Curso de Pesquisa Operacional · Curso de Pesquisa Operacional 3 l .3 conceitos Conceito 1: PO é a...

Sistemas de Informação Universidade

Estácio de Sá

Curso de Pesquisa Operacional

Prof. e M. Sc. Marcelo Silva

Curso de Pesquisa Operacional 2

1 - PESQUISA OPERACIONAL: HISTÓRIA E CONCEITOS

1.1 Introdução O objetivo do curso é apresentar alguns MÉTODOS MATEMÁTICOS essenciais à Pesquisa

Operacional (PO). Este capítulo pretende dar a origem e as idéias fundamentais da PO.

Infelizmente, um curso introdutório de PO não pode responder completamente as perguntas:

a) O que deve (o aluno) aprender sobre PO se pretende ser um economista (dirigente,

gerente, administrador) mais que um especialista?

b) O que deve (o aluno) aprender sobre PO tendo em vista que deseja aplicá-la a problemas

reais?

No contexto destas duas perguntas o objetivo principal do curso é:

1) Introduzir as idéias mais importantes em PO, as quais são fundamentais e permanentes.

2) Dar o curso em nível que o aluno possa entender e apreciar a força e as limitações

inerentes a PO.

3) Preparar e motivar futuros especialistas em PO.

4) Apresentar e aplicar alguns métodos de PO (METODOLOGIA).

1.2 Notas Históricas Desde o advento da primeira revolução industrial o mundo tem apresentado um notável

desenvolvimento e crescimento em tamanho e complexidade de suas organizações.

Os caminhos da PO podem ser traçados a muitas décadas atrás, quando foi aplicada a

administração cientifica às organizações.

Como a tendência natural é aumentar a complexidade e a especialização das organizações,

torna-se mais e mais difícil alocar seus recursos disponíveis pelas suas várias atividades de

maneira a obter a melhor eficiência para a organização.

Entretanto, o termo PO é geralmente atribuído aos serviços militares durante a Segunda

Grande Guerra Mundial (1939). Os dirigentes militares chamaram equipes de cientistas para

estudar problemas estratégicos e táticos associados com a defesa aérea e terrestre do país. Seu

objetivo era determinar a melhor utilização efetiva dos recursos militares limitados.


l .3 conceitos Conceito 1: PO é a aplicação do método científico, por equipes interdisciplinares, a

problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados (homem-máquina) com a

finalidade de obter as soluções que melhor satisfazem aos objetivos da organização, como

UM TODO.

Conceito 2: A PO se esforça ao máximo para compensar a incerteza, mas não a pode

eliminar. (Pois é importante assinalar que como estão implicados fatores humanos e

máquinas, é fornecida uma estimativa da incerteza no resultado previsto e nos valores, nas

eficiências e nos custos da ação proposta).

Conceito 3: A PO firmou-se como uma atividade que pode colocar a serviço da gerência - e

realmente o faz - novas atitudes, novos conceitos e novas técnicas; ajudando-a a resolver

problemas complexos e tomar decisões importantes.

ESTRATÉGIA - significa o dispositivo básico de recursos disponíveis ao dirigente.

TÁTICA - exprime a maneira de utilizar os recursos confiados a uma atividade determinada.

TECNOLOGIA - é o termo que se aplica às coisas físicas envolvidas na transformação de

"INPUTS" em "OUTPUTS" da atividade.

ORGANIZAÇÃO - quer dizer virtualmente qualquer complexo identificável de homens e

máquinas trabalhando no sentido de um objetivo determinado, quer o complexo seja militar

ou civil, industrial ou comercial, governamental ou privado.

Conceito 4: PO é a aplicação de análises quantitativas dos problemas gerenciais. O objetivo

da análise é encontrar as melhores soluções dos problemas, isto é, escolher as boas decisões.

Conceito 5: Pesquisa Operacional é a preparação científica das decisões, visando a

modificação do binômio "Experiência - Intuição" pela "Informação - Racionalidade".

Conceito 6: A PO é o conjunto de métodos que depois de haver analisado, recorrendo as

diversas disciplinas cientificas envolvidas, as relações que unem os fatores de ordem técnica

ou psicológica que concorrem na formação de um fenômeno econômico ou humano se


propõem, com a finalidade de preparar as decisões que se devem tomar, determinar

racionalmente as soluções mais eficientes (eficazes) ou as mais econômicas, recorrendo a

procedimentos estatísticos e/ou matemáticos cuja aplicação exige na maioria das vezes o

emprego de computadores.

Em resumo, podemos concluir da PO:

1) Pesquisa sobre operações;

2) Aplicação de método cientifico por equipes interdiciplinares;

3) Apresenta novas atitudes, novos conceitos e novas técnicas;

4) Aplicação de analises quantitativas aos problemas gerenciais;

5) Resolver problemas complexos;

6) Tomar decisões importantes (ou escolher as boas decisões);

7) A problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados;

8) Compensar a incerteza.


2 - MÉTODO DA PESQUISA OPERACIONAL

2.1 Introdução Um estudo de PO consiste em construir um modelo da situação física. Um modelo de PO é

definido como uma representação idealizada de um sistema organizacional. Este sistema pode

já ser existente ou pode ainda ser uma idéia a espera de execução.

No primeiro caso, o objetivo do modelo é analisar as operações do sistema para verificar sua

performance. No segundo, o objetivo e identificar a melhor estrutura do futuro sistema.

A complexidade de um sistema real resulta do grande número de variáveis que comandam as

operações do sistema, embora um sistema real possa envolver um número substancial de

variáveis, geralmente uma pequena fração destas variáveis domina as operações do sistema.

Então, a simplificação do sistema real em termos de um modelo condensado, identificando

apenas as variáveis dominantes e as relações entre elas, é o empregado.

Exemplo 1: A fabricação de um produto experimenta um certo número de operações desde o

tempo de sua concepção pelo projetista, até chegar às mãos do consumidor. Após a aprovação

do projeto, a ordem de produção é transmitida ao Departamento de Produção (DP), o qual

requisita o material necessário do Departamento de Material (DM).

O Departamento de Material satisfaz a requisição do seu estoque ou entra em ligação com o

Departamento de Compras (DC) para comprar o material necessário para atender à requisição

do DP. Após a fabricação do produto, o Departamento de Vendas (DV), em conjunção com o

Departamento de Marketing (DMK), assumem a responsabilidade para distribui-lo para os

consumidores.

Suponha que o objetivo é determinar o nível de PRODUÇÃO DA INDÚSTRIA. Observando

o sistema vê-se que um grande número de variáveis influem diretamente no nível de

produção. Segue alguns exemplos destas variáveis:

a) DEPARTAMENTO DE PRODUÇÃO: Avaliar máquinas - horas, homens - hora,

especificar a seqüência de operações nas máquinas, números de itens defeituosos, razão de

inspeção, etc.

b) DEPARTAMENTO DE MATERIAL: Avaliar o estoque de material, taxa média de

saída e entrada de material, limitações de armazenagem.


c) DEPARTAMENTO DE MARKETING: Calcular as vendas, intensificar as campanhas

promocionais, capacidade de distribuição de produtos, efeito dos produtos competitivos.

Cada uma das variáveis acima afeta (direta ou indiretamente) o nível da produção. É uma

tarefa ingrata tentar estabelecer relações explicitas entre estas variáveis e o nível de produção.

Definindo o sistema em função de suas variáveis dominantes, ele pode ser representado por

duas variáveis:

1a - Uma, representando a taxa de produção do item;

2a - Uma, representando sua razão de consumo.

Para se determinar a taxa de produção, variáveis tais como avaliação máquina - hora, homem-

hora, sequenciamento e avaliação do material devem ser considerados no cálculo da taxa de

produção.

A razão de consumo é determinada em termos das variáveis associadas com o Departamento

de Marketing.

É fácil agora pensar em termos do sistema real adotado. Para a taxa de produção e consumo,

pode-se estabelecer medidas para o excesso ou falta em estoque para um dado nível de

produção.

Um modelo abstrato do sistema pode então ser construído para balancear os custos do excesso

ou falta de estoque. Por exemplo, pode-se estar interessado em determinar o nível de

produção para um máximo de itens em estoque abaixo de um certo limite.

Em geral, não há regras fixas para determinar o nível de abstração citado. A validade do

modelo representando o sistema depende principalmente da criatividade, insight, e

imaginação dos analistas de PO e a equipe de trabalho no projeto.

Embora não seja possível fixar regras acerca de como um modelo é construído, pode-se

socorrer das presentes idéias sob os possíveis tipos de modelos de PO, suas estruturas e

características gerais.

Em um estudo de PO ocorrem normalmente as seguintes fases:

1. Formulação (ou definição) do problema;

2. Construção do modelo matemático;

3. Obtenção de uma solução a partir do modelo;

4. Teste do modelo e avaliação da solução obtida;


5. Estabelecimento de controle sobre a solução;

6. Implantação da solução.

2.2 Formulação do Problema Para se obter a solução de um problema, necessitasse antes formulá-lo de modo a tornar

possível a pesquisa.

Ao contrario dos exemplos que serão apresentados no decorrer do curso, a maioria dos

problemas práticas são trazidos a uma equipe de pesquisa operacional de uma maneira vaga e

imprecisa.

Em conseqüência, o primeiro passo consiste em estudar o sistema e estabelecer de uma

maneira bem definida o problema a ser considerado. Para isto vários elementos devem ser

determinados exatamente tais como, os objetivos a atingir, as restrições que devem ser

consideradas, o inter-relacionamento entre o setor a ser estudado e outros setores da

organização, as possíveis linhas de ação alternativas, etc.

Como todas as conclusões serão obtidas a partir desta formulação, esta fase tem importância

capital para o estudo e a formulação inicial deve ser continuamente revista à luz dos novos

dados obtidos durante as fases posteriores.

Para determinação dos objetivos apropriados é necessário identificar a pessoa (ou pessoas)

que toma as decisões relativas ao sistema em estudo, investigar seus objetivos e analisá-los a

fim de estabelecer precisamente os principais objetivos a atingir a fim de que não sejam

eliminadas metas ou alternativas de valor.

Por sua natureza a pesquisa operacional preocupa-se em resolver os problemas da organização

considerada como um todo e não somente os de alguns de seus setores.

Por isto, os objetivos formulados devem ser aqueles de toda a organização, não significando

entretanto que cada problema deva ser resolvido em um estudo de toda organização. Na

realidade os objetivos fixados devem ser tão específicos quanto possíveis, desde que

englobem as principais metas de tomada de decisão e mantenham um grau razoável de

consistência com os objetivos de nível mais elevado da organização. Os efeitos laterais em

outros setores da organização devem, então, ser considerados somente para verificar se estão

coerentes com estes objetivos nível mais elevado.

Para formular um problema precisa-se, pois, examinar os seguintes aspectos:

1 - Quem toma a decisão?

2 - Quais os objetivos?


(A partir destas informações e de outros dados estabelecemos uma medida de desempenho,

para avaliar as alternativas de ação).

3 - Quais aspectos da situação estão sujeitos ao controle de quem toma a decisão (as variáveis

controladas) e dentro de que limites essas variáveis podem ser controladas (restrições).

4 - Que outros aspectos do meio ambiente, envolvam ou não seres humanos, podem afetar os

resultados das escolhas disponíveis (as variáveis não controladas)

Portanto, formular um problema para pesquisa consiste em identificar, definir e especificar as

medidas dos componentes de um modelo de decisão. A determinação da relação entre estes

componentes (a função f) é o objetivo da fase da pesquisa denominada construção do modelo.

Nesta primeira fase do estudo, portanto, requer a definição do problema. Do ponto de vista da

PO, isto indica três aspectos principais:

a) uma exata descrição dos objetivos do estudo;

b) uma identificação das variáveis de decisão do sistema;

c) reconhecimento das limitações, restrições, as possíveis linhas de ação alternativas, o inter-

relacionamento entre o setor a ser estudado e outros setores da organização.

É impossível extrair respostas certas de um problema errado. Não se deve esquecer as

principais partes que afetam os negócios de uma firma:

a) o proprietário (acionistas) que deseja lucros (dividendos, ações, bonificações, valorização

do capital, etc.).

b) os empregados, que desejam emprego estável com razoável salário.

c) os clientes, que desejam um produto confiável a um preço módico (razoável).

d) os vendedores, que desejam integridade e uma boa remuneração pelas boas qualidades de

vendedor.

e) o governo e, consequentemente, a nação, que deseja o pagamento de taxas justas e

considerações de interesses nacionais.

2.3 Construção do Modelo Matemático Conforme o exemplo dado, os modelos são representação idealizada (abstrata) dos problemas;

geralmente faz-se aproximações e hipóteses simplificadoras para que sejam resolvíveis. Nesta


fase do estudo faz-se a construção do modelo. Um modelo deve especificar as expressões

quantitativas para o objetivo e as restrições do problema em termos de suas variáveis de

decisão. Existem vários tipos básicos de modelo. O modelo matemático é o modelo universal

da PO. Sua 1inguagem são as equações. Na formulação destes tipos admite-se que todas as

variáveis relevantes são quantificáveis.

Então, os símbolos matemáticos são usados para representar as variáveis, as quais são então

representadas por funções matemáticas apropriadas para descrever as operações do sistema.

A solução do modelo é então procurada pela manipulação matemática apropriada.

Em complementação dos modelos matemáticos, modelos de simulação e heurísticos são

usados.

A estrutura básica dos modelos de PO assumem a forma:

Z = f (x1, x2, x3, ......, xn; y1, y2, y3, ......, yn)

Onde:

Z = função objetivo (medida de eficiência do sistema)

x1, x2, x3, ......, xn = sistemas de variáveis que são sujeitas ao controle

y1, y2, y3, ......, yn = sistemas de variáveis que não são sujeitas ao controle

Os modelos simulados e heurísticos não tem nenhuma estrutura fixada, um modelo

matemático incluí três conjuntos fundamentais de elementos, sendo eles:

a) VARIAVEIS DE DECISÃO E PARÂMETROS: As variáveis de decisão são as

incógnitas para serem determinadas da solução do modelo. Os parâmetros representam os

variáveis controladas do sistema. No exemplo, o nível de produção representa a variável

de decisão; os parâmetros, neste exemplo, são a taxa de produção e consumo. Os

parâmetros podem ser determinísticos ou probabilísticos.

b) LIMITAÇÕES OU RESTRIÇÕES: Para considerar as limitações físicas do sistema, o

modelo deve incluir restrições que limitam os valores possíveis das variáveis de decisão.

Isto é, usualmente, expresso em forma de equações e/ou inequações matemáticas. Por

exemplo, seja x1 e x2 o número de unidades produzidas de dois produtos (variáveis de


decisão) e seja a1 e a2 a matéria prima (recursos) por unidade (parâmetros). Se o total dos

recursos disponíveis (MP) é A, a Função restritiva é dada por a1x1+a2x2 = A.

c) FUNÇÃO OBJETIVO (FO): Define a medida de efetividade do sistema como uma

função matemática de suas variáveis de decisão. Por exemplo, se o objetivo do sistema é

maximizar o lucro total, a função objetiva deve especificar o lucro em termos das

variáveis de decisão. Em geral, a solução ótima do modelo é obtida quando os melhores

valores correspondentes das variáveis de decisão são substituídos na PO, enquanto

satisfazem as restrições. Os modelos matemáticos, em PO, podem ser especificados,

geralmente, como determinar os valores das variáveis de decisão xj , j= 1,2,...,n a qual

otimiza Z = f (x1,x2,...,xn) sujeito a uma série de restrições. Na maioria dos sistemas reais,

as restrições de não - negatividade aparecem como condição natural.

Antes da construção de um modelo matemático deve-se responder a 4 perguntas:

1) Qual é a medida de efetividade do objetivo? Isto é, como será expressa a solução do

problema (em reais economizados, unidades vendidas, itens produzidos, etc.)

2) Quais são os fatores sob controle (variáveis controladas)? Isto é, quais aspectos do

problema pode-se fazer alguma coisa?

3) Quais são os fatores não controlados (as variáveis não controladas)? Isto é, quais aspectos

do problema tem-se de aceitar como dados?

4) Quais são as relações entre estes fatores e os objetivos? Isto é, pode esta relação ser

expressa em forma de relações matemáticas que constituirão um modelo do problema?

Otimização é geralmente tomada para significar a maximização ou minimização da FO.

Analistas trabalhando no mesmo problema independentemente podem chegar a modelos

diferentes e também a funções objetivo (FO) também diferentes. Por exemplo, o analista A

pode preferir maximizar os lucros, enquanto o analista B pode preferir minimizar os custos.

Os dois critérios não são equivalentes no sentido que com as mesmas restrições os dois

modelos não devem produzir a mesma solução ótima. Isto pode ser mostrado claramente,

enquanto o custo deve estar sob o controle imediato da organização no qual o estudo é feito,

o lucro deve ser efetuado por fatores incontroláveis, tais como a situação de mercado ditada

pelos competidores.


Não se deve pensar que a solução ótima do modelo é a melhor solução do problema. Ela é a

melhor somente se o critério adotado pode ser justificado como verdadeiro para toda

organização.

Na prática, torna-se muito difícil incluir todos os objetivos (possibilidades conflitantes) num

critério simples (singular) pois isto pode resultar numa função matemática complexa para a

qual nenhuma solução técnica pode ser prontamente obtida, porque alguns objetivos são

também inatingíveis para serem quantificados.

Por exemplo, na determinação da política do nível ótimo de estoque, o verdadeiro objetivo

deve incluir os objetivos (metas) conflitantes dos departamentos de produção, material,

vendas e finanças.

Quando o critério objetivo do modelo representa algum, mas não todos os aspectos

conflitantes, chamamos de uma solução sub - ótima, e que pode não ser a melhor para a

organização como um todo.

Após o modelo matemático ser construído, pode ser necessário simplificá-lo para ser tratado

analiticamente. Algumas simplificações comuns incluem:

a) Transformar variáveis discretas em contínuas;

b) Linearizar funções não lineares;

c) Eliminar algumas das restrições.

2.4 Obtenção de uma Solução a partir do Modelo Em modelos matemáticos, isto e, feito usando técnicas de otimização bem definidas, o

modelo é dito de solução ótima.

Se modelos de simulação ou heurísticos são usados, o conceito de solução ótima não é bem

definido e a solução neste caso é usada para obter soluções aproximadas do sistema.

Como um modelo é mais uma representação ideal do que exata, só pode-se afirmar que a

solução ótima para o modelo será provavelmente a melhor possível para o problema real,

devido aos fatores imponderáveis e as incertezas associadas ao problema.

2.5 Teste do Modelo e avaliação da Solução obtida Uma das primeiras lições da PO, é que não é geralmente suficiente confiar somente na

intuição. Isto aplica-se não somente na obtenção da solução de um problema, como também

na avaliação do modelo que foi formulado para representar este problema.


O critério indicado para julgar a validade de um modelo é verificar se ele prediz ou não os

efeitos relativos das linhas de ação alternativas com suficiente precisão de maneira a permitir

uma satisfatória decisão. Devido à dificuldade de comunicar e relacionar todos os aspectos e

sutilezas de um problema operacional complexo, existe a possibilidade que a equipe de

pesquisas operacionais ou não tenha considerado todos os aspectos relevantes da situação ou

não os tenha interpretado apropriadamente.

Antes de aplicar testes mais elaborados é conveniente verificar se o modelo não apresenta

erro. Um novo exame na formulação do problema e sua comparação com o modelo pode

revelar alguns desses erros. Outra verificação muito usada consiste em verificar se todas as

expressões matemáticas estão dimensionalmente corretas.

Finalmente, ou a equipe de PO, ou o pessoal que deverá tomar decisões podem observar

detalhes na solução obtida que surgiram particulares omissões ou erros no modelo. Outros

procedimentos mais sistemáticos podem ainda ser empregados.

2.6 Estabelecimento de controle sobre a Solução Quando uma solução for usada repetidamente, esta solução só permanecerá válida para o

problema real enquanto o modelo respectivo permanecer válido. Entretanto, as condições

variam constantemente no caso real. Em conseqüência, se essas variações invalidarem o

modelo, é vital que isto seja verificado tão cedo quanto possível de maneira que o modelo, sua

solução e resultante linha de ação possa ser convenientemente modificada. Assim sendo,

sempre que uma solução e resultante estratégia para um ação futura são aplicadas

repetidamente, esta solução deve ser mantida sob controle.

Este controle é feito identificando-se os parâmetros críticos, determinando-se estatisticamente

as variações relevantes nesses parâmetros e finalmente ajustando a solução e conseqüente

linha de ação sempre que uma variação é observada.

2.7 Implantação da solução A última fase de um estudo de pesquisa operacional consiste em implantar a solução final.

Esta fase é critica porque aqui, porque aqui, os benefícios do estudo são obtidos. Em

conseqüência é importante para a equipe de PO participar do desenvolvimento desta fase, não

só para assegurar-se que a solução é corretamente transformada em um procedimento

operacional como também para corrigir qualquer imperfeição descoberto na solução.


2.8 Conclusão Os problemas de PO tem as seguintes características:

1) Compilação de dados anteriores, relativos a operações de produção, vendas ou outros

setores da empresa;

2) Análise dos dados colhidos através de técnicas estatísticas;

3) Criação do modelo matemático destinado a previsão e decisão no tocante as mesmas

operações no futuro.

O curso baseia-se na aplicação da PO a uma grande variedade de problemas que podem ser

representados por um pequeno número de problemas típicos.

2.9 Métodos e Modelos da PO: Os métodos mais comuns que são usados no âmbito da PO são:

1. Teoria da decisão;

2. Modelos seqüenciais (seqüência e coordenação);

3. Modelos de alocação;

4. Modelos de designação;

5. Modelos de competição;

6. Técnicas clássicas de otimização;

7. Modelos de substituição (reposição);

8. Modelos de estoque (teoria dos estoques);

9. Modelos de filas;

10. Técnicas de simulação;

11. Modelos de programação dinâmica;

12. Modelos de rotas;

13. Métodos – heurísticos.


3 - TIPOS BÁSICOS DE MODELO DE PO 3.1 Teoria da Decisão A característica essencial da Teoria da Decisão é que as conseqüências dos cursos de ação são

geralmente desconhecidas. Nestes exemplos (casos), probabilidades são associadas com os

vários estados do sistema. Dependendo das informações que se sabe dos estados do sistema,

não pode-se referir à decisão fazendo-a sob certeza, risco, ou incerteza. A maioria dos

problemas de negócios trata com a última condição. Um caminho adicional de predizer o

futuro, embora somente um mínimo de informações são estimadas é através da estatística

Bayesiana.

3.2 Modelo de Sequenciamento Modelos sequenciais envolvem a determinação da seqüência ótima para um conjunto de

tarefas ou eventos ou a melhor seqüência para atendimento de clientes com o objetivo de

minimizar o tempo total e custos. Esta técnica é aplicada à pesquisa e desenvolvimento,

construção, planejamento de novos produtos. Por exemplo, o procedimento para uma rede de

análise de PERT. Outros problemas sequenciais tais como programação de máquinas são

resolvidos pela aplicação de técnicas de simulação e heurísticas.

3.3 Modelos de Alocação Quando existe um número de atividades para serem realizadas, caminhos alternativos de fazê-

las, e recursos limitados ou meios para executar cada atividade na melhor linha eficaz, há um

problema de alocação destes recursos escassos. O problema é combinar as atividades e os

recursos de uma maneira ótima para que toda eficiência seja maximizada, isto é, o lucro é

máximo e os custos são mínimos. Isto é conhecido como "programação matemática".

Quando as restrições são expressas como equações lineares, é chamada "programação linear".

Se uma das restrições não é linear é denominada "programação não linear". A Teoria da

Dualidade da programação linear estabelece a relação entre duas diferentes formulações do

mesmo problema. Em adição aos programas lineares e não lineares, existem outros tipos de

programações - inteira, quadrática, convexa, estocástica, decisão, paramétrica e dinâmica.

Elas diferem na espécie dos dados e podem ser manipulados de acordo com as suposições

feitas.


3.4 Modelos de Designação O mais simples tipo de modelo de alocação envolve a distribuição de um numero de tarefas

para o mesmo numero de recursos (homens). Isto é chamado um problema de designação

(atribuição).

Este tipo de problema torna-se mais complexo se alguma das tarefas requer mais que um

recurso e se os recursos podem ser usados para mais de uma tarefa. Um exemplo disto é o

problema de transportes.

3.5 Modelos de Competição A teoria dos jogos dá um conceito estrutural dentro do qual a maioria dos problemas de

competição podem ser formulados. Ela tem sido usada efetivamente pelos negócios

(transações comerciais) para desenvolver estratégias de publicidade, políticas de preços, e

escolha do momento oportuno (senso de oportunidade, timming) para introdução de novos

produtos. A teoria estatística da decisão e simulação tem sido empregadas com sucesso nos

jogos.

O processo de Markov é um método de predizer variações competitivas no tempo de clientes

fieis a uma marca (determinado produto) e cotas atuais de mercado são conhecidas.

3.6 Técnicas de Otimização Clássicas Às técnicas de otimização clássica ou tradicional são associadas com o procedimento de

cálculo do máximo ou mínimo. Resumidamente, quando uma característica pode ser

representada por uma equação a uma variável que pode ser representada graficamente como

uma curva continua uniforme, os valores de máximo e mínimo da curva podem ser obtidos

pelo conjunto das primeiras derivadas iguais a zero. Então, o sinal algébrico da segunda

derivada daquele conjunto de pontos são examinados para a obtenção de solução do

problema. Quando dois parâmetros estão envolvidos, por exemplo, x e y para determinar a

variável z, o máximo e mínimo podem ser encontrados pela aplicação de derivadas parciais

num processo similar ao empregado para uma variável. As áreas de cálculo necessárias sao:

diferenciação, integração, derivadas parciais, e os multiplicadores de Lagrange. Estas técnicas

matemáticas as quais são aplicadas para otimização de problemas são capazes de diretamente

selecionar a melhor decisão sem a necessidade de muitos passos interativos.


3.7 Modelos de Reposição Problemas de reposição são geralmente de dois tipos: aqueles envolvendo itens que

degeneram num período de tempo e aqueles que falham após um certo tempo de uso.

O primeiro grupo refere-se ao ativo fixo das empresas - máquinas, caminhões e equipamentos

- os quais são itens altamente custosos. Aqueles no segundo tipo são relativamente baratos –

tubos de vácuo, pneumáticos, válvulas, tubos e itens semelhantes.

A programação dinâmica é usada para obtenção das soluções do primeiro tipo. A teoria

estatística amostral e probabilidade pode ser empregada na solução do segundo tipo.

3.8 Modelos de Estoques Modelos de estoques são os que dizem respeito com duas decisões: quanto ordenar num

determinado tempo e quando ordenar esta quantidade para minimizar o custo total. Custo de

movimentação, custos de ordens de armazenamento (estocagens), e custo de deficits são

determinados assim como uma medida de efetividade dos custos (modelo) podendo ser

usados pelos gerentes para selecionar um balanço apropriado entre custos e deficits. À decisão

pelo critério do mínimo custo pode também ser obtida pelo cálculo, teoria de probabilidades,

programação dinâmica e simulação pelo computador.

3.9 Modelos de Filas Filas, algumas vezes referida como teoria das linhas de espera, trata (diz respeito) com

chegadas uniformes ou aleatórias num serviço ou meios de processamento de capacidade

limitada.

O objetivo deste modelo é permitir determinar se o número ótimo de pessoas ou meios

necessários para servir clientes quando considerando o custo do serviço e o custo de espera.

Um problema de estoque pode ser visto como um problema de filas. Itens em estoque podem

ser considerados como um meio de serviço ocioso esperando por clientes. À demanda pelo

estoque é uma chegada para serviço e a saída do estoque pode ser considerada como uma fila

de clientes A teoria das filas faz uso da teoria das probabilidades e cálculo.


3.10 Técnicas de Simulação Simulação presta-se ao emprego dos computadores, gera fatores como potencial de vendas ou

atrasos na expedição pelo exame de tabelas de números aleatórios que são essenciais aos

programas.

O computador mostra a saída de resultados que (poderiam) teriam sido obtidos se o critério de

decisão tivesse sido usado. Números aleatórios são usados para simular chegadas e tempo de

serviços.

3.11 Modelos de Programação Dinâmica A maioria dos problemas de programação dinâmica requer o uso de um computador para

manipular a grande quantidade de dados (informações). Os modelos de programação

dinâmica são extremamente usados para processo que se estende por vários períodos de tempo

ou eventos. Ao invés de otimizar cada decisão como ela ocorre a programação dinâmica leva

em consideração os efeitos da decisão de hoje nos futuros períodos de tempo.

3.12 Modelos de Rotas Um dos mais famosos problemas de rota é o do "Caixeiro Viajante". O objetivo é selecionar o

caminho (itinerário que parte de sua própria cidade, passa através de cidades apenas uma vez,

e retorna para sua cidade, pela menor distância em termos de tempo ou dinheiro. O modelo de

rotas tem sido aplicado à produção onde o número de produtos ou itens produzidos

(fabricados) é análogo ao de cidades. Troca-se os custos de produção correspondentes aos

custos de viagens entre cidades.

3.13 Métodos heurísticos Métodos heurísticos indicam aprendizado ou avaliação de sistemas. Os métodos heurísticos

usam regras de manusear e avaliar, instruídos para explorar o caminho mais provável para se

chegar a uma conclusão. Isto recoloca em check todas as alternativas (também para muitas

quantidades aproximadas) para encontrar a melhor solução.


4 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO LINEAR 4.1 GENERALIDADES Sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional das

mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização.

Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos

limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar

custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear,

denominada de "Função Objetivo".

É necessário também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que

proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas em forma de

equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou

inequações, denomina-se "Restrições do Modelo".

Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas

atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes com

as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função objetivo,

isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o nome de

solução ótima.

Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de um problema, uma vez

definida o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições lineares.

4.2 PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Como foi dito anteriormente, está-se diante de um problema de PL quando os problemas

práticos que se pretende resolver pode ser escrito de forma de maximização (ou minimização)

de uma função objetivo linear, sujeita a um conjunto de restrições que podem ser expressos

sob a forma de inequações ou equações lineares.

Exemplos de problemas que podem ser resolvidos por programação linear: a) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de

consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV.

Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam,

respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decoração.

Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante


dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40

horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas

por semana). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana

a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas.

b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade

de compra de dois seguintes tipos de ações:

Tipo 1 - preço unitário de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%.

Tipo 2 - preço unitário de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%.

Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1750 ações, e que seu corretor só

possa conseguir 1000 ações do tipo 1 e 1500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar

de cada tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim

de um ano?

c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos

disponíveis e apresentados na tabela seguir.

Projeto Investimento no ano 1

Investimento no ano 2

Vida útil Economia anual nos próximos 3 anos

1 12 3 5 anos 9.29 2 54 7 5 anos 26.85 3 6 6 5 anos 9.88 4 6 2 5 anos 7.92 5 30 35 5 anos 35.33 6 6 6 5 anos 8.14 7 48 4 5 anos 22.78 8 36 3 5 anos 16.91 9 18 2 5 anos 11.04

O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se

que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos.


4.3 OBTENDO FUNÇÃO OBJETIVO E AS RESTRIÇÕES Antes de discutir as técnicas possíveis para obtenção de resultados, através de um problema

será discutido como obter a função objetivo e as restrições.

4.3.1 Exemplo para discutir a obtenção da função objetivo e as restrições: Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido

por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de

$14 relativo a mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo

de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois

tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para

acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de

carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem

a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é

ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar

seu lucro diário (receitas-custos). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por

Giapetto para maximizar seu lucro semanal.

Solução:

Sabendo que a matéria primanecessária é obtida sem problemas,

Giapetto tem como objetivomaximizar o lucro semanal (receitas -

custos).Vamos então formular

matematicamente a situação deGiapetto com o objetivo de maximizar

o lucro semanal.


Primeiro ponto importante:Variáveis de decisão

Em qualquer modelo de PL, as variáveisde decisão devem descrever

completamente as decisões a seremfeitas.

Caso de Giapetto: quantos soldados e trensdevem ser feitos na semana.

Variáveis de decisão

• X1 = número de soldados produzidoscada semana;

• X2 = número de trens produzidos a cadasemana.

Segundo ponto importante:Função objetivo

Em qualquer modelo de PL, o decisorquer maximizar ou minimizar alguma

função das variáveis de decisão.Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel,

seguro) não depende dos valores de X1e X2, assim ele pode se concentrar em

maximizar a venda da semana.


Receitas e custos: podem ser expressos emtermos das variáveis X1 e X2. Seria tolice

Giapetto produzir mais soldados que ele possavender, assim assumimos que todos

brinquedos produzidos podem ser vendidos.Assim:

Receita da semana = receita dos soldados +receita dos trens

Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana

Receita por semana = 27*X1 + 21*X2

Também podemos escrever:

• Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2• Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2

Então Giapetto quer maximizar:(27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1 + 10 X2) = 3X1 + 2X2

Assim o objetivo de Giapetto é escolher X1 e X2 para maximizar 3X1 + 2X2

Objetivo:maximizar Z = 3X1 + 2X2

oumax Z = 3X1 + 2X2

Variávelusualmente

utilizada


Terceiro ponto importante:restrições

Se X1 e X2 aumentam, a função objetivo deGiapetto será sempre maior. Mas infelizmente X1

e X2 são limitados pelas seguintes restrições:• 1 - cada semana, não mais que 100 horas de

acabamento;• 2 - cada semana, não mais de 80 horas de

carpintaria;• 3 - limitação de demanda, não mais de 40

soldados por semana.

M.P. ilimitada, portanto não hárestrições. Como, próximo

passo, é necessário expressar asrestrições 1, 2 e 3, em termo das

variáveis de decisão: X1 eX2.

Restrição 1:não mais de 100 h de acabamento

Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana + horas de acab./trem * trens feitos/semana

Total de h de acab./semana = 2*X1 + 1*X2

Restrição 1 - 2X1 + X2 <= 100


Restrição 2:não mais de 80 h de carpintaria

Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana + horas de carp./trem * trens feitos/semana

Total de h de carp./semana = 1*X1 + 1*X2

Restrição 2 - 1X1 + X2 <= 80

Restrição 3:venda máxima de soldados: 40

Restrição 3 - X1 <= 40

Restrições:Restrições:

• 1 - 2X1 + X2 <= 100• 2 - X1 + X2 <= 80• 3 - X1 <= 40

Restrições para oproblema de PL

de Giapetto

Usualmenterepresentam aquantidade de

recursosdisponíveis.

Coeficientes tecnológicos:

refletem a quantiausada para

diferentes produtos.


Quarto ponto importante:Restrições adicionais

Para completar a formulação do problema:• X1 >= 0• X2 >= 0

Resumindo

• max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:

• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)

Significa queX1 e X2

precisam satisfazertodas as restrições P.L. - todos os

termos X são deexpoente 1 e asrestrições são

inequaçõeslineares

O problema de Giapettoé tipico de muitos outros,

onde precisa-semaximizar lucrossujeitos a recursos

limitados

4.3.2 EXEMPLOS - Obter a formulação matemática para alguns casos 1) Uma determinada empresa automobilística fabrica carros de luxos e caminhonetes. A

empresa acredita que os mais prováveis clientes são homens e mulheres com altos

rendimentos. Para abordar estes grupos, a empresa decidiu por uma campanha de propagandas

na TV, e comprou 1 minuto do tempo de comercial de 2 tipos de programa: comédia e

transmissão de futebol. Cada comercial durante o programa de comédias é visto por 7 milhões

de mulheres e 2 milhões de homens com grande poder aquisitivo. Cada comercial durante a

transmissão de futebol é visto por 2 milhões de mulheres e 12 milhões de homens com grande

poder aquisitivo. Um minuto de comercial durante o programa de comédias custa $50000, e


durante a transmissão de futebol $100000. A empresa gostaria que pelo menos 28 milhões de

mulheres e 24 milhões de homens de grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda.

Obter a programação matemática que irá permitir a empresa atender as suas necessidades de

propaganda a um mínimo custo.

2) Uma empresa fabrica carros e caminhonetes. Cada veículo precisa ser trabalhado nas

seções de pintura e montagem. Se a seção de pinturas trabalhar só com caminhonetes, 40 por

dia podem ser pintados. Se estiver trabalhando só com carros, 60 por dia é sua capacidade. Se

a seção de montagem estiver trabalhando só com caminhonetes, 50 podem ser montados por

dia. O mesmo número é possível para carros se este for o único produto na linha. Cada

caminhonete contribui $300 para o lucro, e cada carro $200. Obter a formulação matemática

que determinará a programação de produção que maximizará o lucro da empresa.

3) Supondo que a empresa do exemplo anterior, por necessidades dos vendedores, tem de

produzir pelo menos 30 caminhonetes e 20 carros diariamente, qual será a nova formulação

do problema?

4.4 SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE P.L. - MÉTODO GRÁFICO Um problema de P.L. só pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo,

apresentar duas variáveis.

O fato de que a função objetivopara um PL precisar ser umafunção linear de variáveis tem

2 implicações:• 1 - A contribuição para a função objetivo

de cada variável de decisão é proporcinalao valor da variável de decisão;

• 2 - A contribuição para a função objetivopara cada variável é independente dosvalores de outras variáveis de decisão.


Definição: região de solução- para um problema de PL é

o conjunto de todos ospontos que satisfazem todasas restrições do problema.

Restrições:• 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*40+20<=100• X1 + X2 <= 80 (3), ok 40+20<=80• X1<= 40 (4), ok 40<=40• X1 >= 0 (5), ok 40>=0• X2 >= 0 (6), ok 20>=0

Giapetto: X1 = 40 X2 = 20 região de solução

Giapetto: X1 = 15 X2 = 70 não é região de solução

Restrições:• 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*15+70<=100• X1 + X2 <= 80 (3), não ok 15+70> 80• X1<= 40 (4), ok 15<=40• X1 >= 0 (5), ok 15>=0• X2 >= 0 (6), ok 70>=0


região de solução

Pontos que atendem e onde será procuradaa solução ótima

Solução ótima

Ponto da região de solução, que leva ao maiorvalor da função objetivo.

• A maioria dos problemas de PL, temsomente uma solução ótima;

• Alguns não tem solução ótima;• Alguns tem infinitas soluções.

Para o problema de Giapetto, solução ótima:X1=20 e X2 = 60

Z = 3*20 +2*60 = 180lucro = 180 - 100 = 80/semana

Solução gráfica para oproblema de 2 variáveis

Um PL com 2 variáveispode ser resolvido

graficamente. Nós semprenomeamos as variáveis X1

e X2 e os eixoscoordenados por X1 e X2.


Se nós queremos delimitar emum gráfico o conjunto de

pontos que satisfaça a:

2X1+3X2 <= 6 (1)

3X2 <= 6 - 2X1

X2<=1/3*(6 - 2X1) = 2 - 2/3X1 (2)

O conjunto de pontos que satisfaz (1) e(2) cai sobre a reta ou abaixo dela

X2

X11

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

X2 = 2 - 2/3X1

Região onde:2X1+3X2<=60

Região onde:2X1+3X2>=60

A solução gráfica para o problema de Giapetto é a seguinte:

Encontrando a região de soluçãodo problema de Giapetto:

• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)

Para um ponto (X1, X2)

pertencer a região desolução é precisosatisfazer todas

estas inequações.

(5) e (6) indicam o primeiro quadrante


X2

X120

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

(2)

(3)

(4)

A

B

C

D

E

F

G

H

Poligono DGFEH - região de solução

Encontrando a solução ótima

Após a identificação da região desolução, nós devemos procurar a

solução ótima, que será o ponto daregião que levar ao maior valor de

Z = 3X1+2X2

Para encontrar a solução ótima, nósprecisamos desenhar uma linha sobra

a qual todos os pontos levem ao mesmovalor de Z.

Escolhe-se qualquer ponto da região desolução:

(20, 0) - Z = 3X1+2X2 = 60Assim (20, 0) cai sobre a reta:

Z = 3X1 + 2X2 = 60X2 = 30 - 3/2X1


3X1 + 2X2 = 60tem coeficiente angular = -3/2

Assim todas as retas 3X1+2X2 =constante terão o mesmo coeficiente

angular.

Importante: uma vez desenhada a reta, podemos encontrar

todas as outras pelo movimento paralelo da retaque desenhamos.

X2

X120

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

(4)(2)

(3)

A

B

C

D

E

F

G

HX2 = 30 - 3/2 X1

Indica o ponto ótimo - G (20, 60)

Ponto ótimo:Z = 3*20 + 2*60 = 180


Resolver graficamente os exercícios 1, 2 e 3, formulados anteriormente no item 4.3, e as

seguintes formulações:

1) max Z = 5X1 +2X2

sujeito a:

X1 ≤ 3

X2 ≤ 4

X1 + 2X2 ≤ 9

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

2) max Z = 2X1 -1X2

sujeito a:

X1 – X2 ≤ 1

2X1 + X2 ≥ 6

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Pela discussão apresentada neste item, foi visto que um problema de PL com duas variáveis,

necessariamente cairá em um dos 4 casos possíveis, sendo eles:

1) Caso 1: a formulação tem solução única;

2) Caso 2: a formulação tem múltiplas soluções;

3) Caso 3: a formulação não tem solução;

4) Caso 4: a formulação não tem fronteira, a região de solução permite arbitrários valores

para Z (grandes valores de Z, para problemas de max, e pequenos valores de Z, para

problemas de min).

E qualquer outra formulação, com maior número de variáveis, também sempre se enquadrará

em um destes casos.


4.5 PROBLEMAS INTERESSANTES QUE PODEM SER FORMULADOS PARA SEREM RESOLVIDOS POR PROGRAMAÇÃO LINEAR

O que será visto a seguir é a formulação de vários problemas complicados da Programação

Linear. O passo mais importante na formulação de um modelo é a escolha apropriada das

variáveis de decisão. Se as variáveis de decisão forem selecionadas adequadamente, a função

objetivo e as restrições devem ser obtidas sem muita dificuldade. Problemas na determinação

da função objetivo e restrições normalmente é devido a uma escolha incorreta das variáveis de

decisão.

4.5.1 Exemplo 1: Problema de programação do trabalho Muitas aplicações de programação linear envolvem determinar o mínimo custo e satisfazer as

necessidades de número de trabalhadores necessários. O exemplo a seguir ilustra as

características comuns para muitas destas aplicações.

Uma empresa de entregas necessita de diferentes números de funcionários durante os

diferentes dias da semana. Os números de funcionários necessários é mostrado na tabela a

seguir.

Número de funcionários necessários Dia 1 = Segunda-feira 17 Dia 2 = Terça-feira 13 Dia 3 = Quarta-feira 15 Dia 4 = Quinta-feira 19 Dia 5 = Sexta-feira 14 Dia 6 = Sábado 16 Dia 7 = Domingo 11

As leis do sindicado asseguram que os funcionários devem trabalhar 5 dias consecutivos e 2

de folga. Por exemplo, um funcionário que trabalhou de Segunda a Sexta folga Sábado e

Domingo. O escritório quer funcionar apenas com funcionários de tempo integral. Formular o

problema de tal modo que a empresa possa minimizar o número de empregados de tempo

integral que precisam ser contratados.

4.5.2 Exemplo 2: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O

fluxo de caixa e valor presente (em milhões de reais) são dados na tabela a seguir.


Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Inv. 4 Inv. 5

Desembolso

instante 0

11 53 5 5 29

Desembolso

instante 1

3 6 5 1 34

Valor

presente

13 16 16 14 39

A empresa tem no momento $ 40 milhões para investir; e estima-se que no primeiro ano

estarão disponíveis $ 20 milhões para investimento. A empresa pode comprar qualquer fração

de cada investimento. Neste caso, o fluxo de caixa e valor presente são ajustados de acordo

com a proporção do investimento realizado. Por exemplo, se a empresa comprar 1/5 do

investimento 3, então o pagamento necessário será de 1/5 ($5) = $1 nos tempos 0 e 1. O valor

presente do investimento 3 será de 1/5 (16) = $3.2 milhões. A empresa quer maximizar o

valor presente que pode ser obtido pelos investimentos realizados entre as opções 1 a 5.

Formular o problema para atingir este objetivo. Assumir que qualquer fundo não usado no

instante 0 não poderá ser usado no primeiro ano (instante 1).

4.5.3 Exemplo 3: planejamento financeiro de curto prazo

Uma empresa eletrônica que fabrica gravadores e rádios, tem seus custos de mão de obra,

matéria prima e preço de venda de cada produto discriminados na tabela a seguir.

Gravador Rádio

Preço de venda 100 90

Mão de obra 50 35

Custo matéria prima 30 40

Em primeiro de dezembro de 98, a empresa terá matéria prima que é suficiente para fabricar

100 gravadores e 100 rádios. Na mesma data, o balancete previsto da empresa é o mostrado a

seguir, e a razão entre ativo circulante e as suas obrigações (dívida com banco) será 2

(20000/10000).


Ativo circulante Obrigações Caixa 10000

Contas a receber 3000 Estoques 7000 Dívidas em bancos 10000

A empresa precisa determinar quantos gravadores e rádios deverão produzidos em Dezembro.

A demanda é alta o suficiente para garantir que todos os produtos fabricados serão vendidos.

Todas as vendas são feitas a crédito, pagamentos por produtos fabricados em Dezembro não

serão recebidos até primeiro de Fevereiro de 99. Durante Dezembro, a empresa irá receber

$2000 e precisará pagar $1000 devido ao empréstimo bancário e $1000 referente ao seu

aluguel. Em primeiro de janeiro de 99, a empresa receberá um carregamento de matéria prima

no valor de $2000, que será pago em Fevereiro de 99. A gerência decidiu que em primeiro de

janeiro de 99 precisa ter pelo menos $4000 em caixa. Também o banco exige que a razão

entre dinheiro disponível e financiamento seja de pelo menos 2. Para maximizar o lucro da

produção em Dezembro, o que deveria empresa produzir durante este mês?

4.5.4 Exemplo 4: problema de Blending (mistura) Uma refinaria produz 3 tipos de gasolina (gasolina 1, gasolina 2 e gasolina 3). Cada tipo é

produzida pela mistura de 3 tipos de petróleo (petróleo 1, petróleo 2 e petróleo 3). Os preços

de venda por barril da gasolina e da compra de petróleo são:

Preço de venda por

barril Preço de compra por

barril Gasolina 1 70 Petróleo 1 45 Gasolina 2 60 Petróleo 2 35 Gasolina 3 50 Petróleo 3 25

A refinaria pode comprar até 5000 barris de cada tipo de petróleo por dia. Os 3 tipos de

gasolina se diferem na octanagem e no enxofre presente. O petróleo misturado para fabricar a

gasolina 1 precisa ter uma octanagem média de pelo menos 10 e conter quando muito 1% de

enxofre. O petróleo misturado para fabricar a gasolina 2 precisa ter uma octanagem média de

pelo menos 8 e conter quando muito 2% de enxofre. O petróleo misturado para fabricar a

gasolina 3 precisa ter uma octanagem média de pelo menos 6 e conter quando muito 1% de

enxofre. A taxa de octanagem e de enxofre que contém os 3 tipos de petróleo são as seguintes:


Octanagem Enxofre Petróleo 1 12 0.5% Petróleo 2 6 2% Petróleo 3 8 3% Custa $4 para transformar 1 barril de petróleo em 1 barril de gasolina, e a refinaria pode

produzir até 14000 barris por dia. Os clientes da refinaria necessitam das seguintes quantias

de cada tipo de gasolina: gasolina 1 – 3000 barris por dia; gasolina 2 – 2000 barris por dia;

gasolina 3 – 1000 barris por dia. A empresa considera sua obrigação atender a estas

demandas. A empresa também tem a opção de propagandas para estimular a demanda por

seus produtos. Cada 1$ gasto diariamente em propaganda de um tipo particular de gasolina

incrementa a demanda diária desta gasolina em 10 barris. Por exemplo, se a refinaria decide

gastar $20 diariamente para divulgar a gasolina 2, o aumento da demanda diária desta

gasolina será de 200 barris. Formular o problema para que a refinaria maximize seu lucro

diário.

Usando Programação Linear para resolver problemas de decisão multi períodos Até aqui, todas as formulações discutidas são exemplos estáticos, ou modelos de 1 período.

Nos modelos estáticos, se assume que todas as decisões são feitas em um simples instante do

tempo. Nos exemplos a seguir será mostrado como a Programação Linear pode ser usada para

determinar decisões ótimas em multi períodos, ou modelos dinâmicos. Modelos dinâmicos

aparecem quando o decisor toma decisões em mais de um ponto do tempo. Em um modelo

dinâmico, decisões tomadas durante o período de tempo corrente influem em decisões de

períodos futuros. Por exemplo, considere uma empresa que precisa determinar quantas

unidades de um produto devem ser fabricadas cada mês. Se ele produzir uma quantidade

grande no mês corrente, poderia reduzir o número de unidades a produzir nos meses futuros.

Os 3 próximos exemplos ilustram como decisões iniciais afetam decisões posteriores.

4.5.5 Exemplo 5: Um modelo de estoques Uma empresa de barcos precisa determinar quantos veleiros devem ser produzidos durante

cada um dos 4 próximos trimestres. A demanda de cada um dos trimestres é: primeiro

trimestre, 40 veleiros; segundo trimestre, 60 veleiros; terceiro trimestre, 75 veleiros; quarto

trimestre, 25 veleiros. A empresa quer atender a demanda prontamente. No início do primeiro

trimestre, a empresa tem 10 veleiros em estoque. No início de cada trimestre, a empresa


precisa decidir quantos veleiros devem ser produzidos durante o trimestre. Por simplicidade,

assume-se que os veleiros fabricados durante um trimestre podem ser usados para atender a

demanda deste trimestre. Durante cada trimestre, a empresa pode produzir até 40 veleiros com

sua mão de obra regular a um custo de $ 400 por veleiro. Tendo de trabalhar com horas extras

durante o trimestre, a empresa pode produzir veleiros a mais a um custo total de $ 450 por

barco.

No final de cada trimestre (após ter ocorrido a produção e a demanda do trimestre ter sido

atendida), um custo de transporte ou armazenagem de $ 20 por barco ocorre. Usar a

programação linear para determinar a seqüência de produção para minimizar a soma dos

custos de produção e estoques durante os 4 próximos trimestres.

4.5.6 Exemplo 6: Modelos de financiamento multi período O exemplo a seguir ilustra como a programação linear pode ser usada para problemas de

gerenciamento de fluxo de caixa. A chave é determinar as relações de dinheiro nas mãos

durante diferentes períodos.

Uma empresa de investimentos precisa determinar a estratégia de investimento para os

próximos 3 anos. Atualmente a empresa tem $100.000 disponível para investir. Os

investimentos A, B, C, D e E estão disponíveis. O fluxo de caixa associado com investir $1

em cada opção é dado na tabela a seguir.

0 1 2 3 A -$1 $0.50 $1 $0 B $0 -$1 $0.50 $1 C -$1 $1.2 $0 $0 D -$1 $0 $0 $1.9 E $0 $0 -$1 $1.5

Por exemplo, 1$ investido na opção B requer um pagamento de $1 no ano 1 e retorna $0.50

no ano 2 e $1 no ano 3. Para assegurar que o portifólio da empresa seja diversificado, a

política da empresa é a de aplicar até $ 75.000 em um único investimento. Adicionalmente

aos investimentos A-E, a empresa pode obter taxas de 8% ao ano mantendo o dinheiro não

investido em fundos do mercado. Ganhos dos investimentos podem ser imediatamente


reinvestidos. Por exemplo, o dinheiro recebido no ano 1 do investimento C pode ser

imediatamente reinvestido na opção B. A empresa tem como diretriz não emprestar dinheiro

de fundos, assim o dinheiro disponível para investimento a qualquer tempo é limitado ao

disponível. Formular a programação linear que maximiza o dinheiro em mãos no ano 3.

4.5.7 Exemplo 7: Programação de trabalho multi período Em exemplo anterior foi visto que a programação linear poderia ser usada para programar

funcionários em um ambiente estático onde a demanda não se altera. O exemplo a seguir,

mostra como a programação linear pode ser usada para programar treinamento para

funcionários quando a empresa se depara com uma demanda que se altera.

CLS é uma cadeia de lojas de serviços voltados para computadores. O número de horas de

trabalho especializado que a CLS necessitará nos próximos 5 meses será:

• Mês 1 (janeiro): 6000 horas;

• Mês 2 (fevereiro): 7000 horas;

• Mês 3 (março): 8000 horas;

• Mês 4 (abril): 9500 horas;

• Mês 5 (maio): 11000 horas.

No início de Janeiro, 50 técnicos farão parte do quadro de funcionários da CLS. Cada técnico

pode trabalhar até 160 horas por mês. Para atender futuras demandas, novos técnicos precisam

ser treinados. É necessário um mês para se treinar um novo técnico. Durante o mês de

treinamento, o novo funcionário precisa de ser supervisionado por um técnico experiente por

50 horas. Cada técnico com experiência recebe $ 2000 por mês (mesmo se ele não trabalhar as

160 horas). Durante o mês de treinamento, o novo funcionário recebe $ 1000 por mês. No

final de cada mês, 5% dos técnicos experientes saem para se juntar a outra empresa de

computadores. Formular o problema de tal modo que sua solução permitirá a CLS minimizar

os custos relativos a pagamento de salários atendendo a programação prevista para os

próximos 5 meses.


4.6 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE P.L. - MÉTODO SIMPLEX Nas formulações anteriores, problemas com mais de 2 variáveis não poderiam ser

solucionados com o método gráfico. Desta forma é necessário o estudo de outro procedimento

para a busca de soluções.

Agora, será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de

programação linear, denominado "Método Simplex" e que foi desenvolvido em1947 por

George B. Dantzig.

O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a

solução ótima de um problema de P.L. .

4.6.1 Teoremas Básicos Teorema 1 - O conjunto de todas as soluções compatíveis do modelo de programação linear é

um conjunto convexo cujos vértices (pontos extremos) correspondem a soluções básicas

viáveis.

Teorema 2 - Se a função objetiva possui um máximo (mínimo) finito, então pelo menos uma

solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo do teorema 1.

4.6.2 Procedimentos do Método Simplex Supondo o seguinte problema para maximização:

Max z = 5X1 + 2X2

Sujeito a:

X1 ≤ 3

X2 ≤ 4

X1 + 2X2 ≤ 9

X1, X2 ≥ 0

A solução gráfica do problema é a seguinte:


Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução compatível básica do sistema, ou seja,

um ponto extremo do polígono ABCDE.

O método simplex, para ser iniciado, necessita conhecer uma solução compatível básica

(solução inicial) do sistema, isto é, um dos pontos A, B, C, D ou E do trapézio. Suponha-se

que essa solução seja o ponto A.

O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo está encerrado. Se

não for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o ponto A.

Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto A para o ponto extremo

adjacente que mais aumente o valor da função objetivo. No caso o ponto B.

Agora, tudo que foi feito para o ponto extremo A é feito para o ponto extremo B. O processo

finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os pontos extremos a ele adjacentes,

fornecem valores menores que a função objetivo.

Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro, a ele adjacente?

Achar, portanto, a próxima solução básica (ponto extremo adjacente) exige a escolha de uma

variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável

não básica para entrar na base em sua substituição.

O método simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos:

1. Achar uma solução compatível básica inicial.

2. Verificar se o solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário, siga para o passo III.

3. Determinar a variável não-básica que deve entrar na base.

4. Determinar a variável básica que deve sair da base.

5. Achar a nova solução compatível básica, e voltar ao passo II

Pontos extremos

X2

X1

E(0, 4) D(1, 4)

C(3, 3)

A(0, 0)

B(3, 0) A B C D E

Z

ZB = 15

ZE = 8

ZD = 13

ZC = 24


4.6.3 O Método Simplex A seguir será mostrado passo a passo o método simplex.

Definição Geral de Programação Linear:

Maximizar ou Minimizar Z = C 1X 1 + C2 X2 + .... + Cn Xn

sujeito a:

a11X1 + a12X1 + ..........+ a1nXn (≤ ou = ou ≥) b1

a21X1 + a22X1 + ..........+ a2nXn (≤ ou = ou ≥) b2

a31X1 + a32X1 + ..........+ a3nXn (≤ ou = ou ≥) b3

am1X1 + am2X1 + ..........+ amnXn (≤ ou = ou ≥) bm

X1, X2, X3, Xn ≥ 0

O Método Simplex é aplicado diretamente quando:

1. todas as restrições são ≤ bi

2. todos os bi ≥ 0

3. se quer maximizar Z

Quando uma dessas condições não é atendida estamos em presença de um caso particular.

O Método Simplex será estudado, acompanhando a seguinte formulação:

Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3

Sujeito a

x1+ 2x2 + x3 ≤ 430

3x1 + 2x3 ≤ 460

xl + 4x2 ≤ 420

x1, x2, x3 ≥ 0


Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um

sistema de M equações lineares.

Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma variável não-negativa chamada

“Variável de Folga".

Obs: Tem-se tantas variáveis de folga quantos forem as restrições.

Representação das Folgas = xn+1 , xn+2 , ... , xn+m.

Assim temos:

x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430

3x1 + 2x3 + x5 = 460

xl + 4x2 + x6 = 420

Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela

Z - 3x1 - 2x2 - 5x3 = 0

x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430

3x1 +2x3 + x5 = 460

xl + 4x2 + x6 = 420

Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável.

Pode ser demonstrado que a solução ótima de um problema de programação linear é uma

solução básica. Uma solução básica para um sistema de M equações e N incógnitas.

Possui M variáveis diferentes de O (zero) e (N - M) variáveis iguais a 0 (zero). As variáveis

diferentes de 0 (zero) são chamadas "Variáveis Básicas" e aquelas iguais a 0 (zero) são as

"Variáveis Não Básicas".

No Método Simplex escolhe-se como variáveis básicas aquelas em cuja coluna aparece um

valor igual a 1 e os demais iguais a 0 (zero).

Quarto passo: verificar se a solução é ótima.

Examinar os valores dos coeficientes das Variáveis não básicas na la linha (no exemplo, linha

de Z) e concluir:

a. Se todos os valores forem positivos a solução é ótima e única.

b. Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a solução é ótima mas não única.

c. Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima. Deve-se, então executar o 5o

passo.


Como pode se verificar na tabela a seguir, existem números negativos na primeira linha,

assim a solução não é ótima, e precisa-se continuar os passos do método.

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3

Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe )

A variável que entra deve satisfazer as seguintes condições:

- ser igual a 0 (zero) na solução atual (ou seja deve ser não básica)

- ter coeficiente menor ou igual a 0 (zero) na linha de Z (na la linha)

- possuir em sua coluna, pelo menos um coeficiente positivo. Escolher para entrar na base

aquela que apresentar, na linha de Z, o coeficiente negativo de maior valor absoluto. Marcar a

coluna na tabela.

Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs).

Calcula-se o valor de bi/aie para cada linha da tabela e escolhe-se para sair a variável para a

qual o quociente tiver o menor valor não negativo.

Marcar na matriz a linha de xs. O quinto e sexto passos podem ser vistos nesta tabela:

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3

Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes

nas linhas da matriz.

Os coeficientes da nova matriz podem ser calculados da seguinte maneira:

10 - Dividir todos os elementos da linha marcada pelo pivô (esta linha não muda mais).

entra

sai Pivô


20 - Multiplicar a linha marcada pelo fator Fi= aie / ase

Subtrair a linha i da matriz, da linha marcada e multiplicada pelo fator Fi.

30 - Substituir na coluna base a variável que sai pela variável que entra.

O resultado destas operações na tabela anterior resulta em:

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 0 X4 0 -0.5 2 0 1 -0.5 0 200 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 ind. 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 105 3

Como na primeira linha da coluna de X2 aparece um número negativo, a solução ainda não é a

ótima.

Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 40 ao 70, tantas vezes quanto forem necessárias, até

que a solução ótima seja encontrada. O resultado final da tabela anterior aparece na próxima

iteração, e como não existem mais números negativos na primeira linha a solução é ótima. O

resultado é mostrado a seguir.

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

Z 1 4 0 0 1 2 0 1350 0 X2 0 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 2 X6 0 2 0 0 -2 1 1 20 3

O máximo Z é 1350, para X2 = 100, X3 = 230 e X6 = 20.

4.6.4 EXEMPLO - Resolver o problema do GIAPETTO pelo simplex.


Resolvendo o problema deGiapetto pelo simplex


• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)

Primeiro passo importante:converter o problema de PL na

forma canônica• max Z = 3X1 + 2X2 (1)

sujeito a:• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0


• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40


O problema pode ser representado assim:

Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 -3 -2 0 0 0 0 (1)X3 0 2 1 1 0 0 100 (2)X4 0 1 1 0 1 0 80 (3)X5 0 1 0 0 0 1 40 (4)

Pivo

100/2=5080/1=8040/1=40

Indica que X1 entra nolugar de X5

Solução parcial: (0, 0, 100, 80, 40)

Próximo quadro - Base: X3, X4 e X1

Devem se colocadas na forma canônica

Pivo

Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 -2 0 0 3 120 (1)+3(4) (1)X3 0 0 1 1 0 -2 20 (2)-2(4) (2)X4 0 0 1 0 1 -1 40 (3)-(4) (3)X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)

Ainda não é a solução ótima

20/1=2040/1=40

40/0


Solução parcial: (40, 0, 20, 40, 0)



Ainda não é a solução ótima Pivo

-102040


Solução parcial: (40, 20, 0, 20, 0)



Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 0 2 0 -1 160 (1)+2(2) (1)X2 0 0 1 1 0 -2 20 (2) (2)X4 0 0 0 -1 1 1 20 (3)-(2) (3)X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)


solução é ótima

Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 0 1 1 0 180 (1)+(3) (1)X2 0 0 1 -1 2 0 60 (2)+2(3) (2)X5 0 0 0 -1 1 1 20 (3) (3)X1 0 1 0 1 -1 0 20 (4)-(3) (4)

Valor máximo possívelpara a função objetivo

Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20)

A restrição 4 tem um folga de 20


• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

Solução do problema deGiapetto pelo simplex

Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) Z = 3*20 + 2*60 = 180

A restrição 4 tem um folga de 20

Resolver pelo Simplex a seguinte formulação:

max Z = 5X1 +2X2

sujeito a:

X1 ≤ 3

X2 ≤ 4

X1 + 2X2 ≤ 9

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0 4.6.5 Procedimento para minimizar Z Se as variáveis de decisão forem os custos, por exemplo, nosso objetivo será minimizá-lo.


O método empregado na minimização é converter o problema em um equivalente, envolvendo

maximização, procedendo-se, então da maneira usual do simplex. Esta conversão consiste em

maximizar, negativamente, a função objetivo original. Então, se função objetivo (FO) tratar

de minimizar Z, resolve-se o problema para máximo (-Z); isto é, troca-se o sinal da FO e

mantém-se inalteradas as inequações (e/ou equações) resolvendo-se o problema de modo

convencional. Determinado (-Z), troca-se seu sinal.

Resolver pelo Simplex as seguintes formulações:

1) min Z = 2X1 - 3X2

sujeito a:

X1 + X2 ≤ 4

X1 - X2 ≤ 6

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

2) min Z = 4X1 - X2

sujeito a:

2X1 + X2 ≤ 8

X2 ≤ 5

X1 - X2 ≤ 4

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

4.7 O MÉTODO BIG M O Método simplex é explicado diretamente quando:

1. Todas as restrições são ≤ bi

2. Todos os bi ≥ 0

3. Se quer maximizar Z

Quando uma dessas condições não é satisfeita estamos em presença de um caso particular.

4.7.1 Procedimento a aplicar quando as restrições são (≥≥≥≥) ou (=) bi, sendo todos os bi ≥≥≥≥ 0 Obs: Sempre que os bi de alguma restrição for negativo, multiplicar a respectiva restrição por

(-1). Exemplo:


x1 - 4x2 + 2x3 ≤ - 23 ⇒ -x1 + 4x2 – 2x3 ≥ 23

Quando as restrições são (≥) ou (=) a bi, não temos uma base, isto é, uma solução inicial,

conforme mostrado Simplex. Neste caso, usa-se as técnicas (ou métodos):

a) Método "Big M" ou "Método das penalidades";

b) Método das duas fases ou Método da função objetivo artificial.

4.7.2 O método “Big M” Para empregar o método “Big M”, procede-se da seguinte maneira:

1. Acrescenta-se as variáveis de folga as restrições do tipo (≥) ou (≤) para torná-las

equações. No caso (≤ ) soma-se, no (≥) subtraí-se a variável de folga.

2. No caso de restrições (≥) ou (=) a bi, bi ≥ 0; adiciona-se às restrições mais uma variável

não negativa, chamada variável de artificial (X1a), uma para cada restrição que for

necessária. A adição das variáveis artificiais às equações causa uma violação das

respectivas restrições. Esta violação é contornada, assegurando-se que estas variáveis

artificiais sejam iguais a zero na solução final. Isto é feito atribuindo-se uma penalidade

muito grande para estas variáveis artificiais na função objetivo. Tal penalidade será

designada por (-M) para os problemas de maximização, sendo M > 0.

3. Substitui-se as variáveis artificiais da FO, pelo seu valor tirado das equações restritivas

onde aparecem.

4. Procede-se da maneira usual do Simplex.

Obs: Se a variável artificial for diferente de zero na solução final, o problema não tem

solução.

Resolver as seguintes formulações:

1) min Z = 2X1 +3X2

sujeito a:

1/2X1 + 1/4X2 ≤ 4

X1 + 3X2 ≥ 20

X1 + X2 = 10

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

2) min Z = 2X1 +3X2


sujeito a:

2X1 + X2 ≥ 4

X1 - X2 ≥ -1

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

4.7.3 O Método das duas fases Primeira fase: formular um novo problema, trocando a função objetivo original por uma

artificial, representada pela soma das variáveis artificiais. Como o objetivo é tornar nulas

todas as variáveis devemos minimizar, primeiramente, a função objetivo artificial W,

levando-se em conta os seguintes fatos, no algoritmo simplex:

a. A FO é W;

b. A FO Z do problema principal é tratada como qualquer outra variável durante a operação

de pivotagem;

c. A decisão a respeito da variável que sai da base não inclui a linha correspondente a Z.

Resolvido o simplex para o problema artificial e obtida a solução ótima, W = W , encerra-se a

primeira fase do processo.

Neste caso, tem-se duas hipóteses:

1a) W > O : neste caso o problema principal não tem solução;

2a) W = O : existe uma solução inicial para o problema principal. Passa-se a segunda fase.

Segunda Fase: Inicia-se a segunda fase tomando-se as seguintes providências:

a. suprime-se todas as variáveis artificiais;

b. suprime-se a função objetivo artificial e trabalha-se com a função objetivo do problema

principal.

Resolver as formulações do item anterior, e a proposta a seguir pelo método das duas fases.

max Z = -1X1 +2X2

sujeito a:

X1 + X2 ≥ 2


-1X1 + X2 ≥ 1

X2 ≤ 3

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0


5 - SOFTWARES COMPUTACIONAIS A utilização de programação linear é recomendada para problemas de maior porte, em que

muitas variáveis e restrições devem ser consideradas. Por isso, o desenvolvimento de

algoritmos computacionais eficientes e precisos têm sido a maior preocupação entre os

pesquisadores. Programas adequados existem, virtualmente, para cada sistema computacional

comercial desenvolvido nos últimos 20 anos.

Problemas de grande porte requerem sistemas computacionais potentes e, portanto, sistemas

paralelos têm sido utilizados nos últimos anos. Entretanto, problemas menores podem ser

resolvidos em um computador pessoal utilizando um dos softwares desenvolvidos para

resolução de problemas de programação linear, como por exemplo XPress-MP LINDO e

MINOS.

Para problemas considerados médios, é recomendável a utilização de planilhas eletrônicas

com recursos para resolução de problemas. Exemplos destas planilhas são o "What's Best?"

(LINDO Systems) para Lotus 1-2-3, o Microsoft Excel e Borland Quattro e ainda o solver

para microsoft Excel. Todos eles são ferramentas poderosas, apesar de sua aparência simples.

O Solver do Excel será utilizado em alguns exemplos apresentados. Outro programa que

também será visto é o LINDO.

O instituto de pesquisa operacional e ciências administrativas (INFOR-MS) publica,

eventualmente, pesquisas sobre os softwares de programação matemática em seu periódico

OR/MS Today. O relatório de 1995 apresenta softwares que rodam em computadores pessoais

e destaca softwares capazes de atacar problemas maiores tanto quanto extensões de planilhas

eletrônicas.

5.1 Uma introdução ao uso do LINDO LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) foi desenvolvido por Linus Schrage

(1986). Ele é um programa de computador que pode ser usado para resolver problemas de

programação linear, inteira e quadrática. Para ilustrar seu uso, vamos usar o exemplo de

Giapetto, discutido anteriormente, e que foi sintetizado na seguinte formulação:


O programa executável tem o nome LINDO.EXE, apesar dele ser originalmente desenvolvido

para o ambiente DOS, pode-se executá-lo pelo WINDOWS. O LINDO assume que todas as

variáveis são não negativas, e as restrições adicionais não precisam ser fornecidas.

5.1.1 Comandos do LINDO São os seguintes os comandos do LINDO:

MAX – entrada inicial para o problema de maximização;

MIN – entrada inicial para o problema de minimização;

END – finalização da formulação, deixando o LINDO pronto para aceitar outros comandos;

GO – resolve a formulação corrente e apresenta a solução;

LOOK – mostra seleção estabelecida da atual formulação;

ALTER – altera um elemento da formulação corrente;

EXT – soma uma ou mais restrições ao modelo;

DEL – retira uma ou mais restrições do modelo;

DIVERT – saída para um arquivo, de tal forma que possa ser impresso;

RVRT – finaliza o comando DIVERT;

SAVE – salva uma formulação, de tal forma que possa ser recuperada para uso futuro;

RETRIEVE – recupera um arquivo anteriormente salvo;

EDIT – chama o editor do programa;

SOLU – mostra a solução da formulação (usar o comando GO antes do SOLU);

TABLEAU – mostra a tabela da formulação pelo simplex;

TAKE – habilita o LINDO a trabalhar com arquivos gerados por outros editores.

Uma lista completa dos comandos pode ser obtida através do comando COMMAND.

• max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a: • 2X1 + X2 <= 100 (2) • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) • X1 >= 0 (5) • X2 >= 0 (6)


5.1.2 Usando o LINDO O programa assume que todas as variáveis precisam ser não negativas. Assim, usando o

programa não é necessário digitar as variáveis de não negatividade. Para entrar com ≥ ou ≤,

basta digitar > ou <. O problema de Giapetto no programa fica da maneira ilustrada na figura

abaixo.

Depois de inserida a formulação no programa, pode-se usar qualquer dos comandos

mostrados anteriormente. Para problemas com muitas variáveis, a função objetivo ou as

restrições podem se estender por mais de uma linha. Se algum equivoco é cometido durante o

processo de entrada da formulação, o LINDO acusará o erro e instruções de correção.

Uma vez a formulação tenha sido programada, é sempre útil verificar se houve algum erro de

digitação. Para o programa mostrar a formulação, o comando LOOK, pode ser usado. Ele irá

perguntar qual a linha que se deseja verificar. Responda com um número de uma determinada

linha, por exemplo, 3; ou por uma faixa de linhas, 1-3; ou todas (ALL). Lembre que o LINDO

considera a função objetivo como a linha 1.

Para alterar algum aspecto da formulação, usar o comando ALTER. O programa irá perguntar

qual o número da linha, nome da variável, e o novo coeficiente, nesta seqüência. Para trocar o

lado direito de uma restrição, digitar RHS quando o programa perguntar pela variável. Para

trocar o sinal da restrição (por exemplo ≥ para ≤), digitar DIR quando o programa perguntar

pela variável. Mudanças adicionais podem ser feitas usando EXT (para adicionar novas

linhas), DEL (apagar uma linha) e APPC (para somar uma variável a uma ou mais linhas).

Uma vez que o programa esta digitado, para salvar basta digitar SAVE e dar um nome para o

problema. Para recuperar o arquivo basta usar RETRIEVE.


Para verificar o resultado do problema, basta digitar GO. Para obter uma impressão é preciso

criar um arquivo e imprimir este arquivo. Isto é realizado com o comando DIVERT.

Para resolver o problema, basta usar GO. Apenas a solução ótima é mostrada na tela, mas a

solução inteira pode ser vista no arquivo de saída para impressão. Em seguida o programa

pergunta se é desejo fazer uma análise de sensibilidade. Digitar NO ou YES. Para sair do

programa é necessário digitar QUIT.

Qualquer problema no uso do programa, o comando HELP fornece algumas informações.

Finalmente, o LINDO não aceita parênteses e virgulas. Assim 400(X1+X2) precisa ser

digitado como 400X1+400X2.

5.1.3 O editor do LINDO Em versões mais novas do LINDO usando o comando EDIT, um editor para corrigir e

verificar a formulação inteira é uma ferramenta bastante interessante. Neste editor as teclas

tem as seguintes funções:

Home – manda o cursor para o inicio da formulação;

End – manda o cursor para o fim da formulação;

PgUp – movimenta uma página a frente;

PgDn– movimenta uma página a trás;

Setas – movimenta o cursor de uma posição;

Esc – sai do editor;

Del – apaga caracter;

Backspace – apaga o caracter a esquerda do cursor;

Enter – muda o texto a direita para a próxima linha;

Crtl – seta direita – manda o cursor para o fim da próxima palavra;

Crtl – seta esquerda – manda o cursor para o fim da palavra anterior;

Crtl-S – move o cursor para o início da linha;

Crtl-E – move o cursor para o fim da linha;

5.2 UTILIZANDO O SOLVER DO EXCEL Como foi dito anteriormente, a aplicação de programação linear não é mais limitada pela

necessidade de um software especialista. Planilhas eletrônicas geralmente possuem

ferramentas que podem ser utilizados para atacar problemas de programação linear de


tamanho considerável. Talvez as duas planilhas mais utilizadas sejam o Excel, que contém um

opcional conhecido como solver, e o Lotus 1-2-3, que possui o módulo What's best?. Ambos

os sistemas são muito simples de serem utilizados e, embora sejam um pouco mais lentos que

os softwares especialistas, podem resolver problemas de tamanho razoável. Existem, é claro,

alguns perigos na sua facilidade de uso, assim como existem armadilhas que devem ser

evitadas quando modelos de programação linear são construídos e rodados, as quais podem

ser encobertas neste software amigável. Entretanto, a disponibilidade deste software é algo

passível de ser elogiada.

A discussão apresentada a seguir é baseada no Microsoft Excel v7. Versões mais recentes ou

mais antigas deste software poderão apresentar pequenas diferenças na estrutura, mas as

idéias básicas são as mesmas.

5.2.1 Formulação para o Solver Na base de qualquer modelo de programação linear existe um conjunto de restrições às quais

uma função objetivo a ser otimizada está submetida. O exemplo simples de Giapetto foi

formulado anteriormente, neste capítulo, através das equações algébricas representadas a

seguir:

Max Z = 3X1+ 2X2

Sujeita a:

2X1 + X2 ≤ 100

X1 + X2 ≤ 80

X1 ≤ 40

Função objetivo

Restrição quanto a tempo de acabamento

Restrição quanto a tempo de carpintaria

Restrição de venda máxima de soldados

Estas equações podem ser representadas de maneira diferente, através da utilização de

matrizes. Esta representação está exposta a seguir:


X1 = número de soldados

X2 = número de trens

maximizar 3 2

Sujeito as restrições

limite

2 1 ≤ 100

1 1 ≤ 80

1 0 ≤ 40

Lucro bruto

Solução 0 0 0

Com exceção da última linha, denominada solução, as demais restrições expostas nas matrizes

já eram conhecidas. A linha de solução representa os valores atribuídos a X1 e X2 antes de

qualquer otimização. No estado atual, ambos X1 e X2 são definidos como zero, o que resulta

em um lucro bruto de zero unidades.

O primeiro estágio de uso Solver é escrever esta matriz na planilha, como apresentado na

Figura 1. Como em qualquer planilha, é muito importante observar que algumas células

contêm valores constantes, mas outras contêm fórmulas as quais assumem os valores que são

exibidos nas mesmas. Neste exemplo, as células D4, D5, D6 e E8 contêm fórmulas. As

demais contêm textos, que são utilizados para deixar o exemplo mais claro, ou contêm

valores.

Figura 1 - Formulação básica do problema.


Uma rápida explicação da Figura 1 é dada abaixo:

1. Neste exemplo, as colunas B e C possuem os valores dos coeficientes das expressões

utilizadas na formulação algébrica e na tabela anteriormente.

2. A linha 2 contém os valores dos coeficientes da função objetivo (2 e 1).

3. As linhas 4 a 6 apresentam os valores dos coeficientes das restrições descritas

anteriormente.

4. A linha 8 contém os valores dados inicialmente para X1 e X2 antes de qualquer

otimização.

5. A coluna D possui suas linhas com valor zero, porém suas células representam a utilização

das três restrições. Assim, a célula D4 contém a fórmula:

= $B$8*$B4 + $C$8*$C4

Observe que as referências às células B10 e C10 são ambas absolutas. Assim, esta fórmula

estendida da célula D4 a à D6 é dada por:

D4 = $B$8*$B4 + $C$8*$C4

D5 = $B$8*$B5 + $C$8*$C5

D6 = $B$8*$B6 + $C$8*$C6

A coluna E foi utilizada para que os limites máximos e mínimos das restrições fossem

observados, a qual é freqüentemente conhecida como right-hand-sides (abreviada como RHS

por muitas pessoas). Assim, existe um limite de 100 horas para acabamento, de 80 horas para

carpintaria e venda máxima de 40 soldados. A coluna D, como mencionado anteriormente, é

usada para armazenar a utilização atual dos recursos. Assim, a célula D4 representa a

quantidade da restrição horas de acabamento que foi utilizada e seu valor é zero, uma vez que

as células B8 e C8 contêm valor zero antes de qualquer otimização.

Finalmente, uma célula da planilha deve ser utilizada para armazenar o resultado da

otimização (neste caso, o valor do lucro semanal obtido); nesta planilha, este valor está

contido na célula E8.


5.2.2 Janela de Parâmetros do Solver Utilizando os botões do mouse ou o teclado, devemos selecionar o Solver a partir do menu de

ferramentas do Microsoft Excel. A Figura 2 apresenta a janela que irá aparecer na tela. Esta

janela de parâmetros do Solver é utilizada quando o usuário fornece ao Solver as informações

necessárias para que o mesmo busque a solução otimizada.

Figura 2 Janela de parâmetros do Solver.

Para chegarmos à solução ótima do exemplo, o Solver precisa das seguintes informações:

1. Onde o valor da função objetivo será armazenado? Este valor representa o resultado da

otimização dado pela combinação de valores de X1 e X2 determinada. Neste caso, o

resultado será armazenada na célula E8. Isto significa que a célula E8 deve conter a

fórmula apropriada para a otimização, a qual, neste caso, é dada por: = $B$2*$B$8 +

$C$2*$C$8. Observe que as células de referência são absolutas - o que é recomendável,

porém não é necessário.

2. Quais são as restrições e que forma as mesmas possuem? Para fornecer estas informações

para o Solver, clique no botão adicionar da subjanela de restrições da janela dos

parâmetros do Solver. Uma caixa de diálogo, como a apresentada na Figura 3, irá

aparecer. Neste caso, a caixa de diálogo corresponde à primeira restrição, a restrição das

horas de acabamento, a qual possui seus coeficientes nas células B4 e C4 e sua expressão

está contida na célula D4. Assim, a célula $D$4 deve ser digitada na caixa referência de

célula, uma vez que a mesma contém a expressão da restrição. Esta restrição é do tipo

menor ou igual a, assim devemos selecionar este símbolo da caixa central da janela.


Finalmente, o valor máximo para esta restrição encontra-se na célula $E$4 e esta célula

deve ser indicada na caixa à esquerda da janela. Aperte o botão OK e a caixa de diálogo

irá fechar-se retornando à janela de parâmetros do Solver. Cada uma das restrições deve

ser descrita do mesmo modo como a anterior.

Figura 3 - Janela para entrada das restrições.

3. Quais células irão conter os valores de X1 e X2, os quais serão modificados até que se

otimize a função objetivo, e qual tipo de otimização deve-se procurar? Esta informação

deve ser fornecida pelo usuário através da janela de parâmetros do Solver. As células

cujos valores serão variados são a B8 e a C8 e, como mostra a Figura 4, devem ser

descritas como células de referência na caixa células variáveis. Como se busca a

maximização destas variáveis, a opção Máx deve ser selecionada.

Figura 4 - Entrada das células que irão variar para que a solução ótima seja encontrada

(células variáveis).

Antes de executar a otimização, é interessante informar ao Solver que todas as restrições são

expressões lineares, assim como a função objetivo. Estas informações devem ser fornecidas,

pois estamos tratando de um problema de programação linear. Para entrar com esta


informação, clique o botão opções da janela dos parâmetros do Solver. Uma nova janela irá

aparecer onde a opção presume modelo linear deve ser selecionada. Isto irá aumentar a

velocidade da otimização e, também, fará com que os relatórios fornecidos sejam adaptados

para o formato de problemas de programação linear (veja a seguir). Para executar a otimização, retorne à janela de parâmetros do Solver e aperte o botão resolver. A Figura 5

apresenta o resultado da otimização.

Figura 5 - Solução do problema

É importante observar que muitas outras informações, além do valor ótimo das variáveis

estudadas, podem ser obtidas a partir da solução fornecida para um problema de programação

linear. Um bom pacote computacional como o Solver fornece relatórios que ajudam o usuário

a entender muito mais sobre a solução apresentada. O Solver fornece três relatórios padrão e

permite que sua solução seja exportada para outro pacote se uma análise mais detalhada for

necessária.

5.2.3 O Relatório de Resultados do Solver O relatório resume os resultados da pasta de trabalho e também fornece algumas informações

a mais. Estas informações extras podem ser calculadas pelo usuário, mas é importante guardá-

las em algum lugar. O relatório da otimização para o problema apresentado é mostrado na

Figura 6 e possui três partes, como descrito abaixo:


• Célula de destino (Máximo): apresenta o máximo lucro obtido pelo Solver. Se este fosse

um problema de minimização, esta seção iria conter o valor mínimo.

• Células ajustáveis: mostram as variáveis de entrada, seus valores após a solução ótima e

seus valores iniciais (zero, neste caso).

Restrições: indicam a utilização de cada um dos recursos ao final da otimização. A coluna de

status classifica as restrições como obrigatória (restrição com utilização máxima) ou não-

obrigatória, estas últimas são as que apresentam algum recurso que não foi utilizado -

indicado pelo valor diferente de zero na coluna diferencial (slacks - folgas).

Os outros dois relatórios fornecem mais informações sobre a sensibilidade da solução ótima,

informações que podem ser importantes por várias razões. Primeiro, porque são raros os casos

de programação matemática em ciências administrativas nos quais todos os coeficientes ou

valores do modelo são conhecidos com precisão. Geralmente, alguns coeficientes são

conhecidos e vários serão aproximações, estimativas ou até mesmo hipóteses. O que fazer, se

os valores tomados forem errados? Qual será o efeito destes erros na solução? Assim, uma

solução alternativa não tão ótima pode ser, algumas vezes, melhor que uma solução ótima que

se toma sensível aos valores atribuídos aos coeficientes. A segunda razão que torna

importante a análise de sensibilidade está relacionada à idéia de que o mundo é dinâmico e,

por isso, as coisas estão mudando constantemente. Por exemplo, pode ser verdade que esta

semana a matéria-prima tenha um certo custo, porém, se o período observado for um mês,

este custo pode ser diferente. Assim, é importante conhecer quais são os efeitos que as

mudanças nos coeficientes podem gerar na solução ótima.

Figura 7 - Relatório de resposta para o problema


6 - CASOS PARTICULARES NO SIMPLEX

6.1 - CASO DE MÚLTIPLAS SOLUÇÕES Se um problema de PL (programação linear) tem mais de uma solução, nós dissemos que o

problema tem múltiplas soluções alternativas. Vejamos como identificar isto no Simplex.

A análise será feita através do seguinte problema: Um fabricante de móveis fornece os

seguintes produtos: mesas, armários e cadeiras. A fabricação de cada tipo de produto requer

chapas de mogno e dois tipos de mão de obra, uma para acabamento e outra para carpintaria.

A quantidade de recursos para cada tipo de produto é dada na tabela abaixo.

Recurso armário mesa cadeira

Mogno 8 m2 6 m2 1 m2

Horas de acabamento

4 2 1.5

Horas de carpintaria

2 1.5 0.5

No momento, 48 m2 de chapas de mogno, 20 horas de acabamento e 8 horas de carpintaria

estão disponíveis. O armário é vendido por $60, a mesa por $35 e a cadeira por $20. A

empresa acredita que a demanda por armários e cadeiras seja ilimitada, mas que o mercado

adquire no máximo 5 mesas. Uma vez que os recursos estejam disponíveis, a empresa deseja

maximizar o seu lucro. A formulação do problema é a seguinte:

Variáveis de decisão:

X1 = número de armários a serem produzidos

X2 = número de mesas a serem produzidas

X3 = número de cadeiras a serem produzidas

Max Z = 60X1 + 35X2 + 20X3 Sujeito a:

8X1 + 6X2 + X3 <= 48 (restrição de mogno)

4X1 + 2X2 + 1.5X3 <= 20 (restrição de acabamento)


2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 <= 8 (restrição de carpintaria)

X2 <= 5 (limitação de demanda de mesas)

X1, X2, X3 >= 0

A tabela inicial, a intermediária e a de solução são mostradas abaixo.

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 b razão

base 1 -60 -35 -20 0 0 0 0 0 X4 0 8 6 1 1 0 0 0 48 6 X5 0 4 2 1.5 0 1 0 0 20 5 X6 0 2 1.5 0.5 0 0 1 0 8 4 X7 0 0 1 0 0 0 0 1 5 não


base 1 0 -10 -5 0 0 30 0 240 X4 0 0 0 -1 1 0 -4 0 16 não X5 0 0 -1 0.5 0 1 -2 0 4 8 X1 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 0 4 16 X7 0 0 1 0 0 0 0 1 5 não


base 1 0 0 0 0 10 10 0 280 X4 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 24 X3 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 8 X1 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 2 X7 0 0 1 0 0 0 0 1 5 5

Lembra-se que todas as variáveis básicas precisam ter coeficiente 0 (zero) na primeira linha

(de outra forma elas não seriam básicas). Entretanto na última tabela (ótima), existe uma

variável não básica, X2, que tem o coeficiente na primeira linha igual a zero. Vejamos o que

ocorre se X2 entrar na base. O teste de razão mostra que X2 deveria entrar no lugar de X1. A

tabela com o resultado é mostrada o a seguir.



base 1 0 0 0 0 10 10 0 280 X4 0 1.6 0 0 1 1.2 -5.6 0 27.2 27.2 X3 0 1.6 0 1 0 1.2 -1.6 0 11.2 11.2 X2 0 0.8 1 0 0 -0.4 1.2 0 1.6 1.6 X7 0 -0.8 0 0 0 0.4 -1.2 1 3.4 3.4

Uma importante observação é que devido a X2 ter coeficiente 0 (zero) na primeira linha da

tabela de resultado ótimo, o fato de X2 entrar na base não muda a primeira linha. Isto significa

que todas as variáveis na nova primeira linha continuam com coeficientes positivos. Assim, a

nova tabela também é ótima. Uma vez que o pivô não mudou o valor de Z, uma solução

alternativa para o exemplo é Z = 280, X4 = 27.2, X3 = 11.2, X2 = 1.6 e X1 = X5 = X6 = 0.

Em resumo, a empresa pode obter um lucro de $280 fabricando 2 armários e 8 cadeiras ou

fabricando 1.6 mesas e 11.2 cadeiras. Assim, o problema tem mais de um ponto ótimo

extremo. Cada ponto entre a linha que liga estes pontos é também solução.

Quando a formulação tem apenas 2 variáveis, como a formulação abaixo, esta situação é

facilmente identificada na solução gráfica, como mostra a figura do QM for Windows a

seguir.

Max Z = 3X1 + 2X2

Sujeito a:

1/40X1 + 1/60X2 <=1

1/50X1 + 1/50X2 <=1

X1, X2 >= 0


6.2 - CASO DE SOLUÇÃO ILIMITADA Este caso ocorre quando a variável que entra na base não possui em sua coluna nenhum

coeficiente positivo. Os programas de computador apresentam a última solução básica antes

que a solução se torne ilimitada.

Um caso de solução ilimitada é o seguinte:

Max Z = 2X1 – X2

Sujeito a:

X1 – X2 <= 1

2X1 + X2 >= 6

X1, X2 >= 0

O gráfico e solução do problema pelo QM for Windows é visto na figura a seguir.

Na outra figura mostra-se que a variável que vai entrar na base é a X3, mas todos os

coeficientes são negativos, configurando o caso de solução ilimitada.


6.3 - PROBLEMA DA DEGENERAÇÃO No desenvolvimento do simplex, a linha pivô é a restrição que apresenta o menor quociente

não negativo, na divisão dos termos independentes pelos coeficientes positivos da variável

que entra.

Pode ocorrer que haja mais de um resultado nessas condições. Deve-se escolher

arbitrariamente um deles para calcular a solução. Entretanto, essa solução apresentará


variáveis básicas com valor nulo. A saída de uma variável básica nula provoca o aparecimento

de outra variável básica nula na solução seguinte, sem alteração do valor do objetivo.

Neste caso, a solução é chamada degenerada. Se os coeficientes da função objetivo retornam

não negativos em alguma iteração, o caso não apresenta dificuldade. O problema aparece

quando a iteração leva a longos circuitos, sem caracterizar a solução ótima. Embora o caso

seja raro, há maneiras de solucioná-lo. Entretanto, a discussão deste caso não é relevante a

nível deste curso.

7 - ANÁLISE ECONÔMICA

A análise econômica baseia-se nos coeficientes das variáveis, na função objetivo final. Este

tópico será explicado através da análise dos coeficientes do problema de Giapetto.

Reconsiderando o problema de Giapetto.

Max Z = 3X1 + 2X2

Sujeito a:

2X1 + X2 <= 100 (Restrição de acabamento)

X1 + X2 <= 80 (Restrição de carpintaria)

X1 <= 40 (Restrição de demanda)

X1, X2 >= 0

X1 = Número de soldados

X2 = Número de trens

Para aplicar o Simplex a formulação fica:

Max Z = 3X1 + 2X2

Sujeito a:

2X1 + X2 + X3 = 100 (Restrição de acabamento)

X1 + X2 + X4 = 80 (Restrição de carpintaria)


X1 + X5 = 40 (Restrição de demanda)

X1, X2 >= 0

X3 = sobra de horas de acabamento;

X4 = sobra de horas de carpintaria;

X5 = sobra de demanda.

Solução do problema: Z = 180, X1 = 20; X2 = 60 e X5 = 20. X1 e X2 significam a ordem de

produção, 20 soldados e 60 trens deverão ser produzidos. A última tabela (solução ótima)

pode ser vista novamente a seguir.

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Base 1 0 0 1 1 0 180 X2 0 0 1 -1 2 0 60 X5 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 1 1 0 20

As interpretações do resultado serão feitas a seguir.

1. X5 = 20 (variável básica) – significa que Giapetto vai deixar de atender o mercado em 20

unidades de soldados;

2. X3 = 0 (variável não básica), mas seu coeficiente na tabela é igual a 1. Esta variável

representa a folga da restrição de acabamento. O valor 1 do coeficiente, significa que para

cada 1 hora a mais de acabamento, o lucro de Giapetto aumentará de 1. Este valor

significa o adicional máximo que se pode pagar por hora adicional de acabamento.

Analogamente 1 hora a menos, significa que o lucro diminuirá de 1. O zero como

resultado da variável não básica também significa que o recurso é escasso, ou seja toda a

disponibilidade dele é necessária para que o resultado seja atendido;

3. X4 = 0 (variável não básica), mas seu coeficiente na tabela é igual a 1. Esta variável

representa a folga da restrição de carpintaria. O valor 1 do coeficiente, significa que para

cada 1 hora a mais de acabamento, o lucro de Giapetto também aumentará de 1. Este valor

significa o adicional máximo que se pode pagar por hora adicional de carpintaria.

Analogamente 1 hora a menos de carpintaria, significa que o lucro diminuirá de 1. O zero

como resultado da variável não básica também significa que o recurso é escasso, ou seja

toda a disponibilidade dele é necessária para que o resultado seja atendido;


4. X5 = 20 (variável básica), mas seu coeficiente na tabela é igual a 0 (zero). O fato do

coeficiente ser igual a 0, significa que o recurso não é escasso (produção abaixo do

mercado). Este resultado poderia Giapetto rever seus possíveis investimentos em

marketing para soldados. Também poderia fazer pensá-lo em aumentar o preço do

soldado, uma vez que a demanda é maior que a oferta.

Fazer análise semelhante para o problema a seguir.

No programa de produção do próximo período, uma determinada empresa escolheu 3

produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na

produção.

Produto Lucro por unidade

Horas de trabalho

Horas de uso de máquina

Demanda máxima

P1 2100 6 12 800 P2 1200 4 6 600 P3 600 6 2 600

Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo

em vista estes preços. A empresa pode obter um suprimento de 4800 horas de trabalho

durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover

7200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período. Analisar

os coeficientes das variáveis de folga da solução final.

8 - DUALIDADE

Em determinadas situações, a quantidade de cálculos necessária para resolver um modelo

linear pelo método Simplex pode ser reduzida. O modelo inicial chamado Primal, pode ser

substituído por outro modelo chamado Dual, cuja solução é mais rápida. Será mostrado que

uma vez conhecida a solução do Dual, conhece-se em conseqüência a solução do Primal, o

que resolve o problema.

Seja o seguinte problema, que será chamado de Primal:

Max Z = 2X1 + 3X2 + X3

Sujeito a:


3X1 + 4X2 + 2X3 <= 10

2X1 + 6X2 + X3 <= 20

X1 – X2 – X3 <= 30

X1, X2, X3 >= 0

A obtenção do Dual se processa da seguinte maneira: para cada restrição será atribuída uma

variável de decisão (Yi). A função objetivo do Dual será de minimização e cada uma de suas

parcelas será o produto da variável Yi pelo termo da direita da restrição correspondente. Cada

variável de decisão do Primal gera uma restrição no Dual. Neste caso o sinal será >=, e o

termo da direita será o coeficiente da variável Primal na função objetivo. Todas as variáveis

do Dual serão não negativas.

Assim, o Dual será formulado da seguinte maneira:

Min W = 10Y1 + 20Y2 + 30Y3

Sujeito a:

3Y1 + 2Y2 + Y3 >= 2

4Y1 + 6Y2 - Y3 >= 3

2Y1 + Y2 – Y3 >= 1

Y1, Y2, Y3 >= 0

De modo análogo, para o problema de minimização e sinais de >= no Primal, o Dual é obtido

como mostrado no exemplo a seguir.

Primal:

Min Z = 10X1 + 20X2 + 30X3

Sujeito a:

Variável Dual

3X1 + 2X2 + X3 >= 2 ⇒ Y1

4X1 + 6X2 - X3 >= 3 ⇒ Y2

2X1 + X2 – X3 >= 1 ⇒ Y3

X1, X2, X3 >= 0


Dual:

Max W = 2Y1 + 3Y2 + Y3

Sujeito a:

Termos da direita

3Y1 + 4Y2 + 2Y3 <= 10 ⇒ Coeficiente de X1

2Y1 + 6Y2 + Y3 <= 20 ⇒ Coeficiente de X2

Y1 - Y2 - Y3 <= 30 ⇒ Coeficiente de X3

Y1, Y2, Y3 >= 0

A solução ótima Primal corresponde à solução ótima Dual com Z = W. O coeficiente da

variável de decisão na função objetivo Primal é o valor da variável de folga correspondente

na solução Dual. O coeficiente da variável de folga da função objetivo Primal é o valor da

variável de decisão correspondente na solução Dual. Como o Primal é o Dual do próprio

Dual, vale o raciocínio no sentido Dual para o Primal.

O Dual do problema do Giapetto é obtido como se mostra a seguir.

Primal:

Max Z = 3X1 + 2X2

Sujeito a:

Variável

Dual

2X1 + X2 <= 100 ⇒ Y1

X1 + X2 <= 80 ⇒ Y2

X1 <= 40 ⇒ Y3

X1, X2 >= 0

Dual:

Min W = 100Y1 + 80Y2 + 40Y3

Sujeito a:


Termos da direita

2Y1 + Y2 + Y3 >= 3 ⇒ Coeficiente de X1

Y1 + Y2 >= 2 ⇒ Coeficiente de X2

Y1, Y2, Y3 >= 0

A última tabela do Primal, com a solução ótima é vista a seguir.

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Base 1 0 0 1 1 0 180 X2 0 0 1 -1 2 0 60 X5 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 1 1 0 20

A última tabela do Dual, com a solução ótima é vista a seguir.

Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Ya1 Ya

2 b Base -1 0 0 20 20 60 M-20 M-60 -180 Y1 0 1 0 1 -1 1 1 -1 1 Y2 0 0 1 -1 1 -2 -1 2 1

Correspondência:

Coeficiente de X1 = 0 (var. decisão) ⇒ Valor de Y4 = 0 (var. folga)

Coeficiente de X2 = 0 (var. decisão) ⇒ Valor de Y5 = 0 (var. folga)

Coeficiente de X3 = 1 (var. folga) ⇒ Valor de Y1 = 1 (var. decisão)



Coeficiente de Y1 = 0 (var. decisão) ⇒ Valor de X3 = 0 (var. folga)



Coeficiente de Y4 = 20 (var. folga) ⇒ Valor de X1 = 20 (var. decisão)

Coeficiente de Y5 = 60 (var. folga) ⇒ Valor de X2 = 60 (var. decisão)

Valor de Z = 180 ⇒ Valor de W = 180


8.1 - INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA DO DUAL

As variáveis de decisão do Dual representam os recursos do Primal. Assim

Y1 = 1, esta variável de decisão representa a primeira restrição (acabamento)

e seu valor é o mesmo do coeficiente da variável de folga X3 do Primal. Seu

significado é portanto que para cada unidade adicional do recurso

acabamento o lucro será incrementado de 1.

Y2 = 1, esta variável de decisão representa a segunda restrição (carpintaria)

e seu valor é o mesmo do coeficiente da variável de folga X4 do Primal. Seu

significado é portanto que para cada unidade adicional do recurso

carpintaria o lucro será incrementado de 1.

A função objetivo Dual mede, então, a capacidade do estoque de recursos

gerar lucros.

8.2 – EXEMPLO Suponha que um problema de produção tenha como modelo:

Max L = X1 + 0,3X2 + 3X3

Sujeito a:

X1 + X2 + X3 <= 10

2X1 + X2 + 4X3 <= 12

X1 – 3X2 – X3 <= 9

X1, X2 e X3 >= 0

e que o quadro final de solução pelo Simplex seja:

L X1 X2 X3 XF1 XF2 XF3 b 1 0.5 0.45 0 0 0.75 0 9 0 0.5 0.75 0 1 -0.25 0 7 0 0.5 0.25 1 0 0.25 0 3 0 1.5 3.25 0 0 0.25 1 12


Onde Xi são as decisões de fabricação dos produtos Pi e XFi as sobras dos recursos Ri no

programa. O objetivo é maximizar o lucro devido a produção e comercialização dos produtos.

Responder as seguintes perguntas:

1. Qual a solução mostrada no quadro?

2. Quais os recursos escassos?

3. O que ocorreria se por um motivo de força maior tivéssemos que fabricar uma unidade de

P1?

4. Se alguém quisesse adquirir uma unidade do recurso R1, você estaria disposto a vender?

Qual o preço que compensa a venda?

5. Se alguém insistir em comprar uma unidade do recurso R2, que preço de venda

compensaria o fato dele ser escasso?

6. Construa o modelo Dual do problema?

7. Obter a solução do Dual.

8. O que significa a variável dual Y1?

9. O que mede a função objetivo Dual?

10. O que mede o lado esquerdo da Segunda restrição Dual? E o lado direito?

11. Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a não fabricação de P2

no programa?

12. Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a fabricação de P3?

13. Quanto você pagaria por uma unidade adicional do recurso R2? Por que?

14. Quanto você pagaria por uma unidade adicional do recurso R3? Por que?


9 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Análise de sensibilidade se refere a como mudanças na formulação de um problema de

programação linear, afeta a solução ótima. Reconsiderando o problema de Giapetto.

Max Z = 3X1 + 2X2

Sujeito a:

2X1 + X2 <= 100 (Restrição de acabamento)

X1 + X2 <= 80 (Restrição de carpintaria)

X1 <= 40 (Restrição de demanda)

X1, X2 >= 0

X1 = Número de soldados

X2 = Número de trens

Solução ótima é Z = 180, X1 = 20, X2 = 60, ponto identificado no gráfico abaixo. As

variáveis básicas são X1, X2 e X5 (variável de folga da restrição de demanda). A questão que

se coloca em análise de sensibilidade é como alterações nos coeficientes da função objetivo e

no lado direito das inequações que representam as restrições afeta a solução ótima.

9.1 - MUDANÇA NOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO OBJETIVO Se a contribuição para o lucro de cada soldado crescer, parece lógico que a decisão ótima para

o problema seria produzir mais soldados (o que faria X3 se tornar não básica). De forma


análoga se a contribuição decrescer a decisão lógica seria a produção de apenas trens (X1 se

tornaria não básica). Será mostrado a seguir como o valor de contribuição para o lucro pode

variar e a solução ótima ainda permanecer.

Seja C1 a contribuição para o lucro de cada soldado. Para quais valores de C1 a corrente

solução permanece ótima?

Na formulação C1 = 3 e cada linha reta que representa a função objetivo igual a uma constante

tem a seguinte equação: 3X1 + 2X2 = constante, ou X2 = -3/2 X1 + constante/2. Cada linha

paralela tem o coeficiente angular igual a –3/2. Da figura anterior pode-se ver que uma

mudança em C1 causa uma mudança na inclinação desta linha. Se esta inclinação for menor

que a da restrição de carpintaria, a solução ótima passará a ser a do ponto A. Se a contribuição

para o lucro de cada soldado é C1, o coeficiente angular da reta será - C1/2. Uma vez que o

coeficiente angular da restrição de carpintaria é –1, a reta que representa a função objetivo

será menos inclinada que a d restrição de carpintaria se – C1/2> -1, ou C1 < 2, e a nova

solução ótima será (0, 80), ponto A da figura anterior.

Se a inclinação da reta for maior que a da restrição de acabamento a solução ira do ponto B

para o ponto C. O coeficiente angular da restrição de acabamento é –2. Se – C1/2 < -2, ou C1

> 4, a solução corrente deixa de ser ótima e o ponto C (40, 20) passará a ser ótimo.

Em resumo, foi mostrado que (se todos outros parâmetros permanecerem inalterados) a

solução corrente permanece ótima para 2 <= C1 <= 4, e Giapetto deveria continuar fabricando

20 soldados e 60 trens. É claro que com a alteração a função objetivo pode se alterar.

9.2 - MUDANÇA NO LADO DIREITO DAS INEQUAÇÕES Através da análise gráfica é fácil identificar se uma variação no valor do lado direito de uma

inequação faz com que a base deixe de ser ótima. Fazendo b1 o número de horas disponíveis

de acabamento. Na formulação atual b1 é igual a 100. Para que valores de b1 a base corrente

deixa de ser ótima? Pela análise da figura a seguir identifica-se que uma variação em b1 a reta

da restrição de acabamento se desloca paralelamente a reta inicial.

Nota-se que para b1 > 120, a corrente base deixa de ser ótima. O mesmo ocorre para b1 < 80.

Assim, a base corrente permanece para 80 <= b1 <= 120. Nota-se que embora a base

permaneça a mesma, os valores das variáveis de decisão e função objetivo mudam. Por

exemplo, se 80 <= b1 <= 100, a solução ótima será entre o ponto B e outro no segmento AB.

De forma análoga, se 100 <= b1 <= 120, a solução ótima mudará para algum ponto do

segmento BD.


Se um problema de programação linear tiver mais de 2 variáveis de decisão, as variações

possíveis dos coeficientes da função objetivo e do valores do lado direito das inequações que

não mudam a solução, não pode ser identificadas graficamente. O cálculo das faixas de

variação de forma manual normalmente é tediosa. Para evitar este problema, normalmente se

usa programas de computadores. O resultado de sensibilidade no LINDO para o problema do

Giapetto pode ser visto a seguir. Para se obter este resultado, basta após o comando GO que

nos trás a resposta do problema, responder com Y (yes) para a obtenção das faixas de

variação.


Como exemplo, o coeficiente de X1 na função objetivo pode alterar entre 2 e 4, que a solução

continuaria sendo X1 = 20, X2 = 60 e X5 = 20. Já X2 pode variar entre 1, 5 e 3. Já os valores

de bi, por exemplo b2, pode variar entre 60 e 100, que a base continuaria sendo X1, X2 e X5.

Na figura a seguir encontra-se os resultados destas variações possíveis apresentadas pelo

programa QM for Windows. Esta janela é acessada no menu WINDOW opção Ranging.

Na figura a seguir esta o relatório que se obtém através do Excel, selecionando quando

utilizado o Solver a emissão do relatório de sensibilidade.


9.3 – EXEMPLO Suponha que um problema de produção tenha como modelo:

Max Z = 2100X1 +1200X2 + 600X3

Sujeito a:

1) 6X1 + 4X2 + 6X3 <= 4800

2) 12X1 + 16X2 + 2X3 <= 7200

3) X1 <= 800

4) X2 <= 600

5) X3 <= 600

X1, X2 e X3 >= 0

Onde: Xi são as decisões de produção dos bens Pi. O objetivo é maximizar o lucro pela venda

desses produtos.

Restrições:

1. Horas de máquina para a produção dos bens;

2. Horas de mão de obra para a produção;

3. Demanda de P1;

4. Demanda de P2;

5. Demanda de P3.

O quadro final de solução pelo Simplex é o seguinte:

Z X1 X2 X3 XF1 XF2 XF3 XF4 XF5 b 1 0 1.4 0 50 150 0 0 0 1320000 0 0 -0.8 1 0.2 -0.1 0 0 0 240 0 1 1.467 0 -0.033 0.1 0 0 0 560 0 0 -1.467 0 0.033 -0.1 1 0 0 240 0 0 1 0 0 0 0 1 0 600 0 0 0.8 0 -0.2 0.1 0 0 1 360

Questões:

1. Qual o coeficiente de estabilidade para o coeficiente de X1? O que isto significa?

2. Qual o coeficiente de estabilidade para o coeficiente de X3? O que isto significa?


3. Qual o coeficiente de estabilidade para o coeficiente de XF3? O que isto significa?

4. Qual o coeficiente de estabilidade para o coeficiente de XF1? O que isto significa?

5. Um novo produto, que use 3 horas de máquina, 5 horas de mão de obra e com demanda

garantida de 200 unidades para um lucro máximo de $ 800, teria interesse no programa?

6. Qual o limite para aquisição do recurso R1, aos custos correntes, que mantém a

informação contida em seu susto de oportunidade?

7. Idem para o recurso R2.

8. O que significa a informação contida no custo de oportunidade do recurso R5?

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