Curto Circuito

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Curto-Circuitos Simétricos IV Componentes Simétricos 4.1 Análise por Componentes Simétricos 1918 Dr. Fortescue apresentou um trabalho intitulado: "Método de Componentes Simétricos aplicado a solução de circuitos polifásicos", desde então largamente usado em sistemas desiquilibrados, CC entre uma e duas fases. De acordo com o teorema um sistema trifásico desequilibrado pode ser subtituido por três sistemas equilibrados de fasores: Componentes de sequência positiva (+): 3 fasores iguais em módulo, defasados de 120 o , tendo a mesma seq. de fase original (abc); 35

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Curto-Circuitos Simétricos

IV Componentes Simétricos

4.1 Análise por Componentes Simétricos

1918 Dr. Fortescue apresentou um trabalho intitulado:

"Método de Componentes Simétricos aplicado a

solução de circuitos polifásicos",

desde então largamente usado em sistemas

desiquilibrados, CC entre uma e duas fases.

De acordo com o teorema um sistema trifásico

desequilibrado pode ser subtituido por três sistemas

equilibrados de fasores:

Componentes de sequência positiva (+): 3

fasores iguais em módulo, defasados de 120o,

tendo a mesma seq. de fase original (abc);

Componentes de sequência negativa (-): 3

fasores iguais em módulo, defasados de 120o, seq.

de fase oposta a original (abc);

Componentes de sequência zero (0): 3 fasores

iguais em módulo com defasagem de 0o entre si.

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Curto-Circuitos Simétricos

Exemplificando, Va, Vb e Vc podem ser representados

por:

4.2 Operadores

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Curto-Circuitos Simétricos

Operador j

Operador a = 1120o = 1ej2/3 = -0,5 + j0,866

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Curto-Circuitos Simétricos 38

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Curto-Circuitos Simétricos

4.3 Comp. Simétricos de Fasores Assimétricos

Va = Va1 + Va2 + Va0 (4.1)

Vb = Vb1 + Vb2 + Vb0 (4.2)

Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0 (4.3)

Usando a e as figuras:

Vb1 = a2.Va1 Vc1 = a.Va1 a = 1120o

Vb2 = a.Va2 Vc2 = a2.Va2 a2 = 1240o

Vb0 = Va0 Vc0 = Va0

Substituindo:

Va = Va1 + Va2 + Va0 (4.5)

Vb = a2Va1 + aVa2 + Va0 (4.6)

Vc = aVa1 +a2Va2 + Va0 (4.7)

Matricialmente:

Va 1 1 1 Va0

Vb = 1 a2 a Va1 (4.8)

Vc 1 a a2 Va2

A

1 1 1 1 1 1

A = 1 a2 a A-1 = 1/3 1 a a2

SEL 184 PAE m.o.

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Curto-Circuitos Simétricos

1 a a2 1 a2 a

(4.9) (4.10)

Pré-multiplicando (4.8) por A-1:

Va0 1 1 1 Va

Va1 = 1/3 1 a a2 Vb (4.11)

Va2 1 a2 a Vc

Desenvolvendo:

Va0 = 1/3(Va + Vb + Vc) (4.12)

Va1 = 1/3(Va + aVb + a2Vc) (4.13)

Va2 = 1/3(Va + a2Vb + aVc) (4.14)

Os demais valores de Vb0, Vc0, Vb1, Vc1, Vb2 e Vc2 são

obtidos pelas equações anteriores.

Observações importantes:

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Curto-Circuitos Simétricos

Para circuitos trifásicos equilibrados não há

componente de seqüência zero.

As equações (4.12) ... (4.14) podem ser resolvidas

gráfica ou analiticamente. Quando representam

correntes:

Ia0 = 1/3(Ia + Ib + Ic) (4.15)

Ia1 = 1/3(Ia + aIb + a2Ic) (4.16)

Ia2 = 1/3(Ia + a2Ib + aIc) (4.17)

Num sistema trifásico com condutor neutro:

In = Ia + Ib + Ic Ia0 = 1/3In In = 3Ia0 (4.18)

Quando não há retorno In = 0 correntes de

seqüência 0 são nulos (carga ligada em não tem

corrente de seqüência nula).

4.4 Potência em termos de Componentes Simétricos

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Curto-Circuitos Simétricos

N = P + jQ = VaIa* + VbIb* + VcIc* (4.19)

(potência em termos de tensão e corrente de fase)

Matricialmente:

N = [ Va Vb Vc ] Ia * = Va T Ia * (4.20)

Ib Vb Ib

Ic Vc Ic

N = VLt.IL* VL = A Va0 IL = A Ia0

Va1 Ia1

Va2 Ia2

Assim:

(4.21)

Da álgebra matricial:

a e a2 conjugados

Assim:

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Curto-Circuitos Simétricos

[V]T At = A A*

N = [ Va0 Va1 Va2 ] 1 1 1 1 1 1 Ia0 *

1 a2 a 1 a a2 Ia1

1 a a2 1 a2 a Ia2 (4.22)

3 0 0

0 3 0 = 3

0 0 3

N = 3 [ Va0 Va1 Va2 ] Ia0 *

Ia1

Ia2

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Curto-Circuitos Simétricos

4.5 Componentes Simétricos das Impedâncias

4.5.1 Caso Geral

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Page 11: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Matricialmente:

Va Zaa Mab Mac Ia

Vb = Mab Zbb Mbc Ib Va = ZaaIa + MabIb + MacIc

Vc Mca Mcb Zcc Ic

[ Vp ] = [ Zpp ] [ Ip]

[ Vc ] = [ Zcc ] [ Ic ]

?

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VC IC

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Desenvolvendo:

4.5.2 Circuito Equilibrado

Para as três fases equilibradas:

Zaa = Zbb = Zcc = Z Mab = Mba = Mcb = Mbc = Mac = M

Então:

Resolvendo:

[ Zcc ] = (Z + 2M) 0 0 a matriz se

0 (Z - M) 0 DIAGONALIZOU!!!

0 0 (Z - M)

"as quantidades de seqüência não estão acopladas

mutuamente"

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Curto-Circuitos Simétricos

[ Zcc ] = Z0 0 0 Z0 = Z + 2M

0 Z1 0 Z1 = Z - M

0 0 Z2 Z2 = Z - M

V0 = Z0I0

V1 = Z1I1

V2 = Z2I2

Significado Físico:

Sistemas equilibrados circuitos independentes

de acoplamento;

Z0 = impedância de seqüência 0 (zero);

Z1 = impedância de seqüência (+);

Z2 = impedância de seqüência (-); e

fem. dos geradores é só de seq. (+).

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Page 14: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Circuitos equivalentes:

Caso a rede seja desequilibrada haverá

acoplamento entre os circuitos.

4.6 Impedância de Seqüência dos Componentes do

Sistema

4.6.1 Linhas Aéreas e Cabos :

Z0 = Z + 2M Z0 > Z1 = Z2

Z1 = Z - M

Z2 = Z - M

4.6.2 Transformadores :

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Curto-Circuitos Simétricos

Z1 = Z2 deslocamento angular oposto, e

Z0 depende da conexão dos enrolamentos

e forma do núcleo.

Diagrama equivalente de seq. 0 para trafos

com 2 enrolamentos:

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Curto-Circuitos Simétricos

SEL 184 PAE m.o.

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Curto-Circuitos Simétricos

Exercício

Determine o circuito de seq. 0 do sistema:

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Page 18: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Transformador de 3 enrolamentos:

Exemplo:

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Page 19: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

4.6.3 Máquinas Rotativas :

Z1 Z2

a) Impedância de seq. (+)

Toma-se o valor subtransitório ou

síncrono (conforme a natureza do

problema).

b) Impedância de seq. (-)

É dada pela média das reatâncias

subtransitórias x''d e x''q:

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Curto-Circuitos Simétricos

Diagrama do circuito de um gerador em vazio aterrado

através de uma impedância:

Diagrama de Seqüências:

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Page 21: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

* as tensões geradas são apenas de seq. + visto que o

gerador é projetado para fornecer tensões trifásicas.

V Análises de Faltas Assimétricas

5.1 Falta Fase-Terra

grau de incidência: 70%

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Curto-Circuitos Simétricos

ZO, Z1, Z2: impedâncias do sistema, visto a

partir do ponto de defeito;

Ea, Eb, Ec: tensões equivalentes – f.e.m. de

seq. Positiva.

a) Condições no ponto de falta :

Va = ZfIa Ib = 0 Ic = 0

desprezam-se as correntes de carga.

a1) Correntes:

Ia0 = Ia1 = Ia2 = 1/3 Ia

a2) Tensões:

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Curto-Circuitos Simétricos

Retomando Va = Zf.Ia

Tirando Ia:

corrente na fase A.

As componentes de corrente serão:

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Curto-Circuitos Simétricos

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Curto-Circuitos Simétricos

Diagrama:

SEL 184 PAE m.o.

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Page 26: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

5.2 Falta entre duas linhas

grau de incidência: 15%

a) Condições no ponto de falta:

Vb - Vc = ZfIb Ia = 0 Ib = -Ic

a1) Componentes simétricos da corrente:

Ia0 = 0 ( Ib0 = Ic0 = 0) Ia2 = -Ia1

a2) Componentes simétricos das tensões:

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Page 27: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Analogamente

Usando expressões análogas para Vb e Vc e

partindo de Vb - Vc = IbZf, chegamos a:

A corrente de falta será:

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Page 28: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Circuito equivalente: o circuito de seqüência 0 (zero)

não é utilizado (não haverá circulação de corrente

de neutro no gerador).

5.3 Falta entre duas linhas e terra

grau de incidência: 10%

a) Condições no ponto de falta:

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Page 29: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Ia = 0 Vb = Vc = ZfIf Ib + Ic = If

a1) Componentes simétricos da tensão

a2) Componentes simétricos das correntes

Partindo de Vb = Vc = IfZf e fazendo algumas

substituições, chegamos a:

A corrente de falta será: In = Ib + Ic = 3Ia0

Interligação dos circuitos:

SEL 184 PAE m.o.

para Zf = 0

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Page 30: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

LIGAÇÕES DOS CIRCUITOS PARA OS VÁRIOS TIPOS DE FALTAS

Falta trifásica

Falta entre duas linhas

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Curto-Circuitos Simétricos

Falta linha-terra

Falta entre duas

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Page 32: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

linhas-terra

5.4 Defasagem em trafos Y-

Sob condições de equilíbrio – tensões e correntes no

primário e secundário não estão em fase.

Normalmente se faz o cálculo de V e I sem

considerar a defasagem. Se for importante ela

deverá ser considerada posteriormente. Ex: cálculo

das contribuições das máquinas para o curto.

a) Métodos normalizados de designação de terminais

SEL 184 PAE m.o.

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Page 33: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Terminal onde a corrente entra na alta tensão: H1

Terminal onde a corrente sai na baixa tensão: X1

Ip e Is estão em fase

Se o sentido de Is fosse oposto Ip e Is estariam defasados

de 180º.

b) Construção do diagrama de tensões para

transformadores trifásicos

Bobinas dispostas paralelamente são acopladas

magneticamente por estarem enroladas no mesmo núcleo.

Y an BC (CB)

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Page 34: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

bn CA (AC)cn AB (BA)

A conclusão anterior também vale para os

componentes simétricos:

Como no caso anterior: Va1 adiantado 300 de VB1

VA1 adiantado 900 de Va1

VA1 jVa1

VB1 jVb1

VC1 jVc1

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Page 35: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Então: VA2 = -jVa2VB2 = -jVb2 VC2 = -jVc2

o mesmo ocorre para as correntes:

IA1 = jIa1 (SEQ. +)

IA2 = -jIa2 ... (etc...)

Observações:

Essas relações são para as seqüências de fase

descritas. Trocando-se as fases a e c no Y:

VA1 = -jVa1 IA1 = -jIa1

VA2 = +jVa2 IA2 = +jIa2

Os trafos YY e são ligados de maneira que a

defasagem entre as tensões e correntes seja 00 ou

1800.

SEL 184 PAE m.o.

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Page 36: Curto Circuito

Curto-Circuitos Simétricos

Ver ex. 13.2, pág. 253, Stevenson.

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Page 37: Curto Circuito

Exercícios

Anexos

Page 38: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 1:

Um gerador trifásico de 30 MVA, 13,8 kV, possui uma reatância subtransitória de 15%. Ele alimenta dois motores através de uma LT com dois trafos nas extremidades, conforme diagrama unifilar. Os valores nominais dos motores são 20 e 10 MVA, ambos com 20% de reatância subtransitória. Os trafos trifásicos são ambos de 35 MVA 13,2 - 115Y (kV), com reatância de dispersão de 10%. A reatância em série da LT é 80 . Faça o diagrama de reatâncias com todos os valores em pu. Escolha os valores nominais do gerador como base do circuito do próprio gerador.

Page 39: Curto Circuito

Exercícios

SOLUÇÃO

Gerador Síncrono

Base VbaseG = 13,8 kV

Sbase = 30 MVA

X" = 0,15 p.u. já está na própria base

Transformadores 1 e 2

Basevelha VvelhabaseT = 13,2 kV

SvelhabaseT = 35 MVA

Basenova VnovabaseT = 13,8 kV

SnovabaseT = 30 MVA

Obs: quando o valor da reatância de um transformador

é dado em p.u. o valor em p.u. é o mesmo tanto

para o lado de alta ou baixa tensão.

Page 40: Curto Circuito

Exercícios

Linha de Transmissão (LM)

Cálculo da tensão base no nível de tensão da linha de

transmissão. Pela relação do transformador T1, tem-

se:

Motores Síncronos 1 e 2

Cálculo da tensão base no nível de tensão do motor

síncrono.

Fazendo a mudança de base:

Diagrama de reatâncias:

Page 41: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 2:

Fazer o circuito de seq. (0) do diagrama unifilar:

Page 42: Curto Circuito

Exercícios

Page 43: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 3:

Esquematize o circuito de seq. zero para o sistema abaixo.

Considere que as reatâncias de seq. zero dos geradores e

motores valem 0,05 p. u.. Os reatores para a limitação de

corrente valem 2,0 . A reatância de seq. zero da L. T. é de

250 .

Page 44: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 4:

Desenhe os circuitos de impedância de seqüência negativa e de seqüência zero para o sistema de potência da figura abaixo. Dê os valores de todas as reatâncias em p. u. numa base de 30000 KVA, 6.9 KV no circuito do gerador 1. Assinale os circuitos de maneira correspondente ao diagrama unifilar. Os neutros dos geradores 1 e 2 estão ligados à terra através de reatores limitadores de corrente com reatância de 5%, cada qual tendo como base os valores da máquina à qual estão ligados. Cada gerador possui reatâncias de seqüências negativa e positiva de 15%, respectivamente, com base em seus próprios valores nominais. A reatância de seqüência zero da linha de transmissão é 250 de B a C e 210 de C a E.

1) Seqüência negativa:

Page 45: Curto Circuito

Exercícios

2) Seqüência zero:

Page 46: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 5:

Desenhe os circuitos de seqüência negativa e de seqüência

zero para o sistema de potência da figura abaixo. Escolha

uma base de 50000 KVA, 138 KV na linha de transmissão de

40 e dê as reatâncias em p. u.. A reatância de seqüência

negativa de cada máquina síncrona é igual à respectiva

reatância subtransitória. A reatância de seqüência zero de

cada máquina é de 8% com base nos próprios valores

nominais. Os neutros das máquinas estão ligados à terra

através de reatores cujas reatâncias valem 5%, com base

nos valores nominais das respectivas máquinas. Suponha

que as reatâncias de seqüência zero das linhas de

transmissão valem 300% das respectivas reatâncias de

seqüência positiva.

Page 47: Curto Circuito

Exercícios

Page 48: Curto Circuito

Exercícios

Page 49: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 6:

Uma máquina síncrona “A” com tensão de 1 p.u., está

interligada a outra “B”, com a mesma tensão, conforme a

figura. Pede-se a corrente de curto, para um defeito fase-

fase-terra, no ponto “P”.

São dados:

- Reatância (p.u.):

Máquina “A”: x1 = 0,3; x2 = 0,2; x0 = 0,05

Máquina “B”: x1 = 0,25; x2 = 0,15; x0 = 0,03

LT1 e LT2: x1 = x2 = 0,3; x0 = 0,7

T1: x1 = x2 = x0 = 0,12

T2: x1 = x2 = x0 = 0,1

Page 50: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 7:

Dois geradores trifásicos, de 11 kV e 50 MVA são conectados

em paralelo e alimentam uma subestação através de um

alimentador tendo uma impedância de (0,40 + j0,70) para

seqüências (+) e (-) e (0,70 + j3) para a componente de

seqüência (0).

As reatâncias de seq. (+), (-) e (0) dos geradores são 0,6 ;

0,4 e 0,2 respectivamente.

As máquinas são aterradas através de uma resistência de 0,2

. Calcular a corrente de falta em cada uma das fases e a

tensão entre a terra e o ponto estrela dos geradores, se uma

falta à terra ocorre simultaneamente nas fases “b” e “c” da

subestação.

Page 51: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 8:

Uma dupla falta à terra ocorre no ponto “B” do sistema.

Determinar o valor simétrico inicial da corrente de falta, das

tensões no ponto de falta e as correntes de falta resultantes

em todas as fases do sistema.

Considerar a contribuição dos motores “M” e “N”.

Page 52: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 9:

Gerador G: 7500 KVA; 4,16 kV; x” = 10%; x2 = 10%; x0 = 5%

Transformador T:3 trafos monofásicos de 2500 KVA;2400/600 V; xdisp = 10%

Motores:Tensão nominal de 600V; = 89,5% (plena carga, com Unom e fp = 1,0);Potência total de saída dos motores: 6000 HP;x” = 20%; x2 = 20%; x0 = 4% (cada motor);

Carga alimentada no momento de curto fase-terra na baixa tensão do trafo: cada um alimenta uma parte igual de uma carga total de 5000 HP, fp = 85% em atraso e = 88%.Considerar os motores como sendo um único. Pede-se: Os circuitos de seqüência, as correntes entre:

- trafo e falta;- trafo e gerador;- motor e a falta.

OBS: reatores de aterramento dos motores = 2%.

Page 53: Curto Circuito

Exercícios

Exercício 10:

Com uma falta à terra no ponto “F” do sistema mostrado,

determinar as tensões através dos enrolamentos do

gerador, do banco de transformadores e a tensão fase-terra

no ponto de falta (F).

Desenhar um diagrama trifásico mostrando a corrente em

cada uma das fases na linha de transmissão, nos terminais

do gerador e nos enrolamentos em do transformador e do

gerador.

Desprezar:

- resistência;

- corrente de excitação no transformador e

- a capacitância da linha.

Sistema:

Page 54: Curto Circuito

Exercícios

Dados:

Gerador trifásico – 30 MVA, 13,8 kV

X1 = 35% X2 = 50%

(baseados nos valores nominais do gerador)

Transformador trifásico – 3 unid. monof. de 10 MVA cada.

X1 = X2 = X0 = 10%

Neutro do Y está aterrado com uma reatância de 15.

Linha de transmissão:

L = 25 milhas

X1 = X2 = 0,8 (/milha)

X0 = 2,7 (/milha)

Tensão na LT antes da falta: 115 kV