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Curvas e Superfcies Bezier, Splines, NURBS e Subdivididas

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Requisito 1: Independncia de eixos x y x' y'

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Requisito 2: Valores Mltiplos x y

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Requisito 3: Controle Local x y

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Requisito 4: Pouca Oscilao polinmio de grau elevado

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Requisito 4: Continuidade Varivel

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Requisito 5: Versatilidade

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Requisito 6: Amostragem Uniforme s 1 s 2 s 3 s 4 s n s i s j Requisito 7: Formulao matemtica tratvel Finalizando:

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Soluo Curva representada por partes atravs de polinmios de grau baixo (geralmente 3) t=0 t=1 Parametrizao t=0 t=1t=0 t=1 t=0 t=1 u0u0 u1u1 u2u2 unun continuidade no ponto comum dos trechos

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Geometria Diferencial s P(u) ou P(s) ou u

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Requisitos da parametrizao P0P0 P1P1 P(u) (1-u) uaua (1-f(u)) f(u) ubub uaua ubub 0 1 u

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Continuidade Geomtrica e Paramtrica Descontnua Contnua: C 0 e G 0 Contnua: C 1 e G 1 C 0 e G 1 Geomtrica C 1 e G 0 Paramtrica

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Curvas de Bzier P. de Casteljau, 1959 (Citron) P. de Bzier, 1962 (Renault) - UNISURF Forest 1970: Polinmios de Bernstein x P(t) y z t=0 t=1 V0V0 V1V1 V2V2 V3V3 V n-1 VnVn onde: coef. binomial pol. Bernstein

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Bzier Cbicas x P(t) y z V0V0 V1V1 V2V2 V3V3

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Polinmios Cbicos de Bernstein 1 1 0 t B 0,3 (1-t) 3 3 1 0 t B 1,3 3(1-t) 2 t 1 1 0 t B 3,3 t3t3 1 0 t B 2,3 3(1-t) t 2 -3 1 1 0 t B 0,3 + B 1,3 + B 2,3 + B 3,3

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Propriedades da Bzier Cbica x P(t) y z V0V0 V1V1 V2V2 V3V3 R(0) R(1)

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Controle da Bzier Cbica

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Fecho Convexo

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Demonstrao Induo ok n=1 interior ok n=2 n=3...

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Equao do Foley

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Reduo de n=3 para n=2 Bezier n=2

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Reduo de n=2 para n=1 Bezier n=1

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Clculo de um Ponto (1-t) t Mostre que:

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Subdiviso de Bzier Cbicas...

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Construo de uma Bezier u=1/2 P(1/2)

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Curve fitting

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Nova notao

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Derivadas na nova notao x y z

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Construo de uma curva que passa por 2 pontos n=2

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Construo de uma curva que passa por 3 pontos

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Mtodo contrutivo: dados n pontos acrescentar mais um

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Interpolao: dados p 0 p n ache ls e rs

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Bezier interpolation Given: np points Find: 2(np-1) points Criteria:

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Bezier interpolation Criteria: resulting linear system: solve for l and r

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Bezier surface (from cross section curves) x y z N S E W conventions and notations x z i=0,,np-1 j=0,,nc-1 p ij is the point i of curve j

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Bezier surface (from cross section curves) i=0,,np-1 i=0,,np-2 i=1,,np-1 N S E W x z i=0,,np-1 j=0,,nc-1

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Bezier surface rendering 4x4 7x7 7x4

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B-Splines vrtices + ns + + + + + + p = grau do polinmio N i,p (u) controla a continuidade ( C p-1 ) u 0 u 1 u 2 u m U={u 0, u 1,..., u m } m=n+p+1 u0u0 u2u2 uiui u i+1 umum... u N i,0 (u) u1u1... u i = ns (knots) u i,u i+1 = trechos (spans)

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Propriedades de N i,p (u) No negativa: N i,p (u) 0 para qualquer u, i, e p. Partio da unidade: N i,p (u)=1 para todo u u 0,u m. Suporte local: N i,p (u)=0 se u u i, u i+p+1. Mais ainda, in qualquer intervalo dos ns no mximo p+1 das N i,p (u) so no zero. Diferenciabilidade: todas as derivadas de N i,p (u) existem no interior de um intervalo de ns (onde polinmial). Nos ns N i,p (u) p-k diferencivel, onde k a multiplicidade do n. Extremo: exceto para o caso p=0, N i,p (u) tem apenas um ponto de mximo.

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Spline Uniforme u j+1 - u j =d

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Splines Uniformes p=0 e p=1 p=0 0u i -duiui u i +dn... N i,0 (u)... p=1 N i,2 (u) u i -d uiui u i +d u i +2d

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Splines Uniformes p=2 N i,1 (u)N i+1,1 (u)N i-1,1 (u) u i -d uiui u i +d u i +2du i +3d p=2

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Polinmios da B-Spline Uniforme

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Segmentos da B-spline cbica p(t)p(t) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,00,20,40,60,81,0 t t 3 /6 (-3t 3 +3t 2 +3t+1)/6(3t 3 -6t 2 +4)/6 (1-t) 3 /6

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Funes da base 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 u1u1 u2u2 u3u3...u m-4 u0u0 u u m-3 u m-2 N 0,3 (u) N 2,3 (u)N -1,3 (u)... t For i = 0,..., n For t = 0,..., 1 N n-1,3 (u) u m-1 umum N 1,3 (u) i=0 t i=1 t i=n N n,3 (u)N n+1,3 (u)

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B-Spline Peridica - Foley - Para cada par V i, V i+1, i=0,...,n Para cada t=0,...,1 Peridica: i=0,..., n V -1 = V n V n+1 = V 0 V n+2 = V 1 V n+1 = V 0 V n+2 =V 1 V2V2 V3V3 V4V4 V -1 = V n

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B-Spline No Peridica - Foley - vrtices + ns + + + + + + i=0 i=1 i=2 i=3 i=n-1 i=0 P(0) = (V -1 + 4V 0 + V 1 )/6 P(0) = V -1 -2V 0 + V 1 = 0 V -1 = 2V 0 - V 1 i=0; P(0) = V 0 i=n-1 P(1) = (V n-1 + 4V n + V n+1 )/6 P(1) = V n-1 -2V n + V n+1 V n+1 = 2V n - V n-1 i=n-1; P(1) = V n

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Base Peridica V -1 = V 7 V8= V0V8= V0 V9= V1V9= V1 V2V2 V3V3 V4V4 V -3 =V 5 V -2 = V 6 i=0 i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6 i=7

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Base No Peridica

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Bzier e B-Spline

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B-Spline Peridica - Interpolao - V n+1 = V 0 V n+1 =V 1 V2V2 V3V3 V4V4 V -1 = V n Para i=0,..., n P i (0) = (V i-1 + 4V i + V i+1 )/6; P0(0)P0(0) P1(0)P1(0) P2(0)P2(0) P3(0)P3(0) P4(0)P4(0) Pn(0)Pn(0) Considere os ns como os pontos dados vrtices + ns

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B-Spline No Peridica - Foley - vrtices + ns + + + + + + i=0 i=1 i=2 i=3 i=n-1 P 0 = V 0 ; P n = V n ; Para i=1,..., n-1 P i (0) = (V i-1 + 4V i + V i+1 )/6; Considere os ns como os pontos dados

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Funes Racionais Da trigonometria: 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.20.40.60.81.0

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Cnicas x y cnica qualquer escrita num sistema de eixos cuja origem um ponto da cnica Qualquer cnica pode ser representada parametricamente como uma frao de polinmios quadrticos

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NURBS Non Uniform Rational B-Splines yhyh xhxh w w=1 x y

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Cnicas como NURBS w 0 =1 w 1 =s/(1-s) w 2 =1 w 1 =0 0.2 -0.2 1 3 s Elipse (w 1 1) Faux et al. w 0 w 2 /w 1 - determina a cnica w 0 =1 w 1 =s/(1-s) w 2 =1 w 1 =0 0.2 -0.2 1 3 s Elipse (w 1 1)

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Crculo atravs de NURBS U={0, 0, 0, 1/4, 1/4, 1/2, 1/2, 3/4, 3/4, 1, 1, 1} -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 n=8 p=2 m=12 (x 0, y 0 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 3, y 3 ) (x 4, y 4 ) (x 5, y 5 ) (x 6, y 6 ) (x 7, y 7 ) (x 8, y 8 )