Curso Probabilidade e Estatistica-UFCG

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatstica (6 crditos - Engenharias) Aluno(a): Perodo 2004.1 Data: . Professores: Alexsandro Cavalcanti, Amanda dos Santos e Rosngela Silveira

1a

NOTA DE AULA

1

Introduo Estatstica

1.1 A Cincia EstatsticaO conceito de Estatstica pode ser considerado de duas maneiras. O primeiro conceito, logo relaciona a Estatstica com tabelas e grcos nos quais os dados obtidos so representados, ou melhor, relaciona a nmeros especcos. Ouvimos, assim, falar em estatsticas do IBGE, estatsticas relacionadas sade e educao, ndices econmicos, pesquisas de opinio, etc. Um segundo conceito refere-se ao conjunto de processos ou tcnicas emNeste caso, a Estatstica a cincia pregadas na investigao e anlise de fenmenos.

ou mtodo cientco que estuda os fenmenos aleatrios e, procura inferir as leis que os mesmos obedecem. Assim, um conceito mais abrangente e absoluto deve englobar tanto o primeiro conceito, o qual o mais popular, quanto o segundo, o qual normalmente escapa noo corrente.

Denio 1.1 (Estatstica). A Estatstica uma cincia que se preocupa com a

coleta, organizao, descrio, anlise e interpretao dos dados, a m de extrair informaes a respeito de uma populao.Dentro dessa idia, podemos considerar a Cincia Estatstica como dividida basicamente em duas partes:

1.

Estatstica Descritiva - que se preocupa com a organizao e descrio dos dadosexperimentais;

2.

Estatstica Inferencial - que, a partir da observao de alguns dados experimentais,realiza a anlise e interpretao de dados com o objetivo de generalizar e prever resultados, utilizando-se para isto da Teoria das Probabilidades.

Nesta disciplina, sero abordados tpicos referentes estatstica descritiva, conceitos fundamentais de probabilidade e os modelos probabilsticos mais importantes para o estudo da inferncia estatstica.

1

1.2 Conceitos FundamentaisUm dos principais conceitos utilizados na estatstica o de populao.

1.2.1 Populao e Amostra Denio 1.2 (Populao). A populao um conjunto de todos os elementos (pessoas, objetos, etc) que possuem pelo menos uma caracterstica em comum, a(s) qual(is) os relacionam ao problema que est sendo estudado.

Exemplo 1.1. Se o problema a ser pesquisado est relacionado com a qualidade de um Exemplo 1.2. Se o objetivo de um estudo pesquisar o nvel de renda familiar de uma

certo produto produzido numa indstria, a populao pode ser composta por todas as peas produzidas numa determinada hora, turno, dia ou ms, dependendo dos objetivos; certa cidade, a populao seria todas as famlias desta populao. Mas, se o objetivo fosse pesquisar apenas a renda mensal do chefe da famlia, a populao a ser pesquisada seria composta por todos os chefes de famlia desta cidade.A Populao pode ser:

1. 2.

Finita - quando o nmero de unidades de observao pode ser contado e limitado; Innita - quando a quantidade de unidades de observao ilimitada; populao nita o conjunto formado pelos alunos

Podemos citar como exemplo de

que cursam a disciplina de estatstica num determinado semestre da UFCG. Um exemplo de pois este conjunto composto por um nmero incontvel de elementos.

populao innita seria o conjunto formado por todos os alunos de estatstica do Brasil,

Denio 1.3 (Amostra). A amostra apenas uma parte da populao, ou seja, um subconjunto da populao.Vrios motivos levam a necessidade de se observar apenas uma parte da populao, como, por exemplo: a falta de tempo, recursos nanceiros e/ou humanos. A amostra deve ser obtida atravs de tcnicas de amostragem, as quais tem como objetivo principal garantir a representatividade da populao, ou seja, fazer com que a amostra seja um retrato el da populao. Exemplos de amostra podem ser considerados por conjuntos formados por apenas uma parte dos elementos populacionais descritos nos exemplos 1 e 2.

1.2.2 Parmetro e EstatsticaDois novos conceitos estreitamente relacionados com os de populao e amostra so os de

Parmetro e Estatstica, tendo em vista que:2

Denio 1.4 (Parmetro). uma medida numrica que descreve uma caractersticada populao. da amostra.

Denio 1.5 (Estatstica). uma medida numrica que descreve uma caractersticaExemplos de algumas medidas numricas so: proporo, mdia, moda, ndices, etc.

1.2.3 Variveis (ou Dados) e Tipos de Variveis Denio 1.6 (Varivel). Uma Varivel nada mais que uma caracterstica (oudado) associada a cada elemento da populao ou amostra. A varivel apresenta diferentes valores, quando sujeita a mensuraes sucessivas, e, em geral, denotada pelas letras maisculas: X , Y ou Z .Antes de realizar qualquer tratamento estatstico de um conjunto de dados, importante identicar qual o tipo de dado (ou varivel) que ser analisado, pois, mediante a este conhecimento que o pesquisador poder ou no adotar determinadas tcnicas estatsticas para a resoluo de problemas. Por exemplo, ser que possvel calcular o peso mdio de lutadores de boxe, quando os dados so coletados segundo a categoria de peso (Leve, Mdio e Pesado)?

Tipos de Variveis titativas.1. Basicamente, as variveis podem ser classicadas como sendo

Qualitativas ou Quan-

Variveis Qualitativas - quando os valores que elas podem receber so referentes qualidade, atributo ou categoria. Exemplos so:

Raa: podendo assumir os valores Branco ou Negro; Resultado de um teste: aprovado ou reprovado; Escolaridade:

1

grau completo,

2

grau completo, superior, ps-graduado;

Conceito de qualidade: pssima qualidade, regular ou boa qualidade.

As variveis qualitativas podem, ainda, ser classicadas como:

nais.

Nominais ou Ordi-

(a) As

variveis qualitativas nominais variveis qualitativas ordinais

- so caracterizadas por dados que se

apresentam apenas sob o aspecto qualitativo (Ex: raa e resultado de um teste). (b) As - so caracterizadas por categorias que escolaridade e conceito de

aprentam uma ordenao natural. qualidade.

Por exemplo:

3

2.

Variveis Quantitativas - quando os valores que ela pode assumir so numricos,os quais podem ser obtidos atravs de uma contagem ou mensurao. As variveis quantitativas podem ser classicadas de acordo com o processo de obteno; podendo ser: (a) As

Discreta ou Contnua.

variveis quantitativas discretas - so variveis numricas obtidas a partirPor exemplo: Quantidade de pessoas numa

de procedimento de contagem.

famlia, quantidade de acidentes numa indstria, etc. (b) As

variveis quantitativas contnuas - so variveis numricas cujos valores

so obtidos por um procedimento de mensurao, podendo assumir quaisquer valores num intervalo dos nmeros reais, como por exemplo, a temperatura, altura, salrio, etc..

Observao 1. O fato de uma varivel ser expressa por nmeros no signica que ela

seja necessariamente quantitativa, por que a classicao da varivel depende de como foi medida, e no do modo como se manifesta. Por exemplo, para a varivel peso de um lutador de boxe, se for anotado o peso marcado na balana, a varivel quantitativa contnua; por outro lado, se esse peso for classicado segundo as categorias do boxe, a varivel qualitativa ordinal.

4

1a

LISTA DE EXERCCIOS

1 - Dena e/ou explique com suas prprias palavras, o que voc entende por Cincia Estatstica e quais os principais ramos (partes) da Estatstica. 2 - Atravs de um exemplo, dena: Populao e Amostra. 3 - Considere as seguintes situaes: 1) Em uma pesquisa, feita pela EMPETUR com 1015 pousadas escolhidas aleatoriamente, 269 (ou 26,5%) possuam Home-page na Internet para divulgao e prestao de servios ao turista. 2) Outra pesquisa feita entre as 50 Agncias de Viagens de uma certa localidade mostra que 42 (ou 84%) prestam servios pela Internet. Identique em qual das situaes ns temos um exemplo de Parmetro e outro de Estatstica (no sentido de medida). Justique sua resposta. 4 - O que voc entende por varivel? exemplo. 5 - Como voc diferencia uma varivel discreta de uma varivel contnua? exemplo para melhor ilustrar. 6 - Dena e/ou explique com suas prprias palavras, o que voc entende por amostragem. 7 - Qual o principal objetivo de qualquer plano de amostragem? 8 - As estatsticas geradas por intermdio de uma amostra devem ser representativas desta amostra ou da populao de origem? Justique a sua resposta. 9 - Para que uma amostra seja representativa, necessrio apenas que a mesma tenha um tamanho apropriado? Justique a sua resposta. 10 - A Revista dos Eventos, Utilize um Justique a sua resposta por intermdio de um

N

13,

de informaes precisas sobre a indstria de eventos, promoveu a O Mercado de Congressos no Brasil.

tentando sanar, ao menos parcialmente, a carncia 1a PESQUISA Os resultados desta pesquisa se baseiam em

40 questionrios respondidos sobre um total de 1000, os quais foram encaminhados por entrega pessoal a dirigentes de entidades integrantes do cadastro da prpria Revista dos Eventos. Qual o problema ou a limitao desta pesquisa? Pelo menos teoricamente, qual seria o melhor procedimento para este tipo de pesquisa, j que a empresa possui um cadastro das entidades? 11 - Classique cada uma das informaes (variveis) abaixo, de acordo com os tipos de variveis. a) Nome b) Nvel de satisfao c) Idade d) Nmero de dias hospedado

5

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatstica (6 crditos - Engenharias) Aluno(a): Perodo 2004.2 Data: . Professores: Alexsandro Cavalcanti, Amanda dos Santos e Rosngela Silveira

2a

NOTA DE AULA

2

Estatstica DescritivaA estatstica pode ser considerada como um instrumento ou um conjunto de mtodos

matemticos que devem ser utilizados quando se pretende transformar dados em informao. Para ilustrar este processo, veja a Figura 1: 12 15 18 17 15 12 15 19 18 18 18 20 Mdia Moda

Mediana Proporo Quantis Conjunto de informaes

Conjunto de dados

Figura 1 No primeiro retngulo, tem-se um conjunto de observaes da varivel idade de um grupo de 12 pessoas e, no segundo retngulo, as estatsticas (informaes) que podem representar esses nmeros.

2.1 Organizao de dados: Tabelas e Grcos2.1.1 Distribuio de FrequnciasO primeiro passo para se resumir um conjunto de dados orden-los em ordem crescente ou decrescente, e proceder a contagem do nmero de ocorrncia (freqncia) de cada dado. ordenao dos dados denominamos de Rol. Assim, o rol para o conjunto de dados da Figura 1 ca: Rol de dados:

12 17 19

12 18 20

15 18

15 18

15 18

Desta maneira, ca fcil vericar a freqncia com que cada um dos dados foi observado, por exemplo: o valor 12 ocorreu 2 vezes; o valor 15 ocorreu 3 vezes, e assim por diante.

6

de uma

Tabela de Freqncias, a qual constituda por uma coluna referente aos dados e outra referente s freqncias associadas a cada valor observado (ni ). Vejacomo ca para o conjunto de dados da Figua 1: Tabela 1: Tabela de Freqncias da varivel idade, para um grupo de 12 pessoas.

Uma maneira adequada de apresentar os dados e suas respectivas freqncias atravs

Idade12 15 17 18 19 20

Frequncia (ni )2 3 1 4 1 1 12

Total de observaes (n)

Uma medida bastante til na interpretao de tabelas de freqncias a freqncia relativa (fi ), a qual dada pela razo entre a freqncia do i-simo valor observado, ni e o total de dados observados,

n.

Pode-se, ainda, representar a freqncia relativa em termos

de porcentagem, bastando para isso multiplicar a freqncia relativa

fi

por 100.

Para alguns tipos de variveis, tais como a qualitativa ordinal e as quantitativas (discreta ou contnua), pode ser til tambm, a informao de quantas observaes apresentam valores menores ou iguais a um certo valor xado. Este tipo de informao denominado de por porcentagens. Vejamos, agora, como ca a tabela de freqncias anterior com estas informaes adicionadas:

freqncia acumulada, fac , a qual tambm pode ser expressa em termos relativos ou

Tabela 2: Tabela de Freqncias da varivel idade, para um grupo de 12 pessoas.

Idade12 15 17 18 19 20

ni2 3 1 4 1 1 12

fi0,1667 0,2500 0,0833 0,3333 0,0833 0,0833 1,0000

fi 100

(%)

fac

(%)

16,67 25,00 8,33 33,33 8,33 8,33 100,00

16,67 41,67 50,00 83,33 91,67 100,00

Total (n) Observao:forma, os pares

Ao conjunto de todos os pares de valores, referentes a cada dado obsere

vado e sua respectiva freqncia, denominamos de Distribuio de Freqncias. Desta

(12, 2), (15, 3), (17, 1), (18, 4), (19, 1)

(20, 1)

representam a distribuio

de freqncias da varivel idade para esse grupo de pessoas.

7

Representao GrcaUma representao grca da distribuio de freqncias de uma varivel tem a vantagem de, numa maneira rpida e concisa, informar sobre a variabilidade da mesma.

Grco de Colunas - mais adequado para variveis discretas mas tambm pode serutilizado para variveis qualitativas ordinais, ou ainda, para variveis qualitativas nominais cujos nomes das categorias so pequenos. Neste grco, cada valor observado representado por retngulos de mesma base e alturas proporcionais s freqncias. termos de porcentagem: Para ilustrar, veja como ca este grco para a distribuio de freqncias da varivel idade, utilizando a freqncia absoluta e relativa em

Figura 1:

Figura 2:

2.1.2 Distribuio de Frequncias para Dados Agrupados em ClassesEm algumas situaes, necessrio o agrupamento de dados em categorias ou classes para se proceder a construo de uma tabela de freqncias. Por exemplo, em um conjunto de dados contnuos, um mesmo valor no ocorrer com grande freqncia, ou at mesmo, no se repetir por mais de uma vez. Uma vantagem em agrupar os dados em classes consiste na organizao de grandes conjuntos de dados de forma mais clara e objetiva. Por outro lado, uma desvantagem, consiste na perda de informaes por no se saber exatamente quais os valores ocorridos dentro de cada classe. Para ilustrar como proceder a construo de uma tabela de freqncias em classes, considere o seguinte conjunto de dados: Tabela: Dados referentes s notas no

1o

estgio de 20 estudantes de estatstica.

Cdigo do aluno Nota Cdigo do aluno Nota

1 7,5 11 7,5

2 8,0 12 7,0

3 9,0 13 8,5

4 7,3 14 6,8

5 6,0 15 9,5

6 5,8 16 9,8

7 10,0 17 10,0

8 3,5 18 4,8

9 4,0 19 5,5

10 6,0 20 7,0

8

Note que, no haver vantagem alguma se organizarmos estes dados numa tabela de freqncias, uma vez que os dados pouco se repetem. Assim, torna-se til o agrupamento dos dados, que, de um modo geral, pode ser feito de acordo com os seguintes passos:

1. Organizar os dados num 2. Estabelecer o

Rol.

Nmero de Intervalos (categorias ou classes) para se dividir o con-

junto de dados. A escolha do nmero de classes arbitrria, a qual pode ser estabelecida de acordo com o bom senso do pesquisador ou obtido por alguma frmula matemtica construda para este m. Uma sugesto prtica a escolha entre 5 e 15 classes com a mesma amplitude e duas frmulas matemticas que podem orientar na escolha do nmero de classes, so: (a) (b)

k=

n

k = 1 + 3, 3 log(n) k o nmero de classes e

Onde

n

o nmero total de observaes.

3. Calcular a

Amplitude Total:AT ot = xmx xm a in

Onde

xmx a

e

xm in

o valor mximo e mnimo observado no conjunto de dados.

4. Determinar a

Amplitude de Classe:h= AT ot k

5. A partir do menor valor observado no conjunto de dados, ou de algum valor imediatamente inferior e adequadamente escolhido, delimitar as classes, ou seja, determinar os limites inferiores e superiores de cada classe. Neste momento, os seguintes smbolos so teis: (a)

li |Li li |Li

- para indicar que o valor extremo inferior (li ) no pertence

i sima

classe, enquanto que o valor extremo superior (Li ) pertence. (b) - para indicar que o valor extremo inferior (li ) pertence

isima classe,

enquanto que o valor extremo superior (Li ) no pertence. 6. Aps todos estes passos, s resta proceder a contagem do nmero de observaes pertencentes cada uma das classes e organizar estas informaes numa tabela de freqncias para dados agrupados.

De acordo com estes passos, o conjunto de dados anterior pode ser organizado como:

9

(Construir

a tabela de freqncias para dados agrupados)

Representao Grca de uma Varivel Quantitativa Contnua - HistogramaPara a representao grca de variveis quantitativas contnuas necessrio alguma adaptao do grco de colunas, uma vez que, em geral, necessrio agrupar os dados em classes e conseqentemente h perda de informaes.

Histograma

- um grco indicado para representar dados agrupados em classes.

Este grco uma adaptao do grco de colunas, onde as bases correspondem aos intervalos de classe e as alturas so proporcionais s freqncias de classe. Veja como ca o histograma para a distribuio das notas: (Construir

o histograma para a distribuio de freqncias em classes)

2.2 Medidas Resumo para Variveis QuantitativasNesta seo veremos algumas medidas que tem como objetivo resumir um conjunto de dados em um nico valor o qual possa fornecer informaes sobre o comportamento dos dados, ou seja, sobre a distribuio de freqncias da varivel.

2.2.1 Medidas de Tendncia CentralAs medidas de tendncia central so bastante utilizadas e representam o centro ou o meio de um conjunto de dados. As principais so: a mediana, a moda, e a mdia aritmtica. A seguir estas medidas so denidas e obtidas para os dois seguintes conjuntos de dados que representam o nmero de gols registrados em cada partida de futebol, durante 5 e 6 jogos, respectivamente:

Conjunto de dados 1:

Nmero de gols por partida de futebol, em 5 jogos.

3

2

1

2

5

10

Conjunto de dados 2:

Nmero de gols por partida de futebol, em 6 jogos.

5

3

2

1

2

5

1.

Mediana - o valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas partes iguais, ou seja, 50% das unidades observadas possuem valores menores ou iguais aovalor mediano e as demais 50% possuem valores acima da mediana. Para se obter o valor da mediana necessrio os seguintes passos:

1) 2)

Ordenar o conjunto de dados em ordem crescente (ou descrescente); Identicar a posio central do conjunto de dados, ou seja, a posio onde Esta(s) posio(es) pode(m) ser vericada(s)

se encontra o valor da mediana. utilizando-se as seguintes frmulas: (a)

n+1 , se o 2 o valor observado na posio

PM d =

total de observaes, n, mpar.PM d ;

Assim, a mediana ser

(b)

P 1M d =

n n e P 2M d = + 1, se o , n, . Pois, neste 2 2 caso, existem duas posies centrais e a mediana ser a mdia aritmtica dosvalores observados nestas duas posies.

total de observaes

par

Notao:

Md

ou

M d(X).

11

Exemplo 1:

A partir do conjunto de dados 1, pode-se obter o seguinte rol de dados: 1 2

2mediana

3

5

Note que, o nmero de observaes, n = 5, mpar, logo o valor da mediana (valor n+1 central) est na posio PM d = = 5+1 = 3, que igual a M d = 2. 2 2

Exemplo 2:

Ordenando em ordem crescente o conjunto de dados 2, teremos o

seguinte rol de dados: 1 2

2 3dois valores centrais

5

5

Agora, neste caso, o nmero de observaes, valores centrais localizados nas posies

n = 6, par, e, portanto, existem dois P 1M d = n = 6 = 3 e P 2M d = n + 1 = 2 2 2

3 + 1 = 4.

Assim, a mediana ser a mdia aritmtica dos valores que se encontram

nestas duas posies, dada por:

Md =

xP1M d + xP2M d 2+3 = = 2, 5. 2 2

Observao:Pode-se, tambm, obter a posio da mediana atravs dos seguintes passos:

1) 2)

Obter o valor que representa a metade do total de observaes: Utilizar a seguinte regra:

PM d =

n ; 2

(a) Se

PM d

for um nmero

no inteiro, ento, arredonda-se o valor de PM d

para

o maior inteiro mais prximo, e, assim, o valor da mediana estar nesta nova posio obtida. (b) Se

PM d for um nmero inteiro, ento o valor da mediana ser a mdia aritmtica dos valores que esto nas posies PM d e PM d + 1.

Utilizando-se os procedimentos descritos na observao acima, temos n que, para o conjunto de dados 1, PM d = = 5 = 2, 5 (no inteiro), logo o valor da 2 2 mediana estar na posio PM d = 3 (maior inteiro mais prximo), que dado por

Exemplo 3:

M d = 2.

Exemplo 4:3 + 1 = 4:

n = 6 = 3 (inteiro), assim, de 2 2 acordo com o procedimento descrito na observao acima, temos que a mediana No conjunto de dados 2, temos

PM d =

dada pela mdia aritmtica dos valores observados nas posies

PM d = 3 e PM d +1 =

Md =

xP1M d + xP2M d 2+3 = = 2, 5. 2 2

12

2.

Moda

- o valor (ou os valores) no conjunto de dados que ocorre(m) com maior

freqncia. Notao:

Mo

ou

Mo (X). 1 2 2 3 5, dito ser

Exemplo 5:Mo = 2.

O primeiro conjunto de dados,

unimodal,

tendo em vista que um nico valor ocorre com maior frequncia. Assim, a moda

Exemplo 6:

O segundo conjunto de dados,

1 2 2 3 5 5, dito ser bimodal,

tendo em vista que, neste caso, dois valores ocorrem com maior frequncia, assim, os valores modais so: 3.

Mo = 2

e

Mo = 5.

Mdia Aritmtica (Mdia) - obtida a partir da razo entre a soma dos valoresobservados e o total de observaes: soma dos valores total de observaes

Mdia

=

(n)

Notao:

M e, M e(X)

ou

x.

Exemplo 7:

A partir do conjunto de dados 1, a mdia obtida por: soma dos valores total de observaes

M e(X) = x =

(n)

=

1+2+2+3+5 = 2, 6. 5

Observao: 1) A mdia aritmtica(sigma). podemos escrever:

pode ser expressa atravs do uso do smbolo de somatrio

Por exemplo, se

x 1 , x2 , . . . , x k

so

k

valores distintos da varivel

X,

M e(X) = x =Agora, se, de um total de

x1 + x2 + . . . + xk 1 = k k

k

xii=1

x2

ocorreu

n2

vezes,...,

n valores observados (ou observaes), x1 ocorreu n1 vezes, xk ocorreu nk vezes, ento a mdia de X pode ser reescrita

como:

x1 .n1 + x2 .n2 + . . . + xk .nk 1 M e(X) = x = = n n =

k

xi .nii=1 k

(1)

xi .i=1 k

ni n

(2)

=i=1Onde:

xi .fi .

(3)

13

ni fi

freqncia absoluta do valor observado

xi ,

n=

k i=1

ni

o total de observaes, e,

freqncia relativa do valor observado

xi . 1 2 2 3 5 5,temos:

Exemplo 8:

A partir do segundo conjunto de dados,

1 M e(X) = x = n

k

i=1

1 18 xi .ni = (1 1 + 2 2 + 3 1 + 5 2) = = 3. 6 6

Exerccio:

Dado o seguinte conjunto de dados:

12

12

15

15

15

17

18

18

18

18

19

20

Determine a mdia, moda e mediana.

Soluo:

2.2.2 Medidas de Tendncia Central para Dados AgrupadosSabemos que ao agrupar um conjunto de dados em classes, perde-se informao sobre cada valor individual e, no caso em que seja impossvel recuperar cada valor observado, pode-se supor que todos os dados dentro de uma classe tenham seus valores iguais ao ponto mdio desta classe. Assim, pode-se, por exemplo, utilizar os pontos mdios das classes e suas respectivas freqncias para calcular a mdia aritmtica de maneira anloga ao exposto anteriormente. Da mesma forma, pode-se adotar como valor modal, o ponto mdio da classe modal e como mediana, o ponto mdio da classe mediana.

Exemplo:

Dada a seguinte distribuio de freqncia da varivel

S =salrio

(dados

agrupados em classes):

Salrio

Frequncia Absoluta

4, 00| 8, 00 8, 00| 12, 00 12, 00| 16, 00 16, 00| 20, 00 20, 00| 24, 00

10 12 8 8 2

Determine o valor (aproximado) da mdia, moda e mediana.

14

Soluo:

2.2.3 Medidas de Disperso ou de VariabilidadeNa sumarizao de um conjunto de dados, uma nica medida representativa da posio central, esconde toda a informao sobre a variabilidade dos dados. Veja, por exemplo, os seguintes dados:

Varivel Varivel Note que a mdia

X: 3 4 5 6 7 Y : 3 5 5 7a qual nada informa sobre a variao dos

M e(X) = M e(Y ) = 5,

valores nos dois grupos. Assim, torna-se importante o conhecimento de uma medida que fornea este tipo de informao. Na prtica, existem vrias medidas que expessam a variabilidade de um conjunto de dados, sendo que as mais utilizadas baseam-se na idia que consiste em vericar a distncia de cada valor observado em relao mdia. Estas distncias so denominadas de

em relao mdia.

desvios

Denio 2.1 (Varincia). - uma medida que representa a variabilidade de um

conjunto de dados e, obtida pelo clculo da mdia dos quadrados dos desvios em relao mdia:1 V ar(X) = s = n2 k

(xi x)2 nii=1

15

Vejamos, agora, como ca a varincia para as variveis

X

e

Y:

Assim, de acordo com a varincia, podemos dizer que a varivel

X

apresenta ...

Observao:

Para o clculo da varincia, quando os dados esto agrupados em

classes, basta substituir o valor

xi

por

si ,

ou seja, utilizar a mesma frmula da varincia,

substituindo os verdadeiros valores observados pelo ponto mdio da i-sima classe.

Denio 2.2 (Desvio Padro). - a raiz quadrada da varincia. D.P.(X) = s = s2 = 1 nk

(xi x)2 nii=1

O uso do desvio padro como medida de variabilidade prefervel pelo fato de ser expresso na mesma unidade de medida dos valores observados. Pois, a varincia pode causar problemas de interpretao por ser expressa em termos quadrticos.

Denio 2.3 (Coeciente de Variao). - O coeciente de variao (CV) uma

medida relativa de variabilidade. O seu valor determinado por intermdio do quociente entre o desvio padro e a mdia aritmtica dos dados.CV (X) = s 100 x

(expresso em porcentagem (%))

A utilidade imediata do coeciente de variao a possibilidade de avaliar o grau de representatividade da mdia. Esta medida tambm bastante til na comparao entre conjunto de dados, em relao variabilidade; ainda que as unidades de medida nos conjuntos de dados sejam distintas. Por exemplo, comparar a variabilidade das distribuies da varivel peso expressa em quilogramas (Kg ) e altura expressa em metros (m). Um critrio de deciso sobre a representatividade ou no da mdia, pode ser dada pela seguinte linha de corte: Se Se

CV 50%, CV < 50%,

a mdia

no representativa.

a mdia representativa.

Exemplos:a) O desvio padro das variveis

X

e

Y

DP (X) = DP (Y ) = s = Km,40

2 = 1, 41. Km.Calcule

b) Considere os quilmetros rodados por 3 carros: 30

Km

e 50

a mdia, a varincia, o desvio padro e o CV. Interprete essas medidas.

16

2.2.4 Medidas de Posio: Quartis, Decis e PercentisAssim como a mediana divide os dados em duas partes iguais, os trs dos por

quartis, denota-

Q1 , Q2

e

Q3 ,

dividem as observaes ordenadas (em ordem crescente) em quatro

partes iguais. A grosso modo: -

Q1 Q2 Q3

separa os separa os separa os

25% 50% 75%

inferiores dos inferiores dos inferiores dos

75% 50% 25%

superiores dos valores ordenados; superiores, ou seja, a mediana; e superiores dos dados;

Analogamente, h nove

decis,

denotados por

D1 , D2 , . . . , D9 ,

que dividem os dados

em 10 grupos com cerca de 10% deles em cada grupo. Finalmente, h 99 dividem os dados em 100 grupos com cerca de 1% em cada grupo.

percentis que

Basicamente, dois passos so necessrios para se encontrar as medidas em questo. Primeiro deve-se identicar a sua posio, e, em seguida, determinar o seu valor. Veja a seguir, como obter os valores referentes aos percentis, quando se est trabalhando com dados brutos ou em distribuio de freqncias para dados

no agrupados:

1

) Identicar a posio do percentil que se deseja encontrar, atravs da seguinte

expresso:

L=Onde: -

k 100

n

L k n

o valor que indica a posio do percentil de interesse; o

k esimo

percentil; e

o total de dados observados. Utilizar a seguinte regra (anloga regra da mediana):

2)1. Se

L

for um nmero

no inteiro,

ento, arredonda-se o valor de

L

para o maior

inteiro mais prximo, e, assim, o valor do que ocupa esta nova posio obtida. 2. Se

k esimo

percentil,

Pk ,

dado pelo valor

L

for um nmero

inteiro, ento o valor do k esimo percentil, Pk , ser a mdia Le

aritmtica dos valores que esto nas posies

L + 1.

Uma vez dominados os clculos para os percentis, pode-se seguir o mesmo processo

L=

para calcular os quartis e decis, tendo-se o cuidado de calcular o valor de L, pelas frmulas k k n, k = 1, 2, 3 e L = 10 n, k = 1, 2, . . . , 9, respectivamente. Pode-se, 4 ainda, obter os quartis e decis pelas seguintes relaes existentes entre estas medidas e os percentis:

17

QuartisQ1 = P25 Q2 = P50 Q3 = P75

DecisD1 = P10 D2 = P20. . .

D9 = P90Alm das medidas de tendncia central e de variao j introduzidas, costuma-se denir outras estatsticas utilizando quartis, decis ou percentis, tais como:

= Q3 Q1 Intervalo semi-interquartil = (Q3 Q1 )/2 Amplitude de percentis 10-90 = P90 P10Intervalo interquartil

de

Observao: O histograma pode ser utilizado para se obter o k esimo percentil, Pk , no caso dados agupados em classes. Veremos como proceder, atravs de um exemplo que

ser apresentado logo em seguida.

2.3 Outra Estratgia de Anlise de DadosEm algumas situaes a mdia e o desvio padro podem no ser adequados para representar um conjunto de dados, pois: i - So afetadas, de forma exagerada, por valores extremos; ii - Apenas com estes dois valores no temos a idia da assimetria dos valores, ou seja, sobre o quanto os dados se distribum em torno dos valores inferiores, medianos e superiores. Para contornar estes problemas, 5 medidas foram sugeridas por Tukey (1977):

1) 2) xmx , a 3)

A mediana (M d); Os extremos: o menor e o maior valor observado no conjunto de dados (xm e in

respectivamente); O primeiro e o terceiro quartil (ou junta).

2.3.1 Desenho Esquemtico - Diagrama em Caixa ("Box-Plot")As informaes obtidas pelas 5 medidas podem ser representadas por um grco conhecido por "Box-Plot"ou diagrama em caixa. Este grco consiste em uma reta que se prolonga do menor ao maior valor, e um retngulo com retas traadas no primeiro quartil

Q1 ,

na mediana

M d = Q2

e no terceiro quartil

Q3 .

Veja, como ca este grco atravs

do seguinte exemplo prtico.

Exemplo:

O seguinte conjunto de dados representa a pulsao de 22 fumantes:

18

52 68 84

52 69 90

60 71

60 72

60 73

60 75

63 78

63 80

66 82

67 83

Usando os dados brutos, determine:

a) A mdia, a moda e o desvio padro; b) O primeiro, segundo e terceiro quartil; c) Construa uma tabela de frequncias para os dados agrupados em 7 classes; d) Construa o histograma e o diagrama em caixa;

Agora, utilizando a distribuio de frequncias obtida acima, obtenha:

a) A mdia, a moda e o desvio padro; b) O primeiro, segundo e terceiro quartil utilizando o histograma;

19

2a

LISTA DE EXERCCIOS

1 - Considere uma distribuio de freqncias qualquer representada por

(x1 , n1 ), (x2 , n2 ), . . . , (xk , nk ).Mostre que a soma dos desvios em relao mdia igual zero, ou seja, que k i=1 (xi x) ni = 0. 2 - Obtenha a mdia e a mediana para o seguinte conjunto de dados:

20 30 40a) Se substitumos o valor mesmos? Justique? b) Analisando os resultados acima, ressalte uma caracterstica vantajosa da mediana em relao mdia. 3 - Mostre que:

40

por

70,

os valores da mdia e da mediana sero os

k

k

(xi x) ni =i=1E, por isso, a varincia

2

x2 ni ii=1

k i=1

2

xi =

k

n

x2 ni nx2 ii=1

tambm pode ser obtida pela seguinte frmula:1 V ar(X) = s = n2 k

x2 ni x2 ii=1

4 - Na turma A do curso normal da Escola X, esto matriculados 50 alunos no corrente ano. O levantamento das chas biomtricas revelou as seguintes estaturas em centmetros: 165 164 151 160 155 169 153 156 165 160 170 157 162 162 155 154 151 155 162 150 168 160 154 151 168 155 156 158 166 155 154 152 163 156 170 158 171 159 175 154 159 158 153 158 156 162 165 156 161 157 a) Elabore uma distribuio de freqncias, fazendo o limite inferior da primeira classe igual a 150 (inclusive) e amplitudes dos intervalos de classe igual a 5 cm. b) Baseado na distribuio de freqncia calcule: a mdia, a mediana, a moda, os quartis. c) Esboce o histograma 5 - As taxas de juros recebidas por 10 aes durante certo perodo foram (medidas em porcentagem): 2.59; 2.64; 2.60; 2.62; 2.57; 2.55; 2.61; 2.50; 2.63; 2.64. Calcule a mdia e a mediana.

20

6 - Dados os conjuntos de nmeros:

A = {1000; 1001; 1002; 1003; 1004; 1005}

e

B =

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

podemos armar que:

a) o desvio-padro de A igual a 100 vezes o desvio-padro de B. b) o desvio-padro de A igual ao desvio-padro de B. c) o desvio-padro de A igual ao desvio-padro de B multiplicado pelo quadrado de 1000. d) o desvio-padro de A igual ao desvio-padro de B dividido por 1000. e) o desvio-padro de A igual ao quadrado do desvio-padro de B. 7 - Em uma granja foi observada a distribuio dos frangos em relao ao peso, que era a seguinte:

Peso (g) 960 - 980 980 - 1000 1000 - 1020 1020 - 1040 1040 - 1060 1060 - 1080 TOTAL

ni60 160 280 260 160 80 1000

a) Qual a mdia da distribuio? E qual a varincia? b) Queremos dividir os frangos em quatro categorias com relao ao peso de modo que: os 20% mais leves sejam da categoria D; os 30% seguintes sejam da categoria C; os 30% seguintes sejam da categoria B; os 20% seguintes (ou seja os mais pesados) sejam da categoria A. Quais os limites de peso entre as categorias A,B,C e D?

21

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatstica (6 crditos - Engenharias) Professores: Alexsandro, Alecxandro e Amanda Aluno(a): Perodo 2003.2 Data: .

3a

NOTA DE AULA

3

Introduo Probabilidade

Objetivo: denir um modelo matemtico probabilstico que seja conveniente a descrio e interpretao de fenmenos aleatrios.

3.1 IntroduoAo jogarmos uma moeda para o ar, de modo geral, no podemos armar se vai dar cara ou coroa, da mesma forma, quando lanamos um dado no sabemos qual das faces 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 ocorrer. H numerosos exemplos de tais situaes no campo dos negcios e do governo. A previso da procura de um produto novo, o clculo dos custos de produo, a opinio plblica sobre determinado assunto, a contratao de um novo empregado - tudo isso contm algum elemento de acaso. Independente de qual seja a aplicao em particular, a utilizao das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto ocorrncia ou no de um evento futuro. Assim que em muitos casos, pode ser virtualmente impossvel armar com antecipao o que ocorrer; mas possvel dizer o que pode ocorrer. O ponto central em todas essas situaes a possibilidade de quanticar quo provvel determinado evento. As probabilidades so utilizadas para exprimir a chance de ocorrncia de determinado evento.

3.2 DeniesDenio 3.1 (Fenmenos aleatrios ou Experimentos aleatrios). So aquelesonde o processo de experimentao est sujeito a inuncias de fatores casuais e conduz a resultados incertos.Exemplos: E1 E2 E3

: : :

Jogar uma moeda e observar o nmero de coroas obtido. Lanar um dado e observar o nmero mostrado na face superior. Retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe.

22

Observaes: a) Cada experimento poder ser repetido um grande nmero de vezes sob as mesmas condies; b) No podemos armar que resultado particular ocorrer, porm podemos descrever o conjunto de todos os possveis resultados do experimento, ou seja, as possibilidades de resultado; c) Quando o experimento repetido um grande nmero de vezes, surgir uma regularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatstica, que torna possvel construir um modelo matemtico preciso com o qual se analisar o experimento.

Denio 3.2 (Espao Amostral). o conjunto de todos os possveis resultados deum experimento aleatrio.Exemplo: Considere os seguintes experimentos: E1

:

Jogar um dado e observar o nmero da face superior

E2

:

Jogar duas moedas e observar o resultado

Denio 3.3 (Evento). Dado um espao amostral , associado a um experimentoE qualquer, denimos como evento, qualquer subconjunto desse espao amostral.Exemplo: Considerando o experimento E: lanamento de um dado alguns possveis eventos associados a esse experimento seriam os seguintes: A: Sair o nmero 3; B: Sair um nmero menor ou igual a 6; C: Sair o nmero 10;

Observao: Como estamos tratando com conjuntos, so vlidas todas as operaes indicadas na teoria dos conjuntos:

A A

B - ocorre se A ocorre, ou B ocorre, ou ambos ocorrem. B - ocorre se A e B ocorrem simultaneamente.

c A - ocorre se A no ocorre.

Denio 3.4 (Eventos mutuamente Excludentes). Dois eventos so mutuamente exclusivos, se eles no podem ocorrer simultaneamente, isto , A B = .

23

3.3 ProbabilidadeDenio 3.5 (Denio Clssica de Probabilidade - Freqncia Relativa).Suponha que um experimento repetido n vezes, e seja A e B dois eventos associados ao experimento. Sejam nA e nB o nmero de vezes que o evento A e o evento B ocorram nas n repeties. A freqncia relativa do evento A, representada por fA , defenida comofA = nA . n

Propriedades:(i) (ii) (iii)

0 fA 1; fA = 1, fA = 0, Ae se, e somente se, se, e somente se,

A A

ocorrer em todas as nunca ocorrer nas

n

repeties;

n

repeties;

(iv) Se

B

forem eventos mutuamente excludentes, e se

fAB

for a freqncia

relativa associada ao evento

A B,

ento,

fAB = fA + fB .

Denio 3.6 (Denio axiomtica de probabilidade). Dado um espao amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, representado por P (A) , uma funo denida em , que associa a cada evento um nmero real, satisfazendo os seguintes

axiomas:

(i) 0 P (A) 1; (ii) P () = 1; (iii) Se A e B forem mutuamente exclusivos (A B = ), ento P (A B) = P (A) + P (B) .Observao: A probabilidade de um evento A, denotada por ocorrncia do evento A. Quanto mais prxima de 1

P (A) , indica a chance de P (A), maior a chance de ocorrncia

do evento A, e quanto mais prxima de zero, menor a chance de ocorrncia do evento A. Principais Teoremas: a) Se

deniota o conjunto vazio, ento

P () = 0. P (Ac ) = 1 P (A) . P (A B) = P (A) + P (B)

c b) Se A o evento complementar de A, ento

c) Se A e B so dois eventos quaisquer, ento

P (A B) .

3.4 Espao Amostral FinitoDenio 3.7 (Espaos Amostrais Finitos). Dizemos que S um espao amostralnito, se esse espao possui um nmero nito de elementos, ou seja, o espao amostral S pode ser escrito na forma S = {a1 , a2 , ..., ak }.24

A m de caracterizar a probabilidade de um evento A cada evento dessa natureza associaremos um nmero

A, P (A), pi ,

associado a um espao

amostral nito, devemos inicialmemte considerar o evento simples ou elementar,

A = {ai }.

denominado probabilidade de

{ai },

que satisfaa s seguintes condies:

a) b)

pi 0, i = 1, 2, ..., k ; p1 + p2 + ... + pk = 1. Aseja constitudo por

Supondo agora, que um evento seja

r

resultados,

1 r k,

ou

A = {aj1 , aj2 , ..., ajr },onde que cada

j1, j2, ..., jr, representam um qualquer dos r ndices de 1 at k . {ajr } so mutuamente excludentes, podemos escrever P (A) = pj1 + pj2 + ... + pjr .

Ento, considerando

Exemplo: Suponha-se que somente trs resultados sejam possveis em um experimento, a saber, que

a1 , a2 e a3 .

Alm disso, suponha-se que e

a1

seja duas vezes mais provvel de ocorrer

a2 ,

o qual por sua vez duas vezes mais provvel de ocorrer que

a3 .

Encontre as

probabilidades

p 1 , p2

p3 .

3.4.1 Espaos Amostrais Finitos EquiprovveisQuando associamos a cada ponto amostral (cada elemento do espao amostral) a mesma probabilidade, o espao amostral chama-se equiprovvel. amostral com por Neste caso, dado um espao

k

pontos do tipo

S = {a1 , a2 , ..., ak }, P ({ak }) = 1 . k

as probabilidades

P ({ak }

sero dadas

Exemplo:

Se cada carta de um baralho de 52 cartas tem a mesma chance de ser

escolhida, ento a probabilidade de se extrair cada uma delas de

Se ento

S = {a1 , a2 , ..., ak }

nito e A um evento com

m

pontos amostrais (m

k),

P (A) =

m . k

Exemplo: A probabilidade de se extrair uma dama de um baralho de

Exemplo: Qual a probabilidade de se obter trs ou menos pontos no lanamento de um dado?

Exemplo: Uma urna contm duas bolas brancas, trs pretas e cinco azuis. a) Qual a probabilidade de se extrair uma bola branca? b) Qual a probabilidade de se extrair uam bola preta ou uma azul?

25

Em muitos casos existem situaes em que o experimento pode ser realizado em duas etapas, a primeira podendo ser realizada de a tarefa completa pode ser executada de

p maneiras e p q maneiras.

a segunda de

q

maneiras, ento

Exemplo: No lanamento de dois dados qual a probabilidade de sair o par (5,2)?

3.4.2 Clculo da probabilidade da ocorrncia de dois eventosA probabilidade da ocorrncia de dois eventos simultaneamente natureza dos eventos, ou seja se eles so independentes ou no. Dois ou mais eventos so independentes quando a ocorrncia ou no-ocorrncia de um no inuencia a ocorrncia do(s) outro(s). Se dois eventos so independentes, ento a probabilidade de ocerrncia de ambos igual ao produto de suas probabilidades individuais, ou seja,

(P (A B)) ,

depende da

P (A B) = P (A) P (B) .Exemplo: Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara?

Suponhamos agora que queiramos estender este resultado ao caso de trs moedas. Qual a probabilidade de trs caras?

Exemplo: Um tero dos eleitores de certa comunidade constituido de mulheres, e 40% dos eleitores votaram na ltima eleio presidencial. Supondo que esses dois eventos sejam independentes, determine a probabilidade de escolher um eleitor da lista geral, que seja mulher e que tenha votado na ltima eleio presidencial.

Exemplo: Uma urna contm duas bolas brancas e cinco pretas. Qual a probabilidade de sair duas bolas pretas supondo que os sorteios so feitos com reposio?

3.4.3 Probabilidade CondicionalConsidere o seguinte experimento: lanar um dado. Ento Seja

A

o evento: sair o nmero 3.

P (A) =Considere agora o seguinte evento

B:

sair um nmero mpar. Logo,

P (B) =Suponha agora que soubssemos da ocorrncia de bilidade de

A.

Iremos denotar essa probabilidade como

B e quisssemos calcular P (A | B). Assim

a proba-

P (A | B) =26

Formalmente denimos probabilidade condicional da seguinte maneira: Dados dois eventos, evento

A

e

B,

denotaremos

P (A | B) P (A B) P (B)

a probabilidade condicionada do

A,

quando

B

tiver ocorrido, por:

P (A | B) =com

P (B) = 0.Exemplo: Dois dados so lanados. Considere os eventos:

A = {(x1 , x2 ); x1 + x2 = 10}Calcule:

e

B = {(x1 , x2 ); x1 > x2 }.e

P (A), P (B), P (A | B)

P (B | A)

3.4.4 Teorema do ProdutoA partir da denio de probabilidade condicional, poderemos enunciar o teorema do produto:

P (A | B) =

P (AB) P (B)

P (A B) = P (B)P (A | B).

Analogamente

P (B | A) =

P (AB) P (A)

P (A B) = P (A)P (B | A).

Exemplo: Em um lote de 12 peas, 4 so defeituosas, 2 peas so retoradas uma aps a outra sem reposio. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas? O teorema da multiplicao de probabilidades pode ser generalizado para mais de dois eventos da seguinte maneira:

P (A1 A2 An ) = P (A1 ) P (A2 | A1 ) P (A3 | A1 A2 ) P (An | A1 A2 An1 )Exemplo: Uma urna contm duas bolas brancas, trs vermelhas e cinco azuis. Qual a probabilidade de se retirar sem reposio uma bola azul, uma branca e uma vermelha exatamente nessa ordem?

3.4.5 Independncia EstatsticaUm evento cional de

A

considerado independente de um outro evento

B

se a probabilidade condi-

A

dado

B

igual a probabilidade de

A,

isto , se

P (A | B) = P (A). evidente que se

A

independente de

B, B

independente de

A.

Assim

P (B | A) = P (B).Exemplo: Em uma caixa temos 10 peas, das quais 4 so defeituosas. So retiradas duas peas com reposio. Calcule a probabilidade de ambas serem boas.

27

Obs: Dizemos que trs eventos so mutuamente independentes se

P (A B) = P (A)P (B) P (A C) = P (A)P (C) P (B C) = P (B)P (C) P (A B C) = P (A)P (B)P (C)Exemplo: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espao equiprovvel e A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4} trs eventos de S . Vericar se os eventos A, B e C so mutuamente independentes.

3.4.6 Teorema da probabilidade totalDenio: amostral a) b) c) Dizemos que os eventos quando para todo

B1 , B2 , ..., Bk

representam uma partio do espao

S,

Bi Bj = , k Bi = S , i=1 P (Bi ) > 0,

i = j,

para todo

i.referente a

Considere um evento podemos escrever

A

S,

e

B1 , B2 , ..., Bk

uma partio de

S.

Assim,

A = (A B1 ) (A B2 ) (A B3 ) ... (A Bk ).Logo,

P (A) = P (A B1 ) + P (A B2 ) + P (A B3 ) + ... + P (A Bk ).Ento, como

P (A Bj ) = P (Bj )P (A | Bj ), obteremos o que se denomina o teorema

da probabilidade total:

P (A) = P (B1 )P (A | B1 ) + P (B2 )P (A | B2 ) + ... + P (Bk )P (A | Bk ).

3.4.7 Teorema de BaysSob as mesmas hipteses do teorema da probabilidade total, podemos calcular a probabilidade de

Bi

dada a ocorrncia de

A

da seguinte forma

P (Bi | A) =

P (Bi A) = P (A)

P (Bi )P (A | Bi ) . j P (Bj )P (A | Bj )Esse teorema til quando co-

Este resultado o que chamamos de teorema de Bays. nhecemos as probabilidades dos

Bi 's

e a probabilidade condicional de

A

dado

Bi ,

mas no

conhecemos diretamente a probabilidade de

A.28

Exemplo: Um saco contm trs moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as outras duas so normais e no viciadas. Uma moeda retirada ao acaso e jogada. Dado que o resultado foi cara, qual a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? Exemplo: Suponha trs urnas com as seguintes conguraes: a urna 1 contm 3 bolas pretas, 1 branca e 5 vermelhas; a urna 2 contm 4 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas; a urna 3 contm 2 bolas pretas, trs brancas e 3 vermelhas. Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, vericou-se que a bola branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? da 3?

3a1 - Uma caixa com

LISTA DE EXERCCIOSrlmpadas

N

lmpadas contm

(r < N )

com lamento partido.

Essas lmpadas so vericadas uma a uma, at que uma lmpada defeituosa seja encontrada. Descreva um espao amostral para este experimento. Suponha agora, que as lmpadas so vericadas at que todas as defeituosas sejam encontrdas. Descreva um espao amostral para este experimento. 2 - O seguinte grupo de pessoas est numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4 homens com menos de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anos, e 3 mulheres menores. Uma pessoa escolhida ao acaso. Denem-se os seguintes eventos: A: A pessoa maior de 21 anos B: A pessoa menor de 21 anos C: A pessoa homem D: A pessoa mulher Calcule: a) b)

P (B D) P (A C)

3 - Um inteiro escolhido ao acaso, dentre os nmeros 1, 2, ..., 50. Qual a probabilidade de que o nmero escolhido seja divisvel por 6 ou por 8? 4 - A urna 1 contm brancas e

x

bolas brancas e

y

bolas vermelhas.

A urna 2 contm

z

bolas

v

bolas vermelhas. Uma bola escolhida ao acaso da urna 1 e posta na

urna 2. A seguir, uma bola escolhida ao acaso da urna 2. Qual a probabilidade de que esta bola seja branca? 5 - Suponha que ocorrncia de

A A

a probabilidade

B sejam eventos independentes de A ou B ocorrerem for igual ae

associados a um experimento. Se 0,6, enquanto a probabilidade da

for igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrncia de

B.

6 - Um estudante se submete a um exame de mltipla escolha no qual cada questo tem 4 respostas possveis das quais exatamente uma correta. O estudante seleciona a resposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrrio, ele seleciona ao acaso uma

29

resposta entre as 4 possveis. Suponha que o estudante saiba a resposta de 60% das questes. Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questo, qual a probabilidade de que ele sabia a resposta? 7 - Mostre que, se os eventos

A

e

B

so independentes, ento tambm o sero

A

e

B.

8 - Um dado viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 3 vezes mais provvel de sair do que o ponto 2). Calcular a probabilidade de tirar um nmero par, sabendo-se que saiu um nmero maior que 3. 9 - Mostre que se

A, B e C so eventos tais que P (A B C) = 0 P (C | B), ento P (A | B C) = P (A | B).

e

P (C | A B) =

10 - Uma caixa tem trs moedas: uma no viciada, outra com duas caras e uma terceira 1 viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda de . Uma 5 moeda selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a moeda viciada tenha sido a selecionada? 11 - Uma urna contm 4 bolas brancas e 6 bolas vermelhas; outra urna contm 3 bolas brancas e 6 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para a segunda urna, e em seguida, retiram-se trs bolas desta ltima, sem reposio. Qual a probabilidade de que ocorram trs bolas da mesma cor?

2 12 - A probabilidade de que A resolva um problema de e a probabilidade de que 3 B resolva de 3 . Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do 4 problema ser resolvido?13 - Uma companhia de seguros analisou a freqncia com que 2000 segurados usaram o hospital. Os resultados so apresentados na tabela:

homens usaram o hospital no usaram o hospital 100 900

mulheres 150 850

Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada no use o hospital? 14 - Os colgios

A, B

e

C

tm as seguintes percentagens de rapazes, respectivsmente:

40%, 20% e 10%. Um desses colgios selecionado ao acaso e 8 alunos so escolhidos, com reposio. Se obtemos RRRMMMMM (R para rapaz e M para moa) qual a probabilidade de ter sido selecionado o colgio B?

30

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatstica (6 crditos - Engenharias) Professores: Alexsandro, Alecxandro e Amanda Aluno(a): Perodo 2003.2 Data: .

4a

NOTA DE AULA

4

Variveis Aleatriasum experimento e

Denio: Seja funo aleatria.

S

um espao amostral associado ao experimento. Uma um nmero real,

X , que associe a cada elemento s S

X(s), denominada varivel

Exemplo: Lana-se trs moedas honestas. Considere a varivel aleatria:

X:

nmero de caras

Denio: Sejam um experimento aleatria denida em relao a

e seu espao amostral

S.

Seja

X

uma varivel

RX ,

isto ,

S e seja RX seu contradomnio. Seja B B RX . Ento, A ser denido assim A = {s S; X(s) B}

um evento denido em

Neste caso dizemos que Denio: Seja seguinte maneira:

A

e

B

so eventos equivalentes. denimos

B um evento no contradomnio RX . Nesse caso, P (B) = P (A), onde A = {s S; X(s) B}.

P (B)

da

Exemplo: No exemplo anterior, temos

RX = {0, 1, 2, 3}

com as seguintes probabilidades

4.1 Variveis Aleatrias discretasDenio: Seja

X

uma varivel aleatria. Se o nmero de valores possveis de

X

(isto ,

RX )

for nito ou innito enumervel, denominaremos

X

de varivel aleatria discreta. Consider-

Exemplo: Considere uma urna com duas bolas brancas e trs vermelhas. aremos a varivel aleatria reposio. Denio: de Seja

X:

nmero de bolas vermelhas obtidas em duas extraes sem

X

uma varivel aleatria discreta.

Portanto

RX ,

o contradomnio

X,

ser formado no mximo por um nmero innito enumervel de valores

x1 , x2 , ...

31

A cada possvel resultado probabilidade de (a) (b)

xi

associaremos um nmero

xi .

Os nmeros

p(xi ) = P (X = xi ), denominado p(xi ), i = 1, 2, ... devem satisfazer s seguintes condies:

p(xi ) 0, i; p(xi ) = 1. i=1

A funo

X.

A

p denida acima, denominada funo de probabilidade da varivel aleatria coleo de pares [xi , p(xi )], i = 1, 2, ..., denominada distribuio de probabilidade.

Exemplo: Um empresrio pretende estabelecer uma rma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes so adquiridas em fbricas diferentes, e a montagem consistir em juntar as duas partes e pint-las. Para estudar a variabilidade do seu empreendimento, o empresrio quer ter uma idia da distribuio dos lucros por pea montada. Cada componente pode ser classicada como Bom, Longo ou Curto, conforme suas medidas estejam dentro das especicaes. Sabe-se que o custo por pea de 5 u.m. Alm disso, foram obtidos as probabilidades de produo de cada componente com suas respectivas caractersticas. A Tabela com esses valores se encontra abaixo.

Produto Bom (B) Longo (L) Curto (C)

Cilindro 0,80 0,10 0,10

Esfera 0,70 0,20 0,10

Se o produto nal apresentar algum componente coma caracterstica C, ele ser irrecupervel, e o conjunto ser vendido como sucata ao preo de 5 u.m. Cada componente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 u.m. Se o preo de venda de cada unidade de 25 u.m., como seria a distribuio das freqncias da varivel aleatria L: lucro por conjunto montado? Exemplo: Suponhamos que uma vlvula eletrnica seja posta em um soquete e ensa3 iada. Admitamos que a probabilidade de que o teste seja positivo seja ; da, a probabilidade 4 1 de que seja negativo igual a . Adimitamos tambm que estejamos ensaiando uma partida 4 grande dessas vlvulas. Os ensaios continuam at que a primeira vlvula positiva aparea. Considere a varivel aleatria Assim

X : no

de testes necessrios para concluir o experimento.

S= P (X = n) =

4.2 Variveis Aleatrias ContnuasDenio: condies: a) b) Diz-se que

X

uma varivel aleatria contnua, se existir uma funo

f,

denominada funo densidade de probabilidade (f.d.p.) de

X

que satisfaa s seguintes

f (x) 0+

para todo

x,

f (x)dx = 1,32

c) para quaisquer

a, b ,

com

< a < b < +, X

teremos

P (a X b) = f.d.p. fdada

b a

f (x)dx.Exemplo: Suponhamos que a varivel aleatria seja contnua. Seja a

por

f (x) =

2x, 0 < x < 1, 0, c.c.

Exemplo: Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular de raio de 10 cm, e seja

X

a distncia do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. a

f.d.p.

de

X

f (x) =

kx, 0 x 10 0, c.c

a) Qual a probabilidade de acertar a mosca, se ela um crculo de raio 1 cm? b) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer crculo concntrico proporcional a sua rea.

4.3 Funo de Distribuio AcumuladaDenio: Seja

X

uma varivel aleatria, discreta ou contnua. Dene-se a funo

funo de distribuio acumulada da varivel aleatria

X

como

F F (x) = P (X x).

como

Teorema 4.1. Se X for uma varivel aleatria discretaF (x) =j

p(xj ),

onde o somatrio estendido a todos os ndices j que satisfaam condio xj x.

Teorema 4.2. Se X for uma varivel aleatria contnua com f.d.p. f ,x

F (x) =

f (s)ds. Xtome os trs valores 0,1 e 2, com

Exemplo: Suponhamos que a varivel aleatria

probabilidades 1/3, 1/6 e 1/2, respectivamente. Ento, a Exemplo: Suponhamos que

F.d.a.

de

X

dada por:

X

seja uma varivel contnua com

f.d.p.

f (x) =Ento, a

2x, 0 < x < 1, 0, c.c

F.d.a.

de

X

dada por:

Teorema 4.3. (a) A funo F no decrescente.(b) limx F (x) = 0 e limx+ F (x) = 1.

33

Teorema 4.4. (a) Seja F a funo de distribuio de uma varivel aleatria contnua,com f.d.p. f . Ento,f (x) = d F (x), dx

para todo x no qual F seja derivvel.

(b) Seja X uma varivel aleatria discreta, com valores possveis x1 , x2 , ..., e suponha-se que esses valores tenham sido indexados de modo que x1 < x2 < ... Seja F a funo de distribuio de X . Ento,p(xj ) = P (X = xj ) = F (x+ ) F (x ). j jObservaes: a) Se funo

X

for uma varivel aleatria discreta, com um nmero nito de valores possveis,

o grco da funo de distribuio ser constitudo por segmentos de reta horizontais. A

F

contnua, exceto nos valores possveis de

apresenta um salto de magnitude b) Se

X : x1 , ..., xn , ... No valor xj p(xj ) = P (X = xj ) F

o grco

X

for uma varivel aleatria contnua,

ser uma funo contnua para todo

x.c) A funo de distribuio Exemplo: Suponha que Esboce o grco de

F

denida para todos os valores de

x.

F (x) =

0, x < 0, x 1 e , x > 0. f.d.p.

F

e calcule a

4.4 O Valor Esperado de Uma Varivel AleatriaDenio: Seja Seja

X ),

X uma varivel aleatria p(xi ) = P (X = xi ), i = 1, 2, ..., n, ... denotado por E(X) denido como

discreta, com valores possveis Ento, o valor esperado de

x1 , x2 , ..., xn , ...

X

(ou esperana de

E(X) = xi p(xi ), i=1se a srie denida acima convergir absolutamente. Exemplo: Um fabricante produz peas tais que 10% delas so defeituosas e 90% delas so no-defeituosas. Se uma pea defeituosa for produzida, o fabricante perde US$ 1, enquanto uma pea no-defeituosa lhe d um lucro de Us$ 5. Se pea, qual o valor esperado de Denio: Seja

X

for o lucro lquido por

X? f.d.p f .O valor esperado de

X

uma varivel aleatria contnua com

X

denido como

+

E(X) =

xf (x)dx.

Pode acontecer que esta integral (imprpria) no convirja. conseqentemente, diremos que

E(X)

existir se, e somente se,

+

|x| f (x)dx

34

for nita. Exemplo: Seja a varivel aleatria

X

denida como segue.

Suponha que

X

seja

o tempo (em minutos) durante o qual um equipamento eltrico seja utilizado em carga mxima, em um certo perodo de tempo especicado. Suponha-se que aleatria contnua com a seguinte

X

seja uma varivel

f.d.p.:x , 15002 (x3000) , 15002

f (x) =

0,

0 x 1500, 1500 < x 3000, c.c. [a, b]com a

Exemplo: Seja seguinte

X

uma varivel aleatria contnua denida num intervalo

f.d.p. f (x) =1 , ba

0,

a x b, c.c.

Encontre a esperana dessa varivel aleatria. obs: a varivel

X

denida dessa maneira chamada de varivel aleatria uniforme.

4.4.1 Propriedades de Valor EsperadoPropriedade 1: Se

X = C,

onde

C

uma constante, ento,

E(X) = C . Xuma varivel aleatria.

Propriedade 2: Ento,

Suponha-se que

C

seja uma constante e

E(CX) = CE(X). a, b constantes e Xuma varivel aleatria. Ento,

Propriedade 3: Sejam

E(aX + b) =

aE(X) + b.propriedade 4: Seja a) Se

X

uma varivel aleatria e

H(X)

uma funo contnua.

for uma varivel aleatria discreta assumindo valores x1 , x2 , ... com funo de probabilidade p(xi ), i = 1, 2, ..., ento E[H(X)] = i=1 H(xi )p(xi ); + b) Se X for uma varivel aleatria contnua com f.d.p. f , ento E[H(X)] = H(x)f (x)dx.

X

4.5 A Varincia de uma Varivel AleatriaDenio: Seja

X

uma varivel aleatria.

Denimos a Varincia de

X,

denotada por

V ar(X),

da seguinte maneira:

V ar(X) = E[X E(X)]2 .A raiz quadrada da Varincia de O clculo de

X

denominada desvio padro de

X.

V ar(X)

pode ser simplicado com o auxlio do seguinte resultado.

Teorema 4.5.V ar(X) = E(X 2 ) [E(X)]2 .35

4.5.1 Proprieades da Varincia de uma Varivel AleatriaPropriedade 1: Se

C

for uma constante,

V ar(C) = 0.Propriedade 2: Se

C

for uma constante,

V ar(CX) = C 2 V ar(X).Propriedade 3: Sejam = a2 V ar(X).

a, b

constantes e

X

uma varivel aleatria. Ento

V ar(aX +

b)

Exemplo: O servio de meteorologia classica o tipo de cu que visvel, em termos de graus de nebulosidade. Uma escala de 11 categorias empregada: 0,1,2,...,10, onde 0 representa um cu perfeitamente claro, 10 representa um cu completamente encoberto, enquanto os outros valores representam as diferentes condies intermedirias. Suponhase que tal classicao seja feita em uma determinada estao meteorolgica, em um determinado dia e hora. Seja

X

a varivel aleatria que pode tomar um dos 11 valores

acima. Admita que a distribuio de probabilidade de

x

seja

X=x P (X = x)Portanto

0 0,05

1 0,15

2 0,15

3 0,06

4 0,06

5 0,06

6 0,06

7 0,06

8 0,15

9 0,15

10 0,05

E(X) = E(X 2 ) = V ar(X) =Exemplo: Suponhamos que

X

seja uma varivel aleatria contnua com

f.d.p.

f (x) =Ento

1 + x, 1 x 0, 1 x. 0 x 1.

E(X) = V ar(X) =

36

4a

LISTA DE EXERCCIOS(T )que os candidatos levam para

1 - Num teste de digitao, o tempo em minutos probabilidade:

digitar um texto modelado, de forma aproximada, pela seguinte distribuio de

T pi

3 0,1

4 0,1

5 0,2

6 0,2

7 0,2

8 0,1

9 0,1

O candidato recebe 4 pontos se terminar a digitao em 9 minutos, 5 se terminar em 8 minutos e assim por diante. Determine a mdia e a varincia do nmero de pontos obtidos no teste. 2 - Suponha que a demanda por certa pea, numa loja de autopeas, siga o seguinte modelo:

P (X = k) =a) Encontre o valor de b) Calcule a

a2k , k = 1, 2, 3, 4. k!

a.

F.d.a

de

X.

c) Calcule a demanda esperada. d) Qual a variabilidade da demanda? 3 - A funo de probabilidade da varivel aleatria X P (X 2 2 Calcule E(X), E(X ), V ar(X), E[(X + 3) ] e V ar(3X

= k) = 1/5, k = 1, 2, ..., 5. 2). P (X = j) = 1/2j ,

4 - Suponha que a varivel aleatriaX tenha valores possveis 1,2,..., e

j = 1, 2, ...a) Calcule b) Calcule c)Calcule

P (X

ser par).

P (X 5).ser divisvel por 3). resultados possveis: 0,1,2,... Suponha que

P (X

5 - Considere uma varivel aleatria j a) Para que valores de

X com P (X = j) = (1 a)a , j = 0, 1, 2, ... a

o modelo acima tem sentido?

b) Verique que essa expresso representa uma legtima distribuio de probabilidade. c) Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos

s

e

t,

P (X > s + t | X > s) = P (X t).6 - Verique se as expresses abaixo so funes densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especicados). a) b)

f (x) = 3x, f (x) =x2 2

se se

0 x 1. x 0.37

,

c) d)

f (x) =

(x3) , se 2se

3 x 5.

f (x) = 2, =

0 x 2.

e)f (x) f )f (x)

1 + x, se 1 x 0 1 x, se 0 < x 1.se

= ,

< x < 0. f.d.p. f (x) = 3x2 , 1 x 0. 1 < b < 0, calcule P (X > b | X < b/2). f.d.p.no mesmo intervalo Se

7 - A varivel aleatria contnua tem nmero que satisfaa a 8 - Suponham que

b

for um

f

e

g

sejam

a x b.

a) Verique que

f +g

no uma

f.d.p.

nesse intervalo.

b) Verique que, para todo nmero nesse intervalo. 9 - O dimetro

, 0 < < 1, f (x) + (1 )g(x) uma f.d.p.ser uma varivel aleatria contnua com

X de um cabo eltrico supe-se f.d.p. f (x) = 6x(1 x), 0 x 1.a) Verique que essa expresso uma b) Obtenha uma expresso par a

f.d.p.

e esboce seu grco.

F.d.a.

da varivel

X.

c) Determine um nmero d) Calcule

b

tal que

P (X < b) = 2P (X > b).

P (X 1/2 | 1/3 < X < 2/3).e

10 - Uma varivel aleatria

x)/4, (1 + 2x)/4probabilidade?

X pode tomar quatro valores, com probabilidades (1+3x)/4, (1 (1 4x)/4. Para que valores de x essa uma distribuio de Xtem

11 - Uma varivel aleatria

F.d.a dada por 0, se x 0 x5 , se 0 < x < 1 F (x) = 1, se x 1.

Calcule

E(X)

e

V ar(X). (f.d.p)para o com-

12 - Numa certa regio, fsseis de pequenos animais so freqentemente encontrados e um arquelogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade primento, em centmetros, desses fsseis.

f (x) =

x + 3, 20 5 1 , se 10

x , 40

se 4 x 8 se 8 < x 10 10 < x 11.

a)Calcule a

F.d.a.

b) Para um fssil encontrado nessa regio, determine a probabilidade do comprimento ser inferior a 6 cm? E de ser superior a 5 mas inferior a 10,5 cm. c)Encontre o valor esperado para o comprimento dos fsseis da regio.

38

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatstica (6 crditos - Engenharias) Professores: Alexsandro, Alecxandro e Amanda Aluno(a): Perodo 2003.2 Data: .

5a

NOTA DE AULA

5

Alguns Modelos de Variveis Aleatrias

5.1 Variveis Aleatrias Discretas5.1.1 Modelo Uniforme DiscretoDenio: babilidade Seja

X

uma varivel aleatria cujos possveis valores so representados por

x1 , x2 , ..., xk . Dizemos que X segue o modelo Uniforme Discreto se atribui a mesma pro1/k a cada um desses k valores, isto , sua funo de probabilidade dada por P (X = xj ) = 1 , j = 1, 2, ..., k. k

Exemplo: Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25, e meu colega tem outros 5 bilhetes, com os nmeros 1, 11, 29, 68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado?

Propriedades fcil vericar que:

E(X) = V ar(X) = 1 kk

k i=1

xi

k x2 i (

,k i=1

xi )2

i=1

k

.

5.1.2 Modelo de BernoulliDenio: Consideremos uma nica tentativa de um experimento aleatrio de forma que tenhamos sucesso ou fracasso nessa tentativa. Seja

p

a probabilidade de sucesso, logo

1p

ser a probabilidade de fracasso.

Dena a varivel aleatria se ocorre sucesso. Onde

X

da seguinte forma:

X = 0,

se no ocorre sucesso, ou 1,

P (X = 0) = 1 p P (X = 1) = p.

39

Nessas Condies a varivel aleatria probabilidade dada por:

X

segue o modelo de Bernoulli, e sua funo de

P (X = x) = px (1 p)1x , x = 0, 1.Note que,

E(X) = p

e

V ar(X) = p(1 p).

Exemplo: Lana-se um dado e observa-se ocorrncia da face 6.

5.1.3 Modelo BinomialConsideremos probabilidade tentativa. Seja

n

tentativas independentes de um mesmo experimento aleatrio. Cada tensucesso com probabilidade

tativa adimitindo apenas dois resultados:

p

e fracasso com

1 p.

As probabilidades de sucesso e fracasso so as mesmas para cada

X:

nmero de sucessos em

n

tentativas.

A varivel aleatria Binomial com

X associada parmetros n e p, que

a esse experimento dita ser uma Varivel aleatria denotaremos por

X : b(n, p).

Sua funo de proba-

bilidade dada pelo teorema seguinte:

Teorema 5.1. Seja X uma varivel aleatria binomial com parmetros n e p. EntoP (X = k) = n k pk (1 p)nk

Teorema 5.2. Seja X uma varivel aleatria binomial com parmetros n e p. EntoE(X) = np e V ar(X) = np(1 p).Exemplos: Sabe-se que a ecincia de uma vacina de 80%. Um grupo de trs

indivduos sorteado dentre a populao vacinada, e submetidos a testes para averiguar se a imunizao foi efetiva. Construa a distribuio de probabilidade da varivel de indivduos imunes na amostra.

X=

nmero

5.1.4 Distribuio GeomtricaConsidere um experimento cujos resultados podem ser classicados como sucesso ou fracasso. Seja a varivel aleatria

p a probabilidade de sucesso, logo 1p a probabilidade de fracasso. Considere X : nmero de ensaios at ocorrer o primeiro sucesso. Suponha que os P (X = x) = (1 p)x1 p, x = 1, 2, ...

ensaios so independentes. Dessa forma,

A varivel denida acima chamada de Distribuio geomtrica com parmetro Notao:

p.

X:

Geomtrica(p).

Teorema 5.3. Se X : Geomtrica(p), ento40

(i) E(X) =

1 p 1p p2

(ii) V ar(X) =

Exemplo: Se a probablidade de que um certo ensaio d reao positiva for igual a 0,4, qual ser a probabilidade de que menos de 5 reaes negativas ocorram antes da primeira positiva?

Teorema 5.4. Se X :Geomtrica(p) ento, para dois quaisquer inteiros positivos s et, P (X s + t | X > s) = P (X > t)

5.1.5 Distribuio HipergeomtricaConsideremos uma populao com

N

elementos, dos quais

r

tm uma determinada carac-

terstica (sucesso). Retiramos dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho

n.Seja

X:

nmero de sucessos na amostra.

Dessa forma a distribuio de probabilidade da varivel aleatria

X

dada por

P (X = k) =

r k

N r nk N n

, 0 k n, k r.

A varivel

X

assim denida tem distribuio Hipergeomtrica.

p = r/N . Ento

Teorema 5.5. Se X tem distribuio Hipergeomtrica com parmetros N, n e p, ondeE(X) = np

eV ar(X) = np(1 p)

(N n) . (N 1)

Exemplo: Pequenos motores so guardados em caixas com 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores so testados. H 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessrio examinar todos os motores dessa caixa?

5.1.6 Distribuio de PoissonUma varivel aleatria

X

tem distribuio de Poisson com parmetro

> 0,

se sua funo

de probabilidade dada por

P (X = k) =

e k , k = 0, 1, 2, ..., k!41

com o parmetro utilizada ser

sendo X : P o().

usualmente referido como a taxa de ocorrncia.

A notao

Teorema 5.6. Se X : P o() ento:E(X) =

eV ar(X) = .Exemplo 1: Num livro de 800 pginas h 800 erros de impresso. Qual a probabilidade de que uma pgina contenha pelo menos 3 erros? Exemplo 2: Numa central telefnica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que: a) num minuto no haja nenhum chamado; b) em 2 minutos haja 2 chamados; c) em

t

minutos no haja chamados.

5.2 Variveis Aleatrias Contnuas5.2.1 Modelo UniformeDenio: Uma varivel aleatria contnua se sua

X

tem distribuio uniforme no intervalo

[a, b],

f.d.p.

for dada por:

f (x) =Notao:

1 , ba

0,

a x b, c.c.

X : U [a, b]. X : U [a, b],ento

Propriedades: Se

(i) (ii)

E[X] =

a+b ; 2 (ba)2 . 12

V ar[X] =

Exemplo: Com o objetivo de vericar a resistncia presso de gua, os tcnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos produzidos tm 6 metros de comprimento e so submetidos a grandes presses at o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distncia a uma das extremidades (xada priori) anotada para ns de anlise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Queremos calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no mximo, a 1 metro das extremidades. Seja

X

a varivel aleatria que indica a distncia correspondente ao vazamento. Admita

que a probabilidade de ocerrncia de vazamento em todos os pontos so iguais.

42

5.2.2 Distribuio ExponencialDenio: Uma varivel aleatria contnua tribuio exponencial com parmetro

X , assumindo valores no > 0, se sua f.d.p. dada por ex , x > 0 0, c.c.

negativos, ter dis-

f (x) =Notao:

X : Exp().

Propriedades: a)

E (X) =

1 e

V ar (X) =

1 . 2

b) (Falta de memria) Para todo

s, t > 0,

teremos

P (X > s + t | X > s) = P (X > t) .Exemplos: 1) O intervalo de tempo em minutos entre emisses consecutivas de uma fonte radioativa uma varivel aleatria com distribuio exponencial de parmetro

= 0, 2.

Vamos

calcular a probabilidade de haver uma emisso em um intervalo inferior a 2 minutos. 2) Considerando a distribuio do exemplo anterior, calculemos agora, a probabilidade do intervalo ser superior ou igual a 7, sabendo-se que ele superior ou igual a 5 minutos.

5.2.3 Distribuio NormalDenio: Dizemos que a varivel aleatria X tem distribuio normal com parmetros 2 2 e , < < e 0 < < , se sua f.d.p. dada por1 x 2 1 f (x) = e 2 ( ) , < x < . 2

Notao:

X : N (, 2 ) .

Propriedades(i) Grco: tem a forma de sino; (ii)

f (x)

assume valor mximo no ponto

x = ; ;

(iii) A curva normal simtrica em relao a (iv)

E (X) =

e

V ar (X) = 2 ;

43

(v) Seja que

X : N (, 2 ), E(Z) = 0e

considere a varivel Logo, a

distribuio normal.

Z V ar(Z) = 1.

X . Mostra-se que Z tambm tem chamada de varivel normal padro ou reduzida. fcil ver

Z =

f.d.p.

de

Z

dada por

1 1 2 f (z) = e 2 z , < z < . 2Portanto, se

X : N (, 2 ) Z : N (0, 1).

A distribuio de

Z

se encontra tabelada;

(vide tabela em anexo) (vi) A tabela nos d a probabilidade

P (0 Z z),

para diversos valores de

z.

Dessa

forma, podemos calcular probabilidades envolvendo qualquer distribuio normal, X atravs da transformao Z = . Exemplos:

1. Considere a) b) c) d)

X : N (100, 25),

calcular:

P (100 X 106) P (89 X 107) P (112 X 116) P (X 108) X : N (50, 16),determinar

2. Sendo a) b)

x ,

tal que:

P (X x ) = 0, 05 P (X x ) = 0, 99

44

5a1 - Seja a) b) c) d) e) f)

LISTA DE EXERCCIOS

X : b(10, 2 ). 5

Calcular:

P (X = 3); P (X 2); P (X 2 < 1); P (|X 2| 1); P (|X 3| > 1); E(X)e

V ar(X);Sabendo-se que X6 sendo Z = . 3

2 - Seja

X : b(n, p). n, p, E(Z), V ar(Z),

E(X) = 12

e

V AR(X) = 4,

determinar

3 - Numa cidade, selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivduos pedido para opinarem se so a favor ou contra determinado projeto. Como resultado obtido, observou-se 40 a favor. Se na realidade as opinies pr e contra so igualmente divididas, qual a probabilidade de ter obtido tal resultado? 4 - O nmero de partculas Gama emitidas por segundo, por certa substncia radioativa, uma varivel aleatria com distribuio de Poisson com parmetro

= 3.

Se

um instrumento registrador torna-se inoperante quando h mais de 4 partculas por segundo, qual a probabilidade de isto acontecer em qualquer dado segundo? 5 - Em um pronto-socorro o nmero de atendimentos de emrgncia segue uma distribuio de Poisson com mdia de 60 atendimentos por hora. Calcular: a) A probabilidade do pronto-socorro no efetuar nenhum atendimento num intervalo de 5 minutos. b) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10 minutos. 6 - Uma moeda no viciada lanada sucessivamente, de modo independente, at que ocorra a primeira cara. Seja

X

a varivel aleatria que conta o nmero de lanamentos

anteriores ocorrncia de cara. Determine: a) b) c)

P (X 2); P (X > 1); E(X)e

V ar(X)

d) Quantas vezes deve, no mnimo, ser lanada a moeda para garantir a ocorrncia de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade? 7 - Numa urna h 40 bolas brancas e 60 bolas pretas. Retiram-se 20 bolas. Qual a

probabilidade de que ocorram no mnimo 2 bolas brancas, considerando as extraes: a) Sem reposio; b) Com reposio.

45

8 - Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 pretas. a) Qual a probabilidade de que a sexta bola retirada com reposio seja a primeira branca? b) Qual a probabilidade de que em 16 bolas retiradas sem reposio ocorram 3 brancas? c) Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposio ocorram no mximo 2 brancas? 9 - Sendo a) b) c) d) e)

X : U [0, 4] ,

calcule:

P (X > 2) P (X 2)

Resp. 1/2 Resp. 1/2 Resp. 1/4 Resp. 1/3 Resp. 1

P (1 < X < 2)

P (1 < X < 2 | X < 3) P (X < 3 | 1 < X < 2)

10 - Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede eltrica de 10 km com a mesma probabilidade. a) Qual a probabilidade da pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de ocorrer nos 3 quilmetros centrais da rede? Resp. 1/20 e 3/10 b) O custo de reparo da rede depende da distncia do centro de servio ao local da pane. Considere que o centro de servio est na origem da rede e que o custo de R$ 200,00 para distncias at 3quilmetros, de R$400,00 entre 3 e 8 quilmetros e de R$ 1000,00 para as distncias acima de 8 quilmetros. Qual o custo mdio do conserto? Resp. 460 11 - Suponha que o valor esperado de uma varivel aleatria com distribuio uniforme 1 e a varincia igual a 1/12. Encontre a probabilidade da varivel assumir valores menores que 3/4. Resp. 1/4 12 - Sendo a) b) c) d) e)

X:

Exp(1), determine: Resp. 0,865

P (0 < X < 2) P (X < 2) P (X > 3) P (1 < X < 4)

Resp. 0,865 Resp. 0,350

Resp. 0,05 Resp. 0,633

P (X < 2 | X > 1)

13 - Suponha que o tempo de vida cional 14 - Seja a)

T

de um vrus exposto ao meio ambiente segue uma

distribuio Exponencial com parmetro

= 1/20

s. Calcule a probabilidade condi-

P (T > 15 | T > 10) .

Resp. 0,779

X : N (4, 1) ,

determine:

P (X 4)

Resp. 0,5

46

b) c) d) e) f)

P (4 < X < 5) P (2 X < 5) P (5 X < 7) P (X 1) P (0 < X < 2)

Resp. 0,3413 Resp. 0,8187 Resp. 0,1574

Resp. 0,0013 Resp. 0,0228 determine:

15 - Seja a) b) c) d) e)

X : N (90, 100) ,

P (X 115) P (X 80) P (X 75)

Resp. 0,9938

Resp. 0,8413 Resp. 0,0668 Resp. 0,6687 Resp. 0,6826

P (85 X 110) P (|X 90| 10) a

f ) O valor de 16 - Para a) b) c) d) e)

tal que

P (90 a X 90 + a) = 0, 95.

Resp.

a = 19, 6

X : N (5, 10) ,

calcule: Resp. 0,3289

P (5 < X 2) P (X 0) P (X > 6)

Resp. 0,9429 Resp. 0,6255 Resp. 0,1102

P (7 X 6) P (|X + 5| > 2) .

Resp. 0,4286

17 - Uma clnica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuio normal de mdia 130 kg e desvio padro 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento mais adequado, os 25% pacientes de menor peso so classicados de magros, enquanto os 25% de maior peso de obesos. kg 18 - Um teste de aptido feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma srie de operaes seja realizada em uma rpida sucesso. Suponha que o tempo necessrio para completar o teste seja distribudo de acordo com uma normal de mdia 90 minutos e desvio padro 20 minutos. a) Para passar no teste, o candidato deve complet-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos tomam o teste, quantos so esperados passar? b) Se os 5% melhores candidatos sero alocados para aeronaves maiores, quo rpido deve ser o candidato para que obtenha essa posio? Determine os valores que delimitam cada uma dessas classicaes. Resp. Magros: 116,6 kg Obesos: 143,4

47

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatstica (6 crditos - Engenharias) Professores: Alexsandro, Alecxandro e Amanda Aluno(a): Perodo 2003.2 Data: .

6a

NOTA DE AULA

6

Variveis Aleatrias Bidimensionais

6.1 Variveis Aleatrias DiscretasNa maioria das situaes dicilmente trabalhamos com apenas uma varivel aleatria. muito comum estarmos interessados no comportamento conjunto de vrias variveis aleatrias. Trataremos aqui apenas de duas variveis, porm, os conceitos estudados aqui podem ser expandidos de maneira anloga para mais de duas variveis. Introduziremos o estudo atravs do seguinte exemplo: Uma amostra de 20 alunos do primeiro ano de uma faculdade foi escolhida. Perguntouse aos alunos se trabalhavam, varivel que foi representada por lares prestados, varivel representada por

X,

e o nmero de vestibu-

Y.

Os dados obtidos esto na tabela abaixo.

X Y X Y

no 1

sim 1

no 2

no 1

no 1

sim 2

sim 3

no 1

sim 1

sim 1

no 2

no 2

sim 1

no 3

sim 2

no 2

no 2

no 1

sim 3

no 2

Podemos coletar as freqncias de ocorrncia dos possveis pares, construindo uma tabela de freqncia conjunta de

X

e

Y. (X, Y )freqncia

Total

Esta mesma tabela pode ser apresentada de maneira mais conveniente atravs da tabela de dupla entrada, da seguinte forma:

48

X|Y

Total

Total

Dessa forma, ca facilitada a tarefa de obter a tabela de freqncia individual para cada varivel que, pela posio em que seus valores aparecem na tabela de dupla entrada, chamada de tabela marginal de freqncia da varivel de

X

(ou

Y ).

Temos ento para as variveis

X

e

X Y,

(ou

Y ), ou simplesmente marginal

do exemplo anterior, as seguintes

tabelas de freqncia:

X

freqncia

Y

freqncia

Total

Total

Observe que podemos construir as mesmas tabelas considerando agora as freqncias relativas.

6.1.1 Funo de Probabilidade ConjuntaIremos considerar agora o caso de variveis aleatrias discretas, denidas a partir das suas funes de probabilidades. Iniciamos estendendo a denio de funo de probabilidade para o caso de duas variveis. Denio: Seja

X

uma varivel aleatria que assume os valores

x1 , x2 , ..., xm

e

Y

varivel aleatria que assume os valores da seguinte forma:

denida, para todos os possveis pares de valores

y1 , y2 , ..., yn . A funo de probabilidade conjunta (xi , yj ), i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n,

p(xi , yj ) = P [(X = xi ) (Y = yj )] = P (X = xi , Y = yj ),isto ,

p(xi , yj )

representa a probabilidade de

(X, Y )

ser igual a

(xi , yj ).

Damos o nome de distribuio conjunta de probabilidades da varivel bidimensional

(X, Y )

ao conjunto:

{(xi , yj ), p(xi , yj ), i = 1, 2, ..., m j = 1, 2, ..., n}Observamos que:

m

n

P (X = xi , Y = yj ) = 1.i=1 j=1A distribuio conjunta de probabilidades da varivel tambm, atravs de uma tabela de dupla entrada. Exemplo: Uma regio foi subdividida em 10 sub-regies. Em cada uma delas, foram observadas duas variveis: nmero de poos artesianos presentes na sub-regio

(X, Y )

pode ser representada,

(X)

e nmero de riachos ou rios

(Y ).

Os resultados so apresentados na tabela a seguir:

49

Sub-regio

1 0 1

2 0 2

3 0 1

4 0 0

5 1 1

6 2 0

7 1 0

8 2 1

9 2 2

10 0 2

X Y

Considerando que escolhemos uma das sub-regies ao acaso, isto , cada sub-regio tem mesma probabilidade 1/10 de ser escolhida, podemos construir a distribuio conjunta de

(X, Y ): (X, Y ) P (X, Y )

Total

Cuja tabela de dupla entrada dada por:

X|Y

Total

Total

6.1.2 Distribuies Marginais de ProbabilidadesQuando trabalhamos com uma varivel aleatria bidimensional podemos ter o interesse em estudar o comportamento de uma nica varivel; ou seja; em conhecer a distribuio de probabilidade de

X

ou de

Y. (X, Y ) representada atravs

Considerando a distribuio de probabilidades conjunta de

de uma tabela de dupla entrada, tal como apresentada a seguir: Tabela 1: tabela de dupla entrada para apresentar a distribuio conjunta de (X,Y).

Y X x1 x2... ...

y1 p(x1 , y1 ) p(x2 , y1 )... ...

... ... ... ... ... ... ...

ynTotal

p(x1 , yn ) p(x2 , yn )... ...

p(x1 ) p(x2 )... ...

xmTotal

p(xm , y1 ) p(y1 )

p(xm , yn ) p(xm ) p(yn ) 1,050

Desta maneira, a distribuio de de

X

ou comumente denominada de distribuio marginal

X,

pode ser obtida a partir de

p(xi ) = P [(X = xi , Y = y1 )ou(X = xi , Y = y2 )ou...ou(X = xi , Y = yn )] = n p(xi , yj ). j=1De modo anlogo, a distribuio marginal de

Y

obtida a partir de

p(yj ) = P [(X = x1 , Y = yj )ou(X = x2 , Y = yj )ou...ou(X = xm , Y = yj )] = m p(xi , yj ). i=1Exemplo: Considerando o exemplo das sub-regies, podemos calcular, atravs da distribuio conjunta, as distribuies marginais. Portanto, as distribuies marginais seriam as seguintes:

X = xi P (X = xi ) Y = yj P (Y = yj )

0

1

2

0

1

2

6.1.3 Funo de Variveis AleatriasEm muitas situaes h interesse em estudar o comportamento de uma funo das variveis tal como soma, produto ou alguma outra relao entre elas. seguinte exemplo: Em uma cidade do Estado de So Paulo, admite-se que o nmero de anos para completar o ensino fundamental (varivel (varivel Introduziremos atravs do

F ) e o nmero de anos para completar o ensino mdio

M)

tm distribuio conjunta dada por:

(F, M ) p(f, m)(8,3) (8,4) (8,5) (9,3) (9,4) (9,5) (10,4) (10,5) Total 3/10 1/10 1/10 2/10 1/20 1/10 1/10 1/20 1

Suponha que exista interesse em estudar as variveis

F +M

e

F.M .

Acrescentando,

tabela anterior, colunas correspondendo aos valores dessas novas variveis temos

51

(F, M ) p(f, m) F + M(8,3) (8,4) (8,5) (9,3) (9,4) (9,5) (10,4) (10,5) 3/10 1/10 1/10 2/10 1/20 1/10 1/10 1/20

F.M

Atravs dessa tabela podemos construir a distribuio da varivel

Z = F +M

e

W = F.M ,

para isso basta somar as probabilidades nos valores comuns, por exemplo:

P (Z = 13) = P (8, 5) + P (9, 4) =

1 1 3 + = . 10 20 20

Procedendo de modo similar com os outros valores obtemos as funes de probabilidade de

Z

e de

W: Z=z P (Z = z) W =w P (W = w)

11

12

13

14

15

24

27

32

36

40

45

50

6.1.4 Associao entre VariveisDenio: Dada duas variveis aleatrias discretas denidas no mesmo espao amostral, a probabilidade condicional de

X = x,

dado que

Y =y

ocorreu, dada pela expresso:

P (X = x | Y = y) =Caso

P (X = x, Y = y) , se P (Y = y) > 0. P (Y = y)pode ser denida arbitrariamente e

adotaremos

P (Y = y) = 0, a probabilidade condicional P (X = x | Y = y) = P (X = x).

Denio: Duas variveis aleatrias discretas so independentes, se a ocorrncia de qualquer valor de uma delas no altera a chance de ocorrncia de valores da outra. seja, Ou

P (X = x | Y = y) = P (X = x),para todos os possveis valores podemos usar:

(x, y)

das variveis

(X, Y ).

Como denio alternativa

P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y),para quaisquer

(x, y). Xe

Observao:

Y

so independentes

p(x, y) = p(x)p(y), (x, y).

Se existe pelo menos um par

(x0 , y0 )

tal que:

p(xo , y0 ) = p(x0 )p(y0 )52

ento,

X

e

Y

no so independentes.

Exemplo: Suponhamos que tabela:

X

e

Y

tenham distribuio conjunta dada pela seguinte

X|Y1 2 3

1 0 1/5