CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA...

Danielly Guabiraba- Engenharia Civil

Trigonometria 1

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2018.1

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A palavra trigonometria é de origem grega, onde:

Trigonos = Triangulo e Metrein = Mensuração

• Relação entre ângulos e distâncias;

• Origem na resolução de problemas práticosrelacionados principalmente à navegação e àAstronomia.

Definição

Aplicações

Encontramos aplicações diversas da Trigonometriana Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, naAcústica, entre outras;

Exemplos:

• Altura de um prédio através de sua sombra;

• Largura de rios e montanhas;

• Distância a ser percorrida em uma pista circularde atletismo.

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Classificação dos triângulos

Quanto aos tamanhos dos lados

• Equilátero: 3 lados de mesmo comprimento;

• Isósceles: 2 lados de mesmo comprimento;

• Escaleno: 3 lados de comprimentos diferentes.

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Classificação dos triângulos

Quanto as medidas dos ângulos:

• Acutângulo: 3 ângulos agudos (menores que 90°);

• Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (maior que 90°);

• Retângulo: 1 ângulo reto (90°).

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Trigonometria no Triangulo Retângulo

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Soma dos ângulos internos do triângulo retângulo:

α + β + 90° = 180°⇒ α + β = 90°


Em um triângulo retângulo os lados que formam o ânguloreto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo retoé chamado hipotenusa.

Teorema de Pitágoras:

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𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐


Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo:

Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulodefine-se 6 razões trigonométricas:

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𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒


Com base nas relações, verifica-se que:𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos𝛽; cos 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽;𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽; 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛽.

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𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

Exercício 1

Dado os triângulos abaixo, classifique-os quanto aoslados, aos ângulos e encontre os valores dasincógnitas.

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xy

62 m

7 m

a

b

R.: X=8,2m; Y=4,28m; =58,56°. =45°;

a=43,84m; b=43,84m.

Algumas relações encontradas

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30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

𝑠𝑒𝑛1

2

2

2

3

21 0 -1 0

cos 3

2

2

2

1

20 -1 0 1

𝑡𝑔 3

31 3 ∄ 0 ∄ 0

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Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a100m da base, e obtém um ângulo de 30º,conforme mostra a figura.

Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70m do solo, qual éaproximadamente a altura da torre? (Dados: sen(30º) = 0,5 ; cos(30º)=

0,87 e tg(30º)= 0,58. )

Exercício 2

R.: h=58m; htotal=59,7m.

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Na construção de um telhado foram usadas telhas do tipo francesa e o seu“caimento” é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da

casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de

altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessacasa.(Dados: sen(20º)=0,34 ; cos(20º)= 0,94 e tg(20º)=0,36).

Exercício 3

R.: X=2,04m; htotal=5,04m.


Trigonometria 2


Identidades Trigonométricas

Definição: Equações envolvendo funções/relaçõestrigonométricas verdadeiras para todas as variáveisenvolvidas.

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São úteis para simplificar expressões quecontenham funções trigonométricas


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dividindo os membros por 𝑎2:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎2

𝑏

𝑎

2

+𝑐

𝑎

2

= 1

Teorema de Pitágoras

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑐

𝑎𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝑎

cos 𝛽 =𝑏

𝑎𝑏 = cos 𝛽 . 𝑎

TEOREMA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏


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𝑡𝑔 𝛽 =𝑐

𝑏𝑡𝑔 𝛽 =

𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)

𝑎. cos(𝛽)𝑡𝑔 𝛽 =

𝑠𝑒𝑛(𝛽)

cos(𝛽)cos(𝛽) ≠ 0

𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =𝑏

𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =

𝑎. 𝑐𝑜𝑠(𝛽)

𝑎. sen(𝛽)𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =

𝑐𝑜𝑠𝛽)

sen(𝛽)=

1

𝑡𝑔(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝛽) ≠ 0

𝑠𝑒𝑐 𝛽 =𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

𝑎

𝑎. cos(𝛽)𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

1

cos(𝛽)cos(𝛽) ≠ 0

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =𝑎

𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

𝑎

𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

1

sen(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝛽) ≠ 0


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)²(sec1)²( =+tg

Demonstração da identidade Trigonométrica:

)²(cos

)²(cos

)²(cos

)²(

)²(cos

1)²(sec

+==

sen

sec(𝛽)2 = 𝑡𝑔(𝛽)2 + 1 (𝑐. 𝑞. 𝑑)


19

Demonstração da identidade Trigonométrica:

)²(

)²(cos

)²(

)²(

)²(

1)²(seccos

sensen

sen

sen+==

cossec²(𝛽) = 𝑐𝑜𝑡𝑔²(𝛽) + 1 (𝑐. 𝑞. 𝑑)

)cossec²)(cotg²1 (β=β+

Exercício 4

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a) Simplifique a expressão: .

b) Sendo e , determine o

valor de m.

y = tg(x)

m=2

( )

( )xcotg

xgxg

=y21

cot)(cot

1

+

+

m=x −3)cos( m=xsen −2)(

Exercício 5

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PROBLEMA!!

Uma empresa de fornecimentode energia, ao instalar a redeelétrica numa fazenda, precisoucolocar dois postes em ladosopostos de um lago. Contudo, umproblema surgiu: para fazer oprojeto da rede, seria necessáriosaber a distância entre os postes,mas a presença do lago impedia amedição direta.

Realidade

Exercício 5

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Um dos engenheiros posicionou-seem um local onde era possívelvisualizar os dois postes. Comaparelhos apropriados, mediu-se oângulo entre a linha de visão dele e ospostes ( 120°); a distâncias entre oposte mais afastado e o engenheiro(100m) e o ângulo entre a linha doposte mais próximo do engenheiro e alinha entre os postes ( 45°) . Comessas informações o engenheiro podecalcular a distância desejada. COMO?

Modelo Matemático

Exercício 5

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O Triângulo AOB é obtusângulo e aresolução deste problema consiste emdeterminar a medida do lado AB.

Para resolvê-lo vamos usar:

LEI DOS SENOS

Modelo Matemático

Lei dos Senos

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Relação matemática de proporção sobre a medida detriângulos arbitrários em um plano.

Exercício 5

25

PROBLEMA!! (Resolução)

31002

2

3

2

2

100

º120º45

100=== d

d

sen

d

sen

2

3100=d

Racionalizando: md 650=

Lei dos Cossenos

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Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras.

“Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados correspondeà soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro doproduto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.”

Exercício 6

Determine a medida do lado AC e a medida doângulo com vértice em A da figura a seguir

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Exercício 6

28

ARCO E ÂNGULO

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Arco AB

Ângulo central

AÔB

Arco: parte da circunferência

delimitada por dois pontos.

Ângulo central: todo arco

possui um ângulo que o

subtende.

Comprimento de

circunferência:

rC 2=

A

B

GRAUS

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A’ A

B

B’

Quando dividimos uma circunferência em

360 partes congruentes, cada uma dessas

partes é um arco de um grau (1º).

1 ângulo reto = 90°2 ângulos retos = 180°3 ângulos retos = 270°4 ângulos retos = 360°

1°= 60’ e 1’ = 60’’

Exercício 7

31

Se α e β são arcos que medem, respectivamente,83°30’39’’ e 12°43’45’’, determine a medida de α + β:

Resposta: α + β = 96°14’24’’

Radianos

32

A

B

O

Equivalência: rad = 180o

R

B

Exercício 8

33

Na circunferência da figura, de raio 9 cm, determinou-se,

com os lados do ângulo central α, um arco de comprimento

10,8 cm. Calcule, em radianos, a medida de α:

Resposta:

α = 1,2rad

Ciclo Trigonométrico

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Seno e Cosseno

35

Seno e Cosseno

36

Tangente

37

Redução ao primeiro quadrante

38


39


40

Exercício 9

41

FÓRMULA DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS

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cos(𝒂 + 𝒃) = cos(𝒂). cos(𝒃) – 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)

cos(𝒂 − 𝒃) = cos(𝒂). cos(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)

𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos(𝒂)

𝒔𝒆𝒏 (𝒂 − 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos(𝒃) − 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos(𝒂)

𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃) ?

Exercício 10

43

Usando as fórmulas de adição, determine:

a) cos(135º)

b) 𝑠𝑒𝑛(225º)

Resposta = cos(90+45)= - 2/2

Resposta = sen(180+45)= - 2/2

ARCO DUPLO

44

cos 𝟐𝒂 = cos𝟐𝒂 – 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂

𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒂) = 𝟐. 𝒔𝒆𝒏 𝒂. cos 𝒂

ARCO METADE

45

2

cos a1

2

acos

+±=

2

cos a-1

2

asen ±=

cos a1

cos a-1

2

atg

+±=

TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO

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𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen𝑥 + 𝑦

2. 𝑐𝑜𝑠

𝑥 − 𝑦

2

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen𝑥 − 𝑦

2. 𝑐𝑜𝑠

𝑥 + 𝑦

2

cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑦

2. 𝑐𝑜𝑠

𝑥 − 𝑦

2

cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = − 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦

2. 𝑠𝑒𝑛

𝑥 − 𝑦

2

Exercício 11

47

1) Transforme em produto a expressão 𝑠𝑒𝑛(60°) + 𝑠𝑒𝑛(30°).

2) Transforme em produto a expressão cos(5𝑥) + cos(3𝑥).

Resposta = 2.sen(45).cos(15)

Resposta = 2.cos(4x).cos(x)


Trigonometria 1 e 2


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