PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMTICA BSICA

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Aula 03

Funes polinomiais Logaritmo

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Funes PolinomiaisIntroduo: Polinmio

Para a sucesso de termos comcom , um polinmio de grau n possui a seguinte forma :

Ex :

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Funes PolinomiaisFuno polinomial de 1grau:

Toda funo definida como , tal que

com e .O conjunto de pares ordenados formados numa funo de primeiro grau organiza-se em forma de uma reta quando representados no plano cartesiano.Ex:

RRf : baxxf +=)(

a Rb

=)(xf

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Funes PolinomiaisFuno polinomial de 1grau:

Se a > 0 ento a funo estritamente crescente; Se a < 0 ento a funo estritamente decrescente; Se a = 0 ento a funo definida como funo constante.

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Funes PolinomiaisFuno polinomial do 2grau:

Defini-se como funo polinomial de segundo grau, a funo ,tal que , com a, b e c .

Graficamente a funo polinomial de segundo grau representada por uma parbola, na qual o valor de c indica o ponto em que a parbola intercepta o eixo das ordenadas. As razes ou zeros da funo indicam os pontos em que a parbola intercepta o das abscissas.

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RRf :cbxaxxf ++= )( R

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Funes PolinomiaisFuno polinomial do 2grau:

Se a> 0, a funo decresce de + at o y do vrtice e depois cresce at + ao passo que x varia de - at + .

Se a

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Funes PolinomiaisFuno polinomial do 2grau:

Vrtice da Parbola:

O vrtice da parbola o ponto de coordenadas: Se a > 0, ento o vrtice o ponto mximo da mesma, se a < 0, ento o

vrtice da parbola o ponto de mnimo da mesma.

Forma fatorada de um polinmio de grau n:

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)4/,2/( aabV

)...''')('')('()( xxxxxxaxp =

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Funes PolinomiaisForma fatorada de um polinmio:

Sendo X , X, X razes da funo. Ou seja, elementos em x que geram imagem nula.

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...0)''(,0)'( == xpxp

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Funes PolinomiaisOperaes envolvendo polinmios:

Adio: p(x) + h(x) = (a+d)x + (b+e)x + (c+f)

Subtrao: p(x) - h(x) = (a-d)x + (b-e)x + (c-f)

Multiplicao: p(x) . h(x) = (ax + bx + c)(dx + ex + f)

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cbxaxxp ++= )( fexdxxh ++= )(

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LogaritmoDefinio:

b = Antilogaritmo ou logaritmandoa = basec = logaritmo

Condio de existncia: , 0>b 01 > a

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LogaritmoConsequncias:

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LogaritmoPropriedades:

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LogaritmoPropriedades:

Mudana de Base: Como as propriedades logartmicas s valem para logaritmos numa mesma base, necessrio fazer, antes, a converso dos logaritmos de bases diferentes para uma nica base conveniente.

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Exerccios -Polinmios1)Sabendo-se que 3 raiz de P(x)= x +4x- ax +1, calcular o valor de a.

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Exerccios -Polinmios1)Sabendo-se que 3 raiz de P(x)= x +4x- ax +1, calcular o valor de a.

Resoluo: Se 3 raiz de P(x), ento P(-3)=0.P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 03a = -10 => a=-10/3

Resposta: a=-10/3

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Exerccios -Polinmios

2) Calcular m para que o polinmioP(x)=(m-1)x +(m+1)x -x +4 seja:

a) do 3grau b) do 2 grau c) do 1 grau

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Exerccios -PolinmiosResposta:

a) para o polinmio ser do 3 grau, os coeficientes de x e x devem ser diferentes de zero. Ento:m-10 => m 1 => m 1 , m -1Portanto, o polinmio do 3 grau se m 1 e m -1.

b) para o polinmio ser do 2 grau, o coeficiente de x deve ser igual a zero e o coeficiente de x diferente de zero. Ento:m-1=0 => m=1 => m=1 ou m= -1m+1 0 => m -1Portanto, o polinmio do 2 grau se m=1.

c) para o polinmio ser do 1 grau, os coeficientes de x e x devem ser iguais a zero. Ento:m-1=0 => m=1 => m=1 ou m=-1m+1=0 => m=-1Portanto, o polinmio do 1 grau se m=-1.

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Exerccios -Polinmios3)Num polinmio P(x), do 3 grau, o coeficiente de x 1. Se P(1)=P(2)=0 e

P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

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Exerccios -Polinmios3)

Resoluo:Temos o polinmio: P(x)=x+ax+bx+c.Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0=> 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1

P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3

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Exerccios -Polinmios3) Resolvendo esse sistema encontramos as solues:

a=9, b=-34, c=24Portanto o polinmio em questo P(x)= x+9x-34x+24.O problema pede P(-1):P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24P(-1)= 66Resposta: P(-1)= 66

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Exerccios -Polinmios4) O polinmio p(x) = x - x - 14x + 24 divisivel por :

a)x+7b)Xc)x+2d)x+4e)x-4

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Exerccios -Polinmios4) Como todo polinmio pode ser escrito da forma p(x) = a(x-x)(x-x)(x-x)...Sendo x,x,x ..razes do polinmio e que p(x) = 0Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

Basta verificar qual D(x) que gera R(x) = 0

Ou verificar qual o numero a do polinmio D(x) = (x a) , que faz com que P(a) = 0

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Exerccios -Polinmios4) Testando os valores v-se que o polinmio p(x) = x - x - 14x + 24

divisvel por D(x) = x+ 4. Visto que produz R(x) = 0

OU seja, P(-4) = 0

Resposta ) letra D

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Exerccios -Polinmios5) Efetue a diviso entre os polinmios:

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Exerccios -Polinmios5)

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Exerccios logaritmo1) Determine o valor de log0.2532.

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Exerccios logaritmo1) log0.2532 = log1/432

Logo : ^x = 2^5 => 2^-2x = 2^5

X = -5/2

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Exerccios logaritmo2) Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de

5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estaro iguais?

Dica : M = C(1+i)^t

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Exerccios logaritmo2)

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Exerccios logaritmo3)

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Exerccios logaritmo3) Log x + log ( x-5 ) = log 36

Log ((x)(x-5)) = log 36Log (x-5x) = log36x - 5x = 36x= 9 ou x= -4

Porm x no pode assumir o valor -4 pois o logaritimando deve ser sempre maior que 0.

Resposta : D