os armários estavam fechados, tais enfermeiros entraram no vestiário um após o outro, adotando o seguinte procedimento:

O primeiro abriu todos os armários; O segundo fechou todos os armários de números pares(2,4,6,...,30). O terceiro inverteu a situação a cada três armários (3,6,9,....,30). O quarto inverteu a situação a cada quatro armários(4,8,12,...28). Da mesma forma, ocorreu sucessivamente o procedimento dos demais enfermeiros.

Com certeza, após a passagem de todos os enfermeiros pelo vestiário, os armários de números 9, 16 e 28, respectivamente:a) aberto, aberto e fechado b) aberto, fechado e aberto.c) fechado, aberto e aberto d) aberto, aberto e aberto.e) fechado, fechado e fechado

30. O número de possíveis valores inteiros de x para que x+99x+19

seja inteiro, é:

a) 5 b)10 c) 20 d) 30 e) 40

31. Em uma viagem para participar de um torneio de atletismo, uma escola distribuiu seus alunos em quatro ônibus, sendo um deles com os estudantes que participarão do torneio e os outros três com os estudantes que irão fazer parte da torcida. No ônibus I, vão 37 estudantes, no ônibus II, 40 estudantes, no III, vão 44 e, no IV, 46 estudantes. No total de passageiros dos três ônibus que transportam a torcida, a quantidade de meninas é o dobro da de meninos. Como os atletas estão todos uniformizados, a direção solicitou que o primeiro ônibus a chegar para representar a escola seja o dos atletas. Para que o pedido seja atendido, o primeiro ônibus a chegar ao local do torneio deve ser o de número:A) I B) II C) III D) IV


POTÊNCIAS, FATORAÇÕES E RADICAIS

01.POTENCIAÇÃO

Sendo a um número real e n um número inteiro positivo, define-se an como o produto de n fatores iguais a a.

an=a .a .a .a .…….a(n fatores)Exemplos:a) 23=2 x2 x 2=8b) (−2 )3= (−2 ) (−2 ) (−2 )=−8

c) (−2 )4=(−2 ) (−2 ) (−2 ) (−2 )=16

02.PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS PARA EXPOENTES INTEIROS E POSITIVOS

a) (am )n=amn

b) (ab )n=anbn

c) ( ab )n

=an

bn(b≠0)

d) am. an=am+n

e)am

an=am−n (a≠0¿

03.POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO

a−n= 1

an(a≠0¿

04.POTÊNCIA DE EXPOENTE FRACIONÁRIO

amn=

n√am

OBSERVAÇÃO: As propriedades (2) são estendidas facilmente para potências de expoentes reais.

EXERCÍCIOS

01.Mostre que se a≠0ent ão a0=1.

02.Justifique, usando as propriedades, que a−n= 1

an(a≠0¿


03. Qual o valor de (0,25 )2000 .22001?

04. Determine 27−23 .

05. Qual é a soma dos algarismos do número que se obtém ao calcular 2100x5103?

06. Qual o resultado da divisão de 44 2

por 44?

07. Se a2b=5 , qual o valor de 2a6b−4?

08. Qual a metade de 215+411?

09. O valor de 22001 .32003

62002 é :

a)16

b) 13

c) 12

d) 23

e) 32

10. Se 21998−21997−21996+21995=k .21995 , qualo valor de k ?

11. Uma empresa de publicidade estima que o número N de visitantes diários a uma exposição varia com o número x de dias em que sua propaganda é veiculada pela TV segundo a equação N = k.20,4 x,onde k é uma constante. Os organizadores verificaram que, sem nenhuma propaganda pela TV, cerca de 200 pessoas visitam diariamente essa exposição. Se a agência de publicidade estiver correta na sua estimativa, com 5 dias de propaganda o número de visitantes diários será de:a)600 b)800 c) 1000 d) 1200 e) 1600

05. PRODUTOS NOTÁVEIS.

06.FATORAÇÕES USUAIS

Se e são raízes da equação , então .

EXERCÍCIOS


01. Se x2+ y2=1681 e xy=360, calcule x+ y, sabendo que x e y são positivos.

02. Se x+1x=4 , determine o valor de x

2+ 1

x2.

03. Se x y xy 3 , determine o valor de 3 3x y

04. Determine x e y naturais de modo que x2− y2=19.

05. Em 1992, a população de uma certa cidade era um quadrado perfeito. Em 1993, houve um aumento de 99 habitantes e, mesmo assim, o número de habitantes ainda era um quadrado perfeito. Em 1994, houve um aumento de 101 habitantes no número de habitantes em relação ao ano anterior e, ainda assim, o número de habitantes foi dado por um quadrado perfeito. Qual a população dessa cidade em 1992?

06. Determine a e b naturais tais que .

07. Exemplo 7. Se 28+211+2né umquadrado perfeito , qual ovalor den?

08. Qual o valor de x2+ y2, sabendo que xy=6 e que x2 y+x y2+ x+ y=63?

09. Se 0<a<be a2+b2=6ab ,determine o valor de x=a+ba−b

.

10. Se , determine o valor de sabendo que x e y são inteiros positivos.

07. RADICAIS

Vamos tratar aqui de raízes de números reais, mais tarde trataremos das raízes num caso mais geral (números complexos). Por hora, seja a um número real e n 2 um número natural definimos a raiz de

índice n de a (quando existir, é claro!) como sendo o número real b tal que bn=a , representaremos esta fato da seguinte forma: . É claro que se a < 0 , a definição só faz sentido se n for ímpar. Assim, por exemplo,

o símbolo , nos reais não faz sentido, visto que não existe um número real x tal que x2=1.

No radical , o número a é denominado radicando, enquanto o n é o índice do radical e, além

disso, lemos como sendo raiz de índice n de a.

08. PROPRIEDADES DOS RADICAIS

Quando estão satisfeitas todas as condições de existência, verificam-se as seguintes propriedades para os radicais:


Um outro tópico que tradicionalmente abordado quando se estuda radicais é a RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES, que consiste na eliminação dos radicais dos denominadores das frações. Neste ponto vamos fazer alguns comentários importantes. Algumas pessoas (e até “livros”) justificam a necessidade da racionalização de denominadores dizendo que os radicais não podem ficar nos denominadores. Isso não tem nada a ver! Afinal que preconceito é este com os radicais?! Afinal eles são números como quaisquer outros (inclusive, em Matemática, num certo sentido, eles existem em maior quantidade do que os números racionais)

Na verdade a racionalização surgiu no passado (quando as calculadoras eletrônicas não eram tão disponíveis quanto hoje) como uma forma de facilitar alguns cálculos. Assim, Por exemplo, para fazer a

“conta” alguém teria que dividir 1 por 1,41 (que é o valor aproximado de , o que convenhamos não é muito bom de fazer (apesar de ser fácil, é chato!) . Assim, em lugar de dividir 1 por 1,41 poderíamos

fazer uma conta mais agradável (fácil) procedendo da seguinte forma . Apesar disso , as pessoas no últimos tempos têm criado problemas (sem interesse prático, mas às vezes até muito bonitos!) para racionalizar denominadores. Para efetuar as racionalizações mais comuns é bom que lembremos de alguns fatores que racionalizarão os denominadores, vejamos:

Existem ainda dois casos mais raros, mas que mesmo assim vamos mencioná-los:

09.RADICAIS DUPLOS

Apesar de praticante não aparecem mais em questões dos vestibulares atuais, vamos lembrar a fórmula da transformação de um radical duplo em soma ou diferença de radicais simples, vejamos:


É importante lembrar que nem todos os radicais duplos se reduz como soma ou diferença de radicais

simples. Na verdade isto só ocorre de a2-b for um quadrado perfeito.

EXERCÍCIOS

01. Qual o valor de ?

02. Simplifique √20

03. Determine √ 49

04. Determine x>0 de modo que

05.Racionalize:

a)2

√3 b)

3

√5+√3 c)

17√32

06. Ordene 3√4 , 4√6e 12√280.

Sugestão. Comece fazendo o mmc(3,4,12) e, em seguida, reduza os radicais ao mesmo índice.

07.Qual a raiz sétima de 777

?

08.Calcule x em √2+√ x=3.

Sugestão: Eleve ao quadrado ambos os membros da equação.

09. Qual o valor de √20002000?

10. Determine o valor de √7+4√3.

11. Qual o valor da expressão 20012 – 1999.2001 + 999.2? R. 6000

12. Racionalize:

a) b) c)

13. Se e , determine o valor de .R. 3


14. Os sinais das operações aritméticas são hoje de fácil identificação e aplicação graças ao grande mestre alemão Michael Stiffel (1487-1567) que, no início do século XVI, começou a empregar os símbolos + e

como sinais das operações usadas atualmente. A fração a3−b3

a2+ab+b2, quando a=193 e b=192 , é igual a:

a)0 b)1932 – 1922 c)1 d)101 e)385

15. Fatore a expressão 3x2 – 2xy – y2 . Sugestão: Faça 3x2 = 2x2 + x2.


CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA CADE 2013 - STELLA

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