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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Curso: Engenharia de Produção
Min (Max) f(xxxx)
s. a. gi(xxxx) (≤, ≥, =) bi, i = 1, … ,m
onde xxxx = (x1,…,xn)T é o vetor n-dimensional das
variáveis de decisão;
f (xxxx) é a função objetivo;
gi(xxxx) são as funções de restrição e os
bi são constantes conhecidas.
PPNL
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Conjuntos Convexos
Definição: Um conjunto S ⊆ ℜn é convexo se
cada ponto, no segmento de linha
conectando dois pontos quaisquer x, y em S,
está também em S. Formalmente:
z = x + (1 - λ)y ∈ S para todo λ tal que
0 ≤ λ ≤ 1.
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Exemplos
y
x
•
•
x
y
•
•
x
y•
•
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Otimização e Conjuntos Convexos
Seja S = { xxxx ∈ ℜn : gi(xxxx) ≤ bi, i = 1,…,m }
Se gi(xxxx) é uma função convexa para cada
i = 1, …, m, então S é um conjunto convexo.
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Teorema da Programação Convexa: Seja xxxx ∈ ℜn e
seja f (xxxx) uma funçãofunçãofunçãofunção convexaconvexaconvexaconvexa definida sobre um um
conjunto convexoconvexoconvexoconvexo SSSS. Se existe uma solução finita
para o problema
Min (Max) { f (xxxx): xxxx ∈ S }
Então todo o ótimo local é global. Se f(xxxx) é
estritamente convexa então a solução ótima é única.
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Programação Convexa
Min (Max) f (x1,…,xn)
s. a gi(x1,…,xn) ≤ bi para i = 1,…,m e
x1 ≥ 0, …, xn ≥ 0
é um problema convexo se f é convexa
(côncava) e cada gi é convexa (côncava).
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x11 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x2
Max f (xxxx) = z = (x – 2)2 + (y – 2)2
Sujeito a –3x – 2y ≤ –6
–x + y ≤ 3
x + y ≤ 7
2x – 3y ≤ 4
Exemplo
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Problema Não Convexo
Min f (xxxx) = -14x2 -0,9y2
s. a 3x – 13/x + 0,8y ≤ 1,7
x + y ≤ 30
x ≤ 7
x, y ≥ 0
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Condições de Otimalidade de Primeira Ordem
Min (Max) {f (xxxx): gi(xxxx) ≤ bi, i = 1,…,m }
Lagrangiano: L(xxxx, λ) = f(xxxx) +
Condições de Otimalidade
• Estationaridade: ∇L(xxxx, λ) = ∇ f(xxxx) + = 0
• Complementaridade: λigi(xxxx) = 0, i = 1,…,m
• Viabilidade: gi(xxxx) ≤ bi, i = 1,…,m
• Não negatividade: λi ≥ 0, i = 1,…,m
))x(( bg ii
m
1ii −∑λ
=
)x(gi
m
1ii∇∑λ
=
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Importância dos Problemas Convexos
Softwares de otimização comerciais não
podem garantir que a solução é globalmente
ótima se o problema não é convexo. Os
algoritmos de PNL tentam encontrar um ponto
onde o gradiente da função Lagrangiana é zero –
um ponto estacionário – e exista uma folga
completmentar.
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Dado L(xxxx, µ) = f(xxxx) + µ(g(xxxx) – b)
Queremos ∇L(xxxx, µ) = ∇f(xxxx) + µ∇g(xxxx) = 0
λ(g(xxxx) – b) = 0
g(xxxx) – b ≤ 0, λ ≥ 0
Para um problema convexo, toda a
solução local é um ótimo global.
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Um pacote postal é uma caixa de dimensões x,
y, z, que deve atender a seguinte restrição para
poder ser enviado via correio. A altura e mais o
perímetro da base não pode exceder 108 cm. O
objetivo é obter um pacote com o maior volume
possível cujas dimensões atendam as especificações
do correio.
Exemplo: pacote postal
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Max V(x, y, z) = xyz
s. a. 2x + 2y + z ≤ 108
x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0
Solução via Lagrangiano
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L(x, y, z, λ) = xyz + λ(2x + 2y + z – 108)
Derivando e igualando a zero as derivadas
parciais em relação a cada variável, inclusive λ.
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108zy2x2L
xyzL
2xzyL
2yzxL
−++=λ∂
∂
λ+=∂
∂
λ+=∂
∂
λ+=∂
∂
Igualando essas expressões a zero, tem-se:
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108zy2x20108zy2x2
xy0xy
xz202xz
yz202yz
=++⇒=−++
−=λ⇒=λ+
−=λ⇒=λ+
−=λ⇒=λ+
Assim, concluí-se que:
z = 2y e z = 2x. Logo x = y.
Substituindo esses resultados na quarta
equação, tem-se:
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2x + 2y + z = 108
2x + 2x + 2x = 108
6x = 108 ⇒ x = 18.
Logo y = 18 e z = 36.
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Queremos construir um tanque na forma
de um cilindro fechado tanto em cima quanto
embaixo. O volume do tanque deve ser
máximo e a área da superfície total não deve
ser superior a “s”s”s”s” unidades.
Exemplo: projeto de um tanque
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Max V(r, h) = πr2h
s. a. 2πr2 + 2πrh = s
r ≥ 0, h ≥ 0
r
h
Modelagem
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Curso: Engenharia de ProduçãoSolução via Cálculo
π
=π
=π
=π
=π
=π
π=
ππ
ππ−
=
π=
π
π−=
π=→
π=→=π→=π−=→=
π−=
π
π−π=π=→
π
π−=
6s
r
rrr
rrrrr
2/1
2
222
32
222
26s
23.2
s2.23
s29
s6s3
6s
6s
2
6s
22h
:que segue ,6s
r doSubstituin .r2
2sh Como
6s
r6s
2s
2022s
drdV
0drdV
.2rs
r22s
hVr2
2sh
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Essa é uma solução global ótima?
Em resumo
π
π
π
π
π
π
π
=
==
=π
=ππ
=ππ
π=π=
π==
π==
6s
6s
6s
6s
6s
r
6s
6s
2/3
2/32/11
2/12
2/12/1
2 V
:é isto ,22
6s
26s
6s
26s
26s
hV
:será volume o que segue forma Dessa
.6s
22h e 6s
r
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Como V(r ) é côncava em R3, a solução
encontrada é um máximo global.
Teste de Convexidade
0. r todo para 0r6d
)r(V
r6d
)r(V3
2s
dr)r(dV
Assim
rd
rdr
2
2
2
22
≥≤π−=
π−=→π−=
.2rs
V(r) é, isto
2rs
r22s
hV Temos
r
rrrr
3
32
22
π−=
π−=
π
π−π=π=
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Curso: Engenharia de ProduçãoResolução pelo Lagrangiano
Dado o problema:
Max V(r, h) = πr2h
s. a. 2πr2 + 2πrh = s
O Lagrangiano será:
L(r, h) = πr2h + λ(2πr2 + 2πrh – s).
Derivando essa expressão em relação a r, h e λ,
tem-se:
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srh22L
r2hL
h2r4rh2rL
r
r
2
2
−π+π=λ∂
∂
πλ+π=∂
∂
πλ+πλ+π=∂
∂
Igualando essas
expressões a zero, tem-se:
0srh22
0r2
0h2r4rh2
rr
2
2
=−π+π
=πλ+π
=πλ+πλ+π
λ−=
=λ+π
=πλ+π
2r
0)2r(r
0r2r2Manipulando a
segunda equação:
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Substituindo esse resulltado na primeira
equação, segue que:
r2h02rh
0rh2rh20h2r4rh2
0)h2r4rh2(0h2r4rh2
rr
2
2
=⇒=−
=−−⇒=λ+λ+
=λ+λ+π⇒=πλ+πλ+π
Substituindo agora na terceira equação, vem:
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Como h = 2r, segue que:
π
=⇒π
=⇒=π
=π+π⇒=π+π
=π+π⇒=−π+π
6s
rr
rrrrr
2/122
222
22
r6s
s6
s42sr2r22
srh220srh22
π
=6s 2/1
2h
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Solução pelo Solver
r h1,30 2,61 s = 32
Max 13,90Sinal LD
R 32 = 32
Para utilizar o Solver o valor de ssss deve ser
fixado. Nesse caso: s = 32.
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O departamento de Estradas e Rodagens planeja
construir uma área de descanso para os motoristas
ao longo de uma longa autoestrada. Ela deve ser
retangular, com uma área de 5000 metros
quadrados, e deverá ser cercada nos três lados não-
adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de
cerca que será necessária para completar o trabalho?
Exercício: área de descanso
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Min 2x + y
s. a. xy = 5000
x ≥ 0, y ≥ 0
Resolver por cálculo e via Lagrangiano.
Modelagem
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BERTSEKAS, Dimitri P. NonlinearNonlinearNonlinearNonlinear
ProgrammingProgrammingProgrammingProgramming. Belmont (MA): Athena
Scientific, 1995.
WINSTON, Wayne L. OperationsOperationsOperationsOperations ResearchResearchResearchResearch::::
ApplicationsApplicationsApplicationsApplications andandandand AlgorithmsAlgorithmsAlgorithmsAlgorithms. 3 ed. Belmont
(CA): Duxbury Press, 1994.
Referências