FUNES DE DUAS OU MAIS VARIVEIS, CURVA DE NIVEL, LIMITE , CONTINUIDADE DERIVADA PARCIAL 25/01/2012 1. FUNES DE DUAS OU MAIS VARIVEIS Definio 01: Umafunofdeduasvariveis,xey,umafunoregraqueassociaum niconmerorealf(x,y)acadaponto(x,y)dealgumconjuntoDnoplano xy. EXEMPLO 01: A funo expressa abaixo uma funo de duas variveis. Definio 02: Umafunofdetrsvariveis,x,yez,umafunoregraqueassociaum niconmerorealf(x,y,z)acadaponto(x,y,z)dealgumconjuntoDno espao tridimensional. EXEMPLO 02: A funo expressa abaixo uma funo de duas variveis. 2. REPRESENTAO GRFICA DE ALGUMAS FUNES DE VARIAS VARIVEIS xyzxyz = cos(x.y) z = x - y EXEMPLO 01: Esboce o domnio natural da funo f(x,y) = ln(x +y). EXEMPLO 02: Seja. Determine f(0,1/2/-1/2) e o domnio natural de f.( )2 2 2, , 1 f x y z x y z = Curvas de Superfcie de Nvel Existeumaoutratcnicagrfica,til,paradescreverocomportamentodeuma funo de duas variveis.Omtodoconsisteemdescobrirno plano xyosgrficosdasequaes f(x,y)= k paradiferentesvaloresdek.Osgrficosobtidosdestamaneirasochamadosas curvas de nvel da funo f. Curva de nveltal que. z=f(x,y)=alturaemrelaoaonveldomar(definidaemumapequenaporo aproximadamente plana). Nossas curvas de nvel correspondem s linhas de contorno topogrfico. z = x2+ y2z = 9 z = 4 z = 2 z = 0 As curvas de nvel so os grficos das equaes.2. z = x2+ y2 EXEMPLO 01: Esboce o mapa de contorno de f(x,x) = x + y usando as curvas de nveis de altura K = 1, 2, 3, 4, 5. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-5-4-3-2-112345xy-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-5-4-3-2-112345xy Curvas de nvel: - hiprboles 4. Curvas de Superfcie de Nvel Se f uma funo de trs variveis x, y, z ento, por definio, as superfcies de nveldefsoosgrficosdef(x,y,z)=k,paradiferentesvaloresde k. Superfcies de nvel tal que. Em aplicaes, por exemplo, se f(x, y, z) a temperatura no ponto (x, y, z) ento assuperfciesdenvelsochamadassuperfciesisotermas.Sef(x,y,z) representa potencial elas so chamadas superfcies equipotenciais. Curvas de Superfcie de Nvel A superfcie o grfico de f. Uma curva de nvel tpica no domnio da funo Parabolide A curva de contorno f(x,y) = 100 x2 + y2 = 75 a circunferncia x2 + y2 = 25 no plano z = 75. A curva de nvelf(x,y) = 100 x2 + y2 = 75 a circunferncia x2 + y2 = 25 no plano xy. Plano z = 75 Trao: a curvadefinida peloencontro da superfcie f(x,y) com os planos xy, xz e yz. Curvas de Nvel Decrscimo mais rpido de f A curva DERIVADAS PARCIAIS DERIVADAS PARCIAIS DE FUNES DE DUAS VARIVEIS Definio:

Se f(x,y) e (x0,y0) um ponto no domnio de f, ento a derivada parcial de f emrelaoaxaderivadaemx0dafunoqueresultaquandoy=y0for mantido fixado e a x for permitido variar. ( ) ( )( ) ( )00 0 0 00 0 00, ,, ,limxxx xf x x y f x ydf x y f x ydx xA=+ A = =( A Analogamente,aderivadadefemrelaoayem(x0,y0)aderivadaemy0da funo que resulta quando x=x0 for mantido fixado e a y for permitido variar.( ) ( )( ) ( )00 0 0 00 0 00, ,, ,limyyy yf x y y f x ydf x y f x ydy yA=+ A = =( A EXEMPLO: Calcule as derivadas parciais fx e fy pela definio das seguintes funes: f(x,y) = 3x - 2xy + y 4. INTERPRETAO DAS DERIVADAS PARCIAIS O grfico de uma funo de duas variveis z = f(x, y) , em geral, uma superfcie Em R3. A interseo desta superfcie comum plano paralelo ao plano xz, que passa pelo ponto (0, y0, 0) uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz s condies: ( )0, z f x yy y= = Como a curva plana, podemos consider-la como o grfico de uma funo de umavarivel,asaber:g(x)=f(x,y0).Logo,ocoeficienteangulardareta tangente curva no ponto x0, relativa ao plano, : g(x0) = fx(x0,y0) 5. NOTAO DE DERIVADA PARCIAL Se z = f(x,y), ento as derivadas parciais fx e fy so tambm denotadas pelos smbolos Algumas notaes tpicas para as derivadas parciais de z = f(x,y) no ponto (x0,y0) so: ,e,f z f zx x y yc c c cc c c c( ) ( )0 0 0 0 0 00 0 0 0, ( , ) ( , ), , , , , ,x x y y x y x yf z f f zx y x yx x x x x= =c c c c cc c c c cEXEMPLO: Determine fx e fy se z = x4sen(xy) EXEMPLO: AleidogsIdealafirmaque,paraumadadaquantidadedegs,apressop,o volume V e a temperatura absoluta T so ligados pela equao pV = nRT, onde n o nmero de moles de gs na amostra e R uma constante. Mostre que1p V TV T pc c c= c c c6. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNES COM MAIS DE DUAS VARIVEIS Para uma funo f(x,y,z) de trs variveis, h trs derivadas parciais. fx(x,y,z),fy(x,y,z),fz(x,y,z) EXEMPLO 08: Determine fx, fy e fz. ( )3 2 3, ,x zf x y z y e+=EXEMPLO 09: Determine2 2 21 2...nix x xxc (+ + + cpara i = 1, 2, ..., n.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES Suponha que f seja uma funo de duas variveis x e y. como as derivadas parciais fx e fy tambm so funes de x e y, essas funes podem elas mesmas ter derivadas parciais. EXEMPLO 10: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de ( )2 3 4, f x y x y x y = +8. IGUALDADE DA DERIVADA PARCIAL MISTA Teorema 04: Seja f uma funo de duas variveis. Se fxy e fyx forem contnuas em algum disco aberto, ento fxy = fyx nesse disco. EXEMPLO 11: Mostre que a derivada parcial fxy = fyx na funo; ( )3 5, 2yf x y x e ysen x = +EXEMPLO: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de( )2 2 4, f x y x y x y = +