Curso de Probabilidade e Estatística

Introduo a Estatstica

JOELMIR FELICIANO

O que Estatstica ?

ESTATSTICA: conjunto de tcnicas que permite,

de forma sistemtica, coletar, organizar, descrever,

analisar e interpretar dados oriundos de estudos

ou experimentos, realizados em qualquer rea do

conhecimento.

?

Algumas Atividades que Envolvem Estatstica.

rea Social: O censo populacional.

rea Industrial: Confiabilidade de Sistemas, Controle Estatstico de

Qualidade, etc.

rea Agropecuria: Identificao de melhores formas de manejo, etc.

rea Bancria: Concesso de Crdito, Aturia.

Marketing: Pesquisas de Mercado, Inferncia, etc.

Principais reas da Estatstica

Estatstica Descritiva: Utilizada na etapa inicial da anlise, quando tomamos contato com os dados pela primeira vez. o conjunto de tcnicas destinadas a descrever e resumir os dados a fim de que possamos tirar concluses a respeito da caracterstica de interesse.

Probabilidade: Teoria matemtica utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenmenos de carter aleatrio.

Inferncia Estatstica: Estudo de tcnicas que possibilitam a extrapolao, a um grande conjunto de dados, das informaes e concluses obtidas a partir de subconjuntos de valores, usualmente de dimenso muito menor.

Exemplos de Aplicao

Comparao entre tratamentos ou processos:

Produo Produo

Tratamento Tipo 1

x11 x12 x1n ... x21 x22 x2n ...

Tratamento Tipo 2

Tipo 1

mais

produtivo

do que o

Tipo 2?

Raciocnio Estatstico

Populao Dados Amostragem

Estatstica

Descritiva

Inferncia Estatstica

(Probabilidade)

Com Suporte Computacional

Tcnicas de Amostragem

JOELMIR FELICIANO

Noes Bsicas

Definio de Populao: Ao grande conjunto de elementos que contm determinada caracterstica

comum, que temos interesse recebe o nome de

populao.

Ex1: Toda a populao brasileira.

Populao 1 Populao 2

Ex2: Toda a populao de sapos brasileiros.

Noes Bsicas

Quando observamos todos os dados, procedemos ao Censo.

Exemplo: Examinar todos os brasileiros quanto a condio de nutrio.

Populao

= ?

Qual a proporo de

brasileiros desnutridos?

Um parmetro uma medida numrica que descreve uma

caracterstica de uma populao. Ex: 20% dos brasileiros esto

desnutridos.

Noes Bsicas

Quase no se trabalha com populao.

Alto custo da pesquisa/experimento (material, pessoal,

logstica, etc);

Resultados demorados;

Razes ticas (experimentos com animais);

Impossibilidade (Linha de produo, sangue, etc).

Motivos Principais

Noes Bsicas: Amostra.

Populao

Estatstica: uma medida numrica que descreve uma

caracterstica de uma amostra. Ex: mdia da altura da pop.

Brasileira, proporo de desnutridos, etc.

Amostra

Definio: subconjunto da populao, em geral com

dimenso sensivelmente menor.

x : Estatstica.

Noes Bsicas: Amostra.

Vantagens da Amostragem.

Baixo custo operacional.

Maior rapidez na execuo da pesquisa ou estudo.

Maior segurana nos resultados

Tipos de Amostragem

Amostra casual simples: Existncia de um frame. Todos os elementos da populao

devem ter chance igual de escolha. Procedimento baseado no sorteio aleatrio.de

escolha.

Figura 1: Sorteio Aleatrio

Tipos de Amostragem

Amostra Estratificada: Na amostra estratificada os elementos so

provenientes de todos os estratos da populao.

Ex: Pesquisas em um cidade; pesquisas em florestas; etc.

Em cada estrato feito o sorteio aleatrio.

Tipos de Amostragem

Amostra Sistemtica: Na amostra sistemtica os elementos so

escolhidos no por acaso, mas por um sistema.

No primeiro perodo o sorteio aleatrio.

Exemplo: Linha de Produo; Pesquisas em formulrios;

etc.

Tipos de Amostragem

Amostra por conglomerado: Amostra feita em vrios estgios.

Maior economia.

Ex: Em uma pesquisa feita no pais, primeiro sorteamos os estados,

depois as cidades, depois os bairros, os setores censitrios, os

domiclios e os indivduos.

Tipos de Amostragem: Exerccios

1. Obtm-se uma amostra de um produto extraindo-se cada 100 unidade da linha

de produo;

2. Um fabricante de automveis faz um estudo de mercado compreendendo

testes de direo feitos por uma amostra de 10 homens e 10 muheres em cada

uma das quatro diferentes faixas etrias;

3. Geram-se nmeros aleatrios em um computador para selecionar nmeros de

sries de carros a serem escolhidos para uma amostra teste.

A- Identifique o tipo de amostra:

4. Em uma linha de produo so produzidos 1000 comprimidos por hora,

sabendo que a linha funciona por 8 horas seguidas por dia e que deve ser

extrada uma amostra de 400 comprimidos por dia, qual seria o processo de

amostragem mais indicado e como seria a seleo dessa amostra?

Anlise Exploratria de Dados

Estatstica Descritiva 1

Organizao dos dados em

Tabelas?

O que uma varivel ?

Varivel uma caracterstica, propriedade ou atributo de uma unidade da populao, cujo valor pode variar entre as unidades da populao.

Variveis Qualitativas ou Categricas: Quando os possveis valores assumem

atributos ou qualidades. Ex: sexo, cor, escolaridade, doena, condio do ar, condio

da gua, etc.

Tipos de Variveis

Variveis Quantitativas ou de Medidas: Quando seus valores so expressos em

nmeros. Ex: altura, peso, nmero de filhos, pH, concentrao do reagente, etc .

Especificando os tipos de variveis

As variveis qualitativas podem ser classificadas ainda como:

Ordinais: quando o atributo tem uma ordenao natural, indicando intensidade crescente de realizao. Ex: grau de escolaridade, classe social, condio do ar, condio da gua,estado clnico, etc.

Nominais: quando o atributo no se estabelece ordem. Ex: sexo, cor, raa, doena, etc.

J as variveis quantitativas podem ser: Discretas: resultantes de contagens, assumindo assim, em geral valores inteiros. Ex:

nmero de filhos, nmero de peas defeituosas, n de pessoas doentes na regio, etc.

Contnuas: assumem valores em intervalos de nmeros reais e geralmente, so

provenientes de uma mensurao. Ex: peso, altura, pH,concentrao do reagente, etc..

Resumo geral: tipo de varivel

Varivel

Qualitativa

Quantitativa

ordinal

nominal

contnua

discreta

Apresentao dos dados em tabela

Tabela 1.1: Nmero de Nascimentos segundo o sexo

Fonte: E.W.

Sexo Freqncia

Masculino 10

Feminino 8

Total 18

Para efeito de comparao: Tabela de

freqncia relativa

Tabela 1.2: Nmero de Nascimentos segundo sexo.

Fonte: E.W.

Sexo Freqncia Freqncia relativa(%)

Masculino 10 55,56%

Feminino 8 44,44%

Total 18 100,00%

Tabelas de distribuio de freqncia.

Quando os dados so quantitativos contnuos, no conseguimos resumir a

informao da mesma forma anterior. Neste caso precisamos organizar os dados

em uma tabela de distribuio de freqncias. Veja os dados abaixo,

2,522 3,200 1,900 4,100 4,600 3,400

2,720 3,720 3,600 2,400 1,720 3,400

3,125 2,800 3,200 2,700 2,750 1,570

2,250 2,900 3,300 2,450 4,200 3,800

3,220 2,950 2,900 3,400 2,100 2,700

3,000 2,480 2,500 2,400 4,450 2,900

3,725 3,800 3,600 3,120 2,900 3,700

2,890 2,500 2,500 3,400 2,920 2,120

3,110 3,550 2,300 3,200 2,720 3,150

3,520 3,000 2,950 2,700 2,900 2,400

3,100 4,100 3,000 3,150 2,000 3,450

3,200 3,200 3,750 2,800 2,720 3,120

2,780 3,450 3,150 2,700 2,480 2,120

3,155 3,100 3,200 3,300 3,900 2,450

2,150 3,150 2,500 3,200 2,500 2,700

3,300 2,800 2,900 3,200 2,480

3,250 2,900 3,200 2,800 2,450

Tabela 1.7: Peso ao nascer de nascidos vivos, em quilogramas

Fonte: IBGE

Exemplo de tabela de distribuio de

freqncia.

Classe Ponto mdio Freqncia

1,5 |--- 2,0 1,750 3

2,0 |--- 2,5 2,250 16

2,5 |--- 3,0 2,750 31

3,0 |--- 3,5 3,250 34

3,5 |--- 4,0 3,750 11

4,0 |--- 4,5 4,250 4

4,5 |--- 5,0 4,75 1

Tabela 1.9: Peso de recm nascidos.

Numa tabela de distribuio de freqncia tambm podem ser apresentados os

pontos mdios de classe. O ponto mdio dado pela soma dos extremos de uma classe,

dividida por 2. Para a classe 1,5 |--- 2,0, o ponto mdio : (1,5+2)/2=1,75.



Representao Grfica de Dados

Grfico de Setores ou Pizza. Usado para representar variveis qualitativas, quando os

dados apresentam poucas caractersticas.

Figura1.1: Fonte de Emisso de CO na RMSP-2003.

54%

15%

31%

Gasolina Alcool Diesel

Grfico de Barras.

Grfico de barras bastante usado com variveis qualitativas e quantitativas

discretas. Ideal para quando temos vrias classes de categorias.

Figura 1.2: Distribuio das reclamaes via 0800.

13

8

7

25

0

5

10

15

20

25

Fre

q

n

cia

Mau atendimento Troca de mercadoria Mercadoria com defeito Falta de variedade

Reclamaes

Histograma O histograma a representao grfica para variveis quantitativas

contnuas. Este tipo de representao mostra a forma da distribuio

da varivel. de fundamental importncia na aplicao dos conceitos

de inferncia estatstica

Figura 1.3: Histograma do Peso Recm Nascido.

Ponto mdio

Espalhamento

dos dados

Diagramas de Disperso

Quando temos dados emparelhados e desejamos verificar de existe uma

associao entre esses dados, usamos como anlise preliminar o diagrama

de disperso.

Figura 1.5- Diagrama de disperso: Temperatura X Rendimento de PQ.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120

Temperatura

Ren

dim

en

to



Medidas de Centralidade.

Medidas de Posio.

Medidas de Centralidade

Mdia Aritmtica de um conjunto de valores o valor obtido somando-se todos eles e dividindo-se o

total pelo nmero de valores.

n

x

x

n

i

i 1

Exemplo 1: Os valores em gramas referentes aos pesos de

recm nascidos de uma pequena cidade em um dia especfico

foram: 2500, 2350, 3400, 3280, 2650, 4010 e 2910.

Assim o peso mdio calculado como:

28,30147

21100

7

2910...23502500

x

Medidas de Centralidade Se os dados apresentam observaes extremas, a mdia pode

no ser a medida mais indicada para centralidade, pois sobre influncia direta de observaes extremas. Por exemplo:

Em uma pesquisa sobre salrio de um Tecnlogo em Qumica Frmaco Industrial observamos os seguintes valores: $1000,00; $1200,00; $1800,00; $2500,00; $2700,00 ; $3200,00 e $15000,00

A mdia : 3914,28. Essa medida representativa para este

conjunto de dados.

Soluo: O uso da mediana.

Mediana (Me) o valor que divide a amostra ou populao em

duas partes iguais.

Para o exemplo, Me = $2500,00


0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

1 2 3 4 5 6 7

Dados Mdia Mediana

Figura 2.1 : Salrios dos Tecnlogos


Como calcular a mediana?

Se o nmero de observaes na amostra ou

populao for impar, ento a mediana ser o elemento de

ordem , ou seja :

n

2

1nxMe21n

Se o nmero for de ordem par, ento a mediana ser a mdia

entre os elementos centrais ou seja:

2

122

nnxx

Me

Exemplos para o clculo da Mediana:

Serie 1: 12, 124, 32, 10, 18, 29 e 100 n= 7; impar

Ordenar : 10, 12, 18, 29, 32, 100 e 124.

29)4(2

1

xxMe

n

Serie 2: 12, 124, 32, 10, 18 e 29 n= 6; par.

Ordenar : 10, 12, 18, 29, 32, 124.

5.232

2918

22

)4()3(1

22

xx

xx

Me

nn

Medidas Separatrizes

As medidas de posio possibilitam um melhor entendimento dos dados, focalizando sua posio relativa em relao ao conjunto como um todo.

Mediana: divide os dados ordenados em duas partes iguais.

Quartis: Dividem os dados ordenados em 4 partes iguais.

Decis: Dividem os dados ordenados em 10 partes iguais.

Percentis: Dividem os dados ordenados em 100 partes

iguas.

Medidas Separatrizes

Calculando o percentil (medida geral)

Ordenar a srie de n observaes em ordem crescente de valores, definimos

como 0% posio de ordem 1 e 100% a observao de ordem n. Portanto

uma observao com ordem x ter uma posio p.

Ordem

Posio

n

0%

1 x

100%

P

Medidas Separatrizes Usando a semelhana de tringulos, vamos ter:

0

1

0100

1

P

xn

.observao dessa percentil o :

.observao adeterminad uma de ordem a :

srie. na sobservae de totalnmero :

P

x

n

%100*1

1

n

xP

1100

*)1( P

nx

Medidas Separatrizes: Exemplo1.

Srie de 27 32 64 65 58 62 59 54 29 30 26 48 47

Dados 46 43 38 29 32 35 37 31 43 45 42 37 36

Calcular o valor da observao para o percentil P = 32%.

Srie 26 27 29 29 30 31 32 32 35 36 37 37 38

Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Srie 42 43 43 45 46 47 48 54 58 59 62 64 65

Ordem 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Primeiro Passo: Ordenar os dados.

Medidas Separatrizes: Exemplo.

Agora vamos encontrar a ordem x correspondente:

91100

32*)126(1

100*)1(

Pnx

Portanto o valor na srie de ordem x=9 35. Ou seja,

o valor que separa a srie de dados entre os 32%

menores valores 35.

Descritiva 4

Medidas de disperso.

Medidas de disperso Problema:

Uma empresa farmacutica realiza um teste com dois

medicamentos para a mesma finalidade em um grupo de 14 pessoas,

sendo que 7 tomaram o medicamento A e as outras 7 o B.O tempo de

reao foi anotado para cada individuo:

Tabela 1: Tempo de reao dos medicamentos.

Fonte: E.W.

As mdias para os dois grupos so iguais. Qual o melhor medicamento?

Mdia

Med.A 15 61 48 16 72 17 16 35

Med.B 35 35 36 34 33 35 37 35

Tempo de Reao

Medida de Disperso S utilizando a mdia como medida resumo para um conjunto de

dados, no vamos ter uma boa representao. Necessitamos de outras

medidas para avaliar o grau de variabilidade, ou disperso dos valores em

torno da mdia. As medidas de disperso medem a representatividade da

mdia. Tempo de Reao dos Medicamentos

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7

Pacientes

Tem

po d

e R

eao

Med.A

Med.B

Mdia

Medidas de Disperso

Amplitude Total: Diferena entre o maior e menor valor da srie de dados. No exemplo temos.

43337 :MedB

571572 :MedA

Temos uma idia da disperso.

Problema: Depende dos valores extremos.

No avaliada a disperso dos valores internos.

Medidas de Disperso

Os desvios de uma srie de dados com relao a mdia so dados

por :

.,...,2,1 onde , nixxi

Portanto o desvio mdio seria uma boa taxa de disperso entre os dados. No entanto:

n

i

i xx1

0)(

Medidas de Disperso.

Confirmando o resultado.

Med.A Med.B

ix )( xxi ix )( xxi

15 -20 35 0

61 26 35 0

48 13 36 1

16 -19 34 -1

72 37 33 -2

17 -18 35 0

16 -19 37 2

Soma 0 Soma 0


Calculando a varincia amostral para o MedA, temos:

6106

3660

17

)3516(...)3561()3515( 2222

S

Calcular a varincia para o MedB.

666.16

10

17

)3735(...)3535()3535( 2222

S


O valor da varincia sempre positivo.

Algumas concluses relacionadas com a varincia.

Quando todos os elementos da srie so iguais, a varincia

igual a zero.

O valor da varincia uma medida em escala diferente dos

dados.


Para resolver o problema da diferena de escala entre varincia

e os dados, utilizamos o desvio padro. O desvio padro a

raiz quadrada da varincia.

2SS

Grupo 1: S = 24,698. Grupo 2 : S = 1,29.

Para o exemplo anterior.


Coeficiente de variao: Mede a variabilidade em termos relativos, dividindo o desvio padro pela mdia.

%100x

SCVa

Baixa: menor que 10%

Mdio: de 10% a 20%

Alto: de 20% a 30%

Muito Alto: acima de 30%

ndices para avaliar a variao dos dados.

Resumo descritivo bsico para um

conjunto de dados quantitativos.

n Mdia Mediana Desvio-Padro CV Q1 Q3

n : n de dados na pesquisa

Mdia : mdia aritmtica dos dados (centralidade).

Mediana : valor mediano dos dados (centralidade).

Desvio Padro: Desvio padro dos dados (Disperso).

CV: Coeficiente de Variao (Disperso).

Q1: Primeiro Quartil (Posio).

Q3: Terceiro Quartil (Posio).

Introduo Teoria das Probabilidades

JOELMIR FELICIANO

Conceitos Bsicos

Experimento Aleatrio ou Fenmeno Aleatrio

Situaes ou acontecimentos cujos resultados no podem ser previstos com

certeza.

Exemplos:

Condies climticas do prximo domingo;

Taxa de inflao do prximo ms;

Resultado ao lanar um dado ou moeda;

Tempo de durao de uma lmpada.

Espao Amostral ()

Conjunto de todos os possveis resultado de um experimento aleatrio ou

fenmeno aleatrio.

Exemplos:

1. Lanamento de um dado. ={1,2,3,4,5,6}

2. Tipo sanguneo de um individuo. ={A, B, AB,0}

3. Opinio de um eleitor sobre um projeto. ={Favorvel,Contrrio}

4. Tempo de durao de uma lmpada ={t; t>0)

Evento subconjunto do espao amostral

Notao: A, B, C,...

Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos:

A: sair face par: A={2,4,6}

B: Sair face maior que 3 B={4,5,6}

C: sair face 1 C={1}

D: sair face 7 D={ } (evento impossvel)= (conjunto vazio)

Operao com eventos

Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espao amostral

AB: Unio dos eventos A e B.

Representa a ocorrncia de pelo menos um dos eventos A ou B

AB: Interseco dos eventos A e B.

Representa a ocorrncia simultnea dos eventos A e B.

A e B so disjuntos ou mutuamente exclusivos quando no tm elementos em comum, isto , AB=

A e B so complementares se sua interseco vazia e sua unio o espao amostral, isto . AB= e AB= .

O complementar de um evento A representado por AouAC

A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}

A C = {2, 4, 6} {1} =

A B: = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}

A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

Exemplo: Lanamento de um dado

AC = {1, 3, 5}

Probabilidade

Pergunta: Como atribuir probabilidade aos

elementos do espao amostral?

Definies de probabilidades

Definio Clssica ou a priori

Se um experimento aleatrio tiver n() resultados mutuamente exclusivos e

igualmente provveis e se um evento A tiver n(A) desses resultados. A

probabilidade do evento A representado por P(A), dado por:

)(

)()(

n

AnAP

Exemplo: Considere o lanamento de 2 dados balanceados. Calcular a

probabilidade de:

a) Obter soma 7;

b) Obter soma maior que 10;

c) Que o resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo.

6,65,64,6

6,55,54,5

6,45,44,4

3,62,61,6

3,52,51,5

3,42,41,4

6,35,34,3

6,25,24,2

6,15,14,1

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

a) A={(1,6),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(6,1)} P(A)=n(A)/n()=6/36=1/6

b) B={(5,6),(6,5),(6,6)} => P(B) = 3/36.

c) P(C)= 15/36.

Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o

evento A ocorre exatamente r

Definio axiomtica

A probabilidade de um evento A define-se com o nmero P(A), tal que satisfaz os

seguintes axiomas:

n

i

i

n

AP

AASeiii

Pii

AAPi

1

n

1i

i

1

)(AP

ento ,exclusivos mutuamente eventos so ,,)(

1)()(

,1)(0)(

Propriedades

)(

)()()()()()()(

,,,.5

)()()()(,,.4

)()(,.3

)(1)(,.2

0)(.1

CBAP

CAPCBPBAPCPBPAPCBAP

entoCBASe

BAPBPAPBAPentoBASe

BPAPentoBASe

APAPentoASe

P

c

Regra da adio de probabilidades

Exemplo 1. Na tabela 1, apresenta-se a composio por raa e sexo de uma

populao de um pas.

Tabela 1: Distribuio da populao por raa e sexo.

Sexo

Raa Masculino Feminino

Total

Branca 1726384 2110253 3836637

Outra 628309 753125 1381434

Total 2354693 2863378 5218071

Suponha que selecionamos um habitante desse pas e consideremos os

eventos:

H: "o habitante selecionado do sexo masculino"

Hc:"o habitante selecionado do sexo feminino"

B: "o habitante selecionado da raa branca"

Bc: "o habitante selecionado de outra raa"

H B : "o habitante selecionado de sexo masculino e da raa branca"

H B : "o habitante selecionado de sexo masculino ou da raa branca"

Hc B : "o habitante selecionado de sexo feminino e da raa branca"

Hc B : "o habitante selecionado de sexo feminino ou da raa branca"

Hc Bc :"o habitante selecionado de sexo feminino e de outra raa "

Hc Bc "o habitante selecionado de sexo feminino ou de outra raa"

As probabilidades de cada um destes eventos so:

.880,0404,0739,0549,0

)()()()(

;404,05218071

2110253)(

;855,0331,0735,0451,0

)()()()(

331,05218071

1726384)(

;265,0735,01)(1)(

735,05218071

3836637)(

;549,0451,01)(1)(

;451,05218071

2354693)(

BHPBPHPBHP

BHP

BHPBPHPBHP

BHP

BPBP

BP

HPHP

HP

ccc

c

c

c

Probabilidade Condicional e Independncia

Definio:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo

espao amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o

evento B, representado por P(A|B) dado por:

Exemplo 2. Selecionamos uma semente, ao acaso, uma a uma e sem

reposio de uma sacola que contem 10 sementes de flores vermelhas e 5

de flores brancas. Qual a probabilidade de que :

(a) a primeira semente seja vermelha. ?

(b) a segunda seja branca se a primeira foi vermelha.?

(1) .0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

Sejam os eventos:

branca" semente 2 :"V

; vermelha" semente 2A " :

branca" semente 1A :"V

; vermelha" semente 1A " :

ac2

a2

ac

a1

1

A

V

V

(a)

3

2

15

10)( 1 VP

(b) 14

5)|( 12 VVP

c

Essas probabilidades podem ser representados em um diagrama da rvore

de probabilidades, a qual mostrado na figura 1

Figura 1: Diagrama de rvore de probabilidade

Da expresso (1), pode-se deduzir uma relao bastante til,

),|()()( BAPBPBAP

Que conhecida como regra do produto de probabilidades ou probabilidade da

interseo

1 Total

V1c V2

c

V1c V2

V1V2c

V1V2

Probabilidade Resultados

7

3

14

9

15

10

21

5

14

5

15

10

21

5

14

10

15

5

21

2

14

4

15

5

Exemplo 3: No exemplo 2, suponha que temos interesse em determinar a

probabilidade que as duas sementes selecionadas sejam brancas.

21

2

14

4

15

5)|()()P(

brancas" so semente2 e 1 a " : evento O

12121

aa

21

ccccc

cc

VVPVPVV

VV

Teorema 1: Se B um evento em , tal que P(B)>0, ento:

).|()|()|()|(

:,,,.3

)|P(A1)|()|(1)|P(A:ento ,BA, Se .2

0)|(.1

cc

BCAPBCPBAPBCAP

entoCBASe

BBAPouBAPB

BP

Exemplo 3: Na Cidade de So Paulo, a probabilidade de chuva no primeiro dia de

setembro 0,50 e a probabilidade de chuva nos dois primeiros dias de setembro

0,40. Se no primeiro de setembro choveu, qual a probabilidade que no dia

seguinte no chova ?

Soluo: Sejam os eventos: A: chove no primeiro de setembro, B:chove no segundo dia de setembro.

Do enunciado do problema temos : P(A)=0,50 e P(AB)=0,40. A probabilidade

pedida :

20,050,0

40,01

)(

)(1)|(1)|(

*

AP

BAPABPABP c

* Pelo teorema 1.2.

Definio[Independncia de eventos] Dois eventos A e B so independentes se a

informao da ocorrncia ou no de B no altera a probabilidade da ocorrncia

de A. Isto ,

P(A|B)=P(A), P(B)>0

Conseqentemente, temos que dois eventos A e B so independentes se

somente se,

P(AB)=P(A)P(B).

Exemplo 4: Em uma escola 20% dos alunos tem problemas visuais, 8%

problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Selecionamos um

aluno desta escola ao acaso:

(a) os eventos de ter problemas visuais e auditivos so eventos independentes?

(b) se aluno selecionado tem problemas visuais, qual a probabilidade de que

tenha problemas auditivos?

(c)qual a probabilidade de no ter problemas visuais ou ter problemas auditivos

?

V: o aluno tem problemas visuais

A: o aluno tem problemas auditivos.

Do enunciado temos: P(V)=0,20, P(A)=0,08 e P(AV)=0,04.

84,008,0

04,0108,008,02,01

)(

)(1)()()(1

)|(1)()()(1)|()()()(1

)()()()()(

.20,020,0

04,0

)(

)()|()(

.),()()( Como

.04,0)(

016,008,02,0)()()(

AP

AVPAPAPVP

AVPAPAPVPAVPAPAPVP

AVPAPVPAVPc

VP

AVPVAPb

tesindependensonoVeAAPVPAVP

AVP

APVPa

c

ccc

Soluo: sejam os eventos:

Teorema 2: Se A , B eventos em so eventos independentes, ento:

tesindependen so (iii)

tesindependen so )(

tes.independen so )(

cc

c

c

BeA

BeAii

BeAi

Exemplo 5: Um atirador acerta 80% de seus disparos e outro (na mesmas

condies de tiro), 70%. Qual a probabilidade de acertar se ambos atiradores

disparam simultaneamente no alvo.? Considere que o alvo foi acertado quando

pelo menos, uma das duas balas tenha feito impacto no alvo.

.94,0]7,01][8,01[1)P(B1)P(B11)()(1)(1)(

:forma segunda uma de resolvidoser pode exemplo, este amenteAlternativ

94,07,08,07,08,0

)(B)P(B)P(B)P(B

)()P(B)P(B)(

,.7,0)(

8,0)P(B 1,2.i ,alvo" o acerta atirador o:"B :eventos os Sejam

21

212121

2121

212121

2

1

cccc

i

BPBPBBPBBP

P

BBPBBP

LogoBP

ei

Teorema de Bayes

Definio [Partio do espao amostral]. Uma coleo de eventos

kBB ,,1 formam uma partio do espao amostral se eles no tm

interseco entre si e sua unio igual ao espao amostral.

k

1i

e ji para

iji BBB

Teorema da probabilidade total. Se kBB ,,1 , formam uma partio

do espao amostral , ento qualquer evento A em , satifaz:

k

i

iikk BAPBPBAPBPBAPBPAP1

11 )|()()|()()|()()(

Teorema Bayes. Se kBB ,,1 , formam uma partio do espao amostral , e A qualquer evento

em , ento:

k

i

ii

iii

BAPBP

BAPBPABP

1

)|()(

)|()()|(

Exemplo 6: Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma

determinada pea. As chances de que uma pea proveniente dos

fornecedores A e B esteja fora das especificaes so 10% e 5%

respectivamente. A montadora recebe 30% das peas do fornecedor A e

70% de B. Se uma pea do estoque inteiro escolhido ao acaso:

(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificaes.

(b) Se uma pea escolhida ao acaso est fora das especificaes, qual a

probabilidade que venha do fornecedor fornecedor A ?

Soluo:

Sejam os eventos:

A: pea selecionada seja do fornecedor A

B: pea selecionada seja do fornecedor B

E: pea selecionada esteja fora das especificaes

Do enunciado do problemas temos:P(A)=0,30; P(B)=0,70; P(E|A)=0,10 e

P(E|B)=0,05.

Variveis

Aleatrias

Discretas.

Variveis

Aleatrias

Contnuas.

Distribuies

Amostrais.

Regresso

Linear

Prof. Joelmir Feliciano

Objetivo

Explicar uma varivel quantitativa segundo uma outra

varivel quantitativa.

Exemplos

Preo de um imvel segundo a rea construda

Consumo de combustvel segundo o preo do combustvel e a regio

Valorizao de uma ao segundo a valorizao da bolsa

Taxa de criminalidade segundo a taxa de desemprego

Tempo de reao em um processo qumico segundo a taxa de concentrao do reagente.

Algumas definies

a) diagrama de disperso: representao grfica

entre duas variveis quantitativas

b) correlao: quantifica a fora da relao linear entre

duas variveis quantitativas

c) regresso linear: explicita a forma da relao linear

Exemplo 1: nota da prova e

tempo de estudo

X : tempo de estudo (em horas)

Y : nota da prova

Pares de observaes (Xi , Yi)

Tempo Nota

3,0 4,5

7,0 6,5

2,0 3,7

1,5 4,0

12,0 9,3

Diagrama de Disperso

Coeficiente de correlao linear

O coeficiente de correlao linear

definido como

n

yy

n

xx

n

yxxy

SS

Sr

yyxx

xy

2

2

2

2

Propriedades do coeficiente

de correlao linear

Propriedade

-1 r 1

Classificao da correlao

r = 1, correlao linear positiva e perfeita

r = -1, correlao linear negativa e perfeita

r = 0, inexistncia de correlao linear

Exemplo do clculo da correlao

Tempo ( X ) Nota ( Y ) X2

Y2

XY

3,0 4,5 9 20,25 13,5

7,0 6,5 49 42,25 45,5

2,0 3,7 4 13,69 7,4

1,5 4,0 2,25 16 6

12,0 9,3 144 86,49 111,6

25,5 28 208,25 178,68 184

9960,0

5

2868,178

5

5,2525,208

5

28*5,25184

222

2

2

2

n

y

yn

x

x

n

yxxy

r

Grficos - exemplos da

classificao da correlao

Exemplo para r = 1



Exemplo para r = -1



Exemplo para 0 < r < 1



Exemplo para -1 < r < 0



Exemplo para r = 0



Outro exemplo para r = 0

Exerccio.

Considere a relao entre temperatura e rendimento em um processo qumico . Os dados esto

ilustrados abaixo:

Temperatura ( C ) Rendimento (%)

30 35

35 40

40 42

60 70

70 85

90 87

100 91

Construa o diagrama de disperso e encontre o coeficiente de correlao.

Diagrama de disperso

Coeficiente de correlao:

r = 0.9591233

Reta ajustada

Definio de a e b

a : intercepto ou coeficiente linear

b : inclinao ou coeficiente angular

Interpretao

Para cada aumento de uma unidade em X,

temos um aumento de b unidades em Y.

Clculo dos Coeficientes de Regresso.

n

xx

n

yxxy

S

Sb

xx

xy

2

2

n

xx

n

yyxbya

e onde ,

Clculo dos coeficientes de

Regresso. Tempo ( X ) Nota ( Y ) X

2 Y

2 XY

3,0 4,5 9 20,25 13,5

7,0 6,5 49 42,25 45,5

2,0 3,7 4 13,69 7,4

1,5 4,0 2,25 16 6

12,0 9,3 144 86,49 111,6

25,5 28 208,25 178,68 184

5268,02,78

2,41

5

5,2525,208

5

28*5,25184

22

2

n

x

x

n

yxxy

b

9133,21,5*5268,06,5 xbya

Equao da reta: Exemplo Notas

Exerccio.

Considere a relao entre temperatura e rendimento em um processo qumico . Os dados esto

ilustrados abaixo:

Temperatura ( C ) Rendimento (%)

30 35

35 40

40 42

60 70

70 85

90 87

100 91

Encontre a reta ajustada.

Exerccio.

xy 87.007.12

07.12a

86.0b

Reta ajustada

Interpretao: A cada unidade aumentada da temperada, o rendimento

aumenta em mdia em 0.87%.

9591.0R

Coeficiente de Determinao:

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